Modelo de Solow

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES DOBLE GRADO EN DERECHO Y ECONOMÍA Modelo de Solow Trabajo Fin de Grado presentado por Manuel Jesús González Sánchez, siendo el tutor del mismo Francisco Velasco Morente. Vº. Bº. del Tutor: Francisco Velasco Morente Alumno: Manuel Jesús González Sánchez D. Francisco Velasco Morente D. Manuel Jesús González Sánchez Sevilla, Junio de 2021 DOBLE GRADO EN DERECHO+ECONOMÍA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES TRABAJO FIN DE GRADO CURSO ACADÉMICO [2020-2021] TÍTULO: MODELO DE SOLOW AUTOR: D.MANUEL JESÚS GONZÁLEZ SÁNCHEZ TUTOR: D. FRANCISCO VELASCO MORENTE DEPARTAMENTO: DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA I ÁREA DE CONOCIMIENTO: MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LA ECONOMÍA Y EMPRESA RESUMEN: En este Trabajo de Fin de Grado se presenta y desarrolla de una forma básica el modelo de Robert Solow. Se trata de un modelo de crecimiento exógeno perteneciente a la visión económica neoclásica. El modelo parte del desarrollado por Harrod-Domar al que se le añade el progreso tecnológico y el crecimiento de la población. Además, tiene en cuenta aspectos presentados por John M. Keynes como es la relación entre ahorro e inversión en relación a la formación y acumulación del capital. PALABRAS CLAVE: Solow; Crecimiento; Exógeno; Neoclásico. ÍNDICE 0. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................................................................................................... 5 1. CAPÍTULO 1......................................................................................................................................................................................................................... 7 1.1. APARTADO 1.................................................................................................................................................................................... 7 2. CAPÍTULO 2......................................................................................................................................................................................................................... 9 3. CAPÍTULO 3..................................................................................................................................................................................................................... 13 3.1. APARTADO 1................................................................................................................................................................................ 13 3.2. APARTADO 2................................................................................................................................................................................ 15 4. CAPÍTULO 4..................................................................................................................................................................................................................... 19 4.1. APARTADO 1................................................................................................................................................................................ 19 4.2. APARTADO 2................................................................................................................................................................................ 20 4.3. APARTADO 3................................................................................................................................................................................ 