Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik

Physikalisch-Technische Bundesanstalt Nationales Metrologieinstitut Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik Version 1 | 23.05.2017 DOI 10.7795/530.20170606DE Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 1 Leitfaden Fü r die 3D-Loch bildeinpassüng i n der Koordinatenmesstechnik Version 1 23.05.2017 Inhalt 1. Einleitung ......................................................................................................................................... 2 2. Allgemeine Anforderungen .............................................................................................................. 4 2.1. Lochbildeinpassung in Normung .............................................................................................. 4 2.2. Bestimmung der CAD Parameter für die Lehrung ................................................................... 7 2.3. Freiheitsgrade der Einpassung und Bezüge ............................................................................. 8 2.4. Lehrung mit Koordinatenmesssystemen ................................................................................. 9 2.5. Einfluss von Messunsicherheiten auf das Einpassungsergebnis ........................................... 14 3. Anwendungsbeispiel Flanschring ................................................................................................... 15 3.1. Normenkonforme Prüfung.......................................................................................................... 16 3.2. Mathematische Modellbildung für Bezüge und Einpassung ...................................................... 17 3.4. Verallgemeinerung der Prüfaufgabe für die Montagesimulation .............................................. 25 4. Anwendungsbeispiel Kegelscheibe ................................................................................................ 27 4.1. Normenkonforme Prüfung..................................................................................................... 28 4.2. Mathematisches Modell der Bezugsbildung und Einpassung ............................................... 29 5. Anwendungsbeispiel Würfel .......................................................................................................... 37 5.1. Normenkonforme Prüfung..................................................................................................... 38 5.2. Mathematisches Modell der 3D-Lochbildeinpassung ........................................................... 38 5.3. Verallgemeinerung der Prüfaufgabe für die Montagesimulation ......................................... 43 Referenzen ............................................................................................................................................. 44 Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 2 1. Einleitung Bei der Inspektion von Bauteilen hat die Prüfung mit Lehren große Bedeutung, da sie bereits vor der Entwicklung erster Koordinatenmessgeräte (KMG) eingesetzt wurde. Das Prinzip der Prüfung wird als Taylorscher Grundsatz bezeichnet. Die dabei verwendete Lehre – oder auch Funktionslehre genannt [1] – besteht aus zwei Teilen. Eine Gutlehre legt maximal zulässige Grenzabweichungen für die Gestalt von Bauteilkomponenten fest. Für die Prüfung einer Bohrung ist dies beispielsweise ein zylinderförmiger Lehrenbolzen, der vollständig in die gefertigte Bohrung gesteckt werden sollte. Verklemmt der Bolzen beim Einstecken, ist die Bohrung Ausschuss. Die zweite Komponente bei der Lehrung ist die Ausschusslehre. Mit dieser werden im Gegensatz zur Gutlehre lokale Maße von Bauteilen auf Zulässigkeit geprüft. Bei Bohrungen sind dies Stifte zur Prüfung maximal zulässiger lokaler Zweipunktmaße der Bohrungsinnenfläche. In ähnlicher Weise werden für die Prüfung von Wellen Lehrringe bzw. Hülsen eingesetzt. Die Prüfung mit Funktionslehren ist nicht auf einzelne Geometrieelemente beschränkt, sonder kann auch Gruppen mehrerer Funktionselemente eines Bauteils umfassen. In modernen Produktionen werden die Komponenten verschiedener Baugruppen in der Regel an unterschiedlichen Standorten oder von Zulieferbetrieben gefertigt. Die Vereinbarung zulässiger Gestaltabweichungen für Werkstücke erfolgt dabei durch technische Zeichnungen mit Toleranzangaben nach den Normen ISO 1101 [2], ASME Y14.5M [3] oder anderen spezifischen Werksnormen. Nur wenn vom Auftraggeber und Zulieferer die Toleranzen in den technischen Zeichnungen konsistent interpretiert werden, kann später die Montierbarkeit der Baugruppen gewährleistet werden. Für eine funktionsgerechte Fertigung ist daher die Prüfung der Fügbarkeit vor der Montage unverzichtbar. Die Problematik wird anhand des Flanschrings in Abbildung 1 verdeutlicht. Abbildung 1 Darstellung der Montageanforderungen bei einer Flanschverbindung mit Zapfen. Abbildung 1 zeigt links einen Flanschring mit 16 gleichabständigen Bohrungen. Dieser soll durch einzelne Zapfen in der Form von Schrauben mit einem zweiten Flansch verbunden werden. Es ist ersichtlich, dass die einzelnen Zapfen unterschiedlicher Durchmesser in die zugehörigen Bohrungen passen. Bei Flanschverbindungen ist es jedoch erforderlich, dass alle Zapfen gleichzeitig in die zugehörigen Bohrungen passen. Anhand der rechten Bildhälfte wird die Problematik umso deutlicher, da Bohrungen und zugehörige Zapfen auch windschief zueinander stehen können. Allgemein haben in der Montage alle Gestaltabweichungen der Bauteile einen Einfluss auf die Fügbarkeit. Dazu zählen Maß- , Formund Lageabweichungen. Bei sehr hohen Genauigkeitsanforderungen sind zudem Einflüsse durch Welligkeit und Rauheit der Werkstückoberfläche an den Passstellen mit zu beachten. Die Umsetzung der Lehrung mit KMGs hat allgemein die Bezeichnung virtuelle bzw. rechnerische Lehrung. Hierbei wird die körperliche Funktionslehre durch ein CAD-Modell ersetz. Ebenso erfolgt eine Messung der Werkstückoberfläche durch die Aufnahme endlich vieler Punkte mit dem KMG. Diese Daten werden auch als erfasste Werkstückgeometrie bezeichnet. Schließlich erfolgt die virtuelle Lehrung durch das Verfahren der 3D-Lochbildeinpassung zwischen erfasster Geometrie und einem CAD Modell der Lehre. Der Begriff des Lochbilds bezieht sich dabei auf die 3D Maßelemente Zylinder (Bohrung, Welle) und parallele Ebenenpaare (Nut, Feder). Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 3 Bei der Einpassung und Zuordnung von Einzelgeometrieelementen existieren eine Vielzahl von Normen zur einheitlichen Spezifikation der Verfahren, robuste Referenzalgorithmen und Tests für die Industrie ([4], [5]). Im Gegensatz dazu ist die Geometrieeinpassung mit mehreren Elementen in der Form von Bohrbildern und 3D-Lochbildeinpassung hinsichtlich messtechnischer und rechen-technischer Verfahren kaum einheitlich dokumentiert und durch Normen geregelt. Zwar werden in der ISO Normung zur Geometrischen Produkt Spezifikation (GPS) Zeichnungseintragungen zur Tolerierung mit 3DLochbildeinpassungen definiert, notwendige Normteile zur Umsetzung in einem einheitlichen Prüfverfahren fehlen aber gänzlich. Notwendig sind zum Beispiel Vorgaben zum korrekten Einsatz von verschiedenen Sensoren bei der messtechnischen Erfassung von Messpunkten, so dass mit hoher Wahrscheinlichkeit die höchsten Punkte der betrachteten Elemente gemessen werden. Diese sind signifikant für die Berechnung der Messgrößen und damit für die Qualität und Zuverlässigkeit der Bauteileprüfung. Mit diesem Hintergrund sind besonders optische und CT-Messverfahren bei der 3DLochbildeinpassung durch virtuelle Lehrung von Bedeutung, da sie geeignet sind, sehr schnell die gesamte Oberfläche eines Bauteils vollständig zu erfassen. Ein großer Teil der heute bestehenden Normen ist