El sesgo condicionado en el análisis de influencia: Una revisión

Q¨ UESTII´ O, ol. 25, 2, p. 263-284, 2001 EL SESGO CONDICIONADO EN EL AN ´ ALISIS DE INFLUENCIA: UNA REVISI ´ ON J. M. MU ˜ NOZ-PICHARDO J. L. MORENO-REBOLLO T. G ´ OMEZ-G ´ OMEZ A. ENGUIX-GONZ´ ALEZ Uni e sidad de Se illa  El sesgo condicionado se ha p opues o como diagn ´ os ico de in luencia en dis in os modelos y ´ ecnicas es ad´ ıs icas. T a ando de ecoge una isi´ on global de la u ilidad del concep o, en es e abajo se hace una e isi ´ on gene al del mismo elacion´ andolo con la cu a de sensibilidad y la cu a de in luencia mues al. Adem´ as, se se˜ nalan posibles l´ ıneas de abajo que pe mi i ´ an abo da el an´ alisis de la in luencia a a ´ es de es e en oque en una g an a iedad de ´ ecnicas es ad´ ıs icas. Condi ional bias in in luence analysis: a e iew Palab as cla e: An´alisis de in luencia, modelos lineales, componen es p incipales, mues eo en poblaciones ini as, sesgo con- dicionado Clasi icaci´ on AMS (MSC 2000): 62J20, 62H25, 62D05 *Uni e sidad de Se illa. Facul ad de Ma em´a icas. Depa amen o de Es ad´ıs ica e In es igaci´on Ope a i a. A da. Reina Me cedes s/n. 41012 Se illa. –Recibido en oc ub e de 2000. –Acep ado en ab il de 2001. 263 1. INTRODUCCI ´ ON El obje i o de odo an´alisis es ad´ıs ico es ob ene conclusiones iables a pa i de los da os esul an es de una expe imen aci´on. Po an o, la iabilidad de las obse aciones del p oceso es de especial in e ´es, ya que el an´alisis se ealiza sob e codi icaciones del en´omeno na u al en es udio y las ´ecnicas es ad´ıs icas que se apliquen pueden e se ue emen e a ec adas po algunas de las obse aciones ealizadas. Es e p oblema ha o iginado un g an n´ume o de m´e odos en ocados, bien al desa ollo de nue as ´ecnicas que no se ean in luenciadas excesi amen e po la modelizaci´on del en´omeno na u al, bien al an´alisis de la calidad de los da os, o bien al es udio de aquellas obse aciones que a ec an conside ablemen e a los esul ados del an´alisis. En es e e ce en oque se han p opues o un conjun o de m´e odos englobados en lo que gen´e icamen e se conoce como el An´ alisis de In luencia. La g an mayo ´ıa de las ´ecnicas p opues as pa a el an´alisis de in luencia es ´an basadas enla ap oximaci´ongen´e ica ealizadapo CookyWeisbe g(1982): pa a medi ele ec o que sob e un aspec o de in e ´es del an´alisis (es ad´ıs ico, es imaci´on,...) iene una obse - aci´on o un conjun o de ellas, se in oducen peque˜nas pe u baciones, que las a ec an de alguna mane a, y se cuan i ica el cambio p oducido. Es deci , las ´ecnicas su gen de conjuga adecuadamen e pe u baci´ on del modelo y compa aci´ on de esul ados. Cook (1987) a a de uni ica el p oblema bajo la siguien e o mulaci´on gene al: Sea un conjun o de da os D, un modelo Mpos ulado a p io i, un esul- ado R  D  M  seleccionado de una s´ın esis de los da os y el modelo, y sea wun ec o de pe u baciones, pe enecien e a un conjun o Ωde pe u ba- ciones ele an es, siendo M  w  el modelo pe u bado, de o ma que  w0  Ω Æ M  M  w0  . As´ı, el An´alisis deIn luenciaconsis eencompa a los esul ados R  D  M  w  yR  D  M  . En consecuencia, son cues iones cla es la elecci´on del esquema de pe u baci´on y el m´e odo de compa aci´on. De cada o ma dis in a de conjuga el binomio pe u baci ´ on- compa aci´ on esul a ´a una ´ecnica pa a el an´alisis de in luencia. En cuan o al p ime elemen o del binomio, el m´as u ilizado es el esquema de pe u - baci´on de la omisi´on de las obse aciones a las que se le p e ende e alua su impac- o. No obs an e, la an e io o mulaci´on gene al del p oblema pe mi e o os en oques. Di e sos au o es, como Law ance (1991) y Escoba y Meeke (1992), han p opues o clasi icaciones de los dis in os ipos de pe u baciones: pe u baciones en los da os, pe u baciones en las hip´ o esis del modelo, pe u baciones en ponde acionesde casos. 