Factores dinámicos de intensidad de tensión en modo mixto

• Como consecuencia inmediata de la propiedad anterior, la superficie exterior del volumen es tangente a la malla de control en las 8 esquinas Pooo, Pmoo , Pono , Pmno , Pooq, Pmoq , Ponq , Pmnq · • El volumen está contenida en el convex hui/ de la malla de control. • El volumen puede subdividirse en las direcciones t,v,s. • Un resultado similar es válido para el proceso de elevación de grado, que puede realizarse en la dirección t (m~k m) ,v (n~n+l), s (q~q+l). Ejemplos En la Fig. 4.1 se aprecia la estructura interior de dos volumenes cilíndricos, con sus correspondientes mallas de puntos de control. Se han representado las capas correspondientes a las fronteras del volumen s=O, s=l y 2 capas intermedias s=l/3, s=2/3. Los dos volúmenes se diferencian en la posición del punto interno de control marcado en negro. Estos puntos interiores permiten modificar la distribución de las distintas láminas de material. Fig. 4.1 Sólidos cilíndricos con parametrización interna (m ,n,q) = (2,2,2) 112 5. CONCLUS:.~. Las superficies univaluadas constituyen una alternativa para la modelización de sólidos de libre diseño. La definición de superficies cilíndricas univaluadas se realiza fácilmente a partir de una malla de puntos de control mediante producto tensorial. Dichas superficies verifican propiedades interesantes d~sde el y~nto de vista de _diseño, y pueden unirse entre si ~specificando las condiciones de continuidad en la unión. El modelo matemático resultante se extiende de manera ~nmediata a la definición de sólidos con parametrización interna. 6. REFERENCIAS Brunet, P. ai:id Ayala, D. (1987), Extended octtree represen~auon ?f free forn, :m,iaces, Computer Aided Geometrzc Des1gn 4, 141-154, North Holland. Casale, 1\1· an~ Stanton, E.D. (1985), An overview of Analruc_Sohd Modelling, IEEE Computer Graphics & Appllcat1ons 5, No. 2, 45-56. Cas~le, M. (1987), Free-form Solid Modeling with tnmr:ied.surface patches, IEEE Compute, Graphics & App/1cations 7, No. 1, 33-43. Farin, G. (1?88) c;urves and Surfaces Jor Compute, Aided Geometnc Des1gn. Academic Press Inc. San Diego. Goldman! R.N. (1987), The Role of Surfaces in Solid Modelmg. Geometric Modeling: Algorithms and new trends., Ed. by G. Farin. Society for Industrial and Applied Mathematics. Lasser, D. (1985), Be~nstein-Bézier representation of volumes, Compute, Aided Geometric Design 2, 145-149. Miller, R. (1986), Sculptured Surfaces in Solid Models· Issues. and Alternative Approaches, IEEE Compute; Graph1cs & Applications 6, No. 12, 37-48. Piegl: ~- (1986), A Geometric Investigation of the Rational Bez1er Scheme of Computer Aided Design, Computers in Industry 7, 401-410. Sánchez-Reyes, J. _(1987) Diseño geométrico asistido por ord~nador mediante superficies definidas a partir de vanedades. Anales de Ingeniería Mecánica Año 5 no I pp 195-200. . ' ' Sánchez-Reyes, J. ~1988) Diseño geométrico asistido por ordenador mediante superficies univaluadas. Tesis Doctoral. ETSEIB, Universidad Politécnica de Cataluña. Sánchez~Reyes, J. (1989), Single-valued curves in polar coordmates, Computer-Aided Design.,Vol 21 No 10. Sederberg, T.W. (198~). Piecewise algebraic surface patches, Compute, A1ded Geometric Design 2 53-59 North Holland. ' ' Várady, 1:· ~~d Pratt, r:,,t .J. ~1984). Design techniques for the defm1t10~ of sohd obJects with free-form geometry Compute, A1ded Geometric Design 1 207-255 North Holland. ' • Anales de Ingeniería Mecánica Ano 7 ,Vol. 3, pp. 113-117 VIII CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA Barcelona, diciembre de 1989 lACTOIIS DIDJIICOS DE IITUSIDD DE TDSIO• D IIODO 11Irl'O Gallego Sevilla, Rafael, Do•inguez Abasoal, José Dpto. d• rsto{nioa d• &dios Continuos, T.oria d• Estructuras• Irigwni•ri• d•l T•rreo E.so'llltl& Técnica Superior d• Ingitni•ros IJw:lustriales d• S.•illa lYd&. biM IStrOMH s/n. 41012 SETILL.