Propagación del sonido en un medio granular

Universidad de Sevilla Facultad de Física TRABAJO DE FIN DE GRADO Propagación del sonido en un medio granular Jacob Martín Serrano Tutores: Miguel Ángel Sánchez Quintanilla Alberto Pérez Izquierdo 1 2 Índice Resumen ................................................................................................................................ 3 1. Objetivo ......................................................................................................................... 4 2. Introducción ................................................................................................................... 5 3. Fundamento teórico ...................................................................................................... 8 3.1. Ondas sonoras ........................................................................................................ 8 3.2. Teoría de la elasticidad ........................................................................................ 13 3.3. Ondas sonoras en sólidos ..................................................................................... 15 3.4. Piezoelectricidad. Ecuaciones constitutivas. ........................................................ 19 3.5. Modelo de Hertz .................................................................................................. 22 3.6. Ondas en un medio granular tridimensional compuesto por esferas .................. 26 4. Método experimental .................................................................................................. 30 4.1. Medida directa del tiempo de vuelo .................................................................... 31 4.2. Medida del tiempo de vuelo a través de la correlación cruzada .......................... 34 5. Resultados experimentales .......................................................................................... 34 5.1. Esferas de vidrio ................................................................................................... 35 5.2. Esferas de polimetilmetacrilato (PMMA) ............................................................. 37 5.3. Esferas de polietileno (PE) .................................................................................... 38 5.4. Medidas con la correlación cruzada ..................................................................... 39 6. Discusión de resultados ............................................................................................... 42 7. Conclusiones ................................................................................................................ 45 8. Bibliografía ................................................................................................................... 46 3 Resumen En el siguiente trabajo se analiza la dependencia de la velocidad de propagación de ondas de ultrasonido en un medio granular con la carga de compresión a la que se encuentra sometido, esperando que siga la dependencia predicha por el modelo de contacto de Hertz. Primero se hace una breve introducción a los medios granulares, su importancia, teorías de contacto y ultrasonidos para posteriormente explicar la parte teórica necesaria para entender el experimento: los fundamentos de ondas, teoría de elasticidad, piezoelectricidad, modelo de Hertz de contacto entre dos partículas y su aplicación para medios granulares que nos da la dependencia de la velocidad del sonido con la carga que esperamos comprobar experimentalmente. A continuación, se explica el procedimiento experimental y el montaje para posteriormente analizar los resultados correspondientes a varias muestras de pequeñas esferas de vidrio, polimetilmetacrilato (PMMA) y polietileno (PE). No se observa el mismo comportamiento en todas las muestras, ya que el mecanismo de contacto depende de la rigidez del material y de la carga a la que está sometido, comprobándose que sólo con las esferas de polimetilmetacrilato se obtiene la dependencia esperada aplicando el modelo de contacto de Hertz. 4 1. Objetivo El objetivo de este trabajo experimental es por tanto aplicar el modelo de Hertz de contacto entre dos partículas para obtener la relación entre la velocidad de propagación del sonido en un medio granular y la carga de compresión a la que se encuentra sometido con la finalidad de posteriormente comprobar dicha dependencia experimentalmente, para lo que se utilizarán distintas muestras de medios granulares. El montaje experimental se basa en un circuito con dos transductores piezoeléctricos (emisor y receptor) que convierten señales eléctricas en ondas de ultrasonido y viceversa, lo que nos permite obtener el tiempo de vuelo de la onda y así obtener una medida de la velocidad. Se utilizarán distintas pesas para comprimir el material y observar el cambio en la velocidad que esto provoca. 