Índice de alcanzabilidad: Sistemas 2D positivos con 2 ciclos

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) ´ Indice de alcanzabilidad: Sistemas 2D positivos con 2 ciclos E. Bailo1, J. Gelonch1, S. Romero-Viv´ o2 1Dpto. Matem`atica, Universidad de Lleida E-mails: {ebailo, jgelonch}@matematica.udl.cat. 2Inst. de Matem`atica Multidisciplinar, Univ. Polit. de Val`encia E-mail: [email protected]. Palabras clave: Sistemas 2D positivos, alcanzabilidad, digrafos asociados, ´ındice de alcanzabilidad local, matrices no negativas. Resumen El c´alculo de una cota para el ´ındice de alcanzabilidad local de un sistema 2D positivo es un problema actualmente abierto. La forma algebraica (tradicional) de abordar el c´alculo del ´ındice de alcanzabilidad del sistema pasa por el estudio de la llamada matriz de alcanzabilidad. Esta matriz se construye mediante productos de Hurwitz de las matrices que definen el sistema. Las propiedades estructurales de estos sistemas permiten tambi´en una aproximaci´on de car´acter combinatorio al problema llegando al concepto de digrafo coloreado asociado al sistema. Usando la herramienta presentada en [2] en este trabajo generalizamos los resultados obtenidos en [3]. 1. Introducci´on y definiciones previas Se consideran los sistemas 2D positivos dados por el modelo de Fornasini-Marchesini xh,k =A1xh−1,k +A2xh,k−1+B1uh−1,k +B2uh,k−1(1) donde A1, A2∈Rn×n +,B1, B2∈Rn×m +, y los estados locales x∗,∗y los controles u∗,∗toman valores no negativos. Adem´as, se determinan las condiciones iniciales especificando valores no negativos para los estados sobre el conjunto de separaci´on C0={(h, −h) tal que h∈Z}. El sistema (1) puede denotarse tambi´en por (A1, A2, B1, B2). En este trabajo generalizamos los resultados obtenidos en [3], estudiando la propiedad de alcanzabilidad local de ciertos sistemas 2D positivos (para el caso 1D consultar, por ejemplo, [4] y la bibliograf´ıa que se menciona en ´el) que detallaremos posteriormente. Para ello, utilizaremos la tabla de composici´on (ver [2]) y una aproximaci´on de car´acter combinatorio dada por A1,A2,B1yB2que permite la construcci´on de una familia de digrafos coloreados que definimos a continuaci´on. Se recuerda que en un sistema 2D positivo (1), el conjunto de fuentes es un conjunto ordenado de melementos {s1, s2,...,sm}y el de v´ertices es un conjunto ordenado de nelementos, V={v1, v2,...,vn}. 1 E.Bailo, J.Gelonch, S.Romero-Viv´o Definici´on 1 El digrafo asociado a un sistema (1) y una fuente s`es la s´extupla D`= (s`, V, A1,A2,B1,B2), con A1(A2) subconjunto de V×V, cuyos elementos se dicen A1- arcos (A2-arcos), mientras que B1(B2) es subconjunto de {s`} × Vcuyos elementos se llaman B1-arcos (B2-arcos). Su construcci´on se hace con los siguientes criterios, existe un A1-arco (un A2-arco) desde vjhasta visi y s´olo si el elemento de la columna jy fila i, de la matriz A1(A2) es no nulo; existe un B1-arco (un B2-arco) desde s`hasta visi y s´olo si el elemento de la columna `y fila ide B1(B2) es no nulo. Llamaremos multidigrafo asociado al sistema (1) al conjunto ordenado de digrafos correspondientes a cada una de sus