Formulación y programación de un flujo de cargas ampliado para redes trifásicas a cuatro hilos
Abstract
Este documento presenta el desarrollo de una formulación alternativa del algoritmo de Newton-Raphson, basada en residuos de intensidades y flujo de potencia, para redes trifásicas a cuatro hilos, en coordenadas cartesianas. En primer lugar, se introduce una breve explicación del problema del flujo de carga y la formulación que lo define. En segundo lugar, se presenta como punto de partida la formulación del algoritmo de Newton-Raphson clásico en coordenadas polares, basado en residuos de potencia. A continuación, se amplía este algoritmo clásico, añadiendo al vector de estados y al de residuos las inyecciones de intensidad en los nudos, trabajando el problema en coordenadas cartesianas. Tomando como referencia el desarrollo ampliado anterior, se extrapola el algoritmo al caso de redes trifásicas a cuatro hilos, trabajando con un sistema de mayores dimensiones al hacer distinción entre las distintas fases y el neutro. Desarrollada la nueva formulación, ésta se lleva a la práctica a través de su programación mediante la herramienta matemática MATLAB. Para validar la metodología aplicada, se crea un escenario de prueba del cual se extraen los resultados del problema del flujo de carga y se comparan con los proporcionados por el software comercial de libre distribución “OpenDSS”. Por último, validado el algoritmo matemático, éste se aplica a una red de mayor dimensión de la cual se muestran los principales resultados obtenidos de la resolución del flujo de cargas.
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Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Máster Máster Universitario en Ingeniería Industrial Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos Autor: Javier Sánchez Reyes Tutor: Dra. Da. Esther Romero Ramos Dep. de Ingeniería Eléctrica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2017
iii Trabajo Fin de Máster Máster Universitario en Ingeniería Industrial Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos Autor: Javier Sánchez Reyes Tutor: Dra. Da. Esther Romero Ramos Profesor titular Dep. de Ingeniería Eléctrica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2017
v Trabajo Fin de Máster: Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos Autor: Javier Sánchez Reyes Tutor: Dra. Da. Esther Romero Ramos El tribunal nombrado para juzgar el Trabajo Fin de Máster arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2017 El Secretario del Tribunal
vii Agradecimientos A la primera persona, que se lo quiero agradecer es a mi prima Aurora, apoyo incondicional desde el primer momento, que sin sus consejos y ayudas gran parte de lo que soy hoy en día, no hubiese sido posible. A mi familia, a todos aquellos que estaban y ahora no están, siempre los tengo presentes y seguro que estén donde estén, se sentirán orgullosos de ver cómo se cierra esta etapa de mi vida con éxito. A mis amigos, a todos aquellos que he conocido durante esta etapa y junto con los que he compartido tantos buenos momentos. En especial a mis “cinco primaveras”, por estar siempre ahí y por aguantar mis manías y agonías, simplemente los mejores. También mencionar, a Satu e Isa, grandes amigos y sobre todo grandes personas, por sus consejos, por estar siempre ahí, aunque sea desde la distancia. Tampoco puedo olvidar la gran ayuda de mi amiga Luna, que siempre me ha tendido su mano y sin ella, parte de este proyecto no hubiese sido posible. A todos aquellos que siguen estando cerca de mí y que le regalan a mi vida algo de ellos, GRACIAS. Montilla, 12 de noviembre de 2017
ix Resumen Este documento presenta el desarrollo de una formulación alternativa del algoritmo de Newton-Raphson, basada en residuos de intensidades y flujo de potencia, para redes trifásicas a cuatro hilos, en coordenadas cartesianas. En primer lugar, se introduce una breve explicación del problema del flujo de carga y la formulación que lo define. En segundo lugar, se presenta como punto de partida la formulación del algoritmo de Newton-Raphson clásico en coordenadas polares, basado en residuos de potencia. A continuación, se amplía este algoritmo clásico, añadiendo al vector de estados y al de residuos las inyecciones de intensidad en los nudos, trabajando el problema en coordenadas cartesianas. Tomando como referencia el desarrollo ampliado anterior, se extrapola el algoritmo al caso de redes trifásicas a cuatro hilos, trabajando con un sistema de mayores dimensiones al hacer distinción entre las distintas fases y el neutro. Desarrollada la nueva formulación, ésta se lleva a la práctica a través de su programación mediante la herramienta matemática MATLAB. Para validar la metodología aplicada, se crea un escenario de prueba del cual se extraen los resultados del problema del flujo de carga y se comparan con los proporcionados por el software comercial de libre distribución “OpenDSS”. Por último, validado el algoritmo matemático, éste se aplica a una red de mayor dimensión de la cual se muestran los principales resultados obtenidos de la resolución del flujo de cargas.
xvii ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1. Tensión por fase en el nudo Slack 45 Tabla 2. Impedancias del cable subterraneo para redes europeas de baja tensión definidas por CIGRE 46 Tabla 3. Características de las ramas 46 Tabla 4. Potencia de las cargas para el escenario equilibrado 46 Tabla 5. Potencia de las cargas para el escenario desequilibrado 47 Tabla 6 . Resistencias de puesta a tierra 47 Tabla 7. Caso equilibrado: tensiones del flujo de carga en OpenDSS 50 Tabla 8. Caso equilibrado: ángulos de la tensión del flujo de carga en OpenDSS 50 Tabla 9. Caso equilibrado: tensiones del flujo de carga del modelo propuesto 50 Tabla 10. Caso equilibrado: ángulos de la tensión del flujo de carga del modelo propuesto 50 Tabla 11. Caso equilibrado: intensidades del flujo de carga en OpenDSS 51 Tabla 12. Caso equilibrado: ángulos de la intensidad del flujo de carga en OpenDSS 51 Tabla 13. Caso equilibrado: intensidad del flujo de carga del modelo propuesto 52 Tabla 14. Caso equilibrado: ángulos de la intensidad del flujo de carga del modelo propuesto 52 Tabla 15. Intensidades del nudo slack 53 Tabla 16. Caso desequilibrado: tensiones del flujo de carga en OpensDSS 53 Tabla 17. Caso desequilibrado: ángulos de la tensión el flujo de carga en OpenDSS 53 Tabla 18. Caso desequilibrado: tensiones del flujo de carga del modelo propuesto 54 Tabla 19. Caso desequilibrado: ángulos de la tensión del flujo de carga del modelo propuesto 54 Tabla 20. Caso desequilibrado: intensidades por las ramas en OpenDSS 54 Tabla 21. Caso desequilibrado: ángulos de las intensidades por las ramas en OpenDSS 55 Tabla 22. Caso desequilibrado: intensidades por las ramas del modelo propuesto 55 Tabla 23. Caso desequilibrado: ángulos de las intensidades por las ramas del modelo propuesto 56 Tabla 24. Intensidades del nudo slack 56 Tabla 25. Matrices de impedancia primitiva de líneas subterráneas para redes de referencia europeas de distribución de BT 58 Tabla 26. Matrices de impedancia primitiva de líneas aéreas para redes de referencia europeas de distribución de BT 59 Tabla 27. Conexiones y parámetros de líneas residenciales para redes de refertencia europeas de distribución de BT 60 Tabla 28. Conexiones y parámetros de líneas industriales para redes de refertencia europeas de distribución de BT 60
Tabla 29. Conexiones y parámetros de líneas comerciales para redes de referencia europeas de distribución de BT 61 Tabla 30. Parámetros de cargas para redes de referencia europeas de distribución de BT 62 Tabla 31. Tensiones complejas del nudo de referencia 62 Tabla 32. Tensiones y ángulos resultantes del flujo de carga en la subred residencial 63 Tabla 33. Tensiones y ángulos resultantes del flujo de carga en la subred industrial 63 Tabla 34. Tensiones y ángulos resultantes del flujo de carga en la subred comercial 64 Tabla 35. Intensidades y ángulos resultantes del flujo de carga en la subred residencial (ij/ji) 67 Tabla 36. Intensidades y ángulos resultantes del flujo de carga en la subred industrial (ij/ji) 67 Tabla 37. Intensidades y ángulos resultantes del flujo de carga en la subred comercial (ij/ji) 69 Tabla 38. Intensidades y ángulos del nudo de referencia 69 Tabla 39. Pérdidas de potencia por rama para la subred residencial 71 Tabla 40. Pérdidas de potencia por rama para la subred industrial 71 Tabla 41. Pérdidas de potencia por rama para la subred comercial 72 Tabla 42. Pérdidas de potencia del sistema 73 Tabla 43. Generación presente en el sistema 73
xix ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. Modelo lineal de la red 1 Figura 2. Proceso iterativo del algoritmo de Newton-Raphson clásico 8 Figura 3. Restricciones no lineales, potencia compleja inyectada en el nudo i. 21 Figura 4. Diagrama de flujo del modelo propuesto implementado en MATLAB 37 Figura 5. Esquema unifilar de la red de estudio 47 Figura 6. Topología de referencia para redes europeas de distribución de BT (modificada) 57 Figura 7. Tensiones nodales del sistema (fase a) 64 Figura 8. Intensidades por rama ij del sistema (fase a) 70 Figura 9. Pérdidas de potencia activa por rama del sistema (fase a) 72 Figura 10. Pérdidas de potencia reactiva por rama del sistema (fase a) 73 Figura 11. Tensiones nodales del sistema con generación (fase a) 74 Figura 12. Intensidades por rama ij del sistema con generación (fase a) 75 Figura 13. Pérdidas de potencia activa por rama del sistema con generación (fase a) 75 Figura 14. Pérdidas de potencia reactiva por rama del sistema con generación (fase a) 76
1 1 INTODUCCIÓN [1] 1.1 Flujo de carga El flujo de carga es una herramienta que involucra un análisis numérico aplicado a un sistema eléctrico de potencia. Su estudio se centra en voltajes, ángulos de los voltajes, potencia activa y reactiva. Normalmente, el flujo de carga analiza los sistemas operando en un estado equilibrado. Existen varios algoritmos matemáticos que implementan el problema del flujo de carga. Los estudios que lleva a cabo esta herramienta son importantes en los sistemas eléctricos de potencia para: Planificación: permite la comparación de diferentes alternativas. Explotación: uso en estrategias de control, análisis de seguridad, reducción de costes, etc. La principal información obtenida del problema de flujo de carga es la magnitud y ángulo de la fase de la tensión en cada nudo, así como la potencia activa y reactiva que fluye por cada línea. 1.2 Formulación para un sistema trifásico equilibrado Como punto de partida, se supone un sistema trifásico equilibrado y por lo tanto se puede aplicar el circuito monofásico equivalente para su análisis. Así, el flujo de carga supone un problema complejo comprendido por: 1.2.1 Modelo lineal de la red (ecuaciones nodales: fasores) El modelo lineal de la red, que representa las ecuaciones en los nudos, se muestra para un nudo cualquiera i a través de la figura 1: Figura 1. Modelo lineal de la red Tomando la figura anterior como punto de partida, las ecuaciones que definen este modelo se detallan a continuación:
Intoducción [1] 2 𝐼𝑖=∑𝑌𝐵𝑈𝑆∙𝑈𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑖=1,2,…,𝑛 (1) 𝐼𝑖=∑(𝑦𝑖𝑗+𝑦𝑠𝑖)∙𝑉𝑖−∑𝑦𝑖𝑗 𝑗∈𝑖𝑗∈𝑖 ∙𝑉𝑗 (2) 𝑌𝑖𝑖=∑𝑦𝑖𝑗+𝑦𝑠𝑖 𝑗∈𝑖 (3) 𝑌𝑖𝑗=−𝑦𝑖𝑗 (4) Donde, 𝑌𝐵𝑈𝑆, es la matriz de admitancia de nudos de dimensión [número de nudos x número de nudos]. Esta matriz es simétrica y relaciona la tensión e intensidad en los nudos. Los elementos que la componen son: Elementos diagonales (para cada nudo j=i): 𝑦𝑖𝑖=∑ 1 𝑅+𝑗𝑋+𝑌2 𝑛 𝑖=1 +1 𝑅𝑔 (5) Tomando un modelo en pi de la línea, se ha incluido el término correspondiente a la admitancia paralelo (𝑌/2) y el que hace referencia a la puesta a tierra (𝑦𝑠𝑖=1/𝑅𝑔). Elementos no diagonales (para cada nudo j≠i): 𝑦𝑖𝑗=− 1 𝑅+𝑗𝑋 (6) 𝐼𝑖, es la intensidad en el nudo i. 𝑈𝑖, es la tensión en el nudo i. En transponte las admitancias nodales son prácticamente imaginarias: X >> R. 1.2.2 Restricciones no lineales En el flujo de carga no se conocen las intensidades inyectadas en los nudos, sino las potencias consumidas y/o inyectadas, dando lugar a un problema no lineal. La potencia compleja neta inyectada en los nudos es: 𝑆𝑖=𝑆𝐺𝑖−𝑆𝐿𝑖=𝑈𝑖∙𝐼𝑖∗ 𝑖=1,2,…𝑛 (7) Donde, 𝑆𝐺, potencia compleja generada en el nudo i. 𝑆𝐿, potencia compleja consumida en el nudo i.
3 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos Descomponiendo la potencia y admitancia en parte real e imaginaria se tiene: 𝑆=𝑃+𝑗𝑄 𝑌=𝐺+𝑗𝐵 Sustituyendo en (7): 𝑃𝑖+𝑗𝑄𝑖=𝑉𝑖∑(𝐺𝑖𝑗+𝑗𝐵𝑖𝑗)∙𝑉𝑗∗ 𝑖=1,2,…,𝑛 𝑛 𝑗=1 Tomando coordenadas polares para la tensión (𝑉=𝑉∠𝜃), se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones reales en coordenadas polares: 𝑃𝑖=𝑉𝑖∑𝑉𝑗∙(𝐺𝑖𝑗∙𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖𝑗+𝐵𝑖𝑗∙𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖𝑗) 𝑛 𝑗=1 (8) 𝑄𝑖=𝑉𝑖∑𝑉𝑗∙(𝐺𝑖𝑗∙𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖𝑗−𝐵𝑖𝑗∙𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖𝑗) 𝑛 𝑗=1 (9) 𝑖=1,2,…𝑛 𝜃𝑖𝑗=𝜃𝑖−𝜃𝑗 Se tratan de ecuaciones de fuerte carácter no lineal, con dos ecuaciones (𝑃𝑖 y 𝑄𝑖) y cuatro variables (𝑃𝑖,𝑄𝑖,𝑉𝑖,𝜃𝑖) por cada nudo. Estas además, permiten obtener diferencias de ángulos. 1.2.3 Variables de estado Las variables de estado del problema del flujo de carga son las tensiones en módulo (𝑉𝑖) y fase (𝜃𝑖) en todos los nudos. Estas serán las incógnitas del problema a resolver. En general, conocidas 𝑃𝑖 y 𝑄𝑖, se pueden calcular 𝑉𝑖 y 𝜃𝑖. 1.3 Herramientas del flujo de carga Existen una serie de algoritmos de aplicación al flujo de carga en los sistemas eléctricos de potencia. Estas herramientas persiguen la robustez, que estos algoritmos no diverjan, la rapidez para su aplicación en tiempo real y la fiabilidad para que las soluciones que proporcionen sean reales y factibles. Entre los distintos algoritmos destacan: Algoritmos habituales en redes de transporte: Newton-Raphson aplicado a los residuos de potencia. Algoritmo bastante robusto y de convergencia cuadrática. Posee el inconveniente de que presenta un alto coste computacional al tener que calcular y factorizar el jacobiano en cada iteración. Tiene términos comunes entre el jacobiano y el vector de residuos.
