Análisis de errores en la conceptualización y simbolización de ecuaciones diferenciales en alumnos de química

ARTiCULOS Ana!Isis de e o es en la concep ualizacion y simbolizacion de ecuaciones di e enciales en alumnos de quimica esumen Es e a iculo ecoge un analisis de los e o es mas ecuen es come idos po es udian es de Ma ema icas de 2° cu so de la Licencia u a de Quimica (Uni e sidad de Se illa, Espana) en el abajo con Ecuaciones Di e enciales (ED). Los e o es se han o nado de las espues as que los alumnos die on a es cues iones ela i as a ED (dise ladas exp esamen e pa a es e abajo) y que ecogen di e en es aspec os pu amen e ma ema icos: de ini , ejempli ica y modeliza . Las espues as Sc clasi ica on a endiendo a dos c i e ios: segan las nociones e lejadas en la de inician de ED y se& las ca ac e is icas de los ejemplos dados. Ademas analizamos elaciones en e ambas ca ego ias. lden i ica y analiza e o es puede ayudamos a localiza obs aculos en la o mac ion de concep os y a de ec a di icul ades que nues os alumnos encuen an al ealiza a eas p opues as. Abs ac : In his pape , we analize he mos ecuen mis akes made by Chemis y s uden s in hei second yea a he Uni e si y o Se ille (Spain) while hey a e wo king on Di e en ial Ecua ions (DF). These mis akes we e collec ed om he answe s he s uden s ga e o a es ha was p epa ed speci ically o his pu pose. The es had h ee ques ions ocused on h ee pu ely ma hema ical aspec s: de ining, exempli ying and modelizing. The answe s we e classi ied acco ding o he no ions e lec ed in he de ini ions and he examples ca ac e is ics ou s uden s ga e. We analyze ela ions be ween bo h classi ica ions oo. lden i ing and analyzing hese mis akes can help us o loca e obs acles in concep cons uc ing and o de ec indi idual di icul ies in p oposed asks. 1 In oducciOn Los es udios sob e Ense ianza y Ap endizaje del Analisis Ma ema ico en el ni el Uni e si a io son ela i amen e ecien es. El ema conc e o de las Ecuaciones Di e enciales (ED) apenas empieza a se conside ado en los ill imos anos po in es igado es en Diclac ica del Ma ia T inidad Villa Lilian Depa amen o de Algeb a, Compu aciOn, Geome ia y Topologia Sal ado Llina es Cisca Depa amen o de Diclac ica de las Ma ema icas Uni e sidad de Se illa, Espa ia • 90 • EDUCACION MATE MATI6A  Vol. 8 - No. 2 • Agos o 1996 I © GEL • Pag. 91 N Calculo. A igue, M. (1987, 1988, 1991) dedica pa e de su es udio a es as en sus in es igaciones en ingenie ia diclac ica eniendo en cuen a la impo ancia que las ED adquie en en los con enidos de los p ime os cu sos de es udios uni e si a ios eu opeos en ca e as cien i ico ecnicas y su elacion con las nue as ecnologias. Al analiza las concepciones que los es udian es de p ime os ni eles de ense lanza supe io ienen sob e la di e enciacion y la in eg aciOn, no podemos eludi las implica- ciones co espondien es con los p ocesos de esoluciOn de ED. Recip ocamen e, si que emos analiza las concepciones sob e ED no podemos deja al ma gen sus elaciones con los p ocesos de in eg acion y di e enciacion (A igue, 1991). Den o del Ma co de la Teo ia de E o es (Rada z, 1980), conside amos impo an e un analisis de los mismos que nos pe mi a diagnos ica di icul ades indi iduales como pun o de pa ida y como he amien a pan la in es igacien de p ocesos de Ense lanza- Ap endizaje del Analisis. Pa a Rada z, eniendo en cuen a la eo ia del p ocesamien o de in o maciOn, los e o es se p oducen como esul ado de expe iencias p e ias a la clase de Ma ema icas es an de e minados causalmen e, suelen de i a se de di icul ades en los p ocesos de ap endizaje ma ema ico o po in e accion de Va iables de la educacion ma ema ica y pueden Ilega a se pe sis en es en el iempo. Iden i