Sobre problemas de contacto con retroceso usando el método de los elementos de contorno

114 Vil CONGRESO NACIONAL DB INGBNIERIA MECANICA Año Vl Vol. m Ga ido, J.A.*, Cal o, F.* y Pa í s, F.** * Escuela de I ng en ie os Indus iales de Valladolid **Escue la de Ingenie os Indu s iales de Se ill a RESUMEN: Se p opone un a es a eg ia pa a d e e m1n a un a s i u ación com pa ible inicial que pe mi a comenza el anál i sis de p ob l emas donde la zona de con ac o di sm 1nuye al ac ua la ca ga , pe o no depende de la can idad de ca ga ap !1 cada. Se analiza el c aso de comp esión de una pl aca delgada sob e un a cimen ac i ón es udiando con d e a lle pa a es e c aso, la i n luencia que en los esui cdos i ene n l as cons an es elás ic as ela i as de amb os sol i dos, .:si como la p esenc1a de jcc:ón en la zo .a ce con ac o . 1.- INTROOUCCION Ex i s en en la In genie ía Ci il y Mecá n ica un g an núm e o de caso en l es q ue a 1 ac ua una so 1 ici ació n se o o: uce Jm e acc i ón en e sóli dos a a és de su co n o no ~e an00se en e ll os un es ooo ens1onal. La i n e acción se p oduce a a és de un a zona de ~ ac o Y en unc ión de cómo és a a olucio ne con la ca ga y Oln espec o a la si u ac ió n i nicial , se dan a i os cases . El COn ac o co n o m e es ~uél en qu e las c u a u as de ~bos SóliOOs en la zona de co n ac o coinciden y el ama no de a ZOn a de con ac o no a ia con la ca ga . Con ac cases whe e he inal con ac zone is J ess h an he ini ial con ac zone a e called eca:Jing con ac . A p ocedu e o deal wi h such ceses is p oposed . An especial a en i on is dedica ed o cases when h e con ac zone c hanges a e h e app lic a ion o h e l oad , bu do n o chan~ wi h he amoun o l oad . The comp ession o a pla e on a squa e egion is s udied , ha i ng in o conside a ion he in luence h a he el as ic cons an!s o bo h booies and h e p esence oí ic ion ha e on he es u l s En el con ac o con a ance l as cu a u as son di e en es y al aplica la ca ga la zona e con ac o aumen a. En gene al, cuanoo la zona inal de con ac o es meno que la inicial, se dice que es un p oblema con e oceso . Si uac i ones de con ac o i nicia l men e con o me oom i en es a e o lu ci ón. Sob e es a s1 uación de co n ac o con e oc eso caben aún oos pos b lid0035 , según que la zona de con ac o cambie p og esi amen e con el aumen o de la solici ación o que camb ie b uscamen e con la aplicación de la ca ga, po p eQueña que sea. y lu e }) no se medi i que cuanoo la ca ga aumen a de m ódulo . La p ime a de es as 005 si uaciones, desde un pu n o de 1s a numénco, no se di e enc1a naoa de la sl uac i ón de a ance . Adm1 en una o mulac i ón 1nc emen al que aunque pu ede se cos osa compu ac10nalmen e, no p esen a dl icul ades de d e inición del p ocec 1m1en o a segu 1 , Ga idO/ 11 . La segunda si uación, i ene la ai lcul ad de que no es posible aplica desde el p i ncipiO un p ocedimien o 1nc eme n al, ya qu e no se conoce una si uacion 1n1c1al compa ible soo e a qu e apl1ca lo . La oo ención de dicha s1 uación inicial de un a mane a iable y e icien e es ob¡e o undamen al de es e aba¡ o. Tal como queda de 1moo el p ob l ema , un a ez encon ada dicha si uación Oda la ca ga puede se ap l1 cada en un único i c emen o pa a ob ene la