jedoch nur für taktile Sensoren ausgelegt, die i. A. eine Bauteiloberfläche sehr viel langsamer und nur unvollständig erfassen. Ein Großteil der Prüfaufgaben, die durch körperliche Lehrung bzw. Lochbildeinpassung mit mehreren Geometrieelementen behandelt werden, beziehen sich auf die Tolerierung nach ISO 2691 [6]. Diese spezifiziert die Maximum-Material Bedingung (MMB) und Minimum-Material Bedingung (LMB) für Bauteile. Die Vorgabe bei der Anwendung der Norm ist, dass sich ein gefertigtes Werkstück mit einem durch Zeichnungseintragungen definierten Gegenstück paaren lässt. Die rechnerische Umsetzung der Prüfung mit der MMB bzw. LMB in einer Montagesimulation wird nicht dokumentiert. Daher gibt es in der Literatur verschiedene Lösungsansätze (z.B.: [7], [8], [9]) für die rechnerische Lochbildeinpassung. Die Vielfalt der Algorithmen spiegeln sich auch in der Messgerätesoftware wieder. Lösungen von unterschiedlichen Herstellern sind nicht kompatibel, wenn unterschiedliche Algorithmen genutzt werden, bzw. die zu verwendenden Verfahren nicht im Vorfeld festgelegt wurden. Das allgemein korrekte Vorgehen ist die Einpassung mit allen Messpunkten zum virtuellen Gegenstück. Bei heutigen modernen Koordinatenmesssystemen mit Multisensorik, optisch-taktilen Messsensoren oder auch CTMesssystemen fallen zudem sehr große Datenmengen an. Wenn aus Effizienzgründen die Software an die Grenzen des wirtschaftlichen Nutzens kommt, werden oftmals Filter zur Ausdünnung der Messdaten vor der Auswertung eingesetzt. Diese haben zusätzlich zum Einpassungsalgorithmus einen Einfluss auf die Messergebnisse bei der Lochbildeinpassung. Die Aufgabe dieses Leitfadens zur 3DLochbildeinpassung ist die anwenderorientierte Darstellung von Prüfprozessen zur rechnerischen Montagesimulation mit virtueller Lehrung. Dabei werden prinzipielle Anforderungen aus der klassischen körperlichen Lehrung nach ISO 1101 in die Koordinatenmesstechnik übertragen sowie Empfehlungen für eine softwareseitige Umsetzung vorgestellt. Betrachtet werden verschiedenartige Koordinatenmesssystem mit unterschiedlicher Sensorik. Von besonderem Interesse sind Bauteil Messungen mit dimensionaler Computer Tomographie (CT), da diese eine effiziente Erfassung der gesamten Bauteiloberfläche ermöglicht. Neben der Beschreibung einer allgemeinen Vorgehensweise in Abschnitt 2, umfassen die Angaben auch Details zu drei speziellen Anwendungsbeispielen. Das erste ist ein Flanschring, der beispielsweise beim Bau von Windkraftanlagen zu fertigen ist. Dieser wird in Abschnitt 3 vorgestellt. Ausgehend von einer technischen Zeichnung in der mehrere parallele Bohrungen eine gemeinsame Lagetoleranz mit Maximum-Material-Bedingung aufweisen wird eine rotatorische Lochbildeinpassung mit Zylindern beschreiben. Im Sinn der ISO GPS Normung wird dem Flansch ein geometrisch ideales Bezugssystem zugeordnet, welches eine mögliche Drehung der Lehre zur Einpassung festlegt. Ferner behandelt Abschnitt 4 Aufgaben, bei denen verschiedenartig Geometrieelemente gleichzeitig eingepasst werden. Das hier vorgestellte Beispiel ist eine Kegelscheibe mit einer Nut aus parallelen Ebenen und mehreren parallelen Bohrungen. Ein Bezug liegt ebenfalls vor. Das dritte Anwendungsbeispiel in Abschnitt 5 spezifiziert die Einpassung einer Lehre aus Zylinderelementen in Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 4 mehrere Bohrungen in einem Würfel, deren Achsen rechtwinklig zueinander stehen. Hier wird der Fall einer schwimmenden Fügung betrachtet, d. h. Bezüge, welche die Einpassung der Lehrengeometrie einschränken, liegen nicht vor. 2. Allgemeine Anforderungen Die 3D-Lochbildeinpassung wird zur Prüfung spezifischer Formund Lagetoleranzen funktionaler Komponenten von Bauteilen eingesetzt. Darunter zählt hauptsächlich die Prüfung vollständiger Geometrien mit rechnerischer Lehrung. Zusätzlich existieren eine Reihe weiterer Anwendungen, bei denen abgeleitete Geometrieelemente wie beispielsweise Achsen oder Mittelebenen ebenfalls nach den formalen Prinzipien der 3DLochbildeinpassung geprüft werden können. Auf diese wird an geeigneter Stelle im Leitfaden hingewiesen. Es erfolgt jedoch keine tiefergehende Behandlung, da notwendige Verfahren und Anforderungen für die Prüfung durch die Normung hinreichend abgedeckt sind oder in einfacher Weise von der rechnerischen Lehrung übernommen werden können. In den Unterabschnitten 2.1, 2.2 und 2.3 werden zunächst die wichtigsten Anforderungen an die Lochbildeinpassung dargestellt, welche bei der Anwendung der Normen ISO 1101 und ISO 2962 zu erfüllen sind. Mit dem Grundlagenwissen erfolgt anschließend die prinzipielle Auslegung und Ergänzung der Verfahren für eine Anwendung mit gängigen Mitteln der Koordinatenmesstechnik in Abschnitt 2.4. Diese umfasst ebenfalls Anforderungen an die Auswertesoftware und relevante numerische Verfahren. Abschließend werden in Abschnitt 2.5 auftretender Messabweichungen bei der 3D Lochbildeinpassung betrachtet. Diese sind maßgeblich für die Konsistenz/Nichtkonsistenz zwischen rechnerischer Lehrung und einer Prüfung bei realer körperlicher Lehrung. 2.1. Lochbildeinpassung in Normung Der Ausgangspunkt für die nachfolgenden Betrachtungen sind technische Zeichnungen von Bauteilen, in denen die Tolerierung nach dem Grundsatz ISO 8015 [10] eingetragen ist. Hiermit wird die Anwendung von ISO 1101 und aller zugeordneten Einzelnormen bei der Prüfung von Toleranzen impliziert. Die Beispiele in den Abbildungen 2-1 und 2-2 zeigen eine Platte mit zwei Bohrungen, welche auf vier unterschiedliche Arten toleriert ist. Bei jedem wird eine 3D-Lochbildeinpassung zur Prüfung eingesetzt. Die Abbildung 2-1 zeigt links (Beispiel a) eine Positionstolerierung der mittleren Linien der Bohrungen. DIN EN ISO 14660 Teil 2 [11] regelt das Vorgehen beim Erfassen dieser Linien für zylinderförmige Geometrieelemente. Durch die Toleranzangabe werden zwei zylindrische Toleranzzonen definiert, welche unter der technischen Zeichnung dargestellt sind. Diese zylinderförmigen Gebiete haben ideale Gestalt. Ihre Achsen sind parallel mit einem Nennabstand von 20 mm. Zudem stehen beide Zylinder orthogonal auf der Bezugsebene A. Bei der Prüfung der Platte werden zunächst die Anlagefläche A und die Bohrungen erfasst, um die Bezugsfläche und die mittleren Linien der Bohrungen zuzuordnen. Im Anschluss werden die Linien in die zu A definierten Toleranzzonen eingepasst. Bei der Einpassung ist es erlaubt die Toleranzzonen entlang der Ebenen a zu verschieben und orthogonal zu A zu drehen. Das Bauteil ist in Ordnung, wenn beide mittlere Linien gleichzeitig innerhalb der Toleranzzonen liegen. Da die mittleren Linien der Bohrungen rechnerisch ermittelt werden, d.h. nicht als direkt messbare Geometrie am gefertigten Bauteil vorliegen, ist die Prüfung nur mit rechnerischer Lochbildeinpassung möglich. Im Beispiel b) (Abb. 2-1 rechts) wird die Lage der Bohrungen nach der Maximum-Material-Bedingung geprüft. Dies ist anhand der Zeichnungseintragung Ⓜ gekennzeichnet, die direkt nach dem Wert für die Positionstoleranz steht. Normativ sind Anforderungen zur Prüfung mit der MMB in ISO 2962 geregelt. Danach muss die Platte mit einem geometrisch idealen Gegenstück fügbar sein, welches unter der technischen Zeichnung abgebildet ist. Das Gegenstück besteht aus einer ebenen Auflagefläche.. Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 5 Orthogonal zur Auflagefläche stehen zwei Zapfen. Die Achsen der Zapfen haben den Nennabstand der Bohrungen und sind parallel. Der Zapfendurchmesser errechnet sich aus dem unteren Grenzmaß einer Bohrung 5,0 mm und der Positionstoleranz zu 4,9 mm. Die Prüfung, ob die Bohrungen der Platte in der vorgegebenen Toleranz liegen, ist mit körperlicher Lehrung und rechnerischer Lochbildeinpassung möglich. Bei der rechnerischen Lochbildeinpassung wird die ebene Auflagefläche der Lehre an die Bezugsfläche A der Platte angelegt bzw. eine ideale Ebene zugeordnet. Gleichzeitig müssen die zwei Zapfen der Lehre in die Bohrungen der Platte passen. Abbildung 2-1 Zwei Beispiele zur Tolerierung einer Platte mit 2 Bohrungen. Die virtuelle Prüfung der Toleranzangaben setzt in beiden Fällen die 3D Lochbildeinpassung voraus (Tolerierungsgrundsatz ISO 8015). Einige Bauteile haben spezifische funktionale Anforderungen. Bei diesen tritt der Fall ein, dass in Zeichnungen auch Bezugselemente mit dem Zusatz Ⓜ für die MMB eingetragen sind. Abbildung 2-2 zeigt dazu zwei Beispiele. Im Beispiel c) Ist die Anlagefläche A der Primärbezug. Die linke Bohrung wird als Sekundärbezug B definiert. Die rechte Bohrung hat eine Positionstoleranz mit dem Zusatz Ⓜ für die Toleranzzone und den Bezug B. Die Form von Bohrung B oder deren Richtung zu A ist nicht toleriert. Daher werden die Größen bei der Tolerierung vernachlässigt. Die Einhaltung der Toleranz kann wieder durch klassische körperliche Lehrung oder rechnerische Lochbildeinpassung geprüft werden. Die Nenngeometrie der zugeordneten Gutlehre besteht aus einer Ebene, die an der Bezugsfläche A angelegt wird. Auf dieser steht ein Lehrenzylinder für den Bezug B. Er hat den Durchmesser 5,0 mm, welcher das untere Grenzmaß der Bezugsgeometrie ist. Der zweite Lehrenzylinder hat den Durchmesser 4,4 mm, welcher sich aus dem unteren Grenzmaß der Bohrung minus der Lagetoleranz ergibt. Er steht für die Position der Bohrung. Beide Zylinder sind orthogonal zur Ebene A und ihre Achsen haben den Nennabstand 20 mm. Die klassische Prüfung mit körperlicher Lehrung und die Lochbildeinpassung in der KMT kann in dem Beispiel angewendet werden. Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 6 Abbildung 2-2 Toleranzen bei Bezügen mit Zeichnungseintragung Ⓜ. Das Beispiel d) in Abb. 2-2 zeigt, dass Bezugselemente mit dem Zusatz Ⓜ für die MMB gekennzeichnet werden können, aber das tolerierte Element nicht nach der MMB geprüft wird. Diese Zeichnungseintragung kommt nur in seltenen Anwendungsfällen vor. Die Prüfung der Toleranz erfordert eine rechnerische 3D Lochbildeinpassung, da bei dem tolerierten Element die erfasste mittlere Linie nicht am realen Bauteil als direkt Messbare Geometrie existiert. Ein Lehrenzylinder in Bezugsbohrung B und die zylinderförmige Positionstoleranzzone zur mittleren Linie werden zu diesem Zweck gemeinsam eingepasst. Die zylindrische Toleranzzone hat den Durchmesser 0,1 mm. Der Lehrenzapfen hat den Durchmesser 5,0 mm (unteres Grenzmaß der Bezugsbohrung). Zapfen und die Toleranzzone für die erfasste Achse stehen orthogonal auf der Bezugsebene A. Die Achsen von Lehrenzapfen und Toleranzzone der mittleren Linie haben den Nennabstand 20 mm. In jedem der vier zuvor gezeigten Beispiele hat die 3D-Lochbildeinpassung zur Überprüfung der Toleranz drei geometrische Freiheitsgrade. Diese sind zwei orthogonale Verschiebungen und eine Rotation innerhalb der Bezugsfläche A. Die weiteren Erläuterungen beziehen sich auf Anwendungen mit der Zeichnungseintragung Ⓜ bei Positionstoleranzen und Bezügen. Für die korrekte Anwendung gelten entsprechend ISO 2962 folgende Grundanforderungen bei Zeichnungseintragungen.  Nur Formund Lagetoleranzen sind mit dem Zusatz Ⓜ erweiterbar.  Toleranzen und Bezüge mit dem Zusatz Ⓜ müssen sich auf abgeleitete Geometrieelemente von Maßelementen wie der Achse eines Zylinders oder der Mittelebene einer Nut beziehen.  Weitere Maßelemente sind Kugeln sowie im zweidimensionalen Fall Kreise und Paare von parallelen Geraden. Kegel und Keil sind in diesem Zusammenhang keine Maßelemente.  Bezüge sind mit dem Zusatz Ⓜ erweiterbar. Bei Bezugssystemen können Einzelbezüge mit und ohne dem Zusatz Ⓜ gemischt auftreten, solang wie nach der Auswertereihenfolge entsprechend der Zeichnungseintragung im Toleranzrahmen kein Ⓜ Element von einem nicht mit Ⓜ gekennzeichneten Element gefolgt wird. (Begründung nach ISO 5459 [12] zur Bezugsbildung - Eindeutigkeitsforderung) Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 7 2.2. Bestimmung der CAD Parameter für die Lehrung Für die 3D-Lochbildeinpassung ist die Festlegung von Parametern der Gutlehre relevant. D. h., es ist das CAD Modell eines geometrisch idealen Gegenstücks zum gefertigten Bauteil zu konstruieren und möglichst fehlerfrei zu fertigen. Bei der Prüfung der Fügbarkeit wird versucht, dieses Teil ohne Verklemmen in das Bauteil einzupassen. In Abbildung 2 sind diese Lehren am elementaren Beispiel der Lochplatte in der unteren Bildhälfte exemplarisch skizziert. Bei der Definition von geometrisch idealen Gegenstücken zur Lehrung in ISO 2692 bei Zeichnungseintragungen mit dem Zusatz Ⓜ sind zahlreiche Regeln zu beachten. Die idealen Geometrieelemente, welche ein CAD Modell einer Lehre bilden, werden als wirksamer MaximumMaterial Zustand (MMVC) bezeichnet. Die Maße der Geometrieelemente haben nach ISO 2692 die Bezeichnung wirksames Maximum-Material Maß (MMVS). Die Berechnung des MMVS kann Maß-, Form und Lagetoleranzen gleichermaßen beinhalten. Die folgenden Handregeln sind bei der Festlegung der Parameter, die für die Konstruktion der Lehre erforderlich sind, anwendbar:  Lehrengeometrie bei Formund Lagetoleranzen mit Ⓜ o Äußere Maßelemente (Welle, Feder): Das MMVS der Lehrengeometrie wird als Summe aus dem oberen Grenzmaß des tolerierten Geometrieelements Go und der Toleranz für die Formbzw. Lageabweichung t gebildet. MMVS = Go + t o Innere Maßelemente (Bohrung, Nut): Das MMVS der Lehrengeometrie wird als Differenz aus dem unteren Grenzmaß des tolerierten Geometrieelements Gu und der Toleranz für die Formbzw. Lageabweichung t gebildet. MMVS = Gu - t  Lehrengeometrie bei Bezugselementen mit Ⓜ o Äußere Maßelemente (Welle, Feder):  Das MMVS der Lehrengeometrie ist bei vernachlässigbarer Formabweichung das obere Grenzmaß Go des Bezugselements. MMVS = Go  Hat das Bezugselement zusätzlich eine Formoder Lagetoleranz (Toleranzwert mit t bezeichnet), so muss diese bei dem MMVC des Bezugselements berücksichtigt werden. MMVS = Go + t o Innere Maßelemente (Bohrung, Nut):  Das MMVS der Lehrengeometrie ist bei vernachlässigbarer Formabweichung das untere Grenzmaß Gu des Bezugselements. MMVS = Gu  Hat das Bezugselement zusätzlich eine Formoder Lagetoleranz (Toleranzwert mit t bezeichnet), so muss diese bei dem MMVC des Bezugselements berücksichtigt werden. MMVS = Gu - t Der Wert für MMVS bestimmt nur die Maße der Geometrieelemente, welche bei der Lehrung in das Bauteil eintauchen bzw. diese umschließen müssen. Da eine Lehre i. A. mehrere solcher Paarungselemente ausmacht, müssen die Positionen zueinander und zu einem Lehrenkoordinatensystem im Weiteren festgelegt werden. Die Abstände zwischen Mittelpunkten, Achsen und Mittelebenen der Lehrengeometrieelemente werden in der technischen Zeichnung durch genaue örtliche Maße eindeutig festgelegt. Dagegen ist die Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 8 Zuordnung eines Lehrenkoordinatensystems nicht immer eindeutig ersichtlich, sondern der Entscheidung des Anwenders überlassen. Falls Bezüge nach ISO 5459 vorliegen, können diese zur Festlegung der x-, yund z-Achse kartesischer Koordinaten herangezogen werden, da sich örtliche Maße bei einer korrekten Zeichnung auf die Bezüge beziehen. Bei unvollständigen Bezugssystemen, oder wenn keine Bezüge vorliegen, bleiben einzelne Freiheitsgrade für die Positionierung der Lehre. Beispielsweise definiert eine einzelne Bezugsebene nur die Richtung einer Achse und einen Nullpunkt auf dieser. Der Anwender kann dann zwei weitere Koordinatenachsen in der Bezugsebene und deren Position beleibeig festlegen. Es muss jedoch sicher gestellt werden, dass in dem so festgelegten Koordinatensystem die Nennabstände zwischen den Lehrenelementen mit den Vorgaben in der technischen Zeichnung noch übereinstimmen. Nur dann ist gewährleistet, dass die Einpassungsergebnisse zwischen verschiedenen Koordinatensystem Festlegungen noch kompatibel sind. Weiterführende Angaben zur Nutzung der MMB mit Zeichnungseintragung Ⓜ sowie der korrekten normkonformen Berechnung von Lehrenparametern werden beispielsweise in Jorden [1] vorgestellt. 