Caracterización dinámica y optimización de una guitarra española

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo de Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales Caracterización dinámica y optimización de una guitarra española Autor: José María Gamero Alonso Tutor: Antonio Martínez de la Concha Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 iii Trabajo de Fin de Grado Grado en Ingeniería en las Tecnologías Industriales Caracterización dinámica y optimización de una guitarra española Autor: José María Gamero Alonso Tutor: Antonio Martínez de la Concha Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructura Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 v Trabajo Fin de Grado: Caracterización dinámica y optimización de una guitarra española Autor: José María Gamero Alonso Tutor: Antonio Martínez de la Concha El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2020 El secretario del Tribunal vii A los que confiaron en mi A los que me apoyaron ix Agradecimientos En primer lugar, agradecer a los profesores del departamento de estructuras la ilusión y las ganas transmitidas por las cuales me siento más que motivado para seguir desarrollándome en el campo de las estructuras. Agradecimientos a Fernando Medina por las charlas que hemos mantenido y por toda la ayuda y consejos recibidos, sin los cuales no hubiera elegido el camino de las estructuras. A Antonio Martínez, tutor del trabajo, agradecer el haberse embarcado e implicado en un trabajo con un tema un tanto descabellado y propuesto por mí. Agradecer su paciencia, su interés y sobre todo la facilidad y la estrecha distancia a la hora de hablar y tratar con él, lo cual considero algo de gran importancia. Por último, agradecer a mis abuelos, padres, hermana y novia el incondicional apoyo tanto económico como moral a lo largo de todos mis estudios y en general de mi vida. Por todo ello, simplemente gracias. José María Gamero Alonso Sevilla, 2020 4.2.1 Barras armónicas 41 4.2.2 Refuerzos 42 4.2.3 Contrarroseta 42 4.3 Condiciones de contorno 43 4.4 Fuerzas 44 4.5 Resultados y optimización 45 4.5.1 Modelo preliminar 46 4.5.2 Modelo sin refuerzos 48 4.5.3 Modelo óptimo 49 4.6 Conclusiones de la tapa 52 5 Constatación de resultados 54 5.1 Silencio 54 5.2 Exenta 55 5.3 Guitarra 57 5.4 Validación primera hipótesis 58 5.5 Validación segunda hipótesis 59 6 Conclusiones 62 7 Ampliación y estudios futuros 63 Referencias 65 xvii ÍNDICE DE TABLAS Tabla 2–1. Tabla de nomenclatura de elementos. 13 Tabla 3–1. Tabla de frecuencias de las notas musicales. 25 Tabla 3–2. Tabla de frecuencias de vibración natural de las cuerdas al aire. 25 Tabla 3–3. Tabla de propiedades de las cuerdas dadas por el fabricante D´Addarío. 26 Tabla 3–4. Tabla de propiedades de las cuerdas obtenidas mediante la fórmula del fabricante D´Addario. 26 Tabla 3–5. Tabla de fuerza y módulo de elasticidad. 27 Tabla 4–1. Tabla de propiedades mecánicas de las maderas empleadas. 40 Tabla 4–2. Tabla valores característicos de rotura del pinoabeto alemán. 40 Tabla 4–3. Tabla geometrías de los elementos del modelo preliminar. 46 Tabla 4–4. Tabla de geometrías de los elementos del modelo óptimo. 50 Tabla 4–5. Tabla comparación de tensiones máximas de los distintos modelos. 52 xix ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1-1. Partes exteriores de la guitarra española. 12 Figura 1-2. Partes exteriores de la guitarra española. 