fuentes, D={D1,D2,...,Dm}. Los A1-arcos (A2-arcos) y B1-arcos (B2-arcos) se dir´an 1-arcos (2-arcos) o de tipo 1 (2). Definici´on 2 Un camino es una sucesi´on de arcos adyacentes. Un camino es un sjcamino si empieza en la fuente sj. Un camino Pqueda especificado asign´andole sus v´ertices (incluida la fuente, si es el caso) y el tipo de arcos que los conectan. Si denotamos por p(q) el n´umero de arcos de tipo 1(2) que componen el camino P, entonces (p, q)es la composici´on de Py|P| =p+qes su longitud. Llamamos circuito a un camino cuyos v´ertices extremos coinciden. En particular, si cada v´ertice del circuito aparece una y s´olo una vez como primer v´ertice de un arco, diremos que es un ciclo. Definici´on 3 Un v´ertice vest´a alcanzado determin´ısticamente o determinado por la fuente s`y la composici´on (p, q)si todos los s`-caminos de composici´on (p, q)acaban en v. Definici´on 4 El ´ındice `del v´ertice ves I`(v) = m´ın{p+q}cuando (p, q)recorre todas las composiciones de los s`-caminos que determinan v. El ´ındice de determinaci´on del v´ertice ves ID(v) = m´ın{I`(v)|`= 1,...,m}. Proposici´on 1 El ´ındice de alcanzabilidad local de un sistema 2D positivo se puede calcular como ILR = m´ax{ID(v)|v∈V}. Se denotar´a hiin= 1 + ((i−1) mod n) donde i, n ∈N, por hAin={hain|a∈A}, por bzc(dze) la parte entera inferior (superior) de z∈R, por #Ael cardinal de A. Para p, q ∈Z, el intervalo asociado a ellos es (p, q] := ∅(si p≥q) o (p, q] := {p+ 1,...,q}(si p < q). 2. Digrafo con dos ciclos Definici´on 5 Sean n1, n2∈Ntales que n1+n2=n. Se dir´a que (1) es un sistema (n1, K;n2, H)si su digrafo asociado consta de una sola fuente, que denotaremos por sy el digrafo asociado al sistema (A1, A2, O, O)est´a formado por dos ciclos disjuntos; de la fuente ssurgen dos arcos de tipo 1, uno para cada ciclo; el primer (segundo) ciclo C1(C2) tiene n1v´ertices {v1,...,vn1}(n2,{w1,...,wn2}); 2 ´ Indice de alcanzabilidad local en sistemas 2D positivos con 2 ciclos KyHson sucesiones no vac´ıas de n´umeros naturales, 1≤k1<· · · < kr1≤n1y 1≤h1<··· < hr2≤n2, respectivamente; los arcos que salen de vkicon i∈(0, r1] (whjcon j∈(0, r2]) son los ´unicos 2-arcos de C1(C2). Definici´on 6 Al sistema (n1, K;n2, H)se le puede asociar una tabla infinita de doble entrada (tabla de composici´on asociada al sistema (n1, K;n2, H)), colocando los v´ertices alcanzados por s-caminos seg´un su composici´on, (p, q)(pindicar´a la columna y qla fila). En [3] se estudi´o el ILR en sistemas (n1, K;n2, H) con r1=r2. En este trabajo se elimina esta restricci´on. Nos basamos en la tabla de composici´on como herramienta clave en el c´alculo del ´ındice. Su construcci´on1nos induce a realizar una partici´on en C1(C2) con los intervalos P1,...,Pr1−1,hPr1in1(Q1,...,Qr2−1,hQr2in2) donde Pi:= (ki, ki+1] (Qj:= (hj, hj+1]) para i∈(0, r1] (j∈(0, r2]) siendo kr1+1 := k1+n1(hr2+1 := h1+n2). En adelante, para facilitar la notaci´on, identificaremos Pr1(Qr2) con hPr1in1(hQr2in2). Lema 1 Con q≥1arcos de tipo dos se llega a los v´ertices de Phqir1(Qhqir2) con s-caminos de longitudes {khqir1+ 1 + ¹q−1 r1ºn1,...,khq+1ir1+¹q r1ºn1}(2) µ{hhqir2+ 1 + ¹q−1 r2ºn2,...,hhq+1ir2+¹q