Ampliación de un código unidimensional de diseño y análisis de turbinas centrípetas para incorporación de geometría variable en el estátor

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales Ampliación de un código unidimensional de diseño y análisis de turbinas centrípetas para incorporación de geometría variable en el estátor Autor: Luis García de Viguera Enrile Tutor: Prof. David T. Sánchez Martínez Co-tutor: D. Rafael González Almenara Grupo de Máquinas y Motores Térmicos Dpto. Ingeniería Energética Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2022 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales Ampliación de un código unidimensional de diseño y análisis de turbinas centrípetas para incorporación de geometría variable en el estátor Autor: Luis García de Viguera Enrile Tutor: Prof. David T. Sánchez Martínez Co-tutor: D. Rafael González Almenara Catedrático de la Universidad Grupo de Máquinas y Motores Térmicos Dpto. Ingeniería Energética Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2022 Trabajo Fin de Grado: Ampliación de un código unidimensional de diseño y análisis de turbinas centrípetas para incorporación de geometría variable en el estátor Autor: Luis García de Viguera Enrile Tutor: Prof. David T. Sánchez Martínez Co-tutor: D. Rafael González Almenara El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha: Agradecimientos Quiero agradecer al tutor, Profesor David Tomás Sánchez Martínez, por su generosa guía durante este trabajo. También debo un especial agradecimiento a Rafael González Almenara, por su ayuda desde el comienzo de este trabajo. Gracias a ambos por formarme para realizar un buen trabajo y a desarrollar mi curiosidad. Especialmente gracias a mi familia, por su ayuda indispensable, a mis amigos de siempre por su apoyo, y a Miguel Amengual Roig por acompañarme durante todo el proyecto. L. G. d V. E. Sevilla, 2022 III Notación a Velocidad del sonido A Área b Altura de paso  bMomento angular c Velocidad absoluta g Amortiguamiento h Entalpía k Error L Longitud ˙mGasto másico M Par N Número o Ancho de garganta P Presión ˙ QCalor r Radio R Grado de reacción Re Número de Reynolds RE Relación de expansión s Entropía t Propiedad termodinámica total, también espesor T Temperatura u Velocidad periférica U Energía interna w Velocidad relativa W Trabajo específico ˙ WPotencia Y Coeficiente de pérdidas z Coordenada axial ∆Incremento, también defecto de masa ηRendimiento γ Coeficiente de dilatación adiabática, también ángulo de ajuste κCurvatura λCoordenada meridional µViscosidad ΨCoeficiente de carga ΦCoeficiente de flujo ρDensidad ςPaso de álabe θEspesor de capa límite, también divergencia ωVelocidad angular XI XII Notación Subíndices * Supersónico 0 Propiedad de remanso e Condiciones a la entrada E Condiciones en el estátor i Condiciones a la salida m Componente meridional PD Punto de diseño R Condiciones en el rotor SB Referido a álabes splitter t Propiedad termodinámica total th Referido a la garganta TE Total a estático TT Total a total θComponente tangencial u Componente tangencial Superíndices * Propiedad ideal ’ Propiedad relativa 1 Introducción El diseño de una turbomáquina es un problema abierto; es decir, no se existe una forma directa unívoca de obtener la solución óptima a partir de unas condiciones de diseño. Para realizar un diseño, se deben utilizar métodos de análisis computacional y experimental que aproximen el diseño a la solución óptima. Existen tres métodos principales complementarios para realizar estos análisis [2]: • Métodos de análisis unidimensional y bidimensional: Este método supone que las condiciones del flujo en una determinada sección de la máquina son homogéneas, no existiendo diferencias entre puntos pertenecientes a un mismo plano. Logra obtener un prediseño limitado de la turbomáquina, dando a conocer únicamente información de la entrada y salida de componentes, y generalmente proporciona datos sobre la tendencia de funcionamiento ante unas condiciones. Sin embargo, no tiene el alcance de predecir la causa de las ineficiencias internas y es incapaz de realizar un diseño de detalle. Se utiliza para el prediseño por su bajo tiempo computacional. • Método de análisis mediante herramientas CFD (Dinámica de Fluidos Computacional): Este método realiza un análisis combinando cálculo numérico y dinámica de fluidos, proporcionando mucho más detalle y con mayor fiabilidad que el caso anterior. Permite calcular condiciones del fluido no sólo a la entrada y salida de los componentes, sino también en su interior, permitiendo realizar el diseño de la geometría interna en detalle, obteniendo la causa de las ineficiencias. Dada su mayor resolución, tiene un elevado coste computacional. • Métodos experimentales: Si bien se tienen ya métodos computacionales capaces de simular la fluidodinámica interior con alto detalle, es necesario realizar ensayos experimentales para confirmar los resultados y generar mapas de funcionamiento reales. Estos ensayos, realizados en túneles de viento, tienen un elevado coste; por ello se intentan reducir utilizando las herramientas informáticas. Todos los métodos anteriores deben utilizarse en el proceso de diseño de una turbomáquina. David Japkise [ 3 ] propone un orden de uso de estos para el diseño de turbinas de gas, compresores, etc., que se observa en la Figura 1.1. En esta figura se observa cómo se debe comenzar con un prediseño obtenido con métodos unidimensionales y cuasi-bidimiensionales, antes de entrar en el análisis mediante CFD o FEM (Método de Elementos Finitos). El diseño preliminar no solo se realiza para aligerar el tiempo de cálculo de los análisis más exhaustivos sino también para aportar información aproximada a la empresa fabricante sobre el coste de fabricación, rango de funcionamiento y mapas de comportamiento. Si bien no es muy precisa, se obtienen de forma rápida y barata, y otorga al fabricante una visión previa del diseño final. Siguiendo la línea de la Figura 1.1, se comienza realizando el prediseño, que no es capaz de realizar el detalle del interior de la turbina (turbomáquina en la que se centrará este trabajo), sino que únicamente trabaja con las condiciones iniciales y finales del fluido en estátor y rótor. Por lo tanto sólo resuelve inicios y finales de componentes, como áreas de entrada y geometrías más simples. Para entrar en el rodete se emplea un análisis tridimensional con CCAD-PLUS, junto con análisis CFD y FEM, utilizando programas como COSMOS™, ANSYS™, o NASTRAM™. Estos programas ofrecen al usuario la posibilidad de analizar geometrías al detalle, dando información de la evolución del fluido en cada punto, permitiendo detectar los motivos de la pérdida de rendimiento, y modificando la geometría acorde. Este proceso es tedioso, lento y de un coste más alto al del diseño preliminar. Una vez obtenido un diseño adecuado, mediante el diseño CAD se comienza a diseñar el proceso de producción, así como el tiempo de vida, el mantenimiento, las necesidades de funcionamiento (refrigerante, motores, generadores...), etc. y se comienzan a diseñar moldes 1 2Capítulo 1. Introducción Figura 1.1 Proceso de diseño de turbomáquinas propuesto por Japkise [3]. para el análisis experimental. 1.1 Objetivos y metodología Este trabajo se centra únicamente en el prediseño de una turbina centrípeta, utilizando el programa MATLAB®, y el método de diseño propuesto por Ronald H. Aungier [ 1 ]. Este método utiliza correlaciones empíricas y teóricas para la obtención de un prediseño robusto, más avanzado que el obtenido con un análisis unidimensional. Este método define la geometría del rodete, de los álabes y de las paredes interiores de la turbina centrípeta otorgando una imagen más completa que otros prediseños. El objetivo de este trabajo es la optimización de un código de prediseño ya aportado, y su adaptación a turbinas de geometría variable. Se comenzarán explicando los principios de funcionamiento de una turbomáquina en el Capítulo 2, desarrollando la ecuación fundamental de las turbomáquinas y las diferentes componentes de una turbina centrípeta, así como el procedimiento de análisis de un diseño específico. Una vez se tienen los conceptos básicos de funcionamiento de una turbina se comenzará a desarrollar el diseño (Capítulo 3) de la turbina centrípeta, se seguirá explicando el método de optimización, exponiendo la mejora de tiempo obtenida y el rango de funcionamiento del programa.. Con el programa optimizado se adaptará el código para incluir 1.1 Objetivos y metodología 3 la posibilidad de una turbina centrípeta de geometría variable en el Capítulo 4, realizando los mapas de funcionamiento. Por último se exponen las conclusiones obtenidas en el trabajo en el Capítulo 5. 