Estudio de viabilidad del Acrilonitrilo Butadieno Estireno (ABS) en el desarrollo de microgeneradores de energía

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo de Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales Estudio de viabilidad del Acrilonitrilo Butadieno Estireno (ABS) en el desarrollo de microgeneradores de energía Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 v Trabajo de Fin de Grado Grado en Ingeniería en las Tecnologías Industriales Estudio de viabilidad del Acrilonitrilo Butadieno Estireno (ABS) en el desarrollo de microgeneradores de energía Autor: Pablo Montero Oliva Tutor: Antonio Romero Ordóñez Profesor titular de Universidad Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 vii Trabajo de Fin de Grado: Estudio de viabilidad del Acrilonitrilo Butadieno Estireno (ABS) en el desarrollo de microgeneradores de energía El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2019 El Secretario del Tribunal Autor: Pablo Montero Oliva Tutor: Antonio Romero Ordóñez ix A mi familia y quienes me rodean, y todos mis maestros y profesores. Esto, es también suyo. xi Agradecimientos La predisposición por el conocimiento de los elementos finitos de este que escribe comienza un año atrás, cuando accedo a esta rama de los medios continuos a través de Mario Solís, y las asignaturas de Ampliación de Estructuras y Estructuras Metálicas. Desde ese momento, he intentado por todos los medios que mi Trabajo de Fin de Carrera fuese orientado a los Elementos Finitos. Tras debatirme entre otras oportunidades, alejadas de este trabajo, aparece la figura de Antonio Romero, quien imparte la asignatura de Métodos Computacionales en el Proyecto de Estructuras. Nuevamente el MEF aparece como vía de escape y el profesor me acaba proponiendo este trabajo, del que espero haber aprendido algo más sobre los elementos finitos. Por ello quiero mostrar mi gratitud hacia estos profesores, así como a cada uno de ellos de este departamento que han inculcado en mí la necesidad de avanzar cada vez más sobre esta materia. Más si cabe en el caso de Antonio, quien, localizado lejos de Sevilla, además de ayudarme en el ámbito de esta materia y facilitarme la comunicación a distancia todo lo posible, también me ha servido de gran ayuda en materia de orden y claridad. Por último, y no por ello menos importante, sino todo lo contrario, gracias a mi familia y todos los que me rodean, por ayudarme y animarme siempre a lo largo de esta experiencia en la Escuela de Ingeniería Superior, dotada de multitud de altibajos y que poco a poco va tocando su fin. Los “elementos infinitos” más importantes de mi día a día. Pablo Montero Oliva Sevilla, septiembre de 2019 xviii Índice de Figuras Figura 1-1Maquina autorreplicada. - Adrian Bowyer (izquierda) y Vik Olliver (derecha), miembros del proyecto RepRap 25 Figura 1-2 Comparativa de distintos métodos de generación de energía. 26 Figura 2-1 Receptor acústico de material piezoeléctrico. – Típico uso en guitarras. 31 Figura 2-2 Activadores de inyectores con piezoeléctricos. 32 Figura 2-3 Modelo de la viga en voladizo 33 Figura 3-1 Fotografía del modelo experimental 36 Figura 3-2 Equivalencia del modelo a un sistema típico de 1GDL. 37 Figura 3-3 Filamentos de ABS para impresión en 3D 38 Figura 3-4 Orden a seguir en e l estudio dinámico de la subestructura 39 Figura 3-5 Transmisibilidad del sistema de 1GDL. – En esta grafica se puede observar como el punto de máximos desplazamientos del movimiento coincide con la frecuencia natural. 42 Figura 3-6 Comparativa de la subestructura con los mismos parámetros.. 43 Figura 3-7.Comparativa de función de transmisibilidad de ABS y Latón. 44 Figura 3-8 Comparativa de la transmisibilidad de la estructura de ABS y Latón. 45 Figura 3-9 Esquema del elemento COMBIN40 45 Figura 3-10 Elemento BEAM188 46 Figura 3-11 Elemento MASS21 47 Figura 3-12 Modelo en ANSYS tipo VIGA-MASA 47 Figura 3-13 Elemento SHELL181 49 Figura 3-14 Modelo en ANSYS tipo PLACA-MASA 49 Figura 3-15 Modelos de placa con viga como masa distribuida. Izqda. ABS y dcha. Latón 51 Figura 3-16 Elemento SOLID5 52 Figura 3-17 Modelos de placa con elemento sólido como masa distribuida. - Izqda. latón; dcha. ABS 53 Figura 3-18 Modelo en ANSYS tipo SÓLIDO con elementos tipo MASA. 54 Figura 3-19 Modelos con tipo sólido con elemento sólido como masa distribuida. 58 Figura 3-20 Comparativa de las frecuencias del modo 1para el caso de LATÓN y ABS en los distintos modelos 59 Figura 3-21 Comparativa de las masas efectivas del modo 1para el caso de LATÓN y ABS en los distintos modelos 60 Figura 3-22 Comparativa de las masas efectivas del modo 2 para el caso de LATÓN y ABS en los distintos modelos 60 Figura 3-23 Comparativa de las 3 primeras frecuencias en los distintos modelos de latón. 62 xix Figura 3-24 Comparativa de las 3 primeras frecuencias en los distintos modelos de latón. 62 Figura 3-25 Estado tensional de la subestructura de ABS (arriba) y latón (abajo) tras someter la estructura a una aceleración de valor 1 m/s2 en la dirección del eje Y 64 Figura 3-26 Figura 3-27 Estado tensional de la subestructura de ABS (arriba) y latón (abajo) tras someter la estructura a una aceleración de valor 9.81 m/s2 en la dirección del eje Y 65 Figura 4-1 Modelo de ANSYS de las dos subestructura con el acoplamiento del PZT-5A.(dcha ABS; izqda. latón) 68 Figura 4-2 Modelo de ANSYS de la estructura de ABS variando la masa sísmica aumentado la sección transversal de esta 71 Figura 4-3. Configuración del PZT-5A en la estructura. 73 Figura 4-4 Deformada de la estructura (ABS arriba; latón abajo) sometida a una diferencia de potencial de 1V entre el PZT en la capa exterior e interior. 74 Figura 4-5 Mapa de tensiones en la estructura (arriba ABS; abajo latón) sometida a una diferencia de potencial de 1V entre el PZT en la capa exterior e interior. 75 Figura 4-6 Deformada de la estructura (latón arriba; ABS abajo) sometida a una aceleración de valor 1m/s2 76 Figura 4-7 Mapa de tensiones de ambas estructuras (ABS, arriba; latón abajo) sometida a una aceleración de valor 1m/s2 77 Figura 4-8 Variación de α y β y la relación con el factor de amortiguamiento modal. 79 Figura 5-1 Detalle y localización de los acelerómetros en el viaducto. 81 Figura 5-2 Modelo de los trenes que circulan por el viaducto. 82 Figura 5-3 Diagramas de aceleración recogidos en el acelerómetro 5 para los distintos pasos de trenes por el viaducto 83 Figura 5-4 Localización aproximada del nodo 1360. 84 Figura 5-5 Desplazamientos del nodo 1360 al paso de los distintos trenes (rojo). Diferencia de potencial entre la capa externa e interna del PZT (azul) 86 Figura 5-6 Comparativa de las tensiones máximas obtenidas en la estructura en ambos modelos 88 Figura 6-1 Comparativa de desplazamientos máximos bajo la excitación del S100.- El error es inapreciable en una escala del orden de 1E-5 m. 90 Figura 6-2 Posible alternativa capaz de albergar una masa sísmica de pequeño volumen 91 Figura 6-3 Posible alternativa, con una masa sísmica de mayor volumen sin variar la posición del centro de gravedad. 91 xx Guía de Ecuaciones 2-1 Ecuaciones del comportamiento piezoeléctrico o ecuaciones piezoeléctricas. 2-2 Relaciones matriciales de la piezoelectricidad. 3-1 Equilibrio dinámico en estructuras 3-2 Equilibrio dinámico en estructuras de forma matricial 3-3 Descripción del movimiento armónico simple (MAS) 3-4 Equilibrio dinámico en estructuras de forma matricial con la descripción del MAS. 3-5 Equilibrio dinámico en estructuras de forma matricial. Obtención de modos de vibración. 3-6 Equilibrio dinámico de 1 modo de vibración 3-7 Descripción de la rigidez de un modo o GDL a estudiar. 3-8 Descripción de frecuencia natural de un modo de vibración a estudiar. 3-9 Descripción de la masa modal de un modo de vibración a estudiar. 3-10 Cálculo de transmisibilidad. 3-11 Igualdad en resistencias k para la semejanza de las subestructuras de latón y ABS 3-12 Igualdad en masas modales m para la semejanza de las subestructuras de latón y ABS 3-13 Igualdad en masas puntuales Mt para la semejanza de las subestructuras de latón y ABS 4-1 Igualdad de masas modales en función de la densidad del elemento que forma la masa distribuida. 4-2 Igualdad de masas modales en función de la sección que forma la masa sísmica distribuida 4-3 Igualdad de la resistencia al GDL del 1er modo de vibración en función del espesor de la subestructura. 4-4 Equilibrio dinámico discreto en un instante t=n+1 4-5 Aproximación de la velocidad en el paso n+1 a través de integración trapezoidal. 4-6 Aproximación del desplazamiento en el paso n+1 a través de integración trapezoidal 4-7 Valores de aceleración y velocidad para el método de Newmark. 4-8 Equilibrio dinámico en el paso n+1. Método de Newmark 4-9 Aproximación del amortiguamiento por el método de Rayleigh. 4-10 Definición del factor de amortiguamiento modal. 4-11Valores de α y β de amortiguamiento en el método de Rayleigh Notación GDL Grado de libertad. Modo Modo de vibración, de forma general modo. ki, MAS Resistencia de la estructura a la deformación del GDL i. Movimiento Armónico Simple φ ωn n, n+1 Subestructura Estructura PZT-5A PLACA-VIGA Solid,Shell,beam. TR D M,K,C M,K,C U,u(x), U(x) CC ‘ Desfase angular en un Movimiento Armónico Simple Frecuencia natural de un modo de vibración. Pasos de tiempo discreto en método de Newmark Formación de la pletina interior con la masa sísmica sin PZT Formación de la pletina completa, con la masa e incluyendo el material PZT Material piezoeléctrico instalado en la pletina. El primer término hará referencia al material de la pletina, el segundo a la masa sísmica. Se usarán a veces el nombre en inglés, al hacer referencia al software ANSYS. Transmisibilidad, función de transmisibilidad. Factor de amplificación dinámico Matrices de masa, resistencia y amortiguamiento en ecuaciones de equilibrio dinámico. Valor de masa, resistencia y amortiguamiento para el análisis de 1GDL Desplazamiento de un GDL, o de varios de ellos acumulados en un vector Condiciones de contorno. Variables con ‘ notan, propiedades de la subestructura de ABS Índice de tablas 22 23 23 Introducción 24 1 INTRODUCCIÓN 1.1 La impresión 3D desde el origen a hoy. La impresión 3D es desde hace algunos años un campo en plena expansión. Lo que parecía algo sofisticado, o inviable tecnológicamente para el usuario de a pie es a día de hoy una herramienta más que cualquier persona del mundo puede utilizar en casa. Y es que la capacidad que la impresión 3D ofrece es amplia y multidisciplinar. En 1976 se crea la primera impresora de inyección de tinta. En1984, tras readaptar y transformar esta tecnología, Charles Hull, cofundador de 3D Systems, consigue la primera inyección de plástico en una impresión 3D. Conocedor de esta materia tras una vida dedicada a la inyección del plástico, centró su causa en sustituir la forma de inyectar con un costoso molde por una forma que le permitiese ahorrar coste y dinero. Desarrolló entonces la estereolitografía o SLA, un sistema de creación de elementos sólidos capa a capa, método que se utiliza en la mayoría de las impresoras 3D del mercado también en la actualidad. En 1992 sale al mercado la primera máquina de impresión estereolitográfica, desarrollada por 3D Systems. Esta impresora, era capaz de solidificar mediante un láser UV, un fotopolímero líquido de viscosidad parecida a la de la miel. Aunque con multitud de imperfecciones, esta máquina mostraba algo que con el tiempo sería más que probado, y es que se pueden fabricas piezas con gran complejidad con un coste reducido. Los años 90, fueron época de gran desarrollo en el ámbito de la impresión 3D, tanto es así que, en 1999 científicos del Instituto Wake Forest de Medicina Regenerativa, consiguen el primer órgano criado en laboratorio que se implanta en un ser humano: una vejiga aumentada con recubrimiento sintético de sus propias células, haciendo por tanto el riesgo de rechazo prácticamente nulo. En esta misma línea, en 2002, estos científicos fueron capaces de diseñar un riñón completamente funcional. Por otro lado, el avance de la impresión en 3D de forma doméstica se lo debemos al Dr. Adrian Bowyer, quien en 2005 tiene la iniciativa de construir una impresora 3D de código abierto de prototipado rápido, esto es, capaz de fabricar objetos en 3D a base de un modelo hecho a ordenador. Es lo que se conoce como el Proyecto Reprap. Este proyecto, además estaba orientado a que la máquina fuese autorreplicable, es decir, una de ellas tiene la capacidad de producir otra exactamente igual. Este objetivo se logra finalmente en 2008, con la Darwin 1.0. 