Estudio de la dispersión profundamente inelástica en procesos electrón-nucleón y análisis de los factores de forma del nucleón

Universidad de Sevilla Facultad de F ´ ısica Estudio de la dispersi´ on profundamente inel´ astica en procesos electr´ on-nucle´ on y an´ alisis de los factores de forma del nucle´ on Trabajo Fin de Grado Javier Gallego Bonilla Grado en F´ısica Curso 2021/22 Tutores: Juan Antonio Caballero Carretero Guillermo Daniel Meg´ıas V´azquez ´ INDICE 1 ´ Indice Resumen 3 1. Introducci´on General: Objetivos y Metodolog´ıa 4 1.1. Ecuaci´on de Dirac e interacci´on electromagn´etica del electr´on . . . . . . . . 5 1.2. Estructura interna del nucle´on: factores de forma . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Situaci´on experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Formalismo de la Interacci´on Electromagn´etica Electr´on-Nucle´on 13 2.1. Ecuaci´ondeDirac................................ 13 2.2. An´alisis del diagrama de Feynman del proceso e-N ............. 14 2.3. Corrientes hadr´onica y lept´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4. Hamiltoniano de interacci´on electromagn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5. Secci´oneficaz .................................. 20 2.5.1. C´alculo de la secci´on eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5.2. Secci´on eficaz diferencial doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6. Formalismo de la dispersi´on inel´astica e-N .................. 27 2.6.1. Funciones de estructura inel´asticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6.2. Parametrizaciones de las funciones de estructura inel´asticas . . . . . 33 3. An´alisis y discusi´on de los resultados 35 3.1. Secci´oneficaz .................................. 35 3.2. Factores de forma del nucle´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4. Conclusiones 43 A. Fundamentos de teor´ıa de dispersi´on relativista 45 A.1.Ecuaci´ondeDirac................................ 45 A.2.Teoremadetrazas ............................... 46 ´ INDICE 2 B. Secci´on eficaz 47 B.1. Propiedades de la funci´on δdeDirac...................... 47 B.2. Desarrollo de la funci´on δasociada a Sfi ................... 47 B.3. Expresi´on para el flujo incidente Φinc ..................... 47 B.4. Integraci´on de la funci´on δdeDirac...................... 49 C. Tensores hadr´onico y lept´onico 51 C.1. C´alculo del tensor lept´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 C.2. C´alculo del tensor hadr´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 C.3. Contracci´on de los tensores hadr´onico y lept´onico . . . . . . . . . . . . . . 60 Referencias 65 Resumen Este trabajo constituye un amplio estudio sobre la dispersi´on de electrones con nucleones, centr´andonos en la regi´on profundamente inel´astica y en el empleo de este proceso como herramienta fundamental en la investigaci´on sobre temas de gran relevancia, como el estudio de la estructura interna del nucle´on y su composici´on en funci´on de quarks. As´ı mismo, se analizan en detalle los factores de forma del nucle´on y su comportamiento en funci´on de la cinem´atica del proceso de interacci´on. Los resultados obtenidos servir´an para revelar informaci´on acerca de la estructura interna del nucle´on as´ı como para validar modelos nucle´onicos a trav´es del empleo de distintas parametrizaciones y modelos de factores de forma y la comparaci´on de predicciones te´oricas con los datos experimentales disponibles. 1 INTRODUCCI´ ON GENERAL: OBJETIVOS Y METODOLOG´ IA 4 1. Introducci´on General: Objetivos y Metodolog´ıa Este trabajo estudia, a nivel acad´emico, la interacci´on electromagn´etica electr´onnucle´on (e-N ), centr´andose especialmente en el proceso de dispersi´on profundamente inel´astica y su relevancia en el an´alisis de los factores de forma del nucle´on. Se obtendr´a, de forma te´orica, la secci´on eficaz del proceso e-N en el r´egimen profundamente inel´astico en el marco te´orico de la electrodin´amica cu´antica. Dicha secci´on eficaz permite deducir los factores de forma inel´asticos del nucle´on, los cuales dan informaci´on acerca de la estructura interna del nucle´on. La dispersi´on de electrones es una de las t´ecnicas m´as usadas en el campo de la F´ısica de Part´ıculas para estudiar las propiedades de los hadrones. En estos procesos, los electrones penetran en el blanco generando una “fotograf´ıa” [1] que aporta informaci´on sobre la estructura interna del objetivo, la cual depender´a en gran medida de la cinem´atica del proceso. La interacci´on el´astica e-N proporciona informaci´on sobre las propiedades electromagn´eticas del nucle´on tales como distribuciones de carga y momento magn´etico. Para dispersiones m´as energ´eticas pueden producirse procesos inel´asticos tales como resonancias nucle´onicas asociadas a la emisi´on de piones y otros mesones en el estado final. La dispersi´on inel´astica puede darse tambi´en en procesos electr´on-n´ucleo. En este caso, uno de los nucleones puede alcanzar un estado resonante como en el proceso e-N. Por otra parte, la dispersi´on de electrones con n´ucleos nos ha proporcionado la informaci´on m´as precisa acerca del tama˜no nuclear y la distribuci´on de carga del n´ucleo [2]. A finales de la d´ecada de los 60 se comenzaron a realizar experimentos de dispersi´on e-N profundamente inel´astica o DIS (Deep Inelastic Scattering) por sus siglas en ingl´es [3]. Esta regi´on profundamente inel´astica corresponde a energ´ıas mucho mayores que las de excitaci´on del nucle´on. Estos