Álgebras de Abel

Algebras de Abel por Juan Arias de Reyna Martínez PRESENTADO POR EL ACADÉMICO D. DARÍO MARAVALL CASESNOVES Las funciones definidas por series de potencias en un álgebra de IBanach no comparten con las funciones analíticas más que algunas -propiedades, por ejemplo el radio de convergencia no tiene un significado claro y la serie puede converger fuera de él. Definimos unas álgebras topológicas para las que se extienden prácticamente todas las propiedades de las seríes de potencias en C. Las llamamos .álgebras de Abel porque fue imponiendo al álgebra tolopógica que •verificase el lema de Abel como llegamos a su definición. 1. DEFINICIÓN DE LAS ÁLGEBRAS DE ABEL Designaremos sencillamente por álgebras a C-á'gebras con elemento unidad, asociativas y conmutativas. Podemos entonces supo- :ner C'CA, siendo A el álgebra. Consideraremos a veces A como anillo o como espacio vectorial sobre C ; se tratará siempre de las correspondientes estructuras subyacentes a la estructura de álgebra de A. Llamaremos seminorma en A a una aplicación no idénticamente -nula p : A -> R tal que para todo par de elementos a, b de A y todo A >€ C, verifique : 1) p (a + i) < p (o) + p (b). 2) p (a, b)<p (a) p (b). 3) p (A a) = | X | p (a). - 496 - Como frecuentemente se usa el concepto sin imponer la condición 2), cuando lo exija la claridad hablaremos de seminormas multiplicativas y no multiplicativas. Usaremos el concepto de álgebra localmente w-convexa, es decir, las álgebras dotadas de una topología definida por un conjunto- T de seminormas multiplicativas. Para más información, véase- E. A. Michael (*). Necesitaremos el siguiente resultado, que puede encontrarse ert C. Rickart. PROPOSICIÓN 1.—Sea A un àlgebra; p : A -> R, una seminorma-_ Existe siempre el límite p (x) = ¡im ^p (x*) ü —> 00 y es i. inf ^P (xa). v Además, p> : A -> R es una seminonna que verìfica O < P W < p (x). Podemos definir ya las álgebras de Abel. DEFINICIÓN 1.-—Llamaremos álgebra de Abel a un álgebra dotada de una topologìa localmente va-convexa ^ de manera que: 1) La Topología "ü es separada. 2) Existe una, seminorma continua p0 : A -> R, tal que para cada par de elementos a, b de A se tiene- PO (a b) = PO (a) po (b) (igualdad y no desigualdad). 3) Para toda seminorm-a continua c p : A -> P. se tiene p = p0 (véase la proposición 1}. 4) A es com,- pietà -por sucesiones, (*) Las referencias a la bibliografía se darán por el nombre del autor y, s* es necesaria, la fecha de publicación. — 497 — Posteriormente daremos caracterizaciones más simples de. las álgebras de Abel. Las condiciones 2) y 3) de la definición son las más características. Una seminorma verifica que P (x y) < P M P (y} En las álgebras de Abel se verifica ademas lim /jp (xn f1) = Hm »/p (xn) lim v/p (yn), lo que evita en parte la desventaja de tener en P (x y) < p (*) P (y) un signo de desigualdad y no uno de igualdad, como se verifica para el valor absoluto en los cuerpos valuados. La seminorma p0 jugará un papel muy importante en la teoría de las álgebras de Abel. Sustituirá en muchas ocasiones al valor absoluto de C. Si A es un álgebra de Abel, denotaremos por TA un conjunto de seminormas que definan la topología de A. En cambio, designaremos por TA al conjunto de todas las seminormas multiplicativas continuas en A. Podrían definirse las álgebras de Abel como álgebras completas en el sentido de Bourbaki. Pero la condición 4) es suficiente en las aplicaciones ; además en los ejemplos habría que añadir elementos sin interpretación clara. El ejemplo más simp1e de álgebra de Abel es C. Daremos más adelante ejemplos no triviales. Un álgebra que verifique todas las condiciones de la definición salvo la 4), se dirá pr e al gebra de Abel; estas álgebras pueden comp'etarse y formar así álgebras de Abel. PROPOSICIÓN 2.