El principio de Hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas

El principio de Hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas Aarón Ocampo Amaya El principio de Hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas Aarón Ocampo Amaya Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Máster Universitario en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por Prof. Antonio Rojas León Índice general English Abstract 1 1. Introducción 3 1.1. Introducción a los números p-ádicos................... 5 1.2. Cuadrados en los números p-ádicos ................... 9 1.3. Ecuaciones en cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2. El principio de Hasse para formas cuadráticas 13 2.1. Representabilidad de cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. ElsímbolodeHilbert ........................... 15 2.3. El teorema para formas en tres y cuatro variables . . . . . . . . . . . 20 2.4. El teorema en formas de cinco variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. El principio de Hasse en curvas elípticas 25 3.1. Conceptos de geometría algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. Conceptos sobre curvas algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3. Teoríadedivisores............................. 31 3.4. Ecuaciones de Weierstrass y curvas elípticas . . . . . . . . . . . . . . 35 3.5. Isogenias.................................. 43 ii el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas 3.6. Espacios homogéneos. El grupo de Weil-Châtelet . . . . . . . . . . . 48 3.7. El grupo de Tate-Shafarevich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Conclusiones 61 Bibliografía 63 English Abstract Diophantine equations have been extensively studied by mathematicians throughout history. One of the many methods developed to do so is the introduction of p-adic numbers. Effectively computable methods have been found for solving equations in p-adic numbers; however, it is not guaranteed that these solutions provide enough information about the solutions in rational numbers. The aim of this work is to understand this relation between solutions, called Hasse principle. Two cases are studied: cuadratic forms over the rational numbers, where the principle holds; and elliptic curves, where it generally does not. 1 Introducción Una ecuación diofántica es una ecuación polinomial cuyos coeficientes son enteros y cuyas soluciones también se buscan en el conjunto de los enteros. Las ecuaciones diofánticas han sido estudiadas extensamente a lo largo de la historia. Prueba de esto es el origen de su nombre, el matemático griego Diofanto de Alejandría, quién hizo un estudio de estas ecuaciones en el siglo III. El difícil estudio de estas ecuaciones ha llevado a numerosos métodos para estudiarlas. En este trabajo nos centramos en uno de ellos, el principio de Hasse o principio local-global. En 1897, el matemático alemán Kurt Hensel (1861-1941) definió los números pádicos como herramienta para ayudar a demostrar la trascendencia de ciertos números. En concreto, Hensel dio una prueba de la trascendencia del número econ sus números p-ádicos. Si bien los matemáticos de la época los tachaban de meros pasatiempos mentales, la erroneidad de la prueba de Hensel no ayudó a cambiar esta mentalidad. Fue un alumno suyo, Helmut Hasse (1898-1979), fascinado por el uso de los pádicos por Hensel para determinar condiciones necesarias de solubilidad de formas cuadráticas binarias y ternarias, quien continuó su trabajo para formas cuadráticas en general. Hasse en primer lugar, consiguió traducir a términos p-ádicos un teorema de Legendre, que daba condiciones necesarias y suficientes para la solubilidad de formas cuadráticas ternarias. La traducción de este teorema resultó en decidir la solubilidad del problema inicial basándose en la solubilidad en números p-ádicos. Se acababa de crear el primer resultado en base al principio de Hasse. Posteriormente, en 1921, Hasse demostró el hoy conocido como teorema de Hasse- Minkowski. En él, generalizaba el resultado anterior a formas cuadráticas sobre Q en nvariables. Más adelante, en 1924, generalizó el Teorema de Hasse-Minkowski para cuerpos algebraicos de números; extendiendo el alcance del principio de Hasse. Resolvió, de esta manera, el undécimo problema de Hilbert: la clasificación de formas cuadráticas sobre cuerpos de números. Esto establecía la importancia de la teoría pádica, que sigue vigente en la teoría de números. 10 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas Claramente, todo cuadrado p-ádico (no sea necesariamente una unidad) debe tener una valoración par. Entonces, la caracterización de cuadrados se resumen en el corolario siguiente. Corolario 1.2.2.Si p= 2, entonces, x=pvp(x)u∈Qpes un cuadrado si y solo si vp(x)es par y la unidad u∈Zpes un cuadrado módulo p. Si p= 2,x∈Q2es un cuadrado si y solo si vp(x)es par y ues un cuadrado módulo 8. Proposición 1.2.3. Si p= 2, existen cuatro clases residuales en Q∗ p/(Q∗ p)∗, es decir, módulo cuadrado, dadas por {1, ϵ, p, pϵ}. Aquí, ϵes un entero tal que ϵno es un cuadrado módulo p. Si p= 2, tenemos 8 clases residuales en Q∗ 2/(Q∗ 2)2, dadas por {1,3,5,7,2·1,2·3,2· 5,2·7}. Demostración. Para p= 2, sabemos que en Fpla mitad exactamente de los elementos son cuadrados. Luego todo x=pvp(x)u∈Q∗ pestá relacionado con alguno de los elementos {1, ϵ, p, pϵ}por un cuadrado de Qp. Éstos elementos no están relacionados entre sí, ya que o bien sus valoraciones p-ádicas no se diferencian en una potencia par, o bien sus unidades no se relacionan mediante cuadrados módulo p(corolario 1.2.2). Para p= 2, el mismo argumento aplica, teniendo en cuenta que las unidades 2-ádicas vienen representadas por alguna de las clases de 1,3,5,7módulo 8y que ninguna está relacionada por una 2-unidad cuadrada, pues éstas cumplen que u≡1(mod 8). Sobre el aspecto topológico de los cuadrados p-ádicos, nos interesa ver que forman un abierto en Qp. Proposición 1.2.4. Para todo pprimo, el conjunto de cuadrados de Qpes un abierto de Qp. Demostración. Recordemos que la topología sobre Qpviene dada por la métrica pádica, d(x, y) = e−vp(x−y). Entonces, los conjuntos de la forma x+pnZpson entornos abiertos de cada x∈Qp. Con ello, dado x∈Qpcuadrado, sea m=vp(x)ey∈x+pm+3Zp. Si x=pmu, con mpar y uuna unidad cuadrada, tenemos que y=pmu+pm+3t, para cierto t∈Zp. Luego y=pmvpara v=u+p3t, que es una unidad. Por ello, tenemos que vp(y)es par y que la unidad v≡u(mod p), y para p= 2, que v≡u(mod 8). Entonces, ves una unidad cuadrada p-ádica para todo py los cuadrados son un abierto de Qp. 1. introducción 11 1.3 Ecuaciones en cuerpos finitos El isomorfismo Fp=Z/pZ∼ =Zp/pZp, junto con el corolario 1.1.5 permite obtener soluciones p-ádicas a partir de soluciones en módulo p. El propósito de esta sección es dar ciertos resultados y conceptos en cuerpos finitos que nos resultarán de utilidad a la hora de tratar ecuaciones p-ádicas en el caso cuadrático. Lema 1.3.1.Sea n≥0un entero y sea Kun cuerpo finito de q=prelementos, con pprimo. Se cumple que: X x∈K xn=(−1si n≥1yq−1divide a n 0en otro caso (tomando que 00= 1 en este caso) Demostración. Si n= 0, tenemos que xn= 1 para todo x∈Ky la suma da 0pues Ktiene característica p. Si n≥1pero q−1divide a n, tenemos que: X x∈K xn= 0 + X x∈K∗ xn= (q−1) ·1 = −1 Si n≥1ynno es divisible por q−1, como K∗es cíclico de orden q−1, tenemos que existe y∈K∗tal que yn= 1. Así, tenemos que: S=X x∈K xn= 0 + X x∈K∗ xn=X x∈K∗ ynxn=ynS Luego (1 −yn)S= 0 y por ello S= 0. El teorema que buscamos demostrar es el siguiente: Teorema 1.3.2 (Teorema de Chevalley-Warning). Sea Kun cuerpo finito de q=prelementos. Dada una familia (finita) fα∈K[X1, . . . , Xn]de polinomios de grado menor que n, si Ves el conjunto de sus ceros comunes en Kn, se cumple que Card(V)≡0(mod p). (Aquí Card(V)denota el cardinal de V) Demostración. Consideremos el polinomio P=Qα(1 −fq−1 α). Si x∈V, entonces fα(x) = 0 para todo αy por ello, P(x) = 1. Por otro lado, si x /∈V, existe un α0tal que fα0(x)= 0 y por ello, fα0(x)q−1= 1 yP(x)=0. Con esto, concluimos que P 12 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas es la función indicadora de V. Entonces, tenemos que Card(V)(mod p) es justamente Px∈KnP(x). Ahora bien, como los fαtienen grado menor que n,Ptiene grado menor que n(q−1). Luego Pse expresa como la suma de monomios: P=X u=(u1,...,un) Pui<n(q−1) auXu1 1. . . Xun n Como cada monomio cumple: X x∈Kn auxu1 1. . . xun n=au n Y i=1 X xi∈K xui i! Y siempre se cumple que ui< q −1para algún i, pues Pui< n(q−1), por el lema anterior, la suma sobre ese monomio es nula. Luego la suma Px∈KnP(x)es nula y concluimos que Card(V)≡0(mod p). Corolario 1.3.3.Bajo las condiciones del teorema anterior, si los fαno tienen términos constantes, entonces tienen un cero no trivial en Kn. En concreto, todo polinomio f∈K[X1, . . . , Xn]sobre un cuerpo finito, sin término constante y con grado menor que ntiene soluciones no triviales. Demostración. Si Vse redujera a {0}, no se cumpliría que Card(V)≡0(mod p). 