Teoría de Juegos Aplicada a Conflictos Bélicos

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales Teoría de Juegos Aplicada a Conflictos Bélicos Autor: Dolores Olmedo Guajardo-Fajardo Tutor: Manuel Ordoñez Sánchez Dpto. Matemática Aplicada II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2024 iii Trabajo Fin de Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales Teoría de Juegos Aplicada a Conflictos Bélicos Autor: Dolores Olmedo Guajardo-Fajardo Tutor: Manuel Ordoñez Sánchez Profesor titular Dpto. de Matemática Aplicada II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2024 v Trabajo Fin de Grado: Teoría de Juegos Aplicada a Conflictos Bélicos Autor: Dolores Olmedo Guajardo-Fajardo Tutor: Manuel Ordoñez Sánchez El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2024 El Secretario del Tribunal vii A Manuel Ordoñez A mis familia A mis amigos ix Agradecimientos Quisiera agradecer en primer lugar a mi tutor Manuel Ordoñez por su ayuda y dedicación. También quiero agradecer a mi familia, que siempre me ha apoyado y ha confiado en mi capacidad en los momentos en los que yo no lo hacía. Y a mis amigos porque sin ellos no habría llegado hasta aquí. xvii ÍNDICE DE TABLAS Tabla 2-1. Dilema del prisionero adaptado a un conflicto entre dos naciones. 16 Tabla 3-1. Evolución de la población judía en el territorio Palestino. 18 Tabla 0–2. Creación de los principales movimientos nacionales palestinos. 20 xix ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2-1. Destrucción de Submarinos Alemanes en la Batalla del Atlántico Norte. 10 Figura 2-2. Probabilidad de destrucción del objetivo vs magnitud del ataque 12 Figura 2-3. Familia de hipérbolas definidas por la ecuación cuadrática de fuerzas convencionales. 13 Figura 2-4. Familia de rectas definidas por la ecuación lineal de fuerzas no convencionales. 14 Figura 2-5. Familia de parábolas definidas por la ecuación parabólica de fuerzas mixtas. 14 Figura 2-6. Juego del cazador y el pájaro: el pájaro es cazado. 15 Figura 2-7. Juego del cazador y el pájaro: el pájaro escapa. 15 Figura 2-8. Juego de emboscada continuo en geometría rectangular. 15 Figura 3-1. División del territorio según el Plan de Partición de la ONU. 18 Figura 3-2. Mapa de Israel antes y después de la Guerra de los Seis Días. 19 Figura 3-3. División del territorio tras los Acuerdos de Oslo. 21 Figura 3-4. Plan de retirada israelí en 2005. 22 Figura 3-5. Evolución ituación en la franja de Gaza desde el 7 de octubre de 2023. 23 Figura 3-6. Arbol de negociación del modelo. 26 Figura 3-7. Representación de los límites de estabilidad del equilibrio en el modelo. 28 1 1 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE JUEGOS a teoría de juegos es una rama de las matemáticas aplicadas que examina cómo los individuos, llamados “jugadores”, toman decisiones estratégicas en situaciones donde sus acciones afectan a los demás, a la vez que ellos se ven afectados por las acciones ajenas. Cada jugador busca el mayor beneficio posible para sí mismo, y para ello debe tener en cuenta las posibles elecciones de los demás. La teoría de juegos nos permite analizar interacciones en diversas áreas, como la economía, la política y la guerra. Uno de los aspectos clave de la teoría de juegos es su capacidad para explicar la competencia. Normalmente, cuando queremos ganar, esto significa que tenemos que conseguir que nuestro oponente pierda. Sin embargo, la teoría de juegos no se limita sólo a situaciones competitivas; también es fundamental para entender escenarios donde la cooperación entre los jugadores puede generar mejores resultados colectivos. Existen distintos conceptos que se deben entender para poder adentrarse en la teoría de juegos: • Jugadores: Son los participantes en el juego, que toman decisiones. Pueden ser individuos, empresas, o incluso países. • Estrategias: Son las acciones que cada jugador elige llevar a cabo. Estas pueden ser simples, como hacer una única elección, o complejas, que implican múltiples decisiones a lo largo del tiempo. • Resultados: Son las consecuencias de las elecciones de los jugadores. Dependiendo de las estrategias elegidas, los resultados pueden variar significativamente. • Pagos: Representan las recompensas o costos asociados a los resultados. Se utilizan para medir el éxito o fracaso de las decisiones tomadas, es decir, cómo de favorables son los resultados de las estrategias de cada jugador. Es importante no confundir los pagos con los resultados: los resultados son la situación final consecuencia de las estrategias, mientras que los pagos son qué se gana o se pierde al obtener ese resultado. Los juegos se pueden clasificar de varias maneras según distintos criterios: la colaboración entre los jugadores, el tiempo de decisión, y la información de la que dispone cada una de las partes. Según la colaboración entre jugadores, podemos distinguir entre juegos cooperativos y no cooperativos. En los juegos cooperativos, los jugadores pueden formar alianzas y trabajar juntos para mejorar sus resultados colectivos. En los no cooperativos, cada jugador actúa de manera independiente, buscando el mejor resultado para sí mismo sin colaborar con los demás, y en muchos casos, a costa de los de ellos. Dentro de L La mejor estrategia para uno mismo es considerar cómo las acciones de los demás dependen de las propias. - John Forbes Nash - 2 Introducción