Teoremas límites para sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach

Facultad de Matem´aticas Grado en Matem´aticas Departamento de An´alisis Matem´atico Trabajo Fin de Grado Teoremas l´ımites para sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach Mar´ıa del Carmen Hern´andez Santos Tutor: Manuel Ord´o˜nez Cabrera ´ Indice general Resumen. Abstract III Introducci´on V 1. Resultados sobre teoremas l´ımites para sumas ponderadas de variables aleatorias 1 1.1. Introducci´on............................ 1 1.2. Convergencia de sumas de variables aleatorias ponderadas por sucesiones de Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Integrabilidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) 9 2.1. Condiciones distribucionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Integrabilidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3. Elementos aleatorios tight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1. Convergencia d´ebil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.2. Convergencia fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (II) 33 3.1. Sucesiones {ank}-uniformemente integrables . . . . . . . . . . 33 3.2. Sucesiones {ank}-compactamente uniformemente integrables . 37 i ´ Indice general Ap´endice: Elementos Aleatorios 43 Bibliograf´ıa 49 ii Resumen. Abstract Resumen El objetivo de este trabajo es presentar una serie de resultados sobre teoremas l´ımites para sumas ponderadas de elementos aleatorios, aplicables en el contexto de espacios normados y completos (espacios de Banach). Para la obtenci´on de dichos resultados ser´an impuestas condiciones de diversa ´ındole sobre los elementos aleatorios y sobre los pesos, de modo que aparecer´an leyes de los grandes n´umeros como casos particulares en algunos de ellos. Asimismo, se extender´an resultados ya conocidos para variables aleatorias a elementos aleatorios, exigiendo a dichos elementos algunas caracter´ısticas espec´ıficas, que pueden venir relacionadas con los pesos correspondientes. Abstract The object of this work is to give some results about limit theorems for weighted sums of random elements in separable Banach spaces. To obtain these results, we will impose diverse conditions on the random elements and on the weights, so that laws of large numbers will appear as particular cases in some of them. Likewise, we will extend some known results for random variables to random elements, requiring specific characteristics from those random elements which can be related with their corresponding weights. iii Introducci´on La consideraci´on de los procesos estoc´asticos como elementos aleatorios tomando sus valores en espacios de funciones por parte de Doob (1947), cre´o las condiciones que motivaron el estudio de los elementos aleatorios en espacios lineales normados, y especialmente en espacios de Banach. Como parece natural, se inician los trabajos de investigaci´on en el ´area de los teoremas l´ımites de sumas de elementos aleatorios en tales espacios inquiriendo sobre la viabilidad de la generalizaci´on de resultados v´alidos para variables aleatorias, comenzando por las leyes de los grandes n´umeros, y ampliando el ´ambito de investigaci´on al caso de sumas ponderadas por una doble sucesi´on {ank}de n´umeros reales, del que las leyes de los grandes n´umeros constituyen un caso especial, cuando ank =   1 nsi 1 ≤k≤n 0 si k > n. (1) De este modo, la l´ınea de investigaci´on en este ´ambito parte de la toma en consideraci´on de los resultados m´as relevantes obtenidos, a partir de la d´ecada de los sesenta, en el estudio del comportamiento l´ımite de sumas ponderadas de variables aleatorias. v Introducci´on Podemos destacar, entre otras, la contribuci´on en este ´area de William Pruitt. Pruitt estudi´o la convergencia en probabilidad de sumas del tipo Sn=PkankXk, bajo la hip´otesis la independencia e id´entica distribuci´on de las variables aleatorias y exigiendo que la doble sucesi´on {ank}fuera una sucesi´on de Toeplitz. Posteriormente, estos resultados de Pruitt ser´an extendidos por Vijay K. Rohatgi para el caso de variables aleatorias no id´enticamente distribuidas, pero uniformemente dominadas por una variable aleatoria. Por otra parte, Wang y Bhaskara Rao extender´an la ley d´ebil de Rohatgi para sumas ponderadas al caso de variables aleatorias uniformemente integrables. En este trabajo se pretende mostrar algunos de los resultados fundamentales de convergencia para sumas ponderadas de elementos aleatorios. Tales resultados se obtendr´an imponiendo diferentes condiciones a los pesos, a los elementos aleatorios y/o a los espacios lineales, de modo que ser´an aplicables en contextos espec´ıficos. Tambi´en presentaremos algunos de los resultados de convergencia para variables aleatorias y veremos c´omo es posible extender dichos