Modelado y control en vuelo estacionario de helicópteros autónomos con cable de fijación a tierra

Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 375–389 © 2013 CEA. Publicado por Elsevier España, S.L. Todos los derechos reservados http://dx.doi.org/10.1016/j.riai.2013.09.002 Modelado y control en vuelo estacionario de helicópteros autónomos con cable de fijación a tierra Luis A. Sandinoa,∗, Manuel Béjarb, Konstantin Kondakc, Aníbal Olleroa,d aGRVC. Universidad de Sevilla, Camino de los descubrimientos s/n, 41092, Sevilla, ESPAÑA bGRVC. Universidad Pablo de Olavide, Ctra. Utrera km 1, 41013, Sevilla, ESPAÑA cAgencia Espacial Alemana (DLR), Münchner Strasse 20, Oberpfaffenhofen, 82234, Wessling, ALEMANIA dCentro Avanzado de Tecnologías Aeroespaciales (CATEC), C/Wilbur y Orville Wright 17-19-21, La Rinconada, 41309, Sevilla, ESPAÑA Resumen Los helicópteros son conocidos por sus capacidades de vuelo estacionario (maniobra conocida como hovering), despegue y aterrizaje vertical. Sin embargo, la ejecución de la maniobra de hovering puede verse afectada seriamente por perturbaciones como ráfagas de viento. Lo anterior es más significativo en el caso de helicópteros a escala, que son comúnmente adoptados como plataformas para el desarrollo de vehículos aéreos no tripulados. Para solventar las dificultades anteriores y conseguir maniobras de hovering más estables es posible emplear una configuración consistente en un helicóptero autónomo, un cable de fijación a tierra y un sistema de control que ajusta la tensión en el cable. En este artículo, además de incluir los pasos necesarios para obtener un modelo detallado del sistema, se presenta un análisis de los beneficios inherentes a la configuración con cable, así como el esquema general para el diseño de estrategias de control. A manera de ilustración, se incluyen simulaciones comparativas con perturbaciones de viento generadas artificialmente. Copyright c 2013 CEA. Publicado por Elsevier España, S.L. Todos los derechos reservados. Palabras Clave: Robótica Aérea, Sistemas Aéreos no Tripulados, Dinámica de Helicópteros, Modelado, Control, Estabilización 1. Introducción En los últimos años, los vehículos aéreos no tripulados (UAV por sus siglas en inglés) han atraído un gran interés. Por un lado, la capacidad de acceso a sitios que no pueden alcanzarse con vehículos terrestres los hace más atractivos para tareas como la obtención de datos o el despliegue de instrumentación. Por otra parte, los UAVs evitan los riesgos inherentes a vehículos pilotados por humanos, particularmente en misiones en ambientes hostiles o con requerimientos de maniobrabilidad elevada y dimensiones reducidas. Los costes de operación también son menores con respecto a los vehículos tripulados. Al comparar las diferentes configuraciones de UAVs, las características de las aeronaves de ala rotatoria tales como el vuelo estacionario (maniobra de hovering) o el despegue y aterrizaje vertical, le hacen adquirir un valor añadido sobre las aeronaves de ala fija. Estas características permiten el uso extendido de modelos a escala, tanto autónomos como pilotados remotamente, en aplicaciones que involucran vistas aéreas, como son fotografía, cinematografía e inspección. No obstante, hay que ∗Autor en correspondencia. Correos electrónicos: (Luis A. Sandino), (Manuel Béjar), (Konstantin Kondak), (Aníbal Ollero) tener presente que la ejecución de la maniobra de hovering se ve seriamente afectada por perturbaciones como ráfagas de viento. Si bien es cierto que en la literatura reciente pueden encontrarse muchos avances en lo que respecta al control de helicópteros multi-rotor (quadrotor, hexarotor, etc.) en presencia de perturbaciones de viento, es fácil constatar que no se ha dedicado especial atención al rendimiento de la maniobra de hovering para solventar dicha problemática en el caso de helicópteros convencionales (con rotor principal y rotor de cola). La mayoría de los trabajos con este fin se basan en técnicas de control robusto, como Bendotti and Morris (1995) y Weilenmann et al. (1994). Una contribución más reciente Pradana et al. (2011) plantea el problema de la estabilización del hovering sujeto a incertidumbres paramétricas y perturbaciones externas. Con este objetivo se formula una ley de control con realimentación del estado completo mediante un PID multi-entrada/multisalida sintonizado mediante la teoría H∞de control robusto. Un trabajo en la misma línea, pero usando diferentes variantes de control H∞es de Tijani et al. (2011). En este caso, se diseña un controlador robusto para el hovering mediante técnicas de loop shaping. Una alternativa es el empleo de una configuración extendida que consiste en un helicóptero convencional, un cable de fijación a tierra y un sistema de control que ajusta la tensión en el ScienceDirect 376 Luis A. Sandino et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 375–389 cable para mantener un valor aproximadamente constante: bien desde el helicóptero, compensando las desviaciones de la tensión respecto al valor de referencia mediante la variación de la referencia en posición del propio controlador del helicóptero; o bien desde el punto de fijación a tierra, mediante un dispositivo mecánico de enrollamiento/desenrollamiento