La incidencia de las condiciones crediticias en la accesibilidad a la vivienda en España (1995-2007)

luis a. hierro/rosario gómez-álvarez/pedro atienza 69 la incidencia de las condiciones crediticias en la... cuadernos de cc.ee. y ee., nº 55, 2008, pp. 69-89 LA INCIDENCIA DE LAS CONDICIONES CREDITICIAS EN LA ACCESIBILIDAD A LA VIVIENDA EN ESPAÑA (1995-2007)* Luis Ángel Hierro Recio Rosario Gómez-Álvarez Díaz Pedro Atienza Montero** RESUMEN: El objetivo del presente trabajo es analizar el efecto de las condiciones crediticias en la accesibilidad a la vivienda. Tras un repaso de los indicadores de accesibilidad, se analiza cómo las condiciones crediticias determinan las diferencias en la evolución de los dos principales indicadores de accesibilidad y se estima la incidencia de las condiciones crediticias en el esfuerzo familiar en la adquisición de la vivienda, lo que permite deducir en qué medida la mejora en las condiciones crediticias ha permitido a las familias absorber el fuerte crecimiento de los precios de la vivienda. Finalmente se plantea la cuestión de cómo el alargamiento de los plazos de amortización puede producir ilusión financiera en las familias. PALABRAS CLAVE: accesibilidad de la vivienda, precio de la vivienda, mercado inmobiliario, préstamos hipotecarios, condiciones crediticias. CÓDIGOS JEL: G21, R21 Códigos UNESCO: 5304.06, 5312.99 (vivienda) ABSTRACT: The objective of this paper is to examine the effect of credit terms on the affordability of housing. After a review of the indicators of affordability, we analyse how the credit terms determine the differences in the evolution of the two major main indicators of affordability and we estimate the incidence of credit terms in the effort on the part of families in the purchase of housing. This shows to what extent the improvement in credit terms has enabled families to cope with the strong growth in housing prices. Finally, we consider the question of how lengthening repayments periods can bring about financial illusion in the families. KEY WORDS: affordability to housing, housing prices, housing market, mortgage loan, credit terms (*) Original recibido en marzo de 2007 y revisado en enero de 2008. (**) Profesores del Departamento de Historia e Instituciones Económicas y Economía Aplicada de la Universidad de Sevilla. luis a. hierro/rosario gómez-álvarez/pedro atienza 70 la incidencia de las condiciones crediticias en la... cuadernos de cc.ee. y ee., nº 55, 2008, pp. 69-89 1. MIDIENDO LA ACCESIBILIDAD A LA VIVIENDA dentro del campo de la investigación económica que se encarga del estudio de la vivienda uno de los aspectos que tradicionalmente ha producido más preocupación ha sido la accesibilidad a la vivienda en propiedad, es decir, la medición del sacrificio que las familias deben realizar para disponer de un inmueble que satisfaga sus necesidades de residencia mediante la adquisición del mismo. la dedicación académica a esta cuestión viene siendo recurrente desde la década de los 90 tanto en españa1 como en otros países desarrollados2, cobrando especial relevancia en los últimos años. al respecto de este tipo de trabajos es ya tradicional la publicación de indicadores de accesibilidad por parte del servicio de estudios del BBva3, heredero en esta materia del Banco hipotecario, y más recientemente del Banco de españa4. en ambos casos se presentan indicadores de accesibilidad de dos tipos: los que valoran el precio de la vivienda en términos relativos y los que consideran los pagos hipotecarios de las familias. en efecto, tradicionalmente se utilizan dos ratios para aproximar una valoración de