Dificultades del estimador máximo verosímil en el modelo de producción half-normal con frontera estocástica

DIFICULTADES DEL ESTIMADOR MÁXIMO VEROSÍMIL EN EL MODELO DE PRODUCCIÓN HALF-NORMAL CON FRONTERA ESTOCÁSTICA FCO. JAVIER ORTEGA IRIZO e-mail: [email protected] JOSÉ MANUEL GAVILÁN RUIZ e-mail: [email protected] JOSÉ ANTONIO CAMÚÑEZ RUÍZ e-mail: [email protected] Departamento de Economía Aplicada I. UNIVERSIDAD DE SEVILLA Avenida Ramón y Cajal, nº1. 41018-Sevilla. RESUMEN El uso del método de máxima verosimilitud para estimar modelos de producción Half-Normal con frontera estocástica, conlleva algunas dificultades prácticas que tal vez no han sido suficientemente enfatizadas. En consecuencia, los resultados obtenidos por los métodos numéricos implementados en el software desarrollado en este área, se deberían tomar con cautela. Además, tales problemas pueden aparecer en una proporción importante de muestras, por lo que no es extraño encontrarse con ellos al usar este tipo de modelos. Palabras clave: Modelos de producción, Frontera estocástica, Estimador máximo verosímil. Área temática: Métodos cuantitativos ABSTRACT Using the method of maximum likelihood in order to estimate Half-Normal stochastic frontier productions models entails several practical difficulties that perhaps have not been emphasised enough. As a consequence, the results obtained from the numerical methods implemented in the developed software in this subject, should be taken with caution. Moreover, such problems can appear in an important proportion of samples, and then it is not surprising to come across them when using this kind of models. Key words: Production models, Stochastic Frontier, Maximum likelihood estimator. Thematic Area: Quantitative Methods 2 DIFICULTADES DEL ESTIMADOR MÁXIMO VEROSÍMIL EN EL MODELO DE PRODUCCIÓN HALF-NORMAL CON FRONTERA ESTOCÁSTICA 1. INTRODUCCIÓN El origen del análisis de modelos econométricos de producción con frontera y el cálculo de medidas de eficiencia puede situarse en el trabajo de Farrell (1957), en el que se estableció la novedosa idea de analizar la eficiencia de un proceso productivo en términos de las desviaciones observadas entre la producción real y una frontera ideal de output máximo. En términos econométricos, dichas desviaciones podrían ser identificadas con perturbaciones aleatorias en un modelo de regresión. Siguiendo la iniciativa de Farrel, Aigner and Chu (1968) proponen un modelo en el que se expresa un determinado output en función de una serie de inputs y parámetros desconocidos más una perturbación aleatoria negativa; la parte determinista del modelo representa la frontera de producción o valor máximo alcanzable de outputs para unos inputs dados, mientras que la perturbación aleatoria (diferencia entre la producción real y la máxima posible) representaría el grado de ineficiencia en el proceso productivo. Alternativamente, podemos utilizar la formulación dual de este problema, en la que la variable dependiente es el coste de producción y la perturbación aleatoria sería positiva, representando la parte determinista del modelo el coste mínimo de producción para unos inputs dados. Esta formulación, denominada habitualmente modelo de producción con frontera determinista, presenta dificultades de estimación, debido al hecho de que la modelización de la perturbación unilateral rompe las hipótesis habituales de regularidad asumidas para la obtención de las propiedades asintóticas del estimador máximo verosímil (EMV) (Ortega y Basulto, 2009; Ortega et al. 2009). Otro inconveniente que se ha destacado acerca de este modelo es su gran sensibilidad a la presencia de outliers y/o valores extremos (Simar, 2007). Para evitar esta cuestión, se han propuesto métodos de estimación que permiten dejar un cierto porcentaje de observaciones “por encima” de la frontera estimada (Cazals et al., 2002 y Daouia and Simar, 2004). Pero sobre todo se ha argumentado que esta modelización no tiene en cuenta ninguna fuente de errores de 3 medida ni ningún otro tipo de variaciones aleatorias que serían achacadas a ineficiencia en el proceso productivo. Tratando de dar respuesta a este último problema, Aigner et al. (1977), Battese and Corra (1977) y Meusen and van den Broeck (1977) formularon modelos econométricos con término de error compuesto, que actualmente conocemos por modelos de producción con frontera estocástica. En ellos, se introducen dos perturbaciones; una