Intoducción [1] 4 Fast Decoupled Load Flow (Desacoplado Rápido). Algoritmo que puede llegar a divergir. Es más rápido y de menor cote computacional que el anterior, aunque presenta un mayor número de iteraciones. Las aproximaciones en el cálculo del jacobiano dificultan su uso en redes de distribución, siendo una herramienta inapropiada para redes de media y baja tensión. DC-Load Flow. Algoritmo que proporciona una solución aproximada para el problema activo cuando X >> R. Algoritmos habituales en redes de distribución: Basados en barridos del árbol, mediante un barrido aguas arriba para actualizar intensidades o flujos, o un barrido aguas abajo para actualizar tensiones. Basados en la aplicación de Newton-Raphson a los residuos de intensidad. Formulaciones alternativas. 1.4 Objetivo El objetivo del documento es el desarrollo de una formulación alternativa del algoritmo de Newton-Raphson para una red trifásica a cuatro hilos, basada en coordenadas cartesianas. Este desarrollo también incluye la presencia de posibles desequilibrios en la red. Desarrollada la nueva formulación, ésta se lleva a la práctica a través de su programación mediante la herramienta matemática MATLAB. Para ello se crea un escenario de prueba, del cual se extraen los resultados del problema del flujo de carga y así poder validar la metodología aplicada, comparando esos resultados con los obtenidos por la aplicación (“OpenDSS”).
5 2 NEWTON-RAPHSON CLÁSICO [1] 2.1 Ecuaciones de partida 2.1.1 Ecuaciones nodales Se tratan de las ecuaciones del modelo lineal de la red, que relacionan las intensidades con las tensiones a través de la matriz de admitancia de nudos. Estas ecuaciones ya han sido definidas anteriormente en (1), las cuales recordando su formulación son de la siguiente forma: 𝐼𝑖=𝑌𝐵𝑈𝑆∙𝑈𝑖 𝑖=1,2,…𝑛 Donde, 𝐼𝑖, es la intensidad en el nudo i. 𝑌𝐵𝑈𝑆, es la matriz de admitancia de nudos. 𝑈𝑖, es la tensión en el nudo i. 2.1.2 Restricciones no lineales Estas restricciones hacen referencia a la potencia compleja neta inyectada en los nudos. Como se mencionó en la sección anterior, estos términos de potencia son los que se conocen, al contrario que los de intensidad que da lugar al carácter cuadrático de las ecuaciones. Así, recordando según la ecuación (7): 𝑆𝑖=𝑆𝐺𝑖−𝑆𝐿𝑖=𝑈𝑖∙𝐼𝑖∗ 𝑖=1,2,…𝑛 Donde, 𝑆𝐺, potencia compleja generada en el nudo i. 𝑆𝐿, potencia compleja consumida en el nudo i. 2.2 Sistema a resolver Para obtener el sistema de ecuaciones que permita la resolución del flujo de carga es necesario linealizar las ecuaciones de partida. Esto va a permitir transformar las ecuaciones cuadráticas de potencia en lineales y junto con las ecuaciones nodales de la red, formar el sistema a resolver. Para llevar a cabo la linealización se parte de un desarrollo en series de Taylor: 𝑓(𝑋)≅𝑓(𝑋⌋𝑜)+𝜕𝑓(𝑋) 𝜕𝑋 ∙∆𝑋 (10) En esta ecuación, X hace referencia al vector de estados (incógnitas), compuesto por las tensiones y sus
Newton-Raphson Ampliado [2] 12 3.3 Residuos 3.3.1 Residuos en intensidad De la linealización de las ecuaciones en los nudos, a partir la expresión (26), tomando parte real e imaginaria en dicha ecuación, se tiene que los residuos en intensidad son de la forma que se presenta a continuación: ∆Ʌ𝑖=[∆𝛼𝑖 ∆𝛽𝑖]=[𝐼𝑎𝑖⌋0 𝐼𝑏𝑖⌋0]−∑[−𝐵𝑖𝑗 𝐺𝑖𝑗 𝐺𝑖𝑗 𝐵𝑖𝑗]∙[𝑓𝑖⌋0 𝑒𝑖⌋0] 𝑛 𝑗=1 (35) Estos residuos serán nulos tras la primera iteración en la resolución del problema, dado el carácter lineal de la ecuación (1). 3.3.2 Residuos en potencia A partir de la ecuación (31), la expresión en forma compleja de los residuos en potencia es la siguiente: ∆𝑆𝑖=[∆𝑃𝑖 ∆𝑄𝑖]=*𝑃𝑖𝑠𝑝 𝑄𝑖𝑠𝑝+−[𝑒𝑖⌋0𝑓𝑖⌋0 𝑓𝑖⌋0−𝑒𝑖⌋0]∙[𝐼𝑎𝑖⌋0 𝐼𝑏𝑖⌋0] (36) 3.4 Sistema a resolver Una vez linealizadas las ecuaciones de partida del problema del flujo de carga y conocidas las expresiones de los residuos en potencia y en intensidad, se pueden unificar dichas ecuaciones en un único sistema más compacto. Este sistema incluye, tanto las tensiones como intensidades en el vector de estados, lo cual se refleja también en los residuos, incluyendo tanto los de potencia como los de intensidad. Así, el sistema a resolver queda como sigue: i i i i bi ai i i iibiai iiaibi ijij ijij Q P I I e f efII feII BG GB 10 01 (37) El nudo slack o de referencia será excluido en la resolución de este sistema (se eliminan las filas y columnas relacionadas con él), ya que su tensión es conocida. Este nudo no sólo se elimina en esta expresión (37), ya que en el cálculo de los residuos de potencia (36), también se eliminan las filas y columnas de las matrices y vectores relacionadas con dicho nudo. Por el contrario, en los residuos de intensidad (35), se excluye la referencia en el vector de intensidades, permaneciendo ésta en el de tensiones y sólo eliminado la fila correspondiente al slack en la matriz 𝑌𝐵𝑈𝑆. Para simplificar el manejo de las ecuaciones del sistema (37), se toma la siguiente notación sobre las submatrices que componen el jacobiano: 𝑌𝐵𝑈𝑆=[−𝐵𝑖𝑗 𝐺𝑖𝑗 𝐺𝑖𝑗 𝐵𝑖𝑗] (38)
13 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos −𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡.=[−1 0 0 −1] (39) 𝐷𝐼=[𝐼𝑏𝑖 𝐼𝑎𝑖 𝐼𝑎𝑖 −𝐼𝑏𝑖] (40) 𝐷𝑉=[𝑒𝑖𝑓𝑖 𝑓𝑖−𝑒𝑖] (41) Así, teniendo en cuenta la notación anterior, el sistema de ecuaciones a resolver queda simplificado de la siguiente forma: S I U DD IdentY VI BUS (42) Llegado a este punto, la resolución del sistema dado por (42) sigue los siguientes pasos: Sustituir los residuos de potencia(36) en los de intensidad (35), con lo que se eliminan los ∆𝐼𝑖: (𝑌𝐵𝑈𝑆+𝐷𝑉−1∙𝐷𝐼)∙∆𝑈=∆Ʌ+𝐷𝑉−1∙∆𝑆 (43) 𝐷𝑉−1,𝐷𝐼 , sólo modifica los bloques diagonales de 𝑌𝐵𝑈𝑆. Despejar de (36) ∆𝐼: ∆𝐼=𝐷𝑉−1∙∆𝑆−(𝐷𝑉−1∙∆𝑆)∙∆𝑈 (44) 3.5 Proceso iterativo de resolución El proceso iterativo de resolución consta de las siguientes etapas: Partir de un perfil inicial. En este perfil se tendrán de dato las potencias activas y reactivas especificadas en cada nudo: 𝑆𝑖𝑠𝑝=𝑃𝑖𝑠𝑝+𝑗𝑄𝑖𝑠𝑝 Asignar valores iniciales sencillos a las tensiones: 𝑈𝑖⌋0=𝑒𝑖⌋0+𝑗𝑓𝑖⌋0=1+𝑗0 Conocida la tensión y haciendo uso de la expresión de la potencia compleja, se obtienen los valores de partida de la intensidad: 𝐼𝑖⌋0=(𝑆𝑖𝑠𝑝 𝑈𝑖⌋0)∗=𝑃𝑖𝑠𝑝−𝑗𝑄𝑖𝑠𝑝 1+𝑗0
Newton-Raphson Ampliado [2] 14 𝐼𝑎𝑖⌋0=𝑃𝑖𝑠𝑝 1=𝑃𝑖𝑠𝑝 𝐼𝑏𝑖⌋=−𝑄𝑖𝑠𝑝 1=−𝑄𝑖𝑠𝑝 Calcular las submatrices que componen el jacobiano: 𝑌𝐵𝑈𝑆,𝐷𝑉,𝐷𝐼. A partir de las submatrices del jacobiano, obtener los vectores de residuos: ∆Ʌ𝑖,∆𝑆𝑖. Resolver el sistema definido en (42), teniendo como resultado ∆𝑈𝑖,∆𝐼𝑖, cuyos elementos en forma compleja son: ∆𝑈𝑖=[∆𝑓𝑖 ∆𝑒𝑖] ∆𝐼𝑖=[∆𝐼𝑎𝑖 ∆𝐼𝑏𝑖] Actualizar tensiones: [∆𝑓𝑖=𝑓𝑖⌋1−𝑓𝑖⌋0 ∆𝑒𝑖=𝑒𝑖⌋1−𝑒𝑖⌋0]→[𝑓𝑖⌋1=∆𝑓𝑖+𝑓𝑖⌋0 𝑒𝑖⌋1=∆𝑒𝑖+𝑒𝑖⌋0] Actualizar intensidades: [∆𝐼𝑎𝑖=𝐼𝑎𝑖⌋1−𝐼𝑎𝑖⌋0 ∆𝐼𝑏𝑖=𝐼𝑏𝑖⌋1−𝐼𝑏𝑖⌋0]→[𝐼𝑎𝑖⌋1=∆𝐼𝑎𝑖+𝐼𝑎𝑖⌋0 𝐼𝑏𝑖⌋1=∆𝐼𝑏𝑖+𝐼𝑏𝑖⌋0] La notación “⌋?” hace referencia al número de iteración en el que se encuentra el proceso iterativo en ese momento. Actualizar residuos: Con estos nuevos valores de los incrementos de tensión e intensidad, se vuelven a calcular ∆Ʌ𝑖,∆𝑆𝑖. Como se mencionó anteriormente, dado el carácter lineal de las ecuaciones del modelo lineal de la red, tras la primera iteración los residuos de intensidad se hacen nulos o próximos a cero: ∆Ʌ𝑖=[∆𝛼𝑖 ∆𝛽𝑖]≅0 Comprobar si se cumple el criterio de convergencia. Este criterio de finalización, al igual que se mencionó en el método de Newton-Raphson clásico, se trata de un método basado en la acotación del error en los residuos de potencia, ecuaciones (20) y (21). Los residuos de intensidad no se tienen en cuenta por su nulidad pasada la primera iteración.
15 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos En caso de no cumplir el criterio de convergencia, volver al segundo punto de la iteración con los mejores valores de tensión e intensidad obtenidos hasta el momento. En este punto sólo es necesario volver a calcular 𝐷𝑉 y 𝐷𝐼, puesto que 𝑌𝐵𝑈𝑆 se mantiene constante en el proceso iterativo.
Newton-Raphson Ampliado [2] 16
17 4 NEWTON-RAPHSON AMPLIADO PARA REDES TRIFÁSICAS A CUATRO HILOS En esta sección, se toman como punto de partida las ecuaciones del capítulo anterior del algoritmo ampliado de Newton-Raphson. Estas ecuaciones añaden las intensidades a las tensiones en el vector de estados, dando lugar a un vector de residuos compuesto tanto por potencias, como por intensidades. Conocida esta formulación, se desarrolla un modelo similar para redes trifásicas a cuatro hilos, teniendo en cuenta la presencia de posibles desequilibrios en las mismas. Esta nueva formulación obliga a incluir una distinción entre las distintas fases y el neutro, provocando un consecuente aumento de las dimensiones del problema. Para este desarrollo se vuelve a emplear una notación basada en coordenadas cartesianas, tal y como se muestra a continuación: 𝑉𝑖𝑝ℎ∠𝜃𝑖𝑝ℎ=𝑒𝑖𝑝ℎ+𝑗𝑓𝑖𝑝ℎ Tensión compleja en el nudo i en la fase 𝑝; 𝐼𝑖𝑝ℎ∠𝜑𝑖𝑝ℎ=𝐼𝑟𝑖𝑝ℎ+𝑗𝐼𝑥𝑖𝑝ℎ Intensidad compleja inyectada en el nudo i en la fase 𝑝; 𝐺𝑖𝑗𝑝ℎ+𝑗𝐵𝑖𝑗𝑝ℎ Elemento ij de la matriz de admitancia de nudos en la fase 𝑝; 𝑃𝑖𝑝ℎ+𝑗𝑄𝑖𝑝ℎ Potencia compleja inyectada en el nudo i en la fase 𝑝; 𝑝 Fase: a, b, c o n (neutro); 𝑠𝑝 Denota que se trata de un magnitud especificada; 𝑛 Número de nudos. 4.1 Ecuaciones de partida 4.1.1 Modelo lineal de la red Al igual que en secciones anteriores, se toma como punto de partida la ecuación (1), junto con su desarrollo complejo dado por (22) del algoritmo ampliado. En esta ocasión, además de cómo cada nudo se ve afectado por sí mismo, también se tiene en cuenta cómo este se ve afectado por el resto de nudos que componen la red.
