Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino- Israelí

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Ingeniería de las Tecnologías Industriales Modelos de guerra: Aplicación al conflicto PalestinoIsraelí Autor: Alberto Muñoz Liñán Tutores: Manuel Ordoñez Sánchez Inmaculada Ventura Molina Dpto. Matemática Aplicada II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2022 iii Trabajo Fin de Grado Ingeniería de las Tecnologías Industriales Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí Autor: Alberto Muñoz Liñán Tutor: Manuel Ordoñez Sánchez Inmaculada Ventura Molina Dpto. de Matemática Aplicada II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2022 v Trabajo Fin de Grado: Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí Autor: Alberto Muñoz Liñán Tutor: Manuel Ordoñez Sánchez Inmaculada Ventura Molina El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2022 El Secretario del Tribunal vii A mi familia A mis amigos A mis profesores ix Agradecimientos A mi familia por apoyarme en todo desde siempre, aconsejarme y animarme cuando había dudas. A mis amigos por acompañarme y estar durante todos estos años. A mis profesores por enseñarme todo lo necesario para mi futuro laboral y ayudarme en la realización de este trabajo. xvii Índice de Tablas Tabla 5.1 Relación entre parámetros de manera que el combate termine en empate y x1o = 2 x2o 27 Tabla 5.2 Ejército vencedor en función de α manteniendo el resto de parámetros constantes 30 Tabla 5.3 Relación entre parámetros de manera que el combate termine en empate y x1o = 3 x2o 31 Tabla 5.4 Situaciones donde se produce empate para x1o = 3 x2o 31 Tabla 6.1. Comparativa entre Israel y Palestina en Modelo de Fuego Directo con Refuerzos 54 xix Índice de Figuras Figura 4.1. Campo de direcciones, nulclinales y línea de autovectores ejemplo 2.2.1. 20 Figura 4.2. Campo de direcciones, líneas de autovectores y diagrama de fases ejemplo 2.2.1. 20 Figura 4.3. Ejemplo de un punto de silla. 21 Figura 5.1. Representación gráfica de la variación del número de efectivos en cada bando respecto al tiempo cuando hay empate. En modelo de fuego directo con x1o = 500, x2o = 250, β = 0.25. 27 Figura 5.2 . Situación donde el bando X1 gana el combate al llegar el número de efectivos de X2 a cero, siendo α = 0.6 y el resto de parámetros como se indica. 28 Figura 5.3 Comparativa de situaciones según α = 0.7, α = 0.4 y α = 0.6, manteniendo el resto de parámetros constantes. Siempre gana X1. 29 Figura 5.4. Comparativa de situaciones según α = 0.9 y α = 1, manteniendo el resto de parámetros constantes. Siempre gana X2 29 Figura 5.5 Representación del sistema al introducir manualmente los datos de la tabla 3.4 31 Figura 5.6: Campo de direcciones y diagrama de fases de un modelo de fuego directo. 34 Figura 5.7. Gráfica relacionada con la expresión (3.13) 35 Figura 5.8. Gráfica relacionada con la expresión (3.14) 36 Figura 5.9. Gráfica relacionada con el caso en el que ambos bandos X1 y X2 quedan eliminados. 36 Figura 5.10. Gráfica que muestra las tres situaciones que se pueden dar en un enfrentamiento bajo las condiciones de un modelo de fuego directo. 37 Figura 5.11. Campo de direcciones de un sistema de modelo de fuego en área 47 Figura 5.12. Función trayectoria de una situación de modelo de fuego en área donde el bando X2 es aniquilado y el bando X1 mantiene pie de fuerza. 48 Figura 5.13. Función trayectoria de una situación de modelo de fuego en área donde el bando X1 es aniquilado y el bando X2 mantiene pie de fuerza. 48 Figura 5.14. Función trayectoria de una situación de modelo de fuego en área donde ambos bandos X1 y X2 quedan aniquilados. 49 Figura 5.15. Funciones trayectorias de las tres situaciones que se pueden dar en un modelo de fuego en área. 49 Figura 6.1. Gráfica de fuego directo con refuerzos entre Israel y Palestina 55 Figura 6.2. Gráfica de fuego directo sin refuerzos entre Israel y Palestina 56 Figura 6.3. Gráfica de fuego indirecto sin refuerzos entre Israel y Palestina 57 Figura 6.4. Gráfica de fuego indirecto con refuerzos entre Israel y Palestina 58 Figura A.1. Gráfica de un nodo estable 62 Figura A.2. Gráfica de un nodo inestable 63 Figura A.3. Gráfica de un nodo impropio estable 64 Figura A.4. Gráfica de un nodo impropio inestable 64 Figura A.5. Gráfica de un punto de estrella estable 65 Figura A.6. Gráfica de un punto de estrella inestable 66 Figura A.7. Gráfica de un punto espiral estable 68 Figura A.8. Gráfica de un punto espiral inestable 68 Figura A.9. Gráfica de un centro 69 1 1 INTRODUCCIÓN lo largo de la historia han ocurrido una gran cantidad de conflictos armados que han causado graves consecuencias tanto a nivel humano, como social y económico. En todo tipo de conflicto tienen una gran importancia los aspectos matemáticos e ingenieriles, que son claves en el desarrollo y la consecución de dichos conflictos, ya que gracias a estos se trazan estrategias militares adecuadas que optimizan la reducción del gasto presupuestal de la defensa de un país o territorio. Uno de los modelos de combate militar más conocido hasta la fecha es el modelo de guerras que propuso Frederick William Lanchester (1868 – 1946). Este ingeniero británico realizó un estudio basado en el uso de ecuaciones diferenciales para intentar predecir el resultado de los combates aéreos que se produjeron durante la Primera Guerra Mundial. El objetivo de este trabajo de investigación no es otro que el de realizar un estudio de los diferentes modelos matemáticos de guerra utilizando las ecuaciones de Lanchester y la demostración de teorías y afirmaciones que no tienen una justificación detallada. Teniendo en cuenta el objetivo principal de este trabajo, este se desarrolla en tres secciones diferenciadas. En primer lugar, se hará una presentación de los distintos modelos de guerra estudiados, explicando como surgieron, como se implantaron y finalmente la importancia que estos han tenido a la hora de realizar una estrategia de defensa durante un conflicto. Seguidamente en un segundo apartado se hace referencia a todos los conceptos matemáticos que son necesarios para llevar a cabo el estudio del modelo de Lanchester y que ayudarán a una mejor comprensión del mismo. Por ello esta sección se centrará exclusivamente en el marco matemático basándose en los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales. En el tercer capítulo se realiza el análisis en profundidad y por separado de cada uno de los modelos en estudio. Aquí, entre otros temas, se explica el cálculo de las soluciones analíticas a las que se han llegado en cada sistema, además de la estabilidad de estas soluciones, el campo de direcciones y el diagrama de fases. También en este apartado se incluyen demostraciones asociadas a los resultados obtenidos y a las previsiones de final de combate. Finalmente se hará una aplicación de ejemplo al conflicto Palestino-Israelí. A 3 2 OBJETIVOS • Conocer la influencia y la importancia de los distintos conceptos matemáticos e ingenieriles en los conflictos armados y como se aplican estos conceptos en el modelo de Lanchester. • Proponer un marco matemático basado en la teoría de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. • Comprender cual es la relación existente entre los modelos matemáticos y la determinación del ganador entre las fuerzas de combate en un conflicto armado. • Comprobar que se cumplen los principios de los modelos de Lanchester respecto al principio de concentración. 