25 25 Figura 1-1Maquina autorreplicada. - Adrian Bowyer (izquierda) y Vik Olliver (derecha), miembros del proyecto RepRap A partir de ese momento, la impresión doméstica sufrió un auge y fue llegando poco a poco a millones de hogares en el mundo. Durante este tiempo se siguió ganando precisión en la impresión, así como variación en cuanto a los materiales utilizados. Hoy día se imprime desde plásticos como el ABS, o el PLA, hasta joyas de oro y plata, pasando por prótesis, o coches. La motivación principal de este campo es conseguir que pequeñas piezas que con anterioridad se han construido de metales que necesitarían un mecanizado en taller o un encargo a otra industria, sean ahora obtenidas mediante impresión en 3D, lo que permitiría la reducción de costes, reduciendo el número de intermediarios para la creación de estas piezas. 1.2 Microgeneración de energía. Dotar a la sociedad solo de energía eficiente y limpia parece una utopía todavía a día de hoy, aunque el avance, sobre todo en el campo de dispositivos microelectrónicos, es más que notable. Tras este avance, el sector de la gran industria como el transporte y otros sectores comerciales se han convertido en puntos críticos de la investigación sobre la obtención de energías sostenibles, debido a su desventaja con los pequeños dispositivos. Esto es debido a la conciencia ambiental que el ser humano va desarrollando, y al elevado precio del petróleo. No obstante, el combustible fósil continúa siendo la principal fuente de producción de energía tanto en USA como en Europa. Podemos estudiar distintos sistemas de producción de energía limpia y comparar su producción de energía eléctrica. Para ello, compararemos la relación que guardan la densidad de potencia y la tensión generada. Aparece un amplio campo de aplicación con el uso de materiales piezoeléctricos. Introducción 26 Figura 1-2 Comparativa de distintos métodos de generación de energía. Para entrar en el conocimiento de un material piezoeléctrico, primeramente, se aclarará el concepto de energy harvesting o generación de energía a través de excitaciones mecánicas. El fundamento base de este proceso reside en el aprovechamiento de energía en forma de electricidad tras la aplicación de distintos fenómenos mecánicos, desplazamientos o fricciones. En la conversión de energía mecánica como energía eléctrica aparecen en la historia tres métodos distintos: • Conversión electrostática, donde se produce una diferencia de potencial a partir del desplazamiento relativo de dos superficies. • Conversión electromagnética, en la que un imán permanente genera una corriente eléctrica en una bobina. • Conversión piezoeléctrica, donde se utiliza un material piezoeléctrico para producir energía a través de la deformación de un dispositivo mecánico. En este trabajo nos centraremos solo en el último de los casos. Para ello juega el papel fundamental el comportamiento del material piezoeléctrico. La piezoelectricidad es un fenómeno que poseen determinados materiales (cristalinos) por el cual adquieren una diferencia de potencial tras someterlo a una deformación debido a una polarización de sus cargas. Ahora cabría preguntarse qué tipo de materiales presentan este comportamiento y ante qué tipo de cargas y deformaciones. Volveremos a comentar este comportamiento y a detallar los materiales que poseen estas características en el apartado 2. Lo que sí que cabe destacar en esta introducción es que el uso de sistemas piezoeléctricos se vuelve aún más interesantes en entornos donde no existe o es imposible administrar una red de suministro eléctrico, zonas de difícil acceso, zonas de alimentación donde por motivos de seguridad o importancia deban ser sustituidas el menor número de veces posible. 1.3 Objetivo del trabajo Abordada una breve introducción sobre la impresión 3D y la piezoelectricidad, es momento de describir el cauce que éste seguirá. Para comenzar, hay que enmarcar este trabajo como un estudio estructural, no desde un ámbito 27 27 electrónico o energético. La recolección de energía a través de piezoeléctricos es un campo de una amplitud (al menos hasta el momento de comenzar este trabajo) casi desconocida para este que escribe. Pero es necesario y conveniente, a mi parecer, situar los antecedentes y reconocer el trabajo en sí y no comentar simplemente el estudio de una estructura, con unos materiales y unas características. A lo largo de este trabajo se estudiará una pequeña estructura, que se detallará más adelante, usualmente utilizada y construida en latón. No obstante, en la actualidad, y aquí se centra la realización de este trabajo, se estudia la posibilidad de cambiar el latón por otro material como el acrilonitrilo butadieno estireno, (en inglés Acrylonitrile Butadiene Styrene y en adelante ABS). El porqué de esta sustitución radica en la facilidad de impresión que este material posee en dispositivos de impresión 3D. Esta característica, hace que la obtención de estructuras para la recolección de energía se vuelva repetitiva y sencilla una vez construida un supuesto patrón que contenga las características dinámicas del latón. Esta nueva estructura será más barata, sencilla de construir y con unas dimensiones exactas tras un diseño en un programa de CAD. Pero para ello es necesario conocer las características de este plástico. 1.4 Estructura del documento y metodología del trabajo Este trabajo de fin de grado se compone de 6 capítulos divididos en subcapítulos y apartados que favorecerán el entendimiento y la comprensión del mismo. Posteriormente se añadirá un anexo. En el primer capítulo, se aborda la introducción, motivación y objetivos de este trabajo. En el segundo capítulo, se dan a conocer un poco más a fondo el proceso de generación eléctrica mediante el fenómeno piezoeléctrico, así como materiales utilizados más comúnmente y situación histórica y actual de la piezoelectricidad. También se introduce el modelo de recolector que se utilizará en este trabajo: la viga en voladizo. En el tercer capítulo, se describe el modelo sobre el que se realizara el estudio. Se realizarán distintos modelos de elementos finitos en el programa ANSYS, tanto para modelizar la subestructura de latón como la de ABS y se estudiará la viabilidad de la sustitución en la estructura sin el material piezoeléctrico. Los modelos numéricos serán sometidos a distintos análisis dinámicos para obtener dicha conclusión. Una vez obtenido el prototipo de subestructura se realizará un análisis estático para comprobar que el comportamiento del modelo es el adecuado. En el cuarto capítulo se incorporará el material piezoeléctrico, concretamente el PZT-5A, y se realizarán distintas comprobaciones para nuevamente estudiar la viabilidad del cambio de material. También se utilizará análisis modal a esta estructura completa. En el quinto capítulo, se realizarán distintos análisis transitorios, con el fin de conseguir la respuesta de la estructura viable en caso de encontrarla y analizar los resultados. Estos análisis estarán basados en los datos proporcionados en Galvín et al. (Galvín, Romero, Moliner & Martinez-Rodrigo,2018). Por último, el capítulo 6 presentará alternativas viables reales y conclusiones del trabajo. En el Anexo, se presenta el código de ANSYS del modelo, con el que se realizan los distintos análisis. Generación de Energía mediante Piezoelectricidad 34 El análisis dinámico de una viga en voladizo es un problema típico a estudiar en dinámica de las estructuras. Además, es muy común el realizar una simplificación atendiendo al desplazamiento vertical del grado de libertad situado en el extremo libre de nuestra pletina. En este trabajo será este GDL que cobra verdadera importancia en todos los análisis que realizaremos. Posteriormente observaremos si es realmente así o si la importancia de los desplazamientos de los otros grados de libertad es irrelevante o no. En este trabajo se realizará un análisis modal, donde obtendremos los modos de vibración de la estructura y se realizará también análisis estáticos, para comprobar que el comportamiento de la estructura es el adecuado. Posteriormente se añadirá el PZT-5A y se estudiará la viabilidad de la estructura con distintos análisis (estáticos y dinámicos). Para comprobar si la viabilidad del cambio de la subestructura de latón a la subestructura de ABS es viable o no. Por situar, este modelo en un contexto de aplicación suele ser situado en estructuras susceptibles a sufrir vibraciones, como por ejemplos puentes con pasos de vehículos o ferrocarriles. El problema de este tipo de recolectares aparecen a la hora de predecir el voltaje a través de una resistencia conectada al material piezoeléctrico. En diversas investigaciones como la que aparece en Roundy et al. (Roundy, Wright, & Rabaey, 2003), se emplean conocimientos basados en sistemas de 1GDL para conocer el desplazamiento del desplazamiento vertical y así prever el comportamiento de la estructura. Es lo que se conoce como modelo de parámetro agrupado. Este modelo no poseía masa en el extremo libre. Además, aproxima el comportamiento real del sistema no solo en cuanto a sus variables mecánicas, sino que también lo harán con sus variables eléctricas, a través de las relaciones constitutivas y ecuaciones piezoeléctricas El problema de esta metodología es el punto de partida ya que la limitación principal radica en el hecho de reducir todo a un