Predictor intervalar basado en hiperplano soporte

Predictor Intervalar basado en hiperplano soporte J.M. Bravo, M.J. Vasallo y E. Cojocaru Departamento de Ingenier´ıa Electr´onica, de Sistemas Inform´aticos y Autom´atica, Universidad de Huelva email:{caro,manuel.vasallo}@uhu.es T. Alamo Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas y Autom´atica, Universidad de Sevilla email:[email protected] Resumen En este trabajo se aborda el problema de construir un modelo predictor. Dicho modelo debe ser capaz de predecir la salida futura de un sistema din´amico, haciendo uso de informaci´on pasada guardada en hist´oricos. Este trabajo se centra en el estudio de modelos predictores que proporcionan una predicci´on de tipo intervalar. Una predicci´on intervalar est´a compuesta por un l´ımite inferior y otro superior. La salida del sistema debe estar comprendida entre ambos l´ımites del intervalo. Dado un conjunto de datos obtenidos del sistema din´amico, la predicci´on intervalar se calcula utilizando hiperplanos soporte a dichos datos. Cualquier punto dentro del intervalo se puede utilizar como predicci´on puntual. En concreto, en este trabajo se propone la utilizaci´on del punto central entre hiperplanos soporte. La principal bondad del predictor propuesto es su capacidad de proporcionar predicciones donde el tama˜no del intervalo y el error de la predicci´on puntual est´an balanceados. Un par´ametro de dise˜no incluido en el predictor permite compensar dichos objetivos. Adem´as el trabajo propone una metodolog´ıa basada en validaci´on cruzada para realizar el ajuste de dicho par´ametro. El trabajo incluye un ejemplo con datos reales con el fin de ilustrar el comportamiento del predictor. Palabras clave: Predicci´on, error acotado, identificaci´on de sistemas. 1. INTRODUCCI ´ ON La mayor´ıa de los m´etodos de predicci´on se basan en un modelo matem´atico del sistema. Este modelo se puede obtener aplicando los principios f´ısicos que definen el funcionamiento del sistema. Sin embargo, el modelado de un sistema requiere los conocimientos de un experto y el ajuste de los par´ametros que se incluyan en el modelo. Otra opci´on es aplicar t´ecnicas de identificaci´on de sistemas [13]. Los m´etodos de identificaci´on de sistemas infieren modelos din´amicos a partir de datos. Uno de los m´etodos m´as utilizados es el basado en error de predicci´on. Dada una familia de modelos parametrizada y un conjunto de datos, estos m´etodos seleccionan el valor de los par´ametros que minimizan cierto criterio, por ejemplo, el error cuadr´atico de predicci´on. Una vez identificado el modelo, aplicando nuevas medidas se pueden obtener predicciones del futuro comportamiento del sistema. N´otese que con este esquema de trabajo, una vez seleccionado el modelo de sistema, el conjunto de datos usado para la identificaci´on ya no es necesario para realizar las predicciones. Una alternativa a lo expuesto en el p´arrafo anterior son los m´etodos no param´etricos [9]. Cuando se necesita una predicci´on, los m´etodos param´etricos acceden al conjunto hist´orico de datos del sistema y lo utilizan para construir la predicci´on requerida. En este contexto se han propuesto predictores basados en los vecinos m´as cercanos, linealizaci´on local o funciones kernel [8]. Los sistemas de control autom´atico utilizan sistemas predictores para optimizar su rendimiento. Ejemplos en este sentido los podemos encontrar en los sistemas de control predictivo [5] y en los sistemas de detecci´on y diagnosis de fallos [11]. Una extensi´on interesante de los sistemas de predicci´on son los predictores intervalares. Dichos predictores proporcionan una predicci´on intervalar basada en una cota inferior y otra superior. La predicci´on intervalar acota externamente el futuro comportamiento del predictor teniendo