Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad

https://support.content.office.net/es-es/media/b0b4f460-b78c-4483-ba04-58c5b633215b.png Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Ingeniería Civil Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad Autor: Francisco José Amarillo Herrero Tutor: Antonio Martinez De La Concha Dep. Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016 ii iii Trabajo Fin de Grado Ingeniería Civil Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad Autor: Francisco José Amarillo Herrero Tutor: Antonio Martinez De La Concha Dep. de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2016 iv Proyecto Fin de Carrera: Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad v Autor: Francisco José Amarillo Herrero Tutor: Antonio Martinez De La Concha El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2016 El Secretario del Tribunal vi vii A mi tutor, Antonio Martinez, por su ayuda y dedicación en todo momento. A mi familia y amigos, por su apoyo y cariño. A M.G., por su paciencia. viii ix Resumen El presente trabajo consiste en modelar mediante elementos finitos en el software Sap2000 [14] un tramo de una linea de alta velocidad que es atravesado por un paso inferior en forma de marco prefabricado. Se realizará un estudio dinámico sometiendo a la infraestructura al paso de los trenes envolventes correspondientes de alta velocidad, establecidos por la normativa IAPF-07 [1] (familia de trenes HSLM-A). El objetivo fundamental es obtener, en determinados puntos, los desplazamientos y aceleraciones máximas en función de la luz del marco (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15 y 20 metros) y de la calidad del terreno natural bajo el terraplén que constituye la plataforma. Se estudiarán terrenos pertenecientes a los cuatro grupos definidos según la norma NCSE-02 [13] en función de la velocidad de propagación de las ondas. Previamente se justificarán dos decisiones fundamentales: el tamaño de malla y la estrategia de cálculo. En lo referente al tamaño de los elementos que componen el modelo, se realizará un análisis de sensibilidad con cinco mallas diferentes y en función de la convergencia de los resultados se eligirá una malla u otra. En cuanto a la estrategia de cálculo, esta debe estar compuesta por un método resolutivo para el problema dinámico que no conlleve un gasto computacional excesivo. Se usará por tanto el cálculo por integración modal a modo cualitativo para averiguar cuáles son los trenes resonantes en cada uno de los casos, para cada luz interior del marco y para cada tipo de terreno natural. Posteriormente se abordará el cálculo por integración directa de cada modelo sometido únicamente a las solicitaciones de dicho tren resonante. De esta forma se consigue reducir la envergadura del problema, sometiendo a la infraestructura al paso de un solo tren, lo cual permite obtener resultados precisos con un gasto computacional coherente. Finalmente se obtendrá el coeficiente de impacto del marco, las aceleraciones en la losa superior del marco y las aceleraciones en la capa de balasto. Estos resultados se compararán con los límites establecidos por la normativa en cuanto a flechas y aceleraciones del tablero del marco y aceleraciones de la capa de balasto en relación con la posible licuefacción del mismo. xvi Figura 31. Convergencia del mallado para los desplazamientos máximos. 42 Figura 32. Convergencia del mallado para las aceleraciones máximas. 44 Figura 33. Descensos verticales máximos de la losa superior del marco con 100 modos. 45 Figura 34. Descensos verticales máximos de la losa superior del marco con 200 modos. 46 Figura 35. Descensos verticales máximos de la losa superior del marco con 300 modos. 46 Figura 36. Descensos verticales máximos de la losa superior del marco con 400 modos. 47 Figura 37. Descensos verticales máximos de la losa superior del marco con 500 modos. 47 Figura 38. Descensos verticales máximos de la losa superior del marco con 600 modos. 48 Figura 39. Descensos verticales máximos de la losa superior del marco con 700 modos. 48 Figura 40. Descensos verticales máximos de la losa superior del marco con 800 modos. 49 Figura 41. Descensos verticales máximos en la losa superior del marco. Análisis modal empleando 500 modos de vibración. 52 Figura 42. Desplazamientos verticales de la losa superior del marco en el tiempo de tránsito del tren A10 a 230 km/h. 53 Figura 43. Ascensos verticales máximos en la losa superior del marco. Análisis modal empleando 500 modos de vibración. 53 Figura 44. Desplazamientos verticales de la losa superior del marco en el tiempo de tránsito del tren A10 a 390 km/h. 54 Figura 45. Desplazamientos verticales de la losa superior del marco en el tiempo de tránsito del tren A10 a 380 km/h. 55 Figura 46. Desplazamientos verticales de la losa superior del marco en el tiempo de tránsito del tren A1 a 360 km/h. 55 Figura 47. Desplazamientos verticales de la losa superior del marco en el tiempo de tránsito 56 Figura 48. Coeficiente de impacto en función de la luz del marco y del cálculo empleado. Terreno tipo I. 58 Figura 49. Coeficiente de impacto en función de la luz del marco y del cálculo empleado. Terreno tipo II. 58 Figura 50. Coeficiente de impacto en función de la luz del marco y del cálculo empleado. Terreno tipo III. 59 Figura 51. Coeficiente de impacto en función de la luz del marco y del cálculo empleado. Terreno tipo IV. 60 Figura 52. Relación luz – Coeficiente de impacto (terreno natural tipo I). 62 Figura 53. Relación luz – Acel. Losa sup. (terreno natural tipo I). 62 Figura 54. Relación luz – Acel. Balasto (terreno natural tipo I). 63 Figura 55. Relación luz – coeficiente de impacto (terreno natural tipo II). 64 Figura 56. Relación luz – Acel. Losa sup. (terreno natural tipo II). 64 Figura 57. Relación luz – Acel. Balasto (terreno natural tipo II). 65 Figura 58. Relación luz – coeficiente de impacto (terreno natural tipo III). 66 Figura 59. Relación luz – Acel. Losa sup. (terreno natural tipo III). 66 Figura 60. Relación luz – Acel. Balasto (terreno natural tipo III). 67 Figura 61. Relación luz – coeficiente de impacto (terreno natural tipo IV). 68 Figura 62. Relación luz – Acel. Losa sup. (terreno natural tipo IV). 68 Figura 63. Relación luz – Acel. Balasto (terreno natural tipo IV). 69 Figura 64. Coeficiente de impacto en función de la luz y del tipo de terreno. 70 Figura 65. Aceleración en la losa superior del marco en función de la luz y del tipo de terreno. 71 xvii Figura 66. Aceleración en la capa de balasto en función de la luz y del tipo de terreno. 72 xviii 1 1 INTRODUCCIÓN, METODOLOGÍA Y OBJETIVOS 1.1. Introducción. 1.1.1. Motivación y problemática existente. Desde la construcción de la primera línea de la TGV francesa en 1981 el ferrocarril de alta velocidad se ha convertido en uno de los temas con mayor interés dentro de la ingeniería europea, teniendo su eco en España, el 21 de abril de 1992, día en el que salió el primer AVE con origen en la estación madrileña de atocha y destino Sevilla. De ahí en adelante se han construido en España 2600 Km de líneas de alta velocidad, lo cual supone un cambio en el concepto de largo recorrido, reduciendo de forma notable el tiempo de transporte para viajeros y mercancías con el consiguiente beneficio social que supone. En el diseño de las infraestructuras ferroviarias se hace necesario en muchas ocasiones la construcción de una estructura de vía en forma de puente, viaducto u obra de paso. Si se trata de trenes de alta velocidad esta situación se intensifica debido a los condicionantes geométricos del trazado, lo cual hace que el estudio exhaustivo de este tipo de obras sea de vital importancia. Cuando aparecen estas zonas a lo largo de la vía, se generan cambios bruscos de rigidez que se tratan de paliar mediante la introducción de las denominadas cuñas de transición, cuya misión es graduar la deformabilidad longitudinal de la vía. Sin embargo, la experiencia demuestra que, a pesar de ello, es en estos puntos dónde se producen los mayores asientos diferenciales debido a la sobreexcitación de los vehículos ferroviarios (resonancia), esto se traduce en un incremento de los desplazamientos y aceleraciones verticales. Con la aprobación de la Instrucción española de acciones a considerar en puentes de ferrocarril, IAPF-07 [1] se impusieron restricciones dinámicas muy fuertes a las flechas y aceleraciones verticales generadas en las obras de vía, ya sean puentes, viaductos, marcos prefabricados, bóvedas, etc. . Figura 1. Paso del tren AVE sobre el rio Júcar. 1. Introducción, metodología y objetivos 2 Así como una masa colocada instantáneamente sobre un muelle sin amortiguamiento, experimenta una oscilación cuya amplitud es el doble de la deformación estática, lo que supone que las tensiones y las deformaciones en el muelle llegan a duplicar las correspondientes estáticas, la rápida entrada en carga debida a la velocidad del vehículo asociada a los efectos de inercia de la estructura puede aumentar considerablemente las tensiones y deformaciones. Esto puede traer consigo numerosas consecuencias negativas para la infraestructura. Con el objetivo de predecir estas tensiones y deformaciones, con el paso del tiempo se ha ido aumentando la capacidad computacional de cálculo, haciendo posible la realización de modelos de elementos finitos capaces de simular el comportamiento de dichas infraestructuras, así como las interacciones de los diferentes elementos que la componen. Estos modelos se basan en idealizar un conjunto de elementos, dotándolos de unas características físicas y mecánicas diferentes y sujetos a su vez a unas determinadas cargas y condiciones de contorno. Dependiendo del tipo de análisis, las cargas, su forma de aplicación y el método de cálculo, la implementación de los modelos será diferente. 1.1.2. Resonancia. Con el paso de sucesivas cargas equidistantes a una velocidad constante se puede amplificar de forma excesiva la respuesta de la estructura y producirse la resonancia. Este efecto se produce cuando la frecuencia de excitación de las cargas o algún múltiplo, coincide con alguna frecuencia natural, o lo que es lo mismo, la longitud característica Dk de separación de los ejes coincida con un múltiplo entero de la longitud de onda de la excitación, definida como λ = ν /ƒ0 (siendo ν la velocidad y ƒ0 la frecuencia de vibración de la estructura). λ = Dk i,i=1,2,3,4…→Resonancia Es este fenómeno resonante uno de los motivos principales que ha obligado a actualizar las instrucciones y normas de diseño, obligando a realizar en los casos que así lo requieran, cálculos dinámicos. Entre estas nuevas instrucciones cabe citar la italiana [3], el Eurocódigo 1 [2] y la Instrucción de Acciones en Puentes de Ferrocarril (IAPF) [1]. 