-—Si A es una preálgebra de Abel, el espado topològico completado  admite una estructura de- 'C-àlgebra que induce en A la dada y que junto con la topologia de Ä define en A una ¿'structura de álgebra de Abel que llamaremos completc?da. de te preálgebra A. Nota.—Como toda álgebra de Abel es preálgebra de Abel, puede usarse la proposición 2 para obtener álgebras completas en el sen- - 49» - tido de Boubarki de algebras de Abel que sólo sean completas por sucesiones. Sea  el anillo topològico completado de A; sabemos que es conmutativo y con unidad (cfr. Bourbaki (19600). Sea T : C -> A la inyección canònica ; T es un homomorfismo uniformemente conti- ^ t nuo. Existe una prolongación T : C ->  única, que proporciona una estructura de C-álgebra en Â. La topología de  es separada. La topoioga de A está definida por la familia de semidistancias (x, y)-»/> (x — y), para p € TA. Como p : A —> R son uniformemente continuas, pueden prolongarse a Â, obteniéndose aplicaciones p :  ->! R, que por el principio de prolongación de desigualdades son seminormas en Â. Sea fA el conjunto de Ias p. Lãs seminormas de PA definen la topología de  (cfr. Bourbak: (1958)). Por tanto, la topologia de A es localmente m-convexa. Veamos que es una estructura de álgebra de Abel. De />0 se obtiene una seminorma pç :  -> R, que por el principio de prolongación de identidades verifica PO (* y) = P0 O') P (i'}- » A Dada una seminorma p € TA evidentemente p = p, pues las dos coinciden en el subconjunto denso A de  y son iguales a |>0 por la misma razón. Por ùltimo, la condición 4) de la definición se verifica trivialmente. Jugarán un papel especial las álgebras de Abel que sean anillos •de integridad. Si A es una preálgebra de Abel de integridad, no puede afirmarse que  sea de integridad. 2. EL HOMOMORFISMO tf : A -> C PROPOSICIÓN 3.—Sea A un álgebra de Abel. Entonces A es un •amilo local. Si designamos por SV? su ideal maximal, es A/ZM, iso- •mo'rfo a C. Sea m = { x \ x e A, * (x) = 0}. — 499 — SV£ es un ideal de A, pues P» (x — y) < Po (*) + ¿o fcy) y ¿o (a *) = ¿o (°) #o W- Esta ùltima relación, junto con el ser p„ no idénticamente nulo, prueba que además SV£ es un ideal primo. Decir que a — ¿> € SVC equivale a decir que />0 (a) = />.„ (6), pues como para toda seminorma, se tiene I M")-M6) .<i0(fl —&)• Por tanto, />.0 induce una aplicación ç : A/5VÍ —> R definida por ? (a + SVO = P0 (a). Esta aplicación evidentemente verifica en el anillo de integridad A/9VÍ las relaciones ? O* + JO <?(•*) + ? 00. ? (A. *) = l A. I ? (^), g (.tr y) = ? (;r) ? (y). Podemos hablar de A ^ puesto que A/SVÍ sigue siendo álgebra. Además, q (x) = O equivale a ^ = 0. Sea K el cuerpo de las fracciones de A/SV?. Identifiquemos A/SVÍ con una parte de K. Entonces K es de forma natural una C-àlgebra. Podemos prolongar ç a K de manera que se convierta en va'.or absoluto. En efecto, si dos fracciones de A/SVÍ son iguales a/b = = c/d, se tiene a d = be, luego q (») q (d) = q (b) q (c) y podremos poner para fracciones de A/SVÍ a q (a) b = g (b) Se tiene entonces para x e y en K : 1) | x y \ = \x \ y \ • 5°° — 2) x + y \ < x + j y ; 3) | x = O equivale a x ' = 0. Eri efecto, 1) es trivial, 2) se obtiene directamente : a b d r a c + d b b c 1 ? 