Análisis de los niveles de Van Hiele sobre cuadriláteros y triángulos en alumnos de sexto de primaria

1 TRABAJO FIN DE GRADO ANÁLISIS DE LOS NIVELES DE VAN HIELE SOBRE CUADRILÁTEROS Y TRIÁNGULOS EN ALUMNOS DE SEXTO DE PRIMARIA Facultad Ciencias de la Educación Grado en Educación Primaria Mención: Educación Especial Autora: María Roldán Ibáñez Tutor: José María Gavilán Izquierdo Departamento: Didáctica de las Matemáticas Curso: 2018/2019 2 ÍNDICE RESUMEN ................................................................................................................... 3 1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 4 2. MARCO TEÓRICO ................................................................................................. 6 2.1 El Modelo de van Hiele ...................................................................................... 6 2.2 Descripción del modelo de van Hiele ................................................................. 7 a) Procesos de razonamiento ................................................................................ 7 b) Niveles de razonamiento .................................................................................. 8 c) Características de los niveles .......................................................................... 13 d) Las fases de aprendizaje ................................................................................. 15 3. METODOLOGÍA ................................................................................................... 18 3.1 Participantes ..................................................................................................... 18 3.2 Cuestionario ...................................................................................................... 19 4. ANÁLISIS .............................................................................................................. 23 4.1 Procedimiento de análisis ................................................................................. 23 4.2 Ejemplo de análisis sobre un cuestionario ........................................................ 23 5. RESULTADOS ...................................................................................................... 27 6. CONCLUSIONES .................................................................................................. 59 3 RESUMEN El modelo de van Hiele explica cómo evoluciona el razonamiento geométrico en el alumnado (niveles de razonamiento) y el procedimiento que los profesores pueden aplicar para que se produzca una mejora en la calidad del razonamiento (fases del aprendizaje). Este estudio se realiza con el objetivo de investigar en qué niveles de van Hiele, con respecto a cuadriláteros y triángulos, se sitúan estudiantes del sexto curso de Educación Primaria. El instrumento utilizado ha sido un cuestionario formado por once preguntas en las cuales han identificado, clasificado y relacionado distintas figuras geométricas en función a sus propiedades. Tras el análisis, se ha obtenido como resultado que la mayoría de los participantes se encuentran mayoritariamente en el nivel inferior (nivel 1). Palabras clave: niveles de van Hiele, figuras geométricas, clasificación exclusiva, clasificación inclusiva, léxico matemático. 4 1. INTRODUCCIÓN Según el Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación primaria, las matemáticas son una ciencia con gran importancia y utilidad, no solo en el ámbito académico, sino para la vida cotidiana ya que mejora las capacidades cognitivas de los estudiantes. Esta área está dividida en cinco bloques; sin embargo, nos centramos en aquel que hace referencia a la enseñanza de la geometría. En su proceso de enseñanza-aprendizaje, el alumnado tendrá que clasificar, analizar las propiedades, describir, construir y establecer relaciones entre las figuras geométricas planteadas. Para conseguirlo, es necesario que los estudiantes manipulen materiales, como geoplanos o tramas de puntos y realicen construcciones o plegados para que interioricen correctamente el concepto y suponga un aprendizaje significativo (Real Decreto 1513/2006, 2006). El objetivo que el Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación primaria plantea, se centra en “identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el conocimiento de sus elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción” (Real Decreto 1513/2006, 2006, p. 43097). El Real Decreto redacta una serie de contenidos sobre geometría para la etapa de Educación primaria, a través de los cuales aprenderán los elementos, relaciones y clasificación de las figuras planas; concretamente de los triángulos, según sus lados y ángulos; de cuadriláteros, atendiendo al paralelismo de sus lados y de los paralelepípedos; además de la concavidad y convexidad de figuras planas; la identificación de polígonos según el número de lados; el perímetro y área; los elementos básicos de la circunferencia y círculo (centro, radio, diámetro, cuerda, arco, tangente y sector circular); los elementos de los poliedros (vértices, caras, aristas) y su tipología; y los cuerpos redondos (cono, cilindro y esfera) (Real Decreto 126/2014, 2014). Además, realiza una concreción de dichos contenidos por ciclos. Concretamente, en el primero, los alumnos aprenderán a identificar las figuras planas y sus elementos; describir la forma de los cuerpos geométricos usando un léxico básico; comparar y clasificar las figuras en base a distintos criterios; formar figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras, usando la composición y descomposición. En el segundo ciclo, los estudiantes tienen que identificar las figuras planas y espaciales que aparecen en la vida cotidiana; 5 clasificar los polígonos según sus lados y vértices; conocer la circunferencia y el círculo, y los cuerpos geométricos (cubos, esferas, prismas, pirámides y cilindros), en función a sus aristas y caras; describir los objetos con un léxico básico; construir figuras geométricas planas a partir de datos y el desarrollo de cuerpos geométricos; comparar y clasificar figuras a partir de criterios dados y ángulos. En el tercer ciclo, los alumnos ya son capaces de establecer relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos; componen figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras, a través de composición y descomposición y, poseen mayor interés por la exactitud en la descripción de las formas geométricas (Real Decreto 1513/2006, 2006). La Orden de 17 de marzo de 2015, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación Primaria en Andalucía, establece que “la finalidad del área en la Educación Primaria es el desarrollo de la Competencia matemática focalizando el interés sobre las capacidades de los sujetos para analizar y comprender las situaciones, identificar conceptos y procedimientos matemáticos