Newton-Raphson Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos 18 La expresión para cada nudo i se puede formular a través de la siguiente ecuación: 𝐼𝑖=𝑦𝑖𝑖∙𝑈𝑖+∑𝑦𝑖𝑗∙𝑈𝑗 𝑛 𝑗≠𝑖 (45) Esta expresión desarrollada matricialmente de forma compacta e incorporando las distintas fases más el neutro queda como sigue: [ 𝐼𝑖𝑎 𝐼𝑖𝑏 𝐼𝑖𝑐 𝐼𝑖𝑛 ] = [ 𝑦𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑦𝑖𝑖𝑎𝑏 𝑦𝑖𝑖𝑎𝑐 𝑦𝑖𝑖𝑎𝑛 𝑦𝑖𝑖𝑏𝑎 𝑦𝑖𝑖𝑏𝑏 𝑦𝑖𝑖𝑏𝑐 𝑦𝑖𝑖𝑏𝑛 𝑦𝑖𝑖𝑐𝑎 𝑦𝑖𝑖𝑐𝑏 𝑦𝑖𝑖𝑐𝑐 𝑦𝑖𝑖𝑐𝑛 𝑦𝑖𝑖𝑛𝑎 𝑦𝑖𝑖𝑛𝑏 𝑦𝑖𝑖𝑛𝑐 𝑦𝑖𝑖𝑛𝑛 ] ∙ [ 𝑈𝑖𝑎 𝑈𝑖𝑏 𝑈𝑖𝑐 𝑈𝑖𝑛 ] +∑ [ 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑛 ] ∙ [ 𝑈𝑗𝑎 𝑈𝑗𝑏 𝑈𝑗𝑐 𝑈𝑗𝑛 ] 𝑛 𝑗≠𝑖 (46) Cada uno de los términos de la expresión anterior está compuesto por una parte real e imaginaria. Esto da lugar para cada nudo i a un vector de intensidades de dimensión [1 x 8], una matriz de admitancias simétrica en los nudos de [8 x 8] y un vector de tensiones de igual dimensión que el de intensidades. A continuación, se muestran como están constituidos cada uno de estos elementos que conforman (46): 𝐼𝑖𝑎=[𝐼𝑟𝑖 𝑎 𝐼𝑥𝑖 𝑎]; 𝐼𝑖𝑏=*𝐼𝑟𝑖 𝑏 𝐼𝑥𝑖 𝑏+; 𝐼𝑖𝑐=[𝐼𝑟𝑖 𝑐 𝐼𝑥𝑖 𝑐]; 𝐼𝑖𝑛=[𝐼𝑟𝑖 𝑛 𝐼𝑥𝑖 𝑛] 𝑈𝑖𝑎=[𝑒𝑖𝑎 𝑓𝑖𝑎]; 𝑈𝑖𝑏=*𝑒𝑖𝑏 𝑓𝑖𝑏+; 𝑈𝑖𝑐=[𝑒𝑖𝑐 𝑓𝑖𝑐]; 𝑈𝑖𝑛=[𝑒𝑖𝑛 𝑓𝑖𝑛] 𝑈𝑗𝑎=*𝑒𝑗𝑎 𝑓𝑗𝑎+; 𝑈𝑗𝑏=*𝑒𝑗𝑏 𝑓𝑗𝑏+; 𝑈𝑗𝑐=*𝑒𝑗𝑐 𝑓𝑗𝑐+; 𝑈𝑗𝑛=*𝑒𝑗𝑛 𝑓𝑗𝑛+ 𝑦𝑖𝑖𝑎𝑎=[−𝐵𝑖𝑖𝑎𝑎 𝐺𝑖𝑖𝑎𝑎 𝐺𝑖𝑖𝑎𝑎 𝐵𝑖𝑖𝑎𝑎]; 𝑦𝑖𝑖𝑎𝑏=*−𝐵𝑖𝑖𝑎𝑏 𝐺𝑖𝑖𝑎𝑏 𝐺𝑖𝑖𝑎𝑏 𝐵𝑖𝑖𝑎𝑏+;𝑦𝑖𝑖𝑎𝑐=[−𝐵𝑖𝑖𝑎𝑐 𝐺𝑖𝑖𝑎𝑐 𝐺𝑖𝑖𝑎𝑐 𝐵𝑖𝑖𝑎𝑐];𝑦𝑖𝑖𝑎𝑛=[−𝐵𝑖𝑖𝑎𝑛 𝐺𝑖𝑖𝑎𝑛 𝐺𝑖𝑖𝑎𝑛 𝐵𝑖𝑖𝑎𝑛] 𝑦𝑖𝑖𝑏𝑎=𝑦𝑖𝑖𝑎𝑏; 𝑦𝑖𝑖𝑏𝑏=*−𝐵𝑖𝑖𝑏𝑏 𝐺𝑖𝑖𝑏𝑏 𝐺𝑖𝑖𝑏𝑏 𝐵𝑖𝑖𝑏𝑏+; 𝑦𝑖𝑖𝑏𝑐=*−𝐵𝑖𝑖𝑏𝑐 𝐺𝑖𝑖𝑏𝑐 𝐺𝑖𝑖𝑏𝑐 𝐵𝑖𝑖𝑏𝑐+; 𝑦𝑖𝑖𝑏𝑛=*−𝐵𝑖𝑖𝑏𝑛 𝐺𝑖𝑖𝑏𝑛 𝐺𝑖𝑖𝑏𝑛 𝐵𝑖𝑖𝑏𝑛+ 𝑦𝑖𝑖𝑐𝑎=𝑦𝑖𝑖𝑎𝑐; 𝑦 𝑖𝑖 𝑐𝑏=𝑦𝑖𝑖𝑏𝑐; 𝑦𝑖𝑖𝑐𝑐=[−𝐵𝑖𝑖𝑐𝑐 𝐺𝑖𝑖𝑐𝑐 𝐺𝑖𝑖𝑐𝑐 𝐵𝑖𝑖𝑐𝑐]; 𝑦𝑖𝑖𝑐𝑛=[−𝐵𝑖𝑖𝑐𝑛 𝐺𝑖𝑖𝑐𝑛 𝐺𝑖𝑖𝑐𝑛 𝐵𝑖𝑖𝑐𝑛]
19 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos 𝑦𝑖𝑖𝑛𝑎=𝑦𝑖𝑖𝑎𝑛; 𝑦𝑖𝑖𝑛𝑏=𝑦𝑖𝑖𝑏𝑛; 𝑦𝑖𝑖𝑛𝑐=𝑦𝑖𝑖𝑐𝑛; 𝑦𝑖𝑖𝑛𝑛=[−𝐵𝑖𝑖𝑛𝑛 𝐺𝑖𝑖𝑛𝑛+1 𝑅𝑔 𝐺𝑖𝑖𝑛𝑛+1 𝑅𝑔𝐵𝑖𝑖𝑛𝑛 ] 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑎=−*−𝐵𝑖𝑗 𝑎𝑎 𝐺𝑖𝑗 𝑎𝑎 𝐺𝑖𝑗 𝑎𝑎 𝐵𝑖𝑗 𝑎𝑎+;𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑏=−*−𝐵𝑖𝑗 𝑎𝑏 𝐺𝑖𝑗 𝑎𝑏 𝐺𝑖𝑗 𝑎𝑏 𝐵𝑖𝑗 𝑎𝑏+;𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑐=−*−𝐵𝑖𝑗 𝑎𝑐 𝐺𝑖𝑗 𝑎𝑐 𝐺𝑖𝑗 𝑎𝑐 𝐵𝑖𝑗 𝑎𝑐+; 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑛=−*−𝐵𝑖𝑗 𝑎𝑛 𝐺𝑖𝑗 𝑎𝑛 𝐺𝑖𝑗 𝑎𝑛 𝐵𝑖𝑗 𝑎𝑛+ 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑎=𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑏; 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑏=−*−𝐵𝑖𝑗 𝑏𝑏 𝐺𝑖𝑗 𝑏𝑏 𝐺𝑖𝑗 𝑏𝑏 𝐵𝑖𝑗 𝑏𝑏+; 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑐=−*−𝐵𝑖𝑗 𝑏𝑐 𝐺𝑖𝑗 𝑏𝑐 𝐺𝑖𝑗 𝑏𝑐 𝐵𝑖𝑗 𝑏𝑐+; 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑛=−*−𝐵𝑖𝑗 𝑏𝑛 𝐺𝑖𝑗 𝑏𝑛 𝐺𝑖𝑗 𝑏𝑛 𝐵𝑖𝑗 𝑏𝑛+ 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑎=𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑐; 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑏=𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑐; 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑐=−*−𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑐+; 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑛=−*−𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑛 𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑛 𝐺𝑖𝑗 𝑐𝑛 𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑛+ 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑎=𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑛; 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑏=𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑛; 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑐=𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑛; 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑛=−*−𝐵𝑖𝑗 𝑛𝑛 𝐺𝑖𝑗 𝑛𝑛 𝐺𝑖𝑗 𝑛𝑛 𝐵𝑖𝑗 𝑛𝑛+ Se observa en el elemento 𝑦𝑖𝑖𝑛𝑛, cómo en la parte real de la admitancia del nudo se ha añadido la resistencia de puesta a tierra, denotada por 𝑅𝑔. En adelante se denotará a esta componente de la admitancia que incluye la resistencia de puesta a tierra como 𝐺𝑖𝑖_𝑟𝑔 𝑛𝑛 . Sustituyendo las formulaciones anteriores en el sistema (46), se obtiene la expresión (47) mostrada en el Anexo I, que define el modelo lineal de la red para el nudo i. Definido el desarrollo anterior para el nudo i, se puede generalizar (47) para un conjunto de nudos, dado por una red cualquiera. Así, el sistema que representa las ecuaciones nodales de forma compacta para una red con n nudos tiene la siguiente estructura: [ 𝐼1 𝐼2 𝐼3 ⋮𝐼𝑛 ] = [ 𝑦11 𝑦12 𝑦13 ⋯ 𝑦1𝑛 𝑦21 𝑦31 ⋮ 𝑦𝑛1 𝑦22 𝑦32 ⋮ 𝑦2𝑛 𝑦23 𝑦33 ⋮ 𝑦3𝑛 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯𝑦2𝑛 𝑦3𝑛 ⋮ 𝑦𝑛𝑛 ] ∙ [ 𝑈1 𝑈2 𝑈3 ⋮ 𝑈𝑛 ] (48) De esta expresión se extrae la matriz 𝑌𝐵𝑈𝑆, simétrica de dimensión [(8 x n) x (8 x n)], siendo esta la que relaciona el vector de tensiones con el de intensidades, ambos de igual dimensión, [(8 x n) x 1]. Los términos que componen la matriz de admitancia son de la siguiente forma:
Newton-Raphson Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos 20 Elementos diagonales: 𝑦𝑖𝑖= [ 𝑦𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑦𝑖𝑖𝑎𝑏 𝑦𝑖𝑖𝑎𝑐 𝑦𝑖𝑖𝑎𝑛 𝑦𝑖𝑖𝑏𝑎 𝑦𝑖𝑖𝑏𝑏 𝑦𝑖𝑖𝑏𝑐 𝑦𝑖𝑖𝑏𝑛 𝑦𝑖𝑖𝑐𝑎 𝑦𝑖𝑖𝑐𝑏 𝑦𝑖𝑖𝑐𝑐 𝑦𝑖𝑖𝑐𝑛 𝑦𝑖𝑖𝑛𝑎 𝑦𝑖𝑖𝑛𝑏 𝑦𝑖𝑖𝑛𝑐 𝑦𝑖𝑖𝑛𝑛 ] (49) Elementos no diagonales: 𝑦𝑖𝑗= [ 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑛 ] (𝑐𝑜𝑛 𝑗≠𝑖) (50) Resistencias de puesta a tierra. Estos elementos sólo afectan al neutro de las componentes 𝑦𝑖𝑖, es decir a 𝑦𝑖𝑖𝑛𝑛, de la matriz de admitancia, no modificando los términos 𝑦𝑖𝑗. En la expresión dada por (51), se muestra cómo se introducen en el modelo estas puestas a tierra para cada elemento 𝑦𝑖𝑖 que las contenga. 𝑦𝑖𝑖=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1𝑅𝑔𝑖 ⁄] (51) Se observa que al igual que 𝑦𝑖𝑖 e 𝑦𝑖𝑗, la matriz que contiene las resistencias de puesta a tierra es de dimensión [8 x 8], para cada nudo de la red que presente este tipo de componente. Cada elemento de 𝑦𝑖𝑖 e 𝑦𝑖𝑗 se desarrolló anteriormente teniendo en cuenta su descomposición en conductancia (G) y susceptancia (B), de ahí que la matriz 𝑌𝐵𝑈𝑆 presente una elevada dimensión. 4.1.2 Restricciones no lineales Las restricciones en los nudos van ligadas a las cargas y/o generación existentes. Éstos se modelan como potencias constantes. Para definir el conjunto de restricciones no lineales es necesario partir de la ecuación (7), potencia compleja neta inyectada en los nudos: 𝑆𝑖=𝑈𝑖∙𝐼𝑖∗ Tal y como se representa en la figura 3, se ha de tener en cuenta para el desarrollo de estas restricciones que la tensión en el nudo i para la fase ph está definida como: 𝑈𝑖𝑝ℎ=𝑈𝑖𝑝ℎ−𝑈𝑖𝑛