grado de libertad, y es por ello que solo un modo de vibración será el que cobre importancia en este modelo. La vibración de ésta y, en general, de cualquier estructura ante una excitación, será la combinación lineal de distinto modos de vibración. Ante la inexactitud del modelo anterior aparecen otros estudios (Erturk & Inman, 2008c) que proponen, un sistema ya con una masa sísmica en su extremo a fin de continuar con el estudio de un solo GDL, pero que ahora sí, ésta tenga una vibración con un modo predominante sobre el resto, el modo referido al desplazamiento perpendicular a la pletina del extremo libre, el cual soportará la masa sísmica. Posteriormente numerosos estudios intentan de una forma u otra, asaltar la solución a la predicción del comportamiento eléctrico de esta estructura. En cada uno de ellos utilizando distintas teorías como la de pletina de Euler-Bernoulli, por ejemplo. En el caso que concierne en este trabajo, se realizarán distintos modelos con distintas teorías y elementos en el programa ANSYS, se estudiarán las distintas soluciones que los modelos numéricos adopten y se valorará la convergencia de todas ellas. Finalmente se optará por un modelo, para discutir la viabilidad o no del intercambio de material de latón a ABS 35 35 Análisis de distintos modelos de la subestructura para el estudio de viabilidad 36 3 ANÁLISIS DE DISTINTOS MODELOS DE LA SUBESTRUCTURA PARA EL ESTUDIO DE VIABILIDAD 3.1 Modelo original El modelo que seguiremos para estudiar la sustitución de un material por otro será obtenido de un caso experimental del libro “Energy Hearvesting Tecnologies”. Se trata una viga en voladizo como la anteriormente descrita. Figura 3-1 Fotografía del modelo experimental La masa puntual de la estructura está dividida en dos puntos geométricos. El interior de los piezoeléctricos, es decir la subestructura, está compuesta de latón. Más detalladamente las características de esta estructura quedan definidas por: Características del latón Módulo de Young 105 GPa Densidad ρ 9000 kg/m3 Tabla 3-1 Propiedades del latón Por modelo, se entiende una construcción matemática que, con la adición de ciertas interpretaciones verbales, describe los fenómenos observados - Von Neuman - - Séneca - 37 37 Una vez descrita completamente la subestructura, se calculará las características de su movimiento vibratorio. Para ello, es necesario en primer lugar obtener los parámetros fundamentales de una ecuación de 1 GDL. Es decir, la masa M, la rigidez K y el amortiguamiento C. Tanto K como M se calculará como anteriormente se ha descrito. El último parámetro simplemente será impuesto con un valor característico del factor de amortiguamiento modal ζ=5% (siendo 𝜁=𝐶/√4𝐾𝑀). (Posteriormente se aclarará el sentido de este factor de amortiguamiento. Apartado 4.3) Ahora es posible abordar la ecuación de 1GDL con una vibración armónica en su base. Figura 3-2 Equivalencia del modelo a un sistema típico de 1GDL. Mediante el uso del programa informático MATLAB, obtendremos su frecuencia natural, así como su función de transmisibilidad para cualquier alteración de la base de tipo armónico. La función de transmisibilidad relaciona la amplitud del movimiento del GDL a estudiar respecto al movimiento de la base de nuestra estructura. Características geométricas Longitud L 50.8 mm Ancho b 31.8 mm Espesor h 0.14 mm Masa puntual mt 0.012 kg Tabla 3-2 Parámetros de la estructura = Análisis de distintos modelos de la subestructura para el estudio de viabilidad 38 1.1.4 El ABS como elemento estructural El ABS es un polímero resistente, flexible y moldeable. Además, resistente a alas temperatura (en cierta medida ya que es un termoplástico) lo que lo hace uno de los plásticos más utilizados en ingeniería y aplicaciones industriales. Estas características hacen también del ABS el material típico para la impresión 3D, donde partiendo de bobinas de hilos, es previamente calentado para aumentar su ductilidad y así poder trabajarlo con facilidad. Además, la posibilidad de trabajar con ABS de distintos colores hace que en este ámbito sea uno de los materiales más utilizados a nivel doméstico. Su precio ronda entre los 8€ y 15 € el kilogramo, vendido en bobinas directas para la impresión y dependiendo de su color y grosor de la bobina. El principal problema de este material en la impresión es el olor a plástico caliente que esta operación previa acaba dejando. Figura 3-3 Filamentos de ABS para impresión en 3D Las características físicas y mecánicas de este material son: Propiedad del material Densidad (kg/m3) 1000-1200 Módulo de Young (GPa) 1.1-2.9 Deformación máxima (%) 3-75 Temperatura de fusión. (ºC) 88-128 Temperatura de transición Vítrea (ºC) 100 Límite de fluencia (MPa) 18.5-51 Tensión de rotura. (MPa) 25-50 Tabla 3-3 Características del ABS 39 39 3.2 Modelos matemáticos Dado los parámetros que definen el problema en la tabla 3-2, se abordará el comportamiento, en primer lugar, de la subestructura que da forma a nuestro cosechador. Es decir, no se tendrá en cuenta el material PZT añadido ni la posible rigidez que esta tuviese. Así será posible comparar el comportamiento de las estructuras tanto de ABS como de latón en igualdad de condiciones. El orden establecido es el siguiente: Obtención analitica de los parametros de vibración de la estructura Comparativa con un modelo de 1GDL basado en elemento tipo COMBIN40 Elemento de Ansys tipo VIGA basado en BEAM188 Elemento tipo placa Basado en SHELL181 Elemento tipo sólido bsado en SOLID5 Comparativa y resumen de los resultados para ambos tipos de subestructuras. Masa Puntual Masa Puntual Masa distribuida en elemento tipo viga Masa distribuida en elemento tipo sólido Masa Puntual Masa distribuida en elemento tipo viga Masa distribuida en elemento tipo sólido ¿Es correcto 1GDL? Figura 3-4 Orden a seguir en el estudio dinámico de la subestructura Análisis de distintos modelos de la subestructura para el estudio de viabilidad 40 3.3 Análisis dinámico Para resolver la respuesta de este tipo de estructura se llevará a cabo dicho análisis modal y en principio, una superposición de los modos de vibración, aunque en realidad, solo tendremos en cuenta solo uno como ya hemos comentado. Para ello, quedará indicado la resolución analítica de un sistema ya descrito como viga en voladizo. Partiremos de la ecuación de equilibrio del sistema de vibración libre no amortiguado: 𝑭𝑖𝑛+ 𝑭𝒌=0 Donde 𝑭𝑖𝑛 denota el vector de fuerzas de inercias asociadas a cada GDL, es decir, las fuerzas que se opone al movimiento según cada GDL. El vector Fk, será la correspondiente fuerza elástica según cada grado de libertad, es decir la fuerza con la que el sólido deformable se opone a la deformación de cada GDL. 𝑴𝒖󰇘+ 𝑲𝒖=0 Donde M denota la matriz de masa, K la matriz de rigidez, y el vector u tendrá distintas componentes independientes, cada una de ellas asociada a un GDL. De forma matricial podremos escribir El sistema de ecuaciones tendrá n incógnitas con n ecuaciones diferenciales correspondientes a los n GDL. Este tipo de sistemas de ecuaciones diferenciales pueden tener una solución armónica: u(x,t)=U(x)sin(𝜔 𝑡+𝜑) Con U(x) la amplitud máxima que depende solo de la posición, 𝜔 la frecuencia del movimiento y 𝜑 es el desfase del movimiento. Si derivamos dos veces respecto al tiempo y sustituimos en la ecuación de equilibrio obtendremos: −𝜔 2𝒖(𝒙,𝑡)= 𝒖󰇘(𝒙,𝑡) −𝑴𝜔 2𝒖(𝒙,𝑡)+ 𝑲𝒖=0 −𝑴𝜔 2𝑼(𝒙)sin(𝜔 𝑡+𝜑)+ 𝑲𝑼(𝒙)sin(𝜔 𝑡+𝜑)=0 Omitiendo el termino sinusoidal arbitrario y sacando factor común U(x) obtendremos finalmente una ecuación: (𝑲−𝜔𝑛2𝑴)𝑼(𝒙)=0 La solución distinta de la trivial se obtiene de imponer que el primer factor sea igual a 0. Esta solución se extrae de obtener los distintos autovalores del problema (𝜔𝑛 𝑖) que será la frecuencia natural asociada al modo de vibración i, y los autovectores (𝑼𝒊) indicarán de forma cualitativa la forma o modo de vibrar de una estructura. No perdamos de vista el caso expuesto en el trabajo: la viga en voladizo. Al tener esta estructura 1 GDL dominante respecto al resto solo analizaremos analíticamente este. Por tanto, la ecuación 3-5 necesita solo dos parámetros para su resolución, 𝑘𝑖 y 𝑚𝑖 (𝑘𝑖−𝜔𝑛𝑖2𝑚𝑖)𝑢𝑖=0 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 41 41 Los parámetros de esta ecuación serán en nuestro caso: 1) 𝑘𝑖 la rigidez que el sistema presenta de 1GDL presenta 𝑘𝑖=3𝐸𝐼 𝐿3 2) 𝜔𝑛𝑖 la frecuencia natural asociada a la vibración de la estructura según el grado de libertad descrito. ωni=√kimi ⁄ 3) mi la masa movilizada en este grado de libertad. Siendo L, b y h la longitud, la base y espesor de la sección transversal de la pletina mi=√33 140ρbhL+Mt 4) 𝑢𝑖 El grado de libertad en cuestión, en adelante el desplazamiento vertical del extremo de la estructura donde se sitúa nuestra masa puntual Cabe destacar que la mi no coincide con la masa puntual, aunque esta determine gran parte de su contenido. La masa modal que se desplace en el análisis de la vibración vendrá dada tanto por la masa puntual como por la correspondiente masa de la estructura que debe moverse con el grado de libertad. 3.3.1 Resultado analítico con 1GDL y equivalencia para estructura de ABS En primer lugar, se va a realizar un análisis dinámico a la estructura descrita en el apartado anterior. Esta estructura, como ya hemos anunciado anteriormente se resolverá teniendo en cuenta un solo grado de libertad: el desplazamiento transversal a la viga. En primer lugar, según el modelo descrito en el subapartado 3.1. se deben describir todos los parámetros que caracterizan el sistema de 1GDL. En nuestro caso, utilizando el programa MATLAB, la resolución del sistema quedará: 𝐾=17.4723𝑁·𝑚−1 𝑀=0.0125 𝑘𝑔 𝐶=0.0467𝑁·𝑠·𝑚−1 𝜔𝑛=37.4172 𝑟𝑎𝑑/𝑠 3-7 3-8 3-9 Análisis de distintos modelos de la subestructura para el estudio de viabilidad 42 De acuerdo con estos valores, obtendremos la relación de transmisión a la estructura dada una excitación a una frecuencia 𝜔 y suponiendo un factor de amortiguamiento del 5%: 𝑇𝑅=𝐷∗√1+4ζ2𝛽2 𝐶𝑜𝑛 𝐷= 1 [(1−𝛽2)2+(2ζ𝛽)2] 𝛽=𝜔𝑛 𝜔 𝑦 ζ=0.05 (factor de amortiguamiento modal) La función de transmisibilidad, TR, relaciona el desplazamiento producido en el grado de libertad en cuestión, respecto a la excitación sufrida por la estructura. Es una función de respuesta en el dominio de la frecuencia. D representa el factor de amplificación dinámica. Figura 3-5 Transmisibilidad del sistema de 1GDL. – En esta grafica se puede observar como el punto de máximos desplazamientos del movimiento coincide con la frecuencia natural. Este será el punto de partida de para buscar la equivalencia entre la subestructura de latón y la de ABS. Para ello, se varían los parámetros de la subestructura con el fin de conseguir una frecuencia natural semejante y una función de transmisibilidad prácticamente idénticas. Se realiza el mismo el mismo procedimiento, obtendremos los parámetros fundamentales de la ecuación de 1 GDL, su frecuencia natural y transmisibilidad: 𝐾=17.4723 𝑁·𝑚−1 𝑀=0.0125 𝑘𝑔 𝐶=0.0467 𝑁·𝑠·𝑚−1 𝜔𝑛=37.4172 𝑟𝑎𝑑/𝑠 3-10 Transmisibilidad