aplicables, razonar sobre las mismas, generar soluciones y expresar los resultados de manera adecuada” (2015, p. 219). Concretamente, en el bloque de geometría, se trabajará la clasificación, descripción y análisis entre las propiedades de las figuras planas y del espacio. Mirar a nuestro alrededor facilitará la adquisición de estos contenidos abstractos, debido a que en nuestro entorno se encuentran inmersas muchas figuras geométricas que nos proporcionarán una mejora en la percepción de los estudiantes (Orden de 17 de marzo de 2015). En definitiva, “educar a través del entorno facilitará la observación y búsqueda de elementos susceptibles de estudio geométrico, de los que se establecerán clasificaciones, determinarán características, deducirán analogías y diferencias con otros objetos y figuras” (Orden de 17 de marzo de 2015, p. 227). Los contenidos, al igual que datan en el Boletín Oficial del Estado (BOE), están distribuidos por ciclos. Generalmente se asemejan bastante, aunque en el Boletín Oficial de la Junta de Andalucía (BOJA) aparecen más detallados. Como la investigación se va a centrar en estudiantes entre 11-12 años (tercer ciclo), a continuación, se detallan los contenidos de dicha etapa. En este periodo aprenderán los elementos, relaciones y la clasificación de las figuras planas, la concavidad y convexidad de estas; la identificación de los polígonos según el número de lados; el cálculo de perímetros y áreas; la circunferencia, el círculo y sus elementos (centro, radio, diámetro, cuerda, arco tangente y sector circular); la formación de figuras planas y cuerpos geométricos mediante otras, 6 a través de composición y descomposición; los elementos, relaciones y clasificación de los cuerpos geométricos, como los poliedros y sus tipos; los cuerpos redondos como el cono, cilindro y esfera; el uso de programas informáticos y herramientas de dibujo para construir formas geométricas. El alumnado del tercer ciclo posee un mayor interés en la descripción de las figuras; por lo que utilizan sus propias capacidades para usar las construcciones geométricas y relaciones espaciales con el objetivo de resolver problemas reales (Orden de 17 de marzo de 2015). 2. MARCO TEÓRICO 2.1 El Modelo de van Hiele El modelo de van Hiele fue creado por los profesores de matemáticas de la Enseñanza Media: Pierre Marie van Hiele y Dina van Hiele-Geldof, debido al descontento con la enseñanza de dicha asignatura. Pierre Marie van Hiele, en los inicios de su profesión, se dio cuenta de que, por más que explicaba un contenido, los alumnos no comprendían completamente el sentido de este. Debido a su inexperiencia, pensó que podía deberse a las carencias en sus explicaciones. Aunque fue cambiando su forma de desarrollar las clases, los alumnos seguían presentando las mismas dificultades, lo que le llevó a crear dicho modelo. Llegó a la conclusión de que algunos alumnos no entendían ciertos conceptos matemáticos porque poseían niveles de pensamiento diferentes al resto de sus compañeros (Gutiérrez y Jaime, 1990). Según Gutiérrez y Jaime (1991), este modelo “explica, por una parte, como se produce la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes y, por otra, cómo puede un profesor ayudar a sus alumnos para que mejoren la calidad de su razonamiento” (pp. 4950). Esto implica que, ellos solo podrán entender los conceptos y procedimientos adecuados al nivel de razonamiento en el que se encuentren (Gutiérrez y Jaime, 1990). El modelo está formado por dos partes, la primera de ellas corresponde con los niveles de razonamiento, los cuales nos indican cómo va evolucionando el razonamiento geométrico de los individuos desde su inicio en el aprendizaje matemático hasta que alcanzan el máximo nivel. La segunda hace referencia a las fases del aprendizaje, instrucciones y guías dadas a los profesores para que sus alumnos puedan trabajar en cada uno de los niveles y superar el nivel de razonamiento en el que se encuentren (Gutiérrez y Jaime, 1990; Gutiérrez y Jaime, 1991). 7 El primer Modelo de van Hiele que se creó solo estaba formado por tres niveles, que corresponden con los niveles 2, 3, 4. Sin embargo, este fue evolucionando hasta conseguir el modelo que se va a describir. Debido a las aportaciones y críticas, los van Hiele añadieron el primer nivel, ya que ellos no habían tenido en cuenta que, los alumnos requieren primero un proceso visual cuando se enfrentan a nuevos conceptos matemáticos (Corberán, et al., 1994). En el desarrollo de este trabajo nos centraremos principalmente en describir los niveles de razonamiento y sus características, aunque se ofrecerá también una pequeña síntesis de las fases de aprendizaje. 2.2 Descripción del modelo de van Hiele a) Procesos de razonamiento Las habilidades que poseen los alumnos en cada uno de los niveles que se describirán posteriormente, se pueden integrar en componentes más generales, es decir, aquellos procesos de razonamiento que son estudiados para conocer en qué nivel se sitúan (Gutiérrez y Jaime, 1998): - Reconocimiento. Categorizar las familias de las figuras geométricas dadas, establecer cada uno de sus componentes y propiedades. - Definición proporcionada por los estudiantes o uso que hacen del concepto geométrico. - Clasificación. Ordenar aquellas figuras o conceptos geométricos según a la familia o clase que pertenezcan. - Demostración de que dicha propiedad o declaración es cierta (Gutiérrez y Jaime, 1998). En la tabla I se muestra una relación entre dichos procesos de razonamiento y los niveles de van Hiele. A través de ella podemos averiguar en qué nivel se sitúan los alumnos (Gutiérrez y Jaime, 1998). 8 Tabla I: Atributos distintivos en los procesos de razonamiento en cada uno de los niveles de Van Hiele. Niveles Procesos Nivel 1: Visualización Nivel 2: Análisis Nivel 3: Clasificación Nivel 4: Deducción formal Reconocimiento y descripción Atributos físicos (posición, forma, tamaño) Propiedades matemáticas --- --- Uso de definiciones --- Definiciones con estructura simple Definiciones con estructura matemática compleja Aceptar definiciones equivalentes Formulación de definiciones Listado de propiedades físicas Listado de propiedades matemáticas Conjunto de propiedades necesarias y suficientes Prueba la equivalencia de definiciones Clasificación Exclusiva basado en atributos físicos Exclusiva basado en atributos matemáticos Clasificar con diferentes definiciones, tanto exclusivas como inclusivas --- Demostración --- Verificación con ejemplos. Demostraciones empíricas Demostracion-es lógicas informales Demostracion-es matemáticas formales Fuente: Gutiérrez y Jaime (1998, p. 32). b) Niveles de razonamiento Es fácil diferenciar el razonamiento lógico que puede aportar un niño en los primeros cursos de primaria, de otro que se encuentre a finales de esta, ya que el primero se basará en una reflexión puramente visual, pudiendo