La resolución de problemas en la enseñanza de las matemáticas para la economía y la empresa

See discussions, s a s, and au ho p o iles o his publica ion a : h ps://www. esea chga e.ne /publica ion/26440787 La esolución de p oblemas en la enseñanza de las ma emá icas pa a la Economía y la Emp esa A icle · Janua y 2002 Sou ce: DOAJ CITATION 1 READS 448 4 au ho s, including: Some o he au ho s o his publica ion a e also wo king on hese ela ed p ojec s: Teaching and Lea ning in Ma hs Class ooms. Highe Educa ion View p ojec TIC en la clase de Ma ema icas pa a la Economia y la Emp esa View p ojec Dolo es Gómez Domínguez Uni e sidad de Se illa 11 PUBLICATIONS20 CITATIONS SEE PROFILE Inmaculada Mase o Mo eno Uni e sidad de Se illa 29 PUBLICATIONS14 CITATIONS SEE PROFILE Asunción Zapa a Reina Uni e sidad de Se illa 29 PUBLICATIONS42 CITATIONS SEE PROFILE All con en ollowing his page was uploaded by Inmaculada Mase o Mo eno on 04 Ma ch 2016. The use has eques ed enhancemen o he downloaded ile. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y LA EMPRESA. Fe nández Geniz, Pa ocinio Gómez Domínguez, Dolo es Mase o Mo eno, Inmaculada Zapa a Reina, Asunción Facul ad de Ciencias Económicas y Emp esa iales Depa amen o de Economía Aplicada III A da. Ramón y Cajal, nº 1 41018- SEVILLA T no: 954551673- 954557556 Fax: 954551667 e-mail: [email p o ec ed], [email p o ec ed] [email p o ec ed], [email p o ec ed] Resumen La esolución de p oblemas sigue jugando un papel undamen al pa a el desa ollo de la p ác ica docen e en la enseñanza de las Ma emá icas en la Uni e sidad. En es e abajo, que emos pone de mani ies o que la esolución de p oblemas iene una g an impo ancia a la ho a de mos a a los alumnos que cu san es udios de ipo económico-emp esa ial, que las Ma emá icas son una he amien a necesa ia pa a abo da mul i ud de si uaciones eales de índole económica. Además, que emos incidi en la ele ancia que iene pa a esol e con éxi o los p oblemas, el mos a al alumno las dis in as ases de la esolución de los mismos. Pa a ello p oponemos algunos ejemplos, pun ualizando en aquellos aspec os en los que se debe incidi pa a que el alumno pueda ap ende a desa olla las dis in as es a egias a u iliza en el desa ollo de un p oblema. Palab as cla e: esolución de p oblemas, ases de la esolución de p oblemas, ma emá icas, Economía y Emp esa. 1. In oducción. An es de la década de los 70 la esolución de p oblemas ha ecibido, sólo de o ma ocasional, a ención po pa e de los educado es y psicólogos que in es igan sob e emas educa i os. Sin emba go, a pa i de es a década, con el nacimien o del en oque de p ocesamien o de in o mación, cob a g an ele ancia el es udio sob e los p ocesos de pensamien o y la esolución de p oblemas. Aunque la esolución de p oblemas es á elacionada con di e sas á eas, nos cen a emos en aspec os especí icos ela i os a la esolución de p oblemas en ma emá icas y, en pa icula , en las Ma emá icas pa a la Economía y la Emp esa. En las asigna u as de Ma emá icas pa a la Economía y la Emp esa, los eje cicios p ác icos son indispensables pa a aplica , analiza , sin e iza , e alua y asimila la mayo ía de los concep os. Los concep os ma emá icos no quedan debidamen e consolidados has a que el alumno, as habe es udiado y asimilado su con enido, es capaz de se i se de ellos pa a esol e adecuadamen e si uaciones en las que sean aplicables. Con es a in ención, se p oponen al alumno p oblemas de ipo económico- emp esa ial, donde se ponen de mani ies o el uso de écnicas ma emá icas en su esolución. Teniendo en cuen a el papel que la esolución de p oblemas juega, a nues o juicio, en la docencia de nues a disciplina, y las di icul ades que, pa a los alumnos, iene el en en a se a las dis in as ases que conlle a es a écnica, exponemos en es e abajo las p incipales ca encias que obse amos, po lo que el abajo queda es uc u ado como sigue. En el segundo apa ado, conside amos la de inición de p oblema, con especial e e encia a los p oblemas de ipo cuan i a i o. A con inuación, abo damos las ases de la esolución de p oblemas, conside ando algunos casos conc e os, y inalizamos con el apa ado cua o, comen ando las conclusiones que se ex aen de es e abajo. 