Método para la determinación del tamaño del lote en artículos sujetos a órdenes conjuntas

MÉTODOS PARA LA DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DEL LOTE EN ARTÍCULOS SUJETOS A ÓRDENES CONJUNTAS LUÍS ONIEVA, JUAN LARRAÑETA UNIVERSIDAD DE SEVILLA En el presente trabajo se analizan las heurísticas propuestas para el problema de órdenes conjuntas con un planteamiento unificado, mostrando la inestabilidad de los resultados que de ellas se derivan. La relajación del problema tiene una sencilla solución que da lugar a una nueva regla heurística estable para la obtención de soluciones aproximadas, se incluye un análisis del error de la aproximación. Keywords: Ordenes conjuntas, tamaño del lote. L INTRODUCCION Cuando una orden de aprovisionamiento contempla la posibilidad de solicitar conjunta y simultáneamente lotes de varios artículos estamos en la situación de órdenes conjuntas. Otro contexto análogo es el de decidir el empaquetado de una línea de productos en distintos envases tras su producción conjunta. En ambos casos se valora la ventaja que supone incurrir sólo en una preparación de las operaciones para todo el conjunto de los productos, comparado con lo que supondría hacerlo por separado. Este problema ha sido extensamente tratado en la literatura por distintos investigadores (Shu /1/, Nocturne /2/, Goyal /3/ y /4/, Silver /5/, Goyal y Belton /6/). La política básica que se pretende obtener consiste en realizar un pedido conjunto en intervalos de tiempo iguales, decidiendo para cada uno de los productos con que periodicidad intervienen en el pedido conjunto, de forma que el coste total sea mínimo. En las condiciones deterministas supuestas, los lotes de los productos cubrirán exactamente la demanda durante un número entero de veces el intervalo básico entre órdenes: la periodicidad con la que aparecen en la orden multiplicado por el intervalo de ésta. El supuesto que se analiza corresponde al mismo en el que se desarrolla el lote económico, sin descuento, excepto la estructura de los costes de • Luís Onieva , Juan Larrañeta. Universidad de Sevilla. Dep. de Organización. Sevilla • Article rebut el mar¡; de 1987. 61 lanzamiento. Respetando, en lo posible, la notación empleada por Silver /5/, definimos: n R. h. 1 S S. 1 J k. 1 TE. 1 número de artfculos en el grupo. índice correspondiente a cada artículo (i= 1, 2, ... , n). tasa de demanda del artfculo i en unidades/año. coste de mantenimiento del artfculo i en pts./unid. año. coste de lanzamiento principal del grupo, en pts., en el que se incurre por el hecho de realizar un pedido, independientemente de qué artículos del grupo estén incluidos. coste de lanzamiento incremental en pts., que supone incluir el artículo i en el pedido del grupo. intervalo de tiempo, en años, entre pedidos del grupo (supuesto una variable continua). número entero que multiplica a t, indicando la duración del lote solicitado para el artículo i (Q. = k. t R.). 