21 4.4. APARTADO 4................................................................................................................................................................................ 22 4.5. APARTADO 5................................................................................................................................................................................ 23 5. CONCLUSIÓN ............................................................................................................................................................................................................... 25 6. BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................................................................................................................... 27 7. ANEXO ..................................................................................................................................................................................................................................... 28 INTRODUCCIÓN Este modelo fue publicado en The Quarterly Journal of Economics, Vol. 70, No. 1. (Feb 1956) pp. 65-94, con el título A Contribution to the Theory of Economic Growth (Robert Solow). En este modelo Solow toma como referencia el planteado por Harrod-Domar, pero en este caso plantea que la producción se debe al capital y al trabajo bajo los estándares neoclásicos. Además, se flexibilizan una serie de factores que se entendían como rígidos permitiéndose así que el cambio tecnológico neutral sea posible y un programa de ahorros elástico al interés. Pese a que el modelo no es actualmente muy útil, sí que ha sido muy importante a la hora de desarrollar nuevos modelos y teorías económicas. Como hicieron Mankiw, Romer y Weil en 1992 que teniendo como punto de partida el Modelo de Solow, investigaron las diferencias entre las rentas per cápita existentes entre los diferentes países con los elementos que puso Solow bajo la lupa: Tasa de ahorros, niveles iniciales de la productividad del trabajo y la tasa de crecimiento de la población. Sin embargo, aunque los resultados no fueron satisfactorios debido a que se desviaron por casi el doble de lo que proporcionaba el modelo. Esto dio lugar a un nuevo modelo que fue criticado por Grossman y Helpman en 1994, que comprobaron la importancia que tiene la productividad total de los factores. Todo con el punto de partida que dispuso con su modelo Robert Solow. Que además trajo a la escuela neoclásica alguna conclusión que llegó Keynes de una escuela completamente diversa a la neoclásica. La más importante es la relación que tienen ahorro e inversión mediante la igualdad I = S. CAPITULO 1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS APARTADO 1: VARIABLES DEL MODELO El único output que contempla Robert Solow es la producción denotada como Y(t), que depende del capital K(t) y del trabajo L(t). Por tanto, la función de producción queda definida con las mejoras tecnológicas incluidas: 𝑌 = 𝐹(𝐾,𝐿) (1) Aun así, se debe tener en cuenta que respecto al capital existe otra consideración. Partiendo de que todo aquel output que no se consume, pasa directamente a ser ahorrado. Este ahorro es una constante denotada como s, y por tanto hace que el ratio de ahorro sea sY(t). El capital que proviene de una acumulación de bienes tendrá relación con este ratio de ahorro mediante la inversión. Por ello, la inversión neta es la tasa que arroja el incremento de capital dK/dt o también denotada como K . Para cualquier instante se tiene que: 𝐾󰇗 = 𝑠 𝑌(𝑡) (2) No existe ningún recurso que pueda aumentar, debido a esto los crecimientos son a escala como hipótesis a tener en cuenta en este modelo. Por ello, si se introduce en la ecuación (1) dentro de la (2) y se obtiene: 𝐾󰇗 = 𝑠 𝐹(𝐾,𝐿) (3) Aquí