2. De inición de p oblema. La de inición de p oblema en aña algo de subje i idad. Si se epasan dis in os abajos de psicología, ísica, química ... o didác ica de las ma emá icas, encon a íamos de iniciones de p oblemas cada una con su ma iz subje i o. Pa a Newell y Simon (1972), un p oblema es una si uación en la que un indi iduo desea hace algo pa a alcanza una me a, pe o desconoce la acción que debe á lle a a cabo pa a log a la. Según Chi y Glase (1983)1 un p oblema es una si uación en la cual el indi iduo ac úa pa a alcanza una me a u ilizando pa a ello una es a egia en pa icula . En la p ime a de inición el indi iduo desconoce el cu so de la acción, en la segunda dispone de una es a egia. En ambos casos el indi iduo pa e de una si uación inicial y quie e log a una me a, el p oblema es p ecisamen e cómo log a lo, es deci , lo que ans o ma el es ado inicial en me a. De aquí el ca ác e subje i o, ya que lo que pa a algunos es p oblema pa a o os no. La siguien e de inición pod ía encuad a se en e las de iniciones de p oblemas de ca ác e cuan i a i o: "una si uación que implica un obje i o o p opósi o que hay que consegui , hay obs áculos pa a alcanza ese p opósi o, y equie e delibe ación, ya que quien lo a on a no conoce ningún algo i mo pa a esol e lo. La si uación es habi ualmen e cuan i a i a o equie e écnicas ma emá icas pa a su esolución, y debe se acep ado como p oblema po alguien an es de que pueda se llamado p oblema" Nos cen amos, a con inuación, en el concep o de p oblema a a és de la de inición de sus componen es o ca ac e ís icas: las me as, los da os, las es icciones y las es a egias. • Las me as son los obje i os que se desean alcanza . Un p oblema puede ene una o a ias me as, que pueden es a bien de inidas o no. En gene al, en los p oblemas de Ma emá icas pa a la Economía y la Emp esa las me as suelen es a bien de inidas, aunque puede no ocu i así con los p oblemas de la ealidad co idiana. • Los da os son la in o mación numé ica o e bal que p opo ciona el p oblema, implíci a o explíci a. Al igual que ocu e con las me as pueden es a bien o mal de inidos. • Las es icciones son los elemen os que nos limi an el camino pa a alcanza la solución. Al igual que ocu e con me as y da os, pueden es a bien o mal de inidos y se implíci as o explíci as. • Po úl imo, las es a egias son los mé odos u ope aciones a ealiza pa a alcanza las me as. Cons i uyen en de ini i a el p ocedimien o de esolución del p oblema. Es as es a egias cons i uyen el obje o de nues a enseñanza en Ma emá icas pa a la Economía y la Emp esa. Conside amos el siguien e p oblema, p oblema I (si uado en el ema de unciones homogéneas), e iden i icamos sus componen es, eniendo en cuen a que, en es e caso, la esolución del mismo se u iliza como jus i icación y/o aplicación de los concep os ap endidos en el ema. Los componen es de es e p oblema son: - Me a: cuan i ica la a iación de la p oducción a pa i de un ni el dado an e a iaciones de igual cuan ía en ambos ac o es p oduc i os. - Da os: la unción de p oducción: F(x, y)= 10x0.6y0.3, el ni el inicial de p oducción: 10.000, y la a iación ela i a que se p oduce en ambos ac o es: 15% y la mi ad. - Res icciones: No hay. COMPONENTES DE UN PROBLEMA ESTRATEGIAS RESTRICCIONES METAS DATOS P oblema I: La unción de p oducción de una emp esa que ab ica un de e minado bien iene dada po : F(x,y)= 10x0.6y0.3 donde x e y ep esen an las can idades u ilizadas de dos ac o es p oduc i os. Una de e minada combinación de ambos ac o es, (x0, y0) pe mi e p oduci 10.000 unidades del bien. ¿Cuál es el inc emen o que se p oduce en el ni el de p oducción, a pa i del ni el inicial, si ambos ac o es p oduc i os se inc emen an en un 15%? ¿Qué ocu e si la can idad de ambos ac o es se educe a la mi ad? - Es a egias: écnica ma emá ica conc e a a aplica en es e caso. Se u iliza á la de inición de unción homogénea pa a comp oba si és a lo es, y cuál es el g ado de homogeneidad. Uno de los p incipales incon enien es pa a los alumnos es la di icul ad que encuen an pa a iden i ica los componen es del p oblema, undamen almen e, las me as que se p e enden alcanza . Pa a acili a la iden i icación de los mismos, es aconsejable segui las dis in as ases de esolución de un p oblema. 