2 Fundamentos de la turbina centrípeta Una turbina es una turbomáquina motora, es decir, extrae energía del fluido de trabajo que pasa a su través. Este fluido atraviesa la turbina y cede su energía induciendo el desplazamiento tangencial de los álabes del rotor, lo que resulta en el giro del eje. Existen dos tipos principales de turbinas: las axiales y las radiales. Son axiales aquellas en las que el fluido recorre a la turbomáquina en el mismo sentido del eje, de manera dominante, y radiales cuando el fluido se orienta en sentido perpendicular al mismo en alguna sección de la máquina. Dentro de las radiales, encontramos a las turbinas centrípetas, en las que el fluido entra en dirección radial, en el sentido de radios decrecientes, y se expulsa con dirección axial. Ésta se compone de dos partes principales, el estátor, que puede tener o no toberas, y el rotor o rodete. Se muestra un esquema de la turbina centrípeta en las Figura 2.7. Figura 2.1 Vista frontal de una turbina centrípeta [1]. Siguiendo la dirección del flujo, el fluido primero entrará en la voluta, cuya única función es asegurar la entrada uniforme del fluido a las toberas del estátor, a continuación se introduce en el rodete, responsable de convertir la energía del fluido a energía mecánica, y por último pasa por un difusor, para convertir parte de la energía cinética del fluido en presión estática, minimizando la pérdida de energía en forma de energía cinética a la salida. Para el desarrollo de los fundamentos de la turbina centrípeta, se utilizará el subíndice 1 5 6Capítulo 2. Fundamentos de la turbina centrípeta Figura 2.2 Vista lateral de una turbina centrípeta [1]. para denominar la entrada al estátor, el subíndice 2 para la salida del estátor o entrada al rodete, y el subíndice 3 para la salida del rótor. 2.1 Termodinámica de las turbomáquinas Previamente a estudiar la fluidodinámica de una turbomáquina, es necesario conocer los principios termodinámicos en los que se basa la transferencia de energía del fluido al eje de la misma . Una turbina opera con un caudal continuo de fluido que entra con alta entalpía, entrega a su paso parte de su energía a la turbina, y sale con un nivel menor de esta. Se tiene por tanto un sistema abierto estacionario, quedando la ecuación del Primer Principio de la Termodinámica para un sistema abierto estacionario de la siguiente forma: 0=˙ Q+˙ W+˙m(h0e−h0s)(2.1) Siendo ˙ W la potencia mecánica desarrollada por la turbina, ˙ Q la potencia térmica cedida al ambiente por ella, y ˙m el flujo másico. h0e y h0s son la entalpía de remanso a la entrada y a la salida de la turbina respectivamente. Durante este trabajo, se referirá a la entalpía de remanso como h0 , y a la estática como h. Siendo: h0=h+1 2c2(2.2) Si se supone un flujo adiabático, es decir, que ˙ Q=0 , la ecuación del Primer Principio para un sistema estacionario aplicada a una turbina adiabática quedaría: ˙ W=˙m∆h0(2.3) Siendo ∆h0=h0e−h0s . Con esta derivación del Primer Principio, se observa que, si el calor ˙ Q>0 , la potencia obtenida sería menor que la obtenida si éste fuera nulo, por lo que el calor desprendido por las 2.1 Termodinámica de las turbomáquinas 7 paredes exteriores de la turbina representa siempre una ineficiencia. Ahora bien, si no existe una máquina completamente adiabática, se puede asumir que, frente a la potencia, el calor desprendido es despreciable, es decir ˙ Q ˙ W<< 1, justificando la utilización de la Ecuación 2.3. En la turbina, el rodete es el único elemento que intercambia trabajo con el fluido, al ser el único componente que se mueve. Por lo tanto, la entalpía de remanso sólo variará en el rodete. Se puede observar la evolución de la entalpía del fluido a su paso por la turbina en la Figura 2.3, donde el eje de ordenadas representa la entalpía y el eje de abscisas la entropía, que siempre aumenta al paso por la turbomáquina y representa una irreversibilidad (naturalmente, si la máquina fuera adiabática y el flujo reversible, la entropía sería constante - flujo isentrópico). En la imagen, el punto 1 representa la entrada al estátor de la turbina, a través del cual el fluido mantiene su entalpía de remanso: h01 =h02 . Los conductos del estátor tienen geometría convergente por lo que el fluido se acelera y, según la Ecuación 2.2, disminuyendo tanto la presión como la entalpía: h2<h1 . El punto 2 representa la salida del estátor y entrada al rodete. En este componente el fluido desarrolla trabajo para girar el rodete a una cierta velocidad, siendo este trabajo igual a la disminución de la entalpía de remanso del fluido: W=h02 −h03 .Wrepresenta el trabajo específico, esto es, la potencia generada por unidad de gasto másico. Los puntos h02R y h03R representan la etnalpía de remanso relativa del fluido, h+w2 2 , siendo wla velocidad relativa. Se aprecia cómo el aumento de entropía representa una ineficiencia al comparar la línea de expansión isentrópica h1 a h3ss frente a h1 a h3 , produciendo la primera un mayor trabajo específico. Figura 2.3 Diagrama h-s de la evolución del fluido a través de una turbina centrípeta [4]. El rendimiento de una turbina se define como el trabajo que ésta genera frente al máximo que podría generar para las mismas condiciones de entrada (presión y temperatura de remanso) y salida (presión estática). Existen dos tipos de rendimientos, el total a total y el total a estático. En el primero se considera que la energía cinética a la salida (no convertida en trabajo) no representa una pérdida y podrá destinarse a un servicio útil aguas abajo de la turbina. ηTT =h01 −h03 h01 −h03ss (2.4) En el rendimiento total a estático, por contra, se considera negativo que dicha energía cinética no haya podido convertirse en trabajo en el interior de la máquina. Por ello, el caso ideal de referencia para la definición del rendimiento es aquel en el que la energía cinética a la salida del escalonamiento es cero: ηTE =h01 −h03 h01 −h3ss (2.5) 8Capítulo 2. Fundamentos de la turbina centrípeta 2.2 Ecuación fundamental de las turbomáquinas En la sección anterior derivamos el trabajo específico a partir del principio de conservación de energía. Euler desarrolló la Ecuación Fundamental de las Turbomáquinas, también llamada Ecuación de Euler, que permite expresar el trabajo específico a partir de la variación de los diagramas de velocidades del fluido al paso por el rodete. Para la derivación de la ecuación se seguirá la misma línea de razonamiento que en Gambini y Vellini [ 5 ]. El fluido realiza el trabajo en el rótor, el cual gira en torno al eje. Se representa esta situación en la Figura 2.4. Figura 2.4 Canal rotativo para la representación del balance de momento cinético [6]. Siendo las variables con subíndice 2 las consideradas a la entrada del rotor, y aquellas con subíndice 3 a la salida de este. La velocidad absoluta cse puede dividir en la velocidad periférica u, y la relativa w, que es la velocidad que un observador vería si estuviera colocado sobre el álabe y girando solidariamente con él. Siendo rel radio, ω la velocidad angular del rodete y α el ángulo que forma la velocidad absoluta c con la radial. Si se considera que gira sobre el centro O, el principio de conservación del momento cinético sostiene que:  M=d b dt (2.6) Siendo  M el momento sobre el eje. Si se realiza un análisis unidimensional, la variación del momento cinético bcon respecto al tiempo sería: d b dt =r3·c3 dm dt −r2·c2 dm dt =˙m(r3·c3−r2·c2)(2.7) El par Mejercido por los álabes del rodete sobre la corriente de fluido puede expresarse de este modo según indica la Ecuación 2.8 [5]: M=˙m(r3c3u−r2c2u)(2.8) Siendo c2u y c3u la componente tangencial de la velocidad absoluta a la entrada y salida respectivamente, que es la única componente de la velocidad que genera momento sobre el eje de rotación. Y siendo r2 y r3 el radio medio a la entrada y salida del rodete. Si el momento generado se multiplica por la velocidad angular ω, se obtiene la potencia ejercida por el eje de la