Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal

i Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo fin de grado Grado de Ingeniería en Tecnologías Industriales Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. Autor: Rafael Zamora Riesco Tutor: Luis Onieva Giménez Dep. Organización Industrial y Gestión de Empresas II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2015 iii Trabajo Fin de Grado Grado de Ingeniería en Tecnologías Industriales Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. Autor: Rafael Zamora Riesco Tutor: Luis Onieva Giménez Catedrático Dep. de Organización Industrial y Gestión de Empresas II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2015 v Resumen En el presente trabajo fin de grado se busca establecer una comparativa entre los distintos métodos utilizados para el pronóstico de la afluencia de personas a eventos multitudinarios. En primer lugar se introduce el problema de previsión de la afluencia así como la necesidad de su estimación en el contexto de los eventos multitudinarios. Una vez discutidas brevemente algunas generalidades del pronóstico de la afluencia, se procede a analizar de manera genérica los distintos colectivos de visitantes que conformarán la afluencia. A continuación de revisan los factores explicativos relacionados con la afluencia concluyéndose en una clasificación de las potenciales variables indicadoras que podrán ser explotadas para la previsión de la afluencia. Seguidamente se describen los criterios utilizados para la evaluación de modelos de predicción. En el siguiente capítulo se revisan y describen los métodos más comúnmente utilizados y posteriormente se presentan los algoritmos y procedimientos de resolución asociados a su aplicación. Finalmente se implementa un modelo de regresión múltiple y una red neuronal y se evalúan para un caso concreto. vii Abstract The present final degree project aims to compare different methods used for attendance forecasting to largescale events. Firsly, the attendance forecast is introduced and its need as a management tool is pointed out always in the context of megaevents. Once several generalities on attendance are discussed, the collectives of visitors are analysed in a generic manner. Subsequently, the diverse aspects explaining attendance get revised and lead to a classification of potential indicators which might be used to forecast attendance. The criteria used to evaluate predicting methods is then exposed. Thereupon, the most popular methods used are revised and described, and some resolution algorithms and proceedings related to their implementation are presented. Finally one multiple regression model and a artificial neural network are developped and tested with a set of data corresponding to a real case scenario. Índice Resumen v Abstract vii Índice viii Índice de Tablas x Índice de Figuras xii 1 Introducción al problema 1 2 Objetivos y problemática 3 Objetivos 4 2.1 Problemática 4 2.2 Estado del arte 5 2.3 3 Generalidades 6 Afluencia 6 3.1 Presencia 6 3.2 Salidas 7 3.3 4 Colectivos de visitantes y factores explicativos. 9 Colectivos de visitantes 9 4.1 Factores explicativos 10 4.2 5 Evaluación de modelos de predicción 14 Algoritmo de predicción 14 5.1 Criterios de evaluación 15 5.2 6 Métodos de previsión 18 Clasifiación de métodos 18 6.1 Métodos cualitativos 19 6.2 6.2.1 Método Delphi. 19 6.2.2 Investigación de mercado. 19 6.2.3 Formulación de escenarios. 20 Métodos cuantitativos. Regresión 20 6.3 6.3.1 Regresión simple. 20 6.3.2 Regresión múltiple. 25 6.3.3 Pruebas de significación estadística. 25 Métodos cuantitativos. Series temporales 29 6.4 6.4.1 Componentes de una serie de tiempo. 29 6.4.2 Análisis de series temporales mediante promedios. 30 6.4.3 Análisis exponencial de series temporales. 32 6.4.4 Modelos AR, MA Y ARMA para series de tiempo. 36 Métodos cuantitativos. Distribución de probabilidad 41 6.5 6.5.1 Método de momentos (MOM). 41 6.5.2 Método de estimación de máxima verosimilitud (MLE). 41 6.5.3 Criterios de validación. 42 Métodos cuantitativos. Redes neuronales artificiales 45 6.6 ix 6.6.1 Perceptrones multicapa. 46 6.6.2 Red neuronal unidireccional multicapa generalizada. 48 6.6.3 Red modular. 48 6.6.4 Red neuronal con función de activación de base radial. 48 6.6.5 Redes neuronales para el análisis de componentes principales. 49 6.6.6 Redes neuronales recurrentes. 50 6.6.7 Mapas autoorganizados. 52 6.6.8 Modelos con redes neuronales: conclusiones. 53 7 Implementación 54 Regresión múltiple 56 7.1 Redes neuronales 59 7.2 8 Conclusiones 63 Anexo A: Tablas de regresores 64 Anexo B: Código Regresión Múltiple 68 Anexo C: Resultados Regresión Múltiple 74 Anexo D: Código red neuronal 76 Anexo E: Resultados de la red neuronal 83 Referencias 85 3 2 OBJETIVOS Y PROBLEMÁTICA El pronóstico y estimación de la afluencia a eventos de distinta índole es una herramienta fundamental para la toma de decisiones operativas y estratégicas en el ámbito de la gestión de eventos multitudinarios. Por otra parte, existe una problemática asociada al pronóstico y estimación de afluencias y es la referente a las particularidades de cada uno de los eventos multitudinarios bajo estudio. El interés principal de realizar una correcta estimación de la afluencia a eventos de estas características es ser capaz de dimensionar adecuadamente los recursos necesarios para su ejecución. Los tiempos necesarios para la adquisición y transporte de materias primas y productos, la preparación de personal cualificado y la puesta en marcha de nuevas unidades de producción, fuerza a adelantar las decisiones de su adquisición o formación de forma que estén disponibles en el momento en que se les precise. Para la toma de dichas decisiones, una predicción ajustada es de gran importancia económica y estratégica. La predicción de variables futuras puede favorecer una mejor toma de decisiones en términos financieros o laborales que permitan obtener la máxima rentabilidad en el corto o medio plazo. En caso de que las estimaciones de afluencia se elaboren para eventos de índole privada, el interés de un pronóstico ajustado viene dado por la correspondiente disminución en la incertidumbre de los resultados de participación. La consecuencia directa de una menor incertidumbre será una mejor planificación comercial que evitará en mayor medida costes por excesos de aprovisionamiento y mano de obra innecesaria y/o costes de oportunidad por defecto en la previsión. Desde un punto de vista organizativo, una correcta estimación de afluencia no solo mejorará los resultados comerciales de la empresa a realizar sino que reducirá los riesgos que se puedan presentar al permitir una asignación apropiada de unidades de emergencia y personal asociado. En definitiva, el pronóstico de la afluencia supone un potente instrumento que fomenta la calidad de los servicios, la responsabilidad en la organización y la eficiencia en el uso de los recursos en el ámbito de la planificación de eventos y congregaciones. Por otra parte, en la literatura relacionada con la materia, se pueden encontrar un buen número de métodos de pronóstico y estimación aunque en la mayor parte de los casos, la implementación y el estudio específico se ha centrado en el análisis de la demanda. En las publicaciones especializadas se puede encontrar un buen número de artículos en que se desarrollan nuevos modelos de predicción orientados a la estimación de la demanda. Muchos de estos modelos han profundizado en el uso de nuevas técnicas meta-heurísticas próximas a la inteligencia artificial. El objetivo de estos modelos de predicción es proporcionar una estimación de la variable a predecir lo más aproximado posible al futuro valor real. Una de las principales motivaciones de este proyecto es profundizar más particularmente en los factores que influyen en la afluencia. Justificación y problemática 4 Objetivos 2.1 El presente proyecto busca determinar los factores que inciden en el pronóstico de la afluencia a eventos multitudinarios de manera genérica así como clasificar y describir los métodos de pronóstico de la afluencia a eventos. Se trata de identificar ventajas y desventajas de cada método para distintos casos y escenarios. Por último, se persigue obtener previsiones de afluencia diaria a los recintos de los eventos con la antelación suficiente para planificar adecuadamente los recursos humanos. El correcto pronóstico de la afluencia supondrá una mejora en la calidad de los servicios y un aumento de la eficiencia en el uso de los recursos. El horizonte de tiempo contemplado en las previsiones que realice el modelo debe ser tal que permita la programación de los recursos variables necesarios. Problemática 2.2 El flujo humano en general es un problema de difícil aproximación ya que confluyen un gran número de factores que además pueden ser más o menos evidentes y más o menos cuantificables y mensurables en función del caso. Los factores de los que puede depender la afluencia pueden ser de carácter cualitativo y en muchos casos, incontrolables por parte de la organización del evento. Es necesario notar la heterogeneidad del potencial colectivo visitante con diferencias en la procedencia, capacidad económica, motivación, disponibilidad de tiempo etc. Es por ello por lo que, ante la organización de un mega-evento se suele proceder a la construcción de un modelo específico que se adecúe a las características particulares de dicho acontecimiento. Bien es cierto que una comprensión profunda de qué factores pueden tener influencia y una construcción integral del modelo de previsión pueden facilitar la obtención de mejores resultados que redunden en un mejor dimensionamiento de los recursos, aunque este modo de proceder impide la trasferencia de conocimiento y conclusiones relevantes de un caso a otro y fuerza a incurrir en costes que se podrían evitar promoviendo el uso de procedimientos hasta cierto punto estandarizados. Por otra parte, resulta evidente que el fenómeno de la asistencia a un acontecimiento, es casi por definición un escenario estocástico. A pesar de que, como indica la literatura, el conocimiento profundo de un problema puede culminar en un modelado determinista satisfactorio del mismo, la afluencia de masas responde a causas tan diversas que requiere de un enfoque aleatorio. De esto se desprende que una estimación de afluencia, al igual que un pronóstico de demanda tendrá asociado de manera inherente cierto grado de variabilidad o visto de otra manera, tendrá cierto nivel de confianza. La variabilidad supone variaciones importantes de la afluencia durante el periodo de desarrollo del evento. Además, en función de la naturaleza del evento, puede existir cierto grado de volatilidad, es decir, variaciones de la afluencia de un día a otro. El nivel de afluencia de un día puede deberse a razones muy distintas a las de los días anteriores o siguientes por lo que se puede decir que el sistema bajo estudio tiene baja memoria a corto plazo. Por el contrario, sí existe memoria a largo plazo en cierto modo ya que la afluencia diaria dependerá de alguna manera de la evolución de la misma desde el inicio del evento. Además, para un cierto evento, pueden no existir precedentes y por regla general, independientemente de si existen precedentes o no, la cantidad de información disponible suele ser limitada, tanto la referente a series temporales como a variables indicadoras. Es por todo ello por lo que la estrategia más razonable es la de tratar de captar la mayor parte de la variabilidad de la serie sin pretender obtener una estimación ilusoriamente precisa. 5 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. Estado del arte 2.3 Hasta antes de 1927, los pronósticos se elaboraban extrapolando la serie de datos en el tiempo. Fue en ese año cuando Yule desarrolló una técnica para estimar el número anual de manchas solares, de carácter autorregresivo. Este modelo de predicción pronosticaba el valor siguiente como una suma ponderada de los valores previos ya observados de la serie temporal. A partir de este momento, se comenzó a experimentar con la inclusión de un factor externo de ruido para modelar más fielmente el comportamiento de sistemas lineales. Estas investigaciones concluyeron en el desarrollo de la metodología Box-Jenkins en 1970 por parte de los estadísticos George Box y Gwilym Jenkins, también denominada metodología ARIMA. Existen, sin embargo, múltiples casos relativamente simples para los que esta última metodología resulta poco adecuada. El hecho de que ecuaciones muy simples puedan generar series temporales aparentemente complicadas, hace necesario un marco teórico más general para el análisis y predicción de series temporales. De esta forma fueron surgiendo trabajos en los que se abordaban series no estacionarias y/o no lineales, con nuevos métodos como modelos bilineales, biespectrales, de umbral, etc. Destacan los trabajos de Priestley (Series de tiempo y análisis espectral-1980) y Tong (Series de tiempo no lineales: un enfoque de sistema dinámico-1990). A partir de los años 80, el incremento en la potencia de los ordenadores permitió el estudio de series temporales mucho más largas y la aplicación de algoritmos más complejos así como la visualización mediante interfaces de parámetros significativos y resultados. Este avance tuvo lugar en paralelo al desarrollo de las técnicas de aprendizaje automático de inteligencia artificial con las redes neuronales artificiales (RNA) como máxima expresión. Las redes neuronales se inspiran en la estructura y funcionamiento de las neuronas biológicas aunque existen numerosas variantes que tienen relación con el tipo de tarea que desempeñan. Básicamente presentan la ventaja de poder prácticamente cualquier tipo de función incluso las no lineales y también permiten realizar aproximaciones de funciones por trozos. 