es una medida de la ineficiencia, mientras que la otra refleja todas las posibles fuentes de variación aleatorias. En estos modelos, se verifican las condiciones de regularidad habituales, por lo que podemos aplicar las propiedades asintóticas del estimador máximo-verosímil para llevar a cabo nuestras inferencias. Además, el desarrollo de software específico (como FRONTIER y LIMDEP) ha hecho que el uso de los modelos de frontera estocástica esté en la actualidad ampliamente difundido. La obtención del estimador máximo verosímil (EMV) se basa en el uso de algoritmos numéricos de maximización de funciones (tipo gradiente, Newton-Rapson, etc.), ya que no es posible obtener expresiones explícitas para calcular el máximo de la función de verosimilitud. Es decir, en definitiva se trata de resolver numéricamente un problema de maximización. El objetivo de este trabajo es poner de manifiesto que en este caso se presentan algunas dificultades prácticas que tal vez no han sido enfatizadas hasta ahora suficientemente y que hacen que debamos analizar con cautela los resultados arrojados por los métodos de cálculo numérico implementados en el software desarrollado al efecto. Además, dichos problemas pueden aparecer en una proporción importante de muestras, por lo que no es extraño que nos encontremos con ellos al trabajar con este tipo de modelos. La primera dificultad, que ha recibido mayor atención en la literatura especializada, aparece cuando los residuos obtenidos por el método de Mínimos Cuadrados muestran asimetría contraria a la asimetría teórica de la distribución del término de perturbación compuesto. En este caso, decimos que los residuos muestran “wrongskewness” o “asimetría errónea” (es decir asimetría positiva en el caso de modelos de producción o asimetría negativa en el caso de modelos de coste). La práctica más común en esta situación ha consistido en desechar el modelo, bajo el argumento de que este hecho es un 4 síntoma de que está mal especificado o se está usando de una manera inapropiada. Sin embargo, estudios simulados han puesto de manifiesto que en el modelo con frontera estocástica la asimetría “errónea” puede aparecer con probabilidades no despreciables y que en ciertos casos se necesita un tamaño muestral superior a 1000 para que esta probabilidad descienda al 5% (Simar, 2007). Al aplicar el método de máxima verosimilitud sobre una muestra con asimetría errónea obtenemos que nos encontramos en una situación extrema en la que toda la variabilidad del término de error compuesto se debe a motivos aleatorios y por tanto hay ausencia de ineficiencia. Es decir, este método de estimación nos dará una respuesta incorrecta en las muestras que, aún procediendo de un modelo de frontera estocástica, presenten asimetría errónea. La otra dificultad aparece cuando el máximo de la función se alcanza en el otro caso extremo, es decir, cuando el resultado de la estimación indica que la totalidad del término de error compuesto se debe a ineficiencia y por tanto hay ausencia de factores aleatorios. En este caso incluso hay discrepancia de resultados entre LIMDEP 9.0 (que detiene el proceso de estimación con un mensaje de error en el que se indica que la matriz de covarianzas es singular) y FRONTIER 4.1 (que ofrece las estimaciones de los parámetros y su matriz de covarianzas, aunque podemos comprobar que dicha matriz es “casi singular”). Como veremos en nuestro estudio simulado, la proporción de muestras procedentes de un modelo con error compuesto en las que el método de máxima verosimilitud estima ausencia de factores aleatorios tampoco es despreciable. Señalar también que, aparte de LIMDEP 9.0 y FRONTIER 4.1, hemos utilizado el software Mathematica 5.2 para analizar y maximizar la verosimilitud del modelo. Otro problema añadido que hemos encontrado es que con relativa frecuencia nos han aparecido mensajes de error de “overflow”, “underflow” o “indeterminate” al tratar de evaluar la función de verosimilitud en diferentes zonas del espacio paramétrico, aún trabajando con niveles de precisión bastante elevados. Usando la instrucción FindMaximun de dicho software en estos casos no es posible obtener el máximo de la función. En definitiva, tenemos varios indicios de que nos encontramos ante una función difícil de manejar no solo desde el punto de vista algebraico, sino también desde el punto de vista numérico. 