máquina sobre el fluido [4]. ˙ W=˙mω(r3c3u−r2c2u)(2.9) Sabiendo la relación entre velocidad periférica y velocidad angular, se desarrolla la ecuación anterior: u=ωr(2.10) 2.6 Pérdidas en un escalonamiento de turbina centrípeta 15 cf=cf l +(cft −cf l )Red 2000 −1(2.42) La Figura 2.8 representa el coeficiente de fricción de película en función del Reynolds en escala logarítmica. Figura 2.8 Coeficiente de fricción de película [1]. Para el coeficiente de pérdidas de capa límite, Aungier [ 1 ] utiliza las correlaciones de Lieblen y Roudebush [ 13 ] para estimarlo a partir de una aproximación para el coeficiente de pérdida de presión de remanso por capa límite en cascadas de compresor. Para adaptarlo a la turbina se intercambia la presión ideal a la entrada del componente del compresor por la presión ideal a la salida del componente de la turbina. El coeficiente de pérdidas de capa límite Ypse calcula: Yp=∆P0 P03,id −P3 =2Θ+∆2 (1−∆2)+∑∆Y(2.43) Θ=∑θ b(2.44) ∆=∑δ∗ b(2.45) Siendo bla longitud de paso efectiva. Esta aproximación de la pérdida de presión de remanso supone una mezcla instantánea del flujo principal y la capa límite conservándose cantidad de movimiento y masa. Para el rótor y los álabes, tenemos tanto capa límite sobre las paredes de la turbomáquina (superficies anulares - casing) como sobre los álabes. En este caso las ecuaciones 2.44 y 2.45 se desarrollan: Θ=1−1−∑θw bw1−∑θb bb(2.46) ∆=1−1−∑δ∗ b bw1−∑δ∗ b bb(2.47) Siendo los parámetros con el subíndice wlos referidos a las paredes de la turbomáquina y aquellos con el subíndice b referidos a la superficie de los álabes. El paso efectivo a la salida de los álabes bb=s3sen(β3) , con s3indicando el paso de álabe y β3el ángulo de la línea de curva. 16 Capítulo 2. Fundamentos de la turbina centrípeta Como casos límite, nos podemos encontrar que las capas límite calculadas en 2.34 sean mayores que la longitud disponible, al no contar el desarrollo anterior con los efectos de bloqueo viscoso del flujo principal. Deberá corregirse ∆de la siguiente forma: ∆−>∆b ∑δ(2.48) El segundo caso es que Θ>1, Aungier [1] lo corrige igualando ∆=Θ−1y luego Θ=1. 2.6.2 Pérdidas de la voluta A su paso por la voluta, al fluido se le atribuyen dos pérdidas: las de fricción ( Yp ), y un coeficiente de pérdidas por discontinuidad del momento cinético entre la entrada a la voluta (1), y la entrada al estátor (2). Denominado Yθse calcula de la siguiente forma: Yθ= r1c1 r2−cθ2 c2!2 (2.49) Figura 2.9 Parámetros geométricos de la voluta [1]. Los subíndices de la Ecuación 2.50 hacen referencia a la entrada a la voluta (1), y a la salida (2), concorde a la Figura 2.7. Los parámetros geométricos mostrados en la Figura 2.9, hacen referencia a la definición geométrica necesaria en cada componente, donde se deberán definir tres estaciones, la entrada (1), una estación intermedia (a), y la salida (3). Siendo r el radio, C la velocidad, y cθ la velocidad tangencial. Finalmente para calcular el coeficiente de pérdidas de la voluta se deben sumar ambos coeficientes, quedando: Yvoluta =Yp+Yθ(2.50) 2.6.3 Pérdidas del estátor En el estátor sigue estando presente la pérdida por fricción desarrollada en el Apéndice 2.6.1, además existe un coeficiente de pérdidas por incidencia en la zona del borde de ataque de los álabes. Para distinguirla a la pérdida por fricción Yp , ésta pérdida solo es relevante en caso de que la corriente de entrada al estátor no esté orientada para el ángulo de incidencia óptimo i∗ , diferencia entre el ángulo de entrada al álabe del fluido τ y el geométrico del álabe ι . Este desvío en el ángulo de incidencia provoca un desprendimiento de la capa límite a la entrada del estátor, que aumenta las pérdidas de presión, reduciendo el rendimiento de la turbina. Se contabilizan mediante: Yinc =sin2(τ2−τ∗ 2)P02 −P2 P03 −P3 (2.51) 2.6 Pérdidas en un escalonamiento de turbina centrípeta 17 Figura 2.10 Parámetros geométricos de las toberas del estátor [1]. Siendo las propiedades con el subíndice 2 las obtenidas a la entrada del estátor y 3 a la salida. Los ángulos τ2 y τ∗ 2 definen el ángulo de entrada al estátor real e ideal respectivamente. Para el cálculo del ángulo ideal de entrada del flujo al estátor es preciso calcular previamente la incidencia ideal, utilizando la correlación de Herrig et al. [14] obtenida para cascadas de compresores axiales y adaptada por Aungier [1]: i∗="3.6s1 0tb L2−3 +|ι3−ι2| 3.4#sL2−3 ς3−|ι3−ι2| 2(2.52) τ∗=ι2−i∗signo(ι3−ι2)(2.53) Yestator =Yp+Yinc (2.54) Siendo tbel espesor en el punto medio y L2−3la longitud de la trayectoria entre 2y3. 2.6.4 Pérdidas del espacio sin álabes Entre el estátor y el rótor existe un espacio sin álabes; este espacio anular sufre las pérdidas de fricción Yp y pérdidas asociadas a la variación de sección entre la salida del estátor y la entrada a este componente. La expansión abrupta del fluido ocasiona un aumento de la entropía, una pérdida que dependerá de cuanto varíe el área entre la salida del estátor y la entrada al espacio sin álabes. Aungier [ 1 ] utiliza la correlación de Benedict et al. [15]: Yin =Ad3 Au3sen(α3)P03 −P3 P04 −P4 (2.55) Nombrando a las variables del componente anterior (estátor) con el subíndice u(upstream), y a las del espacio sin álabes d(downstream). El coeficiente de pérdidas del espacio sin álabes queda: Yespaciosinalabes =Yp+Yin (2.56) 2.6.5 Pérdidas del rodete El rodete es el componente más complejo de analizar de una turbina centrípeta, dividiéndose sus pérdidas en seis coeficientes frente a los demás componentes que se dividen en dos. Comenzando por el coeficiente de pérdidas de fricción Yp , se sigue con un coeficiente análogo al del estátor debido a la incidencia de los álabes del rodete Yinc. Se calcula mediante: 18 Capítulo 2. Fundamentos de la turbina centrípeta Figura 2.11 Parámetros geométricos del espacio sin álabes [1]. Figura 2.12 Parámetros geométricos del rodete, vista de perfil [1]. Yinc =sin2(τ4−τ∗ 4)P′ 04 −P4 P′ 05 −P5 (2.57) Siendo las variables con el superíndice ′ las referidas al observador móvil, las del subíndice 4 las referidas a la entrada y 5 a la salida del rodete. Para calcular el ángulo óptimo de entrada α∗ 4 se utiliza el factor de deslizamiento (slip) introducido por Aungier [ 11 ], siendo este una modificación del desarrollado por Wiesner [ 16 ]. Este factor requiere correcciones en caso de que la solidez del rodete sea muy baja, utilizando un coeficiente ε=r3/r1 (radios referidos a la Figura 2.12) para cuantificar este efecto (por comparación con un valor de referencia de dicho parámetro εlim): 2.6 Pérdidas en un escalonamiento de turbina centrípeta 19 Figura 2.13 Parámetros geométricos del rodete, vista frontal [1]. σ=|sin(φ4)|psin(ι4) (N+NSB)0.7(2.58) εlim =σ−σ0 1−σ0 (2.59) σ0=sin(19 +ι4 5)(2.60) En caso de que se supere el valor límite ε>εlim , el factor de deslizamiento debe corregirse de la siguiente forma: σcorr =σ(1−ε)(2.61) ε=ε−εlim 1−εlim √(ι4/10) (2.62) En la ecuación en la Ecuación 2.58 deben contabilizarse tanto los álabes completos Ncomo los partidos (splitter blades) NSB . Finalmente la pérdida por incidencia se calcula de nuevo con la diferencia entre el ángulo de incidencia óptimo τ∗ 4y el real τ4: C∗ θ4=σ[U4−cm4cot(ι4)] (2.63) cot(α∗ 4) = cm4 C∗ θ4 (2.64) Siendo las variables con subíndice θlas tangenciales y las de subíndice mlas meridionales. En el rodete deben tenerse en cuenta las pérdidas asociadas a la carga aerodinámica sobre los álabes (Blade Loading, BL) así como la fricción con la superficie anular (radios de raíz o hub y cabeza o shroud), YBL y YHS . Para ello se adaptan del cálculo de los mismos coeficientes en el análisis de funcionamiento de compresores centrífugos de Aungier [11]. Se definen de la siguiente forma [1]: YBL =1 24 ∆w w52 (2.65) YHS =1 6κmb5wmediorotor Wwsin(τ5)2 (2.66) Siendo wla velocidad relativa, ∆w la diferencia de velocidades relativas entre las caras de presión y succión de los álabes, κm la curvatura media de la superficie y wmediorotor la velocidad relativa referida al punto 2 de 20 Capítulo 2. Fundamentos de la turbina centrípeta la Figura 2.12. Estas se calculan utilizando: ∆w=2Π|r5cΘ5−r4cΘ4| L4−5(N+NSBFSB)(2.67) κm=|Φ5−Φ4| λ5 (2.68) Siendo λ5 la coordenada meridional a la salida del rodete, L4−5 la longitud de la trayectoria entre 4 y 5, y FSB la fracción de longitud de los álabes splitter. Existen también pérdidas