la accesibilidad: uno que vamos a denominar precio relativo de la vivienda (en adelante prv5) y otro que designaremos como esfuerzo económico Familiar en vivienda (en adelante eFv6). el prv es fruto de relativizar el precio de la vivienda en función a la retribución obtenida por las familias, e indica el número de años que serían necesarios para financiar una vivienda estándar si la unidad familiar dedicase toda la renta al pago de la misma. analíticamente, si denominamos Pv al precio de la vivienda e Y a la renta familiar anual podemos expresar el precio relativo de la vivienda mediante el cociente: (1) a su vez, dado que la renta que se suele tomar como referencia es la salarial, es factible mejorar la información aportada por el indicador desagregándolo en dos (1) Ver Levenfeld, Gómez (1993); Aurtenetxe, Henry (1996); Pedro, Sanchís (2000); Trujillo (2005), Rodríguez (1996, 2005); CES (2002); Salas Ríos (2004) o Navarro Ruiz (2006). (2) Ver Chaplin, Martin, Yang y Whitehead (1994); Hancock (1993); Kutty (2005), Stone (2006), Cox, Pavletich (2007). (3) La publicación del boletín de “Situación Inmobiliaria”, ahora de carácter electrónico y accesible en http://serviciodeestudios.bbva.com, es la que tradicionalmente se ha ocupado de publicitar dichos indicadores. (4) Los indicadores de accesibilidad del Banco de España se pueden consultar en www.bde.es, “Síntesis de Indicadores económicos. Indicadores del mercado de la vivienda”. Otra fuente alternativa es la Asociación Hipotecaria Española que publica diferentes informes no periódicos en su web. Desde el 2004 el Colegio de Registradores de la Propiedad publica informes en los que ofrecen ratios de accesibilidad y desde 2002 también lo hacen los informes del Observatorio Joven de Vivienda en España, dependiente del Consejo de Juventud de España. Un estudio comparativo de diferentes ratios de accesibilidad empleados en España se puede consultar en Mullor (2007). (5) Al que el Banco de España denomina “ratio precio-renta” y el BBVA “precio/salario”. (6) El Banco de España lo designa como “esfuerzo teórico anual” y el BBVA como “cuota/renta ponderada familiar”. PRV =Pv Y luis a. hierro/rosario gómez-álvarez/pedro atienza 71 la incidencia de las condiciones crediticias en la... cuadernos de cc.ee. y ee., nº 55, 2008, pp. 69-89 componentes: la retribución de los sujetos y la situación laboral de los distintos miembros de la unidad familiar, con lo que el indicador podría expresarse como: (2) siendo Ye la renta por empleado y l el número medio de empleados por hogar. por su parte, con el ratio eFv se cuantifica el porcentaje de renta anual o mensual que una familia debe destinar al pago del préstamo hipotecario con el que se financia la adquisición de la vivienda, considerando que la misma se endeuda según las condiciones crediticias estándar del mercado. así, si denominamos CPH a la cuota abonada por el préstamo hipotecario, expresada en términos anuales, el esfuerzo económico familiar en vivienda viene dado por: (3) tomando un sistema de amortización de préstamos de cuota anual constante, que es el tradicional en españa: (4) siendo r el porcentaje del precio de la vivienda financiado mediante el préstamo hipotecario y VA el valor actual de una renta pospagable a un tipo de interés i y un plazo de amortización n, suponiendo que ambos se corresponden con los valores medios vigentes en el mercado en el periodo en cuestión para los préstamos hipotecarios7. teniendo en cuenta la descomposición de la renta señalada con anterioridad obtendríamos que: (5) (7) Con carácter general el Banco de España asigna a r un valor del 