13 Figura 1-3. Foto vihuela 14 Figura 1-4. Foto y plano de armado de guitarra barroca. 15 Figura 1-5. Foto y esquema de armado de la guitarra romántica. 16 Figura 1-6. Foto y esquema de armado de la guitarra de Torres. 17 Figura 2-1. Teoría de Tsai Hill vs teoría de la máxima tensión. 22 Figura 3-1. Esquema del modelo empleado. 27 Figura 3-2. Reacción longitudinal para 13 y 65 elementos con paso de 1E-4. 28 Figura 3-3. Reacción longitudinal para 65 y 130 elementos con paso de 1E-4. 29 Figura 3-4. Reacción longitudinal para pasos de 1E-4 y 1E-5 con 65 elementos. 30 Figura 3-5. Reacción longitudinal para pasos de 1E-5 y 1E-6 con 65 elementos. 30 Figura 3-6. Reacción longitudinal primera cuerda. 31 Figura 3-7. Reacción longitudinal segunda cuerda. 31 Figura 3-8. Reacción longitudinal tercera cuerda. 32 Figura 3-9. Reacción longitudinal cuarta cuerda. 32 Figura 3-10. Reacción longitudinal quita cuerda. 33 Figura 3-11. Reacción longitudinal sexta cuerda. 33 Figura 3-12. Reacción transversal paralela a la tapa primera cuerda. 34 Figura 3-13. Reacción transversal paralela a la tapa segunda cuerda. 34 Figura 3-14. Reacción transversal paralela a la tapa tercera cuerda. 35 Figura 3-15. Reacción transversal paralela a la tapa cuarta cuerda. 35 Figura 3-16. Reacción transversal paralela a la tapa quita cuerda. 36 Figura 3-17. Reacción transversal paralela a la tapa sexta cuerda. 36 Figura 3-18. Reacción transversal normal a la tapa primera cuerda. 37 Figura 4-1.Geometría, definición de cotas y direcciones del material de las barras armónicas. 41 Figura 4-2. Geometría, definición de cotas y direcciones del material de los refuerzos. 42 Figura 4-3. Geometría, definición de cotas y direcciones del material de las contrarrosetas. 42 Figura 4-4. Detalle de unión de la tapa y el aro. 43 Figura 4-5. Elementos de unión entre tapa y aros. 43 Figura 4-6. Esquema de fuerzas en el modelo para el caso estático. 44 Figura 4-7. Esquema de fuerzas en el modelo para el caso dinámico. 44 Figura 4-8. Esquema de la zona donde se estudiarán los resultados. 45 Figura 4-9. Esquema de armado y direcciones del material en el modelo preliminar. 46 Figura 4-10. Variación de energía cinética en el modelo preliminar. 47 Figura 4-11. Máximos valores del criterio de Tsai Hill durante el ensayo dinámico en el modelo preliminar. 47 Figura 4-12. Variación de energía cinética en el modelo sin armar. 48 Figura 4-13. Máximos valores del criterio de Tsai Hill durante el ensayo dinámico en el modelo sin armar. 48 Figura 4-14. Esquema de armado y direcciones del material en el modelo óptimo. 49 Figura 4-15. Esquema de la contraroseta y direcciones del material en el modelo óptimo. 49 Figura 4-16. Variación de energía cinética en el modelo óptimo. 50 Figura 4-17. Máximos valores del criterio de Tsai Hill durante el ensayo dinámico en el modelo óptimo. 51 Figura 5-1. Medición acústica del silencio. 54 Figura 5-2. Instrumento para medir el sonido de la cuerda exenta. 55 Figura 5-3. Disposición del ensayo de la cuerda exenta. 55 Figura 5-4. Medición acústica de la cuerda exenta. 56 Figura 5-5. Disposición del ensayo de la cuerda en la guitarra. 57 Figura 5-6. Medición acústica de la cuerda en la guitarra. 57 Figura 5-7. Disposición del ensayo para la validación de la primera hipótesis. 58 Figura 5-8. Medición acústica para la validación de la primera hipótesis. 