5 Marco Matemático 12 12 𝒙(𝑡)=(𝜙1(𝑡) 𝜙2(𝑡)) De esta manera, el objetivo es realizar un estudio del comportamiento de las soluciones 𝑥1(𝑡) y 𝑥2(𝑡) a lo largo del tiempo. Así se podrá observar que para cada instante de tiempo t habrá un único vector solución 𝑥(𝑡) que formará una curva solución o trayectoria γ en el plano ℝ2 dado por los puntos 𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡). El conjunto de todas las curvas solución o trayectorias se conoce como diagrama de fases, que será el que indique el tipo de comportamiento del sistema. Las trayectorias pueden ser de diversos tipos: curvas cerradas simples, curvas abiertas simples o puntos de equilibrio. La curva cerrada simple es aquella que no tiene puntas sueltas o finales y que no se corta a sí misma. La solución asociada a esta trayectoria es una solución periódica, es decir, para un período de tiempo T > 0 la solución del sistema 𝒙′(𝒕)=𝒇(𝒙) será una 𝒙(𝑡) tal que 𝒙(𝑡+𝑇)=𝒙(𝑡) para cualquier valor de t. Una curva abierta simple es aquella que tiene puntas sueltas o finales y que no se corta a sí misma. Esta curva admite una parametrización inyectiva. Un punto de equilibrio (𝑥1    ,𝑥2    ) es aquel que se encuentra cuando el vector solución del sistema está compuesto por funciones constantes 𝑥1(𝑡) = 𝑥1  , 𝑥2(𝑡) = 𝑥2 . En este caso la solución 𝑥(𝑡) es una solución estacionaria. Solo pasará una única trayectoria por cada punto del diagrama de fases. A partir de este punto es necesario definir un punto de equilibrio no degenerado. Un punto de equilibrio no degenerado ocurre cuando la matriz jacobiana del sistema en ese punto es no singular. Además, se cumple que los puntos de equilibrio no degenerados son también aislados, es decir, no existen otros puntos críticos distintos a su alrededor. Un SPALH es no degenerado si existe un punto de equilibrio no degenerado (𝑥1    ,𝑥2    ) y por tanto ese punto de equilibrio es el único punto de equilibrio y tiene valor (𝑥1    ,𝑥2    ) = (0,0). En los SPANLH no degenerados puede haber más de un punto de equilibrio, pero todos son no degenerados. Con la intersección de las llamadas nulclinales se pueden determinar los puntos de equilibrio de un sistema. La nulclinal 𝑥1 en el sistema (2.2) son todos los puntos (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡)), en los que la función 𝑓1(𝑥1, 𝑥2) es cero, y la nulclinal 𝑥2 son los puntos (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡)) donde 𝑓2(𝑥1, 𝑥2)es cero. Las nulclinales además dividen el plano en diferentes zonas donde el vector tangente tiene la misma dirección y sentido. A su vez se puede hacer una clasificación de los puntos de equilibrio aislados. Estos pueden ser estables, inestables o asintóticamente estables. Un punto de equilibrio aislado 𝑥 se considera estable si una trayectoria γ que al principio está próxima a 𝑥 se mantiene próxima a 𝑥 a lo largo del tiempo. lím 𝑡→∞𝑥1(𝑡) = 𝑥1    lím 𝑡→∞𝑥2(𝑡)= 𝑥2    Por el contrario, un punto de equilibrio aislado 𝒙 es inestable si una trayectoria γ que en el inicio se encuentra próxima a 𝒙 se aleja de este a lo largo del tiempo. Si el punto de equilibrio aislado 𝒙 además de ser estable cumple con que lim 𝑡→∞𝑥2(𝑡)−𝑥2     𝑥1(𝑡)−𝑥1     existe o bien, el resultado de este es + ∞ ó - ∞, entonces el punto de equilibrio aislado será asintóticamente estable. Por ello la trayectoria de todas las soluciones que empiecen suficientemente próximas a un punto asintóticamente estable, a lo largo del tiempo deben converger al equilibrio 𝑥 además de permanecer cerca de este. 13 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí Anotación: Los SPALH se clasifican en estables, inestables o asintóticamente estables, sin embargo, en los SPANLH los que se clasifican así son los puntos de equilibrio. Es necesario definir la ecuación diferencial de las trayectorias: 𝑑𝑥2 𝑑𝑥1=𝑓2(𝑥1,𝑥2) 𝑓1(𝑥1,𝑥2). Esta ecuación es la que satisfacen aquellas curvas solución que no son constantes a lo largo del tiempo, es decir que no son puntos de equilibrio. Por tanto, para este tipo de trayectorias, además de poder obtener explícitamente las soluciones, estas también se podrán obtener resolviendo esta ecuación diferencial. Por último, también hay que definir un campo de direcciones. Siendo D un conjunto de ℝ2, un campo de direcciones sobre ℝ2 es una función G que asigna a cada punto (𝑥1    ,𝑥2    ) de D un vector bidimensional G(x) tangente a la curva solución en ese punto. Siendo 𝑮(𝒙)=𝒙′(𝒕) . Una vez definidos los conceptos básicos necesarios de los SPALH y los SPANLH, el siguiente apartado se centrará en el estudio de los SPALH no degenerados. 4.2 Sistemas Planos Autónomos Lineales Homogéneos En primer lugar, para abordar el estudio de los SPALH, será necesario definir un SPAL. Un sistema plano autónomo se dice que es lineal cuando las funciones 𝑓1 y 𝑓2 de la expresión (2.1) son lineales en 𝑥1 y 𝑥2. De forma que un SPAL de primer orden se expresa de la siguiente forma: 𝑥1′=𝑎1𝑥1+𝑎2𝑥2 + 𝑏1 𝑥2′=𝑎3𝑥1+𝑎4𝑥2+𝑏2 (2.3) Siendo 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4 ,𝑏1 y 𝑏2 números reales. En el caso en el que 𝑏1 = 𝑏2 = 0, entonces el sistema plano autónomo lineal también será homogéneo (SPALH). Para facilitar el manejo de las expresiones que se utilizarán en este capítulo se usará la notación matricial, quedando la expresión anterior como: 𝒙′=𝑨𝒙 (2.4) Donde A es la matriz de coeficientes definida como A = (𝑎1𝑎2 𝑎3𝑎4). Y x es el vector de variables dependientes definido como x = (𝑥1 𝑥2). Antes de introducir las explicaciones correspondientes a la búsqueda de una solución general para un SPALH, es necesario definir varios conceptos. Una matriz fundamental de soluciones 𝝓 es aquella que está formada por un conjunto fundamental de soluciones de un sistema (2.4) en un intervalo I. Siendo un conjunto fundamental de soluciones cualquier conjunto de dos vectores 𝑥1(𝑡) y 𝑥2(𝑡) soluciones linealmente independientes del sistema en el intervalo. 𝒙𝟏(𝒕) = (𝑥11 𝑥21) 𝒙𝟐(𝒕) = (𝑥12 𝑥22) 𝝓 = (𝑥11 𝑥12 𝑥21 𝑥22). Marco Matemático 14 14 La matriz exponencial de una matriz A2x2 se define como: 𝑒𝐴=𝐼2+𝐴+𝐴2 2!+𝐴3 3!+⋯= ∑𝐴𝑘 𝑘! ∞ 𝑘=0 (2.5) Incluyendo el tiempo t, se expresa: 𝑒𝐴=𝐼2+𝑡𝐴+𝑡2𝐴2 2! +𝑡3𝐴3 3! +⋯ (2.6) de manera que para cada t, 𝑒𝑡𝐴 es una matriz 2x2. Esta matriz 𝑒𝑡𝐴 es una matriz fundamental de soluciones del sistema (2.4) y la solución general de este sistema es: 𝒙(𝒕)=𝑒𝑡𝐴𝒄 (2.7) siendo c un vector cualquiera de dos componentes. A continuación se realizará una demostración del punto anterior en cuestión. Demostración: En primer lugar será necesario demostrar que 𝑑 𝑑𝑡𝑒𝑡𝐴 = 𝐴𝑒𝑡𝐴; para ello es conveniente derivar la expresión (2.6) 𝑑 𝑑𝑡𝑒𝑡𝐴 =𝑑 𝑑𝑡(𝐼2+𝑡𝐴+𝑡2𝐴2 2! +𝑡3𝐴3 3! +⋯) =A+𝑡𝐴2 1! +𝑡2𝐴3 2! +𝑡3𝐴4 3! +… =A(𝐼2+𝑡𝐴+𝑡2𝐴2 2! +𝑡3𝐴3 3! +⋯) Por tanto se puede confirmar que 𝑑 𝑑𝑡𝑒𝑡𝐴 = 𝐴𝑒𝑡𝐴; y por ello 𝑒𝑡𝐴 es una matriz fundamental de soluciones del sistema (2.4). El siguiente paso a cumplir relacionado con 𝑒𝑡𝐴 es que sus columnas deben ser linealmente independientes, es decir, det(𝑒𝑡𝐴)≠0 para cualquier instante t. Proposición: Siendo A una matriz cualquiera, n x n y t un escalar cualquiera, se obtiene: 𝑒𝑡𝐴𝑒−𝑡𝐴 = In Por tanto se puede saber que la inversa de 𝑒𝑡𝐴 es 𝑒−𝑡𝐴. Particularizando en el caso para la ecuación (2.4), n=2, se tiene: 𝑒𝑡𝐴𝑒−𝑡𝐴 = I2.. Se aplica determinante en ambos lados de la igualdad y sabiendo que el determinante de un producto es el producto de los determinantes y que det (In)=1: det (𝑒𝑡𝐴𝑒−𝑡𝐴) = det (I2.) det (𝑒𝑡𝐴)𝑑𝑒𝑡(𝑒−𝑡𝐴) = 1 Llegados a esta expresión se puede asegurar que det (𝑒𝑡𝐴) ≠0 para cualquier instante t. Finalmente, y teniendo en cuenta esta conclusión junto a la anterior de que todas las columnas de 𝑒𝑡𝐴 son soluciones de (2.4); se puede afirmar que 𝑒𝑡𝐴 es una matriz fundamental de soluciones de 𝒙′=𝑨𝒙. Por ello la solución general del sistema será: 𝒙(𝒕)=𝑒𝑡𝐴c siendo c un vector cualquiera de ℝ2 cuyas componentes quedan definidas con las condiciones iniciales. Un problema de valor inicial para el sistema 𝒙′=𝑨𝒙, es aquel cuya forma: 15 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí 𝒙′=𝑨𝒙 𝒙(𝑡0)=𝒃 (2.8) siendo b = (𝑏1 𝑏2) con 𝑏1, 𝑏2 ∈ℝ. Existencia y unicidad de las soluciones: Considerando A una matriz cuadrada, 2x2, asociada al sistema de ecuaciones diferenciales y tomando b como un vector de componentes constantes (𝑏1 , 𝑏2) que se corresponden con las condiciones iniciales del sistema, tendremos que la única solución posible del problema de valor inicial (2.8) es: 𝒙(𝒕)=𝑒(𝑡−𝑡𝑜)𝐴 b Llegados a este punto, ahora se llevará a cabo la definición, el cálculo y la clasificación de los autovalores y autovectores asociados a la matriz A de (2.4) cuando este es No Degenerado (caso de estudio). En segundo lugar, a partir de la clasificación de los autovalores se calculará la forma de la solución general de dicho sistema y se determinará el comportamiento de las soluciones sobre los puntos de equilibrio según el tipo de autovalor y el signo. Un autovector asociado a la matriz A es todo aquel vector v