1 1 1 tiempo económico del artí~ulo i si se pide independientemente y si su coste de lanzamiento fuera únicamente s.: 1 Con los supuestos y la notación anterior, analizamos la política de realizar un pedido para el grupo cada t años, incluyéndose el artículo i cada k. pedidos. La cantidad solicitada de cada artículo i, cuando participa en el p~dido, es de k.tR., que cubre sus necesidades hasta el nuevo pedido en el que participe. Estd es una política de ciclo simple. Reduciéndonos a analizar estas políticas, los costes totales relevantes son: CTR(t,k., ) = (s + I s./k.). l + -2 t I k.h.R. 1 S i= 1 1 1 t i= 1 1 1 1 (1) representando el primer término los costes medios de lanzamiento y los de mantenimiento el segundo. Ambos están referidos a la variable de decisión continua t que refleja el intervalo entre pedidos, y a las multiplicidades k¡ (i= 1, 2, ... ,n) enteras. El problema que se plantea es el de seleccionar los valores de t y k. que minimizan los costes totales dentro de la clase de políticas cíclicas sim~ pies descritas. La formulación del problema es: 62 Min. CTR(t,k., ) 1 S s.a. k¡ enteros positivos; i=1, ... ,n ~ o (2) 2. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES La función CTR(t,k., ), que recoge los costes relevantes totales como función del intervalo t y1 fas multiplicidades k¡, es convexa en t y unimodal en cada una de las variables k .• 1 Manteniendo t constante, a partir de las relaciones: (3) para cada artículo j=l,2, ••• ,n se obtienen las condiciones locales de optimalidad, que expresan como los costes totales relevantes (CTR) se degradan al variar los valores óptimos enteros de kr Estas relaciones son equivalentes a: (4) Por otra parte, para un conjunto de valores particulares de las multiplicidades k., el intervalo T(k., ) que da lugar al coste mínimo se obtiene minimizando 1 ( 1) con respecto d 1. Dicho valor es: T(k., ) = (2(S + L s./k.) 1 L k.h.R.)~ 1 S . 1 1 . 1 1 1 (5) 1 1 con un coste total relevante: CTR(T(k., ),k., ) = (2(S +'s./k.) 1 S 1 S ~ 1 1 1 ' Lk.h.R.) 2 i 1 1 1 (6) que es solamente función de los valores kr Debido a la existencia de gran cantidad de mm1mos locales que satisfacen las relaciones (4), los métodos de búsqueda de dichos mínimos locales dependen fundamentalmente de la selección de un intervalo inicial de partida. Teniendo en cuenta el carácter poco sensible de la curva de costes, en tanto la selección del intervalo inicial sea relativamente acertada, es de esperar que el mínimo local obtenido dé lugar a una solución próxima al óptimo. Silver /5/, Goyal y Belton /6/ y Kaspi y Rosenblatt /8/ presentan heuristicas que consisten en relajaciones de las relaciones (4). La solución aproximada que se obtiene depende, como ya se ha comentado anteriormente, de la elección a priori del valor del intervalo t, diferenciándose esencialmente en ello. 3. ANALISIS DE REGLAS HEURISTICAS EXISTENTES Las condiciones de minimo local (4) son equivalentes a: 63 (7) siendo Jos valores kj enteros. Una relajación que parece inmediata es la de permitir valores contmuos para k. de la forma: J k. = TE ./t para cada t J J (8) de donde resulta que: (9) Fijando un articulo j como base y expresando los costes totales relevantes ( 1) en función del intervalo t y la multiplicidad del articulo j, se obtiene: CRT(t,k.) TEj (S+-- k. J s. I-~-¡ TE¡ 1 2 o lo que es lo mismo: 64 CTR(t,k.) J + TE. s.h.R. 1 k.t 1 ____l_ :¿ < _1_1_1 ¡ ~ + __j_ k j t i#j 2 1Ej ! (S+ s./k.) J J :¿ i;fj s.h.R. 1 (~)~1+ Si consideramos los dos términos entre llaves por separado: a) El primero alcanza su mínimo en: L (2 sl.hi.R.I} i;fj siempre que kit = TEj' que es precisamente la condición (8). (JO) b) El segundo alcanza su mínimo cuando se igualan Jos dos sumandos que contiene: Para que esta relación tenga sentido se