estudios se realizaron en el Centro del Acelerador Lineal de Stanford (SLAC). Con haces de electrones de hasta 21 GeV, se pretend´ıa estudiar el nucle´on en distancias mucho menores de las que se hab´ıan conseguido hasta entonces. En estos experimentos qued´o demostrado que el nucle´on no era una part´ıcula elemental, sino 1 INTRODUCCI´ ON GENERAL: OBJETIVOS Y METODOLOG´ IA 5 que ten´ıa estructura interna y estaba compuesto por quarks como ya se hab´ıa predicho te´oricamente por parte de los f´ısicos Murray Gell-Mann, George Zweig y Andr´e Petermann [4,5,6]. Los quarks interaccionan entre s´ı dentro del nucle´on mediante el intercambio de gluones. Estos gluones son part´ıculas de esp´ın 1 y son los mediadores de la interacci´on nuclear fuerte. La cromodin´amica cu´antica (QCD) es la teor´ıa que describe esta interacci´on. La din´amica de los quarks en este contexto puede ser descrita mediante unas funciones fenomenol´ogicas conocidas como factores de forma. Estos factores de forma ayudan a determinar, entre otras, la distribuci´on el´ectrica y magn´etica del nucle´on. El objetivo de los procesos de dispersi´on electr´on-nucle´on es obtener de forma experimental estos factores de forma. El prop´osito principal de este trabajo es hacer un estudio de las propiedades y estructura interna del nucle´on mediante el an´alisis de los factores de forma. Para ello nos valemos del proceso de dispersi´on electr´on-nucle´on en el r´egimen profundamente inel´astico. 1.1. Ecuaci´on de Dirac e interacci´on electromagn´etica del electr´on La descripci´on te´orica de los procesos descritos en este trabajo se lleva a cabo en el marco que proporciona la electrodin´amica cu´antica en la cual es imprescindible el empleo de la ecuaci´on de Dirac. La expresi´on de esta ecuaci´on en el caso libre es: i∂ψ ∂t = (α·p+βM)ψ , (1.1) donde αiyβson las matrices de Dirac. La ecuaci´on de Dirac (1.1) proporciona una descripci´on cu´antica-relativista de part´ıculas de esp´ın 1/2. Su car´acter matricial con las matrices αyβde dimensi´on 4 ×4, implica que existen cuatro soluciones, dos correspondientes a valores positivos de la energ´ıa y 1 INTRODUCCI´ ON GENERAL: OBJETIVOS Y METODOLOG´ IA 6 otras dos a valores negativos [7,8]. En el contexto de este trabajo, esta ecuaci´on se usar´a para describir los fermiones con los que vamos a trabajar: electr´on y nucle´on. Obtendremos una soluci´on para cada part´ıcula, las cuales usaremos posteriormente en el desarrollo formal de la interacci´on electromagn´etica entre ambas part´ıculas. A lo largo de este trabajo nos centraremos en la interacci´on electr´on-nucle´on y, m´as espec´ıficamente, en la interacci´on electromagn´etica entre ellos. Adem´as de esta, tambi´en podr´ıa considerarse la interacci´on d´ebil, sin embargo, esta juega en general un papel poco importante respecto a la electromagn´etica. Figura 1: V´ertice b´asico de la interacci´on electromagn´etica. Figura obtenida de [9]. Todos los procesos de interacci´on electromagn´etica entre part´ıculas pueden reducirse a lo que se denomina como un v´ertice b´asico [9] cuyo diagrama de Feynman es el de la Fig. 1. Aunque el diagrama de la Fig. 1 corresponde a un proceso que no es posible debido a la conservaci´on del cuadrimomento, sirve como elemento b´asico para construir todos los diagramas de Feynman de procesos electromagn´eticos. La interacci´on electromagn´etica se describe a trav´es del intercambio, entre part´ıculas cargadas, de fotones virtuales. A su vez, los diagramas de Feynman constituyen una simple representaci´on de dichos procesos. As´ı, en la Fig. 2 se muestra el diagrama de Feynman para el proceso de dispersi´on electr´on-mu´on. Como se observa, en el diagrama solo se ha considerado el intercambio de un fot´on virtual. Esto corresponde a la aproximaci´on m´as sencilla posible. Es el t´ermino de primer orden en el c´alculo perturbativo de la electrodin´amica cu´antica (QED) y se denomina aproximaci´on de Born. 1 INTRODUCCI´ ON GENERAL: OBJETIVOS Y METODOLOG´ IA 7 Figura 2: Diagrama de Feynman para la interacci´on entre un electr´on y un mu´on mediante el intercambio de un fot´on. Figura obtenida de [10]. Electr´on-Prot´on En este trabajo, nos centraremos fundamentalmente en diagramas como el de la Fig. 3, el cual representa la interacci´on electromagn´etica entre el electr´on y el prot´on. Como se observa, el prot´on viene representado por tres l´ıneas paralelas, las cuales hacen referencia a la composici´on de quarks de este bari´on. En la Fig. 3 se toma por v´alida la aproximaci´on de Born (un ´unico fot´on intercambiado) entre un electr´on y un prot´on en r´egimen el´astico. A medida que se incrementa la energ´ıa del proceso entre estas dos part´ıculas, tambi´en podr´ıa considerarse el r´egimen inel´astico y el profundamente inel´astico [1]. En el r´egimen inel´astico, resonancias del prot´on tales como el bari´on delta (∆) son producidos en el estado final. Por otro lado, en el r´egimen profundamente inel´astico (DIS) la energ´ıa intercambiada en el proceso es lo suficientemente alta para que puedan aparecer m´ultiples part´ıculas en el estado final [10]. Esto se muestra en la Fig. 4, donde Xhace referencia al conjunto de todas las posibles part´ıculas finales. El nucle´on tambi´en puede encontrarse en un estado ligado en el interior de un n´ucleo. Al igual que en el caso electr´on-nucle´on, este proceso tambi´en puede ocurrir de diversas maneras en funci´on de la energ´ıa del proceso. A bajas energ´ıas se encuentra el r´egimen el´astico donde el n´ucleo permanece intacto en el estado final. Conforme aumenta la energ´ıa transferida por el lepton, se alcanza el r´egimen cuasiel´astico donde un nucle´on es arrancado del n´ucleo inicial dando lugar a un nuevo n´ucleo. Finalmente, a energ´ıas m´as altas, se 1 INTRODUCCI´ ON GENERAL: OBJETIVOS Y METODOLOG´ IA 8 Figura 3: Diagrama de Feynman para la interacci´on electr´on-prot´on mediante el intercambio de un fot´on. Figura obtenida de [10]. producen dispersiones inel´asticas con procesos nucle´onicos que presentan semejanzas con los que estudiaremos en el caso e-N. Figura 4: Diagrama de Feynman para la interacci´on profundamente inel´astica electr´on-prot´on. Figura obtenida de [11]. 