1.1.3. Licuefacción del balasto. El paso de los trenes da lugar a unos esfuerzos en la capa de balasto que hace que sus partículas se aceleren y vibren, siendo este efecto mucho mayor si el tren que pasa por encima es de alta velocidad afectando directamente a la capacidad de reacción que tiene el balasto ante los esfuerzos transmitidos por la traviesa. Un exceso de aceleración en el balasto puede dar lugar a la pérdida de rozamiento entre sus partículas (se convierte en una especie de fluido viscoso) lo que provocaría perdida de contacto entre caras de traviesa, perdida de rigidez vertical y resistencia lateral. Este rápido deterioro de la estabilidad del lecho de balasto puede provocar el movimiento del carril y por tanto de la vía, perdiendo alineación y calidad geométrica en general. El comportamiento del balasto bajo vibraciones depende de la velocidad y la aceleración que llegan a tener sus partículas. Morgan y Markland (1981) demostraron que una cierta vibración aplicada al material granular puede incrementar su resistencia portante y nivel de compactación en una vía. Karrech (2008) realizó unos experimentos cuyos resultados estarían en concordancia con este hecho, ya que tal y como se indicaba, gracias a la aplicación de una carga cíclica a frecuencias no muy altas, las partículas de balasto se mueven y recolocan, provocando un asiento inicial, pero que consolidan el material granular de forma que se evitan asientos posteriores. De forma sencilla se podría explicar que este empaquetamiento es muy parecido a la precarga que se realizaría para mejorar la capacidad portante en un suelo blando. Sin embargo, a pesar de los hallazgos anteriores, el comportamiento depende de las condiciones y características de la carga aplicada. Es cierto, como se ha comentado anteriormente, que, en casos de carga reducida a frecuencias bajas durante un periodo de tiempo pequeño, se obtiene un efecto positivo, pero esto no siempre es así, también pueden surgir problemas graves. Estos aparecen a partir de aceleraciones del orden de 0.7 - 0.8g (según diferentes autores), el material granular se descompacta, pierde fricción en los contactos de los granos, se forman huecos de mayor tamaño y el balasto comienza a comportarse como si fuera un fluido Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 3 incrementándose los desplazamientos verticales y disminuyéndose mucho la resistencia lateral de la vía. Finalmente, lo que ocurre es una pérdida de capacidad portante y resistente de la vía, un hecho bastante grave. El nivel crítico donde se produciría la licuefacción total del balasto se produce al llegar a 1.4 - 1.6g. En relación con lo anterior se constató mediante unos ensayos realizados por los Ferrocarriles Franceses que la aceleración máxima en el interior de la capa de balasto es mayor que la aceleración aplicada en la superficie de la capa ensayada, con una diferencia de aproximadamente el 15%. Esto explica porqué diversos autores hablan de la inestabilidad del balasto al llegar a 0.8g ya que se deduce que ese valor de aceleración no se toma en el interior de la capa de balasto, sino en la superficie del mismo, por ejemplo, en la cara inferior de la traviesa. Establecer el límite ahí de 0.8g significaría un valor límite en el interior del balasto próximo a 1g, quedando un coeficiente de seguridad de proximadamente 1.5. 1.2. Objetivos. El desarrollo computacional de los últimos tiempos ha permitido realizar cálculos dinámicos más precisos de las estructuras de vías de alta velocidad, tratando de predecir el comportamiento de la forma más exacta posible y con ello afrontar el diseño con las mejores garantías y así poder cumplir con las necesidades económicas, estéticas y de confort en los pasajeros. El presente trabajo se centrará en el estudio de la influencia de la luz en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad, teniendo en cuenta diferentes tipos de terreno natural (base del terraplén) y usando el esquema de cargas para interoperabilidad HSLM (High Speed Load Model), propuesta novedosa que puede usarse como envolvente dinámica de los trenes reales [4]. Será un tramo provisto de dos vías, una para cada sentido, de las cuales se modelará y someterá al paso de los trenes una de ellas. Se pretende modelizar un tramo de vía como el que se muestra en la imagen inferior. La longitud de vía modelizada será de 25 metros para luces del marco de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 metros; y de 35 metros para luces de 12, 15 y 20 metros. Figura 2. P.K. 315.9 linea de AVE Madrid-Sevilla vista hacia el sur. 1. Introducción, metodología y objetivos 4 El marco es una estructura de hormigón armado que, mediante su disposición en forma de galería, consigue resolver pasos para animales, pasos inferiores peatonales, canalizaciones hidráulicas, colectores de drenaje, galerías de servicios (electricidad, agua, gas, telecomunicaciones, etc.), pasos para pequeños vehículos bajo calzadas, vías de ferrocarril y aeropuertos. Son elementos de hormigonado “in situ” de sección rectangular hueca acartelada, en forma de “cajón” y de longitud variable. Están formados por losas en dintel y en solera empotradas en paredes laterales. La unión entre módulos es machihembrada, con unión elástica o rígida en función de los materiales de relleno y sellado a emplear. Figura 3. Marco para paso inferior de ferrocarril Casariche-Badolatosa. Figura 4. Marco pasa paso inferior de ferrocarril en Zamora. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 5 Para modelizar la infraestructura descrita se realizará un modelo de elementos finitos en 3D mediante el software SAP2000 [14], con la ayuda de Catia [15] (geometría 3D) y Abaqus [16] (mallado). Se estudiará su comportamiento dinámico debido al paso de los trenes envolventes correspondientes de alta velocidad, establecidos por la normativa IAPF-07 [1] (10 trenes HSLM-A). El objetivo fundamental es obtener, en determinados puntos, los desplazamientos y aceleraciones máximas en función de la luz del marco (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15 y 20 metros) y de la calidad del terreno natural inferior. Se estudiarán cuatro tipos de terreno natural de rigidez diferente, cada uno de ellos perteneciente a uno de los tipos definidos según la norma NCSE-02 [13] en función de la velocidad de propagación de las ondas. Suponiendo una velocidad de onda (una dentro de cada intervalo que define un tipo de terreno), una densidad aparente de 18 kN/m3 y un módulo de poisson de 0.35, se obtiene el módulo de elasticidad de la siguiente manera: Sabiendo la relación entre la velocidad de propagación de las ondas y el módulo de rigidez transversal se obtiene que: 𝐺=𝜌∙(𝑉𝑝)2 ( 1.1) Y usando la relación existente entre el módulo de Young y el módulo de rigidez transversal, se consigue el valor de rigidez del terreno en función de la velocidad de propagación de las ondas en el mismo. 𝐸=2∙𝐺∙(1+𝜈) (1.2) De esta manera se consiguen las rigideces del terreno natural que se usarán en los cálculos, los cuales serán: Terreno Vs (m/s) r (Kg/m3) ν G (N/m2) E (Mpa) Tipo I 750 2038,735984 0,35 1146788991 3096 Tipo II 400 2038,735984 0,35 326197757 881 Tipo III 200 2038,735984 0,35 81549439,4 220 Tipo IV 100 2038,735984 0,35 20387359,8 55 Tabla 1. Valores de rigideces del terreno natural. Los resultados que se buscan son los desplazamientos máximos y aceleraciones máximas del punto más desfavorable de la losa superior del marco (punto 1) y las aceleraciones máximas generadas en la superficie superior del balasto (punto 2). La localización de estos dos puntos con exactitud será: - Punto 1: nodo situado en la media luz de la losa superior del marco en el punto medio o más cercano al punto medio entre los dos carriles de la vía cargada. - Punto 2: nodo situado en la superficie superior de la capa de balasto bajo traviesa, en la media luz del marco, entre los dos carriles de la vía cargada. Con los máximos desplazamientos de la losa superior del marco se obtendrá el coeficiente de impacto para cada luz y tipo de terreno comparándolo con el desplazamiento para carga estática (Tren HSLM-A1 a 20 km/h), según la expresión B.1 de IAPF-07 [1]. Esto se detalla en el capitulo 2 con detalle. Finalmente se evaluará para cada tipo de terreno natural la influencia que tiene la variación de la luz del marco en los siguientes aspectos: 1) Variación del coeficiente de impacto del marco prefabricado. 1. Introducción, metodología y objetivos 6 2) Variación de la aceleración vertical máxima del punto más desfavorable de la losa superior del marco (punto 1). 3) Variación de la aceleración vertical máxima de la capa de balasto. Se tomará el valor de aceleración en la superficie superior del balasto (punto 2) 1.3. Metodología. En primer lugar, se ha generado un modelo 3D de elementos finitos en Sap2000 [14] siguiendo los siguientes pasos: 1) Se ha generado una geometría en Catia [15] correspondente a un tramo de vía compuesto por una base de 5 metros de profundidad de terreno natural, un terraplén de pendiente 2:1 sobre el que descansa una cama de 0.5 metros de balasto con pendiente 3:2. El ancho del modelo viene determinado por una geometría predefinida para el paso de 2 lineas de ferrocarril, una para cada sentido con ancho internacional de 1,435 m. Figura 5. Geometría en Catia [15]. 2) Exportando la geometría anterior a Abaqus [16] se ha mallado el modelo con tetraedros diviendolo en 4 celdas cada una de ellas compondrán las traviesas, el balasto, la cuña de transición y el terreno natural. Figura 6. Malla de elementos finitos en Abaqus [16]. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 7 3) Una vez realizado esto se ha obtenido el archivo .inp generado or Abaqus [16] que contiene las coordenadas de los nodos generados y mediante una aplicación de Visual Basic, se ha generado un modelo en Sap2000 [14] al cual posteriormente se le ha añadido el carril (beam) y las losas y hastiales del marco (Shell). Una vez realizado el modelo se han introducido las cargas móviles mediante una aplicación de Visual Basic a partir de casos simples de cargas previamente colocados en los nodos del carril situados sobre la mitad del ancho de cada traviesa. Finalmente se ha abordado la solución del modelo buscando una estrategia de cálculo cuyo método resolutivo del problema dinámico no conlleve un gasto computacional inviable. Se usará por tanto el cálculo por integración modal a modo cualitativo para averiguar cuál es el tren más desfavorable para cada caso de luz del marco y terreno natural, este será el tren que genere una gráfica desplazamientos – tiempo semejante a la que se muestra en la siguiente figura. Figura 7. Modelo 3D en Sap2000 [14] 2. Revisión del estado del arte 14 Figura 11. Carril sobre apoyos discretos con mass rígidas modelizando las traviesas. (1) carril, (2) rigidez y amortiguamiento de la almohadilla, (3) traviesas, (4) rigidez y amortiguamiento del balasto, (5) masas rígidas simulando la masa del balasto y de la plataforma y (6) rigidez y amortiguamiento de plataforma. Con este modelo se pueden obtener hasta cuatro modos de resonancia de vía. Fuente: Oscarsson [20]. Los parámetros que son necesarios predefinir son: - Rigideces de almohadillas, balasto y plataforma. - Amortiguamientos de almohadillas, balasto y plataforma, - Masas de traviesas, balasto y plataforma. Sin embargo, hay ciertos parámetros fijos y otros aleatorios, estos últimos son: - Rigidez de la sujeción. - Rigidez del balasto. - Masa dinámica del conjunto balasto-capas de asiento. - Separación entre traviesas. En la figura 2.4 se observa que hay una conexión entre las diferentes masas de balasto y plataforma, esto se hace para conseguir modelizar la influencia de una traviesa respecto las contiguas. La compatibilidad de deformaciones provoca que la deflexión de un punto en una traviesa influya en la deflexión de las traviesas adyacentes. Esta es otra carencia de los modelos de viga sobre apoyo continuo o discreto. El principal problema de este modelo es saber cuánta masa de balasto y de plataforma hay que incluir para acercarse al comportamiento dinámico real. Lo que se hace para averiguarlo es calibrar este modelo con otro más avanzado (3D) que incluya todas las masas, o al menos un porcentaje considerable de las masas que participan en el comportamiento inercial de la vía. 2.2.4. Viga (carriles) sobre traviesas apoyadas sobre un continuo. Modelos de elementos finitos en dos y tres dimensiones. Esta manera de modelizar la infraestructura ferroviaria es sin duda la más real, pero a la vez, es la que necesita de mayor potencia computacional. El carril y las traviesas se modelizan como vigas y elementos sólidos respectivamente. La parrilla de vía (carril sobre traviesas) se forma haciendo compartir los nodos de las traviesas con los del carril cada vez que estos se cruzan. Dicha parrilla descansa sobre un cuerpo continuo tridimensional simulando las capas de asiento y terraplén. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 15 Figura 12. Carril sobre traviesas apoyadas sobre un cuerpo continuo en tres dimensiones. Fuente: Handbook of Railway vehicle dynamics [18]. La principal ventaja respecto a los modelos anteriores es, que permiten establecer el estado tensional y las deformaciones de los diferentes componentes y capas de material. Además, el hecho de que sea en tres dimensiones permite cubrir casos en los que el comportamiento de la infraestructura de vía no sea simétrico debido a la zona de aplicación de las cargas. Esto último es la principal razón por la que se ha optado para este trabajo por hacer un modelo en tres dimensiones, ya que el cálculo dinámico según indica la normativa correspondiente (IAPF-07 y Eurocódigo-1) debe realizarse para el caso de una vía de doble sentido, aplicando la carga únicamente en una de las vías, lo cual hace que el comportamiento resistente no sea simétrico. Historicamente el método de los elementos finitos fue utilizado por autores como Robnett et al. (1976), López Pita (1976) [20], Raymond y Turcke (1979), Sauvage y Larible (1982) [21], Profillidis (1983) [22], Sahu et al. (1999) [23] Mira et al. (2000) [24], entre otros. En otros muchos destacan los estudios que en la década de los 80 realizara con el programa ROSALIE Profillidis en L’Ecole National Des Ponts et Chaussées, ya que los resultados que se obtuvieron fueron incorporados por el Comité D-117 de la ORE en la ficha UIC 719R (1994), donde se recogen los ábacos de dimensionamiento de las estructuras de apoyo de vía. En la siguiente figura se pueden observar algunos de los trabajos más relevantes de elementos finitos en el ámbito ferroviario. 2. Revisión del estado del arte 16 Figura 13. Algunos modelos FEM 3D desarrollados. Fuente: Tesis de Teixeira P.F [25] y de Gallego G. I. [26] 2.3. Solución el problema dinámico de cargas móviles. 2.3.1. Trabajos y publicaciones sobre soluciones al problema de cargas móviles. El problema dinámico del paso de cargas móviles tiene un alto interés en el ámbito ingenieril en el campo del diseño de puentes de ferrocarril o infraestructuras de vía (tubos, marcos, etc). Lo que se hace para simular el caso real, es una idealización del vehículo como un conjunto de cargas concentradas que se van desplazando sobre una línea a velocidad constante. Para una carga general sobre una estructura genérica, la técnica acude a métodos de integración paso a paso, “Step-by-Step”, (véanse en el libro de Clogh y Penzien [5]), y en particular, como método más difundido, el método de integración Newmark-Beta [6]. En cuanto a la modelización en el dominio del espacio mediante elementos finitos destacamos, entre otros, los trabajos de Calçada et al [7], Kim et al. [8], Kwark et al. [9] y Karoumi [10] en su aplicación a puentes colgantes y atirantados. El problema de esta metodología de integración directa es que, al fin y al cabo, se trata de una aproximación en el dominio del tiempo mediante el parámetro del paso temporal, de modo que parar obtener soluciones suficientemente aproximadas dada la baja tasa de amortiguamiento impuesta por la Instrucción [1], se necesitan pasos de tiempo muy pequeños con el gasto numérico que eso conlleva. 2.3.2. Integración directa en el tiempo. La aproximación más genérica para la solución de la respuesta dinámica en estructuras es la integración directa de la ecuación básica de equilibrio dinámico. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 17 [𝑀]{𝑈󰇘}+[𝐶]{𝑈󰇗}+[𝐾]{𝑈}={𝐹} (2.1) Como la ecuación se debe cumplir para todo tiempo t, también será válida para t + ∆t [𝑀]{𝑈󰇘𝑡+∆𝑡}+[𝐶]{𝑈󰇗𝑡+∆𝑡}+[𝐾]{𝑈𝑡+∆𝑡}={𝐹𝑡+∆𝑡} (2.2) Donde M es la matriz de masa, C es la matriz de amortiguamiento, [K] es la matriz de rigidez de la estructura, {F} es el vector de fuerzas externas, y {𝑈}, 󰇘{𝑈} 󰇗,{𝑈} son las aceleraciones, velocidades y desplazamientos modales, respectivamente. El hecho de que las matrices [M], [C] y [K] no tengan subíndices de tiempo quiere decir que estas son constantes a lo largo del mismo, no depende de {𝑈}, 󰇘{𝑈} 󰇗 ó {𝑈} y se tratará el problema como lineal. Si se quisiera abordar la no linealidad del material, la matriz dependería del vector desplazamiento en cada instante de tiempo. Las matrices [M] y [K] son relativamente sencillas de conseguir, pero no ocurre lo mismo con el amortiguamiento, [C]. Si se obviara el amortiguamiento (C=0) la energía se conservaría y no habría disipación de la misma de manera que la suma de la energía cinética y de la energía de deformación sería constante en todo el tiempo. De forma que obtendríamos una integral primera de la ecuación diferencial de equilibrio dinámico, a través de la cual encontrar la solución. 2𝐸={𝑈󰇗𝑡𝑇}[𝑀]{𝑈󰇗𝑡}+{𝑈𝑡𝑇}[𝐾]{𝑈𝑡}={𝑈󰇗𝑡+∆𝑡 𝑇}[𝑀]{𝑈󰇗𝑡+∆𝑡}+{𝑈𝑡+∆𝑡 𝑇}[𝐾]{𝑈𝑡+∆𝑡} (2.3) Sin embargo, el análisis anterior sin considerar la pérdida de energía debido al amortiguamiento puede resultar no eficiente en el campo de las estructuras, ya que los propios materiales disipan una gran cantidad de energía gracias a su propio amortiguamiento. A raíz de eso se han ido desarrollando algunos métodos con el objetivo de introducir este amortiguamiento. Será un amortiguamiento artificial, debido a la dificultad para encontrar su valor exacto. Una manera de hacer esto es usando el método de Rayleigh, expresando la matriz de amortigüamiento como una combinación linal de las matrices de masa y de rigidez (esto es lo que se hará en este trabajo, tanto en el método de Newmark como para la integración mediante modos de vibración). [𝐶]=𝛼[𝐾]+𝛽[𝑀] (2.4) Como se pretende que los coeficientes sean prácticamente uniformes, ajustamos su valor para las frecuencias correspondientes al primer y último modo obtenido con el análisis modal, es decir ajustamos su valor para los modos 1 y 500 de forma que los valores de α y β considerados, partiendo de valores de ξa y ξb propuestos en la bibliografía, ambos de valor 0.02, serán: 𝛼=2𝜀𝛼𝜔1𝜔500 𝜔1+𝜔500 (2.5) 𝛽=2𝜀𝛽1 𝜔1+𝜔500 (2.6) Para obtener la solución del sistema de ecuaciones (2.1) se han desarrollado diversas técnicas numéricas, las cuales se pueden clasificar como Explícitas, Implícitas o Mixtas. 2. Revisión del estado del arte 18 Métodos explícitos - No necesitan información en el paso de tiempo t + ∆ t para predecir la respuesta en el tiempo t + ∆ t, es decir: {𝑈𝑡+∆𝑡}=𝑓({𝑈𝑡} ,{𝑈󰇗𝑡} ,{𝑈󰇘𝑡} ,{𝑈󰇗𝑡−∆𝑡} ,…) (2.7) - Son condicionalmente estables, lo cual indica que el tamaño del incremento de tiempo (∆t) tiene que ser menor que un valor crítico. En caso contrario la solución diverge. Métodos implícitos - Necesitan información en el paso del tiempo t + ∆ t para predecir la respuesta en el tiempo t + ∆ t, es decir: {𝑈𝑡+∆𝑡}=𝑓({𝑈𝑡} ,{𝑈󰇗𝑡+∆𝑡} ,{𝑈󰇘𝑡+∆𝑡} ,…) - Es posible utilizar pasos de tiempo mayores que los utilizados en los métodos explícitos. - Pueden ser incondicionalmente estables o condicionalmente estables. (2.8) 2.3.2.1. Método de Newmark. Newmark en 1959 presentó una familia de métodos de integración para la solución de problemas estructurales dinámicos. La descripción que sigue puede encontrarse en los manuales de teoría de Ansys [11] y en el libro de Klaus-Jürgen Bathe de la referencia [12]. Para ilustrar el método se parte de la ecuación de equilibrio dinámica: [𝑀]{𝑈󰇘𝑡+∆𝑡}+[𝐶]{𝑈󰇗𝑡+∆𝑡}+[𝐾]{𝑈𝑡+∆𝑡}={𝐹𝑡+∆𝑡} (2.9) Aplicando la serie de Taylor para aproximar las funciones 𝑈 ,𝑈󰇗; {𝑈𝑡+∆𝑡}={𝑈𝑡}+∆𝑡{𝑈󰇗𝑡}+∆𝑡2 2! {𝑈󰇘𝑡 }+∆𝑡3 3! {𝑈 󰇙𝑡 }+⋯ (2.10) {𝑈󰇗𝑡+∆𝑡}={𝑈𝑡󰇗}+∆𝑡{𝑈󰇘𝑡}+∆𝑡2 2! {𝑈 󰇙𝑡 }+⋯ (2.11) Newmark truncó las expresiones anteriores como: {𝑈𝑡+∆𝑡}={𝑈𝑡}+∆𝑡{𝑈󰇗𝑡}+∆𝑡2 2{𝑈󰇘𝑡 }+𝛽∆𝑡3{𝑈 󰇙𝑡 } (2.12) {𝑈󰇗𝑡+∆𝑡}={𝑈𝑡󰇗}+∆𝑡{𝑈󰇘𝑡}+𝛾∆𝑡2{𝑈 󰇙𝑡 } (2.13) Asumiendo que la aceleración varía linealmente dentro del intervalo [t, t+∆t], podemos aplicar diferencia finita para aproximar 𝑈 󰇙𝑡 : {𝑈 󰇙𝑡 }={𝑈󰇘𝑡+∆𝑡}−{𝑈𝑡 󰇘} ∆𝑡 (2.14) Reemplazando (2.10) en las expresiones (2.8) y (2.9), obtenemos que: Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 19 {𝑈𝑡+∆𝑡}≈{𝑈𝑡}+∆𝑡{𝑈󰇗𝑡}+∆𝑡2 2{𝑈󰇘𝑡 }+𝛽∆𝑡3({𝑈󰇘𝑡+∆𝑡}−{𝑈𝑡 󰇘} ∆𝑡 ) ≈{𝑈𝑡}+∆𝑡{𝑈󰇗𝑡}+∆𝑡2 2{𝑈󰇘𝑡 }+𝛽∆𝑡2{𝑈󰇘𝑡+∆𝑡}−𝛽∆𝑡2{𝑈󰇘𝑡} (2.15) ≈{𝑈𝑡}+∆𝑡{𝑈󰇗𝑡}+(1 2−𝛽)∆𝑡2{𝑈󰇘𝑡 }+𝛽∆𝑡2{𝑈󰇘𝑡+∆𝑡} {𝑈󰇗𝑡+∆𝑡}≈{𝑈𝑡󰇗}+∆𝑡{𝑈󰇘𝑡}+𝛾∆𝑡2({𝑈󰇘𝑡+∆𝑡}−{𝑈𝑡} 󰇘 ∆𝑡 ) ≈{𝑈𝑡󰇗}+(1−𝛾)∆𝑡{𝑈󰇘𝑡}+𝛾∆𝑡{𝑈󰇘𝑡+∆𝑡} (2.16) Resumiendo, así son las aproximaciones del campo de desplazamiento y de velocidad del método de Newmark: [𝑀]{𝑈󰇘𝑡+∆𝑡}+[𝐶]{𝑈󰇗𝑡+∆𝑡}+[𝐾]{𝑈𝑡+∆𝑡}={𝐹𝑡+∆𝑡} {𝑈𝑡+∆𝑡}={𝑈𝑡}+∆𝑡{𝑈󰇗𝑡}+(1 2−𝛽)∆𝑡2{𝑈󰇘𝑡 }+𝛽∆𝑡2{𝑈󰇘𝑡+∆𝑡} {𝑈󰇗𝑡+∆𝑡}={𝑈𝑡󰇗}+(1−𝛾)∆𝑡{𝑈󰇘𝑡}+𝛾∆𝑡{𝑈󰇘𝑡+∆𝑡} A partir de aquí, partiendo de la evaluación de la ecuación de equilibrio (2.1) en el instante t+∆t, se pretende encontrar los desplazamientos en el instante t+∆t, es decir Ut+∆t [𝑀]{𝑈󰇘𝑡+∆𝑡}+[𝐶]{𝑈󰇗𝑡+∆𝑡}+[𝐾]{𝑈𝑡+∆𝑡}={𝐹𝑡+∆𝑡} (2.9) Para poder evaluar la ecuación anterior, hay que ordenar la ecuación (2.11) y (2.12) para expresar los valores de la aceleración y la velocidad en el instante t+∆t, en función del desplazamiento en el instante t+∆t y los valores de las variables en el instante t. Para ello en primer lugar, despejamos 𝑈󰇘𝑡+∆𝑡 a partir del campo de desplazamiento dado por (2.11), obteniendo que: 𝛽∆𝑡2{𝑈󰇘𝑡+∆𝑡}={𝑈𝑡+∆𝑡}−{𝑈}𝑡−∆𝑡{𝑈󰇗𝑡}−(1 2−𝛽)∆𝑡2{𝑈󰇘𝑡 }  {𝑈󰇘𝑡+∆𝑡}=1 𝛽∆𝑡2({𝑈𝑡+∆𝑡}−{𝑈}𝑡)−1 𝛽∆𝑡{𝑈󰇗𝑡}+(1− 1 2𝛽){𝑈󰇘𝑡 } (2.17) Reemplazando (2.13) en la expresión de la velocidad dada por (2.12) se obtiene: {𝑈󰇗𝑡+∆𝑡}={𝑈𝑡󰇗}+(1−𝛾)∆𝑡{𝑈󰇘𝑡}+𝛾∆𝑡{𝑈󰇘𝑡+∆𝑡} ={𝑈𝑡󰇗}+(1−𝛾)∆𝑡{𝑈󰇘𝑡}+𝛾∆𝑡[1 𝛽∆𝑡2({𝑈𝑡+∆𝑡}−{𝑈}𝑡)−1 𝛽∆𝑡{𝑈󰇗𝑡}+(1− 1 2𝛽){𝑈󰇘𝑡 }] (2.18) = 𝛾 𝛽∆𝑡({𝑈𝑡+∆𝑡}−{𝑈}𝑡)+(1− 𝛾 2𝛽){𝑈󰇗𝑡}+(1− 𝛾 2𝛽)∆𝑡{𝑈󰇘𝑡 } 2. Revisión del estado del arte 20 Resumiendo: {𝑈󰇘𝑡+∆𝑡}=1 𝛽∆𝑡2({𝑈𝑡+∆𝑡}−{𝑈}𝑡)−1 𝛽∆𝑡{𝑈󰇗𝑡}+(1− 1 2𝛽){𝑈󰇘𝑡 } {𝑈󰇗𝑡+∆𝑡}=𝛾 𝛽∆𝑡({𝑈𝑡+∆𝑡}−{𝑈}𝑡)+(1− 𝛾 2𝛽){𝑈󰇗𝑡}+(1− 𝛾 2𝛽)∆𝑡{𝑈󰇘𝑡 } (2.19) Reemplazando las ecuaciones dadas por (2.15) en la expresión (2.7) obtenemos que: [𝐾𝑒𝑓𝑓]{𝑈𝑡+∆𝑡}={𝐹𝑒𝑓𝑓} (2.20) donde [𝐾𝑒𝑓𝑓]=[𝑎0[𝑀]+𝑎1[𝐶]+[𝐾]] (2.21) {𝐹𝑒𝑓𝑓}={𝐹𝑡+∆𝑡}+[𝑀][𝑎0{𝑈𝑡}+𝑎2{𝑈󰇗𝑡}+𝑎3{𝑈󰇘𝑡 }]+[𝐶][𝑎1{𝑈𝑡}+𝑎4{𝑈󰇗𝑡}+𝑎5{𝑈󰇘𝑡 }] (2.22) donde 𝑎0=1 𝛽∆𝑡2 𝑎1=𝛾 𝛽∆𝑡 𝑎2=1 𝛽∆𝑡 𝑎3=1 2𝛽−1 𝑎4=𝛾 𝛽− 1 𝑎5=∆𝑡 2(𝛾 𝛽−2) La solución del sistema de ecuaciones (2.16) nos da el vector de desplazamientos nodales {𝑈𝑡+∆𝑡}, que sustituyéndolo en las ecuaciones (2.15), nos permite obtener los valores de velocidad y aceleración nodales, {𝑈󰇗𝑡+∆𝑡}, {𝑈󰇘𝑡+∆𝑡}. Como se recoge en el libro de Zienkiewicz [27] la resolución de la ecuación (2.7) por el método de Newmark es incondicionalmente estable para los siguientes rangos de los parámetros de integración. 