se puede apreciar que existe una ecuación con dos partes desconocidas. Una forma posible de intentar acotar el problema puede ser a través de la introducción de una ecuación de demanda de trabajo. En esta ecuación, la productividad física de la demanda de trabajo se iguala a la tasa real de los salarios y a la ecuación de oferta de trabajo. De esta forma se obtienen tres ecuaciones y tres variables desconocidas que son K, L y los salarios reales. Para ir avanzando en este modelo, es necesario volver a tomar en consideración que el crecimiento exógeno de la población hace aumentar la fuerza de trabajo en una tasa constante que se denota como n. Esto es algo que también hacía Harrod-Domar en su modelo, que carecía de mejora tecnológica y donde n se refería a la tasa natural de crecimiento de Harrod. La igualdad queda de la siguiente forma: 𝐿(𝑡) = 𝐿0 𝑒𝑛𝑡 (4) En la ecuación número tres, L denota el empleo total. Sin embargo, en la ecuación número cuatro, se refiere a la oferta de trabajo. Con esto, se busca que todo el empleo esté siempre mantenido. Si se combina la ecuación (4) con la (3) se obtiene la siguiente expresión: 𝐾󰇗 = 𝑠 𝐹(𝐾,𝐿0 𝑒𝑛𝑡) (5) Esta es la ecuación básica que determina el tiempo que se tarda en acumular el capital cuando todo el trabajo disponible está siendo utilizado. Además, de forma alternativa, la expresión puede verse como una curva de oferta de trabajo. Pudiéndose sacar de ella que el crecimiento del trabajo que se ofrece es exponencial debido a que es completamente inelástica. La curva de oferta de trabajo es completamente vertical, salvo cuando el trabajo crece según (4), en esos casos gira hacia la derecha. Es entonces cuando la tasa real de los salarios se ajusta a todo el trabajo que está siendo utilizado, mientras que la ecuación de la productividad marginal determina que tasa de salarios es la que realmente existe. Las tres ecuaciones que componen esa tasa de salarios son las ya mencionadas (3) y (4), además de 𝜕𝐹(𝑘,𝐿) 𝜕𝐿 =𝑤 Tras esto, se puede extraer que la ecuación número cinco es una ecuación diferencial con una única variable K(t), cuya solución muestra el único perfil de tiempo en el cual, el capital acumulado de la comunidad emplea toda la fuerza de trabajo existente. Según Solow, una vez se obtienen las trayectorias del stock de capital y del trabajo, se puede calcular la función de producción para dicho momento con los outputs disponibles. Por otro lado, la ecuación de la productividad marginal determina la trayectoria de la tasa real de los salarios. Para esto último, Solow vuelve a hacer otra suposición para el modelo, en este caso es el pleno empleo del stock de capital disponible. El stock de capital acumulado en cualquier tiempo pretérito al que se estudia se ofrecerá de forma completamente inelástica. Debido a ello, existe una ecuación marginal de la productividad muy similar que determina la renta real por unidad de tiempo para los servicios del stock de capital. Solow busca trazar un proceso que estructura de la siguiente manera: 1. En cualquier momento, la oferta de trabajo viene dada por la ecuación (4), al igual que el stock de capital disponible que es también un dato. 2. Cuando se produce el retorno real para los factores, se ajusta para llegar al pleno empleo del trabajo y del capital. Para ello, se toma la ecuación (1) para encontrar la tasa de output real. 3. La propensión al ahorro dice cuanto del output neto va a ser ahorrado o invertido. Por ello se puede conocer la acumulación neta de capital en el periodo actual. A lo que hay que añadir el capital ya acumulado para conocer el capital disponible para el siguiente periodo. Este proceso vuelve a empezar de forma íntegra periodo tras