264 Es e ´ul imo esquema es u ilizado en el denominado An´alisis de In luencia Local (Cook (1986)). Una ez seleccionado el esquema de pe u baci´on, es necesa io elegi el es ad´ıs ico o esul ado R  D  M  del an´alisis y el m´e odo de compa aci´on de esul ados. La p ime a cues i´on queda a c i e io del in es igado ,en unci´on del obje i o p incipal del an´alisis. Como ilus aci´on de la g an a iedad de m´e odos de compa aci´on p opues os, pueden ci a se los siguien es: Cu a de in luencia mues al (Cook y Weisbe g (1982), Bels- ley y o os (1980)); Raz´ on de ol´ umenes de egiones de con ianza, cuando el esul ado R  D  M  seleccionado es una egi´on de con ianza (And ews y P egibon (1978)); Raz ´ on en e de e minan es,pa a la es imaci´on de ma ices de a ianzas y co a ianzas (Ba ne y Lewis (1994), Belsley y o os (1980)); Dis ancias en e las dis ibuciones mues a- les de los es imado es, como la dis ancia de Rao (Mu˜noz-Picha do y Fe n´andez-Ponce (1997)); Desplazamien o de e osimili ud, como m´e odo de compa aci´on espec o a los con o nosde la log- e osimili uddel modelopos ulado (Cooky Weisbe g (1982),Cook y o os (1988)), o bien del modelo pe u bado (Billo y Loynes (1993)). B own y Law- ance (2000), a a ´es de la e osimili ud, es udian es e ´opico en eg esi´on m´ul iple sob e una amplia gama de esquemas de pe u baci´on, ex endiendo el es udio de la in- luencia a di e en es es s de hip´o esis de in e ´es en es e modelo. Mu˜noz-Picha do y o os (1995) p oponen el concep o de sesgo condicionado como en oquegen´e ico, ´alidoen ung ann´ume o delas ´ecnicas y modeloses ad´ıs icos. T as la in oducci´on an e io sob e el p oblema de la in luencia, en es e abajo se p e ende ealiza una e isi´ondelasdis in asaplicacionesdel sesgocondicionado(s.c.), as´ı como su elaci´on con o os concep os es ad´ıs icos. En la Secci´on 2, se ecoge la elaci´on con la cu a de in luencia mues al y la cu a de sensibilidad. En la Secci´on 3, se ecoge la aplicaci´on del mismo a los modelos linea- les, apo ´andose una es imaci´on de la a ianza del es imado del sesgo condicionado. A con inuaci´on, se aplica al an´alisis de componen es p incipales (Secci´on4)yenel mues eo en poblaciones ini as (Secci´on 5). Finalmen e, se concluye se˜nalando o os campos en los que se puede abo da el an´alisis de in luencia bajo la pe spec i a del concep o de s.c.. 2. EL CONCEPTO DE SESGO CONDICIONADO Y EL AN ´ ALISIS DE INFLUENCIA Pa iendo del Lema de Descomposici´on de E on y S ein (1984), que exp esa un es- ad´ıs ico Tsob e una mues a alea o ia simple como una suma ini a, cuyos ´e minos son uncionesdelas espe anzascondicionadasde Tdadaslas obse acionesmues ales, Mu˜noz-Picha do y o os (1995) de inen el concep o de sesgo condicionado y p oponen su aplicaci´on en el An´alisis de In luencia. A con inuaci´on, se ecoge el lema ci ado, 265 la de inici´on del concep o de