𝛽≥1 4(1 2+𝛾)2, 𝛾≥1 2 , 1 2+ 𝛾+ 𝛽 >0 (2.23) En este trabajo se han utilizado los siguientes valores de los parámetros anteriores: 𝛽=0.25 𝛾=0.5 (2.24) 2.3.3. Integración por modos de vibración. De manera análoga al apartado anterior, se partirá de la ecuación de equilibrio dinámico: [𝑀]{𝑈󰇘}+[𝐶]{𝑈󰇗}+[𝐾]{𝑈}={𝐹} (2.25) La matriz de masas es diagonal, pero la de rigidez no y la de amortiguamiento dependerá de su modo de obtención, si se obtiene por el método de Rayleigh, [𝐶]=𝛼[𝐾]+𝛽[𝑀], tendrá las mismas características de llenado que la matriz de rigidez. Para simplificar dicho sistema de ecuaciones se realiza un cambio de coordenadas aprovechando las siguientes propiedades de los modos de vibración dinámicos: Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 21 - Forman base vectorial. - Son ortogonales. Para realizar este cambio de coordenadas, en primer lugar, hay que realizar el estudio de vibraciones libres despreciando el amortiguamiento, en cuyo caso los desplazamientos y aceleraciones de un sistema adoptan los valores. {𝑈}={𝑈 }sin𝜔𝑡 {𝑈󰇘}=−𝜔2{𝑈 }sin𝜔𝑡 (2.26) Sustituyendo en la ecuación (2.21) con [C] = 0 y {F} = 0, tenemos. [𝐾]−𝜔2[𝑀]{𝑈 }=0 (2.27) Esta última ecuación corresponde a un problema de autovalores cuya resolución arroja las frecuencias naturales y sus autovalores asociados son los modos. Estos modos de vibración de la estructura serán, precisamente, los vectores de la matriz de transformación que se usará. {𝑈}=∑{∅𝑖} 𝑛 1𝑦𝑖 (2.28) Donde las variables usadas en la ecuación son: n es el número de modos utilizado, debería ser igual al número de grados de libertad en principio, pero se reducirá ya que en el caso de este trabajo el número de grados de libertad es muy elevado. ∅𝑖 es el modo que se corresponde con el i-ésimo autovalor (asociado a la i-ésima frecuencia natural). 𝑦𝑖 es la correspondiente coordenada modal. Sustituyendo dicha transformación en la ecuación (2.7) y haciendo las correspondientes derivadas a la misma, obtenemos lo siguiente: [𝑀]{∑{∅𝑖} 𝑛 1𝑦𝑖󰇘}+[𝐶]{∑{∅𝑖} 𝑛 1𝑦𝑖󰇗}+[𝐾]{∑{∅𝑖} 𝑛 1𝑦𝑖}={𝐹} (2.29) Como se comentó anteriormente los autovectores o modos de vibración tienen la propiedad de ortogonalidad, lo cual supone: {∅𝑗}𝑇[𝑀]{∅𝑖}=0 𝑖≠𝑗 (2.30) {∅𝑗}𝑇[𝐾]{∅𝑖}=0 𝑖≠𝑗 (2.31) Si se usa el método de Rayleigh, también llamado de amortiguamiento constante, para obtener la matriz de amortiguamiento a partir de las matrices de masa y de rigidez también se verifica que: {∅𝑗}𝑇[𝐶]{∅𝑖}=0 𝑖≠𝑗 (2.32) Multiplicando la ecuación (2.25) por cualquier vector modal traspuesto se obtiene: 2. Revisión del estado del arte 22 {∅𝑗}𝑇[𝑀]{∑{∅𝑖} 𝑛 1𝑦𝑖󰇘}+{∅𝑗}𝑇[𝐶]{∑{∅𝑖} 𝑛 1𝑦𝑖󰇗}+{∅𝑗}𝑇[𝐾]{∑{∅𝑖} 𝑛 1𝑦𝑖}={𝐹} (2.33) Los únicos términos distintos de cero serían aquellos correspondientes a i=j. De manera que, realizando esa operación con cada uno de los modos, se consigue descomponer el sistema en n ecuaciones independientes entre sí, que forman la ecuación dinámica de un sistema de un solo grado de libertad i. 𝑚𝑖𝑦𝑖󰇘 +𝑐𝑖𝑦𝑖󰇗 +𝑘𝑖𝑦𝑖=𝑓𝑖 (2.34) Donde se tiene: 𝑚𝑖={∅𝑗}𝑇[𝑀]∑{∅𝑖} 𝑛 1 → 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖 (2.35) 𝑐𝑖={∅𝑗}𝑇[𝐶]∑{∅𝑖} 𝑛 1 → 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖 (2.36) 𝑘𝑖={∅𝑗}𝑇[𝐾]∑{∅𝑖} 𝑛 1 → 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖 (2.37) 𝑓𝑖={∅𝑗}𝑇{𝐹} → 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑖 (2.38) Para la resolución de la ecuación (2.30) hay que recurrir a la teoría básica de vibraciones, según la cual se sabe que la solución presenta dos formas distintas según que el valor del amortiguamiento sea superior o inferior a un determinado valor ccr, que llamamos amortiguamiento crítico. Existirán, por tanto, sistemas subamortiguados o sobreamortiguados. Las estructuras habituales se corresponden con sistemas subamortiguados y presentan un movimiento oscilatorio. El amortiguamiento se definirá mediante un parámetrox que es la relación de amortiguamiento y se supondrá constante para todos los modos. x =𝑐 𝑐𝑐 (2.39) Para valores de amortiguamientos muy pequeños (x< 0.1), lo habitual en las estructuras, la frecuencia de vibración del sistema amortiguado se puede aproximar por la frecuencia de excitación, de la siguiente manera: 𝜔𝑑=𝜔√1−𝜀2 ≈𝜔 (2.40) Y a consecuencia de lo anterior: 𝑐𝑐=2𝑚√𝑘𝑚 ⁄=2𝑚𝜔 (2.41) Finalmente sustituyendo en la ecuación (2.30) y dividiendo por mi tendremos para cada uno de los modos de vibración considerados de la estructura una ecuación del tipo: Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 23 𝑦𝑖󰇘 +2𝜀𝜔𝑖𝑦𝑖󰇗 +𝜔𝑖2𝑦𝑖=𝑓𝑖𝑚𝑖 ⁄ (2.42) La ecuación anterior se tiene que resolver para obtener en cada instante de tiempo en que se quiera conocer la respuesta, los valores de 𝑦𝑖, 𝑦𝑖󰇗 e 𝑦𝑖󰇘. Se aplicarán para su resolución los métodos matemáticos de integración para sistemas de un solo grado de libertad. 2.3.4. Conclusiones y aplicaciones de cada método. El método de integración por modos de vibración compensa el alto coste de la resolución del problema de autovalores y autovectores con el trabajo posterior rápido y sencillo de resolución de sistemas de un grado de libertad, lo cual desde un punto de vista computacional lo hace ser considerablemente más rápido que la integración directa paso a paso. Principalmente esta mayor velocidad de cálculo se debe a qué hay ciertos casos en los que no es necesario tener en cuenta tantos modos como grados de libertad tenga la estructura. Para ciertas estructuras, como los puentes, las vibraciones que se generan al paso de cargas móviles se asocian a los modos de vibración más bajos y no es necesario resolver el problema para todos los modos, es suficientemente preciso el análisis considerando un cierto número de modos relativamente pequeño, con lo que al final el resultado será: {𝑈}=∑{∅𝑖} 𝑛 1𝑦𝑖≅∑{∅𝑖} 𝑚 1𝑦𝑖 ; 𝑚≪𝑛 (2.43) Sin embargo, cuando se modelan regiones espaciales con elementos sólidos, como es el caso de este trabajo, el error que se comete reduciendo el número de modos es grosero, y eso se debe a la ausencia del comportamiento vibratorio preferente que tienen ciertas estructuras en los modos de baja frecuencia, que no existe en las regiones espaciales. Este error se podrá observar a través de su comparación con el método de integración directa paso a paso, en el apartado 6.3 del capítulo 6. Para obtener resultados precisos en modelos con gran cantidad de elementos sólidos se debe usar un método de integración directa paso a paso, por ejemplo, el método de Newmark. A pesar del error cometido, el análisis modal tiene un papel muy importante en este trabajo, ya que si lo que se busca es un resultado cualitativo de cómo va a vibrar la estructura para conocer si se trata de un caso de resonancia o no, será suficiente con considerar un cierto número de modos bastante inferior al número de grados de libertad. Esto permitirá resolver los modelos con todos los trenes de la familia HSLM-A a velocidades crecientes de 20 a 420 km/h en un tiempo considerablemente inferior a si esto se hiciera con todos los modos, o bien, usando un método de integración directa paso a paso. Aunque aporte resultados erróneos de desplazamientos y aceleraciones, sí permitirá observar la forma de las gráficas oscilatorias generadas en ciertos puntos importantes como por ejemplo en la media luz del marco entre los carriles. La forma cualitativa de dichas gráficas oscilatorias es lo que nos permitirá evaluar con cual de los trenes y a qué velocidad se produce en cada modelo la resonancia mas perjudicial, de mayor amplitud. Los resultados no serán los correctos cuantitativamente, y más aun en un modelo con tantos elementos sólidos como el que se trata en este trabajo, pero no importa, la estructura vibrará de forma muy semejante a como la haría si se consideraran todos los modos. En este trabajo se usa el análisis modal como una herramienta para conocer, no cúanto, sino, cómo va a vibrar la estructura y qué trenes y velocidades son los que provocarán la resonancia más desfavorable. El número de modos a partir del cual se puede considerar que se obtiene el comportamiento cualitativo correcto de la estructura, es decir, a partir del cual la forma de las gráficas no varia sustancialmente con el aumento del número de modos, no es tan bajo como el asociado a comportamientos de bajas frecuencias en puentes (alrededor de 100 modos). Hay que calcularlo realizando un análisis de sensibilidad, como se verá en el 3. Modelo de elementos finitos de la infraestructura 30 concordantes entre sí. El tamaño de los elementos de la malla por la que se ha optado para los cálculos es el siguiente: Posteriormente, tras realizar el mallado se ha obtenido un archivo .inp generado por Abaqus [16] donde se localizan las coordenadas cartesianas de cada uno de los nodos que conforman el modelo, así como los números de los nodos que conforma cada uno de los elementos. Usando una aplicación de Visual Basic se han ido leyendo estas coordenadas y se han generado en Sap2000 [14] cada uno de los elementos a través de la unión con los diferentes nodos que los forman. Al mismo tiempo, a cada elemento se le ha asignado un material con las siguientes características dependientes de si se trata del balasto, el terraplén o el terreno natural: Para poder diferenciar las zonas donde acaba un material y empieza otro diferente, la aplicación de Visual Basic, además de las coordenadas de los nodos, usa los siguientes datos: Elemento Tamaño (m) Balasto Tetraedo 0,80 Terraplén Tetraedo 0.80 - 2.50 (1,50) Terreno natural (plataforma) Tetraedo 2,50 Tabla 3. Malla balasto, terraplén y plataforma. γ (kN/m3) E (MPa) u xa xb Balasto 18 200 0,35 0,02 0,02 Terraplén 19 100 0,35 0,02 0,02 Plataforma 18 Variable 0,35 0,02 0,02 Tabla 4. Propiedades balasto, terraplén y plataforma. Figura 21. Mallado del modelo 3D en Abaqus [16]. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 31 - Cota Inferior de las traviesas - Cota Inferior del balasto - Cota del dintel - Cota Inferior del terraplén - X primer hastial - X segundo hastial - Y izquierdo losa - Y derecho losa - Espesor del dintel y de la losa - Espesor del hastial Las condiciones de contorno se aplicarán sobre las caras exteriores de la geometría de la siguiente manera: En coordenadas globales estando el eje “x” en la dirección del carril, el eje “y” perpendicular a la vía y el eje “z” hacia arriba. - Para los nodos que estén en plano Z = 0: ux = uy = uz = 0. - Para los nodos que estén en plano X = xmin y X = xmax: ux = 0. - Para los nodos que estén en plano Y = ymin y Y = ymax: uy = 0. Siendo: xmin = 0 m. xmax = 25 m; Para luces de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 metros. xmax = 35 m; Para luces de 12, 15 y 20 metros. ymin = -26 m. ymax = 26 m. 3.2.1.2. Marco. El marco se colocará en el hueco que atraviesa la vía en dirección transversal existente en la geometría realizada en Catia [15]. Tras realizar el proceso de mallado y una vez generado el modelo en Sap2000 [14] del balasto, el terraplén y la plataforma, las caras interiores de dicho hueco estarán formadas por las caras de los elementos tetraédricos que conforman la malla del terraplén, en la parte superior y en las paredes laterales, y de la plataforma en la parte inferior. Para colocar los hastiales y las losas del marco, se van a superponer en las caras de dichos tetraedros elementos placa (Shell) de manera que haya compatibilidad de desplazamientos entre los elementos placa que conforman los hastiales y las losas, y los elementos sólidos del terraplén y de la plataforma, es decir coincidan los nodos de los elementos Shell con los nodos de las caras exteriores de los tetraedros. Se colocarán elementos Shell en las dos superficies verticales del hueco, en su totalidad, en la superficie horizontal superior y en la superficie horizontal inferior entre las coordendas y = 21 e y = -21, que son las coordenadas “y” transversales a la vía con origen en el centro de la misma, donde acaba el terraplén a ambos lados. El material que se le asociará a dichos elementos Shell será un hormigón HA-30 con las siguientes características. 3. Modelo de elementos finitos de la infraestructura 32 - E = 28577 MPa. - g = 25 kN/m3 - u = 0.20 - xa = 0.02 - xb = 0.02 El espesor de los elementos será diferente en función de si se colocan para formar los hastiales o las losas (superior e inferior). Figura 22. Dimensiones y espesores de losas y hastiales del marco. Al estar la malla superpuesta sobre la ya generada para el terraplén, la malla de elementos Shell estará en función del tamaño de los elementos tetraédricos que tengan debajo. De manera que el tamaño de elemento para cada una de las partes que conforman el marco será: No se le impondrá ninguna condición de contorno, simplemente la coincidencia de cada uno de los nodos que conforman cada elemento Shell con los nodos de la cara del elemento tetraédrico que le corresponda en su posición. Elemento Tamaño (m) Hastiales Shell 1,50 - 2,50 Losa superior Shell 1,50 Losa inferior Shell 2,50 Tabla 5. Mallado de marcos. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 33 3.2.2. Superestructura 3.2.2.1. Traviesas. Las traviesas se han modelizado de manera análoga a como se ha hecho con el terraplén, el balasto y la plataforma. Se ha generado la geometría en Catia [15], colocando sobre la capa de balasto una traviesa de sección rectangular monobloque cada 60 centímetros, de las siguientes dimensiones (en metros). Figura 23. Dimensiones de las traviesas. Como se comentó con anterioridad solo se modelará una de las dos vías, para aplicar las cargas sobre una de ellas únicamente, tal y como indica IAPF-07 [1] y Eurocódigo-1 [2]. Figura 24. Vista en planta de las traviesas en Catia [15]. Posteriormente se ha generado el mallado en Abaqus [16] mediante elementos tetraédricos con el objetivo de que la malla de las traviesas sea coherente con la malla del balasto, es decir, sus nodos coincidan en las zonas de intersección entre ambos. El tamaño de elemento por el que se ha optado para el mallado usado en los cálculos es de 0.2890 m. Este número es el resultado de calcular el tamaño de elemento necesario para conseguir que en la superficie superior de cada traviesa haya cuatro nodos con los que compatibilizar los carriles posteriormente, de tal manera que la distancia entre los carriles sea el ancho internacional, 1.435m. Los dos nodos de la mitad derecha de la traviesa se harán coincidir con otros dos nodos correspondientes al carril derecho, de manera que cada uno de estos nodos 3. Modelo de elementos finitos de la infraestructura 34 pertenezcan tanto al carril como a la traviesa, y de forma análoga para el carril izquierdo. Esta compatibilidad de desplazamientos modeliza la sujección carril-traviesa. Figura 25. Mallado de las traviesas. Posteriormente, tras realizar el mallado se ha obtenido un archivo .inp generado por Abaqus [16] donde se localizan las coordenadas cartesianas de cada uno de los nodos que conforman las traviesas, así como los números de los nodos que conforma cada uno de los elementos. Usando la aplicación de Visual Basic comentada anteriormente, se han ido leyendo estas coordenadas y se han generado en Sap2000 [14] cada uno de los elementos a través de la unión de los diferentes nodos que los forman. Al mismo tiempo se le ha asignado como material un hormigón HA-50 con las siguientes propiedades: - E = 32902 MPa - g = 25 kN/m3 - u = 0.20 - xa = 0.02 - xb = 0.02 En cuanto a las condiciones de contorno de las traviesas, no se les impone ninguna, simplemente que el mallado sea coherente con el balasto, es decir, que cada uno de los nodos que conforman la cara inferior de los tetraedros que forman las traviesas, sean coincidentes con los nodos de la cara superior del elemento tetraédrico que le corresponda del balasto (sean el mismo nodo). 3.2.2.2. Carril. El carril se ha añadido al modelo una vez generadas las traviesas en Sap2000 [14], colocándolos justo encima de estas. Como se comentó en el apartado anterior la unión carril-traviesa se ha modelizado haciendo coindicir dos nodos de cada traviesa con dos nodos de cada carril de manera que se consiga una separación entre estos de 1.435 m. En cuanto al tamaño de la malla del carril, dado que la distancia entre traviesas es de 60 cm y el ancho de estas es de 30 cm, colocando elementos beam para los carriles cada 30 cm habría sido suficiente, pero se ha optado un tamaño de elemento menor, 15 cm. Esto se ha realizado con el objetivo de que siempre haya un nodo del carril en el medio del ancho de cada traviesa, para poder aplicar ahí, en cada una de las traviesas, las cargas variables puntuales que modelizarán el paso de los trenes de alta velocidad. A los elementos beam del carril se le ha asignado una sección genérica, pero con las siguientes propiedades, correspondientes al carril UIC60 (medidas en mm). Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 35 El material del carril será un acero de alta resistencia con las siguientes propiedades: - E = 210 GPa - g = 76,9729 kN/m3 - u = 0.30 - xa = 0.02 - xb = 0.02 Respecto a las condiciones de contorno, en cada traviesa los dos nodos de la superficie superior deben ser coincidentes con los 2 nodos correpondientes del carril, es decir carril y traviesa deben compartir dichos nodos. Figura 26. Propiedades geométricas del carril UIC60. 3. Modelo de elementos finitos de la infraestructura 36 Leyenda PLATAFORMA TERRAPLÉN BALASTO TRAVIESAS CARRIL Figura 27. Modelo completo en 3D en Sap2000 [14] Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 37 3.3. Modelo de cargas. Para poder comprender la aplicación de las cargas se va a describir en primer lugar en qué consiste y en qué modelo se basa el Tren Dinámico Universal-A de IAPF [1], que es la acción dinámica considerada. Finalmente se explicará la manera de aplicar las cargas en el modelo de elementos finitos realizado. 3.3.1. Modelo para interoperabilidad en líneas de alta velocidad (HSLM). Si las estructuras de vía como puentes, marcos o bóvedas se calcularan aplicando únicamente las cargas móviles correspondientes a trenes reales, los resultados obtenidos tendrían un gran inconveniente. Este sería, su falta de generalidad, ya que la envolvente obtenida no es lo suficientemente general como para proponerla como limitación constructiva de los futuros trenes: una ligera variación de parámetros de un tren actual, como podrían ser, por ejemplo, la longitud de los vehículos, el valor nominal de la carga por eje o la distancia de acoplamiento, podría modificar fácilmente la respuesta de la estructura, de manera que no quede cubierta por la envolvente de los trenes reales, y no se esté del lado de la seguridad. Con objeto de permitir un método de cálculo más general y no sujeto a este inconveniente, el comité ERRI D214 [4] ha definido analíticamente una familia de trenes universales (ficticios) cuyos efectos dinámicos sobre las estructuras envuelven a cualquier tren real que circule en la actualidad. Esta familia, de nombre UNIV-A presenta las características recogidas en la tabla. Tabla 6. Características de la familia de trenes universales UNIV-A, obtenida al variar la longitud D. (Comité ERRI D214 [4]) Esta envolvente de trenes UNIV-A en un principio presentaba un gran inconveniente en España. Este, tal y como se muestra en la figura 3.18, era que no cubría al TALGO AV para longitudes de onda inferiores a 15 metros (λ< 15). Es de suponer que el mismo hecho se podría dar con otros trenes regulares reales, de los que el TALGO es un ejemplo representativo. Figura 28. Improntas dinámicas de la envolvente de trenes UNIV-A y del Talgo AV. Para solventar este problema, de gran importancia para los intereses españoles, se realizó un trabajo que demostraba que el TALGO no es más agresivo dinámicamente que los otros trenes, proponiendo ciertos cambios 3. Modelo de elementos finitos de la infraestructura 38 en la definición de la familia UNIV-A, de manera que para longitudes de onda cortas se consideren ciertos trenes adicionales que cubran la envolvente de posibles trenes regulares como el Talgo AV. Dichos cambios fueron incluidos en el modelo de cargas y han dado lugar a la definición final de las familias de trenes de alta velocidad, denominadas HSLM-A en las instrucciones de cálculo. Queda definido por la acción conjunta de una familia de 10 trenes articulados. Cada tren está formado por dos locomotoras y un cierto número de coches de pasajeros, con cargas iguales en todos los ejes, según la figura 29. La familia se obtiene variando el número de coches, la distancia entre ejes y las cargas por eje, según se indica en la tabla 2. Tabla 2. Definición del tren dinámico universal-A (la posición de las cargas de la locomotora es igual para todos los casos) 3.3.2. Aplicación en el modelo de EF de la infraestructura. Para cada una de las composiciones definidas en la tabla 6 la velocidad de proyecto será de 350 km/h y se realizarán casos de carga independientes cada 10 km/h de 20 a 420 km/h (1.2 veces la velocidad de proyecto). Para simular las cargas de tráfico se usan los nodos de cada carril que caen justo en el medio del ancho de cada traviesa, aplicando sobre ellos la mitad de la carga transmitida por cada uno de los ejes. Por otro lado, se genera una función de carga temporal para cada tren y cada velocidad de cálculo, es decir, un total de 410 funciones de carga. Cada función de carga temporal se compone de una sucesión de rampas de subida de carga y rampas de bajada de carga que representan el reparto longitudinal de cada carga móvil entre la sección de cálculo y sus colindantes. La pendiente de la rampa se fija con la velocidad de paso y la distancia entre secciones consecutivas, en TREN NÚMERO DE COCHES DE PASAJEROS LONGITUD DEL COCHE DISTANCIA ENTRE EJES DE UN BOGIE CARGA NOMINAL POR EJE N D (m) d (m) P (kN) A1 18 18 2,0 170 A2 17 19 3,5 200 A3 16 20 2,0 180 A4 15 21 3,0 190 A5 14 22 2,0 170 A6 13 23 2,0 180 A7 13 24 2,0 190 A8 12 25 2,5 190 A9 11 26 2,0 210 A10 11 27 2,0 210 Figura 29. Definición gráfica del tren dinámico universal – A (distancias en metros). Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 39 nuestro caso la distancia entre traviesas, 0.60 m; y la amplitud de la carga la fija el valor de la carga nominal por eje de cada tren, colocando la mitad en cada carril al tratarse de un tramo recto de vía. El intervalo de tiempo que transcurre desde que se inicia un triángulo de carga hasta el siguiente, y así su posible solapamiento, viene dado por la distancia entre ejes de la composición y la velocidad de paso. El procedimiento general será, generar un caso de carga con las cargas puntuales de cada sección, una para cada carril, y a ese caso de carga aplicarle cada función temporal de carga con un desfase respecto de la sección anterior, o un tiempo de llegada respecto de la sección inicial, que se evalúa de acuerdo con su posición en el tramo de vía en estudio y la velocidad de paso del tren. De esa manera cuando una carga móvil supera una determinada sección, comienza la rampa de subida correspondiente de la sección siguiente. Figura 30. Con todos los casos de carga de todas las secciones correspondientes a una misma función de carga, es decir, a un mismo paso de tren y una misma velocidad, se genera un análisis transitorio, del que se obtendrán las desplazamientos y aceleraciones, entre otras cosas, de todos los puntos del modelo. Figura 30. Disposición de las cargas móviles. 3.4. Variables de estudio. El trabajo se centrará en el estudio de la influencia de la luz en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad, teniendo en cuenta diferentes rigideces para el terreno natural (plataforma). Estas rigideces están directamente relacionadas con la clasificación de terrenos que hace la normativa NCSE- 02 [13] y se explica en el apartado 1.3. del capítulo 1. Terreno Vs (m/s) r (Kg/m3) ν G (N/m2) E (Mpa) Tipo I 750 2038,735984 0,35 1146788991 3096 Tipo II 400 2038,735984 0,35 326197757 881 Tipo III 200 2038,735984 0,35 81549439,4 220 Tipo IV 100 2038,735984 0,35 20387359,8 55 Tabla 1. Valores de rigideces del terreno natural Así, para cada terreno natural se harán modelos de elementos finitos de características idéntidas a las que se han comentado en los apartados anteriores excepto la luz interior del marco. Esta se estudiará para 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15 y 20 metros. Posteriormente, tras el análisis de cada caso de carga transitorio se obtienen los resultados de desplazamientos y aceleraciones en todos los nodos. De entre todos los nodos, nos vamos a centrar en dos, uno localizado en la losa superior del marco y otro en el balasto bajo la superficie de la traviesa más cercana a la media luz del marco. La localización de estos dos puntos con exactitud será: - Punto 1: nodo situado en la media luz de la losa superior del marco en el punto medio o más cercano al punto medio entre los dos carriles de la vía cargada. 5. Análisis de influencia del nº de modos a emplear en el análisis modal 46 Figura 34. Descensos verticales máximos de la losa superior del marco con 200 modos. Figura 35. Descensos verticales máximos de la losa superior del marco con 300 modos. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 47 Sin embargo, a partir de los 400 modos, los desplazamientos máximos siguen aumentando, pero para todas las composiciones por igual, es decir, las gráficas van subiendo todas a la vez, sin cambiar su posición respecto de las demás. Esto hecho es lo que nos indica que hemos alcanzado el número de modos que nos va a permitir conocer cualitativamente cómo va a vibrar la estructura, es decir, nos va a permitir obtener unas gráficas oscilatorias muy semejantes a cómo serían si empleáramos tantos modos como grados de libertad, a pesar de que los desplazamientos cuantitativamente no sean correctos. Figura 36. Descensos verticales máximos de la losa superior del marco con 400 modos. Figura 37. Descensos verticales máximos de la losa superior del marco con 500 modos. 5. Análisis de influencia del nº de modos a emplear en el análisis modal 48 Figura 39. Descensos verticales máximos de la losa superior del marco con 700 modos. Figura 38. Descensos verticales máximos de la losa superior del marco con 600 modos. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 49 Como se puede observar a partir de un número de modos entre 400-500, la forma de las gráficas no cambia, de forma que se usarán 500 modos en todos los cálculos en los que se emplee el análisis modal. Así, a partir de estas mismas gráficas, pero observando los máximos ascensos, podremos identificar el tipo de tren de la familia HSLM-A y la velocidad (se explica con detalle en el capitulo 6) que provoque, en cada modelo, para cada tipo de terreno natural y para cada luz interior del marco, la resonancia más defavorable. Posteriormente a ese modelo, se le realizará un análisis mediante integración directa para obtener sus desplazamientos y aceleraciones con mayor precisión. Figura 40. Descensos verticales máximos de la losa superior del marco con 800 modos. 5. Análisis de influencia del nº de modos a emplear en el análisis modal 50 51 6. METODOLOGÍA DE OBTENCIÓN DE RESULTADOS n este capítulo se va a describir con detalle el procedimiento empleado para obtener los resultados con la mayor precisión posible. Se realizará a través de un ejemplo, por analogía con los demás casos, analizando cada uno de los pasos para conseguir los objetivos marcados. El modelo que se usará de ejemplo, tendrá las siguientes características: - Marco de 5x5 metros. - Terreno natural de la plataforma tipo III, con un módulo de Young de 220 MPa. Los objetivos serán determinar con la mayor precisión posible: - Coeficiente de impacto del marco. Para esto se necesitará conocer el descenso máximo en el punto más crítico de la losa superior (punto 1, indicado en el capítulo 1) para el tipo de tren más desfavorable, a la velocidad más desfavorable y a 20 km/h. - Aceleraciones máximas en la losa superior del marco (punto 1). - Aceleraciones máximas en la capa de balasto (punto 2, indicado en el capítulo 1). 6.1. Análisis previo mediante el cálculo modal. Este método se empleará para averiguar cuál de los 410 casos de carga (10 trenes a 41 velocidades diferentes de 20 a 420 km/h) es el más desfavorable. Se emplearán 500 modos de vibración, en base a lo visto en el capítulo 5. Se obtendrán los resultados en el punto 1, localizado en la media luz de la losa superior del marco entre los dos carriles. El tiempo de cálculo rondará las 3 horas por modelo. Se entiende por más desfavorable, aquel caso que genere una gráfica desplazamiento – tiempo, para el punto en estudio, que se corresponda con un caso de resonancia, es decir, que se asemeje a la gráfica de la siguiente figura. Figura 8. Gráfica B.9 IAPF-07 [1] E 6. Metodología de obtención de resultados 52 Es importante añadir que no se tomará como caso más desfavorable aquel que genere los descensos máximos en la losa superior del marco, sino aquel que más se acerque a una situación de resonancia. Hay que tener en cuenta que se está realizando un análisis modal, que no aporta resultados cuantitativamente correctos. Para obtener con precisión el valor de los desplazamientos habría que realizar un análisis mediante integración directa paso a paso, inviable para los 410 casos de carga, y es en ese caso, dónde adquiere especial relevancia el papel de la resonancia, ya que se amplifican los desplazamientos. Dicho de otra manera, a pesar de que empleando 500 modos de vibración en un análisis modal, el caso de carga que genera el máximo descenso es el más desfavorable, si se emplearan tantos modos como grados de libertad o bien se hiciera un análisis mediante integración directa, el caso más desfavorable pasaría a ser el resonante. Esto se debe al fenómeno de amplificación de la respuesta, la resonancia. Una vez aclarado cuáles son los objetivos, el siguiente paso sería averiguar de qué manera obtener el caso de carga más desfavorable. En un primer momento se optó por generar unas gráficas, mediante una hoja de cálculo, extrayendo los resultados de Sap2000 [14] usando una aplicación de Visual Basic, dónde se representa en abcisas las velocidades de paso de las distintas composiciones y en ordenadas los descensos máximos estimados para el punto de estudio. Sin embargo, los descensos máximos no necesariamente estaban relacionados con casos de resonancia, ya que, al emplear únicamente 500 modos de vibración, no entra en juego el papel de la resonancia, de amplificación de la respuesta. Como se comentó anteriormente, el comportamiento de la estructura al tener tantas regiones integradas por elementos sólidos en tres dimensiones, no está asociado a los modos de bajas frecuencias. Al no amplificarse la respuesta debido a la resonancia, los descensos máximos para todas las composiciones y velocidades son muy parecidos, siendo imposible destacar el caso resonante o más desfavorable. A modo de ejemplo, se observa como el caso de carga que genera los máximos descensos es el tren A10 a 230 km/h. Figura 41. Descensos verticales máximos en la losa superior del marco. Análisis modal empleando 500 modos de vibración. Sin embargo, si observamos la gráfica desplazamiento - tiempo generada, resulta que no se trata de un caso de resonancia. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 53 Figura 42. Desplazamientos verticales de la losa superior del marco en el tiempo de tránsito del tren A10 a 230 km/h. Para solventar el problema, finalmente se optó por obtener las mismas gráficas anteriores, pero con los ascensos máximos del punto de la losa superior en estudio, en lugar de los descensos máximos. El sentido de lo anterior radica en que las gráficas características de desplazamiento – tiempo de la resonancia contienen desplazamientos positivos y negativos del mismo orden y, además, los desplazamientos hacia arriba se ven acentuados con respecto a los casos no resonantes. De esta manera, sí es más sencillo obtener los casos de carga que más se acerquen a la resonancia, ya que serán aquellos que destaquen en las gráficas de ascensos máximos generadas, para posteriormente elegir entre ellos el más desfavorable (el que genere el mayor descenso vertical). Figura 43. Ascensos verticales máximos en la losa superior del marco. Análisis modal empleando 500 modos de vibración. 