59 xxi Notación φ ω U ü 𝐮󰇗 u M K det σ If μ ρ T E G υ Desfase angular. Frecuencia. Amplitud de desplazamientos. Aceleración. Velocidad. Desplazamiento. Matriz de masa. Matriz de rigidez. Determinante. Tensión. Índice de fallo. Masa por unidad de longitud. Densidad. Pretensión de la cuerda. Módulo de Young o de rigidez. Módulo cortante. Coeficiente de Poisson. Introducción 12 12 1 INTRODUCCIÓN 1.1 Terminología y partes de la guitarra 1.1.1 Exterior de la guitarra Figura 1-1. Partes exteriores de la guitarra española. 13 1.1.2 Interior de la tapa Figura 1-2. Partes exteriores de la guitarra española. Tabla 2–1. Tabla de nomenclatura de elementos. En este modelo de tapa habrá simetría de los elementos con respecto a su longitud principal. ELEMENTO NOMBRE 1 Barra armónica 1 2 Barra armónica 2 3 Barra armónica 3 4 Barra armónica 4 5 Barra armónica 5 6 Barra armónica 6 7 Refuerzo 1 8 Refuerzo 2 9 Contrarroseta Teoría empleada 20 20 2 TEORÍA EMPLEADA 2.1 Análisis modal Este análisis permite obtener las frecuencias y modos de vibración de una estructura. Partiendo de la ecuación de la siguiente ecuación de equilibrio: 𝐌𝐮󰇘 (𝑥,𝑡)+𝐊𝐮(𝑥,𝑡)=0 La solución de la ecuación de equilibrio es un movimiento armónico: 𝐮(𝑥,𝑡)=𝐔(𝑥)sin (𝜔𝑡+𝜑) Donde U(x) es la amplitud de los desplazamientos, ω es la frecuencia angular y φ es el desfase. La expresión de la aceleración de obtiene mediante la derivación de la ecuación anterior: 𝐮󰇘(𝑥,𝑡)=−𝜔2𝐔(𝑥)sin(𝜔𝑡+𝜑)=−𝜔2𝐮(𝑥,𝑡) Sustituyendo los desplazamientos en la ecuación de la aceleración: −𝜔2𝐌𝐔(𝑥)sin(𝜔𝑡+𝜑)+𝐊𝐔(𝑥)sin(𝜔𝑡+𝜑)=0 Omitiendo el termino sin(𝜔𝑡+𝜑) quedaría: (𝐊−𝜔2𝐌)𝐔(𝑥)=0 La solución de esta ecuación se obtiene al resolver el problema de autovalores y autovectores, donde los autovalores son las frecuencias de vibración 𝜔 y los autovectores son las amplitudes del movimiento 𝐔(𝑥). Las soluciones estarán definidas por: det(𝐊−𝜔2𝐌)=𝟎 De esta ecuación se obtiene el conjunto de soluciones {𝜔1, 𝜔2,…, 𝜔𝑁} con N soluciones que son las frecuencias naturales que serán positivas y reales puesto que las matrices K y M son reales, simétricas y definidas positivas. Finalmente, para obtener las amplitudes del movimiento asociadas a cada vibración se obtiene a partir de: 𝐊 𝑖=𝐊−𝜔𝑖2𝐌 21 2.2 Análisis dinámico transitorio Se usará un método numérico de integración paso a paso. De esta manera la respuesta temporal del sistema se calcula en instantes temporales equiespaciados Δt. Se usará el método de Newmark para la resolución numérica. Se expresa la ecuación de equilibrio en un paso n+1 como: 𝐌𝐮󰇘𝑛+1+𝑪𝐮󰇗𝑛+1+𝐊𝐮𝑛+1 =𝐩𝑛+1 La solución de la ecuación anterior se basa en aproximar la velocidad en n+1 usando integración lineal de las aceleraciones en 𝑡𝑛+1 =𝑡𝑛+∆𝑡. Siendo la generalización del método las expresiones de velocidad y desplazamiento en el tiempo n+1: 𝑢󰇗𝑛+1 =𝑢󰇗𝑛+1 2((1−𝛿)𝑢󰇘𝑛+𝛿𝑢󰇘𝑛+1)∆𝑡 𝑢𝑛+1 =𝑢𝑛+𝑢󰇗𝑛∆𝑡+((1 2+𝛼)𝑢󰇘𝑛+𝛼𝑢󰇘𝑛+1)∆𝑡2 Siendo 𝛼 y 𝛿 constantes de integración. Con la resolución de las ecuaciones se podrán obtener todos los resultados que son necesarios en el modelo. Teoría empleada 22 22 2.3 Teoría del criterio de rotura para materiales anisótropos de Tsai Hill El índice de fallo se calcula según la siguiente ecuación. 𝐼𝐹 = 𝜎11 2 𝑋2−𝜎11𝜎22 𝑋2+𝜎22 2 𝑌2+𝜎12 2 𝑆2≤1 Si 𝜎11 >0 ,𝑋=𝑋𝑡. 𝑆𝑖 𝜎11 ≤0 ,𝑋=𝑋𝑐 Si 𝜎22 >0 ,𝑌=𝑌𝑡. 