2 El principio de Hasse para formas cuadráticas 2.1 Representabilidad de cero Recordemos la definición de una forma cuadrática, como f(x) = xtAx, donde x∈Knes un vector columna y Aes una matriz cuadrada simétrica. Se dice que es no singular (o no degenerada) si la matriz Aes no singular. A efectos prácticos, para nuestro estudio, podemos dar la siguiente definición: Definición 2.1.1. Una forma cuadrática,f, sobre un cuerpo Kes un polinomio homogéneo de K[x1, . . . , xn]de grado 2. Si car(K)= 2, decimos que fes no singular si puede ponerse de la forma: f=a1x2 1+···+anx2 n, ai∈K∗ tras un cambio de variables lineal. Decimos que una forma cuadrática representa k∈ K∗si existen valores de xitales que f(x) = k. Decimos que frepresenta cero si existen xino todos nulos con f(x) = 0. Definición 2.1.2. Decimos que dos formas cuadráticas, f,g, son equivalentes si g es el resultado de aplicar un cambio de variables lineal e invertible a f. Observación 2.1.3.Nos interesa en concreto la representabilidad de cero de formas cuadráticas. Convenientemente, esta propiedad se preserva entre formas cuadráticas equivalentes. Concretamente, podemos manipular toda forma cuadrática, f, de ciertas maneras de forma que no cambiemos su representabilidad de cero. Usaremos con frecuencia el cambio xi−→ ux′ i, para ciertos elementos u∈K∗, de forma que cambiemos el coeficiente aipor aiu2. Este proceso permite, por ejemplo, tomar los aide fde forma que sean libres de cuadrados. Además, si estamos estudiando la forma cuadrática f=a1x2 1+···+anx2 n, como 14 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas fya1frepresentan cero en las mismas condiciones, podemos estudiar directamente formas dadas por la expresión: f′=x2 1+a′ 2x2 2···+a′ nx2 n es decir, que podemos suponer que a1= 1. Notación 2.1.4. Sea V={p∈Z:pes primo}∪{∞}. De esta forma, Qv, para v∈ V, denota una de las posibles completaciones de Q. Siempre que utilicemos el subíndice v∈Vsobre un objeto, nos referiremos al objeto en cuestión, en su versión referente a Qv. La demostración del hecho de que toda forma cuadrática cumple el principio de Hasse se divide en casos, según el número de variables. Con estos conceptos básicos, estamos listos para demostrar el caso más elemental. Teorema 2.1.5 (Teorema de Hasse-Minkowski). Sea funa forma cuadrática en dos variables no degenerada sobre Q. Entonces, frepresenta cero en Qsi y sólo si fv representa cero en Qvpara todo v∈V. Demostración. Escribamos fde la forma f=x2 1−ax2 2. Como f∞representa cero, debe darse que a > 0. Podemos entonces escribir acomo: a=Y pprimo pvp(a)(⋆) donde vp(a)es la valoración p-ádica de acomo número p-ádico. Es claro que solo un número finito de vp(a)son distintos de cero. Ahora bien, como fprepresenta cero, existen x1, x2∈Qptales que x2 1−ax2 2= 0 y por tanto, a=x2 1/x2 2, es decir, aes un cuadrado en Qpy por ello, vp(a)es par. Volviendo a (⋆), tenemos que aes un cuadrado en Qy con ello es claro que x2 1−ax2 2= 0 admite soluciones racionales no nulas. La representabilidad de cero de una forma cuadrática es importante, no solo por ser el objeto principal que estamos estudiando, si no que tiene más implicaciones en los valores que toma la forma cuadrática. Proposición 2.1.6. Sea funa forma cuadrática no singular en Kcon car(K)= 2. Si frepresenta cero y tiene dos o más variables, entonces frepresenta cualquier elemento en K. Demostración. Sea f=a1x2 1+··· +anx2 ny sea α∈K. Como frepresenta cero, tomemos yitales que a1y2 1+···+any2 n= 0 y no todos los yison cero. Podemos suponer que y1= 0. Sustituyendo en f,x1=y1(1 + t)yxi=yi(1 −t)para i= 2, . . . , n, 2. el principio de hasse para formas cuadráticas 15 obtenemos: f(t) = a1y2 1+···+any2 n+ +a1(2y2 1t)−a2(2y2 2t)−···−an(2y2 nt)+ + (a1y2 1+···+any2 n)t2 Es decir, que f(t) = 2a1y2 1t−2(a2y2 2+···+any2 n)t= 4a1yt 1. En concreto, eligiendo t=α/4a1y2 1, obtenemos valores de xitales que f(x) = y. Corolario 2.1.7.Sean dos formas cuadráticas no singulares g∈K[x]yh∈K[y]y sea f=g−h. Entonces, frepresenta cero si y solo si gyhrepresentan un mismo a∈K∗. Demostración. Si existe a∈K∗con g(x) = a=h(y), entonces, claramente f(x, y) = 0y cada parte de la solución, (x, y), tiene alguna de sus componentes no nula, pues a= 0. Por otro lado, si f(x, y)=0, entonces, también tenemos que g(x) = h(y) = a. Si a∈K∗, hemos terminado. En caso contrario, alguna de las formas gohdebe representar cero, ya que entre las componentes de (x, y), alguna debe ser no nula. Suponiendo que grepresenta cero, también representa todo elemento en Ky por tanto, todos los valores no nulos que tome h, obteniendo el resultado. 2.2 El símbolo de Hilbert Vamos a introducir algunas definiciones y resultados que nos serán útiles a la hora de demostrar el teorema de Hasse-Minkowski en más variables. El símbolo de Hilbert, que da nombre a esta sección, tiene relación directa con el caso en tres variables; aunque es esencial también para el resto de casos. Definición 2.2.1. Sea Kun cuerpo con car(K)= 2 y sean a, b ∈K∗. Consideremos la extensión Kb=K(√b). Diremos que aes una norma de Kbsi podemos escribir a=x2−by2para x, y ∈K. En otras palabras, aestá en la imagen del morfismo norma de Kb: N:Kb−→ K (x+√by)7→ (x+√by)(x−√by) 16 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas Proposición 2.2.2. El conjunto, NK∗ b, de normas no nulas de Kb, es un subgrupo de K∗ Demostración. Tenemos que 1=12−b·02, luego 1es una norma. Por otro lado, es fácil comprobar las fórmulas para el producto y la inversa: (x2−by2)(z2−bt2) = (xz +byt)2−b(yz +tx)2 a−1= (x2−by2)−1=x a2−by a2 Definición 2.2.3. Dados a, b ∈K∗se define su símbolo de Hilbert,(a, b), como: (a, b) = (1si z2−ax2−by2representa cero en K −1en otro caso El símbolo de Hilbert es simétrico, es decir, que (a, b)=(b, a). La definición del símbolo de Hilbert implica una propiedad en relación con las normas no nulas en K, dada por el siguiente resultado: Proposición 2.2.4. Para Kcon car(K)= 2, el símbolo de Hilbert cumple que: (a, b) = 1 ⇐⇒ a∈NK∗ b Demostración. En el caso en que bsea un cuadrado, b=c2, para c∈K∗, tenemos que z2−ax2−(cy)2, y esta forma claramente representa cero, tomando z=c, x = 0, y = 1. Además, Kb=K, luego a∈NKbse cumple siempre. En el caso en que bno sea un cuadrado, si a∈NK∗ b, tenemos que a=z2−by2, para ciertos z, y ∈K. Así, tenemos que z2−a·12−by2= 0 y por tanto (a, b) = 1. Por otro lado; si (a, b)=1, entonces, z2−ax2−by2= 0. Debe darse que x= 0, pues en caso contrario, b=z2/y2ybes un cuadrado. Luego a= (z/x)2−b(y/x)2ya∈NK∗ b. Teorema 2.2.5. El símbolo de Hilbert es bilineal, en el sentido de que (a, bc) = (a, b)(a, c). Como consecuencia, si a∈K∗no es un cuadrado, el subgrupo de normas no nulas de aes un subgrupo de índice 2dentro de K∗. Demostración. La bilinealidad del símbolo de Hilbert requiere un extensivo estudio de casos, éstos pueden encontrarse en [2], Chap 1, Sec 6, teorema 6o en [6] Capítulo 1, §1.2Teorema 2. Una vez establecida la bilinealidad, podemos definir el homomorfismo 2. el principio de hasse para formas cuadráticas 17 de grupos: (a, ·) : K∗−→ {1,−1} b7−→ (a, b) dando lugar a que, siempre que ano sea un cuadrado, el conjunto de normas no nulas de aes la preimagen de {1}por este homomorfismo, que será de índice 2. Observación 2.2.6.Notemos que si aes un cuadrado en Q∗ p, tenemos que (a, ·) = 1, luego el símbolo de Hilbert define un homomorfismo de grupos en el cociente Q∗ p/(Q∗ p)2. La operación de grupo de Q∗ p/(Q∗ p)2es la multiplicación y esto le da estructura de F2espacio vectorial de dimensión finita (proposición 1.2.3). El símbolo de Hilbert cobra especial importancia sobre los cuerpos p-ádicos, donde se pueden caracterizar qué formas cuadráticas representan cero o no, dependiendo de los valores de ciertos símbolos. Justamente el siguiente teorema explica este fenómeno. Teorema 2.2.7. Sea f=a1x2 1+···+anx2 nuna forma cuadrática no singular en Qp. Definamos los valores: d(f) = n Y i=1 aiϵ(f) = Y 1≤i<j≤n (ai, aj) Se tiene que frepresenta cero si y solo si: 1. n= 2 yd=−1 2. n= 3 y(−1,−d) = ϵ 3. n= 4 yd= 1 o bien d= 1 yϵ= (−1,−1) 4. n≥5 Donde consideramos las igualdades que involucren a d(f)como igualdades en Q∗ p/(Q∗ p)2. Demostración. n=2 Una forma a1x2 1+a2x2 2representa cero si y solo si −a1/a2es un cuadrado y en cuyo caso, se tiene que −a1/a2=−a1a2=−des un cuadrado. Luego, en −d= 1 en Q∗ p/(Q∗ p)2y tenemos que d=−1. n=3 La forma fes equivalente a f′=−a3a1x2 1−a3a2x2 2−x2 3, y por definición, tenemos que f′representa cero si y solo si (−a3a1,−a3a2)=1. Por la bilinealidad del símbolo de Hilbert, la expresión anterior se expande en: (−1,−1)(−1, a3)(−1, a2)(a3,−1)(a3, a3)(a3, a2)(a1,−1)(a1, a3)(a1, a2) = 1 (−1,−1)(−1, a2)(a3, a3)(a3,a2)(a1,−1)(a1, a3)(a1, a2)=1 18 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas Notemos que (a3, a3) = (−1, a3)(−a3, a3), y que la forma z2+a3x2−a3y2representa cero siempre, luego (−a3, a3) = 1 y por ello, (a3, a3) = (−1, a3). Sustituyendo esto en la expresión anterior y reordenando los términos: (−1,−1)(−1, a1)(−1, a2)(−1, a3)(a1, a2)(a1, a3)(a2, a3) = 1 Utilizando la bilinealidad de forma adecuada, obtenemos finalmente que: (−1−d)ϵ= 1 Es decir, que (−1,−d) = ϵ. n=4 Una forma cuadrática f=a1x2 1+a2x2 2+a3x2 3+a4x2 4representa cero si y solo si, por el corolario 2.1.7, las formas g=a1x2 1+a2x2 2yh=−a3x2 3−a4x2 4 representan un mismo elemento. Un x∈Qpestá representado por cada una de estas formas si y solo si: (x, −a1a2) = (a1, a2)para g(x, −a3a4)=(−a3,−a4)para h Esto es cierto por el corolario a este mismo teorema, en el caso de dos variables, que solo utiliza el caso n= 3 de este teorema. Recordemos el homomorfismo de grupos: φa:Q∗ p/(Q∗ p)2−→ {1,−1} b7−→ (a, b) Luego para que fno representecero debe darse que los conjuntos A=φ−1 −a1a2((a1, a2)) yB=φ−1 −a3a4((−a3,−a4)) sean disjuntos. Ambos son claramente no vacíos, pues (a1,−a1a2) = (a1,−a1)(a1, a2) = (a1, a2)y por ello a1∈Ae igualmente, −a3∈B. Para que A∩B=∅, debe darse que (a1, a2) = −(−a3,−a4). Entonces, sabemos que para todo x∈Q∗ p/(Q∗ p)2, solo una de las dos igualdades se cumple: (x, −a1a2) = (a1, a2)o bien (x, −a3a4) = −(a1, a2) En cualquier caso se tiene que (x, a1a2a3a4)=1para todo x∈Q∗ p/(Q∗ p)2. Es decir que d=a1a2a3a4= 1 módulo Q∗ p 2. Dado que tenemos también que (a1, a2) = −(−a3,−a4), y junto con que d= 1 implica que a1a2=a3a4, tenemos que: ϵ= (a1, a2)(a1, a3)(a1, a4)(a2, a3)(a2, a4)(a3, a4) ϵ= (a1, a2)(a1a2, a3a4)(a3, a4) ϵ= (a1, a2)(a3, a4)(a3a4, a3a4) 2. el principio de hasse para formas cuadráticas 19 Y usando que (a, a) = (−1, a), tenemos que ϵ= (a1, a2)(a3, a4)(−1, a3a4). Descomponiendo (−1, a3a4) = (−1, a4)(−1, a3) = (−1, a4)(−1,−a3)(−1,−1), y usando la bilinealidad obtenemos que ϵ= (a1, a2)(−a3,−a4)(−1,−1) y como teníamos que (a1, a2) = −(−a3,−a4), se concluye que ϵ=−(−1,−1). En resumen, si fno representa cero, debe darse que d= 1 y, en cuyo caso, ϵ= −(−1,−1), terminando la demostración. n≥5Basta probarlo para n= 5, puesto que el resto de casos se deducen de éste. Sea f=a1x2 1+···+a5x2 5. Notemos que, por el corolario siguiente y la demostración del caso n= 4, la forma binaria g=a1x2 1+a2x2 2representa al menos la mitad de los elementos de Q∗ p/(Q∗ p)2. Por ello, y como ftambién representa los mismos elementos que g, tenemos que existe un brepresentado por ftal que d=b∈Q∗ p/(Q∗ p)2. Sabemos que la forma fes equivalente a (b/a1)f, y ésta última se expresa como: f∼(b/a1)f=bx2 1+h para cierta forma hen cuatro variables. Como d(h) = d(f)/b en Q∗ p/(Q∗ p)2, tenemos que d(h)= 1 y por el caso anterior, hrepresenta cero. Entonces, frepresenta cero también. El siguiente corolario se deduce solamente del caso n= 3 del teorema anterior. Corolario 2.2.8.Una forma cuadrática no singular f=a1x2 1+a2x2 2representa y∈K si y solo si (y, −d)=(a1, a2). Demostración. Claramente frepresenta ysi y solo si f−yx2 3representa cero. Entonces, aplicando el teorema anterior, tenemos que (−1, a1a2y) = (a1, a2)(a1,−y)(a2,−y). Por bilinealidad: (−1, a1)(−1, a2)(−1, y) = (a1, a2)(a1, y)(a1,−1)(a2, y)(a2,−1) (−1, y) = (a1, a2)(a1, y)(a2, y) (−1, y)(a1, y)(a2, y) = (a1, a2) (−a1a2, y) = (a1, a2) Como queríamos. Necesitamos un par de resultados más sobre el símbolo de Hilbert que serán útiles a la hora de demostrar el caso en cuatro variables. 26 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas decimos que Vestá definida sobre Ksi I(V)está generado por polinomios de K[X], y se denota V/K. Definición 3.1.2. Sea el grupo de Galois de la extensión ¯ K/K,G¯ K/K. Podemos definir una acción de G¯ K/K sobre An: P= (a1, . . . , an) =⇒Pσ:= (σ(a1), . . . , σ(an)) Observación 3.1.3.Notemos que si V/K es un conjunto algebraico definido sobre K, entonces, la evaluación por un polinomio de I(V/K)para un punto P∈Ancumple que: f(P)σ=fσ(Pσ) = f(Pσ), donde fσes el polinomio fsobre el cual ha actuado σen sus coeficientes. Por ello, la acción de G¯ K/K está bien definida sobre V/K (ya que f(P) = 0 =⇒f(Pσ) = 0 siempre que f∈K[X]). Además, se tiene que: V(K) = {P∈V|Pσ=P∀σ∈G¯ K/K} Definición 3.1.4. Si Ves un conjunto algebraico tal que I(V)es un ideal primo en ¯ K[X], decimos que es una variedad algebraica. Si V/K es un conjunto algebraico, se define su anillo de coordenadas sobre Kcomo: K[V] = K[X] I(V/K) y, en el caso de que sea una variedad, se define su cuerpo de funciones,K(V), como el cuerpo de fracciones de éste. Notemos que esta última definición tiene sentido en cuanto que I(V/K)sería un ideal primo y por tanto, K[V]sería un dominio de integridad. De manera similar se definen ¯ K[V]y¯ K(V)utilizando la clausura ¯ K. Si f=g/h ∈K(V), siempre que h(P)= 0 para un punto P∈V, podemos evaluar f(P) := g(P)/h(P). Observación 3.1.5.La acción de G¯ K/K sobre polinomios que hemos visto antes se generaliza a este caso y tenemos que G¯ K/K actúa sobre ¯ K(V)de igual manera a como lo hace en los polinomios: fσ=gσ/hσ Así, justamente se tiene que (f(P))σ=fσ(Pσ). Al igual que ocurría en el caso anterior, se tiene que: K(V) = {f∈¯ K(V)|fσ=f∀σ∈G¯ K/K} 3. el principio de hasse en curvas elípticas 27 Definición 3.1.6. Sea Vuna variedad. Se define su ideal maximal en el punto P∈Vcomo: MP(V) = MP={f∈¯ K[V] : f(P) = 0} Así, podemos definir el anillo local de Ven Pcomo: ¯ K[V]P={f/g ∈¯ K(V) : f, g ∈¯ K[V]y tales que g(P)= 0} Este anillo es el localizado de ¯ K[V]respecto de MP. Si F∈¯ K(V)es tal que F∈ ¯ K[V]P, se dice que Festá definida en Po que es regular en P. En este caso, F(P) = f(P)/g(P)∈¯ Kes el valor de Fen P. Como siempre, es natural trabajar en el espacio proyectivo Pn=Pn(¯ K), que contiene al afín An(¯ K). Definición 3.1.7. Un conjunto algebraico proyectivo es el conjunto de puntos de Pnasociado a un ideal homogéneo I: V(I) = {P∈Pn:f(P)=0,∀fhomogéneo en I} Asimismo, dado V⊂Pn, se define el ideal homogéneo asociado, I(V), como el ideal generado por: {f∈¯ K[X0, . . . , Xn] : fes homogéneo y f(P) = 0,∀P∈V} Tenemos a su vez las mismas nociones de V(K), I(V/K)yV/K.Vserá una variedad cuando I(V)sea primo. Observación 3.1.8.La misma acción de G¯ K/K sobre elementos del caso afín puede extenderse al caso proyectivo de la manera correspondiente en cada caso. Además, las