6 3 GENERALIDADES Afluencia 3.1 Se entiende por afluencia el número de personas que accede al interior del recinto. Dicha afluencia se mide por unidad de tiempo, siendo variable en función del mismo. Su representación genérica es la de la figura 3-1: Figura 3-1. Perfil de afluencia genérico. Esta afluencia es perfectamente medible a posteriori, dado que dicha información es capturada rutinariamente en la mayoría de los eventos por sistemas de control de accesos de distinta naturaleza. Entre los sistemas de control de acceso más comunes figuran los tornos giratorios aunque, en los últimos años comienzan a dejarse ver una nueva generación de sistemas que exprimen el uso de tecnologías de reciente aparición. Algunos eventos optan por el conteo mediante RFID con arcos como elementos activos y pulseras para los visitantes. También se pueden ver sistemas integrados por cámaras y computadores con software de reconocimiento y conteo del paso. Presencia 3.2 Se entiende por presencia el número de personas que se encuentran en el interior del recinto del evento en un momento dado. La presencia también es variable en función del tiempo, pero en general no se puede medir de manera directa. Esta variable se podría obtener por diferencia entre la afluencia y los abandonos del recinto. Es la variable fundamental a tener en cuenta para dimensionar los servicios ya que de ella depende directamente la demanda de los diferentes servicios ofertados en el interior del recinto. En cuanto a los servicios para los cuales hemos de dimensionar los recursos, no hemos de limitarnos a evaluar 0 2 4 6 8 10 810 12 14 16 18 20 22 24 Perfil de afluencia afluencia 7 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. únicamente el ámbito de los servicios de carácter comercial, como pueden ser la venta de un producto, sino que hemos de englobar todo el conjunto de servicios que se pueden prestar dentro del contexto del evento concreto bajo estudio y de los cuales los visitantes pueden disfrutar de manera directa o indirecta. Además, el número de personas que se encuentren dentro de las instalaciones del recinto también será el que determine el grado de cobertura por parte de los servicios de seguridad y emergencia. Salidas 3.3 El tercer concepto, íntimamente ligado a los dos anteriores, es el de las salidas. Se entiende por salidas la medida del abandono del recinto por los presentes en él. Las salidas también son variables del tiempo y medibles, si bien no siempre de forma completa. Esto se debe a que en eventos de gran envergadura como son los mega-eventos, se dan frecuentemente situaciones de aglomeración en las que es necesario abrir momentáneamente las salidas de emergencia previstas. Existen algunos eventos en los que, por la naturaleza de las actividades que en ellos se desarrollan y/o la configuración y arquitectura de los recintos que los albergan, este tipo de aperturas pueden darse diariamente como mecanismo para evacuar grandes multitudes de los recintos o hacerlas trasladarse de un punto a otro en poco tiempo. Como, se ha señalado anteriormente, están surgiendo nuevos métodos y tecnologías de conteo la cuales, en el caso de salidas, están facilitando el conteo en salidas masivas o por puertas de emergencia. Aun así, el uso de dichas tecnologías aún no se ha generalizado por lo que se considera que pueden existir salidas no contabilizadas. La figura 3-2 refleja un perfil genérico de las salidas controladas: Figura 3-2. Perfil genérico de salidas. Esta curva es una subestimación de las salidas reales puesto que no incluye las salidas no controladas por las puertas de emergencia. Conceptualmente, si la curva de salidas reflejara todas las que se producen, controladas y descontroladas, la presencia dentro del recinto sería precisamente la diferencia entre las curvas de afluencia y de salidas acumuladas; tal como se presenta en la figura 3-3. 0 1 2 3 4 5 6 7 810 12 14 16 18 20 22 24 Perfil de salidas salidas Generalidades 8 Figura 3-3. Presencia. En la figura 3-3 se refleja una hipotética situación en la que se realizan dos aperturas de las puertas de las puertas de emergencia. La imprecisión en el conocimiento exacto de la presencia aumenta debido a las incertidumbres sobre el número, duración y caudal que abandona el recinto durante dichas aperturas. Obsérvese que hasta la primera vez que se abre alguna puerta de emergencia, las salidas registradas coinciden con las reales, por lo que las presencias calculadas son exactas hasta dicho momento. Así, si las puertas de emergencia se abriesen una sola vez al día, el conocimiento de la presencia hasta dicho instante sería fiable. Con la ventaja adicional de que, con toda probabilidad, la presencia alcanza sus valores máximos con anterioridad a la apreciable disminución de la misma que supone la salida masiva con apertura de puertas. En este caso, los niveles máximos de presencia serían perfectamente conocidos. Si este comportamiento fuera la norma, podrían registrarse los valores históricos máximos de cada día y, basándose en esta serie temporal, realizar la previsión de la presencia máxima de los siguientes días. Sin embargo, si la apertura de puertas se realiza a horas más tempranas y con mayor frecuencia, no se puede evaluar de forma tan simple la presencia máxima. En cualquier caso, es razonable suponer que las aglomeraciones de salida nocturnas serán cualitativa y cuantitativamente más importantes que las diurnas, por lo que es coherente asumir que la presencia máxima se producirá en el periodo anterior a la misma. La información sobre las salidas hasta dicho momento es razonablemente fiable y puede tomarse como base de partida para obtener la estimación de la presencia hasta dicho momento. Estando su máximo contenido en ese intervalo, también su estimación será razonablemente fiable. 9 4 COLECTIVOS DE VISITANTES Y FACTORES EXPLICATIVOS. Colectivos de visitantes 4.1 Distinguimos los diferentes colectivos de visitantes empleando como criterio para diferenciarlos el tipo de factores explicativos que actúan sobre la afluencia de los mismos. Normalmente, en este tipo de eventos, se pone a disposición de los visitantes distintas fórmulas de pases o entradas que tratan de adaptarse a las necesidades de estos potenciales visitantes. Por otra parte, los eventos de esta naturaleza como los juegos olímpicos o las exposiciones universales, tienen una duración del orden de entre algunas semanas e incluso algunos meses. Es por ello por lo que una primera fórmula de pase que se suele ofrecer es el pase de temporada el cual permite que la afluencia frecuente al recinto o recintos en que se celebra el evento con escasas o en ausencia de restricciones ni limitaciones de calendario u horarias. Este formato de pase da lugar a un primer colectivo que no es otro que el de los poseedores de dichos pases de temporada, casi todos ellos residentes o ligados al ámbito geográfico local. Para este colectivo, la decisión de asistir al recinto o recintos puede ser improvisada, sin estar condicionada por la duración esperada de la visita. De la misma forma, la libre disponibilidad de acceso durante todo el periodo en que tiene lugar el evento, hace suponer que este colectivo tendrá un alto índice de accesos en el mismo día (en relación a otros colectivos. Dado el elevado grado de libertad y discrecionalidad de las visitas de los miembros de este grupo, no parece conveniente pretender identificar un número reducido de factores explicativos de su afluencia. En su lugar, un modelo de extrapolación basado en el comportamiento histórico del mismo considera todas las concausas de forma implícita a la hora de prever la afluencia futura. La información que requiere este tipo de modelo suele ser fácilmente accesible debido a que este colectivo de poseedores de pases de temporada está completamente identificado como tal, ya que los pases de temporada en gran parte de los casos tiene un formato nominativo, pudiéndose registrar todos sus accesos al recinto. Otro formato ampliamente aceptado de pase es la entrada que puede ser diaria, o de mañana o de tarde exclusivamente. Esto da lugar a otro colectivo complementario que es el de los visitantes que adquieren sus entradas. Dentro de él conviene distinguir distintos subgrupos. En primer lugar, los residentes en el área o áreas en que el evento tiene lugar. Éste se trata de un grupo bastante heterogéneo para el cual es aventurado seleccionar factores que permitan prever con antelación su afluencia en un día concreto. Además, es de esperar que este colectivo tenga un peso específico apreciable sobre la afluencia debido a la concentración de sus visitas en un número reducido de días tales como fines de semana, días de fiesta y fechas especiales (días de precios reducidos, etc. ). De hecho, es posible que este colectivo sea el que convierta algunas fechas en días punta. Los componentes de este grupo, con gran comodidad de acceso por ser residentes en el área en que tiene lugar el evento, no han previsto una asistencia frecuente (esto se desprende de que no han obtenido el pase de temporada), ya sea por un menor interés en el evento o porque sus recursos económicos no se lo permiten. Es de suponer que serán proclives a una permanencia prolongada en el recinto en los días que acudan, y a emplear días de puertas abiertas o de precio reducido para sus visitas. En segundo lugar, nos encontramos con el subgrupo de los no residentes en el área en que se desarrolla el evento. Este colectivo se podría catalogar como turistas, tanto nacionales como extranjeros. A su vez, se darán dos circunstancias distintas: pueden pernoctar en el área en que tiene lugar el evento o bien en zonas más alejadas desde las que se desplazan en ambos sentidos en el mismo día, ya sea mediante transportes colectivos o con vehículo particular. Colectivos de visitantes y factores explicativos 10 Para los turistas que pernoctan existen indicadores que permiten evaluar con cierta antelación el número de personas que lo componen, debido a que la inmensa mayoría de ellos realizarán reserva de alojamiento. Sin embargo, estos indicadores tienen una relación explicativa parcial ya que una pernocta en el área del evento puede estar asociada a una visita al evento ese mismo día o posiblemente el día siguiente o puede no estar relacionada con la asistencia al evento, no existiendo en la mayoría de los casos medio práctico de discriminar entre dichos comportamientos. En cuanto a los turistas que no pernoctan, han de desplazarse a la zona del evento y abandonarla en el mismo día. En la medida en que utilicen medios colectivos de transporte, también se puede disponer de indicadores que reflejen estos comportamientos, permitiendo dimensionar el tamaño de este grupo. Dichos indicadores están asociados a las reservas de transportes regulares (ferroviario, aéreo, líneas de autobuses interurbanos) y a los medios fletados por viajes organizados por agencias y operadores turísticos (autobuses y vuelos chárter). Hay que tener en cuenta que estos indicadores reflejan tanto los desplazamientos realizados por los turistas que no pernoctan como los desplazamientos de los que sí lo hacen. En el esquema a continuación se clasifican los distintos colectivos de visitantes: Figura 4-1. Clasificación de los visitantes. Las consideraciones realizadas sobre los colectivos que accederán al recinto son muy relevantes aunque hay que tener en cuenta que son meramente conceptuales, ya que el control de accesos no tiene posibilidad de distinguir entre los diferentes subgrupos dentro de las visitas realizadas mediante entradas. Ello hace imposible validar los modelos que intentarán prever la afluencia de cada uno de los subgrupos por separado. Así pues habrán de construirse modelos que prevean la afluencia global, teniendo simultáneamente en cuenta todos los elementos considerados. Por último, conviene tener en cuenta que el análisis de los colectivos que se ha realizado está basado en los tipos de pases que dan entrada al recinto a los visitantes y que por tanto es de carácter genérico, por lo que, a la hora de evaluar el caso de un evento concreto, será conveniente particularizar dicho análisis. Factores explicativos 4.2 La comprensión y análisis de los colectivos que componen el público objetivo de un mega-evento es crucial para una elección acertada de los métodos de previsión de afluencia y una construcción fidedigna de los modelos. Adicionalmente, intervendrán otros factores que puedan ayudar a explicar la afluencia al recinto en días concretos. Para ser incluidos en los modelos, los factores han de poseer las siguientes características:  Que sean medibles con la antelación que se le solicita al modelo de previsión.  Que estén correlacionados (positiva o negativamente) con la afluencia al recinto. Dicha correlación reflejará su influencia sobre alguno de los colectivos considerados.  Que los datos sobre estos factores puedan ser obtenidos en tiempo y forma. Este aspecto puede exigir Visitantes Pases de temporada Entradas Residentes No residentes Pernoctan No pernoctan 11 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. la colaboración de agentes externos. En resumen, se requiere identificar todos los factores objetivos que influyan sobre una parte de la población para su acceso al recinto, que sean medibles y que se pueda contar con datos sobre ellos de forma económica, fiable y a tiempo. Mediante el término indicador nos referimos a los factores medibles que se escojan para ser incluidos en los modelos explicativos con la finalidad de poder prever la afluencia (y sus variaciones) al recinto de los colectivos con los que estén relacionados. Podemos encontrar útiles indicadores relacionados con la población flotante presente en el área del evento en las fechas en las que tiene lugar el evento. También pueden resultar interesantes los indicadores que miden las variaciones de la misma. Por otra parte, como hemos señalado anteriormente, otro indicador de referencia es el número de plazas reservadas para las dos noches (la anterior y la propia) asociadas al día en cuestión. Más relacionado con el flujo de personas, podemos tomar como variable indicadora el incremento neto de llegadas y salidas en tren. Para ello sería deseable conocer el número de plazas reservadas en cada uno de los trenes con origen y destino al área en que se realiza el evento. La hora de llegada (salida) a (de) dicho área es especialmente relevante en este caso estableciéndose el balance de las llegadas menos las salidas para representar el indicador del incremento de población flotante producido desde la mañana del día anterior hasta la mañana del día en cuestión. Este indicador es incremental, recogiendo las variaciones en la afluencia que puedan manifestarse como relacionadas con estos desplazamientos. Como variable análoga a la anterior, podemos tomar los vuelos regulares así como los autobuses regulares. Ambos indicadores serán de carácter incremental. Es importante señalar que para hacer uso de alguno de estos datos como variables indicadoras, no es necesario