\ Resuaen. - En el este trabajo se utiliza la formulación dinámica en el dominio del tiempo del Método de los Elementos de Contorno, junto a elementos singulare~ a un cuarto que representa el comportamiento de las tensiones y desplazamientos cerca del vértice de la grieta. Se presentan graficas de los factores de intensidad de tensión dinámicos, frente al tiempo, calculados directamente a partir del valor nodal de la tensión en el vértice. Los resultados se comparan con los obtenidos por otros autores, con otros proced1m1entos. Las diferencias son pequeñas, con la ventaja de que los resultados del método presentado aquí muestran menor dependencia frente a las d1scret1zac1ones en tiempo y espacio . Abstraot. - The _ time _domain dynamic formulation of the Boundary Element Method 1s used 1n comb1nat1on with quadratic spatial discretization and with singular quarter-point elements that represent the behavior of stresses and displacemen_t near the crack tip. Transient dynamic stres intensity factors, computed . directly from the traction nodal values at the tip, are plotted versus time for two cracked plates . The obtained results are compared with those dueto other authors computed by different procedures. The results are shown v_ery . accurate and present little dependenoy on the space and time d1scret1zat1on . l. IlfTRODUCCIOII El cálculo de Factores de Intensidad de Tensión (FIT) dinamices es un apartado muy importante en la mecánica de la fractura y ha sido abordado por un cierto número de autores en los últimos años. El Método de los Elementos de Contorno (M.E.C.) es muy adecuado para este tipo de problemas y fue usado por Blandford et al. [l], en combinación con elementos singulares a un cuarto (SOP), que incluyen la singularidad r-1/2 de las tensiones, para calcular el FIT estático a partir de los desplazamientos de apertura de la grieta (COD). Martinez y Dominguez usaron el mismo elemento de contorno singular y mostraron que el valor nodal de la tensión en el vértice de la grieta daba resultados muy precisos y menos sensibles a la discretización. El mismo procedimiento usaron Dominguez y Chirino [2, 3] para calcular el FIT dinámico en el dominio de la frecuencia En la comuni caci ón pre se nte se usa la formula c ión del ME C en el dominio d el t 1 emp o en co mb ina c1on con aproxi ma ci ones 113 cuadráticas de la variación espacial de las tensiones y desplazamientos en los elementos del contorno . Se utilizan elementos SOP para modelar las tensiones y deslazamientos cerca de los vértices de las grietas. Los FIT calculados en este trabajo se comparan con los obtenidos por otros ' autores usando procedimientos distintos. Los resultados obtenidos son muy precisos, no presentan oscilaciones en el tiempo, y muestran muy poca dependencia de la discretización en el espacio y el tiempo. 2.EL K.E.C. EN EL DOKINIO DEL TIEKPO Se ha adoptado una discretizacion en el tiempo lineal a trozos para los desplazamientos y constante a trozos para las tensiones . Las variables en el con tor no pu eden aproximarse como · ¿ ¿ q,q (r) Tlm (l) uf q m ¿ L fq (r) µ.m (l) pf q m donde "q" indica el nodo del contorno y "m" el paso de tiempo, q,q y ,q son las funciones de interpolación en el espacio, y Tlm y µ.m son las funciones de interpolación en el tiempo. Una vez que integral has sido escribirse como : la representación discretizada puede donde umij y Tmij se obtienen por integración analitica a lo largo del tiempo de la solución fundamental multiplicada por la función de forma en el tiempo correspondiente [4] . Un dominio con una grieta se divide en dos subregiones mediante un contorno interno que deja un labio de la grieta en el contorno de cada subregión . Los dos elementos adyacentes a un vertice de una grieta son elementos SQP (Fig. 1). El FIT se calcula mediante las fórmulas : k -- K ¡ = p2 ./2nl k -- K rr = p1 ./2nl donde p\ y pk2 son los valores nodales de las tensiones en el nodo que se encuentra en el vértice de la grieta y en elemento que parte del mismo y se adentra en el interior del dominio. El j • t/4 t/1+ 1 t -1 9;.:;!>'' . k-;..------ )(-1 1( 11;.•t t • 1 • K+2. Figura 1. Elementos a un c uarto en el vért ice de la gr i eta 114 FIT puede también calcularse a partir del COD del nodo k-1 o de los nodos k-1 y k-2 ( Fig . 