2.3. Freiheitsgrade der Einpassung und Bezüge Bisher ist offen geblieben, wie der Begriff des Fügens („Paarung“ oder „Zusammenstecken“) von Bauteil und Lehre formal auszulegen ist. Hierzu wird zunächst die klassische körperliche Lehrung betrachtet. Ein Prüfer wird versuchen, das Bauteil mit der Lehre zusammenzustecken. Er setzt dabei das Bauteil an den Rändern der Lehre an und bewirkt durch einfaches „Wackeln“ und „Verkippen“ ein langsames ineinander rutschen der beiden Teile. Können Bauteil und Lehre durch dieses Vorgehen soweit zusammengesteckt werden, dass die Anforderungen der Prüfung erfüllt sind, so ist das Bauteil in der Toleranz. Dies wird als vollständige Fügbarkeit bezeichnet. Bei der rechnerischen 3D-Lehrung liegt das CAD Modell der virtuellen Lehre im Lehren Koordinatensystem (𝑥𝐺,𝑦𝐺,𝑧𝐺) vor. Die Messpunkte des erfassten Bauteils sind im Werkstück Koordinatensystem (𝑥𝑊,𝑦𝑊,𝑧𝑊) gegeben. Beide Systeme sind kartesische Koordinaten. Die Einpassung der Lehre zum erfassten Bauteil wird durch eine lineare Transformation 𝑇:(𝑥𝐺,𝑦𝐺,𝑧𝐺)⟶(𝑥𝑊,𝑦𝑊,𝑧𝑊) beschreiben. Diese bildet die Lehrengeometrie in das Werkstück Koordinatensystem ab. Für die transformierte Lehre können Überlappung bzw. Spiel zur erfassten Bauteilgeometrie quantifiziert werden. Die virtuelle Lehre und die erfasste Geometrie sind vollständig fügbar, wenn es eine Transformation gibt, welche einen zusammengesteckten Zustand repräsentiert, bei dem noch Spiel zwischen Lehrengeometrie und Messpunkten vorliegt. Im dreidimensionalen Fall wird die Transformation durch Drehungen, zum Beispiel mit den Eulerschen Winkel, und Verschiebungen zu den drei Koordinatenachsen 𝑥𝐺,𝑦𝐺 und 𝑧𝐺 definiert. Es liegen allgemein sechs Parameter für die Transformation der Lehrengeometrie vor. Die uneingeschränkte Wahl eines Parameterwerts wird als Freiheitsgrad bei der Einpassung bezeichnet. Liegen keine Restriktionen für die Parameterwahl vor, spricht man von den vollen Freiheitsgraden zur Bestimmung der Transformation 𝑇. In vielen Fällen ist die zur Einpassung erlaubte Transformation durch Nebenbedingungen eingeschränkt. Im Kontext der Lagetolerierung mit Lochbildeinpassung sind es Bezugselemente, welche Freiheitsgrade bei der Transformation sperren. Wenn beispielsweise eine Bezugsachse des Werkstücks gegeben ist, wird das Werkstückkoordinatensystem zunächst daran ausgerichtet. Als Freiheitsgrade für die Einpassung verbleiben danach die Drehung um und eine Verschiebung entlang der Bezugsachse. Eine Ausnahme für die Einschränkung der Freiheitsgrade sind mit dem Symbol Ⓜ gekennzeichnete Bezugselemente. Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 15 rechnerisch fügbares Teil in der Praxis nicht passt Umgekehrt können rechnerisch nicht fügbare Teile doch mit dem Gegenstück gepaart werden. Eine sichere Einstufung, ob das Teil in der Toleranz liegt oder zum Ausschuss gehört, ist damit nicht möglich. Für die wirtschaftliche Anwendung der 3D-Lochbildeinpassung zur Prüfung von Bauteilen ist es daher wesentlich, die Messunsicherheiten für die Bauteilerfassung und die numerische Auswertung hinreichend genau zu kennen, ggfs. durch geeignete Verfahren und Methoden auf die erforderliche Genauigkeit zu reduzieren. Wie in der vorangegangenen Beschreibung der Bauteilerfassung, Filterung und Ausdünnung ist dies nur durch genaue Untersuchung von Eigenschaften des Bauteils und des Messprozesses möglich. Relevant ist die geometrische Beschaffenheit der Bauteiloberfläche wie Welligkeit und Rauheit. Zudem sind die systemspezifischen Messabweichungen der Messgeräte zu beachten. Die softwareseitige Unsicherheit durch numerische Berechnungen kann durch eigenständige Algorithmentests erfasst werden. Entsprechende Angebote existieren für die Zuordnung von Einzelgeometrieelementen [18]. Tests für Gesamtverfahren bei der 3D-Lochbildeinpassung sind für diese Testplattform in Entwicklung. 3. Anwendungsbeispiel Flanschring Das Beispiel „Montage eines Flanschrings“, wie es beim Bau von Windkraftanlagen auftritt, verdeutlicht, dass ein scheinbar einfaches geometrisches Bauteil nicht immer trivial zu behandeln ist. Kennzeichnend für den Flanschring bei modernen Anlagen sind die großen Abmessungen von mehr als 5 m Ringdurchmesser sowie die hohe Anzahl von Bohrungen auf dem Ring. Die rechnerische Montagesimulation erfordert die Erfassung fast der gesamten äußeren Fläche des Flanschrings. Dies ist zum Beispiel mit flächenhaft messenden optischen Sensoren möglich. Aufgrund der Geometrie ist die anfallende Messdatenmenge besonders groß und für eine Beschreibung der Lochbildeinpassung zu komplex. Um die Kernanforderungen bei der rechnerischen Montagesimulation des Flanschrings mit 3DLochbildeinpassung darzustellen, wird daher auf das vereinfachte Modell in Abbildung 6 zurückgegriffen. Der prinzipielle Aufbau ist äquivalent zu einem Flansch bei Windkraftanlagen. Die Maße und die Anzahl der Bohrungen ist jedoch deutlich geringer. Für Teile dieser Art können ferner verschiedenartige Messsysteme zur Erfassung eingesetzt werden. Abbildung 6 Anwendungsbeispiel Flanschring. Das Anwendungsbeispiel für den Flanschring ist in Abbildung 6 dargestellt. Die Deckflächen des Rings werden durch zwei parallele Ebenen im Abstand von 8,0 mm beschrieben. Den äußeren Mantel Deckfläche (Montagefläche) Bohrkreis innere Mantelfläche äußere Mantelfläche Bohrung für Montage mit Zapfen Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 16 repräsentiert ein Zylinder mit dem Durchmesser von 70,0 mm. Der innere Mantel des Rings wird als Zylinder mit einem Durchmesser von 50,0 mm beschrieben. Beide Zylinder sind koaxial und stehen senkrecht zu den beiden Deckflächen. Auf dem Bohrkreis mit dem Durchmesser von 58,0 mm liegen 5 Einzelbohrungen. Diese sind jeweils um 72° versetzt. Jede Bohrung hat einen Durchmesser von 4,0 mm. 3.1. Normenkonforme Prüfung Um den Flanschring verbauen zu können, ist die Forderung, dass die Kontaktfläche (Montagefläche) plan ist. Ferner ist gefordert, dass die Bohrungen orthogonal zur Montagefläche stehen. Zudem soll der von den Bohrungen beschriebene Bohrkreis konzentrisch zur Achse des Zylinders der äußeren Mantelfläche liegen. Dadurch tritt später im Betrieb zum Beispiel keine Exzentrizität auf, die zu verstärktem Verschleiß von beweglichen Teilen bei Windkraftanlagen führt. Abbildung 7 ISO 1101 konforme Prüfung des Flanschrings. Gemäß diesen Forderungen kann eine eindeutige Prüfaufgabe mit Toleranzen des gefertigten Flanschrings abgeleitet werden. Abbildung 7 zeigt eine Konstruktionszeichnung nach ISO 1101. Für die rechnerische Prüfung ergibt sich damit folgende Aufgabe: Eine ideale geometrische Ebene – gekennzeichnet als Bezug A - ist mit minimalem Abstand an die reale Montagefläche anzulegen. Bezug B bezeichnet einen idealen Zylinder, der orthogonal zur Ebene A steht und dessen Durchmesser der kleinstmögliche ist, bei dem die äußere Mantelfläche des Bauteils vollständig umschlossen wird, d. h. alle Messpunkte innerhalb des zugeordneten Zylinders liegen. Die Bezugsbildung wird in Abbildung 8 dargestellt. Schließlich müssen Maß und Lage der Einzelbohrungen zur Bezugsfläche (Bezugspunkt) und zur Achse des Bezugzylinders geprüft werden. Dies ist in Abbildung 9 dargestellt. Die Toleranzangabe aus Abbildung 2 mit dem Symbol für die Maximum-Material-Bedingung definiert hierbei 5 Lehrenzylinder Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 17 mit dem Durchmesser 3,8 mm (MMVS). Die Achsen der Zylinder sind parallel zur Bezugsachse B. Sie werden auf einem Lochkreis mit Durchmesser 58,0 mm im Abstand von 72°-Segmenten regelmäßig angeordnet. Der Lochkreis liegt parallel zur Bezugsebene A. Sein Mittelpunkt liegt auf der Bezugsachse B. Bei der Einpassung ist eine Transformation erlaubt, die die Lehre um die Achse des Bezugzylinders dreht. Es ist zu prüfen, ob es einen Rotationswinkel gibt, bei dem alle Lehrenbolzen innerhalb der Bohrungen liegen, ohne Überlappung mit dem Material des Flanschrings. In diesem Fall liegt das Bauteil innerhalb der Toleranz. Andernfalls kann das Bauteil aufgrund des Prüfergebnisses nicht verbaut werden. Abbildung 8 Bezugsbildung am gefertigten Flanschring. Abbildung 9 3D-Lochbildeinpassung für den Flanschring (links perspektivische Ansicht, rechts Aufsicht); der rot markierte Lehrenzylinder überlappt mit der Bohrung. Durch Drehen aller Lehrenzylinder um die Bezugsachse wird keine Position gefunden, in der alle Zylinder innerhalb der Bohrungen liegen. 