de cable controlado de forma independiente. La ventaja de esta configuración extendida es la acción estabilizante de la tensión del cable. Para ilustrar la mejora obtenida, en este trabajo se compara en simulación la respuesta del helicóptero en vuelo libre frente a la respuesta de la configuración con cable ante perturbaciones laterales y longitudinales generadas artificialmente que simulan un patrón de ráfagas de viento. El uso de la tensión de un cable para mejorar la estabilidad de la maniobra de hovering en helicópteros autónomos es un campo prácticamente inexplorado en la literatura. Los únicos precedentes relacionados son Rye (1985), donde se presentan las ecuaciones linealizadas que describen el movimiento longitudinal de un helicóptero fijado a un cable, y Schmidt and Swik (1974), donde se discute los problemas del control y estabilización de un prototipo de aeronave de ala rotatoria fijada a un cable, con especial atención en la dinámica del cable. Los autores de dicho trabajo proponen dos enfoques para el diseño de un controlador para el hovering del sistema con cable. Finalmente, cabe mencionar también las contribuciones de Oh et al. (2006) y Ahmed and Pota (2008). Aunque ambas corresponden a un escenario diferente, el aterrizaje de un helicóptero en la cubierta de un barco, se citan aquí porque hacen uso de un cable como recurso adicional para el control del helicóptero. En esos trabajos, el beneficio del uso del cable viene dado por el aumento de la controlabilidad en lugar de obtener mayor estabilidad. En el contexto de este último escenario, aunque existe un sistema comercial de ayuda al aterrizaje de helicópteros tripulados en barcos mediante un cable (conocido como RAST), su aplicación para helicópteros autónomos no tripulados es desconocida. El artículo se estructura de la siguiente forma. La sección 2 presenta la estrategia de modelado utilizada, incluyendo un resumen general del método de Kane. La sección 3 desarrolla detalladamente el modelo dinámico de un helicóptero convencional a escala conforme al método anterior. En la sección 4 se extiende el modelo mecánico del helicóptero para incluir la configuración con cable. A continuación, en la sección 5, se utiliza el modelo anterior para analizar la influencia del cable en la dinámica del sistema. Como consecuencia de dicho análisis, se propone una serie de pautas de diseño para las estrategias de control de la configuración aumentada. En la sección 6 se presenta el esquema general para el diseño de estrategias de control acordes a las pautas anteriores. Como punto de partida se emplea un esquema general de control del helicóptero en vuelo libre, al cual se le añaden modificaciones teniendo en cuenta los criterios de diseño analizados previamente. Finalmente, la sección 7 incluye las simulaciones de comparación realizadas. La sección 8 está dedicada a las conclusiones. 2. Estrategia de modelado: método de Kane En la actualidad existen diferentes métodos para el modelado de sistemas dinámicos, tales como el método de Newton- Euler, el método de Lagrange-Hamilton, o el método de Kane. Aunque las ecuaciones obtenidas con los diferentes métodos son equivalentes entre sí ya que proporcionan los mismos resultados numéricos en simulación, el método de Kane cuenta con algunas ventajas frente a los métodos clásicos (Sandino et al., 2013b). Uno de estos rasgos diferenciadores de Kane es su efectividad para el modelado de sistemas dinámicos multicuerpo. En efecto, el uso de coordenadas generalizadas qicomo variables de configuración permite que su propia definición incluya las restricciones de configuración del sistema. Asimismo, el uso de coordenadas de rapidez generalizadas uipermite seleccionar un subconjunto mínimo de variables de movimien- to independientes ur, quedando también de esta forma incluida cualquier restricción de movimiento en la propia definición de las variables. A las ventajas anteriores se une el hecho de que una elección apropiada de las coordenadas de rapidez generalizadas permita obtener ecuaciones de movimiento compactas y desacopladas, es decir, diagonales en las derivadas de las variables ur. Además, puesto que la base del método consiste en la proyección de las ecuaciones de Newton-Euler en las direcciones de movimiento definidas por las variables ur, las fuerzas y pares que no producen trabajo no aparecen en las expresiones resultantes para las ecuaciones de movimiento. Se incluye a continuación un resumen del método de Kane: 1. Definir la configuración del sistema seleccionando qi(i= 1,··· ,n) coordenadas generalizadas independientes que representen la posición y la orientación de todos los elementos que conforman el sistema, tanto masas puntuales como sólidos rígidos. En esta definición quedan embebidas las restricciones de configuración del sistema. 2. Definir un conjunto de coordenadas de rapidez generalizada ui(i=1,··· ,n) como funciones lineales de las velocidades generalizadas ˙ qi(i=1,··· ,n) (derivadas de las coordenadas generalizadas): ui= n  j=1 Yij ·˙qj+Zi(i=1,··· ,n) (1) donde los elementos Yij yZide las matrices YyZson funciones, generalmente no-lineales, de las coordenadas generalizadas qi(i=1,··· ,n). Las expresión recíproca de las velocidades generalizadas en términos de las variables de movimiento proporciona las ecuaciones diferenciales cinemáticas del sistema: ˙qi= n  j=1 Wij ·uj+Xi(i=1,··· ,n) (2) donde las matrices WyXvienen dadas por W=Y−1y X=−Y−1Zrespectivamente. 