caracterizaciones de conjuntos en función de la acción del grupo de Galois siguen cumpliéndose en el proyectivo, por ejemplo, si V/K, entonces: V(K) = {P∈V|Pσ=P∀σ∈G¯ K/K} Recordemos que, si fijamos i∈ {0, . . . , n}, podemos identificar Andentro de Pn como An∼ =Pn∩{(x0:··· :xn)|xi= 0}. De esta forma, podemos dar las definiciones: Definición 3.1.9. El espacio proyectivo, Pn, hereda las definiciones referentes a ¯ K(V) de caso afín. Es decir, si Ves una variedad y elegimos Antal que P∈An∩V=∅, tenemos que: ¯ K(V) = ¯ K(V∩An), MP(V) = MP(V∩An),¯ K[V]P=¯ K[V∩An]P 28 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas De igual forma, F∈¯ K(V)está definida si F∈MP(V). Definición 3.1.10. Una aplicación racional entre dos variedades proyectivas V1, V2⊂ Pnes simplemente una aplicación: ϕ:V1−→ V2 ϕ= [f1:. . . :fn] Donde fi∈¯ K(V1). Decimos que ϕes regular en un punto P∈V1si existe g∈¯ K(V1) tal que todos los productos gfiestán definidos en P. En cuyo caso, tomamos ϕ(P) = [gf1(P) : ··· :gfn(P)]. Una aplicación racional se dice que es un morfismo si está definida en todo punto de V1. Las variedades V1, V2son isomorfas si existen morfismos ϕ:V1−→ V2yψ:V2−→ V1 tales que ϕ◦ψyψ◦ϕson la identidad en V2yV1respectivamente. Diremos que una aplicación racional (o un morfismo) está definida sobre Ksi ϕ= (f0: ··· :fn)y existe λ∈¯ K∗tal que λfi∈K(V1)para todo i. Observación 3.1.11.Como hemos hecho en todas las observaciones anteriores de la acción de G¯ K/K; sobre las aplicaciones racionales entre variedades definidas sobre K se puede definir una acción: ϕ= [f0:··· :fn] =⇒ϕσ= [fσ 0:··· :fσ n] De forma que, (ϕ(P))σ=ϕσ(Pσ). Ahora, las aplicaciones (o morfismos) definidos sobre Kse caracterizan por cumplir que ϕσ=ϕpara todo σ∈G¯ K/K. La demostración de este hecho, junto con más comentarios sobre el resto de acciones de G¯ K/K puede encontrarse en [7], a lo largo de las secciones 1.1-1.3. En concreto, un morfismo está definido sobre Ksi: (ϕ(P))σ=ϕ(Pσ) 3.2 Conceptos sobre curvas algebraicas Una vez establecidos los conceptos generales sobre geometría algebraica, continuaremos con resultados y conceptos específicos para curvas algebraicas planas. Definición 3.2.1. Una curva algebraica plana,C, es una variedad algebraica de dimensión 1en P2. Es decir, C=V(f)para algún polinomio irreducible f∈¯ K[X]. Definimos los puntos regulares de una curva como aquellos puntos P∈Ctales que dim ¯ KMP/M2 P= 1. Una curva es regular si todos sus puntos son regulares. 3. el principio de hasse en curvas elípticas 29 Una condición equivalente a que un punto sea regular puede darse a través de las derivadas. Si P∈C=V(f), el punto es regular siempre que no anule a ambas derivadas parciales a la vez: ∂f/∂x(P)= 0 o∂f/∂y(P)= 0. (Ver [3], Capítulo 1, sección 5) A partir de ahora, siempre que hagamos referencia a una curva C, consideraremos que estamos tratando con una curva plana y que esté definida sobre K. Proposición 3.2.2. Sea Cuna curva y P∈Cun punto regular. Se cumple que ¯ K[C]Pes un anillo de valoración discreta. Demostración. Como Pes regular, se tiene que MP/M2 Pes de dimensión 1sobre el cuerpo residual de ¯ K[C]P=¯ K. En este caso, esto es equivalente a que ¯ K[C]Psea un anillo de valoración discreta. La prueba de este hecho puede encontrarse en [1], capítulo 8, proposición 9.2. Definición 3.2.3. Sea g∈K[C]. Definimos su orden en un punto P∈Ccomo: ordP(g) = sup{n≥0 : g∈Mn P} Y en general, se define ordP(g/h) := ordP(g)−ordP(h)para f=g/h ∈¯ K(C). Si n=ordP(f)<0, decimos que ftiene un polo en Pde orden n. Igualmente, si n=ordP(f)>0, decimos que ftiene un cero de orden nen P. Lema 3.2.4.Si Ces una curva regular y f∈¯ K(C)∗, entonces, ordP(f)≥0para todo P∈Csi y solo si f∈¯ K. Este lema es un caso particular de un resultado conocido en geometría algebraica: toda función regular en una variedad proyectiva es constante. La demostración en general puede verse en [3], capítulo 1, teorema 3.4. Proposición 3.2.5. Sea Cuna curva y V⊂Pnuna variedad. Sea P∈Cun punto regular de la curva y ϕ= [f1:··· :fn] : C−→ Vuna aplicación racional. Entonces, ϕes regular en P. En concreto, si Ces regular, se tiene que ϕes un morfismo. Demostración. Tomemos t∈¯ K(C)un uniformizante de Cen P, y consideremos m= m´ın{ordP(fi)}. Entonces, tenemos que ordP(t−mfi)≥0para todo iy ordP(t−mfj) = 0 para algún j. Así, tenemos que todo t−mties regular en P, y (t−mfj)(P)= 0, luego ϕes regular en P. 30 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas Teorema 3.2.6. Sea ϕ:C1−→ C2un morfismo entre curvas. Entonces, ϕes constante o ϕes sobreyectiva. Además, existe una equivalencia de categorías:                Objetos: curvas regulares definidas sobre K Flechas: morfismos sobreyectivos definidos sobre K                ←→                Objetos: extensiones K/K finitas con grado de trascendencia 1y tales que K∩¯ K=K Flechas: Inyecciones de cuerpos que fijan K                C/K −→ K(C) ϕ:C1→C2−→ ϕ∗:K(C2)→K(C1) Demostración. Ambos resultados se han dado en la asignatura de Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica del grado. Un esbozo sobre el primer resultado es utilizar la irreducibilidad topológica de Im(ϕ)sobre C2junto con la condición de variedad de C2para demostrar que Im(ϕ)es un punto o el total C2. La equivalencia de categorías es uno de los resultados fundamentales del curso de Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica. Definición 3.2.7. Sea ϕ:C1−→ C2un morfismo definido sobre K. Si ϕes constante, entonces decimos que su grado es cero. En otro caso, se define el grado del morfismo como: deg ϕ= [K(C1) : ϕ∗(K(C2))] es decir, el grado de la extensión de cuerpos correspondiente al morfismo. Proposición 3.2.8. Sean C1, C2dos curvas regulares y ϕ:C1−→ C2un morfismo de grado uno. Entonces, ϕes un isomorfismo. Demostración. Como ϕtiene grado uno, se tiene que ϕ∗(¯ K(C2)) = ¯ K(C1), es decir, que ϕ∗es un isomorfismo de cuerpos. Tomando el homomorfismo inverso, (ϕ∗)−1: ¯ K(C1)−→ ¯ K(C2); por la equivalencia de categorías para curvas regulares, existe una aplicación racional ψ:C2−→ C1tal que ψ∗= (ϕ∗)−1. Como C2es regular, se tiene que ψes un morfismo y, como (ϕ◦ψ)∗=ψ∗◦ϕ∗es el homomorfismo identidad en ¯ K(C2)por construcción, debe corresponderse a que ψ◦ϕ=id ¯ K(C1). El mismo razonamiento aplica a ϕ◦ψ=id ¯ K(C2), luego ϕes un isomorfismo. Definición 3.2.9. Sea ϕ:C1−→ C2un morfismo no constante de curvas regulares y sea P∈C1. Definimos el índice de ramificación de ϕen Pcomo: eϕ(P) = ordP(ϕ∗(tϕ(P))) 3. el principio de hasse en curvas elípticas 31 donde tϕ(P)es un uniformizante de K(C2)en ϕ(P)∈C2. Decimos que ϕes no ramificada en Psi eϕ(P) = 1. Proposición 3.2.10. Dado ϕ:C1−→ C2un morfismo de curvas regulares no constante, se cumple que: a) Para todo Q∈C2: X P∈ϕ−1(Q) eϕ(P) = deg(ϕ) b) Salvo para un número finito de puntos Q∈C2, se tiene que: #ϕ−1(Q) = deg(ϕ) c) Si ϕ:C2−→ C3es otro morfismo no constante de curvas regulares, entonces para todo P∈C1se cumple: eψ◦ϕ(P) = eϕ(P)eψ(ϕP) Esta proposición se ha visto en la asignatura de Geometría Algebraica del máster. También puede encontrarse en [3], proposiciones 6.8 y 6.9, capítulo 2. 3.3 Teoría de divisores Una curva elíptica es una curva regular de género 1. La definición del género de una curva se puede dar a través del teorema de Riemann-Roch. Aprovecharemos, no solo para enunciar el teorema, si no también para introducir resultados de la teoría de divisores que también serán útiles a la hora de estudiar curvas elípticas. Definición 3.3.1. El grupo de divisores,Div(C), de una curva algebraica C, es el grupo abeliano generado por los puntos de Csobre ¯ K. Sus elementos son sumas formales: D=X P∈C nPP, donde nP∈Z y todos salvo una cantidad finita de nPson nulos. El grado del divisor Dse define como PP∈CnP. Para un divisor D, escribiremos que D≥0y diremos que es efectivo, si D=PP∈CnPP con nP≥0para todo P∈C. Consecuentemente, diremos que D1≥D2si y solo si D1−D2≥0. 