1.2. Estructura interna del nucle´on: factores de forma La descripci´on de la estructura interna de los nucleones puede realizarse a trav´es de funciones fenomenol´ogicas que describen la estructura y la din´amica interna del nucle´on. Estas funciones reciben el nombre de factores de forma. El empleo de los factores de forma es imprescindible en la formulaci´on te´orica de procesos de interacci´on en los que intervienen hadrones, como es nuestro caso. Estas funciones aparecen expl´ıcitamente en la expresi´on final de la secci´on eficaz de los distintos procesos de dispersi´on que consideraremos. Como ya se ha mencionado, una manera adecuada de obtener informaci´on acerca 2 FORMALISMO DE LA INTERACCI´ ON ELECTROMAGN´ ETICA ELECTR´ ON-NUCLE´ ON 15 Figura 5: Diagrama de Feynman para la interacci´on electr´on-nucle´on mediante el intercambio de un fot´on. Figura obtenida de [19]. Electr´on inicial: •Cuadrimomento: kµ i= (εi,ki) •Masa: m Electr´on final: •Cuadrimomento: kµ f= (εf,kf) •Masa: m Nucle´on inicial: •Cuadrimomento: Pµ i= (M, 0) •Masa: M Nucle´on final: •Cuadrimomento: Pµ f= (Ef,pf) •Masa: M Para estudiar la cinem´atica del proceso, aplicamos el principio de conservaci´on de energ´ıa-momento en ambos v´ertices del diagrama. V´ertice lept´onico: Conservaci´on de la energ´ıa: ω=εi−εf 2 FORMALISMO DE LA INTERACCI´ ON ELECTROMAGN´ ETICA ELECTR´ ON-NUCLE´ ON 16 Conservaci´on del momento: q=ki−kf⇒q2=|ki|2+|kf|2−2|ki||kf|cos θ V´ertice hadr´onico: Conservaci´on de la energ´ıa: Ef=ω+M Conservaci´on del momento: pf=q⇒ω2+ 2Mω =q2⇒ −Q2=|Q2|= 2Mω De las ecuaciones anteriores se deduce que las variables εi,εfyθno son independientes. Generalmente, basta determinar dos de ellas para fijar completamente la cinem´atica del proceso. Se suelen tomar como variables independientes la energ´ıa del electr´on inicial (εi) y el ´angulo de dispersi´on (θ). 2.3. Corrientes hadr´onica y lept´onica Para poder realizar los c´alculos pertinentes, es de gran utilidad definir las cuadricorrientes electromagn´eticas de transici´on entre los estados inicial y final en cada v´ertice, en este caso, corriente lept´onica, jµ (l), y corriente hadr´onica, Jµ (N)[10]: jµ (e)=¯ ψkfγµψki(2.6) Jµ (N)=¯ ψPfˆ ΓµψPi.(2.7) En primer orden de teor´ıa de perturbaciones y considerando ondas planas, las funciones de onda lept´onicas y hadr´onicas se expresan como las soluciones libres de (2.2) y las corrientes anteriores quedan: Corriente lept´onica jµ (e)=−em V√εiεf ¯ue(kf, sf)γµue(ki, si)ei(kf−ki)·X.(2.8) 2 FORMALISMO DE LA INTERACCI´ ON ELECTROMAGN´ ETICA ELECTR´ ON-NUCLE´ ON 17 Corriente hadr´onica Puesto que el nucle´on tiene estructura interna, ˆ Γµen (2.7) no puede sustituirse ´unicamente por γµcomo es el caso para una part´ıcula puntual de esp´ın 1/2. La corriente hadr´onica Jµ (N)es un cuadrivector que se construye a partir del ´algebra de Clifford definida en el espacio de Dirac por las matrices γy los covariantes bilineales asociados [7,9]. En el caso particular de la interacci´on electromagn´etica, la corriente hadr´onica adquiere la forma: Jµ (N)=eM VpEiEf ¯uN(pf, Sf)ˆ ΓµuN(pi, Si)ei(Pf−Pi)·X,(2.9) con ˆ Γµ=F1(Q2)γµ+iF2(Q2) 2MσµνQν,(2.10) donde F1yF2son los factores de forma nucle´onicos de Pauli y Dirac, respectivamente, los cuales proporcionan informaci´on acerca de la estructura interna del nucle´on y solo dependen de Q2[20]. En (2.10) aparecen dos t´erminos independientes, asociados a γµyσµν . Si trat´asemos el caso de dispersi´on de neutrinos, ser´ıa necesario incluir t´erminos que involucran a γ5, los cuales est´an asociados a procesos de violaci´on de paridad. 2.4. Hamiltoniano de interacci´on electromagn´etica El estado de un sistema como el que estamos tratando se puede representar mediante un ket |Φ(t)⟩en el espacio de Hilbert. Nos interesa, conociendo el estado inicial del sistema (|Φi⟩=|Φ(−∞)⟩), encontrar la probabilidad de obtener un determinado estado final (|Φf⟩). Con este objetivo, se define la matriz de dispersi´on Scomo: 2 FORMALISMO DE LA INTERACCI´ ON ELECTROMAGN´ ETICA ELECTR´ ON-NUCLE´ ON 18 |Φ(+∞)⟩=S|Φ(−∞)⟩.(2.11) El estado final |Φ(+∞)⟩puede expandirse en una base completa de estados finales |Φf⟩: |Φ(+∞)⟩=X f|Φf⟩⟨Φf|Φ(+∞)⟩,(2.12) con ⟨Φf|Φ(+∞)⟩=⟨Φf|S|Φ(−∞)⟩=⟨Φf|S|Φi⟩ ≡ Sfi .