sesgo condicionado y la jus i icaci´on de su aplicaci´on al p oblema de la in luencia. Lema 1. (E on y S ein).Toda a iable alea o ia S  X1  X2  Xn  unci´ on de n a- iables alea o ias independien es X1  X2  Xnpuede exp esa se como S  X1  Xn   E  S  n ∑ i  1Ai  Xi;S  ∑∑ 1  i  j  nBij  Xi  Xj;S   ∑∑∑ 1  i  j  k  n Cijk  Xi  Xj  Xk;S    H  X1  Xn;S   donde las 2n  1 a iables alea o ias del miemb o de echo de la exp esi´ on ienen es- pe anza nula y es ´ an mu uamen e inco eladas, siendo: Ai  xi;S   E  S  Xi  xi   E  S   «i-´esimo e ec o medio», Bij  xi  xj;S   E  S   Xi  xi  Xj  xj   E  S  Xi  xi    E  S   Xj  xj  E  S   «  i  j  -in e acci´on de 2oo den», yas ´ ı sucesi amen e. Dadounes ad´ıs ico Tn  Tn  Y1  Yn  de inidosob eunamues aalea o ia,Y1  Yn,ysu descomposici´on en ´e minos del esul ado an e io , se obse a que Ai  yi;Tn  cuan i ica la des iaci´on que la ealizaci´on mues al Yi  yip o oca en el alo espe ado de Tn. Po an o, puede conside a se como una medida de la in luencia que dicha ealizaci´on mues al eje ce sob e Tn.As´ı, Mu˜noz-Picha do y o os (1995) p oponen la siguien e de inici´on: De inici´ on 1. Sea Y1  Ynuna m.a. de una .a. Y, sea Tn  Tn  Y1  Yn  un es ad´ ıs ico y sea y1  ynuna ealizaci´ on de la mues a. El sesgo condicionado (s.c.) de Tndada la i-´ esima obse aci´ on se de ine como   yi;Tn  E  Tn  Yi  yi   E  Tn  . Sob e es a de inici´on se pueden ealiza di e sas conside aciones. En p ime luga , el s.c. depende de la dis ibuci´on del es ad´ıs ico Tny del alo obse ado yi. Po an o, al con a io de la cu a de in luencia mues al, que se de ine a pa i de una ealizaci´on de oda la mues a, el s.c. mide la in luencia del alo obse ado sob e el es ad´ıs ico, en ´e minos de la espe anza de su dis ibuci´on mues al, y po an o, es independien e de cualquie ealizaci´on mues al conc e a de los es an es elemen os de la mues a. Po o a pa e, no p esupone ning´un esquema de pe u baci´on, sal o el condicionamien o 266 p e io impues o po el conocimien o de la obse aci´on bajo es udio. Adem´as, es un pa ´ame ocuyadimensi´on coincideconla dimensi´on deles ad´ıs ico, al igual que ocu e con la cu a de in luencia mues al, po an o, pa a cuan i ica lo se ha de p ocede a u iliza no mas semejan es a las aplicadas sob e ´es a. Finalmen e, su dependencia de la dis ibuci´on de Tn, puede p o oca que el desconocimien o de algunos pa ´ame os de la misma implique la necesidad de su es imaci´on. La de inici´on 1 puede gene aliza se como sigue: De inici´ on 2. En las condiciones de la de inici´ on 1, el s.c. de Tndado el conjun o de obse aciones  yi1  yim  se de ine como (1)   yi1  yim;Tn  E  Tn  Yi1  yi1  Yim  yim   E  Tn  . En consecuencia,  1  puede conside a se como una medida de la in luencia conjun a de las obse aciones  yi1  yim  sob e Tn. De las dos de iniciones an e io es se ob ienen las siguien es exp esiones: Bij  yi  yj;Tn     yi  yj;Tn      yi;Tn    yj;Tn    (2) Cijk  yi  yj  yk;Tn     yi  yj  yk;Tn       yi  yj;Tn    yi  yk;Tn    yj  yk;Tn        yi;Tn    yj;Tn    yk;Tn    (3) Po an o, el e ec o in e acci´on de segundo o den debido a las obse aciones  yi  yj  , seg´un (2),es la in luenciaconjun adeambasobse acionessob e Tnmenosla in luencia indi idual de cada una de ellas. An´alogo comen a io se puede ealiza obse ando la exp esi´on (3). O as p opiedades del s.c. son las elaciones con los concep os de cu a