r2ºn2}¶(3) En la Tabla 1 se presentan los intervalos que contienen las longitudes de los s-caminos que terminan en v´ertices de cada uno de los ciclos, en funci´on del n´umero de 2-arcos. qIntervalos que contienen las V´ertices Intervalos que contienen las long. de los s-caminos que llegan a C1alcanzados long. de los s-caminos que llegan a C2 0 (0, k1] (0, k1] (0, h1] (0, h1] 1 (k1, k2]P1Q1(h1, h2] 2 (k2, k3]P2Q2(h2, h3] . . .. . .. . .. . .. . . r1(kr1, k1+n1]Pr1Qr1(hr1, hr1+1] r1+ 1 (k1+n1, k2+n1]P1 . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . . r2³khr2ir1+br2−1 r1cn1, khr2+1ir1+br2 r1cn1iPhr2ir1Qr2(hr2, h1+n2] r2+ 1 . . . . . .Q1(h1+n2, h2+n2] . . . . . . . . . . . . . . . `³kh`ir1+b`−1 r1cn1, kh`+1ir1+b` r1cn1i = (kr1+ (δ1−1)n1, k1+δ1n1]Pr1Qr2³hh`ir2+b`−1 r2cn2, hh`+1ir2+b` r2cn2i = (hr2+ (δ2−1)n2, h1+δ2n2] Tab. 1: Resumen obtenido de la tabla de composici´on asociada al sistema (n1, K;n2, H) donde K={k1, k2,...,kr1}yH={h1, h2,...,hr2}bajo la hip´otesis r1< r2 Definici´on 7 Se dir´a que PiyQjse enfrentan si es posible llegar, con s-caminos adecuados, a todos los v´ertices de uno y otro con el mismo n´umero de 2-arcos. Diremos que Piy Qjse q-enfrentan si se enfrentan con q2-arcos. 1En la que identificamos los v´ertices con sus sub´ındices indicando el ciclo al que pertenecen. 3 E.Bailo, J.Gelonch, S.Romero-Viv´o Lema 2 Si PiyQjse q-enfrentan entonces, PiyQjse (q+t`)-enfrentan siendo `:= mcm{r1, r2}yt∈Ztal que q+t` > 0. Diremos que con `arcos de tipo 2 damos una vuelta sincronizada a los ciclos. Lema 3 Si hay s-caminos de composici´on (p, q)terminando en vide C1y en wjde C2 entonces, despu´es de tvueltas sincronizadas hay un s-camino de composici´on (p+tδ1(n1− r1), q +t`)((p+tδ2(n2−r2), q +t`)) que llega a vi(wj) con δ1=`/r1(δ2=`/r2). Lema 4 Utilizando s-caminos con 1≤q≤`2-arcos se determinan un n´umero de v´ertices m´ın n#Phqir1,#³khqir1+jq−1 r1kn1, hhqir2+jq−1 r2kn2iode la parte izda. de Phqir1 m´ın n#Phqir1,#³hhq+1ir2+jq r2kn2, khq+1ir1+jq r1kn1iode la parte dcha. de Phqir1 m´ın n#Qhqir2,#³hhqir2+jq−1 r2kn2, khqir1+jq−1 r1kn1iode la parte izda. de Qhqir2 m´ın n#Qhqir2,#³khq+1ir1jq r1kn1, hhq+1ir2+jq r2kn2iode la parte dcha. de Qhqir2 Estos valores se denotan #qP− hqir1 ,#qP+ hqir1 ,#qQ− hqir2 y#qQ+ hqir2 , respectivamente. Lema 5 En estas condiciones, podemos afirmar que para i∈(0, r1]fijo, PiyQhi+αr1ir2 con α∈(−1, δ1−1] se (i+αr1)-enfrentan. Es decir, Pise enfrenta a Qhi+αr1ir2en cada vuelta sincronizada y s´olo a esos2. An´alogamente, para j∈(0, r2]fijo, QjyPhj+βr2ir1con β∈(−1, δ2−1] se (j+βr2)-enfrentan en cada vuelta sincronizada. Nota 1 El n´umero total de v´ertices de Pideterminados usando, a lo sumo, q2-arcos se denotar´a por #qPi. De manera similar, #qP− i(#qP+ i) ser´a el n´umero de v´ertices de la parte izda. (dcha.) de Pique en total se han determinado con, a lo sumo, q2-arcos. An´alogamente, #qQj,#qQ− jy#qQ+ jindican el n´umero total de v´ertices de Qj, de su parte izda. y de su dcha. que se han determinado utilizando, a lo m´as, q2-arcos. Es claro que con q2-arcos se determinan todos los v´ertices de Pi(Qj) si y s´olo si #qPi= m´ın{#Pi,#qP− i+ #qP+ i}= #Pi(#qQj= m´ın{#Qj,#qQ− j+ #qQ+ j}= #Qj). 