periodo. CAPITULO 2 POSIBLES PATRONES DE CRECIMIENTO La siguiente cuestión que se propuso atajar Robert Solow fue comprobar si existía un patrón de crecimiento con el aumento del trabajo. Sin embargo, para esta tarea las ecuaciones planteadas anteriormente no servían por sí solas, aunque sí pueden ser utilizadas si se introducen nuevas variables. Por ello se introduce el ratio capital-trabajo, una variable que se puede aislar de manera fácil, de manera matemática y gráfica. Esta nueva variable denotada como r, expresa la relación entre capital y trabajo r = 𝐾 𝐿. Esa expresión puede ser escrita como K= rL= rL0ent . Esto último si se diferencia con respecto al tiempo se obtiene: K󰇗󰇗=𝐿0𝑒𝑛𝑡𝑟󰇗+𝑛𝑟𝐿0𝑒𝑛𝑡 Sustituimos esta expresión en la ecuación (5): (𝑟󰇗+𝑛𝑟)𝐿0𝑒𝑛𝑡 =𝑠𝐹(𝐾,𝐿0𝑒𝑛𝑡) Debido a los constantes retornos a escala, no se pueden dividir las variables en F por 𝐿=𝐿0𝑒𝑛𝑡, por ello se multiplica F por el mismo factor. Esto arroja la siguiente expresión: (𝑟󰇗+𝑛𝑟)𝐿0𝑒𝑛𝑡 =𝑠𝐿0𝑒𝑛𝑡𝐹( 𝐾 𝐿0𝑒𝑛𝑡,1) Dividiendo y extrayendo factor común se obtiene una ecuación diferencial que engloba el ratio capital-trabajo de forma aislada: 𝑟󰇗=𝑠𝐹(𝑟,1)−𝑛𝑟 (6) Se puede plantear la misma relación de una forma menos formal. Para ello se parte de la ecuación r = 𝐾 𝐿 ,la tasa relativa de cambio es la diferencia entre las tasas de cambio de las variables K y L: 𝑟󰇗 𝑟=𝐾󰇗 𝐾−𝐿󰇗 𝐿 Con respecto a esa igualdad se debe tener en cuenta que 𝐿󰇗 𝐿=𝑛 y que 𝐾󰇗 = 𝑠𝐹(𝐾,𝐿). Por tanto, sustituyendo estas expresiones en la anterior se obtiene: 𝑟󰇗=𝑟𝑠𝐹(𝐾,𝐿) 𝐾−𝑛𝑟 Ahora se divide L por F como se realizó anteriormente, sabiendo que 𝐿 𝐾=1 𝑟 y se volvería a obtener la ecuación (6): 𝑟󰇗=𝑠𝐹(𝑟,1)−𝑛𝑟 La función que encontramos en esa ecuación, F(r,1) es fácil de interpretar. Se trata de la curva de producción cuando varía la cantidad de r del capital empleado por cada unidad de trabajo. De forma alternativa, proporciona el output por trabajador como una función del capital por trabajador. La expresión (6), que era la tasa de cambio del ratio capital-trabajo, se puede ver en dos términos. El primero se refiere al incremento del capital y el otro al incremento del trabajo. =𝐾𝑡 𝐿𝑡(𝐾𝑡 𝐿𝑡−1)−(1−𝛿)𝐾𝑡−1 𝐿𝑡−1 Sin embargo, la población es creciente a la tasa n como ya se ha visto a lo largo del desarrollo de este modelo. Por ello se debe introducir en la ecuación de esta forma: 𝐿𝑡−𝐿𝑡−1 𝐿𝑡−1 =𝑛 De la misma forma se tiene 𝐿𝑡 𝐿𝑡−1 =1+𝑛 A partir de esto se pueden obtener dos expresiones 𝑠𝑦𝑡=𝑘𝑡(1+𝑛)−(1−𝛿)𝑘𝑡−1 ó 𝑠𝑓(𝑘𝑡−1)=𝑘𝑡(1+𝑛)−(1−𝛿)𝑘𝑡−1 Las cuales pueden ser expresadas como: 𝑘𝑡=(1−𝛿)𝑘𝑡−1+𝑠𝑓(𝑘𝑡−1) 1+𝑛 𝑘𝑡=ℎ(𝑘𝑡−1) Con rendimientos constantes a escala y asumiendo la función Cobb-Douglas como función de producción se tiene: 𝑦𝑡=𝑓(𝑘𝑡−1)=𝑎𝑘𝑡−1 𝛼 Siendo 𝑎>0,0<𝛼<1 Por ejemplo, si se toman los siguientes valores: 𝑎=5, 𝛼=0.25, 𝑠=0.1, 𝑛=0.02, 𝛿=0, 𝑘0=20 De forma alternativa se puede usar la expansión de Taylor sobre k*>0, así se obtendría: 𝑘𝑡=ℎ(𝑘∗)+(1−𝛿)(𝑘𝑡−1−𝑘∗)+𝛼𝑠𝑎(𝑘∗)𝛼−1(𝑘𝑡−1−𝑘∗) 1+𝑛 =ℎ(𝑘∗)+ [ (1−𝛿)+𝛼𝑠𝑎(𝑘∗)𝛼−1 1+𝑛 ](𝑘𝑡−1−𝑘∗) =𝑘∗+ [ (1−𝛿)+𝛼𝑠𝑎(𝑘∗)𝛼−1 1+𝑛 ](𝑘𝑡−1−𝑘∗) De una forma gráfica se representa así: Gráfico 3.2 Fuente: Elaboración propia Capítulo 4 Extensión del modelo 4.1 APARTADO 1: CAMBIO TECNOLÓGICO NEUTRAL Se puede contemplar cambios perfectamente arbitrarios a lo largo del tiempo en la función de producción, pero están duramente ligadas a conclusiones sistemáticas. Fácilmente un especial tipo de cambio tecnológico puede simplemente multiplicar la función de producción por un incremento de escala del factor. 