no nulo ∈ ℝ2 tal que: Av = 𝜆 v (2.9) donde 𝜆 es un número real o complejo llamado autovalor de la matriz A asociado al vector v . A partir de (2.9) se obtiene con las propiedades de las matrices: Av − 𝜆 v = 0 (2.10) Av − 𝜆(𝑰 v ) = 0 (𝑨−𝜆𝑰) v = 0 (2.11) con v = (𝑣1 𝑣2) A partir de esta ecuación (2.11) se calculan los autovectores de 𝜆. Por tanto (2.11) equivale a: (𝑎1 − 𝜆) 𝑣1 + 𝑎2𝑣2 = 0 𝑎3𝑣1+(𝑎4 − 𝜆) 𝑣2 = 0 (2.12) De la expresión (2.12) se deduce que es un sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas (𝑣1, 𝑣2), cuya solución nunca puede ser (0,0) ya que el vector v debe ser no nulo. El sistema (2.11) tendrá una solución distinta de cero si y solo si: 𝑑𝑒𝑡(𝑨−𝜆𝑰) = 0 (2.13) La ecuación (2.13) es la llamada ecuación característica de A, cuyo resultado da lugar al llamado polinomio característico de A. Además se puede comprobar que si v es un autovector asociado a 𝜆, también lo será cualquier múltiplo del vector v (cv). Marco Matemático 16 16 A continuación se realiza de demostración de la afirmación anterior, partiendo de A (cv). A (cv) = c (Av) Por el hecho de ser autovector 𝜆, se cumple también que: c (Av) = c (𝜆v) c (𝜆v) = 𝜆 (cv) Finalmente: A (cv) = 𝜆 (cv) Por tanto todos los vectores que pasan por v y el origen son también autovectores de 𝜆 y se les llama línea de autovectores de 𝜆. Se define 𝜆 como autovalor de A a todo 𝜆 que cumple: p (𝜆)=𝑑𝑒𝑡(𝑨−𝜆𝑰) = 0 (2.14) es decir, los autovalores de A son las raices de (2.13) que es la ecuación característica. Hay que tener en cuenta que una matriz tendrá tantos autovalores como dimensión n tenga. En este caso A es una matriz 2x2, por tanto tendrá 2 autovalores. En el siguiente punto se llevará a cabo la clasificación de los autovalores, que nos servirá para conocer la solución general de un SPALH y el comportamiento de las distintas soluciones del sistema. Únicamente, para el análisis de los casos que son de interés en este trabajo, se estudiarán más a fondo aquellos en los que los autovalores sean reales distintos y con signos opuestos. Clasificación de los autovalores. En primer lugar, es necesario definir la traza de una matriz A como tr(A) = 𝑎1 + 𝑎4. De forma que reformulando (2.14) se obtiene: 𝜆2 − 𝑡𝑟(𝐴)𝜆+𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 0 Por tanto, resolviendo con la fórmula típica para la resolución de ecuaciones de segundo grado, las soluciones de la ecuación serían: 12(𝑡𝑟(𝐴) ± √(𝑡𝑟(𝐴))2−4 𝑑𝑒𝑡 (𝐴)) Según el signo del discriminante d, se pueden estudiar tres posibilidades: 𝑑=(𝑡𝑟(𝐴))2−4 𝑑𝑒𝑡 (𝐴) • Si d > 0, las soluciones de la ecuación se corresponderán con dos Autovalores Reales Distintos (𝜆1≠𝜆2). • Si d < 0, las raíces de la ecuación se corresponden con dos números complejos conjugados y se les llama Autovalores Complejos. (𝜆=𝑎±𝑖𝑏). • Si d = 0, existirá una raíz doble real que dan lugar a los llamados Autovalores Reales Dobles. (𝜆1=𝜆2= 𝜆) 17 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí A partir de los autovalores y conociendo los conceptos del álgebra lineal, se puede definir la matriz diagonal D como una matriz del mismo tamaño que A (2x2), caracterizada de la siguiente forma: 𝐷=(𝜆10 0 𝜆2) Es necesario saber que al tener A dos autovalores reales y distintos (𝜆1 𝑦 𝜆2) y cuyos autovectores asociados son independientes linealmente, se puede considerar que A es diagonalizable y por ello tiene una matriz diagonal asociada D. Definiendo V como una matriz que tiene sus columnas formadas por autovectores linealmente independicntes de A, se tiene que: 𝐷=𝑉−1𝐴𝑉 A continuación, se enseña la demostración correspondiente de que 𝐴𝑛=𝑉𝐷𝑛𝑉−1 . Demostración: ▪ Probando con n = 1. Al ser D y A matrices semejantes (mismo tamaño) 𝐷=𝑉−1𝐴𝑉 Si se multiplican ambos miembros de la igualdad por V (por izquierda) y después por V-1 (por derecha) respectivamente, se obtiene 𝑉𝐷=𝑉𝑉−1𝐴𝑉 𝑉𝐷=𝐴𝑉 𝑉𝐷𝑉−1=𝐴 Se comprueba que para n = 1 se cumple la igualdad. ▪ Hipótesis de Inducción. Se supone n = k. 𝐴𝑘=𝑉𝐷𝑘𝑉−1 ▪ Probando con n = k+1. Multiplicando en ambos lados de la igualdad por A (por derecha): 𝐴𝑘𝐴=𝑉𝐷𝑘𝑉−1𝐴 𝐴𝑘+1=𝑉𝐷𝑘𝑉−1(𝑉𝐷𝑉−1) 𝐴𝑘+1=𝑉𝐷𝑘(𝑉−1𝑉)𝐷𝑉−1 𝐴𝑘+1=𝑉(𝐷𝑘𝐷)𝑉−1 𝐴𝑘+1=𝑉𝐷𝑘+1𝑉−1 Por tanto la igualdad se cumple para todo n. 𝐴𝑛=𝑉𝐷𝑛𝑉−1 Una vez que se ha reformulado A, se introduce en la expresión (2.6) y queda: Marco Matemático 18 18 𝑒𝑡𝐴=I2+t(𝑉𝐷𝑉−1)+ 𝑡2(𝑉𝐷2𝑉−1) 2! + 𝑡3(𝑉𝐷3𝑉−1) 3! + … =∑𝑡𝑘(𝑉𝐷𝑘𝑉−1) 𝑘! ∞ 𝑘=0 = 𝑉(∑𝑡𝑘𝐷𝑘 𝑘! )𝑉−1 ∞ 𝑘=0 De aquí se llega a: 𝑒𝑡𝐴=𝑉𝑒𝑡𝐷𝑉−1 (2.15) Además de esto se sabe que etA es una matriz fundamental de soluciones de (2.4), pero también lo serán las matrices halladas a partir de un conjunto fundamental de soluciones. Por ejemplo, a partir de los autovectores v1 y v2 asociados a los autovalores 𝜆1 𝑦 𝜆2 respectivamente, ya que estos autovectores son linealmente independientes. Dicho esto, tomando 𝑉= (𝑣11 𝑣12 𝑣21 𝑣22); la expresión 𝑒𝑡𝐴𝑉 también será matriz fundamental de soluciones del sistema (2.4). Multiplicando cada miembro de la igualdad (2.15) por V (por la derecha) quedará: 𝑒𝑡𝐴𝑉=(𝑉𝑒𝑡𝐷𝑉−1)𝑉 𝑒𝑡𝐴𝑉=𝑉𝑒𝑡𝐷(𝑉−1𝑉) 𝑒𝑡𝐴𝑉=𝑉𝑒𝑡𝐷 Finalmente, desarrolando la expresión: 𝑒𝑡𝐴𝑉=(𝑣11 𝑣12 𝑣21 𝑣22)(𝑒𝜆1𝑡0 0 𝑒𝜆2𝑡) 𝑒𝑡𝐴𝑉=(𝑣11𝑒𝜆1𝑡𝑣21𝑒𝜆2𝑡 𝑣21𝑒𝜆1𝑡𝑣22𝑒𝜆2𝑡) Siguiendo la definición de matriz fundamental de soluciones 𝒙𝟏(𝑡) = 𝑒𝜆1𝑡𝒗𝟏 y 𝒙𝟐(𝑡) = 𝑒𝜆2𝑡𝒗𝟐 forman un conjunto fundamental de soluciones del sistema (2.4), y se llega a la solución general de un SPALH cuando la matriz A tiene autovalores reales y distintos será: 𝒙(𝑡) = 𝑐1𝑒𝜆1𝑡𝒗𝟏+ 𝑐2𝑒𝜆2𝑡𝒗𝟐 (2.16) Siendo c1 y c2 constantes arbitrarias. Estas dos soluciones 𝒙𝟏(𝑡) y 𝒙𝟐(𝑡) son llamadas de línea recta, y están situadas en el plano de fases sobre dos rectas claramente distinguidas que tienen unas trayectorias dirigidas hacia el origen de coordenadas si 𝜆 < 0; y se alejan del (0,0) si 𝜆 > 0. A continuación se explicará un ejemplo resolutivo de lo anterior. 19 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí Ejemplo 1: Dado un SPALH de la siguiente manera: 𝒙′=(2 2 1 3)𝒙 Se calculan los autovalores y autovectores asociados a (2 2 1 3) a partir de las ecuaciones (2.13) y (2.11). 𝑑𝑒𝑡 ((2 2 1 3)− (𝜆 0 0 𝜆)) = 0 𝑑𝑒𝑡 (2−𝜆 2 1 3−𝜆) = 0 𝜆2−5𝜆+4= 0 (𝜆−4)(𝜆−1)=0 Por tanto los autovalores de la matriz son 𝜆1 = 4 y 𝜆2 = 1. Ahora habrá que hallar el autovector asociado a cada autovalor. ▪ Autovector de 𝜆1 = 4. ((2 2 1 3) − (4 0 0 4))𝒗𝟏=(𝟎𝟎) (−2 2 1 −1) (𝑣11 𝑣21)= (𝟎𝟎) (−2𝑣11+2𝑣21 𝑣11− 𝑣21 )= (00) De aquí sale un sistema de ecuaciones con dos incógnitas que serán las componentes del autovector (𝑣11,𝑣21). −2𝑣11+2𝑣21=0 𝑣11− 𝑣21=0 Por tanto, 𝑣11= 𝑣21. Esto significa que cualquier vector donde sus componentes sean iguales serán autovectores de 𝜆1 = 4. Por ejemplo 𝒗𝟏= (11). Para el cálculo del autovector asociado a 𝜆2 = 1, se realizará el mismo método, llegando finalmente a un sistema definido por: 𝑣12+2𝑣22=0 𝑣12+2𝑣22=0 Por ello, 𝑣12= −2𝑣22. Esto quiere decir que será autovector de 𝜆2 = 1 todo vector cuya primera Marco Matemático 20 20 componente valga el doble de la segunda y además tenga distinto signo. Por ejemplo 𝒗𝟐= (2 −1). Por último se introducen los autovalores y autovectores calculados en la ecuación (2.16) y se obtiene la solución general del sistema 𝒙(𝑡) = 𝑐1𝑒4𝑡(11)+ 𝑐2𝑒𝑡(2 −1) Se puede mostrar ahora el campo de direcciones. Figura 4.1: Campo de direcciones, nulclinales y línea de autovectores ejemplo 2.2.1. En esta imagen se puede observar que el plano queda dividido en cuatro regiones, que son cada uno de los cuadrantes, ya que las nulclinales coinciden con los ejes. Además, las líneas de autovectores son las que se observan en el primer y tercer cuadrante, correspondiente a 𝜆1 = 4; y en el segundo y cuarto cuadrante para 𝜆2 = 1. En la imagen que aparece a continuación, se observan además de lo anterior, las trayectorias de ambas soluciones que se van alejando del origen como se indicó en la teoría previa al ejemplo, ya que ambos autovalores son > 0. Figura 4.2: Campo de direcciones, líneas de autovectores y diagrama de fases ejemplo 2.2.1. En este ejemplo realizado, los autovalores hallados son positivos reales y distintos y se ha llegado a unas soluciones típicas de los SPALH llamadas soluciones de línea recta. El signo de dichos autovalores es importante para conocer el comportamiento de este tipo de soluciones y por ende predecir y comprender el comportamiento del resto de posibles soluciones de un SPALH cualquiera. 