en cuenta perturbaciones, ruido o din´amicas no modeladas. Adem´as, un punto del intervalo se puede utilizar como predicci´on puntual. Los predictores intervalares son componentes importantes de sistemas de control robusto [3] o sistemas de detecci´on de fallos en presencia de incertidumbres [10, 6]. Una forma de obtener predictores intervalares es utilizar m´etodos de identificaci´on de sistemas basados en error acotado [14]. En este caso se considera que la salida del sistema est´a contaminada por un ruido desconocido pero acotado. Teniendo en cuenta una familia param´etrica de modelos, un conjunto de medidas y la acotaci´on del ruido, estos m´etodos obtienen el conjunto de par´ametros que es consistente con las medidas, la familia de modelos y el error acotado. Para acotar dicho conjunto de par´ametros se han utilizado diferen- XXXVIII Jornadas de Automática 547 tes figuras geom´etricas. Elipsoides, paralelotopos y zonotopos son las m´as conocidas [7, 16, 1] . Los m´etodos de acotaci´on tambi´en se pueden formular desde el punto de vista no param´etrico. En [15] se asume que el modelo pertenece a un conjunto de funciones con constante de Lipschitz acotada. En [4] se propone una familia de predictores intervalares que utiliza datos almacenados y norma-1 para acotar la predicci´on. En este trabajo se propone un predictor intervalar basado en el concepto de hiperplano soporte. Dado un conjunto de datos, el predictor calcula planos soporte superior e inferior a dicho conjun- to y los utiliza para proporcionar la predicci´on intervalar. Dichos planos se obtienen resolviendo un problema de optimizaci´on con restricciones convexo. El predictor incluye un par´ametro que permite balancear su rendimiento. En un l´ımite del valor del par´ametro, el m´etodo proporciona la predicci´on intervalar de menor anchura proporcionada por los hiperplanos soporte. En el l´ımite opuesto, el predictor minimiza los errores cuadr´aticos de la predicci´on puntual. Valores intermedios generan predicciones compensadas entre dichos extremos. En el art´ıculo se propone una metodolog´ıa basada en validaci´on cruzada para estimar el valor adecuado de dicho par´ametro. El m´etodo propuesto presenta una serie de ventajas respecto a otros m´etodos conocidos para obtener predictores intervalares. A diferencia de los m´etodos basados en error acotado, no es necesario conocer a priori una cota del error en las medidas. Tampoco es necesario asumir como conocida la distribuci´on estad´ıstica del error asociado a las medidas, informaci´on s´ı necesaria para obtener intervalos de confianza en el contexto estoc´astico. Finalmente, el m´etodo propuesto est´a relacionado con la regresi´on cuantil [12]. En regresi´on basada en cuantiles, se resuelve un problema de optimizaci´on que pondera la penalizaci´on de errores de signo positivo o negativo. La principal ventaja del m´etodo propuesto respeto la regresi´on cuantil, es la posibilidad antes comentada de poder balancear el rendimiento de la predicci´on puntual y la intervalar. En la Secci´on 2 se formular el problema. El predictor propuesto se presenta en la Secci´on 3. Algunas consideraciones pr´acticas se pueden consultar en la Secci´on 4. La Secci´on 5 muestra un ejemplo que ilustra el m´etodo propuesto. Finalmente algunas conclusiones y trabajo futuro se pueden ver en las Secciones 6 y 7. 