importantes por fugas en el rodete, debidas a las holguras necesarias para el movimiento del mismo sin que haya contacto con las partes estáticas de la carcasa. Para ello, Aungier [1] calcula primero el caudal de fugas, estimándolo mediante: uCL =s2∆P ρave (2.69) ˙mCL =0.816ρaveuCLL4−5(N+NSBFSB)δc(2.70) YCL =˙mCL∆P ˙m(P′ 05 −P5)(2.71) Siendo ρave la densidad media del fluido en el rodete, desarrollada en el Apéndice 2.6.1 en la Ecuación 2.33, uCL la velocidad del flujo de fugas a través de las holguras, ∆Pla diferencia de presión media a través de las holguras, y P′ 05 la presión de remanso a la salida del rodete referida al flujo relativo. Aungier [ 1 ] asume una relación de compresión de la holgura de 0.816 en la Ecuación 2.70 y otorga también un coeficiente de pérdidas a las pérdidas por humedad YQ, suponiendo que el agua presente en el flujo no genera trabajo: YQ=∆HQρ′ 04 P′ 05 −P5 (2.72) Siendo ∆HQla pérdida de entalpía equivalente, suponiendo que el agua no genera trabajo. Si se suman todos los coeficientes de pérdidas descritos anteriormente, el coeficiente de pérdidas del rotor quedaría: Y=YP+Yinc +YBL +YHS +YCL +YQ(2.73) 2.6.6 Pérdidas del difusor Aungier [ 1 ] utiliza un método distinto a los anteriores para calcular las pérdidas del difusor. En este caso sólo será necesario especificar la geometría a la entrada y salida como se observa en la figura 2.14. Figura 2.14 Parámetros geométricos del difusor [1]. 2.7 Análisis del comportamiento de una turbina centrípeta 21 Se utiliza un modelo de difusión de presión estática de Aungier [ 11 , 17 , 18 ]. Es un modelo empírico de correlaciones de ∆2 , el bloqueo de descarga, basado en la divergencia efectiva del difusor 2θC y de la relación de presión ideal Pvr: 2θC=2tan  b5A6 A5−1 2L5−6 (2.74) Pvr =P01 −P1 P01 −P2,id (2.75) Definimos además un factor de difusión D, dependiente de Pvr, calculado como: D=(pPvr −1)2 4(2.76) De Renau [ 19 ] establece que cuando 2θc>11 º, la recuperación de presión estática disminuye de forma precipitada. Se añaden los términos dependientes de Kθ para tener en cuenta este efecto. Este debe ser mayor que los valores mostrados en la Ecuación 2.77. Se define Kθ, y los parámetros K1yK2como: 1≤Kθ≥2θc/11 (2.77) K1=0.005 +Kθ−1 5(2.78) K2=2θc 1−2θc 22Kθ 125Kθ (2.79) El bloqueo parcial del difusor, con el que se calculará la presión a la salida queda finalmente: ∆2= [K1+K2(D−1)] LA1 A2b1 (2.80) 2.7 Análisis del comportamiento de una turbina centrípeta El diseño óptimo de una turbina a partir de unas ciertas especificaciones, es decir minimizando las pérdidas y maximizando la eficiencia, no es directo y frecuentemente recurre a correlaciones empíricas o físicas, ecuaciones de optimización, que acerquen el prediseño a la solución más eficiente. El diseño de la turbina tratado en este trabajo se realizará con el programa MATLAB®, siguiendo el método de diseño que describe Aungier [ 1 ]. El método de Aungier se divide en dos partes principales: el prediseño y el análisis. Aungier [ 1 ] utiliza correlaciones para realizar un prediseño de la geometría de la turbina centrípeta, con unas condiciones en el punto de diseño. Para la definición de las condición de funcionamiento, en este trabajo se eligen el gasto ( ˙mPD ), la velocidad específica ( ns,PD ), la relación de expansión ( REPD ), y la temperatura de entrada ( Te,PD ). Este diseño deberá ser analizado para calcular el gasto, relación de expansión y eficiencia real ( ˙m , RE, ηTE ), volviendo a realizar el prediseño si estos valores no se ajustan a los especificados. Se muestra un diagrama del proceso en la Figura 2.15. El método de Aungier [ 1 ] de análisis se realiza de forma lineal; es decir, primero se obtienen las condiciones tras la voluta, luego las toberas, etc., siguiendo la dirección del flujo en el orden definido en la Figura 2.7. La forma de analizar cada componente siempre es la misma: se tienen las condiciones de entrada, (bien son dato a la entrada de la voluta, bien vienen del resultado del análisis del anterior componente), se calculan las condiciones ideales a la salida, y se restan las pérdidas mediante correlaciones. Sin embargo, las pérdidas dependen de las condiciones de salida, y éstas a su vez de las pérdidas, por tanto es un proceso iterativo que converge en el valor del coeficiente de pérdidas Y. Se muestra el diagrama de flujo del análisis en la Figura 2.16. Se comienza con la suposición de que no hay pérdidas, de forma que el coeficiente de pérdidas es nulo ( Y=0 ), por lo que la primera vez que se calculen las propiedades del flujo a la salida, corresponderán a una turbina con comportamiento isentrópico. A partir de este dato se itera introduciendo el valor real de las pérdidas hasta converger en Y, teniendo así las propiedades reales del flujo a la salida. Para abordar el análisis 22 Capítulo 2. Fundamentos de la turbina centrípeta Figura 2.15 Diagrama de flujo de prediseño de una turbina centrípeta según el método de Aungier. se debe haber realizado previamente al menos un primer prediseño de la turbina (definir su geometría) y comprobar, a través del análisis, si cumple o no con las especificaciones de funcionamiento preestablecidas. Se comenzará detallando el análisis de la voluta, primer componente que se encuentra el fluido al entrar en la turbina. 2.7.1 Análisis de la voluta Se usa el esquema proporcionado por Aungier [ 1 ], Figura 2.9. Dado que es el primer componente, las condiciones de entrada son dadas por el usuario. La geometría queda definida por el radio y la sección transversal de paso del fluido en tres estaciones de la voluta: entrada ( r=r1 ), salida ( r=r2 ) y un punto intermedio en el cual se ha descargado la mitad del flujo másico que entró en la tobera ( r=ra ). El área de la salida no es necesario tenerla como dato, se calcula mediante: A2=2πr2b2(2.81) donde r2es el radio en la estación 2 y b2la altura de los álabes a la entrada de las toberas del estátor. El procedimiento de análisis es el siguiente: con las condiciones termodinámicas iniciales y el gasto másico se obtiene la velocidad a la entrada de la turbina y, dado que no se intercambia trabajo en la voluta, se cumple lo establecido en la Ecuación 2.3: h01 =h03 . Si la presión o entropía se conservase, se tendrían las propiedades termodinámicas completas a la salida. Sin embargo existen pérdidas que influyen en las condiciones de salida del fluido. Estas pérdidas dependen de las condiciones iniciales, de las especificaciones de operación y del diseño de la máquina, por lo que para alcanzar la convergencia es necesario conocer las condiciones del flujo a la salida de la voluta. Para el cálculo de la velocidad a la entrada de las toberas, Aungier [1] emplea la siguiente ecuación: cθ2=raca r2 (2.82) Esta expresión supone que el momento cinético desde la estación 2 ( cara ) hasta la estación 2 ( cθ2r2 ) es constante, siendo cθ2 la componente tangencial de la velocidad en 2. Tal hipótesis se aceptable considerando que la única fuerza actuante sobre el fluido (fricción en las paredes de la tobera) es muy pequeña 1 . Se deben tener en cuenta las pérdidas descritas en el Apartado 2.6.2, se observa la necesidad de la pérdida YΘ dado 1 El teorema del momento cinético establece que la variación de momento cinético del fluido es igual al momento resultante, respecto del eje de referencia, de las fuerzas que actúan sobre el mismo. 2.7 Análisis del comportamiento de una turbina centrípeta 23 Figura 2.16 Diagrama de flujo de análisis de turbina centrípeta (izquierda) y de un componente (derecha) según el Método de Aungier. que en la Ecuación 2.82 se asume que no hay fricción (la introducción de pérdidas por fricción hace que la hipótesis de momento cinético constante no sea cierta). Una vez calculadas todas las pérdidas, en cada componente deben sumarse los coeficientes correspondientes, Yi , y modificar la presión de salida en consonancia. Se muestra en la Ecuación 2.30 cómo este coeficiente de pérdidas afecta a la presión de salida en función de la presión de salida ideal, calculada en la primera iteración del bucle mostrado en la Figura 2.16. Teniendo la presión y entalpía de remanso a la salida ( P02 ) y h02 , se pueden calcular todas las propiedades termodinámicas de remanso a la salida de la voluta. Para el balance de masa, Aungier [ 1 ] utiliza el defecto de masa ∆ , que hace referencia a pérdidas internas de la turbomáquina. El cálculo de este parámetro se explica en el Apartado 2.6.1. El balance de masa queda: ˙m= (1−∆)A2ρ2cm2(2.83) siendo ρ3 la densidad a la salida y cm3 la componente meridional de la velocidad a la salida. Y sabiendo que: h02 =h2+1 2c2 2=h2+1 2(c2 m2+c2 θ2)(2.84) y que la entropía s3 es la misma en condiciones de remanso que en condiciones estáticas, es posible calcular todas las propiedades termodinámicas (de remanso y estáticas) a la salida de la voluta. Como se detalló anteriormente, este es un proceso lineal, y es necesario conocer las condiciones del flujo a la salida de cada componente antes de empezar con el siguiente. El siguiente componente por el que pasa el fluido son las toberas. 