conseguir una mejora en su capacidad de expresión cuando se encuentre al final de la etapa (Gutiérrez y Jaime, 1990). En función de las diferentes formas de aprender, trabajar y expresarse en geometría, se pueden establecer cuatro niveles (Gutiérrez y Jaime, 1990), los cuales se describen a continuación: 9 Nivel 1: Reconocimiento Los alumnos que se sitúan en este nivel observan las figuras geométricas de forma global, realizando descripciones en las que añaden características irrelevantes, como el color, la orientación del papel, el tamaño… (Gutiérrez y Jaime, 1990; Corberán, et al., 1994). Es decir, se centran solo en el aspecto físico y se basan en la semejanza con otros objetos que, no siempre son geométricos, por ejemplo: “…se parece a…”, “…tiene forma de…” (Gutiérrez y Jaime, 1990). Además, los estudiantes usan un lenguaje cotidiano y un vocabulario poco preciso (Jaime, 1993). Por ejemplo, reconocen los rectángulos porque tienen la misma forma que una puerta o un libro (Gutiérrez y Jaime, 1990). Según Gutiérrez y Jaime (1990) “perciben las figuras como objetos individuales, es decir, no son capaces de generalizar las características que reconocen en una figura a otras de su misma clase” (p. 306). Debido a ello, realizarán clasificaciones exclusivas. Por ejemplo, si le mostramos la siguiente figura: determinarán que es un cuadrado, sin embargo, si le aplicamos un giro: dirán que es un rombo (Gutiérrez y Jaime, 1991). Gutiérrez y Jaime (1990) afirman que “no suelen reconocer explícitamente las partes de que se componen las figuras ni sus propiedades matemáticas” (p. 307). Es decir, pueden reconocer algunos elementos o propiedades de algunas; sin embargo, no la utilizan para examinarla y diferenciarlas de otras (Gutiérrez y Jaime, 1991). Además, son capaces de reproducir algunas figuras básicas si le proporcionamos una hoja de papel o geoplano (Corberán, et al., 1994). En definitiva, si pedimos a los alumnos que comparen un círculo, un triángulo y un cuadrado, el resultado que obtendremos será una relación de características en función al color, forma, tamaño… No se centrarían en el número de vértices, amplitud de ángulos… El niño puede reconocerlos, pero al no ser consciente de dicha característica, no la usa para establecer las diferencias entre las figuras (Gutiérrez y Jaime, 1990). El alumnado que se sitúa en este nivel, suele pertenecer a preescolar o primeros cursos de Educación Primaria, aunque no estrictamente se limita a ello. Cualquier estudiante que se enfrente a algún concepto geométrico nuevo, pertenecerá en primer lugar, al nivel 1 (Gutiérrez y Jaime, 1990). Nivel 2: Análisis Aquellos alumnos que pertenezcan al nivel 2, según Gutiérrez y Jaime, (1990) “se dan cuenta de que las figuras geométricas están formadas por partes o elementos y de que 16 Ilustración 1: Ejemplos de polígonos y no polígonos. Fuente: Corberán et. al., (1994, p.39). Fase 2: Orientación dirigida El profesor proporciona actividades y problemas a sus alumnos para que aprendan, entiendan y descubran los conceptos que se están trabajando, es decir, que adquieran las estructuras básicas de una manera progresiva. A través de ello, toman contacto con el nivel superior al que se quiere acceder. El profesor debe proporcionarles ayuda siempre que la requieran, evitando aportar la solución de forma directa (Gutiérrez y Jaime, 1990; Jaime, 1993; Corberán, et al., 1994). Un ejemplo de actividad para dicha fase sería la siguiente: “Analiza los siguientes polígonos y confecciona un listado con sus propiedades” (Corberán, et al., 1994, p.41) (Ver ilustración 2). Ilustración 2: Polígono cóncavo y convexo. Fuente: Corberán, et al., (1994, p.41). Fase 3: Explicitación Los alumnos comparten las experiencias a las que se han enfrentado realizando las actividades: cómo las han resuelto, dificultades que se han encontrado; es decir, crean un contexto de diálogo. En consecuencia, se va construyendo la nueva red de relaciones entre los conceptos. Además, el profesor debe intervenir lo menos posible, solo debe atender al 17 vocabulario empleado por los discentes, el cual debe estar en consonancia con el nivel de aprendizaje que se pretende alcanzar (Corberán, et al., 1989; Gutiérrez y Jaime, 1990). Fase 4: Orientación libre El profesor proporciona a sus alumnos actividades abiertas, con diferentes procedimientos con los que llegar a la solución; para que ellos apliquen los conocimientos y el lenguaje ya adquirido en fases previas. A través de ellas, el alumnado completará la red de relaciones que han estado constituyendo y consolidará el aprendizaje (Gutiérrez y Jaime, 1990). La participación del profesor debe ser mínima porque, en esta fase, los alumnos deben tener ya asimilados los conocimientos (Jaime, 1993). A continuación, se detalla una tarea que se podría realizar en esta fase: “Agrupar los siguientes polígonos, de diferentes formas, indicando la propiedad o propiedades que hayas considerado en cada caso” (Corberán, et al., 1994, p.49) (Ver ilustración 3). Ilustración 3: Los polígonos. Fuente: Corberán, et al., (1994, p. 49). Fase 5: Integración Según Jaime (1993): “se trata de adquirir una visión general de los contenidos del tema objeto de estudio, integrada por los nuevos conocimientos adquiridos en este nivel y los que ya tenían los estudiantes anteriormente” (p.12). Es decir, esta fase consiste en la 18 acumulación, comparación y combinación de aquello que ya saben, sin introducir nuevos elementos (Gutiérrez y Jaime, 1990). Se resalta la siguiente tarea como ejemplo, extraída de Corberán, et al., (1994): “Las características o propiedades que a continuación se relacionan pertenecen a los polígonos. Asocia a cada propiedad la clase de polígono a la que pertenece” (p. 55) (Ver ilustración 4): Propiedad o característica Clases de polígonos Tiene diagonales exteriores Polígono cóncavo Tiene solo diagonales interiores Polígono convexo Tienen todos los lados de igual longitud Polígono regular Tienen todos los ángulos interiores de igual medida Polígono irregular Tienen todos os lados de igual longitud y todos los ángulos de igual medida Polígono equilátero Tienen por lo menos un ángulo que mide más de 180º No existen polígonos con esa propiedad Todos sus ángulos interiores miden menos de 180º Todos tienen esa propiedad Ilustración 4: Propiedades de los polígonos. Fuente: Corberán, et al., (1994, p. 55). 