3. Expresar las restricciones de movimiento del sistema (si las hubiera) como un conjunto de ecuaciones lineales en Luis A. Sandino et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 375–389 377 las coordenadas de rapidez generalizadas: n  j=1 Aij ·uj+Bi=0(i=1,··· ,m) (3) donde los elementos Aij yBide las matrices AyBson funciones, generalmente no-lineales, de las coordenadas generalizadas qi(i=1,··· ,n). Dadas mrestricciones de movimiento, habrán mvariables de movimiento dependientes en el conjunto ui(i=1,··· ,n) que pueden ser expresadas en términos de las restantes p=n−mvariables de movimiento independientes. Una vez seleccionadas las pvariables de movimiento independientes, (3) se puede transformar en la siguiente expresión: ui= p  r=1 Cir ·ur+Di(i=p+1,··· ,n) (4) 4. Incluir las restricciones de movimiento en las ecuaciones del sistema sustituyendo (4) en cualquier expresión cinemática (velocidades y velocidades angulares) que contenga las variables de movimiento dependientes ui(i= p+1,··· ,n). 5. Determinar por inspección de las expresiones cinemáticas del sistema (velocidades lineales y angulares de todos sus elementos), las velocidades parciales vPj ry velocidades angulares parciales ωBk rque se definen como las magnitudes vectoriales relacionadas con cada variable de movimiento ur(r=1,··· ,p) en dichas expresiones cinemáticas: vPj r∂NvPj ∂ur (r=1,··· ,p) ωBk r∂NωBk ∂ur (r=1,··· ,p) (5) siendo Pjlos puntos con fuerzas aplicadas, NvPjlas velocidades lineales de dichos puntos en el sistema de referencia inercial N,Bklos sólidos rígidos con momentos aplicados y NωBklas velocidades angulares de dichos sólidos en el sistema de referencia inercial N. 6. Calcular la Fuerza Activa Generalizada Frpara cada una de las variables de movimiento ur(r=1,··· ,p) . Para cada punto Pjcon fuerzas aplicadas y para cada sólido rígido Bkcon momentos aplicados, las Fuerzas Activas Generalizadas se definen como: (Fr)PjvPj r·RPj(r=1,··· ,p) (Fr)BkωBk r·TBk(r=1,··· ,p) (6) donde RPjes la resultante de todas las fuerzas aplicadas actuando sobre PjyTBkes la resultante de todos los momentos aplicados actuando sobre Bk. La Fuerza Activa Generalizada Frde la variable de movimiento urse obtiene sumando los resultados anteriores para todos los elementos del sistema: Fr= j (Fr)Pj+ k (Fr)Bk(r=1,··· ,p) (7) 7. Calcular la Fuerza de Inercia Generalizada F∗ rpara cada una de las variables de movimiento ur(r=1,··· ,p). Para cada punto Pjcon masa mPj, y para cada sólido rígido Bkcon caracterización inercial dada por IBk/BO k, las Fuerzas de Inercia Generalizadas se definen como: (F∗ r)PjvPj r·R∗ Pj(r=1,··· ,p) (F∗ r)BkωBk r·T∗ Bk(r=1,··· ,p) (8) donde R∗ Pjes la fuerza de inercia de Pj(derivada temporal en Ncon signo negativo del momento lineal LPj= mPj NvPj)yT∗ Bkes el momento de inercia de Bk(derivada temporal en Ncon signo negativo del momento angular HBk=IBk/BO k·NωBk), definidos como: R∗ Pj −mPj NaPj T∗ Bk −IBk/BO k·NαBk+NωBk×IBk/BO k·NωBk(9) donde mPjes la masa de Pj,NaPjNdNvPj dt es la aceleración de Pjen N,IBk/BO kes la diada de inercia de Bk alrededor de su centro de masa BO k,NωBkes la velocidad angular de Bken NyNαBkNdNωBk dt es la aceleración angular de Bken N. La Fuerza de Inercia Generalizada F∗ r se obtiene sumando los resultados anteriores para todos los elementos del sistema: F∗ r= j (F∗ r)Pj+ k (F∗ r)Bk(r=1,··· ,p) (10) 8. Formular las ecuaciones diferenciales dinámicas del sistema como: Fr+F∗ r=0(r=1,··· ,p) (11) 9. Las ecuaciones diferenciales cinemáticas (2) junto con las ecuaciones diferenciales dinámicas (11) forman las ecuaciones de movimiento del sistema. 3. Modelo mecánico del helicóptero Esta sección describe el modelo mecánico de un helicóptero convencional a escala con rotor principal rígido. El objetivo es presentar un modelo que reproduzca fielmente el comportamiento del sistema real y que a su vez sea lo suficientemente simple para facilitar el análisis y el diseño de estrategias de control. En Kondak et al. (2006) se postula que la dinámica de este tipo de helicópteros puede ser descrita únicamente por el modelo mecánico del sistema, siempre que se trate de aplicaciones que no requieran maniobras realmente agresivas. En particular, los autores llevaron a cabo experimentos para demostrar que la inclusión en el procedimiento de diseño del controlador de parámetros correspondientes a un modelo aerodinámico del rotor principal no aportaba mejoras significativas en el rendimiento del controlador. El presente artículo adopta las mismas consideraciones, por lo que el modelo utilizado como base para analizar 378 Luis A. Sandino et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 375–389 1 FO TRO MRO HO O dO-MR,3 dO-F,3 dO-TR,1 H P F f3 f2 f1 mr3 mr2 mr1 dO-P,3 MR NO n3 n2 n1 Figura 1: Esquema del modelo mecánico del helicóptero en vuelo libre: sistemas de referencia, centros de masa y dimensiones de interés el sistema y derivar las leyes de control vendrá dado únicamente por el modelo mecánico, tanto para el helicóptero en vuelo libre como para el helicóptero con el sistema de estabilización aumentada que provee el cable de fijación a tierra. La Fig.1 ilustra el esquema del modelo mecánico utilizado en el caso del helicóptero en vuelo libre. Se considera el caso general en el que el sistema está formado por dos sólidos rígidos: fuselaje y rotor principal. El rotor de cola actúa simplemente como un punto de aplicación de fuerza sobre el fuselaje. Esta caracterización se justifica por el hecho de que en la mayoría de helicópteros a escala disponibles en el mercado, el efecto inercial del rotor principal (efecto giroscópico) es el componente más importante que afecta a la dinámica rotacional del sistema completo mientras que el efecto inercial del rotor de cola es despreciable. 