conocer la totalidad de las informaciones referentes a dicho indicador, es suficiente con disponer de un conjunto representativo de datos para poder usar dicha información en los modelos explicativos. Por ejemplo, no es necesario disponer de los datos de ocupación de todos los hoteles que se encuentren en el área y alrededores del evento. Podría ser suficiente con conocer los ratios de ocupación de una porción de dichos hoteles. Bien es cierto que cuanto más completa y fiable sea la información, mejores resultados proporcionará el modelo. Además de las líneas regulares de tren, avión y autobús, podríamos tener en cuenta los vuelos y autobuses chárter fletados especialmente para la celebración del evento. Existen indicadores de otro tipo que pueden ser calificados como indicadores de atracción y que incluyen factores medibles que reflejan una mayor intensidad del interés de la opinión pública por los actos (culturales, lúdicos, deportivos, políticos, etc.) que se celebran durante las fechas en que tiene lugar el evento con motivo o coincidentes con la celebración del evento. Estas señales indicadoras, aunque casi siempre intuitivas, son en algunos casos difíciles de incluir de forma directa en los modelos. En todo caso, podría considerarse que están ya recogidas de forma indirecta a través de los indicadores de población descritos en el apartado anterior. Los medios de prensa se acreditarán, por regla general, durante todo el periodo en que tenga lugar el evento, aunque la concentración de su presencia en un momento dado estará correlacionada con la ocurrencia de eventos singularmente atractivos para el público en general. Dichos eventos inducirán, a su vez, una mayor afluencia al recinto. Para medir con suficiente antelación y fiabilidad dicha concentración de medios de prensa se propone utilizar la reserva de las instalaciones y equipos que el centro de prensa de la organización del mega-evento, pone a disposición de los mismos. Con el mismo objetivo, podría considerarse la cobertura televisiva de eventos singulares. Una medida simple de este factor es el número de cadenas que tienen contratada la retransmisión de actos para el día de interés. Por otro lado, cada día más, la relevancia de las redes sociales se hace manifiestamente palpable. Esta nueva 18 6 MÉTODOS DE PREVISIÓN Clasifiación de métodos 6.1 Aunque en este proyecto nos limitaremos a evaluar los modelos más convenientes para la predicción de la afluencia, en la literatura especializada en previsión de la demanda se pueden encontrar múltiples enfoques que se clasifican a continuación: Figura 6-1. Clasificación de métodos de previsión. En el caso de la estimación de la afluencia, el horizonte de evaluación más relevante es el de medio plazo. Como se ha indicado anteriormente, este pronóstico a medio plazo es el que permite una toma de decisiones estratégicas con plazo suficiente para el aprovisionamiento y el reclutamiento de personal adecuado. Aun así, pueden darse casos en los que resulte conveniente una previsión más a corto plazo, por ejemplo de un día para el siguiente, que puede permitir, en ciertas situaciones, dar suficiente información como para tomar naturaleza cualitativa método delphi formulación de escenarios investigación de mercado cuantitativa inteligencia artificial redes neuronales artificiales sistemas expertos lógica difusa redes bayesianas estadísticas regresión simple múltiple series de tiempo descomposición ARIMA promedios móviles ajuste exponencial distribución de probabilidad 19 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. decisiones de carácter operativo inmediato. Métodos cualitativos 6.2 En muchas ocasiones, carecemos de datos históricos, o los datos disponibles no parecen relevantes o extrapolables al objeto investigado. En estas circunstancias, no tendrá sentido abordar la previsión mediante métodos matemáticos, pero existen métodos no cuantitativos que, usados individualmente o en conjunción con algún otro, pueden proporcionar estimaciones de cierto nivel de confianza. Puede recurrirse a técnicas no cuantitativas flexibles, multipropósito incluso, adaptables a una gran variedad de problemas, y por ende hábiles también para establecer estimaciones de afluencia. Estos métodos de carácter cualitativo son los que se describen a continuación. 6.2.1 Método Delphi. El método Delphi es una técnica de comunicación estructurada, locamente desarrollado como un método de predicción sistemático interactivo, que se basa en un panel de expertos. Su objetivo es la obtención de un consenso basado en la discusión entre expertos. Se trata de un proceso repetitivo. Su funcionamiento se basa en la elaboración de un cuestionario que ha de ser contestado por los expertos. Una vez recibida la información, se vuelve a realizar otro cuestionario basado en el anterior para ser contestado de nuevo. Finalmente el responsable del estudio elaborará sus conclusiones a partir de la explotación estadística de los datos obtenidos. La metodología de previsión Delphi utiliza juicios de expertos en tecnología o fenómenos sociales considerando las respuestas a un cuestionario para examinar las tendencias de las variables que se desean estimar. El resumen de los juicios de los expertos que pueden tomar la forma de evaluaciones cuantitativas y/o comentarios escritos es provisto como retroalimentación a los mismos expertos como partes de una ronda siguiente de cuestionario. A continuación, los expertos reevalúan sus opiniones a la luz de esta información, y un consenso de grupo tiende a emerger. 6.2.2 Investigación de mercado. En el caso de la Investigación de Mercados, se trata de un método en que se manejan plazos de análisis amplios dado que los resultados se orientan generalmente a aspectos relacionados con la planificación estratégica. Normalmente, es una opción recomendable si estamos tratando de obtener información acerca del potencial mercado del que podría gozar un producto de nueva implantación. Por ejemplo, una vez decidida la localización geográfica de un evento de gran envergadura, se podría optar por sondear los intereses de la gente de la zona con el objetivo de atraer la mayor cantidad de público posible. También, en el caso de la gestión de mega-eventos, puede ser útil para orientar la imagen corporativa, o conocer percepción de los visitantes acerca de los servicios prestados. Distintos autores proponen diferentes las clasificaciones de los estudios de mercado aunque de manera horizonte de tiempo corto plazo medio plazo largo plazo Figura 6-2. Horizontes temporales. Métodos de previsión 20 general se coincide en la siguiente agrupación:  Investigación exploratoria: resulta apropiada para las primeras etapas del proceso de toma de decisiones. Esta investigación se diseña con el objeto de obtener una investigación preliminar de la situación, con un gasto mínimo en dinero y tiempo. Se caracteriza por su flexibilidad para que sea sensible a lo inesperado y para descubrir ideas que no se habían reconocido previamente. El objetivo es ampliar el campo de las alternativas identificadas y suele basarse en fuentes secundarias como estadísticas, publicaciones, entrevistas con expertos y entrevistas cualitativas.  Investigación descriptiva o concluyente: Suministra información que ayuda a los organizadores a evaluar y seleccionar la línea de acción. El diseño de la investigación se caracteriza por procedimientos formales. Esto comprende necesidades definidas de objetivos e información relacionados con la investigación. Algunos de los posibles enfoques de investigación incluyen encuesta, experimentos, observaciones y simulación. Este tipo de investigaciones es el que permite realizar estimaciones de afluencia.  Investigación causal o de desempeño: Es el elemento esencial para controlar la calidad de los servicios prestados, en concordancia con lo planificado. Una desviación del plan puede producir una mala ejecución del programa y/o cambios no previstos en los factores de influencia. Establece relaciones entre causa y efecto. Habitualmente trata de encontrar relaciones entre la afluencia (efecto) y las causas. 6.2.3 Formulación de escenarios. Un escenario es un punto de vista consistente de lo que podría ser el futuro, y en el caso de la celebración de un evento multitudinario, la entidad organizadora debe explorar sistemáticamente las posibles consecuencias de la incertidumbre para su elección de estrategias. Construir escenarios es un proceso que requiere de varias iteraciones en las que se analizan variables que se considerarán constantes que son parte de todos los escenarios, y variables inciertas, que son las que definen los diferentes escenarios. Estas variables inciertas a su vez, pueden ser independientes, cuando poseen una estructura propia autónoma de otros elementos, o dependientes, cuando son determinadas, total o parcialmente, por incertidumbres. Las incertidumbres independientes conforman las llamadas variables de escenario y sobre estas variables, precisamente, se basa la construcción de los mismos. Los escenarios son situaciones que no han sucedido todavía pero que tienen una cierta probabilidad de ocurrencia. Y como no es imposible que ocurran, la organización, debe estar preparada para ello. La formulación de escenarios se realiza en tres etapas:  Etapa 1: Preparación: se analiza la situación actual y se definen los objetivos.  Etapa 2: Desarrollo: se desarrollan los escenarios a partir de la opinión de los expertos que proyectan en cada uno de ellos la tendencia de ciertas dimensiones clave que influirán sobre el resultado.  Etapa 3: Presentación: uso del estudio. Métodos cuantitativos. Regresión 6.3 Los métodos de regresión no son más que una función matemática que intenta modelar y ajustarse a la variable cuyos valores se desea pronosticar basándose en su relación con uno o más variables indicadores de interés. 6.3.1 Regresión simple. En el método de regresión simple se tiene una variable independiente y una dependiente, de tal forma que se hace uso del conocimiento que se tiene acerca de la variable independiente para pronosticar los valores de la variable dependiente. Para la regresión habrá que tener en cuenta el método de los mínimos cuadrados ordinarios (MCO). 21 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. Este método consiste en proporcionar estimadores de los parámetros que minimicen la suma de los cuadrados de los errores cometidos en el pronóstico. El proceso consiste en construir una función objetivo a partir de la suma de los cuadrados de los errores y mediante optimización (condiciones de primer orden -vector gradiente- y de segundo orden –matriz hessiana-) obtener las fórmulas de cálculo de los estimadores. Debido a que la función de regresión poblacional no se puede observar directamente, los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios se efectúan a partir de la función de regresión de la muestra. Las propiedades de los estimadores por mínimos cuadrados ordinarios son las siguientes:  Linealidad: La relación entre el estimador y el verdadero valor del parámetro es lineal. β=β+𝑘𝑒 6-1  Insesgadez: La esperanza del estimador coincide con el verdadero valor del parámetro. E|β|=β 6-2  Optimalidad: La desviación entre el valor real del parámetro estimado y el valor del estimador será la menor posible. Las tres propiedades anteriores se condensan en la expresión ELIO (estimadores lineales insesgados y óptimos. Los estimadores MCO son ELIO.  Consistencia: La diferencia entre el valor estimado del parámetro y el real se anula para una muestra con un número de individuos tendiente a infinito. limn→∞β=β 6-3 Regresión lineal. La recta es la relación geométrica más sencilla para relacionar una variable dependiente con una independiente. El método de regresión lineal consiste en encontrar la ecuación de la recta que mejor se ajuste al conjunto de puntos de datos (x,y). Para ello, calcula la suma de las distancias al cuadrado entre los puntos de la muestra y los puntos definidos por la recta estimada a partir de las variables introducidas en el modelo, siendo la mejor estimación la que minimice dichas distancias. La recta resultante se denomina recta de regresión. La ecuación que describe esta recta es la siguiente: 𝑦=𝑏0+𝑏𝑥+𝑒 6-4 Teniendo en cuenta que:  𝑏0 , es la intersección de la recta eje y cuando 𝑥=0.  𝑏, es pendiente de la recta.  e, es la diferencia entre el valor real y el valor estimado. El método empleado para determinar los valores de 𝑏0 𝑦 𝑏 es el método de mínimos cuadrados. El cálculo de estos coeficientes se realiza de la siguiente forma: 𝑦𝑖=𝑏0+𝑏𝑥𝑖+𝑒𝑖 6-5 𝑦𝑖=𝑦𝑖+𝑒𝑖 6-6 La suma del cuadrado de los errores puede expresarse como sigue: 𝐸=∑(𝑦𝑖−𝑏0−𝑏𝑥𝑖)2 6-7 Derivándose la expresión con respecto a 𝑏0 y 𝑏 e igualando a cero respectivamente, se resuelven las ecuaciones y se encuentran los estimadores de los parámetros de la regresión: 𝑏=𝑛(∑𝑥𝑖𝑦𝑖)−(∑𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 (∑𝑦𝑖) 𝑛 𝑖=1 𝑛(∑𝑥𝑖2) 𝑛 𝑖=1 −(∑𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=1 2 6-8 𝑏0=(∑𝑌𝑖) 𝑛 𝑖=1 −(∑𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=1 𝑛 6-9 En la siguiente figura se representa una recta de regresión genérica: Métodos de previsión 22 Figura 6-3. Regresión lineal. Además de a una recta, podemos ajustar un conjunto de datos de una muestra a distintos tipos de funciones. De entre las funciones más comunes usadas para la regresión, podemos destacar la exponencial, polinomial, potencial, logarítmica, logística y gomperz, las cuales se describen a continuación. Regresión Exponencial. Este tipo de regresión tiene como ecuación característica la siguiente: 𝑦=𝑎∗𝑒𝑏𝑥 6-9 Esta expresión no es lineal pero es linealizable tomando logaritmos obteniéndose como resultado ln𝑦 como una función lineal de x. 𝑦′=𝑎′+𝑏𝑥, ecuación linealizada. 