80% como aproximación a las condiciones estándar del mercado. En cuanto al tipo de interés, hasta diciembre de 2002, el Banco de España utilizaba el TAE correspondiente a los tipos declarados por las entidades en el marco de la Circular del BE 8/1990, mientras que a partir de enero de 2003, se corresponde con los tipos declarados en el marco de la Circular 4/2002. En relación a n, el Banco de España lo calcula según los datos oficiales de las hipotecas registradas publicados desde el 2004, conforme a la información del Colegio de Registradores de la Propiedad. Los periodos anteriores fueron calculados por el Banco de España mediante una interpolación lineal, de la que resultó un perfil temporal anual muy similar al recogido por la Asociación Hipotecaria a partir de la información suministrada por sus asociados. En Martínez Pagés (2005) se explica la metodología aplicada por el Banco de España para la evaluación de la accesibilidad. PRVPv lYe =· EFVCPH Y = CPHrPv VA ni rPvi in == −+ − · (,)·()11 EFVlYe Pv ri in =⋅⋅ −+ − 1 11 ··() luis a. hierro/rosario gómez-álvarez/pedro atienza 72 la incidencia de las condiciones crediticias en la... cuadernos de cc.ee. y ee., nº 55, 2008, pp. 69-89 en teoría, dado que ambos indicadores se toman como representativos de la accesibilidad deberían mantener un comportamiento similar, de forma que un deterioro de la accesibilidad vendría representado en ambos casos como un aumento del índice y viceversa. dicho de otra forma, ambos indicadores deberían mantener comportamientos en cuanto a proporción y sentido de variación similares si queremos considerarlos indicativos de un mismo concepto; sin embargo, como vamos a ver a continuación, esto no tiene que ocurrir forzosamente dado que entre ambos indicadores existe una diferencia sustancial. en efecto, la disparidad en la evolución de los indicadores para el caso español durante los últimos años queda puesta de manifiesto en el cuadro 1, donde aparecen los valores de los indicadores para el período 1995-2007, así como las variables que intervienen en su cálculo. tomando como referencia la evolución de EFV, se aprecia que entre 1995 y 1999 se produce una drástica reducción de más de 17 puntos porcentuales en el valor del indicador, pasando del 38,33% en el primer año al 21,21% en 1999, mínimo de la serie considerada, lo que sería representativo de una sensible mejora de la accesibilidad durante dicho período ya que las familias tendrían que dedicar una menor parte de su renta a los pagos hipotecarios. sin embargo, a partir de 2000 el EFV comienza una senda alcista, primero de forma leve y ya de forma más aguda en los últimos años de la serie, hasta alcanzar un valor del 35,16% en 2007, es decir, con un crecimiento acumulado entre 2000 y 2007 de más de 12 puntos porcentuales de la renta familiar. por el contrario, si analizamos la evolución de PRV, éste sólo desciende levemente hasta 1997, donde alcanza el mínimo de la serie, y a partir de ahí comienza una escalada sistemática hasta casi duplicar el valor del índice, destacando sobremanera el importantísimo incremento producido durante los años 2002 a 2005. luis a. hierro/rosario gómez-álvarez/pedro atienza 73 la incidencia de las condiciones crediticias en la... cuadernos de cc.ee. y ee., nº 55, 2008, pp. 69-89 Cuadro 1 aCCesibilidad a la vivienda en españa durante el período 1995- 2007 Fuente: elaboración propia a partir de las siguientes fuentes: precio de la vivienda: ministerio de la vivienda Base 2005. el ministerio publica el precio medido del metro cuadrado en españa. el precio medio de la vivienda se calcula suponiendo que los