Cálculo fotoelástico de factores de intensidad de tensiones mediante desarrollos en serie. Estudio numérico

218 USWU.: ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL.7 {1990) C.UCUO I'O'lOEU.S'f.ICO H FAC!'OUS H Ift:USDU 11 'fDSmDS IIEIDftE IESAIJOU.OS :U SDD: . ES'fDIO llllfÚJ:CO. 1.. Hoóa. D4tputu.nto de tstoinioe. de t:Stdios Continuos . E. '!.'. S. !Dqenieros IMustrie.lu de S.villt.. Avdt.. r..w titroedes s/n. 41012 S.villt.. Los étodos fotoelí.stioos MÚ potentes pe.rt. utilau los ooefioientu de intensidt.d de tensiones son los q'l» unn los dt.tos fotoelútioos experiuntt.lu pt.n t.justt.r los ooefioientes del dne.rrolo en serie de las ñlloioMS de tension 00111pleju, a pt.rtir de lu o'llal.es se obtiene el cupo genert.l de tensioMS. En este tnbe.jo H rnliza UD. estudiO nuHriOO de la infl'l»ncit. en los ruultt.dos de t.lguDOS de los ft.otores q• infl~n en el proouo. En 00110reto se oonsidenn el tipo de ñlloión de e.juste utilizdt., el nwro de ooefioientes de e.juste USt.dos, '1 la iMlusión o no de otros pt.rÍ.Htros de t. juste. '1'» 1110st powrf\ll photoelutio ~~~ethods to obtt.in stress-intensity ft.otors t.re thon bued on strus-.funotion series expt.nsions. '1'» ooeffioients of this expt.nsions are fit to t» experiunte.l isoohromt.tio pt.ttern usinq t.n onrdetenainistio IHton-~phson lnst-squares uthod. In this pt.per, e. nUHrioe.l study has bnn Mde to t.MlfH t» infl'l»noe on the ru\llts o.f sevenl pe.rt.~~~eters, speoi.fiot.ll'f t» .fit funotion, t» n'Uiaber of fit ooeffioients, t.1'ld t» inolusion or not of other fit pe.rt.~~~eters 1 . - IlmODUCCIOJI' tensioMS en función de los factores de intenside.d de tensiones (FI'l') y, en su caso, de otros pt.rí.utros, perlllite plantear el proble~~~t. de buscar los nlores de XI y Xn (y de los otros pe.rí.aetros, si existen) qut consigan un ujor ajuste entre lt. ~te.(1) y los datos experiMentales. En principio, el problelllt. de Hti....r fotoelástiot.Hnte los factores de intensidad de tensiones X¡ y X¡¡ n plantea de for.... •111 siMple. La. foto.luticide.d proporoicm& el ve.lor de lt. tensión tangencial aáxiat. lia en los puntos de une. isooroaática de orden :1 en lt. for~~~t., De.lly. [1): silmdo A. el factor de franja y •e• el espesor de lt. plt.ot.. La. e.proxillt.oión del tensor de Inioial.aente lu expresiones de lt.s tensiones utilize.de.s .fueron lu del oe.apo sinq\llt.r , válido en puntos auy pr6xillos e.l borde de lt. griete., lo qut orn probleae.s al requtrir Hdide.s en ese. zona, en la qut ap&rltCel\ diversos tipos de no linee.lidades y en la qut los errores de Hdida pueden tener une. gran infl'I»JJIia. Posteriorunte f1111ron siendo usados aí.s ténliDos en lt.s ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL.7 (1990) 219 aprosiaaoiODH 4! J.u UDsioJlH 1 lo que potnitió upliar la zona de Mdi4a; Kte prOOHO oul.llin6 en aproxiaacioDH de lu tensioJIH en .forM de desarrollos en Mrit' en los crae la zona de Mdi4a pvde Hr 1 en prúloipio ~a 1 toMMo el ll'6Mro ~ de Unt1nos de la Mrit' (Yn [ 13) para \1JII. rHisión de Htodos) . En HU> trabajo H •utstru. priMro brn.-nt. los .fundu.ntos de los Htoclos de clHUTollo en Hrie (tmS) paÁDdOH l't11P90 a considerar la infi't»:ocia, en los ruultaclos nwricos obt.niclos 1 de una Hrie de .tactoru COMO son •l tipo cliP .tuDoión el• ajust• utilizada, el nÚHro de ~.fioiiPntH de ajust. usados '1 la i.nolusión o no el• otros paré.Htros cliP ajust.. 