6-10 Teniendo en cuenta que: ln𝑦=𝑦′ ln𝑎=𝑎 6-11 Figura 6-4. Regresión exponencial. Regresión polinomial. Este tipo de regresión viene dada por la siguiente expresión: 𝑦𝑖=𝑏0+𝑏1𝑥+𝑏2𝑥2+⋯+𝑏𝑚𝑥𝑚=∑𝑏𝑖𝑥𝑖 𝑛 𝑖=0 6-12 -2 0 2 4 6 8 10 0246810 regresión lineal 0 100 200 300 400 500 0123456 regresión exponencial 23 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. Figura 6-5. Regresión polinomial. Teniendo una relación de grado m entre la variable independiente x y la dependiente y. Para el ajuste polinomial se procede a determinar los coeficientes 𝑏0,𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑚. Para ello se parte de que: 𝐸=∑(𝑦𝑖−𝑦𝑖)2 𝑛 𝑖=1 6-13 𝐸=∑(𝑦𝑖−𝑏0−𝑏1𝑥−𝑏2𝑥2−⋯−𝑏𝑚𝑥𝑚)2 𝑛 𝑖=1 6-14 𝜕𝐸 𝜕𝑏𝑖=0 6-15 Resultando m+1 ecuaciones con m+1 incógnitas las cuales pueden ser resueltas por cualquier método para ecuaciones algebraicas lineales para obtener los coeficientes 𝑏0,𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑚. Por otra parte el error de regresión viene dado por la expresión: 𝐸𝑦𝑥 ⁄=√𝐸 𝑛−(𝑚+1) 6-16 Regresión Potencial. La expresión correspondiente es la siguiente: 𝑦=𝑎∗𝑥𝑏 6-17 Figura 6-6. Regresión potencial. Tomando logaritmos y aplicando las propiedades se obtiene: 𝑙𝑜𝑔𝑦=𝑏∗𝑙𝑜𝑔𝑥+𝑙𝑜𝑔𝑎 6-18 que se puede expresar como: -5 0 5 10 15 20 0246810 regresión polinomial 0 50 100 150 200 250 300 0 2 4 6 8 regresión potencial Métodos de previsión 24 𝐴=𝑏∗𝑥+𝑙𝑜𝑔𝑎 6-19 Siendo b la pendiente de la recta, A el pronóstico de afluencia y x la curva de afluencia tipificada. Regresión Logarítmica. La relación logarítmica entre la variable dependiente y la independiente viene dada por la siguiente expresión: 𝑦=𝑏+𝑎ln𝑥 6-20 Regresión Logística. El modelo de crecimiento logístico es una función exponencial en la que el crecimiento de la variable dependiente está limitado. El modelo de crecimiento logístico de la variable y con respecto al tiempo obedece la siguiente ecuación: 𝑦(𝑡)=𝑐 1+𝑎𝑒−𝑏𝑡 6-21 Siendo a, b y c constantes y b y c no negativas. Se cumple que lim𝑡→∞𝑦(𝑡)=𝑐 6-22 Figura 6-7. Regresión logística. Regresión Gompertz. Este tipo de regresión se utiliza para estudiar el comportamiento de crecimiento de poblaciones. De entre las distintas formulaciones que tiene la curva de Gompertz la más sencilla es: 𝑦(𝑡)=𝑒𝑎−𝑏𝑒𝑐𝑡 6-23 Donde a y b son no negativos y 0<𝑐<1 Para 𝑥=0 entonces 𝑦=𝑒𝑎−𝑏 que supone el valor umbral. Las curvas logística y Gompertz se caracterizan por su forma de S y presentan un punto de inflexión en el que la curva cambia su forma cóncava por la convexa. Estas dos curvas tienen un patrón de crecimiento similar, siendo la principal diferencia entre ellas reside la localización del punto de inflexión: las curvas Gompertz alcanzan este punto en la primera parte del ciclo de crecimiento mientras que la curva logística alcanza ese punto en la mitad del ciclo. -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 3 4 5 6 25 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. 6.3.2 Regresión múltiple. Como se ha mencionado anteriormente, el pronóstico de la afluencia considera no solo valores observados de afluencia durante un periodo de tiempo, sino también los factores que influyen en la variación de dicha afluencia. El método de regresión múltiple permite, por lo tanto, agregar la consideración de los factores ambientales que tienen influencia sobre la variable a estimar: la afluencia en este caso. Este método presenta como variable independiente al tiempo, y determina la afluencia futura extrapolando la tendencia presente en la información pasada. El modelo de regresión lineal empleado viene dado por la siguiente expresión: 𝑦𝑡=𝐵0+𝐵1𝑥𝑡1+𝐵2𝑥𝑡2+⋯+𝐵𝑛𝑥𝑡𝑛+𝑒𝑡 6-24 Teniendo en cuenta que:  𝑦𝑡= afluencia pronosticada en el período t  𝑥𝑡𝑖= factores que influyen a la afluencia  𝑒= todos los factores no considerados por las variables independientes  𝐵0 y 𝐵𝑖= parámetros desconocidos Tendremos en cuenta las siguientes hipótesis de partida:  𝐸(𝑒𝑖|𝑥𝑖)=0, el valor esperado de error para cualquier observación es cero.  𝐶𝑜𝑣(𝑒𝑖,𝑒𝑗)=0, los errores son independientes y por lo tanto no están correlacionados.  𝑉𝑎𝑟(𝑒𝑖|𝑥𝑖)=𝜎2, la varianza de los errores es constante.  𝐶𝑜𝑣(𝑒𝑖,𝑥𝑗)=0, errores no están correlacionados con la variable indicadora x.  𝑒𝑖~𝑁(0,𝜎2), los errores se distribuyen según una normal. Con el fin de ajustar los valores de los parámetros 𝐵0,𝐵1,…,𝐵𝑃 se partirá de la muestra de datos disponible aplicando el método de los mínimos cuadrados para la estimación. De esta manera se obtiene: 𝐵0=𝑦−𝐵𝑖𝑥 6-25 𝐵𝑖=𝐶𝑜𝑣 (𝑥,𝑦) 𝑉𝑎𝑟 (𝑥) 6-26 Un intervalo de confianza para el parámetro 𝐵𝑖, viene dado por la siguiente expresión: 𝑃[𝐵𝑖−𝑡∝ 2 ⁄𝑠𝑒(𝐵𝑖)≤𝐵𝑖≤𝐵𝑖+𝑡∝ 2 ⁄𝑠𝑒(𝐵𝑖)]=1−∝ 6-27 Teniendo en cuenta que 1-α es el nivel de confianza del intervalo y 𝑠𝑒(𝐵𝑖) es el error estándar de 𝐵𝑖. 𝑠𝑒(𝐵𝑖)=𝜎 √𝑛∑(𝑥𝑖−𝑥)2 𝑛 𝑖=1 6-28 6.3.3 Pruebas de significación estadística. Son útiles para evaluar el nivel de confianza de la ecuación de regresión. A continuación se describen las pruebas más comunes. Métodos de previsión 26 Coeficiente de determinación 𝑹𝟐. Mide el ratio de cambio de una variable dependiente con respecto a la variación de las variables independientes, a través de un modelo de regresión lineal múltiple. Cuanto más cercano a uno sea el valor de 𝑅2, mejor será el ajuste. El coeficiente de determinación se calcula de la siguiente manera: 𝑅2=∑(𝑦𝑖−𝑦)2 𝑛 𝑖=1 ∑(𝑦𝑖−𝑦)2 𝑛 𝑖=1 6-29 Teniendo en cuenta que:  𝑦𝑖= valor real observado  𝑦= media  𝑦𝑖= valor estimado Para aceptar un ajuste, se tiene que dar que 𝑅2≥0.8, siendo en este caso, un ajuste aceptable. Si varias funciones cumplen esta condición se elige la tenga un coeficiente de determinación más cercano a 1. Coeficiente de correlación R de Pearson. El coeficiente de correlación da una medida de la relación entre dos variables aleatorias. Puede ser interpretado como el ratio de variación entre la variable dependiente, y, y la variación de la variable independiente, x. El valor está entre -1 y +1, tomando el mismo signo que la pendiente. Si los valores se acercan a 1 (positivo o negativo) se podrá decir que la correlación es más fuerte, teniendo una relación directa en el caso positivo o inversamente proporcional si se acerca a -1. Si el valor del coeficiente de correlación es cero no existe una relación lineal entre las variables. El coeficiente se obtiene a partir de la raíz cuadrada del coeficiente de determinación (𝑹𝟐): 𝑅=√𝑅2 6-30 Prueba F de Fisher. Es una prueba de la significancia estadística de la regresión. En el modelo de regresión múltiple prueba la significancia conjunta de las variables independientes. Las hipótesis del test F son: 𝐻0:𝐵𝑖=0 ∀𝑖 6-31 𝐻1:𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐵𝑖≠0 6-32 El test F no prueba la significancia de 𝐵0. 𝐹=𝐶𝑀𝑅 𝐶𝑀𝐸 6-33 𝐶𝑀𝑅=∑(𝑦𝑖−𝑦)2 𝑛 𝑖=1 𝑝 6-34 𝐶𝑀𝐸=∑(𝑦𝑖−𝑦𝑖)2 𝑛 𝑖=1 𝑛−𝑝−1 6-35 Teniendo en cuenta que:  CMR= cuadrado medio debido a la regresión  CME= cuadrado medio debido al error  n= número de variables independientes  p= grados de libertad 27 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. Si el F calculado es mayor o igual que el F de las tablas (𝐹𝛼), entonces se rechaza la hipótesis 𝐻0.𝐹∝ pertenece a la distribución F (tablas) con p grados de libertad en el numerador y (n-p-1) grados de libertad en el denominador. T de student. Si la prueba de Fisher indica que la relación de la regresión múltiple es significativa, la prueba t de student se utiliza para determinar la significancia de cada uno de las variables. El valor de t se calcula efectuando el cociente entre el coeficiente estimado y el error estándar correspondiente: 𝐻0:𝐵𝑖=0 ∀𝑖 6-36 𝐻1:𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐵𝑖≠0 6-37 𝑡= 𝐵𝑖 𝑠𝑒𝐵𝑖 6-38 𝑠𝑒𝐵𝑖=estimación del erro estándar de 𝐵𝑖 Se rechaza la hipótesis nula 𝐻0 si 𝑡≥−𝑡∝2 ⁄ o si 𝑡≥𝑡∝2 ⁄ teniendo en cuenta que 𝑡∝2 ⁄ pertenece a la distribución t con (n-p-1) grados de libertad. Es importante notar que para todas las pruebas se puede efectuar un análisis alternativo al específico de cada prueba a partir del intervalo de confianza. De esta forma si el valor de p resulta ser menor a α, se rechaza la hipótesis 𝐻0. 𝐻0:𝐵𝑖=0 ∀𝑖 𝐻1:𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐵𝑖≠0 𝑡= 𝐵𝑖 𝑠𝑒𝐵𝑖 𝑠𝑒𝐵𝑖=estimación del erro estándar de 𝐵𝑖 Se rechaza la hipótesis nula 𝐻0 si 𝑡≥−𝑡∝2 ⁄ o si 𝑡≥𝑡∝2 ⁄ teniendo en cuenta que 𝑡∝2 ⁄ pertenece a la distribución t con (n-p-1) grados de libertad. Es importante notar que para todas las pruebas se puede efectuar un análisis alternativo al específico de cada prueba a partir del intervalo de confianza. De esta forma si el valor de p resulta ser menor a α, se rechaza la hipótesis 𝐻0. A continuación se representa mediante un diagrama de flujo la manera de proceder para efectuar previsiones mediante los métodos de regresión descritos en apartados anteriores. Métodos de previsión 34 𝑃𝑡=𝛽(𝑆𝑡−𝑆𝑡−1)+(1−𝛽)𝑃𝑡−1 6-55 Para la estimación del factor estacional: 𝐹𝑡=𝛾𝑦𝑡 𝑆𝑡+(1−𝛾)𝐹𝑡−𝐿 6-56 Para la normalización de los factores estacionales: 𝐹𝑡=𝐿 𝐹𝑡 ∑𝐹𝑡 𝐿 𝑡=1 𝑡=𝑛𝐿+1,𝑛𝐿+2,…,(𝑛+1)𝐿 6-57 Para la previsión en el periodo t+ 𝜏 𝑦𝑡+𝜏=(𝑆𝑡+ 𝜏𝑃𝑡) 𝐹𝑡−𝐿+𝜏 6-58 Teniendo en cuenta que:  𝑆𝑡= nuevo valor de la ordenada  ∝= constante de alisamiento de los datos  𝑦𝑡= nuevo valor real de la serie, en el periodo t  𝛽 = constante de alisamiento para la pendiente  𝑃𝑡= estimación de la pendiente  𝛾 = constante de alisamiento de la estacionalidad  𝐹𝑡= estimación de la estacionalidad normalizada  𝐹𝑡= factor de estacionalidad  𝜏 = periodos entre el instante t y el periodo para el que se desea la previsión  𝑦𝑡+𝜏= previsión para el periodo 𝑡+𝜏  L= longitud de la estacionalidad El proceso de inicialización requiere la estimación inicial de los siguientes parámetros: las tres constantes de alisamiento, la componente permanente (ordenada) y la pendiente iniciales así como los factores estacionales para cada uno de los periodos que componen la estación. A continuación se representa mediante un diagrama de flujo la manera de proceder para efectuar previsiones mediante los métodos de ajuste simple, Holt y Winters para series temporales. 35 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. Tipo de ajuste Estimación α Estimación α y β Valores de pendiente y ordenada Valores alisados Calculo coeficiente 𝑅2 Error de ajuste Adecuado Pronóstico Evaluación Ajuste adecuado Pronóstico Evaluación Ajuste adecuado Adecuado FIN Muestra de datos Calculo coeficiente 𝑅2 Error de ajuste Ajuste adecuado Pronóstico Evaluación Adecuado Estimación α, β y 𝛾 Valores de pendiente estacionalidad y ordenada Calculo coeficiente 𝑅2 Error de ajuste Simple Holt Winters Métodos de previsión 36 6.4.4 Modelos AR, MA Y ARMA para series de tiempo. Modelos auto-regresivos Se dice de un modelo que es auto-regresivo si el valor de la variable a prever en un instante determinado de tiempo puede ser explicado por los valores en los instantes anteriores más un término de error. Los modelos ARIMA son modelos lineales, y pueden venir dados por la expresión lineal siguiente, en la que los factores 𝛷 representan los coeficientes del modelo, p el orden y et el término de error para el instante t. 𝑥𝑡=𝛷0+𝛷1𝑥𝑡−1+𝛷2𝑥𝑡−2+⋯+𝛷𝑝𝑥𝑡−𝑝+𝑒𝑡 6-59 Más concretamente el modelo representado por la ecuación anterior quedaría definido como un modelo AR(p), es decir un modelo auto-regresivo de orden p. La ecuación anterior puede escribirse de forma abreviada como indica la ecuación siguiente, en la que 𝛷𝑝(B) se conoce como el operador polinomial de retardos. 𝛷𝑝(𝐵) 𝑥𝑡=𝛷0+𝑒𝑡 6-60 𝛷𝑝(𝐵)=1−𝛷1𝐵−𝛷2𝐵2−⋯−𝛷𝑝𝐵𝑝 6-61 El operador retardo, B, aplicado al valor de una variable xt, determina el valor de dicha variable un periodo antes, aplicando p veces B a la variable xt se obtiene el valor de dicha variable p periodos antes, como se muestra a continuación: 𝐵𝑥𝑡=𝑥𝑡−1 6-62 𝐵𝑝𝑥𝑡=𝑥𝑡−𝑝 6-63 En el modelo auto-regresivo más simple, el AR(1), existe un límite superior para el primer coeficiente 𝛷1 llamado el límite de estacionareidad, de tal forma que se debe cumplir la condición que aparece a continuación para que la serie temporal representada por el modelo AR(1) sea estacionaria. |𝛷1|<1 6-64 En cuanto al término de error, et, corresponde a lo que se conoce como un “ruido blanco”, esto es, presenta, una media nula, una varianza constante y una covarianza nula entre errores de instantes diferentes. El valor de la previsión de un modelo AR(p) viene dado por la expresión siguiente en la que 𝑥𝑡 representa el valor de predicción para la variable x en el periodo t. 𝑥𝑡=𝛷0+𝛷1𝑥𝑡−1+𝛷2𝑥𝑡−2+⋯+𝛷𝑝𝑥𝑡−𝑝 6-65 Los coeficientes del modelo pueden calcularse por el método de mínimos cuadrados cumpliéndose que el número de observaciones de la serie temporal sea superior al doble del número de coeficientes a determinar. Modelos de media móvil. En un modelo de media móvil el valor de la variable para un instante t es función de un término independiente y de una sucesión ponderada de errores correspondientes a los instantes que preceden a t. Estos modelos se denotan por las siglas MA, seguidos del orden entre paréntesis. Así, un modelo con q términos de error, MA(q), puede venir dado por la expresión que se presenta a continuación, en la que et-k representa el error para la variable x en el instante t-k y μ una constante numérica. 𝑥𝑡=𝜇−𝜃1𝑒𝑡−1−𝜃2𝑒𝑡−2−⋯−𝜃𝑘𝑒𝑡−𝑘−⋯−𝜃𝑞𝑒𝑡−𝑞+𝑒𝑡 6-66 Al igual que en los modelos auto-regresivos, se puede utilizar la expresión que incluye el operador de retardo y de esta forma, el valor del operador polinomial de retardos viene dado por la siguiente ecuación: 37 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. 𝑥𝑡=𝜃𝑞(𝐵)𝑒𝑡+𝜇 6-67 𝜃𝑞(𝐵)=1−𝜃1𝐵−𝜃2𝐵2−⋯−𝜃𝑞𝐵𝑞 6-68 Modelos ARMA. La combinación de los modelos auto-regresivo y de media móvil da lugar al modelo conocido como ARMA (auto-regresivo y de media móvil). Si combinamos las ecuaciones que definen los modelos AR(p) y MA(q), obtendremos la expresión del modelo ARMA(p, q), tal como expresa la siguiente ecuación: 𝑥𝑡=𝛷0+𝛷1𝑥𝑡−1+𝛷2𝑥𝑡−2+⋯+𝛷𝑝𝑥𝑡−𝑝−𝜃1𝑒𝑡−1−𝜃2𝑒𝑡−2−⋯−𝜃𝑞𝑒𝑡−𝑞+𝑒𝑡 6-69 El término μ que aparecía en el modelo MA(q) queda ahora absorbido por el coeficiente 𝛷0. La ecuación anterior puede expresarse de una forma abreviada, utilizando los operadores retardo. Las expresiones correspondientes a 𝛷𝑝(𝐵) y a 𝜃𝑞(𝐵) son las expresadas en las ecuaciones de los modelos AR(p) y MA(q), respectivamente. 𝛷𝑝(𝐵)𝑥𝑡=𝛷0+𝜃𝑞(𝐵)𝑒𝑡 6-70 Modelos ARIMA. Los modelos ARMA que son un caso general de un modelo AR o MA, presentan una desventaja importante que es la imposibilidad de incorporar en las predicciones un comportamiento periódico si la serie temporal lo incluye. El comportamiento periódico implica que hay patrón que se repite en la serie temporal con un periodo múltiplo del que existe entre observaciones consecutivas de la serie. Una serie temporal que presente un comportamiento periódico o una serie temporal que presente una tendencia determinística no estacionaria, puede transformarse en una serie apta para ser representada por un modelo ARMA si se le aplica el operador diferencia. Esta transformación procede a convertir la serie original en otra nueva (z) que es estacionaria con un periodo τ. 