Integración en álgebras de Abel

Arias de Reyna Martínez, Juan

Integración en álgebras de Abel

Arias de Reyna Martínez, Juan

Published: 1974
Publisher: Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales
Repository: idus.us.es
Language: es

Full text

In eg ación en álgeb as de Abel po Juan A ias de Reyna Ma ínez (*) PRESENTADO POR EL ACADÉMICO D. DARÍO MARAVALL CASÈSNOVÈS 1. DEFINICIONES El obje o del p esen e abajo es comple a mi an e io comuni- cación (1), en que plan eábamos la equi alencia de los concep os de unción di e enciable y analí ica de inidos en álgeb as de Abel. Necesi amos in eg a unciones de inidas en un in e alo de R y con alo es en un álgeb a de Abel A. Pod íamos usa 'a in eg al débil, pe o se ía necesa io exigi alguna condición adicional a A. Po eso p e e imos usa la eo ía desa ollada en nues a esis. Esen- cialmen e consis e és a en la eo ía desa ollada en Bou baki, Fonc- ions d'une a iable éelle, capí ulo II, pe o sus i uyendo el espa- cio de Banach po un espacio localmen e con exo. .; Llama emos a co di e enciable en un álgeb a de Abel A a una aplicación y : [ l> b~ -> A con inua, di e enciable y al que /:[«,&]-> u sea con inua. (Suponemos po an o que exis e la de i ada a la de- echa en a y a la izquie da en b.) Una aplicación y '• [a> &] -> A se di á a co di e enciable a o- zos si es con inua y exis e una pa ición del in e alo [a, b] al que en cada siibin e alo pa cial la es icción de sea a co di e enciable. (*) Dep. Teo ía de Funciones. Uni . de Se illa — 522 — Sea A un álgeb a de Abel ; / : û -> A, una unción con inua de inida en una egión U de A ; y, un a co di e enciable a ozos •j? : [a, b] -> U. En endemos po in eg al de / a lo la go de y J O) à z i a la in eg al » J / (y (0) / (O < í- a In eg al omada en el sen ido de inido en mi esis, co . de la p op. 32 y p op. 30. A pa i de aho a odos los a cos que apa ezcan en una in eg al s6 supond án di e enciabks a ozos implíci amen e. Las p opiedades o dina ias de la in eg al a lo la go de a cos son álidas aquí. Sea <p : [a, /3] -» [a, i] una aplicación c ecien e sob e y di e enciable a ozos. En onces (*)ds = jl(s}dz. o <? Po an o, desde nues o pun o de is a, los dos a cos y y Y ° ? son equi alen es. Es ácil p oba o malmen e que es o es una ela- ción de equi alencia y a eces llama emos a cos a los elemen os del conjun o cocien e. Podemos así siemp e conside a que un a co es á de inido en el in e alo [O, 1]. Podemos de ini sin di icul ad el concep o de a co opues o a uno áado. Se iene en onces (e) d z ----— j" /(*)<** = — / / jsi d ; Bas a aplica las de iniciones y los esul ados ya p obados pa a es e ipo de in eg ales. — S23 — - También es posible de ini la suma de a cos y se ob iene el &- sul ado (s)di = J (3)de + J (s)ds. 1l + Tí Ti l! Usa emos con mucha ecuencia en es e "capí ulo las unciones / : ß-> A de inidas en una egión del álgeb a de Abel A que soi. di e enciables en Û y e i ican en Û las condiciones de Cauchy-Rìe- mann. Aunque p oba emos que coinciden con las analí icas, pa a dis ingui las mien as es e esul ado no es é p obado las llama e- mos unciones holomo as. ; Hemos, is o que oda unción analí ica en Q es holomo a en Û. Podemos da ya una condición que elaciona el concep o de unción ho^mo a con la in eg ación. PROPOSICIÓN 1.