resultados al caso de elementos aleatorios. As´ı, en el Cap´ıtulo 1 presentaremos las leyes de los grandes n´umeros como teoremas l´ımites para sumas ponderadas de variables aleatorias, y estudiaremos la convergencia de estas sumas tomando valores m´as generales para los pesos. Seguidamente, en el Cap´ıtulo 2 ser´a de gran importancia la noci´on de separabilidad del espacio, y mostraremos los resultados m´as destacados vi Introducci´on de convergencia para sumas ponderadas de elementos aleatorios, imponiendo por un lado condiciones sobre los elementos aleatorios, y por otro, sobre los pesos. Finalmente, en el Capitulo 3, expondremos una serie de resultados obtenidos imponiendo a los elementos aleatorios condiciones relacionadas con sus respectivos pesos. Asimismo, dispondremos de un Ap´endice al final de estas notas, en el cual definimos qu´e es un elemento aleatorio y mostramos algunas de las propiedades y resultados m´as rese˜nables de este concepto. vii Cap´ıtulo 1. Resultados sobre teoremas l´ımites para sumas ponderadas de variables aleatorias dada por IA(x) =    1 si x∈A 0 si x /∈A(1.8) Pasamos a introducir ahora el concepto de integrabilidad uniforme. Definici´on 1.3.2. Una familia de variables aleatorias integrables {Xt}t∈T, donde Tes un conjunto de´ındices arbitrarios se dice que es uniformemente integrable si, y solo si, l´ım a→∞ E[|Xt|]I[|Xt|≥a]= 0 uniformemente en t∈T. (1.9) Se verifica el siguiente teorema de equivalencia: Teorema 1.3.1. La familia {Xt}es uniformemente integrable si, y solo si, se satisfacen las dos condiciones siguientes: 1) E[|Xt|]son uniformemente acotadas en t ∈T. 2) Para cada ε > 0∃δ=δ(ε)>0tal que para cualquier suceso A ∈Acon P(A) < δ es E[|Xt|]I[Xt∈A]< ε ∀t∈T. En este contexto, destacan los siguientes resultados debidos a Wang y Bhaskara Rao ([9]): Teorema 1.3.2. Sea {Xn}una sucesi´on de variables aleatorias independientes por pares tal que {Xn}n≥1es uniformemente integrable. Sea {ank}n,k∈N una doble sucesi´on de n´umeros reales satisfaciendo: 1) Pk|ank| ≤ C∀n∈N, para alguna constante positiva C. 2) sup k |ank| −→ 0cuando n → ∞. Entonces, X k ank(Xk−E[Xk]) P −→ 0cuando n → ∞.(1.10) 6 Cap´ıtulo 1. Resultados sobre teoremas l´ımites para sumas ponderadas de variables aleatorias El teorema anterior generaliza el resultado d´ebil de Rohatgi con una diferencia esencial en su demostraci´on: aqu´ı se trunca cada Xnen un punto fijo, mientras que Rohatgi truncaba cada Xnen ank, con ank variando con nyk. Teorema 1.3.3. Sea {Xn}una sucesi´on de variables aleatorias tal que {|Xn|r}n∈N, es uniformemente integrable para alg´un r ∈(0,1). Sea {ank}, con k,n ∈Nuna doble sucesi´on de n´umeros reales satisfaciendo: 1) Pk|ank|r≤C∀n∈N, para alguna constante positiva C. 2) sup k |ank| −→ 0cuando n → ∞. Entonces, X k ankXk−→ 0 (1.11) en la r-media (y por tanto, tambi´en en probabilidad) cuando n → ∞. En comparaci´on con el Teorema 1.3.2, este ´ultimo resultado permite establecer un resultado de convergencia d´ebil para sumas ponderadas, sin suponer la independencia de las variables aleatorias, pero imponiendo una condici´on ligeramente m´as fuerte sobre los pesos. 7 Cap´ıtulo 2 Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) En esta secci´on nos centraremos en el estudio de la convergencia de sumas ponderadas de elementos aleatorios, a los cuales les impondremos condiciones de diversa ´ındole. Antes de mostrar los resultados m´as relevantes, haremos especial hincapi´e en la noci´on de separabilidad de un espacio, la cual ser´a de gran importancia en el desarrollo de este cap´ıtulo. Un espacio normado se dice separable si contiene un subconjunto denso numerable. En este sentido, la suma de dos elementos aleatorios en espacios separables es un elemento aleatorio. Sin embargo, en un espacio lineal normado no separable, la suma de dos elementos aleatorios no tiene por qu´e serlo ([7]). 9 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) Una condici´on suficiente para tener la hip´otesis de separabilidad es que el espacio posea una base de Schauder. Definici´on 2.0.1. Sea Xun espacio lineal topol´ogico. Se dice que una sucesi´on {bn}n∈N⊂Xes una base de Schauder para Xsi para cada x∈X existe una ´unica sucesi´on de escalares {tn}tal que: x= l´ım n→∞ n X k=1 tkbk(2.1) Una base de Schauder para un espacio lineal normado se dice mon´otona si la sucesi´on de n´umeros reales {k Pn k=1 tkbkk}n∈Nes mon´otona creciente para cada sucesi´on de escalares {tn}. Cuando un espacio lineal topol´ogico Xtiene base de Schauder {bn}n∈N, se puede definir una sucesi´on de funcionales lineales {fk}k∈N, llamados funcionales coordenada para la base {bn}n∈N, del siguiente modo: para cada x= l´ımn→∞ Pn k=1 tkbk∈Xse define fk:X−→ R(2.2) x7−→ fk(x) = tkpara todo k∈N(2.3) Los funcionales coordenada dependen de la base y no son necesariamente continuos. Sin