0) 1 (0 + 3 (d) ? (6) ? (a c + d q (•») (b c) £•) 9 (d) y 3) es cierto, pues | x \ = O implica que si x = (o/i>) que q (a) = O, luego a = O ; así, pues, x = 0. Como ya hemos dicho, K es C-álgebra de manera natural mediante el homomorfismo i » TC » T = h : A./5VÍ K, donde f es el homomorfismo que define el álgebra A, ic la aplicación canónica e i la inyección de A/SVÍ en su cuerpo de fracciones. Para A € C se tiene I h (A) | = | i o «• o r (À) = g Or o r (A)) = />Q (r (A)) = = ¿0 (A - 1) = | A | pt (1) = i A | (es trivial que />„ (1) = 1). Por tanto, para la C-álgebra K se tiene j A x \ = i h (A) x \ = h (A) | [ * | = A | | x \. Es decir, K es una C-álgebra normada. Aplicando el teorema de Gelfand-Mazur, para cada x € K debe existir X l€ C tal que x — à • 1 no sea invertible en K, como K es cuerpo, x = X • 1. Por tanto, h : C ~> K es sobre. Pero h (C) = = A/SVí, ya que i es una inyección ; así, pues, A/SVÍ es isomorfo a C y SV£ ideal maximal. Sólo queda ver que A es local, pero antes probaremos la siguiente proposición. PROPOSICIÓN 4.—Sea A un álgebra de Abel, para cada a € A el espectro a es unitario: S p¿ (a) = {A}. Si designamos por f : A -> C — S»' - la aplicación que a cada a '€ A le hace corresponder el único número complejo en su espectro 9 es un h omomorfismi o y P0 (a) = | 9 (a) |. En efecto, sea p0 (a) = O, entonces SpA (a) = {0} ; para probarlo •observamos que la serie 1 a a* À /V A3 «s conmutativamente convergente en A, para todo X € C con X ^ 0. Pues si p '€ FA) será lim Vp KA*4-1) = (1/1 A |) />„ (a) = 0. Por tanto, la serie f I ~ I + P I — I +P I — I + ••• \ ^ / V ¿2 / U3 / •es convergente. La suma de esta serie es trivialmente 1/(X •— a), lo •que prueba que SpA (0) = {0}. Sea ahora a cualquier elemento de A y usemos las notaciones establecidas en la demostración de la proposición (3). Como rc (œ) '€ K •existe ¡i € C tal que w (a) = h (¡i), es decir, a — ¡x '€ 9VÍ y por tanto A (o — ¡i) = 0. Según hemos probado, SpA (a — íO = W» luego escrito en otra forma, SpA (a) = {|JL}. Además, I M") — | /» 1 = I #0 (o) - ?o W < />0 (o -,«) = 0. Esto es, [i | = />„ (a). Sólo queda, pues, ver que 9 es homomorfismo, pero por la definición, 9 = A"1 « TI. También se obtiene así que 9 ° T = Id., c. d. d. Podemos ahora terminar la demostración de la proposición 3. íM es el único ideal maximal de A, pues si a no es invertible en A, SpA (a) = {0} (usando la proposición á). Entonces pa (a) = | 9 (o) | = | O | = O ; — 5°* — esto es, a € SV£. Por tanto, SVÍ es el conjunto de los elementos noinvertibles de A, lo que claramente implica que es el único maximal. Hemos visto unas propiedades de las álgebras de Abel ; veremos, ahora que en cierto sentido las caracterizan. Tendremos que usar la fórmula del radio espectral en álgebras de Banach. Si E es un álgebra de Banach (compleja y con unidad) representamos por SPE (x) para, cada-x € E el conjunto de los X € C tales que x — A no sea invertible en E. Entonces lim V|| y?11 \\ = sup I A. j n —>-«o AS Sp (i) Probaremos entonces la siguiente caracterización de las álgebrasde Abel. PROPOSICIÓN 5.