2 . ECVACIOIES BUICAS plano pu.d• s.r luncionts Z(z) '1 Z • X + iy (2). exprese.cla a partir de las fl(z) de la variabl• COMpl•ja Dos posiblK .for•s de la aiXX = P..Z¡ - y:üaZ' I + yafl' r - 2bflr ai:n .. P..Zr + y:üaZ' I - yatf I (2) arxr = - yM' I + ybr¡' r + X.flr anxx • 2I.Zn + ybZ' II - ybr¡' II - I•fln oiil'l' .. -yM' II + ybr¡' r - X.fln (3) aiixx .. P..Zn - y:üaZ' II + yiMfl II Por supuesto las repres.ntaoiODH de las e<:s. (2) 1 (3) son ~nlentu; 111 uso de distintas .hnoionts el• t.nsión tient por objiPtiYO siMpli.tioar las IPXprKiODH diP las oondioiODH de contorno •n los oasos el• cliP.fonaoión HqÚn el MOdo I (oaso siMtrioo) 1 el MOdo II (oaso antisiÑtrioo) . Asi, s~H crae •xist. lDII. grieta A'lliillde.fillida en J=O, X<O; lu OOlldioiOnts de contorno son: OI.SO ~ioo: aix 1 =0 •n :r=O ~ X.flr-0 en :r=O ai:n=o en r•0 1 x<O ~ P..Z¡-0 en 1=0 1 x<O (4) caso antisiMtrico: La nperposición de lu tensioriK en ubos Hta4os da el cupo total de tnsionts (6) ObYiuente las oondioiODH el• contonlo de.fillidas por las eou.oiODH(4) 1 (S) s6l.o reproduo.n el Ktaclo tensiOJI&l en un extreMo de la grieta por lo que el cupo tensiOJI&l de.filliclo por las e-cs.(6), (2) l' (3) no debe Hr usado para el ajuste de los estados tensiOJI&lK en zonas en las que infiuru ubos bordK de grieta. A continuación las .hnoiODH de tensión son clKarrolladas en Hrie de pote:ociu. Una for... de Ktos dKarrollos que atisfaoe las oondioiODH d• contonlo (4) 1 (S). adMS de conteMr los Wrai:r.os siil;ul.UK adeoUIII.dos es en las crae &o l' B0 son proporoiOll&les a los faotorK de intensidad de tensiOl'ltS ICI 1 ICn, que caracterizt.n el peso de las distribuoiODH siD;ularK el• tensión crae apareoton •n •l borde d• lDII. grieta. La idn de expresar las .hnoioDH de tensión Mdiute clHUTollos •n s.rie no es n"~»Ya. Fu& ya planteada por l':illius [3] 1 utilise.da en dinrsos trabajos [4,5,6,?] sobn la obt.:oción de IC¡ Mdiute t9cmcas fotoelásticas. Posterionente, esta Htoclolog:í.a b g&Mrü.izada [8) para tratar proble...s Mixtos, en los crae aparecen XI l' In (Ecs. (?) 1 (8)) . En HU> Hntido cabe HnoiOll&r crae en [8) la .tuDoión fln(z) no b i.noluida en el plant.ui•nto, a\mq\11t si r¡ 1 (z) . A priori, no parece haber n:i.n;une. razón para no incluir t'l 11 . Mi, si trataMos oon un prob1eK siMtrioo la solución gel'ltral debe Hg'Uir depeMiondo el• dos .hnoioDH de nriabl& 00111paja, tal 001110 apuntó St.nford (5] lo crae hace l'll'OKI.rio incluir flr(z); a DiYel fisioo, el priMer téraino del desarrollo de r¡ 1 (z) Kt( asociado al probl .... de lDII. plaoa SOHtida a tracción (o ooaprHión) horizontal(Oxx constante) siendo el ooe.fici.ente C0 proporcioll&l al téraino Oox utilizado en la literatura ,Inr.in, 220 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL.7 (1990) [9).bálo;uente 1, si tra.tuos oon un problna anti~rioo 1 la soluoi6n deb4t nr uprue.de. n .fullci.ón de dos .fullci.ODK Zu 1 Tlui a ni:vel .fisioo 1 el prilrter téna:i.Do del dHUTOllo de Tlu(z) ntá asociado al problna de \lll& plaoe. SOMtida a 110111tnto .fleotor ( Ou: li.J:lee.l. oon 1) . La sustitución de las eos. (7) 1 (8) en las eos. (2) 1 (3) 1 (6) penaite exprne.r las teDSiODK en función de los ooeficientes de los dH&rrollos '! de la variable z; poniendo @ste. n la .tona Z = rei9 A obtendria 1 siJabólioe.Mnte 1 (9) SustitU]'endo las ecs (9) en la ec. (1) obt.ndri'MOS la ecuación de \lll& isoorOIIIé.tioe. de orden 1 ¡ silllb6liouente ésta se escribiría (10) La aparioión .frecuente de una