𝑧𝑡=𝑥𝑡−𝑥𝑡−𝜏 6-71 Es habitual emplear esta técnica de diferenciación para transformar en estacionarias las series temporales que no lo son originalmente, y para ello se procede a aplicar el operador diferencia una o dos veces. Con este operador diferencia aplicado al modelo ARMA, se define el modelo ARIMA que incluye tres términos: el auto-regresivo, el integrado (correspondiente al operador diferencia) y el de media móvil. Un modelo ARIMA(p, d, q) responde a la ecuación siguiente, en la que d representa el número de diferencias aplicadas hasta convertir la serie temporal en estacionaria. 𝛷𝑝(𝐵)(1−𝐵)𝑑𝑥𝑡=𝛷0+𝜃𝑞(𝐵)𝑒𝑡 6-72 En un modelo ARIMA, los parámetros de los términos auto-regresivo y de media móvil se estiman por procedimientos de mínimos cuadrados no lineales. Modelos SARIMA. A pesar de que el operador diferencia permite eliminar el comportamiento periódico de una serie temporal, esto no es suficiente para poder modelar series temporales que incluyan también tendencias en la estacionalidad. Es por esto por lo que se incluyen nuevos términos para representar ese comportamiento estacional, siendo el índice de estacionalidad, s, el periodo estacional, que es múltiplo del que existe en observaciones siguientes de la variable en la serie temporal x. Los nuevos términos introducidos representan un comportamiento auto- Métodos de previsión 38 regresivo, con los valores retrasados en el tiempo un múltiplo del índice de estacionalidad, una diferenciación con dichos valores y una media móvil referida también a dichos valores. El modelo resultante se designa como modelo SARIMA (modelo ARIMA con estacionalidad multiplicativa) o ARIMA(p, d, q)(P, D,Q)s. 𝛷𝑝(𝐵)𝛷𝑝(𝐵𝑠)(1−𝐵𝑠)𝐷(1−𝐵)𝑑𝑥𝑡=𝛷0+𝜃𝑞(𝐵)𝛩𝑄(𝐵𝑠)𝑒𝑡 6-73  Teniendo en cuenta que:  p= orden de un modelo auto-regresivo AR  d= orden de diferenciación en la parte regular o no estacionaria de la serie  q= orden de un modelo promedio móvil MA  P= orden de un modelo auto-regresivo estacional SAR  D= orden de diferenciación en la parte estacional de la serie  Q= orden de un modelo promedio móvil estacional SMA Identificación de modelos ARIMA. Se trata de identificar los componentes que definen el modelo ARIMA: p, d, q, P, D y Q. El índice de estacionalidad vendrá determinado por la naturaleza de la variable de la serie temporal. Por ejemplo, para el caso de la predicción de la afluencia parece razonable que el índice de estacionalidad, en el caso de que pueda ser considerado, sea el correspondiente a 24 horas. La serie temporal de afluencia puede presentar componentes estacionales para los casos donde aparezcan fenómenos repetitivos como picos de afluencia a cierta hora del día por la existencia de eventos programados de gran atracción de público. Básicamente, los pasos que hay que seguir para identificar un modelo ARIMA son los que se describen a continuación. En primer lugar se representar gráficamente la serie temporal. Esto permite evidenciar datos anómalos u observaciones anormales así como un comportamiento no estacionario en la media o en la varianza. Los datos anómalos pueden ser sustituidos por otros valores más ajustados al resto de valores y el comportamiento no estacionario en la varianza puede corregirse por una transformación (por ejemplo logarítmica) y el de la media puede corregirse aplicando diferenciación. A continuación se examinan las gráficas de la función de auto-correlación y de la función de auto-correlación parcial para confirmar si es necesario aplicar otra diferenciación para obtener la estacionareidad de la serie temporal. Cuando se ha alcanzado la estacionareidad de la serie, se procede a observar de nuevo las gráficas de las funciones de autocorrelación para determinar si queda algún patrón en la misma como por ejemplo que se presente estacionalidad lo cual se podrá determinar si los valores de las funciones de autocorrelación son significativamente diferentes de cero para múltiplos del índice de estacionalidad. A partir de las gráficas de las funciones de autocorrelación se puede determinar también los valores de los parámetros p y q del modelo ARIMA. Para aquellos casos en los que es posible ajustar varios modelos, cumpliendo las condiciones de estacionareidad de la serie y cuando además las gráficas de las funciones de autocorrelación no quedan suficientemente claras como para determinar el orden de los parámetros p y q, puede utilizarse algún criterio de selección adecuado para elegir entre los posibles modelos. Uno de estos criterios es el criterio de información de Akaike, que penaliza aquellos modelos que requieren un mayor número de parámetros. Siendo n el número de observaciones, m el número de parámetros del modelo, AIC el coeficiente de Akaike y MSE el error cuadrático medio de los residuos, el coeficiente se calcula como indica la expresión siguiente: 𝐴𝐼𝐶=𝑛𝑙𝑛(𝑀𝑆𝐸∗𝑛)+2𝑚 6-74 Se selecciona aquel modelo que presenta un menor valor del AIC. 39 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. Modelos ARIMA multivariantes. Este tipo de modelos es apropiado cuando se busca predecir los nuevos valores de varias series temporales cuyos valores están relacionados entre sí. Los modelos multivariantes están descritos por expresiones similares a los univariantes, con la excepción de usar vectores para las series temporales y matrices para los coeficientes. Este tipo de modelos es de tratamiento complejo para la previsión de la afluencia aunque podría presentar interés si se desea prever los valores de afluencia a un evento de manera conjunta junto con otra u otras variables cuyos valores futuros se deseen conocer y que tengan relación con la afluencia. Modelos con variables exógenas. Esta clase de modelos ARIMA incluye como variable explicativa otra serie temporal distinta a la que queremos modelar, adquiriendo el acrónimo ARIMAX o la denominación de modelo de regresión dinámica. En este tipo de modelos, la variable cuyos valores futuros se desean conocer, es función de sus valores pasados y de los valores presentes y pasados de la variable o variables explicativas. A continuación se desarrolla el caso más general de relación entre la variable a predecir y la variable explicativa. Los modelos ARIMA que se han descrito en los apartados anteriores no son más que casos particulares del modelo general. Si y es la variable que queremos predecir, y x es la variable explicativa, la relación entre ambas se puede expresar la relación entre ambas por medio de siguiente la ecuación en la que aparece también un término de error, e. El valor de los operadores polinomiales de retardo, A(B), H(B), I(B), J(B) y K(B) aparece reflejado en las ecuaciones siguientes: 𝐴(𝐵)𝑦𝑡=𝐻(𝐵) 𝐾(𝐵)𝑥𝑡+𝐼(𝐵) 𝐽(𝐵)𝑒𝑡 6-75 𝐴(𝐵)=1+𝑎1𝐵+𝑎2𝐵2+⋯+𝑎𝑛𝑎𝐵𝑛𝑎 6-76 𝐻(𝐵)=ℎ1𝐵+ℎ2𝐵2+⋯+ℎ𝑛ℎ𝐵𝑛ℎ 6-77 𝐼(𝐵)=1+𝑖1𝐵+𝑖2𝐵2+⋯+𝑖𝑛𝑖𝐵𝑛𝑖 6-78 𝐽(𝐵)=1+𝑗1𝐵+𝑗2𝐵2+⋯+𝑗𝑛𝑗𝐵𝑛𝑗 6-79 𝐾(𝐵)=1+𝑘1𝐵+𝑘2𝐵2+⋯+𝑘𝑛𝑘𝐵𝑛𝑘 6-80 La ecuación anterior representa el caso más general de la relación entre la variable a predecir y la exógena. Esta relación está caracterizada por los parámetros na, nh, ni, nj y nk, además de todos los coeficientes de los operadores polinomiales. Alguno de los parámetros puede ser nulo, por lo que el modelo general se puede particularizar dando lugar a distintos modelos que reciben denominaciones como ARX (auto-regresivo con variable exógena), ARMAX (auto-regresivo con media móvil y variable exógena) y ARIMAX (auto-regresivo integrado con media móvil y variable exógena) Para identificar un modelo con una estructura de este tipo para una serie de tiempo concreta, se diseñan modelos con diferentes valores para los parámetros, determinándose cuál es el más adecuado por medio de algún criterio, como el AIC. Ventajas e inconvenientes de los modelos ARIMA. La principal ventaja que presentan los modelos ARIMA con respecto a otras técnicas, es la posibilidad que ofrecen de proporcionar intervalos de confianza de sus predicciones. Por otra parte, existe gran variedad de software específico para implementarlo. El principal inconveniente es que son modelos lineales, lo que dificulta que puedan modelar suficientemente bien todos los problemas. Además, la adecuada selección de la estructura del modelo y los valores de algunos Métodos de previsión 40 de los parámetros exige una gran experiencia. También es conveniente tener en cuenta que son modelos muy sensibles a datos anómalos, lo que obliga a pre-procesar la serie temporal para detectarlos y corregirlos antes de alimentar el modelo de predicción. A continuación se representa mediante un diagrama de flujo la manera de proceder para efectuar previsiones mediante los métodos descritos en los apartados anteriores. Determinación parámetros p, q Pronóstico Evaluación FIN Serie temporal Estacionaria Estimación de los parámetros del modelo Adecuado Satisfactorio Transformación de la serie temporal 41 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. Métodos cuantitativos. Distribución de probabilidad 6.5 Los modelos de previsión de la afluencia basados en distribuciones de probabilidad se construyen ajustando los datos de cada periodo a una función de distribución de probabilidad continua a partir de la cual se puede calcular la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor igual a un valor dado. Como se ha mencionado anteriormente, la afluencia es una variable aleatoria puesto que sus valores no se pueden predecir de manera exacta ya que se ven influenciados por diversos, y por lo tanto, la ocurrencia de ciertos valores solo puede expresarse en términos de probabilidad. Este método parte de la hipótesis de que los datos de la muestra son independientes entre sí, condición que se debe verificar antes de aplicar el procedimiento de ajuste a una distribución. Hay que tener en cuenta que si la muestra de datos se ajusta a una distribución de probabilidad concreta, se pierde la secuencia cronológica en que ocurren los valores de la variable aleatoria. Una alternativa para conservar la secuencia cronológica de los valores de la variable aleatoria bajo estudio es ajustar los datos de los subperiodo de manera individual. 6.5.1 Método de momentos (MOM). Este método tiene como objetivo obtener aproximaciones de los parámetros poblacionales desconocidos a partir de la igualación de momentos de la muestra y momentos poblacionales. Por lo tanto, se igualarán tantos pares de momentos como parámetros poblacionales tengamos que estimar y como resultado se obtendrá un sistema de n ecuaciones con n incógnitas que son los parámetros a estimar. Este método condiciona su validez, como se ha puntualizado anteriormente, a que los valores muestrales sean independientes. Los momentos poblacionales los conoceremos por el tipo de distribución que sigue la muestra. Al forzar la igualdad de los momentos correspondientes se cumplirán las principales propiedades de los estimadores, es decir, la característica de ser centrados y eficientes. Esto se dará para los momentos centrales de primer orden (las medias) y los momentos centrales de segundo orden (las varianzas). Sea 𝑥1,𝑥2,𝑥3…𝑥𝑛 una muestra aleatoria de una población con una función de probabilidad 𝑓(𝑥) con 𝑘=1,2,3… se tiene que la componente k-ésima de la población o de la distribución 𝑓(𝑥) es 𝐸(𝑋𝑘). El késimo momento muestral es (1 𝑛)∑𝑥𝑖𝑘𝑛 𝑖=1 Por consiguiente el primer momento de la población es 𝐸(𝑋)=𝜇 y el primer momento muestral es ∑𝑥𝑖 𝑛=𝑥. Los segundos momentos de la población y la muestra son 𝐸(𝑋2) y ∑𝑥𝑖2𝑛 𝑖=1 𝑛 respectivamente. 6.5.2 Método de estimación de máxima verosimilitud (MLE). La función de verosimilitud da una medida de cuán probable es que la muestra observada sea una función de los valores de un parámetro concreto. Para valores altos de probabilidad, se obtienen los valores del parámetro con los es más probable que la muestra observada haya sido generada. Estas estimaciones pueden coincidir con las obtenidas por el método de los momentos. Se denomina función de verosimilitud o función de densidad muestral, a la función generada a partir del producto de las funciones de probabilidad particularizada para los valores muestrales. Si la población tiene por función de probabilidad 𝑓(𝑥,𝑎,𝑏) en la que x es la variable del suceso favorable y 𝑎,𝑏, los parámetros poblacionales que se quiere estimar y sea la muestra 𝑥1,𝑥2,𝑥3…𝑥𝑛 con frecuencias 𝑓1,𝑓2,𝑓3…𝑓𝑛; entonces la función de verosimilitud V viene dada por la siguiente expresión: 𝑉=[𝑓(𝑥1,𝑎,𝑏)] 𝑓1𝑓(𝑥2,𝑎,𝑏)] 𝑓2𝑓(𝑥3,𝑎,𝑏)] 𝑓3…𝑓(𝑥𝑛,𝑎,𝑏)] 𝑓𝑛 6-81 El método de máxima verosimilitud busca maximizar esta función, con respecto a los parámetros a estimar, por procedimientos matemáticos conocidos. Dada la forma de la función V, se puede hacer uso de la propiedad de que el máximo de una función coincide con el máximo del logaritmo de la misma función. De esta forma, el cálculo del estimador máxima verosimilitud se obtiene al resolver el sistema: Métodos de previsión 42 [𝜕(𝑙𝑛𝑉) 𝜕𝑎 =0 𝜕(𝑙𝑛𝑉) 𝜕𝑏 =0] 6-82 6.5.3 Criterios de validación. Test de Chi cuadrado 𝝌𝟐. Esta prueba se utiliza tanto para distribuciones discretas como continuas. Figura 6-10. Distribución Chi cuadrado.  𝐻0: La variable a pronosticar se modela mediante la distribución de probabilidad 𝑓(𝑥).  𝐻1: La variable no se modela mediante la distribución de probabilidad 𝑓(𝑥). Los grados de libertad se calculan así de la siguiente manera: 𝑔𝑑𝑙=(𝑟−1)(𝑐−1) 6-83 Teniendo en cuenta que:  r, número de filas en la tabla de frecuencias observadas  c, número de columnas La hipótesis nula de la prueba Chi-cuadrado propone una distribución de probabilidad concreta como modelo para la población que ha generado la muestra. Este contraste se realiza mediante una tabla de frecuencias. Para cada valor o intervalo de valores se indica la frecuencia observada 𝑂𝑖 . Se supone que la hipótesis nula es cierta y con ello se calcula para cada valor o intervalo de valores la frecuencia absoluta que cabría esperar o frecuencia esperada 𝐸𝑖=𝑛∗𝑝𝑖; expresión en la que n es el tamaño de la muestra y 𝑝𝑖 la probabilidad del i-ésimo valor o intervalo de valores según la hipótesis nula. La prueba viene dada por la siguiente expresión: 𝝌2=∑(𝑂𝑖−𝐸𝑖)2 𝐸𝑖 𝑘 𝑖=1 6-84 43 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. Figura 6-11. Prueba de Chi cuadrado. Si las frecuencias observadas coinciden o se aproximan a las esperadas, el valor de 𝝌2 tiende a cero. Por el contrario, si las frecuencias observadas difieren significativamente de las esperadas el valor estadístico de 𝝌2 será positivo y más grande cuanto mayor sean las diferencias entre las frecuencias y consecuentemente aumentará la probabilidad de rechazar la hipótesis nula. No se puede usar la prueba 𝝌2 cuando el valor esperado es menor que 5 o el tamaño muestral es menor que 30. El nivel de confianza es fijado por el desarrollador, y generalmente se establece en un nivel de 95% (∝= 0.05) o del 99% (∝=0.01). El criterio de rechazo de la hipótesis nula debe establecerse previamente al análisis de datos y no subordinarlo a resultados de la investigación. Test de Kolmogorov–Smirnov. Se emplea para distribuciones continuas y tiene la ventaja con respecto a otras pruebas de que trabaja directamente con la función de distribución empírica encontrada a partir de los valores de la muestra y como consecuencia no requiere la agrupación de los valores en intervalos. Formalmente, esta prueba no se debe utilizar si los parámetros de la distribución han sido estimados, aunque en la práctica se utiliza aunque los parámetros no sean conocidos.  