𝑌=𝐴(𝑡)𝐹(𝐾,𝐿) (8) El mapa de isocuantas queda inalterado, pero el número de output adjunto a cada isocuanta es multiplicado por A(t). La forma en la que el equilibrio capital-trabajo es afectado puede verse en el Gráfico 2.1 por la “explosión” de la función sF(r,1). En el caso de la función Cobb-Douglas funciona de forma muy simple. Siendo 𝐴(𝑡) = 𝑒𝑔𝑡 y entonces la ecuación diferencial básica se convierte en: 𝐾󰇗=𝑠𝑒𝑔𝑡𝐾𝑎(𝐿0𝑒𝑛𝑡)1−𝑎 =𝑠𝐾𝑎𝐿0 1−𝑎𝑒(𝑛(1−𝑎)+𝑔)𝑡 Cuya solución es: 𝐾(𝑡)=[𝐾0 𝑏−𝑏𝑠 𝑛𝑏+𝑔𝐿0 𝑏+𝑏𝑠 𝑛𝑏+𝑔𝐿0 𝑏𝑒(𝑛𝑏+𝑔)𝑡]1/𝑏 Donde otra vez b = 1 − 𝑎. A largo plazo el stock de capital aumenta al ritmo de la tasa relativa de 𝑛+𝑔/𝑏 (antes se tenía la tasa constante n). La tasa final de incremento del output real es 𝑛+𝑎𝑔/𝑏. Esto no es solo más rápido que la tasa n, puede ser incluso más rápido que 𝑛+𝑔. La razón de ello es que el mayor nivel del output real se traduce en un mayor ahorro e inversión, lo que hará crecer las tasas de crecimiento aún más. Ahora, el ratio capital-trabajo nunca estará en equilibrio, pero siempre estará creciendo. Los constantes incrementos de la capacidad de inversión no están sin duda relacionados con ninguna aceleración del crecimiento del trabajo. Entonces, 𝐾/𝐿 se va haciendo más grande hasta llegar a la tasa g/b. Si la tasa inicial del ratio capital-trabajo es muy grande, caerá al principio para acabar creciendo y dibujando un comportamiento asintótico. Desde que el ratio capital-trabajo crece sin límites al final, se tiene que la tasa real debe al final crecer y mantener dicho crecimiento. Además, otra de las propiedades de la función Cobb-Douglas es que la participación relativa del trabajo es constante en 1− 𝑎. El otro factor estructural imprescindible se sigue por algo ya explicado: por ejemplo, desde Y finalmente crece a una tasa 𝑛+𝑎𝑔/𝑏 y K a una tasa 𝑛+𝑔/𝑏, el coeficiente del capital 𝐾/𝑌 crece a una tasa 𝑛+𝑔/𝑏−𝑛−𝑎𝑔/𝑏=𝑔. 4.2 APARTADO 2: LA OFERTA DE TRABAJO En general se quiere hacer de la oferta de trabajo una función de la tasa real de salario y tiempo desde que la fuerza de trabajo crece. Se tomó como cierto de forma especial que 𝐿(𝑡) = 𝐿0 𝑒𝑛𝑡, esto hace que la curva de la oferta de trabajo sea completamente inelástica con respecto al salario real y sus cambios. Se generaliza de alguna forma asumiendo que, para cualquier tamaño de la fuerza de trabajo, la proporción ofertada depende del salario real. De manera específica se tiene: 𝐿= 𝐿(𝑡) = 𝐿0 𝑒𝑛𝑡 (𝑤 𝑝)ℎ (9) Sin embargo, existe otra forma de expresar esta asunción donde se produce una explosión a escala de una curva constante de elasticidad. Si se realiza un análisis detallado, esta oferta de trabajo debería ser modificada con salarios reales muy altos dado que el trabajo tiene un límite superior para el trabajo que puede ser ofertado y que no se refleja en la ecuación (9). Recordando la ecuación diferencial (6) para el ratio capital-trabajo, se puede ahora complicar un poco más si se ponen los niveles de precios como constantes. De una forma simplificada: 𝑟󰇗=𝑠𝐹(𝑟,1)−𝑛𝑟−ℎ𝑤󰇗 𝑤 (6a) A esta ecuación se le puede introducir la condición de la productividad marginal, la cual se expresa como 𝜕𝐹 𝜕𝐿 =𝑤 𝑝. Desde que el producto marginal del trabajo depende solo de r, se puede eliminar w. Pero generalmente esto solo hace que complicar todo mucho más, por ello es preferible volver a usar la función Cobb-Douglas. Por lo que se tiene: 𝑤 𝑝=(1−𝑎)𝑟𝑎 Por tanto, 𝑤󰇗 𝑤=𝑎𝑟󰇗 𝑟 Usando de nuevo la expresión (6a) y haciendo las manipulaciones oportunas se obtiene: 𝑟󰇗=(𝑠𝐹(𝑟,1)−𝑛𝑟)(1+𝑎ℎ 𝑟)−1 Esto arroja una idea de cómo la elasticidad de la oferta de trabajo puede cambiar las cosas. En primer lugar, sigue existiendo un estado de equilibrio del crecimiento, cuando en el lado derecho empieza a ser cero, sigue siendo estable, cercano a cualquier condición inicial. Además, se mantiene inalterado el equilibrio del ratio capital-trabajo, desde que 𝑟󰇗 empieza a ser cero, como hizo anteriormente. Aunque esto no pasa siempre, es una