21 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí En este tipo de sistemas se sabe que las curvas solución son curvas abiertas simples y tienen puntos de equilibrio simples, sin embargo en casos donde los autovalores sean de signos opuestos aparecerán puntos de silla (figura 2.3). Figura 4.3: Ejemplo de un punto de silla. Para el autovalor con signo negativo las trayectorias se acercan al origen, mientras que para el autovalor positivo se alejan de el. Además, las trayectorias hiperbólicas se acercan asintóticamente al espacio vectorial de los autovalores cuando t → ∞, en el caso del autovalor > 0, y cuando t → - ∞, en el caso del autovalor < 0. Es importante notificar que los puntos de silla siempre son inestables. En resumen, es importante incidir en el hecho de que según el signo de los autovalores se podrá conocer cómo se comportan las soluciones del sistema cuando t → ∞ o t → - ∞; alejándose del punto de equilibrio las trayectorias cuando λ > 0 y viceversa. Análisis de los Modelos 28 28 tendría que ser cuatro veces mayor es decir 𝛼 > 1, y esto en cuaquier caso es imposible ya que el coeficiente de aniquilamiento como mucho podrá valer 1 según el caso estudiado. El ejército X2 será vencedor del enfrentamiento cuando su coeficiente de aniquilamiento 𝛼 sea mayor que el valor de este mismo para el cual se da el empate entre ambos bandos. Y al revés, X1 será el ganador del conflicto cuando el valor de 𝛼 sea menor que el valor de este mismo para el cual se produce el empate. A continuación, se expondrán distintos casos, según varíe 𝛼, para determinar que bando sale victorioso y cuanto tiempo duraría el conflicto bélico. Tomando los valores de los parámetros en la segunda fila de la Tabla 3.1. se llega a la siguiente representación gráfica. x1o 𝛽 x2o 𝛼 350 0.2 175 0.8 ➢ Para valores de 0 < 𝛼 < 0.8 o Se toma 𝛼 = 0.6. Figura 5.2 . Situación donde el bando X1 gana el combate al llegar el número de efectivos de X2 a cero, siendo 𝛼 = 0.6 y el resto de parámetros como se indica. En este caso se puede observar que, como se ha comentado anteriormente, al ser 𝛼 < 0.8 (situación de empate) el bando ganador será el de mayor número de efectivos, X1, que finaliza el enfrentamiento con 175 efectivos (punto B); y el perdedor, que se queda sin efectivos, será X2. Además, se puede apreciar que en el mismo instante de tiempo en el que el bando perdedor se queda sin efectivos, el bando ganador alcanza el mínimo de efectivos en sus filas, lo cual es lógico. 29 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí No hay que tener en cuenta la gráfica una vez finalizado el enfrentamiento. o Se toma 𝛼 = 0.7, 𝛼 = 0.4 y comparamos con 𝛼 = 0.6 del ejemplo anterior. Figura 5.3 Comparativa de situaciones según 𝛼 = 0.7, 𝛼 = 0.4 y 𝛼 = 0.6, manteniendo el resto de parámetros constantes. Siempre gana X1. Como se puede ver en esta última imagen, a medida que el coeficiente de aniquilamiento del bando X2 (𝛼) aumenta, más costosa será la victoria del ejército X1 y por tanto más efectivos caerán en este bando y más tardará la guerra en concluir. Cuando 𝛼=0.4, el ejército X1 ganará más fácilmente y por tanto el conflicto finaliza antes (t = 3.88) y el bando ganador acaba con más efectivos (247) que en los otros casos donde el coeficiente de aniquilamiento de X2 es mayor (𝛼 = 0.6, 𝛼 = 0.7) donde X1 finaliza el combate con 175 y 123 efectivos respectivamente. ➢ Para valores de 0.8<𝛼 ≤1. o Se toma 𝛼 = 0.9 y 𝛼 = 1 Análisis de los Modelos 30 30 Figura 5.4. Comparativa de situaciones según 𝛼 = 0.9 y 𝛼 = 1, manteniendo el resto de parámetros constantes. Siempre gana X2 En este caso se puede apreciar que al ser los coeficientes de aniquilamiento de X2 mayor que 0.8 (caso de empate), se da la victoria de este bando aunque empiece en inferioridad numérica. Se observan en la imagen además el número de efectivos con los que acaba el bando ganador y el tiempo que dura el conflicto. Estos datos al igual que antes están reflejados en los puntos I, H, J y K que están sobre las curvas. A continuación, se muestra una tabla resumen con los diferentes casos que se pueden dar cuando x1o = 2 x2o. x1o 𝛽 x2o 𝛼 Vencedor 500 0.25 250 < 1 Bando X1 350 0.2 175 < 0.8 Bando X1 350 0.2 175 > 0.8 Bando X2 200 0.15 100 < 0.6 Bando X1 200 0.15 100 > 0.6 Bando X2 160 0.1 80 < 0.4 Bando X1 160 0.1 80 > 0.4 Bando X2 Tabla 5.2 Ejército vencedor en función de 𝛼 manteniendo el resto de parámetros constantes. Finalmente, como se ha comentado antes y según los datos de la Tabla 3.1 y Tabla 3.2, siendo x1o = 2 x2o se da: ✓ Si 𝛼=4𝛽, se produce un empate. ✓ Si 𝛼<4𝛽, gana el ejército X1. ✓ Si 𝛼>4𝛽, gana el ejército X2. El siguiente caso de estudio será el caso en el que un ejército tenga el triple de unidades inicialmente que el otro bando. ▪ Segundo caso: x1o = 3 x2o Se parte de la siguiente tabla de datos y se hace un estudio análogo al anterior, buscando los valores de 𝛼 para que se produzca el empate. x1o 𝛽 x2o 𝛼 31 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí 300 0.1 100 0.9 180 0.01 60 0.09 Tabla 5.3 Relación entre parámetros de manera que el combate termine en empate y x1o = 3 x2o. De esta tabla se puede deducir, siguiendo el mismo razonamiento que en el caso x1o = 2 x2o, que habrá empate entre las fuerzas cuando 𝛼=9𝛽. Para comprobar que esto se cumple siempre, se van a demostrar gráficamente las situaciones reflejadas en la siguiente tabla, que varían los parámetros pero siempre manteniedo la relación de empate 𝛼=9𝛽. x1o 𝛽 x2o 𝛼 150 0.04 50 0.36 600 0.07 200 0.63 Tabla 5.4 Situaciones donde se produce empate para x1o = 3 x2o. Introduciendo manualmente los datos en Geogebra quedaría la siguiente gráfica. Figura 5.5 Representación del sistema al introducir manualmente los datos de la tabla 3.4 Como se puede apreciar en la figura 3.5, en ambos casos se da el empate entre las fuerzas combatientes, ya que ambas quedan con sus bandos aniquilados con el paso del tiempo y no habría vencedor. En resumen, se puede llegar a la conclusión de que cuando un ejército tiene inicialmente el triple de efectivos que el otro, se producirá el empate solo si el coeficiente de aniquilamiento del ejército en Análisis de los Modelos 32 32 superioridad numérica es la novena parte del coeficiente de aniquilamiento del bando en inferioridad numérica. Dicho esto las conclusiones a las que se llegan, son: ✓ Si 𝛼=9𝛽, se produce un empate. ✓ Si 𝛼<9𝛽, gana el ejército X1. ✓ Si 𝛼>9𝛽, gana el ejército X2. Con estos dos casos de estudio y con los resultados obtenidos, se puede afirmar que: Dado x1o = k x2o , siendo k un número racional positivo cualquiera, ocurre que en un enfrentamiento entre dos fuerzas X1 y X2. ✓ Si 𝛼=𝑘2𝛽, se produce un empate. ✓ Si 𝛼<𝑘2𝛽, gana el ejército X1. ✓ Si 𝛼>𝑘2𝛽, gana el ejército X2. Despejando k de x1o = k x2o, queda en función de los parámetros iniciales, k = 𝑥1𝑜 𝑥2𝑜, se concluye que: ▪ El ejército X1 ganará el enfrentamiento si la fuerza combativa de X1 es mayor que el de X2. 𝛼𝑥20 2<𝛽𝑥10 2 ▪ El ejército X2 ganará el enfrentamiento si la fuerza combativa de X2 es mayor que el de X1. 𝛼𝑥20 2>𝛽𝑥10 2 ▪ Si la fuerza combativa en ambos bandos es igual entonces habrá empate. 𝛼𝑥20 2=𝛽𝑥10 2 A continuación, se realizará una demostración de las afirmaciones anteriores a través de la ecuación de trayectorias, que viene dada por la expresión: 𝑑𝑥2 𝑑𝑥1= 𝛽𝑥1 𝛼𝑥2 Esto da lugar a una integral que se puede resolver por partes. 𝛽∫ 𝑥1 𝑥1 𝑥10 𝑑𝑥1= 𝛼∫ 𝑥2 𝑥2 𝑥20 𝑑𝑥2 𝛽(𝑥10 2− 𝑥12)= 𝛼(𝑥20 2− 𝑥22) 𝛽𝑥12− 𝛼𝑥22= 𝛽𝑥10 2− 𝛼𝑥20 2 (3.7) Esta última expresión indica que la diferencia entre las fuerzas combativas de ambos bandos es constante e igual a la diferencia de las fuerzas combativas en el momento inicial. Una vez explicado esto se procede a la demostración de los enunciados expuestos anteriormente. ▪ 1º Enunciado: El ejército X1 ganará el enfrentamiento si la fuerza combativa de X1 es mayor que el de X2. 𝛼𝑥20 2<𝛽𝑥10 2 Considerando la expresión (3.7) y que de 𝛼𝑥20 2<𝛽𝑥10 2 se llega a: 0<𝛽𝑥10 2−𝛼𝑥20 2 , se deduce que se cumple 𝛼𝑥22<𝛽𝑥12 (3.8) para todo instante de tiempo. 33 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí Y por tanto 𝛼𝑥2𝑓 2<𝛽𝑥1𝑓 2. (3.9) Teniendo en cuenta esto, se pueden dar tres escenarios diferentes al término del enfrentamiento. 