Diseños muestrales uniformes apropiados para estimar la función de distribución poblacional empleando muestreo por conglomerados en una etapa

Metodología de Encuestas Vol 3, Núrn 1,2001,97-111 DISEÑOS MUESTRALES UNIFORMES APROPIADOS PARA ESTIMAR LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN POBLACIONAL EMPLEANDO MUESTREO POR CONGLOMERADOS EN UNA ETAPA RESUMEN José A. Mayor Gallego Manuel Martínez Blanes Universidad de Sevilla Para estimar la función de distribución de una variable sobre una población finita, se propone el estimador de Horvitz-Thompson, lo que proporciona una estrategia muestral insesgada. La varianza de dicho estimador es una función real de variable real, cuya minimización permite obtener diseños muestrales óptimos bajo diferentes criterios. En este trabajo empleamos la norma 11·111 como criterio de optimización, minimizando la norma de la función varianza. De esta forma, considerando como dominio de búsqueda el conjunto de los diseños muestrales uniformes, en el sentido de ser iguales las probabilidades de inclusión de primer orden, se estudia la obtención de diseños muestrales adecuados, bajo muestreo por conglomerados de una etapa. Palabras clave: muestreo, poblaciones fmitas, diseño muestral, función de distribución, conglomerados. 98 menor o tración y M. mostramos en estas dos funciones consistente en 757 localidades de noma rHJeua.<ULU, con exclusión de las de número de habitantes de cada AV"<U"~uu verse, la función de concentración se mantiene Uléuv"""'UU\.oUI'''' sede la función de distribución. es decir, la ello o menos lU\""ll'Ua,¡c;", pero los habitantes lan ese 50% replfeE:entan menos del 10% del total de habitantes. De Diseños muestl"ales uniformes apropiados para estimar la función de distribución .. , 99 WI.>lVl1"" con un número de habitantes menor o igual que 15 millas que concentran el 50% del total de habitantes. La estimación de las funciones de distribución o de concentración tienen ahdentes C"IJv\'.laJ.CO'L No sólo cuentan con un interés de por sí, que comparten con la características También constituyen un liU'vH1ClIA.HV, un instrumento para hasta la estimación de multitud de ( / 15000 l' Funciones de n,,¡n¡1'lU'¡1 variable HABITANTES en -F(t) -- G(t) 100000 JI concentración, G(t), de la DCA 757. ,,"J-'''' .... HU,u .. cLua es posible encontrar diferentes enfoques para de la estimación de la función de distribución como los oalranletros relacionados con la misma. Así, en relación a la estimación de la mediana es citar el trabajo inicial de Wooddruff (1952), en el que se un intervalo de confianza para la estimación de la mediana poblacional y otras medidas de posición, el muestreo aleatorio simple. Por otra parte, Sendransk y (1978) estudian este problema bajo un enfoque puramente probabilístico de distribución de estadísticos ordenados, para muestreo aleatorio simple y estratificado. Hill (1968) un enfoque bayesiano; y Kuk y Mak (1989), técnicas de información auxiliar proporcionada por otras variables. Para el problema de la estimación de la función de distribución poblacional pro- ¡.nCHH'~H' .... dicha, también encontramos diferentes enfoques en la bibliografia. Por ejemplo, Chambers y Dunstan (1986) emplean un modelo de superpoblación para desarrollar un procedimiento de estimación. Kuk (1988) estudia y compara varios estimadores de la función de distribución poblacional, empleando muestreo con 100 J.A. Mayor y Mo Mar!inez Blanes probabilidades y Rao, Kovar y Mantel (1990) desarrollan estimadores que emplean información auxiliar. Citemos también los trabajos de Dorffman y Hall (1992) y Rao (J consideraremos este con un enfoque distinto de los que se basa en el estudio de la fimción de varianza del estimador de Horvitz··· Thompson, con el fIn de buscar diseños muestrales óptimos, en una clase de diseños muestrales. para ello, vamos a considerar una población U y una variable de estudio Y, cuyos valores sobre U son que, sin de ordenados de menor a mayor, esto es, Y¡ <; Y2 s; ... s; Nuestro objetivo es la estimación de la función de distribución de la variable Y, Si "'LH¡'HC'''HLV~ las funciones indicadoras de los intervalos de la forma podemos expresar como que ser estimada mediante el estimador de una muestra obtenida de U mediante diseño H."HIJf-Ha . .cUJlIH';;illl.V y con matriz de diseño que denotamos resulta ser A. 1 FU) = N ¡En¡ (t) Como sabemos, este estimador es insesgado y su varianza ser mediante la clásica fórmula v [ft(t)] y, así, para cada valor de t E lE, podemos eIIlpl,ear dicha expresión como medida de la bondad de la estimación. Diseños muestrales uniformes apropiados para estimar la función de distribución". 