—Sea A un álgeb a- de Abel; í : ü, -> A, una aplicación de inida, en una, egión Ü de A. Las dos condiciones si- guien es son equi alen es si es con inua en compac os. a) es la di e encial de una unción holomo a F : Q-ï A. b) La in eg al de í a lo la go de un a co en Û no depende mas que de los ex emos de y. Además se iene en ese caso si y es un a co de a has a b (s)dg=F(b) — F (o). T En p ime luga , debemos acla a que cuando hablamos de apli- caciones di e enciabas siemp e se á en el sen ido de inido en A ias •de Reyna J. ( esis). Al deci que / es la di e encial de F, es amos iden i icando los elemen os de L A con los de A. P obemos que a) =í> b). Supongamos que y : [a> §] -> U es un a co di e enciable a ozos al que y (o .) = a y y (?) = b .Bas a á p oba que j (M)dg = F(b)-F(a). pa a demos a b). Sabemos que F » y es con inua en [a, i] y p imi i a de / ( (0) / (O : - 5^4 - pues sal o en los pun os donde no es di ei enciable y <lue son en núme o ini o, se iene : D (F o y) (í) (1) = D F (y (¿)) o D y (í) (1) = D F [y (í)] (/ (í)). Usando aho a las condiciones de Cauchy-Riemann y la hipó esis «) = / (Y (O) Y' (0- Po an °. //«. •) d * = F (7 (¿8)) — F (y (a)) = F ( ).-'F (a). Po úl imo b) =£> a). Tomemos un pun o ijo aC ü. Pa a odo z € u, pues o que Q es egión, exis e un a co di e enciable a ozos y de ex emos ays. Pongamos F (*) - / /(-Od z. -/'<•> F es una aplicación de Ü en A, pues la in eg al po la hipó esis no depende de la elección de . Debemos p oba que F es holomo a en û. Es deci , que es di- e enciable en odo pun o de ü y D F (6)» = /(*)*. Sea y un a co de b a b + -x, e iden emen e se iene F (b + *) —F'(i) = (s) d z: •- Po an o, F(b+x) — F(b) — (b)j; = ( i*) — (b)) d s. Conside ando b ijo, debemos p oba que la aplicación * h-* J (/(*)-/(&))<** 1 • T es un es o. — 5*5 - P obemos que es con inua en compac os en b. Sea K un com- pac o en A que con enga a b. Tomemos un en o no de O en A, dado po una semino ma p y un s > 0. Debemos encon a un en- o no U de b al que b + x <E U R K => P ( j ( (s)- (b)) d £|< e. Sea i un en omo de b p0 (z — b) <^ con enido en u. A es ce- ado en A. Sea K' = Ã ! K. K' es compac o en A y con iene a b También lo es K = { x + b | b + x € K', £ [O, 1 ] } ; po se la imagen de un compac o po una aplicación con inua. Ade- más, K O Ã c K. Si b + 'X € K H A, podemos oma en luga de Y el segmen o b., b + x, pues es á con enido en Ci. Como K es compac o, p iene un máximo en K, sea M. Como / es con inua en compac os, exis e un en o no equilib ado V de & al que * + y € V n K => p ( (b + y} — / (6)) < «/M. Sea aho a b + x e ( n Ã) n K,. en onces i P( ( (s) - / (») d z | = p | j ( (b + x) - / (è)) X d /]. T • ° 1 : < p( (b + x) - (&)) p (x) d . e • Usando las desigualdades an e io es, es o es, < s. — Jï6 — Veamos aho a que lim (l/í) ( x) — O omando el lími e cuan- do -> O y x :€ K. Usa emos la misma no ación que an es. Si, b + x € Ã, se iene i i (l/í) ( x) = (l/í) ' (b + £ x)- (Í,) xdè =j (í(b + £ x) — (b)) x d £. a o Sea V el en o no equilib ado de ô de e minado como an es. Exis e.A al que O 6 + í *€ V Q Ã- En onces si è + x € K y | < a pa a odo | Ç j < l se iene b + £Í*<E V n L Además i P((lj ) ( x})<j P (b + £í*)-/(&))#OK£ < e/M • M = e. o Con es o se iene F (b + - ) = F (b) + (b)x + (x), luego F es con inua en compac os en b. Es o ale pa a odo b € £5, luego es con inua en compac os en odo Q. Queda así e i icada la e ce a condición impues a a los es os, c. q. d. 2. TEOREMA DE CAUCHY Comenzamos po una obse ación sob e la demos ación del úl- imo eo ema. Al p oba que b) =[> a), sólo liemos necesi ado pa - e de la hipó esis, de mane a que de hecho hemos p obado que b') =í> a), donde b') és la elación: — 527 — b') La in eg al de / a lo la go de una poligonal en Û no de- pende más que de los ex emos de és a. Na u almen e, en endemos po poligonal una suma de segmen os. Vamos a demos a el eo ema de Cauchy pa a egiones con e- xas. El camino que segui emos consis i á en e que si / es holo- no a en una egión con exa e i ica b') y usa en onces la p o- posición 1 modi icada como acabamos de indica . El p ime paso •es, na u almen e, el iángulo. Si a, b y c son es elemen os de un álgeb a de Abel, en ende- mos po iángulo de é ices a, b y c el conjun o de los elemen os •de la o ma xa + yb + zc con x, y, s, núme os eales posi i os •o nulos ales que x + y + s = 1. Todo iángulo es e iden emen e •compac o. Si T = (a, b, c) es el iángulo an e io , en endemos po Tao de de T, ò T el a co (a, b) + (b, c) + (c, a), donde (a, b) deno- a el segmen o de a has a b. PROPOSICIÓN 2.—Sea : ü -> A una unción holomo a, de ini- da en una egión £1 dei álgeb a de Abel A. Sea T un iángulo en £i (Te u). En onces j (a) d z = 0. ÔT Supongamos, po el con a io, j (z)ds^Q. ÒT 3±xis e en onces una semino ma p al que P ( /*/«<**) 5*0. õ Sea T = (a, b, c). Pongamos en onces Tj = (a, (a + b)/2, (c + a)/2), T,2 = ((a + 6)/2, b, (b + 0/2), T3 = ((a + ¿OA (b + 0/2, (c + a)/2) - 5*8 - y po ùl imo T4 = ((c + o)/2, (b + c)/2, e. Es i ial p oba en onces que j (*)d= ¡ (z)dg + (z) d s + I (*) d z + j (. ò T òTj ÒT2 bT3 ÒT4 Así, pues, exis e z = 1, 2, 3, 4 al que P ( /"/(«)<**) XV4)* ( ^/(*) <**) • ò , ò Sea uno de ellos T¡. Pongamos T¡ = T1. Po el mismo p oceso- aplicado a T1 en luga de a T ob enemos T2 al que pi (z) d A >(l/4)¿ ( (*)dz) • > *' / V »/ / ò T2 ò TI Ob enemos así una sucesión T ID TI ID T2 ^ ... ;D T" =3 ... de iángulos ales que P ( /* / O) d *) > (1/4)" í | J* / (*) d * ) • ò Í"" ò T Usando los eo emas conocidos pa a aco a in eg ales, ob ene- mos pa a la in eg al de una unción £ en un iángulo T = (a, b, c), p ( g (2) a' í j < (¿ (b — a) + p (c — b) + p (a — c)) sup p (g (z)). O T Obse emos que pa a T1 = (a'', V, c ) se iene p (b' - a') + p (c' - b') + p (a' — c') --- (1/2) (p (b — a) + p (c — b) + p (a — c)}- - 529 - Así, pues, si llamamos 1(T) ^P(b-a) + p(c-b) + p(a-c) se iene 1 (T») = (1/2) 1 (T<>- i) = ... = (1/2») 1 (T). Como los T™ son compac os y no acíos, exis e a € n Tn, sea h = /' (a) que exis e, pues / es holomo a en Û. Sabemos que J (/(<*)- (*)(*-a)) d * = 0, ÒT pues el in eg ando admi e una p imi i a en A. Así, pues, (J/(z)d )<4«í( Wdz} = 4*¿( J (/(*)-/(«)-(*-«)/'W) <**) < Ò T õ T" õ T" < 4» 1 (T«) sup p ( (s) _ / (a) - (0 _ a) /' (a)) < Z€T* < 2" i (T) sup /> ( (a) - / (a) - (2 - a) /' (a)). zeT* Dado s > O y el compac o T •—• a, exis e Í0 al que l í I «o y -x + *>ÇT=> P ((í/ ) ( (a + x} — / (a) — x /' (a))) < e. Po an o, si s € T", P ( (s) -/(„)-(*- «) /' (a)) <- í e, siemp e que exis a a € T — a al que a + x = z y [ í | < 0. Sea z 6 T ; pongamos k (z) = mi { (s — a)/í í T — a y í>0}; es o de ine una unción eal en T. - 536 - PROPOSICIÓN Q.—La unción exponencial es un homomo ismo -en e, el g upo adi i o de A y el g upo mul iplica i o A* = A — — íM, de A. Po la p oposición 8 (cap. I) se iene pa a s y w pe enecien es a A, eíz+wi = ez ew. Además, di ec amen e de la de inición e° = 1, luego ez e-z = e° = 1. Es o es, ez € A* pa a odo z € A. PROPOSICIÓN 7.—Si A es un álgeb a de Abei, el núcleo del ho- momo ismo de inido po la unción exponencial es 2 ic i Z. La unción g asociada a la exponencial según la p oposición 12 {cap. I) y que hace conmu a i o el diag ama exp -* C «s la exponencial o dina ia. Si a '€ A es al que e" = 1, se iene po an o <? pc°) = 1. Así, puee, <p (a) € 2 -K i Z. Si a j¿ 2 -K i k pa a odo k, es o es, a ^ < (a), se end ía b = a — «p (a) al que b T¿ O, 2/2! + bs/3l ... =0, luego b (1 + 62/2! + ¿>V3! + ...) = 0. Como 9(1 + 6/2! + &V3Î.+ ..)=!. si A es de in eg idad es & = 0. Pe o es a demos ación no si e cuando A no es de in eg idad. Da emos, pues, una demos ación •di e en e. — 537 — Conside emos las dos se ies de po encias S = > ' *»-»/»! J í T = V (&»/» !). ^j •donde 60 =1, ^ =1/2, bz = 1/6, 63 =0,... son los nùme o de Be nouilli. En cualquie àlgeb a de Abe', S ie- Tie adio de con e gencia oo y T iene adio 2 i . Además, S T = 1. Las dos con e gen en b. Aplicando en onces la p oposición 8 (ca- •pí ulo I), se iene (1 + 6/2! + &V3! + ..)T(6) = 1. .Mul iplicando po b, queda b = b l = (b + 2/2 ' + Z>3/3 ! + ...) T (b) = 0. An es de pasa a de ini el índice, debemos es udia las p opie- dades de la unción í/s en un àlgeb a de Abel A. PROPOSICIÓN 8.—S'm A un álgeb a de Abel; u, la egión ç UC-ÍO}). La aplicación : Ü -> A de inida po se (z) = l/z, w analí ica •en ü, con inua y holomo a po an o. Si a € Q, su desa ollo en- el en omo de a. es (z) = l/a — (l/a*) (z — a) + (l/a') (z — a)* — .... - 53* - àlido pa a <p(z —a) < <p(a)|. Na u almen e, / es à bien de inida, pues si a' a = 1 y a" a = !.. es («' — a") a = 0 y mul iplicando po a' se ob iene a' — a" = (L Y si a € ü exis e una a', pues (a) 5¿ 0. El adio de la se ie dada es | (I/a") = Pa (VO = ! V (I/a) | = VI <p (o)| y bas a aplica la p oposición 7 (cap. I). Mul iplicando la se ie po a + (z — a) se ob iene usando la p o- posición 8 (cap. I) : : (a + (z — a)-) ((I/a) — (I/a") (s — a) + (I/a») (« _ a)" + ...'= 1. Así, pues, la se ie ale I/Ä siemp e que | <p ( — a) | < | p (a) . De aquí se ob iene que / es analí ica, p oposición 13 (cap. I),. con inua po la p oposición la (cap. I) y holomo a po la p opo- sición 16 (cap. I). .PROPOSICIÓN 9.