con igu ac i ón inal de e nsiones y deSP lazam 1en os . Pa a abo da es a clase de p oblemas, no s cen amos en la s1 uación más usual : C omp es1ón de una ca ga de lgada sob e una cimen ación . s1 endo ge ne a lizables las conclusiones a o as sl uac1ones que cumplan las p emisas gene ales enume adaS . Exis en algunas publ i cac i ones , Kee , Dundu s y Tsa1 121, Tsa1 , Dundu s y K ee / 3 /, Solech1 /4/ , sob e soluc10nes anal í icas 1 je es a cl ase de p ob l emas , pe o en odos los casos se e 1e en a c1om1 m os m lm os y si uaciones s1n 1cción . Desde e oun u ae i s a numé 1 co, Mahmoud , S alamon and Ma l<.s 1 5/, es ue11a on el p obl ema de una 1ga s ob e c1men ac1ón elás 1 ca. ~o med io del .m é odo de l os El emen os Fm i cs, dando el a l o de ia zona inal de con ac o . En el apa ado 2 se ae 1ne el p oo l ema soo e el que se a a aba¡a , es ablec1endo las cond1c10 n es que deb e cumpli la s oluc 1 ón . En el apa aoo 3 se s umanza el Mé có:l de los El emen os de C on o no, u 1 l zooo ~a a el Anális is. En el apa ado 4 se es ablece la es :-a eg ia pa a al canza la si uació n ln1Cial!XImpa lb1e . En el Apa ado 5 se aplica dicha es a egia pa a el anál1sis ae un p o bl ema conc e o. 2. -COHSIDERACIOHES GENERALES S OBRE El PROBLEMA A ANALIZAR. A in de explica , de un medo sencillo, aquellos aspec os que ca ac e i z"n el p oblema de con ac o con e oceso . nos apoya emos en el caso plano simp le ep esen OO:l en la i gu a 1. Si los com i mos oA y oB, que inic l almen e es án en con ac o a a és de la in e ase na u al común aD 0c son comp 1mioos po la acc ión de la ue za P, es conocioo el hecho de qu e el p oceso de de o mación elás ica, en es a es uc u a, conduci á al despegue pa cial de sus el emen os Es e e ec o es espec1al m en e 1n u1 1VO pa a pequeños alo es de h y en co n ac o en e ma e i ales de ca ac e ís i cas elás icas s1mi la es . o· y o o' e p T ....;---8 - ~ Fig. 1. De inición del p obl ema Sea ll el coe icien e de ozam1en o en e amoas supe icies (admi i emos po simplicidad la l ey local elás ica) y oDc la zona inal de con ac o (cuyo amaño y ubicacló n exac a desconocemos). Es un h echO bi en conocioo que el am año de oDc depende de las ca ac e ís icas (elás icas y 930mé icasl de los cue pos que con o man la es uc u a de co n ac o, del pun o de aplicac1ón de P y de su di ección , pe o no C€ su módulo ( e , po ejemplo, las e e encias /2/ , 131' / 4/' /6/ y 17 /). La inde pendenc ia de oDc espec o del módulo de P, plan ea un se io inco n en ien e pa a su de e m i nación median e cu alqu ie p c:cOOímien o numénco, da<Xl que no es pos ib le u iliza un ~uema de esoluc1ón basa:Xl en una o mulación in eg al (de oominio o con o no ) en é minos oo in c e men os, que puedan alo a se es ablecienoo condic i ones l ími es en los alo es de P. Es, oo an o, necesa io abo da el p oblema median e cualquie p ocedim i en o au oco ec i o q ue posib1li e es ablece con e ic};;ia, la ub1cacién de la zona de con ac o que pe manece as el e oceso 1nicial al aplica la ca ga. Hacemos no a que las implic ac iones de la s1luación plan eada sob e c ualquie esquem a oo esolución numé 1ca de p oblemas oo con ac o, es án elacionadas con la de inición de las condiciones e con o no in icia les . 