a la Teoría de Juegos los juegos no cooperativos, destacan los juegos de suma cero. En este tipo de juego, lo que un jugador gana, otro lo pierde, manteniéndose constante el beneficio total disponible. Esto significa que las ganancias de un jugador solo pueden lograrse a expensas de los demás. Según el tiempo de decisión, los juegos pueden ser simultáneos o secuenciales. En los juegos simultáneos, los jugadores toman sus decisiones al mismo tiempo, sin conocer las elecciones de los demás. En los juegos secuenciales, los jugadores toman decisiones en secuencia, lo que les permite observar las acciones de los jugadores anteriores antes de hacer su elección. Según el nivel de información que tienen los jugadores sobre las decisiones y estrategias de los demás, podemos clasificar en juegos de información perfecta e imperfecta, y en juegos de información completa e incompleta. En un juego de información perfecta, todos los jugadores tienen acceso a toda la información relevante sobre el juego en todo momento. Esto incluye el conocimiento de las estrategias, decisiones y resultados anteriores de otros jugadores, y la situación actual del juego. La transparencia total permite a los jugadores hacer decisiones informadas y racionales, ya que pueden calcular sus movimientos y contrarrestar las estrategias de los demás de manera efectiva. En los juegos de información imperfecta, los jugadores no tienen acceso a toda la información sobre las decisiones de los demás. Esto significa que no pueden ver las elecciones que han hecho otros jugadores en el mismo momento en que toman sus propias decisiones, por lo que deben hacer suposiciones. Esto puede dar lugar a situaciones de engaño, donde un jugador intenta ocultar su verdadera estrategia. En los juegos de información completa, todos los jugadores conocen no solo sus propias estrategias y pagos, sino también las posibles estrategias y pagos de los demás, aunque puedan desconocer las decisiones específicas que han tomado. Esto significa que cada jugador tiene un entendimiento claro del juego en su totalidad, permitiéndoles diseñar estrategias. En un juego de información incompleta, los jugadores no tienen un conocimiento total sobre las estrategias, habilidades o intenciones de los demás. Esto significa que no solo desconocen las decisiones que han tomado los otros, sino que también qué opciones están disponibles para ellos mismos. De este modo, aumenta la complejidad de la interacción, ya que los jugadores intentan deducir la información que les falta. 1.1. Juegos Cooperativos Definición 1-1. Un juego cooperativo con utilidad transferible es una pareja (𝑁,𝑣) donde 𝑁 = {1,2,···,𝑛} representa al conjunto de jugadores y 𝑣∶2𝑁 → 𝑹 es una aplicación de los subconjuntos de 𝑁 en 𝑹 verificando que 𝑣(∅)=0. Cada subconjunto de 𝑁 es llamado coalición y 𝑣(𝑆) se interpreta como la ganancia que la coalición puede dar a sus miembros si ningún jugador fuera de 𝑆 participase en el juego. Notaremos por 𝑠 al cardinal de la coalición 𝑆 y por 𝑆\𝑖 a la coalción 𝑆\{𝑖}. También denotaremos por 𝐺𝑁 al conjunto de todos los juegos definidos sobre las coaliciones de 𝑁. Ejemplo 1-1. Supongamos una comunidad de cualquier tipo formada por un total de 2n individuos. Todos los individuos tienen derecho a voto en cualquier propuesta que se haga en la comunidad. Las propuestas se ganan por mayoría absoluta. Así, en este caso, el juego tiene como jugadores a las 2n personas de la comunidad y como función característica a v(S)={ 1, si s≥n+1 0, otro caso En este juego, el cual sólo puede tomar valores 0 y 1, a una coalición S de forma que v(S) = 1 la llamaremos ganadora y en otro caso perdedora. Teoría de Juegos Aplicada a Conflictos Bélicos 3 1.1.1 𝑮𝑵 como (𝟐𝒏−𝟏) espacio vectorial sobre R y algunas bases características Veamos que 𝐺 𝑁 tiene estructura de espacio vectorial. Sean (𝑁,𝑣),(𝑁,𝑤) ∈ 𝐺 𝑁 dos juegos. El juego suma de ambos juegos se define (𝑣 + 𝑤)(𝑆) = 𝑣(𝑆) + 𝑤(𝑆) para toda 𝑆 ∈ 2𝑁. Así (𝑁,(𝑣 + 𝑤)) ∈ 𝐺 𝑁. Análogamente si 𝜇 ∈ 𝑹 se define el juego (𝜇 · 𝑣)(𝑆) = 𝜇𝑣(𝑆) y por lo tanto (𝑁,(𝜇 · 𝑣)) ∈ 𝐺 𝑁. A partir de aquí, 𝐺 𝑁 es un espacio vectorial. Una de sus bases más conocidas es la llamada base de unanimidad formada por juegos que se notan como { 𝑢𝑆}{∅≠𝑆⊆𝑁 }. Se puede observar que hay un total de 2𝑛 − 1 tipos de estos juegos. El hecho de que sea una base del conjunto de juegos es un hecho muy conocido dentro de la literatura asociada a la teoría de juegos y no será demostrado aquí. Definición 1-2. Sea S ⊆ N una coalición no vacía. El juego de unanimidad (𝑁,𝑢𝑆) tiene como función característica 𝑢𝑆(𝑇)={1, 𝑠𝑖 𝑆 ⊆ 𝑇 0, 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜. Como base que es de 𝐺 𝑁 todo juego 𝑣 ∈ 𝐺 𝑁 puede escribirse como un vector de coordenadas en dicha base. Dichas coordenadas se conocen como coordenadas de Harsanyi (Harsanyi, 1959). Dichos números, notados como {𝛥𝑣(𝑆)} {∅≠𝑆⊆𝑁 } pueden obtenerse mediante la fórmula 𝛥𝑣(𝑆)=∑(−1)𝑠−𝑡𝑣(𝑇), ∅≠𝑆⊆𝑁 𝑇⊆𝑆 Existe también una fórmula, derivada de la anterior mediante la función de Mobius, que permite calcular el valor de una coalición a partir de los dividendos. 