Frecuencia 𝜔 (rad/s) 43 43 Figura 3-6 Comparativa de la subestructura con los mismos parámetros. – Solo varía el material que la compone. Si observamos esta figura, es fácil denotar que la función de transmisibilidad varía su frecuencia natural al cambiar de material, siendo mayor el caso del latón. Además, es lógico que solo difieran en esta especie de traslación entre ambas funciones ya que los únicos parámetros que varían son, la masa (debido a la diferencia de densidad de ambos materiales), y la resistencia que se opone a la deformación del grado de libertad estudiado (debido a la diferencia de módulo elástico de ambos materiales). Por tanto, también variará la frecuencia natural. Para paliar esta diferencia entre ambas subestructuras, se modificarán los parámetros que intervienen en la ecuación de 1GDL y finalmente conseguir comportamientos semejantes. El parámetro fundamental que deben coincidir en nuestro caso para que la función de transmisibilidad sea también coincidente en el caso de ABS al caso del modelo de latón, será la frecuencia natural, que depende a su vez de los parámetros citados anteriormente: la rigidez y la masa movida en el desplazamiento del GDL a estudiar. Por tanto, la estructura equivalente de ABS debe tener tanto la misma masa modal 𝑚′𝑖 como resistencia a la deformación 𝑘′𝑖. • Igualdad en la resistencia: 𝑘′𝑖 𝑘𝑖=3𝐸𝐼 𝐿3 3𝐸𝐼 𝐿3=1→ 𝐸 12𝑏ℎ3 𝐸′ 12𝑏ℎ′3=1→𝐸=105𝐺𝑃𝑎 𝐸′=2𝐺𝑃𝑎 →ℎ′=ℎ √105 2 3=3.744ℎ • Igualdad en la masa movilizada: 𝑚′𝑖=𝑚𝑖→33 140𝜌′𝑏ℎ′𝐿+𝑀′𝑡=33 140𝜌𝑏ℎ𝐿+𝑀𝑡 3-11 3-12 Transmisibilidad Frecuencia 𝜔 (rad/s) Análisis de distintos modelos de la subestructura para el estudio de viabilidad 50 En este modelo, tras realizar varios análisis dinámicos con la situación de las masas puntuales en distintas zonas del final de la subestructura, se ha llegado a la conclusión que los resultados son prácticamente los mismos. Es por ello por lo que la situación de las masas, siempre que estas e encuentren en la línea del extremo libre de la placa es indiferente. Los resultados de los análisis dinámicos son los siguientes: • LATÓN: FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 6.24121 0.16023 -0.10954 1 1.20E-02 1 1 2 14.9649 6.68E-02 0 0 0 1 0 3 1013.14 9.87E-04 -6.81E-09 0 4.63E-17 1 3.86E-15 4 1905.83 5.25E-04 -8.10E-08 0.000001 6.56E-15 1 5.47E-13 Tabla 3-7 Salida de datos del análisis dinámico para modelo PLACA-MASA de latón • ABS: FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 6.17459 0.16195 -0.11063 1 1.22E-02 1 1 2 14.7401 6.78E-02 0 0 0 1 0 3 267.68 3.74E-03 0 0 0 1 0 4 503.517 1.99E-03 -1.78E-09 0 3.17E-18 1 2.59E-16 5 762.458 1.31E-03 1.19E-08 0 1.41E-16 1 1.16E-14 Tabla 3-8 Salida de datos del análisis dinámico para modelo PLACA-MASA de ABS Al observar la tabla 3-8 se puede denotar que, para ambos materiales, el primer modo de vibración es el modo de vibración dominante en el movimiento de la estructura. El resto modos de vibración tienen una masa movilizada insignificante. En cuanto a este primer modo, observamos que la frecuencia natural, aumenta ligeramente. No obstante, para ambos tipos de subestructuras estas frecuencias naturales son ciertamente parecidas. También el segundo modo de vibración es semejante aunque activen otro modo de vibración distinto al que se muestra en cada tabla. 3.3.4 Placa con viga como masa distribuida En esta ocasión a diferencia con el caso anterior, la masa no será puntual, sino distribuida en una viga de sección cuadrada s x s de modo que el producto del volumen por la densidad genere una masa de valor mt . Para ello imponemos el valor de s de forma arbitraria, por ejemplo, s=10h. Es por ello por lo que cada masa tendrá un volumen distinto, ya que h cambia según el material (ABS o latón), y una densidad distinta para conseguir la masa puntual dada. (ver Anexo III-B). 51 51 Si observamos el análisis dinámico de esta placa con la masa distribuida en forma de viga, obtenemos: • LATÓN: FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 6.1399 0.16287 -0.11422 1 1.30E-02 0.950224 0.929491 2 27.7219 3.61E-02 0 0 0 0.950224 0 3 135.893 7.36E-03 2.29E-02 0.200468 5.24E-04 0.988411 3.74E-02 4 287.013 3.48E-03 0 0 0 0.988411 0 5 431.986 2.31E-03 1.26E-02 0.110434 1.59E-04 1 1.13E-02 Tabla 3-9 Salida de datos del análisis dinámico para modelo PLACA-VIGA de latón • ABS: FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 6.12355 0.1633 -0.11274 1 1.27E-02 0.973348 0.958926 2 27.4419 3.64E-02 0 0 0 0.973348 0 3 136.756 7.31E-03 1.55E-02 0.137149 2.39E-04 0.991656 1.80E-02 4 309.832 3.23E-03 0 0 0 0.991656 0 5 342.511 2.92E-03 1.04E-02 0.092586 1.09E-04 1 8.22E-03 Tabla 3-10 Salida de datos del análisis dinámico para modelo PLACA-MASA de ABS En este análisis se puede observar en los resultados como el comportamiento de la estructura es bastante semejante en ambos casos. En los modos de vibración que intervienen en el GDL que estamos estudiando (desplazamiento vertical del extremo libre de la pletina) las frecuencias naturales y masas efectivas movilizadas no varían en exceso, sobre todo en el primer modo de vibración. Pero la objeción de este modelo reside en la masa distribuida. El hecho de que las dimensiones sean arbitrarias hace que la densidad dependa de s, creando una modelización de unas vigas compuestas de un material a priori desconocido o arbitrario. En adelante, se dará solución a esta situación tan ambigua. Figura 3-15 Modelos de placa con viga como masa distribuida. Izqda. ABS y dcha. Latón Análisis de distintos modelos de la subestructura para el estudio de viabilidad 52 3.3.5 Placa con sólido como masa distribuida • SOLID5 El elemento SOLID5 será el elemento de mayor complejidad de los que abarcaremos en este trabajo. Es un elemento con 8 nodos y 5 GDL en cada uno de ellos: 3 traslaciones, VOLT (para definir el potencial de cada nodo) y MAG (para las propiedades magnéticas). Está claro que la aparición del GDL VOLT es lo que hace que decantarnos por este elemento ya que posteriormente, cuando quede implementado el PZT en nuestra estructura, será un GDL de interés en el análisis del comportamiento de nuestra estructura. Pero de momento, la razón por la que se escoge este elemento no será esta, pues las características eléctricas y magnéticas de cada nodo serán obviadas, con el KEYOPT(1)=2, teniendo solo entonces los desplazamientos UX,UY, y UZ como GDL. El uso de este elemento en lugar del SOLID226, aconsejado por ANSYS, es debido a que, pudiera ser por el pequeño espesor de la subestructura, se han generado problemas en este trabajo al utilizar el elemento más reciente del software (SOLID226). Sin embargo, estos problemas desaparecían al utilizar elemento que ANSYS cataloga como obsoleto, aunque su teoría sea totalmente valida: el SOLID5. Figura 3-16 Elemento SOLID5 En este caso se ha optado por que la masa distribuida tenga la densidad del elemento de la subestructura, por tanto, el parámetro s vendrá marcado por: 𝑠2𝑏𝜌=𝑚𝑡 Este cambio respecto al modelo anterior provocará, debido a la diferencia de densidades entre latón y ABS, que la masa distribuida tenga una sección transversal en este caso bastante mayor en el caso de ABS que en el de latón. 53 53 En concreto la sección del latón será cuadrada de lado s=6.4752E-3 m mientras que para el caso de ABS s’=0.0177 m A priori, el caso de latón si presenta una estructura factible desde un punto de vista del diseño real para ser impreso con una impresora 3D. Pero, aunque posean la misma masa, el hecho de que la estructura de ABS tenga un volumen significativamente mayor puede alterar la forma de vibrar de la estructura y ésta acabe comportándose de un modo que no refleje el comportamiento que se busca en la estructura del modelo original. • LATÓN: FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 5.53947 0.18052 -0.11479 1 1.32E-02 0.947162 0.921823 2 26.9703 3.71E-02 3.27E-09 0 1.07E-17 0.947162 7.46E-16 3 98.8377 1.01E-02 2.33E-02 0.202677 5.41E-04 0.98607 3.79E-02 4 269.029 3.72E-03 1.39E-02 0.121274 1.94E-04 1 1.36E-02 5 286.099 3.50E-03 0.00E+00 0 0.00E+00 1 0.00E+00 Tabla 3-11 Salida de datos del análisis dinámico para modelo PLACA-SÓLIDO de latón • ABS: FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 4.75151 0.21046 -0.11115 1 1.24E-02 0.941536 0.927313 2 24.2915 4.12E-02 0.00E+00 0 0.00E+00 0.941536 0.00E+00 3 59.8016 1.67E-02 2.47E-02 0.221975 6.09E-04 0.987928 4.57E-02 4 255.239 3.92E-03 0.00E+00 0 0.00E+00 0.987928 0.00E+00 5 293.985 3.40E-03 1.26E-02 0.113233 1.58E-04 1 1.19E-02 Tabla 3-12 Salida de datos del análisis dinámico para modelo PLACA-SÓLIDO de ABS. Figura 3-17 Modelos de placa con elemento sólido como masa distribuida. - Izqda. latón; dcha. ABS Análisis de distintos modelos de la subestructura para el estudio de viabilidad 54 Observando las comparativas entre la tabla 3-11 y la 3-12, los modos de vibraciones de ambos modelos, aunque guarden cierta similitud, distan de la semejanza que los modelos anteriores tienen. No obstante, también se puede sacar como conclusión que, al utilizar un modelo de complejidad mayor, con más números de GDL y por tanto una modelización que debiera tener un comportamiento más cercano a la realidad, la frecuencia natural de ambos modelos baja respecto al modelo de 1GDL que se realizó previamente. Esta y otras características de cada modelo serán evaluadas y comentadas en el último subapartado de este título: 3.3.9 Resumen, conclusiones y elección del modelo del trabajo. 