—Sea A un álgebra, *& una topología localmente m-convexa separada y completa por sucesiones. Condición necesaria y suficiente para que A dotada de ^ sea un álgebra de Abel es que A sea un anillo local. La necesidad la hemos probado en la proposición 3. Supongamos,, pues, anillo local y vamos a probar que es álgebra de Abel. Sea SV£ el ideal maximal de A. TA el conjunto de seminormas continuas para la topología 'S. Sea por fin p € TA. El conjunto ff = •{ x Ç A, p (x) = O } es un ideal de A. Tenemos así definida un álgebra B = A/¿7. Sí x - y € £7 se tiene p (x) — p (y). Podemos definir una aplicación de B en F, que representaremos por ¡j ||, de manera que \\* + sr\\=P O)- B dotada de || || es un álgebra normada sobre los complejos ; completándola obtenemos un álgebra de Banach compleja B. Sea ahora x € A. Pongamos x = x + 3'• Como B es un álgebra de Banach existe un elemento en el espectro de x, sea \. x — \ no> es invertible en B. Con más razón no es invertible en B. Por tantotampoco en A. Como A es anillo local, debe ser x — J. € SVÍ. No- - 5°3 - existe otro X que verifique esta relación, pues si fuese x — A' € 'M* se tendría X — \' € SV£, luego X = X', ya que SVÍ ^ (1). Esto es,. A/9VÍ es isomorfo a C. Existe, pues, un homomorfismo 9 de núcleo- 3V£ de A en C. Hemos probado además que x no tiene más que a <p (x) en su espectro en B. Según la fórmula del radio espectral y la definición dela norma II II en B se tendría | i<p (x) | = Km ^¡| xn || = Hm </p (*"). '• . 00 Esto prueba que si p 6 TA y q € TA se tiene p = q. Si a esta seminorma la llamamos />,„ se tiene p„ (x) = | 9 (x) j. Evidentemente setiene /•0 (•*• y} = l «p (* y) l = l <P W P Cv) l = />,-, W />„ (y)- Sólo queda ver que />0 '€ FA. Pero esto es consecuencia inmediata de ser o < Pa W = P W < P O), para toda /> € TA. 3. SERIES DE POTENCIAS EN UN ÁLGEBRA DE ABEL Probaremos a continuación el. lema de Abel, pero es necesario antes definir un concepto que juega el papel de la convergencia absoluta en las álgebras de Abel. DEFINICIÓN 2.—Sea A un álgebra de Abel; una serie S an de elementos de A se dice absolutamente convergente si para todo p € F^ se tiene S p (an) '< + oo. PROPOSICIÓN 6.—Si Ia serie1 2 an es absolutamente convergente en un álgebra de Abel A, la familia (an)ngAr£j su-mable y su suma coincide con el valor de la señe. — sio — Demos ahora e ;> O y sea x € K existe m (x) tal que /„co (*)-/(*)< «A Usta igualdad se verificará en un entorno V (x) de x. Así, pues, í6V(*) =>/m(Jt)(í)-/(í)<«A Un número finito de estos entornos V (*,),..., V (fr) -cubren K. Para cada i (1 < i < r) existe un na (x¡) tal que n > nü (*,) => /Ä (*) < e/2 + /„^ (*). Sea N el mayor de los nQ {x¡) y sea t € K. Para a'gún i, í € V (#¡). Para este i se tiene si w > N /„ (í) - / (í) < «/2 + /m (r., (í) - / (í) < e/2 + «/2 =, «. Esto es, dado s > O, hemos encontrado N tal que si n > N, !/»(«)-/(<)!<« para í 6 K. Para terminar la demostración del lema 3 tenemos que probar •que dados w€ N y s > O existe na tal que » > »o y * € K =D> vX W < « + V«m (*)• Observemos en primer lugar que «„ es continua y se verifica M„+m W < «n W «m (*)• Dado w, sea «. •€ N ; dividiendo se obtiene «• = q m + r, con < r < m. Entonces «> *„ W < Mm (X) ... Um (X) »r (X) = «m (*)« «T (X). — 5" — Tomando la raíz w-ésima i "' Á/«n W < (vX7<X>) " («r W)"" Como VMm C*1) es función continua en K, tiene un máximo en K. Sea M. La función (A-, x) i—-> .r* definida en el rectángulo [O, M] x [l — 8, 1 + S] con O < S < 1 es continua. Por tanto, uniformemente continua. Existe entonces 8' tal que O < 8' < 1 y (x, a) € [O, MJ x [1 — 8', 1 + 8'] => A-a — * | < e/3. Por.tanto, a partir de un n'a se verifica £ w ( tn l K »ï V«m M/ < V •*„ (*) + e/3. £ ffí /WZ 1 » > »'„ =î> Para O < r < OT, wr (T) está acotado por una constante L. Para 3» < L y <x > O es y* < La y lim Ltt = 1; existe, por tanto, un »„" tal .que '. «-»-o K w > "o" y ° < r < »« ^^ V«*r (*) < ! + e'- Tomemos e' < min {2/3, s/(3 M)}. Sea ahora «0 = max. {w'0, MO"} y sea n > «0, se tiene • n r m -i tn V«n (x) < V'«m W + e/3 [1 + e'] < v/«m (» + e/3 + M e' + + e' e/3 < V»m (jr) + e. Podemos ahora probar que una serie de potencias converge uniformemente en compactos. PROPOSICIÓN 11.