1. Si X2 es el vencedor del combate, entonces X1 será completamente eliminado. 𝛽𝑥1𝑓 2=0. De manera que con (3.9) se tiene que 𝛼𝑥2𝑓 2<0. Sin embargo esta expresión carece de sentido y no se puede dar nunca ya que el coeficiente de aniquilamiento toma siempre valores entre 0 y 1, 0<𝛼<1 y 𝑥2𝑓> 0 por el hecho de que ganaría el combate. Por tanto esto hace saber que nunca se puede dar en este enunciado la victoria del ejército X2. 2. Si se produce un empate, los dos ejércitos serían aniquilados al cabo del tiempo. 𝛽𝑥1𝑓 2=0= 𝛼𝑥2𝑓 2 Lo que tampoco se puede dar puesto que no cumple (3.9). Por todo esto la única opción es la que se indica en el enunciado, es decir, el ejército X1 ganará el enfrentamiento si la fuerza combativa de X1 es mayor que el de X2. (Escenario 3). ▪ 2º Enunciado: El ejército X2 ganará el enfrentamiento si la fuerza combativa de X2 es mayor que el de X1. 𝛼𝑥20 2>𝛽𝑥10 2 Siguiendo el mismo procedimiento que antes se llega a que 𝛼𝑥2𝑓 2>𝛽𝑥1𝑓 2 (3.10). Se dan por tanto otros tres escenarios posibles al finalizar el combate. 1. Si X1 es el vencedor del combate, entonces X2 será completamente eliminado. 𝛼𝑥2𝑓 2=0. Con la expresion (3.10) se llega a 0>𝛽𝑥1𝑓 2; esto es imposible porque tanto 𝛽 como 𝑥1𝑓 tienen que ser mayores de cero. En conclusión, X1 no puede ser el vencedor del combate. 2. Si se produce un empate, los dos ejércitos serían aniquilados al cabo del tiempo. 𝛽𝑥1𝑓 2=0= 𝛼𝑥2𝑓 2 Lo que tampoco se puede dar puesto que no cumple (3.10). Por todo esto la única opción es la que se indica en el enunciado, es decir, el ejército X2 ganará el enfrentamiento si la fuerza combativa de X2 es mayor que el de X1. (Escenario 3). ▪ 3º Enunciado: Si la fuerza combativa en ambos bandos es igual entonces habrá empate. 𝛼𝑥20 2=𝛽𝑥10 2 Como antes, se llega a la conclusión de que 𝛼𝑥2𝑓 2=𝛽𝑥1𝑓 2 (3.11) Una vez más se distinguen tres escenarios distintos al acabar la batalla. 1. Si X1 es el vencedor del combate, entonces X2 será completamente eliminado. 𝛼𝑥2𝑓 2=0. Análisis de los Modelos 34 34 Con (3.11) se obtiene 0=𝛽𝑥1𝑓, 2, lo que no se podría dar ya que se tiene que dar que 𝛽>0 𝑦 𝑥1𝑓>0 si X1 es el vencedor del combate. Por ello este escenario no es posible. 2. Si X2 es el vencedor del combate, entonces X1 será completamente eliminado. 𝛽𝑥1𝑓 2=0. Con (3.11) se obtiene 𝛼𝑥2𝑓 2=0, lo que no se podría dar ya que se tiene que dar que 𝛼>0 𝑦 𝑥2𝑓>0 si X2 es el vencedor del combate. Entonces este escenario tampoco se puede dar, por lo que el único escenario posible es el del empate. (Escenario 3) Con esta demostración se ha comprobado que la afirmación realizada por Lepingwell (1987) es cierta, es decir, el ejército que tenga al inicio del combate una fuerza combativa mayor será el vencedor del enfrentamiento, y si las fuerzas combativas iniciales son iguales el resultado final del combate será el empate entre bandos. También se llega a la conclusión de que, dado que el sistema es lineal homogéneo no degenerado, el origen, punto (0,0), es el único punto de equilibrio del sistema. Esto quiere decir que el número de efectivos de ambas fuerzas no variará cuando estos no tengan pie de fuerza. Además, este punto de equilibrio será un punto de silla ya que los autovalores del sistema son reales distintos y de signo opuesto, y será inestable ya que las trayectorias ubicadas en los cuadrantes uno y tres, en donde se encuentra la solución de línea recta que está situada sobre la línea de autovectores asociada al autovalor −√𝛼𝛽, se acercan al punto de equilibrio, mientras que las trayectorias ubicadas en los cuadrantes dos y cuatro, donde se halla la solución de línea recta que está situada sobre la línea de autovectores asociada al autovalor √𝛼𝛽 se alejan del punto de equilibrio. A continuación, se muestran unas gráficas correspondientes al campo de direcciones y al diagrama de fases de un modelo de fuego directo. 1.Campo de direcciones de modelo de fuego 2. Diagrama de fases de un modelo de fuego directo. directo. Figura 5.6: Campo de direcciones y diagrama de fases de un modelo de fuego directo. 35 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí Una vez que se conocen los distintos casos de soluciones del sistema y de cómo varía el número de efectivos de cada bando con el tiempo, se está en disposición de continuar con el estudio a partir de la ecuación de las trayectorias, únicamente considerando el primer cuadrante puesto que los ejes se refieren al tiempo (eje X) y al número de efectivos (eje Y) y no tiene sentido hablar de cantidades negativas en ninguno de los casos. De la expresion 𝛽𝑥12− 𝛼𝑥22= 𝛽𝑥10 2− 𝛼𝑥20 2 (3.7) se puede llegar a: 𝛽𝑥12 𝛽𝑥10 2− 𝛼𝑥20 2−𝛼𝑥22 𝛽𝑥10 2− 𝛼𝑥20 2 = 1 (3.12) De esta expresión se puede concluir que si la fuerza combativa al inicio de X2 es superior a la de X1, entonces el denominador en ambos términos de la expresion (3.12) será negativo y quedaría la expresión: 𝑥22 𝑥20 2− 𝛽 𝛼 𝑥10 2−𝑥12 𝛼 𝛽 𝑥20 2− 𝑥10 2 = 1 (3.13) que se corresponde con un hipérbola de centro (0,0) y eje real x2, como se observa en la siguiente gráfica. Figura 5.7. Gráfica relacionada con la expresión (3.13) Los vértices de la hipérbola son los puntos donde esta corta con el eje x2 , solo se tendrá en cuenta el valor positivo ya que es el que se encuentra en el primer cuadrante y es en este cuadrante donde se va a centrar el estudio como se dijo anteriormente. El valor de dicho vértice será (0,√𝑥20 2− 𝛽𝛼 𝑥10 2) que representa el número de efectivos con el que finaliza el combate el ejército X2 mientras el bando X1 es completamente eliminado. El otro caso de estudio se da cuando la fuerza combativa al inicio de X1 es superior a la de X2, entonces el denominador en ambos términos de la expresion (3.12) será positivo y quedaría la expresión: Análisis de los Modelos 36 36 𝑥12 𝑥10 2− 𝛼 𝛽 𝑥20 2−𝑥22 𝛽 𝛼 𝑥10 2− 𝑥20 2=1 (3.14) Análogamente a la gráfica anterior, en este caso la expresión (3.14) se corresponde con una hipérbola de centro el punto (0,0) y eje real x1. Figura 5.8. Gráfica relacionada con la expresión (3.14) De la misma forma se obtiene que el vértice de la hipérbola en el primer cuadrante viene dado por (√𝑥10 2− 𝛼𝛽 𝑥20 2,0) que indica el número de efectivos con los que finaliza el enfrentamiento el bando X1 frente al bando X2 que queda eliminado completamente. Por último, se estudia el caso en el que ambas fuerzas combativas son iguales inicialmente. De la expresión (3.7) se obtiene 𝛽𝑥12= 𝛼𝑥22 de donde se llega a 𝑥2=√𝛽𝛼𝑥1 . Esto es una función lineal cuya gráfica en el primer cuadrante viene dada por: Figura 5.9. Gráfica relacionada con el caso en el que ambos bandos X1 y X2 quedan eliminados. 37 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí Por tanto, se pueden mostrar a continuación en una misma gráfica las tres diferentes trayectorias que se pueden dar según sea el caso de estudio, es decir, si la fuerza combativa inicialmente de X2 es superior a la de X1, si la fuerza combativa inicialmente de X1 es superior a la de X2 o si ambas fuerzas combativas fueran iguales. Únicamente se muestra la parte de las gráficas referidas al primer cuadrante. Figura 5.10. Gráfica que muestra las tres situaciones que se pueden dar en un enfrentamiento bajo las condiciones de un modelo de fuego directo. El siguiente punto del estudio del modelo de fuego directo, se va a centrar en confirmar que el principio de concentración es aplicable a este modelo, como asegura Lanchester en su estudio. El principio de concentración afirma que es recomendable que cada ejército reúna sus fuerzas combativas a la hora de enfrentarse a su rival en un solo combate. Por tanto a continuación, se va a analizar qué ocurre cuando el ejército vencedor, cuando se da un solo combate, se divide en n partes iguales y se producen n enfrentamientos entre ambos bandos en los que batallan la n-ésima parte del ejército dividido con el número de efectivos restante del bando contrario, y teniendo en cuenta que cada combatiente mantiene constante su coeficiente de aniquilamineto en cada uno de los n enfrentamientos. Partiendo de 𝑥10=𝑘𝑥20 y 𝛼=𝑝𝛽 siendo k y p números racionales positivos y asumiendo que la fuerza combativa de X1 sea mayor que la de