metros cuadrados construidos son 93,75, según la metodología seguida por el Banco de españa (martínez pagés, 2005, p. 62). remuneración de asalariados: contabilidad nacional trimestral, ine, Base 2000, remuneración asalariados a precios corrientes, datos brutos. nº de empleados: epa, ine, Base 2005. nº de hogares: epa, ine. metodología 2005 tipos de interés: Banco de españa, “indicadores del mercado de la vivienda”. plazos de amortización: el colegio de registradores suministra al ine información sobre los plazos de los nuevos préstamos hipotecarios contratados. esta información está disponible desde el año 2004, si bien en Estadística Registral Inmobiliaria. 2004, del colegio de registradores, se especifica que el plazo medio para el año 2003 fue de 24 años. los plazos de los años anteriores se han tomado del ahe, datos cuya fiabilidad como datos aproximados es ratificada por el Banco de españa (martínez pagés (2005)). * para el año 2007 se ha tomado el valor medio de los dos primeros trimestres del año. en el gráfico 1 se representan las tasas de variación de ambos indicadores, en principio representativos de la accesibilidad a la vivienda de las familias. en él podemos apreciar la gran discrepancia existente en la evolución de los indicadores, llegando incluso a presentar comportamientos con signos opuestos, como ocurre año indicadores de accesibilidad variables determinantes de la accesibilidad esfuerzo económico Familiar en vivienda precio relativo de la vivienda precio de la vivienda (euros) renta por empleado (euros) número medio de empleados por hogar tipo de interés (%) plazo de amortización (años) condiciones de financiación (eFv) (prv) (pv) (Ye) (l) (i) (n) (f) 1995 0,3833 3,56 64.033,59 17.514,83 1,028 11,29 17,00 0,1078 1996 0,3302 3,46 64.903,13 17.939,18 1,046 9,67 18,00 0,0955 1997 0,2604 3,35 66.717,19 18.656,32 1,068 7,06 19,00 0,0777 1998 0,2311 3,39 70.589,06 19.087,71 1,092 5,74 20,00 0,0683 1999 0,2121 3,46 75.998,44 19.447,91 1,128 4,79 21,00 0,0612 2000 0,2307 3,54 82.521,09 20.049,01 1,164 5,79 22,00 0,0652 2001 0,2392 3,73 90.656,25 20.560,42 1,182 5,84 23,00 0,0641 2002 0,2391 4,18 104.915,63 21.182,92 1,184 4,85 24,00 0,0571 2003 0,2431 4,75 123.400,78 21.711,55 1,196 3,75 24,00 0,0511 2004 0,2668 5,42 144.932,81 22.119,98 1,209 3,41 24,08 0,0492 2005 0,2870 6,02 165.093,75 22.218,93 1,234 3,40 25,30 0,0476 2006 0,3222 6,43 182.275,78 22.765,83 1,245 4,20 26,98 0,0501 2007* 0,3516 6,55 191.203,13 23.361,27 1,250 5,00 28,00 0,0537 luis a. hierro/rosario gómez-álvarez/pedro atienza 74 la incidencia de las condiciones crediticias en la... cuadernos de cc.ee. y ee., nº 55, 2008, pp. 69-89 los años 1998, 1999 y 2002. ello muestra que ambos indicadores no pueden ser tomados sin más como indicadores de la accesibilidad a la vivienda, siendo procedente, en consecuencia, un análisis más pormenorizado de sus disparidades, que como veremos a continuación tienen su origen en la variación de las condiciones crediticias. Gráfico 1. tasas de variación interanual de los indicadores de accesibilidad durante el período 1995/2007. Fuente: elaboración propia a partir del cuadro 1. 