de sensibilidad y cu a de in luencia mues al. Hampel (1974), con el obje i o de es udia la conduc- a in ini esimal de uncionales es ad´ıs icos, p opone el concep o de unci´on in luencia sob e un uncional de inido sob e el espacio de las dis ibuciones de p obabilidad. A pa i de dicha de inici´on se han p opues o di e sas e siones mues ales. Una de las de mayo in e ´es es la cu a de sensibilidad, p opues a po Tukey (1970): dada Y1  Yn  1 una mues a alea o ia de una .a.Y, la cu a de sensibilidad (CS)deTnasociada a una ealizaci´on mues al y1  yn  1se de ine como: CSn  1  y;Tn  n  Tn  y1  yn  1  y   Tn  1  y1  yn  1    Cuando el obje i o es el es udio de la in luencia de obse aciones indi iduales sob e alg´un es ad´ıs ico, se p opone o a e si´on mues al, la cu a de in luencia mues al 267 (CIM): dada Y1  Ynuna mues a alea o ia de una .a.Y,yTnun es ad´ıs ico de inido sob e la mues a, la cu a de in luencia mues al de un es ad´ıs ico Tnasociada a la i-´esima obse aci´on de una ealizaci´on mues al y1  yn  iene dada po CIMi  Tn    n  1   T  i   Tn  y1  yn    siendo T  i   Tn  1  y1  yi  1  yi  1  yn  el es ad´ıs ico ob enido bajo la omisi´on de la i-´esima obse aci´on. Gene alizando la de inici´on an e io , se de ine la cu a de in luencia mues al de Tn asociada a un conjun o de mobse aciones Bcomo sigue: CIMB  Tn    n  m   T  B   Tn  y1  yn    siendo T  B  el es ad´ıs ico ob enido bajo la omisi´on de las obse aciones con enidas en B. Lacu ade sensibilidadpuedeconside a secomo unci´onalea o ia,asociadaalamues- aY1  Yi  1Yi  1  Yn: CSn  1  y;Tn  n  Tn  Y1  Yi  1  y  Yi  1  Yn   Tn  1  Y1  Yi  1Yi  1  Yn    Asimismo, la cu a de in luencia mues al puede conside a se como unci´on alea o ia, asociada a la mues a Y1  Yn: CIMi  Tn    n  1   Tn  1  Y1  Yi  1Yi  1  Yn   Tn  Y1  Yn    Bajo es as conside aciones, se pueden enuncia los siguien es esul ados: Teo ema 1. Sea Y1  Ynuna mues a alea o ia, sea Tn  Tn  Y1  Yn  un es ad´ ıs ico y T  i   Tn  1  Y1  Yi  1Yi  1  Yn  , y sup´ ongase que E  Tn  E  T  i   . 1. La cu a de sensibilidad, asociada a la mues a Y1  Yi  1Yi  1  Yn  e i ica (4) 1 nE  CSn  1  yi;Tn     yi;Tn   2. La cu a de in luencia mues al, asociada a la mues a Y1  Yn, e i ica (5) 1 n  1E  CIMi  Tn   Yi  yi    yi;Tn   La igualdad (4), adem´as de la elaci´on en e los dos concep os, iene a p o undiza en el in e ´es del s.c. como he amien a ´u il pa a el an´alisis de in luencia, y la igualdad (5) 268 puede pa a undamen a e´o icamen e el concep ode cu ade in luencia mues al como esquema de compa aci´on ´alido pa a el an´alisis de in luencia. Po ello, Mu˜noz-Picha do y o os (1995) p oponenel siguien e es imado insesgado del s.c.    yi;T  Tn  Y1  Yi  1  yi  Yi  1  Yn   Tn  1  Y1  Yi  1Yi  1  Yn  Tn  T  i   y en gene al,    yi1  yim;Tn  Tn  T  i1  im   que puede denomina se sesgo condicionado es imado (s.c.e.). Con iene hace no a que en muchas ocasiones pa a el c´alculo del s.c. y su es imado no es necesa io conoce la dis ibuci´on subyacen e al modelo, algo que le ocu e a o as ´ecnicas de diagn´os ico de in luencia como el desplazamien o de e osimili ud o la dis ancia de Rao. Mu˜noz-Picha doy o os (1998)aplican es econcep oal An´alisis de In luenciaLocal, en pa icula enel ModeloLineal Gene al. Un plan eamien ogen´e icodedichaaplicaci´on, siguiendolas pau as ma cadaspo Cook ensudesc ipci´on delp oblema dela in