2. FORMULACI ´ ON DEL PROBLEMA Consid´erese un sistema din´amico en tiempo discreto. En el instante de tiempo k,yk∈IR denota una salida medida del sistema y xk∈X⊆IRnx, siendo Xun conjunto compacto, un vector de medidas del sistema. Este vector puede incluir, por ejemplo, medidas pasadas de entradas y salidas del sistema. La formulaci´on matem´atica que relaciona ykyxkes desconocida. Dado el vector xk, el problema planteado en este trabajo es obtener un intervalo IPD(xk) = [yk, yk] tal que yk≤yk≤yk. El predictor intervalar propuesto se basa en tomar un conjunto Dde datos de entrada y salida del sistema e identificar un modelo de predicci´on. La Hip´otesis 1 establece la necesidad de disponer de dicho conjunto. Hip´otesis 1 Se dispone de un conjunto D= {(xi, yi), con i = 1, ..., N}de medidas del sistema obtenido con un nivel de excitaci´on adecuado. La futura capacidad de predicci´on del modelo est´a relacionada con la similitud del comportamiento futuro y pasado del sistema al que se aplica. Todo sistema de inferencia se basa en ese principio. Por ejemplo, si estamos en el contexto estoc´astico, se asume que las propiedades de dos muestras aleatorias de una misma variable deben ser muy similares. En el presente trabajo, la Hip´otesis 2 concreta el concepto de similitud que se asume a la hora de aplicar el predictor intervalar propuesto. Hip´otesis 2 Sean DAyDBdos conjuntos de datos de entrada-salida obtenidas del sistema a partir de una excitaci´on adecuada. La envolvente convexa del conjunto DAtiende a ser la misma que la envolvente convexa del conjunto DBcuando el n´umero de muestras crece. 3. PREDICTOR PROPUESTO Tal y como se coment´o en la Introducci´on, el predictor intervalar se basa en el concepto de hiperplano soporte [2]. Definici´on 1 (Hiperplano soporte) Dado un conjunto Cy un punto zo∈bdCen la frontera de C. Si β= 0 satisface βTz≤βTzopara todo z∈ C, entonces el hiperplano {z:βTz=βTz0} es un hiperplano soporte a Cen el punto z0. Existen muchas formas de obtener un hiperplano soporte a un conjunto dado. En la siguiente definici´on se establece un tipo de hiperplano que tal y como se muestra en la Propiedad 1 es soporte al XXXVIII Jornadas de Automática 548 conjunto D. Este hiperplano soporte es una de las ideas en las que se apoya el predictor intervalar desarrollado. Definici´on 2 Dado el conjunto Dse define el hiperplano HDcomo HD={[xTy]T: [xT1]θ∗−y= 0} donde θ∗se obtiene resolviendo el problema de optimizaci´on min θ N ∑ i=1 (yi−[xT i1]θ)2(1) s.t. [xT i1]θ≤yii= 1, ..., N. Propiedad 1 Una propiedad interesante del hiperplano HDes que es un hiperplano soporte a D. Prueba. Para realizar la demostraci´on hay que probar que el hiperplano HDincluye al menos uno de los puntos del conjunto Dy que el resto de puntos est´an en uno de los semiespacios creados por el hiperplano. Se procede a la demostraci´on por reducci´on al absurdo. Supongamos que θ∗cumple las restricciones del problema y no contiene a ning´un punto. Esto es equivalente a decir que las restricciones del problema de optimizaci´on se cumplen de forma estricta: [x⊤ i1]θ∗< yi,i= 1, . . . , N. Esto se puede expresar diciendo que [xT i1]θ∗=yi−ϵi, donde ϵi>0, i= 1, . . . , N. Entonces, tomando s=arg min i=1,...N ϵi, se puede definir ˆ θ=θ∗+     0 . . . 0 1     ϵs. Por definici´on: [x⊤ i1]ˆ θ= [x⊤ i1]θ∗+ϵs =yi−ϵi+ϵs≤yi−ϵi+ϵi=yi. De lo anterior se deduce que ˆ θes una soluci´on factible al problema. Por otro lado, n´otese que (yi−[x⊤ i1]ˆ θ)2= (yi−[x⊤ i1]θ∗−ϵs)2 = (ϵi−ϵs)2 < ϵ2 i = (yi−[x⊤ i1]θ∗)2. Finalmente sumando la anterior desigualdad desde i= 1 hasta i=Nobtenemos que: N ∑ i=1 (yi−[xT i1]ˆ θ)2< N ∑ i=1 (yi−[xT i1]θ∗)2. 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x y Set D IPD(⋅) con γ>>0 IPD(⋅) con γ=0 yk * Figura 1: Ejemplo de aplicaci´on de IPD(·). Pero esto contradice la optimalidad de θ∗. Se ha demostrado pues que [x⊤ i1]⊤θ∗≤yi, i = 1, . . . , N. donde la desigualdad se hace igualdad al menos en un ´ındice s. Es decir, existe stal que [x⊤ s1]θ∗= ys. Si restamos esta igualdad a las desigualdades anteriores obtenemos [(xi−xs)⊤0]⊤θ∗≤yi−ys, i = 1, . . . , N. Denotando ξ∗a las primeras ncomponentes de θ∗ se obtiene (xi−xs)⊤ξ∗≤yi−ys, i = 1, . . . , N. Finalmente hacemos β=[ξ∗ −1]. Con esta definici´on [x⊤ iyi]β≤[x⊤ sys]β, i = 