—Sea S = S an Xn una serie de potencias en un álgebra de Abel con radio R > Ò. La serie 2 an zn converge uniformemente en compactos de {z | z € A, pc (z) <. R} hacia S (z). - 512 - Sea K un compacto contenido en { s I e A, pa (2)< R }. Sea p € rA una seminorma. Debemos probar que dado s > O, existe n0 tal que n > «0 y 2 € K /> ( ^T an ^ ) < «-. «-X «o Consideremos las funciones p (¿r") definidas en K. Se verifica p (^+») < p (") p O»). Seg-ún el lema 3, »Jp (z"~) converge simplemente en K. Por ser A un álgebra de Abel, sabemos que su límite es p„ (s}. Además, en un álgebra de Abel, />0 (s) y p (#*) son funciones continuas. Por el lema 3 se tiene lim N/H^)" = p0(z)- uniformemente en K. En K, p0 (s) < R. Pero por ser K compacto, ''será p0 (s).< r para un cierto r <; R y todo z € K. Sea r < r' •< R ; como el límite se alcanza uniformemente en K existe m.0 tal que « > »no =Í> /. (s») < r'». Se puede entonces encontrar una constante M. tal que s € K =í> p (z") < M r'«. Sabemos que R es el radio de convergencia de S ; así, pues, tomando r' < p < R se tiene lim v> K) < I/P. Existe entonces «.„ tal que n > w0 implica > ( 2 v" ) ^ ,£ '(a>i) M "' ya que r' <.p: '" <e M ^ «0 « ^ «0 - SU - El teorema análogo en el -caso clásico permite asegurar que la funcióli S (z) asociada a una serie de potencias convergente es continua. Como las álgebras de Abel no son, en general, localmente compactas, este razonamiento no es válido aquí. A pesar de todo, la función S (z) es continua, pero éste es un resultado que hay que ligarlo al criterio de analiticidad que estudiaremos a continuación. La convergencia uniforme nos será, sin embargo, útil para probar la existencia del desarrollo de Taylor de las funciones regulares. Clásicamente se definen las funciones analíticas como funciones definidas en un abierto y conexo de C qu een cada punto admiten un desarrollo en serie de potencias. Esta definición es conveniente por el hecho de que los conjuntos donde convergen las series de potencias (los discos) forman una base de la topología de C. En un álgebra de Abel los «d:scos» i=\s Ç A. pa (*) < R } no forman una base. Aparece de este modo aquí la necesidad de considerar la topología en A para la que estos discos forman una base Evidentemente esta topología es la definida por la seminorma />or por tanto no es separada. Hemos usado *5 para designar la topología en A que hace de A un álgebra de Abel. Llamaremos "£.„ a esta nueva topología. "&0 es la topología menos fina que hace continua la aplicación 9 A -> C. Si U es abierto de ;C, f"1 (U) es abier- to de A para "??,„ ; recíprocamente, si V es abierto de A para *£>.„,. cp (V) es un bierto de C y V = <?~l (9 (V)). Estas consideraciones hacen trivial el hecho de que un abierto V de A para *£><> es conexa si y sólo si lo es 9 (V). Llamaremos región de A un conjunto de A no vacío abierto y conexo para t-v Dada una región de A u, cp (Q) será una reg'ón de C ; recíprocamente, si G es una región de C, 9"1 (G) es una. región de A. Siempre que hablemos de la topología o de algún concepto topològico en un álgebra de Abel, se entenderá que nos referimos a la topología *5, salvo que se indique lo contrario. El concepto de región, sin embargo, se referirá siempre al definido arriba. Podemos definir el concepto de función analtica. DEFINICIÓN 3.