luencia, puede se el siguien e: Sea un modelo Mpos ulado a p io i, sea Y1  Ynuna mues a alea- o ia de la(s) a iable(s) que in e ienen en el mismo, sea un es ad´ıs ico Tn  Y1  Yn;M  ,wun ec o pe enecien e a un conjun o Ωde pe u bacio- nes ele an es, siendo M  w  el modelo pe u bado, de o ma que  w0  Ω Æ M  M  w0  yTn  Y1  Yn;M   Tn  Y1  Yn;M  w0   y sea yiuna ealizaci´on mues al de la i-´esima componen e de la mues a alea o ia. El es udio de la unci´on de w  Ω:  w  yi;Tn  EM  w   Tn  Yi  yi   EM  w   Tn   en un en o no de w0pe mi i ´a ealiza el an´alisis de in luencia local que la ealizaci´on mues al Yi  yieje ce sob e Tn, siendo EM  w     la espe anza en el modelo pe u bado M  w  . Pa a es e plan eamien o gene al, son ´alidas las conside aciones ealizadas an e io - men e sob e el concep o de s.c.. En pa icula , en ocasiones se end ´a que busca un es imado , pudi´endose conside a el es imado insesgado:   w  yi;Tn  Tn  Y1  Yi  1  yi  Yi  1  Yn;M  w   Tn  1  Y1  Yi  1Yi  1  Yn;M  w   Pa a ilus a la u ilidad de lo exp esado has a aho a, a con inuaci´on, se ecoge una apli- caci´on simple: el s.c. y diagn´os icos de in luencia sob e el es ad´ıs ico media mues al. 269 2.1. Una aplicaci´ on ilus a i a: es ad´ıs ico media mues al Sea Y1  Ynuna mues a alea o ia de una .a. Y, con E  Y  µyVa  Y  σ2,y conside emos el es imado BLUE de µ  el es ad´ıs ico media mues al Tn  Y. Puede ob ene se ´acilmen e el s.c. de dicho es ad´ıs ico dada la i-´esima ealizaci´on mues al yi:   yi;Y   1 n  yi  µ   Po an o,comol´ogicamen ese pod´ıain ui ,la in luenciade unaobse aci´onse ´a mayo cuan o m´as dis e de la media poblacional. An´alogamen e,   yi1  yim;Y   1 n m ∑ j  1  yij  µ   En ambas exp esiones se obse a su dependencia del pa ´ame o µ, po lo que es nece- sa io ob ene las co espondien es es imaciones: (6)    yi;Y   1 n  1  yi  Y  y (7)    yi1  yim;Y   1 n  m m ∑ j  1  yij  Y   espec i amen e. Pa a e i a el p oblema del signo, a e ec os p ´ac icos, como medidas de in luencia pueden conside a se los cuad ados de las exp esiones (6) y (7): S2 i   yi  Y n  1  2  S2 i1  im   1 n  m m ∑ j  1  yij  Y   2  Con el obje i o de es udia la in luencia local sob e el BLUE de µ  se puede conside a el modelo pe u bado de e minado po : E  Yk   µ   k Va  Yk   σ2   k   i;Va  Yi  σ2  w  w  0  (8) El BLUE de µen el modelo especi icado en (8) iene dado po : Yw  1 n  1  w∑ k   i Yk  w n  1  wYi  y po an o,   i  w  yi;Yw   w n  1  w  yi  µ  nw n  1  w   yi;Y   270 (El supe ´ındice  i  se u iliza pa a indica que s´olo la i-´esima obse aci´on es pe u - bada). Se puede obse a que el s.c. en el modelo pe u bado es p opo cional al s.c. en el modelo pos ulado, siendo la az´on de p opo cionalidad: α  w  nw n  1  w  En cuan o al es imado del s.c., se ob iene: (9)    i  w  yi;Yw   1 n  1 nw n  1  w  yi  Y   nw n  1  w    yi;Y   Conside ando nue amen e su cuad ado pa a e i a el signo, se puede u iliza con medi- da de in luencia local la unci´on de w: S2 i  w  S2 i  α  w   2  La siguien e igualdad edunda en la ele ancia de la az´on de p opo cionalidad α  w  : (10)    i  w  yj;Yw   α  w     yj;Y   1  α  w     yj;Y  i    j  1  n  Pa a w   0  1  , dicha az´on e i ica 0  α  w   1, y en consecuencia,    i  w  yj;Yw  es combinaci´on lineal con exa en e    yj;Y  y    yj;Y  i   , donde los coe icien es no dependen de las obse aciones i-´esima ni j-´esima, an s´olo del ama˜no mues al y del ac o de pe u baci´on conside ado. Dado el papel ele an e que juega es a az´on de p opo cionalidad, Mu˜noz-Picha do y o os (1998) la denominan po encial de in luencia local de la i-obse aci ´ on, in e - p e ´andola como la p opo ci´on de in luencia de cualquie obse aci´on sob e el BLUE de µen el modelo pe u bado (8), explicada po la in luencia que eje ce dicha obse a- ci´on sob e el BLUE de µen el modelo pos ulado. 