(2.13) De esta forma, se deduce que el elemento de matriz Sfi es la amplitud de probabilidad de obtener el estado final |Φf⟩tras el proceso de dispersi´on. La matriz Sdefinida en (2.11) permite obtener una ecuaci´on de movimiento de los estados del sistema en cualquier orden en teor´ıa de perturbaciones. En este caso, nos centramos ´unicamente en la dispersi´on electromagn´etica electr´on-nucle´on en primer orden de teor´ıa de perturbaciones (un solo fot´on intercambiado). La amplitud de transici´on (elemento de matriz Sfi) asociada al proceso de dispersi´on que lleva al sistema de un estado inicial a otro final, ambos determinados, en primer orden de teor´ıa de perturbaciones adquiere la forma (ver [7,8]): Sfi =−iZd4XHI(X),(2.14) donde HIes el hamiltoniano de interacci´on responsable del proceso. En este caso, el hamiltoniano es el correspondiente a la interacci´on electromagn´etica cuya expresi´on viene dada por la electrodin´amica cu´antica (QED) seg´un: 2 FORMALISMO DE LA INTERACCI´ ON ELECTROMAGN´ ETICA ELECTR´ ON-NUCLE´ ON 19 HEM (X) = jµ(X)Aµ(X),(2.15) donde jµ(X) es la cuadricorriente electromagn´etica asociada al proyectil y Aµ(X) el cuadripotencial (o campo) electromagn´etico generado por el blanco. El campo electromagn´etico generado por el nucle´on, en este caso, es: Aµ(X) = Zd4Y Dµν EM (X−Y)J(N) ν(Y),(2.16) donde se ha usado la expresi´on (2.9) de la corriente hadr´onica del nucle´on y Dµν EM (X) es el propagador de la interacci´on electromagn´etica. En la ecuaci´on (2.16), XeYcorresponden a las coordenadas espacio-temporales de los v´ertices lept´onico y hadr´onico, respectivamente (ver la Fig. 5). Propagador de la interacci´on electromagn´etica La expresi´on m´as general del propagador del fot´on es [10]: Dµν EM (X−Y) = Zd4Q (2π)4 1 Q2−gµν + (1 −ξ)QµQν Q2eiQ·(X−Y).(2.17) Es habitual, para estos c´alculos en el contexto de la QED, elegir el gauge de Feynman (ξ= 1). En dicho caso, el propagador recibe el nombre de propagador de Feynman y su expresi´on es, simplemente: Dµν F(X−Y) = Zd4Q (2π)4−gµν Q2eiQ·(X−Y).(2.18) De esta forma, el campo electromagn´etico creado por el nucle´on queda: Aµ(X) = −Zd4YZd4Q (2π)4 1 Q2eiQ·(X−Y)Jµ (N)(Y).(2.19) 2 FORMALISMO DE LA INTERACCI´ ON ELECTROMAGN´ ETICA ELECTR´ ON-NUCLE´ ON 20 2.5. Secci´on eficaz En el caso de colisiones de dos part´ıculas para llegar a cualquier estado final, la secci´on eficaz se define como la probabilidad de que se produzca una colisi´on concreta por unidad de tiempo, por unidad de centro dispersor y por unidad de flujo incidente. Partimos de la expresi´on de la probabilidad del proceso por unidad de volumen y tiempo: Wfi ≡|Sfi|2 V·T,(2.20) donde VyTson, respectivamente, el volumen y el tiempo considerados. Definimos ahora la probabilidad diferencial (dW) como la probabilidad por unidad de volumen y tiempo de, partiendo del estado |Φi⟩llegar a cualquier estado final en una regi´on diferencial del espacio de momentos d3pfalrededor del estado final |Φf⟩(compuesto por Nfpart´ıculas de momentos pf). Por lo tanto hay que sumar, para cada una de las part´ıculas finales, sobre los posibles estados dentro de esa regi´on de momentos: X pf+d3pf V→∞ −−−→ V (2π)3d3pf. De esta forma, la probabilidad diferencial queda: dW =Wfi Y f V (2π)3d3pf!.(2.21) Para obtener la secci´on eficaz diferencial hay que dividir por la densidad de part´ıculas en el blanco ( 1 Vteniendo en cuenta la normalizaci´on) y por el flujo de part´ıculas incidentes (Φinc). La expresi´on resultante es: dσ =dW 1 VΦinc =|Sfi|2 T·Φinc Y f V (2π)3d3pf!.(2.22) 2 FORMALISMO DE LA INTERACCI´ ON ELECTROMAGN´ ETICA ELECTR´ ON-NUCLE´ ON 21 Finalmente, presentamos la expresi´on del flujo incidente: Φinc =|vrel| V,(2.23) donde vrel es la velocidad relativa de las part´ıculas que colisionan. 2.5.1. C´alculo de la secci´on eficaz En este apartado vamos a desarrollar la expresi´on (2.14) de la amplitud de transici´on haciendo uso del resto de expresiones previas. En principio tenemos: Sfi =−iZd4XZd4YZd4Q (2π)4j(e) µ(X)−1 Q2eiQ·(X−Y)Jµ (N)(Y).(2.24) Introduciendo las expresiones de las corrientes electromagn´eticas (2.8) y (2.9) llegamos a: Sfi =ie2m V√εiεf M VpEiEf−1 Q2[¯ue(kf, sf)γµue(ki, si)][¯uN(pf, Sf)ˆ ΓµuN(pi, Si)] ×Zd4XZd4YZd4Q (2π)4eiQ·(X−Y)ei(Pf−Pi)·Yei(kf−ki)·X,(2.25) y resolviendo las integrales: Zd4Xei(kf−ki+Q)·X= (2π)4δ4(kf−ki+Q) (2.26) Zd4Y ei(Pf−Pi−Q)·Y= (2π)4δ4(Pf−Pi−Q),(2.27) la parte integral de (2.25) queda: 2 FORMALISMO DE LA INTERACCI´ ON ELECTROMAGN´ ETICA ELECTR´ ON-NUCLE´ ON 22 Zd4Q(2π)4δ4(kf−ki+Q)δ4(Pf−Pi−Q) = (2π)4δ4(Pf−Pi+kf−ki).(2.28) Introduciendo este resultado en (2.25), obtenemos: Sfi =−ie2mM V2pεiεfEiEf1 Q2(2π)4δ4(Pf−Pi+kf−ki) ×[¯ue(kf, sf)γµue(ki, si)][¯uN(pf, Sf)ˆ ΓµuN(pi, Si)] . Se puede expresar la tasa de transici´on por unidad de volumen (Wfi) como: Wfi ≡|Sfi|2 V T =m2M2 V4εiεfEiEf [(2π)4δ4(Pf−Pi+kf−ki)]2 V T |Mfi|2 =m2M2 V4εiεfEiEf (2π)4δ4(Pf−Pi+kf−ki)|Mfi|2,(2.29) donde se ha usado (B.3). En (2.29), Mfi es la amplitud invariante que viene dada por: Mfi =−e21 Q2[¯ue(kf, sf)γµue(ki, si)][¯uN(pf, Sf)ˆ ΓµuN(pi, Si)] .(2.30) En este t´ermino se halla contenida la f´ısica esencial del proceso de dispersi´on que se est´a estudiando. La expresi´on (2.22) de la secci´on eficaz, para el caso que estamos tratando de dos part´ıculas finales con momentos pfykf, queda: dσ =m2M2 εiεfEiEf 1 VΦinc (2π)4δ4(Pf−Pi+kf−ki)|Mfi|2d3pf (2π)3 d3kf (2π)3.(2.31) 2 FORMALISMO DE LA INTERACCI´ ON ELECTROMAGN´ ETICA ELECTR´ ON-NUCLE´ ON 23 El flujo incidente Φinc se define como el n´umero de part´ıculas que llegan por unidad de ´area y unidad de tiempo. La expresi´on del flujo incidente es: Φinc =|vi−Vi| V,(2.32) donde viyVison, respectivamente, las velocidades incidentes de electrones y nucleones. Si sustituimos en la expresi´on de la secci´on eficaz (2.31) el resultado (B.8) del ap´endice B.3, llegamos a la expresi´on: dσ =m2M (2π)2|ki|εfEf δ4(Pf−Pi+kf−ki)|Mfi|2d3pfd3kf.(2.33) La expresi´on que estamos buscando es la de la secci´on eficaz diferencial para un electr´on dispersado en un elemento de ´angulo s´olido dΩ centrado alrededor del ´angulo θ. Para ello, comenzamos desarrollando d3kfde (2.33) como: d3kf=|kf|2d|kf|dΩ = |kf|εfdεfdΩ,(2.34) donde se ha usado ε2 f=kf2+m2y por tanto |kf|d|kf|=εfdεf. Si ahora sustituimos (2.34), (B.9) y (B.10) en (2.33), obtenemos: dσ =1 (2π)2 m |ki||Mfi|2Z∞ −∞ d4Pfδ4(Pf−Pi+kf−ki) ×2mM|kf|dεfdΩδ(P2 f−M2)Θ(p0).