21 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos Figura 3. Restricciones no lineales, potencia compleja inyectada en el nudo i. Conocida la potencia inyectada en los nudos, potencia especificada, y despejando la intensidad de la expresión (7), se tiene para cada fase en el nudo i: 𝐼𝑖𝑎=* 𝑆𝑖𝑠𝑝⌋𝑎 𝑈𝑖𝑎−𝑈𝑖𝑛+∗=𝑃𝑖𝑠𝑝⌋𝑎−𝑗𝑄𝑖𝑠𝑝⌋𝑎 (𝑒𝑖𝑎−𝑒𝑖𝑛)−𝑗(𝑓𝑖𝑎−𝑓𝑖𝑛) (52) 𝐼𝑖𝑏=* 𝑆𝑖𝑠𝑝⌋𝑏 𝑈𝑖𝑏−𝑈𝑖𝑛+∗=𝑃𝑖𝑠𝑝⌋𝑏−𝑗𝑄𝑖𝑠𝑝⌋𝑏 (𝑒𝑖𝑏−𝑒𝑖𝑛)−𝑗(𝑓𝑖𝑏−𝑓𝑖𝑛) (53) 𝐼𝑖𝑐=* 𝑆𝑖𝑠𝑝⌋𝑐 𝑈𝑖𝑐−𝑈𝑖𝑛+∗=𝑃𝑖𝑠𝑝⌋𝑐−𝑗𝑄𝑖𝑠𝑝⌋𝑐 (𝑒𝑖𝑐−𝑒𝑖𝑛)−𝑗(𝑓𝑖𝑐−𝑓𝑖𝑛) (54) El valor de la intensidad que circula por el neutro, se puede obtener a partir de la condición que indica que la suma de las intensidades que circulan a través de las cuatro fases ha de ser nula: 𝐼𝑖𝑎+𝐼𝑖𝑏+𝐼𝑖𝑐+𝐼𝑖𝑛=0 (55) Las ecuaciones anteriores se pueden expresar matricialmente, distinguiendo entre parte real e imaginaria, tal y como se muestra en el siguiente conjunto de expresiones: *𝑃𝑖𝑠𝑝⌋𝑎 𝑄𝑖𝑠𝑝⌋𝑎+=[(𝑒𝑖𝑎−𝑒𝑖𝑛) (𝑓𝑖𝑎−𝑓𝑖𝑛) (𝑓𝑖𝑎−𝑓𝑖𝑛)−(𝑒𝑖𝑎−𝑒𝑖𝑛)]∙[𝐼𝑟𝑖 𝑎 𝐼𝑥𝑖 𝑎] (56) *𝑃𝑖𝑠𝑝⌋𝑏 𝑄𝑖𝑠𝑝⌋𝑏+=*(𝑒𝑖𝑏−𝑒𝑖𝑛) (𝑓𝑖𝑏−𝑓𝑖𝑛) (𝑓𝑖𝑏−𝑓𝑖𝑛)−(𝑒𝑖𝑏−𝑒𝑖𝑛)+∙*𝐼𝑟𝑖 𝑏 𝐼𝑥𝑖 𝑏+ (57) *𝑃𝑖𝑠𝑝⌋𝑐 𝑄𝑖𝑠𝑝⌋𝑐+=[(𝑒𝑖𝑐−𝑒𝑖𝑛) (𝑓𝑖𝑐−𝑓𝑖𝑛) (𝑓𝑖𝑐−𝑓𝑖𝑛)−(𝑒𝑖𝑐−𝑒𝑖𝑛)]∙[𝐼𝑟𝑖 𝑐 𝐼𝑥𝑖 𝑐] (58)
Newton-Raphson Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos 28 4.5 Proceso iterativo de resolución El proceso iterativo de resolución sigue los mismos pasos que en el caso ampliado anterior, con la salvedad de que en sistemas trifásicos a cuatro hilos hay que tomar en consideración los efectos de las distintas fases, a, b y c, más el neutro. Así, el proceso consta de las siguientes etapas: Partir de un perfil inicial. En este perfil se tendrán de dato las potencias activas y reactivas especificadas en cada nudo: 𝑆𝑖𝑠𝑝⌋𝑎=𝑃𝑖𝑠𝑝⌋𝑎+𝑗𝑄𝑖𝑠𝑝⌋𝑎=(𝑃𝑖𝐺−𝑃𝑖𝐿)𝑠𝑝⌋𝑎+(𝑄𝑖𝐺−𝑄𝑖𝐿)𝑠𝑝⌋𝑎 𝑆𝑖𝑠𝑝⌋𝑏=𝑃𝑖𝑠𝑝⌋𝑏+𝑗𝑄𝑖𝑠𝑝⌋𝑏=(𝑃𝑖𝐺−𝑃𝑖𝐿)𝑠𝑝⌋𝑏+(𝑄𝑖𝐺−𝑄𝑖𝐿)𝑠𝑝⌋𝑏 𝑆𝑖𝑠𝑝⌋𝑐=𝑃𝑖𝑠𝑝⌋𝑐+𝑗𝑄𝑖𝑠𝑝⌋𝑐=(𝑃𝑖𝐺−𝑃𝑖𝐿)𝑠𝑝⌋𝑐+(𝑄𝑖𝐺−𝑄𝑖𝐿)𝑠𝑝⌋𝑐 Asignar valores iniciales sencillos a las tensiones en cada nudo: 𝑈𝑖𝑎⌋0=𝑒𝑖𝑎⌋0+𝑗𝑓𝑖𝑎⌋0 𝑈𝑖𝑏⌋0=𝑒𝑖𝑏⌋0+𝑗𝑓𝑖𝑏⌋0 𝑈𝑖𝑐⌋0=𝑒𝑖𝑐⌋0+𝑗𝑓𝑖𝑐⌋0 𝑈𝑖𝑛⌋0=𝑒𝑖𝑛⌋0+𝑗𝑓𝑖𝑛⌋0 Conocida la tensión y haciendo uso de la expresión de la potencia compleja se obtienen los valores de partida de la intensidad para cada nudo: 𝐼𝑖𝑎⌋0=(𝑆𝑖𝑠𝑝⌋𝑎 𝑈𝑖𝑎⌋0)∗=𝑃𝑖𝑠𝑝⌋𝑎−𝑗𝑄𝑖𝑠𝑝⌋𝑎 𝑒𝑖𝑎⌋0+𝑗𝑓𝑖𝑎⌋0 𝐼𝑖𝑏⌋0=(𝑆𝑖𝑠𝑝⌋𝑏 𝑈𝑖𝑏⌋0)∗=𝑃𝑖𝑠𝑝⌋𝑏−𝑗𝑄𝑖𝑠𝑝⌋𝑏 𝑒𝑖𝑏⌋0+𝑗𝑓𝑖𝑏⌋0 𝐼𝑖𝑐⌋0=(𝑆𝑖𝑠𝑝⌋𝑐 𝑈𝑖𝑐⌋0)∗=𝑃𝑖𝑠𝑝⌋𝑐−𝑗𝑄𝑖𝑠𝑝⌋𝑐 𝑒𝑖𝑐⌋0+𝑗𝑓𝑖𝑐⌋0 𝐼𝑖𝑛=−𝐼𝑖𝑎−𝐼𝑖𝑏−𝐼𝑖𝑐
29 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos Calcular las submatrices que componen el jacobiano: 𝑌𝐵𝑈𝑆= [ 𝑦11 𝑦12 𝑦13 ⋯ 𝑦1𝑛 𝑦21 𝑦31 ⋮ 𝑦𝑛1 𝑦22 𝑦32 ⋮ 𝑦2𝑛 𝑦23 𝑦33 ⋮ 𝑦3𝑛 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯𝑦2𝑛 𝑦3𝑛 ⋮ 𝑦𝑛𝑛 ] 𝐷𝐼= [ 𝐷𝐼1 0 0 ⋯ 0 0 𝐷𝐼2 0 ⋯ 0 0 0 𝐷𝐼3 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 𝐷𝐼𝑛 ] 𝐷𝑉= [ 𝐷𝑉1 0 0 ⋯ 0 0 𝐷𝑉2 0 ⋯ 0 0 0 𝐷𝑉3 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 𝐷𝑉𝑛 ] En el cálculo del jacobiano los elementos correspondientes al nudo slack se eliminan de dicha matriz, ya que las tensiones en este nudo son conocidas, es decir, se eliminan las filas y columnas relacionadas con el nudo de referencia. A partir de las submatrices del jacobiano, obtener los residuos, ∆Ʌ (75) y ∆𝑆 (78). En este caso, se tendrán en cuenta los elementos relacionados con el nudo de referencia sólo en los residuos de intensidad (∆𝑆), en los que el slack aparecerá en vector de tensiones y en las columnas de la matriz de admitancias. Resolver el sistema definido en (79), teniendo como resultado ∆𝑈𝑖,∆𝐼𝑖, cuyos elementos son: ∆𝑈𝑖= [ ∆𝑓𝑖𝑎 ∆𝑒𝑖𝑎 ∆𝑓𝑖𝑏 ∆𝑒𝑖𝑏 ∆𝑓𝑖𝑐 ∆𝑒𝑖𝑐 ∆𝑓𝑖𝑛 ∆𝑒𝑖𝑛 ] ; ∆𝐼𝑖= [ ∆𝐼𝑟𝑖 𝑎 ∆𝐼𝑥𝑖 𝑎 ∆𝐼𝑟𝑖 𝑏 ∆𝐼𝑥𝑖 𝑏 ∆𝐼𝑟𝑖 𝑐 ∆𝐼𝑥𝑖 𝑐 ∆𝐼𝑟𝑖 𝑛 ∆𝐼𝑥𝑖 𝑛 ] En estos vectores no aparecerá el nudo de referencia cuando sean calculados. Actualizar tensiones: [∆𝑓𝑖𝑎=𝑓𝑖𝑎⌋1−𝑓𝑖𝑎⌋0 ∆𝑒𝑖𝑎=𝑒𝑖𝑎⌋1−𝑒𝑖𝑎⌋0]→[𝑓𝑖𝑎⌋1=∆𝑓𝑖𝑎+𝑓𝑖𝑎⌋0 𝑒𝑖𝑎⌋1=∆𝑒𝑖𝑎+𝑒𝑖𝑎⌋0] *∆𝑓𝑖𝑏=𝑓𝑖𝑏⌋1−𝑓𝑖𝑏⌋0 ∆𝑒𝑖𝑏=𝑒𝑖𝑏⌋1−𝑒𝑖𝑏⌋0+→*𝑓𝑖𝑏⌋1=∆𝑓𝑖𝑏+𝑓𝑖𝑏⌋0 𝑒𝑖𝑏⌋1=∆𝑒𝑖𝑏+𝑒𝑖𝑏⌋0+
Newton-Raphson Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos 30 [∆𝑓𝑖𝑐=𝑓𝑖𝑐⌋1−𝑓𝑖𝑐⌋0 ∆𝑒𝑖𝑐=𝑒𝑖𝑐⌋1−𝑒𝑖𝑐⌋0]→[𝑓𝑖𝑐⌋1=∆𝑓𝑖𝑐+𝑓𝑖𝑐⌋0 𝑒𝑖𝑐⌋1=∆𝑒𝑖𝑐+𝑒𝑖𝑐⌋0] [∆𝑓𝑖𝑛=𝑓𝑖𝑛⌋1−𝑓𝑖𝑛⌋0 ∆𝑒𝑖𝑛=𝑒𝑖𝑛⌋1−𝑒𝑖𝑛⌋0]→[𝑓𝑖𝑛⌋1=∆𝑓𝑖𝑛+𝑓𝑖𝑛⌋0 𝑒𝑖𝑛⌋1=∆𝑒𝑖𝑛+𝑒𝑖𝑛⌋0] Actualizar intensidades: [∆𝐼𝑖𝑎=𝐼𝑖𝑎⌋1−𝐼𝑖𝑎⌋0 ∆𝐼𝑥𝑖𝑎=𝐼𝑥𝑖𝑎⌋1−𝐼𝑥𝑖𝑎⌋0]→[𝐼𝑖𝑎⌋1=∆𝐼𝑖𝑎+𝐼𝑖𝑎⌋0 𝐼𝑥𝑖𝑎⌋1=∆𝐼𝑥𝑖𝑎+𝐼𝑥𝑖𝑎⌋0] *∆𝐼𝑖𝑏=𝐼𝑖𝑏⌋1−𝐼𝑖𝑏⌋0 ∆𝐼𝑥𝑖𝑏=𝐼𝑥𝑖𝑏⌋1−𝐼𝑥𝑖𝑏⌋0+→* 𝐼𝑖𝑏⌋1=∆𝐼𝑖𝑏+𝐼𝑖𝑏⌋0 𝐼𝑥𝑖𝑏⌋1=∆𝐼𝑥𝑖𝑏+𝐼𝑥𝑖𝑏⌋0+ [∆𝐼𝑖𝑐=𝐼𝑖𝑐⌋1−𝐼𝑖𝑐⌋0 ∆𝐼𝑥𝑖𝑐=𝐼𝑥𝑖𝑐⌋1−𝐼𝑥𝑖𝑐⌋0]→[𝐼𝑖𝑐⌋1=∆𝐼𝑖𝑐+𝐼𝑖𝑐⌋0 𝐼𝑥𝑖𝑐⌋1=∆𝐼𝑥𝑖𝑐+𝐼𝑥𝑖𝑐⌋0] [∆𝐼𝑖𝑛=𝐼𝑖𝑛⌋1−𝐼𝑖𝑛⌋0 ∆𝐼𝑥𝑖𝑛=𝐼𝑥𝑖𝑛⌋1−𝐼𝑥𝑖𝑛⌋0]→[𝐼𝑖𝑛⌋1=∆𝐼𝑖𝑛+𝐼𝑖𝑛⌋0 𝐼𝑥𝑖𝑛⌋1=∆𝐼𝑥𝑖𝑛+𝐼𝑥𝑖𝑛⌋0] La notación “⌋?” hace referencia al número de iteración en el que se encuentra el proceso iterativo en ese momento. Actualizar residuos: Con estos nuevos valores de tensión e intensidad, se vuelven a calcular los residuos ∆Ʌ y ∆𝑆. Como ya se mencionó, dado el carácter lineal de las ecuaciones del modelo lineal de la red, terminada la primera iteración, los residuos de intensidad se hacen aproximadamente nulos en cada nudo: ∆Ʌ= [ ∆𝛼𝑖𝑎 ∆𝛽𝑖𝑎 ∆𝛼𝑖𝑏 ∆𝛽𝑖𝑏 ∆𝛼𝑖𝑐 ∆𝛽𝑖𝑐 ∆𝛼𝑖𝑛 ∆𝛽𝑖𝑛 ] ≅0 Comprobar si se cumple el criterio de convergencia. Este criterio de finalización, al igual que se mencionó en los dos algoritmos anteriores, se trata de un método basado en la acotación del error en los residuos de potencia en cada nudo:
31 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos |∆𝑆𝑖|= [ |∆𝑃𝑖𝑎| |∆𝑄𝑖𝑎| |∆𝑃𝑖𝑏| |∆𝑄𝑖𝑏| |∆𝑃𝑖𝑐| |∆𝑄𝑖𝑐| |∆𝑃𝑖𝑐| |∆𝑄𝑖𝑐| ] <Ɛ Los residuos de intensidad no se tienen en cuenta por su nulidad pasada la primera iteración En caso de no cumplir el criterio, volver al segundo punto de la iteración con los mejores valores de tensión e intensidad obtenidos hasta el momento.