oiustioe. en el extreMO de la grieta Mc!t 1.001\Sejable ixlclu:i.r como parámetros de ajuste las coord~mt.du: del extreMO de la grieta 1 Xc 1 'f 0 1 una idea que 1a ha sido S'l'lglltrida oon anterioridad 1 P.osSIII.lli.th 1 [7) . Los ooe.ficientes de la 110. ( 1 o) • en nwro I+H+P+0+2-'1' , son calculados pe.rtioule.rizando dicha ecuación en S puntos de distintas isocromatioas, d•finidos oe.da uno d• •llos por unos valore-s r 51 95,Js (s=1,S). Así se obti•ne •1 siste.a no lineal de eouaoiODK. Si enqlobuos todos los ooe.fioientes en el vector It(t-11'1') lu ecs.(11) quedan F5(Xt) • O; s • 1, S (12) La eleooi6n M.s oo:nveni.ente para lldmm:ize.r los errores de medida es toMr 'l'<S lo que oon'lfierte las ecs. (12) en un :sisteM sobredetenainado no li.J:lee.l. de ecuaciones. Dicha sobredetenainación hace que en general dichas ecuaciones no puedan sa tis.faoerse exactuente 1 por lo que para oe.da vector Xt puede definirse un vector residuo Rs • F 5 (lt) . Hltdie.nte un método iterativo que OOMbi1ll. el método d• :IHton-Raphson (D) oon el de MÍMiDcs cuadrados [ 1 O] , se busoe. el oonjunto de valores de los ooe.fioientes (vector xt) que IDinimiza el módulo del vector rHiduo. 3. ASPEC!OS lltmlUCOS Esi.ste alqu:aa literatura [ 11] sobre el oomportuiento del ltitodo de Desarrollos en Serie (tmS) descrito, en el caso de existir sólo XI, pero no oo:DOCHOS estudios oompe.rables para situaciODK en lu que se produzoe. Xn sólo, o XI 1 Xn conjuntamente. Este trabajo intenta reai:ar un análisis del oomportuiento nwrioo del tmS en este Último caso. En priur lw¡¡e.r 1 oe.b4t unoione.r que existe un gran niaero de .factores susceptibles de variación a la hora de realizar un estudio nwrioo. lirmoionnos e.qui los ~: a) El tipo de .tunoión de ajuste a utilizar b) El :número total de ooe.fioientes de ajuste utilizados o) La inclusión o no de las coordenadas del borde de grieta en el ajuste d) La oonsidere.oión o no de la .función Tln e) La sol uci6n inioie.l escogida .f) El número de puntos de ajuste utilizados g) La distribución de estos puntos Es dificil MI.Ditje.r pare.Ñtrioe.unte todos estos .factores. En este trabajo hHos cubierto, a veou en .forma no exhaustiva, aspectos nwrioos relacionados oon los cuatro priuros apartados. El caso analizado se muntra en la Fig. 1. tttttt 39 85 Fig. 1 . Probeta utilizada Espesor: e=4 •· Factor de .franja A =0'75 Kql• Carga total aplioe.da.=27 !Cq. ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL.? (1990) 221 Deliberadamente se ha escogido una dimensión de la grieta para la que no existe solución analítica del problema en los manuales clásicos [ 12] . lfuestra definición de si un ajuste es o no aceptable se basará en el posterior trazado gráfico de dicho ajuste, q\111 se superpondrá y comparará a los puntos reales introducidos. Una fotografia del campo de isocromáticas obtenido se muestra en la Fiq. 2, correspondiente Fig.2. Campo de isooromáticas. a oampo claro . MeMás, se han usdo las isocroMáticas obtenidas en el correspondiente caMpo oscuro. Con objeto de no hacer intervenir los factores f) y q) se ha toMado un elevado nÚMero de puntos , l!>n concnto 443 puntos , q\111 se han distribuido sobre todas las isocromáticas, dl!>sdl!> E!>l orden 1 '5, corrl!>spondil!>nte a la más extl!>rna, basta el orden 7, correspondiente a la más interna. Un dibujo del conjunto de puntos se muestra en las Fiqs .4 y 5. Como solución inicial se ha tomado en todos los casos Kr = Krr = 1 y el resto de los coeficientes nulos. 