3.1. Geometría y distribución de masa El movimiento del helicóptero se describe en el sistema de referencia inercial Ndefinido por el conjunto dextrógiro ni(i= 1,2,3) de vectores unitarios ortogonales. El fuselaje descrito por Ftiene masa mFy su centro de masa es FO. El rotor principal descrito por MR, con masa mMR y centro de masa MRO, se modela como un disco delgado rotando con velocidad angular constante ωMRf3y una distribución de masa equivalente a la de las palas. El conjunto dextrógiro fi(i=1,2,3) de vectores unitarios ortogonales ligado a Fy el conjunto dextrógiro mri(i=1,2,3) de vectores unitarios ortogonales ligado a MR, ambos coincidiendo con los ejes principales de inercia, permiten la definición de las diadas centrales de inercia del fuselaje y del rotor principal como: IMR/MRO=IMR11mr1mr1+IMR11mr2mr2+2·IMR11mr3mr3 IF/FO=IF11f1f1+IF22f2f2+IF33f3f3(12) siendo mr3=f3el eje de rotación de MR fijado en F. Las constantes IF11,IF22,IF33 yIMR11 son, por lo tanto, los momentos principales de inercia de los sólidos rígidos correspondientes. El punto de referencia adicional O, fijo en el sistema de referencia de F, se utiliza para describir la posición de los puntos FO,MRO,TRO(centro del rotor de cola) y P(punto de fijación del cable en el helicóptero) por medio de las correspondientes Tabla 1: Matriz de cosenos directores f1f2f3 n1c5c6−c5s6s5 n2c4s6+s4s5c6c4c6−s4s5s6−s4c5 n3s4s6−c4s5c6s4c6+c4s5s6c4c5 donde si=sin(qi)yci=cos(qi) dimensiones definidas en la Fig. 1: pO→FO=dO−FO,3f3pO→MRO=dO−MRO,3f3 pO→TRO=dO−TRO,1f1pO→P=dO−P,3f3(13) Se supone que el helicóptero es simétrico en la dirección lateral y que FOse encuentra en el eje de rotación del rotor principal. Bajo estas hipótesis, la posición del centro de masa del sistema completo HOrespecto al punto Oestá determinada por: pO→HO=mFpO→FO+mMRpO→MRO mF+mMR =mF·dO−FO,3+mMR ·dO−MRO,3 mF+mMR f3 =dO−HO,3f3(14) 3.2. Variables de configuración Una vez especificadas la geometría y la distribución de masa del sistema, el siguiente paso es la definición de las variables de configuración que describen la posición y orientación del mismo. La posición del centro de masa HOen el sistema inercial de referencia Nse describe mediante las coordenadas generalizadas qi(i=1,2,3): pNO→HO=q1n1+q2n2+q3n3(15) Las coordenadas generalizadas qi(i=4,5,6) son los ángulos de Euler (forma alabeo-cabeceo-guiñada o body1-2-3,ver Kane et al. (1983)) que describen las sucesivas rotaciones que hacen que el sistema inercial de referencia Nadquiera la misma orientación del sistema local de referencia F. De esta forma, los vectores niyfise relacionan geométricamente mediante la matriz de cosenos directores de la Tabla 1. 3.3. Variables de movimiento y cinemática El movimiento del helicóptero en el sistema de referencia inercial Nestá determinado por las siguientes expresiones cinemáticas: NvHO NdpO→HO dt =˙q1n1+˙q2n2+˙q3n3(16) NωFf1 dNf2 dt ·f3+f2 dNf3 dt ·f1+f3 dNf1 dt ·f2 =(s6˙q5+c5c6˙q4)f1+(c6˙q5−s6c5˙q4)f2+ +(˙q6+s5˙q4)f3(17) Luis A. Sandino et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 375–389 379 1 FO TRO MRO O MMR,2 FMR MF FTR MMR,3 MMR,1 WF WMR P TC Figura 2: Fuerzas y momentos aplicados sobre el helicóptero. La tensión TC soló está presente en la configuración con cable Las variables de rapidez generalizada ui(i=1,··· ,6) se definen de manera que (16) y (17) se puedan escribir de forma compacta: ui˙qi(i=1,2,3) ⇒NvHO=u1n1+u2n2+u3n3(18) u4s6˙q5+c5c6˙q4 u5c6˙q5−s6c5˙q4 u6˙q6+s5˙q4 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⇒NωF=u4f1+u5f2+u6f3(19) Esta definición de coordenadas y variables de rapidez generalizadas proporciona las siguientes ecuaciones diferenciales cinemáticas para la traslación: ˙qi=ui(i=1,2,3) (20) así como para la rotación: ˙q4=−(s6u5−c6u4)/c5 ˙q5=s6u4+c6u5 ˙q6=u6+s5(s6u5−c6u4)/c5(21) Asimismo, las direcciones de variación dadas por las velocidades parciales (derivadas de la velocidad respecto a las variables de rapidez generalizada) asociadas a esta definición permitirán obtener ecuaciones diferenciales dinámicas desacopladas en las derivadas de las variables de rapidez generalizada, cómo se ve más adelante. 