1, . . . , N. Observaci´on 1 Por definici´on se tiene que [xT i1]θ∗≤yipara i= 1, ..., N. Por tanto, el hiperplano HDacota inferiormente a la envolvente convexa del conjunto Den la componente y. Adem´as, por la Propiedad 1, esta cota es ajustada pues existe un ´ındice stal que [xT s1]θ∗=ys. El problema de optimizaci´on (2) se puede modificar para obtener un hiperplano que acote superiormente el conjunto Den la componente y. Bastar´ıa con cambiar el sentido de las desigualdades, XXXVIII Jornadas de Automática 549 esto es, [xT i1]θ≥yicon i= 1, ..., N. Esta idea nos permite proponer un predictor intervalar para la salida del sistema. El predictor obtiene sendos hiperplanos que acotan superiormente e inferiormente la envolvente convexa del conjunto Den la componente y. Definici´on 3 Dado un vector xkse define el predictor intervalar IPD(xk) = [yk, yk]donde yk= [xT i1]θ∗−α∗ yk= [xT i1]θ∗+α∗ y siendo θ∗,θ∗,α∗yα∗las soluciones ´optimas de los problemas de optimizaci´on m´ın θ,α N ∑ i=1 (yi−[xT i1]θ)2+γα s.t. [xT i1]θ≤yi+α i = 1, ..., N (2) α≥0 m´ın θ,α N ∑ i=1 (yi−[xT i1]θ)2+γα s.t. [xT i1]θ≥yi−α i = 1, ..., N (3) α≥0 donde γ > 0es un par´ametro de dise˜no. As´ı mismo se propone como predicci´on puntual y∗ k=1 2[xT k1](θ∗+θ∗). En la figura 1 se muestra un ejemplo num´erico del predictor propuesto. El conjunto de puntos representa el conjunto D. Las acotaciones intervalares obtenidas para γ= 0 y γ >> 0 se muestra con l´ıneas discontinuas y continuas respectivamente. La linea central punteada es la predicci´on puntual obtenida con γ= 0. Observaci´on 2 N´otese que las variables ¯α, α son redundantes en (2) y (3), ya que aplicando las igualdades ¯α=max i=1,...,N{0, yi−rT i¯ θ}yα= max i=1,...,N{0, rT iθ−yi}es posible reformular los problemas de optimizaci´on (2) y (3) como problemas de optimizaci´on convexos pero sin restricciones. En este caso, es sencillo ver que que cuando γ= 0, los problemas de optimizaci´on (2) y (3) son equivalentes a un solo problema de optimizaci´on lineas cuadr´atico sin restricciones. Por otro lado, las formulaciones (2) y (3) son muy cercanas a la formulaci´on est´andar de los problemas de optimizaci´on QPs, lo que facilita su implementaci´on en un computador. El predictor propuesto tiene un conjunto de caracter´ısticas que se comentan a continuaci´on. Lo primero que hay que destacar es que se puede considerar que la Definici´on 3 proporciona una familia de predictores intervalares parametrizada en γ. Si γ= 0 entonces θ∗=θ∗=θLS donde θLS = (ΩTΩ)−1ΩTYcon Ω = [r1ri... rN]T, ri= [xi1], i= 1, ..., N yY= [y1y2... yN]. De lo anterior se deduce que cuando γ= 0, la predicci´on puntual y∗ kes ´optima desde el punto de vista del error cuadr´atico de predicci´on, de hecho, es la predicci´on obtenida mediante m´ınimos cuadrados. As´ı mismo, teniendo en cuenta que α∗= max i=1,...,N{0, rT iθLS −yi}yα∗= max i=1,...,N{0, yi− rT iθLS}, se tiene que yk−yk≥α∗+α∗. Esta propiedad es importante porque se garantiza que para todo xk∈Xsiempre existe un valor de γ≥0 tal que yk≤y∗ k≤yk, asegur´andose de esta forma la consistencia de los l´ımites en la predicci´on. Por otro lado, cuando γ→ ∞ se tiene que α∗, α∗→0. La consecuencia es que los problemas de optimizaci´on (2) y (3) pertenecen a la clase presentada en la Definici´on 2. Por tanto, las soluciones ´optimas θ∗yθ∗proporcionan sendos hiperplanos soporte que acotan externa y ajustadamente el conjunto D. En este caso la predicci´on intervalar tiende a ser m´as ajustada que cuando γ→0, pero se pierde la optimalidad de la predicci´on puntual. Como resumen de lo expuesto anteriormente, el predictor intervalar propuesto incluye un par´ametro γa definir por el usuario que permite balancear el tama˜no del intervalo obtenido y el error de la predicci´on puntual. En la siguiente secci´on se proporciona un m´etodo emp´ırico que permite