𝑣(𝑆)= ∑ 𝛥𝑣(𝑇), ∅≠𝑆⊆𝑁 ∅≠𝑇⊆𝑆 Veamos un ejemplo con tres jugadores. Ejemplo 1-2. Consideremos el juego (N,v) ∈ G N con N = {1,2,3} donde v(S)={ s2,si s≥2 0, otro caso Vamos a calcularlos dividendos del juego Δv(12) = −v(1)−v(2)−v(3)+v(12) = 4. En general puede verse que el vector de dividendos es Δv= [0,0,0,4,4,4,−3] y que v = 4(u 12+ u 13+ u23) − 3u123 Introducimos a continuación algunos conceptos importantes asociados a los juegos. Definición 1-3. Dado (𝑁,𝑣) ∈ 𝐺 𝑁 , se define el juego restringido a la coalición 𝑆,(𝑁,𝑣|𝑆) al juego sobre 𝑁 𝑣|𝑆(𝑇)={ 𝑣(𝑇 ∩ 𝑆),𝑠𝑖 𝑇 ⊆ 𝑁 0, 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Notaremos entonces (𝑆,𝑣|𝑆) al juego con fución característica 𝑣|𝑆(𝑇)=𝑣(𝑇), 𝑇 ⊆ 𝑆 Veamos un ejemplo con el juego anterior. Sea 𝑆 = {12} entonces el juego (𝑆,𝑣|𝑆) es 𝑣|𝑆(1)=𝑣(1); 𝑣|𝑆(2)=𝑣(2); 𝑣|𝑆(3)=𝑣(3); 𝑣|𝑆(12)=𝑣(4), Otras definiciones relacionadas con los juegos serían la de coalición soporte de un juego, la de contribución marginal, la de jugador nulo, la de jugador pasivo y la de jugador necesario. En general estas definiciones de jugadores particulares se emplean en la axiomatización de lo que luego llamaremos reglas de reparto. 4 Introducción a la Teoría de Juegos Definición 1-4. Dado (𝑁,𝑣) ∈ 𝐺 𝑁 . Una coalición 𝑇 se dice que es soporte de 𝑣 si 𝑣(𝑆 ∩ 𝑇) = 𝑣(𝑆) para toda coalición 𝑆 ⊆ 𝑁. Definición 1-5. Dado (𝑁,𝑣)∈ 𝐺 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 y 𝑆 ⊆ 𝑁 \ {𝑖}, llamaremos contribución marginal del jugador 𝑖 a la coalición 𝑆 en el juego 𝑣, a la diferencia 𝑣(𝑆 ∪ {𝑖}) − 𝑣(𝑆) Si la contribución maginal de un jugador a cualquier coalición 𝑆 en el juego es cero le llamaremos jugador nulo y si es 𝑣({𝑖}) jugador pasivo ya que la función característica no le da nada al coaligarse con otros jugadores. Otras dos definiciones importantes son las de jugador necesario y la de jugadores simétricos en un juego 𝑣. Definición 1-6. Dado (𝑁,𝑣) ∈ 𝐺 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁. El jugador i se dirá necesario si para toda 𝑆 ⊆ 𝑁, coalición, 𝑣(𝑆) = 0 𝑠𝑖 𝑖 ∉ 𝑆 Es decir, toda coalición que no contenga al jugador 𝑖 tiene valor nulo. Definición 1-7. Dado (𝑁,𝑣) ∈ 𝐺 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁. Dos jugadores 𝑖 se dicen simétricos si 𝑣(𝑆 ∪ 𝑖)= 𝑣(𝑆 ∪ 𝑗), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑆 ⊆ 𝑁 \ {𝑖,𝑗} 1.1.2 Tipos de Juegos La función característica de un juego, como aplicación que es, puede gozar de ciertas propiedades. Dichas propiedades permiten dar una primera clasificación de los tipos de juegos. A continuación, introducimos algunos de dichos tipos. Definición 1-.8 Un juego (𝑁,𝑣) ∈ 𝐺 𝑁 es monótono si para todo 𝑇,𝑆 ⊆ 𝑁 con 𝑆 ⊆ 𝑇, se tiene que 𝑣(𝑆)≤ 𝑣(𝑇). Observar que para los juegos monótonos las contribuciones marginales de un jugador respecto al juego son no negativas. Definición 1-9. Un juego (𝑁,𝑣) ∈ 𝐺 𝑁 es convexo si para todo 𝑇,𝑆 ⊆ 𝑁 se verifica que 𝑣(𝑆 ∪ 𝑇) + 𝑣(𝑆 ∩ 𝑇) ≥ 𝑣(𝑆) + 𝑣(𝑇) Los juegos que verifican esta propiedad cuando S y T son disjuntos se dicen superaditivos. Es decir, la unión de las coaliciones da mayor valor que la suma de los valores de las coaliciones por separado. Observar que convexo implica superaditivo. A continuación, vamos a ver un subespacio vectorial de los juegos llamado subespacio de juegos ceronormalizados. Definición 1-.10 Un juego (𝑁,𝑣) ∈ 𝐺 𝑁 es cero-normalizado si se verifica que 𝑣({𝑖}) = 0, para todo 𝑖 ∈ 𝑁. Además todo juego admite una versión 0-normalizada, (𝑁, 𝑣0), con 𝑣0(𝑆)=𝑣(𝑆)−∑𝑣({𝑖}) 𝑖∈𝑆 Ejemplo 1-3. Consideremos el juego (N,v) ∈ G N con N = {1,2,3}. Supongamos que su función característica es v(S)= { a,si S = {1,2} b,si S = {1,3} c,si S = {1,2,3} 0, otro caso con a > 0,b > 0, c = a + b, Este juego puede escribirse como v = au12 + bu13 Teoría de Juegos Aplicada a Conflictos Bélicos 5 Este juego es monótono, convexo y cero-normalizado. Definición 1-11. Diremos que un juego (𝑁,𝑣) ∈ 𝐺 𝑁 es simple si para todo 𝑆 ⊆ 𝑁, se verifica que 𝑣(𝑆) ∈ {0,1}. En este tipo de juego una coalición es ganadora si su valor es 1 y perdedora en otro caso. Un juego de votación es un juego simple monótono. Es decir, dadas cualesquiera dos coaliciones 𝑆,𝑇 ⊆ 𝑁 entonces si 𝑆 ⊂ 𝑇 𝑦 𝑆 ganadora, entonces 𝑇 es también ganadora. Finalmente definimos los juegos aditivos y simétricos. Definición 1-12. Un juego (𝑁,𝑣) se dice aditivo o inesencial si 𝑣(𝑆)=∑𝑣({𝑖}) 𝑖∈𝑆 . Un juego (𝑁,𝑣) se dice simétrico si existe 𝑓∶ 𝑁 ∪ {0} → 𝑹 tal que, para tdo 𝑆 ⊆ 𝑁,𝑣(𝑆) = 𝑓(𝑠). Observar que en un juego simétrico, dos jugadores cualesquiera son simétricos ya que el valor 𝑣(𝑆 ∪ 𝑖) = 𝑣(𝑆 ∪ 𝑗) = 𝑓(𝑠+1) 1.1.3 Concepto de Solución En esta sección vamos a introducir el concepto de solución o regla de reparto asociada a un juego (𝑁,𝑣) y nos detendremos en dos solucione muy conocidas, el valor Shapley y el de Myerson. El problema radica en que si tenemos un juego (𝑁,𝑣) ∈ 𝐺 𝑁 y todos los jugadores deciden cooperar, como repartimos el valor total 𝑉 (𝑁) entre todos. Formalmente Definición 1-13. Una regla de asignación, reparto o solución puntual para juegos cooperativos con un conjunto de jugadores N es una aplicación 𝛷∶ 𝐺 𝑁 → 𝑹𝑛, en la que 𝛷𝑖(𝑁,𝑣) representa el beneficio o pago que recibe el jugador i en el juego (𝑁,𝑣). La regla más conocidad y relevante el la introducida por Shapley (1953) que aplica a cada jugador una combinación lineal convexa de sus contribuciones marginales de las distintas coaliciones. Definición 1-14. El valor de Shapley, Sh, es la regla de asignación definida en 𝐺 𝑁 por 𝑆ℎ𝑖(𝑁,𝑣)= ∑ (𝑛 − 𝑠 − 1)!𝑠! 