𝑆𝑖 𝜎11 ≤0 ,𝑌=𝑌𝑐 Con • Xt mayor tensión de tracción admisible en la dirección 1 • Xc mayor tensión de compresión admisible en la dirección 1 • Yt mayor tensión de tracción admisible en la dirección 2 • Yc mayor tensión de compresión admisible en la dirección 2 • S mayor tensión de cortante Si el índice de fallo es mayor a uno el material fallará. Figura 2-1. Teoría de Tsai Hill vs teoría de la máxima tensión. En la imagen se muestra el lugar geométrico de los puntos de estados tensionales admisibles de la teoría de Tsai Hill contra el lugar de los estados tensionales admisibles de la teoría de la máxima tensión, que no esta del lado de la seguridad. 23 Estudio de las cuerdas 24 24 3 ESTUDIO DE LAS CUERDAS 3.1 Fundamentos de teoría musical Las notas fundamentales son Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, Si. Entre cada nota se dice que hay un semitono y la secuencia de notas se va sucediendo de manera que cada grupo de notas fundamentales corresponde a lo que se denomina una octava. A lo largo de la historia en la música se ha tratado de asociar a cada nota musical un número. Fue a raíz de la teoría de Hertz cuando se asoció a cada nota una frecuencia. En la actualidad el estándar de afinación se toma como A4=440 hz. El resto de notas musicales se obtienen con: 440. √2 12 ±𝑁 Con N (positivo) es cada semitono agudo de diferencia y N (negativo) cada semitono grave de diferencia con respecto a la referencia a la frecuencia y nota de referencia. Sabiendo que A4 es la nota La de la octava número cuatro se pueden obtener las frecuencias de las notas correspondientes hasta la octava seis. 25 OCTAVAS 0 1 2 3 4 5 6 TONOS EU UK Do C 16.4 32.7 65.4 130.8 261.6 523.3 1046.5 Do# C# 17.3 34.6 69.3 138.6 277.2 554.4 1108.7 Re D 18.4 36.7 73.4 146.8 293.7 587.3 1174.7 Re# D# 19.4 38.9 77.8 155.6 311.1 622.3 1244.5 Mi E 20.6 41.2 82.4 164.8 329.6 659.3 1318.5 Fa F 21.8 43.7 87.3 174.6 349.2 698.5 1396.9 Fa# F# 23.1 46.2 92.5 185.0 370.0 740.0 1480.0 Sol G 24.5 49.0 98.0 196.0 392.0 784.0 1568.0 Sol# G# 26.0 51.9 103.8 207.7 415.3 830.6 1661.2 La A 27.5 55.0 110.0 220.0 440.0 880.0 1760.0 La# A# 29.1 58.3 116.5 233.1 466.2 932.3 1864.7 Si B 30.9 61.7 123.5 246.9 493.9 987.8 1975.5 Tabla 3–1. Tabla de frecuencias de las notas musicales. Para el caso particular de una guitarra estándar, donde las cuerdas tienen una longitud de vibración de 650 mm, cada cuerda vibrando en su afinación correcta debe tener las siguientes frecuencias naturales. Cuerda f(Hz) 1ª(E4) 329.63 2ª(B3) 246.94 3ª(G3) 196 4ª(D3) 146.83 5ª(A2) 110 6ª(E2) 82.41 Tabla 3–2. Tabla de frecuencias de vibración natural de las cuerdas al aire. Estas vibraciones son las correspondientes al primer modo de vibración, y serán iguales para todos los instrumentos. Por otro lado, el timbre característico y la riqueza sonora de cada instrumento se da por el resto de frecuencias de vibración, es decir, los armónicos. Estudio de las cuerdas 26 26 3.2 Propiedades de las cuerdas Se han estudiado las cuerdas del fabricante D’Addarío del modelo EJ45 con las siguientes propiedades: Cuerda d(mm) T(kg) 1ª(E4) 0.72 7.36 2ª(B3) 0.82 5.46 3ª(G3) 1.02 5.39 4ª(D3) 0.74 7.08 5ª(A2) 0.89 7.21 6ª(E2) 1.09 6.43 Tabla 3–3. Tabla de propiedades de las cuerdas dadas por el fabricante D´Addarío. El propio fabricante da una formula con la que calculan la tensión de sus cuerdas: T=μ·(2Lf)2 386.4 (hz, in, lb) Con toda esta información se puede calcular la masa unitaria (μ), y con ella la densidad (ρ). Cuerda µ(kg/m) ρ(kg/m3) 1ª(E4) 3.96E-04 973 2ª(B3) 5.22E-04 989 3ª(G3) 8.20E-04 1000 4ª(D3) 1.92E-03 4400 5ª(A2) 3.48E-03 5600 6ª(E2) 5.54E-03 5940 Tabla 3–4. Tabla de propiedades de las cuerdas obtenidas mediante la fórmula del fabricante D´Addario. Para definir el comportamiento de la cuerda completamente solo falta por conocer el módulo de elasticidad de las cuerdas, que será obtenido por un modelo de elementos finitos. 