embargo, se tiene que en un espacio de Banach los funcionales coordenada s´ı son continuos. Definici´on 2.0.2. Se llama sucesi´on de operadores suma parcial para la base {bn}n∈Na la sucesi´on de funciones lineales {Un}n∈Ndada por: Un:X−→ X(2.4) x7−→ Un(x) = n X k=1 fk(x)bkpara cada x∈X(2.5) 10 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) Se tiene el siguiente resultado: Teorema 2.0.1. a) Si Xes un espacio lineal normado que tiene una base mon´otona {bn}, entonces kUnk ≤ 1para todo n ∈N. Es decir, kUn(x)k ≤ kxk para todo x ∈Xy para todo n ∈N. b) Si Xes un espacio de Banach que tiene una base de Schauder {bn}, entonces existe una constante positiva m, denominada constante base, tal que kUnk ≤ mpara todo n ∈N. Es decir, kUn(x)k ≤ mkxkpara todo x ∈X y para todo n ∈N. Observaci´on 2.0.1. N´otese que en la definici´on de base de Schauder interviene el concepto de l´ımite, que es un concepto topol´ogico. Esto determina la importancia de considerar las bases de Schauder en lugar de las bases de Hamel (conjunto maximal de vectores linealmente independientes), que es un concepto ´unicamente algebraico. Teorema 2.0.2. Sea Xun espacio normado con base de Schauder. Entonces Xes separable. Pasemos ahora a estudiar los resultados de convergencia fundamentales de esta secci´on. 2.1. Condiciones distribucionales Consideremos sumas ponderadas del tipo Sn=P∞ k=1 ankVk, o sucesiones de sumas parciales, Sn=Pn k=1 ankVk. Vamos a estudiar la convergencia de estas sumas imponiendo varias condiciones sobre los pesos {ank}y los elementos aleatorios {Vn}. En algunos de los resultados que enunciaremos aparecer´an leyes de los grandes n´umeros como casos particulares. El siguiente resultado muestra que la convergencia en probabilidad en cada coordenada de una base de Schauder para un espacio de Banach es una 11 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) condici´on necesaria y suficiente para que una suma ponderada de elementos aleatorios id´enticamente distribuidos converja en probabilidad en la topolog´ıa de la norma. Teorema 2.1.1. Sea Xun espacio de Banach que tiene una base de Schauder {bi}, sea {ank}una sucesi´on de Toeplitz, y sea {Vn}una sucesi´on de elementos aleatorios id´enticamente distribuidos en Xtal que E[kV1k]<∞. Para cada funcional coordenada {fi}se sigue que n X k=1 ankfi(Vk−E[V1]) −→ 0en probabilidad (2.6) si, y solo si, k n X k=1 ank(Vk−E[V1])k −→ 0en probabilidad. (2.7) Demostraci´on. Lo probamos por doble implicaci´on. ⇐= Inmediato. La convergencia en la topolog´ıa de la norma implica la convergencia en la topolog´ıa lineal d´ebil, y, por ser Xun espacio de Banach, cada funcional coordenada es continuo, luego se sigue la convergencia en cada coordenada. =⇒ Supongamos que para cada fise tiene (2.6). Como E[kV1k]<∞yXes completo y separable (por tener una base de Schauder), existe E[V1]; podemos suponer E[V1] = 0, ya que si no, considerar´ıamos la sucesi´on {Vn−E[V1]}en lugar de la sucesi´on {Vn}. Para demostrar que k n X k=1 ankVkk −→ 0 en probabilidad (2.8) hay que probar que, dados ε > 0 y δ > 0, existe N(ε, δ)∈Ntal que P[k n X k=1 ankVkk> ε]< δ ∀n≥N(ε, δ).(2.9) 12 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) Sea m > 0 la constante base, tal que kUtk ≤ m∀t∈N, donde Ut(x) est´a dado por Ut(x) = Pt k=1 fk(x)bk. Denotemos Qt(x) = x−Ut(x), ∀x∈X. Entonces, ∀x∈Xse tiene que: kQt(x)k≤kxk+kUt(x)k ≤ (1 + kUtk)kxk ≤ (m+ 1)kxk.(2.10) Luego kQtk ≤ m+ 1 ∀t∈N. Escribamos para cada n∈Ny cada t∈N: n X k=1 ankVk= n X k=1 ankUt(Vk) + n X k=1 ankQt(Vk).(2.11) Aplicando ahora la desigualdad de Markov, P[k n X k=1 ankQt(Vk)k> ε/2] ≤P[ n X k=1 ankkQt(Vk)k> ε/2] ≤ ≤Pn k=1|ank|E[kQt(Vk)k] ε 2 =Pn k=1|ank|E[kQt(V1)k] ε 2 = =E[kQt(V1)k]Pn k=1|ank| ε 2 ≤2 εCE[kQt(V1)k],(2.12) donde Ces una constante positiva, pues {ank}es una sucesi´on de Toeplitz. Ahora bien, kQt(V1)k −→ 0 puntualmente cuando t→ ∞, seg´un la definici´on de los funcionales Qt, y kQt(V1)k ≤ (m+ 1)kV1k, con E[kV1k]<∞. Por tanto, si usamos ahora el teorema de la convergencia dominada llegamos a que E[kQt(V1)k]−→ 0 cuando t→ ∞. Por consiguiente, escojamos ttal que P[kPn k=1 ankQt(Vk)k> ε/2] < δ/2. Por otra parte: 13 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) P[k n X k=1 ankUt(Vk)k> ε/2] = P[k t X i=1 fi( n X k=1 ankVk)bik> ε/2] ≤ P[ t X i=1 |fi( n X k=1 ankVk)|kbik> ε/2] ≤ t X i=1 P[|fi( n X k=1 ankVk)|kbik> ε/(2t)] = t X i=1 P[| n X k=1 ankfi(Vk)|> ε/(2tkbik)] (2.13) Pero, puesto que para cada i∈N, la sucesi´on {fi(Vn)}n∈Nverifica (2.6) y puesto que E[fi(V1)] = fi(E[V1]) = fi(0) = 0, se tiene que para cada i∈N, P[|Pn k=1 ankfi(Vk)|> ε/(2tkbik)] −→ 0 cuando n→ ∞. Por tanto, existe N(ε, δ)∈Ntal que P[k n X k=1 ankUt(Vk)k> ε/2] < δ/2∀n≥N(ε, δ). (2.14) Por consiguiente, ∀n≥N(ε, δ) es P[k n X k=1 ankVkk> ε]≤P[k n X k=1 ankUt(Vk)k> ε/2] + P[k n X k=1 ankQt(Vk)k> ε/2] < δ/2 + δ/2 = δ. (2.15) Luego kPn k=1 ankVkk −→ 0 en probabilidad, cuando n→ ∞. Observaci´on 2.1.1. Si consideramos un espacio lineal normado separable, podemos obtener un resultado similar usando el espacio dual en lugar de los funcionales coordenada. Esto se puede probar por inmersi´on del espacio lineal normado separable en C[0,1] isom´orficamente, (pues C[0,1] tiene una base de Schauder) y aplicando el teorema anterior. 