X2; esto significaría la victoria del ejército X1 en el caso de un solo combate, sin embargo, se va a estudiar si hay alguna situación en el que saliera vencedor el bando X2 al dividir X1 en n partes iguales y atacarlo secuencialmente. De (3.7) se obtiene 𝛽𝑥10 2− 𝛼𝑥20 2= 𝛽𝑥1𝑓 2− 𝛼𝑥2𝑓 2 (3.15) ▪ Escenario 1: Al dividir X1 en dos partes iguales La fuerza combativa de X1 vendrá dada por 𝛽(𝑥10 2)2= 𝛼𝑝(𝑘𝑥20 2)2 (3.16) Sustituyendo en (3.15) para el primer combate Análisis de los Modelos 44 44 También al despejar 𝑥1 de (3.28) queda 𝛽𝑥1=𝑐1−𝛼𝑥2 𝑥1=𝑐1 𝛽+𝛼𝑥2 𝛽 Al introducir esta expresión en la segunda ecuación del sistema se tiene 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 =− β 𝑥2(𝑐1 𝛽+𝛼𝑥2 𝛽) 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 =− 𝛼𝑥22−𝑐1𝑥2 De manera que al igual que antes hay que diferenciar los casos para 𝑐1=0 y para 𝑐1≠0, puesto que cuando 𝑐1=0 se produce una indeterminación. Si 𝑐1≠0, siguiendo un procedimiento análogo al cálculo de 𝑥1, se llega a 𝑥2=𝑐1𝑥20𝑒−𝑐1𝑡 𝑐1−𝛼𝑥20𝑒−𝑐1𝑡+𝛼𝑥20 pero si 𝑐1=0, entonces 𝑥2=𝑥20 𝑡𝛼𝑥20+1 En definitiva 𝑥2(𝑡) queda definida como una función a trozos de la forma: 𝑥2(𝑡)= { 𝑥20 𝑡𝛼𝑥20+1, 𝑐1=0 𝑐1𝑥20𝑒−𝑐1𝑡 𝑐1−𝛼𝑥20𝑒−𝑐1𝑡+𝛼𝑥20, 𝑐1≠0 Analizando las funciones tanto de 𝑥1(𝑡) como de 𝑥2(𝑡), se puede observar que ambas tienen asíntotas horizontales en 𝑥1=0 𝑦 𝑥2=0 respectivamente. Esto hace imposible que se pueda saber con seguridad cuando finaliza el combate, sin embargo, si se puede obtener el tiempo de algún momento puntual de la batalla a partir del número de efectivos que tienen los bandos en ese mismo instante. Llamando 𝑛1 al pie de fuerza del bando X1 en el instante de tiempo que se quiere conocer, se obtiene: Si 𝑐1≠0, 𝑛1=𝑐1𝑥10 𝑒−𝑐1𝑡(𝑐1−𝛽𝑥10)+𝛽𝑥10 −𝑛1𝑐1𝑒−𝑐1𝑡+𝑛1𝛽𝑥10𝑒−𝑐1𝑡=𝑛1𝛽𝑥10−𝑐1𝑥10 𝑒−𝑐1𝑡=𝑛1𝛽𝑥10−𝑐1𝑥10 𝑛1𝛽𝑥10−𝑛1𝑐1 45 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí 𝑡=−1 𝑐1ln|𝑛1𝛽𝑥10−𝑐1𝑥10 𝑛1𝛽𝑥10−𝑛1𝑐1| Si 𝑐1=0, 𝑛1=𝑥10 𝑡𝛽𝑥10+1 𝑡𝛽𝑥10+1=𝑥10 𝑛1 𝑡𝛽𝑥10=𝑥10−𝑛1 𝑛1 𝑡=𝑥10−𝑛1 𝑛1𝛽𝑥10 De igual forma para X2, llamando 𝑛2 al pie de fuerza que se mantiene en combate, el tiempo que ha transcurrido se batalla será: Si 𝑐1≠0, 𝑛2=𝑐1𝑥20𝑒−𝑐1𝑡 𝑐1−𝛼𝑥20𝑒−𝑐1𝑡+𝛼𝑥20 𝑛2(𝑐1+𝛼𝑥20)=𝑐1𝑥20𝑒−𝑐1𝑡+𝑛2𝛼𝑥20𝑒−𝑐1𝑡 𝑒−𝑐1𝑡=𝑛2(𝑐1+𝛼𝑥20) 𝑐1𝑥20+𝑛2𝛼𝑥20 𝑡=−1 𝑐1ln|𝑛2(𝑐1+𝛼𝑥20) 𝑐1𝑥20+𝑛2𝛼𝑥20| Si 𝑐1=0, 𝑛2=𝑥20 𝑡𝛼𝑥20+1 𝑡𝛼𝑥20+1=𝑥20 𝑛2 𝑡=𝑥20−𝑛2 𝑛2𝛼𝑥20 Dado que las funciones que definen las variables de estado están definidas a trozos, la exploración gráfica de estas variables no es válida para deducir la relación entre las fuerzas de cada ejército, que determinaría el vencedor de la batalla. Por ello se va a realizar una demostración de la afirmación propuesta por Lepingwell acerca de la relación de las fuerzas combativas de cada bando y el resultado final de a batalla. Como afirma Lepingwell, en un combate en condiciones de fuego indirecto entre los ejércitos X1 y Análisis de los Modelos 46 46 X2, ocurre que: ▪ X1 es el vencedor de la batalla si 𝛼𝑥20<𝛽𝑥10. ▪ X2 es el ganador de la batalla si 𝛼𝑥20>𝛽𝑥10. ▪ El resultado del combate es empate si 𝛼𝑥20=𝛽𝑥10. Demostración: Se sigue un razonamiento parecido al realizado en el modelo de fuego directo, de manera que para las tres afirmaciones citadas se tiene: ▪ 1º Enunciado: X1 ganará la batalla si 𝛼𝑥20<𝛽𝑥10. De este enunciado y de la expresión 𝛽𝑥10−𝛼𝑥20=𝛽𝑥1−𝛼𝑥2 (3.27) se llega a 𝛽𝑥1>𝛼𝑥2 En el momento final de combate será 𝛽𝑥1𝑓>𝛼𝑥2𝑓 (3.30) Por tanto, se cumple el enunciado propuesto, si al inicio del combate la fuerza combativa de X1 es mayor, también lo es al final y por tanto gana la batalla. ▪ 2º Enunciado: X2 es el ganador de la batalla si 𝛼𝑥20>𝛽𝑥10. Al igual que antes, de (3.27) se obtiene que 𝛽𝑥1<𝛼𝑥2 Y al final será 𝛽𝑥1𝑓<𝛼𝑥2𝑓 Se cumple lo afirmado, si al inicio del combate la fuerza combativa de X2 es mayor, también lo es al final y por tanto gana la batalla. ▪ 3º Enunciado: El resultado del combate es empate si 𝛼𝑥20=𝛽𝑥10. De la expresión (3.27) y de la igualdad especificada se obtiene 𝛽𝑥1=𝛼𝑥2 Al final del combate también serán iguales las fuerzas combativas de ambos bandos 𝛽𝑥1𝑓=𝛼𝑥2𝑓 Por ello se puede concluir que el enunciado se cumple, es decir, si ambos bandos tienen fuerzas combativas iguales, el resultado será empate. Llegados a este punto se ha demostrado que lo afirmado por Lepingwell se cumple en los tres casos propuestos. Ganará la batalla aquel ejército que tenga una mayor fuerza combativa al inicio de la batalla, y en caso de que las fuerzas combativas iniciales sean iguales el resultado final será de empate. Además, se sabe que los puntos de equilibrio de este sistema son los que cumplen −𝛼𝑥2𝑥1=0 y −𝛽𝑥1𝑥2=0, es decir, los que son de la forma (𝑥1    ,0) y (0, 𝑥2    ) . También es necesario utilizar la matriz jacobiana del sistema asociado al modelo de fuego indirecto y 47 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí evaluarla en cada punto de equilibrio para saber qué puntos son no degenerados. 𝐷𝑓=(−𝛼𝑥2−𝛼𝑥1 −𝛽𝑥2−𝛽𝑥1) Si se evalúa esta matriz en los puntos de equilibrio de la forma (𝑥1    ,0), el determinante de esta queda: |𝐷𝑓(𝑥1    ,0)|=(0 −𝛼𝑥1    0 −𝛽𝑥1    )=0 Si ahora se evalúa la misma matriz en los puntos de equilibrio que cumplen (𝑥2    ,0), el determinante es: |𝐷𝑓(0,𝑥2    )|=(−𝛼𝑥2    0 −𝛽𝑥2    0)=0 Por tanto, se puede decir que, siguiendo la teoría expuesta en el marco matemático, todos los puntos de equilibrio son degenerados y por consiguiente el sistema también lo será. Igualmente, todos los puntos de equilibrio son no aislados por lo que todas las conclusiones sacadas surgen de la observación gráfica y no serán resultado de una teoría general. Como se puede observar en la siguiente figura los puntos de equilibrio ubicados que están en los ejes positivos son estables, ya que el sentido de los vectores tangentes a las órbitas cerca a cada punto de equilibrio señala a cada uno de estos, mientras que los puntos de equilibrio que se sitúan sen los ejes negativos son inestables, debido a que en todos estos los vectores tangentes a al menos una de las curvas solución cerca a cada punto de equilibrio señala en sentido opuesto al punto. Figura 5.11. Campo de direcciones de un sistema de modelo de fuego en área El siguiente paso es mostrar en una gráfica las trayectorias del sistema, para ello se despeja 𝑥2 de (3.27). 𝑥2=𝛽 𝛼𝑥1−𝑐𝛼 (3.31) siendo 𝑐=𝛼𝑥20−𝛽𝑥10. Teniendo la expresión (3.31), se puede observar que es una función de pendiente 𝛽 𝛼 y ordenada en el origen 𝑐𝛼. En este caso si el ejército X1 es el vencedor, porque tenga mayor fuerza combativa inicialmente que el bando X2, entonces 𝑐𝛼<0. Esto implica que la gráfica de la situación tenga un punto de corte, en el Análisis de los Modelos 48 48 primer cuadrante, con el eje que representa x1 en el punto (−𝑐𝛽,0), lo que indica la cantidad de efectivos con los que finaliza el ejército X1 cuando X2 es aniquilado. Figura 5.12. Función trayectoria de una situación de modelo de fuego en área donde el bando X2 es aniquilado y el bando X1 mantiene pie de fuerza. Por otro lado, si el ganador del combate resultara ser el ejército X2, por lo que tendría mayor fuerza combativa inicial que X1, entonces 𝑐𝛼>0, lo que implica que la gráfica resultante de esta situación mostraría un punto de corte en el eje x2 en el punto (0,𝑐𝛼), que al igual que antes se refiere al pie de fuerza que mantiene el bando ganador, en este caso X2, mientras el bando perdedor es totalmente aniquilado, en este caso X1. Figura 5.13. Función trayectoria de una situación de modelo de fuego en área donde el bando X1 es aniquilado y el bando X2 mantiene pie de fuerza. El otro caso posible es que se diera un empate entre ambos ejércitos, lo que significaría que ambas fuerzas combativas son iguales al inicio quedando 𝑐𝛼=0. Esto da lugar a una función que tiene un punto de corte en el origen (0,0), de manera que ambos ejércitos quedan aniquilados. 