27 3.3 Modelo MEF 3.3.1 Obtención del modulo de elasticidad Para el estudio de la cuerda se ha realizado un modelo en Abaqus. El modelo será una barra biapoyada de 650 mm con una pretensión aplicada con las características anteriormente descritas a excepción del módulo de elasticidad. Para obtener el módulo de elasticidad se realizará un análisis modal de cada cuerda, ya que al conocer el primer modo de vibración de cada cuerda se supondrá un valor inicial del módulo de elasticidad y se resolverá el análisis modal. En función del resultado obtenido se modificará el valor del módulo de elasticidad hasta que la solución del análisis modal converja con la solución teórica de la primera frecuencia de cada cuerda. De esta manera para cada cuerda el módulo de elasticidad y la pretensión serán: Cuerda T(N) E(Pa) 1ª(E4) 72.20 4.00E+09 2ª(B3) 53.56 4.00E+09 3ª(G3) 52.88 4.00E+09 4ª(D3) 69.45 5.50E+09 5ª(A2) 70.73 5.50E+09 6ª(E2) 63.08 5.50E+09 Tabla 3–5. Tabla de fuerza y módulo de elasticidad. 3.3.2 Cálculo de las reacciones dinámicas Una vez descrita completamente la cuerda se hará un análisis dinámico mediante la integración de las ecuaciones. Se usará este tipo de análisis ya que es el indicado para problemas con comportamiento no lineal. El fin de este análisis es encontrar las reacciones en un extremo de la cuerda cuando se le hace vibrar de manera que represente la realidad. Para representar la realidad se dará un desplazamiento transversal a la cuerda de 1 mm en un punto a 100 mm del extremo. Figura 3-1. Esquema del modelo empleado. Estudio de las cuerdas 28 28 3.4 Análisis de sensibilidad Para resolver el problema y obtener una buena solución hay que buscar una cantidad de elementos y un paso de integración correctos. Para ello se realizarán análisis fijando un parámetro y variando el otro. Este análisis se realizará sobre la primera cuerda, ya que es la cuerda con las mayores frecuencias de vibración y por tanto la que menos paso de integración necesitará. 3.4.1 Sensibilidad respecto a los elementos Teniendo en cuenta que una cuerda vibra como una suma ponderada de todos sus modos de vibración y que el modo de vibración con menor frecuencia se alcanza en 330 Hz, el periodo para esa frecuencia será de 3E-3 s. Por lo tanto, el primer paso que se usará en el ensayo se tomará 1E-4. Fijando el paso de integración en 1E-4 variamos el número de elementos realizándose el estudio para 15, 65 y 130 elementos. Figura 3-2. Reacción longitudinal para 13 y 65 elementos con paso de 1E-4. 29 Figura 3-3. Reacción longitudinal para 65 y 130 elementos con paso de 1E-4. Se aprecian cambios en los resultados entre el modelo con 13 y 65 elementos, pero los cambios en el resultado entre 65 y 130 elementos son relativamente pequeños. Por lo tanto, se tomarán elementos 65 elementos para el modelo. Estudio de las cuerdas 36 36 Figura 3-166. Reacción transversal paralela a la tapa quita cuerda. Figura 3-177. Reacción transversal paralela a la tapa sexta cuerda. 