5 2. Introducción Los medios granulares son conocidos por el hombre desde la antigüedad, habiendo sido manipulados con diferentes finalidades (por ejemplo, en la alimentación o construcción). Estos usos han motivado un interés por entender sus propiedades, aunque no es hasta principio de los años 80 cuando físicos se proponen elaborar una teoría sobre medios granulares, siendo actualmente un área de la Física en desarrollo, debido a la complejidad que presenta su estudio. Actualmente la comprensión de las propiedades mecánicas de los medios granulares es fundamental en diversas disciplinas como la ingeniería civil, ingeniería y ciencia de materiales, ingeniería química, geofísica, geología… [1]. Aunque el concepto de medio granular es intuitivo, una definición adecuada es la de un agregado de elementos macroscópicos independientes (granos) que interactúan entre sí mediante fuerzas de contacto disipativas y restitutivas [2]. Esto hace que, aunque dichos elementos constituyentes sean sólidos, puedan ser considerados un estado de la materia diferente a los estados de agregación típicos debido a las particulares propiedades que presentan. En la Figura 1 se observa la diferente respuesta de un medio granular contenido en un recipiente cuando se somete a una inclinación de un ángulo 𝜃 y posteriormente se vuelve a la posición inicial. A diferencia de los sólidos masivos cuando un material granular se deposita en un recipiente ocupa un volumen aparente 𝑉# , siendo dicho volumen superior al que se obtendría sumando el volumen de cada grano uno a uno o volumen real 𝑉$ . La diferencia entre ambos es el volumen intersticial 𝑉% o volumen que ocupan los huecos entre los granos. Se define la fracción de compactación o empaquetamiento como 𝜙=𝑉$ 𝑉#=1−𝑉% 𝑉#*. (2.1) Otra magnitud análoga a la anterior es la densidad aparente 𝜌# 𝜌#=𝑀 𝑉#=𝜙𝜌* (2.2) donde 𝑀 es la masa y 𝜌 la densidad. La fracción de empaquetamiento depende de la forma y rugosidad de los granos, pero también de la forma en la que son manipulados o depositados. Cuando tenemos un material granular denso al azar su valor está en torno a 𝜙*~*0.64 . 6 Figura 1. Comportamiento característico de un medio granular. Imagen sacada de “Los materiales granulares: una mirada al interior del pimentero” [2]. Figura 2. Distribución de las cadenas de esfuerzo en un medio granular. Imagen sacada de “Dynamics of meteor impact” [3]. Otra característica importante de los medios granulares es la forma en la que se transmiten los esfuerzos entre las distintas partículas. Éstos se transmiten de forma no lineal e irregular, siguiendo lo que se denominan “cadenas de esfuerzo”. Mientras que en un fluido al aplicar presión ésta se transmite uniformemente en todas direcciones (principio de Pascal), en un medio granular hay partículas que soportan gran parte de la carga y otras que no soportan ninguna, transmitiéndose ésta por los puntos de contacto entre los distintos granos. En la Figura 2 se muestra el esfuerzo transmitido cuando se bombardea un medio granular con una esfera de mayor peso [3]. Esta manera de transmitir los esfuerzos que tiene un medio granular es la que determina otras propiedades como la conductividad térmica, eléctrica o la que en este caso nos ocupa, la propagación del sonido. La rama de la física que estudia la propagación del sonido es la acústica. El sonido es una onda mecánica que necesita de un medio material para su propagación, ya sea éste gaseoso, líquido o sólido. Aunque inicialmente se creía que el sonido sólo se podía propagar por el aire, el 7 considerado padre de la acústica Ernst Chladni (1756-1827) consiguió medir la velocidad del sonido en diferentes materiales sólidos no sólo demostrando su propagación, sino que además en general la velocidad del sonido es mayor en sólidos que en líquidos y en líquidos mayor que en gases [4]. Además, como se demostrará posteriormente, está íntimamente relacionada con las propiedades mecánicas del sólido mediante la expresión 𝑣=3𝐸𝜌 (2.3) donde 𝐸 es el módulo de Young o módulo de rigidez (relación entre tensión normal y deformación unitaria de un material) y 𝜌 la densidad del material. Por lo tanto la medición experimental de la velocidad del sonido en un sólido proporciona una manera de estimar su módulo de Young. En el caso de un medio granular, la dependencia será distinta y estará influida por la manera en la que los esfuerzos se transmiten por dicho medio y en consecuencia por los contactos entre las distintas partículas. Un modelo teórico de contacto es el establecido por el físico alemán Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894), el cual establece el área de contacto y una distribución de presión a través de