2. EL IMPACTO DE LA VARIACIÓN DE LAS CONDICIONES CREDITICIAS EN LA ACCESIBILIDAD A LA VIVIENDA en efecto, si para simplificar denominamos f a una función representativa de las condiciones estándar de financiación de la vivienda: (6) podemos apreciar, sustituyendo la ecuación 2 en 5, que ambos indicadores nos ofrecen una información diferente, ya que el EFV es una transformación del PRV en la que se incorporan los factores determinantes de las condiciones crediticias vigentes en el mercado: (7) ello implica que sólo la estabilidad en las condiciones de los préstamos hipotecarios, f = cte., dará lugar a una variación proporcional y en el mismo sentido fr VA ni =(,) EFVfPRV=· -13,86 -21,14 -11,22 -8,26 8,78 3,68 1,68 9,75 7,59 12,25 9,12 -2,73 -3,15 1,06 2,32 2,12 5,48 12,12 13,64 13,99 11,16 6,72 1,84 -0,04 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 1996/1995 1997/1996 1998/1997 1999/1998 2000/1999 2001/2000 2002/2001 2003/2002 2004/2003 2005/2004 2006/2005 2007/2006 Variación interanual (%) Esfuerzo económico familiar en vivienda (EFV) Precio relativo de la vivienda (PRV) luis a. hierro/rosario gómez-álvarez/pedro atienza 75 la incidencia de las condiciones crediticias en la... cuadernos de cc.ee. y ee., nº 55, 2008, pp. 69-89 de ambos indicadores. en caso contrario, cuando f  cte., el sentido y la cuantía de la variación en ambos indicadores puede ser sensiblemente distinta, como antes se ponía de manifiesto. así, para f = cte., PRV y EFV crecen cuando lo hace el precio de la vivienda, disminuyen cuando mejoran las retribuciones y las condiciones laborales familiares, y sus variaciones son proporcionales. sin embargo como f es variable el EFV tiene dos fuentes de variación, el PRV y el coeficiente f, que incorpora información tanto del porcentaje del precio de la vivienda que se financia mediante préstamo como de los tipos de interés y de los plazos de amortización de los créditos hipotecarios. para conocer la repercusión tanto de la variación de f como de PRV en EFV sólo es necesario aplicar logaritmos neperianos y derivar: (8)8 esta simple transformación nos permite descomponer las variaciones relativas del esfuerzo familiar en la adquisición en vivienda y evaluar el impacto de la variación en las condiciones crediticias en la accesibilidad. procediendo tal como se ha descrito obtenemos los valores que aparecen en el cuadro 2, donde se incluyen las tasas de variación logarítmica anuales y promedio del total del período y de los dos subperíodos considerados, tanto para f como para los indicadores de accesibilidad. en dichas cifras se aprecia una sensible mejora en las condiciones crediticias, con un descenso sistemático de f todos los años, salvo dos pequeños repuntes, uno en 2000 y otro en los dos últimos años de la serie, pasando de tener, como se aprecia en el cuadro 1, un valor de 0,108 en 1995 a 0,050 y 0,054 en 2006 y 2007 respectivamente, lo que supone una disminución acumulada para todo el periodo del -50,17%. es precisamente esta evolución de las condiciones crediticias la que explica la discrepancia entre los dos indicadores. para todo el período contemplado se puede observar cómo el indicador EFV presenta por término medio una ligera mejoría del -0,72% anual que supondría una mejora la accesibilidad, mientras que el indicador PRV mantiene una tasa de crecimiento interanual medio muy alcista, del 5,09% anual, lo que indicaría un (8) Del mismo modo es descomponible el efecto de las variables que incluidas en PRV, siendo fácilmente deducible que: dEFV EFV df f dPRV PRV =+ dEFV EFV df f dPv Pv dl l dYe Ye =+ −− luis a. hierro/rosario gómez-álvarez/pedro atienza 76 la incidencia de las condiciones crediticias en la... cuadernos de cc.ee. y ee., nº 55, 2008, pp. 69-89 sensible empeoramiento de la accesibilidad. la diferencia, tal como se anunciaba, se encuentra en las condiciones crediticias de los préstamos hipotecarios que, con su mejora media del -5,81% anual, han absorbido el deterioro de la accesibilidad debido al espectacular incremento del precio de la vivienda, resultando finalmente que el eFv presente una ligera