49 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí Figura 5.14. Función trayectoria de una situación de modelo de fuego en área donde ambos bandos X1 y X2 quedan aniquilados. Finalmente representando en una misma gráfica las tres trayectorias que se pueden dar en las tres situaciones analizadas, quedaría la siguiente figura. Figura 5.15. Funciones trayectorias de las tres situaciones que se pueden dar en un modelo de fuego en área. El siguiente punto por tratar en el análisis de este modelo de fuego indirecto o fuego en área, es la comprobación de la afirmación de Lanchester que asegura que en este modelo no es posible aplicar el principio de concentración. Se realizará un procedimiento análogo al realizado en este apartado para el modelo anterior. Partiendo de 𝑥10=𝑘𝑥20 y 𝛼=𝑝𝛽 siendo k y p números racionales positivos y asumiendo que la fuerza combativa de X1 sea mayor que la de X2; esto significaría la victoria del ejército X1 en el caso de un solo combate, sin embargo, se va a estudiar si hay alguna situación en el que saliera vencedor el bando X2 al dividir X1 en n partes iguales y atacarlo secuencialmente y teniendo en cuenta que cada combatiente mantiene constante su coeficiente de aniquilamineto en cada uno de los n enfrentamientos. De la expresión (3.27) se obtiene 𝛽𝑥10−𝛼𝑥20=𝛽𝑥1𝑓−𝛼𝑥2𝑓 (3.32) Análisis de los Modelos 50 50 Se contemplan dos posibles escenarios: ▪ Escenario 1: Al dividir X1 en dos partes iguales La fuerza combativa de X1 vendrá dada por 𝛽𝑥10 2= 𝛼𝑝(𝑘𝑥20 2) (3.33) Sustituyendo en (3.32) para el primer combate 𝛼𝑝(𝑘𝑥20 2)− 𝛼𝑥20= 𝛽𝑥1𝑓1− 𝛼𝑥2𝑓1 Si X2 sale vencedor en los dos enfrentamientos, se supone que X1 acaba en ambos combates completamente eliminado, por tanto, su fuerza combativa al finalizar estos es cero. 𝛼𝑝(𝑘𝑥20 2)− 𝛼𝑥20= − 𝛼𝑥2𝑓1 𝛼𝑥20(𝑘 2𝑝−1)= − 𝛼𝑥2𝑓1 (3.34) Para que esto se cumpla debe ocurrir que 𝑘 2𝑝−1<0 y, por tanto 𝑘<2𝑝 Finalmente, X2 ganará el primer combate si esta expresión se cumple. Para saber si X2 gana también el segundo enfrentamiento, habrá que hallar el pie de fuerza con el que finalizó el primer combate, 𝑥2𝑓1. Despejando de (3.34) 𝑥2𝑓1 = (1−𝑘 2𝑝)𝑥20 (3.35) Reemplazando (3.35) y (3.33) en (3.32) 𝛼𝑝(𝑘𝑥20 2)−𝛼((1−𝑘 2𝑝)𝑥20) = 𝛽𝑥1𝑓2− 𝛼𝑥2𝑓2 De igual manera 𝛼(𝑘𝑝−1)𝑥20= − 𝛼𝑥2𝑓2 Llegando a 𝒌<𝒑 (3.36) Se llega entonces a la conclusión de que, al cumplirse esta desigualdad, X2 será vencedor del combate y X1 será aniquilado. ▪ Escenario 2: Al dividir X1 en tres partes iguales La fuerza combativa de X1 vendrá dada por 51 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí 𝛽𝑥10 3= 𝛼𝑝(𝑘𝑥20 3) (3.37) De manera análoga a la situación anterior 𝛼𝑝(𝑘𝑥20 3)− 𝛼𝑥20= − 𝛼𝑥2𝑓1 𝛼𝑥20(𝑘 3𝑝−1)= − 𝛼𝑥2𝑓1 (3.38) Para que esto se cumpla debe ocurrir que 𝑘 3𝑝−1<0 y, por tanto 𝑘<3𝑝 Finalmente, X2 ganará el primer combate si esta expresión se cumple. Para saber si X2 gana también el segundo enfrentamiento, habrá que hallar el pie de fuerza con el que finalizó el primer combate, 𝑥2𝑓1. 𝑥2𝑓1 = (1−𝑘 3𝑝) 𝑥20 (3.39) Por tanto, siguiendo un procedimiento similar al realizado en el escenario anterior se obtiene 𝛼𝑥20(2𝑘 3𝑝−1)= − 𝛼𝑥2𝑓2 (3.40) Llegando a 𝑘<3𝑝 2 Se llega entonces a la conclusión de que, al cumplirse esta desigualdad, X2 será vencedor del segundo combate y comienza el tercero con el siguiente número de efectivos. 𝑥2𝑓2 = (1−2𝑘 3𝑝) 𝑥20 Al igual que antes y reemplazando en las expresiones correspondientes 𝛼𝑥20(𝑘𝑝−1)= − 𝛼𝑥2𝑓3 Llegando a 𝒌<𝒑 (3.41) Por tanto, si se cumple esta condición, se puede afirmar que el ejército X2 será el ganador de la batalla y X1 quedará completamente eliminado. En el análisis de estos dos escenarios se puede observar que independientemente del número de partes iguales en las que el bando X2 divida a X1, siempre que se cumpla la condición de 𝑘<𝑝, X2 será el vencedor de la batalla, es decir, siempre que 𝛽𝑥10<𝛼𝑥20. Sin embargo, esto no se puede dar ya que siempre se va a cumplir 𝛽𝑥10>𝛼𝑥20 debido a que se supuso que el ganador en un único enfrentamiento sería el ejército X1. Como conclusión se puede afirmar entonces que, en enfrentamientos susceptibles de ser modelados Análisis de los Modelos 52 52 bajo condiciones de fuego en área, no es posible que el ejército perdedor en un solo enfrentamiento pueda ganar si divide al otro bando en partes iguales y lo atacara secuencialmente en varios enfrentamientos. Es decir, no se cumple el principio de concentración. Demostración: Si se diera el caso de que el bando X2 ganara la batalla en el enfrentamiento n-ésimo y en este aniquilara por completo a X1 después de haberlo dividido en n partes iguales y atacarlo secuencialmente, entonces significaría que en este enfrentamiento n la fuerza combativa inicial de X2 sería mayor a la de X2. Lo que se resume en la expresión siguiente 𝛼𝑥2𝑓(𝑛−1)>𝛽𝑥10 𝑛 Se sabe que la cantidad de efectivos inicial de X2 en este enfrentamiento es igual al pie de fuerza final del enfrentamiento anterior, por ello 𝛼𝑥20(1−(𝑛−1)𝑘 𝑛𝑝 )>𝛽𝑥10 𝑛 Sabiendo que 𝛼, 𝛽 y n son positivos se llega a 𝑛𝑝𝛼𝑥20−𝛼𝑥20(𝑛−1)𝑘 𝑛𝑝 >𝛽𝑥10 𝑛 𝑛𝑝𝛼𝑥20−𝛼𝑥20(𝑛−1)𝑘>𝑝𝛽𝑥10 Sabiendo que 𝑥10=𝑘𝑥20 y 𝛼=𝑝𝛽, se tiene 𝑛𝛼2𝑥20 𝛽− 𝛼𝑥10𝑛+𝛼𝑥10>𝛼𝑥10 𝑛𝛼2𝑥20 𝛽> 𝛼𝑥10𝑛 𝛼𝑥20>𝛽𝑥10 Sin embargo, esta expresión no se puede cumplir puesto que no concuerda con el hecho de que X1 es el ganador en una batalla a un solo enfrentamiento. Dicho esto, se puede afirmar que aún dividiendo el bando X2 a X1 en n partes iguales y combatiéndolo en n enfrentamientos secuencialmente, este nunca ganaría la batalla sea cual sea n. Finalmente, se puede decir que en un combate en circunstancias de un modelo de fuego indirecto o en área, el bando que tenga una mayor fuerza combativa será el bando ganador sea cual sea el número de enfrentamientos que se den durante la batalla. 53 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí Conclusiones 60 60 7 CONCLUSIONES Con la realización de este Trabajo de Fin de Grado, al haber profundizado en un tema como es el de los Sistemas de Ecuaciones Diferenciales, se han incrementado mis conocimientos acerca de los conceptos relacionados con este tema, que ha sido muy recurrente durante las asignaturas de Matemáticas cursadas durante la carrera. Asimismo, haber podido incluir en el Marco Matemático todos los conceptos necesarios para el conocimiento de los distintos puntos de interés como por ejemplo el comportamiento de los sistemas alrededor de los puntos de equilibrio, ha hecho que a la hora de entrar en el análisis de dichos conceptos teóricos se haga más fácil interpretar las curvas solución de los modelos. Otro punto que destacar es el haber conocido la relación que tienen las fuerzas combativas con el resultado final de la batalla, donde en el modelo de Fuego Directo la solución es una función continua y en el modelo de Fuego en Área es un sistema definido a trozos, por lo que se pierde información en el análisis de este último. Además, se ha podido comprobar la importancia de las fuerzas combativas en el principio de concentración propuesto por Lanchester y que lo verifican matemáticamente. También se ha comprobado la importancia de la exploración y de la observación en el mundo de las Matemáticas al realizar el estudio basado en la exploración gráfica e ir complementándolo con la teoría establecida. Se ha hecho una simulación sobre el conflicto Israelí-Palestino. Los modelo abordados dan a Israel una aplastante victoria en cualquiera de ellos. Finalmente, la realización de este trabajo ha hecho dar cuenta, aún más si cabe, de que durante un conflicto armado solo se producen consecuencias negativas respecto a lo social, económico y humano, y que en todos ellos siempre va a haber pérdidas de vidas humanas sea cual sea el vencedor de la guerra. 61 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí Anexos 62 62 8 ANEXOS El objetivo de este apartado no es otro que el de presentar un complemento del marco matemático descrito en el segundo apartado de este trabajo. Como no toda la información relacionada con los sistemas de ecuaciones diferenciales era necesaria para la comprensión de la teoría de los diferentes modelos de guerra, en este anexo se completará esa información para clarificar los conceptos y las posibles soluciones de los SPALH y los SPANLH. En primer lugar, se estudiarán los distintos tipos de soluciones de un SPALH. Clasificación de autovalores • Autovalores reales y distintos Si los autovalores tienen el mismo signo, el punto de equilibrio es un nodo. Si ambos autovalores son negativos se da un nodo estable en el origen, ya que todas las trayectorias van en dirección a este cuando 𝑡→∞. (𝜆1,𝜆2<0). Figura A.1. Gráfica de un nodo estable. Si por el contrario ambos autovalores son positivos, entonces da lugar a un nodo inestable en el origen, ya que todas las trayectorias se alejan de este cuando 𝑡→∞. (𝜆1,𝜆2>0). 