dicha área para dos sólidos elásticos cargados uno contra otro. Aunque dicho modelo sólo es válido bajo ciertas condiciones, ha servido como fundamento para la elaboración de otras teorías de contacto más complejas. En el caso de un medio granular tenemos partículas en contacto unas con otras y estas áreas de contacto dependen de la carga a la que está sometido el material, afectando a la transmisión de esfuerzos en el medio y por tanto a la propagación del sonido. Los sonidos que se utilizarán para realizar el experimento son ultrasonidos. Mientras que el rango de frecuencias audible está entre 20*𝐻𝑧 y 20*𝑘𝐻𝑧 , se consideran ultrasonidos a los que están comprendidos entre 20*𝑘𝐻𝑧 y 1*𝐺𝐻𝑧 . Algunas de las aplicaciones de los ultrasonidos más ampliamente conocidas son la obtención de imágenes del interior del cuerpo (ecografías) o en sistemas de navegación marítima. Su baja velocidad en comparación con las ondas electromagnéticas y la facilidad que tienen para penetrar en cuerpos opacos son las principales propiedades que los hacen tan útiles [5]. En el ámbito de la ciencia de materiales los ultrasonidos se utilizan para obtener información sobre las propiedades de los sólidos y a 8 escala industrial sirven para realizar ensayos no destructivos de detección de defectos. En este experimento los utilizaremos para comprobar el modelo de contacto entre las partículas de un medio granular a partir del cambio en la velocidad de propagación cuando aplicamos una cierta carga sobre el material. 3. Fundamento teórico 3.1. Ondas sonoras Antes de adentrarnos en el estudio de las ondas, y dentro de éstas de las ondas sonoras, conviene hacer un repaso del oscilador armónico, que nos ayuda a entender las vibraciones [6]. El modelo del oscilador armónico es muy útil ya que describe muy apropiadamente el movimiento de un sistema que es desplazado ligeramente de su posición de equilibrio, por lo que su energía potencial en torno a dicha posición, tomándola como origen, puede escribirse desarrollando hasta el tercer término como 𝑉(𝑥)=𝑉|>?>@+𝑑𝑉(𝑥) 𝑑𝑥 C>?>@𝑥+12𝑑D𝑉(𝑥) 𝑑𝑥DE>?>@𝑥D**. (3.1.1) Tomando el origen de energía como la correspondiente a la posición de equilibrio y siendo dicha posición un mínimo de energía, los dos primeros términos son nulos, por lo que dicha energía puede escribirse en torno a la posición de equilibrio como 𝑉(𝑥)=12𝑑D𝑉(𝑥) 𝑑𝑥DE>?>@𝑥D*** (3.1.2) lo que nos lleva a una expresión de la fuerza como 𝐹G=−∇𝑉(𝑥)=−𝑘𝑥𝑢> J J J J G (3.1.3) donde 𝑘=𝑑D𝑉(𝑥)/𝑑𝑥D es la constante elástica del oscilador. Dicha expresión se conoce como ley de Hooke e igualándola a la segunda ley de Newton se llega a la ecuación diferencial 𝑑D𝑥 𝑑𝑡D+𝑘 𝑚𝑥=0*. (3.1.4) Las soluciones de dicha ecuación pueden escribirse como 𝑥=𝐴Ocos(𝜔T𝑡)+𝐴Dsin(𝜔T𝑡) (3.1.5) donde 𝜔T=𝑘/𝑚 es la frecuencia angular de la oscilación y las dos constantes dependen de las condiciones iniciales. La solución puede escribirse también como 15 𝑐%a=⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝜆+2𝜇 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆+2𝜇 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆+2𝜇 000 000 000 0*********** 0 ***********0 0*********** 0 ***********0 0*********** 0 ***********0 𝜇 0 0 0 𝜇 0 0 0 𝜇⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ *. (3.2.7) A partir de las constantes de Lamé se pueden definir otras constantes elásticas: - Módulo de Young: expresa la relación entre la tensión axial aplicada (tracción o compresión) y la deformación producida en dicha dirección. Proporciona una medida de la rigidez de un material. Se escribe como 𝐸=𝜇(3𝜆+2𝜇) 𝜆+𝜇 **. (3.2.8) - Módulo de Poisson: da la relación entre la contracción transversal y la extensión longitudinal cuando se aplica una tensión de tracción. 𝜈= 𝜆 2(𝜆+𝜇)**. (3.2.9) - Módulo de compresión: 𝐾=𝜆+2𝜇 3**.* (3.2.10) - Módulo de rigidez (𝜇) : es análogo al módulo de Young para cuando sólo hay tensiones de cizalla, es decir, da la relación entre la tensión de cizalla y la deformación de cizalla producida por dicha tensión. 3.3. Ondas sonoras en sólidos Una vez introducida la teoría de la elasticidad, en la que se ha supuesto que las deformaciones y tensiones son estacionarias, es el turno de ver como se propaga una deformación en un sólido [8]. Consideremos un sólido monodimensional de longitud 𝑙* orientado en dirección 𝑥 al que al aplicarle una fuerza 𝐹 sufre una deformación infinitesimal 𝜕𝑢 . La tensión entonces es 𝑇= 𝐹/𝐴 y la deformación unitaria 𝑆=𝜕𝑢 𝑙=𝜕𝑢 𝜕𝑥*. (3.3.1) La segunda ley de Newton quedaría 16 𝜕𝑇 𝜕𝑥=𝜌𝜕D𝑢 𝜕𝑡D*** (3.3.2) donde 𝜕𝑇/𝜕𝑥 es la fuerza por unidad de volumen y 𝜌 la densidad del sólido. La ley de Hooke quedaría entonces 𝑇=𝑐𝑆 y combinándola con (3.3.1) y (3.3.2) se obtiene 𝜕D𝑢 𝜕𝑥D=𝜌𝑐𝜕D𝑢 𝜕𝑡D (3.3.3) cuyas soluciones ya vistas anteriormente son de la forma 𝑢=𝑅𝑒¤𝐴𝑒%(ˆ>gbc)+𝐵𝑒%(ˆ>ibc)¥. (3.3.4) La velocidad de la onda en este caso es 𝑣¦= § 𝑐/𝜌*. Las densidades de energía cinética y potencial tienen las expresiones 𝑢ˆ=12𝜌𝑢¨D (3.3.5) 𝑢‡=12𝑇𝑆.