Estudio comparativo de diferentes técnicas de cuantificación

ESTUDIO COMPARATIVO DE DIFERENTES T´ ECNICAS DE CUANTIFICACI ´ ON I. Jurado, P. Mill´an, M.G. Ortega y F.R. Rubio Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas y Autom´atica, Universidad de Sevilla, Espa˜na ijurado, pmillan, [email protected] y [email protected] Resumen En este art´ıculo se estudia el problema de estabilizar un sistema linear e invariante en el tiempo usando medidas muestreadas y cuantificadas del estado, de manera que la informaci´on sobre el mismo est´a limitada. Se estudian varias t´ecnicas de cuantificaci´on, compar´andolas entre s´ı. Estas comparaciones se llevan a cabo dise˜nando los esquemas de cuantificaci´on/codificaci´on correspondientes a un veh´ıculo basado en p´endulo invertido. Palabras clave: Cuantificaci´on, Control con informaci´on limitada, Control a trav´es de redes. 1. INTRODUCCI ´ ON Este art´ıculo estudia el problema de estabilizar un sistema lineal e invariante a partir de informaci´on limitada del estado. Algunos trabajos que han tratado este problema son [6], [7], [8] y [3]. El problema de estabilizaci´on con informaci´on limitada surge, por ejemplo, cuando las medidas del estado se transmiten a trav´es de un canal de comunicaci´on con capacidad limitada. El t´ermino informaci´on limitada se refiere a los siguientes procesos: Muestreo: El controlador recibe medidas en instantes discretos 0, τ, 2τ, ..., donde τ > 0 es un tiempo de muestreo fijo. Cuantificaci´on/Codificaci´on: En cada uno de estos instantes de muestreo, las medidas recibidas por el controlador deben ser n´umeros contenidos en un conjunto numerable finito {0,1, ..., N}donde Nes un n´umero entero positivo fijo. Por tanto, los datos disponibles para el controlador consisten en una serie de n´umeros enteros: q0(x(0)), q1(x(τ)), q2(x(2τ)), ... donde qk(·) : Rn→ {0,1, ..., N}es, para cada k, una funci´on de codificaci´on. Las distintas t´ecnicas que se consideran en este trabajo son cuantificaci´on lineal,cuantificaci´on logar´ıtmica ycuantificaci´on variable. La cuantificaci´on cl´asica lineal, se puede englobar dentro de la clase de cuantificadores fijos.´ Estos son aquellos cuyos par´ametros no var´ıan con el tiempo. En el caso de la cuantificaci´on lineal, los intervalos de cuantificaci´on son uniformes y est´an centrados en el origen del espacio de estados del sistema. La cuantificaci´on logar´ıtmica que se estudia y aplica en este trabajo fue desarrollada en [3]. En este caso tambi´en es fija, pero la divisi´on de los intervalos de cuantificaci´on es de tipo logar´ıtmica. Por ´ultimo se considera un caso de cuantificaci´on variable, desarrollada en [6]. Esta clase de cuantificadores considera posible variar en cada instante de muestreo los par´ametros de cuantificaci´on en funci´on de la evoluci´on del estado del sistema. A continuaci´on se detalla la organizaci´on de este trabajo. En la secci´on 2 se estudian en detalle las t´ecnicas de cuantificaci´on referidas. En la secci´on 3 se toma un modelo del sistema que se ha utilizado para el estudio comparativo. En la secci´on 4, se aplican y resuelven los cuantificaciones anteriormente mencionadas para el modelo particular, y muestran distintas simulaciones. Puede verse c´omo el sistema en bucle cerrado es estabilizado y se comparan los resultados obtenidos con las distintas cuantificaciones. Por ´ultimo, en la secci´on 5 se presentan algunas conclusiones. 2. T´ ECNICAS DE CUANTIFICACI ´ ON 2.1. CUANTIFICACI ´ ON LOGAR´ ITMICA En esta secci´on se describe c´omo un cuantificador logar´ıtmico con un n´umero finito de niveles de cuantificaci´on es suficiente para alcanzar la estabilidad pr´actica del sistema. Los resultados se enuncian para sistemas en tiempo discreto, si bien pueden ser extendidos a sistemas en tiempo continuo con algunas modificaciones. Dado el sistema en tiempo discreto x+=Ax +Bu (1) definimos el concepto de cuantificador sim´etrico finito como Definici´on 1: Un cuantificador sim´etrico finito de orden Nes una funci´on FN:X−→ UNque toma valores en el conjunto finito: UN={ui∈R:, i =−(N−1), ..., 0, ..., (N−1), ui=−u−i} Definici´on 2: Un cuantificador ρ-logar´ıtmico sim´etrico finito de orden Nes un cuantificador sim´etrico finito donde: UN={−u0,−ρu0, ..., −ρN−1u0,0,(2) ρN−1u0, ..., ρu0, u0:u0∈R} donde 0 < ρ < 1. 