Anàlisi matemàtica I. Problemes

EST AMl p R o B L E M E s 000 000 000 DIPLOMATURA D'ESTADÍSTICA ANALISI MATEMATICA I Marta Pérez:-Casany CURS 93-94 UPQ FACULTAT DE MATEMÁTIQUES I ESTADÍSTICA ÜNIVEA$ITAT POLITECNICA DE CATALUNYA Biblioteca 1111 m l�l lllll lffll llll lll lllll llll l li 1400184795 ���ª CENTOE 1'1,81.ICACIO"S OASAST (),_,.i147-ETSEIB 00026ANALISI MATEMATICA 1 PROBLEMES Marta Pérez-tasnny • • lb Facultat de Mat r1 fa-¡111!!1 1 Estadística -, IIO,(H.:" Anallsl Matematlca 1 Primera impressi6 octubre 1993 Núm. edició cpda 807 Dipósit legal: B: 32.074-93 Les copies s'han !et a una maquina Rank Xerox 5090 n9 1103781430 Imprime :cpda-etselb Diagonal 647 08028 Barcelona Printed Spain Nombres Complexos 1.-Expresseu els nombres complexos següents de la forma a+ bi: ? 3· a) ( 1 +3i )3 ; b); � 4> ½P + il el)-=--- ] + j-8 2.-Si z, z1, z2 representen nombres complexos, comproveu que satisfan les propietats se güents: z-z e)-.-= 2b. d) z + z = 2a; 3.-Calculeu el conjugat d'uu nombre complex expressat en forma polar. 4.-Efectueu les operacions indicades: 2 - 3¡ a) (2 + 31)(1 +·i) e) (3i -3)1; e)(l-i)l; 3+ i 4(2 -i)' 1 5.-Dcscriviu geometricurncut el co11jn11t deb 11om1Jres complexos z que satisfan cadascuna <le les següe11ts co11dicious: a) 1.::1 = 2; e) lzl :S l; <l) z +z= l; e)z-z=i; fJ z + z = lzl2. 6.-Donat un nombre complex w diferent de zero, determiueu per a quins complexos z . Z + II! d1ferents de w el quocieut és uu nombre real, determineu també per a quins és z-'fil imaginan pur. 7 .-Si z1 i zi són uumhres complexos, proveu: b) si z1 és no uul, lz1 + z2 I = lz11 + lz21 su � és real i no negatiu. 8.-Demostreu el teorema de De Moi·ure, que <liu que si a és un enter llavors (cos B + i sinB)° = cos(aB) + i sin(«B). 9.-Calculeu les 7 arrels setenes de la unitat. 10.-a) Una arrel cúbica d'un nombre és 3i. Calculeu aquest nombre i les scves altres arrels cúbiques. b) Sabent que 3i és una arre! n-essima d'un nombre complex. Calculeu aquest nombre les seves altres n - 1 arrels. 11.-Resoleu a C les equacious següents: a) x2 +ix + 1 = O; e) x3 -x2 -J.' - 2 = O; d) x3 +(1 + i)x2 + (i - 2)x - 2i = O. 12.-Calculeu els logaritmes deis nombres complexos següents: 2 a) 1 + i; e) -5; 13.-Sigui 21 = 3 -2i a) logz1; z2 =-ii. Calculeu: b) z;'; 3 b) -i; d) -½ + 5i. Successions Numeriques 14.-Sigui Xn = -5n + 10 i y,, = n2 dues successions de nombres reals. Calculeu el terme general i els cinc primers termes de: (x,.). (y,.); -2(xn) - 5(y,.); Justifiqueu perque és possible dividir per la successió y,.. 16.-Demostreu que dir que la successió (xn )nEN té per límit el valor x és equivalent adir que per a tot m E N existeix un n0 tal que si n � no llavors jx,. -xi $ �. 16.-Demostreu que si x, y E IR i lx -yj $ ¼ per a tot n E N, llavors x = y. Demostreu a partir de l'afirmació anterior que si una successió té límit aquest és únic. 17.-Proveu que lim(xn) = O si i només si lim(lxnl) = O. Doneu un exemple per demostrar que la convergencia de (lxnDnEN no implica necessariament la de (xn)nEN· 18.