* (3.3.6) Calculando sus valores medios y sumándolos, se llega a que la densidad de energía media total es 𝑢©#=12𝑅𝑒[𝑇𝑆∗]***. (3.3.7) Definiendo la intensidad acústica como el flujo de energía por unidad de tiempo y unidad de área 𝐼=𝑑𝑈 - # 𝐴𝑑𝑡=𝑢 © #𝐴𝑣¦𝑑𝑡 𝐴𝑑𝑡 =𝑢 © #𝑣¦* (3.3.8) y el vector de Poynting acústico que da la dirección del flujo de energía 𝑃=−𝑢¨𝑇. (3.3.9) Para un sólido en tres dimensiones, la segunda ley de Newton tiene la forma 𝜕𝑇%a 𝜕𝑥a=𝜌𝜕D𝑢% 𝜕𝑡D* (3.3.10) Escribiendo la tensión en función de las constantes elásticas del material y de las deformaciones según (3.2.1) y (3.2.7) se llega a 𝜌𝜕D𝑢% 𝜕𝑡D=𝜕 𝜕𝑥%®(𝑐OO−2𝑐››)𝜕𝑢% 𝑑𝑥%¯+𝑐››𝜕D𝑢% 𝜕𝑥aD+𝑐›› 𝜕 𝜕𝑥%r𝜕𝑢% 𝜕𝑥as (3.3.11) que en forma vectorial utilizando el operador nabla ∇= ° ± ±>²,± ±>³,± ±>´ µ, puede escribirse como 17 𝜌𝜕D𝑢% 𝜕𝑡D=(𝑐OO−2𝑐››)∇(∇·uJ G )+𝑐››∇DuJ G **. (3.3.12) Como cualquier campo vectorial puede ser escrito como una suma de un gradiente de un potencial escalar y el rotacional de un potencial vector uJ G =∇𝜙+∇×𝜓 J G (3.3.13) sustituyendo esto en (3.3.12) se llega a ∇ J J G r 𝜌𝜕D𝜙 𝜕𝑡D−𝑐OO∇D𝜙 s +∇× r 𝜌𝜕D𝜓 J G 𝜕𝑡D−𝑐››∇D𝜓 J G s =0*. (3.3.14) Al ser el primer término un escalar y el segundo un vector, entonces ambos deben ser nulos y entonces 𝜌𝜕D𝜙 𝜕𝑡D=𝑐OO∇D𝜙*** (3.3.15) 𝜌𝜕D𝜓 J G 𝜕𝑡D=𝑐››∇D𝜓 J G . ** (3.3.16) Como en la primera ecuación aparece la constante 𝑐OO=𝜆+2𝜇 que relaciona la deformación que sufre un cuerpo en la dirección en la que se aplica la carga, dicha ecuación nos da los modos longitudinales de vibración. En la segunda ecuación aparece 𝑐››=𝜇 que relaciona tensión y deformaciones de cizalla, por lo que está asociada a los dos modos transversales de vibración. Escribiendo los desplazamientos en función de los potenciales 𝑢J G ¦=∇𝜙 (3.3.17) ∇×𝑢J G ¦=0** (3.3.18) 𝑢J G w=∇×𝜓 J G * (3.3.19) ∇·𝑢J G w=0** (3.3.20) Se llega a 𝜕D𝑢J G ¦ 𝜕𝑡D=𝑉¦D∇D𝑢J G ¦* (3.3.21) 18 𝜕D𝑢J G w 𝜕𝑡D=𝑉wD∇D𝑢J G w (3.3.22) donde 𝑉¦= § 𝑐OO/𝜌 y 𝑉w= § 𝑐››/𝜌. El vector de Poynting acústico en 3 dimensiones toma la forma 𝑃a(𝑥%,𝑡)=−𝑇%a𝜕𝑢% 𝜕𝑡*.** (3.3.23) A las ondas longitudinales que se propagan en un sólido se las conoce como ondas P (de presión), mientras que a las ondas transversales se las conoce como ondas S (del inglés shear, cizalla). En las ondas P no hay rotación, y la deformación se produce en la dirección de propagación, comprimiéndose y descomprimiéndose el sólido según se propaga la onda, lo que implica un cambio local en el volumen, mientras que en las ondas S no hay cambio de volumen y el movimiento se produce en dirección perpendicular a la propagación de la onda. En la Figura 4 se muestra un esquema de una onda P y S propagándose en dirección 𝑥 . Figura 4. Propagación de una onda longitudinal o P (a) y transversal o S (b) en un sólido. El modo asociado a la onda S es el que produce la deformación en dirección z. Figura sacada de “Fundamentals and Applications of Ultrasonic waves” [9]. 19 3.4. Piezoelectricidad. Ecuaciones constitutivas. De entre todos los métodos para producir ondas de ultrasonido, el uso de materiales piezoeléctricos es el más usado. La piezoelectricidad es una propiedad que presentan ciertos materiales cristalinos en los cuales, tras aplicar una carga, no solo se produce una deformación, también aparece una diferencia de potencial [10, 11]. Además, también se produce el fenómeno inverso: al aplicar una diferencia de potencial el material piezoeléctrico se deforma, lo que sirve para producir ultrasonidos a partir de una señal eléctrica. La explicación de este fenómeno se debe a que en los cristales piezoeléctricos no existe un centro de simetría. Supongamos que tenemos un monocristal de cuarzo entre dos electrodos metálicos. Cuando no se aplica carga, el centro de gravedad de las cargas positivas y negativas coincide, por lo que el momento dipolar total es cero. Cuando aplicamos carga sobre el cristal, los centros de gravedad de ambos tipos de carga dejan de coincidir, lo que crea un momento dipolar no nulo en el material. El signo de dicho momento dependerá de si la carga aplicada es de tracción o compresión. Consecuentemente, si aplicamos una carga oscilante, el campo eléctrico creado por el material piezoeléctrico será también oscilante y por lo tanto también lo será la diferencia de potencial entre las dos caras del material, lo cual convierte señales mecánicas en señales eléctricas y viceversa [12]. El desplazamiento eléctrico en el cristal se puede escribir como (suponiendo únicamente una dirección) 𝐷=𝜀»𝐸+𝑒𝑆 (3.4.1) donde 𝐸* es el campo eléctrico, 𝑒 es la constante piezoeléctrica y 𝑆 la deformación. 