116 An es de pasa a esc ibi , en los oos apa aOOS qu e siguen, el mé c:OO de anál i sis ( M.E C.) y undamen almen e la es a egia oo esolución qu e p oponemos , expond emos a con inuació n aquellas elaciones, que necesa iamen e han de e 1 ica se, en e las a iables p i ma i as en un pl an eamien o de con o no ( ensiones y deSplazamien os) aue supues amen e o ma í an pa e de la so uc1ón co ec a. Si 1 y ui ep esen an a as espec i as co mponen es (j= 1 ,2) de la ensión Y el desplazamien o de pun os del con o ne podemos con e . 1 . . , . . , e encla a a lgu a ! , esc ibi las Slgulen es el aciones i nclu i das en la solución . Tensiones a ni el ge o un o 1 1 ~ ( X) 1 l 1 2k( X) 1 /ll 1k( y) = l(y) =O ( J. a) ( 1 b) ( 1 e) do Me x e Y ep esen an pu n os del con o no del cue po k ( k=A,~) incluidos en oDc Y oDoc_ oDc espec JVamen e. La ecuacwn ( l.b ) ecoge la iey iocal de ozamien o. En ella, el slgn.,o Igual mdl ca a que a a es del pun o x ( pe de pun os maL ~ ales de uno u o o cue po que ocupan la misma pos1e1on) se pueae o od · . uel des l lzamlen o en e ambos con o nos Po el con a io Sl la igualdad en ( l. b) no se e l lca , ambas supe icies es a án adhe í "~ en x E l . uo;, . n o que sigue, eonsice a emos es e doble . . . . compo am 1e n o, exp ll Ci amen e , I n oduciendo la pa ¡c·ón oD = D D ,, e ca u o cd, en la que el segundo subíndice deno a adhesión Y des il zamien o espec i amen e. A ni el de o® l ~ ?o oa ® é on ac o la solución de ens ion es d ebe á de se al aue : ... ( 1. d) 2 k(x) ds=J ?k (: l )d s+ J (+' k()d oDc .)0 -!' -i 1 X S = 0 ca o ucd ( l.e) El s igno ( ) en la ecuac i ón de equ ili b io angencial se Incluye pa a ca · ' . . ae en za cua l qu¡e posib le s en ido de 1 enslon l oca l de . . a . . . ozamien o, I ndependien emen e de 10 es 1cc1on ( 1 a) · ~olazam1en 0$.. P oo Sea g( Z) una unc i ón oue ecoge la sepa ac ión que se P uce en e pun os ( z) Inicialmen e en con ac o , al aolica g( zl = g ( u A p) B( · CO . . j , z, · uj z,P) l. Es ablecemos las nd1c1ones a . . q ue es a su¡e a la solución de desplazam . a a es de 1 en os, g( z). A si pa a pun os x e oDc, e y e oDc o_ oDc ( 2. a) ( 2.b) g( x) =O g( y) > o Anaim.. "".i"men e si ( ) C opo 1 z ep esen a u na unc i ón que e ona el desliz ; am , en o que se p oduca en a pa es de pun os (2) (z)= (uj A'Uj 8 l. la solución debe á e iíi ca que: ( z) =O sizcoDca ( 2.c i y k (z) 2 (z)~ O sizcoDcd ( 2d) La es icción ( 2.d) ecOQe el ca ec e d!sloa ! o del abciO de ozamien o. . Recalcamos aue con la s ecuaciones ( 1) Y las ( 2) no se QUJ e e ep esen a una elac ión de condiciones de con o n nlde . o ecuaciones básicas del mOOelo ma ema' ico si 1 • , son . mp em~n e un conjun o de es icciones Y elaciOnes au e sabemos cebe de e l 1ca la solución del p oblema. En es e co n ex o, an solo la ( l.d) y (le) ~n elocion equ1llb lo global. es de 3.