63 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí Figura A.2. Gráfica de un nodo inestable • Autovalores reales dobles Teniendo una matriz 𝐴2𝑋2 con autovalor 𝜆 de multiplicidad algebraica dos y multiplicidad geométrica uno. Con 𝒗𝟏=(𝑣11 𝑣21) autovector asociado a 𝜆, existe 𝒗𝟐=(𝑣12 𝑣22) llamado autovector generalizado de 𝐴 tal que: (𝐴− 𝜆 𝐼)𝒗𝟐=𝒗𝟏 Para hallar la solución general de un sistema con estas características se hará la siguiente suposición. Siendo V una matriz de columnas 𝒗𝟏 y 𝒗𝟐, se tiene: 𝐽=𝑉−1𝐴𝑉 donde J es la forma canónica de Jordan de A. 𝐽=( 𝜆 1 0 𝜆 ) De esta expresión multiplicando a izquierda y derecha respectivamente por 𝑉 𝑦 𝑉−1 se llega a 𝑉𝐽𝑉−1=𝑉𝑉−1𝐴𝑉𝑉−1 𝑉𝐽𝑉−1=(𝑉𝑉−1)𝐴(𝑉𝑉−1) 𝐴=𝑉𝐽𝑉−1 Con un procedimiento similar al realizado para autovalores reales y distintos se obtiene 𝐴𝑘=𝑉𝐽𝑘𝑉−1 Y reemplazando en (2.6) 𝑒𝑡𝐴=𝑉𝑒𝑡𝐽𝑉−1 𝑒𝑡𝐴𝑉=𝑉𝑒𝑡𝐽 𝑒𝑡𝐴𝑉=(𝑣11 𝑣12 𝑣21 𝑣22)(𝑒𝜆𝑡 𝑡𝑒𝜆𝑡 0 𝑒𝜆𝑡) Anexos 64 64 𝑒𝑡𝐴𝑉=(𝑣11𝑒𝜆𝑡 𝑣11𝑡𝑒𝜆𝑡+𝑣12𝑒𝜆𝑡 𝑣21𝑒𝜆𝑡 𝑣21𝑡𝑒𝜆𝑡+𝑣22𝑒𝜆𝑡) Por definición: 𝒙𝟏(𝑡)=𝑒𝜆𝑡𝒗𝟏 y 𝒙𝟐(𝑡)=𝑒𝜆𝑡(𝑡𝒗𝟏+𝒗𝟐) forman un conjunto fundamental de soluciones del sistema. Por tanto, la solución de un SPALH con estas condiciones es 𝒙(𝑡)=𝑐1𝑒𝜆𝑡𝒗𝟏+𝑐2𝑒𝜆𝑡(𝑡𝒗𝟏+𝒗𝟐) (A.1) con 𝑐1 y 𝑐2 constantes. Si 𝜆<0 , el punto de equilibrio en el origen es un nodo impropio estable, todas las trayectorias se dirigen al origen cuando 𝑡→∞. Figura A.3. Gráfica de un nodo impropio estable Si 𝜆>0, el punto de equilibrio en el origen es un nodo impropio inestable, todas las trayectorias se alejan del origen cuando 𝑡→∞. Figura A.4. Gráfica de un nodo impropio inestable Si por otro lado 𝜆 tiene multiplicidad algebraica dos y multiplicidad geométrica dos, A será 𝐴=(𝑎 0 0 𝑎) 65 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí Siendo a = 𝜆, se tiene que 𝒗𝟏=(𝑣11 𝑣21) y 𝒗𝟐=(𝑣12 𝑣22) son los autovalores linealmente independientes de 𝜆 . Por ello todo vector no nulo será autovector de 𝜆 . Al igual que antes se tiene que 𝑒𝑡𝐴𝑉=(𝑒𝑎𝑡 0 0 𝑒𝑎𝑡)(𝑣11 𝑣12 𝑣21 𝑣22) 𝑒𝑡𝐴𝑉=(𝑒𝜆𝑡 0 0 𝑒𝜆𝑡)(𝑣11 𝑣12 𝑣21 𝑣22) 𝑒𝑡𝐴𝑉=(𝑣11𝑒𝜆𝑡 𝑣12𝑒𝜆𝑡 𝑣21𝑒𝜆𝑡 𝑣22𝑒𝜆𝑡) Por definición: 𝒙𝟏(𝑡)=𝑒𝜆𝑡𝒗𝟏 y 𝒙𝟐(𝑡)=𝑒𝜆𝑡𝒗𝟐 forman un conjunto fundamental de soluciones del sistema. Por tanto, la solución de un SPALH con estas condiciones es 𝒙(𝑡)=𝑐1𝑒𝜆𝑡𝒗𝟏+𝑐2𝑒𝜆𝑡𝒗𝟐 (A.2) con 𝑐1 y 𝑐2 constantes. Si 𝜆<0 , el punto de equilibrio en el origen se denomina punto de estrella estable, todas las trayectorias se dirigen al origen cuando 𝑡→∞. Figura A.5. Gráfica de un punto de estrella estable Si 𝜆>0, el punto de equilibrio en el origen es un punto de estrella inestable, todas las trayectorias se alejan del origen cuando 𝑡→∞. Anexos 66 66 Figura A.6. Gráfica de un punto de estrella inestable. • Autovalores complejos conjugados Dados los autovalores 𝜆1=𝑎+𝑖𝑏 y 𝜆2=𝑎−𝑖𝑏 de una matriz A, los autovectores asociados son también conjugados. De forma que teniendo 𝒗𝟏=𝐵1+𝑖𝐵2 autovector asociado a 𝜆1, se sabe que existe 𝒗𝟐=𝐵1−𝑖𝐵2 autovector asociado a 𝜆2, siendo 𝑩𝟏 𝑦 𝑩𝟐 vectores de dos componentes 𝜖 ℝ2. Demostración: Por definición de autovector se conoce que 𝐴𝒗𝟏=𝜆1𝒗𝟏 𝐴(𝑩𝟏+𝑖𝑩𝟐)=(𝑎+𝑖𝑏)(𝑩𝟏+𝑖𝑩𝟐) Aplicando las propiedades básicas de las matemáticas 𝐴𝑩𝟏+𝐴𝑖𝑩𝟐=𝑎𝑩𝟏+𝑎𝑖𝑩𝟐+𝑏𝑖𝑩𝟏−𝑏𝑩𝟐 𝐴𝑩𝟏+𝐴𝑖𝑩𝟐=(𝑎𝑩𝟏−𝑏𝑩𝟐)+𝑖(𝑎𝑩𝟐+𝑏𝑩𝟏) Como dos números complejos son iguales solo si sus partes reales e imaginarias son iguales entonces 𝐴𝑩𝟏=(𝑎𝑩𝟏−𝑏𝑩𝟐) (A.3) 𝐴𝑖𝑩𝟐= 𝑖(𝑎𝑩𝟐+𝑏𝑩𝟏) (A.4) Si se multiplica (A.4) por -1 queda −𝐴𝑖𝑩𝟐=− 𝑖(𝑎𝑩𝟐+𝑏𝑩𝟏) (A.5) Sumando las expresiones (A.3) y (A.5) 𝐴𝑩𝟏−𝐴𝑖𝑩𝟐=(𝑎𝑩𝟏−𝑏𝑩𝟐)−𝑖(𝑎𝑩𝟐+𝑏𝑩𝟏) 𝐴(𝑩𝟏−𝑖𝑩𝟐)=𝑩𝟏(𝑎−𝑖𝑏)−𝑩𝟐(𝑎−𝑖𝑏) 𝐴(𝑩𝟏−𝑖𝑩𝟐)=(𝑎−𝑖𝑏)(𝑩𝟏−𝑖𝑩𝟐) 67 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí Reemplazando 𝐴𝒗𝟐=𝜆2𝒗𝟐 Por tanto, se puede afirmar que 𝒗𝟐=𝑩𝟏−𝑖𝑩𝟐 es autovector asociado a 𝜆2 ya que 𝜆2 es autovalor de A. Para hallar la solución general asociada al sistema, se sigue el mismo modelo que para autovalores reales distintos. Sabiendo que la solución general es del tipo 𝒙𝟏(𝑡)=𝑐1𝑒𝝀𝟏𝑡𝒗𝟏 𝑦 𝒙𝟐(𝑡)=𝑐2𝑒𝝀𝟐𝑡𝒗𝟐 (A.6) Los autovalores son de la forma 𝜆1=𝑎+𝑖𝑏 𝜆2=𝑎−𝑖𝑏 Y por tanto se tiene 𝑒𝝀𝟏𝑡=𝑒(𝑎+𝑖𝑏)𝑡 𝑒𝝀𝟐𝑡=𝑒(𝑎−𝑖𝑏)𝑡 𝑒𝝀𝟏𝑡=𝑒𝑎𝑡𝑒𝒊𝒃𝑡 𝑒𝝀𝟐𝑡=𝑒𝒂𝑡 𝑒𝒊𝒃𝑡 Con la fórmula de Euler se llega a 𝑒𝝀𝟏𝑡=𝑒𝒂𝑡(cos𝑏𝑡+𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡) (A.7) 𝑒𝝀𝟐𝑡=𝑒𝒂𝑡 cos𝑏𝑡+𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡 Si se multiplica por el conjugado la segunda expresión 𝑒𝝀𝟐𝑡=𝑒𝒂𝑡 cos𝑏𝑡+𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡(cos𝑏𝑡−𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡) (cos𝑏𝑡−𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡)= =𝑒𝒂𝑡(cos𝑏𝑡−𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡) (cos𝑏𝑡+𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡)(cos𝑏𝑡−𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡) De aquí se llega a 𝑒𝝀𝟐𝑡=𝑒𝒂𝑡(cos𝑏𝑡−𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡) (A.8) Si se introduce (A.7) y (A.8) en (A.6) 𝒙𝟏(𝑡)=𝑐1𝑒𝒂𝑡(cos𝑏𝑡+𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡)(𝑩𝟏+𝑖𝑩𝟐) 𝒙𝟐(𝑡)=𝑐2𝑒𝒂𝑡(cos𝑏𝑡−𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡)(𝑩𝟏−𝑖𝑩𝟐) Además, si estas dos expresiones se suman se obtiene Anexos 68 68 𝒙𝟏(𝑡)+𝒙𝟐(𝑡)=𝑐1𝑒𝒂𝑡(cos𝑏𝑡+𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡)(𝑩𝟏+𝑖𝑩𝟐)+𝑐2𝑒𝒂𝑡(cos𝑏𝑡−𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡)(𝑩𝟏−𝑖𝑩𝟐) =𝑒𝒂𝑡{(𝑐1+𝑐2)[𝑩𝟏 cos𝑏𝑡−𝑩𝟐 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡]+𝑖(𝑐1−𝑐2)[𝑩𝟏 sen𝑏𝑡+𝑩𝟐 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑡]} Finalmente, la solución general cuando la matriz tiene autovalores complejos queda de la forma 𝒙𝟏(𝑡)+𝒙𝟐(𝑡)=𝑘1𝑒𝒂𝑡(𝑩𝟏 cos𝑏𝑡−𝑩𝟐 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡)+𝑘2𝑒𝒂𝑡(𝑩𝟏 sen𝑏𝑡+𝑩𝟐 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑡) Donde se ha tomado 𝑘1=(𝑐1+𝑐2) y 𝑘2=𝑖(𝑐1−𝑐2). Respecto a las respresentaciones gráficas de las distintas posibles soluciones se tiene que: Si la parte real de los autovalores es distinta de cero (𝑎≠0) el punto de equilibrio se denomina foco o punto espiral. Si 𝑎<0, el punto de equilibrio es un foco estable, todas las trayectorias se dirigen al origen cuando 𝑡→∞. Figura A.7. Gráfica de un punto espiral estable Si 𝑎>0, el punto de equilibrio es un foco inestable, todas las trayectorias se alejan del origen cuando 𝑡→∞. Figura A.8. Gráfica de un punto espiral inestable. Si la parte real de los autovalores es igual a cero (𝑎=0) el punto de equilibrio se denomina centro. Las trayectorias en este caso son curvas cerradas que rodean al origen, no tienden a el cuando 𝑡→∞ o 𝑡→−∞. El punto de equilibrio es estable. 69 Modelos de guerra: Aplicación al conflicto Palestino-Israelí Figura A.9. Gráfica de un centro. Otra forma de estudiar la estabilidad del sistema es a través de la traza 𝑡𝑟(𝐴) y el determinante 𝑑𝑒𝑡 (𝐴) de la matriz de coeficientes constantes A. Siendo A una matriz de orden dos, y el sistema 𝒙′=𝑨𝒙 se tiene que: • Si 𝑑𝑒𝑡 (𝐴)<0 o 𝑡𝑟(𝐴)>0, el sistema es inestable. • Si 𝑑𝑒𝑡 (𝐴)>0 y 𝑡𝑟(𝐴)<0, el sistema es asintóticamente estable. • Si 𝑑𝑒𝑡 (𝐴)=0 y 𝑡𝑟(𝐴)<0 o 𝑑𝑒𝑡 (𝐴)>0 y 𝑡𝑟(𝐴)=0, el sistema es estable pero no asintóticamente estable. • Si 𝑑𝑒𝑡 (𝐴)=0 y 𝑡𝑟(𝐴)=0, el sistema puede ser estable o inestable. Sistema Plano Autónomo No Lineal Homogéneo Como se afirmó en el capítulo 4. Marco Matemático, no se pueden analizar las soluciones de los SPANLH al no ser estos lineales. Sin embargo, se puede desarrollar el comportamiento de dichas soluciones en los puntos de equilibrio del sistema haciendo uso de la teoría de los SPALH y linealizando el SPANLH en esos puntos. En primer lugar, se definirán los conceptos necesarios para el análisis de las soluciones de un SPANLH. Definición: Se dice que un sistema plano autónomo es no lineal si al menos una de las funciones f1 y f2 del sistema es no lineal en las variables x1 y x2. El objetivo principal de linealizar un SPANLH es conseguir un sistema lineal que permita conocer las soluciones del sistema no lineal en sus puntos de equilibrio aislados, de manera que las soluciones del sistema no lineal y del sistema una vez linealizado sean muy cercanas entre sí. En primer lugar, se hallarán los puntos de equilibrio, tanto el origen como aquellos que no pertenezcan al origen. Los puntos de equilibrio que no sean el origen se tendrán que trasladar al origen teniendo en cuenta las variables que se muestran a continuación.