𝜀» es la permitividad del material y el superíndice 𝑆 indica que se mide a deformación constante o nula. La tensión se puede escribir de la forma 𝑇=𝑐¼𝑆−𝑒𝐸** (3.4.2) 20 Las dos ecuaciones anteriores son las ecuaciones constitutivas del material piezoeléctrico, en las que tenemos dos variables mecánicas ( 𝑇,𝑆 ) y dos variables eléctricas ( 𝐷,𝐸 ). Para pequeñas variaciones podemos escribir 𝑆=o𝜕𝑆 𝜕𝑇p𝑇+o𝜕𝑆 𝜕𝐸p𝐸** (3.4.3) 𝐷=o𝜕𝐷 𝜕𝑇p𝑇+o𝜕𝐷 𝜕𝐸p𝐸*. (3.4.5) Definiendo las constantes como 𝑠¼=o𝜕𝑆 𝜕𝑇p¼** (3.4.6) 𝑑= o 𝜕𝑆 𝜕𝐸 p w= o 𝜕𝐷 𝜕𝑇 p ¼ (3.4.7) 𝜀w=o𝜕𝐷 𝜕𝐸pw (3.4.8) otras dos ecuaciones constitutivas pueden escribirse como 𝑆=𝑠¼𝑇+𝑑𝐸 (3.4.9) 𝐷=𝑑𝑇+𝜀w𝐸 (3.4.10) y de la misma manera también pueden escribirse 𝑇=𝑐½𝑆−ℎ𝐷* (3.4.11) 𝑆=𝑠½𝑇+𝑔𝐷. (3.4.12) A la constante 𝑔* se la conoce como constante del receptor, que para impedancias de corriente altas (densidad de corriente nula), nos da la relación entre la carga aplicada y el campo eléctrico producido por el piezoeléctrico. A la constante ℎ* se la conoce como constante del transmisor y relaciona la deformación con el campo eléctrico producido también en el caso de impedancias eléctricas altas. Para el caso tridimensional, las constantes de las ecuaciones constitutivas vistas anteriormente toman carácter tensorial 𝑇¿=𝑐%a ¼𝑆À−𝑒¿a𝐸À (3.4.13) 21 𝐷%=𝜀%a »𝐸a+𝑒%À𝑆À (3.4.14) Si consideramos un cristal piezoeléctrico con simetría cilíndrica en torno al eje 𝑧 al cual se le aplica un campo 𝐸— en dicha dirección, suponiendo que las deformaciones en dirección radial 𝑆O=𝑆D=0 , las ecuaciones quedan 𝑇—=𝑐—— ¼𝑆—−𝑒——𝐸—* (3.4.15) 𝐷—=𝜀—— »𝐸—+𝑒——𝑆—** (3.4.16) y teniendo en cuenta que la densidad de corriente es nula entones 𝐽 G =𝜕𝐷 J J G /𝜕𝑡=0 , que 𝐸—=−𝜕𝜙/𝑑𝑧 y 𝑆—=𝜕𝑢•/𝑑𝑧 , las ecuaciones constitutivas quedan 𝑇—=𝑐¼𝜕𝑢• 𝜕𝑧−𝑒𝐸— (3.4.17) 𝐷—=𝑒𝜕𝑢• 𝜕𝑧+𝜀»𝐸—* (3.4.18) que combinándolas con la ecuación de movimiento 𝜕𝑇— 𝜕𝑧=𝜌𝜕D𝑢• 𝜕𝑡D (3.4.19) nos da la ecuación de onda en el piezoeléctrico 𝜌𝜕D𝑢• 𝜕𝑡D=𝑐¼ r 1+ 𝑒D 𝑐¼𝜀» s 𝜕D𝑢• 𝜕𝑧D (3.4.20) por lo que la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en el piezoeléctrico toma la forma 𝑣¦½=3𝑐¼ 𝜌§1+𝐾D* (3.4.21) donde 𝐾D=𝑒D 𝑐¼𝜀» (3.4.22) A esta constante se la conoce como constante de acople piezoeléctrico y proporciona una medida de cómo de eficazmente el material transforma la energía elástica en energía eléctrica y viceversa. Nótese que la velocidad de una onda sonora longitudinal en un material piezoeléctrico es mayor que en uno no piezoeléctrico. 22 La constante 𝐾 también se puede expresar como la relación entre la energía eléctrica y elástica almacenadas 𝐾D=𝑈“éÄc$%Ä# 𝑈“áÆc%Ä#*. (3.4.23) 3.5. Modelo de Hertz Una vez explicada la propagación de ondas sonoras en un sólido, es necesario introducir el modelo de Hertz para nuestro caso particular en el que tenemos un medio granular compuesto por multitud de esferas sólidas en contacto unas con otras. Partiremos de dos sólidos elásticos, de curva suave, en contacto en un solo punto o a lo largo de una línea [13]. Al aplicar una carga sobre los sólidos éstos sufren una deformación alrededor de la zona de contacto, que pasa de ser un punto de contacto a ser un área. Supongamos que ambos sólidos son paraboloides elípticos opuestos cuyos ejes coinciden con el eje z, las directrices de ambos también coinciden y que inicialmente su punto de contacto es el origen de nuestro sistema de coordenadas (Figura 5). Las ecuaciones de ambas superficies serán de la forma: 𝑧O=1 2𝑅′O𝑥OD+1 2𝑅′′D𝑦OD* (3.5.1) 𝑧D=−o 1 2𝑅′D𝑥DD+1 2𝑅′′D𝑦DDp ** (3.5.2) Figura 5. Paraboloides elípticos con contacto en el origen de coordenadas. 23 La separación entre dos puntos de ambas superficies simétricos respecto al plano 𝑥𝑦 será ℎ=𝑧O−𝑧D=1 2𝑅′𝑥D+1 2𝑅′′𝑦D** (3.5.3) donde 1 𝑅′=1 𝑅′O+1 𝑅′D,*******1 𝑅′′=1 𝑅′′O+1 𝑅′′D**.*** (3.5.4) Definiendo el radio equivalente como 𝑅Â=(𝑅′𝑅′′)O/D** (3.5.5) si además los paraboloides elípticos son de revolución entonces se cumple que 𝑅′O=𝑅′′O= 𝑅O y 𝑅′D=𝑅′′D=𝑅D , y sí ambos sólidos son iguales entonces 𝑅O=𝑅D=𝑅È=𝑅ÈÈ=𝑅 . Imaginemos que aplicamos una carga P en la dirección vertical y tras ello el punto de contacto se expande a un área y que además por razones de simetría dicha expansión debe ser la misma en todas direcciones. La distancia entre dos puntos de cada sólido simétricos al plano 𝑥𝑦 dada por la curva (3.5.3) variará, siendo el desplazamiento de cada uno 𝛿O y 𝛿D respectivamente. Si ambos cuerpos no sufrieran deformación solaparían, pero debido a la presión de contacto ambos cuerpos experimentan una deformación paralela al eje 𝑧 , dada por los desplazamientos 𝑢O y 𝑢D . En la Figura 6 se muestra un esquema de las dos partículas y las deformaciones producidas. Figura 6. Esquema de los dos sólidos deformados tras aplicar carga. En línea discontinua se observa el solapamiento que hubiese en caso de que uno de los sólidos no aplicara presión sobre el otro. Se produce una deformación y el punto de contacto se expande a un área. Imagen sacada de “Contact Mechanics” [13]. 