32 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas Definición 3.3.2. Dado un f∈¯ K(C), definimos su divisor asociado, div(f)como: div(f) = X P∈C ordP(f)P Los divisores Dtales que sean D= div(f)para algún f∈¯ K(C)se llaman divisores principales y forman un subgrupo de Div(C). Sobre el grupo de divisores se define la relación ∼de forma D1∼D2si y sólo si se tiene que D1−D2es principal. El grupo cociente: Pic(C) = Div(C) ∼ se llama grupo de Picard de la curva C. Definición 3.3.3. Sea ϕun morfismo no constante entre curvas regulares C1,C2. Se define la aplicación: ϕ∗: Div(C2)−→ Div(C1) Q7−→ X P∈ϕ−1(Q) eϕ(P)·P y sobre combinaciones de elementos, se define por extensión lineal. Proposición 3.3.4. Sea ϕ:C1−→ C2un morfismo no constante entre curvas regulares. Entonces se cumplen las propiedades: 1. deg(ϕ∗D) = (deg ϕ)(deg D)para todo D∈Div(C2). 2. ϕ∗(div f) = div(ϕ∗f)para f∈¯ K(C2)∗. 3. Si ψ:C2−→ C3es también un morfismo no constante con C3regular, se cumple que: (ψ◦ϕ)∗=ϕ∗◦ψ∗ Demostración. Notemos que en 2. estamos utilizando la aplicación ϕ∗sobre ¯ K(C2) dada por ϕ∗(f) = f◦ϕ. 1. Se tiene que deg(ϕ∗(Q)) = PP∈ϕ−1(Q)eϕP= deg(ϕ)por la proposición 3.2.10. Así, como ϕ∗es lineal, tenemos que deg(ϕ∗D) = (deg ϕ)(deg D). 2. Sea f∈¯ K(C2)∗y expresémoslo como f=utmpara tun uniformizante de ϕ(P)en C2. Tenemos entonces, que: ordP(ϕ∗f) = ordP(u(ϕ)(tm(ϕ))) = 0 + ordP(ϕ∗(t)m) = meϕ(P) Como mes ordP(f), tenemos el resultado. 3. el principio de hasse en curvas elípticas 33 3. Tenemos, por la proposición 3.2.10 que: (ψ◦ϕ)∗(R) = X P∈ϕ−1◦ψ−1(R) eψ◦ϕ(P)P=X P∈ϕ−1◦ψ−1(R) eϕ(P)eψ(ϕ(P))P Además: ϕ∗(ψ∗(R)) = ϕ∗ X Q∈ψ−1(R) eψ(Q)Q =X Q∈ψ−1(R)X P∈ϕ−1(Q) eψ(Q)eϕ(P)P Obteniendo la igualdad. Lema 3.3.5.Sea Cuna curva regular. Entonces, deg(div(f)) = 0 para todo f∈ ¯ K(C)∗. Demostración. Sea f∈¯ K(C)y denotemos por ϕ:C−→ P1la aplicación racional definida por f. Ésta está dada por: ϕ(P) = ([f(P) : 1] si fes regular en P [1 : 0] si ftiene un polo en P Sabemos que es un morfismo y que div(f) = PP∈CordP(f)(P). El orden de fes nulo salvo que ftenga un cero o un polo, luego Pes tal que f(P)=0oϕ(P) = [1 : 0]. Si identificamos en P1los puntos [x0:x1]que tengan x1= 1 con los puntos afines, tenemos que [1 : 0] := ∞y por ello: div(f) = X ϕ(P)∈{0,∞} ordP(f)(P) = ϕ∗(0 −∞) Notemos que estamos usando que eϕ(P) = ordP(f)si es que ambos son positivos y que eϕ(P) = −ordP(f). Con ello, por la proposición 3.3.4 tenemos que: deg(div f) = deg(ϕ∗((0) −(∞))) = deg((0) −(∞)) = 0 Definición 3.3.6. Definimos el espacio de funciones meromorfas asociadas a un divisor D,L(D)como: L(D) = {f∈¯ K(C)∗: div(f)≥ −D}∪{0} que es un ¯ K-espacio vectorial de dimensión finita. Denotamos a su dimensión por l(D). 34 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas Definición 3.3.7. Llamamos espacio de diferenciales meromorfas de C,ΩCal ¯ K(C)-espacio vectorial generado por los símbolos dx para x∈¯ K(C), sujetos a las relaciones: 1. d(x+y) = dx +dy 2. d(xy) = xdy +ydx 3. d(a)=0si a∈¯ K Proposición 3.3.8. Sea P∈Cun punto y sea ω∈ΩC. Sea tP∈¯ K(C)un uniformizante de Cen P, es decir, ordP(tP)=1. Entonces, existe gP∈¯ K(C), que depende de ωy la elección de tP, tal que ω=gPdtP. Además, para ω= 0, el divisor: div(ω) = X P∈C ordP(gP)P está bien definido y no depende de la elección de tPpara cada punto P. Demostración. Ver [7] II.4.3. Definición 3.3.9. Llamamos divisor canónico,KCa cualquier divisor que sea el divisor asociado a una forma diferencial según la forma de la proposición anterior. Esta última definición tiene más sentido en el contexto del grupo de Picard. Todo divisor canónico está relacionado a través de una función de K(C), y por ello están en una misma clase de equivalencia en el grupo de Picard. Teorema 3.3.10 (Teorema de Riemann-Roch). Dada una curva regular CyKC un divisor canónico de la curva, existe un entero g≥0, el género de la curva, tal que para cualquier otro divisor Dse cumple: l(D)−l(KC−D) = deg D−g+ 1 Este resultado también se ha visto en la asignatura de Geometría Algebraica del máster y se puede encontrar en [3], teorema 1.3 capítulo 4. Corolario 3.3.11.Se cumple que: 1. l(KC) = g. 2. deg(KC) = 2g−2. 3. Si deg(D)>2g−2, entonces, l(D) = deg D−g+ 1. Demostración. Tomando el divisor nulo, D= 0, tenemos que L(0) = {f∈¯ K(C) : div(f)≥0}, luego ordP(f)≥0y por el lema 3.2.4, L(0) = ¯ K. Así, sustituyendo en 3. el principio de hasse en curvas elípticas 35 el teorema de Riemann-Roch: 1−l(KC)=0−g+ 1 y por ello, l(KC) = g. Igualmente, si tomamos D=KC, obtenemos que: l(KC)−1 = deg(KC)−g+ 1 y por ello, deg(KC)=2g−2. Finalmente, si deg(D)>2g−2, entonces, deg(KC−D)<0. Notemos que si D′ es un divisor con deg(D′)<0, se tiene que L(D′) = {0}. Puesto que si existiera f∈¯ K(C)∗, se tendría que 0 = deg(div(f)) ≥deg(D′)por el lema 3.3.5, lo cual no es posible. Entonces, l(KC−D) = 0 y sustituyendo se obtiene el resultado. 3.4 Ecuaciones de Weierstrass y curvas elípticas Vamos a introducir el concepto de curva elíptica. Si bien la definición general es simple, es también bastante abstracta. Claramente, sería más cómodo poder trabajar con una expresión explícita general para este tipo de curvas. Por suerte, éste tipo de modelos se puede encontrar para curvas elípticas: son las ecuaciones de Weierstrass. Definición 3.4.1. Una ecuación de Weierstrass es una ecuación de la forma: y2+a1xy +a3y=x3+a2x2+a4x+a6 para ai∈¯ K. Esta ecuación determina una curva afín en A2(¯ K). La curva proyectiva correspondiente viene dada por la ecuación: Y2Z+a1XY Z +a3Y Z2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3 Notemos que el único punto del infinito de una curva determinada por una ecuación de Weierstrass es, para Z= 0, el punto O= [0 : 1 : 0], que llamaremos origen. Trabajaremos sobre Qy los p-ádicos Qp, que tienen característica nula. Siempre que ¯ Ktenga car( ¯ K)= 2, podemos hacer el cambio de variables en una ecuación de Weierstrass: y= 1/2(y−a1x−a3). No pondremos los cálculos explícitos, pero esto consigue eliminar los términos xy eyde la ecuación, resultando en: y2= 4x3+b2x2+ 2b4x+b6 42 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas sobre Ees morfismo, basta ver que es una aplicación racional. Dado que −(x, y) = (x, −y−a1x−a3), se tiene que el opuesto de un punto viene dado por una función racional definida en todo punto. Luego es un morfismo. Por otro lado, la suma P1+P2se puede calcular mediante expresiones racionales dadas por λ=y2−y1 x2−x1 yν=y1x2−y2x1 x2−x1 . Esto es cierto para todo par de puntos excepto para los puntos de la forma: (P, P),(P, −P),(P, O),(O, P) Notemos que debemos tratar estos casos de manera separada, ya que no E×Eno es una curva algebraica y no podemos utilizar la proposición 3.2.5. Luego debemos ver que, como aplicación racional, +está definida en esos puntos. Para ello, podemos ayudarnos de la estructura de grupo que tiene (E, +). Consideremos entonces, las aplicaciones de traslación, para Q=O: τQ:E−→ E P7−→ P+Q Notemos que estas aplicaciones son racionales y dado que τ−Q◦τQ=idE, y viceversa, se tiene que ambos son isomorfismos. Luego podemos construir: ϕ:E×E E ×E E E τQ1×τQ2+τ−Q2◦τ−Q1 De forma que ϕ(P1, P2) = P1+P2coincide con la suma. Ahora bien, por definición ϕes también racional y está definida salvo en los puntos de la forma: (P−Q1, P −Q2),(P−Q1,−P−Q2),(P−Q1,−Q2),(−Q1, P −Q2) Podemos variar los puntos Q1, Q2de forma que obtenemos ciertas aplicaciones ϕ1,..., ϕntales que ϕies la suma en los puntos donde está definida y que ϕicoincida con ϕj (que coinciden con la suma) siempre que estén definidas. Como para todo (P1, P2), podemos encontrar una ϕique esté definida en (P1, P2), tenemos que +tiene expresiones racionales definidas en todo E×E. Luego +es un morfismo. 