3.3.6 Sólido con masa puntual Tras el incremento de la complejidad de modelos en los subapartados anteriores, aparece en éste, el primer modelo de subestructura compuesto por elementos tipo sólido (SOLID5). Pero nuevamente el grado de complejidad de cada modelo irá aumentando conforme se avance por los subapartados siguientes. En primer lugar y por orden lógico en cuanto a la complejidad del elemento se refiere, se realiza un modelo con una pletina tipo SOLID5 a la que se colocan 2 masas puntuales. Con todos los elementos descritos anteriormente (tanto SOLID5 como MASS21) este subapartado estará centrado directamente en el resultado del análisis dinámico de cada estructura. Figura 3-18 Modelo en ANSYS tipo SÓLIDO con elementos tipo MASA. Ambos modelos serán prácticamente iguales en la ventana gráfica de ANSYS, excepto en el espesor de la pletina. Comprobemos entonces el grado de similitud y diferencia de estos modelos para el caso de ABS y el caso de latón en cuanto a su comportamiento: 55 55 • LATÓN FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF. MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 6.18225 0.16175 0.11422 1 1.30E-02 0.943767 0.929595 2 15.2707 6.55E-02 4.78E-09 0 2.28E-17 0.943767 1.63E-15 3 134.021 7.46E-03 2.25E-02 0.196785 5.05E-04 0.980314 3.60E-02 4 264.868 3.78E-03 0.00E+00 0 0.00E+00 0.980314 0.00E+00 5 329.876 3.03E-03 -9.43E-03 0.082539 8.89E-05 0.986744 6.33E-03 Tabla 3-13 Salida de datos del análisis dinámico para modelo SÓLIDO-MASA de latón • ABS FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF. MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 6.12694 0.16321 0.11295 1 1.28E-02 0.972827 0.962532 2 14.7237 6.79E-02 0.00E+00 0 0.00E+00 0.972827 0.00E+00 3 183.599 5.45E-03 1.58E-02 0.139494 2.48E-04 0.991757 1.87E-02 4 270.117 3.70E-03 0.00E+00 0 0.00E+00 0.991757 0.00E+00 5 334.397 2.99E-03 0.00E+00 0 0.00E+00 0.991757 0.00E+00 Tabla 3-14 Salida de datos del análisis dinámico para modelo PLACA-MASA de ABS Como se puede observar, los primeros 5 modos de vibración coinciden notablemente. Aunque el resultado del primer modo de vibración (en cuanto a frecuencia y masa efectiva movilizada) están ligeramente mayorados respecto a la primera aproximación que se realizó en el primer subapartado de este capítulo (5.95 Hz) y aún más respecto a los modelos con la masa distribuida en un cuerpo sólido modelado con SOLID5. No obstante, sí podemos concluir observando este modelo, que ambas pletinas tienen el mismo comportamiento. Observaremos a continuación si con modelizaciones más cercanas a la realidad de la masa puntual se sigue cumpliendo esta similitud entre ambas estructuras. Cabe también destacar que en ambos casos de esta modelización el modo de vibración 5 parece bastante similar en cuanto a frecuencias naturales pero el caso de ABS el resultado no contempla movimiento de masa alguna y no interviene en la excitación del grado de libertad que estamos estudiando, a diferencia del modelo de latón, aunque este último, a decir verdad, moviliza una cantidad mínima de masa. Análisis de distintos modelos de la subestructura para el estudio de viabilidad 56 3.3.7 Sólido con viga como masa distribuida Siguiendo con la línea de trabajo anterior, se utiliza nuevamente una viga como elemento de masa distribuida. En este caso la viga será de sección constante cuadrada y nuevamente lado s=h*10 creando la modelización de un material ficticio para la masa sísmica al igual que en el subapartado 3.3.4. Placa con viga como masa distribuida. Por eso los resultados a esperar deben ser muy parecidos entre los dos modelos al igual que ocurría en aquel análisis. Solo cabe preguntarse si en este caso además también serán parecidos a los resultados del apartado del modelo tipo SHELL con la viga como masa distribuida. No será incluido el modelo de forma gráfica ya que el parecido con el modelo del apartado homólogo mencionado es total, y es obviado en este documento. • LATÓN FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF. MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 6.19059 0.16154 -2.24E-04 0.103405 5.00E-08 1.06E-02 3.56E-06 2 26.0238 3.84E-02 0.00E+00 0 0.00E+00 1.06E-02 0.00E+00 3 138.462 7.22E-03 2.16E-03 1 4.68E-06 1 3.33E-04 4 267.807 3.73E-03 0.00E+00 0 0.00E+00 1 0.00E+00 Tabla 3-15 Salida de datos del análisis dinámico para modelo SÓLIDO-VIGA de latón • ABS FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF. MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 6.14295 0.16279 -8.55E-04 0.071692 7.30E-07 5.11E-03 5.51E-05 2 24.9692 4.00E-02 0 0 0 5.11E-03 0 3 192.726 5.19E-03 1.19E-02 1 1.42E-04 1 1.07E-02 4 311.542 3.21E-03 0 0 0 1 0 Tabla 3-16 Salida de datos del análisis dinámico para modelo SÓLIDO-VIGA de ABS. La conclusión a la que se puede llegar fácilmente, observando estos resultados, es que comparten grandes semejanzas en cuanto al primer modo de vibración. No obstante, los otros modos de vibración que aparecen en la subestructura distan bastante de parecerse. Incluso esta diferencia se hace más notable que en el caso de la modelización de la pletina con elementos tipo SHELL181. Por otro lado los resultados denotan algo que hasta el momento no ocurría en ninguno de los modelos anteriores, y es que, la masa efectiva que moviliza el primer modo de vibración no se corresponde con la que cabría esperar observando los modos obtenidos en modelos anteriores. Esto se puede deber a que la modelización de la estructura utilizando estos dos elementos no sea la idónea, ya que puede aparecer una no compatibilidad de los GDL que posee el elemento SOLID5 con los del elemento BEAM88, y por tanto creando la posibilidad de mostrar GDL que no aparecen en los otros subapartados. 3.3.8 Sólido con sólido como masa distribuida Por último, llegamos al caso de una subestructura y masa sísmica compuesta en su modelización por elementos tipo SOLID5. Este tipo de modelización debe ser la que muestre más fielmente el comportamiento de la estructura debido a su carencia de simplificaciones en el modelo. Nuevamente 57 57 y siguiendo el patrón del modelo placa con sólido, utilizaremos para diseñar la masa sísmica el mismo material del que se compone la subestructura. La única diferencia entre este modelo y el descrito en el apartado 3.3.5. Placa con sólido como masa distribuida, será que la pletina de la subestructura estará compuesta por elementos SOLID5 en lugar de SHELL188. Ambos modelos (para ambos materiales) son prácticamente idénticos en la ventana gráfica de ANSYS. (ver figura 3-17). Nuevamente el planteamiento de este modelo se sitúa en la misma tesitura que el mencionado realizado con SHEL188, es decir, hay que conocer los modos de vibración que se producen al aumentar de volumen considerablemente la masa sísmica en la subestructura de ABS. • LATÓN Tabla 3-17 Salida de datos del análisis dinámico para modelo SÓLIDO-SÓLIDO de latón • ABS 1 4.83288 0.20692 0.1092 1 1.19E-02 0.940383 0.925782 2 24.9339 4.01E-02 0 0 0 0.940383 0 3 61.1858 1.63E-02 2.45E-02 0.224077 5.99E-04 0.9876 4.65E-02 4 260.676 3.84E-03 0 0 0 0.9876 0 5 298.478 3.35E-03 1.25E-02 0.11483 1.57E-04 1 1.22E-02 Tabla 3-18 Salida de datos del análisis dinámico para modelo SÓLIDO-SÓLIDO de ABS Nuevamente las conclusiones son parecidas a las recogidas en el comentado subapartado 3.3.5.: la frecuencia natural baja ligeramente en ambos casos al utilizar un elemento con mayor complejidad y en cuanto a la a vibración de la subestructura de ABS, nuevamente ésta se ve afectada debido al volumen de la masa sísmica. Para solucionar este problema, se propone realizar una nueva subestructura modificando la masa sísmica. Para ello, se utilizará la misma masa sísmica en ambos casos y así la contribución de esta para la pletina modelizada de ABS y de latón, dejará a las estructuras en ‘igualdad de condiciones’ ante un análisis modal. Se ha optado entonces por realizar esta masa sísmica de latón por facilidad ya que esta está modelizada. Posteriormente, en caso de aprobar la viabilidad de la subestructura de latón, se propondrá una tipología estructural diferente para conseguir que la impresión en 3D del producto (fin último de este trabajo) sea lo más sencilla posible, a la par que factible. FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF. MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 5.65792 0.17674 1.13E-01 1 1.27E-02 9.45E-01 9.19E-01 2 27.5739 3.63E-02 6.13E-08 0.000001 3.76E-15 9.45E-01 2.73E-13 3 99.907 1.00E-02 2.33E-02 0.206828 5.42E-04 0.985721 3.93E-02 4 272.63 3.67E-03 1.38E-02 0.122904 1.91E-04 1 1.39E-02 5 287.095 3.48E-03 0 0 0 1 0 FCTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF. MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL Análisis de distintos modelos de la subestructura para el estudio de viabilidad 58 Figura 3-19 Modelos con tipo sólido con elemento sólido como masa distribuida. – Se representa un solo caso, el caso de ABS tendrá un espesor mayor y la sección de la masa distribuida será despreciablemente distinta debido a la pequeña variación que existe entre las masas puntuales calculadas analíticamente. De esta manera con ambos elementos tipo sólido y la masa distribuida a través una sección constante modelizada de latón, la subestructura de ABS presentaría los siguientes modos de vibración: • ABS con masa sísmica de latón: FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF. MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 6.08903 0.16423 0.10357 1 1.07E-02 0.965651 0.949153 2 30.0251 3.33E-02 0 0 0 0.965651 0 3 129.259 7.74E-03 1.65E-02 0.159641 2.73E-04 0.990261 2.42E-02 4 316.534 3.16E-03 0 0 0 0.990261 0 5 358.708 2.79E-03 1.04E-02 0.100428 1.08E-04 1 9.57E-03 Tabla 3-19 Salida de datos del análisis dinámico para modelo SÓLIDO-SÓLIDO de ABS con masa sísmica de latón. Notablemente los modos de vibración se asemejan nuevamente entre el caso de la modelización de latón y de ABS, siendo posible ahora comparar de forma correcta el comportamiento de la pletina para ambos casos. No obstante, el descenso de la frecuencia natural en el primer modo de vibración que en los otros apartados se da al aumentar el grado de complejidad de los elementos usados, desaparece en este análisis, quedando un primer modo prácticamente igual al supuesto en el apartado inicial con 1GDL. 59 59 1.1.5 Resumen de modelos matemáticos, conclusiones y elección del modelo de trabajo. En los apartados anteriores se ha ido aumentando la complejidad de los elementos que componen el modelo de la subestructura y se han obtenido los parámetros fundamentales que definen los modos de vibración de ésta. Ahora solo queda comparar los más importantes para y analizar el resultado de los análisis dinámicos. En primer lugar, comprobaremos las primeras frecuencias naturales obtenidas de cada modelo y estudiaremos que modelo podemos tomar como óptimo y si la hipótesis de partida de reducir el sistema a 1 solo GDL es válida o no; así como si la modelización de la subestructura de ABS, basada en dicha hipótesis, es también correcta o no. Figura 3-20 Comparativa de las frecuencias del modo 1para el caso de LATÓN y ABS en los distintos modelos En la figura 3-20 se observa como los modelos son semejantes entre el latón y el ABS en la mayoría de los casos, utilizando distintos elementos teóricos en la modelización (viga, placa o sólido). Lo que no se puede afirmar a ciencia cierta es que sean modelos semejantes entre cada uno de ellos. Es decir, para cada caso (viga-masa, placa-sólido, sólido-masa., etc.) queda claro que ambas estructuras son semejantes. Esta similitud no ocurre entre cada modelo, por ejemplo: no podemos considerar semejantes el modelo de latón placa-sólido con el de latón modelizado con viga-masa. Por otro lado aunque la similitud en cada modelo entre la subestructura de ABS y latón sea discutible, las mayores diferencias y resultados anómalos de los distintos análisis ocurren en el caso ‘placa-sólido’ y ‘sólido-sólido’. La diferencia en los modelos 4 y 7 entre materiales se encuentra en la gran diferencia de volumen que poseen las masas sísmicas. Como era de esperar, esta diferencia se traslada en un primer modo de vibración notablemente diferenciado entre ambos materiales. Por otro lado, la falta de similitud de estos valores con los correspondientes a otros modelos podría estar debida al uso de elementos con mayor número de nodos y mayor número de GDL, lo que conlleva un comportamiento más cercano a la realidad de la estructura. Tal vez este tipo de estructuras contemplen vibraciones de otros grados de libertad que en el uso de elementos ‘simplificados’ como vigas y placas no aparecen con tanta importancia o participación en el análisis modal. 