24 Capítulo 2. Fundamentos de la turbina centrípeta 2.7.2 Análisis del estátor Para poder analizar el paso del fluido a través de las toberas se deben saber todos los datos geométricos de éstas, así como el número de toberas y su disposición. Esta información debe ser especificada, al igual que en la voluta, a la entrada, a la salida, y en el punto medio. Estas secciones relevantes se muestran en la Figura 2.10 y son la entrada, la salida y la garganta: r2 , r3 , y rth . La garganta es la sección transversal con menor área de paso del fluido y es, por tanto, donde este alcanzará la mayor velocidad (en toberas subsónicas). La anchura de garganta es o, tb es el espesor del álabe y ι el ángulo del álabe a la salida de la tobera respecto de la dirección tangencial. En las turbinas radiales, en ausencia de álabes en el estátor y debido a la conservación del momento cinético, el ángulo a la salida del flujo es afectado por la diferencia de radios entre entrada y salida. Este fenómeno no ocurre en las turbinas axiales en las que el ángulo del flujo a la salida del estátor viene condicionado fundamentalmente por la geometría de los álabes. Para estimarlo, se emplea la siguiente ecuación: ∂r ∂m3 =m3(r3−r2) m2(m3−m2)−(m3−m2(r3−r2)) m2m3 (2.85) Siendo rla coordenada radial y mla meridional. Los subíndices siguen la misma relación que en la Figura 2.10, donde 2 es la garganta. Se calcula el gradiente de la coordenada radial rcon respecto a la meridional m en el borde de estela haciendo uso de una serie de Taylor truncada. Se aproxima el radio medio de garganta mediante [1]: rth =r3−∂r ∂m3 o2 2ς3 (2.86) ς3=2πr3 N(2.87) Siendo ς3 el paso de las toberas. Su cálculo se muestra en la Ecuación 2.87, con el número de toberas N . El fluido que sale del estátor sigue la dirección τ3 respecto de la dirección tangencial, diferente al ángulo formado por el álabe en el borde de estela respecto de la misma referencia ι3 . El ángulo de flujo se puede calcular a partir del ángulo del flujo calculado con la regla del seno τos de la siguiente forma[1]: sin(τos) = bth o ς3b3 (2.88) tan(τ3) = r3 rth tan(τos)(2.89) Siendo bth y b3 la altura de la tobera en la garganta y en la sección de salida respectivamente. El área en cada estación se obtiene con: A=b(2πrsin(ι)−tbN)(2.90) Siendo tb el espesor del álabe en cada estación y Nel número de toberas. Como se ha indicado, los ángulos τ indican el ángulo que describe del flujo a su paso, mientras que los ángulos ι son los ángulos geométricos determinados por las toberas. Para el balance de masa, en la entrada (estación 1) se tienen los datos de la voluta mientras que en el punto medio suponemos τb=ιb y en la última estación se ha obtenido τ3 con el desarrollo anterior. Por lo tanto, para calcular las pérdidas por fricción sobre los álabes del estátor (pérdidas por perfil) Yp basta con calcular la longitud de la trayectoria recorrida por la partícula fluida a partir de la integración numérica de los datos de las tres estaciones. Además, es necesario realizar una diferenciación entre la cara de presión (cóncava) y la de succión (convexa) de los álabes, al tener el flujo velocidades diferentes en cada una de ellas [1]. A la pérdida por perfil hay que añadir las pérdidas por incidencia descrita en el Apartado 2.6.3. Una vez obtenidas las pérdidas se vuelve a realizar la convergencia en Yhasta hallar las condiciones de salida del flujo. El balance másico queda: ˙m= (1−∆)πr3b3ρ3c3sin(τ3)(2.91) Y, volviendo a seguir el procedimiento anterior, las propiedades estáticas se calculan como: 3.2 Diseño del rodete 31 rh5=0.185r4(3.13) Para el radio de salida exterior rs5 , se busca mantener una relación razonable entre la altura de paso y la curvatura. El procedimiento siguiente ha demostrado tener un buen funcionamiento: cm5 cm4 =1+5b4 r42 (3.14) Teniendo ya las condiciones termodinámicas a la entrada, un balance de masa resolverá cm4 y b4 a partir de estas, y teniendo que se asume una salida axial (cθ5) y que se calculó rh5previamente en la Ecuación 3.13., un proceso similar resuelve b5 y cm5 . La longitud axial del rodete se aproxima con los resultados anteriores [1]: ∆zR=1.5(rs5−rh5)(3.15) Para el número de álabes en el rodete, se utiliza la aproximación de Rohlik [ 22 ] derivada de Jamieson [ 24 ], redondeando al numero entero más cercano el resultado: NR=12 +0.03(33 −τ4)2(3.16) El ángulo geométrico de entrada de los álabes ι4 , se determina buscando minimizar la pérdida por incidencia, en un proceso similar al practicado en el Capítulo 3. En este caso, Aungier [ 1 ] utiliza una versión simplificada del factor de deslizamiento, ignorando el efecto de la relación del radio limitante, quedando: σ=1−psenβ4 N0.7 R (3.17) KB4=1−NRtb4 2πr4senβ4 (3.18) Siendo KB4 un factor que tiene en cuenta el bloqueo de los álabes. Aungier [ 1 ] aproxima la velocidad tangencial ideal c∗ θ4utilizando la misma densidad a la entrada del rodete y una vez dentro: c∗ θ4=σu4−cm4cotι4 Kb4(3.19) i∗ 4=ι4−90 +tan−1(u4−c∗ θ4)KB4 cm4(3.20) i4=ι4−90 +tan−1(u4−cθ4)KB4 cm4(3.21) Siendo i∗ 4 y i4 el ángulo de incidencia ideal y real respectivamente. Una vez obtenidos los parámetros que definen el rodete, existen una serie de comprobaciones recomendadas por Aungier [ 1 ] basadas en la bibliografía de varios autores. Balje [23] recomienda: 0.2≤cm5/u4≤0.4(3.22) rs5/r4≤0.78 (3.23) Rohlik [22] aconseja lo siguiente en cuanto al radio de salida del rodete: rs5/r4=1.29ns(3.24) rs5/r4≤0.7(3.25) Wood [20], para la velocidad meridional sugiere: 1≤cm5/cm≤1.5(3.26) 32 Capítulo 3. Método de diseño de turbina centrípeta Por último Balje [ 23 ], Linhardt [ 21 ], y Watanabe et al. [ 25 ], realizan diferentes recomendaciones para el grado de reacción, Aungier [1] las completa recomendando el siguiente rango: 0.45 ≤R≤0.65 (3.27) Con todos los parámetros anteriores, se tiene información suficiente para un prediseño del rodete, de forma que pueda ser evaluado por el procedimiento del Capítulo 3. Sin embargo, Aungier [ 1 ] también ofrece un método de diseño del contorno de las paredes del rodete y sus álabes, de forma que, aunque no deba ser la solución final, asegure un buen comportamiento de la turbina mediante lo que denomina un criterio de buen diseño. Comienza por las paredes interiores del rodete, ajustándolas a la forma de un cuarto de circunferencia: r=rs5+(r4−rs5)εn(3.28) ε=z−z5 ∆zR−b4 (3.29) Quedando el diseño final como se muestra en la Figura 3.1. Aungier [ 1 ] sugiere buscar en el punto medio, el área media Amentre A4yA5, eligiendo el exponente de la Ecuación 3.28 entre 2 y 9. Figura 3.1 Diseño del contorno de las paredes interiores del rodete [1]. Para el diseño de los álabes ofrece dos opciones: álabes de línea de curva mediante elementos rectilíneos, o álabes radiales. La primera opción ofrece un diseño tridimensional, construido definiendo la geometría de los álabes en el contorno de las paredes, y uniendo la línea de curva de los álabes con la superficie definiendo puntos de elementos rectilíneos. Mientras que el segundo se construye con líneas radiales, y sólo permite un ángulo ι4=90 º, se utiliza para turbinas con prestaciones mecánicas muy exigentes. En nuestro código se utilizará la primera opción, mostrándose los dos casos en la Figura 3.2. 