𝑛! [𝑣(𝑆 ∪ 𝑖)− 𝑣(𝑆)], 𝑖 ∈ 𝑁 𝑆⊆𝑁\{𝑖} Alternativamente, el valor de Shapley se puede expresar en términos de los dividendos como sigue: 𝑆ℎ𝑖(𝑁,𝑣)= ∑ 𝛥𝑣(𝑆) 𝑠, 𝑖 ∈ 𝑁 𝑆⊆𝑁:𝑖∈𝑆 Shapley (1953) axiomatizó su valor de la siguiente manera: a) Eficiencia: Una solución 𝛹∶ 𝐺 𝑁 → 𝑹𝑛 satisface eficiencia si ∑𝛷𝑖(𝑁,𝑣) 𝑖∈𝑁 = 𝑣(𝑁). b) Simetría: Una solución 𝛹∶ 𝐺 𝑁 → 𝑹𝑛 satisface simetría para todo juego (𝑁,𝑣) ∈ 𝐺 𝑁 y para todo permutación π de N, se verifica que 𝛹𝜋(𝑖)(𝑁,𝑣) = 𝛹𝑖(𝑁,𝜋𝑣),∀𝑖 ∈ 𝑁 donde el juego 𝜋𝑣(𝑆) = 𝑣(𝜋(𝑆)). c) Aditividad: Una solución 𝛹∶ 𝐺 𝑁 → 𝑹𝑛 satisface aditividad si para todo par de juegos (𝑁,𝑣1),(𝑁,𝑣2) ∈ 𝐺 𝑁 se tiene que 𝛹(𝑁,𝑣1 + 𝑣2) = 𝛹(𝑁,𝑣1) + 𝛹(𝑁,𝑣2) Existen, debidos a otros autores, diversas axiomatizaciones del valor de Shapley. Dichas parametrizaciones pasan por axiomas del tipo 1. Shubik (1962). Jugador nulo: Una solución 𝛹∶ 𝐺 𝑁 → 𝑹𝑛 satisface jugador nulo si para todo juego (𝑁,𝑣)∈ 𝐺 𝑁 y para todo jugador i en (𝑁,𝑣) se verifica que 12 Aplicaciones de la Teoría de Juegos en Conflictos Militares Se cumple que 𝑎(𝑖)=0 ⇒ ς(.)=1 0 𝑗=1 , de modo que la probabilidad de destrucción es 0. Figura 2-2. Probabilidad de destrucción del objetivo vs magnitud del ataque. Entonces el pago para el atacante es 𝑉(𝑑,𝑎)=∑𝑣(𝑖)቎1−ෑ(1−𝑞𝑑(𝑖,𝑗) 𝑎(𝑖) 𝑗=1 ቏ 𝑇 𝑖=1 El atacante intentará maximizarlo para un d conocido, estando limitado por el número de misiles que puede utilizar. 2.2.2 Modelos de Lanchester de Control de Fuego Tradicionalmente, se han dividido las fuerzas en proporciones fijas y se han mantenido a lo largo de la batalla, pero esto puede resultar ineficiente si el oponente concentra todas sus fuerzas en una sola unidad de combate de nuestro ejército, eliminándolas una a una. Para resolver este problema, surge el concepto de la asignación dinámica del fuego como un juego diferencial, donde las decisiones de asignación de recursos de ataque y defensa se modelan con ecuaciones diferenciales de Lanchester. Esto nos permite describir como dos fuerzas en combate se destruyen mutuamente a lo largo del tiempo en situaciones de combate más realistas y complejas, como aquellas que involucran fuerzas heterogéneas, es decir, unidades de combate de distintos tipos. En un primer estudio, Weiss (1957) propone un modelo en el que cada ejército puede usar su artillería para atacar tanto a la infantería como a la artillería del adversario, mientras que las infanterías solo pueden atacarse entre sí. Más adelante Taylor (1974) perfeccionó este trabajo desde un punto de vista matemático y junto a Brown (1978) introdujo el concepto de fuego de área: en este nuevo modelo, la infantería del atacante se va acercando a las líneas del defensor sin dejar de disparar, creando un fuego de área que, aunque es menos efectivo que los disparos dirigidos, permite mantener la presión mientras se acercan a las líneas enemigas. Cuando los dos bandos se encuentran, ambos cesan el bombardeo de artillería por lo que cada uno intentará llegar a este momento con la mayor proporción posible de sus fuerzas. Se tienen una fuerza x y una fuerza y que se enfrentan, siendo x(t) e y(t) el número de combatientes de cada fuerza en un instante determinado. La evolución de x(t) e y(t) viene determinada por las ecuaciones de Lanchester. 2.2.2.1 Modelos de Lanchester con Fuerzas Convencionales Ejemplo 2-2. En un combate de fuego directo, asumimos que todos los miembros de la fuerza x están al alcance de la fuerza y, y que cuando x sufre pérdidas, el fuego y es concentrado en los combatientes x restantes, y viceversa para el ataque de x a y. Teoría de Juegos Aplicada a Conflictos Bélicos 13 Entonces definimos las pérdidas de x y de y a lo largo del combate como 𝑑𝑥 𝑑𝑡=−𝑎𝑦(𝑡) 𝑑𝑦 𝑑𝑡=−𝑏𝑥(𝑡) donde a y b son los coeficientes de efectividad de las fuerzas y e x respectivamente. Si durante el combate se introducen refuerzos o se retiran tropas, tenemos que 𝑑𝑥 𝑑𝑡=−𝑎𝑦(𝑡)+𝑓(𝑡) 𝑑𝑦 𝑑𝑡=−𝑏𝑥(𝑡)+𝑔(𝑡) donde f(t) y g(t) son las funciones que definen los refuerzos o retiradas de tropas durante la batalla. Si consideramos el caso de combatientes aislados sin refuerzos, al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos una ecuación cuadrática −𝑏(𝑥(𝑡)2−𝑥(0)2)=−𝑎(𝑦(𝑡)2−𝑦(0)2)=𝐾 Si K < 0 significa que gana x mientras que si K > 0 significa que gana y. Figura 2-3. Familia de hipérbolas definidas por la ecuación cuadrática de fuerzas convencionales. 2.2.2.2 Modelos de Lanchester con Fuerzas No Convencionales Ejemplo 2-3. En un combate en el que hay fuegos concentrados en áreas como los de la artillería, o invisibles al enemigo como las guerrillas, las pérdidas que sufre una fuerza son también proporcionales al tamaño de la misma, puesto que cuanto mayor sea este, mayor será la probabilidad de acierto del enemigo. En este caso definimos las pérdidas de x y de y a lo largo del combate como 𝑑𝑥 𝑑𝑡=−𝑎𝑦(𝑡)𝑥(𝑡) 𝑑𝑦 𝑑𝑡=−𝑏𝑥(𝑡)𝑦(𝑡) a los que de nuevo se añadirían las variables f(t) y g(t) si se introducen refuerzos o se hacen retiradas. Si consideramos el caso de combatientes aislados sin refuerzos, al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos una ecuación lineal −𝑏(𝑥(𝑡)−𝑥(0))=−𝑎(𝑦(𝑡)−𝑦(0))=𝑀 Si M < 0 significa que gana x mientras que si M > 0 significa que gana y. 14 Aplicaciones de la Teoría de Juegos en Conflictos Militares Figura 2-4. Familia de rectas definidas por la ecuación lineal de fuerzas no convencionales. 