consecuencia de la asunción especial hecha en la expresión (9). Desde que r se comporta de la misma forma que todas aquellas cantidades que dependen solamente de r, como un salario real. 4.3 APARTADO 3: RATIO VARIABLE DEL AHORRO Hasta ahora, todo lo acontecido en el modelo ha sido siempre un crecimiento del trabajo y del capital. En el caso del trabajo, el crecimiento se da de una forma exógena, mientras que el capital era fruto del ratio de ahorro que era absolutamente constante. A medida que los ingresos reales son positivos, resultará en la formación de un mayor capital neto. Esto se escapa de las posibilidades del estadio estacionario de RicardoMill y sugiere la experimentación con dejar libre la tasas de ahorro en manos de la creación de capital. Si los ahorros pueden caer a cero cuando los ingresos son positivos, es posible que la inversión neta cese y que el stock de capital, al menos, se vuelva estacionario. Seguiría habiendo un creciendo del trabajo, sin embargo, esto podría alejarse mucho de la teoría clásica con una teoría de población creciente y una determinada oferta de tierra. La forma más sencilla de dejar que la tasa de interés o el rendimiento del capital influyan en el volumen de ahorro es hacer que la fracción de los ingresos ahorrados dependa del rendimiento real para los propietarios del capital. Estos ahorros totales se expresan como: s(q/p)Y. Bajo constantes rendimientos a escala y competencia, el alquiler real dependerá solo del ratio capital-trabajo, entonces llegados a este punto, se podrá fácilmente convertir la tasa de ahorro en una función de r. Para el objetivo de este experimento, la asunción más natural sería hacer que la tasa de ahorro dependiese positivamente de la producción de capital e inversamente del ratio capital-trabajo. Para evitar inconveniencias, no se va a mostrar el paso de q/p a r mediante la productividad marginal, y por ello simplemente los ahorros se denotarán como s(r)Y. Entonces la única modificación en la teoría es que la ecuación fundamental (6) queda como: 𝑟󰇗=𝑠(𝑟)𝐹(𝑟,1)−𝑛𝑟 (6b) Gráficamente se parece a lo visto anteriormente, pero introduciendo s(r). Quizás r debería ser lo suficientemente grande para que s(r) se encamine a cero (esto sucedería solo en el caso de que primero hubiese un alquiler real muy bajo que parase los ahorros y segundo, si la función de producción es tal que llega a un muy alto ratio capital-trabajo conducirá a un retorno al valor crítico). Por tanto, si 𝑠(𝑟)𝐹(𝑟,1) fuese cero para todos los r suficientemente grandes, por ejemplo: Si 𝐹(0,1)=0, no habría producción posible sin capital, entonces 𝑠(𝑟)𝐹(𝑟,1) debería volver a cero en el origen sin importar cuan alta sea la tasa de ahorro. Pero esto no es inevitable, como se ve en el Gráfico 4.1 que proporciona una de esas posibilidades. Habitualmente r*, que se refiere al equilibrio del ratio capital-trabajo, se encuentra poniendo 𝑟󰇗=0 en la ecuación (6b). En el Gráfico 4.1 el equilibrio es estable y finalmente el capital y el output crecerán a la misma velocidad que la tasa de la fuerza de trabajo. Gráfico 4.1 Fuente: Elaboración propia En general si s(r) desaparece para un r grande, elimina la posibilidad de un incremento que se escapa de forma indefinida del ratio capital-trabajo como se vio en el Gráfico 2.3. La tasa de ahorro no debe reducirse hacia cero para ello, pero si esto ocurriese se puede garantizar que en la última intersección con nr es estable. Si se compara cualquier s(r) con una tasa constante de ahorro, las dos curvas se cruzarán en el valor r para cada s(r) que iguale la vieja tasa constante. A la derecha, la nueva curva desciende desde que se asume que s(r) es una función decreciente y deja que esta