2.1. ´ Indice de alcanzabilidad del sistema Caso a) δ2n2> δ1n1. En este caso, por el Lema 3, a partir de un cierto n´umero de vueltas sincronizadas, las longitudes de los s-caminos que terminan en C2son mayores que las de los que alcanzan C1(con un mismo n´umero de 2-arcos). En primer lugar, se calcular´a el ´ındice de determinaci´on de C1hallando el m´aximo de los ´ındices de determinaci´on de cada uno de los Picon i∈(0, r1]. Como recogemos en la Tabla 2 Pise enfrenta a Qhi+αr1ir2donde α= 0,1,...,δ1−1. Para hallar ID(Pi), debemos considerar dos posibilidades: o bien en la primera vuelta sincronizada se determinan todos los v´ertices de Pi, o bien se precisa m´as de una vuelta sincronizada para ello. 2Salvo si se utilizan cero 2-arcos en que se enfrentan (0, k1]⊆Pr1con (0, h1]⊆Qr2. 4 ´ Indice de alcanzabilidad local en sistemas 2D positivos con 2 ciclos ³ki+ (tδ1+α)n1, khi+1ir1+³tδ1+α+ji r1k´n1iPi ³hhi+αr1ir2+³tδ2+ji+αr1−1 r2k´n2, hhi+αr1+1ir2+³tδ2+ji+αr1 r2k´n2iQhi+αr1ir2 Tab. 2: Interv. conteniendo las long. de s-caminos con t` +i+αr12-arcos (α∈(−1, δ1−1]) ]( ]( i P 12 r i r Qα+ ]( ]( i P 12 r i r Qα+ Después de vueltas sincronizadas ,iα t 1 #iαr i P + + 1 #iαr i P + + Fig. 1: Posici´on relativa de las long. de los s-caminos que llegan a Piy a Qhi+αr1ir2 Cuando nos encontremos en la primera de las situaciones (ver Nota 1), en alguno de los enfrentamientos de Pise han acabado de determinar todos sus v´ertices. Tomando αi= m´ın{α∈(−1, δ1−1] |#Pi= #i+αr1Pi}se cumple que ID(Pi) = khi+1ir1+µαi+¹i r1º¶n1−#i+(αi−1)r1P+ i.(4) Si en la primera vuelta sincronizada no se han determinado todos los v´ertices de Piel procedimiento para el c´alculo de su ´ındice de determinaci´on ser´a un poco m´as laborioso. Para cada uno de los enfrentamientos de Pise calcula un ´ındice que denotaremos IR(Pi,α). ´ Este se puede interpretar como la longitud del s-camino que determina el “´ultimo” v´ertice de Piconsiderando, excepto en la primera vuelta sincronizada, solamente los enfrentamientos de Picon Qhi+αr1ir2para αfijo. Como δ2n2> δ1n1, llegar´a un momento en el que, a partir de un determinado n´umero de 2-arcos, las longitudes de los s-caminos que nos lleven a Piser´an menores que las de los que nos lleven a Qhi+αr1ir2. Por tanto, en ese momento tenemos garant´ıas de que todos los v´ertices de Piest´an determinados. No obstante, para calcular el ´ındice buscado deberemos ser m´as precisos y hallar el m´ınimo n´umero de 2-arcos necesarios para que todos los v´ertices de Piest´en determinados. Ese m´ınimo se deducir´a (debido al comportamiento c´ıclico del problema) a partir del m´ınimo n´umero de vueltas sincronizadas (completas) para conseguir determinar los v´ertices de Piconsiderando solamente sus enfrentamientos con Qhi+αr1ir2. Se obtiene (ver Fig. 1) hallando el m´ınimo ti,α ∈Ntal que para t≥ti,α se verifica3 khi+1ir1+µtδ1+α+¹i r1º¶n1−#i+αr1P+ i≤hhi+αr1ir2+µtδ2+¹i+αr1−1 r2º¶n2(5) As´ı, tendremos garantizado que dando t≥ti,α vueltas sincronizadas estar´an determinados 3Como hay #i+αr1P+ iv´ertices situados en la parte dcha. de Pique ya han sido determinados, las longitudes de los s-caminos que los alcanzan pueden coincidir con las de los que terminan en el segundo ciclo. 