requiere que la dere- cha de la igualdad no se anule. Es decir: k.t f. TE. J J Observamos así que la imposición de las condiciones (8) conducen a inestabilidad en el modelo (1 O) que representa los costes relevantes. Minimizando los costes del segundo término en llaves de la expresión (1 0), resulta: S + s./k. t2 2 k. h. R. (11) J J J que da lugar a un valor para ese término. De ( 11) se deducen las heurísticas de Sil ver (5) y de Goyal y Belton /6/, según la elección del articulo j y el valor que se le dé a k.: J Tomando el articulo j cuyo s./h.R. es mínimo, haciendo k.=l y empleando ( 11) se obtiene la hedrís'tita de Sil ver. J Seleccionando el articulo j cuyo (S + s.)/h.R. es mínimo, haciendo k.= 1 en ( 11) se obtiene la heurística de Goy\al1 y Belton. J Continuando con el análisis, estudiamos las repercusiones de esta clase de heurísticas sobre los costes. Aplicando las condiciones (8) a todos los artículos salvo el resulta: n 1 h 1 1 I (2 sihiR/ 1 + 1 ((S + s/ki)(kjhjRj)) 2 (sihiRt l i=l n 1 1 1 é¡ I (2 sihiRif + (2 htt 1 (k. S + s.)2 i=l J J J (12) eligiendo t de forma que satisfaga ( 11). El primer término de ( 12) es constante. El segundo es creciente en k .• Para k. fija, la expresión entre llaves es decreciente en s. y creciente h .R) J J J J 65 Por tanto, eligiendo artículos de pequeño s ./h .R. aumenta el valor de (12), disminuyendo para valores grandes de s/hjR/ J J Así, la elección de Silver /5/ no parece muy satisfactoria, pues s./h.R. pequeño corresponde a valores de s. relativamente reducidos en reladón 1 J h.R., con lo que el segundo término 1de (12) tiende a crecer. La elección de Goyal y Belton /6/ corresponde a valores reducidos de (S + s.) pero relativamente elevados de h.R .• J J J En conjunto, parece que fijar un artículo j como el único que participa del coste general de lanzamiento S, haciendo que los demás se rijan por su tiempo económico da lugar a situaciones inestables. 4. NUEVA REGLA HEURISTICA El problema original (2) se puede relajar parcialmente, permitiendo que los valores k¡ sean continuos, pero superiores a la unidad. Con ello, el problema es: M in. (S + (13) s.a. para i=1,2, ... ,n t ¡;: o Las condiciones de KuhnTucker implican la existencia de multiplicadores A¡ ;;: O; i=l,2, ... ,n tales que: 66 (S + L s./k.) f = ~ Lk.h.R. i 1 1 i 1 1 1 >... ¡;: o 1 i=1,2, ... ,n i=l,2, ... ,n De las condiciones anteriores ( 14), ( 15), ( 16) y ( 17) se deduce: (14) (15) (16) (17) a) Cuando k¡ > 1, la correspondiente A¡ es nula según (16), por lo que de (14) resulta: k. = TE./t. 1 1 b) Cuando k. 1 1 las condiciones ( 14) equivalen a: lo cual conduce a la interpretaci6n de \ según la figura 1. Coste TE i t S. /t l Tiempc Figura 1: Interpretación de A i' Consideremos los artículos ordenados de forma tal que si si/hiRi:i :;; s j /h j R j indica que los i :;; j. En este caso, existe un artículo m tal que para i ;:: m, k i = 1; mientras que para i > m, k¡ > l. Expresando Jos costes totales relevantes (1) en función de m, y utilizando las propiedades ante riores (a) y (b) resulta: m 1 t m n 1 CTR(t,m) (S+ ¿ s.)- +- ¿: h.R. + ¿ (2 sihiR/ (18) i=l 1 t 2 i=l 1 1 i=m+l El intervalo tH' dependiente de m, que minimiza esta expresión (18) es: (19) La determinación de m se basa en que A. > O siempre que t2 > TE7= 2s./h.R .