1) usando las mismas expresiones que en elastostática [1,2]. 3. LAIIIKA COK GRIETA CENTRADA La figura 2(a) muestra la geometria y condiciones de contorno de una lámina con una grieta central . La carga aplicada, varia en el tiempo como una función escalón o de Heaviside. Este problema lo resolvió Chen [5] mediante diferencias finitas mediante una malla muy fina de alrededor de 5000 puntos, y se usa frecuentemente su solución para validar las obtenidas por otros métodos. Las propiedades del material son: módulo de rigidez transversal~= 76923 GPa, módulo de Poisson V = O. 3, y densidad ~ = 5000 kq/m3 Debido a la simetría del problema, sólo se disoretizó un cuarto de la lámina, como se muestra en la figura 2(b) . Para dieoretizar la semi-grieta se usaron dos elementos de igual longitud (1/a 0.5), siendo el elemento más cercano al vértice singular a un cuarto . El paso de tiempo que se empleó, ót=32 ~s es tal que las ondas P, avanzan 2. 4 mm por intervalo. Este paso de tiempo se eligió en relación con el tamall.o de los elementos de la discretización espaoial. Puede encontrarse un análisis esta relaoión entre las discretizaciones espacial y temporal en la referencia [4] . En la figura 2 ( c) se muestra e 1 FIT del modo I. Kr, normalizado con Cí .j(Na), calculado directamente del valor de la ' tensión ' nodal en el vértice, frente al tiempo. La concordancia entre el resultado del MEC usando este procediemiento (Ktl y los obtenidos por Chen es muy buena . Las figuras 2(o) y 2(d) muestran el FIT calculado igual con discretización y dos puntos y un punto, respectivamente . El acuerdo con los resultados de Chen es también muy bueno . A fin de evaluar la sensibilidad a la dis c retiza c ion espacial de las diferentes aproximaci ó nes, la longitud L de los elementos adyacentes al vértice de la grieta se varió entre 0. 2·a hasta 0.9· a, mientras que el elemento próximo se vario, entre 0.8·a y 0.1 a . La figura 2 ( f) representa la raiz cuadrada de la integral de la diferencia al cuadrado, entre las curvas calculadas por cada uno de los tres pro c edimiento s explicados anteri ormente y la de Chen , dividida entre el tie mpo tota l cons ide ra do Es t e valo r se r epr ese nta fren te al c oci ente l la . Puede a pre c ia rs e de la gr af ica, que la ap roxi ma ción qu e usa el val or no dal de L 40mm t 1 a 1 • f a 1 1 o --o t --f -1 1 Ñn -j -o - N o - - 1 ..... +J~ - -~ ~ • 3.5 3.5 Trabajo presente Trabajo presente o 3.0 Solución de Chen o 3.0 --· · Solución de Chen Q Q a: 2.5 a: 2.5 N N H H _J 2.0 _J 2.0 0.5 a: a: ::r: ::r: 1.5 et'. 1.5 et'. o o z 1.0 z 1.0 10.5 10.5 H H , 0.0 , 0.0 u.. u.. -0.5 -0.5 0 2 4 6 e 10 12 14 0 2 4 6 e 10 12 14 [] TIEMPO (microseg. ) ~ TIEMPO (microseg. ) 3.5 Trabajo presente o 3.0 --·· Solución de Chen ..J Q a: a: 2.5 ·~ ir: .28 e, N w H ~ Kuls t_J 2.0 z Kul• a: \/a = 0.5 H ::r: o .15 et'. 1.5 u Ku2• H o tz 1.0 a: Kt ir: ~. A .18 a: 10.5 ::J u H ir: • 0.0 o .es u.. ·~ ir: 8.1 11.3 11.5 8.7 11. 9 ir: -0.5 w l/a 0 2 4 6 e 10 12 14 [I] ~ TIEMPO (microseg. ) Fiq 2. (a ) Láaina con grieta c entr al _ (ti ) Discretlza c ión. ( e) FIT calcul~do coi1 · el val or nod al de la t ens ión en el v érti ce : (d) FIT calculado con el cOD de dos p 1. m tos ; (e) FI T calc u la do con el C OD de 1. m punto ; ( f ) D if erenc i& cus.1 üé.tica rnte gr , ~l entre lo s r esulta dos ,i el m:c y los de C hen . 115 la tensión en el véiti.ce de la grieta para calcular el FIT (Kt). es la menos sensible a la discretización espacial y por tanto. a mas fiable para problemas donde la solución es desconocida . Como referencia para compararación, se incluyen en las figuras 3(a) y 3(b), los resultados obtenidos con elementos finitos, por Murti y Valliappan (6] para el mismo problema. utilizando una discretización similar sobre los contornos y los labios de la grieta, y utilizando también elementos a un cuarto. rodeando el vértice de la misma . La figura 3(b) corresponde al resultado obtenido utilizando una matriz de masa concentrada y la figura 3 (a) matriz de masa consistente. Los resultados de la figura 3, son probablemente los mejores mostrados por estos autores en la referencia [6] . Otras discretizaciones producen oscilaciones aún mayores de la solución . ... = .. -eo..