ajustar dicho par´ametro a partir del conjunto de datos D. 4. Consideraciones Pr´acticas El predictor intervalar propuesto IPD(·) asume el contenido de la Hip´otesis 2. Sin embargo, al igual que en cualquier sistema de inferencia, la comprobaci´on de las hip´otesis de trabajo no es sencilla. Sin embargo, hay otra forma de proceder. Dado un conjunto de datos, lo que s´ı se puede comprobar es si dichos datos son compatibles con las hip´otesis asumidas. En este art´ıculo se propone un esquema de trabajo basado en validaci´on cruzada que permite rechazar la validez de lo asumido. El esquema de chequeo se basa en la Dµ-consistencia del par´ametro de dise˜no γ. B´asicamente la idea es, fijado un valor de γ, comprobar qu´e n´umero de salidas yidel conjunto de datos Dse predicen de forma correcta, esto es yi∈IPDi(xi), utilizando el predictor propuesto y el conjunto de puntos Di=D \ {(xi, yi)}. N´otese que la pareja (xi, yi) XXXVIII Jornadas de Automática 550 se ha eliminado del conjunto Dpara realizar la validaci´on cruzada. La Definici´on 4 formaliza esta idea. Definici´on 4 Dado el predictor intervalar IPD(·) y un valor µ∈[0,1], el par´ametro γes Dµconsistente si 1 N N ∑ i=1 I{IPDi(xi)}(yi)≥µ donde I{A}(y) = {1si y ∈A 0si y ∈ A es la funci´on indicador y Di=D \ {(xi, yi)}. La comprobaci´on de la Dµ-consistencia de cierto valor del par´ametro γse puede realizar mediante el Algoritmo 1. Algoritmo 1: Dµ-consistencia(D, γ, µ) cont = 0; for i = 1:N Obtener Di=D \ {(xi, yi)} if yi∈IPDi(xi) cont = cont+1 endif endfor if cont N≥µ return true else return false endif End N´otese que un valor γque sea D1-consistente implica que para todas las medidas yidel conjunto Dse cumple que yi∈IPDi(xi). Sin embargo, exigir µ= 1 puede ser demasiado estricto para ciertos problemas, provocando una degradaci´on de los resultados. Por ejemplo, puede haber din´amicas puntuales no recogidas por el modelo, o bien, los datos pueden tener valores extra˜nos, outliers, que invaliden las predicciones intervalares. Este problema u otros similares se pueden atenuar permitiendo valores de µmenores a 1. Por ´ultimo, el usuario debe seleccionar un valor concreto de γ. Una leve ampliaci´on del Algoritmo 1 nos puede permitir realizar dicha elecci´on. Fijado un valor µ, se puede tomar como γel valor Dµconsistente que proporcione el mejor rendimiento en alg´un sentido. Por ejemplo se puede tomar el valor de γque sea Dµ-consistente y minimice el tama˜no medio de la anchura de la predicci´on intervalar. En este art´ıculo se propone la utilizaci´on de un valor de γque balancee el tama˜no del intervalo y el error de la predicci´on puntual. En la siguiente secci´on se presenta un ejemplo de dicha elecci´on. 0 50 100 150 200 250 300 350 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 k yk Figura 2: Serie Temporal Sunspot Numbers. 5. Ejemplo Para ilustrar el nuevo predictor intervalar se ha considerado el problema de predecir una serie temporal denominada Sunspot Numbers (ver Figura 2). Esta serie temporal es interesante ya que es un ejemplo del mundo real, los datos son p´ublicos y su predicci´on es relevante en muchos campos de aplicaci´on. La serie est´a compuesta por 314 datos, desde el a˜no 1700 hasta 2013 y reflejan el n´umero de manchas solares presentes. Los primeros 219 datos se han utilizado para construir el conjunto D. Los restantes 70 datos se han incluido en un conjunto de test. Se ha considerado un predictor a un paso donde xk= [yk−1yk−2... yk−9]T. En la Secci´on 4 se ha propuesto un m´etodo para estimar el valor del par´ametro γa utilizar. Con el fin de comprobar la efectividad del m´etodo se utilizar´a el conjunto Dy el m´etodo basado en validaci´on cruzada presentado en la Secci´on 4 para estimar el par´ametro γ. Finalmente se probar´a el rendimiento de diferentes valores de γen el conjunto de test y se comprobar´a que el mejor valor de γes muy cercano al estimado mediante validaci´on cruzada y D. Se propone una primera m´etrica que mide el error cometido por la predicci´on puntual al predecir la serie real, se utiliza la ra´ız del error cuadr´atico medio (RMSE). RMSEγ=v u u t1 N N ∑ i=1 (y∗ i−yi)2.