3.4. Dinámica Las fuerzas y momentos aplicados al sistema pueden verse en la Fig. 2. El rotor principal genera la fuerza FMR =fMR,3f3 aplicada en el punto MROy los momentos MMR,i=tMR,ifi(i= 1,2,3) aplicados al sólido rígido MR, mientras que el rotor de cola genera la fuerza FTR =fTR,2f2aplicada en el punto TRO y el momento MF=tTR,2f2aplicado al sólido rígido F. También se considera la fuerza de la gravedad Wj=−mjgn3(j= F,MR) aplicada en los centros de masa FOyMRO, donde ges la aceleración de la gravedad. El siguiente paso de acuerdo al método de Kane es la obtención de las velocidades parciales y velocidades angulares parciales para todos los sólidos rígidos y puntos con fuerzas aplicadas del sistema en consideración usando (5). A continuación, las fuerzas activas/de inercia generalizadas se calculan mediante (6)-(10) como el producto escalar entre las velocidades parciales y las fuerzas activas/de inercia, así como el producto escalar entre las velocidades angulares parciales y los momentos activos/de inercia. De esta forma, las ecuaciones de Kane no son más que la proyección, para cada variable de rapidez generalizada, de todas las fuerzas activas/de inercia sobre la dirección de variación de la correspondiente variable de rapidez generalizada. La aplicación del método de Kane se puede realizar fácilmente con el software MotionGenesis Kane 5.x (2012), un programa de manipulación simbólica para el análisis de sistemas mecánicos que implementa el método de Kane (Kane and Levinson, 1985). Empleando dicho programa para obtener (11), las ecuaciones diferenciales dinámicas resultan: MH˙u1=fMR,3s5−fTR,2c5s6 MH˙u2=fTR,2(c4c6−s4s5s6)−fMR,3s4c5 MH˙u3=fMR,3c4c5+fTR,2(s4c6+c4s5s6)−MHg(22) para la traslación y: K4p4˙u4=tMR,1+dO−HO,3fTR,2+(K456u6+K45)u5 K5p5˙u5=tMR,2+tTR,2+(K546u6+K54)u4 K6p6˙u6=tMR,3+dO−TRO,1fTR,2+K645u4u5(23) para la rotación, donde MH=mF+mMR y los parámetros Kxxx son: K456 =IF22 −IF33 −IMR11 +I∗ K4p4=IF11 +IMR11 +I∗ K45 =−2IMR11ωMR K546 =IF33 −IF11 +IMR11 −I∗ K5p5=IF22 +IMR11 +I∗ K54 =2IMR11ωMR K645 =IF11 −IF22 K6p6=IF33 +2·IMR11 I∗=mF·mMR ·(dO−FO,3−dO−MRO,3)2 mF+mMR (24) El modelo mecánico completo del helicóptero viene dado por el conjunto de ecuaciones de movimiento (20), (21), (22) y (23). Es destacable que dichas ecuaciones estén desacopladas en las derivadas de las variables de rapidez generalizadas ˙ur gracias a las definiciones planteadas en (18) y (19). Esto permite integrar numéricamente el modelo de forma sencilla. Nótese también que las fuerzas y momentos de interacción entre el rotor principal y el fuselaje no han tenido que ser definidos en ningún momento durante la formulación, dado que el el método de Kane se deriva del principio de D’Alembert, donde dichas fuerzas y momentos no son tenidos en cuenta ya que no realizan trabajo. Como se menciona al comienzo de la sección, sólo será considerado el modelo mecánico para el análisis y diseño de estrategias de control. Por este motivo, las fuerzas y momentos aplicados en el sistema se consideran como las entradas de control. El conjunto de fuerzas y momentos cuyos valores pueden ser fijados independientemente por el controlador son 380 Luis A. Sandino et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 375–389 Tabla 2: Parámetros del modelo mecánico del helicóptero usados en simulación Parámetro Valor Unidades Acel. gravedad g9,81 m s2 Masa fuselaje mF12 kg Masa rotor ppal. mMR 0,67 kg Inercia fuselaje IF11 0,6N·m·s2 -IF22 1N·m·s2 -IF33 1N·m·s2 Inercial rotor ppal. IMR11 0,1159 N·m·s2 Vel. angular rotor ppal. ωMR −141,37 1 s Geometría dO−FO,3−0,11 m -dO−MRO,30,166 m -dO−TRO,1−1,08 m -dO−P,3−0,3m fMR,3,tMR,1,tMR,2yfTR,2. En la implementación del controlador en el helicóptero real estas entradas se transforman en posiciones de servo-motores utilizando funciones lineales simples con sólo tres constantes desconocidas: la primera constante describe la relación entre el colectivo del rotor principal y la fuerza de sustentación fMR,3, la segunda la relación entre el cíclico del rotor principal y los momentos tMR,1ytMR,2y la tercera la relación entre el colectivo del rotor de cola y la fuerza fTR,2. Estas constantes se pueden identificar experimentalmente. En Kondak et al. (2006) se validó este procedimiento para caracterizar linealmente la aerodinámica en vuelos experimentales. Finalmente, los valores de los parámetros del modelo que se han utilizado en las simulaciones de este artículo se muestran en la Tabla 2. 4. Extensión del modelo mecánico. Helicóptero unido a tierra mediante cable estabilizador Esta sección presenta el modelo correspondiente a la configuración propuesta en este trabajo para estabilizar la maniobra de hovering, es decir, la fijación del helicóptero a un punto de referencia en tierra mediante un cable. De nuevo, se hace énfasis en la caracterización mecánica para proporcionar un modelo adecuado para el análisis y diseño de estrategias de control. Se considera un cable que une el punto Pdel helicóptero con el punto de fijación en tierra del cable, que se hará coincidir con el origen del sistema inercial de referencia NOcomo se muestra en la Fig. 3. Las uniones del cable con el helicóptero y con el punto de referencia en tierra se realizan mediante juntas universales o de Cardan que permiten el movimiento libre de dicho cable, a la vez que se registran los ángulos que describen la posición relativa del cable al helicóptero y a tierra, respectivamente. En esta nueva configuración, la posición del helicóptero en el sistema de referencia inercial Nse redefine mediante el uso 1 NO FO TRO MRO n3 n2 n1 HO O dO-MR,3 dO-F,3 dO-TR,1 H N P q9 F f3 f2 f1 mr3 mr2 mr1 c3 dO-P,3 q7 q8 n'2 TC MR Figura 3: Esquema del