2.2.2.3 Modelos de Lanchester con Fuerzas Mixtas Ejemplo 2-4. En un combate con fuerzas mixtas, en el que por ejemplo la fuerza x sea convencional y la fuerza y sea de guerrilla, definimos las pérdidas de x y de y a lo largo del combate como 𝑑𝑥 𝑑𝑡=−𝑎𝑦(𝑡) 𝑑𝑦 𝑑𝑡=−𝑏𝑥(𝑡)𝑦(𝑡) a los que de nuevo se añadirían las variables f(t) y g(t) si se introducen refuerzos o se hacen retiradas. Si consideramos el caso de combatientes aislados sin refuerzos, al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos una ecuación parabólica −12𝑏𝑥(𝑡)2+𝑎𝑦(𝑡)=−12𝑏𝑥(0)2+𝑎𝑦(0)=𝑀 Si M < 0 significa que gana x mientras que si M > 0 significa que gana y. Figura 2-5. Familia de parábolas definidas por la ecuación parabólica de fuerzas mixtas. 2.2.3 Táctica de Búsqueda y Emboscada Los juegos de búsqueda se comenzaron a investigar durante la Segunda Guerra Mundial, como hemos visto anteriormente. En ellos, un buscador intenta localizar un objeto escondido en el menor tiempo posible. Este objeto puede estar en movimiento, como un submarino, o fijo, como una mina. El ejemplo más simple es el del cazador y el pájaro, en el que si el pájaro vuela dentro del área de alcance del cazador, será cazado, y si logra evitar el área, escapará. Teoría de Juegos Aplicada a Conflictos Bélicos 15 Figura 2-6. Juego del cazador y el pájaro: el pájaro es cazado. Figura 2-7. Juego del cazador y el pájaro: el pájaro escapa. En relación con los juegos de búsqueda están tambien los juegos de emboscada continuos, investigados por Ruckle (1979). En estos juegos, se representan las posiciones de los jugadores con formas geométricas y el emboscador permanece estático, lo cual facilita la resolución del juego. Ejemplo 2-5. Un ejemplo simple sería un evasor E que se desplaza de un lado a otro de un cuadrado de lado L con una trayectoria continua 𝑟→(𝑡)=(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡)) donde 𝑥(𝑡),𝑦(𝑡) son las coordenadas del evasor en el tiempo t. El emboscador B se posiciona quieto en un área de forma geométrica y tamaño determinado dentro del cuadrado, por ejemplo un rectángulo 𝑎×𝑏. La recompensa R para el emboscador es la integral de la longitud del recorrido del evasor dentro de esta área. 𝑅=∫1𝐴(𝑟→(𝜏) 𝜏)‖𝑟→(𝜏) ˙‖𝑑𝜏 donde 1𝐴(𝑟→(𝜏)) vale 1 si el evasor está dentro del área del emboscador, y 0 si no lo está; ‖𝑟→(𝜏) ˙‖ es la velocidad del evasor en el tiempo 𝜏 y 𝜏 es el parámetro temporal del tiempo del juego. Figura 2-8. Juego de emboscada continuo en geometría rectangular. 16 Aplicaciones de la Teoría de Juegos en Conflictos Militares 2.2.4 Modelos de Negociación en Contextos de Guerra La Teoría de Juegos puede utilizarse también para tratar de resolver conflictos con modelos de negociación. De este modo las partes involucradas pueden alcanzar acuerdos que minimicen los costes para cada una de ellas. En la mayoría de los casos, serán modelos de negociación no cooperativa, pues en una guerra cada parte busca maximizar su beneficio a costa de la otra. Ejemplo 2-6. Un ejemplo simple sería adaptar el dilema del prisionero a un conflicto entre dos naciones A y B. Lo ideal para cada una sería atacar, pero no ser atacada, de forma que obtendría la máxima ganancia a costa de la otra nación. Sin embargo, si ambas atacan y se desencadena una guerra, ambas naciones tendrían una ganancia menor que si no se atacan mutuamente. Tabla 2-1. Dilema del prisionero adaptado a un conflicto entre dos naciones. A ataca A no ataca B ataca (2 , 2) (1 , 4) B no ataca (4 , 1) (3 , 3) Sin embargo, este modelo considera que el coste de la guerra y la capacidad militar son iguales para ambas naciones y no tiene en cuenta la naturaleza asimétrica de los conflictos bélicos en la vida real. Por este motivo, es más exacto considerar modelos de negociación que sí tengan en cuenta estos factores, ya que un mayor poder de negociación por parte de uno de los dos participantes afectará a las decisiones que se toman y por tanto al resultado. 17 3 EJEMPLO PRACTICO: CONFLICTO PALESTINO-ISRAELÍ l conflicto entre Palestina e Israel se trata de uno de los enfrentamientos más complejos de la historia reciente, y que se caracteriza por una combinación de tensiones territoriales, religiosas, políticas y sociales que han evolucionado durante un siglo hasta llegar a la situación actual. Una característica fundamental del conflicto palestino-israelí es su naturaleza asimétrica. Israel tiene una capacidad militar y económica mucho más fuerte que los grupos palestinos con los que se enfrenta, pero estos recurren a estrategias adaptadas a su situación de desventaja. Un conflicto asimétrico como este es especialmente interesante de analizar desde la perspectiva de la teoría de juegos, pues ambas partes deben tomar decisiones estratégicas bajo condiciones de incertidumbre. También se puede analizar la situación como un juego de suma cero, donde el control territorial en juego. De este modo, cualquier avance de una de las partes supone una reducción de control, y por tanto una pérdida, del otro, lo cual refuerza la idea de que no es posible un beneficio mutuo. Además, ha habido múltiples intentos de negociación y treguas temporales, lo que nos da ejemplos de juegos de cooperación en una situación de desconfianza entre dos bandos con objetivos contradictorios. 3.1 Contexto Histórico Para comprender la aplicación de la teoría de juegos al conflicto entre Israel y Palestina, debemos primero comprender el mismo conociendo su historia. 