14 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) Teorema 2.1.2. Sea Xun espacio lineal normado separable, sea {ank}una sucesi´on de Toeplitz, y sea {Vn}una sucesi´on de elementos aleatorios id´enticamente distribuidos en X tal que E[kV1k]<∞y E[V1]existe. Para cada funcional lineal continuo f se sigue que n X k=1 ankf(Vk−E[V1]) −→ 0en probabilidad, (2.16) si, y solo si, k n X k=1 ank(Vk−E[V1])k −→ 0en probabilidad. (2.17) El teorema que enunciamos a continuaci´on puede verse como la extensi´on del teorema fuerte de Pruitt para sumas ponderadas de variables aleatorias (Teorema 1.2.2) a sumas ponderadas de elementos aleatorios en un espacio lineal normado separable. Teorema 2.1.3. Sea {Vn}una sucesi´on de elementos aleatorios independientes e id´enticamente distribuidos en un espacio lineal normado separable X con E[V1]= 0, y sea {ank}n∈N 1≤k≤n una sucesi´on de Toeplitz que satisface tambi´en que max 1≤k≤n|ank|= O(n−α) para alg´un α > 0. Entonces, si E[kV1k1+ 1 α]<∞se tiene que: Sn= n X k=1 ankVk c.s. −→ 0 (2.18) Demostraci´on. Sea h:X−→ C[0,1] una funci´on lineal uno a uno y bicontinua, y sea {bi}una base de Schauder para C[0,1]. Sea h(Vk) = Vhk elementos aleatorios sobre C[0,1]. Para cada funcional coordenada fide la base, la sucesi´on {fi(Vhk)}k∈Nes una sucesi´on de variables aleatorias independientes e id´enticamente distribuidas (ver Ap´endice). 15 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) Sin embargo, el teorema de Wang-Bhaskara Rao que generaliza el resultado d´ebil de Rohatgi (Teorema 1.3.2) no es v´alido para elementos aleatorios en un espacio de Banach. Aportamos el siguiente contraejemplo: Ejemplo 2.2.1. Consideramos el espacio l1={x∈R∞:kxk= ∞ X n=1 |xn|<∞} (2.44) y sea {en}la base est´andar de l1.Sea {Vn}una sucesi´on de elementos aleatorios independientes con Vn=±encon probabilidad 1/2 respectivamente. Entonces E[Vn]=0 ∀n∈NykVnk= 1 ∀n∈N.{kVnk} es uniformemente integrable pues E[kVnk]≤1∀n∈NyRAkVnkdP =P(A)< ε ∀n∈Nsi P(A)< δ (tomando δ=ε). Sea la doble sucesi´on {ank}dada por ank =   1 nsi 1 ≤k≤n 0 si k > n (2.45) Se verifica: 1) Pk|ank|=Pn k=1 1 n= 1 ∀n∈N 2) l´ımn→∞ max k|ank|= l´ımn→∞ 1 n= 0 Sin embargo, kPkankVkk=k1 nPn k=1 Vkk= 1   −→ 0∀n∈Nni en probabilidad ni de ninguna otra manera. En la siguiente secci´on introduciremos el concepto de elemento aleatorio tight y veremos que es posible obtener un resultado an´alogo al Teorema 1.3.2 imponiendo dicha condici´on a la sucesi´on {Xn}. Asimismo, se abordar´an otros resultados de convergencia concernientes a sucesiones de elementos aleatorios de este tipo. 22 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) 2.3. Elementos aleatorios tight 2.3.1. Convergencia d´ebil Definici´on 2.3.1. Un elemento aleatorio Ven un espacio topol´ogico Xes tight si para cada ε > 0 existe un subconjunto compacto Kε⊂Xtal que P[V∈Kε]>1 - ε. Una sucesi´on de elementos aleatorios {Vn}se dice que es tight si para cada ε > 0 existe un subconjunto compacto Kε⊂Xtal que P[Vn∈Kε]>1 - ε para todo n∈N. Tras estas definiciones, enunciamos ahora el resultado de Wang y Bhaskara Rao ([8]) que extiende en cierta medida el Teorema 1.3.2, bajo la hip´otesis de que la sucesi´on de elementos aleatorios sea tight. Teorema 2.3.1. Sea {Vn}una sucesi´on de elementos aleatorios en un espacio de Banach separable X. Sea X1un subconjunto total de X∗. Supongamos que: 1) {kVnk}n∈Nes uniformemente absolutamente continua. 2) {Vn}es tight. 3) {g(Vn)}es independiente por pares para cada g∈X1. Sea {ank}n,k∈Nuna doble sucesi´on de n´umeros reales verificando: 4) P∞ k=1|ank| ≤ C∀n∈N, donde C es una constante positiva. 5) sup k |ank| −→ 0cuando n → ∞. Entonces P∞ k=1 ank(Vk−E[Vk]) −→ 0en media, y por tanto, en probabilidad. Nota 2.3.1. X1es un subconjunto total de X∗⇐⇒ si para alg´un x∈Xes g(x) = 0 ∀g∈X1, entonces ha de ser x= 0. El siguiente lema ([7]) nos permite suponer que, bajo ciertas condiciones, en un espacio de Banach separable los elementos aleatorios tight est´an centrados en sus respectivas medias. 