6. Metodología de obtención de resultados 54 Para el ejemplo analizado en este capítulo se obtendría la siguiente gráfica, en la que se pueden observar con facilidad los casos de carga que generan los máximos desplazamientos hacia arriba. El siguiente paso será obtener las gráficas desplazamiento – tiempo, del punto en estudio, para los casos de carga que generen los máximos ascensos en la gráfica de la figura 6.3. El número de casos de carga para los cuales obtener estas gráficas de desplazamiento – tiempo, dependerá de cada caso. En un caso como el de el ejemplo que se presenta, al haber varios máximos cercanos entre sí, habría que coger al menos 4 casos de carga, pero si hubiera un máximo claramente diferenciado, con ese bastaría. Centrándonos ahora en el ejemplo, observando la figura 6.3, habría que obtener las gráficas desp – tiempo en el punto en estudio de la losa superior para los siguientes casos de carga. - Tren A10 a 390 km/h Figura 44. Desplazamientos verticales de la losa superior del marco en el tiempo de tránsito del tren A10 a 390 km/h. Max = 0.1949 mm Min = - 0.3863 m Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 55 - Tren A10 a 380 km/h Figura 45. Desplazamientos verticales de la losa superior del marco en el tiempo de tránsito del tren A10 a 380 km/h. Max = 0.1847 mm Min = - 0.3438 mm - Tren A1 a 360 km/h Max = 0.1826 mm Min = - 0.3620 mm Figura 46. Desplazamientos verticales de la losa superior del marco en el tiempo de tránsito del tren A1 a 360 km/h. 7. Análisis comparativo de resultados 62 Figura 52. Relación luz – Coeficiente de impacto (terreno natural tipo I). Figura 53. Relación luz – Acel. Losa sup. (terreno natural tipo I). 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Coeficiente de impacto Luz del marco (m) 0,0000 0,1000 0,2000 0,3000 0,4000 0,5000 0,6000 0,7000 0,8000 0,9000 1,0000 1,1000 1,2000 1,3000 1,4000 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Acelereación losa superior del marco (g) Luz del marco (m) Límite normativa (IAPF-07 y EC-01) Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 63 Figura 54. Relación luz – Acel. Balasto (terreno natural tipo I). Como resumen se detallan los valores máximos y las luces con las que se producen. Valores máximos Luz (m) Coeficiente de impacto (F) 2,0399 15 Acel. Losa superior marco (g) 1,3690 3 Acel. Balasto (g) 4,9327 10 Tabla 17. Valores máximos para terreno natural tipo I. La evolución del coeficiente de impacto es irregular, aumentando su valor para determinadas luces de manera acusada, del orden de un 70 % respecto de los valores para luces menores. Esto pasa para los marcos de 9, 12 y 15 metros de luz. Para luces de 5, 6 y 7 metros el coeficiente de impacto está por debajo de 1, es decir es más desfavorable el caso cuasiestático que el dinámico. También se observa cómo las aceleraciones en la losa superior del marco superan el límite establecido por la normativa IAPF-07 [1] para la seguridad del tráfico, excepto para las luces de mayor tamaño; 12, 15 y 20 metros. Estas aceleraciones se hacen más pequeñas conforme aumenta la luz interior del marco, salvo para las luces de 7 y 10 metros en las que se produce un salto en las mismas del orden de un 25%, respecto del valor anterior. Respecto a las aceleraciones en la capa de balasto, se puede observar como en todos los casos se supera el límite establecido de 0.8g por el EC-01 [2], para la seguridad respecto de la licuefacción del balasto. Estas aceleraciones están todas en el rango entre 2g y 3g, excepto para luces de 7, 9 y 10 metros dónde alcanzan valores muy parecidos para los 3 casos, entre 4,5g y 5g. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Aceleración en el balasto (g) Luz del marco (m) Límite normativa (IAPF-07 y EC-01) 7. Análisis comparativo de resultados 64 TERRENO TIPO II (E = 881 MPa) Luz Tren más desfavorable Desplazamientos (mm) F Aceleraciones (g) Tipo Velocidad (Km/h) Estático Dinámico Losa superior Balasto 3 A10 420 0,2203 0,2871 1,3032 0,1062 3,8899 4 A9 420 0,3005 0,2725 0,9068 0,8470 4,0449 5 A3 400 0,2990 0,4121 1,3783 0,6128 4,5158 6 A10 340 0,3514 0,3954 1,1252 1,0326 2,8940 7 A3 350 0,2786 0,4359 1,5646 0,8156 2,9623 8 A3 360 0,2386 0,4994 2,0930 0,7949 4,4047 9 A3 360 0,2082 0,4259 2,0456 0,5267 4,5025 10 A3 360 0,2334 0,3721 1,5943 0,6819 4,5423 12 A1 420 0,1982 0,7370 3,7185 0,4369 2,5566 15 A3 360 0,2133 0,4395 2,0605 0,0963 2,6555 20 A7 330 0,2819 0,2974 1,0550 0,0299 2,4495 Tabla 18. Resultados terreno tipo II. Figura 55. Relación luz – coeficiente de impacto (terreno natural tipo II). Figura 56. Relación luz – Acel. Losa sup. (terreno natural tipo II). 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Coeficiente de impacto Luz del marco (m) 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Acelereación losa superior del marco (g) Luz del marco (m) Límite normativa (IAPF-07 y EC-01) Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 65 Figura 57. Relación luz – Acel. Balasto (terreno natural tipo II). Como resumen se detallan los valores máximos y las luces con las que se producen. Valores máximos Luz (m) Coeficiente de impacto (F) 3,7185 12 Acel. Losa superior marco (g) 1,0326 6 Acel. Balasto (g) 4,5423 10 Tabla 19. Valores máximos para terreno natural tipo II. La evolución del coeficiente de impacto es primero ascendente, alcanzando un pico para 12 metros de luz con una diferencia respecto a la luz anterior de más del doble. A partir de los 12 metros de luz el coeficiente de impacto va disminuyendo progresivamente a la mitad para luces de 15 y 20 metros. Además, se observa cómo las aceleraciones en la losa superior del marco superan el límite establecido por la normativa IAPF-07 [1] para la seguridad del tráfico, excepto para las luces de; 3, 15 y 20 metros. Estas aceleraciones sufren un ascenso entre luces de 4 y 6 metros, descendiendo sus valores progresivamente a partir de los 6 metros, hasta los 20 metros. Respecto a las aceleraciones en la capa de balasto, se puede observar como en todos los casos se supera el límite establecido de 0.8g por el EC-01 [2], para la seguridad respecto de la licuefacción del balasto. Estas aceleraciones están todas en el rango entre 2,5g y 3g, excepto para luces de 3, 4, 5, 8, 9 y 10 metros dónde alcanzan valores muy parecidos para los 3 casos, entre 4g y 4,5g. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Aceleración en el balasto (g) Luz del marco (m) Límite normativa (IAPF-07 y EC-01) 7. Análisis comparativo de resultados 66 TERRENO TIPO III (E = 220 MPa) Luz Tren más desfavorable Desplazamientos (mm) F Aceleraciones (g) Tipo Velocidad (Km/h) Estático Dinámico Losa superior Balasto 3 A3 380 0,2362 0,5368 2,2727 1,1998 2,9470 4 A3 390 0,2821 0,4404 1,5611 0,8966 2,8736 5 A3 400 0,3336 0,4507 1,3510 0,8121 5,1651 6 A3 400 0,3280 0,5109 1,5576 0,7551 5,1957 7 A3 400 0,3081 0,4765 1,5466 0,5460 5,1947 8 A3 410 0,3071 0,5764 1,8769 0,4990 3,3405 9 A3 410 0,2465 0,5185 2,1034 0,3880 3,9480 10 A1 380 0,2739 0,5747 2,0982 0,7577 3,9154 12 A10 420 0,2862 0,4582 1,6010 0,2471 2,9918 15 A9 400 0,2943 0,6947 2,3605 0,1414 2,8583 20 A10 410 0,3593 0,7331 2,0404 0,1251 3,0775 Tabla 20. Resultados terreno tipo III. . Figura 58. Relación luz – coeficiente de impacto (terreno natural tipo III). Figura 59. Relación luz – Acel. Losa sup. (terreno natural tipo III). 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Coeficiente de impacto Luz del marco (m) 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Acelereación losa superior del marco (g) Luz del marco (m) Límite normativa (IAPF-07 y EC-01) Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 67 Figura 60. Relación luz – Acel. Balasto (terreno natural tipo III). Como resumen se detallan los valores máximos y las luces con las que se producen. Valores máximos Luz (m) Coeficiente de impacto (F) 2,3605 15 Acel. Losa superior marco (g) 1,1998 3 Acel. Balasto (g) 5,1957 6 Tabla 21. Valores máximos para terreno natural tipo III. El coeficiente de impacto varía de manera bastante más suave que en los casos de terreno tipo I o terreno tipo II, no existiendo picos tan acuciados. Además, se observa cómo las aceleraciones en la losa superior del marco superan el límite establecido por la normativa IAPF-07 [1] para la seguridad del tráfico, excepto para las luces de 12, 15 y 20 metros. Estas aceleraciones se hacen más pequeñas conforme aumenta la luz interior del marco, salvo para el caso de 10 metros de luz, dónde se produce un aumento de las aceleraciones del orden de un 50% respecto del valor anterior. Respecto a las aceleraciones en la capa de balasto, se puede observar como en todos los casos se supera el límite establecido de 0.8g por el EC-01 [2], para la seguridad respecto de la licuefacción del balasto. Estas aceleraciones están todas en el rango entre 2,5g y 4g, excepto para luces de 5, 6 y 7 metros dónde alacanzan valores muy parecidos para los 3 casos, alrededor de 5,2g. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Aceleración en el balasto (g) Luz del marco (m) Límite normativa (IAPF-07 y EC-01) 7. Análisis comparativo de resultados 68 TERRENO TIPO IV (E = 55 MPa) Luz Tren más desfavorable Desplazamientos (mm) F Aceleraciones (g) Tipo Velocidad (Km/h) Estático Dinámico Losa superior Balasto 3 A1 290 0,3502 0,7449 2,1271 0,8391 1,9786 4 A10 380 0,4112 0,6040 1,4689 0,8613 2,9011 5 A10 350 0,4468 0,8365 1,8722 0,6737 2,0010 6 A10 230 0,4328 0,8161 1,8856 0,6963 2,0459 7 A1 330 0,3852 0,6398 1,6610 0,5356 2,1876 8 A1 330 0,3523 0,6659 1,8902 0,4596 2,0979 9 A1 340 0,2802 0,6725 2,4001 0,3360 2,6279 10 A1 350 0,3243 0,6853 2,1132 0,4418 2,5902 12 A7 400 0,2990 0,6839 2,2873 0,1191 2,6340 15 A7 410 0,3038 0,7625 2,5099 0,0820 2,8277 20 A9 240 0,4317 0,9401 2,1777 0,0572 1,6636 Tabla 22. Resultados terreno tipo IV. Figura 61. Relación luz – coeficiente de impacto (terreno natural tipo IV). Figura 62. Relación luz – Acel. Losa sup. (terreno natural tipo IV). 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Coeficiente de impacto Luz del marco (m) 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Acelereación losa superior del marco (g) Luz del marco (m) Límite normativa (IAPF-07 y EC-01) Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 69 Figura 63. Relación luz – Acel. Balasto (terreno natural tipo IV). Como resumen se detallan los valores máximos y las luces con las que se producen. Valores máximos Luz (m) Coeficiente de impacto (F) 2,5099 15 Acel. Losa superior marco (g) 0,8613 4 Acel. Balasto (g) 2,9011 4 Tabla 23. Valores máximos para terreno natural tipo IV. El coeficiente de impacto varía menos que en los casos de terreno tipo I o terreno tipo II, de forma semejante al caso de terreno tipo III. Además, se observa cómo las aceleraciones en la losa superior del marco superan el límite establecido por la normativa IAPF-07 [1] para la seguridad del tráfico, excepto para las luces de; 9, 12, 15 y 20 metros. Estas aceleraciones se hacen más pequeñas conforme aumenta la luz interior del marco. Respecto a las aceleraciones en la capa de balasto, se puede observar como en todos los casos se supera el límite establecido de 0.8g por el EC-01 [2], para la seguridad respecto de la licuefacción del balasto. Estas aceleraciones están todas en el rango entre 2g y 3g, del orden de un 40 % inferior a las aceleraciones en el balasto para los demás tipos de terreno estudiados (I, II y III). 