3. METODOLOGÍA 3.1 Participantes El cuestionario diseñado para la investigación de los niveles de van Hiele fue aplicado en un colegio público de Educación Infantil y Primaria situado en una zona urbana con un nivel socio-económico medio-alto, por lo que no cuenta con numerosos casos de absentismo escolar ni falta significativa de recursos. Dicho centro posee dos líneas en cada uno de los niveles, agrupando a 450 estudiantes. Concretamente, el cuestionario se aplicó en sexto A y B, a un total de 42 alumnos. Sexto A cuenta con 21 estudiantes, de los cuales solo 20 han respondido al cuestionario propuesto, ya que uno de ellos se encontraba con la profesora de pedagogía terapéutica 19 en un espacio diferente al que se realizó el test. En sexto B lo realizaron 22 debido a la ausencia de tres alumnos dicho día. En el aula de sexto B, antes de pasar a repartir el test, se proyectó en la pantalla digital, sobre la cual expliqué con detalle cada una de las actividades y resolví las dudas previas que se plantearon. Se dejó claro que era una actividad anónima y que los alumnos debían responder individualmente con los contenidos que previamente habían estudiado. El tiempo estimado para la realización fue de 45 minutos, aunque se prolongó en diez más aproximadamente ya que un par de alumnos no habían finalizado. Posteriormente acudí a sexto A; pero, debido a la no disponibilidad de pantalla digital, primero se repartió el cuestionario a cada uno de los estudiantes y se desarrolló la explicación, aclarando también las dudas. Mediante la realización de dicha actividad, ambos tutores me informaron sobre la existencia de un elevado número de alumnos con trastorno por déficit de atención e hiperactividad, retraso madurativo, dificultad para la comprensión y repetidores que incapacitan diariamente el ritmo de la clase y no les permite avanzar en materia. No obstante, son conscientes del bajo nivel que poseen sus estudiantes sobre este contenido, ya que trabajan coordinadamente y, bajo su punto de vista, la geometría no posee la suficiente importancia como para dedicarle gran tiempo en la programación. Cada año destinan un par de semanas a final de curso para realizar un repaso de las figuras básicas, aunque para este tienen planificado algunas sesiones más con el objetivo de incrementar sus conocimientos y hacer frente a sus comienzos en la etapa de secundaria. 3.2 Cuestionario Fíjate en la ilustración y: - Pon una C en cada cuadrado, una R en cada rectángulo, una P en cada paralelogramo, una B en cada rombo, una E en cada triángulo equilátero, una I en cada triángulo isósceles y una S en cada triángulo escaleno. - Justifica por qué has colocado cada letra en las figuras y, si es necesario, por qué has colocado dos letras en alguna de las figuras o no has colocado ninguna. Además, responde a las siguientes cuestiones: - ¿En qué le dirías a alguien que se fijara para localizar todos los rectángulos en una lámina de figuras? 20 - ¿En qué le dirías a alguien que se fijara para localizar todos los trapecios en una lámina de figuras? - ¿En qué le dirías a alguien que se fijara para localizar todos los rombos en una lámina de figuras? - ¿Podrías hacer una lista más corta, en cuanto a rectángulos, trapecios y rombos, omitiendo alguna propiedad? - ¿Es un rectángulo el número 2? - ¿Es un paralelogramo el número 11? Completa la frase con siempre, nunca, a veces y explícalo (utiliza un dibujo si es necesario). − Un cuadrado es _____________________ un rectángulo − Un rectángulo es ____________________ un cuadrado − Un cuadrado es _____________________ un paralelogramo Ilustración: 21 El cuestionario consta de once preguntas y una lámina cuadriculada de figuras geométricas al final de este, que incluyen: cuadriláteros (cuadrados, rectángulos, rombos, trapecios, trapezoides, romboides) y triángulos (equilátero, isósceles y escaleno) en diferentes posiciones y tamaños. Sobre esta se apoyan las preguntas que aparecen a continuación. A través de la primera cuestión: “A partir de la lámina dada, pon una C en cada cuadrado, una R en cada rectángulo, una P en cada paralelogramo, una B en cada rombo, una E en cada triángulo equilátero, una I en cada triángulo isósceles y una S en cada triángulo escaleno”; se pretende saber si los alumnos identifican las figuras geométricas en la ilustración, teniendo en cuenta que no todas aparecen en su forma prototípica, por ejemplo el número 2, se presenta como un cuadrado girado o, la figura 22 como un triángulo equilátero apoyado en uno de sus vértices. Si dicho estudiante realiza el reconocimiento de cada figura de forma correcta podemos conocer que se sitúa, como mínimo en el nivel 1. Además, se puede ver si son capaces de generalizar las características que reconocen en una figura a otras de su misma clase, es decir, realizar clasificaciones inclusivas; por ejemplo, si identifican que un rombo es un paralelogramo o que un cuadrado es un caso particular del rectángulo. Estas relaciones nos llevarán a diferenciar si ha adquirido el nivel 3 en base a clasificaciones. De lo contrario, estaría clasificando de forma exclusiva, por ejemplo, si solo coloca en el cuadrado (número 3) una C. En la segunda pregunta, el alumno tiene que justificar por qué ha puesto dicha letra a las figuras de la cuestión anterior. Debe tener en cuenta que hay algunas a las que le corresponden dos letras debido a la relación inclusiva, argumentando también dicha decisión. Además, para ocasionar error, se han incluido varios cuadriláteros en forma de cometas, teniendo el alumno que dar su propia razón por la cual no ha colocado ninguna en ese caso. Dependiendo de la calidad en la respuesta, es decir, sí realiza correctamente la justificación, y el lenguaje que utiliza, se determina si se sitúa en el nivel 1 o superior. Es decir, si añade características irrelevantes, como el tamaño, y utiliza un lenguaje cotidiano y poco preciso, por ejemplo, “el cuadrado tiene cuatro picos” se encontraría en el nivel 1; por el contrario, si enuncian las propiedades matemáticas con un lenguaje más preciso, es decir, “un cuadrilátero tiene los ángulos rectos, los lados paralelos”, …; estaría en el nivel 2 como mínimo. Los estudiantes que sean capaces de justificar por qué han colocado dos letras en una misma figura, por ejemplo, “el número tres lleva C y R porque los cuadrados son siempre rectángulos”; se sitúan en el nivel 3. 