mejoría. distinguiendo según los dos subperíodos que hemos tomado, se aprecia claramente en el subperíodo 1995-99 que la sensible mejora del eFv, una media de un -14,80% al año, es fruto de la estabilidad en prv combinada con una espectacular mejora en las condiciones de financiación, una mejora media anual del -14,14%. por su parte, en el segundo subperíodo, 2000-2007, los dos indicadores de accesibilidad experimentan un deterioro importante, como consecuencia de que las mejoras de las condiciones de financiación concentradas sobre todo en 2002 y 2003, no son suficientes para absorber la explosión de los precios de la vivienda que disparan los crecimientos de PRV a tasas anuales de dos dígitos entre 2002 y 2005. el proceso de empeoramiento de la accesibilidad medida en EFV sufre un impulso adicional cuando ya en 2006 las condiciones crediticias comienzan a deteriorarse, dando lugar al mayor deterioro del EFV de todo el periodo considerado, un 11,56%. en definitiva, las discrepancias entre los indicadores de accesibilidad derivan de las condiciones crediticias y éstas, a su vez, vienen determinadas por los tipos de interés de los préstamos hipotecarios y por los palazos de amortización de los mismos. de ahí la necesidad de un estudio más detallado de la función f, que hemos incluido en el apéndice matemático. en él se puede apreciar que f varía negativamente con el número de años de amortización del préstamo y positivamente con el tipo de interés, de forma que a medida que se incrementan los plazos o disminuyen los tipos f se hace menor y consecuentemente la accesibilidad medida en términos de EFV mejora. en ambos casos las elasticidades son inferiores a uno, lo que implica variaciones relativas menos que proporcionales de f con respecto a i y a n. Ya volviendo a las cifras, en el cuadro 1, se puede comprobar cómo se produce una caída sistemática de los tipos de interés con ligeras excepciones, concentrada durante los años 1995 a 1999, donde el tipo de interés se reduce 6,5 puntos porcentuales, lo que implica una reducción del 58% con respecto al tipo de interés de 1995. evidentemente esta disminución casi continua de los tipos durante todo el período tiene como efecto la disminución de la carga financiera de los préstamos hipotecarios y en consecuencia de los pagos anuales de las cuotas de los préstamos y de la accesibilidad medida en términos de EFV. Junto a esto también se ha producido un segundo fenómeno importante como es el aumento luis a. hierro/rosario gómez-álvarez/pedro atienza 77 la incidencia de las condiciones crediticias en la... cuadernos de cc.ee. y ee., nº 55, 2008, pp. 69-89 continuado de los plazos medios de amortización que han pasado de 17 años en 1995 a 28 años en el primer semestre de 2007, que también repercute en una mejora de EFV al disminuir la cuota anual del préstamo. Cuadro 2 variaCión anual de la aCCesibilidad a la vivienda durante el periodo 1995-2007. tasas de variaCión loGarítmiCa Fuente: elaboración propia a partir de datos del cuadro 1. la evolución de ambas magnitudes, tipo de interés y plazo de amortización, ha estado condicionada en gran medida por la especial situación que ha supuesto la unión monetaria europea9. en efecto, el periodo de estudio se inicia con un marco macroeconómico condicionado por el cumplimento de los criterios de convergencia establecidos en maastricht en 1993. la política antiinflacionista del Banco de españa, unida al control del déficit público, sobre la base de los compromisos del pacto de estabilidad y crecimiento de diciembre de 1996, reforzaron las expectativas sobre (9) Para un repaso de la