𝐻0: La distribución observada se ajusta a la distribución teórica.  𝐻1: La distribución observada no se ajusta a la distribución teórica. Para efectuar esta prueba se construye una función de distribución acumulativa 𝑆(𝑥), a partir de los valores de la muestra. También se formula una hipótesis sobre la función de distribución acumulativa teórica 𝐹(𝑥) tomando la que mejor pueda representar el valor de la muestra. A continuación se descomponen en intervalos los valores de la muestra y se calcula el valor de 𝑦 según esta expresión: 𝑦=𝑚𝑎𝑥𝑖[𝐹(𝑥𝑖)−𝑆(𝑥𝑖)] 6-85 Seguidamente se escoge el valor de α, y se rechaza la hipótesis si 𝑦>𝑦𝑛,∝ teniendo en cuenta que 𝑦𝑛,∝ es el valor crítico. Se tiene que: 𝑦+=𝑚𝑎𝑥[𝑖𝑛−𝐹(𝑥𝑖)]1≤𝑖≤𝑛 6-86 𝑦−=𝑚𝑎𝑥[𝐹(𝑥𝑖)−𝑖−1 𝑛]1≤𝑖≤𝑛 6-87 Definiendo P’ 𝑃′=𝑃(𝑦>𝑦𝑎𝑏𝑠 𝐻0 ⁄𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎) 6-88 Métodos de previsión 50 Figura 6-16. Red para análisis de componentes pricipales El análisis de componentes principales permite reducir el número de valores distintos necesarios para entrenar adecuadamente la red ya que se reduce la dimensión del vector de entradas. 6.6.6 Redes neuronales recurrentes. Las redes neuronales recurrentes, se caracterizan por no ser unidireccionales. Existen varios tipos de redes recurrentes uno de los cuales es la red de Elman o redes recurrentes simples. Este tipo de redes parte de la estructura de una red neuronal MLP pero añadiendo una capa oculta adicional, que alberga las denominadas neuronas de contexto, cuya misión es extraer información temporal de los datos. La capa de neuronas de contexto tiene como entradas sus propias salidas y las salidas de las neuronas de la capa oculta. La capa oculta tiene como entradas las neuronas de la capa de entrada y las neuronas de la capa de contexto. Las salidas de las neuronas de la capa oculta son las entradas de la capa de salida. El valor de la salida de una neurona de contexto, viene dado por la ecuación siguiente, en la que τ representa la constante de tiempo (limita la capacidad de la memoria) y x(n) representa el valor de entrada de la neurona cuando se inyecta el n-ésimo valor del vector de entradas. 𝑦(𝑛)=∑𝑥(𝑛−𝑖)𝜏𝑖 𝑛−1 𝑖=0 6-92 La constante de tiempo es un valor comprendido entre 0 y 1. Un valor reducido de la constante de tiempo hace que el peso de las últimas entradas se reduzca muy rápidamente con un patrón exponencial. El valor óptimo de la constante de tiempo es 1-(1/D), donde D es la profundidad de memoria, que corresponde al número de valores previos del vector de entradas que la red neuronal habrá almacenado. Figura 6-17. Red recurrente de Elman. 51 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. La red neuronal de Elman tiene una respuesta dinámica ya que las salidas de la red dependen del valor del vector de entradas en un instante determinado y de los valores previos. Otra categoría de redes recurrentes está conformada por las redes retardadas en el tiempo en las que se establecen conexiones entre neuronas de una misma capa. Dentro de este tipo de redes existen las focalizadas y las no focalizadas. En las focalizadas las conexiones entre neuronas de la misma capa se dan en la capa de entrada. En las no focalizadas las conexiones entre neuronas de la misma capa se producen tanto en la capa de entradas como en las capas ocultas. Así, en una red retardada focalizada, cuenta con una estructura que le permite mantener una memoria de la actividad de las neuronas de la red con valores previos del vector de entradas. Este tipo de redes tomo una forma similar al representado en la figura siguiente. La red neuronal con retardo no focalizada presenta unidades de retardo no sólo en la capa de entrada, sino también en las capas ocultas, es decir, tiene memoria de los valores previos de las entradas y de los valores previos en las neuronas de las capas ocultas. Figura 6-18. Red neuronal retardada en el tiempo focalizada. Las redes neuronales retardadas en el tiempo tienen como principal aplicación el procesado de información que cambia con el tiempo, como puede ser la predicción de series temporales. El funcionamiento de la unidad de retardo, 𝑧−1, hace que el valor presente en su entrada pase a su salida con la inyección a la red neuronal de un nuevo valor del vector de entradas. Existen otras configuraciones de redes retardadas como son la estructura de memoria Gamma y la variante Laguerre. El entrenamiento de las redes neuronales retardadas en el tiempo se realiza, fundamentalmente, con la técnica de retro-propagación de error. El entrenamiento requiere más tiempo que en las redes unidireccionales y requiere más recursos de memoria. La principal ventaja de las redes recurrentes retardadas en el tiempo es su menor tamaño en comparación con una red neuronal perceptrón que use la misma información temporal utilizando entradas. Una tercera categoría de redes recurrentes se denominan redes recurrentes generales. Se caracterizan porque las neuronas de una o varias capas se realimentan a sí mismas por medio de unos pesos ajustables. Además, se puede distinguir entre redes neuronales totalmente recurrentes y redes parcialmente recurrentes. Las totalmente recurrentes son aquellas en las que todas las neuronas de una capa se realimenta a sí misma. Una red neuronal es parcialmente recurrente cuando sólo algunas de las neuronas de una capa tienen realimentación. Este tipo de arquitectura de redes presenta gran profundidad de memoria. En contrapartida, estas redes neuronales recurrentes pueden ser inestables durante el entrenamiento, siendo el entrenamiento más lento que el del resto de configuraciones de redes neuronales. Métodos de previsión 52 6.6.7 Mapas autoorganizados. Los mapas auto-organizados son redes neuronales en cuyo entrenamiento se utiliza aprendizaje no supervisado ocupándose la propia red de procesar los datos de entrada de forma autónoma. Figura 6-19. Red neuronal recurrente general. Los mapas auto-organizados reducen las dimensiones del espacio de las entradas para obtener un espacio discreto de una o dos dimensiones que se denomina mapa, manteniendo las propiedades de la entrada. Esta reducción se realiza reconociendo los patrones de las entradas con el objetivo de representar dichas características en el mapa. Es importante tener en cuenta que todas las neuronas de la capa de entradas se unen a todas las neuronas que conforman la capa de salidas del mapa auto-organizado. Figura 6-20. Mapa auto-organizado. Los mapas auto-organizados es un tipo de red neuronal competitiva, ya que en función del valor del vector de entradas se activa una sola neurona de la capa de salidas que es la neurona seleccionada para ese orden de valores de entrada. En este tipo de redes, las neuronas de la capa de salidas que implementa el funcionamiento competitivo suelen ser de tipo binario (activadas-no activadas). El funcionamiento de un mapa auto-organizado es similar al de una red competitiva, aunque además de activarse la neurona ganadora se modifican también los valores de los pesos de las conexiones de las neuronas vecinas según su proximidad a la neurona ganadora. El objetivo de una red neuronal con estructura de mapas auto-organizados es clasificar los valores del vector de entradas en grupos de características similares. 53 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. 6.6.8 Modelos con redes neuronales: conclusiones. El tratamiento de datos mediante redes neuronales posibilita realizar estimaciones de cierta precisión sin analizar las características de la muestra de datos, ya que es la propia red la que identificar las características fundamentales de los datos. Además las redes neuronales permiten la aproximación de no-linealidades. Son estructuras de propósito general y se adaptan a cualquier tipo de patrones, pudiendo ser reentrenados para previsiones de distintas series. Son por lo tanto muy flexibles y no requieren de expertos para ajustar sus parámetros. Es necesario resaltar que para el correcto entrenamiento de las redes puede hacer falta una gran cantidad de datos de los cuales puede que no se disponga en función de las características del problema. Además el entrenamiento puede conducir a mínimos locales indeseables. Definir conjunto de entrenamiento, validación y prueba Definir número de capas, número de neuronas y tipo de función de transferencia FIN Preprocesado de datos Parada Selección de la variable Muestra de datos Entrenamiento de la red definición de tasa de aprendizaje y momento Calculo del error Pronóstico Validación y prueba 54 7 IMPLEMENTACIÓN A continuación se procederá al análisis de un caso concreto a modo de ejemplo de aplicación de los métodos expuestos en los apartados anteriores. Los datos de los que se hace uso a continuación son los correspondientes a la serie de tiempo de afluencia diaria de personas a los recintos de la Exposición Universal de Sevilla que tuvo lugar en 1992. En total se dispone de un conjunto de 176 datos de afluencia total al recinto del evento. Los datos de afluencia tienen en cuenta tanto los visitantes que adquirieron pase de temporada como los que ingresaron al recinto mediante entradas. Los datos que se facilitan en las tablas están en miles de personas. En cuanto a las fechas, se dispone de las observaciones de afluencia durante toda la celebración del evento que discurrió entre el 20 de abril de 1992 y el 12 de octubre del mismo año. Figura 7-1. Observaciones de afluencia en mayo y junio. En la gráfica anterior se representan las observaciones relativas a los meses de mayo y junio en las que se pueden apreciar los picos de afluencia que se corresponden con los fines de semana de cada mes. Figura 7-2. Total de las observaciones. En la gráfica anterior se representa el total de las observaciones en azul y la media en rojo. A continuación se presenta la tabla con el total de las observaciones en miles de visitantes. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 -4 1 6 11 16 21 26 31 mayo junio 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 020 40 60 80 100 120 140 160 55 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. Día Afluencia Día Afluencia Día Afluencia Día Afluencia 20-abr 92 10-may 290 30-may 271 19-jun 234 21-abr 159 11-may 238 31-may 282 20-jun 347 22-abr 145 12-may 90 01-jun 109 21-jun 373 23-abr 136 13-may 105 02-jun 152 22-jun 169 24-abr 125 14-may 82 03-jun 100 23-jun 97 25-abr 276 15-may 175 04-jun 144 24-jun 165 26-abr 292 16-may 283 05-jun 119 25-jun 193 27-abr 140 17-may 317 06-jun 272 26-jun 173 28-abr 230 18-may 170 07-jun 259 27-jun 366 29-abr 118 19-may 131 08-jun 99 28-jun 414 30-abr 106 20-may 97 09-jun 137 29-jun 144 01-may 279 21-may 146 10-jun 159 30-jun 117 02-may 300 22-may 152 11-jun 168 01-jul 136 03-may 277 23-may 283 12-jun 108 02-jul 100 04-may 106 24-may 299 13-jun 270 03-jul 254 05-may 176 25-may 153 14-jun 289 04-jul 337 06-may 74 26-may 151 15-jun 200 05-jul 347 07-may 109 27-may 128 16-jun 106 06-jul 187 08-may 182 28-may 131 17-jun 191 07-jul 210 09-may 270 29-may 187 18-jun 185 08-jul 222 Día Afluencia Día Afluencia Día Afluencia Día Afluencia Día Afluencia 09-jul 158 29-jul 258 18-ago 167 07-sep 73 27-sep 273 10-jul 214 30-jul 188 19-ago 198 08-sep 144 28-sep 224 11-jul 406 31-jul 197 20-ago 134 09-sep 195 29-sep 103 12-jul 382 01-ago 391 21-ago 214 10-sep 123 30-sep 93 13-jul 181 02-ago 380 22-ago 335 11-sep 119 01-oct 103 14-jul 127 03-ago 155 23-ago 349 12-sep 296 02-oct 134 15-jul 185 04-ago 167 24-ago 199 13-sep 285 03-oct 301 16-jul 179 05-ago 128 25-ago 104 14-sep 102 04-oct 289 17-jul 193 06-ago 186 26-ago 192 15-sep 228 05-oct 139 18-jul 366 07-ago 200 27-ago 116 16-sep 137 06-oct 134 19-jul 414 08-ago 391 28-ago 186 17-sep 130 07-oct 111 20-jul 107 09-ago 369 29-ago 389 18-sep 101 08-oct 110 21-jul 151 10-ago 179 30-ago 401 19-sep 287 09-oct 112 22-jul 194 11-ago 203 31-ago 150 20-sep 294 10-oct 309 23-jul 108 12-ago 166 01-sep 105 21-sep 129 11-oct 311 24-jul 218 13-ago 207 02-sep 79 22-sep 152 12-oct 258 25-jul 243 14-ago 163 03-sep 157 23-sep 149 26-jul 411 15-ago 282 04-sep 143 24-sep 167 27-jul 160 16-ago 373 05-sep 265 25-sep 167 28-jul 117 17-ago 129 06-sep 276 26-sep 275 Tabla 7-1. Observaciones de afluencia. Implementación 56 Se puede observar que los picos de afluencia en los fines de semana se repiten a lo largo de todo el periodo de celebración del evento y además, se puede apreciar cierta tendencia creciente hacia los meses de verano tanto en término medio como en los máximos. La media de afluencia diaria al recinto está en torno a los 200.000 visitantes sin embargo, como se puede apreciar en la gráfica de afluencia total, en los fines de semana, la afluencia se incrementa notablemente. En el siguiente diagrama de barras se representan los valores de afluencia por día de la semana. El punto azul se corresponde con la media en cada día, señalándose también el rango de valores entre el mínimo y el máximo de cada día de la semana a lo largo del periodo en que se desarrolla el evento. Figura 7-3. Afluencia por días de la semana. Tras este pequeño análisis preliminar de la serie, se procede a implementar distintas técnicas con el objetivo de establecer una comparativa entre la bondad de las estimaciones proporcionadas por unas y otras. En concreto se abordará la previsión mediante una regresión múltiple y mediante redes neuronales de distintas características. Regresión múltiple 7.1 Partiendo del modelo de regresión lineal múltiple descrita de manera genérica en el apartado 6.3.2 del presente documento, se ha procedido a una implementación adaptada a la estructura del problema de previsión de afluencia en el caso de la Exposión Universal de 1992. El código se ha