22 A través de la tercera pregunta se pretende comprobar si el alumnado es capaz de enunciar las propiedades del rectángulo, atendiendo al lenguaje que emplean para su narración. Es de vital importancia indagar este último rasgo porque un nivel de van Hiele se diferencia de otro por el vocabulario que utilizan. Es decir, si se centran solo en el aspecto físico (color, tamaño), comparan dicha figura con objetos no geométricos, como “el rombo tiene forma de un diamante” y utilizan un lenguaje cotidiano y poco preciso, por ejemplo “picos”, se situaría en el nivel 1. En cambio, si proporciona una relación de propiedades usando vocabulario apropiado, como es el caso de “un rectángulo tiene cuatro lados paralelos dos a dos y ángulos rectos” excluyendo además al cuadrado; se encontraría en el nivel 2. El estudiante que escriba que un rectángulo posee ángulos opuestos iguales dos a dos se encontraría en el 3 ya que estaría realizando una definición inclusiva con el cuadrado. Este aspecto es necesario y suficiente para considerar que está en dicho nivel. Sucede lo mismo con las cuestiones cuatro y cinco, solo que estas atienden a las características de trapecios y rombos. En función al tipo de clasificaciones (inclusivas o exclusivas) que realicen y al vocabulario empleado, el estudiante podría situarse en el nivel uno, dos o tres; al igual que en la pregunta anterior. El aportar una gran lista de propiedades sin establecer una relación entre ellas, ni seleccionar aquellas imprescindibles, es característico de un alumno que se sitúa en el nivel 2. En la actividad seis se pide que elaboren una lista más corta (de aquella realizada en los apartados anteriores con respecto a rectángulo, trapecio y rombo) omitiendo alguna propiedad. Si el estudiante consigue superar el objetivo de la cuestión, estaría situado en el nivel 3 ya que es capaz de seleccionar las más distintivas de cada figura geométrica. A través de las cuestiones siete y ocho: ¿Es un rectángulo el número 2? Justifícalo; ¿Es un paralelogramo el número 11? Justifícalo; se quiere conocer si los alumnos son capaces de realizar clasificaciones inclusivas. En este caso, si identifican la figura número dos como un rectángulo y la número 11 como un paralelogramo nos encontraríamos ante un estudiante que se sitúa en el nivel 3. En este caso, tendrían asimilado que un cuadrado es siempre un rectángulo y que, los paralelogramos son aquellos cuadriláteros cuyos lados son paralelos dos a dos. Sin embargo, en niveles inferiores determinarán que el número dos no es un rectángulo, sino un rombo o; el número 11 como un rectángulo, sin asimilar que este es además un paralelogramo. También hay que tener en cuenta el léxico que emplean para realizar dicha justificación ya que, si se corresponde con términos 23 matemáticos, se situaría en el nivel 2; por el contrario, si responde adecuadamente con vocabulario cotidiano, estaría localizado en el nivel 1. Finalmente, en las cuestiones nueve, diez y once; el alumnado tiene que completar las afirmaciones que se presentan con “siempre”, “nunca” y, “a veces”; en cuanto a la relación entre cuadrado y rectángulo, y viceversa, y cuadrado y paralelogramo. Con esta actividad comprobaremos en qué grado son capaces de establecer clasificaciones inclusivas, para concluir que, el cuadrado es siempre un rectángulo, sin embargo, un rectángulo solo a veces es un cuadrado; además de que este último es siempre un paralelogramo. Si cada una de las preguntas son resueltas satisfactoriamente, dicho alumno estaría situado en el nivel 3; de lo contrario pertenecería al 1. 4. ANÁLISIS 4.1 Procedimiento de análisis Para llevar a cabo el análisis de los cuestionarios, atenderemos específicamente cada pregunta, analizando qué datos nos ofrece el estudiante para conocer el nivel que le corresponde a cada cuestión. Como el test presenta once preguntas, construimos un vector formado por once denominaciones, es decir, se coloca N, que hace referencia al nivel, seguido del número en el que se encuentre, por ejemplo, (N1, N3, N1, N2, N2, N2, N1, N2, N1, N3, N1). Se le otorga al total del cuestionario el porcentaje 100%, y se calcula aquel que corresponde a cada pregunta dividiendo la totalidad entre once: 100%: 11= 9,09%. Posteriormente se suman los porcentajes que pertenecen a cada nivel por separado, obteniendo una cantidad diferenciada por niveles. Este se corresponderá con el grado de adquisición que posea el estudiante. Por ejemplo, 45,45% en el nivel 1, 36,36% en el nivel 2 y 18,19% en el nivel 3. 4.2 Ejemplo de análisis sobre un cuestionario A continuación, se realiza el análisis detallado sobre un cuestionario completo, adjuntando la información proporcionada por el alumno para justificar cada decisión. 24 En primer lugar, atendiendo a las letras situadas en la cuadrícula de la primera pregunta, el alumno 1 solo identifica el cuadrado prototípico, ya que ha colocado la letra C en las figuras 3 y 20 pero no en la 2, cuyo cuadrado se encuentra girado. Además, no considera que estos son siempre rectángulos. Debido a la clasificación exclusiva realizada, en cuadrados se sitúa en el nivel 1. En cambio, sí identifica todos los rectángulos que aparecen (números 7, 10, 11, 17), incluso aquellos que están girados. También reconoce de forma adecuada todos los rombos (figuras 2 y 16); sin embargo, solo reconoce como paralelogramos a cuadrados y Ilustración 4 rectángulos (números 3, 7, 10, 11, 17). Dicho estudiante solo realiza clasificaciones inclusivas en cuanto a dichas figuras (rectángulo y cuadrado); situándose solo en ese caso en el nivel 3. Atendiendo a los triángulos, se puede ver que solo reconoce los equiláteros (8, 22), ya que coloca en el isósceles (número 15) las letras E/I, siendo estas incompatibles porque un triángulo no puede ser a la vez escaleno e isósceles. Además, posee una idea totalmente errónea sobre triángulos escalenos porque sitúa, en las figuras 18, 14 y 12, la letra S (triángulo escaleno) a cuadriláteros. En ese caso, no ha sido capaz de reconocer que los números 2 y 5 no deberían tener asociada ninguna letra. Generalmente, se encuentra en el nivel 1 en cuanto a identificación de figuras geométricas de la ilustración. El alumno no ha respondido de manera correcta a lo que se pide en el enunciado de la pregunta número dos, ya que no justifica por qué ha colocado las letras en las figuras ni aporta una razón correcta sobre aquellas que no tienen ninguna. Consecuentemente se sitúa en el nivel más bajo (nivel 1). 25 Ilustración 5 En la tercera pregunta, dado que el estudiante no reconoce los componentes de la figura, en este caso del rectángulo, y emplea un vocabulario coloquial y poco preciso para enumerar las propiedades: “partes”, “más chica”; se sitúa en el nivel 1. Ilustración 6 Sin embargo, en las cuestiones cuatro y cinco, que hacen referencia al rectángulo y rombo, el alumno sí es capaz de reconocer las partes que componen ambas figuras geométricas y enunciar sus propiedades, además utiliza un lenguaje matemático: “lados”, “iguales”. Debido a ello, se encuentra en el nivel 2; aunque las propiedades que ha enumerado están incompletas. Ilustración 7 32 Ilustración 25 Ilustración 26 Además, he de resaltar que dicho alumno solo reconoce los triángulos equiláteros prototípicos, ya que en la figura número 22 le ha colocado una letra inventada, siendo este también un triángulo equilátero (ver ilustración 26). Su grado de adquisición se sitúa en un 63,64% con respecto al nivel 1, un 27,27% en el nivel 2 y 9,09% en el nivel 3. Alumno 9: (N1, N2, N1, N1, N1, N2, N1, N1, N3, N1, N1) Destacar que, como el alumno 8, este realiza clasificaciones inclusivas entre cuadrado y rectángulo (ver ilustración 27), no viéndose reflejado en la lámina (ver ilustración 28). Ilustración 27 Ilustración 28 Además, aparecen errores con respecto al número de lados en los cuadriláteros, porque afirma que los rombos tienen cinco lados (ver ilustración 29). 