política monetaria ejecutada durante el periodo por el Banco de España y por el Banco Central Europeo, pueden consultarse los Informes Anuales de ambas autoridades monetarias correspondientes al período considerado. Dichos Informes pueden encontrarse respectivamente en www.bde.es/informes/be/infanu/infanu.htm y www.bde.es/informes/bce/infanu/infanu.htm. año eFv prv f 1996 -14,91 -2,77 -12,15 1997 -23,76 -3,20 -20,55 1998 -11,90 1,05 -12,95 1999 -8,62 2,29 -10,91 promedio 1996/1999 -14,80 -0,66 -14,14 2000 8,41 2,10 6,31 2001 3,61 5,33 -1,72 2002 -0,04 11,44 -11,48 2003 1,67 12,78 -11,12 2004 9,31 13,10 -3,79 2005 7,32 10,58 -3,26 2006 11,56 6,50 5,06 2007 8,73 1,82 6,90 promedio 2000/2007 6,32 7,96 -1,64 promedio 1996/2007 -0,72 5,09 -5,81 luis a. hierro/rosario gómez-álvarez/pedro atienza 84 la incidencia de las condiciones crediticias en la... cuadernos de cc.ee. y ee., nº 55, 2008, pp. 69-89 tiempo los pagos, lo que para las familias implica que el pago total a realizar en concepto de principal e intereses es mayor. es decir, la prolongación de los plazos de amortización produce una suerte de ilusión financiera en los compradores de vivienda, ya que si bien el coste total de la adquisición aumenta a través de préstamos hipotecarios, existe una “apariencia” de mejoría en la accesibilidad, al verse disminuidas las cuotas mensuales o anuales, a pesar de que lo que ocurre realmente es lo contrario ya que las familias terminan pagando más. siendo esto así, es evidente que EFV incluye una distorsión en la medida de la accesibilidad al incorporar el efecto de mejora “aparente” producida por el alargamiento de los plazos de amortización. para intentar estimar la relevancia de esta incidencia se ha procedido al cálculo de la divergencia en EFV que surge como consecuencia del aumento de dichos plazos. el resultado obtenido es que la accesibilidad de los españoles a la vivienda medida por EFV refleja una situación sensiblemente más benévola que la que resultaría de haberse mantenido constante los plazos de amortización de los préstamos hipotecarios. en realidad EFV estaría reflejando una situación de mejora en la accesibilidad a la vivienda en términos relativos con respecto a 1995 cuando, en realidad, de no haberse extendido la política bancaria de alargar los plazos de amortización, el esfuerzo mensual que habría de hacer una familia para adquirir una vivienda se encontraría a finales de 2007 a menos de 4 puntos del 50% de la renta familiar disponible. la estabilidad económica y monetaria asociada a la unión monetaria, que ha supuesto una mayor capacidad efectiva de las familias de hacer frente al endeudamiento, y el hecho de que los tipos de interés variables trasladen a los consumidores (prestatarios) los riesgos asociados a la variabilidad del tipo de interés a largo plazo, -que antes, con el tipo de interés fijo, recaían sobre los bancos (prestamistas)-, han sido los factores fundamentales que han operado a favor de este alargamiento de los préstamos. no obstante, con un plazo medio de amortización cercano a los treinta años, se torna muy difícil que este tipo de situaciones pueda volver a repetirse. más si, como se prevé, el precio de la vivienda frena su subida y aumentan los riesgos de morosidad como consecuencia del aumento de los tipos de interés. luis a. hierro/rosario gómez-álvarez/pedro atienza 85 la incidencia de las condiciones crediticias en la... cuadernos de cc.ee. y ee., nº 55, 2008, pp. 69-89 APÉNDICE MATEMÁTICO I. Función f sea la función representativa de las condiciones crediticias de los préstamos hipotecarios bajo un sistema de amortización de