se apoye sobre la curva anterior. Esto se ve fácilmente en el ejemplo donde el equilibrio r* puede incluso ser más grande o pequeño que anteriormente, existiendo una gran variedad de formas y patrones posibles. El efecto neto tiende a estabilizarse: cuando el ratio capital-trabajo es alto, se corta el ahorro; cuando es bajo se estimula el ahorro. Por ello se puede decir que no hay posibilidad alguna para el estado estacionario: debería r ser tan alta como para asfixiar el ahorro y la formación neta de capital, haciendo que finalmente le continuo crecimiento del trabajo se reduzca. 4.4 APARTADO 4: IMPUESTOS Según E.C. Brown, quien es citado por Robert Solow en su trabajo, puntualiza que en el análisis debe ser mencionados los efectos que tendrían los impuestos personales. Según recoge Solow, en el caso más sencillo, el estado pone una tasa de impuestos proporcional denominada como t. Si los ingresos están directamente relacionados con la formación de capital, la identidad de ahorro-inversión correspondiente a la expresión (1) se transformaría en: 𝐾= 󰇗𝑠(1−𝑡)𝑌+𝑡𝑌=(𝑠(1−𝑡)+𝑡)𝑌 Esto es, la tasa efectiva de ahorro aumenta desde s a 𝑠+𝑡(1−𝑠). Si este proceder de los impuestos son directamente consumidos, la tasa de ahorro desciende desde s a 𝑠(1−𝑡). Si una fracción v de los impuestos es invertida y el resto consumida, la tasa de ahorro cambia en 𝑠+(𝑣−𝑠)𝑡 la cual puede ser menor o mayor que s según invierta el estado en una mayor o menor fracción de sus ingresos en comparación con el sector privado. Los efectos pueden verse en la Gráfica 2.1, la curva 𝑠𝐹(𝑟,1) se expande o contrae de forma uniforme y el equilibrio del ratio capital-trabajo se ajusta correspondientemente a esos cambios. Los impuestos no proporcionales pueden incorporarse, aunque de manera difícil, pero podrían producir cambios interesantes en los gráficos. Parece obvio que la presencia de impuestos va a afectar a las relaciones de precios y salarios. 4.5 APARTADO 5: CRECIMIENTO VARIABLE DE LA POBLACIÓN En lugar de tratar la tasa relativa de la población como una constante creciente, se puede hacer de una forma más clásica como una variable endógena del sistema. De forma particular si se supone que 𝐿󰇗/𝐿 depende solamente de los ingresos per cápita o el consumo, o que ello tenga un impacto en la tasa de salarios reales. El salario per cápita viene dado 𝑌/𝐿=𝐹(𝑟,1) el resultado es que la tasa de crecimiento del trabajo se transforma en 𝑛=𝑛(𝑟), que es una función de ratio capital-trabajo aislado. Gráfico 4.2 Fuente: Elaboración propia La ecuación diferencial básica se transforma en 𝑟 = 𝑠𝐹(𝑟,1)−𝑛(𝑟)𝑟 Gráficamente la única diferencia es aquella que se puede ver en el Gráfico 4.2, donde la curva nr toma la forma exacta de la dependencia entre el crecimiento de la población y los ingresos reales, y entre los ingresos reales y el ratio capital-trabajo. Suponiendo, por ejemplo, que para muy bajos niveles de ingresos per cápita o de los salarios reales, la población tiende a decrecer. En el caso de ingresos per cápita o salarios altos la tendencia sería la opuesta, pero si estos niveles altos se mantienen la tendencia del crecimiento de la población sería decreciente. Volviendo al Gráfico 4.2, el equilibrio del ratio capital-trabajo (r1) es estable, pero r2 no lo es. El acompañamiento de los niveles de ingresos per cápita pueden leerse como la forma de la curva F(r,1). Si el ratio capital-trabajo inicial es menor que r2, el sistema va a volver por sí mismo hacia r1. Si, por el contrario, se tiene que el nivel inicial está por encima de r2, se activaría un proceso de auto sustentación de aumento de los ingresos per cápita y por tanto la población tendería a crecer también. Lo interesante de este caso