24 Los puntos que después de sufrir la deformación son coincidentes en el área de contacto cumplen la condición de que 𝑢O+𝑢D+ℎ=𝛿O + 𝛿D*. (3.5.6) Si por el contrario ambos quedan fuera del área de contacto entonces se cumple que 𝑢O+𝑢D+ℎ>𝛿** (3.5.7) donde 𝛿=𝛿O+𝛿D . Volviendo a la ecuación (3.5.6) y escribiendo ℎ como en (3.5.3), entonces 𝑢O+𝑢D=*𝛿O+𝛿D−1 2𝑅È𝑥D−1 2𝑅ÈÈ𝑦D. ** (3.5.8) En los sólidos de revolución, se entiende que el área de contacto es una circunferencia a cuyo radio llamaremos 𝑎 . Supongamos que estamos en el plano 𝑥𝑧* con 𝑦=0 y que ambos sólidos son de revolución con radios 𝑅O y 𝑅D respectivamente. Teniendo en cuenta que 𝛿O= 𝑢O(0) y 𝛿D=𝑢D ( 0 ) y dividiendo entre 𝑎 , podemos escribir la ecuación (3.5.8) de la forma 1𝑎 ( 𝑢O ( 0 ) −𝑢O ( 𝑥 ) +𝑢D ( 0 ) −𝑢D(𝑥) ) =12 o 1 𝑅O+1 𝑅D p 𝑥D 𝑎*. ** (3.5.9) Haciendo 𝑥=𝑎 y 𝑢 ( 0 ) −𝑢 ( 𝑎 ) =𝑑 , se llega a 𝑑O 𝑎+𝑑D 𝑎=𝑎2o1 𝑅O+1 𝑅Dp (3.5.10) y suponiendo que la deformación es pequeña, entonces 𝑑=𝑑O+𝑑D≪𝑎 , la deformación unitaria estará dada por el cociente 𝑑/*𝑎 y dicha deformación será proporcional a la presión de contacto dividida por el módulo de elasticidad. Suponiendo una presión media 𝑝l 𝑝l 𝐸O+𝑝l 𝐸D∝𝑎 o 1 𝑅O+1 𝑅D p ** (3.5.11) o de otra manera 𝑝l∝𝑎°1 𝑅O+1 𝑅Dµ 1 𝐸O+1 𝐸D*. (3.5.12) 31 Figura 7. Foto y esquema del montaje experimental 4.1. Medida directa del tiempo de vuelo El tiempo de vuelo es el tiempo que tarda la señal de ultrasonido en ir del emisor al receptor, o en otras palabras, el tiempo que tarda en atravesar el medio granular. Para hacer una medición directa del tiempo de vuelo el procedimiento es el siguiente: con el generador de funciones se manda un pulso cuadrado de 1*𝑉𝑝𝑝 al transductor emisor, amplificando la señal con 30*𝑑𝐵 . El transductor emisor es excitado por dicha señal y la convierte en una señal de ultrasonido, que depende de las componentes espectrales de la 32 señal excitadora y de la respuesta del emisor. Esta señal de ultrasonido atraviesa el medio granular y es recogida por el transductor receptor, que la vuelve a convertir en una señal eléctrica que se hace pasar por otro amplificador con nivel 60*𝑑𝐵 y es recogida por el canal 2 del osciloscopio, que mostará una imagen como la de la Figura 8. Recogiendo los datos y analizándolos se puede realizar una medida directa del tiempo de vuelo. Puede resultar complicado establecer cuando empieza la señal del receptor, por lo que el criterio que se seguirá será cuando la señal recibida alcance un 10% del valor del primer máximo. La velocidad entonces se determinará midiendo el espesor del medio granular y dividiendo entre el tiempo de vuelo. Para ver como afecta la carga a la velocidad, se colocarán las pesas encima del transductor emisor con ayuda de un soporte (ver Figura 9). Primero se mide la velocidad simplemente con la carga correspondiente al peso del transductor y del soporte y a continuación se irán colocando gradualmente las pesas en orden ascendente. Una vez que se llega al peso máximo, entonces se van retirando las pesas una a una y se vuelve a medir el tiempo de vuelo cada vez Figura 8. Medida directa del tiempo de vuelo 33 que una pesa es retirada, lo que nos permite comprobar si hay histéresis o no y por lo tanto si hay comportamiento elástico o plástico en los contactos entre las partículas (en otras palabras, si el material absorbe energía elástica tras haber sido cargado que libera tras retirar la carga o si por el contrario disipa dicha energía en forma de calor, deformándose irreversiblemente). En la Figura 9 se observa el recipiente sin cargar y cargado, conteniendo al medio granular y una escala graduada para medir el espesor. Para obtener dicho espesor se realizan cuatro medidas a cada lado del recipiente cada vez que se coloque una pesa. La razón para medir cuatro veces el espesor es que el medio granular no se distribuye en el recipiente con un espesor uniforme, por lo que se tomarán cuatro valores y se supondrá que el espesor es el valor medio de éstos. Por otro lado, se tomarán medidas del espesor cada vez que se aumente o disminuya el peso ya que éste puede variar ligeramente con la carga aplicada, debido a la compactación que sufre el medio granular. Al representar en una gráfica logarítmica la velocidad del sonido en el medio granular frente a la carga aplicada, según la ecuación (3.6.29) se debería de obtener una recta cuya pendiente tiene valor 1/6 de acuerdo con la expresión logOT𝑣‡∝16logOT𝑇T (4.1.1) en la que 𝑣‡=ℎ © 𝑡Ú (4.1.2) 𝑇T= 𝑚w+𝑚‡¡·𝑔 𝐴 (4.1.3) donde ℎ © es la altura media, 𝑡Ú el tiempo de vuelo, 𝑚w es la masa del transductor, 𝑚‡ es la masa del peso añadido, 𝑔=9.8*𝑚D/𝑠 es la aceleración de la gravedad y 𝐴 el área de contacto con el medio granular. 