3.1.1 Orígenes del Conflicto Los orígenes del conflicto palestino-israelí se remontan a finales del siglo XIX y principios del XX. Desde finales del siglo XIX, ganaba fuerza el movimiento sionista, que defendía que los judíos no se trataban únicamente de un grupo étnico-religioso sino de una nación, y como tal tenían derecho a crear su propio Estado en el que consideraban su territorio histórico, Palestina. Paralelamente, huyendo del antisemitismo europeo se fueron produciendo sucesivas oleadas migratorias, llamadas Aliyá, a este territorio. E El poder depende del control del territorio, pues quien posee la tierra, posee el futuro. - Napoleón Bonaparte- 18 Ejemplo Práctico: Conflicto Palestino-Israelí Tabla 3-1. Evolución de la población judía en el territorio Palestino. Año Población judía Población no judía % judío en la población 1800 6700 268000 2.4% 1880 24000 525000 4.4% 1915 87500 590000 12.9% 1931 174000 837000 17.2% 1947 630000 1310000 32.5% Ya en el siglo XX, durante la Primera Guerra Mundial, el Imperio Británico buscaba consolidar su influencia en Oriente Medio y asegurar el apoyo de la comunidad judía internacional. De este modo, el 2 de noviembre de 1917 el gobierno británico emitió la Declaración Balfour, un comunicado oficial en el que se expresaba su apoyo a la creación de “un hogar nacional para el pueblo judío” en Palestina. Los árabes palestinos vieron esta declaración como una traición a las promesas anteriores de autodeterminación hechas por los británicos. En 1920, la Sociedad de Naciones estableció el Mandato Británico sobre Palestina con objetivo de administrar el territorio e implementar la Declaración Balfour. Esta etapa estuvo marcada por un aumento de las tensiones entre las comunidades judía y árabe. El descontento del pueblo árabe ante las crecientes migraciones judías se vio reflejado en varios enfrentamientos violentos, como las revueltas de 1920 y 1929.Esta situación se fue intensificando durante la década de 1930, culminando en la Gran Revuelta Palestina de 1936-1939. Las políticas nazis y el Holocausto causaron un éxodo masivo del pueblo judío. A partir de 1945, con el fin de la Segunda Guerra Mundial, muchos de los supervivientes decidieron asentarse en el territorio palestino. El Mandato Británico se volvió insostenible y en 1947, Gran Bretaña decidió retirar su administración y pasar el control a las Organización de Naciones Unidas, que propuso un Plan de Partición para dividir Palestina en un estado judío y otro árabe, manteniendo Jerusalén como una ciudad internacional. Este fue aceptado por los lideres sionistas, pero rechazado por los árabes palestinos y de países vecinos. Figura 3-1. División del territorio según el Plan de Partición de la ONU. Teoría de Juegos Aplicada a Conflictos Bélicos 19 3.1.2 Creación del Estado de Israel y Guerra de Independencia La aprobación del Plan de Partición de la ONU supuso un aumento de las tensiones entre las comunidades judía y palestina. El 14 de mayo de 1948, David Ben-Guirion, líder de la Agencia Judía, proclamó la independencia del Estado de Israel, aludiendo a su pertenencia histórica a la región y a la necesidad de un lugar seguro para los judíos tras el holocausto. Esta declaración fue recibida con entusiasmo por la comunidad judía internacional, pero con rechazo por el mundo árabe, que anunció su apoyo a los árabes palestinos. La guerra de 1948, conocida en Israel como “Guerra de Independencia” y como la “Nakba” (catástrofe) en el mundo árabe, estalló cuando los países árabes Egipto, Jordania, Siria, Líbano e Irak intervinieron militarmente en el nuevo estado. Aunque inicialmente eran superadas en número, las fuerzas israelíes lograron resistir el ataque utilizando estrategias efectivas y aprovechando el apoyo de países occidentales. La guerra concluyó en 1949 con el establecimiento de las fronteras del nuevo Estado de Israel, que consiguió expandir su territorio más allá de lo propuesto inicialmente en el Plan de Partición de la ONU. Esto resultó también un éxodo masivo de árabes palestinos, con miles de ellos convirtiéndose en refugiados. Estos eventos marcaron un punto de inflexión en la historia de la región, sentando las bases para los conflictos futuros. 3.1.3 Guerras Árabes-Israelíes Tras la guerra de 1948 el clima entre árabes y judíos se mantuvo tenso, dando lugar a varios conflictos armados. En 1956, Egipto nacionalizó el Canal de Suez, una ruta crucial para el comercio y el petróleo, provocando una respuesta militar por parte de Israel, Francia y Reino Unido. La Crisis de Suez acabó en una victoria táctica para Israel, que ocupó la Península de Sinaí, aunque se acabó retirando bajo presión internacional. En mayo de 1967, Egipto movilizó tropas en la frontera con Israel, y en respuesta, Israel lanzó un ataque el 5 de junio de 1967. El conflicto, llamado la Guerra de los Seis Días debido a su duración, finalizó con una victoria decisiva para Israel, que capturó el territorio de la Franja de Gaza, la Península del Sinaí, Jerusalén Este y los Altos del Golán. Esto significó un nuevo cambio en el mapa de la región y un aumento de palestinos refugiados, y con ello de las tensiones. Figura 3-2. Mapa de Israel antes y después de la Guerra de los Seis Días. 20 Ejemplo Práctico: Conflicto Palestino-Israelí El 6 de octubre de 1973, Egipto y Siria coordinaron un ataque sorpresa durante la festividad judía de Yom Kipur, atacando desde el Canal de Suez y los Altos del Golán. Israel contraatacó y la llamada Guerra de Octubre acabó en un alto al fuego, aunque dejando ver que Israel podía ser vulnerable lo cual la llevó a reevaluar sus estrategias. Más adelante, se iniciarían esfuerzos de paz entre Egipto e Israel como los Acuerdos de Camp David en 1978. 