(2.35) Puesto que en la mayor´ıa de experimentos solo se detecta el electr´on final, debemos sumar para todos los estados finales del nucle´on. Esto se hace integrando sobre todos los momentos finales (pf) del nucle´on. De esta forma, la secci´on eficaz diferencial doble resulta: 2 FORMALISMO DE LA INTERACCI´ ON ELECTROMAGN´ ETICA ELECTR´ ON-NUCLE´ ON 24 d2σ dεfdΩ=m2 (2π)2|kf| |ki||Mfi|2δω−|Q2| 2M,(2.36) donde se ha aplicado (B.12). Una vez obtenida esta expresi´on de la secci´on eficaz, ´unicamente resta calcular el cuadrado de la amplitud invariante, |Mfi|2. Podemos expresar: |Mfi|2=e4 |Q2|2LµνHµν ,(2.37) donde Lµν yHµν son los tensores lept´onico y hadr´onico, respectivamente. Estos tensores vienen definidos por: Lµν =X si,sf [¯ue(kf, sf)γµue(ki, si)][¯ue(kf, sf)γνue(ki, si)]∗(2.38) Hµν =X Si,Sf [¯uN(pf, Sf)ˆ ΓµuN(pi, Si)][¯uN(pf, Sf)ˆ ΓνuN(pi, Si)]∗.(2.39) El s´ımbolo Pdenota que se suma/promedia en los estados finales/iniciales de esp´ın. Para proseguir con el c´alculo de la secci´on eficaz es necesario desarrollar las expresiones (2.38) y (2.39) y posteriormente calcular la contracci´on de los dos tensores, LµνHµν. Tensor lept´onico Lµν Tras un peque˜no desarrollo, se llega a la siguiente expresi´on para el tensor lept´onico: Lµν =1 2Tr / kf+m 2mγµ / ki+m 2mγν.(2.40) Finalmente, el tensor lept´onico puede expresarse en la forma: 2 FORMALISMO DE LA INTERACCI´ ON ELECTROMAGN´ ETICA ELECTR´ ON-NUCLE´ ON 31 Figura 7: Diagrama de la estructura de quarks del prot´on formado por quarks de valencia, gluones y parejas quark-antiquark. Figura obtenida de [10]. up(x) = dn(x)≡u(x) dp(x) = un(x)≡d(x) sp(x) = sn(x)≡s(x).(2.59) A las funciones de distribuci´on de quarks anteriores se les puede exigir que cumplan la siguiente restricci´on: Z1 0 [u(x)−¯u(x)]dx = 2 (2.60) Z1 0 [d(x)−¯ d(x)]dx = 1 (2.61) Z1 0 [s(x)−¯s(x)]dx = 0 .(2.62) 2 FORMALISMO DE LA INTERACCI´ ON ELECTROMAGN´ ETICA ELECTR´ ON-NUCLE´ ON 32 Figura 8: Funciones de estructura correspondientes a diferentes composiciones del prot´on. Figura obtenida de [10]. 2 FORMALISMO DE LA INTERACCI´ ON ELECTROMAGN´ ETICA ELECTR´ ON-NUCLE´ ON 33 Esta restricci´on proviene del hecho de que los n´umeros cu´anticos del prot´on deben ser los determinados por la combinaci´on de los quarks de valencia (uud). 2.6.2. Parametrizaciones de las funciones de estructura inel´asticas En esta secci´on se introducen tres parametrizaciones distintas de las funciones de estructura inel´asticas del nucle´on, F1yF2o, equivalentemente, W1yW2. Todas ellas tratan de reproducir fielmente los resultados experimentales que se pueden obtener en los procesos de dispersi´on electr´on-nucle´on si bien est´an ajustadas para cinem´aticas diferentes. Parametrizaci´on de Bodek-Ritchie Esta aproximaci´on ajusta sus par´ametros a los datos experimentales de las funciones de estructura W1yW2para la dispersi´on electr´on-nucle´on. La parametrizaci´on de BodekRitchie, descrita m´as en profundidad en Refs. [25,26], cubre todo el espectro inel´astico desde la regi´on de resonancia hasta la regi´on profundamente inel´astica. Los datos experimentales a los que se ajusta esta parametrizaci´on son los obtenidos en SLAC [27,28] que cubren el rango energ´etico 0,1 GeV2<|Q2|<20 GeV2. Parametrizaci´on de Bosted-Christy La parametrizaci´on de Bosted-Christy para protones [29] y para neutrones [30] se ajusta a los datos emp´ıricos de las secciones eficaces electr´on-nucle´on y electr´on-deuter´on para construir las funciones de estructura inel´asticas del nucle´on. Esta es una mejora de la parametrizaci´on de Bodek-Ritchie. Aunque la parametrizaci´on de Bodek-Ritchie cubre completamente la regi´on inel´astica, nuevos estudios demostraron que era necesaria una parametrizaci´on m´as detallada en la regi´on de resonancia. Por esta raz´on se desarroll´o la parametrizaci´on de Bosted-Christy, la cual emplea unas funciones de estructura nucle´onicas que se ajustan mejor a los datos experimentales en la regi´on de resonancia. Las medidas usadas para desarrollar esta parametrizaci´on son secciones eficaces inel´asticas inclusivas en el rango de cuadrimomento transferido 0 ≤ |Q2|<8 GeV2y masa invariante en el estado final 1,1 GeV2< W < 3,1 GeV2. 2 FORMALISMO DE LA INTERACCI´ ON ELECTROMAGN´ ETICA ELECTR´ ON-NUCLE´ ON 34 Modelo GRV98 El modelo de Gl¨uck-Reya-Vogt [31] (GRV98) se basa en la QCD para obtener funciones de distribuci´on de partones de quarks y antiquarks de forma individual, es decir, las funciones descritas en las ecuaciones (2.57) y (2.58). Las PDFs se emplean para obtener las funciones de estructura inel´asticas F1yF2. Este modelo ajusta las funciones de distribuci´on de partones a resultados experimentales de dispersi´on profundamente inel´astica para valores altos de |Q2|donde los efectos no perturbativos de la QCD son despreciables. Algunas correcciones relativas a la masa del nucle´on, a efectos no perturbativos de la QCD, o a efectos de la dispersi´on a energ´ıas bajas se parametrizan y se incluyen en la descripci´on del modelo. El modelo GRV98 se adapta con bastante acierto a las secciones eficaces posteriores a la regi´on de resonancia. Sin embargo, se desv´ıa para valores bajos de |Q2|. 