• Por tanto, m es el último artículo pah el que se cumple: 1 1 1 1 m S + ¿ S. 1 S i=l 1: m (20) m h R ¿ h. R. m m i=l 1 1 67 con un coste total relevante: (21) ya que k¡ = 1 para i=1,2, ••• ,m; y k¡ = TE¡ft para i=m+1, ••• ,n. El objetivo del análisis es determinar los artículos que intervienen en cada pedido. Estos son los m primeros, una vez ordenados según sus tiempos económicos. El resto de los artículos se rige, en la aproximación continua, por su lote económico, no participando del coste de lanzamiento principal S. Los m primeros intervienen en cada orden, determinándose el tiempo económico del subgrupo según (19). En la figura 1 se observa que siempre que t sea superior al tiempo económico de un artículo, éste debe formar parte del subgrupo que lo define. Al estar ordenados los artículos según su tiempo económico TE., la relación (20) identifica el último de ellos para el que todavía TEm ;;¡ t. 1 Obsérvese que la regla propuesta corresponde a una solución del sistema de ecuaciones ( 14), ( 15), (16) y (17) por lo que el mínimo coste medio del problema relajado (21) es una acotación inferior del óptimo. Una cqta superior se obtiene sencillamente aplicando (8) para obtener el valor k. entero más próximo al valor k. continuo, para i=m+ 1, ... ,n; y sustituyéndÓlos en la expresión de los costes tÓtales relevantes (6). Así pues, la regla heurística de un sólo paso que se propone es la siguiente: l. Ordenar los artículos por su tiempo económico (TE¡) en orden creciente. 2. Calcular el índice m correspondiente al último artículo para el que se cumple la relación (20). 3. Calcular el interval~ básico de la heurística tH según ( 19). 4. Hacer k. = 1, para J=1,2, ••• ,m. 5. Para i=fu+ 1, ••• ,n; calcular k. según (4), o lo que es lo mismo, como el mayor entero tal que~ El coste generado por la solución aproximada propuesta por la heurística puede evaluarse, aplicando (6) como: n 1 CTRH = (2(5 + I i=1 k. h. R.)~ 1 1 1 (22) donde las multiplicidades k., tienen como valor el obtenido en los puntos 4 y 5 de la regla propuestJ. sLa figura 2 recoge el diagrama de flujo de esta heurística. 68 Calcular k¡ entero tal que: ( TE)" k.• (k.-1) ~(k. - 1) __ i ~ kl~ (1<. + 1) 1 1 1 tH 1 Figura 2: Diagrama de Flujo de la Regla Heuristica. 5. ACOTACION DEL ERROR En el apartado anterior se ha visto como: ~ s + I s./k.)~ . 1 1 1 = 1= m L h. R. i=l 1 1 (23) 69 TA8LA 6. Valores de las multiplicidades para el problema 2. Artículo Sil ver Goyal y Heurística Optimo Belton Proouesta 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 2 2 6 1 1 2 2 Para comparar estadísticamente los resultados de las tres heurísticas se han generado aleatoriamente los datos de los artículos, según las siguientes distribuciones u ni formes: para la de m anda de los artículos, valores entre 1 O y 501 O. para el coste de lanzamiento incremental de cada artículo, valores entre 1 y 3.5. para el coste de mantenimiento en inventario de cada artículo, valores entre 0.2 y 1.4. El valor del coste principal de lanzamiento del grupo S se ha hecho variar entre 1 y 30 con paso unitario (es decir, se han considerado treinta valores de S) y para el número de artículos n se han elegido cinco valores (5, 1 O, 20, 30 y 50 respectivamente). Para cada combinación de los valores de n y S se han generado los datos correspondientes a 100 problemas, como se indica en la tabla 7. Por tanto, el número total de problemas resueltos, aplicando cada uno de