3.1.4 Nacimiento del Movimiento Nacional Palestino Paralelamente, a raíz del descontento del pueblo palestino tras los eventos de 1948, en las décadas de los 50 y 60 empezaron a surgir organizaciones civiles para defender sus intereses. El Movimiento Nacional Palestino comenzó a tomar forma a través de organizaciones como la Organización para la Liberación de Palestina (OLP) fundada en 1964, que se convertiría en la principal representación política de los palestinos. En 1974, esta organización fue reconocida por la Liga Árabe como “el único representante legítimo del pueblo palestino” y obtuvo además el estatus de observador en la ONU. Así mismo, nacieron grupos de guerrilla que buscaban la liberación palestina a través de resistencia armada. El grupo Fatah fundado en 1959 por Yasser Arafat fue uno de los primeros movimientos y llegó a dominar la OLP en la década de los 70. En 1970 surgió una facción más radical llamada “Septiembre Negro” que fue responsable de atentados como el secuestro y asesinato de deportistas israelíes en los Juegos Olímpicos de Múnich de 1972. Tuvo también gran influencia el Frente Popular para la Liberación de Palestina, fundado en 1967 y caracterizado por un enfoque marxista y una postura militar radical. En 1987, en el contexto de la Primera Intifada, un levantamiento popular contra la presencia israelí en los territorios palestinos, se creó Hamas como una extensión de la Hermandad Musulmana. A diferencia de los grupos mencionados anteriormente, se caracteriza por un enfoque religioso, promoviendo la idea de un Estado palestino basado en la ley islámica, y por tanto lejos del enfoque laico de la OLP. Tabla 3–2. Creación de los principales movimientos nacionales palestinos Año Grupo 1948 Al-Nakba 1959 Fatah 1964 OLP 1967 FPLP 1970 Septiembre Negro 1987 Hamas 3.1.5 Acuerdos de Oslo y Procesos de Paz Tras décadas de conflicto, en la década de 1990 se iniciaron conversaciones secretas en Oslo, Noruega, que llevaron a los Acuerdos de Oslo en 1993, firmados por Yasser Arafat, que en ese momento lideraba la OLP, e Isaac Rabin, primer ministro de Israel. En estos acuerdos, la OLP reconocía el derecho del Estado de Israel a existir, mientras que Israel reconocía a la OLP como representante del pueblo palestino. Además, se planeaba una concesión de cierta autonomía palestina en áreas de Cisjordania y Gaza a través de la creación de la Autoridad Nacional Palestina (ANP). Teoría de Juegos Aplicada a Conflictos Bélicos 21 Figura 3-3. División del territorio tras los Acuerdos de Oslo. En los años siguientes, se firmaron acuerdos adicionales para complementar los Acuerdos de Oslo, pero el proceso sufrió obstáculos como la falta de consenso en temas críticos, el crecimiento de la ocupación israelí y los ataques extremistas de ambos lados, entre ellos el asesinato de Isaac Rabin en 1995, que significó un retroceso en las negociaciones de paz al ser él uno de sus mayores defensores. Todo esto hizo que no se lograra alcanzar una paz duradera, y el proceso se paralizó con el estallido de la Segunda Intifada en el año 2000. 3.1.6 Segunda Intifada y Escalada de la Violencia En septiembre del 2000, tras el fracaso de la cumbre en Camp David para negociar la paz, el líder de la oposición conservadora israelí, Ariel Sharon, visitó la Explanada de las Mezquitas de Jerusalén. Muchos palestinos vieron esto como una amenaza a sus derechos sobre su lugar sagrado, lo cual llevó a protestas que rápidamente se convirtieron en violentas. La ANP perdió control interno, mientras que grupos como Hamas y la Yihad Islámica ganaban poder y lanzaban ataques contra Israel. La Segunda Intifada, o Intifada de Al-Aqsa, finalizó en 2005 y dejó miles de muertos y heridos, y un mayor clima de tensión. Después de esto, Israel retiró sus tropas y colonos de la franja de Gaza, donde Hamas tomó el control tras un conflicto con la ANP, gobernando con un enfoque islamista radical. Por su lado, Israel siguió ejerciendo control a través de puntos de separación y expansión de asentamientos, principalmente en Cisjordania. Estas medidas, junto con el bloqueo a la franja de Gaza, afectaron la vida de los palestinos, aumentando el resentimiento. 28 Ejemplo Práctico: Conflicto Palestino-Israelí Si el equilibrio no fuese estable, la forma en la que variará el reparto de territorio dependerá de las condiciones iniciales (𝑥0,1−𝑥0), de forma que si E1 empieza con una posición más favorable 𝑥0>𝑥∗ y por tanto mayor poder de negociación, obtendrá mayor territorio en cada iteración de forma que 𝑥0<𝑥1<𝑥2<⋯<𝑥𝑛 hasta alcanzar 𝑥𝑛→1 cuando 𝑛→∞ es decir, que finalmente E1 obtendrá el control total del territorio. De la condición de estabilidad podemos deducir los límites de estabilidad para 𝛽 y 𝜙: ∀𝜙 ; 𝛽≥1⇒ 𝛽+(1−𝛿)𝜙≥1 y por tanto el equilibrio es inestable ∀𝛽 ;𝜙≥ 1 (1−𝛿)⇒ 𝛽+(1−𝛿)𝜙≥1 y por tanto el equilibrio es inestable Por tanto, serán estables todos los escenarios que garanticen 𝛽<1 ∩ 𝜙< 1 (1−𝛿) Es decir, si tenemos una gráfica en la que el eje x representa 𝜙 y el eje y representa 𝛽, serán estables los puntos que queden por debajo de la recta que une los puntos (𝜙= 1 (1−𝛿) , 𝛽=0) (𝜙=0 ,𝛽=1 ) Si se cumple esta condición, el reparto de territorio tenderá a alcanzar un