-Sigui (xn)nEN una successió de reals tal que (x�)nEN és couvergent a O. Convergira. també a zero la successió inicial? 1 19.-Donacla la successió que té per terme general Xn = -3 1 demostreu que convergeix n+ a zero. Demostreu que també convergeix a zero la successió que té per terme general Xn =.!. - -1-. Trobeu els n0 de la <lcfinició de límit corresponents a f = 5, f =1 i n n + 1 E= 0.03 per a aquestes dues successions. 4 2O.-Demostreu, utílitzant la definicíó de límít: a) lim � = O, on e :f O i p > O són constants índependents de n; n-oo nP b) Si lxl < l llavors lím x" = O. n-oo 21.-Siguín (x,.)nEN i (Yn)nEN dues successions de nombres reals. a) Suposant que (xn )nEN + (Yn )nEN és convergent, demostreu que no necessa.riament han de ser convergents la (xn)nEN í la (y,.)nEN per separat. b)El mateix d'abans en el casque (xn)nEN • (yn)nEN sigui convergent. 22.-Siguin (xn) i (Yn) dues successions convergents de nombres reals tals que Xn � Yn per a tot n E N. Demostreu que lim Xn � lim Yn. n-CX) n-oo Demostreu que el límit d'una su cessió real convergent de termes positius també és un nombre positiu. 23.-Demostreu que si tenim una successió de nombres reals tals que les parcials parell i senar convergeixen al mateix valor, aleshores la successió també convergeix cap a aquest valor. 24.-Doneu un exemple de successió divergent i un exemple de successíó convergent tals que lim (Xn+1 ) = l. n-oo Xn 25.-El mateix que en l'exercicí anterior, pero ara amb lim (xn)¼. n-oo 26.-Calculeu el límit de les successions següents: 6n3 + 4n + 1 a) 211 ., e) Jn/ñ -,/ñ; 5 112 -611 - 2 b}---¡ 311-911 /n+l d) ( JñTI - .jñ) V --;¡-; e) 2" + 3" 1 1 211 -311 ' f) -,--, --1--1; ;,1' .. ¡�;; -;;:; -; g) l11(c!11 + l-11) n" h)-· , , 11 n. � i) a" j) (n2 +n + 1) n+r --· lnn!' n2 -n + 1 k) smn l)(1 + /ñ+T - Jñ) vlñ_ --¡ n 27 D t l . . . l 2n - 7 .- emos reu que a successm que te per terme genera Xn = --- 3n + 2 a)és monótona creixent, b)esta fitada superiorment, e)esta fito.da inferiorment, d)esta fitada, e)té límit finit. 28.-Si Xn és una successió mono tona creixent ( resp. decreixent ), llavors ( Sn) , on n nEN S,. = x1 + x2 + · • · + x .. , també és una successió monótona creixent (resp. decreixent). 29.-Sigui ( ª" )neN la successió definida per Estudieu si són certes les afirmacions següents: a)(an)neN és estrictament creixent; b)(an)neN és creixent; e) ( ª" )neN és decreixent; d)(an)neN no creix ni decreix. 6 Límits i continuº itat de funcions 52.-Calculeu els límits següents: . x·1 + x3 + x a) hm 2 2 ; :1:-0 X - X ) l. J3:t+I -v'x+3 C lffi :1:-1 J5x + 3 -J3..r + 5' ) l• (3x+2)2"' e lffi -- :1:-00 3x - 1 ' (x2 + 2x -1)"+1 g) lim ---- ; z-(-2) X+ 3 ") 1. sin2 x + sin x -2 1 lffi -------· .,_½ si112 x -4 sin x + 3' k)lim x2 -(a+l)x+a. :r:-a x3 - a3 ' ) l. ( 1 -cos x) arctan x m lffi . 