- AlGUNAS REFERENCIAS Al ANALISIS MHODO DE Aunoue el obj e i o de es e abajo es p ooone una es a egia a seQUJ pa a de ini co ec amen e las condiciones de con o no Iniciales en p oblemas en los q ue el p ime sis ema de ca gas que ec uan Implica una si uació n de con ac o de :e ~ en e sólidos, a a emos b e emen e, en o i me l uga , algunos aspec os so b e el mé cóJ oo analls1s ( M.E .C.) que amos a aplica . Co nc e amen e, se ac úa es ablecienoo el sis ema lineal qu e esul a ía al plan ea la compa ibilidad cinemá ica Y el equilib io es á ico de les ncms ubicaoos en los elemen os de con o no que OOsc iben el compo amien o de las zonas de co~ ac o ( 30 c· oDcd, 3D ca) que suponemos soluc 1 ón con dichO me cm ap oximaoo . Una desc ipción exhaus i a sob e los aspec os especí icos de la apllcoc:ión del M E e bl de · . . a p o amas con ac o pueOOn encon a se en Ga i oo /1/ P . Ga .,.,.. 18 , a 1s y ~w 1, Pa ís y Ga ioo /9/ . En gene al, Y ol ienoo a las no lineal idOOes p opias del p oblema (conocidas oO 30 Y ao ) se puede 11 . ' Cl.l cd • ega a un Sls ~ma lin eal co mo el ep esan OO:J po la ecuación ( 3.c), pa .enoo de sis emas como el ( 3. a) Y ( 3 b) de . . . . · , que sc 1ben el es ado elas lco ap oximado del con o no de e"" ~ e (A 8) · . ouo ue po , , lmpomenoo, además oo l as condiciones de . 1 con o no p opias de modelo, aquellas o as especí icas c-e las zonas ce con ac:o. La solución de ( 3 e) oobe é de sa is ace las cond1c1ones Implíci as 00 l as ecuaciones ( 1) Y ( 2). = y_a (3. a) !:!.8 y_B = Q.B y_B ( 3. b) (3 . c) Los si s emas ( 3 a) y ( 3.b ) i enen. en el caso !Jl dimens 1o nal, o den 2 . y 2NB e spec i amen e, ep esen anoo . y NB l os n odOs u ilizados en lo s con o nos de c ada cue po pa a ll e a a cabo la ap ox i moc 1 ón m a emá ica con el M .E .C.. Los ec o es Y. k. lk (k =A,B ) con ienen las componen es del desp l azamien o y la ensión en los noOOs. El sis ema inal que esul a del acoplam i en o( 3.c) es de o den 2( .+NB ). Su ma iz de coe icien es K y el ec o de ca ga dei sis ema E. se cons u ye n a pa 1 de l:ik y 0_k al i mpone l as condic i ones de con o no p esc i as y aquellas que son gspeci icas del con ac o El ec o ;i in clui á l as 2( .+ NB) a iables que en e de splazam i en os y ens i ones se desconocen. p a a de ini comple amen e el es aoo el ás ico ap oximaoo del con o no de c ada cue po. 4.- ESTRATEGIA PARA LA DETERMINACION EFICIENTE DE LAS ZONAS DE CONTACTO EN PROBLEMAS CON RETROCESO . La soluc1ón ce cualqui e p oo l ema ce con ac o con e oceso pasa po e s ab l ece el sis ema ( 3.c) que se de i a de la de inición co ec a de 3Dc( oDca y oDcd). Pa a llega a loc al iz a las zo nas de c on ac o es p eciso . al y como h emos expl1c ado , di seña un p oced imien o de ap ox1mac1ones suc es i as. que s e á más e icaz en la medida en que se cons 1 ge educi el núme o de eces qu e ha de se es uel o el sis ema ( 3. c) . La es a egia que , a al e ec o , p opo nemos . iene sie mp e ga an izada la con e gencia y en sin es1s co ns a de los sigu1 en es pasos . G- De e mmación de oDc pa a el p ime ensayo (3Dc( 1 )] Un a bu~na de in ición de oDc ( l) pu ede se es imada hacie ndo uso de la co noc i aa elac ón de Kee . Dund u s y Tsai ( e e encias 121 y 131) qu e p opo c iona p a a un mooelo simple y en ausencia de icc1ón. el amañ o de la zona de con ac o en unción de un pa ame o de ajus e (a ) que depende exclusi a men e ce l as ca ac e ís ica s elás icas de los ma e iales en con ac o. Conc e am en e, si a es la semi l ongi ud de con ac o. hes el can o del elemen o C€l g00:J y Glc y k los moou los oo igidez y de Po isson espec i amen e del cu e po K (K= A,B ), po Jem os u il iza : a /h = ( a) ( 4. 