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Aceleración en el balasto (g) Luz del marco (m) Límite normativa (IAPF-07 y EC-01) 7. Análisis comparativo de resultados 70 7.2. Influencia del tipo de terreno natural. En este apartado se van a superponer las gráficas generadas anteriormente, para cada tipo de terreno natural en la plataforma, referentes a: - Coeficiente de impacto. - Aceleraciones en la losa superior del marco. - Aceleraciones en la capa de balasto. El objetivo es observar la influencia que tiene la rigidez de dicho terreno en la evolución de estos aspectos. A modo de recordatorio, en la siguiente tabla se recogen las rigideces de los diferentes terrenos naturales que se han estudiado. Terreno Vs (m/s) r (Kg/m3) ν G (N/m2) E (Mpa) Tipo I 750 2038,735984 0,35 1146788991 3096 Tipo II 400 2038,735984 0,35 326197757 881 Tipo III 200 2038,735984 0,35 81549439,4 220 Tipo IV 100 2038,735984 0,35 20387359,8 55 Tabla 1. Valores de rigideces del terreno natural. COEFICIENTE DE IMPACTO Observando las gráficas, a grandes rasgos se puede ver como éstas se elevan conforme el terreno natural tiene menor calidad, es decir, menor rigidez. Respecto a la forma de las gráficas todas son semejantes, un poco más suaves para los terenos III y IV que para los terrenos I y II. Un aspecto interesante es que, si nos fijamos en determinadas luces, los coeficientes de impacto mayores no se dan para las rigideces de terreno natural menores, y vicerversa. Dicho de otra forma, los coeficientes de impacto no están ordenados de menor a mayor, para terrenos de mejor a peor calidad (mayor a menor rigidez). 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Coeficiente de impacto Luz del marco (m) Terreno I Terreno II Terreno III Terreno IV Figura 64. Coeficiente de impacto en función de la luz y del tipo de terreno. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 71 Esto ocurre para luces de 3, 4, 8 y 12 metros, siendo esta última la luz que genera los resultados más sorprendentes, ya que el coeficiente de impacto se eleva, para el terreno tipo II, hasta 3.7185, aproximadamente el doble del valor que se podría esperar en función de los resultados para los demás tipos de terreno, en torno a 2. La razón de esto puede ser, que con esa geometría y con esa combinación de rigideces en los materiales, la frecuencia de paso de las cargas transmitidas por el tren desfavorable se acerque mucho a una de las frecuencias naturales, incrementando la amplificación de su respuesta dinámica. ACELERACIONES EN LA LOSA SUPERIOR DEL MARCO Figura 65. Aceleración en la losa superior del marco en función de la luz y del tipo de terreno. Como se puede ver en la figura anterior, la evolución con la luz interior del marco es muy semejante para los cuatro tipos de terreno. Las aceleraciones van disminuyendo con una pendiente elevada hasta los 12 metros de luz y a partir de ahí se estabilizan en torno a 0.1g. En este caso, ocurre lo contrario que para el coeficiente de impacto, las aceleraciones aumentan conforme el terreno es de mayor calidad (mayor rigidez, terreno tipo I), aunque no se suele mantener un orden de menor a mayor en función de la calidad del terreno de la plataforma. Los valores mínimos se dan para el terreno de menor rigidez y los máximos se dan siempre, excepto para 15 y 20 metros de luz, para el terreno tipo I o el terreno tipo II, los dos de mayor rigidez. 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Acelereación losa superior del marco (g) Luz del marco (m) Terreno I Terreno II Terreno III Terreno IV 10. Referencias 78 [17] Winkler E., Die Lehre von der Elastiziet and Festigkeit, Verlag H. Dominikus, Prag 1867. [18] Dahlberg, T., Track Issues. Handbook on Railway Vehicle Dynamics, CRC Press, Taylor and Francis Group, 2006. [19] Oscarsson, J., Dynamic train - track interaction: linear and non-linear track models with property scatter, PhD thesis, Department of Solid Mechanics, Chalmers University of Technology, Gothenburg, Sweden, ISSN 0346-718X, 2001. [20] López Pita, A., (1976) "La distribución de tensiones en la capa de balasto y la determinación del espesor necesario: estado actual", Revista AIT, nº 11, Agosto, pp 66-77. [21] Sauvage, G. y Larible, G., (1982) "La modélisation par éléments finis des couches d'aisse de la voie ferrée" Revue Générale des Chemins de Fer, Septiembre, pp 475-484. [22] Profillidis, V ; Humbert, P. Étude en élastoplasticité par la MEF du comportement de la voie ferrée et de sa fondation. [23] Sahu, J., N Rao y Yudhbir, (1999). "Parametric study of resilient response of traces with a sub-ballast layer", Canadian Geotechnical Journal, Vol 36, pp 1137-1150. [24] Mira, P.; Nasarre, J.; Pastor, M.; Rodriguez, J.; Santos, J. Recomendaciones para el proyecto de plataformas ferroviarias. Ministerio de fomento, 1999. [25] Teixeira P.F. (2003) Contribución a la reducción de los costes de mantenimiento de vías de alta velocidad mediante la optimización de su rigidez vertical. Tesis doctoral. Aula COMSA, Universidad Politécnica de Cataluña, Barcelona. [26] Gallego Giner, Inmaculada. (2006) Heterogeneidad resistente de las vías de alta velocidad: Transición terraplén-estructura. Tesis doctoral. Universidad de Castilla-La Mancha. Ciudad Real. [27] The Finite Element Method. O. C. Zienkiewicz. McGraw-Hill Company. London. 1977. [28] Peyman Mellat. (2012) Dynamic analysis of soil-steel composite bridges for high speed railway traffic. Master of Science Thesis Stockholm, Sweden. [29] Antonio Martinez de la Concha. (2009) Influencia de la interacción suelo-estructura en el comportamiento dinámico de estructuras sometidas al paso de cargas móviles. Dep. Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras. ETSI, Universidad de Sevilla. 79 ANEXOS Anexo A. Trenes y velocidades más desfavorables. Luz interior del marco (m) Terreno natural de la plataforma Tipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Tren Velocidad (km/h) Tren Velocidad (km/h) Tren Velocidad (km/h) Tren Velocidad (km/h) 3 A1 370 A10 420 A3 380 A1 290 4 A1 380 A9 420 A3 390 A10 380 5 A1 380 A3 400 A3 400 A10 350 6 A1 390 A10 340 A3 400 A10 230 7 A10 380 A3 350 A3 400 A1 330 8 A2 270 A3 360 A3 410 A1 330 9 A3 410 A3 360 A3 410 A1 340 10 A10 390 A3 360 A1 380 A1 350 12 A6 390 A1 420 A10 420 A7 400 15 A3 380 A3 360 A9 400 A7 410 20 A7 340 A7 330 A10 410 A9 240 Anexo B. Resultados del análisis mediante integración directa paso a paso. TERRENO TIPO I (E = 3096 MPa) Luz Tren más desfavorable Desplazamientos (mm) F Aceleraciones (g) Tipo Velocidad (Km/h) Estático Dinámico Losa superior Balasto 3 A1 370 0,1695 0,2039 1,2029 1,3690 2,4648 4 A1 380 0,1732 0,2032 1,1732 0,9371 2,9317 5 A1 380 0,2832 0,2370 0,8369 0,8501 2,8043 6 A1 390 0,2803 0,2602 0,9283 0,7052 2,8940 7 A10 380 0,2683 0,2487 0,9269 0,8546 4,4383 8 A2 270 0,2233 0,2873 1,2866 0,5906 3,0795 9 A3 410 0,1724 0,3358 1,9478 0,4778 4,4312 10 A10 390 0,3246 0,3579 1,1026 0,9360 4,9327 12 A6 390 0,1938 0,3286 1,6956 0,2354 2,4608 15 A3 380 0,2003 0,4086 2,0399 0,0983 2,7258 20 A7 340 0,2790 0,2924 1,0480 0,0385 2,7421 Anexos 80 TERRENO TIPO II (E = 881 MPa) Luz Tren más desfavorable Desplazamientos (mm) F Aceleraciones (g) Tipo Velocidad (Km/h) Estático Dinámico Losa superior Balasto 3 A10 420 0,2203 0,2871 1,3032 1,0622 3,8899 4 A9 420 0,3005 0,2725 0,9068 0,8470 4,0449 5 A3 400 0,2990 0,4121 1,3783 0,6128 4,5158 6 A10 340 0,3514 0,3954 1,1252 0,9786 2,8940 7 A3 350 0,2786 0,4359 1,5646 0,8156 2,9623 8 A3 360 0,2386 0,4994 2,0930 0,7949 4,4047 9 A3 360 0,2082 0,4259 2,0456 0,5267 4,5025 10 A3 360 0,2334 0,3721 1,5943 0,6819 4,5423 12 A1 420 0,1982 0,7370 3,7185 0,4369 2,5566 15 A3 360 0,2133 0,4395 2,0605 0,0963 2,6555 20 A7 330 0,2819 0,2974 1,0550 0,0299 2,4495 TERRENO TIPO III (E = 220 MPa) Luz Tren más desfavorable Desplazamientos (mm) F Aceleraciones (g) Tipo Velocidad (Km/h) Estático Dinámico Losa superior Balasto 3 A3 380 0,2362 0,5368 2,2727 1,1998 2,9470 4 A3 390 0,2821 0,4404 1,5611 0,8966 2,8736 5 A3 400 0,3336 0,4507 1,3510 0,8121 5,1651 6 A3 400 0,3280 0,5109 1,5576 0,7551 5,1957 7 A3 400 0,3081 0,4765 1,5466 0,5460 5,1947 8 A3 410 0,3071 0,5764 1,8769 0,4990 3,3405 9 A3 410 0,2465 0,5185 2,1034 0,3880 3,9480 10 A1 380 0,2739 0,5747 2,0982 0,7577 3,9154 12 A10 420 0,2862 0,4582 1,6010 0,2471 2,9918 15 A9 400 0,2943 0,6947 2,3605 0,1414 2,4709 20 A10 410 0,3593 0,7331 2,0404 0,1251 3,0775 TERRENO TIPO IV (E = 55 MPa) Luz Tren más desfavorable Desplazamientos (mm) F Aceleraciones (g) Tipo Velocidad (Km/h) Estático Dinámico Losa superior Balasto 3 A1 290 0,3502 0,7449 2,1271 0,8391 1,9786 4 A10 380 0,4112 0,6040 1,4689 0,8613 2,9011 5 A10 350 0,4468 0,8365 1,8722 0,6737 2,0010 6 A10 230 0,4328 0,8161 1,8856 0,6963 2,0459 7 A1 330 0,3852 0,6398 1,6610 0,5356 2,1876 8 A1 330 0,3523 0,6659 1,8902 0,4596 2,0979 9 A1 340 0,2802 0,6725 2,4001 0,3360 2,6279 10 A1 350 0,3243 0,6853 2,1132 0,4418 2,5902 12 A7 400 0,2990 0,6839 2,2873 0,1191 2,6340 15 A7 410 0,3038 0,7625 2,5099 0,0820 2,8277 20 A9 240 0,4317 0,9401 2,1777 0,0572 1,6636 Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 81 Anexo C. Gráficas de desplazamientos y aceleraciones. Para cada luz interior del marco se detallan en el siguiente orden; los desplazamientos y aceleraciones de la losa superior del marco obtenido en el punto 1 (ver ap.1.3 del cap.1) y las aceleraciones de la capa de balasto en el punto 2 (ver ap.1.3 del cap.1). C.1. Terreno tipo I.  Luz = 3 metros. Anexos 82  Luz = 4 metros. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 83  Luz = 5 metros. Anexos 84  Luz = 6 metros. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 85  Luz = 7 metros. Anexos 86  Luz = 8 metros. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 87  Luz = 9 metros. Anexos 94  Luz = 5 metros. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 95  Luz = 6 metros. Anexos 96  Luz = 7 metros. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 97  Luz = 8 metros. Anexos 98  Luz = 9 metros. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 99  Luz = 10 metros. Anexos 100  Luz = 12 metros. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 101  Luz = 15 metros. Anexos 102  Luz = 20 metros. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 103 C.3. Terreno tipo III.  Luz = 3 metros. Anexos 110  Luz = 10 metros. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 111  Luz = 12 metros. Anexos 112  Luz = 15 metros. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 113  Luz = 20 metros. Anexos 114 C.4. Terreno tipo IV.  Luz = 3 metros. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 115  Luz = 4 metros. Anexos 116  Luz = 5 metros. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 117  Luz = 6 metros. Anexos 118  Luz = 7 metros. Influencia de la luz interior en el comportamiento dinámico de marcos bajo terraplén sometidos al paso de trenes de alta velocidad 119  Luz = 8 metros.