34 Figura 9. Recipiente con el medio granular sin cargar y cargado con una pesa de 0.5 kg. 4.2. Medida del tiempo de vuelo a través de la correlación cruzada Otro método que se puede utilizar para obtener el tiempo de vuelo es a partir de la función de correlación cruzada. La función de correlación cruzada de dos señales 𝑓(𝑡) y 𝑔 ( 𝑡 ) se define como ( 𝑓∗𝑔 )( ∆𝑡 ) = v 𝑓 ( 𝑡 ) ·𝑔 ( 𝑡+∆𝑡 ) 𝑑𝑡 iÝ gÝ *. (4.2.1) Esta función nos da información sobre la similitud de las dos señales en función del desplazamiento de una sobre la otra. El valor de ∆𝑡 para el cual dicha función alcanza el máximo (o mínimo) mas alto es la separación temporal entre las dos señales, es decir, en nuestro caso correspondería al tiempo de vuelo. Con este método se utiliza una señal de ruido para excitar el emisor, siendo el resto del procedimiento de toma de medidas igual que en el caso anterior. 5. Resultados experimentales A continuación, se muestran la representación gráfica en escala logarítmica de la velocidad de propagación obtenida a partir de la medida directa del tiempo de vuelo frente a la carga aplicada sobre el medio granular. Los valores de las pendientes obtenidas con sus correspondientes errores también se muestran a continuación. 35 Se han separado por un lado las distintas muestras de esferas de vidrio, las de PMMA y las de PE por otro, debido a que los resultados son distintos y tienen una interpretación distinta. 5.1. Esferas de vidrio En la tabla 1 se muestran las medidas de la pendiente obtenida en las rectas de la Figura 11. En este caso no se corresponde con el valor de 1/6 que se esperaría haber obtenido. Se observa también que las rectas de carga y descarga (en azul y en naranja respectivamente) son prácticamente coincidentes (no hay deformación plástica). Diámetro (mm) Pendiente de la recta de carga Error relativo R2 recta de carga Pendiente de la recta de descarga Error relativo R2 recta de descarga 0.40 – 0.60 0.266 ± 0.014 5.26 % 0.9879 0.28 ± 0.03 10.71 % 0.9684 0.50 – 0.75 0.28 ± 0.02 7.14 % 0.9732 0.26 ± 0.04 15.38 % 0.9028 0.75 – 1.00 0.265 ± 0.008 3.02 % 0.9964 0.245 ± 0.010 4.08 % 0.9929 1.25 – 1.55 0.22 ± 0.01 4.55 % 0.9692 0.23 ± 0.03 13.04 % 0.9475 1.70 – 2.00 0.231 ± 0.009 3.90 % 0.9935 0.234 ± 0.019 8.12 % 0.9731 2.00 0.26 ± 0.02 7.69 % 0.9651 0.25 ± 0.02 8.00 % 0.9682 Tabla 1. Medidas de la pendiente para las distintas esferas de vidrio. A continuación, se muestra como varía la velocidad de propagación frente al radio medio de las esferas. Se observa como a media que aumenta el radio la velocidad crece, aunque no parece seguir una tendencia determinada (ver Figura 10). Figura 10. Velocidad frente a radio medio para la carga mínima y máxima. 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 00,5 11,5 22,5 Velocidad (mm/µs) Radio medio (mm) Carga 2,33 kPa Carga 14,68 kPa 36 Figura 11. Representación en escala logarítmica de las velocidades de propagación en función del esfuerzo de consolidación aplicado. En azul se muestran los puntos para la carga y en naranja para la descarga. 0,10 1,00 1,00 10,00 Velocidad (mm/µs) Esfuerzo de consolidación (kPa) Esferas de 0.40-0.60 mm 0,10 1,00 1,00 10,00 Velocidad (mm/µ s) Esfuerzo de consolidación (kPa) Esferas de 0.50-0.75 mm 0,10 1,00 1,00 10,00 Velocidad (mm/µs) Esfuerzo de consolidación (kPa) Esferas de 0.75-1.00 mm 0,10 1,00 1,00 10,00 Velocidad (mm/µs) Esfuerzo de consolidación (kPa) Esferas de 1.25-1.55 mm 0,10 1,00 1,00 10,00 Velocidad (mm/µs) Esfuerzo de consolidación (kPa) Esferas de 1.70-2.00 mm 0,10 1,00 1,00 10,00 Velocidad (mm/µs) Esfuerzo de consolidación (kPa) Esferas de 2.00 mm 37 5.2. Esferas de polimetilmetacrilato (PMMA) Figura 12. Gráfica en escala logarítmica con la velocidad de propagación en función del esfuerzo de consolidación. En azul la carga y el naranja la descarga. En la Figura 12 se muestra la representación gráfica para las esferas de PMMA. En este caso la pendiente si que coincide con el valor que predicho por el modelo de Hertz ( 1/6 ), que describe el contacto cuando la deformación es elástica. Ambas rectas siguen siendo coincidentes. PMMA Pendiente Error relativo R2 Carga 0.165 ± 0.011 6.67 % 0.9823 Descarga 0.175 ± 0.018 10.29 % 0.9582 Tabla 2. Medidas de la pendiente durante la carga y descarga de las esferas de PMMA. Al encajar los resultados obtenidos con el modelo teórico, vamos a comprobar si a partir de la ordenada en el origen podemos estimar la constante 𝐸∗ según la ecuación (3.6.29). 𝑚=16logOTr81 250𝑧D𝜙D 𝜋D𝜌—𝐸∗Ds. (5.2.1) Las medidas obtenidas se muestran en la tabla 3. Para efectuar los cálculos se ha tomado 𝜙=0.67 , 𝑧=6 y 𝜌=1190*𝑘𝑔/𝑚— [18]. PMMA Ordenada en el origen Error relativo E* experimental (MPa) E* bibliográfico (MPa) [18] Carga -(0.780 ± 0.009) 1.15 % (8.3 ± 1.0)·103 ~ 1700 Descarga -(0.781 ± 0.015) 1.92 % (6.7 ± 1.4)·103 Tabla 3. Cálculo de la constante E* a partir de la ordenada en el origen. 