6,00387 6,12355 6,17459 4,75151 6,12694 6,14295 4,83288 6,089 5,95644 6,1399 6,24121 5,53947 6,1822 6,19059 5,65792 5,65792 0 1 2 3 4 5 6 7 FRECUENCIAS DEL MODO 1 ABS LATÓN VIGA PLACA SÓLIDO MASA MASA VIGA SÓLIDO MASA VIGA SÓLIDO SÓLIDO MASA MASA VIGA SÓLIDO MASA VIGA SÓLIDO SÓLIDO* Análisis de distintos modelos de la subestructura para el estudio de viabilidad 66 Como se puede observar el comportamiento de ambas estructuras es el esperado. La estructura se comporta dentro de un comportamiento lineal, y es lógico que la tensión sea mayor en el caso de latón debido a que esta subestructura tiene un espesor (y por tanto una sección) mucho menor que en caso de ABS. En resumen: 1. La hipótesis inicial de tratar el sistema con un solo grado de libertad es en gran medida aceptable. Para todos los modelos, el primer modo de vibración moviliza la mayor parte de la masa, siempre con una frecuencia natural aproximadamente semejante. 2. Tras la conclusión del punto anterior, la búsqueda de la subestructura de ABS semejante a partir de la primera aproximación resulta también correcta en gran medida. 3. La modelización de una masa distribuida con una sección de gran tamaño (aunque misma masa) en el caso de ABS, hace que la frecuencia del primer grado de libertad disminuya de forma considerable y cobre importancia el segundo modo de vibración. 4. Los modelos realizados con elementos sólidos y elementos tipo placa, son prácticamente iguales. Es obvio que, por sus dimensiones, un elemento SHELL (placa) debe reflejar correctamente el comportamiento de la estructura, como así confirma en los distintos análisis anteriores el programa ANSYS. 5. Al comprobar que el comportamiento de la subestructura no varía una cantidad apreciable si se modela con masas puntuales o masas distribuidas, se realizará un modelo con masa distribuida. Esta medida es tomada simplemente por el intento de realizar un esquema de una subestructura que sea fácilmente impresa por una estructura 3D en caso de ser viable la subestructura de ABS. 6. Debido al punto 3 y al intento de realizar un modelo que refleje más fielmente la realidad, se comenzará a trabajar desde este momento con una subestructura con las dimensiones y masa distribuida dada para cada material al final del apartado 3.3.8 Sólido con sólido como masa distribuida. Para el caso de ABS, esta masa distribuida será modelizada de latón, así es posible tener una sección en la masa distribuida idéntica que en el caso de la subestructura de latón y solucionar la anomalía que presenta la gran sección que necesitaría en caso de fabricar la masa distribuida de ABS. 7. El comportamiento de la estructura parece correcto, con valores de la tensión mayores en el caso de latón, ya que en ese caso el tamaño de la sección trasversal es menor. En cuanto al análisis sometiendo la estructura a su peso propio, se puede observar que ninguna de ellas se acerca al valor de su límite elástico. Así que el comportamiento de ambas subestructuras a priori sigue siendo equivalentes. 67 67 4 ESTUDIO COMPARATIVO DE AMBAS ESTRUCTURAS COMPLETAS. 4.1 Definición de los parámetros del PZT-5A Pasaremos a continuación a implementar el material PZT-5A en el código de ANSYS. Para ello, basándonos en la teoría anteriormente descritas definiremos los parámetros necesarios para resolver las ecuaciones piezoeléctricas. A partir de este momento se trabajará con la estructura de latón y ABS junto al PZT-5A. Este es el material piezoeléctrico propuesto en Energy Harvesting Technologies (Shanshak Priya & Daniel J. Inman,2009 para el modelo de la pletina que se utiliza en este trabajo Los parámetros que caracterizan el PZT-5A son: • Densidad del material 𝜌=7171 𝑘𝑔/𝑚3 • Matriz de permitividad: 𝑲=𝜖 𝜖0=[1730 0 0 01730 0 0 0 1700] • Matriz de compliancia 𝒔𝒆= [ 1.64 −0.574 −0.722 0 0 0 −0.574 1.64 −0.722 0 0 0 −0.722 −0.722 1.88 0 0 0 0 0 0 4.75 0 0 0 0 0 0 4.75 0 0 0 0 0 0 4.428 ] 𝑥10−11 • Matriz de carga piezoeléctrica = [ 0 −1.71 0 0 3.74 0 0 −1.71 0 5.84 0 0 0 0 5.84 0 0 0 ] 𝑥10−10 Una vez definida las características de la subestructura en el capítulo anterior, se realizará por código de ANSYS el acoplamiento del PZT-5A a la misma, para ambos casos. Ahora tendremos dos estructuras que deberían tener un comportamiento equivalente. Ya se ha comprobado que la subestructura de ABS tiene un comportamiento dinámico notablemente parecido a la subestructura de latón. Solo falta preguntarse si en el momento de la implementación en el modelo del material piezoeléctrico, ambas estructuras ya completas, son también equivalentes entre sí. Estudio Comparativo de Ambas Estructuras Completas. 68 4.2 Análisis modal de ambas estructuras y equivalencia de los modelos Una vez implementado el PZT-5A para ambos modelos, se continuará resolviendo el análisis dinámico de la estructura, y observando el resultado de ambos casos. (Véase el ANEXO V) Los datos del PZT-5A han sido descritos anteriormente. Las láminas de piezoeléctrico cubrirán toda la superficie de nuestra subestructura, excepto la masa sísmica y tendrán un espesor de 0.26mm. Comparando los resultados de ambos modelos, se observa que sus modos de vibración cuando la estructura está finalmente modelizadas no coinciden, por tanto, ambas estructuras no son semejantes. Los parámetros que definen la subestructura del ABS deben ser modificados para así finalmente conseguir que ambas tengan un comportamiento dinámico parecido a priori y poder posteriormente aplicar casos prácticos para observar si la recolección de energía es semejante o no. Figura 4-1 Modelo de ANSYS de las dos subestructura con el acoplamiento del PZT-5A.(izqda ABS; dcha. latón) 69 69 • LATÓN: FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 45.2777 2.21E-02 0.12061 1 1.45E-02 0.840404 0.7785 2 208.421 4.80E-03 0 0 0 0.840404 0 3 483.256 2.07E-03 -4.59E-02 0.380507 2.11E-03 0.962082 0.112716 4 1202.93 8.31E-04 0 0 0 0.962082 0 Tabla 4-1 Salida de datos del análisis dinámico para la estructura completa de latón. • ABS: FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 85.7156 1.17E-02 0.11581 1 1.34E-02 0.877432 0.787715 2 379.487 2.64E-03 0 0 0 0.877432 0 3 922.56 1.08E-03 -4.33E-02 0.37375 1.87E-03 1 0.110035 4 1689.06 5.92E-04 0 0 0 1 0 Tabla 4-2 Salida de datos del análisis dinámico para la estructura completa de ABS. Es más que notable que los modos de vibración de estas estructuras con el PZT-5A coinciden relativamente poco. Es por ello por lo que se procederá a buscar subestructuras alternativas, para que el movimiento y comportamiento de ambas sea idéntico. Para ello las opciones que se presentan pueden ser: • Variar la masa puntual. Al aumentar la masa puntual debe disminuir la frecuencia natural de nuestra estructura. • Variar el espesor de la subestructura. La disminución de este parámetro hará que disminuya la resistencia ki que se opone al desplazamiento del GDL definido en este trabajo principalmente, por tanto, disminuya también la frecuencia natural. • Variar la tipología estructural. Puede ser una opción, en caso de que no sean fructíferas las dos opciones anteriores. Por ejemplo, la construcción de una pequeña celosía o estructura hueca con un espesor suficientemente mayor podría conseguir el objetivo de este trabajo. 4.2.1 Variación de la masa puntual. Para esta opción se realizarán iteraciones con distintas variaciones de la masa puntual, y se observará si es posible o no alcanzar un comportamiento en el ABS que se acerque al comportamiento del latón. En primer lugar, se estudiará desde un punto de vista de comparativas de orden de magnitud, esto es, observando que la frecuencia natural del primer modo de vibración de la estructura de ABS es aproximadamente el doble que la de la estructura de latón, y que la frecuencia natural varía con la raíz cuadrada del inverso de la masa, procederemos a efectuar una variación que acerque el valor de ambas frecuencias naturales Estudio Comparativo de Ambas Estructuras Completas. 70 𝜔′𝐴𝐵𝑆≈1 2𝜔𝐴𝐵𝑆 √𝑘𝑖𝑚′𝐴𝐵𝑆 ⁄ ≈√𝑘𝑖4𝑚𝐴𝐵𝑆 ⁄ 𝑚′𝐴𝐵𝑆≈4𝑚𝐴𝐵𝑆 Para obtener que la masa modal movilizada en este análisis modal sea cuatro veces mayor, se ha vuelto a utilizar la reducción del sistema a 1GDL y se ha tenido en cuenta que la mayor parte de la masa modal es la masa sísmica. FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 46.9253 2.13E-02 0.19915 1 3.97E-02 0.954231 0.911974 2 214.608 4.66E-03 0 0 0 0.954231 0 3 801.712 1.25E-03 -4.36E-02 0.219006 1.90E-03 1 4.37E-02 4 932.033 1.07E-03 0 0 0 1 0 Tabla 4-3 Salida de datos del análisis dinámico para la estructura completa de ABS con la variación de la masa puntual variando la densidad del material. En efecto, el comportamiento del modelo de esta nueva estructura se asemeja bastante al comportamiento del modelo de latón. Tanto las frecuencias naturales como masas tienen una equivalencia más que notable. Pero lo que puede parecer un éxito guarda una pequeña traba que no se ha comentado hasta ahora. Se ha introducido por comando un nuevo modelo de manera que la nueva subestructura tiene una masa sísmica de un material ideado con una densidad 4 veces mayor que la del latón (Véase el ANEXO V). Una densidad de estas magnitudes generaría un elemento para la masa sísmica fabricado por ejemplo de osmio, un elemento cuya incorporación a nuestro modelo sería inviable técnicamente. Otra opción es aumentar su tamaño. En lugar de su densidad podríamos aumentar la masa puntual aumentando el tamaño de esta, dejando la masa sísmica de latón.00 Hemos observado que con una masa 4 veces mayor el comportamiento ya se acerca mucho a nuestra realidad de ABS, si se afina este factor para conseguir que el resultado sea todavía más parecido, pero esta vez aumentando el volumen de la masa sísmica, se puede llegar a un comportamiento semejante. No obstante, el problema que puede aparecer a continuación es el mismo que en el caso del gran volumen de ABS que impusimos para el estudio comparativo de la subestructura de ABS. El error que esta tipología de masa sísmica provocaba era que los modos de vibración distaban mucho con la estructura con una masa de menor tamaño y el 2º modo de vibración cobraba especial importancia. 