3. SESGO CONDICIONADO EN EL MODELO LINEAL GENERAL MULTIVARIANTE En es a secci´on es udiamos el s.c. sob e el Modelo Lineal Gene al Mul i a ian e (MLGM), con obje o de a a de o ma uni icada el an´alisis de in luencia en los di- e sos modelos que se ob ienen como casos pa icula es de ´el: Modelos de Reg esi´on (m´ul iple y mul i a ian e), Modelos de An´alisis de la Va ianza (uni a ian e y mul i a- ian e), Modelos de An´alisis de la Co a ianza (uni a ian ey mul i a ian e), An´alisis de Pe iles, An´alisis de Medidas Repe idas, e c. 271 En pa icula ,si se conside a el es imado de Ho i z-Thompson,  THT  ∑sYi πi  del o al poblacional de la ca ac e ´ıs ica Y,T  Y  ∑N i  1Yi  se ob iene que S  Ii  1;  THT  Yi1  πi πi  ∑ j   i Yj∆ij πiπj  donde πj  P  Ij  1  ,j  1  N  ep esen an las p obabilidades de inclusi´on de p ime o den asociadas al dise˜no mues al    p     y∆ij  Co  Ii  Ij  ,i  j  1  N  Dado que el s.c. es un pa ´ame o poblacional desconocido, se p opone como es ima- do del mismo el es imado de Ho i z-Thompson sob e el dise˜no mues al es ingido sob e las mues as que con ienen a ui:  SHT  Ii  1;  THT  Yi1  πi πi  ∑ j   i Yj∆ij πijπjIi  donde πij  P  Ii  1  Ij  1  , son las p obabilidades de inclusi´on de segundo o den en el dise˜no mues al. Un es imado insesgado de la a ianza de  SHT  Ii  1;  THT  en el dise˜no es ingido iene dado po :  Va   SHT  Ii  1;  THT    ∑ j   i∑ h   i YjYh∆ij ∆ih πiπjπh  πi πij πih  1 πijh  IjIh  dondeπijh  P  Ii  1  Ij  1  Ih  1  , son lasp obabilidadesde inclusi´on de e ce o den en    p     . Es e iden e que an o el s.c., como el s.c.e. y el es imado de su a ianza dependen del dise˜no mues al    p     , po lo que la in luencia de cada unidad mues al seleccio- nada es unci´on del compo amien o de dicha unidad espec o a la ca ac e ´ıs ica bajo es udio y del dise˜no mues al elegido po el in es igado . La aplicaci´on a cada ipo de dise˜no es di ec a, sin m´as que de e mina los pa ´ame os dependien es del mismo (p o- babilidades y co a ianzas de las a iables alea o ias indicado es), aunque en ocasiones pueda esul a compleja. No obs an e, en e a la posible complejidad, el concep o de s.c. posee la ca ac e ´ıs ica de su gene alidad. El plan eamien o a iba ecogido puede u iliza se en un amplio espec o del mues eo en poblaciones ini as, quedando abie as un n´ume o conside able de l´ıneas de in es igaci´on y desa ollo. 6. CONCLUSI ´ ON Es e abajo ecoge una e isi´on del concep o de s.c. y su aplicaci´on al an´alisis de in luencia en di e sas ´ecnicas es ad´ıs icas. Su de inici´on gen´e ica, su ´acil in e p e- aci´onysuc´alculo no excesi amen e complejo le pe mi e ene un ex enso campo de 278 aplicaci´on y un amplio abanico de posibilidades en el an´alisis de in luencia y an´alisis de in luencia local de cualquie es ad´ıs ico en cualquie modelo. Mues a de ales a i - maciones son los esul ados an e io men e ecogidos y los abajos de Jim´enez (1994) y