5 E.Bailo, J.Gelonch, S.Romero-Viv´o ³khj+βr2ir1+³tδ1+jj+βr2−1 r1k´n1, khj+βr2+1ir1+³tδ1+jj+βr2 r1k´n1iPhj+βr2ir1 ³hj+ (tδ2+β)n2, hhj+1ir2+³tδ2+β+jj r2k´n2iQj Tab. 3: Interv. conteniendo las long. de s-caminos con t` +j+βr22-arcos (β∈(−1, δ2−1]) todos los v´ertices de Pi. Luego, despejando tde (5) y tomando el m´ınimo, se cumple que ti,α =    khi+1ir1+³α+ji r1k´n1−hhi+αr1ir2−³ji+αr1−1 r2k´n2−#i+αr1P+ i δ2n2−δ1n1    (6) es ese m´ınimo n´umero de vueltas sincronizadas para determinar todos los v´ertices de Pi. Para calcular el valor exacto de IR(Pi,α) debemos tener en cuenta cu´antos v´ertices se han determinado de P+ ien la primera vuelta sincronizada. Con ello, IR(Pi,α) = khi+1ir1+µti,αδ1+α+¹i r1º¶n1−#`P+ i,(7) y el ´ındice de determinaci´on del intervalo Pise hallar´a como ID(Pi) = m´ın {IR(Pi,α)|α= 0,1,...,δ1−1}.(8) Por tanto, ID(C1) = m´ax {ID(Pi)|i= 1,...,r1}.(9) Siguiendo un procedimiento similar, se hallar´a el ´ındice de determinaci´on de C2 ID(C2) = m´ax {ID(Qj)|j= 1,...,r2}(10) Si en la primera vuelta sincronizada se han determinado todos los v´ertices de Qj entonces, llamando βj= m´ın{β∈(−1, δ2−1] |#Qj= #j+βr2Qj} ID(Qj) = hhj+1ir2+µβj+¹j r2º¶n2−#j+(βj−1)r2Q+ j.(11) En otro caso, bas´andonos en la Tabla 3, ID(Qj) = m´ın {IR(Qj,β)|β= 0,1,...,δ2−1}(12) donde IR(Qj,β) viene dado por m´ax nm´ın nkhj+βr2+1ir1+³τj,βδ1+jj+βr2 r1k´n1+ (δ2n2−δ1n1), hhj+1ir2+³τj,βδ2+β+jj r2k´n2−#`Q+ jo, hj+ 1 + (τj,βδ2+β)n2o(13) siendo τj,β =»³khj+βr2+1ir1+¹j+βr2 r1ºn1−hj−βn2−#j+βr2Q− j´Á(δ2n2−δ1n1)¼(14) 6 ´ Indice de alcanzabilidad local en sistemas 2D positivos con 2 ciclos q \ p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 2 1 2 3 4 5 6 3 4 1 2 5 6 7 3 4 5 6 8 9 10 1 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 1 2 8 9 10 1 2 3 4 5 6 3 4 1 2 567 3456 8 9 10 1 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 1 2 8 9 10 1 2 3 4 5 6 3 4 5 0 1 2 3 10 6 7 8 9 11 12 13 Fig. 2: Tabla de composici´on del sistema (6,{2,6}; 10,{2,4,7}) el m´ınimo n´umero de vueltas sincronizadas necesario para determinar los v´ertices de Qj en sus enfrentamientos con Phj+βr2ir1. As´ı, el ´ındice de alcanzabilidad local del sistema vale ILR = m´ax{ID(C1), ID(C2)}(15) Caso b) δ2n2< δ1n1. En este caso, a partir de un cierto n´umero de vueltas sincronizadas a los ciclos, las longitudes de los s-caminos con los que se alcanzan los v´ertices de C2son menores que las de los que llegan a los v´ertices de C1(para s-caminos con el mismo n´umero de 2-arcos). Cambiando n1por n2yr1por r2, (i.e., el orden en el que tomamos los ciclos) estamos en el caso anterior y podemos calcular el ´ındice de alcanzabilidad local. Caso c) δ2n2=δ1n1. En este caso los sistemas ser´an, en general, no alcanzables (salvo en el caso en que en la primera vuelta sincronizada se hayan determinado todos los v´ertices de ambos ciclos), dado que si un v´ertice no se ha determinado en la primera vuelta sincronizada no lo har´a en las siguientes al ser todas ellas una r´eplica de la primera. Un procedimiento similar al del caso a) permite