cuota anual constante, siendo: - r el porcentaje del precio de la vivienda financiado mediante el préstamo hipotecario - i el tipo de interés - n el plazo medio de amortización dicha función se caracteriza por: -1) -2) aplicando l´hôpital -3) -4) -5) <0 ya que el denominador siempre es positivo y el numerador siempre negativo. fri in =⋅ −+ − 11() i!" Limf =r# " 1$1 " n =" i n Limf → = − = 0 0 11 1 indet. ii n i Limf Limf Li ri i i i →→ − → = ∂⋅ ∂ ∂− + ∂ = 00 0 11 () (( )) mmf r ni r n n ()11 += −− n!" Limf =r#i 1$1 " =r#i n!0 Limf =r"i 1#1 (1+i) 0 =$ ∂ ∂=−⋅⋅+ + −+ − − f n ri iLni i n n ()() (( )) 11 11 2 luis a. hierro/rosario gómez-álvarez/pedro atienza 86 la incidencia de las condiciones crediticias en la... cuadernos de cc.ee. y ee., nº 55, 2008, pp. 69-89 -6) demostración: como el denominador es siempre positivo, sacando factor común r queda ahora bien, desarrollando el binomio de newton en 1 )1( + +n i queda , por lo que queda demostrado que y, por ende, que -7) siendo : la elasticidad de la función f respecto a n demostración: sea , definimos la función y calculamos ∂ ∂=−+ −⋅⋅+ −+ −−− − f i ririni i nn n (( )) () (( )) 11 1 11 1 22 0> ririni nn (( )) ()11 10 1 −+ −⋅⋅+ > −−− 1!(1+i) !n !i"n(1+i) !n!1 =1!(1+i) !n (1+in 1+i)>0#(1+i) !n (1+in 1+i)<1# 1+in 1+i (1+i) n = =1+i+i"n (1+i) n+1 <1#1+i+i"n<(1+i) n+1 () ()... ...1111 1 +=+++=+⋅++ + ininii n 11 1 ++⋅< ++ iini n () ∂ ∂> f i0 ef n n f ni Ln i i n f n n =−∂ ∂⋅= +⋅+ −+ < − − () () (( )) 11 11 1 ef n n f ni Ln i i n f n n =−∂ ∂⋅= +⋅+ −+ < − − () () (( )) 11 11 1 n(1+i) !n "Ln(1+i) 1!(1+i) !n = n"Ln(1+i) (1+i) n (1+i) n !1 (1+i) n =nLn(1+i) (1+i) n !1<1# #n"Ln(1+i)<(1+i) n !1#Ln(1+i) n <(1+i) n !1 xix n =+ >(),11 Fx Lnxx()=−+1 ! F(x)=1 x "1=1"x x <0 luis a. hierro/rosario gómez-álvarez/pedro atienza 87 la incidencia de las condiciones crediticias en la... cuadernos de cc.ee. y ee., nº 55, 2008, pp. 69-89 la función F(x) es decreciente, lo que implica que F(x)<F(1) = 0 , es decir con lo que se demuestra que es decir, que -8) siendo la elasticidad de la función f respecto a i demostración: como el numerador siempre es positivo hay que demostrar que lo cual ocurre siempre que n,i>0. II.- Variación del total de intereses con respecto a n en un sistema de amortización de préstamos de cuota anual constante, dicha cuota (CPH), en términos anuales, viene dada por: siendo r.Pv el capital del préstamo solicitado, i el tipo de interés y n el plazo de amortización del préstamo o el número de cuota anuales del mismo. los intereses devengados por dicho préstamo, una vez deducido el capital inicial solicitado, se obtienen por la diferencia entre el total de las cuotas pagadas (número de cuotas pagadas multiplicado por el importe de la cuota) y el capital inicial. es decir, I que es la función de intereses netos devengados por el préstamo viene dada por: Lnxx−+<10 Lnxx<−1 Ln ii nn ()()111+<+− ein i i i f n n =−⋅+ −+ < −− − 11 11 1 1 () () ein i i i f n n =−⋅+ −+ < −− − 11 11 1 1 () () 1!i"n(1+i) !n!1 1!(1+i) !n <1#i"n(1+i) !n!1 1!(1+i) !n >0 1!(1+i) !n >0"(1+i) !n <1 CPHrPv VA ni rPvi in == −+ − · (,)·()11 I=n!r!P v !i 1"(1+i) "n "r!P v =r!P v n!i 1"(1+i) "n "1 # $ %& ' ( luis a. hierro/rosario gómez-álvarez/pedro atienza 88 la incidencia de las condiciones crediticias en la... cuadernos de cc.ee. y ee., nº 55, 2008, pp. 69-89 pues bien, hay que demostrar que dichos intereses netos aumentan a medida que aumenta el número de cuotas a pagar o el plazo de amortización n, es decir que: demostración: lo cual ya ha sido demostrado en el apartado 7 del punto i de este apéndice. 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