5 A partir de aquí, en la sección 2 presentamos el modelo de producción, la función de verosimilitud bajo las hipótesis asumidas para el término de perturbación y las parametrizaciones utilizadas por LIMDEP 9.0 y FRONTIER 4.1 para llevar a cabo el proceso de estimación; en la sección 3 consideramos en detalle el problema de “asimetría errónea”; en la sección 4 analizamos el problema de “ausencia de factores aleatorios”; en la sección 5 presentamos los resultados del proceso de simulación llevado a cabo para analizar en qué proporción de casos podemos encontrarnos frente a ambos problemas. Por último, en la sección 6 exponemos las conclusiones de nuestro trabajo. 2. PLANTEAMIENTO DEL MODELO. La formulación básica del modelo de producción con frontera estocástica es: ( , ) , 1,..., i ii ii yfx vui n    , donde i y es la producción de la firma i-ésima, i x es el vector de todos sus inputs,  es un vector de parámetros a estimar y ()f ) es la función de producción. La perturbación aleatoria i  se compone de dos partes (de ahí que algunos autores hablen de modelo de error compuesto), i v que recoge las fuentes de variación aleatorias y 0 i u! que recoge la ineficiencia en el proceso productivo. Comúnmente se supone una distribución Normal para i v , mientras que para i u hemos de elegir una distribución de probabilidad positiva. Señalemos que la formulación del modelo de producción con frontera determinista, propuesta anteriormente en Aigner and Chu (1968) es (,)( ) ii i yfx   , donde 0 i  ! recoge la ineficiencia en el proceso productivo y no hay cabida a las fuentes de variación aleatorias. Las perturbaciones i v que recogen los efectos aleatorios siguen una distribución Normal, concretamente, 2 (0, ). iv vN , 2 (0, 2 v (0, N Con respecto a las perturbaciones i u que recogen el efecto de la ineficiencia en la producción, supondremos la hipótesis más habitual, es 6 decir, que * ii uu , donde *2 (0, ) iu uN , 2 ( 0 2 u ( 0 , N . Por definición, diremos que las perturbaciones i u siguen una distribución Half-Normal, lo cual representamos por 2 (0, ). iu uHN , (0 ( 0, HN Adicionalmente, se supone que todas las perturbaciones (tanto i v como i u ) son independientes. Es preciso señalar que se han considerado con frecuencia otro tipo de densidad de probabilidad para las perturbaciones i u , entre las que cabe destacar las distribuciones Exponencial y Gamma. Con respecto a la función de producción, consideraremos el caso más usual, es decir, ' (,) ii fx x   , donde  contendrá un término constante. Inicialmente, tanto los inputs como los outputs pueden ser medidos en unidades absolutas o logarítmicas, ya que este aspecto no influirá en el proceso de estimación de los parámetros del modelo, aunque sí habría que tenerlo en cuenta, en su caso, para estimar la eficiencia individual de cada firma. Los programas LIMDEP 9.0 y FRONTIER 4.1 utilizan reparametrizaciones alternativas para calcular los EMVs y presentar los resultados del modelo estimado. En LIMDEP 9.0 se consideran los parámetros 222 vu ,,,  y uv ,,  . De este modo, 2 0 , ! es la varianza total del término de error compuesto, ya que se supone independencia entre v y u , mientras que 2 0   se interpreta como una proporción entre la varianza debida a ineficiencia y la varianza debida a factores aleatorios. Con estos parámetros, el logaritmo de la verosimilitud para una muestra individual viene dado por:  2' ' 12 1 log( ) log log( ) log 22 ii ii i yx yx L   , C, , +( +(  +(  +( )& )&   )& )& )& )& )& *' )& *' *' *' . Por su parte, FRONTIER 4.1 considera la parametrización 222 vu ,,,  y 22 u ,,  . Así, 01   se interpreta como una proporción entre la varianza debida a ineficiencia y la varianza total. En este caso, para obtener la expresión del logaritmo de la verosimilitud bastaría sustituir en la fórmula anterior  por  1   . 7 Resaltemos que en realidad 2  y  no son exactamente proporciones de varianzas, ya que  2 var[ ] 2 / u u CC,  /0 34 y así para obtener las proporciones deberíamos corregir con la constante  2 CC  . 3. EL PROBLEMA DE ASIMETRÍA ERRÓNEA (WRONGSKWENESS). El término de error compuesto del modelo de producción Half-Normal tiene asimetría negativa (Green, 1993). El problema de asimetría errónea se presenta cuando los residuos estimados a través del método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) presentan un momento muestral de orden 3 positivo. Es decir, llamando i e a los residuos MCO, el problema aparece cuando  3 3 10 i i mne!  , siendo Waldman (1982) el primero en destacar este inconveniente. En este caso, los métodos numéricos llegan a la solución ˆ0   (o bien 2 ˆ ˆ0 u ,  ) coincidiendo el EMV de  con el estimador MCO. Así, la conclusión es que en el modelo inicialmente planteado “sobra” el término de perturbación que recoge la ineficiencia, que el estimador óptimo es el de MCO y que todas las firmas están en la frontera de eficiencia. Este hecho ha sido considerado como una prueba de inconsistencia del modelo, aconsejándose cambiar la especificación o aumentar el número de observaciones ante esta situación. Es preciso señalar que la conclusión que obtiene Waldman (1982) es que cuando hay asimetría errónea la solución señalada anteriormente es un máximo local y que la evidencia empírica mostrada en Olsen et al. (1980) “sugiere” que también es el máximo global. Actualmente algunos autores sugieren efectuar diferentes búsquedas del máximo considerando una amplia variedad de puntos de partida para los métodos numéricos. A continuación, vamos a considerar un ejemplo numérico para analizar las respuestas ofrecidas por LIMDEP 9.0 y FRONTIER 4.1 ante el problema de wrongskweness. Ejemplo 1: Hemos considerado una muestra de tamaño 20n simulada a partir de un modelo de frontera estocástica con una única variable explicativa y ordenada en el origen. Los valores que se han tomado para los parámetros han sido 0 1   , 1 2   , 1 u ,  , 8 1 v ,  . Una vez simulada la muestra, hemos considerado solo la parte entera de los datos obtenidos. Los valores concretos de la muestra se ofrecen en el apéndice. Las estimaciones MCO son 0 ˆ1.0372   y 1 ˆ2.0827   , mientras que el tercer momento de los residuos MCO resulta ser 3 0.3035m . Al utilizar LIMDEP 9.0 para estimar el modelo Half-Normal con frontera estocástica para estos datos, primero aparece un mensaje con el siguiente error: “Error 315: Stoch. Frontier: OLS residuals have wrong skew. OLS is MLE.” Tras pulsar “OK”, la salida que ofrece el programa es la que se muestra a continuación. Error 315: Stoch. Frontier: OLS residuals have wrong skew. OLS is MLE. WARNING! OLS residuals have the wrong skewness for SFM Other forms of the model models may also behave poorly. In this case, one MLE for the half normal model is OLS for beta and sigma and zero for the inefficiency term. Warning 141: Iterations:current or start estimate of sigma is nonpositiv Warning 141: Iterations:current or start estimate of sigma is nonpositiv Normal exit from iterations. Exit status=0. +---------------------------------------------+ | Limited Dependent Variable Model - FRONTIER | | Maximum Likelihood Estimates | | Model estimated: Mar 09, 2010 at 04:52:17PM.| | Dependent variable Y | | Weighting variable None | | Number of observations 20 | | Iterations completed 24 | | Log likelihood function -31.02107 | | Number of parameters 4 | | Info. Criterion: AIC = 3.50211 | | Finite Sample: AIC = 3.63544 | | Info. Criterion: BIC = 3.70125 | | Info. Criterion:HQIC = 3.54098 | | Variances: Sigma-squared(v)= 1.30243 | | Sigma-squared(u)= .00000 | | Sigma(v) = 1.14124 | | Sigma(u) = .00013 | | Sigma = Sqr[(s^2(u)+s^2(v)]= 1.14124 | | Stochastic Production Frontier, e=v-u. | +---------------------------------------------+ +--------+--------------+----------------+--------+--------+----------+ |Variable| Coefficient | Standard Error |b/St.Er.|P[|Z|>z]| Mean of X| +--------+--------------+----------------+--------+--------+----------+ ---------+Primary Index Equation for Model Constant| -1.03707273 74.1483059 -.014 .9888 X | 2.08270107 .09940750 20.951 .0000 7.10000000 ---------+Variance parameters for compound error Lambda | .00011512 81.4258036 .000 1.0000 Sigma | 1.14123972 .04866113 23.453 .0000 Lo más destacable es que las estimaciones ofrecidas para el parámetro  son las MCO y que 2 ˆ u , es cero con cinco dígitos significativos, es decir, que tal como indica el mensaje de error, la solución obtenida es que el estimador MCO es el EMV (“OLS is MLE”). Por su parte, la salida (resumida) que proporciona el programa FRONTIER 4.1 es: 9 Output from the program FRONTIER (Version 4.1c) Error Components Frontier (see B&C 1992) The model is a production function The dependent variable is not logged the ols estimates are : coefficient standard-error t-ratio beta 0 -0.10371775E+01 0.79110716E+00 -0.13110456E+01 beta 1 0.20827011E+01 0.10478470E+00 0.19876003E+02 sigma-squared 0.14471421E+01 log likelihood