desarrollado en el software VisualBasic® en su versión número 6 y se puede encontrar en el anexo B. Este código está destinado a prever la afluencia correspondiente a las entradas para el recinto del evento bajo estudio, precindiéndose de su uso para la previsión de afluencia relacionada con los pases ya que esta porción de la afluencia no tiene una relación tan directa con las variables indicadoras como las entradas. Los datos de variables indicadoras que harán las veces de regresores se corresponden con las reservas hoteleras en el casco urbano y en el extrarradio, los billetes de tren de renfe de llegada a la ciudad y de salida de la misma, los billetes de avión (entrada y salida) y los billetes de autobús (entrada y salida) para las fechas correspondientes. Sus valores se pueden encontrar en el anexo A del presente documento con unidades correspondientes a miles de visitantes. Para realizar una previsión se establece que exista un mínimo de 14 observaciones de las cuales se dispongan datos en el momento de efectuar el pronóstico y se requiere de los valores de los regresores del día cuya previsión se desea realizar. Como periodo razonable para la obtención de los datos correspondientes se establece 3 días el periodo con que se deben conocer dichos datos. Por lo tanto, la previsión se realizará con 3 días de antelación y con un mínimo de 14 observaciones conocidad además de los datos de los regresores para el el día cuya afluencia se desea prever. En el código se procede, en primer lugar, a leer los parámetros que se requieren de ficheros de datos para que 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo 57 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. la inserción de parámetros sea más cómoda y flexible en el caso de desear alterar sus valores. De la misma manera se procede con la inyección de los valores de las observaciones y los regresores. Cabe destacar que el número de observaciones (nobs) es del cual se dispone en el momento de realizar la previsión y no el total de las observaciones. El parámetro numreg se corresponde con el número de regresores que se desea utilizar para la previsión. La t de student (tstudent) se introduce para el posterior cálculo del intervalo de confianza de la previsión. El flagdepura es una variable a la que si se le cambia su valor original de 0 a 1 se procede a efectuar una depuración del código en caso de fallo de tal forma que nos indica hasta qué punto de la ejecución se ha llegado, pudiendo detectar más fácilmente errores de compilación o sintaxis. El parámetro flagfam es una indicador que se pone a uno en el caso de que entre las observaciones de que se disponga exista un día familiar o más. El segundo regresor que se corresponde con la novena variable indicadora es un indicador binario que toma valor 1 si el día es familiar. Únicamente los días 9, 20, 80, 101, 143, 149 y 162 cuentan con dicha condición. Para el cálculo de los coeficientes de efecto parcial de los regresores sobre la afluencia se procede de la siguiente manera: 𝑡𝑟𝑎𝑠(𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔,𝑛𝑜𝑏𝑠)=𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑇(𝑛𝑜𝑏𝑠,𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔) 7-1 𝑎𝑢𝑥2(𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔,𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔)= 𝑡𝑟𝑎𝑠(𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔,𝑛𝑜𝑏𝑠)∗𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠(𝑛𝑜𝑏𝑠,𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔) 7-2 𝑖𝑛𝑣(𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔,𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔)=𝑎𝑢𝑥2−1(𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔,𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔) 7-3 𝑎𝑢𝑥1(𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔,1)= 𝑡𝑟𝑎𝑠(𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔,𝑛𝑜𝑏𝑠)∗𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣(𝑛𝑜𝑏𝑠,1) 7-4 𝑏𝑒𝑡𝑎(𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔,1)= 𝑖𝑛𝑣(𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔,𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔)∗𝑎𝑢𝑥1(𝑛𝑢𝑚𝑟𝑒𝑔,1) 7-5 Teniendo en cuenta que:  regres(nobs,numreg) es la matriz de los regresores.  observ(nobs,1) es el vector columna de observaciones.  beta(numreg,1) es el vector columna de coeficientes para la regresión. En definitiva los coeficientes de regresión vienen dados por la siguiente expresión: 𝑏𝑒𝑡𝑎=(𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑇∗𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠)−1∗𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑇∗𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣 7-6 Esta manera de obtener los coeficientes beta proviene de la estimación por mínimos cuadrados ordinarios, procedimiento descrito en el apartado 6.3.1. El coeficiente 𝑏𝑒𝑡𝑎𝑖 mide el efecto parcial del regresor i, manteniendo los otros regresores fijos. El coeficiente betai mide el cambio en y cuando el regresor j aumenta en 1 unidad, manteniendo fijos el resto de regresores. Para realizar las operaciones con matrices descritas anteriormente de construyen dentrodel código incluído en el anexo B una serie de subrutinas que se detallan a continuación:  traspmat(numfil, numcol, A( ), B( )) calcula la traspuesta de la matriz A con numfil filas y numcol columnas y la vuelca en la matriz B.  multmat(numfil1, numcol1, numfil2, numcol2, A( ), B( ), C( )) calcula el producto de las matrices A y B y la vuelca en C.  inversamat(numfilcol, A( ), B( ), det) calcula la inversa de la matriz A y la vuelca en la matriz B. Para la estimación de la afluencia de procede construyendo la expresión lineal siguiente: 𝑦𝑡=𝐵0+𝐵1𝑥𝑡1+𝐵2𝑥𝑡2+⋯+𝐵𝑛𝑥𝑡𝑛+𝑒𝑡 7-7 Teniendo en cuenta que:  𝑦𝑡= afluencia pronosticada en el período t.  𝑥𝑡𝑖= factores que influyen a la afluencia.  𝑒= todos los factores no considerados por las variables independientes. Implementación 58  𝐵0 y 𝐵𝑖= coeficientes calculados. Un intervalo de confianza para el parámetro 𝐵𝑖, viene dado por la siguiente expresión: 𝑃[𝐵𝑖−𝑡∝ 2 ⁄𝑠𝑒(𝐵𝑖)≤𝐵𝑖≤𝐵𝑖+𝑡∝ 2 ⁄𝑠𝑒(𝐵𝑖)]=1−∝ 7-8 Teniendo en cuenta que 1-α es el nivel de confianza del intervalo y 𝑠𝑒(𝐵𝑖) es el error estándar de 𝐵𝑖. 𝑠𝑒(𝐵𝑖)=𝜎 √𝑛∑(𝑥𝑖−𝑥)2 𝑛 𝑖=1 7-9 Para testear el modelo se realizan pruebas para 50 días (que discurren entre el 9 de mayo y el 28 de junio de 1992). Obteniéndose los siguientes resultados (en miles de visitantes): Figura 7-3. Resultados de la regresión múltiple. El error cometido por el método para estas previsiones fue de 47,147322 (MAD o MAE). Cabe destacar que el error se puede deber que el error se puede deber tanto al error propio del método como a la falta de precisión de los valores de las variables indicadoras. Sin embargo, hemos de tener en cuenta que los resultados de la previsión se suelen proporcionar en intervalos. Los intervalos que se utilizaron para este evento en concreto fueron de 40.000 visitantes salvo el primero que va de 0 a 110.000 visitantes. Para los 30 días que discurren entre el día 10 y el 40 de la previsión anterior se obtuvieron los siguientes resultados: Figura 7-4. Resultados en intervalos. -50 0 50 100 150 200 250 300 010 20 30 40 50 previsión observaciones 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 59 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. Teniendo en cuenta que las previsiones están en azul y las observaciones en rojo y que los intervalos se denominaron de la siguiente manera: 1 2 3 4 5 0-110 110-150 150-190 190-230 230-270 Tabla 7-2. Intervalos de previsión. Podemos observar la cantidad de intervalos en que la previsión erró en la siguiente tabla: 0 1 2 3 4 21 16 12 2 0 Tabla 7-3. Desviación absoluta en las previsiones. En la siguiente tabla se puede observar cómo se distribuyeron las desviaciones: -2 -1 0 1 2 3 5 8 21 8 7 2 Tabla 7-4. Desviación en las previsiones. El conjunto de los resultados de la regresión múltiple se pueden encontrar en el anexo C. Redes neuronales 7.2 Para la predicción de la afluencia, además del modelo de regresión multiple descrito anteriormente se desarrollan a continuación una serie de estructuras en forma de red neuronal. Las redes neuronales están descritas de forma teórica en el apartado 6.6 de la presente memoria. La codificación del modelo se realizará en el entorno Matlab®. Más concretamente se utilizarán estructuras tipo NARX (modelos no-lineales autorregresivos con inputs exógenos). Este tipo de modelos relaciona el valor de una variable en una serie temporal con valores pasados de dicha variable así como valores de las variables exógenas. Adicionalmente, el modelo introduce un término de error. 𝑦𝑡=𝑓(𝑥1,𝑡−1+⋯+𝑥1,𝑡−𝑑+𝑥𝑛,𝑡−1+⋯+𝑥𝑛,𝑡−𝑑+𝑦𝑡−1+⋯+𝑦𝑡−𝑑)+𝑒𝑡 7-10 En caso que nos ocupa la variable 𝑦𝑡 es la afluencia cuyo valor de pronóstico dependerá de la evolución previa de la propia afluencia junto con los valores de las variables indicadoras. Las variables indicadores son las mismas que en la regresión múltiple: reservas hoteleras en el casco urbano y en el extrarradio, los billetes de tren de renfe de llegada a la ciudad y de salida de la misma, los billetes de avión (entrada y salida) y los billetes de autobús (entrada y salida). Este tipo de redes neuronales se encuentran dentro de las redes dinámicas o recurrentes cuya característica principal es que gozan de cierta capacidad de memoria como sistema. Este tipo de redes están descritas en el apartado 6.6.6. Dentro de las redes neuronales recurrentes encontramos las retardadas en el tiempo que tienen como principal aplicación el procesado de información que cambia con el tiempo, como puede ser la predicción de series temporales. El entrenamiento de las redes neuronales retardadas en el tiempo se realiza, fundamentalmente, con la técnica de retro-propagación de error. En nuestro caso la red tendrá 8 entradas y una variable objetivo. En principio evaluaremos una arquitectura con una capa de entrada, una capa oculta y una capa de salida. Introduciremos cierto retardo y un número inicial de 10 neuronas en la capa oculta. Con una sola capa oculta deberíamos ser capaces de establecer estimaciones con cierto nivel de bondad. Anexo A: Tablas de regresores 66 86 39 88 127 12,61 0,7 12,55 11,15 5,25 6,6352 75,62 67,89 87 73 112 185 11,85 0,7 9,39 10,62 5,75 5,0307 71,45 70,45 88 48 131 179 11,04 0,7 16,73 14,73 6,5 4,8625 68,95 78,25 89 80 113 193 13,85 1,2 19,72 14,19 5,5875 4,6125 69,65 65,49 90 146 220 366 14,27 1,5 11,29 11,2 5,775 5,776 73,26 63,25 91 176 238 414 14,61 1,5 11,7 20,51 7,385 7,135 65,84 58,74 92 43 64 107 13,62 1 17,38 15,01 7,6972 5,3505 70,12 65,98 93 58 93 151 16,07 1 9,85 10,43 7,642 6,6352 75,62 67,89 94 61 133 194 21,52 1 9,41 9,89 6,5 5,0307 71,45 70,45 95 47 61 108 22,12 1,2 8,78 9,78 5,5875 4,8625 68,95 78,25 96 66 152 218 21,35 1,5 11,36 8,68 5,775 4,6125 69,65 65,49 97 102 141 243 22,02 1,5 10,5 9,32 8,865 5,776 73,26 63,25 98 175 236 411 17,43 1 10,25 17,88 7,8645 7,135 65,84 74,21 99 49 111 160 13,11 0,3 15,43 16,13 5,75 5,3505 70,12 65,98 100 57 60 117 13,22 0,3 10,78 10,32 6,5 6,6352 75,62 67,89 101 45 213 258 17,53 0,5 7,86 8,99 7,5645 5,0307 71,45 70,45 102 50 138 188 14,74 0,5 8,29 12,4 5,775 4,8625 68,95 78,25 103 66 131 197 17,01 0,8 14,03 12,01 7,4642 4,6125 69,65 65,49 104 142 249 391 14,74 0,3 14,05 9,8 7,642 5,776 73,26 63,25 105 135 245 380 36,144 0,576 9,576 6,5232 5,75 7,135 65,84 74,21 106 54 101 155 42,652 0,576 4,4928 13,348 6,5 5,3505 70,12 65,98 107 68 99 167 30,657 0,432 2,3904 3,096 5,5875 6,6352 75,62 67,89 108 71 57 128 30,888 0,144 3,096 2,7504 5,775 5,0307 71,45 70,45 109 41 145 186 33,897 1,152 5,2848 3,528 8,1422 4,8625 68,95 56,89 110 97 103 200 56,491 12,816 10,594 2,3904 8,4967 4,6125 69,65 65,49 111 139 252 391 50,011 13,248 4,392 4,3632 5,75 5,776 73,26 63,25 112 135 234 369 40,507 13,536 6,7104 12,340 6,5 7,135 65,84 74,21 113 55 124 179 21,528 0,864 15,912 14,443 5,5875 5,3505 70,12 65,98 114 65 138 203 21,643 0,144 6,8544 6,0624 5,775 6,6352 75,62 67,89 115 52 114 166 24,278 13,536 4,464 5,5872 7,5362 5,0307 71,45 70,45 116 62 145 207 26,985 13,536 10,08 7,776 7,1352 4,8625 68,95 78,25 117 81 82 163 40,881 13,824 8,1792 8,64 5,75 4,6125 69,65 65,49 118 105 177 282 39,456 13,824 10,051 3,3984 6,5 5,776 73,26 63,25 119 170 203 373 31,204 14,112 12,945 8,208 5,5875 7,135 65,84 74,21 120 45 84 129 33,739 0,144 4,8672 5,3712 5,775 5,3505 70,12 65,98 121 45 122 167 37,915 0,144 3,0816 2,5632 8,5645 6,6352 75,62 67,89 122 71 127 198 38,908 25,92 4,608 3,456 8,1025 5,0307 71,45 70,45 123 48 86 134 49,838 25,92 5,7024 4,608 8,7467 4,8625 68,95 68,74 124 80 134 214 57,758 0,288 4,3776 8,7552 6,5 4,6125 69,65 65,49 125 137 198 335 55,728 0,288 5,4576 3,4992 5,5875 5,776 73,26 63,25 126 152 197 349 45,288 0,288 8,9856 8,9712 5,775 5,364 65,84 74,21 127 44 155 199 42,652 0,576 4,4928 13,348 8,1352 5,3505 70,12 65,98 128 45 59 104 30,657 0,432 2,3904 3,096 5,25 6,6352 75,62 67,89 129 68 124 192 30,888 0,144 3,096 2,7504 5,75 5,0307 71,45 70,45 130 44 72 116 33,897 1,152 5,2848 3,528 6,5 4,8625 68,95 78,25 131 102 84 186 56,491 12,816 10,598 2,3904 8 4,6125 69,65 65,49 67 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. 