3. el principio de hasse en curvas elípticas 43 3.5 Isogenias La noción de morfismo, a priori, no garantiza que se respete la estructura de grupo de una curva elíptica E. Uno de los motivos principales es que ϕ(O)en general es distinto del origen en la curva elíptica de llegada. Esto da lugar a la siguiente definición: Definición 3.5.1. Sean E1, E2curvas elípticas. Decimos que un morfismo ϕ:E1−→ E2es una isogenia si cumple que ϕ(O) = Oy es no constante. Observación 3.5.2.Recordemos el teorema 3.2.6 y la noción de grado. Toda isogenia ϕtiene un grado, deg ϕ∈Z. Si definimos la aplicación constante [0] : E1−→ E2, tal que [0](P) = Opara todo P∈Ey consideramos el conjunto: Hom(E1, E2) = {ϕ:E1−→ E2que sean isogenias}∪{[0]} Tenemos que Hom(E1, E2)son morfismos de curvas elípticas que preservan los orígenes. Bajo la convención deg([0]) = 0, las isogenias tienen una buena estructura. Proposición 3.5.3. El conjunto Hom(E1, E2)es un grupo abeliano con elemento neutro [0] respecto de la suma de morfismos sobre curvas elípticas. Además, si ϕ∈ Hom(E1, E2),ψ∈Hom(E2, E3)su composición ψ◦ϕ∈Hom(E1, E3)y se cumple que: deg(ψ◦ϕ) = deg(ψ) deg(ϕ) donde estamos utilizando la convención de que deg([0]) = 0. Demostración. La suma en Hom(E1, E2)se define de la manera obvia, (ϕ+ψ)(P) = ϕ(P) + ψ(P)para todo P∈E1. Es decir, la suma es la composición: E1E1×E1E2×E2E2 ιϕ×ψ+ Como hemos demostrado, la suma sobre una curva elíptica es un morfismo, luego ϕ+ψtambién lo es. La estructura de grupo se deduce con facilidad a partir de aquí. Además, ψ(ϕ(O)) = O, luego la composición ψ◦ϕ∈Hom(E1, E3). Como deg(ϕ)=[K(E1) : ϕ∗(K(E2))] por definición, es sencillo ver que deg(ψ◦ϕ) = deg(ψ) deg(ϕ). Entre las isogenias más simples, se encuentran las multiplicaciones por enteros, que se entienden como la suma adecuada de los morfismos identidad sobre E. 44 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas Definición 3.5.4. Sea m∈Z. Definimos la multiplicación por men una curva elíptica Ecomo el morfismo: [m] : E−→ E [m](P) = (P+P+···+P m veces si m > 0 −P−P−···−P−mveces si m < 0 Y[0] ya lo hemos definido como el morfismo constante. Proposición 3.5.5. Sea E1,E2curvas elípticas definidas sobre K. Entonces: a) Para todo m∈Zcon m= 0, se tiene que [m]es no constante. b) Hom(E1, E2)es un Z-módulo libre de torsión. c) End(E1) := Hom(E1, E1)es un anillo, cuyo producto es la composición de isogenias. Además, es de característica cero y sin divisores de cero. Demostración. Notemos que al escribir ϕ:E−→ Epara una isogenia, nos referimos a la isogenia aplicada sobre la totalidad de puntos de Esobre ¯ K, no sobre los puntos K-racionales, E(K). Los apartados b) y c) son consecuencias de a): a) Podemos ver que [2] es no constante, es decir que [2] = [0]. Sea O=P∈Etal que [2](P) = O, es decir que P=−P. Si P= (x, y), por la fórmula de −P dada en la proposición 3.4.7, se tiene que y=−y−a1x−a3. Si car( ¯ K) = 2 entonces, se tiene que x=a3/a1y hay a lo sumo dos posibilidades para Pen E. Si car( ¯ K)= 2, se tiene que y=−a1/2x−a3/2y los puntos están alineados. Sabemos que toda recta corta a Een a lo sumo tres puntos. En cualquier caso, existen puntos P∈Etales que [2]P= 0. Como hemos visto, no solo existen puntos tales que [2](P)=O, si no que también existen de forma que [2](P) = O; debido a las intersecciones finitas de las rectas que hemos mencionado. Por ello, para un punto de orden 2, tenemos que [2n+ 1](P) = P+ [2n]P=P+O=P. Luego [2n+ 1](P)=O. Por último, recordemos que, por el teorema 3.2.6, toda ϕ∈Hom(E1, E2)que no sea constante es sobreyectiva. En concreto, [2] y[n]para nimpar lo son. Como [2n] = [2] ◦[n], existen puntos Qtales que [n](Q) = Ppara P∈Etal que [2]P= 0. Concluimos que, [2n]= [0]. b) Como la suma en Hom(E1, E2)es la suma en E2, tenemos que, para ϕ∈ Hom(E1, E2), se cumple que mϕ := [m]◦ϕpara m∈Z. Si esta última composición es constante: [m]◦ϕ= [0] =⇒deg([m]) deg(ϕ)=0 Luego deg([m]) = 0 ym= 0 o bien deg(ϕ)=0y por ello ϕ= [0]. 3. el principio de hasse en curvas elípticas 45 c) Por b) se tiene que End(E1)es un de característica nula y el mismo argumento sobre el grado: deg(ϕ◦ψ) = deg(ϕ) deg(ψ) = 0 implica que o ϕ= [0] oψ= [0]. Hemos empezado la sección dando a entender que las isogenias son homomofismos de grupo para las curvas elípticas. Para demostrarlo, aún debemos trabajar un poco más sobre el grupo de divisores de curvas. Definición 3.5.6. Sea Div0(C)el grupo de divisores, D, de una curva C, tales que deg(D) = 0. Denotemos por Pic0(C)al correspondiente grupo de Picard construido a partir de Div0(C). Lema 3.5.7.Sea Euna curva tal que tenga género g= 1 (por ejemplo una curva elíptica). Entonces, para todo P, Q ∈E, se tiene que los divisores P∼Qsi y sólo si P=Q. Demostración. Por definición, si f∈¯ K(E)∗tal que div(f) = P−Q(viendo esta resta de puntos como una resta de divisores), entonces se tiene que f∈ L(Q). Por el corolario 3.3.11 del teorema de Riemann-Roch, como deg(Q) = 1 >0, se tiene que dim(L(Q)) = deg(Q) = 1. Como claramente se tiene que ¯ K⊆ L(Q), solo puede darse que f∈¯ K. Entonces div(f) = 0 y se tiene que P−Q= 0, es decir, P=Q. Proposición 3.5.8. Sea (E, O)una curva elíptica. 1. Para todo D∈Div0(E), existe un único P∈Etal que: D∼P−O 2. Sea σ: Div0(E)−→ Ela aplicación tal que σ(D) = P, siendo Pel definido en el punto anterior. Entonces, σes sobreyectivo y σ(D1) = σ(D2)si y sólo si D1∼D2. 3. La aplicación σsobre el cociente Pic0(E)es la inversa de la aplicación: κ:E−→ Pic0 P7−→ [P−O] 4. Ambos σyκson homomorfismos de grupo; y, por tanto, isomorfismos. Demostración. 1. Sea D∈Div0(E). Sabemos que deg(D) = 0 por tanto, como deg(D+O) = 1 >0, por 3. del corolario 3.3.11, se tiene que l(D+O) = 1. Sea entonces f∈ L(D+O)un elemento no nulo (y por tanto base). Tenemos 46 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas que f∈¯ K(E)y de forma que div(f)≥ −D−O. Como, además, sabemos que deg(div f) = 0, debe existir un P∈Etal que div(f) + D+O=P. En el grupo de Picard, es decir, bajo la relación ∼, se tiene entonces que D+O∼P y por ello D∼P−O. Además, el punto Pes único en base del lema anterior, puesto que todo otro punto Qcumpliría que P∼D+O∼Q. Luego P=Q. 2. Claramente, σ(P−O) = Ppor definición, luego σes sobreyectivo. Por otro lado, se tiene que, por definición σ(D1) = σ(D2)⇔D1∼P−O∼D2. Luego σ(D1) = σ(D2)⇒D1∼D2y recíprocamente, D1∼P−O∼D2∼Q−O implica que P∼Qy de nuevo σ(D1) = σ(D2). 3. Por el punto anterior, σestá bien definida sobre Pic0(E). Además, las aplicaciones son claramente inversas, en cuanto que para cada clase [D]∈Pic0(E), sabemos que existe un único Ptal que [D] = [P−O]. 4. Veamos que κes un homomorfismo de grupos, es decir, κ(P⊕Q) = κ(P) + κ(Q), donde hemos vuelto a indicar con ⊕la suma en E. Recordemos que para calcular P⊕Qdebemos calcular dos intersecciones de rectas: f, que pasa por P, Q y corta a Een R; y g, que pasa por RyOy corta aEen P⊕Q. Consideremos: f:aX +bY +cZ = 0 g:a′X+b′Y+c′Z= 0 los polinomios de ambas rectas en en P2. Como sabemos que la recta Z= 0 corta a Een Ocon multiplicidad 3, se cumple, para f/Z, g/Z ∈¯ K(E): div(f/Z) = P+Q+R−3O div(g/Z) = O+R+ (P⊕Q)−3O Pues el cálculo de div(h)se basa en los ceros y polos de cada función h. Así, se tiene que: 0∼div(g/f) = div(g/Z)−div(f/Z)=(P⊕Q)−P−Q+O Reordenando: P−O+Q−O∼(P⊕Q)−O, es decir, que κ(P) + κ(Q) = κ(P⊕Q). Observación 3.5.9.Como dijimos en el último punto de la proposición 3.4.6, este resultado otorga estructura de grupo a (E, ⊕). A lo largo de la demostración no se ha usado que Esea un grupo y solo se ha utilizado la interpretación geométrica de la suma en E. Asumiendo que no sabemos que Efuera un grupo, el enunciado podría 3. el principio de hasse en curvas elípticas 47 escribirse y demostrarse como: Ambos σyκrespetan la suma en E, es decir: κ(P⊕Q) = κ(P) + κ(Q) Como Esería isomorfo en el sentido de grupo a Pic0(E), que es un grupo abeliano, esto convierte a Een grupo directamente. Utilizaremos este isomorfismo κ, junto con un homomorfismo de grupos entre los grupos de Picard para demostrar que toda isogenia es un homomorfismo de grupos. Teorema 3.5.10. Sea ϕ:E1−→ E2una isogenia. Entonces, ϕ(P+Q) = ϕ(P) + ϕ(Q). Es decir, toda isogenia es un homomorfismo de grupos. Demostración. Recordemos la proposición 3.3.4, que relaciona los divisores de funciones racionales y la aplicación ϕ∗inducida por un morfismo ϕen el espacio de divisores y funciones racionales. Definamos ahora, para un morfismo no constante entre curvas ϕ:C1−→ C2: ϕ∗:K(C1)−→ K(C2)ϕ∗: Div(C1)−→ Div(C2) ϕ∗= (ϕ∗)−1◦NK(C1)/ϕ∗(K(C2)) (P)7−→ (ϕP) donde NK(C1/ϕ∗(K(C2))) es la norma de la