Jim´enez y o os (1995) en el ´a ea de las ´ecnicas de emues eo, en pa icula en el boo s ap, pa a de ec a mues as boo s ap con un e ec o conside able sob e los esul- ados de las es imaciones. Las medidas de diagn´os ico de in luencia p opues as pueden gene aliza se ´acilmen e al an´alisis de in luencia conjun o de dos o m´as obse aciones. Algunos esul ados sob e al aspec o es ´an ecogidos en los abajos ci ados an e io men e. P o undizando po la l´ınea de los modelos lineales se puede abo da la in luencia en los modelos lineales gene alizados (uni a ian es y mul i a ian es), an´alisis de supe i- encia, e c. En la l´ınea del ACP, pueden ob ene se esul ados de in e ´es en An´alisis Disc iminan e, An´alisis Fac o ial, An´alisis Can´onico, e c. Finalmen e, en el ´a ea del mues eo en poblaciones ini as, como se ecoge en el apa ado an e io , queda un am- plio campo abie o pa a segui desa ollando ´ecnicas de diagn´os ico de in luencia, m´as a´un cuando en es e ´a ea la p oblem´a ica de la in luencia no ha sido, has a aho a, a ada en p o undidad. REFERENCIAS And ews, D. F. y P egibon, D. (1978). «Finding ou lie s ha ma e ».J. Royal S a is- ics Soc., Se . B, 40, 85-93. A kinson, A. 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Explo a o y Da a Analysis, (1970/71: edici´on p elimina ). Rea- ding Mass. Addison-Wesley. 280 ENGLISH SUMMARY CONDITIONAL BIAS IN INFLUENCE ANALYSIS: A REVIEW J. M. MU ˜ NOZ-PICHARDO J. L. MORENO-REBOLLO T. G ´ OMEZ-G ´ OMEZ A. ENGUIX-GONZ´ ALEZ Uni e sidad de Se illa  Condi ional bias has been p oposed as an in luence diagnos ic on di e en models and s a is ical echniques. In his pape , we sum up hese appli- ca ions and we ela e i o he sensi i i y cu e and he sample in luen ial cu e. Mo eo e , we poin ou some a eas in which he In luence Analysis could be s udied h ough his app oach. Keywo ds: In luence analysis, linea models, p incipal componen s, su - ey sampling, condi ional bias AMS Classi ica ion (MSC 2000): 62J20, 62H25, 62D05 *Uni e sidad de Se illa. Facul ad de Ma em´a icas. Depa amen o de Es ad´ıs ica e In es igaci´on Ope a i a. A da. Reina Me cedes s/n. 41012 Se illa. –Recei ed Oc obe 2000. –Accep ed Ap il 2001. 281 F om he Decomposi ion Lemma o E on and S ein (1984), Mu˜noz - Picha do e al. (1995) p oposed he condi ional bias (c.b.) as a gene al app oach in In luence Analysis. In his pape , we ga he oge he some applica ions o his concep in se e al models and s a is ical echniques. De ini ion1. Le Y1  Ynbe a andom sampleo a andom a iableY, le Tn  Tn  Y1  Yn  be a s a is ic and le y1  ynbe a sample ealiza ion. The c.b. o Tngi en yiis de ined as   yi;Tn  E  Tn  Yi  yi   E  Tn  . F om De ini ion 1, we no e ha he c.b. depends on he dis ibu ion o Tnand on he obse ed alue yi, and i assesses he in luence o yion Tnin e ms o i s expec ed alue. The e o e, i no depends on y2  yn  The pe u ba ion conside ed i is due o he knowledge o he obse a ion unde s udy, yi  Mo eo e , i Tnis q-dimensional (q  1), hen a no m mus be used in o de o de ine an in luence measu e om   yi;Tn  . Finally, we no e ha , in gene al,   yi;Tn  depends on unknown pa ame e s, so i mus be es ima ed. In Sec ion 2 we ela e he c.b. o he expec ed alue o he sensi i i y cu e (Tukey, 1970), and he sample in luence cu e. F om hese ela ions, Mu˜noz-Picha do e al. (1995) p oposed    yi;T  Tn  Y1  Yi  1  yi  Yi  