3. Resolución de p oblemas. Fases. La esolución de p oblemas se ca ac e iza po se un p ocedimien o didác ico que pe mi e no sólo el ap endizaje de hechos y écnicas, sino, al mismo iempo, de es uc u as concep uales y es a egias gene ales. Así, según Dijks a (1991), la esolución de p oblemas es un p oceso cogni i o que in oluc a conocimien o almacenado en la memo ia a co o y a la go plazo. Resol e un p oblema conlle a la ealización de a eas que suponen p ocesos de azonamien o más o menos complejos, y no solamen e una ac i idad asocia i a y u ina ia. Di e enciamos, po an o, en e ejemplos-eje cicios y p oblemas en una clase de ma emá icas en el ámbi o uni e si a io. Los p ime os se educen a la ejecución, es deci , a la aplicación di ec a de las écnicas ap endidas, o lo que es lo mismo, la ealización de eje cicios u ina ios, que no p e enden se más que eje cicios de econocimien o y que se conside an necesa ios pa a el ap endizaje. Sin emba go, si dedicamos odo nues o iempo al simple eje cicio de ope aciones u ina ias, es amos desap o echando la opo unidad de despe a en el alumno in e és y, de es a o ma, omen a su desa ollo in elec ual. Po el con a io, el plan eamien o de p oblemas adecuados a los conocimien os de los alumnos y el es ímulo a su esolución median e in e pelaciones, ep esen an una buena opo unidad pa a que las ma emá icas adquie an sen ido pa a el alumno, sob e odo, como he amien a en su u u o p o esional. Dada una si uación que iden i icamos como p oblema, la a ea siguien e se ía es ablece cómo ca ac e iza la pa a a on a su esolución. Sin emba go, es llama i a la di icul ad que supone pa a muchos alumnos en en a se a un p oblema cuando su enunciado ep esen a una si uación de ipo económico-emp esa ial. Es os alumnos no siguen los pasos o e apas que exige la esolución de p oblemas y que exponemos a con inuación2: • Familia ización. • Búsqueda de es a egias. • Desa ollo de la es a egia . • Re isión.3 Ob iamen e, es as ases no es án pe ec amen e delimi adas, sino que se p esen an solapamien os en e ellas. Además, c eemos en la idea de que el camino de la esolución de un p oblema se hace en zig-zag en e las ases4. Cuando se obse a la mecánica de esolución de p oblemas po pa e de los alumnos se desp ende que és os, en gene al, no saben cómo plan ea el p oblema que se les p esen a, es deci , no saben o mula el enunciado económico en é minos ma emá icos. Pe o, es llama i o que, a pesa de los impo an es allos come idos en la o mulación ma emá ica del p oblema, ienen cla a la es a egia ma emá ica a emplea pa a la esolución. Es más, algunos llegan a “in en a se” un plan eamien o ma emá ico pa a pode esol e el p oblema, ya que ienen cla o lo que se debe aplica . Cuando los alumnos consul an la co ección de p oblemas y obse an los allos come idos, que no malmen e suelen apa ece en el plan eamien o en é minos ma emá icos, alegan que lo e dade amen e impo an e es el desa ollo de la es a egia ma emá ica y no el plan eamien o. Con es o nos emos obligados a mos a les que algunos e o es en los plan eamien os pueden ans o ma el p oblema en o o comple amen e di e en e. Además, es ecuen e que, una ez esuel o el p oblema ma emá ico, no in e p e en económicamen e los esul ados ob enidos, azonando si és os ienen sen ido, es deci , ol idan que la solución del p oblema ma emá ico puede no ene sen ido pa a el p oblema económico que ep esen a. A con inuación, desc ibi emos los con enidos de las ases, que ilus a emos con el p oblema II (si uado en el ema de op imización). Nos de end emos en la p ime a y úl ima ases, po que la expe iencia nos mues a que son és as las que p esen an mayo di icul ad pa a los alumnos a la ho a de abo da la esolución de un p