3.2. Mathematische Modellbildung für Bezüge und Einpassung Um die 3D-Lochbildeinpassung rechnerisch durchführen zu können, ist eine korrekte und zuverlässige mathematische Modellbildung grundlegend, um die Anforderungen und Ziele der Prüfung zu erfüllen. Abbildung 10 gibt einen Überblick für den Ablauf der 3D Lochbildeinpassung für den Flanschring. Hierin wird die Berechnung von Messgrößen auf Basis der erfassten Daten dargestellt. Die 3DLochbildeinpassung erfolgt in sechs aufeinander folgenden Schritten. Jeder Schritt ist individuell und benötigt ein eigenständiges Berechnungsverfahren zur Abarbeitung. Ausgangspunkt ist die Berechnung der Bezugselemente 𝐴 und 𝐵. Diese sind Einzelgeometrieelemente, welche nach dem Tschebyscheff-Kriterium bzw. nach der Hüllbedingung dem erfassten Flanschring zugeordnet werden. Aus den Bezügen leitet sich ein Werkstück Gefertigtes Bauteil mit Abweichungen Bezugsfläche A Zugeordneter Zylinder für Bezug B Bezugspunkt (Position) Bezugsachse (Richtung) Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 18 Koordinatensystem ab, welches bis auf eine Rotation am Bauteil eindeutig bestimmt ist. Der fehlende Freiheitsgrad wird durch eine spezielle Transformation der Messpunkte in der Ausgangslage in das Werkstück Koordinatensystem festgelegt. Zur Modellbildung bei der Lochbildeinpassung gehören die Berechnung der Lehrengeometrie (ideales Gegenstück bei der Lochbildeinpassung), die Berechnung einer Startlösung der Einpassung und abschließend die Durchführung der Lochbildeinpassung. Ziel ist die Position der virtuellen Lehre so zu ermitteln, dass maximales Spiel bzw. minimale Überlappung zwischen Lehrengeometrie und Messpunkten erreicht wird. Durch das Gauß-Verfahren zur Berechnung der Startlösung wird dieses Ziel nur näherungsweise erreicht. Erst durch Anwendung des Tschebyscheff Kriteriums wird die gesuchte Position der Lehre tatsächlich ermittelt. Abbildung 10 Ablaufdiagramm der 3D-Lochbildeinpassung beim Flanschring. In den folgenden Unterabschnitten werden Details zur der mathematischen Modellbildung und zu den zu lösenden Aufgaben für jeden der 6 Schritte dargestellt. 3.2.1. Zuordnung der Bezugsebene Die Bezugsebene wird der erfassten Deckfläche des Flanschrings als anliegende Tschebyscheff-Ebene zugeordnet (Minimum-Zone Kriterium). Eingangsdaten zur Berechnung der Ebene sind die erfassten Punkte der Deckfläche. 𝑃≔{𝑃1,…,𝑃𝑚}, 𝑃𝑖∈ℝ3 Jeder Punkt hat die Form 𝑃𝑖=(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑧𝑖)𝑇 . Die Koordinaten 𝑥,𝑦 und 𝑧 sind im Messpunkte Koordinatensystem angegeben. Die zugeordnete Ebene hat eine ideale geometrische Form. Sie ist durch den Normalenvektor 𝑣=(𝑣𝑥,𝑣𝑦,𝑣𝑧)𝑇∈ℝ3 Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 19 und einen Punkt auf der Ebene 𝐶=(𝐶𝑥,𝐶𝑦,𝐶𝑧)𝑇∈ℝ3 parametrisiert. Mit dieser Definition ist die Darstellung einer idealen Ebene noch nicht eindeutig. Zum Beispiel ist für 𝐶 jeder beliebige Punkt der Ebene möglich. Daher werden an die Parameter weitere Nebenbedingungen gestellt. Zum einen soll der Normalenvektor die Länge 1 haben. 〈𝑣,𝑣〉=1. (3) Zum anderen soll der Punkt der Ebene so liegen, dass der Abstand zum Schwerpunkt 𝐺 der Daten 𝑃 minimal ist. Es seien dazu 𝑣1,𝑣2∈ℝ3 zwei Vektoren mit Länge 1, die orthogonal zur Normale 𝑣 stehen. Für diese gelte 〈𝑣1,𝑣2〉=0. Dann ist Punkt 𝐶 der projizierte Schwerpunkt, wenn 〈𝐺−𝐶,𝑣1〉=0 〈𝐺−𝐶,𝑣2〉=0 (4) erfüllt ist. Die Berechnung des Schwerpunktes erfolgt als arithmetisches Mittel 𝐺=1 𝑚∑𝑃𝑖 𝑚 𝑖=1 . Für die korrekte Zuordnung der Bezugsebene sollen die orthogonalen Abstände zwischen idealer Ebene und den Messpunkten betrachtet werden. Diese sind 𝑓𝑖(𝐶,𝑣)=〈𝑃𝑖−𝐶,𝑣〉 Die Zuordnung erfolgt schließlich nach dem folgenden mathematischen Modell. Zuordnungsaufgabe: Tschebyscheff-Ebene als anliegende Bezugsebene: Sei 𝑃 die erfasste Geometrie einer ebenen Fläche. Die zugeordnete Tschebyscheff-Bezugsebene berechnet sich dann aus den Ebenen Parametern 𝐶 und 𝑣, welche Lösung der Aufgabe 𝑚𝑖𝑛 𝐶,𝑣 𝑚𝑎𝑥 𝑖|𝑓𝑖(𝐶,𝑣)| (5) sind und die Nebenbedingungen (3) sowie (4) erfüllen. Für 𝑠=𝑚𝑎𝑥 𝑖|𝑓𝑖(𝐶,𝑣)| erhält man die anliegende Tschebyscheff-Bezugsebene mit den Parametern 𝐶󰆹,𝑣 durch die Verschiebung 𝐶󰆹=𝐶+𝑠∙𝑣 (6) Das Vorzeichen von 𝑣 muss so festgelegt werden, dass dieser Vektor bei der Berechnung von (6) von der Materialseite der erfassten Geometrie weg zeigt. 3.2.2. Zuordnung des Bezugszylinders Ausgangspunkt für die Zuordnung des Zylinders sind die auf der äußeren Ringfläche gemessenen Punkte. Wie bei der Ebene werden diese einfach mit 𝑃 bezeichnet. Der zugeordnete Zylinder hat eine geometrisch ideale Form. Er wird durch einen Parameter für die Richtung der Zylinderachse 𝑣=(𝑣𝑥,𝑣𝑦,𝑣𝑧)𝑇∈ℝ3, Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 20 einen Parameter für die Position der Zylinderachse 𝐶=(𝐶𝑥,𝐶𝑦,𝐶𝑧)𝑇∈ℝ3 und den Radius der Zylindermantelfläche 𝑟>0 parametrisiert. Da der Zylinder als sekundäres Bezugselement zugeordnet wird, gelten folgende Nebenbedingungen für die Parameter. Die Richtung der Zylinderachse entspricht dem Normalenvektor der zuvor bestimmten Bezugsebene. Für die eindeutige Berechnung der Position muss ein weiteres Kriterium zur Lage des Punktes auf der Zylinderachse angegeben werden. Dieser kann der Schnittpunkt zwischen Achse und Bezugsebene sein. Die Zuordnung der Zylinderparameter erfolgt nach dem Hüllkriterium. Für dessen mathematische Formulierung betrachtet man die orthogonalen Abstände 𝑓𝑖(𝐶,𝑣,𝑟)=‖(𝑃𝑖−𝐶)×𝑣‖−𝑟 zwischen den Messpunkten aus 𝑃 und der Mantelfläche des idealen Zylinders. Die Folgende Aufgabe ist für die korrekte Berechnung der Zylinderparameter zu lösen. Zuordnungsaufgabe: Hüllzylinder als Sekundärbezug senkrecht zur einer Ebene: Bestimme den Punkt 𝐶 und den Radius 𝑟 derart, dass 𝑚𝑖𝑛 𝐶,𝑟 𝑟 𝑢.𝑑.𝑁.𝐵 𝑓𝑖(𝐶,𝑣,𝑟)≤0 𝑓ü𝑟 1≤𝑖≤𝑚 (7) erhalten wird. 3.2.3. Werkstück Koordinatensystem und virtuelle Lehre Bei dem hier betrachteten Flanschring darf die virtuelle Lehre bei der Lochbildeinpassung nur um die Achse des Bezugszylinders gedreht werden. Da die Achse allgemein im Raum verkippt liegen kann, ist dies technisch nur aufwendig zu lösen. Durch die geeignete Zuordnung eines Werkstück Koordinatensystems und der dazu passenden Geometrie der virtuellen Lehre, kann die Einpassung technisch wesentlich einfacher realisiert werden. Zuordnung des Werkstück Koordinatensystems Die Achse des Hüllzylinders (7) ist die Basis zur Definition des Werkstück Koordinatensystems. In diesem Beispiel wird festgelegt, dass der Richtungsvektor 𝑣 die z-Achse 𝑧𝑊 des Werkstücks definiert. Ebenso wird der Punkt 𝐶 aus (7) als Ursprungspunkt des Werkstück Koordinatensystems festgelegt. Die verbleibenden Achsen 𝑥𝑊 und 𝑦𝑊 sind nicht eindeutig durch das Bezugssystem geregelt. Sie werden erst bei der Transformation der erfassten Geometrie in das zu diesem Zeitpunkt noch unvollständige Werkstück Koordinatensystem festgelegt. Die hier gezeigte Transformation ist eine mögliche Variante dafür. Daneben existieren andere Ansätze, die später zum gleichen Einpassungsergebnis führen, aber hier nicht diskutiert werden. Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 21 Die Umrechnung von Punktekoordinaten 𝑃𝑖∈ℝ3 in das Werkstück Koordinatensystem erfolgt durch die lineare Transformation 𝑃𝑖=𝑅(𝑃𝑖−𝐶). Die 3x3 Matrix 𝑅 definiert eine Drehung, welche den Richtungsvektor 𝑣 des Bezugszylinder auf den Basisvektor 𝑒𝑧=(0,0,1)𝑇 abbildet. Da 𝑣 der z-Achse des Koordinatensystems entspricht, muss gelten 𝑅𝑣=𝑒𝑧. Mit den Eulerschen (Tait-Bryan Typ) Winkeln für Drehungen um die xbzw. y-Achse 𝑅𝑥=(1000 cos(𝛼) sin(𝛼)0 −sin(𝛼) cos(𝛼)) und 𝑅𝑦=(cos(𝛽) 0 −sin(𝛽)010sin(𝛽) 0 cos(𝛽)) wird 𝑅≔𝑅𝑦𝑇𝑅𝑥𝑇 gebildet. Die Punktekoordinaten 𝑃𝑖 liegen dann im Werkstück Koordinatensystem mit Ursprungspunkt 𝑊0=(0,0,0)𝑇, x-Achse 𝑥𝑤=(1,0,0)𝑇, y-Achse 𝑦𝑤=(0,1,0)𝑇 und z-Achse 𝑧𝑤=(0,0,1)𝑇. Der nachstehende Algorithmus gibt ein numerisch stabiles Verfahren zur Berechnung der beiden Drehwinkel 𝛼 und 𝛽. Algorithmus zur Berechnung der Drehwinkel für die Koordinatentransformation Schritt 0: Setze eine positive Genauigkeit 𝜀≪1. Schritt 1: Berechne 𝑡=√𝑣𝑦2+𝑣𝑧2 Falls 𝑡<𝜀, setze 𝑐𝑜𝑠(𝛼)=1 und sin(𝛼)=0. Sonst setze 𝑐𝑜𝑠(𝛼)=𝑣𝑧 𝑡, sin(𝛼)=𝑣𝑦 𝑡 und 𝑣𝑧′=t. Schritt 2: Berechne 𝑡=√𝑣𝑥2+𝑣′𝑧2 Falls 𝑡<𝜀, setze 𝑐𝑜𝑠(𝛽)=1 und sin(𝛽)=0. Sonst setze 𝑐𝑜𝑠(𝛽)=𝑣′𝑧 𝑡 und sin(𝛽)=𝑣𝑥 𝑡. Die Schranke für die Genauigkeit 𝜀 legt fest, wann eine Komponente des Vektors 𝑣 bereits nah genug an der erzielten Richtung der z-Achse liegt. In diesem Fall wird keine weitere Drehung der Daten vorgenommen. Die Transformation ist für alle Messpunkte durchzuführen, die den zylinderförmigen Bohrungen auf dem Flansch zugeordnet sind. Jeder Bohrung liegt mit einem eigenen Satz von Messpunkten vor. 𝑃(1)={𝑃1(1),…,𝑃𝑚1 (1)}, 𝑃(2)={𝑃1(2),…,𝑃𝑚2 (2)}, Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 22 𝑃(3)={𝑃1(3),…,𝑃𝑚3 (3)}, 𝑃(4)={𝑃1(4),…,𝑃𝑚4 (4)}, 𝑃(5)={𝑃1(5),…,𝑃𝑚5 (5)} Zur Vereinfachung wird im Weiteren der Index 𝑘 mit 1≤𝑘≤5 für die Zuordnung der Messpunktemengen zu den einzelnen Bohrungen eingeführt. Die Schreibweise ist 𝑃(𝑘) bzw. 𝑃𝑖(𝑘) mit den Koordinatenwerten 𝑃𝑖(𝑘)=(𝑥𝑘𝑖,𝑦𝑘𝑖,𝑧𝑘𝑖)𝑇. Die Werte 𝑚𝑘 stehen ferner für die Anzahl von Punkten des erfassten Geometrieelements mit Index k. Die Transformation der Messdaten ist 𝑃𝑖(𝑘)= 𝑅(𝑃𝑖(𝑘)−𝐶). Die erfasste Geometrie wird mit dem Werkstück Koordinatensystem in Abbildung 11 dargestellt. Abbildung 11 Werkstück Koordinatensystem und erfasste Geometrie beim Flansch. Zur Vereinfachung der weiteren Notation wird 𝑃𝑖(𝑘) anstelle 𝑃𝑖(𝑘) für die Punktkoordinaten im Werkstück Koordinatensystem angegeben mit Verweis auf den jeweiligen Kontext. Spezifikation der virtuellen Lehre: Die virtuelle Lehre besteht aus 5 Zylindern mit idealer geometrischer Form. Alle Zylinderachsen sind parallel mit dem gemeinsamen Richtungsvektor 𝑣=(0,0,1)𝑇. Ebenfalls hat jeder Zylinder den gleichen Radius 𝑟=1,9 mm. Unterschiedlich sind dagegen die Positionen der einzelnen Zylinderachsen 𝐶1,…,𝐶5 Diese werden auch mit 𝐶𝑘 (𝑘=1,…,5) bezeichnet. Die Berechnung der Soll-Positionen erfolgt anhand des vorgegebenen Lochkreises mit Radius 𝑟𝐿=29 mm und Winkelabstand 𝜏=72° zu Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 23 𝐶𝑘=(𝐶𝑘𝑥 𝐶𝑘𝑦 𝐶𝑘𝑧)=(𝑟𝐿cos(𝑘𝜏) 𝑟𝐿sin(𝑘𝜏) 0) Für die Speicherung der Geometrieparameter der Lehre ist die nachstehende Matrixschreibweise günstig 𝑀= ( 𝐶1𝑥 𝐶1𝑦 𝐶1𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧𝑟 𝐶2𝑥 𝐶2𝑦 𝐶2𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧𝑟 𝐶3𝑥 𝐶3𝑦 𝐶3𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧𝑟 𝐶4𝑥 𝐶4𝑦 𝐶4𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧𝑟 𝐶5𝑥 𝐶5𝑦 𝐶5𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧𝑟 ) (8) Bemerkung: Bei der Formulierung von (8) ist vorausgesetzt, dass der Normalenvektor der Bezugsebene A zur Materialseite des Flanschrings zeigt. Ist die Bezugsrichtung dagegen umgedreht, d. h. der Normalenvektor zeigt vom Material weg, dann ändert sich die Reihenfolge der Einträge in der Parametermatrix. Dann sind 𝐶5 bis 𝐶1 einzutragen anstelle von 𝐶1 bis 𝐶5. 3.2.4. Starteinpassung und 3D-Lochbidleinpassung für den Flanschring Der Ausgangspunkt für die Modellierung der 3D Lochbildeinpassung beim Flanschring sind Messpunkte der Bohrungen 𝑃(1),…,𝑃(5) im Werkstück Koordinatensystem, und die Matrix mit den Parametern der Lehrengeometrie 𝑀. Freier Parameter der Einpassung ist der Rotationswinkel 𝜑, der die Lehre bzw. Lehrenparameter um die z-Achse im Koordinatenursprung des Koordinatensystems dreht. Der Winkel bestimmt eine spezielle Drehmatrix 𝐻. 𝑀(𝜑)=𝑀∙𝐻(𝜑) Hierbei ist 𝐻(𝜑)= ( 𝑐𝑜 𝑠𝑖 0000 0 −𝑠𝑖 𝑐𝑜 0000 0 0 0 1 000 0 0 0 0 100 0 0 0 0 010 0 0 0 0 001 0 0 0 0 000 1 ) (9) mit den Werten 𝑠𝑖=sin(𝜑) sowie 𝑐𝑜=cos(𝜑). Zusätzlich wird 𝐶𝑘(𝜑)=(𝐶𝑘𝑥,𝐶𝑘𝑦,𝐶𝑘𝑧)𝑇∙(𝑐𝑜 −𝑠𝑖 0𝑠𝑖 𝑐𝑜 0001) für die gedrehten Positionspunkte der Lehrenzylinder verwendet, um die Notation bei der mathematischen Modellbildung der Einpassungsaufgabe zu vereinfachen. Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 24 In den folgenden Unterabschnitten werden die mathematischen Modelle für eine konsistente 3D Lochbildeinpassung beschrieben. Das Verfahren beginnt mit einer Gauß-Typ Grobeinpassung, die als Startlösung für die genaue Einpassung nach dem Tschebyscheff Kriterium (1) genutzt wird. Startlösung mit einer Gaußeinpassung Im ersten Schritt wird speziell beim Flanschring zu jeder Punktemenge 𝑃(𝑘) der Schwerpunkt 𝑄𝑘= (𝑞𝑘𝑥,𝑞𝑘𝑦,0)𝑇 berechnet. Dabei ist 𝑞𝑘𝑥=1 𝑚𝑘∑𝑥𝑘𝑖 𝑚𝑘 𝑖=1 und 𝑞𝑘𝑦=1 𝑚𝑘∑𝑦𝑘𝑖 𝑚𝑘 𝑖=1 . Die Berechnung ist auch bei großen Datenmengen effizient. Um die Startposition der Lehre zu bestimmen, wird im zweiten Schritt durch eine Besteinpassung nach Gauß der Nährungswinkel 𝜑0 berechnet, welcher die Minimierungsaufgabe min φ0 12∑ ‖𝐶𝑘(𝜑0)−𝑄𝑘‖2 5𝑘=1 (10) löst. Die Summe der Abstandsquadrate zwischen den Mittelpunkten der Lehrenzylinderachsen und den Punktewolkenschwerpunkten der Achsen wird hierdurch minimiert. Die Grobeinpassung wird in Abbildung 12 dargestellt. Abbildung 12 Grobeinpassung beim Flanschring Links ist die Ausgangssituation gezeigt, wenn Werkstück Koordinatensystem und Lehre übereinender gelegt werden. Messpunkte und Lehrenzylinder sind in der Aufsicht zur xy-Ebene dargestellt. Die blau gezeichneten Lehrenzylinder liegen deutlich zu den schwarz gepunkteten erfassten Bohrungen versetzt. In der rechten Bildhälfte wurden die Abstände zwischen den Lehrenmittelpunkten und Punktewolkenschwerpunkten minimiert. Dabei wurde das Lehren Koordinatensystem um den Winkel 𝜑0 gedreht. Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 31 Punktewolke ist dabei besondere numerisch robust als Definition von 𝐶. Er errechnet sich aus der Bedingung 〈𝐺−𝐶,𝑣〉=0 (13) wobei 𝐺=1 𝑚∑𝑃𝑖 𝑚 𝑖=1 . ist. Der dritte Parameter ist der Kegelradius im Punkt 𝐶. Dieser wird mit dem Symbol 𝑟>0 bezeichnet. Der Parameter ist der Radius des Schnittkreises orthogonal zur Kegelachse. Der Schnittkreis hat den Mittelpunkt 𝐶. Ferner ist die Kegelgeometrie durch den Öffnungswinkel 0<𝛼<180 beschrieben. Als nächstes werden die orthogonalen Abstände zwischen Kegel und Messpunkten betrachtet. Deren Definition ist 𝑓𝑖(𝐶,𝑣,𝑟)≔(𝑒𝑖−𝑟)cos(𝛼2)−𝑑𝑖sin(𝛼2) mit 𝑒𝑖≔‖(𝑃𝑖−𝐶)×𝑣‖ und 𝑑𝑖≔〈𝑃𝑖−𝐶,𝑣〉. Die Werte sind für alle 𝑖∈𝐼 definiert. Schließlich ergibt sich folgende mathematische Zuordnungsaufgabe für den Bezugskegel. Tschebyscheff-Zuordnung für einen anliegenden Kegel: Bestimme die Parameter 𝐶∈ℝ3,𝑣∈ℝ3 und 𝑟>0 mit (12) und (13), welche 𝑚𝑖𝑛 𝐶,𝑣,𝑟𝑚𝑎𝑥 𝑖∈𝐼 |𝑓𝑖(𝐶,𝑣,𝑟)| (14) annehmen. Der gesuchte, äußere anliegende Tschebyscheff-Kegel wird aus der Lösung von (14) durch die Verschiebung 𝐶󰆹=𝐶+𝛾∙𝑣 (15) berechnet. Der Wert für den Verschiebungsfaktor ist 𝛾=𝑚𝑎𝑥 𝑖∈𝐼 |𝑓𝑖(𝐶,𝑣,𝑟)| 𝑠𝑖𝑛(𝛼 2). (16) 4.2.2. Werkstück Koordinatensystem und Definition der Lehrengeometrie Bereits beim Flanschring hat die gesonderte Bestimmung eines Werkstück Koordinatensystems zur Vereinfachung des Einpassungsmodells geführt. Eine ähnliche Situation liegt auch am Beispiel Kegelscheibe vor. Hier hat die Lochbildeinpassung die Nebenbedingung, dass das virtuelle Gegenstück (Lehre) bei der Einpassung nur um die Achse des Bezugskegels gedreht werden darf. Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 32 Bestimmung Werkstück Koordinatensystem Die z-Achse des Werkstück Koordinatensystems wird als die Richtung der Kegelachse 𝑣 aus (14) festgelegt. Der Koordinaten Ursprungspunkt 𝑊0 ist der projizierte Schwerpunkt 𝐶 auf der Kegelachse. Die verbleibenden Achsen 𝑥𝑊 und 𝑦𝑊 werden durch das Bezugselement nicht eindeutig definiert. Sie entstehen wieder aus der Umrechnung der Messpunkte der erfassten Geometrie in das unvollständige Werkstück Koordinatensystem. Die Transformation der Messpunktkoordinaten ist 𝑃=𝑅∙(𝑃−𝐶). Wie beim Flanschring ist 𝑅 eine Drehmatrix, welche den Richtungsvektor 𝑣 auf den Basisvektor (0,0,1)𝑇 dreht. Für die umgerechneten Messpunktekoordinaten sind 𝑥𝑊=(1,0,0)𝑇 und 𝑦𝑊=(0,1,0)𝑇 die Festlegung für die undefinierten Achsen des Werkstück Koordinatensystems. Die Berechnung der Transformationsparameter ist identisch mit dem Vorgehen in Abschnitt 3 (Algorithmus zur Berechnung der Drehwinkel für die Koordinatentransformation). Die darin verwendeten Geometrieparameter 𝐶 und 𝑣 kommen im Fall der Kegelscheibe von der Bezugskegelachse. Das zugeordnete Koordinatensystem ist in Abbildung 20 skizziert. Abbildung 20 Werkstück Koordinatensystem für die Kegelscheibe Für die Kegelscheibe liegen speziell die Messpunktemengen 𝑃(1)={𝑃1(1),…,𝑃𝑚1 (1)}, 𝑃(2)={𝑃1(2),…,𝑃𝑚2 (2)}, 𝑃(3)={𝑃1(3),…,𝑃𝑚3 (3)}, 𝑃(4)={𝑃1(4),…,𝑃𝑚4 (4)}, 𝑃(5)={𝑃1(5),…,𝑃𝑚5 (5)} für die fünf Bohrungen vor. Weiterhin bezeichnen Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 33 𝑃(6)={𝑃1(6),…,𝑃𝑚6 (6)} sowie 𝑃(7)={𝑃1(7),…,𝑃𝑚7 (7)} für die gegenüber liegenden Seitenflächen der Nut. Bei der Definition von 𝑃(𝑘) ist 𝑚𝑘 jeweils die Anzahl der Punkte pro Datensatz. Die Transformation der Messpunkte in das Werkstück Koordinatensystem wird formal durch 𝑃𝑖(𝑘)=𝑅(𝑃𝑖(𝑘)−𝐶) berechnet. Im Weiteren wird wieder die Bezeichnung 𝑃𝑖(𝑘) für die Punkte im Werkstück Koordinatensystem genutzt, um die Notation zu vereinfachen. Spezifikation der virtuellen Lehre Die virtuelle Lehre besteht aus fünf Zylindern und einem Ebenenpaar mit idealer geometrischer Form. Alle Zylinderachsen sind parallel zum gemeinsamen Richtungsvektor 𝑣=(0,0,1)𝑇. Ebenfalls hat jeder Zylinder den Radius 𝑟=3,9 mm (Durchmesser 7,8 mm). Unterschiedlich sind dagegen die Positionen der einzelnen Zylinderachsen 𝐶1,…,𝐶5 Diese werden mit 𝐶𝑘 (𝑘=1,…,5) indiziert. Die Berechnung der Positionen erfolgt anhand des vorgegebenen Lochkreises mit Radius 𝑟𝐿=22 mm, 𝜏0=−30° und Winkelabstand 𝜏=60° zu 𝐶𝑘=(𝐶𝑘𝑥 𝐶𝑘𝑦 𝐶𝑘𝑧)=(𝑟𝐿cos(𝜏0+𝑘𝜏) 𝑟𝐿sin(𝜏0+𝑘𝜏) 0). Das Ebenenpaar für die Nut wird zunächst durch den Normalenvektor 𝑛=(1,0,0)𝑇 in seiner Ausrichtung definiert. Damit sind die Ebenen parallel zur Kegelachse und symmetrisch zu den fünf Lehrenzylindern ausgerichtet. Für jede Ebene wird das Vorzeichen der Normale so gewählt, dass es von der theoretischen Materialseite in der technischen Zeichnung bzw. am realen Bauteil weg zeigt. Die Lage wird ferner durch einen Punkt, der mittig zwischen beiden Ebenen liegt definiert. Für 𝑘=6 und 𝑘=7 ist dieser 𝐶𝑘=(𝐶𝑘𝑥 𝐶𝑘𝑦 𝐶𝑘𝑧)=( 0 −22 0). Dies ist genau der Schnittpunkt von theoretisch genauem Bohrlochkreis und der y-Achse des Lehren Koordinatensystems, welche mittig in der Nut liegt. Der orthogonale Abstand der seitlichen Ebenen zur mittleren Ebene durch Punkt 𝐶𝑘 mit dem Normalenvektor 𝑛 ist 𝑑=7,925 mm. Die Matrixschreibweise zur Speicherung der Lehren Geometrieparameter ist Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 34 𝑀= ( 𝐶1𝑥 𝐶1𝑦 𝐶1𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧 0 0 0 𝑟 𝐶2𝑥 𝐶2𝑦 𝐶2𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧 0 0 0 𝑟 𝐶3𝑥 𝐶3𝑦 𝐶3𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧 0 0 0 𝑟 𝐶4𝑥 𝐶4𝑦 𝐶4𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧 0 0 0 𝑟 𝐶5𝑥 𝐶5𝑦 𝐶5𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧 0 0 0 𝑟 𝐶6𝑥 𝐶6𝑦 𝐶6𝑧 0 0 0 −𝑛𝑥−𝑛𝑦−𝑛𝑧𝑑 𝐶7𝑥 𝐶7𝑦 𝐶7𝑧 0 0 0 𝑛𝑥 𝑛𝑦 𝑛𝑧𝑑 ) . (17) Die ersten fünf Zeilen sind die Parameter der Lehrenzapfen für die Bohrungen. Die zwei verbleibenden Zeilen geben die Parameter des Ebenenpaares für die Einpassung der Nut an. 4.2.3. Berechnung der Starteinpassung und 3D-Lochbildeinpassung Der Ausgangspunkt für die Modellierung der 3D-Lochbildeinpassung der Kegelscheibe sind die in die das Werkstück Koordinatensystem transformierten Messpunkte zu den Bohrungen 𝑃(1),…,𝑃(7) und die Matrix mit den Parametern der Lehrengeometrie 𝑀. Der freie Parameter der Einpassung ist der Rotationswinkel 𝜑, der die Lehre im Koordinatenursprung um die z-Achse des Werkstück Koordinatensystems dreht. Der Winkel bestimmt eine spezielle Drehmatrix 𝐻, mit der die Parameter der gedrehten Lehre durch 𝑀(𝜑)=𝑀∙𝐻(𝜑) berechnet werden. Hierbei ist 𝐻(𝜑)= ( 𝑐𝑜 −𝑠𝑖 00000000 𝑠𝑖 𝑐𝑜 00000000 0010000000 0001000000 0000100000 0000010000 000000 𝑐𝑜 −𝑠𝑖 00 000000 𝑠𝑖 𝑐𝑜 00 0000000010 0000000001 ) (18) mit den Werten 𝑠𝑖=sin(𝜑) sowie 𝑐𝑜=cos(𝜑). In 𝑀(𝜑) ändern sich nur die Positionseinträge (die xund y-Koordinaten der Lehrenzapfen, Ebenenmittelpunkte) und die Normalenvektoren des Ebenenpaares. Für eine vereinfachte Schreibweise werden diese Einträge daher auch mit 𝐶𝑘(𝜑)=(𝐶𝑘𝑥,𝐶𝑘𝑦,𝐶𝑘𝑧)( 𝑐𝑜 𝑠𝑖 0 −𝑠𝑖 𝑐𝑜 0 0 0 1) sowie 𝑛𝑘(𝜑)=(𝑛𝑘𝑥,𝑛𝑘𝑦,𝑛𝑘𝑧)( 𝑐𝑜 𝑠𝑖 0 −𝑠𝑖 𝑐𝑜 0 0 0 1) bezeichnet. Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 35 4.2.3 Starteinpassung und 3D-Lochbildeinpassung für die Kegelscheibe In diesem Unterabschnitt werden die mathematischen Modelle für die3DLochbildeinpassung beschrieben. Wiederum wird mit einer groben Einpassung nach einem geeigneten Gauß Kriterium begonnen. Anschließend erfolgt die 3D-Lochbildeinpassung nach dem Tschebyscheff Kriterium. Startlösung mit einer Gaußeinpassung Die hier betrachtete Berechnung einer Grobeinpassung orientiert sich wie beim Flanschring an den Mittelpunkten der idealen Lehrengeometrie und der Messpunkte. Im ersten Schritt wird zu jeder erfassten Bohrung 𝑃(𝑘) mit 𝑘=1,…,5 der Schwerpunkt 𝑄𝑘=(𝑞𝑘𝑥,𝑞𝑘𝑦,0)𝑇 berechnet. Die zKomponente des Schwerpunktes ist 0 gesetzt, da sie keinen Einfluss auf das Einpassungsergebnis haben soll. Die anderen Komponenten sind 𝑞𝑘𝑥=1 𝑚𝑘∑𝑥𝑘𝑖 𝑚𝑘 𝑖=1 und 𝑞𝑘𝑦=1 𝑚𝑘∑𝑦𝑘𝑖 𝑚𝑘 𝑖=1 . Die Berechnung ist bei großen Datenmengen effizient. Ebenso wird für das erfasste Ebenenpaar der Nut ein Schwerpunkt berechnet. Dieser ist 𝑄6=(𝑞6𝑥,𝑞6𝑦,0)𝑇 mit 𝑞6𝑥=1 𝑚6+𝑚7(∑𝑥6𝑖 𝑚6 𝑖=1 +∑𝑥7𝑖 𝑚7 𝑖=1 ) und 𝑞6𝑦=1 𝑚6+𝑚7(∑𝑦6𝑖 𝑚6 𝑖=1 +∑𝑦7𝑖 𝑚7 𝑖=1 ). Um die Startposition der Lehre zu bestimmen wird im zweiten Schritt der Winkel 𝜑0 berechnet, welcher die Minimierungsaufgabe min φ0 12∑ ‖𝐶𝑘(𝜑0)−𝑄𝑘‖2 6𝑘=1 (19) löst. Problem (19) ist eine Gaußeinpassung. Diese minimiert die Summe der Abstandsquadrate zwischen den Schwerpunkten der Punktewolken und den rechnerisch idealen Mittelpunkten der Lehrenelemente. Die Abstände werden nur in der xy-Ebene des Werkstück Koordinatensystems berechnet. Die Situation wird in Abbildung 21 für ein besseres Verständnis dargestellt. Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 36 Abbildung 21 Starteinpassung der Kegelscheibe. Die Lehrengeometrie wird in der Aufsicht in Richtung der mittleren Achse gezeigt (Kegelachse). Zur Lehrengeometrie gehören die blau gezeichneten zylindrischen Zapfen und der grün gezeichnete Bereich der Nut. Die erfasste Geometrie der Bohrungen und Nut Seitenflächen ist durch schwarze Punkte skizziert. Lehrengeometrie und erfasste Geometrie liegen vor der Einpassung zueinander verdreht. Dies zeigt die linke Bildhälfte. Gut zu erkennen sind die für die Gaußeinpassung definierten idealen Mittelpunkte der Lehre 𝐶𝑘 und die Schwerpunkte der erfassten Geometrie 𝑄𝑘. Nach der Drehung der Lehre um den errechneten Winkel 𝜑0 liegt die Starteinpassung vor, welche auf der rechten Bildhälfte gezeigt wird. Berechnung der 3D Lochbildeinpassung Der Lösungswinkel 𝜑0 aus Starteinpassung (19) ist noch nicht der Winkel, bei dem die kleinstmögliche Überlappung bzw. das größtmögliche Spiel zwischen der Lehrengeometrie und den Messpunkten vorliegt. Um die allgemeine Tschebyscheff-Einpassung (2) aus Kapitel 2.4 anzuwenden, sind geeignete Abstandsfunktionen für die Lehrenzylinder und die Nut zu definieren. Wie beim Flanschring gilt für die Lehrenzylinder mit 𝑘=1,…,5 die Definition 𝑓𝑘𝑖(𝑀(𝜑))=𝑟−‖(𝑃𝑖(𝑘)−𝐶𝑘(𝜑))×𝑣‖. Bei der Nut wird zwischen linker und rechter Seitenfläche unterschieden. Dies erfolgt durch eine entsprechende Zuordnung der Punktemengen zu den Ebenen der Lehrengeometrie und der gegenläufigen Festlegung der Normalenrichtung. Im Fall des Anwendungsbeispiels ist 𝑃(6) die erfasste Geometrie der linken Seitenfläche und 𝑃(7) ist die erfasste Geometrie der rechten Seitenfläche. Für diese ist 𝑓𝑘𝑖(𝑀(𝜑))=𝑑−〈𝑃𝑖(𝑘)−𝐶𝑘(𝜑),𝑛𝑘(𝜑)〉. Das folgende Einpassungsverfahren wird aufgestellt. 𝜑0 Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 37 min φ∈ℝ,𝑠∈ℝ𝑠 𝑢.𝑑.𝑁.𝐵. 𝑓𝑘𝑖(𝜑)≤𝑠 ∀ 𝑘=1,..,7 𝑢𝑛𝑑 ∀ 𝑖=1,…,𝑚𝑘 (20) Mit dem aus dieser Aufgabe berechneten Drehwinkel 𝜑 und dem maximalen Abstand 𝑠 ist die Ermittlung der gesuchten Größe für minimale Überlappung oder maximales Spiel einfach zu realisieren. Es gelten folgende Aussagen  Ist 𝑠>0 liegt Überlappung zwischen der Lehre und den Messpunkten vor. Diese hat den Wert 𝑠.  Ist 𝑠<0 liegt Spiel zwischen der Lehrer und den Messpunkten vor. Dieses hat den Wert 𝑠.  Ist 𝑠=0 so liegt die Lehre an den Messpunkten an. Es gibt weder Spiel noch Überlappung. Um im Fall 𝑠>0 nachzuvollziehen, bei welchem der Lehrengeometrieelemente Überlappung vorliegt, können für jedes einzelne Element der Lehre die Abstände zu den lokal zugeordneten Messpunkten geprüft werden. Diese sind 𝑠𝑘≔ max i=1,.,,,mk𝑓𝑘𝑖(𝑀(𝜑)) für alle 𝑘=1,…,7. Wenn 𝑠𝑘>0 ist, liegt Überlappung mit dem Bauteil vor. 5. Anwendungsbeispiel Würfel Bei den zuvor betrachteten Anwendungsbeispielen Flanschring und Kegelscheibe sind die Lehrenelemente parallel. Die Prüfung mit körperlicher Lehrung ist möglich durch einseitiges Aufstecken der Lehre mit dem Prüfling. Das Anwendungsbeispiel Würfel betrachtet im Gegensatz dazu die Montage von Bauteilen über zueinander verdrehte Bohrungen bzw. Zapfen. D. h. die Geometrieelemente der Lehre sind nicht mehr parallel. Dadurch ist die Prüfung mit körperlichen Lehren aus nur einem Teil nicht mehr möglich. Genau in diesem Fall ist die virtuelle Lehrung mit KMGs und 3D-Lochbildeinpassung ein bzgl. der Durchführbarkeit günstiges Prüfmittel. Für den Anwendungsfall wird der in Abbildung 22 skizzierte Würfel betrachtet. Abbildung 22 Anwendungsbeispiel Würfel Seitenfläche Obere Bohrungen Seitliche Bohrungen Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 38 Der Würfel hat eine Kantenlänge von 40,0 mm. In zwei der sechs Seitenflächen sind je drei Bohrungen eingebracht. Die Tiefe aller Bohrungen beträgt jeweils 20,0 mm. Die Durchmesser betragen 6,0 mm. Alle Bohrachsen stehen senkrecht zu den entsprechenden Seitenflächen. Um die Lage der Bohrungen besser zu erkennen, wurde die Außenfläche des Würfels transparent gezeichnet (Abb. 21). 5.1. Normenkonforme Prüfung Der Prüfung des Würfels wird keine spezifische Funktion zugeordnet. Vielmehr geht es um die Beschreibung einer allgemein gehaltenen Prüfaufgabe. Diese wird in Abbildung 22 gezeigt. Bei der Auswahl der Prüfaufgabe wurde vollständig auf einen Bezug bzw. ein Bezugssystem verzichtet. Ausschließlich die Lage der sechs Bohrungen ist toleriert. Dies führt zu einer Lehrung bzw. 3D-Lochbildeinpassung mit der maximalen Anzahl von sechs Freiheitsgraden. Sie stellt gleichzeitig die größten Anforderungen an die numerische Stabilität und Leistungsfähigkeit mathematischer Verfahren für eine rechnerische Einpassung dar. Abbildung 23 ISO 1101 konforme Prüfaufgabe für den Würfel. 5.2. Mathematisches Modell der 3D-Lochbildeinpassung Die rechnerische 3D-Lochbildeinpassugn wird durch die in Abbildung 24 gezeigten vier Schritte durchgeführt. Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 39 Abbildung 24 Ablaufdiagramm zur 3D-Lochbildeinpassung für den Würfel. Zu Beginn werden des Werkstück Koordinatensystem und die Lehrenparameter zugeordnet. Anschließend erfolgt die Diskussion einer geeigneten Starteinpassung. Das Vorgehen ist wesentlich aufwendiger, als bei den vorangegangenen Anwendungsfällen. Zudem muss eine allgemeine 3DTransformation der Lehrengeometrie definiert werden. Zum Abschluss erfolgt die formale Angabe der Tschebyscheff 3D-Lochbildeinpassung. Werkstück Koordinatensystem und Lehrenparameter Da für den Würfel der Fall einer allgemeinen Einpassung vorliegt (keine Nebenbedingungen durch Bezugselemente), ist prinzipiell jedes Kartesische Koordinatensystem als Werkstück Koordinatensystem einsetzbar. Im Beispiel wird das Kartesische Messpunkte Koordinatensystem für das Werkstück gewählt, da in diesem Fall keine Umrechnung der Punktekoordinaten notwendig ist. Die Lehre besteht aus sechs idealen Zylindern. Diese sind jeder Bohrung des Würfels zugeordnet. Sie haben den Radius 𝑟=2,94 mm (entspricht Durchmesser MMVS = 5,88 mm). Die Lage und Richtung der Lehrenzylinder wird in Abbildung 25 dargestellt. Abbildung 25 Koordinatensystem und Modell der virtuellen Lehre für den Würfel. In der linken Bildhälfte in Abb. 24 ist das Lehren Koordinatensystems des Würfels abgebildet. Ferner sind die Bohrungen eindeutig mit den Indizes 𝑘=1,..,6 nummeriert. In der rechten Bildhälfte wird die Lehrengeometrie (das Gegenstücks zur Einpassung) gezeigt. Eingezeichnet wurden die Mittelpunkte 𝐶1,…,𝐶6 der geometrisch idealen Zylinder. Diese liegen jeweils auf der Achse des Lehrenzylinders. Die Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig u. Berlin Leitfaden für die 3D-Lochbildeinpassung in der Koordinatenmesstechnik 40 Position ist die Mitte zwischen den Enden jeder Bohrung in der technischen Zeichnung des Bauteils. Nachfolgend sind die Parameterwerte gegeben. 𝐶1=(𝐶1𝑥,𝐶1𝑦,𝐶1𝑧)𝑇=(−10,−30,−10)𝑇, 𝐶4=(𝐶4𝑥,𝐶4𝑦,𝐶4𝑧)𝑇=(−30,−10,−10)𝑇 𝐶2=(𝐶2𝑥,𝐶2𝑦,𝐶2𝑧)𝑇=(−30,−25,−10)𝑇, 𝐶5=(𝐶5𝑥,𝐶5𝑦,𝐶5𝑧)𝑇=(−10,−10,−25)𝑇 𝐶3=(𝐶3𝑥,𝐶3𝑦,𝐶3𝑧)𝑇=(−10,−10,−10)𝑇, 𝐶6=(𝐶6𝑥,𝐶6𝑦,𝐶6𝑧)𝑇=(−30,−10,−30)𝑇 Der Richtungsvektor der Zylinder 1 bis 3 ist 𝑣1=(𝑣1𝑥,𝑣1𝑦,𝑣1𝑧)𝑇=(0,0,1)𝑇. Die Zylinder 4 bis 6 haben den Richtungsvektor 𝑣2=(𝑣2𝑥,𝑣2𝑦,𝑣2𝑧)𝑇=(0,1,0)𝑇. Die Parameterwerte werden auch hier in einer gemeinsamen Matrix 𝑀 zusammengefasst. 𝑀= ( 𝐶1𝑥 𝐶1𝑦 𝐶1𝑧 1𝑣1𝑥 𝑣1𝑦 𝑣1𝑧 𝑟 𝐶2𝑥 𝐶2𝑦 𝐶2𝑧 1𝑣1𝑥 𝑣1𝑦 𝑣1𝑧 𝑟 𝐶3𝑥 𝐶3𝑦 𝐶3𝑧 1𝑣1𝑥 𝑣1𝑦 𝑣1𝑧 𝑟 𝐶4𝑥 𝐶4𝑦 𝐶4𝑧 1𝑣2𝑥 𝑣2𝑦 𝑣2𝑧 𝑟 𝐶5𝑥 𝐶5𝑦 𝐶5𝑧 1𝑣2𝑥 𝑣2𝑦 𝑣2𝑧 𝑟 𝐶6𝑥 𝐶6𝑦 𝐶6𝑧 1𝑣2𝑥 𝑣2𝑦 𝑣2𝑧 𝑟 ) (21) Die Spalte mit den Zahlenwerten „1“ ist von besonderer Bedeutung für die Transformation der Parametermatrix. Dies wird im Folgenden erklärt. Spezifikation des Transformationsoperators für die Einpassung Die Transformation umfasst sechs unterschiedliche Parameter. Zunächst sind drei Verschiebungen der Lehre entlang des Werkstück Koordinatensystems möglich. Diese werden mit dem Parameter 𝑇=(𝑡𝑥,𝑡𝑦,𝑡𝑧)𝑇 bezeichnet. Die Komponenten geben den jeweiligen Anteil der Verschiebung in Richtung der Koordinatenachse mit gleichem Index an. Weiterhin sind drei Rotationen um die Werkstück Koordinatenachsen möglich. Dies wird hier unter Zuhilfenahme der Tait-Bryan Drehungen mit 𝜑=(𝜑𝑥,𝜑𝑦,𝜑𝑧)𝑇 realisiert. Jede Komponente definiert eine Rotationsmatrix. Diese sind 𝑅𝑥=( 1 0 0 0 cos(𝜑𝑥)−sin(𝜑𝑥) 0 sin(𝜑𝑥) cos(𝜑𝑥))𝑇, 𝑅𝑦=( cos(𝜑𝑦) 0 sin(𝜑𝑦) 0 1 0 −sin(𝜑𝑦)0 cos(𝜑𝑦))𝑇 und