33 Ilustración 29 Su grado de adquisición corresponde con un 72,73% sobre el nivel 1, 18,18% en el nivel 2 y tan solo un 9,09 en el nivel 3. Alumno 10: (N1, N2, N2, N2, N1, N2, N1, N1, N1, N1, N1) Este estudiante no realiza, en ningún caso, clasificaciones inclusivas, aunque en varias cuestiones sí utiliza un lenguaje propiamente matemático para enumerar propiedades de las figuras, situándose así en el nivel 2 (ver ilustración 30). Ilustración 30 Acentuar, que solo es capaz de reconocer los triángulos equiláteros prototípicos (número 8), además de confundir un triángulo escaleno con cuadriláteros (números 12, 14, 18) (ver ilustración 31). Ilustración 31 Se encuentra, según el grado de adquisición, en un 63,64% sobre el nivel 1 y 36,36% en el nivel 2. 34 Alumno 11: (N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) Las respuestas a todas las cuestiones se corresponden con el nivel uno, ya que no justifica realmente aportando propiedades y utiliza un lenguaje no matemático. Se encuentran en blanco las preguntas seis, nueve, diez y once, por lo que se les ha asignado el nivel más bajo (nivel 1). También destacar que solo reconoce los cuadrados prototípicos y los triángulos equiláteros, cometiendo errores como el de asignar a un cuadrilátero la letra S que pertenece a triángulo escaleno (ver ilustración 32). Ilustración 32 El grado de adquisición es 100% el nivel 1. Alumno 12: (N1, N1, N2, N2, N2, N2, N1, N1, N1, N1, N1) Identifica que las figuras geométricas están formadas por elementos, aunque enuncia sus propiedades de forma incompleta, como es el caso del rectángulo que solo aporta el número de lados (ver ilustración 33). Ilustración 33 Dicho estudiante no es capaz de reconocer los cuadrados ni los triángulos. Las figuras tres, nueve y veinte (cuadrados) se encuentran sin ninguna letra y, tan solo pone correctamente una E (triángulo equilátero) en el número 22, ya que en el resto ha colocado las letras aleatoriamente, no coincidiendo con la respuesta correcta. Por ejemplo, la figura 15 es un triángulo isósceles y aparece en ella una E (triángulo equilátero) (ver ilustración 34). 35 Ilustración 34 Su grado de adquisición se relaciona con un 63,64% sobre el nivel 1 y un 36,36% sobre el 2. Alumno 13: (N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N3) Generalmente aporta razonamientos escasos con vocabulario poco preciso para justificar cada una de las cuestiones, por ejemplo, “un rectángulo es como un cuadrado, pero más largo” (ver ilustración 35). Ilustración 35 Además, se muestra una incoherencia entre la pregunta una y once ya que, en esta última asegura que los cuadrados son paralelogramos, realizando clasificaciones inclusivas (ver ilustración 37); sin embargo, en la lámina no se refleja este hecho (ver ilustración 36). En la figura 3 solo aparece la C de cuadrado, faltando la P de paralelogramo para estar acorde con la última cuestión (ver ilustración 36). Ilustración 36 Ilustración 37 36 Debido a ello, su grado de adquisición corresponde con un 90,90% sobre el nivel 1 y 9.09% sobre el 3. Alumno 14: (N1, N2, N2, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N3, N3) El alumno establece una comparación para justificar las propiedades del rombo, en este caso asegura que es como un cuadrado pero girado. Generalmente, el vocabulario es cotidiano y poco preciso, aunque en la pregunta número uno argumenta la elección de las letras de forma adecuada, aunque incompleta (ver ilustración 38). Ilustración 38 Además, se vuelve a mostrar la inclusividad en las dos últimas preguntas (ver ilustraciones 39 y 40), sin verse reflejadas en la lámina de figuras, es decir, no aparece en la figura tres, por ejemplo, la doble denominación de cuadrado y rectángulo (ver ilustración 41). Ilustración 39 Ilustración 40 Ilustración 41 Su grado de adquisición se corresponde con un 63,63% en el nivel 1, 18,18% en el nivel 2 y, finalmente un 18,18% en el 3. 37 Alumno 15: (N1, N1, N2, N2, N2, N2, N1, N1, N1, N1, N1) Resaltar que solo reconoce en la lámina de figuras geométricas aquellos cuadrados y triángulos equiláteros prototípicos (números 3 y 8); sin realizar ninguna clasificación inclusiva en ella ni en las cuestiones que se presentan (ver ilustración 42). Ilustración 42 Utiliza, en varias ocasiones, vocabulario matemático para enumerar propiedades, aunque es muy escaso porque se limita solo a indicar el número de lados para justificar sus elecciones (ver ilustración 43). Ilustración 43 Con respecto al grado de adquisición, se encuentra un 63,63% en el nivel 1 y un 36,36% en el nivel 2. Alumno 16: (N1, N1, N2, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) No realiza en ningún momento clasificaciones inclusivas, de ahí que no se encuentre en el nivel tres en ninguna de las cuestiones. Cabe destacar que el estudiante no identifica los triángulos isósceles, ya que los confunde con los equiláteros, por ejemplo, en la figura 15 (triángulo isósceles) pone una E (triángulo equilátero) (ver ilustración 44). 38 Ilustración 44 Las preguntas dos, cuatro y seis aparecen en blanco, por lo que se les ha asignado el nivel 1; sin embargo, en la tres, sí enuncia propiedades utilizando vocabulario matemático (ver ilustración 45). Ilustración 45 Excepto dicha pregunta, a todas les han sido asignadas el nivel 1, lo que le corresponde 90,90% en su nivel de adquisición y un 9,09% en el nivel 2. Alumno 17: (N1, N1, N2, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) El vocabulario que el estudiante utiliza, corresponde con un nivel uno, ya que aparece, por ejemplo, “esquinas” en vez de vértices (ver ilustración 46). Ilustración 46 Sin embargo, en la cuestión número tres sí aparece la palabra “ángulos”, pudiéndose considerar un léxico propio del nivel 2, aunque en la misma pregunta aparezca de nuevo “esquinas” (ver ilustración 47). 39 Ilustración 47 Exceptuando dicha cuestión, el resto del cuestionario está calificado con un nivel 1, es decir, un 90,90% de este pertenece al nivel 1 y 9,09% al 2. Alumno 18: (N1 N2, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) En la cuestión dos, el estudiante realiza una combinación de vocabulario cotidiano y matemático, aunque he considerado que prima más este último y por dicha razón le corresponde el nivel dos. Generalmente, el resto de cuestionario ha sido respondido de forma aleatoria, sin aportar justificaciones adecuadas, como es el caso de la cuestión cinco, donde el alumno anota que el rombo es una mezcla de triángulo y cuadrado (ver ilustración 48). Además, la lámina se encuentra prácticamente vacía sin letras asignadas, reconociendo solo los rombos, cuadrados y rectángulos (ver ilustración 49). Ilustración 48 Ilustración 49 Al igual que en el alumno anterior, a dicho cuestionario le corresponde un nivel de adquisición de un 90,90% sobre el nivel 1 y solo un 9,09% en el 2. 