ica e o es puede conduci nos a localiza obs kulos en la o macion de Los concep os. En es e sen ido, segian Vinne , al pone de mani ies o la elacion en e la de iniciOn de un concep o y la imagen que se iene del mismo, indica que "Adqui i un concep o signi ica o ma se una idea de el. Conoce po in uicion la de inicion del concep o no ga an iza la comp ensi6n del mismo. Comp ende signi- ica ene una imagen del concep o. [..] Algunos concep os, incluso concep os de la ida dia ia debe ian se in oducidos median e de iniciones. [..] Las de iniciones ayudan a o ma la imagen del concep °. Pe o en el momen o en que la imagen se ha o mado la de inicien no es indispensable,... pod ci incluso ol ida se ..." (Vinne , S. 1991). En es e sen ido, Comu (1991), No man y P icha d (1992) de ec an "si uaciones" en las que apa ecen obs aculos en la o maci6n de los concep os. Se e ie en p incipalmen e a las imagenes p e ias del concep o exis en es en la men e del alumno cuando se en en a a la p esen aciOn o mal del mismo. Conside ando que ales imagenes exis en de mane a na u al, in ui i a e incluso social, en la mayo ia de los casos, la ense ianza de un nue o concep o en , ma ema icas (como en cualquie o a disciplina) "no empieza sob e un e i o io i gen". Es as concepciones, Ilamadas "espon aneas" (Comu, 1991), in e ie en ine i ablemen e en la apa icion de obs aculos al mezcla se con las nue as imagenes adqui idas, endiendo a impedi el desa ollo de la comp ensi6n comple a del nue o concep o. Es os au o es se ialan que los modelos men ales an iguos no desapa ecen inmedia amen e sino que pe sis en la go iempo jun o con los ecien inco po ados en la men e del alumno. Es e p oceso hace que su jan ac o es de con lic os po enciales en la o macion y adquisicion del concep o, ya sea es e in oducido median e de iniciOn o mal o ejemplos. De una mane a gene al, los obs aculos cogni i os son cons ucciones o in e p e aciones idiosinc a icas de concep os y p ocesos que, gene ados de o ma na u al en el p oceso de desa ollo cogni i o, ienden a impedi el desa ollo de una comp ensiOn comple a del concep o o del p oceso (No man y P icha d, 1992). • Pag. 92 • EDUCACION • MATEMATICA IS Vol. 8 - No. 2 • A gos o 1996 a © GEL • Aunque es una cons an e an o en Ma ema icas elemen ales como en Pensamien o Ma ema ieo A anzado, el p oceso de "desequilib io", en la cons ued& del cono- cimien o desc i o po Co m, hay ca ac e is icas en el segundo que inciden de o ma cla a al a o ece la apa icion de obs aculos (Robe y Schwa zembe ge , 1991), como po ejemplo el cambio inmedia o en la na u aleza de las Ma ema icas e lejado en: • la apa icien de mayo can idad de concep os que deben se asimilados en menos iempo, • la apa iciOn de muchos p oblemas que no pueden se esuel os con odo de alle, • la necesidad de adqui i apidamen e concep os que his O icamen e ue on o mados len amen e, incluso po oda una comunidad de ma ema icos, e c. Es impo an e el papel que juega la accion indi idual en la cons ued& del conocimien o en el p oceso de " e-equilib a lo desequilib ado" en ni eles supe io es, asi como hace a es udian e conscien e de su p opio p oceso de ap endizaje. (Robe y Schwa zembe ge , 1991). Es en el ma co de es as in es igaciones donde si uamos nues o abajo con unos obje i os algo mas especi icos. El obje i o de nues o es udio ue ealiza una clasi ica- cion empi ica de los e o es p oducidos po los es udian es an e es cues iones ela i as a Ecuaciones Di e enciales, dise ladas exp esamen e pa a es e es udio. Es e abajo es la con inuacion de o o es udio ealizado que se cen aba en un anal isis desc ip i o de las espues as p oducidas a un examen adicional del con enido de ED (V illa , 1993). 