𝑚′𝐴𝐵𝑆=(𝜔𝐴𝐵𝑆/𝜔𝐴𝐵𝑆)2 𝑚𝐴𝐵𝑆 𝑠′𝑠′𝑏 𝜌=(𝜔𝐴𝐵𝑆/𝜔𝐴𝐵𝑆)2 𝑠 𝑠 𝑏∗𝜌 𝑠′=(𝜔𝐴𝐵𝑆/𝜔𝐴𝐵𝑆) 𝑠 𝑠′=1.8931𝑠 4-1 4-2 71 71 Tras este cambio, con cálculos algo más detallados que en el caso anterior, pasaremos a observar como quedaría este nuevo modelo en el programa ANSYS y los resultados que este proporcionaría. Un volumen de latón mayor que el calculado previamente para que la masa aumente lo suficiente y consiga unos modos de vibración parecidos a los obtenidos en la estructura de ABS. Figura 4-2 Modelo de ANSYS de la estructura de ABS variando la masa sísmica aumentado la sección transversal de esta El resultado de este análisis modal queda recogido en la siguiente tabla: FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 41.5413 2.41E-02 0.20529 1 4.21E-02 0.930413 0.90354 2 198.302 5.04E-03 0 0 0 0.930413 0 3 570.749 1.75E-03 -4.75E-02 0.231531 2.26E-03 0.980289 4.84E-02 4 841.839 1.19E-03 0 0 0 0.980289 0 5 1782.13 5.61E-04 2.99E-02 0.145552 8.93E-04 1 1.91E-02 Tabla 4-4 Salida de datos del análisis dinámico para la estructura completa de ABS con variación de la masa, variando la sección transversal de esta. El cambiar la masa generando un modelo del volumen mayor, provoca los problemas comentados en el subapartado 3.3.5 o 3.3.8 donde en el caso de tener una masa distribuida en un volumen notablemente grande hace que los modos de vibración se vean afectados en cuanto a masa movilizada y frecuencias naturales. Aunque esta iteración, también se acerca al objetivo de conseguir estructuras semejantes, no se puede dar por valida la semejanza con gran certeza. Estudio Comparativo de Ambas Estructuras Completas. 72 4.2.2 Variación del espesor de la placa. Una vez analizadas las consecuencias de aumentar la masa de una u otra manera, pasaremos ahora a comprobar si al realizar una disminución del espesor, la estructura varía de la misma forma que lo hace con la masa. Para ello, volveremos a realizar un predimensionado del espesor de nuestra placa basándonos en el orden de magnitud. 𝜔𝐴𝐵𝑆 ∗≈1 2𝜔𝐴𝐵𝑆 √𝑘𝑖∗𝑚𝑖 ⁄≈√𝑘𝑖4𝑚𝑖 ⁄ 𝑘∗𝑖≈1 4𝑘𝑖 3𝐸𝐼∗ 𝐿3=1 43𝐸𝐼 𝐿3 1 12𝑏ℎ∗3=1 41 12𝑏ℎ3 ℎ∗= √1 4 3·ℎ=0.62996ℎ Veamos si en este caso, el cambio de resistencia a este GDL supone que la frecuencia natural disminuya del modo esperado: FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 64.5724 1.55E-02 0.11682 1 1.36E-02 0.885237 0.798642 2 290.852 3.44E-03 0 0 0 0.885237 0 3 724.482 1.38E-03 -4.21E-02 0.360057 1.77E-03 1 1.04E-01 4 1654.23 6.05E-04 0 0 0 1 0 Tabla 4-5 Salida de datos del análisis dinámico para la estructura completa de ABS variando el espesor de la placa. Analizando el resultado se podría decir que no es el esperado. No se reduce la frecuencia natural todo lo que cabría esperar siguiendo el razonamiento del subapartado anterior. No obstante, es cierto que se reduce en gran parte las frecuencias naturales, y los resultados se acercan de cierto modo a los dados en la estructura de latón. Tras este resultado, se realizan distintas iteraciones para conocer el espesor idóneo que debe tener la subestructura con el fin de obtener un comportamiento mecánico similar al caso de la subestructura de latón. Observados los distintos casos y para sorpresa de éste que escribe, el resultado del análisis mecánico para la estructura de ABS se asemeja de forma casi indiferenciable al de la estructura de latón cuando el espesor de la subestructura de ABS es el mismo que el de la estructura de latón: 4-3 73 73 FACTOR FRACCIÓN DE RATIO MASA EF MODO FRECUENCIA PERIODO PARTICIPACIÓN RATIO MASA EFECTIVA. MASA ACUM. SOBRE EL TOTAL 1 45.1389 2.22E-02 0.11751 1 1.38E-02 0.863304 0.808776 2 206.836 4.83E-03 0 0 0 0.863304 0 3 527.281 1.90E-03 4.08E-02 0.347443 1.67E-03 0.967519 9.76E-02 4 1300.13 7.69E-04 0 0 0 0.967519 0 5 1546.44 6.47E-04 2.28E-02 0.19397 5.20E-04 1 3.04E-02 Tabla 4-6 Salida de datos del análisis dinámico para la estructura completa de ABS con el espesor del modelo original, idéntico al latón. Los modos de vibración en este análisis modal para la subestructura de ABS coinciden considerablemente con nuestro modelo de latón. Es por ello por lo que la conclusión a la que llegamos es que, a diferencia de nuestra suposición en cuanto al comportamiento del PZT-5A, es éste y no la subestructura la que marca en gran medida la rigidez de la estructura. Esto puede estar ligado al pequeño espesor que la subestructura posee, en comparación con el espesor del material piezoeléctrico. Ahora se realizará un análisis del comportamiento de la subestructura con distintas condiciones de contorno en carga y voltaje. Se realizará un análisis estático sometiendo la estructura a una diferencia de potencial de valor unidad (1V) entre las caras interiores del PZT y las exteriores. Posteriormente se realizará un nuevo análisis estático, con una estructura sometida a una aceleración de valor unidad (1N/m2) en la dirección perpendicular a la pletina. El fin de estos análisis es comprobar de forma cualitativa si la deformación y el mapa de tensiones obtenidos en ambas estructuras (latón y ABS) se podrían considerar o no semejantes. Pero antes se aclarará la configuración eléctrica que tiene el material piezoeléctrico en este trabajo. Como se ha descrito en el apartado 2.2. Aplicaciones de la piezoelectricidad, la forma de añadir el PZT-5A a la pletina puede ser unimorfa o bimorfa. En este caso, la configuración de la pletina será bimorfa conectada en paralelo. Figura 4-3. Configuración del PZT-5A en la estructura. – Las condiciones del análisis estático con la diferencia de potencial deben las de la segunda imagen, ya que, al tener una polarización en el mismo sentido y una corriente en sentidos contrarios, la pletina debe sufrir una flexión como la de la figura. 1V 1V Estudio Comparativo de Ambas Estructuras Completas. 74 CC: Diferencia de potencial de 1V. En este caso, teniendo en cuenta la configuración que ha sido modelizada en el PZT, se ha aplicado una condición de contorno de potencial unidad a las superficies exteriores, mientras que se le ha dado un valor nulo a las caras interiores del PZT en contacto con la subestructura. Figura 4-4 Deformada de la estructura (ABS arriba; latón abajo) sometida a una diferencia de potencial de 1V entre el PZT en la capa exterior e interior. La posición deformada de las estructuras, tanto de latón como de ABS, son prácticamente iguales, con un valor del desplazamiento máximo de 5.17E-6 m en caso de ABS y 5.13E-5m en el caso de latón. 75 75 Figura 4-5 Mapa de tensiones en la estructura (arriba ABS; abajo latón) sometida a una diferencia de potencial de 1V entre el PZT en la capa exterior e interior. En cuanto a las tensiones, es notable que la distribución de tensiones es bastante parecida. Aunque los valores difieran ligeramente, cualitativamente podemos afirmar que las tensiones máximas y mínimas en cada estructura son semejantes, así como su localización dentro de la estructura. Por lo general presentan un mapa tensional con gran similitud entre ambos casos. Casos prácticos 82 Figura 5-2 Modelo de los trenes que circulan por el viaducto. Posteriormente se analizarán los valores de desplazamiento y diferencia de potencial del modelo numérico de nuestra estructura, tanto para el caso de latón como de ABS y se estudiarán las diferencias y semejanzas de estos modelos en cuanto a la repuesta ante el paso de los distintos trenes. La respuesta que cada uno de los trenes provoca a su paso por el viaducto, será distinta dado a que movilizan distinta masa y transcurren a distintas velocidades. Modelo Velocidad (km/h) S100 262 S102 262 S103 279 S104 252 S130 247 Tabla 5-1 Velocidades de los distintos trenes sobre el viaducto BRACEA I. Los datos se diezmaron (hasta orden 16) para llevar a cabo el análisis en un rango de frecuencias de interés (0 a 60 Hz). Las señales se filtraron aplicando dos filtros Chebyshev de tercer orden con frecuencias de paso alto y paso bajo de 1 Hz y 60 Hz, respectivamente. 83 83 Figura 5-3 Diagramas de aceleración recogidos en el acelerómetro 5 para los distintos pasos de trenes por el viaducto Casos prácticos 84 5.2 Análisis de resultados A continuación, se representan los distintos resultados tanto de amplitud del movimiento en el GDL estudiado desde el comienzo de este trabajo, como la diferencia de potencial entre las bornas situadas en las caras interiores y exteriores del piezoeléctrico (Véase figura 4-3). En la columna de la izquierda aparecerán los valores del análisis para el modelo con la subestructura de latón. En la columna derecha los valores del modelo con la subestructura de ABS. El nodo que se ha utilizado para representar el desplazamiento vertical de la estructura es el situado en la parte central del extremo no empotrado, intentando conseguir el punto que sufrirá un mayor desplazamiento. Concretamente es el nodo 1360, que posteriormente aparecerá en los distintos anexos. Figura 5-4 Localización aproximada del nodo 1360. - Se tomarán los desplazamientos de este nodo, ya que sin pertenecer a la masa sísmica es donde se prevén los mayores desplazamientos. S100 LATÓN ABS 85 85 S100 S100 LATÓN ABS LATÓN ABS Casos prácticos 86 Figura 5-5 Desplazamientos del nodo 1360 al paso de los distintos trenes (rojo). Diferencia de potencial entre la capa externa e interna del PZT (azul) S100 S100 LATÓN ABS LATÓN ABS 87 87 En primer lugar, se puede observar como el resultado es bastante parecido en ambas estructuras, tanto para el desplazamiento como para el voltaje. La forma de vibrar de ambas estructuras ante los distintos trenes es prácticamente igual. El valor de los desplazamientos máximos coincide en un valor del orden de 1E-8 m. y el valor de la diferencia de potencial en cada caso a lo largo del tiempo son prácticamente iguales. Además, en ningún análisis dinámico realizado en el programa ANSYS hace referencia a la aparición de fallos en la estructura que no permitan continuar con el análisis. Por tanto, es posible asegurar que la subestructura de ABS cumple correctamente con el comportamiento deseado en este trabajo. No obstante, se comprobará a continuación si su tensión máxima se acerca al valor de la tensión máxima de rotura de la cerámica, o a la tensión de fluencia del ABS. Para ello la metodología seguida ha sido buscar el instante de tiempo de mayor deformación y así analizar el valor de la tensión máxima. Tren Tiempo (s) Tensión Subestructura (MPa) Máxima tensión en Subestructura (MPa) Tensión en PZT (MPa) Máx. tensión PZT-5A (MPa) S100 4.538 LATÓN 0.245 250 0.33 140 MPa ABS 0.025 30 0.32 S102 4.233 LATÓN 0.298 250 0.399 ABS 0.031 30 0.387 S103 2.148 LATÓN 0.351 250 0.469 ABS 0.036 30 0.457 S104 1.375 LATÓN 0.186 250 0.248 ABS 0.019 30 0.239 S130 1.7183 LATÓN 0.389 250 0.517 ABS 0.040 30 0.51 Tabla 5-2 Comparativa de las tensiones máximas obtenidas en la estructura en ambos modelos En la Tabla 5-2 se comparan tanto las tensiones obtenidas en la subestructura en el caso de que la esta sea de ABS o de latón, como las tensiones dadas en el PZT-5A. Además, se comparan con su límite elástico de cada material. Es fácil observar que las tensiones obtenidas son mucho menores que el límite elástico. Es por ello por lo que, aunque la ley introducida en el modelo numérico sea lineal, esto no interfiere en el resultado de este estudio, ya que no se alcanza el límite elástico en ninguno de los casos. La tensión en cada caso que ha sido comparada ha sido la tensión de von-Mises obtenidas del software ANSYS. Se incluye también en ella, el instante donde se produce esta deformación máxima. Además, cabe destacar la diferencia que existe entre las tensiones de cada subestructura. En concreto la tensión de von-Mises recogida en el latón es de un orden superior a la obtenida en el ABS. En cuanto a la tensión del PZT, está no varía del orden de ella misma al variar la estructura de latón a ABS, por lo tanto, se afirma la validez de esta estructura también desde el punto de vista tensional de la estructura. Casos prácticos 88 Figura 5-6 Comparativa de las tensiones máximas obtenidas en la estructura en ambos modelos En la Figura 5-6 se puede observar lo comentado anteriormente y es que, en ninguno de los pasos ferroviarios, las tensiones en el PZT-5A varían al pasar de la estructura de latón a la estructura de ABS. Aunque es cierto que, en el caso de la subestructura de latón, son las tensiones en el PZT-5A algo mayor que en el caso de la subestructura de ABS. Esto puede conllevar que, en el caso de realizar la estructura de ABS. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Tension Máx. en PZT (MPa) ABS LATON S100 S102 S103 S104 S130 89 89 6 CONCLUSIONES 6.1 Resultado del estudio de viabilidad Durante la realización de este trabajo, se han realizado numerosos ensayos con el programa ANSYS. En primer lugar, se ha optado por realizar ensayos dinámicos, basados en análisis modales, en un modelo de la subestructura sin el material PZT-5A. Se ha ido aumentando la complejidad del elemento principal de la subestructura en cada análisis, desde un simple modelo de 1GDL hasta un modelo sólido. Comparadas ambas subestructuras y obtenidos los parámetros que hacen que éstas tengan el mismo comportamiento a priori, se ha implementado el PZT-5A, en el modelo más complejo, utilizando el elemento SOLID5 de la librería de ANSYS. Posteriormente se ha resuelto un análisis transitorio, para cada ensayo obtenido del estudio sobre el Viaducto BRACEA I. Se ha detallado los resultados de estos análisis a lo largo de este trabajo. Cada paso se ha seguido para intentar aclarar si es posible o no, sustituir en esta pequeña pletina el latón por el ABS. Y finalmente, a las conclusiones a las que se puede llegar son: • Es viable en gran medida el intercambio del material en este tipo de estructura, por los motivos que se recogen en los siguientes puntos. • El comportamiento eléctrico del PZT-5A no se debe ver modificado al modificar el material interior, desde latón a ABS. Los resultados de ambas estructuras son prácticamente igual desde el punto de vista de la recolección de energía. • Al realizar los análisis dinámicos transitorios con el método de Newmark, se puede concluir que es el material piezoeléctrico y no la subestructura, el que opone la principal resistencia a la deformación de la estructura. A esta conclusión se llega tras configurar el espesor del ABS exactamente igual que el de la subestructura de latón, y obtener prácticamente el mismo resultado. • Como corolario de la conclusión anterior: no es necesario cambiar ningún parámetro (espesor, masa puntual, longitud o ancho) de la estructura principal, simplemente sustituir un material por otro. • Tras comprobar los resultados del análisis transitorio de Newmark, se puede observar que el diseño de esta estructura utilizando ABS hace que las tensiones que sufre el material piezoeléctrico en su máximo desplazamiento sean ligeramente menores que cuando se construye de ABS. • Las tensiones que sufre la subestructura, sin tener en cuenta el PZT-5A) son de un orden mayor en el caso de latón que en el caso del ABS. (Véase la Tabla 5-6) • Por último, desde el punto de vista tensional, hay que resaltar que no es una estructura susceptible, a priori, de alcanzar su límite elástico cuando está sometida a las excitaciones que en este trabajo se proponen y así lo denotan las tensiones máximas de Von-Mises que se detallan en la tabla 5-6. Ninguna de los 3 materiales que aparecen, ni el modelo de latón, ni el modelo de ABS, ni el PZT-5A en ambos modelos se acercan a valores próximos a su límite elástico. Es por ello por lo que solo se ha utilizado un comportamiento lineal del material. • En cuanto a los desplazamientos, aunque en este trabajo se han detallado los resultados del análisis transitorio de forma cualitativa, podemos nuevamente afirmar que guardan una gran similitud. Conclusiones 90 Figura 6-1 Comparativa de desplazamientos máximos bajo la excitación del S100.- El error es inapreciable en una escala del orden de 1E-5 m. • Como caso interesante en los análisis modales de la subestructura, cabe destacar que el aumento del volumen (que no de peso) en el extremo libre de la pletina provocaría un desplazamiento del centro de gravedad de la masa sísmica alejando éste de la pletina, lo que genera que los modos de vibración sean notablemente distintos. (Apartado 3.3.5. y 3.3.8). Es por ello por lo que se utiliza la masa sísmica idéntica al modelo de latón en el modelo de ABS. Así es posible comparar el movimiento de ambas pletinas y hacer que estas se comporten de forma mucho más parecida. • Como consecuencia del punto anterior, el hecho de que solo varía la pletina para igualar el comportamiento de ambas estructuras, manteniendo la masa sísmica de latón, puede dar lugar a la idea de que entonces el cambio de material no es viable completamente. Para ello, se proponen estructuras tecnológicamente viables en el apartado siguiente. 6.2 Ampliación en futuros trabajos. En primer lugar, al comprobar que es el material piezoeléctrico el que opone la resistencia a la deformación principalmente, y no la subestructura en sí, con su gran esbeltez, cabe preguntarse si sería posible, no solo la sustitución del latón por ABS, sino por cualquier otro material con una capacidad de resistir el rango de tensiones que se presentan en este trabajo, y permitir a la estructura vibrar de la misma forma que lo haría en el caso del ABS o del latón. También, una vez terminado el estudio de viabilidad, y para contestar a los últimos puntos dados en las conclusiones, es lógico preguntarse si existe una estructura más factible de fabricar desde el punto de vista tecnológico. El beneficio de una impresión 3D a la hora de realizar la subestructura ya se ha constatado en este trabajo. Pero el hecho de unir esta pletina a una masa sísmica de latón parece un método poco ortodoxo e inverosímil. Por ello, aprovechando nuevamente las facilidades que la impresión 3D brinda, sería posible realizar una subestructura capaz de albergar una masa sísmica de pequeño tamaño y que así no aparezcan los 91 91 problemas comentados en el momento de introducir un gran volumen en su extremo. Figura 6-2 Posible alternativa capaz de albergar una masa sísmica de pequeño volumen Esta es una posibilidad que permite imprimir sin ningun problema la pletina deseada con un hueco en su extremo donde colocar la masa sismica de un material más pesado que el ABS. Así, queda la duda de saber como unir esta pieza, que material escoger y calcular una vez elegida el tamaño correcto para que el comportamiento sea igual que en el caso de latón. El propio latón puede ser una opción. Otra alternativa vuelve a ser aumentar la sección de la estructura pero sin variar su centro de masas.Esta solución podría generar una forma como la que vemos a continuación. Figura 6-3 Posible alternativa, con una masa sísmica de mayor volumen sin variar la posición del centro de gravedad. Con esta configuración, se presenta una posibilidad que no necesita ningún otro material y se puede diseñar directamente la pletina con un software de CAD e imprimir instantáneamente la subestructura del recolector de energía. Sería una buena opción realizar un análisis modal de esta estructura y conocer los modos de vibración de esta esta estructura en trabajos venideros o ampliación de este. ANEXO 98 B. SÓLIDO-MASA ! CASO DE LATÓN Ex=105E9 Nu=0.324 b=31.8e-3 h=0.14e-3 L=50.8E-3 densidad=9000 mt=0.012 !Caso DE ABS ! Ex=2E9 ! Nu=0.33 ! b=31.8e-3 ! h=0.14e-3*3.74 ! L=50.8E-3 ! densidad=1200 ! mt=0.01224989 /PREP7 ET,1,SOLID45 ET,2,MASS21, 0,0, 2, R,2,mt/2 MP,EX,1,Ex MP,PRXY,1,Nu MP,DENS,1,densidad !LATT, MAT, REAL, TYPE, --, KB, KE, SECNUM !RECTNG,, L,, b BLOCK, , L, , b, -h/2, h/2 !AATT, MAT, REAL, TYPE, ESYS, SECN VSEL,S,,,1 VATT,1,,1,,1 ALLSEL,ALL LESIZE,ALL,L/20 VMESH,ALL NSEL,S,LOC,X,0 D,ALL,ALL ALLSEL,ALL n1=node(L,b,0) TYPE,2 REAL,2 E,n1 ALLSEL,ALL n2=node(L,0,0) TYPE,2 REAL,2 E,n2 ALLSEL,ALL NUMMRG, ALL, NUMCMP, ALL /SOLU ANTYPE, MODAL MODOPT, LANB, 10, ,,,ON MXPAND,10,,,yes SOLVE OUTPR,ALL 99 99 C. SÓLIDO-SÓLIDO ! !CASO DE LATÓN Ex=105E9 Nu=0.324 b=31.8e-3 h=0.14e-3 L=50.8E-3 densidad=9000 mt=0.012 s=6.475239E-3 !Caso DE ABS ! Ex=2E9 ! Nu=0.33 ! b=31.8e-3 ! h=(0.14e-3)*3.74 ! L=50.8E-3 ! densidad=1200 ! mt=0.01223989 ! S=0.0178979 /PREP7 ET,1,SOLID45 MP,EX,1,Ex MP,PRXY,1,Nu MP,DENS,1,densidad BLOCK, , L,, b, -h/2, h/2 BLOCK,L,L+s,,b,-h/2,h/2 BLOCK,L,L+s,,b,-(s/2-h/2),-h/2 BLOCK,L,L+s,,b,h/2,s/2-h/2 VATT,1,,1,,1 VGLUE,ALL LESIZE,ALL,S/5 VMESH,ALL Nsel,s,loc,x,0 D,all,all allsel,all NUMMRG, ALL NUMCMP, ALL !/SOLU ! ANTYPE, MODAL ! MODOPT, LANB, 5, ,,,ON ! MXPAND,5,,,YES ! SOLVE ! OUTPR,ALL ! finis ANEXO 100 ANEXO V Código de ANSYS para el análisis de la estructura con el PZT-5A !----------PARAMETROS--------- !PZT-5A dens_pzt=7171 S11=1.64E-11 S12=-5.74E-12 S13=-7.22E-12 S33=1.88E-11 S44=4.75E-11 S66=2*(S11-S12) d15=5.84E-10 d31=-1.71E-10 d33=3.74E-10 k11=1.73E+03 k33=1.70E+03 !ABS Ex2=2E9 Nu2=0.33 dens2=1200 !LATÓN Ex3=105E9 Nu3=0.324 dens3=9000!*4 !GEOMETRICOS b=31.8e-3 h=(0.14e-3)!*3.744 hpzt=0.26e-3 L=50.8E-3 mt=0.01223989 !s=(6.539641E-3) s=6.475239E-3 /PREP7 !-------------ELEMENTOS------ ET,1,SOLID5,3 ET,2,SOLID5,2 !-----------MATERIALES--------- !___________________ !PZT -> MATERIAL 1 MP,DENS,1,dens_pzt tb,anel,1,,,1 tbda,1,s11,s13,s12 tbda,7,s33,s13 tbda,12,s11 tbda,16,s44 tbda,19,s44 tbda,21,s66 tb,piez,1,,,1 tbda,2,d31 tbda,5,d33 tbda,8,d31 tbda,10,d15 tbda,15,d15 mp,pery,1,k33 mp,perz,1,k11 mp,perx,1,k11 !_______________ !ABS -> MATERIAL 2 MP,EX,2,Ex2 MP,PRXY,2,Nu2 MP,DENS,2,dens2 !_________________ !LATÓN -> MATERIAL 3 MP,EX,3,Ex3 MP,PRXY,3,Nu3 MP,DENS,3,dens3 !-------- GEOMETRÍA ------- !___________________ !ESTRUCTURA PRINCIPAL BLOCK,, b, -h/2, h/2, , L !____________ !MASA SÍSIMCA BLOCK,,b,-h/2,h/2,L,L+s BLOCK,, b, -h/2-hpzt, - h/2,L,L+s BLOCK, ,b, h/2,h/2+hpzt, L,L+s BLOCK,,b,-(s/2-h/2-hpzt),-h/2hpzt,L,L+s BLOCK,,b,h/2+hpzt,s/2-h/2hpzt,L,L+s 101 101 !______________ !PIEZOELECTRICO BLOCK,, b, -h/2-hpzt, -h/2, , L BLOCK, ,b, h/2,h/2+hpzt, , L !-----MALLADO------ VGLUE,ALL VSEL, s, volu, , 10,11 VATT, 1, , 1, , VSEL, s, volu, , 1, VATT, 2, , 2, , VSEL,S,VOLU,,9, VATT, 3, , 2, , VSEL,S,VOLU,,12,15 VATT, 3, , 2, , ALLSEL NDIV=L/20 ESIZE,NDIV MSHK,1 MSHA,0,3D VSWEEP,All !--------CONDICIONES DE ------- !--------CONTORNO Y CARGAS----- NSEL,S,LOC,Z,0 D,ALL,UX,,,,,UY,UZ NSEL,S,LOC,Y,h/2 NSEL,R,LOC,Z,0,L CP,1,VOLT,ALL *GET,NMID1,NODE,0,NUM,MIN NSEL,S,LOC,Y,-h/2 NSEL,R,LOC,Z,0,L CP,2,VOLT,ALL *GET,NMID2,NODE,0,NUM,MIN NSEL,S,LOC,Y,hpzt+h/2 NSEL,R,LOC,Z,0,L CP,3,VOLT,ALL *GET,NTOP,NODE,0,NUM,MIN NSEL,S,LOC,Y,-hpzt-h/2 NSEL,R,LOC,Z,0,L CP,4,VOLT,ALL *GET,NBOT,NODE,0,NUM,MIN ALLSEL D,NMID1,VOLT,0 D,NMID2,VOLT,0 REFERENCIAS [1] Shashank Priya & Daniel J. 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