—Sea A un álgebra de Abel; O, una región de A; ï : O -> A una aplicación. .Diremos que f es analítica si para cadcf — 5¡4 — a € û existe* una serie de potencias con coeficientes en A y radio no nulo S = 2 an X* tal que í (z) = S (z — a) en un entomo en "G de a. Nota.—Probaremos más adelante que en este caso / (£) = = S (2 —a ) en un entorno para 'S« de a. Admitiendo la nota que probaremos cuando establezcamos el teorema de Cauchy, vamos a estudiar una relación importante entre las funciones analíticas clásicas y las aquí definidas. PROPOSICIÓN 12.—Sea ï '• U -> A una fundón analítica definida en la región U del álgebra de. Abel A. Pongamos <? (u) = G. Existe una función analítica única g : G -> C que hace conmutativo el diagrama, a >- A 91 19 G „ C Sea a € G. Existe a € Q tal que <p (a) = a ; / admite un desarrollo en serie en un entorno (en "So) de a. Es decir, / (*) = £ «„ (a — «)" para 9 (s) € AB, donde A* es un disco de centro a en Ç. Como <p es continua ?(/(*)) =29(on)(w— «>", donde hemos puesto.w = <p (#). Además, la serie del segundo m'embro converge con seguridad. Basta poner para w € Acc^ (w) = E <p («„) (w — a)" y se tiene que tç es analítica en A«, y tal que para o (^) '€ Att ï>(/(2)) = í ΫP (*))•- G cr ü y podemos definir -g'en G por g (w) = <p » / (w). — 515 — Si hubiese solución al problema sería esa g, pero el razonamiento anterior prueba que esa g es ana'ítica en G y verifica la condición del teorema. Vamos a probar a continuación un criterio de ana'iticidad. PROPOSICIÓN 13.—Sea S = £ an Xn una serie de potencias con coeficientes en un álgebra de Abel A y radio no nulo R. La función asociada ,? definida en la región AA, =•{*!* 6^ PO(X)</?} es analítica. Más exactamente ; las derivadas sucesivas de S tienen el mismo radio que S y si « •€ AR, la serie Sa =(S<«(a)/« !)X» tiene radio mayor o igual que R — p0 (a) y se verifica S (j) = S. (* - a) para , _. „ € { r [ x € A, po (V) < R -_ pa (a) }. La derivada r-ésima es SC = £ ((r + s} \/s !) ar+s X' s y sabemos que el radio de esta serie es R (proposición 10). Por tantOj los números sin (a) están definidos, así como la serie Sn. La serie S« conduce de manera natural a la serie doble £ ((r + s) \Jr \s\) ar+s a' (2 — a)'. r, s Trataremos de ver que es absolutamente convergente para 2 — o,€ { * x-c. A, po (x) < R — pa (a) }. - 5i6 - , • Sea p '€ I\ una seminorma de A. Pongamos p = R — p„ («). Entonces />„ (5 — fl) < p. Sabemos que lim Vp {(z — ay } = p0 (z — o). Luego si P„ (z — a) <ri < p existe un M tal que P •{ (z - a)" } ^ M r^. Anàlogamente, como p.3 (^ — a)< rl < R — />0 (a) existe r..¿ tal que pl)(d)<r2<R — ri, ya que ,, . . P0 (z — a) + p0 (a) <r^+ pa (a) < R. Existe entonces un N tal que p («») < N r2». Entonces £ PÍ ((r + s)\/r\s\) ar+! a* (z - a)* } < £ ((r + s) \/r \s\)p (or+s) N M r/ ; r s r s = N M V1 p (an) (rL + r ¿p < + oo, n pues T! + r, < R., y como R es el radio de S. Km J p (OB) < (l/R). — 517 Por la proposición 6 la familia es sumable y pueden reagruparse sus términos ; vamos a hacerlo de dos maneras distintas. Una primera agrupación proporciona V((r + s) \/r \s\) a a* (n - ay = V an V / " \ (z - a)" a"-" = Tí* n ' ^ ' = V" O 3» = S O). .