40 Alumno 19: (N1, N1, N1, N1, N2, N1, N1, N1, N1, N1, N1) Las preguntas dos, seis y siete aparecen en blanco, debido a la no comprensión del contenido; correspondiéndole el nivel más bajo (nivel uno). El resto son contestadas con terminología básica y cotidiana, utilizando los vocablos “alargado” y “gema” (ver ilustración 50). Ilustración 50 Tan solo en la cuestión cinco aparece el término “lados” para enumerar las propiedades de los rombos; asignándole el nivel dos. A través de las preguntas nueve, diez, once y la lámina de figuras, se puede concluir que clasifica de forma exclusiva, no relacionando, por ejemplo, paralelogramos con rombos, cuadrados y rectángulos. De nuevo, un alumno no reconoce los triángulos isósceles ni escalenos, poniendo las letras que les corresponde a distintos cuadriláteros (ver ilustración 51). Ilustración 51 Posee un 90,90% de cuestiones en el nivel 1 y un 9,09% en el nivel 2. Alumno 20: (N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) El vocabulario que utiliza es completamente cotidiano (“palos”) (ver ilustración 52), estableciendo comparaciones con objetos no geométricos, como es el caso de la cuestión cinco en relación al rombo: “que se pareciera a un diamante” (ver ilustración 53). 41 Ilustración 52 Ilustración 53 Se les ha asignado el nivel 1 a aquellas preguntas que se encuentran sin respuesta (2, 4, 6, 11). Es curioso comentar que no es capaz de identificar los tipos de triángulos, por ejemplo, la figura 8 se corresponde con un triángulo equilátero y ha asignado la letra I de isósceles o, el número 15 posee la letra E (equilátero) y es isósceles (ver ilustración 54). Ilustración 54 Su grado de adquisición corresponde en un 100% con el nivel 1. Alumno 21: (N1, N1, N1, N1, N2, N1, N1, N1, N1, N1, N1) En la primera cuestión prevalece el nivel uno; sin embargo, realiza clasificaciones inclusivas con respecto a cuadrado y rombo. Al colocar en la figura número 2 las letras B y C, está considerando que el cuadrado es un caso particular del rombo; situándose solo en este caso en el nivel tres. Sin embargo, no es capaz de reconocer la tipología de triángulos, por ejemplo, asigna la letra I (isósceles) a aquellos que son equiláteros (ver ilustración 55). 48 Alumno 29: (N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) Mediante la ilustración conocemos que el estudiante no identifica los paralelogramos, ni los triángulos isósceles y escalenos; además, confunde la cometa (número 5) con un rombo. Al no identificar que la figura número 11 sea un paralelogramo o, al afirmar que un cuadrado nunca es un rectángulo se puede concluir que, este alumno realiza clasificaciones exclusivas. Además, el vocabulario utilizado es cotidiano, por ejemplo “puntos”, “largo” (ver ilustración 74). Ilustración 74 Debido a ello, el grado de adquisición es un 100% sobre el nivel 1. Alumno 30: (N1, N2, N2, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) En la cuestión número 1 se conoce que el estudiante no reconoce los triángulos ni los paralelogramos, dado que no hay situada ninguna letra en ellos (ver ilustración 75). Ilustración 75 En las preguntas dos y tres, emplea vocabulario matemático para justificar por qué ha colocado cada letra en las figuras, por ejemplo “lados”, “vértices”, situándose así en el nivel dos (ver ilustración 76). Ilustración 76 49 Dado que las cuestiones cuatro, cinco, seis y ocho se encuentran en blanco se les ha asignado el nivel inferior (nivel 1). Además, no realiza clasificaciones inclusivas porque, por ejemplo, no reconoce que un cuadrado es siempre un rectángulo y un paralelogramo (ver ilustraciones 77 y 78). Ilustración 77 Ilustración 78 Consecuentemente, el grado de adquisición recae un 81,81% en el nivel 1 y 18,18% en el nivel 2. Alumno 31: (N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) El alumno no reconoce los rombos ni los triángulos equiláteros y escalenos de la lámina de figuras. Sin embargo, establece una clasificación inclusiva entre rombos y paralelogramos (números 2 y 6), situándose en el nivel 3 (ver ilustración 79). Aunque a la primera cuestión le corresponda el nivel 1 por ser el que más predomina, es importante destacar la relación de inclusividad que se ha señalado. Las respuestas a las cuestiones planteadas no se realizan de forma adecuada, ya que aparece en numerosas ocasiones que se busque en el móvil; correspondiéndole el nivel 1. Ilustración 79 El grado de adquisición se corresponde en un 100% sobre el nivel 1. 50 Alumno 32: (N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) Al cuestionario completo le corresponde el nivel 1 debido al poco ajuste en las respuestas y al vocabulario empleado. Por ejemplo, en la cuestión tres emplea la palabra “picos”, en vez de “vértices” (ver ilustración 80). Ilustración 80 Además, no establece la inclusión entre las figuras, ya que, por ejemplo, asegura que el número 11 no es un paralelogramo porque un lado es más largo o, que un cuadrado nunca es un paralelogramo (ver ilustración 81). Ilustración 81 El grado de adquisición se corresponde en un 100% sobre el nivel 1. Alumno 33: (N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) Al igual que el alumno anterior, el léxico que emplea en la justificación de las cuestiones es cotidiano, por ejemplo, en la pregunta cuatro asegura que para localizar los trapecios hay que fijarse en las 4 paredes y las diferentes anchuras o, en la cinco que los rombos no son rectangulares y tienen paredes a los lados. Además, no realiza clasificaciones inclusivas ya que en la ilustración no ha identificado los paralelogramos ni que el cuadrado es un rectángulo (ver ilustración 82). Ilustración 82 Consecuentemente, el grado de adquisición se corresponde con un 100% sobre el nivel 1. 51 Alumno 34: (N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N3) La última cuestión refleja la clasificación inclusiva que el alumno establece entre cuadrado y paralelogramo; sin embargo, no se ve reflejado en la lámina de figuras, puesto que debería haber situado en las figuras 3, 9 y 20 la letra P (paralelogramo). En ella, se averigua que el alumno confunde los triángulos isósceles y escalenos, ya que sitúa una E (equilátero) en el triángulo isósceles (número 15) o una I (isósceles) en la cometa (número 12) (ver ilustración 83). Ilustración 83 Las cuestiones tres cuatro, cinco, seis, siete y ocho se encuentran en blanco, por lo que se les ha asignado el nivel inferior (nivel 1). El grado de adquisición data de un 90,90% en el nivel 1 y 9,09% en el nivel 3. Alumno 35: (N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) El grado de adquisición corresponde en un 100% sobre el nivel uno porque el alumno posee un vocabulario poco apropiado, por ejemplo, describe al rectángulo como una figura ancha, larga, con cuatro esquinas. Además, a través de la lámina