oblema, y po an o, son las ases sob e las que hay que incidi . P ime a ase: Familia ización con el p oblema. Supone un p ime ace camien o al p oblema que pe mi e comp ende la na u aleza del mismo ealizando una composición men al de la si uación, iden i icando sus condiciones y conclusiones. Se busca una ep esen ación p opia del p oblema, una o mulación que esul e amilia . En es a ase, se p oponen dis in os mé odos heu ís icos5 como: o ganiza la in o mación, ejempli ica , exp esa en o os é minos. Pa a el alumno debe queda cla o P oblema II: La emp esa Limpi a.S.A. se dedica a la come cialización de una de e minad a ma ca de de e gen e. El olumen de en as V se exp esa en unción del núme o de anuncios en p ensa, x, y del núme o de segundos de p opagand a en ele isión, y, a a és de la siguien e unción: V(x, y) = 12xy – 2x2 + 4y2 Un anuncio en p ensa iene un cos e de 100 eu os y un segundo en TV cues a 100 eu os. Si el p esupues o o al de publicidad asciende a 100.000 eu os, de e mina la p olí ica p ublici a ia ó p ima. de qué a a el p oblema, cuáles son los da os, qué pide el p oblema, si hace al a algún da o más, e c. Pa a o ganiza la in o mación que p opo ciona el p oblema es con enien e ealiza una segunda lec u a del enunciado, p es ando a ención a odos los de alles. Es impo an e incidi en es e pun o, ya que sólo con la lec u a sosegada y adecuada del enunciado se pueden ob ene los elemen os del p oblema. La expe iencia nos mues a que los alumnos esuel en mejo un p oblema cuando lo lee el p o eso (solucionado ), pe o ello puede in e p e a se como un e o pedagógico, pues o que es as acilidades epe cu en en un meno es ue zo po ap ende y, consecuen emen e, en un meno ap endizaje. Una ez ealizada la segunda lec u a, el p o eso puede empeza a ma ca el i mo en es a ase haciendo de e minadas p egun as, ins ando al alumno a ealiza las lec u as que sean necesa ias has a que se engan odas las espues as. Es as p egun as pueden se : • ¿Qué p egun a plan ea el p oblema?. De e mina la polí ica publici a ia óp ima. • ¿Qué signi ica es o, qué pide exac amen e? Dis ibui el p esupues o o al en e los anuncios en p ensa y los anuncios en TV, pa a ob ene el olumen máximo de en as. • ¿Cuales son los da os del p oblema? Como ayuda se puede indica al alumno que uel a a lee el enunciado, y aho a aya apun ando lo que c ea con enien e. - La unción del olumen de en as : V(x, y) = 12xy – 2x2 + 4y2 - El núme o de anuncios en p ensa : x - El núme o de segundos de p opaganda en TV : y - El p ecio del anuncio en p ensa : 100 eu os - El p ecio del segundo en TV : 100 eu os - P esupues o o al pa a publicidad : 100.000 eu os. En algunos casos, puede se ú il pa a algunos alumnos u iliza como apoyo algún ipo de esquema g á ico pa a isualiza la si uación. Es o le acili a á o ganiza , po un lado, las condiciones del p oblema (los da os conocidos) y po o o, lo que quie e consegui (la solución). • ¿Qué unción hay que maximiza ? V(x, y) = 12xy – 2x2 + 4y2 • ¿Cuáles son las a iables del p oblema? El núme o de anuncios en p ensa : x El núme o de segundos de p opaganda en TV : y • ¿Qué signi ica p esupues o o al pa a publicidad : 100.000 eu os? Que es e es el dine o que hay pa a epa i en e anuncios en p ensa y segundos en TV. • ¿Cuán o se gas a en anuncios en p ensa? 100x • ¿Cuán o se gas a en segundos en TV? 100y • ¿Exis e alguna es icción sob e las a iables x e y? Sabiendo el p ecio de cada uno, hay una limi ación de dine o pa a gas a , po lo an o: 100x+100y≤100000 • ¿Se puede o mula el p oblema ma emá icamen e? Sí. Max V(x,y) s.a. 100x+100y ≤100000 x≥0, y≥0 En ocasiones, con iene pone algún ejemplo numé ico de apoyo, con el in de cla i ica el enunciado, ya que examina un caso pa icula puede apo a luz en el es udio. Exp esa en o os é minos implica hace un es ue zo pa a o mula con o as palab as e in oduci la no ación adecuada. No malmen e, el alumno ya conoce la no ación ma emá ica adecuada pa a cada da o, lo que pe mi i á que sea más manejable la si uación, al simpli ica oda la in o mación disponible de o ma ab e iada