extensión. Recordemos que, por definición, la norma de x∈K(C1)es el determinante de la aplicación lineal µx(y) = xy sobre K(C1)visto como ϕ∗(K(C2))-espacio vectorial. Buscamos un resultado en concreto: ϕ∗(div(f)) = div(ϕ∗(f)) para todo f∈K(C1) Veamos una demostración elemental de este hecho. Tenemos que: ϕ∗(div(f)) = ϕ∗(X P∈C1 ordP(f)(P)) = X P∈C1 ordP(f)(ϕP) div(ϕ∗(f)) = div(g) = X Q∈C2 ordQ(g)(Q) Para g∈K(C2)tal que ϕ∗(g) = det(µf). Luego la igualdad se tiene siempre que PP∈ϕ−1(Q)ordP(f) = ordQ(g). El determinante det(µf)es el producto de los autovalores de µf. Si tenemos que fx = λx para λ∈ϕ∗(K(C2)), se tiene entonces que ordP(f) = ordp(λ). Así, tenemos que ordP(det(µf)) = n·ordP(f). Aquí n= deg(ϕ). Por otro lado, sea Q=ϕ(P)y 48 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas tomemos la expresión g=tordQ Qv, donde ordQ(v) = 0, se tiene entonces que: ordP(ϕ∗(g)) = ordP(ϕ∗(tordQ(g) Qv)) = ordQ(g)ordP(ϕ∗(tQ)) = ordQ(g)eϕ(P) Como teníamos ϕ∗(g) = det(µf), y sumando en P∈ϕ−1(Q)obtenemos que: X P∈ϕ−1(Q) n·ordP(f) = X P∈ϕ−1(Q) ordQ(g)eϕ(P) deg(ϕ)X P∈ϕ−1(Q) ordP(f) = ordQ(g)X P∈ϕ−1 eϕ(P) Por la proposición 3.2.10 a), tenemos el resultado. Sea ahora ϕuna isogenia de curvas elípticas E1, E2. La aplicación ϕ∗: Div(E1)−→ Div(E2)es claramente un homomorfismo de grupos. Además, como ϕ∗(div(f)) = div(ϕ∗(f)), se tiene que está bien definida en el cociente ϕ∗: Pic0(E1)−→ Pic0(E2), luego podemos considerar el diagrama: E1Pic0(E1) E2Pic0(E2) κ1 ϕϕ∗ κ2 Que es conmutativo en cuanto que κi(P)=[P−O]yϕ(O) = O, y los κison invertibles. Como κiyϕ∗son homomorfismos de grupos, se tiene que ϕtambién. 3.6 Espacios homogéneos. El grupo de Weil-Châtelet Para definir el grupo de Tate-Shafarevic de una curva elíptica, necesitamos la noción de espacio homogéneo. Queremos recordar que, un punto P∈Cen una curva, a no ser que se especifique que está en C(K); tiene, a priori, coordenadas en ¯ K, incluso si Cestá definida sobre K. Definición 3.6.1. Sea E/K una curva elíptica. Un espacio homogéneo para E/K es una curva regular C/K sobre la que se define una acción simplemente transitiva del grupo aditivo de puntos de E, que esté definida sobre K. Es decir, sobre la curva regular C/K se define un morfismo: µ:C×E−→ C 3. el principio de hasse en curvas elípticas 49 definido sobre Ky cumpliendo las propiedades: 1. µ(p, O) = ppara todo p∈C 2. µ(µ(p, P), Q) = µ(p, P +Q)para todo p∈CyP, Q ∈E. 3. Para todo par p, q ∈C, existe un único P∈Etal que µ(p, P) = q. La última propiedad define una aplicación: ν:C×C−→ E (q, p)7−→ P donde ν(q, p) = Ppara Pel único punto de Etal que µ(p, P) = q. Abreviamos las notaciones: µ(p, P) = p+P,ν(q, p) = q−p Las notaciones cumplen las propiedades que caben esperar: Lema 3.6.2.Sea C/K un espacio homogéneo para E/K. Entonces, si p, q ∈Cy P, Q ∈E, se cumplen las propiedades: 1. p+O=py también p−p=O 2. p+ (q−p) = qy también (p+P)−p=P 3. (q+Q)−(p+P) = (q−p) + Q−P Demostración. La demostración de 1. es esencialmente por definición, p+O=p está en la definición de espacio homogéneo, y al ser Otal que p+O=p, se tiene que p−p=O. 2. es también bastante directa, puesto que q−p=Pcon Ptal que p+P=q, obteniendo el primer resultado. Por otro lado, si p+P=q, tenemos que Pes un punto tal que p+P=q; luego, por definición, (p+P)−p=P. 3. El punto (q−p) + Q−P∈Ees tal que: (p+P) + ((q−p) + Q−P) = (p+ (q−p)) + P+Q−P=q+Q Luego es igual a (q+Q)−(p+P). Llegados a este punto, queremos recordar los comentarios de las observaciones 3.1.3, 3.1.5, 3.1.8 y, principalmente, 3.1.11. En ellos, se establece la caracterización de morfismos definidos sobre Ken base a la acción de G¯ K/K. Utilizaremos estas caracterizaciones de manera regular a partir de este punto, luego conviene tenerlas en mente. 50 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas Proposición 3.6.3. Sea E/K una curva elíptica, y sea C/K un espacio homogéneo para E/K. Fijado un punto p0∈C, definimos: θ:E−→ C θ(P) = p0+P Entonces: a) La aplicación θes un isomorfismo definido sobre K(p0); donde K(p0)es la extensión finita mínima de Ktal que p0tiene sus coeficientes en K(p0). b) El isomorfismo θpreserva la suma. Es decir, para todo p∈CyP∈E, se tiene que: p+P=θ(θ−1(p) + P) c) El isomorfismo θpreserva la resta. Es decir, para todo p, q ∈C, se tiene: q−p=θ−1(q)−θ−1(p) d) La resta, ν:C×C, en Ces un morfismo definido sobre K. Demostración. Notemos que, como en general se tiene que p0tiene coordenadas en ¯ K, la extensión K(p0)=Ky el isomorfismo θno está definido sobre K. a) La aplicación θes claramente biyectiva, tomando la inversa θ−1(q) = q−p0. Sea σ∈G¯ K/K, tal que pσ 0=p0, es decir, que σ∈G¯ K/K(p0). Entonces, se tiene que: θ(P)σ=pσ 0+Pσ=p0+Pσ=θ(Pσ) Luego θestá definida sobre K(p0). Por otro lado, como θes biyectiva y es un morfismo, es de grado 1, por la proposición 3.2.8; tenemos que es un isomorfismo. b) Se comprueba: θ(θ−1(p) + P) = p0+θ−1(p) + P=p0+ (p−p0) + P=p+P c) Se comprueba: θ−1(q)−θ−1(p)=(q−p0)−(p−p0) = q−p d) La resta en Cfactoriza a través de la resta en E: (p, q)7−→ (θ−1(p), θ−1(q)) 7−→ θ−1(q)−θ−1(p) = q−p Como cada aplicación es un morfismo, ya que la resta en Elo es, se tiene que la resta en Ctambién lo es. También podemos ver que la resta está definida sobre 3. el principio de hasse en curvas elípticas 51 K. Si σ∈G¯ K/K, tenemos: (q−p)σ= (θ−1(q)−θ−1(p))σ= (θ−1(q))σ−(θ−1(p))σ Ya que la resta en Eestá definida sobre K. Además, sumando y restando pσ 0, y teniendo en cuenta que la acción de Eestá definida sobre K, se tiene: (θ−1(q))σ−(θ−1(p))σ= (p0+θ−1(q))σ−(p0+θ−1(p))σ=qσ−pσ Y vemos que (q−p)σ=qσ−pσ, luego la resta está definida sobre K. Hemos visto que los espacios homogéneos son isomorfos a su curva elíptica E mediante un isomorfismo definido sobre K(p0)que respeta las sumas y restas del espacio homogéneo. Podemos agrupar entonces aquellos espacios homogéneos que sean isomorfos sobre K. Definición 3.6.4. Para dos espacios homogéneos C/K,C′/K de E/K, se define la relación de equivalencia: C∼C′⇐⇒ existe θ:C−→ C′ tal que θes un isomorfismo definido sobre Ky tal que θ(p+P) = θ(p) + P; es decir, que sea compatible con la acción de E. El cociente: WC(E/K) := {C|Ces un espacio homogéneo de E/K}/∼ se llama grupo de Weil-Châtelet. Aún no hemos justificado que la palabra "grupo" aparezca en el nombre. Observación 3.6.5.Notemos que la propia curva E/K es un espacio homogéneo de ella misma, cuya acción es la traslación. La clase cociente que contiene a E/K se llama clase trivial de WC(E/K). Lema 3.6.6.Sea θ:C/K −→ C′/K un isomorfismo de espacios homogéneos (es decir, que respetan la acción de E). Entonces θrespeta la resta, es decir, se cumple: θ(q)−θ(p) = q−ppara todo p, q ∈C Demostración. Claramente, pues si P=q−p, entonces, p+P=q, luego aplicando θ, que respeta la suma, obtenemos que θ(p) + P=θ(q). Por definición, tenemos que θ(q)−θ(p) = P=q−p. 58 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas Este grupo es el que nos interesa en cuanto que se relaciona directamente con el problema que estamos tratando; estudiar E/K en base a E/Kvpara todo v∈V. Para ello, tenemos el siguiente resultado. Proposición 3.7.3. Un espacio homogéneo C/K =E/K de E/K está en la clase trivial si y sólo si C(K)=∅. Demostración. Si C/K está en la clase trivial, tenemos que existe un isomorfismo θ:E−→ Cdefinido sobre K. Luego θ(O)∈C(K)es un punto K-racional. Por otro lado, si existe p0∈C(K), como el isomorfismo θ:E−→ C,θ(P) = p0+P estaba definido sobre K(p0); se tiene ahora que, como p0∈C(K),K(p0) = K. Además, θes compatible con las acciones de EyC, ya que debe darse: θ(P+Q) = θ(P) + Q Es decir, que p0+ (P+Q) = (p0+P) + Q, lo cual es cierto, dado que Eactúa sobre Cpor definición. Observación 3.7.4.Por un lado, es cierto que a la hora de construir el diagrama y definir X(E/K), hemos tenido que utilizar una extensión concreta de ¯ K⊂¯ Kv. Esta elección, sin embargo no cambia la definición de X(E/K), en cuanto que justo como dice la proposición anterior, la trivialidad de un espacio homogéneo está determinada por la existencia de algún punto racional en la curva. La comprobación de existencia de puntos Kv-racionales sobre espacios homogéneos solamente depende del paso al cuerpo local K⊂Kv, y esto es independiente de la elección de ¯ K⊂¯ Kv. Observación 3.7.5.Por otro lado, el grupo X(E/K), contiene la información que nos interesaba estudiar. Todo espacio homogéneo no trivial, C/K, de E/K en X(E/K) cumple que: Tiene un punto Kv-racional para todo v∈V Pero no tiene un punto K-racional Es decir, X(E/K)se conforma por las clases de espacios homogéneos de una curva elíptica que no cumplen el principio de Hasse. Además, se tiene que X(E/K)es trivial si y sólo si todo espacio homogéneo cumple el principio de Hasse. Una de las cuestiones principales sobre el grupo de Tate-Shafarevic, que sigue abierta a día de hoy, es la finitud del mismo. Se conjetura que es finito, aunque esto solo ha sido probado en casos específicos. Conjetura 3.7.6 (Conjetura de Tate-Shafarevic).El grupo de Tate-Shafarevic, X(E/K) de una curva elíptica definida sobre Kes finito. 