3 AN´ ALISIS Y DISCUSI´ ON DE LOS RESULTADOS 35 3. An´alisis y discusi´on de los resultados En esta secci´on se presentan los resultados obtenidos mediante m´etodos num´ericos para el proceso de dispersi´on electr´on-nucle´on. Se han elaborado varias gr´aficas en las que se representan funciones de estructura y secciones eficaces en funci´on de distintas variables cinem´aticas. Como ya se coment´o en la secci´on 1.3, para obtener estos resultados se han empleado m´etodos num´ericos a partir de las expresiones te´oricas con el objetivo de simular el proceso e-N y poder comparar con datos experimentales. 3.1. Secci´on eficaz Se estudiar´a a continuaci´on la secci´on eficaz diferencial doble del proceso de dispersi´on electromagn´etica electr´on-nucle´on. En la Fig. 9, se representa la secci´on eficaz diferencial doble ( d2σ dεdΩ) frente a la masa invariante (W) para unos valores del ´angulo de dispersi´on y de energ´ıa inicial del electr´on determinados. Los picos en la secci´on eficaz corresponden a las resonancias bari´onicas. El primer pico es el correspondiente a la resonancia ∆ de masa invariante W= 1232 MeV [32]. El segundo pico se debe principalmente a la resonancia S11(1535) y el tercero a la resonancia F15(1680). Tras estos picos, la secci´on eficaz representa la regi´on profundamente inel´astica (DIS). Los resultados se han obtenido mediante el uso de c´odigos que combinan las expresiones anal´ıticas obtenidas en el cap´ıtulo 2 para la secci´on eficaz con el uso de parametrizaciones de las funciones de estructura inel´asticas. Estas parametrizaciones arrojan resultados acordes a los datos experimentales en la regi´on de resonancia y la regi´on profundamente inel´astica, no as´ı en la regi´on el´astica. Por completitud, la Fig. 9 muestra tambi´en el pico correspondiente al caso de dispersi´on el´astica e-N (l´ınea vertical negra) que corresponde a un valor de la masa invariante W=M= 0,938 GeV (masa del nucle´on). De la Fig. 9 es posible extraer una comparativa entre las tres parametrizaciones empleadas para obtener los resultados. La diferencia m´as llamativa es la del modelo GRV98 3 AN´ ALISIS Y DISCUSI´ ON DE LOS RESULTADOS 36 Figura 9: Secci´on eficaz diferencial doble frente a la masa invariante para el proceso de dispersi´on electr´on-nucle´on. con las otras dos. Como ya se ha comentado anteriormente, el modelo GRV98 est´a dise˜nado para que concuerde con los datos experimentales, principalmente, en la regi´on inel´astica. Sin embargo, en la regi´on de resonancia se ve c´omo hace un promedio poco detallado y no es capaz de mostrar las resonancias nucle´onicas. Si ahora comparamos la parametrizaci´on de Bodek-Ritchie con la de Bosted-Christy, se observa c´omo la segunda produce valores m´as altos en la regi´on de resonancia. Los resultados de Bosted-Christy deben, en un principio, concordar mejor con los experimentos ya que, como se expuso anteriormente, esta parametrizaci´on es una mejora de la de Bodek-Ritchie en la regi´on de resonancias nucle´onicas. Fuera de la regi´on de resonancia, en la regi´on inel´astica (W > 2 GeV) las tres parametrizaciones proporcionan predicciones muy similares. En la Fig.10, se representa la misma medida que en la Fig. 9 pero en este caso con datos experimentales obtenidos en SLAC por los f´ısicos J. I. Friedman, H. W. Kendall y R. E. Taylor en los a˜nos 60 y 70. Esta fue aceptada como la primera prueba emp´ırica de la existencia de los quarks, la cual les vali´o a sus autores para ser galardonados con el premio Nobel de F´ısica en 1990. Si comparamos esta con la Fig. 9, vemos como concuerdan bastante bien. Obs´ervese que las parametrizaciones de Bodek-Ritchie y de Bosted-Christy 3 AN´ ALISIS Y DISCUSI´ ON DE LOS RESULTADOS 37 Figura 10: Datos experimentales obtenidos en SLAC de la secci´on eficaz diferencial doble frente a la masa invariante para el proceso de dispersi´on electr´on-nucle´on. Figura obtenida de [10]. reproducen de manera aproximada los datos experimentales de la Fig. 10. Si bien, estas parametrizaciones concuerdan muy bien con los datos experimentales en la posici´on de los m´aximos de las resonancias, no existe tal acierto en la magnitud de estos m´aximos. A diferencia de lo que cabr´ıa esperar, los datos obtenidos mediante la parametrizaci´on de Bodek-Ritchie son los que mejor se ajustan a los de la Fig. 10. Esto puede deberse a las posibles limitaciones experimentales para obtener medidas precisas. Otra posible raz´on es la presencia de procesos de orden superior en los diagramas de Feynman que no se han incluido en el an´alisis. 3.2. Factores de forma del nucle´on A continuaci´on estudiaremos las funciones de estructura inel´asticas F1(x, Q2) y F2(x, Q2) y su dependencia en xy en Q2. En la Fig. 11, se representa la funci´on de estructura F2frente a |Q2|para valores distintos de la variable xde Bjorken. Para esta gr´afica se han empleado la parametrizaci´on de Bodek-Ritchie y el modelo GRV981, descritos anteriormente. En la Fig. 11 se 1El modelo de Bosted-Christy no se ha usado en la comparaci´on de la Fig. 11 pues presenta algunos problemas de convergencia para valores de |Q2|muy elevados. 3 AN´ ALISIS Y DISCUSI´ ON DE LOS RESULTADOS 38 Figura 11: Funci´on de estructura F2del neutr´on (izq.) y del prot´on (der.) para distintos valores de x. Se han usado la parametrizaci´on de Bodek-Ritchie (arriba) y el modelo GRV98 (abajo). Los datos experimentales (puntos negros) se han extraido de [24]. 