es que muestra como en la ausencia total de indivisibilidades o de rendimientos crecientes, puede incluso hacer surgir una situación en la que la acumulación de capital a pequeña escala solo conduzca al estancamiento, pero una gran explosión de inversión puede llevar al sistema a una expansión autogeneradora de ingresos y capital per cápita. CONCLUSIÓN Todo este modelo y por tanto su análisis se hace desde un punto de vista neoclásico, sobre todo en lo que se refiere a asunciones como el pleno empleo. Además, todas las dificultades y rigideces provenientes del modelo Keynesiano han sido completamente apartadas. El objetivo es simplemente observar el difícil equilibrio del crecimiento económico y ver como el tomar consideraciones mucho más flexibles sobre la producción hace que el modelo sea más sencillo. El desempleo y el exceso de capacidad, o sus opuestos, siguen estando atribuidos a viejas ineficiencias o exceso de demanda agregada, pero cuesta que sean atribuidos a cualquier desviación de un estrecho equilibrio. Algunos de los obstáculos más importantes que existen para llegar al pleno empleo teniendo en consideración este modelo neoclásico son: Salarios rígidos, preferencia de liquidez, implicaciones políticas, incertidumbres. Empezando por los salarios rígidos, es la consideración contraria a la tomada durante el desarrollo de este modelo. El salario real se fija a un nivel arbitrario (𝑤 𝑝). El nivel de empleo debe ser tal que mantenga el producto marginal del trabajo en este nivel. Desde que las productividades marginales depende solamente del ratio capital-trabajo, esto fija el salario real que fija r al nivel 𝑟. Esto deja 𝐾/𝐿= 𝑟. Ahora no hay forma en la que r se pueda usa como variable, por ello volviendo a la expresión (3): 𝑟𝐿󰇗=𝑠𝐹(𝑟𝐿,𝐿) ó 𝐿󰇗 𝐿=𝑠 𝑟 𝐹(𝑟,1) Gracias a estas nuevas ecuaciones se tiene que el crecimiento del empleo es exponencial con respecto a la tasa (𝑠 𝑟)𝐹(𝑟,1). Si esta tasa cae a un ritmo n, la tasa de crecimiento del trabajo, el desempleo se desarrolla y aumenta. Si (𝑠 𝑟)𝐹(𝑟,1) > n, el trabajo escasea y el salario real se flexibiliza hacia arriba. A lo que se reduce esto es que si (𝑤 𝑝) corresponde al ratio capital-trabajo que tiende a decrecer (𝑟󰇗<0), el desempleo se desarrolla y viceversa en el caso de 𝑟󰇗>0. En el caso de la preferencia de la liquidez es más difícil de tratar. Para abordarlo se toma el nivel de precios general como una constante, algo que es antinatural. Las transacciones de demanda de dinero depende del output real Y, y la elección entre tener dinero o acciones va a depender del alquiler real 𝑞/𝑝. Con una cantidad dada de dinero, la relación entre Y ,y 𝑞/𝑝 o, esencialmente, entre K y L. 𝑀=𝑄(𝑌,𝑞 𝑝)=𝑄(𝐹(𝐾,𝐿),𝐹𝑘(𝐾,𝐿)) (10) Donde K representa el capital en uso. Recuperando la asunción del pleno empleo mediante salarios flexible, se puede poner 𝐿 = 𝐿0 𝑒𝑛𝑡, y resolver la expresión de arriba para 𝐾(𝑡) o el equipo de capital empleado. Desde 𝐾(𝑡) y L se puede computar 𝑌(𝑡) y por tanto el total de ahorros 𝑠𝑌(𝑡). Pero esto representa la inversión neta, es decir que la riqueza que no se mantiene como efectivo debe mantenerse como capital. Dado un nivel inicial de stock de capital y de flujo de inversión se determina el stock de capital disponible que puede ser comparado con 𝐾(𝑡) con la finalidad de medir el exceso de oferta o demanda de servicios de capital. En el famoso caso de la trampa donde la demanda para saldos inactivos se vuelve indefinidamente inelástica a algunas tasas de interés positivas, se tiene un factor de precios rígidos que puede ser como los vistos en el caso que se mostró anteriormente de precios rígidos. El resultado que arroja este caso es la infrautilización del capital si la Gráfico 4.2