23 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) Lema 2.3.1. Sea {Vn}una sucesi´on de elementos aleatorios tight en un espacio de Banach separable X. Si sup n E[kVnkp]<∞para alg´un p >1, entonces {Vn−E[Vn]}n∈Nes tight. Ahora destacamos el siguiente lema, que va a permitir caracterizar a los conjuntos compactos en un espacio de Banach con base de Schauder, como casi finito-dimensionales. Lema 2.3.2. Sea Kun conjunto compacto en un espacio de Banach que tiene una base de Schauder. Entonces, para cada ε > 0 existe un entero positivo n0=n0(ε)tal que kx−Un(x)k< ε ∀x∈Ky∀n≥n0. Demostraci´on. Sea gn(x) = sup k≥n kx−Uk(x)k.Entonces, |gn(x)−gn(y)| ≤ sup k≥n |kx−Uk(x)k−ky−Uk(y)k| ≤ sup k≥n k(x−y)−Uk(x−y)k ≤ (m+ 1)kx−yk(2.46) donde mes la constante base. Por consiguiente, gnes uniformemente continua para cada n∈N. Adem´as, {gn}decrece mon´otonamente (puntualmente) hacia 0, y, por tanto, aplicando el teorema de Dini, {gn}converge uniformemente a 0. Nota 2.3.2. Teorema de Dini. Sea Eun espacio m´etrico compacto. Si una sucesi´on mon´otona (creciente o decreciente) {fn}de funciones continuas a valores reales converge puntualmente a una funci´on continua g, entonces converge uniformemente a g. En el siguiente teorema vamos a probar que si consideramos sumas ponderadas de elementos aleatorios tight con cierta condici´on de momentos, la convergencia en probabilidad en la topolog´ıa d´ebil equivale a la convergencia en probabilidad en la topolog´ıa de la norma. Teorema 2.3.2. Sea Xun espacio de Banach separable, y sea {Vn}una sucesi´on de elementos aleatorios tight en Xcon medias cero verificando que 24 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) E[kVnkr]≤Γ∀n∈N, para alg´un r >1 y Γ>0. Sea {ank}n,k∈Nuna doble sucesi´on de n´umeros reales verificando P∞ k=1 |ank| ≤ C∀n∈N, donde C es una constante positiva. Entonces |P∞ k=1 ankf(Vk)| −→ 0 en probabilidad para cada f ∈X∗si, y solo si, kP∞ k=1 ankVkk −→ 0 en probabilidad. Demostraci´on. Como Xpuede ser inmerso isom´etricamente en un espacio de Banach con base de Schauder, podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que Xtiene una base de Schauder {bt}. Tambi´en podemos suponer Γ = 1. Probamos el resultado por doble implicaci´on. ⇐= Inmediato. La convergencia en la topolog´ıa de la norma implica la convergencia en la topolog´ıa d´ebil. =⇒ Sea mla constante base tal que kUtk ≤ mykQtk ≤ m+ 1 ∀t∈N, con Qtdada por Qt(x) = x-Ut(x) = x-Pt k=1 fk(x)bk. Para cada nyt, escribimos: ∞ X k=1 ankVk= ∞ X k=1 ankUt(Vk) + ∞ X k=1 ankQt(Vk).(2.47) Sea ε > 0 dado. Para cada t∈Nfijado se tiene: P[kUt( ∞ X k=1 ankVk)k>ε 2] = P[k t X i=1 fi( ∞ X k=1 ankVk)bik>ε 2]≤ P[ t X i=1 |fi( ∞ X k=1 ankVk)|kbik>ε 2]≤ t X i=1 P[| ∞ X k=1 ankfi(Vk)|>ε 2tkbik]−→ 0 (2.48) 25 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) cuando n→ ∞, puesto que por hip´otesis |P∞ k=1 ankfi(Vk)| −→ 0 en probabilidad para cada i∈N, pues fi∈X∗∀i∈N, por ser Xespacio de Banach. Como {Vn}es tight, existe un conjunto compacto K⊂Xtal que P[Vn∈K]≥1−ε2 8C(m+ 1)r r−1 ∀n∈N. (2.49) Entonces, por el Lema 2.3.2, se puede escoger t∈Nde forma que kQt(x)k=kx−Ut(x)k<ε2 8C∀x∈K. (2.50) Aplicando la desigualdad de H¨older, se tiene: E[kQt(Vk)k]≤ E[kQt(Vk)k]I[kQt(Vk)k≤ ε2 8C]+E[kQt(Vk)k]I[kQt(Vk)k>ε2 8C]≤ ε2 8C+ (E[kQt(Vk)kr])1 r(E[I[kQt(Vk)k>ε2 8C]])r−1 r≤ ε2 8C+ (m+ 1)(E[kVkkr])1 rPkQt(Vk)k>ε2 8Cr−1 r < ε2 8C+ (m+ 1)(E[kVkkr])1 r(P[Vk6∈ K])r−1 r≤ ε2 8C+ (m+ 1) ε2 8C(m+ 1) =ε2 4C∀k∈N. (2.51) Por consiguiente, P[k ∞ X k=1 ankQt(Vk)k>ε 2]≤P[ ∞ X k=1 |ank|kQt(Vk)k>ε 2]≤ 2 ε ∞ X k=1 |ank|E[kQt(Vk)k]≤2 ε·C·ε2 4C=ε 2∀n∈N. (2.52) Para este t∈N, tomamos n0∈Ntal que ∀n≥n0se verifique P[kUt( ∞ X k=1 ankVk)k>ε 2]<ε 2(2.53) 26 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) Entonces, ∀n≥n0se tiene que: P[k ∞ X k=1 ankVkk> ε]≤P[k ∞ X k=1 ankUt(Vk)k>ε 2] + P[k ∞ X k=1 ankQt(Vk)k>ε 2]<ε 2+ε 2=ε(2.54) Luego P∞ k=1 ankVk−→ 0 en probabilidad. Nota 2.3.3. La acotaci´on de momentos que se efect´ua en el teorema anterior trae consigo el siguiente resultado (ver [7]): Lema 2.3.3. Sea {Xn}una sucesi´on de variables aleatorias tales que E[|Xn|r]≤Γ ∀n∈Npara alg´un r >1 y Γ>0.Entonces existe una variable aleatoria V tal que: 1) P[|Xn| ≥ a]≤P[|V| ≥ a]∀n∈Ny a ≥0. 2) E[|V|p]<∞ ∀ pcon 0 < p < r. Esto quiere decir que en las condiciones del Teorema 2.3.2, la sucesi´on {kVnk} est´a uniformemente dominada por una variable aleatoria Vtal que E[|V|]<∞. Entonces, E[k ∞ X k=1 ankVkk]≤ ∞ X k=1 |ank|E[kVkk]≤ E[|V|]· ∞ X k=1 |ank| ≤ CE[|V|]<∞.(2.55) Luego la serie Sn=P∞ k=1 ankVkconverge absolutamente c.s. para cada n∈N, y como Xes un espacio completo, la serie Snconverge con probabilidad 1. Concluimos esta subsecci´on con un resultado que es consecuencia inmediata del teorema que acabamos de probar: 27 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) Corolario 2.3.1. Sea Xun espacio de Banach con una base de Schauder, y sea {Vn}una sucesi´on de elementos aleatorios tight en Xcon medias 0 tales que E[kVnkr]≤Γ∀n∈N, para alg´un r >1 y Γ>0. Sea {ank}n,k∈Nuna doble sucesi´on de n´umeros reales tal que P∞ k=1|ank| ≤ C, donde Ces una constante positiva. Entonces |P∞ k=1 ankfi(Vk)| −→ 0 en probabilidad para cada funcional coordenada fisi, y solo si, kP∞ k=1 ankVkk −→ 0 en probabilidad. Es decir, si consideramos un espacio de Banach con base de Schauder, la convergencia d´ebil de las sumas ponderadas en la topolog´ıa de la norma es equivalente a la convergencia d´ebil para todos los funcionales coordenada. 