2 Me o do logia El p esen e abajo ecoge un analisis de e o es come idos po alumnos de la licencia u a de Quimica (de la Uni e sidad de Se illa, Espa ia), en el desa ollo de a eas con Ecuaciones Di e enc ales. Las ED cons i uyen un con enido al que se dedica un imes e en la asigna u a Ma ema icas II, impa ida ac ualmen e en Segundo cu so de es a licen- cia u a. Un g upo de 100 alumnos, escogidos en e los ma iculados asis en es a clase y en e los es g upos de la asigna u a Ma ema icas II, despues de inaliza la ma e ia co espondien e a ED, espondie on al cues iona io p opues o. Los da os analizados p oceden de las espues as esc i as a dicho cues iona io. Cues iona io sob e ecuaciones di e enciales 1. De ini EcuaciOn Di e encial 2. Da 5 ejemplos dis in os de Ecuaciones Di e enciales. 3. Se ha descubie o que una bola de na ialina que enia o igina iamen e un adio de 1/4 de pulgada, iene un adio de 1/8 de pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se e apo e a in indice p opo cional a su supe icie, se quie e sabe cuan os meses mcis a da ci en desapa ece po comple o. Pod ia esol e se es e p oblema medi- an e una ED? Razona la espues a. El obje i o e a conoce el modo en que los es udian es son capaces de de ini ED y la p oximidad en e su de inicion y la de inicion o mal, incluso despues de abaja con dicho concep o. EDUCACION MATENIA ICA I Vol. 8 - No. 2 • Agos o 1996 I  GEI I Pag. 93 m Es a a ea se dise io siguiendo la me odologia u ilizada po D ey us y Vinne (1989) en su es udio de la imagen del concep o de la nociOn de uncion. Se eligio es e ipo de cues iones, en es e e s udio, al obse a las limi aciones de los i ems de los examenes adicionales cen ados en un mayo uso de algo i mos algeb aicos. (Villa , 1993). El o ma o u ilizado en Las cues iones plan eadas (siguiendo el abajo de D ey us y Vinne ), puede pe mi imos iden i ica las concepciones de los es udian es sob e los obje os ma ema icos que manejan, en nues o caso las Ecuaciones Di e enciales. Las es cues iones plan eadas in en an ecoge di e en es aspec os de na u aleza pu amen e ma ema ica: de ni (Cues ion 1), ejempli ica (Cues iOn 2) y modeliza (Cues iOn 3). Los alumnos con es a on a es e cues iona io una ez inalizada la ma e ia ela i a a Ecuaciones Di e enciales. A pa i de es os da os ealizamos un analisis empi ico de las espues as a las cues iones plan eadas siguiendo un p ocedimien o induc i o de gene- adon de ca ego ias. En el p oceso de analisis empi ico se iban ag upando espues as segim algunos aspec os comunes de in e es. Se c eaban nue as ca ego ias cuando en algunas espues as apa ecian da os no con emplados en ninguna de las ca ego ias ya o madas. Es e p oceso pe mi iO i c eando y e inando paula inamen e las ca ego ias que se iban conside ando. Realizamos un analisis de allado de las de iniciones dadas po los alumnos y dimos una clasi icaciOn de es as basandOnos en - las nociones con empladas den o del concep o de ED. Las nociones que in e ienen en la de inicion y que hemos conside ado mas signi ica i as son: • NociOn de unciOn desde la pe spec i a de obje o, ya sea de una O mas a iables eales, dependien es o independien es. • NociOn de ecuaciOn uncional, asociada a ella es a ian la idea de soluciOn y la de esolucion de dicha ecuaciOn. • Noci6n de de i aciOn o di e enciacion (de las unciones incOgni as). • P oceso de ma ema izacion de un enomeno isico. Asi se clasi ica on las espues as en g upos a endiendo a dos c i e ios: 1. Seg in las nociones e lejadas en la de iniciOn de ED de la cues iOn 1 ( e Cuad o 1). 