los tres procedimientos, ha sido de 5 x 30 x 100 = 15.000 problemas. Para cada pareja de valores de n y S se han calculado los resultados obtenidos por cada regla para los 100 problemas generados aleatoriamente (para dichos valores de n y S) en términos del error medio, desviación tipo y error máximo del coste evaluado a partir de la solución inicial propuesta por cada método respecto del coste originado por la solución óptima. Asímismo, para cada par de valores de n y S, se ha obtenido el número de veces en que la solución de cada regla -en términos de costesha quedado más próxima a la óptima y el número de veces que la solución de cada heurística ha alcanzado el coste óptimo. 76 TABLA 7: Datos de los Problemas Generados. Número de problemas generados: 100 Número de artículos: 5 10 20 30 50 Va1or inicial Valor Final Paso Coste pral. lanzamiento 1.000 30.000 1.000 Demanda 10.000 5010.000 aleatorio Coste lanzamiento 1.000 3.500 aleatorio Coste mantenimiento .200 1.400 aleatorio Por ser muy extenso el listado de los resultados, se han elegido algunos de los valores de n y S como representativos del total, los cuales aparecen en la tabla 8 en términos de costes. De la inspección de los resultados en términos de costes mostrados en la tabla 8, se deduce la bondad de la regla que se propone respecto de las reglas de Silver y de Goyal y Belton, incluso para valores de S pequeños (por ejemplo 1) respecto a los valores del coste de lanzamiento de los artículos s., que varían aleatoriamente entre 1 y 3.5 (tabla 7), independientemente 1 del valor del número de artículos n. Cuando aumenta el valor de S haciéndose más significativo respecto a los valores de s., el número de veces en que el coste de la solución propuesta está más Cercano al óptimo y lo alcanza se mantienen, mientras que para las otras dos reglas disminuyen ambos. Véanse los resultados respecto al coste final en la tabla 8 para los valores de S igual a 30. Si además el valor de n aumenta, el resultado de considerar más de un artículo en la determinación del intervalo básico inicial, se hace notar aún más en el número de veces en que el coste proporcionado por la heuristica, respecto al coste óptimo, es más próximo y es alcanzado (tabla 9, para S = 25). 77 _!!__ 5 5 5 5 20 20 20 20 50 50 50 50 78 TABLA 8: Resultados de las heurísticas en términos de costes respecto a la solución 6ptima. Coste Final S Heur. Error Desviación Error Núm. de veces -Medio Tipo Máximo Mas prox. Alcanz . 1.0. .5ilv .0950% .2825% 1.8300% 91 72 G&B .0955% .2826% 1.8300% 91 72 Prop .0859% .2546% 1.8300% 93 68 10.0 Silv .2361% .4431% 2.1985% 56 55 G&B .2207% .4238% 2.1985% 57 56 Prop .0070% .0328% .2749% 95 91 20.0 Silv .0745% .1805% 1.0061% 73 73 G&B .0745% .1805% 1.0061% 73 73 Prop .0007% .0053% .0514% 99 98 30.0 Silv .0667% .1707% .9057% 71 71 G&B .0667% .1707% .9057% 71 71 Prop .0000% .0005% .0047% 100 99 1.0 Silv .2060% .2662% 1.5220% 51 15 G&B .1906% .2468% 1.5220% 52 18 Prop .1884% .2623% 1.5220% 60 12 10.0 Silv 1.4165% .8283% 3.5186% o o G&B 1.2227% .7164% 2.9138% o o Prop .0181% .0356% .2000% 100 49 20.0 Silv 1.3673% .6896% 3.5538% 2 1 G&B 1.2402% .6122% 3.0574% 2 1 Prop .0181% .0251% .1600% 98 71 30.0 Silv 1.0588% .6255% 3.0738% 4 4 G&B .9581% .5343% 2.2597% 4 4 Prop .0027% .0084% .0501% 100 71) 1.0 Silv .1668% .2474% 1.1025% 41 21 G&B .1639% .2434% 1.1025% 45 17 Prop .1586% .2453% 1.0694% 59 4 10.0 Silv 2.3475% .7523% 4.0862% o o G&B 2.0177% .6780% 3.5917% o o Prop .0465% .0616% .3106% 100 14 20.0 Silv 2.9052% .7837% 4.8277% o o G&B 2.6938% .6915% 4.8277% o o Prop 0.165% .0330% .2717% 100 27 30.0 Silv 2.6592% .7332% 4.5921% o o G&B 2.5246% .6810% 4.0411% o o Prop .0091% .0168% .1009% 100 35 Nº de problemas generados: 100 por cada pareja (n,S) TABLA 9: Resumen en términos de Costes para S=25. Número de veces n Heurística Más próximo Alcanzado 5 Sil ver 71 71 G&B 72 72 Prop. 99 98 10 Sil ver 24 24 G&B 25 25 Pro p. 100 99 20 Sil ver o o G&B o o Prop 100 76 30 Sil ver o o G&B o o Prop 100 56 50 Sil ver o o G&B o o Prop 100 32 Respecto al error medio originado por el coste de la solución de cada método frente al coste óptimo, en la tabla 8 se observa como para cualquier pareja de valores n y S, el error medio más pequeño corresponde a la heurística propuesta, estando además menos disperso alrededor del coste mínimo. Con respecto al error máximo, su valor mayor ( 1.52%) se produce para n = 20 y S = 1 (tabla 8) coincidiendo en ese caso con el producido en el conjunto de problemas para las otras dos reglas. En cualquier caso, para cualquier co,nbinación de los valores de n y S estudiados, el error máximo producido por el método que se propone es menor o igual que el producido por los de Silver y de Goyal y Belton. Así pues, en términos de costes, la regla propuesta produce menor error medio, menor desviación tipo y menor error máximo que las otras dos reglas heurísticas con las que se compara. Este resultado queda aún más patente al analizar en la tabla 1 O el cuadro resumen de los resultados de los tres métodos en términos de costes. Según se observa en dicha tabla, de los 15.000 problemas resueltos, el 59.56% de las veces la solución, respecto al coste, obtenida por la heurística propuesta coincide con la óptima, frente al 17.72% de la solución propuesta por Silver y al 18.24% de Goyal y Belton. Por otra parte, el 95.65% de las veces la regla que se propone ha originado un coste menor o igual que los demás, frente al 20.43% y al 21.29% de Silver y de Goyal y Belton respectivamente. Si se realiza el análisis anterior en lugar de respecto al coste, respecto al valor del intervalo inicial fijado por cada una de las tres heurísticas (tabla JI), se observa que las conclusiones se repiten pero en un orden de 79 magnitud bastante mayor. Así por ejemplo, el máximo error medio obtenido por la regla de Silver, en términos de costes, es del 2.90%, con un error máximo del 4.82% para n = 50 y S = 20 (tabla (8); mientras que en términos del intervalo básico fijado inicialmente el máximo error medio producido por el método de Silver es del 141.59% para n = 50 y S = 28, siendo el error máximo correspondiente del 206.22%, que no aparece en la tabla 11. TABLA 10: CUADRO RESUMEN DE COSTES. Núr.:tero de problemas resueltos: 15000 Respecto al Coste Final Heurística Número de veces: Más próximo Alcanzado Sil ver 3065 [20.4333%¡ 2658 [17.7200%] G&B 3194 [21.2933% 2736 [18.2400%] Propuesta 14348 [95.6533%] 8934 [59.5600%] El error medio obtenido por la regla propuesta es, para n=50 y S=20 en términos de coste, del 0.01% y el error máximo el 0.27%. Respecto al intervalo inicial, para n=50 y S=28 el error medio producido por la heurística propuesta es 2.56% (frente al 141.59% de Silver y el 125.26% de Goyal