1 ) : sienoo a: Es e al o ée a puede adop a se como semilongi ud de con ac o pe a la p ueba inici al, cmada a un o y o o l ado del pun o de oDco que en la con igu ación in de o m ada. es á i ncluido en la lin ea de acción de P Al e na i amen e puede de ini se un amaño de o De< 1) pa ienoo de la soluc 1 ón que apo a la eo ía de lexión de placas. No obs an e, con iene aoop a al o es inici ales de oDc ( 1) algo m ayo es que Jos qu e se ob ienen con es as eo í as y ello deb i do a dos h echos conc e os : que la zona de con ac o es lige amen e mayo en p esencia de icción y que Gene almen e se p oduce una con e gencia más iápida cuanoo se oma una zona imc1al de co n oc o po exceso. Pa ece, po an o. lógi co p opone 3Dc( 1) = 3Dca< 1) y cons i de a que inicialmen e no exis e zona de des! izam ien o cuanoo ¡¡ ,. O. En el caso de con ac o sin icci ón el ú nico p ob l ema que se plan ea es encon a el amaño de oD 0, pues o q ue en cu alquie ensayo i oDc(i); 3Dcd(i), pudienOOse, po lo demás, aplica el esquema qu e sigue eniendo p esen e es a ci cuns ancia. G- Anál isi s de a solución del ensayo Pa imos de unos esul al:JS ob enioos de ( 3.c) sob e una zona o0 0( 1 ) • 3D ca( 1 ) , 9S o'Jida po exceso (o bsé ese que co n In dependencia de l as ecomendociones an ~ i o es si emp e pu ede om a se oD c( 1) • 30ca( 1) • oDc 0 l. La solución se conside a admisible, en p ime a ins a ncia s1 se e i i can las elaciones ( 1 a) . ( 1 e). ( 2.al. ( 2.b) y ( 2.c) o lo qu e es lo mi smo si no se p oducen in e pene acio nes en e los 00s oom1mos y l as ens10nes de con ac o son odas de comp esión . Hó ese que al conside a oO¡;aoDca no se iene n en conside ación en es e p ime ni el, posibles lnco mpa ibili daOOs en la di ecc ió n eel ec o ensión en pun os de la zona de con ac o ( ecuoción l .b). Si la solución que se ha ob enioo p esen a acciones en 30 0, se á p eciso p ocede a un nue o ensayo conside aná> q ue a les n(X))S no pe enecen e la zona de con ac o. Po el con a i o. si se ha pa i oo de u na zona de co n ac o po de ec o. la soluc ión incl u i á i ncompa ib i lidOOeS cj nema i cas (n o se e i ica á la ecuac i ón 2.b) po in e pene ación en e ambos oominios, po lo que en un nue o ensayo hab á qu e i nclui esos pun os en la zona de con ac o. No o bs an e con iene esal a que omanoo oDc< l ) ;;; a Oca ( 1) • oDc 0, se llega siemp e ácilmen e a una solució n compa ible a e ec os de amaM de la zona de con ac o. co ns 1 de anoo ~ ez zonas más o eauellas en unc ió n de los pa es de ncóJS que esul en acc ionaoos. E s a opción solo es necesa ia cua noo no sea posible hoce es imaciones in icia les. a pa i de casos más simples . co ,ocldo el amai1o ap oximado ae 3Dc, se p ocede a la pa lc l on de oDca Y 30cd ch equeando en cada pa de pun os en con ac o la d~ ecclón del ec o ensión (ecu ac ió n l.b ). Es e p oc eso es ap i do Y gene a lm en e no a ec a al al o de 30 o b emdo en el paso p eceó3n e. e 0- Mejo a de la solución lógi camen e. la solución numé ~ca on el M E e P Od . . . . no pu~ UCl ensiones nulas en l os pa es de . pun os de con ac o s1 u ados en los ex emos de aD 1 . e• o que s1 emp e ocu e si se p odu ce el e oceso. Así. co n e e enc ia