helicóptero restringido por el cable Tabla 3: Parámetros del cable usados en simulación Parámetro Valor Unidades Longitud natural inicial L0 N10 m Constante de elasticidad KC40 N m de las coordenadas generalizadas esféricas qi(i=7,8,9) representadas en las Figs.3y4aconelfindesimplificar la formulación de las ecuaciones dinámicas como se verá más adelante. Como se puede observar, las coordenadas q7,8se corresponden con las dos rotaciones consecutivas de la junta universal en el punto NOque orientan la dirección paralela al vector unitario n3sobre la línea que representa el cable, definida por el vector c3. La coordenada q9se corresponde con la longitud instantánea del cable estirado, es decir, la distancia entre los puntos NOy P. De esta manera, se puede obtener la posición del helicóptero respecto al sistema inercia de referencia Nmediante: pNO→P=q9c3(25) El cable se modela como un elemento elástico, por lo que la tensión que actúa en el punto P(ver Fig. 2) viene dada por: TC=−TCc3=−KC(q9−LN)c3 KC⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ =0 para q9<LN >0 para q9>LN (26) donde LNyKCson la longitud natural y la constante de elasticidad del cable, respectivamente. Los valores de estos parámetros usados en simulación se muestran en la Tabla 3. Esta nueva definición de variables de configuración esféricas q7,8,9al tiempo que se mantienen las variables de movimien- to Cartesianas u1,2,3, requiere un nuevo análisis de la cinemática del sistema. Para esto, se calcula NvHO=NdpNO→HO dt (teniendo en cuenta que ahora pNO→HO=pNO→P+pP→O+pO→HO) y se compara con (16). La expresión resultante se resuelve para ˙q7,8,9,lo Luis A. Sandino et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 375–389 381 cuál proporciona: ˙qi= 6  r=1 Mir ·ur(i=7,8,9) (27) donde los elementos Mir de la matriz Mson funciones de q4,5,6 yq7,8,9. Aunque las ecuaciones cinemáticas dadas por (27) son más complejas que (20) (Mes una matriz densa), la ventaja de usar las variables de configuración esféricas q7,8,9junto con las variables de movimiento Cartesianas u1,2,3radica en el planteamiento de las ecuaciones diferenciales dinámicas, dado que éstas resultan mucho más compactas que aquellas planteadas con coordenadas Cartesianas tanto para las variables de configuración (q1,2,3) como para las variables de movimiento (u1,2,3). Las expresiones finales para la dinámica de la configuración con cable se obtienen aplicando de nuevo el método de Kane. Las nuevas ecuaciones diferenciales dinámicas para la traslación resultan: MH˙u1=RHS1−TCs8 MH˙u2=RHS2+TCs7c8 MH˙u3=RHS3−TCc7c8(28) mientras que para la rotación resultan: K4p4˙u4=RHS4+TC(dO−P,3−dO−HO,3)·(c7c8(s4c6+s5s6c4)− −s7c8(c4c6−s4s5s6)−s6s8c5) K5p5˙u5=RHS5+TC(dO−P,3−dO−HO,3)·(s7c8(s6c4+s4s5c6)− −c7c8(s4s6−s5c4c6)−s8c5c6) K6p6˙u6=RHS6(29) donde los términos RHSise corresponden con la parte derecha de las ecuaciones (22) y (23). 5. Criterios de diseño para estrategias de control En este apartado se establecen las pautas de diseño para estrategias de control basadas en las conclusiones que se extraen a partir del análisis de la configuración sin cable dada por (22) y (23) y de la configuración con cable dada por (28) y (29). 5.1. Influencia del cable en la dinámica del sistema Mediante el análisis de la dinámica correspondiente a la configuración con cable dada por (28) y (29) se puede concluir que el cable ejerce dos efectos diferentes sobre el sistema. En primer lugar, proporciona robustez frente a perturbaciones dada la estabilización mecánica que aporta la tensión en la dinámica traslacional. En segundo lugar, el momento inducido por la desviación entre el punto Pde aplicación de la tensión y el centro de masa del helicóptero HO, produce un acoplamiento no deseado entre las dinámicas traslacional y rotacional que dificulta la controlabilidad del sistema. Es importante resaltar que el valor de este momento causado por la tensión del cable puede ser similar o incluso mayor que los momentos requeridos para controlar la rotación del helicóptero en vuelo libre. 5.2. Objetivo de control para la tensión del cable Teniendo presentes las implicaciones anteriores de la utilización del cable, llegamos al punto en el que debe definirse un objetivo de control Tref Cpara la tensión del cable. La definición anterior debe maximizar los beneficios del efecto estabilizador en la dinámica traslacional y al mismo tiempo mantener la influencia rotacional no deseada bajo control. La complejidad de satisfacer ambos objetivos a la vez sugiere la definición de un patrón sencillo que facilite el proceso de diseño de las estrategias de control. Por lo tanto, la referencia seleccionada viene dada por un perfil de Tref Cconstante. El siguiente paso es establecer el rango en el que se fijará el valor constante de referencia para la tensión. Si bien es cierto que valores altos de tensión reforzarían la acción estabilizadora en la dinámica traslacional, deben tenerse en cuenta que cuan- to mayor es la tensión, más alta puede ser la degradación del control en la dinámica rotacional. Por lo tanto, el máximo valor de tensión debe definirse de tal manera que el momento inducido sea menor que el máximo momento generado por el rotor, lo cuál corresponde a la saturación del control cíclico. Usando una estimación de dicho límite de saturación para un modelo comercial típico de helicóptero a escala tmax MR1,2, se puede concluir que la magnitud de la tensión no debe exceder el 20 % de la fuerza de sustentación generada por el rotor en la maniobra de hovering: pP→HO×TC<tmax MR1,2⇒ dO−P,3−dO−HO,3TC<tmax MR1,2⇒ TC<tmax MR1,2 dO−P,3−dO−HO,3 ≈0,2·fhover MR,3(30) Finalmente, para prevenir que el cable se rompa debido a incrementos bruscos de tensión causados por perturbaciones externas como ráfagas de viento, deben ser incluidos en el sistema dispositivos adicionales de seguridad que permitan la liberación del cable en tales casos. 