3.3 Toberas El dimensionamiento de las toberas requiere una altura de paso constante e igual a la de entrada al rodete calculado anteriormente. Si se conoce el radio de salida de las toberas, la velocidad de salida del flujo se puede calcular mediante conservación de momento angular la velocidad angular a la salida de las toberas: cθ3=cθ4 r4 r3 (3.30) 3.3 Toberas 33 Figura 3.2 Diseño del contorno de los álabes del rodete [ 1 ], álabes de línea de curva mediante elementos rectilíneos (izquierda), y de álabes radiales (derecha). El ángulo de salida de flujo se estima mediante la regla del seno despreciando la corrección del Capítulo 3 [1]. Utilizando un balance de masa para resolver los datos restantes del flujo a la salida. o ς3 =sinτ3(3.31) o ς3 =ρ3cm3 ρ∗a∗ (3.32) Siendo o el ancho de paso mínimo y ς3 el paso de las toberas. Se utiliza la Ecuación 3.31 para soluciones subsónicas y la Ecuación 3.32 en caso de que el flujo sea supersónico a la salida, siendo las propiedades ρ∗ y a∗ aquellas referidas al flujo supersónico. Para diseñar las toberas, es preferible definir primero su geometría. En este caso, se utiliza una línea de curva de arco parabólico, siguiendo la ecuación de Aungier [26]: x2+lc−2a bxy +(lc−2a)2 4b2y2−lcx−l2 c−4alc 4by=0(3.33) Siendo lc la longitud de cuerda, b la altura máxima, y a su posición. Se muestra un esquema en la Figura 3.3. Los ángulos de entrada y salida de la tobera χse obtienen derivando la Ecuación 3.33: Figura 3.3 Línea de curvatura de tobera [1]. tanχ2=4b 4a−lc (3.34) 34 Capítulo 3. Método de diseño de turbina centrípeta tanχ3=4b 3lc−4a(3.35) El ángulo de curvatura se define como [1]: Θ=χ2+χ3(3.36) Para la distribución de espesores, se utiliza una modificación de Aungier [11], de forma que: t=tre f + (tmax −tre f )εe(3.37) tre f =t2+ (t3−t2)x d(3.38) ε=x d;x≤d(3.39) ε=lc−x lc−d;x>d(3.40) e=s0.4d lc0.95(1−x lc (1−ε)+0.05(3.41) Mostrándose un esquema de la distribución de espesores en la Figura 3.4. Quedaría por determinar la longitud de cuerda y el ángulo de ajuste entre la cuerda y la dirección tangencial γ3 , definido en la Figura 3.5. Para calcular γ3 , se debe suponer un valor inicial y con este se tiene el ancho de garganta (o) con las Ecuaciones 3.31 o 3.32. Es necesario un proceso iterativo para converger en el valor de o requerido. Un procedimiento mejorado de estimación de γ3a partir de la iteración anterior es: Figura 3.4 Distribución de espesores tobera [1]. sinγ3−>sinγ3(o oc )(3.42) Siendo oc el ancho de garganta obtenido en la iteración anterior. Aungier [ 1 ] limita el valor de γ3 para un buen diseño: γ3≥5(3.43) 1.1≤r2 r3≤1.7(3.44) El ángulo de entrada γ2por se obtiene: 3.4 Voluta 35 Figura 3.5 Ángulo de ajuste tobera [1]. r2cosγ2=r3cosγ3(3.45) ι2=γ2−χ2(3.46) Aungier [ 1 ] también ofrece una serie de valores por defecto que acaban por definir la cuerda y los demás parámetros. Utiliza un valor de ς3/lc=0.75 , que, al tener ς3 , otorga el valor de la longitud de cuerda. Otros valores utilizados, todos en función de la cuerda c, son: Θ=0,a/lc=0.5,t2/lc=0.025,t3/lc=0.012,tmax/lc= 0.06yd/lc=0.4. Por último es necesario realizar una evaluación del diseño para obtener el número de toberas, en este caso Aungier [ 1 ] escoge este valor en función de los efectos de carga sobre estas, eligiendo el número mínimo de toberas que satisfaga: 4ς3sin(ι2−τ3) lcsinι2h1+r3 sinτ3 r2sinτ2i≤1(3.47) 3.4 Voluta El principal objetivo del prediseño de la voluta es obtener el tamaño exterior de la turbina (radial y axial), aunque se tendrá que sumar la longitud axial del difusor si éste se utiliza. Su área de entrada y dimensiones se obtienen de la conservación de masa y momento angular [1]: ρ1c1A1=˙m(3.48) r1cθ1=r2cθ2(3.49) Dado que las condiciones de salida de la voluta son las de entrada a las toberas, siendo las condiciones 1 y 2 las de entrada y salida a la voluta respectivamente. El diseño depende del tipo de voluta elegido. El autor recomienda una voluta externamente elíptica, como se muestra en la Figura 3.6. Su área externa se calcula mediante: A1=3 4π+1AB (3.50) r1=r2+B(3.51) 36 Capítulo 3. Método de diseño de turbina centrípeta Figura 3.6 Vuluta de exterior elíptico [1]. Siendo A y B los parámetros geométricos definidos en la Figura 3.6. Para resolver la voluta es necesario especificar la relación de aspecto AR =A/B , se puede resolver el sistema, y la ecuación 3.51 ofrece una estimación de r1 . Se debe iterar hasta obtener un valor adecuado. Dado que se conocen las propiedades termodinámicas a la entrada, A1 se puede obtener mediante un balance de masa. Aungier [ 1 ] recomienda una relación de aspecto 0.75 ≤AR ≤1.25. 3.5 Difusor El prediseño del difusor se puede abordar como una mejora del rendimiento de la turbina. Definir los parámetros a la salida del difusor sería complicar los cálculos, y si se sigue el método descrito en el Capítulo 3 se obtienen los datos de salida. Aungier [1] define al difusor con su divergencia Θc: 2Θc=2tan−1"b5 (A6 A5−1) 2L5−6#(3.52) Como se vio en el Capítulo 3, el coeficiente de recuperación de presión se deteriora cuando 2Θc>11 º, luego un valor de 2Θc=11 ºse utiliza como aproximación inicial razonable. El difusor podrá ser completamente diseñado mediante la razón: A6/A5óL5−6/b5. 3.6 Análisis y optimización del código 37 3.6 Análisis y optimización del código Los Capítulos 2 y 3 desarrollan el método de cálculo, pero no hablan sobre la eficiencia del código. Todo código debe tener en cuenta dos cosas: su eficiencia y su robustez. Esto es, reducir el tiempo de cálculo y funcionar correctamente en el mayor rango de situaciones posibles. A este trabajo se le entregó un código previo ya programado mediante el procedimiento de Aungier [ 1 ], que si bien era robusto, tenía una duración media de cálculo de 45 minutos con más de 2500 líneas de código. Para proceder a la optimización del código, en lugar de comenzar analizando cada bucle, se seguirá el procedimiento de Gavagnin [ 27 ] para la optimización de un código de MATLAB®, ya que, como se ha desarrollado durante este trabajo, el método de Aungier [ 1 ] para el prediseño de una turbina centrípeta contiene numerosos bucles y convergencias, desde el cálculo de la propia geometría de diseño a un simple balance de masa. Usando la herramienta Profiler se obtienen los datos de la Tabla 3.1, donde se muestra el número de veces que las 5 funciones que más tiempo consumen han sido llamadas, el tiempo total de cálculo de cada función, y su tiempo de cálculo propio. El tiempo total de cálculo es el tiempo que el programa tarda desde que entra en la función hasta que sale, mientras que su tiempo de cálculo propio es la diferencia entre el tiempo total de cálculo y los tiempos totales de cálculo de todas las subfunciones que haya dentro de esa función. Una vez realizada la Tabla 3.1, se centrará la atención en aquellas funciones que consuman más tiempo. Para realizar la optimización se eligen como condiciones de funcionamiento de la turbina: Tentrada =900C , ˙m=0.12kg/s, y RE =3.5. Tabla 3.1 Tiempo de computación del prediseño de turbina centrípeta previo a la optimización. Nombre de la función Llamadas (nº) Tiempo total (s) Tiempo propio (s) Diseño de la turbina 1 2698.76 12.43 Análisis de la turbina 264 2567.18 1.74 CoolProp 6222561 2406.85 2406.85 Balance de Masa 110148 2220.84 27.80 Análisis del rodete 2754 1259.73 5.132 La función CoolProp representa el cálculo de propiedades termodinámicas, consumiendo un 89.2% del tiempo de cálculo de la turbina centrípeta, siendo CoolProp una subfunción distribuida por todo el código. Si bien el mayor tiempo de computación se dedica a esta función, no es objeto de este trabajo optimizar el proceso de cálculo de estas propiedades, centrándose en reducir el número de veces que se llama a esta función. Se tratará primero de reducir el exceso de llamadas al análisis de la turbina, función a la que se llama 264 veces. El exceso de llamadas al análisis se debe a un procedimiento poco eficaz de corrección del diseño a partir de los errores devueltos por el análisis, como se muestra en la Figura 2.15. Si la corrección en el diseño es vaga o excesiva, el programa deberá analizar numerosas turbinas antes de dar con una que satisfaga los requerimientos dentro de la tolerancia. Al analizar el código se observa un sobreamortiguamiento en las aproximaciones sucesivas del diseño de la turbina. El amortiguamiento es una medida tomada por los programadores para dar robustez al código, si éste está bien calculado, acelerará el proceso de convergencia, mientras que si se aumenta demasiado, o por contrario es demasiado pequeño, puede resultar en un aumento brusco de las iteraciones necesarias para la resolución. A su vez, el código posee una estructura escalonada de