2 j x-0 XSID X xm -1 o)lim ---¡ z-1 X -1 q)lim(2x2 -3x + l)tan(n); z-½ . az+bz-l ( .l. .l. )" s) hm 2 r-oo b)lim Jf+x-J[-=x; r-O X f)lim(cotx -cot2x)¡ :r:-o h)limtan(ax). :r:-o bx ' ') J' X J lffi ,==�=:::;;i r-oo Jx + jx + fi 1 l 1)limx•-2x• +1 .r-1 (x -1)2 x" -y" n)lim • ; r-� X - y ) l. J(l + a:r)(l + bx) -1 r lffi j :r:-0 X ) l. !neos x t lffi --2-. :r:-0 X 53.-Estudieu la continui'tat de la funció següent: f(x) = { 5' -5, 13 si x S l¡ si x > l. 54.-Demostreu la contimütat de les funcions següents a partir de la definició: a) /(x) = 3x2 + 5x; b) f(x) = lxl + 10. 56.-Demostreu que tota funció perodica i contínua és fitada. 56.-Doneu un exemple de funció definida a l'interval (O, lj que no estigui fitada. 57.-Sigui f: R.---+ R. una funció continua tal que /(x) =O per a tot x E Q. Demostreu que / ha de ser la fundó constant igual a zero. 58.-Demostreu que la funció f(x) = { 1, si x E Q¡ O, si x E RQ¡ és discontínua en tot nombre real. 59.-Demostreu que tota funció constant sobre els racionals, si voleu que sigui continua en els reals, ha de ser igual a la mateixa constant sobre els irracionals. 60.-Sigui f : R --+ R definida per J(x) = { x, 1-x, si x E R-Q; si x E Q. demostreu que únicament és continua en el punt x = ½. 14 61.-Siguin f, g i h tres funcions reals de variable real definides de la forma següent: J(x) = g(x) = h(x) = O, J(x) = 1, g(x) = x, 1 h(x) = -, si X E JR.-IQ; si x E IQ¡ • 111 ,n, • ' • d 'bl s1 x = - E 'l I es 1rre uct1 e; 71 h(O) = l. Demostreu que J no és contínua en cap punt de !O, 1], que g és únicament contínua en zero i que h és contínua únicament en els punts irracionals de !O, 1]. 62.-Estudieu i localitzeu les discontinui'tats de les funcions següents: { smx . f(x) = -X-, SI X f:. 0; O, altrament; { e½ si x f:. O; g(x) = ' O, altrament; h( x) = { e!-+ sin ¼, si x f:. O; O, altrament; m(x) -{ ---.1., 1 -ez o, si x f:. O; altrament. 63.-Definim h(x) =sin¼ pera tot x-:/- O. Demostreu que no importa com la definim en zero perque sempre sera discontínua. 64.-Fent servir que I sin xi � lxl per a tot x E lR, demostreu que la funció y = sin x és contínua en zero. Tenint en compte ara que . • . . 1( ) 1( ) sm x -sm u = sm 2 x -u cos 2 x -u , demostreu que és contínua en tot R. 15 65.-Direm que una fu11ció és aditiva ssi cumpleix f(x +y)= f(x) + f(y) per a qualssevol x, y E IR. Demostreu que uua funció aditiva que és contínua en zero ho és en tots els reals. 66.-Sigui g una funció real de variable real que compleix g(x +y)= g(x)g(y) pee a tots x, y E R. Demostreu que si és coutínua en el zero ho sera també en tots els al tres punts. Demostreu també que si existeix un nombre real a tal que g(a) = O llavors g(x) =Oper a tot x E IR. 67 .-Tracen les grafiques i trobeu cls punts <le discontinui'tat de les funcions: f(x) = [x]¡ f(x) = x -[x]¡ f(x) = [x] -[-xJ; f(x) = [2sin xJ; J(x) = sin ½[xJ; on [x] indica la part entera del nombre x, és adir, el nombre enter immediatament més petit o igual que x. 68.-Sigui / una funció contínua de [O, 2rr] a IR tal que /(O) = f(2rr ). Demostreu que existeix un nombre e E [0,21r] tal que f(c) = f(c + 1r) (indicació: consideren la funció g(x) = J(x) -f(x -1r)). 69.