0,10 1,00 1,00 10,00 Velocidad (mm/µs) Esfuerzo de consolidación (kPa) Esferas de PMMA 38 Nótese que 𝐸∗ no es el módulo de Young, sino que se relaciona con este a partir de la expresión (3.5.18). En el caso de que todas las esferas sean del mismo material entonces queda 𝐸∗=𝐸 2(1−𝜈D)*. (5.2.2) Para calcular el valor comparativo se ha usado como módulo de Young 𝐸*~*3000*𝑀𝑃𝑎 y como módulo de Poisson 𝜈*~*0.35 [18]. Aunque el orden de magnitud coincide, se observan grandes discrepancias. 5.3. Esferas de polietileno (PE) PE Pendiente Error relativo R2 Carga 0.186 ± 0.020 10.75 % 0.9554 Descarga 0.0514 ± 0.0017 3.31 % 0.9956 Tabla 4. Medidas de la pendiente para las esferas de PE En la figura 13 se muestra la representación gráfica de la velocidad de propagación frente a la carga. En este caso se observa que las dos rectas no son coincidentes, siendo la pendiente de la recta de carga acorde con el valor esperado mientras que la de descarga es una pendiente prácticamente nula. Figura 13. Velocidad de propagación frente a esfuerzo de consolidación en escala logarítmica. En azul la recta de carga y en naranja la de descarga. 0,10 1,00 1,00 10,00 Velocidad (mm/µs) Esfuerzo de consolidación (kPa) Esferas de polietileno 39 5.4. Medidas con la correlación cruzada Los resultados anteriores son los realizados mediante la medida directa del tiempo de vuelo, sin embargo, como se ha descrito en el apartado 4, otra manera a partir de la cual se podría obtener el tiempo de vuelo sería a partir de la correlación cruzada de la señal con la que se excita el emisor y la señal recibida por el receptor. Para utilizar este método se utilizan señales de ruido. Una señal de ruido básicamente es una señal aleatoria resultado de la superposición de un gran número de ondas en un rango de frecuencias continuo (ver ecuación 3.1.35) con un desfase aleatorio entre cada componente armónica. Mediante el generador de funciones es posible seleccionar el rango de frecuencias o bandwidth en el que queremos que se sitúe la señal excitadora. Al usarse una señal de ruido blanco, la amplitud de cada componente espectral es constante desde 0 hasta el valor del ancho de banda. El transductor funciona como un resonador que sólo responde para frecuencias cercanas a su frecuencia de resonancia (Figura 3). En nuestro caso el transductor es de baja 𝑄 con una frecuencia de resonancia de 𝑓T=100*𝑘𝐻𝑧 , lo que quiere decir que teóricamente el máximo de la potencia transmitida se encontrará a la frecuencia de resonancia y al ser de bajo factor de calidad dicho máximo no estará bien definido, habiendo un intervalo de frecuencias centrado en 𝑓T para las que el transductor responde correctamente. Para analizar la conveniencia de este método se ha realizado un experimento más sencillo que con los medios granulares: a partir de una barra de teflón de un espesor dado se mide la velocidad usando este método y se compara con un valor bibliográfico. Se han utilizado señales de ancho de banda de 100*𝑘𝐻𝑧 y 400*𝑘𝐻𝑧 . Las representaciones gráficas de la correlación cruzada entre la señal emitida y tansmitida se muestran en la Figura 14. 40 Figura 14. Función de correlación cruzada para señales de ruido de BW 100 y 400 kHz. 47 [13] Johnson, K. L. (1985) “Contact mechanics”, Cambridge University Press, Chapter 4. ISBN 0 521 34796 3. [14] Johnson, K. L. (1985) “Contact mechanics”, Cambridge University Press, Chapter 3. ISBN 0 521 34796 3. [15] Shertzer, R. H. (2011) “Fabric tensors and effective properties of granular materials on applications to snow”, Tesis doctoral, Montana State University, Bozeman. https://scholarworks.montana.edu/xmlui/handle/1/2264 [16] Makse, H. A., Gland, N., Johnson, D. L. & Schwartz, L. (2004) Granular packings: “Nonlinear elasticity, sound propagation and collective relaxation dynamics”, Physical Review E 70, 061302, 3-4. [17] Ruiz Botello, F., Sánchez Quintanilla, M. A., Castellanos, A., Grekova, E. F, Tournat, V. (2017) “Effect of the microstructure on the propagation velocity of ultrasound in magnetic powders”, Elsevier, Ultrasonics, 153. [18] GoodFellow, http://www.goodfellow.com/S/Polimetacrilato-de-Metilo.html [19] Advanced NTD Ltd, “Ultrasonic velocity table”, www.advanced-ntd.co.uk. [20] Trujillo, L., Torres, V., Peniche, F., Di G. Sigalotti, L. (2012) “Towards a Mathematical Model for Elastic Wave Propagation in Granular Materials”, Engineering, 4, 976-978. [21] Jia, X., Caroli, C., Velicky, B. (1998) “Ultrasound propagation in Externally Stressed Granular Media”, Physical Review Letters, 82, 9, 1865-1866. [22] Johnson, K. L., Kendall, K., Roberts, A. D. (1971) “Surface energy and the contact of elastic solids”, Proceedings of the Royal Society of London, 324, 309-313.