Newton-Raphson Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos 32
33 5 HERRAMIENTA MATEMÁTICA Tomando como punto de partida la formulación desarrollada en la sección anterior, junto con los distintos pasos que conforman el proceso de resolución del problema del flujo de carga, se implementa esta metodología a través de la herramienta matemática MATLAB. Este programa matemático permite modelar la resolución del sistema de ecuaciones (79), a través de un algoritmo iterativo, que proporcione para una determinada red las tensiones e intensidades en cada nudo. Los resultados obtenidos estarán sujetos a un criterio de convergencia establecido. En la programación de esta herramienta matemática, se ha tenido en cuenta la característica de que la red bajo estudio no ha de presentar resistencias de puesta a tierra rígidas en sus nudos. Este tipo de tierra sólo aparece en el nudo slack. Por lo tanto, para el resto de nudos se contempla la posibilidad de un valor determinado de resistencia en el neutro o que este se encuentre abierto a tierra. En lo que sigue en esta sección, se presenta el formato de entrada de los distintos datos necesarios para la correcta ejecución del algoritmo, así como un diagrama de flujo en el que se explica brevemente los pasos que este sigue en la resolución del flujo de carga. 5.1 Formato de datos de entrada Los distintos datos de potencias, nudos, ramas, matrices de impedancias, entre otros, son introducidos en el programa a través de un conjunto de matrices y vectores por medio de ficheros “.m”. A continuación, se presentan cada uno de estos ficheros entrada y el formato que han de tener para la correcta ejecución del algoritmo. 5.1.1 Datos de cargas/generación Los datos sobre las cargas y generadores se introducen en el programa matemático a través del fichero de MATLAB “DatosCargas.m”. La matriz que compone este archivo recibe el nombre de “cargas” y su contenido presenta el siguiente formato: 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠=[ 𝑁𝑢𝑑𝑜 𝑆[𝐾𝑉𝐴] 𝑐𝑜𝑠𝜑 %⌋𝑎%⌋𝑏%⌋𝑐 ] Donde, La primera columna ha de incluir de forma ordenada desde el nudo 1 hasta n los nudos afectados por cargas/generadores, pudiéndose dar el caso de la presencia de varios de estos elementos en el mismo nudo. En este caso, el nudo aparecerá tantas veces como cargas o generadores tenga. La segunda columna es la potencia compleja de la carga o generador, S [kVA]. Los nudos afectados por generadores se presentan con signo negativo en esta columna, frente a las cargas que aparecen con signo positivo. En el caso de que un nudo no presente carga/generación, este se ha de incluir con un valor igual a 0 de potencia compleja.
Herramienta Matemática 34 La tercera columna de la matriz es el factor de potencia (𝑐𝑜𝑠𝜑). Este permite obtener la potencia activa P [kW] de las cargas a través de su producto con la potencia compleja, así como la potencia reactiva de las mismas, Q [kVAr], como el producto de la potencia compleja y el sin(arcos(φ)). En el caso de que en esta columna aparezca un elemento igual a 1, se refiere a que en dicho nudo la carga y/o generación que aparece en la columna dos sólo tiene componente activa [kW]. En el caso de que en esta columna aparezca un elemento igual a 0, se refiere a que en dicho nudo la carga y/o generación que aparece en la columna dos sólo tiene componente reactiva [kVAr]. Un valor comprendido entre 0 y 1 indica la presencia de componente activa y reactiva en la potencia compleja inyectada en el nudo en cuestión. Las columnas cuarta, quinta y sexta, hacen referencia al porcentaje de la potencia compleja, mostrada en la segunda columna, que le corresponde a cada una de las fases implicadas a, b y c. En el caso de que alguna carga/generador no presente alguna fase, se le proporciona un valor de 0 al porcentaje de la fase que no esté presente. 5.1.2 Datos de los equipos Los datos de los equipos están constituidos por las impedancias de los conductores de la red. Estas impedancias se presentan a través de una única matriz, que contiene las matrices de cada conductor. El archivo que contiene esta información se denomina “DatosEquipos.m”. Así, la matriz que contiene el fichero tiene la siguiente estructura: UGn nn UGn nn UGn nc UGn nc UGn nb UGn nb UGn na UGn na UGn cn UGn cn UGn cc UGn cc UGn cb UGn cb UGn ca UGn ca UGn bn UGn bn UGn bc UGn bc UGn bb UGn bb UGn ba UGn ba UGn an UGn an UGn ac UGn ac UGn ab UGn ab UGn aa UGn aa UGi nn UGi nn UGi nc UGi nc UGi nb UGi nb UGi na UGi na UGi cn UGi cn UGi cc UGi cc UGi cb UGi cb UGi ca UGi ca UGi bn UGi bn UGi bc UGi bc UGi bb UGi bb UGi ba UGi ba UGi an UGi an UGi ac UGi ac UGi ab UGi ab UGi aa UGi aa XRXRXRXR XRXRXRXR XRXRXRXR XRXRXRXR XRXRXRXR XRXRXRXR XRXRXRXR XRXRXRXR ug Donde, Cada conjunto de cuatro filas y ocho columnas representa un tipo distinto de conductor. Las columnas impares representan la parte resistiva (R) de la impedancia del conductor para cada fase. Las columnas pares representan la parte reactiva (X) de la impedancia del conductor para cada fase.
35 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos 5.1.3 Datos de la topología de la red. El fichero de “DatosTopologia.m” incluye los datos referentes a los nudos, nudo de referencia o slack, las características de las ramas y las resistencias de puesta a tierra. Estos datos se muestran en el fichero a través de las matrices dadas por “nudos”, “nudo_slack”, “ramas” y “puestas_a_tierra”, respectivamente. La matriz de “nudos” tiene la siguiente estructura: 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠=[𝑁𝑢𝑑𝑜 𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑑𝑜 𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙[𝑉] ] Donde, La primera columna incluye el número correspondiente a cada nudo desde i=1 hasta i=n. La segunda columna muestra el tipo de nudo: El valor 1, indica nudo PV, se conocen P y V, y se desconocen Q y θ. Este tipo de nudo no se ha tenido en cuenta en el modelo propuesto. El valor 2, indica nudo PQ, se conocen P y Q, y se desconocen V y θ. Estos nudos son los que se dan en la mayoría de los casos, siendo los que se van a tratar en el modelo propuesto. El valor 3, indica nudo slack o de referencia, se conocen V y θ, y se desconocen P y Q generadas. Normalmente en estos nudos θ=0. El valor 4, indica nudo aislado. La tercera columna indica la tensión nominal de cada nudo expresada en voltios. La matriz “nudo_slack” contiene la siguiente información: 𝑛𝑢𝑑𝑜_𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘= [ 1 𝑈𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 𝑎⌋𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑈𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 𝑎⌋𝑖𝑚𝑎𝑔 2 𝑈𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 𝑏⌋𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑈𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 𝑏⌋𝑖𝑚𝑎𝑔 3 𝑈𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 𝑐⌋𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑈𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 𝑐⌋𝑖𝑚𝑎𝑔 4 𝑈𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 𝑛⌋𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑈𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘 𝑛⌋𝑖𝑚𝑎𝑔 ] Donde, La primera columna hace referencia a las fases, Valor 1 para la fase a. Valor 2 para la fase b. Valor 3 para la fase c. Valor 4 para el neutro. La segunda columna hace referencia a la tensión real por fase, expresada en voltios. La tercera columna hace referencia a la tensión imaginaria por fase, expresada en voltios.
Herramienta Matemática 36 El formato de la matriz de “ramas” es: 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠=[ 𝑁𝑢𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑁𝑢𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 [𝑚] ] Donde, La primera columna indica el número del nudo origen (i) de la rama ij. La segunda columna indica el número del nudo final (j) de la rama ij. La tercera columna muestra el tipo de conductor asociado a la rama ij. Esta columna dependerá del número de conductores diferentes que compongan la red. Se asocia un valor numérico a cada tipo de conductor y se coloca en esta columna relacionándolo con la rama a la que representa. La cuarta columna es la longitud asociada a cada rama, expresada en metros. Las puestas a tierra se incluyen en el fichero mediante la matriz “puestas_a_tierra”, cuyo formato es el siguiente: 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠_𝑎_𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎=[ 𝑁𝑢𝑑𝑜 𝑅𝑔𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑 ] Donde; La primera columna indica el número del nudo afectado por la puesta a tierra. Se han de poner todos los nudos que componen la red. La segunda columna muestra el valor en ohmios de la resistencia de puesta a tierra: Un valor de -1, indica nudo abierto a tierra. Un valor distinto de cero, indica la presencia de resistencia de puesta a tierra en el nudo. Un valor de 0, indica nudo rígido a tierra. En el modelo propuesto sólo se considera que el nudo de referencia tiene este tipo de puesta a tierra. 5.2 Diagrama de flujo del algoritmo implementado A continuación, se muestra en la figura 4 el diagrama de flujo que modela la implementación del problema del flujo de carga mediante la herramienta matemática MATLAB.
37 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos SI SI NO NO Figura 4. Diagrama de flujo del modelo propuesto implementado en MATLAB A continuación, se van a comentar los distintos bloques que conforman el algoritmo y cómo el programa procede a su ejecución, qué cálculos realiza y en qué funciones se apoya. Cargar datos de entrada DatosCargas, DatosEquipos, DatosTopologia Leer datos → Estructuras de datos Perfil inicial sencillo •Potencia especificada: S_ESP → Vs_red •Perfil de tensiones: U → U_red •Calcular intensidades: I → I_red - Contador = 0 Convergencia= 0 Convergencia < 1 Calcular submatrices del Jacobiano •Matriz YBUS, YBUS_completa, YBUS_red_res, YBUS_red_JAC •Matrices DVi → Matriz DV → Matriz DV_red • Matrices DIi → Matriz DI → Matriz DI_red Calcular de los residuos (RES) •Residuos de intensidad: res_I •Residuos de potencia: res_S Construir y resolver el sistema de ecuaciones • Vector de estados: X •Incrementos de tensión (incr_U) e intensidad (incr_I) Contador = Contador + 1 Actualizar vector de estados •Tensiones: X_U → U → U_red •Intensidades: X_I → I → I_red │resS_X│> Valor │resS_X│<= Valor Convergencia = 1 Convergencia = 0 Extraer resultados
Herramienta Matemática 44
45 6 MODELO DE VALIDACIÓN Una vez se ha desarrollado el programa matemático con toda la formulación que define el problema del flujo de carga, es necesario poner en práctica esta metodología y crear un escenario adecuado de prueba que permita validarlo. El proceso de validación consta de dos escenarios: Estudio de la red para cargas trifásicas equilibradas. Estudio de la red para cargas trifásicas desequilibradas. Los resultados obtenidos en cada caso son validados con los que proporciona el programa “OpenDSS” cuando se le introducen los datos de la red para cada escenario de estudio. En este apartado se muestra: La red bajo estudio con los elementos que la componen y sus respectivos valores. El conjunto de datos de entrada expresados en su correspondiente formato, distinguiendo entre el caso equilibrado y el desequilibrado. La validación de los resultados obtenidos para cada escenario, comparados con los proporcionados por el software “OpenDSS”. 6.1 Red de estudio La red sobre la que se va a llevar el estudio del flujo de carga es una red de baja tensión de cuatro nudos conectados en árbol a través de líneas subterráneas, con: dos cargas trifásicas, un generador de cabecera y dos puestas a tierra. La cabecera (nudo 1) se supone a tensión nominal y equilibrada cuyos valores expresados en voltios se muestran en la tabla 1: Fase Tensión [V] a 400/√3∠0° b 400 √3∠−120° c 400/√3∠120° Neutro 0∠0° Tabla 1. Tensión por fase en el nudo Slack Las líneas subterráneas se definen utilizando las líneas UG1, UG2 y UG3 de la red de baja tensión europea propuesta en el artículo de la CIGRE [3]. En la red de estudio las tres ramas que intervienen tienen el mismo tipo de conductor, UG1. En la tabla 2 se pueden observar las impedancias de dicho cable junto con las de los conductores UG2 y UG3.
Modelo de Validación 46 CONDUCTOR Matriz primitiva de impedancias (Ω/km) A B C N UG1-3ph A B C N 0.211 + j0.747 0.049 + j0.673 0.049 + j0.651 0.049 + j0.673 0.049 + j0.673 0.211 + j0.747 0.049 + j0.673 0.049 + j0.651 0.049 + j0.651 0.049 + j0.673 0.211 + j0.747 0.049 + j0.673 0.049 + j0.673 0.049 + j0.651 0.0491 + j0.673 0.221 + j0.747 UG2-3ph A B C N 0.314 + j0.762 0.049 + j0.687 0.049 + j0.665 0.049 + j0.887 0.049 + j0.687 0.314 + j0.762 0.049 + j0.687 0.049 + j0.665 0.049 + j0.665 0.049 + j0.687 0.314 + j0.762 0.049 + j0.687 0.049 + j0.687 0.049 + j0.665 0.049 + j0.687 0.314 + j0.762 UG3-3ph A B C N 0.871 + j0.797 0.049 + j0.687 0.049 + j0.697 0.049 + j0.719 0.049 + j0.687 0.871 + j0.797 0.049 + j0.719 0.049 + 0.697 0.049 + j0.697 0.049 + j0.719 0.871 + j0.797 0.049 + j0.719 0.049 + j0.719 0.049 + j0.697 0.049 + j0.719 0.871 + j0.797 Tabla 2. Impedancias del cable subterraneo para redes europeas de baja tensión definidas por CIGRE A cada rama se le asigna un tipo de cable y una distancia en metros. En la tabla 3 se observan las propiedades de las ramas de la red. Rama Nudo i Nudo j Tipo de conductor Distancia [m] 1 2 3 1 2 2 2 3 4 UG1 UG1 UG1 200 100 200 Tabla 3. Características de las ramas La red presenta dos cargas entre el conjunto de nudos que la componen. En la tabla 4 y 5 se muestran los datos de dichas cargas para los casos equilibrado y desequilibrado, respectivamente. Carga Nudo S (kVA) cos(φ) 𝑆𝑎(%) 𝑆𝑏(%) 𝑆𝑐(%) Carga 3 Carga 4 3 4 100 50 1 1 33.3 33.3 33.3 33.3 33.3 33.3 Tabla 4. Potencia de las cargas para el escenario equilibrado
47 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos Carga Nudo S (kVA) cos(φ) 𝑆𝑎(%) 𝑆𝑏(%) 𝑆𝑐(%) Carga 3 Carga 4 3 4 100 50 1 1 33.3 33.3 33.3 33.3 33.3 33.3 Tabla 5. Potencia de las cargas para el escenario desequilibrado Las resistencias de puesta a tierra y los nudos que se ven afectadas por las mismas se muestran en la tabla 6. Tierra Nudo Resistencia (Ω) Tierra 2 Tierra 4 2 4 5 5 Tabla 6 . Resistencias de puesta a tierra El criterio de convergencia se establece con un límite de 0.01 W para el módulo de los residuos de potencia. Por último, se presenta en la figura 5 el esquema unifilar de la red sobre la que se llevan a cabo las pruebas del flujo de carga para validar el modelo matemático desarrollado en la sección anterior. Figura 5. Esquema unifilar de la red de estudio 6.2 Datos de entrada A continuación, se muestran los distintos archivos que el programa matemático encargado de modelar el proceso de resolución del flujo de carga, toma como datos de entrada para su correcta ejecución. En los siguientes puntos se presentan el contenido de dichos archivos, los cuales recogen los datos del punto anterior mediante matrices de datos.