¿_J Otra agrupación es ^T1 ((r + s) \/r U !) ar+s a* (g - a)" = ^ (z - a)" ( (1/r !) ^ (r + í) ¡A ! «r+s a-5') r 5 = V (s - a)' (S' 0)/r !) = S, (a - a). __; Esto implica, por un lado, que e Iradio de S<¡ es como mínimo p„ (z — a), que lo hemos tomado de cualquier modo siempre menor •que R — pa (a) ; es decir, el radio de Sa es mayor o igual a R — Po(a)- En segundo lugar, S (0) = Sa (z — a), lo que prueba la analiticidad de S. Vamos a continuación a obtener algunas consecuencias del teorema anterior. PROPOSICIÓN 14.—Sea A un álgebra de Abel; f : U -> A una, junción analítica definida en una región û de A, f es entonces continua en Û. Sea a >€ ü ; vamos a probar la continuidad de / en a. Existe una serie de potencias S de radio no nulo tal que en un entorno V de a se tiene / (Y) = S (s — a). Como la aplicación que pasa de z a z — a es continua en a, basta probar la continuidad de S (s) en 0. Pero esto es trivial, pues si .s=2>> n-^O sea p € rA y demos e > 0. Se tiene S (0) = aa y p (S (3) - S (0)) = p ( ^ an ^ < £ p (t>n) p (zn} < £ p (OB) p (s)». K^l tl^l tí^l - S'« - Pero la serie. S tiene radio no nulo y por la proposición 7 se dedtu ce que 2 p (a«} X" »^i tiene un radio mayor o igual. La función definida por esta serie es continua y se anula en O luego existe 8 tal que p (z)< S => f (S (z) — S (0)) < e. PROPOSICIÓN 15.—Sea A un álgebra de. Abel; í : u-> A una función analítica. Sea a '€ û. En un entorna de a (salvo en a) está definido el cociente incremental (f (z) - f (a))/(z - a) = g (z) y existe el límite de g (z) cuando z -> a. Nota.-—Cuando A no sea anillo de integridad no podemos asegurar que el cociente incremental sea único ; pero veremos que existe una g tal que (s-t-a) £ (*) =/(Y)-/(fl) : que verifica las condiciones del enunciado. Más adelante se puede probar que éste que definimos aquí es el único cociente continuo. Por la proposición 13 sabemos que puede escribirse /(*) = /(«) +S Or —a), donde S es una serie de primer coeficiente nulo. Pongamos entonces g (2) = T (z — d), donde T es la única serie tal que X T = S. Sabemos que la serie T tiene el mismo radio que la S y además /00 =/(a) +6 («-") + &2(*-o)2 + .- Es evidente, después de la proposición 14, que existe el límite de g (z). Puede asegurarse que el límite coincide con el valor de la serie derivada ,en a. Basta comparar las demostraciones de las proposiciones 13 y 15. — 5'9 — Por último, veamos que una función analítica es diferenciable. Usaremos la teoría de la diferenciabilidad desarrollada en J. Arias de Reyna (tesis). PROPOSICIÓN 16.—Sea A un álgebra de Abel; 1 : O -> A una función analítica. Sea a € Q. í es diferenciable en a y la diferencial tiene la forma D { (a) (x) = b • x. Donde' b €. A es el coeficiente de (z — a) en el desarrollo de f en el entorno de a. Sea /(^ =j(a) + b (s-a) + •&,(* —o)* + ... el desarrollo de / (s) en el entorno de a. Pongamos r(S~a) = f(2) — f(a)~b(3 — a) = b2(z-a)* + ... Basta probar que r es resto. r es continua en un entorno de O, luego dado K compacto que contiene a a, existe un entorno de a tal que r (V fi K) es relativamente compacto. Sólo queda ver que lira (1/í) r (t z) = O tornando el límite cuando t -> O y z €. K. Esto es lira (&2 t s2 + &3 t2 s3 + ...) = 0. Es decir, * • lim (&2 (./*) + b3(tz)* + ...) =0. Por ser K. compacto y la función 62* + b3 z* + bt zs + ... continua en cero, el resultado es trivial. Llamemos L A el conjunto de aplicaciones lineales continuas de A en A definidas por cada elementos a € A por ser x \—-*• a x. Hemos visto que si / es analítica en a, D / (a) € L A. Estas son precisamente las condiciones de Cauchy-Riemann en el caso c'ásico, de manera que podemos esperar la validez de la proposición :