(4) Por otro lado se considera una segunda m´etrica que mide la anchura de los intervalos de predicci´on XXXVIII Jornadas de Automática 551 0 10 20 30 40 50 0.92 0.94 0.96 0.98 1 γ µ Validación cruzada Conjunto de Test 0 10 20 30 40 50 0 20 40 60 γ α α∗ α∗ Figura 3: Coeficiente α∗y par´ametro µ. obtenidos. El ´ındice INT se define mediante INTγ=1 N N ∑ i=1 (yi−yi). Se propone una m´etrica BMγque mide el rendimiento balanceado de las dos m´etricas INTγy RMSEγ. Esta m´etrica viene definida por la expresi´on : BMγ=(INTγ−INT INT −INT +RMSEγ−RMSE RMSE −RMSE ) donde INT ,INT ,RMSE yRMSE son los valores m´aximo y m´ınimos alcanzado por las m´etricas INTγyRMSEγ. En la Figura 3 superior se puede ver las evoluciones de los coeficientes ´optimos α∗yα∗respecto los posibles valores de γ. Cuando γ= 0, α∗yα∗ tienen su valor m´aximo pues en ese caso la predicci´on puntual viene dada por θ∗=θ∗=θLS y son α∗yα∗quienes definen la anchura del intervalo. En el otro extremo α∗yα∗tienden a cero y son los vectores ´optimos θ∗yθ∗quienes definen el intervalo de predicci´on. En la Figura inferior se representa el valor µm´aximo alcanzado para cada valor de γ. Se puede observar que el perfil obtenido por validaci´on cruzada en Dy el obtenido en el conjunto de test es muy parecido. Por otro lado, al incrementarse γ, la predicci´on intervalar se ajusta m´as por lo que normalmente se decrementa la Dµ-consistencia obtenida. En la Figura 4 se comparan las m´etricas INTγy RMSEγobtenidas por validaci´on cruzada en D y las obtenidas en el conjunto de test. Como se puede apreciar los perfiles son muy parecidos. Por otro lado es normal que los valores obtenidos en el conjunto de entrenamiento Dsean mejores que los obtenidos en el conjunto de test, a pesar de usar 0 10 20 30 40 50 40 60 80 100 γ INTγ Validación cruzada Conjunto de Test 0 10 20 30 40 50 14 16 18 20 22 γ RMSEγ Validación cruzada Conjunto de Test Figura 4: M´etricas INTγyRMSEγ. 240 250 260 270 280 290 300 310 320 −50 0 50 100 150 200 250 k yk ID(xk) Figura 5: Predicci´on intervalar con γ= 4. 240 250 260 270 280 290 300 310 320 −50 0 50 100 150 200 250 300 k yk ID(xk) Figura 6: Predicci´on intervalar con γ= 11. XXXVIII Jornadas de Automática 552 0 2 4 6 8 10 12 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 γ BMγ Validación cruzada Conjunto de Test Figura 7: M´etrica BMγ. validaci´on cruzada en entrenamiento. Tambi´en parece razonable que cuando el par´ametro de dise˜no γcrece, la m´etrica INTγmejora y por otro lado RMSEγempeora. Con el fin de balancear el comportamiento de ambas m´etricas, se propone BMγ. N´otese que la m´etrica RMSE0ser´ıa la obtenida por un modelo autoregresivo AR(9) ajustado mediante m´ınimos cuadrados. Fijado µ= 0,95, en la figura 7 se compara la m´etrica BMγobtenida por validaci´on cruzada en Dy las obtenidas en el conjunto de test para los valores D0,95-consistentes de γ. Como se puede observar el m´ınimo se obtiene para γ= 4 en validaci´on cruzada, siendo ese valor tambi´en muy cercano al m´ınimo en el conjunto de test. Por tanto se pueden se extraen dos conclusiones. El mejor valor de γpara obtener un balanceo ´optimo es un valor intermedio (en este caso γen torno a 4) y por tanto queda justificado el predictor propuesto. Y la segunda conclusi´on es que el esquema de validaci´on cruzada propuesto en este art´ıculo, se puede utilizar en este ejemplo para inferir un buen valor de γ. En la Tabla 1 se muestran los valores extremos de INTγyRMSEγen valiaci´on cruzada y test para los valores