2. Ca ac e is icas de los ejemplos p opo cionados como espues a a la cues iOn 2 ( e Cuad o 2). Ademas analizamos las elaciones exis en es en e la de inicion de ED y los ejemplos dados en la segunda cues iOn ( e Cuad o 3). Luego examinamos b e emen e las azones dadas en Las espues as a la cues ion 3, in en ando pone de mani ies o las posibles elaciones en e es as y la in o macion ob enida a pa i de las dos p ime as cues iones. 3 Resul ados 3.1 Resul ados ela i os a las cues iones 1 y 2 Teniendo en cuen a la o ma en que los alumnos de inen ED y si en sus de inicio- nes apa ecen o no las nociones elacionadas con dicho concep o expues as an e io - Ii  • Pag. 94 • EDUCACION MATEMATICA , II Vol. 8 No. 2 • Agos o 1996 U @ GE! B men e, la ca ego izacion de las espues as dadas a la cues iOn 1 ha quedado como sigue (Cuad o 1): A. Sc ecogen las espues as que dan una de iniciOn p ecisa de ED, bas an e iel a la de inicion expues a en clase: "Ecuacion en que apa ecen elacionadas una uncion .. R"- > R m y si s de i adas, de cualquie o den". B. Respues as que, siendo poco p ecisas o malmen e, con emplan al menos dos de las nociones undamen ales que in e ienen en la de inicion de ED an es especi icadas. C. Respues as en que apa ecen iden i icados los e minos " uncion" y "ecuacion" aunque no necesa iamen e e lejando iden icas nociones. D. Respues as en Las que no apa ecen con empladas ninguna de las nociones undamen- ales de la de inici6n de ED o bien las palab as u ilizadas no pa ecen do adas de signi icado cohe en e con el concep o de ED. E. Fo man es e g upo las espues as no con es adas aunque si hayan sido espondidas Las cues iones 2 y 3. CATEGORIA CARACTERISTICA N° EJEMPLOS A De inici6n p ecisa de ED, bas an e iel a la expues a en dase. 11 "Una ED es una e ool& uncional en e una unciOn incogni a ( (x), sus de i adas y la a iable independien e, x. Es deci , una °cun & donde la inc6gni a es una und& quo apa ece en o ma de de i adas y cuya soluciOn se a la und& que al de i a la an as eces como sea necesa io y al sus i ui la en la ecuaciOn de luga a una iden idad". B De inickm o malmen e poco p edsa pe o que con empla al menos dos de las nociones undamen ales del concep o de ED. 46 "EcuaciOn en la que apa ecen elacionadas la und& a de e mine , po ejemplo y, con sus de i adas y, y", e c." C Apa ecen iden i icados los e' ninos " unci6n" y "ecuaciOn" aunque no e lejen necesa iamen e igual nociOn. 12 "Es una unci6n del ipo F(x, y, y'  1) = 0" "Dada una ancie ?, de inimos ED a una wile de de i adas naimas (n = 0, 1, 2, ... n) pa e da una soluciOn gene al o pa icula de la unciOn." D No apa ecen con empladas ninguna de las nociones undamen ales de la de inicidn de ED, o u ilizan palab as no do adas de signi icado cohe en e con el concep o de ED. 12 "EcuaciOn que nos de ine los componen es de un g upo en O minos de sus de i adas pe o a es." "Una ED es aquella quo iene unas a iables dependien es y alms independien es."  . E No esponden a es a cues iOn pe o si a las denies. 16 Cuad o 1 Resul ados ela i os a la Cues ion 1. EDUCACION MATEMATICA U Vol. 8 - No. 2 • Agos o 1996 U ©  Pag. 95 II CATEGOR1A C ARACTER1STICAS N° EJEMPLOS Y OBSERVACIONES I Todos los ejemplos son EDO 15 (C.N. 1 ) 26 (S.N. 2 ) Apa ecen ejemplos gene icos comb "y a(x)y = (x)." Algunos dan odos los ejemplos de EDL. II Incluyen EDDP y/o SEDL 3 (C.N.) 3 (S.19.) „ • az  , a1 2 Ty , + 1 &z,, –7 3,2 1 SEDL comple o, x e y son unciones de &ay.= ` = 7x –y+ y = –3y III Mues an di icul ad con la no acion 15 No odos los ejemplos son inco ec os. Apa ecen con ecuencia exp esiones del a Y  ex ipo: "xDx + yDy = c e."  "+ — = 0• xy  y IV Dan nomb e inco ec o en elacion al ejemplo p opo cionado 10 "EDDP xzy' + 2xzy + ay = 0" "y – 3)" + y' – 2y = 0 ED de p ime o den de quin ° g ado." VDan nomb e sin apo a ejemplo conc e o 16 (Solo EDO) 5 (EDDP ylo SEDL) P edominan los ejemplos de EDH, EDL y EDVS. Algunos inco ec os son: "ED Con inua", "ED dependien es de pa ame os". VI Apo an, en e o os, ejemplos de aplicaciones de las ED 3 dx = = — dy ' , (11 = elocidad). "EcuaciOn de Cada". • VII No dan ejemplos 1 Iden i icados Con su Nomb e. 2  ' Sin nomb e que los iden i ique. Cuad o 2 Resul ados ela i os a la cues i6n 2. Un aspec o que nos pa eci6 de in e ds, conside ando el ma co concep ual p opo cionado po Vinne , ue analiza las elaciones en e las espues as dadas a la cues i6n I (de- inicion) con las espues as dadas a la cues i6n 2 (ejemplos). El Cuad o 3 ecoge la dis ibucien de las espues as en las ca ego izaciones an e io es. No obs an e, hemos conside ado opo uno des aca algunas obse aciones den o de cada clase pa a e leja mejo la g an a iedad y dispa idad de esul ados. Ca ego ia A B C D E To al I 8 22 A 1 6 41 II 1 3 2 6 III 7.1 4 3 15 IV 3 3 410 V 2 8 1 3 7 21 VI 2 1 3 VII 11 To al 11 46 12 12 16 97 Cuad o 3 Dis ibucion de esul ados en las dos ca ego izaciones. • Pag. 96 • DiucAcioN MATENAAMcA • Vol. 8 -. No. 2 • Agos o 1996 •  GE! • Desc ibimos a con inuacion algunos casos que nos ayudan a ca ac e iza la posible elacion en e las espues as dadas a la cues iOn 1 y los ejemplos apo ados en la cues iOn 2. G upo A: Los ejemplos que es os alumnos conside an con emplan odos los casos de la de iniciOn aunque hay que hace no a que p edominan los de ED Lineales (EDL) ( odos incluyen al menos una EDL). Des acan ambien los de ED de Va iables Sepa ables (EDVS). Solo un alumno ecoge en su de inicien la idea de ED en De i adas Pa ciales (EDDP), incluyendo una de es e ipo en e sus ejemplos jun o con a ios de EDO. G upo B: Hay alumnos que incluyen la nocion de EDDP con exp esiones como: * "Una ED es una ecuacion en la que apa ecen de i adas ( a nbidn pueden apa ece de i adas pa ciales) de la a iable dependien e espec o de la independien e'l * "Una ED es aquella donde jun o con las a iables (x,y,...) apa ecen sus de i adas (Dx, Dy,..) pa ciales. Ejs: xDx + yDy = 3; Dx/y + Dy/x c e." Obse emos que es os ejemplos pod ian ep esen a EDDP en caso de no a co ec- amen e Dx ala x y aplica lo a una und& de dos o was a iables, y andlogamen e pa a Dy. En caso de que po Dx se quie a ep esen a la di e encial de x, es as exp esiones son o malmen e inco ec as. O o da o a ene en cuen a es que de los 7 alumnos cuya de inicion con empla el e mini:, de EDDP, sOlo 2 clan un ejemplo co ec o de es a. Sie e alumnos dan ejemplos que no mues an cohe encia con la de iniciOn de ED, algunos de es os son: "... exp esion gue nos pe mi e elaciona una uncion con Si de i ada Ej. y" + 2xy' + y' = 2. 0 bien de ini EDL y pone como ejemplo: "(x 2 + y 2 )dx-(x/y)dy = 0." En odas Las espues as an e io es se puede conside a que los alumnos ponen ejemplos que gua dan bas an e elaci6n con las de iniciones que han conside ado en la cues iOn p ime a. La mayo ia de los ejemplos que dan los alumnos (66,7%) que con o - man es e g upo es an con emplados en la de inici6n de ED, aunque, al igual que en el g upo A, son muy ecuen es Los ejemplos de EDL. G upo C: Las espues as ansc i as a con inuacien mues an cam° la con usi6n en e " uncion" y "ecuaciOn" es was e minolegica que concep ual. En la mayo ia se obse a un "cambio de nomb es" simplemen e: a EDUCACION MATEMATICA II Vol. 8 - No. 2 • Agos o 1996 • .  