4. ESTUDIO lfllt1tRICO Antes de entrar a definir los estudios panmétricos realizados debe mencionarse que en ocasiones el método de IR convl!>ncional no converQt adeouadamente,produciendose crecimientos de residuos entre dos iteraciones, lo que indica la existencia de un Minimo nlativo de. dicho residuo en el intervalo. Este hecho, comentado en otro trabajo [13], panoe estar asociado al aUMento del nwro de Minimos relativos de la función residuo a medida que aumentamos el nÚMero de oodicitmtes, pues no se ha presentado en ninquno dt> los casos para bajo nÚMero de coeficientes, en los cuales t>l método oonvencional dt> IR ha funoio:rrado adecuadamente. Para alto número de coeficientes si se ha encontrado con freo1»noia mal funcionamiento del método connncional. Consecuentemente se ha implementado un método de IR modificado en el cual se procede como siq1». Si t>l método convencional dá un nsiduo creciente, éste se evalua en la mitad del intervalo, en los dos tercios centrales, etc .. , reteniendo como residuo actual el primero q1» sea menor q1» el del intervalo completo. Con esta metodología se asegura la oonv~trQtnoia , al menos a un minimo r~tlativo. En la Fiq.3 se ha representado el valor 4 -e-RE(2-0-15)-FO-N 3.2 -&RE(2-0-15)-FO-NI'1 2.4 1.6 0.8 ITERACION o 4 6 8 1 o 12 14 16 18 20 22 24 Fiq.3. Evolución del residuo para el caso (2-015)-FO. 1: l:ittodo oonvencio:rral. 1M: l:ittodo Modificado d~tl r~tsiduo •n función d~tl nÚMero de iteraciones pan un oaso d• alto nÚMero de coeficientes con el Método oonvencional y con la. versión modificada del método. Esta versión modificada ha sido utilizada pan todos los casos q1» luego dt>tallanmos. 222 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL.7 (1990) La expresión básica ( 1) ¡n»de potm'H de d.istintu foraas (12).(13) F2 • (~ll 2 )(2ta)2_J2.o,,F 3 e (~ll2J2)(2ta)2_1•0 (14),(15) Obviuente todas son equivalentes si H ouapliera estriotuente la igualdad a oero, pero en el oaso real de ajuste eso :oo será así, oht•ni•ndOH UDU 0011pontntes d•l vector rHiduo •n los segundos MieMbros, por lo q• ot.lle pellAr p el optillo difiera de urta a otra fu:ooión. 4. 2. Otros .factores Las alternativas adoptadas se identifican por urta clan de tres nÚMeros a-b-o p indican, el priHro, si Xc, Yo se han illclu:i.do o :oo en el ajuste (valores 2 6 O); •1 segando, •1 nÚMero de ~rai:oos d•l desarrollo d• la fu:ooión 11n: (•o.(S)); y el tercero, •1 ZlÚIIIHo de ~Minos de le.s otru tres funoicmes Zr, Zn y TII (eos.(7) y (8), qW? se r~tpt.rten a pe.rtes igual.K Rtr• dlas. Los r•s!Jltados oht•nidos se a.stran •n la Tt.bla 1 Tabla 1 Resultados obtenidos ~ ave Fo F1 F2 F3 1.53 .985 1.71 .951 1.75 .922 1.45 .987 o-o-3 M M M M M M M M 0-1-3 1.59 1.00 1.76 .956 1.64 .920 1.54 .997 M M M M M M M M 2-0-3 1.62 .934 1.77 .904 1.84 .679 1.60 .926 R ' M 8 M 6 M R M 2-1-3 1.64 .947 1.78 .911 1.86 .884 1.64 .940 R M 8 M 8 M R M 0-0-15 1.73 .898 1.79 .883 1.79 .857 1.68 .896 M 8 R M 8 R M 8 M M 8 RH 0-5-15 1.88 .849 1.67 .856 1.86 .833 1.64 .866 M 8Hl M R(-2) M 8 M M 8(-1) 2-0-15 1.80 .866 1.88 .857 1.91 .848 1.79 .865 8 8 B(-1) 88 8(-2) 8 8 8(-2) 88RHl 2-5-15 1.94 .835 1.94 .647 1.94 .641 1.929 .848 8 8Hl 8 8(-1) 8 B(-2) ll 8 En uta' los dos n6Mros superioru d• oada recuadro son los valorK de Xr y Kn obtenidos. Lt.S dos l.tras infltrioru indican, la de la izqQierda(derecha) si el ajuste de las isocrolaáticas Más internas (externas) ¡n»de considert.rse bUit:oo (B), regult.r (:R) ó Malo (11). Si un ll'ÓHro :D~tg~.tivo n acoapaiia a estas l.tras indica q• •1 ajuste n 00110 se indica noepto •n las n isocroaáticas Más nterna.s, en p es Malo. El ciro\llo JIE!9l"O entre aabas l.tru indican p •1 ~o olásioo d• D. .falló en ese caso y p hubo d• s•r utilizada la IIOdi.ficaoión dnorita previaHnt•. kdo •1 16gioo grado d• subj•tividad qU~t oonllevt.n Htas ce.lif1caoicmes H MUIII'Stran en la Fig.4 el ajuste obtenido para el caso (0-0-3)- F3, p es u:oo de los peores, y en la Fig.5 el caso (2-5-15)-F3, 'l'lll putd• oonsid•rarse •1 ÓptiMO. + 1•1 + + ··++ ,: + + • S z ... + + + .• :{+ + + + + l ... 1 .. ~, •••••• ··' K1• 1.449"'' K2• 0.987 (b) Fiq.4. Conjunto d• puntos y ajust• en •1 oaso (0-0-3)-13. (a) :lista cercana.. (b) :liste. bjana ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA VOL.7 (1990) 223 + (•) K1• 1.929 K2• 6.848 (b) Fig-.5. Conju:nto de puntos y ajuste en el caso (25-15)-F3. (a): lista O«oall&. (b): lista lejana 5. COICLUSIOJIES Aunque los resultados obtenidos oo perraiten establecer conclusiones tajantes, pueden hacerse los siguientes oora.ntarios: a) El posible .fallo del útodo convet~Ci.oW de n es raí.s probable para un nwro de coe.fioientes alto, pres'tllllihle~Mnte porque a MS coe.fioientu mis IIIÍnimos relativos de la .fu:noión residuo. La presencia de la .fulloiÓn T]u timl un claro efecto estabilizante b) El uso dto distintas .ftmoiont's dto ajuste puedt' provocar s~msibles variacioi'IH; esto u MS acusado para u:n nwro bajo de coeficientes. Así, H eoo'l»ntran variaoiones en r:¡ de hasta el 21r para el caso 0-0-3, adentras que éostas oo llegan al ?r para el caso 0-0-15. lo parece posible definir clararaente 1ll\t .fuooión de ajuste ejor que las otras, aunq'l» cabe deoir q'l» en el caso 2-5-15 el ajuste ejor s. consiguió con la .fu:noión F3. e) La inclusión de los pa.rí.etrosw Xc,'fc provoca va.riaoiones de X¡ r X u que ll~ al 1 o. 3 1 6. 2r para bajo nwro de ooe.fioientes 1 son algo MllOrH (6. 7 1 3.6r) para alto n'Óiaero de ooe.fioientes. La inclusión de dichos parietros es esenoia1 para conHguir un b'l»ll ajuste oercaoo (del que M5 van a depender 1UlOS bl»oos valores de los coeficientes de int.nsi.ficaoión de tensionn) r H también olaruente hmtfioiose. para conseguir 1li'I b"t»n ajuste en zo:nas más alejadas. d) La inclusión deo la .fuooión TI¡¡ provoca nriaoiones de X¡ r X¡¡ que llegan al 6 . 2 y 4. 4r para bajo n'Óiaero de coeficientes r son algo aayores (9.5 1 5.5r) para alto nwro de coeficientes. Su efecto K nulo para el ajuste oercaoo, COMO era de esperar, y claramente positivo para el ajuste lejaoo. e) La inclusión conjunta de Xc•1o 1 de la función TJu provoca variaoioi'IH en lC¡ 1 X¡¡ de hasta el 13.1 y 8.9 para bajo núMero de coeficientes 1 dl'l 14.9 r ?r para alto ltÍIIMtro de coeficientes. n efecto de estos par'-tros es ootorio sobre el ajuste 1 cabe OODC111ir que deberia.n s.r siempre inol1Iidos. eo) A'Ón en el caso de que los ajustes sean en general b"t»oos hay 1ll\t aparente dificultad de aj\'IStar la isocromática M5 leja:na, quizás por el Moho de s.r uta la de banda M.s aooha. 6. Ul'DEICIAS [ 1 ) Da.ll y , J . 1'. R:í.ley , 1'. F . ( 1978) "Experimental stress analysys" , lfcgrav-Ri.ll. [2] lfaskhelishvili, I.I. (1953) "Scme basic problems of the aathellttioal theory of nasticity" . loordhoff. [3) l'illians, li.L. 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