2.3.2. Convergencia fuerte En esta subsecci´on expondremos algunos resultados b´asicos sobre convergencia casi segura de sumas ponderadas de elementos aleatorios independientes y tight en espacios de Banach separables. Comenzamos enunciando un resultado para elementos aleatorios con momentos r-´esimos (r > 1) uniformemente acotados, que toman sus valores en un subconjunto compacto. Teorema 2.3.3. Sean Kun subconjunto compacto de un espacio de Banach separable X, y {Vn}n∈Nuna sucesi´on de elementos aleatorios independientes en Xque toman sus valores en K, con E[Vn]= 0 ∀n∈N. Consideremos una sucesi´on de Toeplitz {ank}n,k∈Nverificando que sup k |ank|= O(n−α)para alg´un α > 0. Entonces, Sn=P∞ k=1 ankVk c.s. −→ 0. Demostraci´on. Se puede suponer que Kes convexo y sim´etrico, 0 ∈K([6]), y que P∞ k=1|ank| ≤ 1∀n∈N. En el espacio dual X∗existe un conjunto numerable Sque separa puntos de 28 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) K. Sea τsla topolog´ıa m´as d´ebil sobre Kque hace continuos los elementos de S. Entonces, para {Xn} ⊂ K,Xn→0 en τssi, y solo si, kXnk → 0. Para cada f∈S, se tiene que P∞ k=1 ankf(Vk)c.s. −→ 0 por el Teorema 1.2.4, ya que {f(Vk)}es una sucesi´on de variables aleatorias independientes uniformemente acotadas con medias cero. Puesto que Kes convexo y sim´etrico, P∞ k=1 ankVk(ω)∈K∀ω∈Ω y ∀n∈N, y puesto que Ses numerable, kP∞ k=1 ankVkkc.s. −→ 0, pues el conjunto de ω∈Ω para los que no se cumple esto, es uni´on numerable de conjuntos nulos (uno para cada f∈S). A continuaci´on, obtendremos un resultado general truncando los elementos aleatorios en un compacto y aplicando el teorema anterior. Teorema 2.3.4. Sea Xun espacio de Banach separable, y sea {Vn}n∈N, una sucesi´on de elementos aleatorios independientes y tight en Xcon E[kVnkr]≤Γ ∀n∈N, para alg´un r >1 y Γ>0. Sea {ank}n,k∈Nuna sucesi´on de Toeplitz tal que sup k |ank|= O(n−α)para alg´un 0 <1 α< r −1.Entonces, Sn=P∞ k=1 ank(Vk−E[Vk]) c.s. −→ 0. Demostraci´on. Por el Lema 2.3.1 podemos suponer que E[Vn] = 0 ∀n∈N. Supongamos tambi´en que Γ = 1 y P∞ k=1|ank| ≤ 1. Dado ε > 0, tomemos δ= (ε/4) r r−1. Sea Kcompacto (podemos suponer, como en la prueba del teorema anterior, que es convexo, sim´etrico y que 0 ∈K) tal que P[Vn∈K]>1 - δ∀n∈N. Definamos Yn=VnI[Vn∈K]yZn=Vn−Yn∀n∈N. Entonces, {Yn−E[Yn]} toma sus valores en Ky, por consiguiente, aplicando el teorema anterior, se tiene que k ∞ X k=1 ank(Yk−E[Yk])kc.s −→ 0 (2.56) 29 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) Por otro lado, aplicando la desigualdad de H¨older: E[kZnk] = E[kVnkI[Vn6∈K]]≤E[kVnkr]1 r(P[Vn6∈ K])r−1 r≤ ≤1·(δ)r−1 r=ε 4,para cada n∈N.(2.57) Tambi´en se tiene para cada n∈N: E[|kZnk − E[kZnk]|r]≤2r−1(E[kZnkr]+(E[kZnk])r]) ≤2r(2.58) Aplicando ahora el Lema 2.3.3 y el teorema fuerte de Rohatgi (Teorema 1.2.4, se tiene que: ∞ X k=1 |ank|(kZkk − E[kZkk]) c.s −→ 0 (2.59) Se puede tomar una sucesi´on de εn→0, Sn→0 y correspondientes compactos Kntales que pueden ser excluidos de (2.56) y (2.59) un n´umero numerable de conjuntos nulos. Por tanto, para casi todo ω∈Ω existe n0=n0(ω, ε)∈N tal que ∀n≥n0se tiene que: k ∞ X k=1 ank(Yk(ω)−E[Yk])k<ε 4,y (2.60) | ∞ X k=1 |ank|(kZk(ω)k − E[kZkk])|<ε 4(2.61) Luego ∀n≥n0: k ∞ X k=1 ankZk(ω)k ≤ ∞ X k=1 |ank|(kZk(ω)k − E[kZkk]) + ∞ X k=1 |ank|E[kZkk]≤ε 4+ε 4=ε 2(2.62) An´alogamente, como E[Yk] = -E[Zk], se tiene que: k ∞ X k=1 ankYk(ω)k<ε 2∀n≥n0(2.63) ya que kX k ankYk(ω)k≤kX k ank(Yk(ω)−E[Yk])k+kX k ankE[Yk]k(2.64) 30 Cap´ıtulo 2. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (I) Por tanto, k ∞ X k=1 ankVk(ω)k< ε ∀n≥n0.(2.65) Observaci´on 2.3.1. Este teorema proporciona una ley fuerte de los grandes n´umeros pues la doble sucesi´on ank =   1 nsi 1 ≤k≤n 0 si k > n (2.66) satisface las hip´otesis con sup k |ank|= O(n−1) y r > 2.La condici´on de momento es necesaria para la acotaci´on uniforme de {kZnk − E[kZnk]}por una variable aleatoria, y as´ı poder aplicar el teorema de Rohatgi. 31 Cap´ıtulo 3. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (II) Lema 3.2.1. Sea Xun espacio de Banach con una base de Schauder {bn}. Sea {ank}k,n∈Nuna sucesi´on de n´umeros reales tal que sup nPk|ank|<∞.Sea {Xn}n∈Nuna sucesi´on de elementos aleatorios {ank}-compactamente uniformemente integrable con orden p-´esimo para alg´un p≥1en X. Entonces, l´ım tsup nX k |ank|E[kQt(Xk−E[Xk])kp] = 0.(3.12) Demostraci´on. Dado ε > 0, existe un subconjunto compacto K⊂Xtal que sup nX k |ank|E[kXkkpI[Xk/∈K]]< ε2−2p(M+ 1)−p.