Modelo de Validación 48 6.2.1 Datos de Cargas Los datos sobre las cargas que aparecen en las tablas 4 y 5 respectivamente, se introducen en el programa matemático a través del fichero de MATLAB denominado “DatosCargas.m”. La matriz que compone este archivo recibe el nombre de “cargas” y su contenido para cada escenario de estudio es el siguiente: Para el caso de cargas trifásicas equilibradas: 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠=[1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3100 133.3 33.3 33.3 450 133.3 33.3 33.3] Para el caso de cargas trifásicas desequilibradas: 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠=[100000 200000 3100 150 30 20 450 150 30 20] 6.2.2 Datos de Equipos Los datos de los equipos están constituidos por las impedancias de los conductores dadas por la tabla 2. Estas impedancias se presentan a través de una única matriz que contiene tres matrices distintas, una para cada conductor, dentro del mismo archivo “DatosEquipos.m”. Así, el fichero contiene las siguientes matrices de datos: 𝑢𝑔= [ 0.211 0.747 0.049 0.673 0.049 0.651 0.049 0.673 0.049 0.673 0.211 0.747 0.049 0.673 0.049 0.651 0.049 0.651 0.049 0.673 0.211 0.747 0.049 0.673 0.049 0.673 0.049 0.651 0.049 0.673 0.211 0.747 0.314 0.762 0.049 0.687 0.049 0.665 0.049 0.687 0.049 0.687 0.314 0.762 0.049 0.687 0.049 0.665 0.049 0.665 0.049 0.687 0.314 0.762 0.049 0.687 0.049 0.687 0.049 0.665 0.049 0.687 0.314 0.762 0.871 0.797 0.049 0.719 0.049 0.697 0.049 0.719 0.049 0.719 0.871 0.797 0.049 0.719 0.049 0.697 0.049 0.697 0.049 0.719 0.871 0.797 0.049 0.719 0.049 0.719 0.049 0.697 0.049 0.719 0.871 0.797 ] Dado que en la red de estudio sólo interviene un tipo de conductor (UG1), el programa toma la correspondiente matriz (ug1) para su correcta ejecución. 6.2.3 Datos de Topología El fichero de “DatosTopologia.m” incluye:
49 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos Matriz de nudos/tensión nominal: 𝑛𝑢𝑑𝑜𝑠=[1 3 400 2 2 400 3 2 400 4 2 400] Matriz de tensión del nudo slack (nudo 1): 𝑛𝑢𝑑𝑜_𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘=[1230.94 0 2 −115.47 −200 3 −115.47 200 4 0 0 ] Matriz de ramas: 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠=[121200 231100 241200] Matriz de puestas a tierra: 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠_𝑎_𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎=[1 −1 2 5 3 −1 4 5] 6.3 Validación de resultados del flujo de carga Para validar el modelo matemático, se implementa la red en un software comercial (en este caso, “OpenDSS”) que permite realizar flujos de carga desequilibrados y obtener el estado de la red. Éste se compara con el resultado obtenido mediante el algoritmo programado con MATLAB y así conseguir dotar de validez al mismo. La comprobación del modelo se lleva a cabo tanto para el caso de la red bajo cargas trifásicas equilibradas, así como desequilibradas. 6.3.1 Cargas equilibradas En primer lugar, se comprueban las tensiones y ángulos del flujo de cargas obtenidas mediante el programa comercial y el modelo propuesto. Las tensiones calculadas por el flujo de carga mediante “OpenDSS” son las mostradas en las tablas 7 y 8.
Modelo de Validación 50 Nudo 𝑈𝑎 [𝑉] 𝑈𝑏 [𝑉] 𝑈𝑐 [𝑉] 𝑈𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 [𝑉] 1 230.94 230.94 230.94 2.4717e-5 2 222.6 223.63 224.5 1.0685 3 219.84 221.18 222.38 1.432 4 219.82 221.22 222.36 1.4194 Tabla 7. Caso equilibrado: tensiones del flujo de carga en OpenDSS Nudo 𝜑𝑎 [°] 𝜑𝑏 [°] 𝜑𝑐 [°] 𝜑𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 [°] 1 0.0 -120.0 120.0 -32.1 2 -1.0 -120.8 119.1 -33.1 3 -1.3 -121.1 118.7 -32.1 4 -1.3 -121.1 118.8 -33.8 Tabla 8. Caso equilibrado: ángulos de la tensión del flujo de carga en OpenDSS Utilizando el modelo propuesto, el sistema de ecuaciones a resolver dado por (79) queda expresado para este escenario tal y como se muestra en el Anexo I, en la ecuación (86). Resolviendo dicho sistema, tras tres iteraciones del modelo, se obtienen las tensiones y ángulos definidos en las tablas 9 y 10. Nudo 𝑈𝑎 [𝑉] 𝑈𝑏 [𝑉] 𝑈𝑐 [𝑉] 𝑈𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 [𝑉] 1 230,9401 230,9401 230,9401 0.0000 2 222.6042 223.6397 224.5072 1.0674 3 219.8536 221.1951 222.3854 1.4306 4 219.8309 221.2319 222.3701 1.4180 Tabla 9. Caso equilibrado: tensiones del flujo de carga del modelo propuesto Nudo 𝜑𝑎 [°] 𝜑𝑏 [°] 𝜑𝑐 [°] 𝜑𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 [°] 1 0.0000 -120.0000 120.0000 0.0000 2 -0.9692 -120.8106 119.0744 -33.1068 3 -1.3039 -121.0921 118.7487 -32.1173 4 -1.3119 -121.0933 118.7577 -33.8147 Tabla 10. Caso equilibrado: ángulos de la tensión del flujo de carga del modelo propuesto
51 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos En segundo lugar, se comprueban los resultados de las intensidades que circulan por las ramas y sus respectivos ángulos, obtenidas de la resolución del flujo de carga. Las intensidades por rama calculadas por el flujo de carga mediante “OpenDSS” son las mostradas en las tablas 11 y 12. Rama Nudo Origen Nudo Destino Fase 𝐼𝑖𝑗 [𝐴] 𝐼𝑗𝑖 [𝐴] 1 1 2 a 228.7 228.7 b 226.09 226.09 c 223.59 223.59 neutro 2.4717 2.4717 2 2 3 a 152.47 152.47 b 150.72 150.72 c 149.06 149.06 neutro 1.9795 1.9795 3 2 4 a 76.231 76.231 b 75.363 75.363 c 74.532 74.532 neutro 0.70585 0.70585 Tabla 11. Caso equilibrado: intensidades del flujo de carga en OpenDSS Rama Nudo Origen Nudo Destino Fase 𝜑𝑖𝑗 [°] 𝜑𝑗𝑖 [°] 1 1 2 a -1.1 178.9 b -121.5 58.5 c 118.9 -61.1 neutro 147.9 -32.1 2 2 3 a -1.1 178.9 b -121.5 58.5 c 118.9 -61.1 neutro 147.7 -32.3 3 2 4 a -1.1 178.9 b -121.5 58.5 c 118.9 -61.1 neutro 148.2 -31.8 Tabla 12. Caso equilibrado: ángulos de la intensidad del flujo de carga en OpenDSS
Modelo de Validación 52 A partir de las expresiones (81) y (82) del modelo propuesto, se obtienen las intensidades y ángulos por las ramas de la red, definidas en las tablas 13 y 14. Rama Nudo Origen Nudo Destino Fase 𝐼𝑖𝑗 [𝐴] 𝐼𝑗𝑖 [𝐴] 1 1 2 a 228.4686 228.4686 b 225.8418 225.8418 c 223.3560 223.3560 neutro 2.4775 2.4775 2 2 3 a 152.3148 152.3148 b 150.5601 150.5601 c 148.9026 148.9026 neutro 1.9831 1.9831 3 2 4 a 76.1539 76.1539 b 75.2818 75.2818 c 74.4534 74.4534 neutro 0.7079 0.7079 Tabla 13. Caso equilibrado: intensidad del flujo de carga del modelo propuesto Rama Nudo Origen Nudo Destino Fase 𝜑𝑖𝑗 [°] 𝜑𝑗𝑖 [°] 1 1 2 a -1.1120 178.8880 b -121.4618 58.5382 c 118.9264 -61.0736 neutro 148.0965 -31.9035 2 2 3 a -1.1119 178.8881 b -121.4626 58.5374 c 118.9271 -61.0729 neutro 147.8392 -32.1608 3 2 4 a -1.1122 178.8878 b -121.4602 58.5398 c 118.9251 -61.0749 neutro 148.4544 -31.5456 Tabla 14. Caso equilibrado: ángulos de la intensidad del flujo de carga del modelo propuesto
53 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos Las intensidades del nudo de referencia se obtienen a través de la ecuación (46), restricciones lineales del flujo de carga. Estas restricciones se muestran para este escenario en la ecuación (87) del Anexo I. La tabla 15 muestra el valor de dichas intensidades, junto con sus respectivos ángulos. Fase 𝐼𝑆𝐿𝐴𝐶𝐾 [𝐴] 𝜑𝑆𝐿𝐴𝐶𝐾 [°] a 228.4686 -1.1120 b 225.8418 -121.4618 c 223.3560 118.9264 neutro 2.4775 148.0965 Tabla 15. Intensidades del nudo slack Comparados los dos métodos empleados se observa la similitud entre ambos, tanto en tensión como en intensidad, validando así el modelo propuesto ante la presencia de cargas trifásicas equilibradas. 6.3.2 Cargas desequilibradas Al igual que en el caso equilibrado, se comprueban las tensiones del flujo de carga obtenidas mediante el software comercial y el modelo propuesto. Las tensiones calculadas mediante “OpenDSS” son las mostradas en las tablas 16 y 17. Nudo 𝑈𝑎 [𝑉] 𝑈𝑏 [𝑉] 𝑈𝑐 [𝑉] 𝑈𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 [𝑉] 1 230.94 230.94 230.94 2.0158e-3 2 218.36 225.77 227.8 7.8256 3 214.21 223.9 226.89 10.488 4 214.19 224.15 226.66 10.395 Tabla 16. Caso desequilibrado: tensiones del flujo de carga en OpensDSS Nudo 𝜑𝑎 [°] 𝜑𝑏 [°] 𝜑𝑐 [°] 𝜑𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 [°] 1 0.0 -120.0 120.0 -19.5 2 -1.5 -120.6 119.4 -2.4 3 -2.0 -120.8 119.1 -1.4 4 -2.1 -120.7 119.2 -3.1 Tabla 17. Caso desequilibrado: ángulos de la tensión el flujo de carga en OpenDSS
Caso de Aplicación 60 9 R9 R10 UG1 35 UG 3-ph 10 R3 R11 UG3 30 UG 3-ph 11 R4 R12 UG3 35 UG 3-ph 12 R12 R13 UG3 35 UG 3-ph 13 R13 R14 UG3 35 UG 3-ph 14 R14 R15 UG3 30 UG 3-ph 15 R6 R16 UG3 30 UG 3-ph 16 R9 R17 UG3 30 UG 3-ph 17 R10 R18 UG3 30 UG 3-ph Tabla 27. Conexiones y parámetros de líneas residenciales para redes de refertencia europeas de distribución de BT Rama Nudo Origen Nudo Destino Conductor Longitud [m] Instalación 18 1 I2 UG2 200 UG 3-ph Tabla 28. Conexiones y parámetros de líneas industriales para redes de refertencia europeas de distribución de BT Rama Nudo Origen Nudo Destino Conductor Longitud [m] Instalación 19 1 C2 OH1 30 UG 3-ph 20 C2 C3 OH1 30 UG 3-ph 21 C3 C4 OH1 30 UG 3-ph 22 C4 C5 OH1 30 UG 3-ph 23 C5 C6 OH1 30 UG 3-ph 24 C6 C7 OH1 30 UG 3-ph 25 C7 C8 OH1 30 UG 3-ph 26 C8 C9 OH1 30 UG 3-ph 27 C3 C10 OH2 30 UG 3-ph 28 C10 C11 OH2 30 UG 3-ph 29 C11 C12 OH3 30 UG 3-ph
61 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos 30 C11 C13 OH3 30 UG 3-ph 31 C10 C14 OH3 30 UG 3-ph 32 C5 C15 OH2 30 UG 3-ph 33 C15 C16 OH2 30 UG 3-ph 34 C15 C17 OH3 30 UG 3-ph 35 C16 C18 OH3 30 UG 3-ph 36 C8 C19 OH3 30 UG 3-ph 37 C9 C20 OH3 30 UG 3-ph Tabla 29. Conexiones y parámetros de líneas comerciales para redes de referencia europeas de distribución de BT 7.2.3 Datos de puestas a tierra Dado las limitaciones del modelo propuesto respecto a este componente, sólo el nudo 1, slack, presenta resistencia de puesta a tierra rígida en su neutro. Los valores de las resistencias de puesta a tierra mostradas en los nudos de la figura 6 toman un valor de 5 ohmios. En aquellos nudos en los que no aparece tierra, son considerados como nudos con neutro abierto a la misma. 7.2.4 Datos de cargas La tabla 30 muestra los valores de las cargas máximas para cada nudo de la red de la figura 6. Estas cargas trifásicas se toman como equilibradas en cada una de sus tres fases. Cada carga representa un grupo de usuarios. Nudo Potencia Aparente S [kVA] Factor de potencia cosφ R11 15 0.95 R15 52 0.95 R16 55 0.95 R17 35 0.95 R18 47 0.95 I2 100 0.85 C12 20 0.90 C13 20 0.90
Caso de Aplicación 62 C14 25 0.90 C17 25 0.90 C18 8 0.90 C19 16 0.90 C20 8 0.90 Tabla 30. Parámetros de cargas para redes de referencia europeas de distribución de BT 7.2.5 Datos del Slack En esta red de estudio modificada de la CIGRE, el nudo tomado como slack o de referencia es el nudo 1. En la tabla 31 se muestran los valores complejos de tensión de dicho nudo, necesarios para la ejecución del modelo. Fase 𝑉𝑆𝐿𝐴𝐶𝐾𝑟𝑒𝑎𝑙 [𝑉] 𝑉𝑆𝐿𝐴𝐶𝐾𝑖𝑚𝑎𝑔 [𝑉] a 230.94 0 b -115.47 -200 c -115.47 200 neutro 0 0 Tabla 31. Tensiones complejas del nudo de referencia 7.3 Resultados En este punto se presentan los resultados obtenidos por el flujo de cargas del modelo propuesto, tras cuatro iteraciones del mismo, para esta red de estudio. 7.3.1 Tensiones por nudo Los resultados de la tensión por nudo se muestran expresados en módulo y ángulo para cada una de las fases. Las tablas 32, 33 y 34 presentan dichos valores para las subredes residencial, industrial y comercial, respectivamente. Nudo 𝑈𝑎 [𝑉] 𝜑𝑎 [°] 𝑈𝑏 [𝑉] 𝜑𝑏 [°] 𝑈𝑐 [𝑉] 𝜑𝑐 [°] 𝑈𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 [𝑉] 𝜑𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 [°] 1 230.9400 0.0000 230.9401 -120.0000 230.9401 120.0000 0.0000 0.0000 R2 228.7312 -0.0726 229.0576 -120.0567 229.1991 119.9152 0.2363 -56.9005 R3 226.5237 -0.1465 227.1744 -120.1142 227.4587 119.8288 0.4730 -56.7508