5.3. Relación entre dinámica rotacional y traslacional Observando la dinámica de la configuración sin cable dada por (22) y (23) es fácil comprobar que la dinámica rotacional está desacoplada de la dinámica traslacional, lo cuál significa que en las ecuaciones rotacionales sólo intervienen las velocidades angulares del helicóptero y los momentos generados por el rotor. Por el contrario, las aceleraciones traslacionales dependen de la fuerza de sustentación generada por el rotor pero también de la orientación del helicóptero. Por lo tanto, la relación entre dinámica rotacional y traslacional para el helicóptero en vuelo libre se considera unidireccional y de la forma “rotación ⇒traslación”, lo que traducido a las variables del sistema se convierte en: ˙u456 →˙q456 →˙u123 (31) A diferencia del modelo libre anteriormente analizado, en la descripción dinámica correspondiente a la configuración con 382 Luis A. Sandino et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 375–389 cable dada por (28) y (29) existe una fuerza adicional actuando sobre el helicóptero debida a la tensión del cable. Dicha tensión produce un momento que modifica la dinámica rotacional ya que el punto de aplicación de la fuerza sobre el fuselaje no coincide con el centro de masa del sistema. Este momento depende tanto de la orientación como del movimiento traslacional del helicóptero en el sistema de referencia inercial N. Como resultado, la relación entre dinámica rotacional y traslacional es ahora más compleja, siendo bidireccional de la forma “rotación ⇔traslación”, lo que traducido a las variables del sistema se convierte en: ˙u456 →˙q456 →˙u123 →˙q789 ˙q456 ←˙u456 ←˙q789 ←˙u123 (32) 5.4. Esquema de prealimentación Con el fin de contrarrestar la influencia no deseada en la dinámica rotacional descrita anteriormente, se propone un esquema de prealimentación basado en la estimación del vector de tensión del cable. Para ello, el dispositivo de agarre del cable en el punto de fijación a tierra formado por la junta universal o de Cardan cuenta además con una célula de carga que permite medir la magnitud de la tensión Test Cque el cable ejerce sobre el helicóptero en todo momento. Con el fin de estimar la orientación del vector de tensión qest 7,8, también se dispone de dos codificadores rotatorios que proporcionan medidas de los ángulos que definen la dirección del cable, como se ilustra en la Fig. 4a. Este dispositivo de agarre del cable es análogo al dispositivo para transporte de cargas descrito en Bernard et al. (2011). Una vez conocida y transmitida al helicóptero la estimación del vector de tensión TCest, el momento generado por la tensión puede expresarse como: tcable i=pP→HO×TCest·fii=1,2 (33) De esta forma, el esquema de control de orientación resultante para la configuración con cable estará formado por el controlador de orientación del helicóptero en vuelo libre y un bloque CF−fwd que calcula el momento generado por la tensión. Dicho momento se resta de los momentos de control que debe generar el rotor calculados por el controlador de orientación del helicóptero en vuelo libre, como se muestra en la Fig. 4b. El uso de la prealimentación tiene dos ventajas principales, como puede verse en Bernard and Kondak (2009). La primera es que el controlador de orientación para la configuración con cable se simplifica, ya que basta con añadir una pequeña modificación al controlador para el helicóptero en vuelo libre. La segunda es que el sistema en bucle cerrado resulta bastante robusto ante variaciones de los parámetros del sistema y perturbaciones. 6. Estrategias de control En esta sección se presenta el esquema general de diseño que deben seguir las estrategias de control aplicadas en la estabilización de la maniobra de hovering para el helicóptero con el n1 n2 n3 c3 NO 7 8 n2' (a) Ilustración del dispositivo de agarre del cable en el punto de fijación en tierra q4,5* q4,5,6 u4,5 tMR,1,2 ROT F-fwd TC pP->HO +- (b) Controlador de orientación modificado con bloque de estimación de la tensión Figura 4: Esquema de prealimentación cable de fijación a tierra. Como punto de partida se emplea un esquema general de control del helicóptero en vuelo libre. Posteriormente, añadiendo las modificaciones oportunas teniendo en cuenta las conclusiones obtenidas en la sección anterior, se analiza la aplicación de dicho esquema general a las dos formas posibles de controlar la tensión ejercida por el cable: 1. Control de la tensión del cable mediante el controlador del helicóptero 2. Control de la tensión del cable mediante un dispositivo situado en el punto de fijación a tierra La Fig. 5 resume el esquema