actualización del diseño: en lugar de calcular un error global, dependiente de las tres especificaciones sobre las que converge ( ˙m , η y RE ) y optimizar sobre éste, se optimiza sobre los errores sucesivamente, un procedimiento que ralentiza sin motivo el diseño. El primer paso que se tomará para la optimización será cambiar el modo de convergencia a un único bucle, manteniendo la tolerancia antes impuesta. De un código que actualizaba en dos variables distintas de forma 38 Capítulo 3. Método de diseño de turbina centrípeta escalonada, se pasará a un único bucle, como se muestra en la Figura 3.7. Este cambio permite ahora analizar la respuesta que cada variable tiene en el código, y amortiguar cada una de ellas correctamente. Figura 3.7 Diagrama de flujo del diseño del código escalonado (izquierda), y del código optimizado (derecha). Tras el cambiar la convergencia a un único bucle, se procederá a analizar el amortiguamiento. Para ello, se utilizará la Ecuación 3.53, donde la variable a′ es el nuevo valor de la variable a , ka el error devuelto por el análisis ( resultado ob jetivo −1 ), y ga el amortiguamiento. Se observa que si ga=∞ , a′=a , y siempre se acabaría evaluando el mismo diseño. Por otro lado si ga=1 no se amortigua el resultado, lo que puede penalizar la robustez del código. a′=a/(1+ka/ga)(3.53) Se llega a la conclusión de que para aumentar la robustez del código éste esta sobreamortiguado al tener ga un valor mayor del necesario, acercándose a′ lentamente a la solución. En este trabajo, se ha realizado un estudio de diferentes amortiguamientos posibles, analizando los errores ( ka ) de las diferentes variables de optimización en los primeros 5 bucles. Con posterioridad, se ha seleccionado aquel resultado que reduce más rápidamente los errores, sin perder esa robustez que se buscaba al aumentar ga . En este procedimiento se ha impuesto que los errores sucesivos ka sean siempre menores que el anterior, esto es, ka5≤ka4≤ka3≤ka2≤ka1 , asegurando así la robustez del código. Se comenzará por analizar diferentes amortiguamientos constantes. Se muestran los resultados en las siguientes Tablas 3.2 a 3.7. Tabla 3.2 Evolución de errores relativos sin amortiguamiento. Amortiguamiento Variable k1k2k3k4k5 1 Flujo másico 6.64 9.10 0.89 0.16 0.01 1 Relación de expansión 14.12 1.17 0.09 0.01 0.01 1 Eficiencia 8.57 1.11 0.21 0.01 0.01 3.6 Análisis y optimización del código 39 Tabla 3.3 Evolución de errores relativos con ligero amortiguamiento en flujo másico. Amortiguamiento Variable k1k2k3k4k5 2 Flujo másico 6.64 5.31 3.62 1.83 0.93 1 Relación de expansión 14.12 1.17 0.09 0.01 0.00 1 Eficiencia 8.57 1.17 0.09 0.04 0.02 Tabla 3.4 Evolución de errores relativos con ligero amortiguamiento en relación de expansión. Amortiguamiento Variable k1k2k3k4k5 1 Flujo másico 6.64 8.13 0.79 0.57 0.26 2 Relación de expansión 14.12 8.16 4.5 2.48 1.35 1 Eficiencia 8.57 0.49 0.42 0.18 0.11 Tabla 3.5 Evolución de errores relativos con ligero amortiguamiento en eficiencia. Amortiguamiento Variable k1k2k3k4k5 1 Flujo másico 6.64 5.48 2.18 1.17 0.57 1 Relación de expansión 14.12 1.24 0.04 0.00 0.01 2 Eficiencia 8.57 5.69 3.09 1.51 0.73 Tabla 3.6 Evolución de errores relativos con gran amortiguamiento en flujo másico. Amortiguamiento Variable k1k2k3k4k5 10 Flujo másico 6.64 2.47 3.31 3.00 2.70 1 Relación de expansión 14.12 1.17 0.09 0.01 0.00 1 Eficiencia 8.57 1.22 0.04 0.01 0.01 Tabla 3.7 Evolución de errores relativos con gran amortiguamiento en eficiencia. Amortiguamiento Variable k1k2k3k4k5 1 Flujo másico 6.64 2.94 0.72 0.56 0.55 1 Relación de expansión 14.12 1.39 0.09 0.08 0.12 10 Eficiencia 8.57 8.86 8.26 7.52 6.90 El análisis de los diferentes casos muestra que para lograr el objetivo se debe centrar en amortiguar el gasto másico, dado que este tiende a aumentar el error en las primeras iteraciones, y las demás variables tienen una evolución válida sin amortiguamiento. El objetivo es evitar es el aumento del error en el gasto másico en las primeras iteraciones, sin ralentizar en exceso el cálculo del prediseño. En este caso se va a seguir analizando la evolución de los parámetros anteriores si se amortiguase el flujo másico a partir del error en la relación de expansión (Tablas 3.8 a 3.13), dado que este error muestra una evolución predecible en todas las pruebas anteriores, siendo mucho mayor en la primera iteración que en las siguientes. Utilizar este error permitiría tener un gm elevado en las primeras iteraciones evitando el aumento del error, y pequeño en las últimas reduciendo el tiempo de cálculo. Se define kre como el error en la relación de expansión. 40 Capítulo 3. Método de diseño de turbina centrípeta Tabla 3.8 Evolución de errores relativos con amortiguamiento en flujo másico con gran dependencia en relación de expansión. Amortiguamiento Variable k1k2k3k4k5 1+100 ∗kre Flujo másico 6.64 2.23 2.26 0.22 0.03 1 Relación de expansión 14.12 1.16 0.09 0.01 0.00 1 Eficiencia 8.57 1.23 0.05 0.04 0.00 Tabla 3.9 Evolución de errores relativos con amortiguamiento en flujo másico con media dependencia en relación de expansión. Amortiguamiento Variable k1k2k3k4k5 1+75 ∗kre Flujo másico 6.64 2.37 2.16 0.17 0.03 1 Relación de expansión 14.12 1.16 0.09 0.01 0.00 1 Eficiencia 8.57 1.23 0.06 0.04 0.00 Tabla 3.10 Evolución de errores relativos con amortiguamiento en flujo másico con dependencia en relación de expansión. Amortiguamiento Variable k1k2k3k4k5 1+50 ∗kre Flujo másico 6.64 2.63 2.02 0.13 0.03 1 Relación de expansión 14.12 1.17 0.09 0.01 0.01 1 Eficiencia 8.57 1.22 0.07 0.04 0.01 Tabla 3.11 Evolución de errores relativos con amortiguamiento en flujo másico con baja dependencia en relación de expansión. Amortiguamiento Variable k1k2k3k4k5 1+25 ∗kre Flujo másico 6.64 3.31 1.77 0.09 0.03 1 Relación de expansión 14.12 1.17 0.09 0.01 0.01 1 Eficiencia 8.57 1.21 0.08 0.04 0.01 Tabla 3.12 Evolución de errores relativos con amortiguamiento en flujo másico con dependencia en relación de expansión al cuadrado. Amortiguamiento Variable k1k2k3k4k5 1+100 ∗k2 re Flujo másico 6.64 4.11 1.06 0.08 0.02 1 Relación de expansión 14.12 1.17 0.09 0.01 0.01 1 Eficiencia 8.57 1.20 0.11 0.02 0.01 4.1 Curvas características 47 Figura 4.6 Curva característica de turbina centrípeta con condiciones de diseño ˙m=0.05 kg/s, RE=4, T01 = 800 ºC para diferentes velocidades de giro adimensional corregidas. Figura 4.7 Curva característica de turbina centrípeta con condiciones de diseño ˙m=0.05 kg/s, RE=4, T01 = 800 ºC para diferentes velocidades de giro adimensional corregidas con islas de isorendimiento total a estático. 48 Capítulo 4. Comportamiento fuera de diseño Figura 4.8 Rendimiento total a estático frente a gasto másico adimensional corregido para una turbina centrípeta con condiciones de diseño ˙m=0.05 kg/s, RE=4, T01 =800 ºC. Figura 4.9 Rendimiento total a estático frente a relación de expansión corregida para una turbina centrípeta con condiciones de diseño ˙m=0.05 kg/s, RE=4 T01 =800 ºC. Se observa como para menores gastos y mayores relaciones de expansión, el mapa de funcionamiento de la turbina centrípeta corregido no sufre cambios significativos, abriéndose ligeramente las líneas de bloqueo. El cambio más importante lo tiene el rendimiento, cayendo a velocidades de giro menores. Si se comparan las Figuras 4.9 y 4.4, o 4.9 con 4.5, el rendimiento para la velocidad de giro nominal en las nuevas condiciones cae para menores gastos y menores relaciones de expansión, mientras que no se ve este efecto en las primeras curvas. Se tiene un rendimiento más sensible a aumentos del régimen de giro. La variación de la velocidad de giro del eje de puede no ser posible al estar la turbina funcionando en conjunto con un turbocompresor u otra disposición que no permita la variación libre del régimen de giro. Es por tanto que se pasa a estudiar una turbina de geometría variable, que modifique su curva de funcionamiento sin necesidad de variar la velocidad de giro del eje. 4.2 Turbina centrípeta de geometría variable Una turbina centrípeta de geometría variable consiste en una turbina capaz de variar el ángulo de ajuste de las toberas γ3 , mostrado en la Figura 3.5. Estos álabes se denominan alabes guía, y se muestra su funcionamiento 4.2 Turbina centrípeta de geometría variable 49 en la Figura 4.10. Figura 4.10 Fucionamiento de álabes guía en turbina centrípeta de