(3.13) donde Mes la constante base de la base de Schauder {bn}. Para cada n∈Nse define: Wn=XnI[Xn∈K] Yn=XnI[Xn/∈K]=Xn−Wn. Como Kes compacto, existe t0∈Ntal que kQt(Wk)k<1 4ε1 pC−1 ppara cada k∈Nyt≥t0, donde C > 0 es una constante tal que sup nPk|ank| ≤ C. Entonces, para cada k∈N: E[kQt(Wk−E[Wk])kp] = E[kQt(Wk)−E[Qt(Wk)]kp] ≤2p−1(E[kQt(Wk)kp] + E[kQt(Wk)k]p) ≤2pE[kQt(Wk)kp]< ε2−pC−1.(3.14) Por otro lado: X k |ank|E[kQt(Yk−E[Yk])kp]≤2p−1(M+ 1)pX k |ank|(E[kYkkp]+(E[kYkk])p) ≤2p(M+ 1)pX k |ank|E[kYkkp]< ε2−p. (3.15) 38 Cap´ıtulo 3. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (II) Por tanto, para cada t≥t0: sup nX k |ank|E[kQt(Xk−E[Xk])kp]≤2p−1(ε2−p+ε2−p) = ε(3.16) An´alogamente, se prueba el siguiente lema: Lema 3.2.2. Sean X,{ank}y{Xn}como en el Lema 3.2.1, con p > 0. Entonces, l´ım tsup nX k |ank|E[kQt(Xk)kp]=0.(3.17) Enunciemos ahora el resultado que extiende el Teorema 3.1.2: Teorema 3.2.2. Sea Xun espacio de Banach separable. Sea {ank}k,n∈Nuna doble sucesi´on de n´umeros reales verificando: 1) sup nPk|ank|<∞ 2) l´ımnsup k |ank|= 0. Sea {Xn}n∈Nuna sucesi´on de elementos aleatorios independientes por pares y{ank}-compactamente uniformemente integrable en X. Entonces, E[kPkank(Xk−E[Xk])k]−→ 0cuando n→ ∞. Demostraci´on. Usando que {Xn}es {ank}-compactamente uniformemente integrable, la acotaci´on del correspondiente compacto Ky 1), se deduce que Pk|ank|E[kXk−E[Xk]k]<∞para cada n∈N, as´ı como la convergencia casi segura de Sn=Pkank(Xk−E[Xk]) para cada n∈N. Como Xpuede ser isom´etricamente inmerso en un espacio de Banach con base de Schauder, podemos asumir, sin p´erdida de generalidad, que Xtiene una base de Schauder {bn}. Sea Mla constante base. 39 Cap´ıtulo 3. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (II) Para cada t∈Nfijo, y para cada n∈N: E[kX k ank(Xk−E[Xk])k]≤E[k t X i=1 fi X k ank(Xk−E[Xk])!bik] +E[kQt X k ank(Xk−E[Xk])!k].(3.18) Por el Lema 3.2.1, dado ε > 0, existe t∈Ntal que E[kQt X k ank(Xk−E[Xk])!k]<ε 4para cada n∈N.(3.19) Fijamos un t∈N. Sea m=max 1≤i≤tkfikkbik. Existe un subconjunto compacto K⊂Xtal que sup nX k |ank|E[kXkkI[Xk/∈K]]<ε 4mt.(3.20) Para cada n∈Nse define: Wn=XnI[Xn∈K] Yn=XnI[Xn/∈K]=Xn−Wn. Tenemos: E[k t X i=1 fi X k ank(Xk−E[Xk])!bik] ≤ t X i=1 E[|fi X k ank(Wk−E[Wk])!|] + E[|fi X k ank(Yk−E[Yk])!|]!kbik. (3.21) {fi(Wk−E[Wk])}k∈Nes, para cada i∈N, una sucesi´on de variables aleatorias independientes por pares con media cero. Por tanto, E[|fi X k ank(Wk−E[Wk])!|]kbik ≤  E[ X k ankfi(Wk−E[Wk])!2 ]  1 2 kbik ≤m X k |ank|2E[kWk−E[Wk]k2]!1 2 ≤A X k |ank|2!1 2 . (3.22) 40 Cap´ıtulo 3. Sumas ponderadas de elementos aleatorios en espacios de Banach (II) siendo Auna constante. Como Pk|ank|2≤(sup k |ank|)Pk|ank| −→ 0 cuando n→ ∞, podemos tomar n0∈Ntal que para cada n≥n0y 1 ≤i≤t: E[|fi X k ank(Wk−E[Wk])!|]kbik<ε 4t.(3.23) Por otra parte, E[|fi X k ank(Yk−E[Yk])!|]kbik ≤ 2mX k |ank|E[kYkk].(3.24) Por tanto, E[kX k ank(Xk−E[Xk])k< t ε 4t+ 2mt ε 4mt +ε 4=ε(3.25) para cada n≥n0. 41 Ap´endice Elementos Aleatorios En esta secci´on mostraremos algunas nociones b´asicas necesarias para la correcta comprensi´on de estas notas. Detallaremos qu´e es un elemento aleatorio, mencionando sus propiedades esenciales, y tambi´en establereceremos resultados relacionados con dicho concepto. Consideramos el espacio probabil´ıstico (Ω,A, P) y el espacio lineal normado (X,k·k). Definici´on. Una funci´on V: Ω −→ Xse dice que es un elemento aleatorio en Xsi Ves B(X)-medible, es decir, si para cada B∈B(X) se tiene V−1(B) = {ω∈Ω : V(ω)∈B} ∈ A(3.26) Nota. Un elemento aleatorio es una generalizaci´on de una variable aleatoria. De este modo, Ves un elemento aleatorio en Rsi, y solo si, Ves una variable aleatoria. Asimismo, elementos aleatorios en Rnson vectores aleatorios o variables aleatorias n-dimensionales. Lema. Sea Vun elemento aleatorio (e.a.) en un espacio lineal normado (e.l.n.) Xy sea T:X−→ Yuna funci´on medible-Borel, siendo Yotro e.l.n. Entonces, T(V)≡T◦Ves un e.a. en Y. 43 Ap´endice: Elementos Aleatorios Proposici´on. Sea {Vn}una sucesi´on de e.a. en un e.l.n. Xde forma que Vn(ω)−→ V(ω) para cada ω∈Ω. Entonces Ves un elemento aleatorio en X. Proposici´on. Sea Vun elemento aleatorio en un espacio lineal normado X y sea Auna variable aleatoria. Entonces, AV es un elemento aleatorio en X. Aunque es posible generalizar muchas caracter´ısticas de las variables aleatorias a los elementos aleatorios, no todas las propiedades pueden ser extendidas. Por ejemplo, sumas de variables aleatorias son variables aleatorias, pero sumas de elementos aleatorios en un espacio topol´ogico Xpueden no estar definidas (si Xno es lineal). Asimismo, en espacios lineales normados es necesario exigir en algunas ocasiones la separabilidad para extender propiedades b´asicas de variables aleatorias a elementos aleatorios. A continuaci´on, mostramos algunas propiedades topol´ogicas de los elementos aleatorios. Teorema. Sea Xun espacio lineal normado. Sea Vun elemento aleatorio en X. Entonces, se tiene que: a)kVkes una variable aleatoria. b) Si f∈X∗, f(V) es una variable aleatoria. El siguiente teorema prueba que el rec´ıproco es tambi´en cierto si consideramos un e.l.n. separable. Teorema. Sea Xun espacio lineal normado separable. Entonces, una funci´on V: Ω −→ Xes un elemento aleatorio si, y solo si f(V) es una variable aleatoria para cada f∈X∗. Nota. Este teorema implica que en un e.l.n separable, la suma de dos elementos aleatorios es un elemento aleatorio. Sin embargo, la suma de dos e.a. en un e.l.n. no separable no es necesariamente un e.a., como se pone de manifiesto en [7]. 