37 3.5.3 Reacciones transversales normales a la tapa Por último la reacción en el en la dirección ortogonal al plano donde la cuerda vibra será despreciable ya que las amplitudes de estas reacciones son del orden de 1E-12 y 1E-16. Se muestra a continuación la reacción de la primera cuerda. Figura 3-188. Reacción transversal normal a la tapa primera cuerda. Finalmente, del estudio de las cuerdas se acabará usando para el estudio de la tapa las reacciones doce reacciones mencionadas anteriormente en el estudio dinámico, y las pretensiones en el caso del estudio estático. Estudio de las cuerdas 38 38 39 Estudio de la tapa 40 40 4 ESTUDIO DE LA TAPA 4.1 Propiedades del material La tapa estará constituida por dos tipos de maderas, palo santo para el puente, y pino abeto alemán para el resto del modelo. VALORES MECANICOS DE MADERAS EMPLEADAS PROPIEDADES PINOABETO ALEMÁN PALOSANTO E1(GPa) 1.00E+10 1.36E+10 E2(GPa) 2.00E+08 7.00E+08 E3(GPa) 2.00E+08 7.00E+08 G23(GPa) 1.00E+08 1.00E+08 G12(GPa) 8.50E+08 2.91E+09 G13(GPa) 8.50E+08 2.91E+09 V12 0.06 0.025 V13 0.06 0.025 V23 0.6 0.3 p(Kg/m3) 400 1150 Tabla 4–1. Tabla de propiedades mecánicas de las maderas empleadas. VALORES CARACTERISTICOS DE ROTURA PINOABETO ALEMÁN (N/mm2) FLEXION fm,k 24 TRACCION PARALELA ft,0,k 14 TRACCION PERPENDICULAR ft,90,k 0.5 COMPRESION PARALELA fo,0,k 21 COMPRESION PERPENDICULAR fo,90,k 2.5 CORTANTE fv,k 2.5 Tabla 4–2. Tabla valores característicos de rotura del pinoabeto alemán. 41 4.2 Medidas y direcciones Para la descripción de todos los elementos, con el fin de no enmarañar el dibujo con infinidad cotas, cada tipo de elemento será definido de la siguiente manera: Largo x Ancho x Alto (cotas en mm) 4.2.1 Barras armónicas Son barras de sección rectangular que serán definidas según el siguiente esquema. Todas las barras armónicas tienen canteados los extremos con un ángulo de 10 grados. Figura 4-1.Geometría, definición de cotas y direcciones del material de las barras armónicas. Estudio de la tapa 42 42 4.2.2 Refuerzos Son barras de sección semieliptica que serán definidas según el siguiente esquema. Figura 4-2. Geometría, definición de cotas y direcciones del material de los refuerzos. 4.2.3 Contrarroseta Son barras de sección de arco de circunferencia que serán definidas según el siguiente esquema Figura 4-3. Geometría, definición de cotas y direcciones del material de las contrarrosetas. 43 4.3 Condiciones de contorno - El contorno exterior de la tapa tendrá grados de libertad de desplazamiento y rotación nulos. En la construcción de guitarras los elementos que unen la tapa a los aros son los zoquetillos o las cadenetas ranuradas. La utilidad de estos elementos es tener un área suficiente de pegado entre tapa y aros, por lo tanto esto explica las condiciones de contorno consideradas. Figura 4-4. Detalle de unión de la tapa y el aro. Figura 4-5. Elementos de unión entre tapa y aros. Estudio de la tapa 44 44 4.4 Fuerzas En un primer paso se estudiará el caso estático, es decir, la tapa con las pretensiones correspondientes a las cuerdas en reposo aplicadas en el puente. Estas pretensiones serán las ofrecidas por el fabricante descritas anteriormente. Figura 4-6. Esquema de fuerzas en el modelo para el caso estático. En un segundo paso se estudiará el caso dinámico, donde se introducirán las reacciones de las cuerdas mediante las amplitudes anteriormente graficadas. Figura 4-7. Esquema de fuerzas en el modelo para el caso dinámico. 