-.-1- .. - .. -t'T"" ... - .. --'T""-tc- ....... --- .. le/• • 0,5 o . t ... N-t--.......,.-t ..... .--+----+----1 .. .. o.se o.n .. •SO .;:,-------------- "'-d ... 1/• • o.s Figura usando [7 J . 3 FIT el emen tos trans itor io cal culado finitos en refer en cia 116 4. LA1fINA CON GRIETA INCLI.ADA La lámina mostrada en la figura 4 (a) tiene una grieta inclinada 45.0 El <T H 1.6 w Trabajo presente o l. 4 Kfshi::- :; t~ et al. o Thau y Lu l: 1. 2 o o 1.0 ([ N 0.8 H _J ([ 0.6 l: (l'. o 0 . 4 z 0.2 t0.0 H ~-0.2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 ~0 TIEMPO (microseg. ) P""'1 H l. 2 w Trabajo presente o 1.0 Kishfmoto et al. o Thau y Lu l: o 0.8 o / ([ .-,·../\/ N 0.6 v· H T _J ([ 0.4 ,,1 l: (l'. o 0.2 z t0.0 H .-0. 2 ............................................................................... ..J.. ................... ........ LL 0 @] 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 TIEMPO (microseg.) Figura 4. (a ) Lámina con in clinada; (b) Dis cr e tiz ac ion; m odo - I, (d) FIT modo - II. gr ie ta (c) FIT dominio se divide en dos partes co mo muestr a la fig u ra 4(b) en la cual se representa también la discretización espacial que se usó. La carga es de nuevo una tracción uniforme aplicada como una función escalón . Las propiedades del materia 1 usadas para este problema son : módulo de rigidez tranversal µ. = 29. 4 GPa; módulo de Poisson v = O. 286; p = 24 50 kg/m3. El paso tiempo escogido fué de 3.5 µ.s . Los FIT del modo -1 y modo-II, se calcularon usando el valor nodal de la tracción en el vértice de la grieta. Las Figuras 4(o) y 4(d) muestran los dos FIT normalizados con O·l(na 0 ). Los resultados se comparan con los obtenidos por Kishimoto et al. (7]. usando elementos finitos. e integrales invariantes J. para calcular el FIT . También se representan los resultados anal1ticos obtenidos por Thau y Lu [8], los cuales son válidos sólamente en un corto periodo de tiempo. El acuerdo entre los resultados del MEC y los otros métodos puede considerarse muy bueno, más. teniendo en cuenta el poco refinamiento de la malla y la complejidad del problema. 5. AGR.lDECIDIEIITOS Lo s autores quieren expresar su gratitud a la Comisión Interministerial de Cienci a y Tecnologia por su Et .poyo finan c iero a este traba io a través del Proyecto de Investigacióñ re! PB86 -0139. 6. REFERElfCIAS (l] Blandford,G.E ., Ingraffea,A .R. y Liggett,J.A., (1981). "Twodimensional Stress Intensity Factor Computations Using the Boundary Element Method . " Int . J . Num. Meth . Eng ., Vol . 17, pp.387-404 . [2] Martinez, J . and Dominguez, J ., ( 1984), "On the Use of Quarter-point Boundary Elements for Stress Intensity Factor Computations. " Int. J. Num . Meth. Eng . Vo l. 20, pp. 1941-1950. (3] Dominguez, J . y Chirino, F. (1986), " B. E.M . for Dynamic Crack Problems in Two Dimen sions.. BETECH 86, J .J .Co nnor and C .A . Brebbia Ed ., Computational Mechanics Publications Southampton -Boston. [ 4 J Do mínguez J. and Gallego R. ( 1989), " On the Time Do ma i n Bou nd ar y Ele men t Me thod fo r E la sto dynam ic Pr oblems .. , 117 Computer & Mat~ematics wit Appl., en prensa (5] Chen, Y.M , (1975). "Numerical computation of Dynamic Stress Intensity Factor by Lagrangian Finite-difference Method. ", Eng . Fract . Mech ., Vol . 7, pp. 653-660 . [6)Murti. V, and Valliappan, S., (1986), "The Use of OUarter Point Element in Dynamic Crack Analysis ." Eng. Fract . Mech ., Vol. 23, pp . 585-614 . [7] Kishimoto,K., Aoki,S., y Sakata,M., ( 19 78), "Dynamic Stress Intensity Factors Using J-Integrasl and Finite Element Method", Eng. Fract. Mechanics. Vol.13. pp.387-394 [8] Thau,S .A., and Lu, T . H. , ( 19 71 ). "Transient Stress Intensity Factors for a Finite Crack in an Elastic Solid Caused by a Dilatational Wave . .. Int. J . Solids and Structures, Vol. 7, pp. 731750 .