a la i gu a 2, que ecoge esquema J camen e la Si uación alcanzada con el p o cesodesc l o , amosaob ene ¡(i) =O y 1(j)=O Fig 2· Es quema de la con igu ación ina l La solució n pue de mejo a se consi de anoo nue os elemen o s de con o no comp endidos en e : ( i e i-1 ) Y ( j Y J + 1 ) . cons ide ando los nue o s pa es "n -D E es , . ~ e cd· s a e apa a, po , an a, solo su¡ e a a ia pnme a ase an e io . es decl e llmma de la solución aquel ios pa es que esul ~n acc10nados E s . e esquema puede ep e i se h as a alcanza un os ~ lo es mí ni mos de las e nslOnes p e ia men e es ab lec1cos. S- . . APLICACION: COMPORTAMIENTO DE LAS ~ARI ABLE S DE DISERO EN UN PROBLEMA TIPO DE ON TACT O CON RETROCESO Sob e la Fig 1 · so l . . . · . 1m pond emos po simplicldOO qu e la 1Cl ac10n con cen ada P . delgax, . . se a plica en el pun o del elem en o ~ (domlmo oA) q ue pe enece al eje de sime í a de la ·~ uc u a As· · . cons . 1 m ismo, conslde a emos qu e el can o (h) es an e a lo l a ~ de la long ¡ ud . Con e e en c ia a ia Fi ca ac e ís ica del g 1 . las dimensiones 8==2 s mOdelo so n: h=lO(L), H=205(L), OO(L) , 30 o/2=160(L) L han . . e . os con o nos de cada cue po Slcb d1sc e i zaíls QUe se h . con elemen os no con o m es so b e los a cons!OO OCIJ una e olució n 1 i neal de ensiones Y desplazamien os, e . ¡¡ 1, 181. ;g;. La c a ga P se ha m"""! . u : 003 con un a a!s lbucJón na~gula simé ica sob e dos e lem en os b ""'~ s1me i . . . u IC GwS camen e, de dlmenslon lo su icien emen e pequeña co~o pa a e l a posibles in lu encias sob e lo s amaños ~lmm_os de la zona ae con ac o que se ha n deducioo (la ' elaclOn en e la lo ngi ud de apl ic ación de la ca ga Y la zona de con ac o en el caso mayo es del o den de 1 a 1 S ). Po 2e un p oblema in e namen e i sos á i co la s soluciones de ensión que se p esen an. no dependen e~ l as cons an es elás icas de COOa cue po, aunque sí son unc l ón ce l as zonas de con ac o qua se p ooucen. Ello I mplica un a dependencia an solo i nái ec a. a a és del coe icie n e a (ecuoclOnes 4.1 Y 4.2), pues o que a es un p a éme o ca ac e ís i co del conjun o oo la es uc u a. Los esul e005 ela i os a sepa oc i ones en e l os cue pos han si oo ob enioos, pa a cada alo de a. conslde anoo un módulo de Young unidOO pa a oA si a> O ( EA= E = 1 F /L 2) y ( EB = E = 1 ( F /L 2) si a < O. Se ha omaoo s1 emp e 'V A= 8 En la i g. 3 se ep esen an l as dis ibuciones de ens ió n no ma l de co n ac o sin i cción pa a el caso de m a e . 1 idén i cos ( - . 1a es a -0), asl como p a a oos a lo es ex emos(a=0.964ya=-o 923 ) Los _ . o b . · · amenos de 1 as zonas . emdas ( a/h) Y sus co espondien es di s i buc ion es se a¡us an excelen em en e a los esul ems la ~ que se p esen an en e.e enc · 2 · · la 'SI bl en aquellos co espon ...... n a ...... m . . "" y.; 1 .1o s no aco <ms Y en ausencia de i cción . F ig. 3. Te nsi on es no m al es en aO e La in lu enc ia 001 ozamien o so b e el am año de la zon a ~ ~n ac o es más e le an e pa a a l o es nega i os cel pa am e o a ( EB < EA) Fig u a 4 En 1 1 . · · o que a as zonas ae adheslOn se e ie e ( ensiones an(J:nciales de con ac ) obse a que pa a ob e ne una su pe icie adhe ida de :m·a: ap ec 1 ao le son necesa 10s alo es al os del coe i cien e ce 1cc:ón en e amoas supe 1c1es, Fig. 5 w ,_ . z ~ u G:' w •• o V a..,. Ol• .l ,. .. '' • ' J ZONA DE CONTACTO a In F1g. 4. Tamai' o de la zona de con ac o . ~ :·c.