equilibrio estable (𝑥∗,1−𝑥∗). Por el contrario, si un punto N quedase por encima de la recta, el equilibrio sería inestable y uno de los dos Estados acabaría haciéndose con el control total del territorio o el conflicto acabaría en una guerra. Por tanto, lo que determina si un equilibrio es estable o inestable es el grado en el que el territorio controlado afecta al poder de negociación futuro. Figura 3-7. Representación de los límites de estabilidad del equilibrio en el modelo. Teoría de Juegos Aplicada a Conflictos Bélicos 29 3.2.2 Análisis del Modelo Este modelo nos muestra la importancia del territorio en el conflicto palestino-israelí no sólo como la recompensa final que ambos Estados buscan obtener, sino como un activo que aumenta el poder de negociación, y por tanto la capacidad de conseguir una división cada vez más favorable. Es importante tener en cuenta que estamos considerando todo el territorio como una unidad, por lo que sucesos como la retirada de asentamientos israelíes de la franja de Gaza durante la Segunda Intifada no serían significativos ya que a la vez aumentaban los asentamientos en otras áreas como Cisjordania, y por tanto el total de territorio controlado por Israel 𝑥 no variaba de forma relevante. Se puede argumentar que el modelo tiene ciertas limitaciones, principalmente en considerar tan sólo dos jugadores, lo cual reduce la situación política heterogénea de ambos Estados. Sin embargo, esta simplificación permite enfocar el análisis en los intereses estratégicos fundamentales y las dinámicas de poder entre Israel y Palestina. Si bien no son mencionados explícitamente, los numerosos episodios violentos en el conflicto pueden verse como intentos de aumentar el poder de negociación de cada parte, y por tanto podrían considerarse estrategias para mejorar su posición dentro del modelo. Además, se debe tener en cuenta que cuando hablamos de propuestas de Israel a Palestina no nos referimos únicamente a aquellas en el marco de una negociación política formal, sino también a acciones sobre el terreno como pueden ser la expansión de asentamientos. Asimismo, cuando decimos que Palestina acepta los términos, nos estamos refiriendo también a la falta de respuesta violenta definitiva que lleve a la guerra total. En conclusión, este modelo de negociación no cooperativa nos muestra la dificultad de alcanzar una solución pacífica para el conflicto palestino-israelí y nos da una perspectiva útil para entender el fracaso de los esfuerzos internacionales como los Acuerdos de Oslo o las negociaciones de Camp David, al reflejar la inestabilidad de un posible acuerdo. Si observamos los eventos más recientes en el conflicto, dentro del marco de nuestro modelo se podría considerar que se ha optado por la opción externa y los dos Estados ya no se encuentran en etapa de negociación sino de guerra. 30 Ejemplo Práctico: Conflicto Palestino-Israelí 31 4 CONCLUSIÓN lo largo de este trabajo, se ha demostrado cómo la Teoría de Juegos es una herramienta valiosa para analizar los conflictos bélicos con un enfoque estratégico, ofreciendo distintas perspectivas para comprender situaciones complejas entre varias partes involucradas. Se han analizado distintas aplicaciones históricas y contemporáneas que permiten tanto optimizar las tácticas de guerra como tratar de evitar precisamente la misma. Por ejemplo, se han destacado estrategias tomadas durante conflictos históricos como la Guerra Fría, donde el uso de estrategias de disuasión evitó una escalada nuclear, y en conflictos actuales como el palestino-israelí. Aunque la Teoría de Juegos no puede prevenir por sí misma las guerras, sí puede ayudar a las naciones a comprender sus decisiones de forma más racional, disminuyendo las probabilidades de una escalada violenta. En este ámbito, se ha explorado un modelo de negociación no cooperativa en un ejemplo práctico aplicado a un conflicto de gran relevancia actual, el conflicto entre Israel y Palestina. Comprendiendo el contexto histórico del conflicto como una situación en la que los intereses opuestos sobre el control del territorio complican la obtención de un beneficio mutuo, se ha planteado un modelo de negociación no cooperativa con la opción externa de la guerra. Este ejemplo demuestra cómo las dinámicas asimétricas de poder y los incentivos estratégicos influyen en las decisiones. Por último, este trabajo demuestra que, aunque analizar las situaciones estratégicamente con ayuda de la Teoría de Juegos puede guiar a las partes involucradas a tomar mejores decisiones y evitar la violencia, existen factores políticos, sociales y emocionales que en muchos casos van más allá de las matemáticas y pueden determinar la resolución o prolongación de un conflicto. Por tanto, es fundamental al desarrollar modelos comprender en profundidad todos los factores que afectan al conflicto, prestando especial atención a la situación sociopolítica, para así poder desarrollar herramientas más completas que permitan analizar conflictos como el palestino-israelí. . A 33 REFERENCIAS [1] Barry O’Neill, Handbook of Game Theory with Economic Applications, Chapter 29: Game Theory Models of Peace and War, 1994. [2] Stefan A. Burr, James E. Falk, Alan F. Karr, Integer Prim-Read Solutions to a Class of Target Defense Problems, Operations Reasearch Vol. 33, p.726-745, 1985. 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