2.1.1. Estabilizabilidad cuadr´atica relajada La inclusi´on de cuantizadores en el lazo de control degrada la calidad de la informaci´on disponible para control. Una consecuencia pr´actica de este hecho es, tal como se describe en [2], la imposibilidad de conducir el estado del sistema asint´oticamente al origen seg´un el sentido cl´asico. Por este motivo introducimos la noci´on de estabilizabilidad en sentido pr´actico que una versi´on relajada de estabilizabilidad cuadr´atica ([3], [4], [9] y [5]). Definici´on: El sistema (1) es estabilizable en sentido pr´actico si existe una funci´on de Lyapunov V(x) = xTPx,P > 0, tal que, para cualquier conjunto compacto Cque contenga el origen, y cualquier conjunto Ωs⊂ C con Ωs={x∈X:V(x)≤βs}, existe un controlador por realimentaci´on de estado f(x), funci´on de C yβs, tal que V(x)> V (x+) para todo x∈ C\Ωs, y tal que x+∈Ωscuando x∈Ωs. Seg´un la definici´on anterior, Ωses un atractor de C, de forma que las trayectorias que comienzan en Cfuera de Ωsson atra´ıdas hacia Ωsy aquellas que comienzan en Ωsnunca abandonan el conjunto. 2.1.2. Estabilidad y construcci´on del cuantificador logar´ıtmico Teorema 1: (ver [3]) Si el sistema (1) es estabilizable, entonces es estabilizable en sentido pr´actico por un cuantificador finito ρ-logar´ıtmico de orden Nsuficiente. En particular, dados Cyβs, con βstal que Ωs⊂ C, yβ0tal que: Ω0={x∈X:V(x)≤β0} ⊇ C (3) N, el orden del cuantificador, tiene que ser: N≥1 2logρ(βs γα2 0 ) (4) donde: α0= m´axx∈ΩKGDx(5) KGD =−BTP A BTP B , y γes la soluci´on del problema de optimizaci´on convexa dado por (6). m´ın γ, τ γΓ−ATΠA−τΣ≥0 γ > 0 γ. (6) (7) donde: Γ =      0. . . 0 0 . . ..... . .. . . 0. . . 0 0 0. . . 0 1      ¯ A=T−1AT Π = TTPT y Σ = ¯ ATΠ¯ A−Π siendo: T= [W, KT GD] donde Wforma una base ortonormal del espacio nulo de KGD. Pes la matriz correspondiente a la funci´on de Lyapunov V(x) = xTPx, siendo P > 0. Para encontrar esta funci´on de Lyapunov, es necesario perturbar ligeramente con ε→0 el problema LQR correspondiente al caso de m´ınima energ´ıa de control (8), convirti´endose ´este en (9). De esta manera se garantiza una matriz Pdefinida positiva. La ecuaci´on de Riccati que resulta de (9) es (10): min ∞ X k=0 u2 k, xk+1 =Axk+Bukestable (8) min ∞ X k=0 εxT kSxk+u2 k, xk+1 =Axk+Bukestable (9) P=ATPA −ATPBBTPA BTPB +εS (10) donde S > 0 y εes un n´umero positivo muy peque˜no. Figura 1: Representaci´on de la cuantificaci´on logar´ıtmica. La Figura 1 muestra la relaci´on los distintos conjuntos involucrados. 2.2. CUANTIFICACI ´ ON VARIABLE En este caso como punto de partida para el problema se parte del siguiente sistema lineal estabilizable en tiempo continuo (11): ˙x=Ax +Bu, x ∈Rn(11) Teorema 2: (ver [6]) Para el caso de la cuantificaci´on del estado, la estabilidad asint´otica global de (11) es posible si se cumplen las siguientes condiciones: Np ≥2n(12) y m´ax0≤t≤τkeAtk∞<bn pNpc(13) Para ver como se logra alcanzar estabilidad asint´otica global en el caso de cuantificaci´on variable, se asume que se conoce una cota m´axima E0para el estado inicial de manera que: kx(0)k∞≤E0(14) Esto significa que el estado del sistema en t= 0 est´a en una caja cuadrada Bn ∞(0, E0), donde: Bn ∞(0, E0) = {x∈Rn:kx−0k∞≤E0}(15) La forma de obtener E0se detalla en ([6]). Para llevar a cabo la cuantificaci´on se divide la ca- ja Bn ∞(0, E0) en Np cajas cuadradas iguales, de esta forma, cada una de ellas tienen un lado de 2E0/n √Np. Tomando el estado estimado ˆx(0) como el centro de la caja en la que se encuentre x(0) se obtiene: kx(0) −ˆx(0)k∞≤E0/n pNp (16) De esta forma, para t∈[0, τ), se toma la se˜nal de control en funci´on de la estimaci´on del estado como: u(t) = Kˆx(t) (17) donde ˆx(t) = e(A+BK)tˆx(0) (18) yKes cualquier controlador tal que la matriz (A+ BK) tiene todos sus autovalores con parte real negativa. Definiendo Λ = m´ax0≤t≤τkeAtk∞≥1, se llega sin dificultad a: kx(t)−ˆx(t)k∞≤Λkx(0) −ˆx(0)k∞(19) para 0 ≤t < τ. Esto significa que para 0 ≤t < τ, el estado x(t) pertenece a Bn ∞(ˆx(t),ΛE0/n √Np). En t=τse divide la caja Bn ∞(ˆx(τ−),ΛE0/n √Np) en Np cajas cuadradas iguales. Tomando el estado estimado ˆx(τ) como el centro de la caja a la que pertenece x(τ) se tiene: kx(τ)−ˆx(τ)k∞≤ΛE0/(n pNp)2(20) Para t∈[τ, 2τ), se define la ley de control con la f´ormula (17), donde: ˆx(t) = e(A+BK)(t−τ)ˆx(τ) (21) y se llega a: kx(t)−ˆx(t)k∞≤Λkx(τ)−ˆx(τ)k∞(22) Λkx(τ)−ˆx(τ)k∞≤Λ2E0/(n pNp)2 para τ≤t < 2τ. Continuando con este proceso se obtiene: kx(t)−ˆx(t)k∞≤ΛkE0/(n pNp)k(23) para τ≤t < kτ. Esto implica que si Λ <n √Np, lo cual es equivalente a (13), entonces kx(t)−ˆx(t)k∞converge a 0 cuando t→ ∞. El sistema en bucle cerrado puede escribirse entonces como: ˙x= (A+BK)x+e(24) donde e=BK(ˆx−x)→0. 3. DESCRIPCI ´ ON DEL PPCAR Con el fin de realizar el estudio comparativo de las cuantificaciones descritas anteriormente se han realizados diversas simulaciones tomando como base un veh´ıculo basado en p´endulo invertido, denominado PPCar (Personal Pendulum Car) [10]. En este apartado se describe el sistema. El PPCar es un sistema que consta de dos subsistemas: un robot m´ovil con tracci´on diferencial y un p´endulo invertido sobre el veh´ıculo m´ovil. El esquema del modelo aparece en la Figura 2. Figura 2: Modelo del PPCar. Haciendo equilibrio de fuerzas y de momentos se pueden obtener las ecuaciones del modelo del sistema: (M+m)¨x+Ml¨ θcosθ −Ml ˙ θ2=F(25) ¨xMlcosθ +Ml2¨ θ−Mglsinθ = 0 (26) donde: m: masa del carro. M: masa del p´endulo. l: altura del centro de masa. g: aceleraci´on de la gravedad. La variable de control del sistema es la fuerza F, las variables de estado son: el ´angulo θ, la velocidad angular ˙ θy la velocidad lineal ˙x=v. El sistema se puede linealizar en torno al punto de equilibrio θ= 0, ˙ θ= 0, v= 0 y F= 0 que es localmente inestable, pudiendo hacer las aproximaciones cosθ ≈1 y sinθ ≈0, de modo que, las ecuaciones en forma matricial queden:   ˙ θ ¨ θ ˙v  =  0 1 0 (M+m)g ml 0 0 −Mg m0 0    θ ˙ θ v  + (27) +  0 −1 ml 1 m  F 4. RESULTADOS En esta secci´on se muestran los resultados obtenidos de las simulaciones realizadas. Se han aplicado distintas cuantificaciones y se han comparado los resultados. Los datos num´ericos del sistema son: l= 1m m= 35Kg M= 70Kg g= 9,81m/s2 El controlador Kque estabiliza el sistema en bucle cerrado es: K=£1,85 0,42 0,093 ¤·103 Se toma el siguiente tiempo de muestreo: τ= 0,15s, con condiciones iniciales: x(0) =   0,2 0,1 1   Las Figuras 3, 4 y 5 muestran la evoluci´on del estado del sistema cuando se aplica una la cuantificaci´on variable descrita anteriormente. En este caso, se ha usado una cota m´axima E0para el valor inicial de cada componente del estado de (1). Adem´as, se han usado 7 intervalos de cuantificaci´on para cada componente del estado, es decir, se han usado 343 intervalos en total. La Figura 6 muestra la evoluci´on de la tercera componente del estado, v, tambi´en en el caso de cuantificaci´on variable, incluyendo adem´as los intervalos de cuantificaci´on. De esta manera, puede observarse c´omo en cada instante de muestreo la cuantificaci´on se centra en punto distinto, de forma que va siguiendo al estado, adem´as de ir disminuyendo la amplitud de los intervalos a medida que el estado se aproxima al equilibrio. Las Figuras 7, 8 y 9 muestran la evoluci´on del estado del sistema cuando se utiliza una cuantificaci´on logar´ıtmica. El n´umero de intervalos de cuantificaci´on en este caso es de 25. Las Figuras 10, 11 y 12 muestran la evoluci´on del estado del sistema cuando se utiliza una cuantificaci´on lineal. 5. CONCLUSIONES Este art´ıculo presenta un estudio comparativo de diversas t´ecnicas de cuantificaci´on sobre la esta- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 tiempo(s) Figura 3: Evoluci´on de θcon la cuantificaci´on variable. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 tiempo(s) Figura 4: Evoluci´on de ˙ θcon la cuantificaci´on variable. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 tiempo(s) Figura 5: Evoluci´on de vcon la cuantificaci´on variable. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 tiempo(s) Figura 6: Evoluci´on de vcon la cuantificaci´on variable junto con los intervalos de cuantificaci´on. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 tiempo(s) Figura 7: Evoluci´on de θcon la cuantificaci´on logar´ıtmica. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 tiempo(s) Figura 8: Evoluci´on de ˙ θcon la cuantificaci´on logar´ıtmica. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 tiempo(s) Figura 9: Evoluci´on de vcon la cuantificaci´on logar´ıtmica. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 tiempo(s) Figura 10: Evoluci´on de θcon la cuantificaci´on lineal. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 tiempo(s) Figura 11: Evoluci´on de ˙ θcon la cuantificaci´on lineal. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 tiempo(s) Figura 12: Evoluci´on de vcon la cuantificaci´on lineal. bilizaci´on de sistemas con informaci´on limitada. Concretamente, se han considerado los casos de cuantificaci´on variable, cuantificaci´on logar´ıtmica y cuantificaci´on lineal. Se han obtenido resultados a partir de simulaciones realizadas sobre el modelo de un sistema de Veh´ıculo unipersonal basado en p´endulo invertido denominado PPCar. Los resultados muestran que todos los cuantificadores logran estabilizar el sistema, si bien las cuantificaciones variable y logar´ıtmica realizan esta tarea de forma m´as eficaz que el cuantificador lineal, mejorando la suavidad de evoluci´on en el r´egimen transitorio con un error de r´egimen permanente considerablemente m´as reducido. Desde el punto de vista de la robustez, es importante mencionar que en el esquema de cuantificaci´on variable el sistema de control es muy vulnerable a cualquier tipo de incertidumbre o perturbaci´on. De hecho, cualquier peque˜na perturbaci´on inestabiliza el sistema. El cuantificador logar´ıtmico es sin embargo robusto por construcci´on. Desde el punto de vista de la robustez de las estrategias, es importante mencionar que en el esquema de cuantificaci´on variable el sistema de control es totalmente vulnerable a cualquier tipo de incertidumbre o perturbaci´on. De hecho, cualquier peque˜na perturbaci´on inestabilizar´ıa el sistema. El cuantificador logar´ıtmico es sin embargo robusto por construcci´on. En la optimizaci´on (minimizaci´on) de la densidad de muestreo (τ×Np), el cuantificador logar´ıtmico presenta resultados mucho mejores, estabilizando el sistema con densidades un orden de magnitud inferiores. Por tanto, la cuantificaci´on logar´ıtmica, logra estabilizar el sistema empleando muchos menos intervalos de cuantificaci´on que los necesarios con la cuantificaci´on variable. Este ´ultimo aspec- to es especialmente relevante por cuanto permite reducir la cantidad de informaci´on que es necesario transmitir sobre la red para realizar la misma tarea de control. Agradecimientos Los autores agradecen a CICYT por financiar este trabajo bajo el proyecto DPI2007-64697. Referencias [1] Albea, C., Ortega, M. G., Salas, F., Rubio, F. R., (2006) Aplicaci´on del control H∞al PPCar, XXVII Jornadas de Autom´atica, Almer´ıa. [2] Delchamps, D. F., (1990) Stabilizing a linear system with quantized state feedback, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 35, pp. 916-924. [3] Elia, N., Mitter, S. K., (2001) Stabilization of linear systems with limited information, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 46, n´um. 9. [4] Isidori, A., (1996) Semiglobal robust regulation of nonlinear systems, Lecture Notes in Control and Information Sciences, vol. 215, p. 27. [5] Khalil, H. K., Esfandiari, F., (1993) Semiglobal stabilization of a class of nonlinear systems using output feedback, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 38, pp. 1412- 1415. 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