45 4.5 Resultados y optimización El parámetro que se ha decidido maximizar para la optimización ha sido la energía cinética de deformación, poniendo como restricción el fallo del material mediante el criterio de Tsai Hill, usado para materiales anisótropos. Se ha establecido un área de la tapa donde se interpretarán los resultados que excluye el contorno exterior, ya que en el entorno donde se aplican las condiciones de contorno los resultados pueden no ser veraces, y la unión con la caja rigidiza la zona, con lo que la resistencia de la zona es mayor que la de la tapa únicamente. Figura 4-8. Esquema de la zona donde se estudiarán los resultados. Estudio de la tapa 52 52 4.6 Conclusiones de la tapa En la tabla se muestran los valores máximos y mínimos de todas las tensiones que sufre la tapa en cada modelo estudiado y se comparan con los límites de rotura del material. TENSION PRELIMINAR SIN REFUERZOS FINAL LIMITE ROTURA S11 MAXIMA 7.22 9.84 8.8 14 S11 MINIMA -7.13 -10.49 -8.7 21 S22 MAXIMA 0.37 1.14 0.39 0.5 S22 MINIMA -0.39 -1.32 -0.4 2.5 S12 MAXIMA 1.03 2.65 1.19 2.5 S12 MINIMA -1.04 -2.77 -1.2 2.5 Tabla 4–5. Tabla comparación de tensiones máximas de los distintos modelos. Debido a que las tensiones máximas y mínimas en valor absoluto son prácticamente iguales y que los límites de rotura para las tracciones son significativamente menores, en la tapa se producirán las roturas por tracción o por cortante. Para el modelo sin refuerzo el valor del cortante y la tracción transversal exceden el valor límite de la rotura, siendo la tracción transversal la dominante en la rotura. La tracción longitudinal aun sin refuerzos no supera en absoluto el valor límite, en contra de lo que la intuición puede decir según la disposición de las fuerzas que transmiten las cuerdas a la tapa. En el modelo preliminar se cumple el criterio de rotura, pero resulta interesante observar que las tracciones longitudinales se reducen muy poco con respecto al modelo sin armar mientras que el valor de la tracción transversal y el cortante se reducen del orden del 30%. Para el modelo final se ha cambiado el estilo de la contrarroseta y se ha reducido la sección del varetaje interior, de esta manera se han aumentado levemente tas tensiones de tracción longitudinal y de cortante, mientras que las tensiones de tracción transversal son prácticamente iguales. Como conclusión a la discusión de las tensiones máximas y mínimas de los distintos modelos se puede ver que los modelos de varetaje tipo Torres fallan prácticamente por las tracciones transversales, es decir, el recorrido de la optimización depende casi exclusivamente de estas tensiones. Con esta información se podría descartar este tipo de modelo o modificar las disposiciones de los elementos interiores para aumentar las tensiones de cortante y tracciones longitudinales para aprovechar la resistencia no utilizada. 53 Constatación de resultados 54 54 5 CONSTATACIÓN DE RESULTADOS Se han realizado unos ensayos experimentales con un sonómetro para validar los resultados obtenidos a partir de los modelos de elementos finitos realizados. 5.1 Silencio En primer lugar, se ha realizado una medición del silencio de la sala donde se realizó el ensayo para poder tener en cuenta el sonido residual en las posteriores mediciones. Figura 5-1. Medición acústica del silencio. 