y las cuestiones nueve, diez y once, podemos percibir que clasifica las figuras geométricas de forma exclusiva, ya que asegura que un cuadrado nunca es un rectángulo o, no identifica que rombos, cuadrados y rectángulos son paralelogramos (ver ilustraciones 84 y 85). Ilustración 84 Ilustración 85 52 Alumno 36: (N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) Al igual que el alumno anterior, redacta las respuestas con léxico no matemático, utilizando “picos” en vez de “vértices” (ver ilustración 86). Ilustración 86 Asimismo, en la ilustración se muestra la confusión entre triángulos, por ejemplo, coloca una E (equilátero) a varios cuadriláteros (números 14 y 18). Solo reconoce correctamente el triángulo escaleno (número 13). Tampoco identifica los paralelogramos ni rombos, por ejemplo, en el número 2 aparece una E (triángulo equilátero) siendo un rombo (ver ilustración 87). Ilustración 87 El grado de adquisición corresponde con un 100% en el nivel 1. Alumno 37: (N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) A excepción de las tres últimas cuestiones en las que realiza una clasificación exclusiva, el resto del cuestionario se encuentra en blanco, por lo que se la ha asignado el nivel inferior (nivel 1). Sin embargo, en la lámina se puede comprobar que realiza clasificaciones inclusivas entre paralelogramo y, rombo y rectángulo; ya que en las figuras 2, 7, 10, 16 y 17 aparecen B P (rombo y paralelogramo) o R P (rectángulo y paralelogramo) (ver ilustración 88). 53 Ilustración 88 El grado de adquisición data de un 100% en el nivel 1. Alumno 38: (N1, N1, N1, N1, N2, N1, N1, N1, N1, N1, N1) El vocabulario empleado es cotidiano, por ejemplo, en la cuestión tres emplea “puntas” y “largo” al exponer las propiedades del rectángulo; sin embargo, en la cinco utiliza “vértices” para describir al rombo, léxico apropiado del nivel 2 (ver ilustración 89). Ilustración 89 A través de la lámina, vemos que se encuentra en el nivel 3 solo en la clasificación inclusiva entre rombo y cuadrado, situando ambas letras en las figuras 2, 3, 9, 20. Sin embargo, no es capaz de identificar la tipología de triángulos, ya que sitúa una I (isósceles) en aquellos que son equiláteros (números 8 y 22) o, en el número 15: E S (equilátero y escaleno), siendo isósceles (ver ilustración 90). Ilustración 90 El grado de adquisición corresponde con un 90,90% en el nivel 1 y 9,09% en el 2. 54 Alumno 39: (N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) El cuestionario, a excepción de la primera cuestión, se encuentra en blanco; asignándose el nivel inferior (nivel uno). Reconoce los rombos (números 2 y 16), rectángulos (números 7, 10, 11, 17) y cuadrado prototípico (números 3 y 20); sin embargo, no es capaz de identificar los paralelogramos ni diferenciar la tipología de triángulos. Por ejemplo, en las figuras 8 y 22 aparecen la letra I (isósceles); correspondiéndole una E a los triángulos equiláteros; en la 15 se refleja una S (escaleno), siendo isósceles y, en la 13 una E (equilátero), siendo escaleno (ver ilustración 91). Ilustración 91 El grado de adquisición es 100% del nivel 1. Alumno 40: (N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N3, N3) El alumno no ha resuelto las cuestiones dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete y ocho, correspondiéndoles el nivel más bajo (nivel uno). Sin embargo, en las dos últimas preguntas realiza una clasificación inclusiva entre rectángulo y cuadrado y; este último con paralelogramo (ver ilustraciones 92 y 93). Establece que los cuadrados son siempre paralelogramos y, que un rectángulo es a veces un cuadrado, aunque no se ve reflejado en la lámina de figuras (ver ilustración 94). Ilustración 92 Ilustración 93 55 Ilustración 94 El grado de adquisición corresponde con un 81,82% en el nivel 1 y 18,18% en el 3. Alumno 41: (N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) Observando la ilustración, se conoce que el alumno no identifica los triángulos de forma correcta, por ejemplo, en la figura 15 aparece una letra inventada F, siendo un triángulo isósceles; o en la figura 22 una I (isósceles), correspondiendo con un equilátero. Además, no reconoce los paralelogramos, ya que no sitúa ninguna P en la lámina (ver ilustración 95). Ilustración 95 Al igual que el anterior, hay cuestiones en blanco. En este caso corresponden con la segunda, tercera, cuarta, quinta y sexta; asignadas también el nivel 1. El grado de adquisición corresponde con un 100% en el nivel 1. Alumno 42: (N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1, N1) En la lámina podemos observar que el estudiante hace una clasificación inclusiva entre rombos (números 2 y 16), rectángulos (números 7, 10, 11, 17), cuadrados (número 3) con paralelogramos (ver ilustración 96). 56 Ilustración 96 Sin embargo, en las tres últimas preguntas se demuestra que realiza clasificaciones exclusivas, concretamente en la última asegura que un cuadrado es a veces un paralelogramo; contradiciendo a lo reflejado en la lámina (ver ilustraciones 97, 98, 99). Ilustración 97 Ilustración 98 Ilustración 99 Además, de las cuestiones dos a la ocho están en blanco, por lo que se encuentran en el nivel inferior (nivel 1). El grado de adquisición corresponde con un 100% sobre el nivel 1. En la siguiente tabla se recogen los porcentajes que pertenecen al nivel de adquisición de cada estudiante. Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Alumno 1 54,55% 36,36% 9,09% Alumno 2 90,91% 9,09% - Alumno 3 36,37% 54,54% 9,09% 57 Alumno 4 81,82% 18,18% - Alumno 5 90,91% 9,09% - Alumno 6 72,73% 18,18% 9,09% Alumno 7 81.82% 18,18% - Alumno 8 63.64% 27,27% 9,09% Alumno 9 72,73% 18,18% 9,09% Alumno 10 63,64% 36,36% - Alumno 11 100% - - Alumno 12 63,64% 36,36% - Alumno 13 90,91% 9,09% Alumno 14 63,64% 18,18% 18,18% Alumno 15 63.64% 36,36% - Alumno 16 90,91% 9,09% - Alumno 17 90,91% 9,09% - Alumno 18 90,91% 9,09% - Alumno 19 90,91% 9,09% - Alumno 20 100% - - Alumno 21 90,91% 9,09% - Alumno 22 90,91% 9,09% - Alumno 23 90,91% 9,09% - Alumno 24 90,91% 9,09% - Alumno 25 90,91% 9,09% - Alumno 26 100% - - Alumno 27 90,91% 9,09% - Alumno 28 81,82% 18,18% - Alumno 29 100% - - Alumno 30 81,82% 18,18% - Alumno 31 100% - - Alumno 32 100% - - Alumno 33 100% - - Alumno 34 90,91% 9,09% - Alumno 35 100% - - Alumno 36 100% - - 64 Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establece el currículo básico de la Educación Primaria. Boletín Oficial del Estado, de 1 de marzo de 2014, núm. 52, pp. 19349-19420. Recuperada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/centrostic/04006151/helvia/aula/archivos/repositorio/250/389/Real_Decreto_1262014_de_28_de_febrero.pdf Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación primaria. Boletín Oficial del Estado, de 8 de diciembre de 2006, núm. 293, pp. 43053-43102. Recuperada de https://www.boe.es/boe/dias/2006/12/08/pdfs/A43053-43102.pdf