—Sea A un álgeb a de Abel Y : [a, .§] -> A un a co di e mciable a ozos y ce ado; a € A, un pun o al que pa e odo '€ [a, 8] sea <P(Z)^ (») la in eg al es á de inida. Su alo es ¿J V'/(* - o) d * = (y (í) - a-i / (í) d í. La unción í *(«).= (y W — a)-1 y' W d <- «es- p imi i a de ( (O - ß)-1 / (í). To . an o, -"(í) (y (í) — o) •es unción con inua en [«,§]. Sal o en el núme o ini o de pun os, donde no es de i able, (?-*<'> (y (í)—a) "Jo es ; su de i ada ale - e-*W (y (í) - )-i y' (í) (y (í) _ a:) + «?- * ( ) y (í) = 0. Aplicando el eo ema undamen al del cálculo se ob iene que e-*w (y (í) —o) •es cons an e : e- A («) (y («) — o) = í- * C ) (y (í) _ a). — 540 — Además *-*<»> = e-o = i. De aquí que como y (°0 — a es, po hipó esis, in e ib'e, e» in = ( (i)_o)/( (a) —a). Finalmen e, como Y (°0 = ï (§) es «^ ( O = 1- Aplicando la p opo- sición 7 se iene h (¡3) = 2 è i i /»a a algún en e o k. Bajo las condiciones de la p oposición 9, llama emos índice de y espec o de a, y lo ep esen a emos po n (y, a) al núme o en e o n (y, a) = (1/2 T«) /* O — o)-i d s. Pa a el cálculo de los índices es muy ú il la siguien e p opo- sición. PROPOSICIÓN 10.—Sea A un álgeb a de Abel; y : [a, ß] ~> A, un- a co di e enciable a i osos y ce ado; a€ A, al que pa a € [a, ßj sea (y ( ) ¿¿-- «p (a). Se iene en onces n (y, a) = n (9 o 7, ( (z — a)-1 d z = $ = (V2-i)ç( /" (y (*) - «h1 / (O á * ) = ce ß = J(>ï> (ï (0) — <P í«))-1 <P (7' (0) à i = n ( o y, <p (a)), a Son i iales algunas p opiedades del indice. Po ejemplo, si n (y, a) es á de inido, ambién lo es á n(—y,a) = —n (y, a). — 54l - Si A es un disco en C, al que pa a odo í, 9 (y (0) € A y 9 0) S A se iene n (Y, a) = 0. Sea Y un a co di e enciable a ozos y ce ado en un àlgeb a de Abel A. Llamamos egión de e minado po Y a cada una de las e- giones 'ip"1 (G) en A, siendo G las componen es conexas en C del complemen o de la imagen del a co 9 ° Y- Llama emos egión no- aco ada, de e minada po Y, a '?-1 (G), siendo G la egión no aco- ada de la an e io men e ci adas. Si Y es un a co di e enciable a ozos y ce ado en A, y û una. de las egiones de e minadas po Y- En onces n (Y, s) es cons an e pa a z '€ ü y ale 0 si Û es la egión no aco ada de e minada po y- PROPOSICIÓN 11.—Sea, A un álgeb a de Abel; Q = cp-1 (G), w «c egión con exa de A; : U -> A, holomo a; Y : [<*, ß] ~> ß. MWP » eo di e enciable a i osos y ce ado en Ci; a € U, al que 9 (y ( )) ^ 9 (a) pa a € [a, ß]. En onces n (y, a) (a) = (1/2 * ï) (z) (z - a)-i d z. T Conside emos la unción (/(s)-/(o))(a-o)-i de inida en ç-1 (G - { <p (o) } ) = Q' es holomo a en ü' y se iene lim (z — a) F (z) = 0. siendo F (z) el cocien e inc emen al. - 542 - •Como Y es á en ü', se iene po la p oposición 5 : (1/2 x i) í ( (s) — / (a)) (z - o)-i d z = 0. T -Así, pues, (V2 » í) J/ (2) (s - o)-i d s = (V2 ¿) J / (a) (^ - a)-i d Z = / (a) n (y, a). - T T Si ü„ es una de las egiones de e minadas po y y ales que '•n (Y> a) =1 si a '€ Û0. Se iene /(s) = (1/2 ,TÎ) / /(0«-¿0<H, = (1/2 *• i) í i pa a ,s"€ Û0. En pa icula es o ocu e si Y es una ci cun e encia. La consecuencia más impo an e de es e esul ado es la demos- ación de la p oposición 17 del capí ulo I. PROPOSICIÓN 12.