-Siguin / i g dues funcions contínues en [a, bJ tals que im(f) C im(g) = [O, lj. De mostreu que existeix e E [a, b] tal que f(c) = g(c). 70.-Sigui f(x) = ½(x+�) una funció definida en [l, +oo ). Demostreu que és una contracció en el seu domini de definició i que té per punt fix x = ./2. 71.-Demostreu que si una funció és contínua també ho ha de ser el seu valor absolut, i doneu un exemple que iHustri que no és cert el recírpoc. 16 72.-Doneu un exemple de dues funcions discontínues en el punt x = -3 tals que la seva suma sigui continua a tot arreu. 73,-Considereu les funcions següents: J(x) = { x, -x + 1, si x > O¡ si x $ O; g(x) = { 1, si x > l; -10, si X$ l. Estudieu la continui'tat de g o f en el punt O. Contra.diu aixo el resultat teoric sobre continu'itat i composició? 74.-Sigui f(x) una funció tal que 1/(x)I :S lxl pera tot x real. Demostreu que f(x) és contínua en zero. 75.-Trobeu els valors A, B i C a fique les funcions següents siguin contínues: /(x) = { x2 -4 X -2' A, si X 'F 2¡ si X= 2; g(x) ={ (l+x)"-1 �----, si x ::f:. O; X B, si x = O; { x5 + 3x2 + x h(x) =x2 + 1 'si x ::f:. O; SÍ X= 0. e, 76.-Digueu pera quins valors de a és contínua la funció {X+ 1, f(x) =2 2 3-a X, SÍ X $ l¡ si X > 1. 77 .-Busqueu i classifiqueu els punts de discontinuitat de les funcions següents: 17 :i:-3 f(x)= :r2-.r-G' h(x) -{ 1, 2, .i-"2 -3:r + 2 g(x) = i·3 +:1:z:2 +2:r; si x < l; si J' = l¡ 2x, si X> 1. 78.-Demostreu que la funció f(x) = x3 + x -1 té una arrel real en l'interval (-1, 1). 79.-Sigui f : [O, 1] --+ lR una funció contínua tal que f (O) = f(l ). Demostreu que existeix un x E [O, 1] tal que /(x) = f(x + ½). 80.-Estudieu la contintÜtat de les funcions següents en el punt O: .1. er a) f(x) = -- .1.; 5+er b)f(x)=sin(¼)+x. 81.-Trobeu quant ha de valer la funció següent en el punt 2 per tal que sigui contínua en tot R: 'l f(x)=4x -7:r-2 3x -G si X 'f' 2. 82.-Demostreu que si f: [O, l] --+ [O, 1] és una funció contínua, llavors existeix un x E lR ta.1 que /(x) = x (aquest punt s'anomena punt fix). 83.-Considereu la funció f(x) = x3 -3x2 + 3x - 1 definida a l'interval [O, 3]. Demostreu que hi ha algún element d'aquest interval que té per imatge el zero. 84.-Demostreu que l'equació sin x = x - 1 té una solució real. 86.-Demostreu que tot nombre real a té una arrel quadrada (indicació: considereu la funció g(x) = x2 -a). 18 86.-Considereu le. funció /{x) = x3 -2x2 + 3 definida a l'interval [-1, 2]. Demostreu que existeix algun element que va a parar al 2. 87.-Considereu la funció /(x) = -1-•. 1 - , a) Calculeu-ne el domini i la imaLge. b) Si g(x) = lnx, trobeu el dominí de gof. e) És possible aplicar el teorema de Bolzano a la funció y= f(x) en l'interval [-1, l)?. d) Demostreu que l'equació f(x)- ½=O té solució, i trobeu un interval de longitud menor oigual a ½ que la contingui. 19 Derivabilitat 88.-Sigui { x2 si x E Q¡ f(x) = ' 0, si X� IQ. Demostreu que és derivable en }'origen. 89.