132 134 255 389 50,012 13,248 4,392 4,3632 5,775 5,776 73,26 63,25 133 169 232 401 40,507 13,536 6,7104 12,340 5,05 7,135 65,84 74,21 134 44 106 150 57,462 0,776 6,0528 17,983 5,25 5,3505 70,12 65,98 135 56 49 105 41,302 0,582 3,2204 4,171 5,75 6,6352 75,62 67,89 136 32 47 79 41,613 0,194 4,171 3,7054 6,5 5,0307 71,45 70,45 137 55 102 157 45,667 1,552 7,1198 4,753 5,5875 4,8625 68,95 78,21 138 54 89 143 76,106 17,266 14,278 3,2204 5,775 4,6125 69,65 65,49 139 107 158 265 67,376 17,848 5,917 5,8782 8,8525 5,776 73,26 63,25 140 132 144 276 54,572 18,236 9,0404 16,625 5,25 4,4612 65,84 74,21 141 31 42 73 29,003 1,164 21,437 19,458 5,75 5,3505 70,12 65,98 142 58 86 144 29,158 0,194 9,2344 8,1674 6,5 6,6352 75,62 67,89 143 46 149 195 32,708 18,236 6,014 7,5272 7,7557 5,0307 71,45 70,45 144 36 87 123 36,355 18,236 13,58 10,476 5,775 4,8625 68,95 78,25 145 60 59 119 55,076 18,624 11,019 11,64 5,05 4,6125 69,65 65,49 146 129 167 296 53,156 18,624 13,541 4,5784 5,25 5,776 73,26 63,25 147 136 149 285 42,039 19,012 17,440 11,058 5,75 4,135 65,84 74,21 148 58 44 102 45,454 0,194 6,5572 7,2362 6,5 5,3505 70,12 65,98 149 31 197 228 51,080 0,194 4,1516 3,4532 7,7635 6,6352 75,62 67,89 150 53 84 137 52,418 34,92 6,208 4,656 5,775 5,0307 71,45 70,45 151 33 97 130 67,143 34,92 7,6824 6,208 7,53 4,8625 68,95 78,25 152 50 51 101 77,813 0,388 5,8976 11,795 5,25 4,6125 69,65 65,49 153 115 172 287 75,078 0,388 7,3526 4,7142 5,75 5,776 73,26 63,25 154 136 158 294 61,013 0,388 12,105 12,086 6,5 7,135 65,84 74,21 155 40 89 129 57,462 0,776 6,0528 17,983 5,5875 5,3505 70,12 65,98 156 34 118 152 41,302 0,582 3,2204 4,171 5,775 6,6352 75,62 67,89 157 31 118 149 41,613 0,194 4,171 3,7054 7,185 5,0307 71,45 70,45 158 56 111 167 45,667 1,552 7,1198 4,753 5,25 4,8625 68,95 78,25 159 52 115 167 76,106 17,266 14,278 3,2204 5,75 4,6125 69,65 65,49 160 111 164 275 67,376 17,848 5,917 5,8782 6,5 5,776 73,26 63,25 161 118 155 273 54,572 18,236 9,0404 16,625 5,5875 4,9462 65,84 74,21 162 30 194 224 29,003 1,164 21,437 19,458 5,775 5,3505 70,12 65,98 163 58 45 103 29,158 0,194 9,2344 8,1674 5,05 6,6352 75,62 67,89 164 36 57 93 32,708 18,236 6,014 7,5272 6,1452 5,0307 71,45 70,45 165 46 57 103 36,355 18,236 13,58 10,476 5,75 4,8625 68,95 78,25 166 69 65 134 55,076 18,624 11,019 11,64 6,5 4,6125 69,65 65,49 167 111 190 301 53,156 18,624 13,541 4,5784 5,5875 5,776 73,26 63,25 168 139 150 289 42,039 19,012 17,440 11,058 5,775 7,135 65,84 74,21 169 34 105 139 45,454 0,194 6,5572 7,2362 5,05 5,3505 70,12 78,25 170 48 86 134 51,080 0,194 4,1516 3,4532 5,25 6,6352 75,62 65,49 171 44 67 111 52,418 34,92 6,208 4,656 5,75 5,0307 71,45 63,25 172 41 69 110 67,14 34,92 7,6824 6,208 6,5 4,8625 68,95 74,21 173 62 50 112 77,813 0,388 5,8976 11,795 5,5875 4,6125 69,65 78,25 174 131 178 309 75,078 0,388 7,3526 4,7142 5,775 5,776 73,26 65,49 175 124 187 311 61,013 0,388 12,105 12,086 5,05 4,186 65,85 63,25 176 116 142 258 61,013 0,388 12,105 12,086 6,6275 5,3505 70,12 74,21 68 ANEXO B: CÓDIGO REGRESIÓN MÚLTIPLE % Regresión multivariable % fichero de parámetros: PARAMETROS_REGRESION % fichero de datos históricos: RESERVAS_REGRESION % fichero de previsiones: REGRESION_PREVISION Option Base 1 DefInt I-N DefSng A-H DefSng O-Z Sub main() % declaración de parámetros Dim nobs As Integer % Nº de observaciones Dim numreg As Integer % Nº de regresores (1+nº variables indicadoras) Dim flagdepura As Integer % flag de depuración Dim tstudent(200) As Single % T de student para α=95% Dim auxtxt As Integer % variable auxiliar % registro del fichero de observaciones y reservas % lectura de parámetros Open "C:\Users\rafa\Desktop\REGRESION_DEFINITIVO\PARAMETROS_REGRESION.txt" For Input As #1 Input #1, auxtxt %variable auxiliar Input #1, numreg Input #1, flagdepura I = 0 While Not EOF(1) I = I + 1 Input #1, tstudent(I) Wend Close #1 %**************************************************************** % definición de matrices Dim observ(200,1) As Double % observaciones Dim regres(200,10) As Double % regresores Dim beta(10,1) As Double % estimador Dim tras(10,200) As Double % traspuesta de regres Dim inv(10,10) As Double % inversa de traspuesta * regres Dim det As Double % determinante de la inversa Dim aux1(10,1) As Double % auxiliar 1= tras*obser Dim aux2(10,10) As Double % auxiliar 2= tras*regres Dim aux3(10,1) As Double % auxiliar 3 Dim inter As Single % amplitud del intervalo de confianza Dim prevision As Single % previsión Dim varianza As Single % varianza del estimador Dim flagfam As Integer % indica si hay día familiar en las 69 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. observaciones históricas flagfam = 0 % inicialmente no hay días familiares % lectura del porcentaje de día familiar Dim porcdiafam As Single % porcentaje a sumar en un día fammiliar Open "C:\Users\rafa\Desktop\REGRESION_DEFINITIVO\PORC_DIA_FAM.txt" For Input As #1 Input #1, porcdiafam Close #1 %******************************************************************* % lectura del fichero de observaciones Dim aux As Integer % variable auxiliar Open "C:\Users\rafa\Desktop\REGRESION_DEFINITIVO\RESERVAS_REGRESION.txt" For Input As #1 Input #1, aux For I = 1 To 176 regres(I, 1) = 1 Input #1, observ(I,1), regres(I,2), regres(I,3), regres(I,4), regres(I,5), regres(I,6), regres(I,7), regres(I,8), regres(I,9), regres(I,10) Next I Close #1 % **************************************************************************** % paramos cuando encontremos el primer 0 en la observaciones nobs = 176 For I = 1 To 176 If observ(I,1) = 0 Then nobs = I - 1 Exit For End If % vemos si hay días familiares entre observaciones If regres(I,10) <> 0 Then flagfam=1 Next I MsgBox "calculando" % ********************************************************************** % si no hay días familiares, no se considera dicho regresor If flagfam = 0 Then numreg = numreg - 1 % si no hay suficientes observaciones => paramos If nobs <= numreg Or nobs < 14 Then MsgBox "numero insuficiente de observaciones" End If % ********************************************************************* % si alguno de los regresores para "n.obs+3" es 0 => parar Anexo B: Código regresión múltiple 70 For I = 2 To 9 If regres(nobs+3,I) = 0 Then MsgBox "no existen los regresores del día nobs + 3" End If Next I % ******************************************************************* %Para que el método de regresión funcione, tenemos que introducir un fichero %en el que a partir de cierta observación>14 haya una observación o más cuyo %valor sea cero. Para la primera de ellas se calculará la previsión a partir de %los regresores de ese día+3 de los cuales se debe disponer. % ************************************************************* Call traspmat(nobs, numreg, regres(), tras()) If flagdepura = 1 Then MsgBox "traspuesta calculada" %************************************************************* Call multmat(numreg, nobs, nobs, numreg, tras(), regres(), aux2()) If flagdepura = 1 Then MsgBox "traspuesta * regresores calculada" %************************************************************* Call inversamat(numreg, aux2(), inv(), det) If flagdepura = 1 Then MsgBox "inversa calculada. Det=" And MsgBox(det) %************************************************************** % el determinante que saca inversamatriz es el de la matriz ANTES de invertir If det = 0 Then MsgBox "aviso: matriz de regresores singular" % matriz singular %************************************************************** Call multmat(numreg, nobs, nobs, 1, tras(), observ(), aux1()) If flagdepura = 1 Then MsgBox "traspuesta * observaciones calculada" % ******************************************************************** Call multmat(numreg, numreg, numreg, 1, inv(), aux1(), beta()) If flagdepura = 1 Then MsgBox "betas calculadas" % ********************************************************************* % cálculo de la varianza varianza = 0 For I = 1 To numreg varianza = varianza + beta(I,1) * aux1(I,1) Next I varianza = varianza / (nobs-numreg) % *********************************************************************** % prevision For I = 1 To numreg aux1(I,1) = regres(nobs+3,I) Next I prevision = 0 For I = 1 To numreg prevision = prevision + beta(I,1) * aux1(I,1) 71 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. Next I If flagdepura = 1 Then MsgBox "prevision calculada" %************************************************************ %calcular intervalo de confianza Call multmat(numreg, numreg, numreg, 1, inv(), aux1(), aux3()) If flagdepura = 1 Then MsgBox "intervalo de conf calculado" inter = 0 For I = 1 To numreg inter = inter + aux1(I,1) * aux3(I,1) Next I inter = Sqr(inter*varianza) * tstudent(nobs-numreg) % ************************************************************* % impresión de resultados estadísticos Open "C:\Users\rafa\Desktop\REGRESION_DEFINITIVO\REGRESION_PREVISION.txt" For Append As #1 Print #1, nobs; Print #1, prevision; inter; For I = 1 To numreg Print #1, beta(I,1); Next I Close #1 If flagdepura = 1 Then MsgBox "regresio.ent grabado:" And MsgBox(prevision) End Sub % definición de funciones y rutinas % RUTINA para multiplicar matrices C=A*B Sub multmat(nfa As Integer, nca As Integer, nfb As Integer, ncb As Integer, a() As Double, b() As Double, c() As Double) % rutina para multiplicar las matrices A()*B() y devolverla en C() For I = 1 To nfa For j = 1 To ncb c(I, j) = 0 For k = 1 To nca c(I,j) = c(I,j) + a(I,k) * b(k,j) Next k Next j Next I End Sub % RUTINA para calcular la matriz traspuesta B=TRASP(A) Sub traspmat(nf As Integer, nc As Integer, a() As Double, b() As Double) % rutina que calcula la traspuesta de A() y la devuelve en B() For I = 1 To nf For j = 1 To nc Anexo B: Código regresión múltiple 72 b(j,I) = a(I,j) Next j, I End Sub % RUTINA para invertir matrices B=INV(A) Sub inversamat(nf As Integer, a() As Double, b() As Double, det As Double) % rutina para invertir la matriz A() y devolverla en B() % si A() es singular => det=0 % inicialmente B()= matriz identidad det = 1 For I = 1 To nf For j = 1 To nf If I = j Then b(I,j) = 1 Else b(I,j) = 0 End If Next j, I % triangularización For ipaso = 1 To nf % buscamos el mayor elemento de la columna que pivote imx = ipaso For ifila = ipaso To nf If Abs(a(ifila,ipaso)) > Abs(a(imx,ipaso)) Then imx = ifila Next ifila %intercambio de las filas ipaso e imx, tanto en A() como en B() If imx <> ipaso Then For icol = 1 To nf b(ipaso, icol) = b(ipaso,icol) + b(imx,icol) b(imx, icol) = b(ipaso,icol) - b(imx,icol) b(ipaso, icol) = b(ipaso,icol) - b(imx,icol) %solo para la matriz triangular If icol >= ipaso Then a(ipaso, icol) = a(ipaso, icol) + a(imx, icol) a(imx, icol) = a(ipaso, icol) - a(imx, icol) a(ipaso, icol) = a(ipaso, icol) - a(imx, icol) End If Next icol End If % el elemento pivote es A(ipaso,ipaso) pivote=a(ipaso,ipaso) % el determinante es el producto de todos los pivotes det= det*pivote If det=0 Then Exit Sub 73 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. % normalizamos la fila del pivote For icol = 1 To nf b(ipaso,icol) = b(ipaso, icol)/pivote If icol >= ipaso Then a(ipaso,icol)=a(ipaso,icol)/pivote Next icol % hacer cero el pivote para abajo y para arriba (matriz identidad) For ifila = 1 To nf If ifila <> ipaso Then factor=a(ifila, ipaso) For icol = 1 To nf If ifila <> ipaso Then b(ifila, icol) = b(ifila, icol) - factor * b(ipaso,icol) a(ifila, icol) = a(ifila, icol) - factor * a(ipaso,icol) End If Next icol Next ifila Next ipaso End Sub 74 ANEXO C: RESULTADOS REGRESIÓN MÚLTIPLE Día Previsión Observación Desv. Abs. Intervalo Prev. Intervalo. Obs. 20 162,2032 170 7,7968 3 3 21 145,2961 165 19,7039 3 3 22 93,50558 201 107,49442 1 4 23 56,81469 47 9,81469 1 1 24 22,31552 70 47,68448 1 1 25 121,7903 46 75,7903 2 1 26 76,143 96 19,857 1 1 27 151,9859 169 17,0141 3 3 28 117,9384 180 62,0616 2 3 29 103,7187 112 8,2813 1 2 30 100,8653 82 18,8653 1 1 31 105,5205 55 50,5205 1 1 32 118,1711 95 23,1711 2 1 33 159,9229 79 80,9229 3 1 34 74,84648 174 99,15352 1 3 35 28,06083 170 141,93917 1 3 36 139,2787 100 39,2787 1 2 37 85,42847 116 30,57153 1 2 38 153,5015 82 71,5015 3 1 39 121,2698 99 22,2698 2 1 40 133,1909 117 16,1909 2 2 41 112,6903 155 42,3097 2 3 42 123,2115 145 21,7885 2 2 43 -33,36 66 99,36 1 1 44 168,7504 103 65,7504 3 1 45 150,6348 65 85,6348 3 1 46 157,1107 92 65,1107 3 1 47 145,7113 60 85,7113 2 1 48 153,7306 162 8,2694 3 3 49 108,9217 158 49,0783 1 3 50 120,014 43 77,014 2 1 51 82,97377 94 11,02623 1 1 52 90,25272 104 13,74728 1 1 53 102,8548 109 6,1452 1 1 54 125,2987 53 72,2987 2 1 55 115,3731 163 47,6269 2 3 56 144,6921 150 5,3079 2 2 57 100,09 129 28,91 1 2 58 76,2879 63 13,2879 1 1 59 85,022 152 66,978 1 3 75 Estimación de afluencia a eventos multitudinarios. Regresión múltiple y red neuronal. 60 52,82 145 92,18 1 2 61 120,51 137 16,49 2 2 62 115,8072 214 98,1928 2 4 63 140,0259 240 99,9741 2 5 64 120,9248 106 14,9248 2 1 65 93,7903 52 41,7903 1 1 66 103,988 88 15,988 1 1 67 132,4544 131 1,4544 2 2 68 134,6458 104 30,6458 2 1 69 142,7602 220 77,2398 2 4 70 160,6053 241 80,3947 3 5 Anexo D: Código red neuronal 82 % elección de una función de entrenenamiento trainFcn = 'trainbr'; % regularización bayesiana % se crea una red NARX inputDelays = 1:7; feedbackDelays = 1:7; hiddenLayerSize = 10; net = narxnet(inputDelays,feedbackDelays,hiddenLayerSize,'open',trainFcn); % preparación de los datos para el entrenamiento [x,xi,ai,t] = preparets(net,X,{},T); % división de datos para entrenamiento, validación y testeo net.divideParam.trainRatio = 50/100; net.divideParam.valRatio = 15/100; net.divideParam.testRatio = 35/100; % entrenamiento [net,tr] = train(net,x,t,xi,ai); % testeo y = net(x,xi,ai); e = gsubtract(t,y); performance = perform(net,t,y) % visualización de la red view(net) % diagramas: rendimiento, entrenamiento,𝑅2, respuesta, autocorrelación del error figure, plotperform(tr) figure, plottrainstate(tr) figure, plotregression(t,y) figure, plotresponse(t,y) figure, ploterrcorr(e) 83 ANEXO E: RESULTADOS DE LA RED NEURONAL Día Previsión Observación Desv. Abs. Intervalo Prev. Intervalo. Obs. 20 187,126106 170 17,126106 3 3 21 204,210018 165 39,2100183 4 3 22 110,851138 201 90,1488618 2 4 23 107,606715 47 60,6067154 1 1 24 84,0104589 70 14,0104589 1 1 25 91,8018295 46 45,8018295 1 1 26 101,987931 96 5,98793065 1 1 27 181,382971 169 12,3829713 3 3 28 187,244313 180 7,24431335 3 3 29 96,9048994 112 15,0951006 1 2 30 114,009023 82 32,0090228 2 1 31 96,0480266 55 41,0480266 1 1 32 83,8613819 95 11,1386181 2 1 33 73,3233395 79 5,6766605 3 1 34 181,027957 174 7,02795674 3 3 35 167,090101 170 2,90989899 3 3 36 106,541069 100 6,54106928 1 1 37 118,042519 116 2,0425186 2 2 38 104,505256 82 22,5052563 1 1 39 92,9404843 99 6,05951566 1 1 40 91,0091878 117 25,9908122 1 2 41 162,099336 155 7,09933616 3 3 42 157,709281 145 12,7092812 3 2 43 104,656517 66 38,656517 1 1 44 94,6794388 103 8,32056124 1 1 45 103,201581 65 38,2015806 1 1 46 96,3247504 92 4,32475037 1 1 47 85,6677882 60 25,6677882 1 1 48 134,95761 162 27,0423897 2 3 49 176,57665 158 18,5766502 3 3 50 83,4028044 43 40,4028044 1 1 51 108,501739 94 14,5017391 1 1 52 99,4966252 104 4,5033748 1 1 53 113,078444 109 4,07844424 2 1 54 91,2168702 53 38,2168702 1 1 55 193,763755 163 30,7637555 4 3 56 151,362968 150 1,36296823 2 2 57 107,79951 129 21,2004903 1 2 58 90,8520802 63 27,8520802 1 1 59 128,323785 152 23,6762148 2 3 Anexo E: Resultados de la red neuronal 84 60 105,199379 145 39,8006209 1 2 61 132,410207 137 4,58979257 2 2 62 186,780059 214 27,2199412 3 4 63 197,013785 240 42,9862152 4 5 64 115,061161 106 9,06116122 2 1 65 94,6841955 52 42,6841955 1 1 66 124,597297 88 36,5972974 2 1 67 119,032602 131 11,9673979 2 2 68 138,329773 104 34,3297732 2 1 69 200,185235 220 19,8147655 4 4 70 217,695447 241 23,3045529 4 5 85 REFERENCIAS [1] O. 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