101 Muestreo por COJIl2;IIOIlICl en una Al ser la varianza de una función, no tiene sentido hablar de varianza mínima en el sentido usuaL Por ello, vamos a definir un criterio apropiado que nos pemlita obtener propiedades de los diseños muestrales más adecuados para la estimación que estamos realizando. El criterio que definimos viene determinado por la siguiente distancia, basada en la nOITna funcional I i'l! l' siendo S(Y¡,YN) el soporte de la variable Y, es decir, S(Y¡,YN) = [Y¡,YNl Notemos que cumple los requerimientos analíticos para que esta distancia esté bien definida. Supondremos que se realiza un muestreo por conglomerados en una etapa. Así, la población sobre la que se realiza el muestreo es una población de conglomerados, Ve ={C¡, ... ,C¡, ... ,C M }, cada uno con tamaños respectivos N¡, ... ,N", .. ,N M• Sobre esta población se emplea un diseño muestral de = (Me'?e), con matiz de diseño {Jrij} , siendo entonces las probabilidades de inclusión de las unidades finales: si k E C¡ si k E C¡, 1 E Cj si k,l E C¡ '\ik E U 'v'k,l E U De esta forma, denotando por me la muestra obtenida de n conglomerados, y por m a la muestra de unidades [males provenientes de dichos conglomerados, el estimador de Horvitz-Thompson será: kEm N 1 F¡ (t) -I[ )(t)= e N Ji, .+ro ff iEme i '102 M. todos los tada a la estmctura evueVHJiSAU, vamos calcular la za, F 1 y que dt == ,Y¡ pues, F ) 1 Por Diseños muestra/es uniformes apropiados para estimar /a función de distribución.,. 103 F dtJ se tiene y (t) dt 'Y I }) 1) ,YU Así pues, ¡JUUvU!CJO> afinnar que los diseños bajo el criterio que hemos son los que tienden a hacer mínimo el ténnino 1= ,YI }) puesto que el ténnino no del diseño muestral. Observemos que la variable Y es por lo que el problema de minimización obtenido no ser considerado directamente. Por esta razón, realizaremos algunas sobre la estructura de la población. vamos a estudiar la PYlnrp·Q,cm a minimizar para dos estructuras poblacionales muy comunes, y que formalizaremos mediante modelos de Modelo de lJelrp<HHaCllon cOl::npletarn:ente aleatorio Este modelo viene dado par las siguientes especificaciones y fonnaliza la situación real en la que la variable de estudio fluctúa globalmente en torno a un valor medio o central, no estando en concomitancia con ninguna otra variable inherente al problema. Con este modelo, sustituinlOS el problema de minimización anterionnente considerado, por el de minimizar la esperanza, en dicho modelo, de la función objetivo; es minimizar . A continuación, calculamos dicha esperanza. Observemos, en prinler lugar, que 104 JA Mayor y M. Marlínez Blanes Vk,! E V por consiguiente, de donde se deduce que Vk,! EV y se tiene, pues, ] a-a ° Así pues, tendremos que ES[V j ]=0, es decir, bajo el criterio empleado, cualquier diseño muestral proporcionará análogos resultados, pudiéndose pues aplicar el muestreo aleatorio simple por razones de facilidad. Este resultado es interesante pues contrasta con el hecho, bien conocido, de la influencia de los tamaños de los conglomerados en la estimación de parámetros como la media y el total poblacio· nales, cuando se emplea muestreo aleatorio simple de conglomerados (véase, Fernández y Mayor, 1995). Modelo de superpoblación de regresión lineal por conglomerados Sus especificaciones son Dicho modelo formaliza aquellas situaciones en las que existe una relación aproximada, de tipo lineal, entre la variable de estudio y una variable auxiliar, completamente conocida, X, con el mismo valor en cada uno de los conglomerados. Este tipo de relaciones suelen darse en numerosas situaciones reales en las que la variable de estudio presenta cierta homogeneidad en cada conglomerado, pero éstos tienen comportamientos distintos,. aunque con un patrón de tipo lineal en relación a una variable conocida sobre Ve' Como en el caso anterior, sustituiremos el problema de minimización inicial por el de minimizar Es[Vj ]. En este caso, denotando con XMAX el valor máximo de la variable X, y por v el índice del conglomerado al que pertenece la unidad poblacional N-ésima, y suponiendo que V k E C¡ Y 'lilE Cj , se tiene Diseños muestrales uniformes apropiados para estimar la función de distribución .. , 105 con lo que los diseños muestrales apropiados para la estimación que estamos realizando son aquéllos que minimizan la expresión Implementación bajo el modelo de regresión lineal A continuación, vamos a estudiar la viabilidad del método, previamente considerado, en el sentido de su aplicabilidad a situaciones reales, en el contexto del segundo modelo de superpoblación considerado, pues para el primero ya hemos visto que el muestreo aleatorio simple es la elección más apropiada, En primer lugar, consideremos el estimador empleado en este trabajo, con Podemos observar que no tiene sentido intentar reducir la varianza de la estimación empleando probabilidades de inclusión de primer orden proporcionales al tamaño, como se hace cuando se estiman parámetros puntuales como medias o totales, ya que aquí dichas probabilidades afectan a funciones con una variabilidad inherente, Pensemos que si escogemos unas probabilidades de tal tipo para un detenninado valor de la variable t, dichas probabilidades pueden no ser adecuadas para otro valor diferente. Esto justifica que, buscando simplificar la implementación de la metodología introducida, restrinjamos la búsqueda a diseños muestrales de tipo unifonne, en el sentido de ser constantes las probabilidades de inclusión de primer orden, Con esta elección, tendremos necesariamente 1f ¡c = n/M, 'v' i E U e y, con esta simplificación, la expresión a minimizar queda como sigue ¿ ¿1fij N¡Nj(XMAX max{X¡,XJ) ¡EUc {j;'d}EUc