63 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos R4 224.4722 -0.2166 225.4261 -120.1686 225.8434 119.7476 0.6932 -56.7330 R5 222.9860 -0.2677 224.1663 -120.2080 224.6775 119.6901 0.8514 -56.9991 R6 221.4999 -0.3194 222.9065 -120.2478 223.5118 119.6320 1.0096 -57.1818 R7 220.6028 -0.3512 222.1529 -120.2723 222.8124 119.5980 1.1040 -57.4663 R8 219.7056 -0.3833 221.3992 -120.2969 222.1130 119.5638 1.1984 -57.7060 R9 218.8136 -0.4149 220.6410 -120.3210 221.4136 119.5279 1.2946 -57.6331 R10 218.2996 -0.4334 220.2073 -120.3351 221.0123 119.5077 1.3494 -57.6816 R11 225.9728 -0.1171 226.6435 -120.0838 226.9379 119.8569 0.4871 -56.6295 R12 222.1315 -0.0950 223.1734 -120.0406 223.6463 119.8622 0.7683 -55.6374 R13 219.7918 0.0293 220.9218 -119.9100 221.4501 119.9790 0.8437 -54.7373 R14 217.4531 0.1562 218.6714 -119.7767 219.2548 120.0981 0.9192 -53.9849 R15 215.4494 0.2672 216.7434 -119.6602 217.3739 120.2022 0.9841 -53.4320 R16 219.4185 -0.2064 220.9053 -120.1292 221.5610 119.7380 1.0772 -56.4479 R17 217.4738 -0.3421 219.3606 -120.2441 220.1662 119.5970 1.3376 -57.2992 R18 216.4934 -0.3349 218.4793 -120.2309 219.3312 119.6006 1.4105 -57.1484 Tabla 32. Tensiones y ángulos resultantes del flujo de carga en la subred residencial Nudo 𝑈𝑎 [𝑉] 𝜑𝑎 [°] 𝑈𝑏 [𝑉] 𝜑𝑏 [°] 𝑈𝑐 [𝑉] 𝜑𝑐 [°] 𝑈𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 [𝑉] 𝜑𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 [°] I2 222.3084 0.5628 223.0357 -119.4346 223.3810 120.4201 0.6860 -60.1061 Tabla 33. Tensiones y ángulos resultantes del flujo de carga en la subred industrial Nudo 𝑈𝑎 [𝑉] 𝜑𝑎 [°] 𝑈𝑏 [𝑉] 𝜑𝑏 [°] 𝑈𝑐 [𝑉] 𝜑𝑐 [°] 𝑈𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 [𝑉] 𝜑𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 [°] C2 227.5390 -0.0591 227.8438 -120.0385 227.9126 119.9056 0.3160 15.7367 C3 224.1383 -0.1201 224.7477 -120.0780 224.8858 119.8087 0.6321 15.7367 C4 222.5522 -0.1495 223.3100 -120.0946 223.4679 119.7644 0.7719 14.8809 C5 220.9691 -0.1794 221.8724 -120.1114 222.0502 119.7195 0.9119 14.2878 C6 220.2999 -0.1922 221.2705 -120.1178 221.4523 119.7011 0.9680 13.8488 C7 219.6336 -0.2052 220.6685 -120.1242 220.8543 119.6825 1.0242 13.4579 C8 218.9670 -0.2175 220.0644 -120.1312 220.2593 119.6636 1.0837 13.3612
Caso de Aplicación 64 C9 218.7455 -0.2224 219.8657 -120.1330 220.0582 119.6576 1.0999 13.0640 C10 220.0245 0.1017 220.8169 -119.8505 220.9994 120.0016 0.8060 15.8516 C11 217.4847 0.2420 218.3924 -119.7061 218.5990 120.1238 0.9097 15.7195 C12 215.6270 0.3859 216.5991 -119.5617 216.8174 120.2559 0.9651 15.5930 C13 215.6270 0.3859 216.5991 -119.5617 216.8174 120.2559 0.9651 15.5930 C14 217.7254 0.2778 218.5940 -119.6739 218.7932 120.1636 0.8767 15.8236 C15 218.8817 -0.0653 219.8865 -119.9932 220.0799 119.8192 0.9917 14.0707 C16 218.3790 -0.0381 219.4098 -119.9636 219.6006 119.8441 1.0004 13.6743 C17 216.5683 0.1127 217.6562 -119.8146 217.8640 119.9821 1.0637 14.0083 C18 217.6430 0.0182 218.7011 -119.9063 218.8931 119.8964 1.0147 13.4796 C19 217.4927 -0.1044 218.6450 -120.0172 218.8466 119.7673 1.1245 13.2120 C20 218.0104 -0.1663 219.1590 -120.0758 219.3520 119.7096 1.1133 12.8558 Tabla 34. Tensiones y ángulos resultantes del flujo de carga en la subred comercial A continuación, en la figura 7 se representan las tensiones anteriores de cada una de las subredes en un mismo gráfico. Por simplicidad, se ha elegido mostrar sólo la fase a de cada uno de los nudos de la red. Figura 7. Tensiones nodales del sistema (fase a) Cabe a destacar que los valores máximos de las tensiones mostradas se alcanzan en aquellos nudos conectados con el de referencia. También, se puede observar el comportamiento decreciente que adoptan las tensiones, exceptuando casos aislados como el nudo R11. En este nudo su tensión, dada su carga, se ve incrementada para posteriormente continuar decreciendo en los nudos siguientes.
65 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos 7.3.2 Intensidades por ramas El conjunto de intensidades y sus correspondientes ángulos que circulan por las ramas de la red, se muestran en las tablas 35, 36 y 37 para las zonas residencial, industrial y comercial, respectivamente. Éstas se obtienen a partir del conjunto de ecuaciones (81) y (82), intensidad Iij e Iji. Rama Nudo Origen Nudo Destino Fase 𝐼𝑖𝑗 [𝐴] 𝜑𝑖𝑗 [°] 𝐼𝑗𝑖 [𝐴] 𝜑𝑗𝑖 [°] 1 1 R2 a b c neutro 312.7388 -18.0778 312.7388 161.9222 310.3055 -138.5099 310.3055 41.4901 307.0488 101.6365 307.0488 -78.3635 1.8730 172.4781 1.8730 -7.5219 2 R2 R3 a b c neutro 312.7388 -18.0778 312.7388 161.9222 310.3055 -138.5099 310.3055 41.4901 307.0488 101.6365 307.0488 -78.3635 1.9041 171.3985 1.9041 -8.6015 3 R3 R4 a b c neutro 290.6082 -18.0678 290.6082 161.9322 288.2454 -138.5191 288.2454 41.4809 285.0854 101.6340 285.0854 -78.3660 1.8759 170.4695 1.8759 -9.5305 4 R4 R5 a b c neutro 210.0214 -18.2028 210.0214 161.7972 208.2109 -138.6827 208.2109 41.3173 205.7849 101.4790 205.7849 -78.5210 1.3894 173.2728 1.3894 -6.7272 5 R5 R6 a b c neutro 210.0214 -18.2028 210.0214 161.7972 208.2109 -138.6827 208.2109 41.3173 205.7849 101.4790 205.7849 -78.5210 1.3894 173.2728 1.3894 -6.7272 6 R6 R7 a b c neutro 126.3231 -18.2266 126.3231 161.7734 125.1235 -138.7542 125.1235 41.2458 123.5207 101.4241 123.5207 -78.5759 0.8714 177.5377 0.8714 -2.4623 7 R7 R8 a b c neutro 126.3231 -18.2266 126.3231 161.7734 125.1235 -138.7542 125.1235 41.2458 123.5207 101.4241 123.5207 -78.5759 0.8714 177.5377 0.8714 -2.4623
Caso de Aplicación 66 8 R8 R9 a b c neutro 126.3231 -18.2266 126.3231 161.7734 125.1235 -138.7542 125.1235 41.2458 123.5207 101.4241 123.5207 -78.5759 1.0271 166.4847 1.0271 -13.5153 9 R9 R10 a b c neutro 72.5509 -18.2163 72.5509 161.7837 71.8449 -138.7566 71.8449 41.2434 70.9026 101.4265 70.9026 -78.5735 0.5558 171.5357 0.5558 -8.4663 10 R3 R11 a b c neutro 22.1307 -18.2088 22.1307 161.7912 22.0602 -138.3889 22.0602 41.6111 21.9634 101.6695 21.9634 -78.3305 0.0417 -141.7556 0.0417 38.2444 11 R4 R12 a b c neutro 80.5889 -17.7162 80.5889 162.2838 80.0375 -138.0936 80.0375 41.9064 79.3032 102.0359 79.3032 -77.9641 0.6066 154.2251 0.6066 -25.7749 12 R12 R13 a b c neutro 80.5889 -17.7162 80.5889 162.2838 80.0375 -138.0936 80.0375 41.9064 79.3032 102.0359 79.3032 -77.9641 0.6066 154.2251 0.6066 -25.7749 13 R13 R14 a b c neutro 80.5889 -17.7162 80.5889 162.2838 80.0375 -138.0936 80.0375 41.9064 79.3032 102.0359 79.3032 -77.9641 0.6066 154.2251 0.6066 -25.7749 14 R14 R15 a b c neutro 80.5889 -17.7162 80.5889 162.2838 80.0375 -138.0936 80.0375 41.9064 79.3032 102.0359 79.3032 -77.9641 0.6066 154.2251 0.6066 -25.7749 15 R6 R16 a b c neutro 83.6983 -18.1668 83.6983 161.8332 83.0877 -138.5750 83.0877 41.4250 82.2644 101.5616 82.2644 -78.4384 0.6853 154.5033 0.6853 -25.4967 16 R9 R17 a b 53.7723 -18.2406 53.7723 161.7594 53.2787 -138.7510 53.2787 41.2490
67 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos c neutro 52.6181 101.4209 52.6181 -78.5791 0.4760 160.5859 0.4760 -19.4141 17 R10 R18 a b c neutro 72.5509 -18.2163 72.5509 161.7837 71.8449 -138.7566 71.8449 41.2434 70.9026 101.4265 70.9026 -78.5735 0.7601 155.9390 0.7601 -24.0610 Tabla 35. Intensidades y ángulos resultantes del flujo de carga en la subred residencial (ij/ji) Rama Nudo Origen Nudo Destino Fase 𝐼𝑖𝑗 [𝐴] 𝜑𝑖𝑗 [°] 𝐼𝑗𝑖 [𝐴] 𝜑𝑗𝑖 [°] 18 1 I2 a b c neutro 150.0181 -31.0712 150.0181 148.9288 149.5376 -151.3748 149.5376 28.6252 148.6163 88.6302 148.6163 -91.3698 0.8096 152.6277 0.8096 -27.3723 Tabla 36. Intensidades y ángulos resultantes del flujo de carga en la subred industrial (ij/ji) Rama Nudo Origen Nudo Destino Fase 𝐼𝑖𝑗 [𝐴] 𝜑𝑖𝑗 [°] 𝐼𝑗𝑖 [𝐴] 𝜑𝑗𝑖 [°] 19 1 C2 a b c neutro 188.2478 -25.7245 188.2478 154.2755 185.9341 -145.7815 185.9341 34.2185 186.1265 94.4693 186.1265 -85.5307 1.7428 49.8550 1.7428 -130.1450 20 C2 C3 a b c neutro 188.2478 -25.7245 188.2478 154.2755 185.9341 -145.7815 185.9341 34.2185 186.1265 94.4693 186.1265 -85.5307 1.7428 49.8550 1.7428 -130.1450 21 C3 C4 a b c neutro 87.8224 -25.9094 87.8224 154.0906 86.6574 -145.9679 86.6574 34.0321 86.7512 94.3015 86.7512 -85.6985 1.2145 38.4419 1.2145 -141.5581 22 C4 C5 a b c neutro 87.8224 -25.9094 87.8224 154.0906 86.6574 -145.9679 86.6574 34.0321 86.7512 94.3015 86.7512 -85.6985 1.2145 38.4419 1.2145 -141.5581 23 C5 C6 a b 36.9019 -26.0347 36.9019 153.9653 36.3961 -146.0921 36.3961 33.9079
Caso de Aplicación 68 c neutro 36.4368 94.1867 36.4368 -85.8133 0.6643 32.7636 0.6643 -147.2364 24 C6 C7 a b c neutro 36.9019 -26.0347 36.9019 153.9653 36.3961 -146.0921 36.3961 33.9079 36.4368 94.1867 36.4368 -85.8133 0.6643 32.7636 0.6643 -147.2364 25 C7 C8 a b c neutro 36.9019 -26.0347 36.9019 153.9653 36.3961 -146.0921 36.3961 33.9079 36.4368 94.1867 36.4368 -85.8133 0.4758 40.9455 0.4758 -139.0945 26 C8 C9 a b c neutro 12.2807 -26.0744 12.2807 153.9256 12.1136 -146.1301 12.1136 33.8699 12.1269 94.1456 12.1269 -85.8544 0.3684 24.5283 0.3684 -155.4717 27 C3 C10 a b c neutro 100.4263 -25.5628 100.4263 154.4372 99.2776 -145.6188 99.2776 34.3812 99.3761 94.6158 99.3761 -85.3842 0.5452 84.6636 0.5452 -95.3364 28 C10 C11 a b c neutro 62.0412 -25.5236 62.0412 154.4764 61.3021 -145.5831 61.3021 34.4169 61.3645 94.6604 61.3645 -85.3396 0.3906 72.5285 0.3906 -107.4715 29 C11 C12 a b c neutro 31.0206 -25.5236 31.0206 154.4764 30.6511 -145.5831 30.6511 34.4169 30.6822 94.6604 30.6822 -85.3396 0.1642 200.1488 0.1642 -79.8512 30 C11 C13 a b c neutro 31.0206 -25.5236 31.0206 154.4764 30.6511 -145.5831 30.6511 34.4169 30.6822 94.6604 30.6822 -85.3396 0.1642 200.1488 0.1642 -79.8512 31 C10 C14 a b c neutro 38.3851 -25.6262 38.3851 154.3738 37.9755 -145.6764 37.9755 34.3236 38.0116 94.5439 38.0116 -85.4561 0.1828 111.3532 0.1828 -68.6468
69 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos 32 C5 C15 a b c neutro 50.9206 -25.8186 50.9206 154.1814 50.2614 -145.8779 50.2614 34.1221 50.3145 94.3847 50.3145 -85.6153 0.4117 58.3762 0.4117 -121.6238 33 C15 C16 a b c neutro 12.2960 -25.8862 12.2960 154.1138 12.1422 -145.9408 12.1422 34.0592 12.1543 94.3089 12.1543 -85.6911 0.3343 25.3577 0.3343 -154.6423 34 C15 C17 a b c neutro 38.6246 -25.7971 38.6246 154.2029 38.1192 -145.8579 38.1192 34.1421 38.1602 94.4088 38.1602 -85.5912 0.2246 112.5798 0.2246 -67.4202 35 C16 C18 a b c neutro 12.2960 -25.8862 12.2960 154.1138 12.1422 -145.9408 12.1422 34.0592 12.1543 94.3089 12.1543 -85.6911 0.1442 41.6798 0.1442 -138.3202 36 C8 C19 a b c neutro 24.6212 -26.0149 24.6212 153.9851 24.2826 -146.0731 24.2826 33.9269 24.3099 94.2072 24.3099 -85.7928 0.1607 81.3219 0.1607 -98.6781 37 C9 C20 a b c neutro 12.2807 -26.0744 12.2807 153.9256 12.1136 -146.1301 12.1136 33.8699 12.1269 94.1456 12.1269 -85.8544 0.1590 40.4930 0.1590 -139.5070 Tabla 37. Intensidades y ángulos resultantes del flujo de carga en la subred comercial (ij/ji) A partir de los resultados anteriores de tensión y la matriz de admitancias nodales del sistema, se obtiene la intensidad del nudo slack por medio de la expresión (87) del Anexo I. Fase 𝐼𝑆𝐿𝐴𝐶𝐾 [𝐴] 𝜑𝑆𝐿𝐴𝐶𝐾 [°] a 648.1604 -23.2809 b 643.0441 -143.5800 c 639.0422 96.5489 neutro 2.4311 126.6824 Tabla 38. Intensidades y ángulos del nudo de referencia
Caso de Aplicación 76 Figura 14. Pérdidas de potencia reactiva por rama del sistema con generación (fase a) Destaca en este apartado, cómo las pérdidas de potencia tanto activa, como reactiva han disminuido respecto al caso sin generación. Esta disminución ha sido de 12964.4034 [W] en el caso activo y de 5480.4734 [Var] en el reactivo. Dicha disminución es debida a la potencia inyectada por cada uno de los generadores presentes en el sistema. Al igual que se comentó anteriormente, en la intensidad circulante por la rama de la zona industrial, ésta al no presentar generación, mantiene los mismos valores de pérdidas que el primer caso de estudio.