1  Yn   Tn  1  Y1  Yi  1Yi  1  Yn  Tn  T  i   as es ima o o   yi;T   Following he guidelines laid down by Cook (1987), Mu˜noz-Picha do e al. (1998) apply he c.b. in Local In luence Analysis h ough he s udy o he unc ion  w  yi;Tn  EM  w   Tn  Yi  yi   EM  w   Tn   being M  w  a pe u ba ion o he pos ula ed model M. As an illus a ion, in sec ion 2.1 we ob ain he c.b. and some in luence measu es on he sample mean. Also, we s udy he local in luence on he sample mean o a andom sample. In sec ion 3, we s udy he c.b. in he Mul i a ia e Gene al Linea Model (MGLM), in o de o handle in an uni ied way he in luence analysis on he models ha a e ob ained as pa icula cases o i . Gi en he MGLM, ha is de ined by he ma ix iden i y Y  XB   , wi h he usual hy- po heses, and a linea es imable unc ion (l.e.) Λ Λ ΛB, i is ob ained ha (Mu˜noz-Picha do e al., 2000) 282   yi;Λ Λ Λ  B  Λ Λ ΛS  xi  y  i  x  iB      yi;Λ Λ Λ  B  1 1  iiΛ Λ ΛS  xie  i  being  Ba leas squa es es ima o o B,x  iand y  i he i- h ows o Xand Y, espec i ely, S  X  X,S  an in e se gene alized o S,e  i he i- h ow o he ma ix o o dina y esiduals, and ii he i-diagonal elemen o he ha ma ix V  X  S  X. In o de o assess he in luence o yion he BLUE, Λ Λ Λ  B  we apply ma ix no ms, ob ai- ning a ious in luence diagnos ics. The applica ion o hese diagnos ics in he Mul iple Reg ession Model, make possible o ob ain, as pa icula cases, some o he in luence measu es de ined in he li e a u e. Mo eo e , we s udy he Local In luence Analysis in his model. In sec ion 4, we s udy he in luence analysis in P incipal Componen s, unde hypo hesis o no mali y. The c.b. o  λk,  αk  k  1  p, he eigen alues and eigen ec o s o he sample co a iance ma ix a e gi en by (Enguix-Gonz´alez e al., 2000) , S  xi   λk  1 n  1I  xi  λk  O  n  2  and S  xi   αk  1 n  1I  xi  αk  O  n  2   being x1  xn he sample ealiza ion and I  x  λk  ,I  x  αk  he in luence unc ions o λk and αk  he popula ion eigen alues and eigen ec o s, I  x  λk   α  k  x  µ   2  λkand I  x  αk   α  k  x  µ  ∑ j   k α  j  x  µ  λj  λkαj  F om  S  xi   λk  and  S  xi   αk  se e al in luence measu e on  λkand  αka e p oposed. Finally, in sec ion 5, we show ha he c.b. can be applied in sampling om a ini e popula ion, when he in e ence is design-based. Mo eno-Rebollo e al. (1999) adjus he de ini ion o c.b. in o de o ob ain an in luence measu e in su ey sampling. Le U   u1  uN  be a ini e popula ionand    p     a samplingdesign de ined onU, le πi  i  1  N  be he i s o de inclusion p obabili ies. Le Ybe a cha ac e is ic o he popula ion,Y   Y1  YN  ,θ  θ  Y  he pa ame e o in e es and  θ   θ  s  an es ima o o θ, o s   . De ini ion 3. The condi ional bias o  θ  caused by he p esence o uiin he sample s  is de inedby S  Ii  1;  θ  E   θ  Ii  1   E   θ   being Ii  s  1i ui  s  Ii  s  0o he wise. Pa icula ly, i he Ho i z-Thompson (HT) es ima o ,  THT  ∑sYi πi  is conside ed, i is ob ained ha S  Ii  1;  THT  Yi1  πi πi  ∑ j   i Yj∆ij πiπj  283 being ∆ij  Co  Ii  Ij  ,i  j  1  N  on    p      Mo eno-Rebollo e al. (1999) p oposed o es ima e S  Ii  1;  THT  by he HT-es ima o based on he es ic ed sampling design, on he samples con aining ui,  SHT  Ii  1;  THT  Yi1  πi πi  ∑ j   i Yj∆ij πijπjIj  We no e ha bo h he c.b. and i s es ima ion depend on he sampling design, ha is a dis inc i e ea u e o he in luence measu es in sample su ey. 284