3. el principio de hasse en curvas elípticas 59 La demostración de esta conjetura permitiría afirmar que la obstrucción al principio de Hasse para curvas elípticas es de tamaño finito, indicando que la problemática que presentan las curvas no es excesivamente grave. Un resultado sí conocido sobre el grupo de Tate-Shafarevic es que los subgrupos de torsión de X(E/K)son finitos para toda isogenia ϕ. Esto es consecuencia de la finitud del grupo de Selmer, el cual también se puede construir a partir del diagrama conmutativo anterior; aunque no entraremos en ello. Proposición 3.7.7. Para toda isogenia ϕdefinida sobre K, se tiene que X(E/K)[ϕ] es finito. Demostración. La demostración puede encontrarse en [7], X.4.2. Como hemos mencionado en la introducción, el grupo de Tate-Shafarevic tiene también relación con la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer; uno de los problemas del milenio. Daremos un breve resumen de esta relación. Está demostrado que el grupo de puntos K-racionales de una curva elíptica E/K es un grupo finitamente generado (Teorema de Mordell-Weil). Como tal, tenemos que E(K)∼ =Etors ×Zrcomo sabemos del teorema de estructura de grupos finitamente generados. El número rse denomina rango de la curva, y en general es complicado de calcular. Tomemos a partir de ahora K=Q. A la curva elíptica E/Q, se le puede asociar una serie de Dirichlet, denominada L-serie y denotada por LE/Q(s), construida como producto de ciertas funciones, Lp, que dependen del tipo de reducción p-ádica E/Qp→E/Fpque tenga la curva: LE/Q(s) = Y pprimo Lp(p−s)−1 La L-serie es otro elemento complicado de estudiar. Por ejemplo, para el caso de Q, se sabe que cumple una ecuación funcional que relaciona sus valores en sys−2; pero esto sigue siendo una conjetura para cuerpos de números en general. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer relaciona los tres elementos que hemos denominado como complicados de estudiar: Conjetura 3.7.8 (Conjetura de B y S-D).Dada una curva elíptica E/Q, se cumplen: 1. LE/Q(s)tiene un cero en s= 1 de orden igual a r, el rango de E/Q. 2. Se cumple que: l´ım s→1 LE/Q(s) (s−1)r=Ω|X(E/Q)|R(E/Q)Qpcp |Etors(Q)|2 60 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas donde Ω = RE(R)|ω|, para ωel invariante diferencial de la curva; R(E/Q)es el regulador de E(Q)/Etors(Q), que es computable; y cp=|(E(Qp))/E0(Qp)|, el orden del grupo cociente de E(Qp)entre el subgrupo de puntos que reducen de forma regular en Fp. Explicar estos conceptos se sale fuera del alcance de este trabajo, sin embargo, sí hemos puesto en contexto la importancia del grupo de Tate-Shafarevic dentro de la teoría de curvas elípticas. Podemos dar como referencias a este tema [8], [9], [7] Apéndice C.16. No podemos evitar citar la frase de John J.Tate de 1974 en [8], que resume la interesante relación que tienen estos conceptos: "This remarkable conjecture relates the behavior of a function Lat a point which is not at present known to be defined to the order of a group Xwhich is not known to be finite!" (Actualmente sí se sabe que L está definida en s= 1) Conclusiones Hemos cumplido nuestros propósitos de estudiar el principio de Hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas. Para éstas últimas hemos visto la relación del grupo de Tate-Shafarevic con el principio local-global y con problemas abiertos sobre curvas elípticas. Sin embargo, la investigación actual en este tema no se centra solo en estudiar casos en los que no se cumple el principio de Hasse. También se buscan casos generales donde la respuesta a cumplir el principio local-global sea afirmativa. En ese sentido, se ha progresado sobre los polinomios homogéneos, estudiando la relación entre el grado y el número de variables de los polinomios. En 1962, Birch demostró que todo polinomio homogéneo de grado den nvariables que cumpla n≥(d−1)2d−1y que defina una variedad proyectiva no singular cumple el principio de Hasse. A pesar de dar una respuesta afirmativa, sería deseable poder refinar la cota n≥(d−1)2d−1. Sea f∈Z[x], homogéneo de grado den nvariables. Recordemos el teorema de Chevalley-Warning (1.3.2), y su corolario (1.3.3), indicando que en particular, si n≥d, entonces, ftiene soluciones no triviales módulo p. Si ahora, fes tal que defina una variedad proyectiva no singular; esto significa que no todas sus derivadas parciales se anulan a la vez. Si recordamos el lema de Hensel (1.1.4, 1.1.5), automáticamente esas soluciones módulo pnos dan soluciones p-ádicas. Tenemos candidatos perfectos para cumplir el principio de Hasse. El comportamiento de estos candidatos es, en términos probabilísticos, el deseado al 100 %. Teorema 3.7.9 (Browning, Le Boudec y Sawin, 2020). Sea Fd,n el conjunto de polinomios f∈Z[x], homogéneos en n+ 1 variables, de grado d, con n≥d, que definan una variedad proyectiva no singular, y tales que sus coeficientes sean primos entre sí. Para f∈ Fd,n, definamos H(f)como la norma euclídea del vector formado por 62 el principio de hasse en formas cuadráticas y curvas elípticas los coeficientes de f. Entonces, si (n, d)= (3,3), se cumple que: l´ım B→∞ #{f∈ Fd,n :H(f)≤Byfcumple el principio de Hasse} #{f∈ Fd,n :H(f)≤B}= 1 Al trabajar con polinomios homogéneos en Q, es fácil manipularlos de forma que sean equivalentes a uno de la familia Fd,n; de ahí el interés por el teorema. El mismo teorema para el caso (n, d) = (3,3), sigue siendo un problema abierto. Teniendo una seguridad del 100 % uno se atrevería a conjeturar algo similar a: Conjetura 3.7.10 (Colliot-Thélène, 1990).Sea Kun cuerpo de números. Todo polinomio f∈K[x], homogéneo en n+ 1 variables, de grado d; tal que (n, d)= (3,3), n≥dy que defina una variedad compleja no singular cumple el principio de Hasse. El caso (n, d) = (3,3) es falso, incluso en Q, donde la cúbica 5x3+ 9y3+ 10z3+ 12t3= 0, estudiada por Cassels y Guy supone un contraejemplo. Estos resultados aparecen en la Gaceta de la RSME [4], donde se encuentra más información y referencias a estos resultados y otros similares. Hemos visto que principio de Hasse se sigue estudiando en la actualidad, ya sea para intentar encontrar resultados análogos al teorema de Hasse-Minkowski; o bien, para estudiar las obstrucciones al principio local-global y sus relaciones con el objeto estudiado, como el grupo de Tate-Shafarevic. Bibliografía [1] Michael Francis Atiyah y Ian Grant Macdonald. Introducción al álgebra conmutativa. Reverté, 1989. [2] Zenon Ivanovich Borevich e Igor Rostislavovich Shafarevich. Number theory. Academic press, 1986. [3] R. Hartshorne. Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Springer New York, 2013. isbn: 9781475738490. [4] Diego Izquierdo. “La aritmética de las ecuaciones con muchas variables.” En: Gaceta de la Real Sociedad Matematica Espanola 24.1 (2021). [5] Amélie Schinck. “The local-global principle in number theory”. Unpublished. Tesis de mtría. Concordia University, 2001. url:https://spectrum.library. concordia.ca/id/eprint/1489/. [6] Jean-Pierre Serre. 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