function = -0.31021072E+02 the estimates after the grid search were : beta 0 -0.83024617E+00 beta 1 0.20827011E+01 sigma-squared 0.13452485E+01 gamma 0.50000000E-01 mu is restricted to be zero eta is restricted to be zero the final mle estimates are : coefficient standard-error t-ratio beta 0 -0.10326477E+01 0.43841732E+01 -0.23553990E+00 beta 1 0.20827011E+01 0.97988916E-01 0.21254456E+02 sigma-squared 0.13024488E+01 0.41190460E+00 0.31620157E+01 gamma 0.24578015E-04 0.50712482E-01 0.48465416E-03 log likelihood function = -0.31021072E+02 the likelihood value is less than that obtained using ols! - try again using different starting values Como podemos apreciar, la estimación de  también coincide con la estimación MCO y ˆ0.000025   en consonancia con la respuesta ofrecida por LIMDEP 9.0. En este caso el mensaje de aviso que aparece es “the likelihood value is less than that obtained using ols! - try again using different starting values”, es decir, FRONTIER 4.1 indica la posibilidad de mejorar el valor de la verosimilitud probando con valores iniciales distintos a los usados por defecto. Usando la instrucción FindMaximun del software Mathematica 5.2 y limitando el recorrido del parámetro  a valores no negativos, con la parametrización considerada en LIMDEP 9.0 obtenemos también que la estimación de  coincide con MCO, ˆ1.1412 ,  y ˆ0   , siendo el valor del logaritmo de la verosimilitud en este punto igual a 31.0211 . Es interesante observar que si no se restringe el recorrido de  el máximo se alcanza en 9 2.7015 10    = 270 1    2.70 1 , si bien el valor de la verosimilitud, con cuatro decimales significativos, sigue siendo el mismo. 4. EL PROBLEMA DE AUSENCIA DE EFECTOS ALEATORIOS. 16 La ausencia de factores aleatorios, en gran medida no ha sido considerado como un problema; de hecho, un software tan extendido como FRONTIER 4.1 no muestra ningún mensaje de aviso ante esta situación, sino que ofrece una solución como definitiva, en la que la varianza del término de error aleatorio es prácticamente 0. No obstante, como hemos indicado en el epígrafe 4, en esta situación existen dudas razonables de que efectivamente hayamos encontrado el máximo de la función (al menos aproximadamente), los resultados que se obtienen son extremadamente sensibles a ligeras variaciones en los datos iniciales y además la matriz de covarianzas que estimamos es singular (motivo por el que LIMDEP 9.0 detiene el proceso de estimación y no ofrece ningún resultado). Ante esta situación, las opciones de actuación son similares a las descritas para el caso de asimetría errónea. También podríamos estimar un modelo de producción con frontera determinista usando metodología bayesiana (Ortega y Basulto, 2009; Ortega et al., 2009). Para terminar, indiquemos que, obviamente, la posibilidad de ampliar el tamaño muestral o de usar datos de panel reduce las posibilidades de que se presente algún tipo de problemas a la hora de estimar. BIBLIOGRAFÍA Aigner, D.J.; Chu, S.F. (1968), “On estimating the industry production function”, American Economic Review, 58, pp. 826-839. Aigner, D.J.; Lovell, C.A.; Schmidt, P. (1977), “Formulation and estimation of stochastic frontier production function models”, Journal of Econometrics, 6, pp. 21-37. Battese, G.E.; Corra, G.S. (1977), “Estimation of a production frontier model: With application to the Pastoral Zone of Eastern Australia”, Australian Journal of Agricultural Economics, 21, pp.169-179. Cazals, C., Florens J.P. and Simar, L. 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(1982), “A stationary point for the stochastic frontier likelihood”, Journal of Econometrics, 18, pp. 275-279. 18 APÉNDICE: DATOS USADOS EN LOS EJEMPLOS Datos usados en el ejemplo 1: Y 19 15 15 10 17 10 20 1 16 19 9 3 14 17 20 10 16 15 21 8 X 10 8 7 5 9 6 10 1 7 9 5 2 8 9 10 5 9 7 10 5 Datos usados en el ejemplo 2: País Índice Prod. Líneas (10 3 km) Empleados (105 personas) Australia 0.74 0.7767 0.85 Austria 0.24 0.3223 0.18 Belgium 0.36 0.3990 0.26 Canada 1.26 1.5296 1.05 Denmark 0.39 0.2911 0.18 Finland 0.29 0.2670 0.20 France 2.06 2.8085 1.56 Germany 1.73 2.9981 2.12 Iceland 0.02 0.0126 0.02 Ireland 0.11 0.0983 0.13 Italy 1.48 2.2350 1.18 Japan 2.73 5.3236 2.77 Netherlands 0.77 0.6940 0.32 New Zealand 0.16 0.1473 0.17 Norway 0.27 0.2132 0.15 Portugal 0.19 0.2379 0.23 Spain 0.59 1.2603 0.75 Sweden 0.71 0.5849 0.42 Switzerland 0.56 0.3943 0.22 Turkey 0.15 0.6893 0.36 UK 2.53 2.5404 2.27