calcular el ILR, si existe. Para i∈(0, r1], j∈(0, r2], α∈(−1, δ1−1] y β∈(−1, δ2−1] se tiene que si todos los v´ertices de Pi(Qj) se han determinado en la primera vuelta sincronizada, el ID(Pi) (ID(Qj)) se puede hallar con (4) ((11)) y aplicando (9), (10) y (15) conseguiremos calcular el ´ındice de alcanzabilidad local del sistema. En otro caso, el sistema es no alcanzable. Ejemplo Sea el sistema S= (6,{2,6}; 10,{2,4,7}). En la Fig. 2 se construye la tabla de composici´on asociada al mismo. Se colocan, para cada (p, q), los sub´ındices de los v´ertices que son alcanzados, concretamente en la fila superior (inferior) los correspondientes a C1(C2). Por construcci´on, se puede ver que el ´ındice de alcanzabilidad local del sistema es 40. Veamos c´omo se obtiene siguiendo el procedimiento detallado en el trabajo. Como n1= 6, n2= 10, r1= 2 y r2= 3 estamos en el caso a) δ1n1< δ2n2(`= mcm{2,3}= 6, δ1= 3 y δ2= 2). As´ı, P1={3,4,5,6},P2={1,2},Q1={3,4},Q2={5,6,7}yQ3={8,9,10,1,2}. En la Tabla 4 se anota el n´um. de v´ertices que se determinan en cada uno de ellos hasta 7 E.Bailo, J.Gelonch, S.Romero-Viv´o terminar la primera vuelta sincronizada. Como en la primera vuelta sincronizada no se q#qP− hqir1 #qP+ hqir1 #qQ− hqir2 #qQ+ hqir2 #qPhqir1#qQhqir2 0 0 0 1 0 2 0 0 2 0 2 0 1 2 0 1 2 3 0 0 1 0 2 1 4 0 0 0 0 1 0 5 0 1 0 0 2 2 6 0 0 1 2 1 3 Tab. 4: N´umero de v´ertices determinados en la primera vuelta sincronizada del ejemplo determinan todos los v´ertices de ning´un intervalo debemos utilizar (6) y (7) para los de C1-(13) y (14) para los de C2-. Los resultados se han resumido en la Tabla 5. q PiQjα β #`P+ i#`Q− jti,α τj,β IR(Pi,α)IR(Qj,β) 1P1Q10 0 2 0 1 2 22 44 2P2Q20 0 1 2 2 1 43 27 3P1Q31 0 2 1 2 2 46 50 4P2Q11 1 1 0 1 1 31 34 5P1Q22 1 2 2 1 1 34 37 6P2Q32 1 1 1 1 1 37 40 Tab. 5: Par´ametros necesarios para el c´alculo del ´ Indice As´ı, ID(P1) = m´ın{22,46,34}= 22, ID(P2) = m´ın{43,31,37}= 31 y por (8), ID(C1) = m´ax{22,31}= 31. En C2,ID(Q1) = m´ın{44,34}= 34, ID(Q2) = m´ın{27,37}= 27, ID(Q3) = m´ın{50,40}= 40 y por (12), ID(C2) = m´ax{34,27,40}= 40. Por consiguiente, el ´ındice de alcanzabilidad local del sistema ser´a ILR = m´ax{31,40}= 40. Referencias [1] E. Bailo, R. Bru, J. Gelonch y S. Romero, On the Reachability Index of Positive 2D Systems. IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, 53-10 (2006), 997–1001. [2] E. Bailo, R. Bru, J. Gelonch y S. Romero, Sobre el ´ındice de alcanzabilidad de sistemas 2D positivos. In Cd-Rom Actas XIX CEDYA/IX CMA (2005), Legan´es (Espa˜na). [3] E. Bailo, J. Gelonch y S. Romero, Additonal results on the reachability index of positive 2D systems. Lecture Notes in Control and Information Sciences 341 (2006), 73–80. [4] R. Bru, C. Coll, S. Romero y E. Sanchez, Reachability Indices of Positive Linear Systems. Electronic Journal of Linear Algebra, 11 (2004), 88–102. [5] E. Fornasini y G. Marchesini, Doubly indexed dynamical systems. Math. Sys. Theory 12 (1978), 59–72. [6] E. Fornasini y M.E. Valcher, Controllability and Reachability of 2D Positive Systems: A Graph Theoretic Approach. IEEE Trans. Circuits Syst. I, Reg. Papers, 52-3 (2005), 576–585. 8