geometría variable [28]. Los álabes guía varían el área de paso por las toberas, adaptando el gasto para una misma relación de expansión. Si éstos se cierran, la turbina tendrá un menor gasto másico para la misma relación de expansión, regulando el punto de funcionamiento de la turbina sin necesidad de variar la velocidad de giro. Además de adaptar la turbina a nuevas condiciones, los álabes guía ayudan a reducir las pérdidas por incidencia en el rodete Yinc . Como se ve en la Figura 4.11, si c1 varía, se modifica el ángulo de incidencia al rodete, y como se ha visto en el Capítulo 3, esto supone mayores pérdidas de incidencia. Esta variación del ángulo de incidencia ocurre cuando el gasto varía: si el gasto disminuye, al no disminuir conjuntamente el área de entrada, la velocidad meridional disminuye, aumentando así el ángulo de incidencia. Si aumenta el gasto ocurre el proceso contrario. Figura 4.11 Variación del ángulo de incidencia al rodete por variación en el gasto másico. Para solucionarlo se instalan los álabes guía. Éstos redirigen el flujo para corregir el ángulo de incidencia disminuyendo las pérdidas por éste fenómeno, modificando a su vez la curva de funcionamiento de la turbina. En la Figura 4.12 se observa como un buen uso de los álabes guía es capaz de adaptar un caudal másico menor al de diseño, para mejorar la incidencia a la entrada del rodete. Se observa en la Figura 4.12 como sin los álabes guía (izquierda) el ángulo de incidencia se diferencia del mismo en el punto de diseño. Si se utilizan los álabes guía, se varían las condiciones del flujo hasta alcanzar el triángulo de velocidades mostrado a la derecha, minimizando las pérdidas de incidencia. Se adapta ahora el código, previamente optimizado con el procedimiento del Capítulo 3, para poder generar turbinas centrípetas con geometría variable, de forma que el usuario pueda introducir el ángulo de ajuste de las toberas γ3 manualmente. Se genera el mapa de funcionamiento para la misma turbina de la Figura 4.1 pero esta vez con el ángulo de ajuste especificado. Se obtienen las Figuras 4.13 y 4.14. 50 Capítulo 4. Comportamiento fuera de diseño Figura 4.12 Ajuste del ángulo de entrada al rodete por álabes guía, en negro el triángulo de velocidades a la entrada del rodete en el punto de diseño, en rojo el mismo triángulo a un gasto másico menor. Figura 4.13 Curva característica de turbina centrípeta con condiciones de diseño ˙m=0.15 kg/s, RE=2.5, T01 =800 ºC, con ángulos de ajuste de las toberas 10º, 15ºy 20º. 4.2 Turbina centrípeta de geometría variable 51 Figura 4.14 Rendimiento total a estático frente a gasto adimensional de turbina centrípeta con condiciones de diseño ˙m=0.15 kg/s, RE=2.5, T01 =800 ºC, a velocidad de giro adimensional de diseño para diferentes ángulos de ajuste en las toberas (10º-20º). Figura 4.15 Curva característica de turbina centrípeta con condiciones de diseño ˙m=0.15 kg/s, RE=2.5, T01 =800 ºC, a velocidad de giro adimensional de diseño para diferentes ángulos de ajuste en las toberas (10º-20º). En la Figura 4.13 se aprecia que para valores pequeños de γ3 , el flujo llega a bloquear en las toberas, provocando que para cualquier velocidad de giro, siempre se bloquee el flujo al mismo gasto. Un aumento del ángulo de ajuste tiene un efecto de fuelle en el mapa característico, a medida que γ3 aumenta se separan las líneas de bloqueo, al ser éstas menos dependientes de la garganta en las toberas. En la Figura 4.14 se observa que al aumentar el ángulo de ajuste se reduce el rendimiento máximo total a estático para un mismo régimen de giro, sin embargo si se comparan la Figura 4.14 y la 4.4 se observa como se ha ampliado el rango de funcionamiento para una misma velocidad angular y, si se adapta correctamente el 52 Capítulo 4. Comportamiento fuera de diseño ángulo de ajuste en las toberas a las condiciones de funcionamiento, se tienen rendimientos mucho mayores. La Figura 4.15 muestra para una misma velocidad de giro las diferentes curvas de funcionamiento de una turbina centrípeta a diferentes ángulos de ajuste de las toberas. Al aumentar el ángulo se desplaza la curva hacia la derecha, al aumentar el ancho de garganta en las toberas y permitir el paso de un mayor gasto másico. 5 Conclusiones y líneas futuras de trabajo En este trabajo se describe el procedimiento de optimización del método de prediseño y análisis de una turbina centrípeta descrito por Aungier [ 1 ], y la posterior adaptación del código a una turbina de geometría variable. En base a la información y resultados presentados en este trabajo, se presentan las siguientes conclusiones: • El procedimiento de actualización de variables en un bucle de un código es el parámetro más importante a la hora de su optimización, siendo el tiempo de computación muy sensible al amortiguamiento utilizado. Este amortiguamiento no debe ser excesivo ni escaso. Si es excesivo, el código variaría bruscamente la variable de diseño, resultando en evaluaciones muy dispersas que no acaban por converger. Mientras que si está subamortiguado, las evaluaciones serán muy similares a las anteriores, reevaluando continuamente diseños semejantes. En este trabajo se presenta una optimización de este último caso en la que se ha conseguido una reducción de las reevaluaciones del análisis de 264 a 6. • En funciones con abundantes cálculos termodinámicos, el método de optimización debe atender a la alta sensibilidad de estos cálculos. En este trabajo se ha procedido a realizar dos tipos de convergencias: rápida y lenta. Una convergencia rápida sin apenas amortiguamiento durante las primeras iteraciones para aquellos cálculos sencillos, y una convergencia lenta en el caso de exceder un número elevado de iteraciones con un alto amortiguamiento que aumente la robustez. • En el caso de una convergencia con varias variables, para el análisis de la optimización es preferible evitar las convergencias escalonadas y así poder estudiar los errores sucesivos conjuntamente, permitiendo además, el amortiguamiento de unos en función de otros, como se ha realizado en este trabajo, logrando una reducción en el tiempo de cálculo del 98.6%. • Al reducir ángulos de ajuste de las toberas del estátor, las curvas características de la turbina centrípeta se mueven hacia la izquierda, reduciendo el gasto másico en el bloqueo. Si este ángulo se reduce hasta el bloqueo en la garganta de los álabes de estátor, se produce una única recta de bloqueo al no depender éste del régimen de giro. Si se aumenta el ángulo, se van separando estas rectas, al perder influencia el fenómeno anterior, teniendo el aumento del ángulo de ajuste un efecto de fuelle en las curvas características. • Al aumentar el ángulo de ajuste de las toberas del estátor se reduce el rendimiento máximo de la turbina y se tienen éstos a mayores gastos másicos. Esta reducción de rendimiento es menor que de la que sufre la turbina si se variara el gasto sin el cambio en el ángulo de ajuste. Se concluye que el rendimiento es muy dependiente del ángulo de ajuste de los álabes de estátor, permitiendo su ajuste obtener el rendimiento máximo a diferentes valores de gasto másico. • La instalación de álabes de estátor de geometría variable aumenta el rango de funcionamiento de la turbina centrípeta, más que si sólo se variase la velocidad de giro. Además, permite a la turbina trabajar con mejores rendimientos en condiciones fuera de diseño, siendo una solución excelente para turbinas que trabajen habitualmente a carga parcial. Como líneas futuras de trabajo sería aconsejable realizar un estudio del ángulo de ajuste de los álabes de estátor óptimo maximizando el rendimiento para que, al variar el gasto másico en la turbina, también lo hiciera este ángulo. Por otro lado se deberían enfrentar las curvas características obtenidas en el análisis con curvas empíricas de turbinas con geometrías similares, para así poder evaluar la similitud entre el código y la 53 54 Capítulo 5. Conclusiones y líneas futuras de trabajo realidad. La línea futura de trabajo más notable sería la realización del diseño final de una turbina centrípeta a partir del prediseño logrado con el código de este trabajo. Bibliografía [1] R. H. Aungier, Turbine Aerodinamics: Axial-flow and radial-inflow turbine design and analisys. ASME PRESS, 2005. [2] R. 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