44 Ap´endice: Elementos Aleatorios Un elemento aleatorio en un espacio topol´ogico induce una medida de probabilidad en el espacio de sus subconjuntos de Borel. De este modo, introducimos, a continuaci´on, los conceptos de id´entica distribuci´on e independencia, extendiendo los resultados de variables aleatorias a elementos aleatorios en espacios lineales normados. Definici´on. Sean VyZdos elementos aleatorios sobre X. Diremos que V yZest´an id´enticamente distribuidos si P[V∈B] = P[Z∈B] para todo B∈B(X). Es decir, si inducen la misma medida de probabilidad. Una familia de elementos aleatorios est´a id´enticamente distribuida si cada par de elementos aleatorios que la forman est´a id´enticamente distribuido. Definici´on. Un conjunto finito de elementos aleatorios {V1, ..., Vn}en Xse dice que es independiente si P n \ i=1 [Vi∈Bi] = n Y i=1 P[Vi∈Bi] para cada B1, ..., Bn∈B(X). Una familia de elementos aleatorios en Xes independiente si cada subconjunto finito de ella lo es. Lema. a) Sean {Vα}α∈Auna familia de elementos aleatorios independientes en Xy{Tα}α∈Auna familia de funciones medibles-Borel del espacio topol´ogico Xen el espacio topol´ogico Y. Entonces, {Tα(Vα)}α∈Aes una familia de elementos aleatorios independientes en Y. b) Sean {Vα}α∈Auna familia de elementos aleatorios id´enticamente distribuidos en XyT:X−→ Yuna funci´on medible-Borel de Xen otro espacio topol´ogico Y. Entonces {T(Vα)}α∈Aes una familia de elementos aleatorios id´enticamente distribuidos en Y. Enunciamos ahora dos resultados que nos proporcionan una caracterizaci´on de la id´entica distribuci´on y de la independencia de elementos aleatorios en t´erminos del espacio dual, y que son f´acilmente extensibles a familias de elementos aleatorios. 45 Ap´endice: Elementos Aleatorios Proposici´on. Sea Xun espacio lineal normado separable. Se tiene que los elementos aleatorios VyZen Xson id´enticamente distribuidos si, y solo si, f(V) y f(Z) son variables aleatorias id´enticamente distribuidas para cada f∈X∗. Proposici´on. Sea Xun espacio lineal normado separable. Se tiene que los elementos aleatorios VyZen Xson independientes si, y solo si, f(V) y g(Z) son variables aleatorias independientes para cada f, g ∈X∗. Nota. El hecho de que f(V) y f(Z) sean independientes para cada f∈X∗ no es suficiente para que VyZsean independientes. Si consideramos ahora que X es un e.l.n con base de Schauder, es posible conseguir una caracterizaci´on de la independencia en t´erminos de los funcionales coordenada {fk}. Proposici´on. Sea Xun espacio lineal normado con una base de Schauder {bk}k∈Ny funcionales coordenada medibles-Borel {fk}k∈N. Se tiene que los elementos aleatorios VyZson independientes en Xsi, y solo si, los vectores aleatorios (f1(V), ..., fn(V)) y (f1(Z), ..., fn(Z)) son independientes para cada n= 1,2, ... A continuaci´on vamos a usar la integral de Pettis para definir un valor esperado para elementos aleatorios. Definici´on. Sea Vun elemento aleatorio en un espacio lineal topol´ogico X. Diremos que Vtiene esperanza ovalor esperado E[V] si existe un elemento E[V]∈Xque cumple que: f(E[V]) = E[f(V)] = ZΩ f(V)dP < ∞(3.27) para cada funci´on f∈X∗. Lema. Sea Xun espacio topol´ogico de forma que X∗separa puntos de X. Entonces, el valor esperado es ´unico. 46 Ap´endice: Elementos Aleatorios El valor esperado no siempre est´a definido. El siguiente resultado nos proporciona una condici´on suficiente para su existencia. Teorema. Sean Xun espacio de Banach separable y Vun elemento aleatorio en X. Si E[kVk]<∞, entonces existe E[V]. Mostramos ahora algunas propiedades de la esperanza de un elemento aleatorio que son consecuencia de la definici´on de la integral de Pettis. Teorema. Sean V,V1yV2elementos aleatorios en un espacio lineal normado X. Sea x∈X. Se tiene: 1) Si existen E[V1] y E[V2] y V1+V2es un elemento aleatorio en X, entonces E[V1+V2] = E[V1] + E[V2]. 2) Si E[V] existe y λ∈R, entonces E[λV ] = λE[V]. 3) Si P[V=x] = 1, entonces E[V] = x. Adem´as, si Aes una variable aleatoria y existe E[A], entonces E[AV ] = (E[A])x. 4) Sea h:X−→ Yuna funci´on lineal continua, siendo Yun espacio lineal topol´ogico. Si existe E[V], entonces E[h(V)] = h(E[V]). 5) Si existe E[V], entonces kE[V]k ≤ E[kVk], donde el segundo miembro puede ser +∞. 47