[ "' .. ~ ~ ; ~ ' ., o.• 1 -:J : )(~ ' l -- z 1 1 UJ 1 ,_ 1 o. ...... F1g. 5. Tens1ones no mal es y angen c 1ales en oDc. ,, En la Fi g. 6 se mues a la a iación de !e ensión m áxima de co n ac o con a, cuanoo el con ac o se ealiza si n i cc i ón. En Jo que a l as maqni uees cinemá icas se e ie e, se ep esen a en la igu a 7 la a iación ae la sepa ación máxima con a, y en la igu a 8 las sepa aciones ela i as que, a Jo la 9) ae oda la long i ud, se p ooucen en e los pun os in cluidos en las zonas que su :en e oceso, pa a algunos alo es conc e os de a. Hay que hace no a qua es os esul aoos de desplazamien o 120 son u lles umcamen e pa a los a lo es ce l as cons an es elás icas u ilizadas en la soluc1ón ce! p oD ! ema Y no pa a cualquie comDinación que p oouzca el mismo alo ae a. u • 1 • ... • ... .u ... , "' " ~· ... F g. 6. a 1ac1ón de la ensión no mal con a. Es azonable que l as mínimas seoa ac10nes máximas ( endienco a ce o) se p oouzcan pa a alo es de a endienco a - 1, ccnoo el sólido A es muy igioo y el sólido 8 es muy l exible, ooap andose a la con igu ación ool A. F i g. 7. Sepa aciones máximas an la zona de 005pegue. Fig. 8. Sepa ac i ones en la zona oo despegue . 6.- CONCLUSIONES. Se ha o opues o una li nea ae ac uación pa a esol e , con el M.E.C., p oblemas de con ac o con icción en e sólidos que p esen an e oceso Inici al , que en sin esls cons a de es ases : * Encon a un amaño de zona ce con ac o comple amen e adhe ida que o me pa e de una soluc i ón exen a de 1n compa 1D111dedes cinemá lcas ( l n e pene aciones en e con o nos) y es á icas (ausencia de acc i ones). *A j us a l as zonas de adhesión y d es l izamien o o z ando la compa !DilidOO ae la di ección de Jos di e en es ec o es ensión en los naoos ae la zona de con ac o . * Mejo a la solución conside ando más g aoos de libe oo en los espec i os en o nos de i os nooos ex emos de la solución oo enlda, h as a encon a unos alo es, que en endamos su icien es, de las ensiones mínimas. Co n el ME.C., se ouece ac ua e icien emen e combina ndo posibles ace camien os a la solución en los sen idos de a ance y e oceso. Así, po e¡ emp lo pcxiemos encon a oDca en la p ime a e apa aumen ando el ama~o oo l as zonas p e i amen e ob enida s ( ncompa ibllidades cinemá icas). Con es a es a egia se ha n encon ado siemp e soluciones inic al es compa ibles y ello en un núme o educioo de p uebas. Pu ede se apl i cada a cualquie combinació n oo geome ía y ca gas que o o oque s1 uac10nes cuali a i amen e equi alen es a la que se p oouce en el p obl ema aqui analizado, Pa ís y Ga 1do 11 0/. El p oblema conc e o analizado pued e aplica se a muchas -si uaciones usuales en la I ngenie ía siendo la más común la de cimen eciones lexibles. en l as que puede p oduci se el despegue y ansmi i se la ca ga al e eno en zonas educ idas con e spec o a la zona o ig nal. En a l es casos, el sólido A ep esen a ía !a zapa a y el 8 e! e eno, o oouc i enoose, po ejemplo, alo es de a muy p óximos a - cuanoo es e sea a cilloso. . 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