55 5.2 Exenta En el primer ensayo se ha pretendido caracterizar el comportamiento de la sexta cuerda desacoplada de la guitarra, tal y como se ha estudiado en los modelos de elementos finitos referentes a las cuerdas. Para su realización se ha colocado la cuerda en una barra suficientemente rígida para que las vibraciones que capte el sonómetro sean casi exclusivamente las de la cuerda, además la cuerda tiene la misma longitud de vibración y la misma pretensión que en el modelo. Figura 5-2. Instrumento para medir el sonido de la cuerda exenta. Para este ensayo se ha colocado la cuerda frente al sonómetro y se le ha dado un desplazamiento inicial dejando a la cuerda vibrar. Figura 5-3. Disposición del ensayo de la cuerda exenta. Constatación de resultados 56 56 Figura 5-4. Medición acústica de la cuerda exenta. Con los resultados arrojados es inmediato comprobar que se cumple que en el dominio de las frecuencias la mayor respuesta se da en el entorno de la frecuencia natural de la sexta cuerda, es decir, 82.41 Hz 57 5.3 Guitarra En este segundo ensayo se ha pretendido caracterizar el comportamiento de la sexta cuerda en la propia guitarra. Para su realización se ha dispuesto el ensayo bajo las mismas circunstancias que el ensayo anterior. Figura 5-5. Disposición del ensayo de la cuerda en la guitarra. Figura 5-6. Medición acústica de la cuerda en la guitarra. Constatación de resultados 58 58 Con los resultados arrojados se observa que en el dominio de las frecuencias una de las principales respuestas se da en el entorno de la frecuencia natural de la sexta cuerda, es decir, 82.41 Hz. Esta respuesta no será la mayor, sino que habrá otras respuestas dominantes porque en este ensayo al vibrar la cuerda, esta excita a la tapa, por lo tanto, esto corrobora la afirmación que dan los luthiers debido a su experiencia que la tapa es la que da la complejidad armónica de la guitarra. Otro resultado que arroja este ensayo es que hay una variación de sonoridad entre los dos ensayos. En la cuerda exenta se llega al máximo de 55.6 dB, mientras que con la cuerda dispuesta en la guitarra se llega al máximo de 67.2 dB. 5.4 Validación primera hipótesis En este tercer ensayo se ha pretendido validar la primera hipótesis, es decir verificar que la tapa se excita porque el puente hace de nexo entre las cuerdas y la tapa. En este caso se ha colocado la guitarra y la cuerda exenta lo más próximas posible y se ha hecho vibrar la cuerda exenta. Figura 5-7. Disposición del ensayo para la validación de la primera hipótesis. 59 Figura 5-8. Medición acústica para la validación de la primera hipótesis. Con los resultados arrojados tras el ensayo, se ve que la sonoridad baja, esto es porque la configuración del ensayo ha cambiado, pero en este ensayo no se busca un valor cuantitativo sino cualitativo, por lo tanto cualitativamente la respuesta en el régimen de las frecuencias es prácticamente idéntico a la respuesta del primer ensayo (cuerda exenta), esto constata que la tapa no vibra por simpatía a la vibración de las cuerdas cuando estas vibran en su cercanía, sino por la acción del puente que hace de nexo, por lo tanto se valida la primera hipóte 5.5 Validación segunda hipótesis Esta hipótesis está validada por el luthier argentino Ricardo Louzao que construyó una guitarra en la que se podía desacoplar la caja de resonancia, compuesta en ese caso por aros y fondos, del resto de la guitarra. Tocando esta guitarra sin caja de resonancia y con caja de resonancia es inmediato validar esta segunda hipótesis. Constatación de resultados 60 60 61 .