GE.I • Ng. 97 El * "Es una uncion R" - > R que con iene una a iable independien e x, y una a iable dependien e y = y(x) y sus de i adas, F(x,y,y',  y n. ) = ED." * - Una ED es una uncion de al menos dos a iables (x,y) y donde pueden apa ece las n p ime as de i adas de una de ellas con espec o a la o a." En o os casos se a ibuyen al concep o de unciOn ca ac e is icas p opias del concep o de ecuaci6n o ice e sa, po ejemplo "soluciOn y esolucion" pa a el concep o de unciOn en: * "Dada una uncion, de inimos ED a una se ie de de i adas n-aimas (n = 0,1, 2,..., n) pa a da una solucion gene al o pa icula de la uncion." En cuan o a los ejemplos de la cues ion 2, enemos que deci que es di icil e la cohe encia con las de miciones, pues dan ED co ec as que no se co esponde ian con aquellas. La mayo ia son EDO, con especial p edominio de las EDL y alguna EDDP pe o no co ec a o malmen e. G upo D: A endiendo a los esul ados de la segunda cues ion, .podemos deci que, apa ezcan iden i icados co ec amen e o no, odos son ejemplos de ED, po lo an o no pueden se cohe en es con la de iniciOn de la cues iOn 1. Ademas, hay que esal a una ez mas la apa iciOn epe ida de de e minados ipos de ED: EDO con p edominio de EDL. G upo E: Ninguno de los 16 alumnos incluidos en es e g upo de ine ED pe o odos dan ejemplos, especialmen e de EDL, EDH, EDVS, y EDO de p ime o den en gene al. Cabe des aca algunos eao es en la e m inologia y no acion como los que p esen a- mos a con inuaci6n: * "ED dependien es de pa ame os. " (encon ado en 2 p uebas) *"ED de a iables in eg ables M(x)ci + N(y)dy = 0" * " x' y = x" y" + x"y" Es gene alizado, a la Liz de los esul ados ecogidos an o en el g upo C como en el D, el hecho de que los alumnos no hayan de inido co ec amen e ED pe o si han sido capaces de iden i ica algunos casos conc e os median e ejemplos. (La mayo ia p esen an al menos 3 ejemplos). 3.2 Resul ados ela i os a la cues iOn 3 Las dis in as azones que han a gumen ado pa a esponde a la e ce a cues ion han sido muy a iadas y, po an o, di iciles de ca ego iza . No obs an e, hemos dis inguido a ios ipos de espues as den o de las a i ma i as (67) y de las nega i as (7). • pag, 98 • EDUCACION MATE? IATICA E Vol. 8 - No. 2 • Agos o 1996 • © GE II o i n • n •••°°°. nn • De los alumnos que han espondido a alguna de las cues iones, 10 han dejado en blanco la e ce a. Resumimos a con inuacian es a ag upacien ilus andola con algunos ejemplos li e ales: SI, PORQUE 1. "...ocu e como en los p oblemas de desin eg acion.,." 'es un p oblema isico." T ece alumnos han dado a gumen os de es e ipo, compa ando el p oblema con uno de Los modelos abajados en el aula, el de la desin eg aci6n de la ma e ia adiac i a. 2. "...con los da os del eje cicio podeinos cons ui una ED donde la de i ada de con espec o al iempo es la incogni a..." T ece alumnos dan como azon p incipal el hecho de con a con da os su icien es pa a da una ED, al como mues a el ejemplo an e io . 3. "...La ED pod ia se ... S' ( ) = c eS( ). (S( ) es la supe icie de la bola de na igli- na)." Da la ED que esol e ia el p oblema, aunque no se Les pedia, ha sido el a gumen o p incipal de 13 alumnos, 3 de ellos incluso la esueL en con odo de alle. "...podemos sabe la elacion exis en e en e e apo acion  supe icie 1..], adio y iempo." Doce alumnos han azonado su espues a median e la exis encia de elaciones en e las dis in as a iables que apa ecen en el enomeno, aunque no en odos los casos las es able- cen especi icamen e median e de i aciOn. 5. "Si o iginahnen e es = 1/4 y pasa en un mes a = 1/8, disminuye a la mi ady asi disminuye p opo cional a es e, emos que a los dos meses = 1/16 hab ia disminuido a es e alo .., a los 3, a 1/32 y a los 4, 1/64, ya de po si se ia un alo muy pequeho." T es alumnos han azonado de es e modo, en endiendo de mane a e onea la p opo cio- nalidad de la disminuci6n del adio. 6. Po Ul imo, hay que conside a a los 15 alumnos que, o bien esponden a i ma i a- men e sin azona su "Si", o bien su espues a es una soluciOn b e e del eje cicio, aunque no se les p egun aba. NO, PORQUE 1. " si lo hacemos po ED nunca se e mina ia la bola."