y Belton) y el error máximo de 9.38% (frente al 206.22% de Silver y el 161.05% de Goyal y Belton). El máximo valor del error máximo se produce en la regla que se propone para n=50 y S= 1, siendo de 39.87% (tabla 11 ). En el caso del método de Silver, dicho valor máximo es 214.50% para n=50 y S=29. Para la heurística de Goyal y Belton, el máximo error máximo es 161.05% para n=50 y S=28. El orden de magnitud en los errores en términos del intervalo básico es mayor que en términos de costes debido a que la curva de costes es muy poco sensible. Por esta razón, una variación en la fijación del intervalo relativamente grande respecto al óptimo produce un incremento en la función de costes relativamente pequeño. 80 n 5 5 5 5 20 20 20 20 50 50 50 50 TABLA 11: Resultados de las heurísticas en términos del intervalo fijado respecto a la solución óptima. Intervalo Final _§__ ~ Error Desviación Error N2 de veces Medio Tipo Máximo Más prox. Alcanz. Silv 6.8064% 5.3892% 28.7293% 66 o G&B 6.7212% 5.3313% 28.7293% 67 o Prop 6.3654% 4.6644% 21.7010% 67 o 10.0 Si1v 29.8673% 16.3533% 76.8401% 3 o G&B 26.4517% 11.8715% 60.5718% 3 o Prop 1.9796% 2.0155% 8.8378% 99 6 20.0 Silv 41.1785% 21.5286% 111.8154% o o G&B 35.9188% 13.9740% 66.7632% o o Prop .7325% .8362% 3.2663% 100 25 30.0 Silv 49.2967% 24.2113% 118.6557% o o G&B 42.5579% 16.2558% 79.2008% o o Prop .4586% .5909% 2.3226% 100 38 1.0 Silv 10.9414% 8.3006% 35.4427% 51 o G&B 10.2564% 7.4477% 30.8615% 52 o Prop 9.6732% 5.6521% 23.3567% 48 o 10.0 Si1v 61.6140% 19.8104% 107.0472% o o G&B 52.0102% 12.3836% 86.4107% o o Prop 3.6302% 2.4955% 12.1513% 100 o 20.0 Si1v 89.5696% 19.8104% 141.2414% o o G&B 78.0789% 12.2008% 108.6374% o o Prop 2.1132% 1.5787% 7.1828% 100 o 30.0 Silv 113.4120% 29.7900% 186.0888% o o G&B 94.0603% 15.8613% 131.7657% o o Prop 1.4462% 1.1296% 6.7864% 100 o 1.0 Si1v 9.5459% 9.2077% 40.9445% 60 o G&B 9.3722% 8.8521% 40.9495% 59 o Prop 11.1325% 7.1542% 39.8703% 35 o 10.0 Silv 76.8489% 17.3966% 133.9932% o o G&B 66.6890% 11.6960% 94.1138% o o Prop 5.3987% 3.2455% 16.2854% 100 o Silv 117.9405% 20.3705% 177.8065% o o G&B 103.9389% 12.5141% 141.5555% o o Prop 3.0798% 1.9781% 10.4729% 100 o 30.0 Silv 138.2252% 23.8498% 205.9942% o o G&B 124.3475% 13.5628% 159.5186% o o Prop 2.4189% 1.5686% 7.3370% 100 o 81 TABLA 12: CUADRO RESUMEN DE TIEMPOS. Número de problemas resueltos: 15000 Respecto al Intervalo Final Heurística Número de veces: Más próximo Alcanzado .. Sil ver 733 ¡ 4.8867% ¡ o ¡ .0000% ¡ G&B 804 5.3600% o .0000% Propuesta 14311 195.4067%) 540 (3.6000%) En la tabla 12 se muestra corno el intervalo b§sico inicial fijado por la regla propuesta es más próximo al intervalo óptimo (en valor absoluto) el 95.40% de las veces, mientras que el determinado por Silver sólo es m§s cercano al final el 4.88% de las veces y el de Goyal y Belton el 5.36% de las veces. Tambi~n se observa como la heurística que se propone fija de entrada el intervalo óptimo en 540 problemas de los 15.000 resueltos. Las otras dos reglas no aciertan con el valor del intervalo óptimo ni una sola vez. 82 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS /1/ SHU, F.T.: "Economic Ordering Frequency for Two Items jointly Replenished", Management Sci., Vol. 17, (1971), pp. 8406-841 O. /2/ NOCTURNE, D.j.: "Economic Ordering Frequency for Severa! 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