3 AN´ ALISIS Y DISCUSI´ ON DE LOS RESULTADOS 39 observa como, para valores altos de |Q2|, la funci´on de estructura F2mantiene un valor aproximadamente constante para cada valor de x. Esto es una demostraci´on del scaling de Bjorken [22], que afirma que en el r´egimen profundamente inel´astico, la funci´on de estructura F2(x, Q2) pasa a depender ´unicamente de la variable x. Tambi´en se puede observar c´omo en la Fig. 11, el valor de F2decrece a medida que aumenta x. La variable xde Bjorken proporciona una medida de cuan inel´astico es el proceso de dispersi´on. En el caso l´ımite x= 1 el proceso ser´ıa el´astico y corresponder´ıa al m´ınimo de F2. Por lo tanto, deducimos que a medida que el proceso se aleja m´as de una dispersi´on el´astica, es decir, hacia valores menores de x, la funci´on de estructura F2 adquiere mayor relevancia en la secci´on eficaz de la colisi´on. Esta dependencia se debe a la presencia de gluones en el nucle´on [1]. Se puede analizar tambi´en las diferencias entre neutrones y protones. Se observa que F2adquiere valores m´as altos para el caso de protones respecto a los neutrones. Esto puede deberse a que el prot´on, a diferencia del neutr´on, s´ı tiene carga el´ectrica. Esto hace que la dispersi´on electr´on-prot´on sea m´as probable que en el caso electr´on-neutr´on, y por tanto tenga un valor m´as alto de la funci´on de estructura. Por ´ultimo, cabe estudiar la diferencia entre las dos parametrizaciones usadas en la Fig. 11. Para valores bajos de x, las diferencias entre los modelos no son muy acusadas aunque se observa que el modelo GRV98 genera unos resultados en torno al 3-5 % mayores que la parametrizaci´on Bodek-Ritchie tanto para el caso de neutrones como para el de protones. Para valores m´as altos (x= 0,45; 0,55; 0,65) s´ı se aprecian ciertas desigualdades: en la parametrizaci´on de Bodek-Ritchie, F2mantiene un valor aproximadamente constante al aumentar |Q2|, mientras que en el modelo GRV98 la funci´on de estructura decrece. Si comparamos con los datos experimentales de la Fig. 12, vemos como en el caso descrito (x= 0,45; 0,55; 0,65) la parametrizaci´on de Bodek-Ritchie se ajusta mejor a los resultados que el modelo GRV98. Esto podr´ıa deberse a que el modelo GRV98 no est´a dise˜nado para reproducir los resultados en la regi´on cercana a la dispersi´on el´astica (x= 1), donde aparecen las resonancias nucle´onicas. Sin embargo, si lo comparamos con los resultados experimentales de la propia Fig. 11, se puede apreciar como el modelo GRV98 es el que mejor se ajusta. Las razones de las diferencias entre los resultados experimentales y los 3 AN´ ALISIS Y DISCUSI´ ON DE LOS RESULTADOS 40 valores obtenidos mediante los modelos pueden ser las posibles limitaciones experimentales a la hora de obtener medidas precisas o los t´erminos de orden superior que no se han tenido en cuenta en el modelo. Estas diferencias tambi´en podr´ıan deberse a que los datos experimentales que se muestran se corresponden a procesos con una cinem´atica muy alta (|Q2|>20 GeV2) para las cuales, la parametrizaci´on de Bodek-Ritchie puede producir resultados poco precisos. Figura 12: Datos experimentales de la funci´on de estructura F2del prot´on para distintos valores de x. Figura obtenida de [33]. En la Fig. 13 se representa la funci´on de estructura inel´astica F2para neutrones y protones frente a la variable xde Bjorken. En ella se comparan las distintas parametrizaciones usadas para obtener los resultados. A simple vista, se observa como el modelo GRV98 de PDFs hace un promedio de las funciones de estructura inel´asticas. Por el contrario, los modelos de Bodek-Ritchie y Bosted-Christy reproducen m´as acertadamente las resonancias de los procesos electr´on-nucle´on. Esta diferencia es debida a que, mientras que el modelo GRV98 modela las funciones de estructura partiendo de funciones de distribuci´on de partones, las otras dos parametrizaciones son meros ajustes a los datos experimentales. La diferencia entre los modelos es m´as notable en las gr´aficas con un valor de |Q2|menor B SECCI´ ON EFICAZ 47 B. Secci´on eficaz B.1. Propiedades de la funci´on δde Dirac. A continuaci´on, se expone una propiedad que nos ser´a de ayuda en los c´alculos desarrollados a lo largo del trabajo: δ[f(x)] = X i δ(x−xi) |f′(x)|/ f(xi) = 0 .(B.1) B.2. Desarrollo de la funci´on δasociada a Sfi Para obtener la expresi´on (2.29) es necesario usar la igualdad que vamos a obtener a continuaci´on. Partimos del caso gen´erico siguiente: [(2π)4δ4(Pf−Pi)]2= (2π)4δ4(Pf−Pi)Zd4x e−i(Pf−Pi)x = (2π)4δ4(Pf−Pi)Zd4x= (2π)4δ4(Pf−Pi)V T , (B.2) donde VyTson, respectivamente, el volumen y el tiempo considerados. Para nuestro caso, la igualdad toma la siguiente forma: [(2π)4δ4(Pf−Pi+kf−ki)]2= (2π)4δ4(Pf−Pi+kf−ki)V T . (B.3) B.3. Expresi´on para el flujo incidente Φinc En la expresi´on (2.33) se usa una relaci´on para el flujo de part´ıculas incidentes la cual se desarrolla a continuaci´on. Partimos de (2.32) teniendo en cuenta las siguientes relaciones: B SECCI´ ON EFICAZ 48 vi=ki εi yVi=pi Ei .(B.4) Con esto, se puede desarrollar la siguiente expresi´on: mM εiEi 1 VΦinc =mM εiEi|vi−Vi|=mM εiEipvi2+Vi2−2vi·Vi =mM qki2E2 i+pi2ε2 i−2ki·piεiEi .(B.5) Ahora veremos que este resultado es muy similar al siguiente escalar Lorentz: mM p(ki·Pi)2−m2M2.(B.6) Desarrollamos (B.6): mM p(ki·Pi)2−m2M2=mM p(εiEi−ki·pi)2−m2M2 =mM pε2 iE2 i−2εiEiki·pi+ (ki·pi)2−m2M2 =mM q(m2+ki2)(M2+pi2)−2εiEiki·pi+ (ki·pi)2−m2M2 =mM qki2E2 i+m2pi2−2εiEiki·pi+ (ki·pi)2 ≈mM qki2E2 i+m2pi2−2εiEiki·pi+ki2·pi2 =mM qki2E2 i+ε2 ipi2−2εiEiki·pi ,(B.7) B SECCI´ ON EFICAZ 49 donde se ha supuesto que tratamos colisiones colineales o cuasi-colineales ((ki·pi)2≈ ki2pi2). Si particularizamos para nuestro caso, en el cual pi= 0 y Ei=M, finalmente obtenemos: mM εiEi 1 VΦinc ≈mM pε2 iM2−m2M2=m pε2 i−m2=m |ki|.