general de control del helicóptero en vuelo libre. Los bloques de color gris se corresponden con el modelo del helicóptero y los de color blanco con el controlador. Las entradas al controlador son la referencia en posición q∗ 1,2,3 y la referencia en ángulo de guiñada q∗ 6. La base fundamental para el funcionamiento del controlador consiste en que la orientación del plano del rotor principal y la fuerza de sustentación producida por dicho rotor se ajusten para generar la aceleración traslacional adecuada para corregir el error en posición. El esquema de control que implementa lo anterior está compuesto por un bucle interior y otro exterior. El controlador del bucle exterior (representado por el bloque CTRAS) debe calcular la orientación q∗ 4,5del plano del rotor principal y la fuerza de sustentación FMR que son necesarios para reducir los errores en posición. El seguimiento de las referencias de orientación q∗ 4,5del plano del rotor principal se consigue mediante el controlador del bucle interior (representado por el bloque CROT ) que debe calcular los momentos MMR,1,2 adecuados. Finalmente, la orientación del ángulo de guiñada se consigue mediante el controlador del bucle basado en el giróscopo de cola (representado por el bloque CTAIL) que debe calcular la fuerza del rotor de cola FTR necesaria. 6.1. Esquema de control de la tensión del cable mediante el controlador del helicóptero (C1) Como se concluyó en la sección anterior de criterios generales de diseño para el control, el objetivo es mantener una tensión en el cable lo más constante posible y de valor alrededor del 20 % del peso total del helicóptero. En el enfoque propuesto en este apartado, se compensan las desviaciones de la tensión respecto a dicho valor objetivo mediante la variación de la referencia en posición del controlador del helicóptero en Luis A. Sandino et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 375–389 383 123456 456 ROTTRAS q1,2,3*q1,2,3 fMR,3 q4,5*t MR,1,2 u’4,5,6 u4,5,6 q’4,5,6 q4,5,6 u’1,2,3 q’1,2,3 TAIL q6* fTR,2 u4,5 q4,5,6 tMR,3 tTR,2 q1,2,3 q6u6 fMR,3 fTR,2 Figura 5: Esquema general de control del helicóptero en vuelo libre vuelo libre, al cual se le añade el esquema de prealimentación planteado anteriormente. Es decir, se genera una referencia en posición para el helicóptero que compensa su movimiento relativo respecto al punto de fijación en tierra, de forma que la tensión se mantenga más o menos constante. La Fig. 6 muestra dicho proceso automático de generación de la referencia en posición para el helicóptero. El valor medido de la tensión Test Cse compara con la tensión de referencia constante Tref Cy mediante el bloque C1, se genera la referencia para la variable q9. Esta referencia, junto con un valor de referencia para los ángulos q7,8=0, se transforman mediante un cambio geométrico de coordenadas en referencias para las variables de posición q1,2,3: q3=q9cos(q7) cos(q8)+(dO−HO,3−dO−P,3) cos(q4) cos(q5) q2=−q9sin(q7) cos(q8)−(dO−HO,3−dO−P,3) sin(q4) cos(q5) q1=q9sin(q8)+(dO−HO,3−dO−P,3) sin(q5) (34) 1 +- TC ref TC ++ q9* q9 0 q7 0q8 0 q1,2,3* Figura 6: Control de la tensión del cable desde el helicóptero Nótese que esta estrategia de control implica que el helicóptero tenderá a moverse siempre sobre una superficie esférica definida por el valor de la variable q9que hace que la tensión del cable sea constante, perdiendo de esta forma el sistema uno de los tres grados de libertad en el movimiento traslacional. 6.2. Esquema de control de la tensión del cable mediante un dispositivo situado en el punto de fijación a tierra (C2) De nuevo se parte del objetivo de mantener una tensión en el cable lo más constante posible y de valor alrededor del 20 % del peso total del helicóptero. En este caso se propone corregir las desviaciones sobre el valor objetivo de tensión mediante la variación del parámetro correspondiente a la longitud natural del cable LNen (26). Para implementar este enfoque se necesita un dispositivo de enrollamiento/desenrollamiento de cable instalado en el punto de fijación a tierra y controlado de forma independiente al helicóptero. Una estrategia análoga fue propuesta en Sandino et al. (2013a). Se considera el siguiente modelo sencillo para la actuación del dispositivo situado en tierra, que proporciona una relación entre la variación de la longitud natural del cable dLN dt ylaentrada de control RCque controla dicha variación: dLN dt =RC(35) La Fig. 7 muestra el esquema de control del dispositivo en el punto de fijación en tierra. El valor medido de la tensión Test Cse compara con la tensión de referencia constante Tref Cy mediante un controlador representado por el bloque C2,segenera la señal de control RCpara la velocidad de enrollamien- to/desenrollamiento. Respecto al helicóptero, el controlador es el mismo planteado en el esquema anterior (controlador en vuelo libre más esquema de prealimentación) eliminando el cálculo automático de la referencia para la variable q9. 2 + - TC ref TC ++ dLN/dt LN 0 LN Figura 7: Control de la tensión del cable desde el punto de fijación a tierra En diferencia al caso anterior, esta estrategia permite conservar los cuatro grados de libertad en la definición de referencias de movimiento del caso en vuelo libre, ya que el sistema