—Sea G una egión de C ; ü = '9"1 (G) la e<- ..gión co espondien e en el álgeb a de Abel A; î : û -> A, una un- • ion holomo -a M a 6 û. En onces puede ep esen a se po -una -se ie de1 po encias en el en o no de a : (z) = S an (z - a)n, •cwyo adío í mayo o igual a d (9 (a), [ G), 3; <?«<? coincide con í en el disco de adio d Op (a), [ G). Obsé ese que con es o se demues a ambién de ini i amen e la "p oposición 12. Aunque puede pa ece que ya hemos o mado un 'Ci culo, pues la p oposición 12 la hemos usado al p oba la p opo- - 543 - sición 7 y és a pa a la ó mula de la in eg ai de Cauchy. Pe o debe ene se en cuen a que la p oposición 12 es i ial pa a la unción exponencial. Sea b € Ü al que l V (i) - 9 (a) I «í (<p (a). [G). Tomemos un en e es os dos núme os y sea 7 el a co a + es n ' * pa a ;6 [0., 1]. Se iene / 00 = (1/2 » i) l*/«)«-*)-1^, T cuando | (a) — 9 (a) | < po la p oposición 11. Pe o (5 - o)^1 V(S - *) = V((5 -1) - (* - a)) = V (-1)» ^_i (A — o)" uni o memen e en C pa a ays ijos. Bas a ene en cuen a que sólo conside amos los pun os de la o ma Ç = a + e2*' *, donde la se ie es 2 ( l)n - Cn+ 1) e- 2 x ¡(R- - 1) (2 __ 0)n¡ que es una se ie de po encia de adio /| 9 (*) - 1 ; omada en e2*" de módulo unidad y usa la p oposición 11 (cap. I).- — 544 — Al mul iplica es a se ie po / (Ç) se ob iene una se ie que con- e ge uni o memen e, pues / es con inua en compac os. Podemos en onces in eg a é mino a é mino y se ob iene / (,) = "V (1/2 « i) (--1>« O-<*)" / (S) d í = V o, (* - a)" ^—' J ( _ a)íi+J .¿-J (? - i)" I donde a„ = (1/2 i) (-1)« J' / (D « - a)-c»H> d ^. El desa ollo ob enido pa a / (s) ale en b po an o pa a odo s del disco de cen o <p (a) y adio d(c,(a), [ G) ya que los coe icien es dados a„ no pueden de hecho depende de ya que son las di e enciales sucesi as de / que son únicas. O a consecuencia impo an e de es e esu' ado es el eo ema de- Mo e a. PROPOSICIÓN 13.—Sea Í2 una egión de un álgeb a de Abel A," ï : Q-^A, al que pa a odo a co di e enciable a ozos y ce ado' Y en Û se enga ^/(*)d* = 0. En onces es analí ica en Û. Po la p oposición 1, / es la di e encial de una unción holomo - a F. Po la p oposición 12, F es analí ica, luego lo es /. BIBLIOGRAFÍA ARIAS DE REYNA, J. : Di e enciación en espacios ec o iaìe-s opólo- g-icos. Tesis doc o al. Se illa (1973). P olongación de semino mas mul iplica i as. Comunicación'. p esen ada en las II Jo nadas ma emá icas Hispano-Lusi anas (1973). ' ' '- ' — 545 - BouRBAKi: Topologie gené ale. Chap. 2 y 3, e ce a edición, He - mann, Pa ís. Topologie1 génén ale. Chap. 9, He mann, Pa ís. Algeb e commu a i e. Chap. 1 a 7, He mann, Pa ís. CARTAN, H. : Seminai e Hen i Co an 1951-52, 1953-54. W. A. Ben- jamin, Inc. (1967). MICHAEL, E. A. : Locally mul iplica i ely-con ex opological alge- b as. «Memoi s o he Ame . Ma h. Soc.», numbe 11. P o iden- ce R. I. (1952). 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