y cla a. Hay que ene en cuen a que el lenguaje ma emá ico es una de las di icul ades a las que se en en a el alumno en la esolución de p oblemas. Se ía de g an ayuda pa a asegu a la comp ensión que el alumno uese capaz de explica a o os compañe os el enunciado. Debido a que es a ase es muy impo an e, ya que si e pa a ob ene in o mación a a és de la lec u a del p oblema, se debe hace hincapié en la segunda lec u a de enida del enunciado, du an e la cual se pueden i esc ibiendo los da os e i discu iendo las palab as y ases que no en iendan los alumnos. Segunda ase: Búsqueda de es a egias. La in ención en es a ase es ob ene la in o mación con is as a idea una es a egia que esuel a el p oblema, pe mi iendo ob ene una solución azonable. Es deci , busca y selecciona un plan o es a egia de esolución. Pa a lle a a cabo es a ase, las suge encias son: • simpli ica (sin pe de gene alidad), • es ima la solución, • de ec a egula idades pa a gene aliza , • an ea alea o ia o sis emá icamen e, • conside a p oblemas equi alen es: implica e o mula el p oblema, cambiando de no ación o de pe spec i a, eemplaza condiciones po o as equi alen es, combina los elemen os de dis in as o mas e in oduci elemen os auxilia es, • azona po con adicción buscando con aejemplos, asumi la solución, pa i de lo que se sabe, plani ica je á quicamen e la solución eligiendo subme as, descompone el p oblema abajando caso a caso, explo a p oblemas simila es, • conje u a , es deci , hace una suposición eniendo en cuen a los da os, los indicios o la solución del p oblema. Los alumnos suelen idea una es a egia con cla idad debido a que, no malmen e, ienen cla os los desa ollos ma emá icos que deben aplica . A es o ayuda el abajo ealizado con an e io idad con los ejemplos-eje cicios, en los que se aplican di ec amen e las écnicas ma emá icas. Te ce a ase: Desa ollo de la es a egia. Consis e en el desa ollo del plan de abajo ideado en la ase an e io . En es a ase, con iene egis a odos los cálculos ealizados pa a pode e isa los con pos e io idad, señalando los log os in e medios. Es impo an e ac ua con o den, igo y p ecisión, al igual que explica el es ado en que se encuen a la ejecución. Como hemos comen ado, el desa ollo de ejemplos-eje cicios hace que es a ase no p esen e, en gene al, ninguna di icul ad pa a los alumnos. Cua a ase: Comp obación. Consis e en la e i icación, e isión, e aluación o con ol de odo el p oceso, comp obando si la solución iene sen ido o es co ec a, si el azonamien o seguido es co ec o y e aluando las consecuencias de la elección de una de e minada es a egia. En el p oblema que se ha plan eado la solución al p oblema ma emá ico es: pa a x=200 e y=800 la unción alcanza un máximo suje a a las es icciones. El p o eso p opicia la in e p e ación económica de los esul ados con algunas p egun as: • ¿Qué signi ica x=200? Que se con a an 200 anuncios en p ensa. • ¿Qué signi ica y = 800? Que se con a an 800 segundos en TV. • ¿Cuan o es V(200,800)? V(200,800) = 4.400.000 • ¿Cómo se puede in e p e a es e olumen de en as con espec o a los anuncios y segundos? El olumen máximo de en as pa a una es icción p esupues a ia en p opaganda de 100.000 eu os es de 4.400.000 unidades, que se ob iene con 200 anuncios en p ensa y 800 segundos en TV. Es muy impo an e con a con p oblemas abie os que pe mi an plan ea cues iones sob e el mismo al cambia da os, e in oduci e lexiones sob e la solución y las conclusiones que se pod ían deduci si és a ue a di e en e. En odo el desa ollo de la esolución es undamen al que el p o eso mues e algunos p ocedimien os que son impo an es pa a inaliza cada ase con éxi o y que en cada e apa ac úe con un iple papel: • como agen e ex e no, di igiendo discusiones en clase, • como cues ionado del conocimien o del alumno, plan eando a eas pa a que analicen su ac uación y ayudando a cons ui heu ís icos, • como modelo, esol iendo los p oblemas. De es e modo, el p oceso de esolución de p oblemas debe se guiado po el p o eso , con el in de que sea adqui ido po el alumno como pa e de su bagaje