(B.8) B.4. Integraci´on de la funci´on δde Dirac En el desarrollo de la secci´on eficaz del proceso que estamos estudiando es ´util la relaci´on que vamos a obtener a continuaci´on: Z∞ 0 dp0δ(p2 0−pf2−M2)d2pf=Z∞ 0 dp0δ(p2 0−E2 f)d3pf =Z∞ 0 dp0δ[(p0−Ef)(p0+Ef)] d3pf=d3pf 2Ef ,(B.9) donde se ha hecho uso de propiedad (B.1) de la funci´on δde Dirac. Finalmente, el t´ermino inicial de (B.9) se puede transformar de la siguiente manera: Z∞ 0 dp0δ(p2 0−pf2−M2)d2pf=Z∞ 0 d4Pfδ(P2 f−M2) = Z∞ −∞ d4Pfδ(p2 f−M2) Θ(p0), (B.10) con: Θ(p0) =    1 si p0>0 0 si p0<0 .(B.11) Otro resultado muy ´util en el desarrollo de la secci´on eficaz diferencial del proceso de dispersi´on que estamos estudiando es el siguiente: B SECCI´ ON EFICAZ 50 Zd4Pfδ4(Pi+Q−Pf)Θ(p0)δ(P2 f−M2) = δ[(Pi+Q)2−M2] Θ(M+ω) | {z } =1 =δ P2 i |{z} =M2 +Q2+ 2Pi·Q−M2 =δ(2Mω −|Q2|) = 1 2Mδω−|Q2| 2M,(B.12) donde se ha usado (B.1). C TENSORES HADR´ ONICO Y LEPT´ ONICO 51 C. Tensores hadr´onico y lept´onico C.1. C´alculo del tensor lept´onico En esta secci´on vamos a desarrollar la expresi´on (2.38) hasta obtener una forma m´as simple. Para empezar, vemos que el segundo factor de (2.38) es un escalar, o tambi´en una matriz 1×1 para la cual el complejo conjugado coincide con su herm´ıtico conjugado: [¯ue(kf, sf)γνue(ki, si)]∗= [u† e(kf, sf)γ0γνue(ki, si)]† = [u† e(ki, si)γ† νγ0ue(kf, sf)] = [¯ue(ki, si)γνue(kf, sf)] ,(C.1) donde se ha usado γ† νγ0=γ0γν. Introducimos este resultado en la expresi´on del tensor lept´onico: Lµν =X si,sf [¯ue(kf, sf)γµue(ki, si)][¯ue(kf, sf)γνue(ki, si)]∗ =1 2X si,sf [¯ue(kf, sf)γµue(ki, si)][¯ue(ki, si)γνue(kf, sf)] =1 2 4 X α,β,δ,ε=1 X sf ¯uα(kf, sf)[γµ]αβ X si uβ(ki, si)¯uδ(ki, si) | {z } / ki+m 2mβδ ×[γν]δεuε(kf, sf) =1 2 4 X α,β,δ,ε=1 X sf ¯uα(kf, sf)[γµ]αβ / ki+m 2mβδ [γν]δεuε(kf, sf) =1 2 4 X α,ε=1 X sf uε(kf, sf)¯uα(kf, sf)γµ / ki+m 2mγναε C TENSORES HADR´ ONICO Y LEPT´ ONICO 52 =1 2 4 X α,ε=1 / kf+m 2mεα γµ / ki+m 2mγναε =1 2Tr / kf+m 2mγµ / ki+m 2mγν =1 8m2Tr / kfγµ/ kiγν+m/ kfγµγν+mγµ/ kiγν+m2γµγν.(C.2) Para proseguir con los c´alculos, hacemos uso del teorema de trazas. Introducimos los siguientes resultados en el desarrollo: Tr / kfγµγν=Tr (γµ/ kiγν) = 0 (C.3) Tr / kfγµ/ kiγν= 4kµ fkν i−4kfkigµν + 4kν fkµ i(C.4) Tr(γµγν) = 4gµν .(C.5) Finalmente, el tensor lept´onico resulta: Lµν =1 2m2(kµ fkν i+kν fkµ i−(kf·ki−m2)gµν).(C.6) C TENSORES HADR´ ONICO Y LEPT´ ONICO 53 C.2. C´alculo del tensor hadr´onico En esta secci´on expresamos el desarrollo de (2.39) del tensor hadr´onico como se muestra a continuaci´on. Inicialmente hacemos un desarrollo del segundo factor de la expresi´on del tensor hadr´onico: [¯uN(pf, Sf)ˆ ΓνuN(pi, Si)]∗= [¯uN(pf, Sf)ˆ ΓνuN(pi, Si)]† = [u† N(pi, Si)ˆ Γν†γ0uN(pf, Sf)] = [¯uN(pi, Si)ˆ ΓνuN(pi, Si)] ,(C.7) donde se hace uso de la notaci´on ˆ Γν≡γ0ˆ Γνγ0. Adem´as, se tiene que: ˆ Γν=F1(Q2)γµ−iF2(Q2) 2MσµνQν,(C.8) donde se ha usado γ† νγ0=γ0γνyσµν†γ0=γ0σµν . Con todo esto, el tensor hadr´onico queda: Hµν =X Si,Sf [¯uN(pf, Sf)ˆ ΓµuN(pi, Si)][¯uN(pf, Sf)ˆ ΓνuN(pi, Si)]∗ =1 2X Si,Sf [¯uN(pf, Sf)ˆ ΓµuN(pi, Si)][¯uN(pi, Si)ˆ ΓνuN(pi, Si)] =1 2 4 X α,β,δ,ε=1 X Sf ¯uα(pf, Sf)ˆ Γµ αβ X Si uβ(pi, Si)¯uδ(pi, Si) | {z } / Pi+M 2Mβδ ׈ Γν δεuε(pi, Si) C TENSORES HADR´ ONICO Y LEPT´ ONICO 54 =1 2 4 X α,β,δ,ε=1 X Sf ¯uα(pf, Sf)ˆ Γµ αβ / Pi+M 2Mβδ ˆ Γν δεuε(pi, Si) =1 2 4 X α,ε=1 X Sf ¯uα(pf, Sf)uε(pi, Si)ˆ Γµ/ Pi+M 2Mˆ Γναε =1 2 4 X α,ε=1 / Pf+M 2Mεα ˆ Γµ/ Pi+M 2Mˆ Γναε =1 2Tr / Pf+M 2Mˆ Γµ/ Pi+M 2Mˆ Γν =1 8M2Tr (/ Pf+M)F1γµ+iF2 2MσµσQσ(/ Pi+M)F1γν−iF2 2MσνρQρ =1 8M2Aµν(F1)2+1 4M2Bµν(F2)2+i 2MCµνF1F2,(C.9) donde Aµν viene dado por: Aµν =Tr[(/ Pf+M)γµ(/ Pi+M)γν] = 4[Pµ iPν f+Pν iPµ f−(PiPf−M2)gµν],(C.10) y donde se ha usado la expresi´on (C.6) del desarrollo del tensor lept´onico. Bµν viene dado por: Bµν =Tr[(/ Pf+M)σµσQσ(/ Pi+M)σνρQρ] =Tr(/ Pfσµσ / Piσνρ) + M Tr(/ Pfσµσσνρ) +M Tr(σµσ / Piσνρ) + M2Tr(σµσσνρ)QσQρ,(C.11) donde, haciendo uso del teorema de trazas, obtenemos: Tr(/ Pfσµσσνρ) = Tr(σµσ / Piσνρ) = 0 ,(C.12) C TENSORES HADR´ ONICO Y LEPT´ ONICO 55 y el primer t´ermino no nulo de Bµν es: Tr(/ Pfσµσ / Piσνρ) = −1 4Tr(/ Pf[γµ, γσ]/ Pi[γν, γρ]) =−1 4Tr[(/ Pfγµγσ/ Piγνγρ)−(/ Pfγσγµ/ Piγνγρ) −(/ Pfγµγσ/ Piγργν)+(/ Pfγσγµ/ Piγργν)] .(C.13) Para continuar, desarrollamos la siguiente expresi´on: Tr(/ Pfγaγb/ Piγcγd) = Pa fTr(γb/ Piγcγd)−Pb fTr(γa/ Piγcγd) +PfPiTr(γaγbγcγd)−Pc fTr(γaγb/ Piγd) + Pd fTr(γaγb/ Piγc) = 4[Pa f(Pb igcd −gbcPd i+gbdPc i)−Pb f(Pb igcd −gacPd i+gadPc i) +PfPi(gabgcd −gacgbd +gadgbc)−Pc f(Pd igab −gbdPa i+gadPb i) +Pd f(Pc igab −gbcPa i+gacPb i)] .(C.14) Introduciendo este resultado en (C.13), se llega a: Tr(/ Pfσµσ / Piσνρ) = 4[Pµ fPρ igσν −Pµ fPν igσρ −Pσ fPρ igµν +Pσ fPν igµρ −PfPi(−gµνgσρ +gσνgµρ) −Pν fPµ igσρ +Pν fPσ igµρ +Pρ fPµ igσν −Pρ fPσ igµν].(C.15) El segundo t´ermino no nulo de Bµν es: C TENSORES HADR´ ONICO Y LEPT´ ONICO 56 Tr(σµσσνρ) = −1 4Tr([γµ, γσ][γν, γρ]) =1 4Tr(γµγσγνγρ−γργµγνγσ+γσγµγργν−γµγσγργν) = 4(gµνgσρ −gµρgσν),(C.16) donde se ha usado: Tr(γaγbγcγd) = 4(gabgcd −gacgbd +gadgbc).(C.17) Finalmente, el t´ermino Bµν queda: Bµν =−4[Q2(Pµ fPν i+Pν fPµ i)−Pf·Q(Pµ iQν+Pν iQµ)−Pi·Q(Pν fQµ+Pµ fQν) +QµQν(PfPi+M2) + gµν{2(Pi·Q)(Pf·Q)−Q2(PfPi+M2)}].(C.18) Para el t´ermino Cµν se obtiene la siguiente expresi´on: Cµν =Tr[(/ Pf+M)σµσQσ(/ Pi+M)γν−(/ Pf+M)γµ(/ Pi+M)σνρQρ] =M Tr(/ Pfσµσγν)Qσ+M Tr(σµσ / Piγν)Qσ −M Tr(/ Pfγµσνρ)Qρ−M Tr(γµ/ Piσνρ)Qρ.(C.19) Calculamos cada t´ermino por separado: REFERENCIAS 63 Referencias [1] T.W. 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