77 8 CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO Durante la realización de este trabajo, se ha llevado a cabo un proceso de investigación acerca de las diferentes metodologías de resolución del problema del flujo de cargas y cómo implementarlas en el programa matemático MATALB. Esto ha resultado en el desarrollo de un modelo de red ampliado que permite la resolución del flujo de cargas para redes trifásicas a cuatro hilos. Durante la fase de validación del modelo, se ha observado un buen comportamiento para la red de prueba, tanto en el caso equilibrado, como desequilibrado. Esto supone un punto de partida para aplicar esta metodología a redes de una mayor dimensión que las ensayadas y con ello validar el modelo en éstas para observar su robustez. En trabajos futuros, sería interesante ampliar el modelo teniendo en cuenta: Introducir resistencias de puesta a tierra rígidas en otros nudos que no sean el de referencia. Introducir transformadores en el modelo. Presencia de cargas en triángulo. Presencia de reguladores de tensión. Presencia de componentes a tierra, como baterías de condensadores.
Conclusiones y Trabajo Futuro 78
79 9 ANEXO I Este Anexo I incluye los desarrollos del método de Newton-Raphson para redes trifásicas a cuatro hilos en coordenadas cartesianas, que dada su dimensión para una mejor comprensión y visualización para el lector, se han incluido en una sección aparte. También, muestra los sistemas de ecuaciones más representativos para la resolución del flujo de cargas, empleados en el proceso de validación del modelo propuesto. 9.1 Modelo lineal de la red para el nudo i en redes trifásicas a cuatro hilos n j n j c j b j b j b j a j a j n ij nn ij nn ij nc ij nc ij nb ij nb ij na ij na ij nn ij nn ij nc ij nc ij nb ij nb ij na ij na ij cn ij cn ij cc ij cc ij cb ij cb ij ca ij ca ij cn ij cn ij cc ij cc ij cb ij cb ij ca ij ca ij bn ij bn ij bc ij bc ij bb ij bb ij ba ij ba ij bn ij bn ij bc ij bc ij bb ij bb ij ba ij ba ij an ij an ij ac ij ac ij ab ij ab ij aa ij aa ij an ij an ij ac ij ac ij ab ij ab ij aa ij aa ij n i n i c i b i b i b i a i a i nn ii nn rgii nc ii nc ii nb ii nb ii na ii na ii nn rgii nn ii nc ii nc ii nb ii nb ii na ii na ii cn ii cn ii cc ii cc ii cb ii cb ii ca ii ca ii cn ii cn ii cc ii cc ii cb ii cb ii ca ii ca ii bn ii bn ii bc ii bc ii bb ii bb ii ba ii ba ii bn ii bn ii bc ii bc ii bb ii bb ii ba ii ba ii an ii an ii ac ii ac ii ab ii ab ii aa ii aa ii an ii an ii ac ii ac ii ab ii ab ii aa ii aa ii n xi n ri c xi c ri b xi b ri a xi a ri e f e f e f e f BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB e f e f e f e f BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB I I I I I I I I _ _ (47)
Anexo I 80 9.2 Restricciones no lineales de la red para el nudo i en redes trifásicas a cuatro hilos n xi n ri c xi c ri b xi b ri a xi a ri n i c i n i c i n i c i n i c i n i b i n i b i n i b i n i b i n i a i n i a i n i a i n i a i c sp i c sp i b sp i b sp i a sp i a sp i I I I I I I I I eeff ffee eeff ffee eeff ffee Q P Q P Q P 10101010 01010101 00)()(0000 00)()(0000 0000)()(00 0000)()(00 000000)()( 000000)()( 0 0 (60) 9.3 Modelo linealizado de las ecuaciones nodales de la red para el nudo i en redes trifásicas a cuatro hilos [ 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑛 ] ∙ [ ∆𝑈𝑖𝑎 ∆𝑈𝑖𝑏 ∆𝑈𝑖𝑐 ∆𝑈𝑖𝑛 ] +∑ [ 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑛 ] ∙ [ ∆𝑈𝑗𝑎 ∆𝑈𝑗𝑏 ∆𝑈𝑗𝑐 ∆𝑈𝑗𝑛 ] 𝑛 𝑗≠𝑖 − [ ∆𝐼𝑖𝑎 ∆𝐼𝑖𝑏 ∆𝐼𝑖𝑐 ∆𝐼𝑖𝑛 ] = [ ∆Ʌ𝑖𝑎 ∆Ʌ𝑖𝑏 ∆Ʌ𝑖𝑐 ∆Ʌ𝑖𝑛 ] (66)
81 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos Donde cada elemento “y” tiene la siguiente estructura: nn ij nn ij nc ij nc ij nb ij nb ij na ij na ij nn ij nn ij nc ij nc ij nb ij nb ij na ij na ij cn ij cn ij cc ij cc ij cb ij cb ij ca ij ca ij cn ij cn ij cc ij cc ij cb ij cb ij ca ij ca ij bn ij bn ij bc ij bc ij bb ij bb ij ba ij ba ij bn ij bn ij bc ij bc ij bb ij bb ij ba ij ba ij an ij an ij ac ij ac ij ab ij ab ij aa ij aa ij an ij an ij ac ij ac ij ab ij ab ij aa ij aa ij ij BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB y 9.4 Modelo linealizado de las restricciones no lineales de la red para el nudo i en redes trifásicas a cuatro hilos n i n i c i c i b i b i a i a i n xi n ri c xi c ri b xi b ri a xi a ri n i c i n i c i n i c i n i c i n i b i n i b i n i b i n i b i n i a i n i a i n i a i n i a i n i n i c i b i b i b i a i a i c xi c ri c xi c ri c ri c xi c ri c xi b xi b ri b xi b ri b ri b xi b ri b xi a xi a ri a xi a ri a ri a xi a ri a xi Q P Q P Q P Q P I I I I I I I I eeff ffee eeff ffee eeff ffee e f e f e f e f IIII IIII IIII IIII IIII IIII 10101010 01010101 00)()(0000 00)()(0000 0000)()(00 0000)()(00 000000)()( 000000)()( 00000000 00000000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 (71)
Anexo I 82 9.5 Residuos de intensidad de la red para el nudo i en redes trifásicas a cuatro hilos [ ∆Ʌ𝑖𝑎 ∆Ʌ𝑖𝑏 ∆Ʌ𝑖𝑐 ∆Ʌ𝑖𝑛 ] = [ 𝐼𝑖𝑎⌋0 𝐼𝑖𝑏⌋0 𝐼𝑖𝑐⌋0 𝐼𝑖𝑛⌋0 ] − [ 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑛 ] [ 𝑈𝑖𝑎⌋0 𝑈𝑖𝑏⌋0 𝑈𝑖𝑐⌋0 𝑈𝑖𝑛⌋0 ] −∑ [ 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑎𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑏𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑐𝑛 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑎 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑏 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑐 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑛 ] [ 𝑈𝑗𝑎⌋0 𝑈𝑗𝑏⌋0 𝑈𝑗𝑐⌋0 𝑈𝑗𝑛⌋0 ] 𝑛 𝑗≠𝑖 (74) Donde, ∆Ʌ𝑖𝑝ℎ=[∆𝛼𝑖𝑝ℎ ∆𝛽𝑖𝑝ℎ] 𝑝=𝑎,𝑏,𝑐,𝑛(𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜) 9.6 Residuos de potencia de la red para el nudo i en redes trifásicas a cuatro hilos 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 00 00 00 00 10101010 01010101 00)()(0000 00)()(0000 0000)()(00 0000)()(00 000000)()( 000000)()( 0 0n xi n ri c xi c ri b xi b ri a xi a ri n i c i n i c i n i c i n i c i n i b i n i b i n i b i n i b i n i a i n i a i n i a i n i a i c sp i c sp i b sp i b sp i a sp i a sp i n i n i c i c i b i b i a i a i I I I I I I I I eeff ffee eeff ffee eeff ffee Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P (77)
83 Formulación y Programación de un Flujo de Cargas Ampliado para Redes Trifásicas a Cuatro Hilos 9.7 Sistema de ecuaciones a resolver del flujo de cargas en la validación de resultados 9.7.1 Sistema de ecuaciones a resolver del flujo de carga 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 44 33 22 4442 3323 242322 0000 0000 0000 000 000 00 S S S I I I U U U DD DD DD Identyy Identyy Identyyy VI VI VI (86) Donde, Cada elemento del jacobiano tiene una dimensión de [8 x 8]. Los elementos del vector de estado y los del vector de residuos tienen la dimensión de [8 x 1].
Anexo I 84 9.7.2 Obtención de intensidades de nudo slack (restricciones lineales) En este caso el conjunto de ecuaciones mostrado es para el nudo 1, que es el de referencia. 4 3 2 1 1212121212121212 1212121212121212 1212121212121212 1212121212121212 1212121212121212 1212121212121212 1212121212121212 1212121212121212 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 1 1 1 1 1 1 1 1 00 U U U U BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB BGBGBGBG GBGBGBGB I I I I I I I I nnnnncncnbnbnana nnnnncncnbnbnana cncncccccbcbcaca cncncccccbcbcaca bnbnbcbcbbbbbaba bnbnbcbcbbbbbaba ananacacababaaaa ananacacababaaaa nnnnncncnbnbnana nnnnncncnbnbnana cncncccccbcbcaca cncncccccbcbcaca bnbnbcbcbbbbbaba bnbnbcbcbbbbbaba ananacacababaaaa ananacacababaaaa n x n r c x c r b x b r a x a r (87) Donde, Cada elemento del vector de tensiones tiene una dimensión de [8 x 1]. Cada elemento nulo de la matriz de admitancias tiene una dimensión de [8 x 8].
85 REFERENCIAS [1] Departamento de Ingeniería Eléctrica, "Sistemas Eléctricos de Potencia," in Flujo de Cargas. Sevilla, 2013, ch. 8, pp. 2-27. [2] Antonio Gómez Expósito and Esther Romero Ramos, "Augmented Rectangular Load Flow Model," IEEE TRANSACTIONS ON POWER SYSTEMS, vol. 17, no. 2, pp. 271-276, MAY 2002. [3] CIGRE Task Force C6.04.02, "Benchmark Systems for Network Integration of Renewable and Distributed Energy Resources," CIGRE, 2014.