D0,95-consistentes de γ. Cuadro 1: Valores extremos INT INT RMSE RMSE V.C. 92.8 58.35 14.69 14.36 Test 93.0 68.7 20.42 19.33 Finalmente, en las figuras 5 y 6 se pueden observar las predicciones intervalares (lineas punteadas) obtenidas en el conjunto de test para el valor ´optimo γ= 4 asociado a BMγy el valor γ= 11 que est´a cerca del l´ımite de la D0,95-consistencia. Como se puede observar la predicci´on intervalar para γ= 11 tiene menor anchura a costa de incluir cier- to desv´ıo en la predicci´on puntual (l´ıneas discontinuas). Los valores reales se muestran en l´ıneas continuas. 6. Conclusiones Este trabajo ha presentado una nueva metodolog´ıa para dise˜nar predictores intervalares que permitan acotar externamente la salida futura de un sistema din´amico. El m´etodo est´a basado en el concepto de hiperplano soporte. La predicci´on intervalar se obtiene aplicando un modelo de predicci´on que se ha identificado resolviendo un problema de optimizaci´on convexo. El m´etodo incluye un par´ametro que permite balancear el tama˜no de la predicci´on intervalar y el error de la predicci´on puntual. El valor de dicho par´ametro se puede estimar utilizando validaci´on cruzada en un conjun- to de datos obtenidos del sistema. Como ventajas objetivas del m´etodo presentado frente a otras metodolog´ıas, se tiene que no es necesario conocer a priori una cota m´axima del ruido asociado a una medida, ni tampoco asumir ciertas funciones de distribuci´on aleatorias en dicho ruido. Es importante indicar que ese conocimiento a priori condiciona claramente los resultados obtenidos en esas metodolog´ıas alternativas. Finalmente indicar que el m´etodo incluye la identificaci´on de modelos lineales mediante m´ınimos cuadrados como caso particular. 7. Trabajo futuro En esta secci´on se establecen algunas l´ıneas de trabajo futuras para mejorar el funcionamiento del predictor. Una primera l´ınea ser´ıa incluir pesos en la funci´on de coste de los problemas de optimizaci´on (2) y (3). El objetivo de los pesos es obtener planos soporte ajustados en un entorno al vector de inter´es xk. La ventaja de esa ampliaci´on ser´ıa un mejor ajuste de la predicci´on intervalar, siendo la principal desventaja el tener que resolver los problemas de optimizaci´on (2) y (3) cada vez que se realiza una predicci´on. Este esquema de trabajo no captura comportamientos locales cuando el conjunto de puntos no es convexo. En ese caso se puede a˜nadir a las variables αyαun componente local del tipo ||xi−xk|| que permite ajustar los planos soporte localmente a zonas de inter´es. Por otro lado, si se conoce una cota superior del posible ruido presente en las medidas yi, se puede a˜nadir dicha cota al predictor intervalar para obtener planos soporte m´as robustos y por tanto ampliar las predicciones intervalares. Estas ampliaciones y otras ser´an abordadas en pr´oximos XXXVIII Jornadas de Automática 553 trabajos. Agradecimientos Esta investigaci´on ha sido financiada por DPI2013-48243-C2-2-R, DPI2016-76493-C3-1-R y DPI2016-76493-C3-2-R del MEC de Espa˜na. Referencias [1] T. Alamo, J. M. Bravo, and E. F. Camacho. Guaranteed state estimation by zonotopes. Automatica, 41(6):1035–1043, 2005. [2] S. Boyd and L. Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004. [3] J. M. Bravo, T. Alamo, and E. F. Camacho. Robust MPC of constrained discretetime nonlinear systems based on approximated reachable sets. Automatica, 42(10):1745 – 175, 2006. [4] J. M. Bravo, T. Alamo, M. Vasallo, and M. E. Gegundez. A general framework for predictors based on bounding techniques and local approximation. IEEE Transactions on Automatic Control, In press, 2017. [5] E.F. Camacho and C. Bordons. Model Predictive Control. Springer Verlag, 2 edition, 1999. [6] Christophe Combastel. 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