-Suposem que /(a) = g(a) i que la derivada per }'esquerra de f en a és igual a la derivada per la dreta de g en a. Definim h(x) = { f(x), g(x), Demostreu que h és derivable en a. si x � a; si x 2: a. 90.-a) Siguin o> 1 i J tal que 1/(x)I � lxlº, Demostreu que/ és derivable en zero. b) Sigui O< /J < l. Demostreu que si f satisfa 1/(x)I 2: lxlP i f(O) = O llavors f no és derivable en zero. 91.-Sigui J(x) la fundó definida per f(x) =' { x2 ax+ b, si X� 2¡ si X> 2. Determineu els valors de les constrants a i b per tal que la fundó sigui derivable en el punt X= 2. 92.-Demostreu que si y= f(x) és derivable en el punt x = a llavors també ho és la funció y= lf(x)I, sempre que J(a) i-O. Doneu un contraexemple peral cas de J(a) = O. 20 93.-Suposeu que f ( x) = x • g( x) per alguna funció g contínua en O. Demostreu que f és derivable en zero i trobeu f'(O) en termes de g. 94.-Trobeu f' en termes de g' en els casos següents: a) f(x) = g(x + g(a)); e) f(x) = g(x + g(x)); e) f(x) = g(a) • (x -a). b) f(x) = g(x • g(a)); d) f(x) = g(x) • (x -a); 95.-Calculeu les deriva<les de les funcions següents: x2 -1 a) y =In--· x2 +l' e) y= arctan .Jxf+l; lnz e)y=x"' ; b) y= sin(lnx)¡ d) y= arcsin *¡ f)Y= e•in((2r)i)_ 96.-Busqueu una funció polinomica de grau tan petit com sigui possible tal que compleixi que f(x¡) = a1, f(x2) = a2, f'(xi) = b1, f'(x2) = b2; on a1, a2, b1, b2, X1, i x2 són sis nombres reals qualsevol i x 1 -/- J:2. 97.-Demostreu que sigui quin sigui el valor de m, la funció polinomica fm(x) = x3-3x+m mai no pot tenir dues arrels en [O, l]. 98.-Suposeu que f és contínua i derivable en [O, lJ, que f(x) esta en [O, lj per a tot x, i que f' ( x) :f. 1 per a tot x de [O, 1]. Demostreu que existeix exactament un número x en [O, l] tal que f(x) = x. 99.-Demostreu que si f i g són contínues en [a,b] i derivables en (a,b) i g'(x) :f. Oper a 21 tot x de (a, b), llavors existeix algun x de (a, b) ami, J'(x) J(x) - J(a) 9'(x) = 9(b) -9(x) • 1OO.-Suposeu que f és derivable en la, b]. Demostreu que si el mínim de f sobre la, b] esta en a llavors J'(a) 2:: O i que si esta en b llavors J'(b) $ O. 101.-Siguin f1, h, 91 i 92 quatre funcions derivables a l'interval (a, b). Mitjarn;ant el determinant següent, definim en (a, b) una nova funció F: fi(x) h(x) F(x) = Proveu que F'(x) existeix per a tot x E (a, b) i que J)(x) n(x) /i(x) h(x) F'(x) = + 102.-Sigui f una funció derivable de IR en IR amb inflJ' ( x) 1 > O. Demostreu que si ( ª" )neN és una successió tal que (f(an))neN és convergent, llavors també ho és (an)nEN· 103.-Sigui f una funció derivable de IR en IR tal que lim xf'(x) = O. Proveu que r-oo lim (f(3x + 2) -f(x)) = O. Z--+00 104,-Demostreu que tota funció J definida en un cert interval la, b] i derivable en (a, b) que compleixi per a una certa constant m > 1 és una funció constant. 22 Previament localitzeu les arrels aplicant el teorema de Bolzano i afineu-les a través del metode de la bisecció. 134.-Demostreu que d'entrada no podem assegurar la convergencia del procés iteratiu Xn+I = ..!:_, n fí de solucionar l1cquació: xm = a. Tot seguit veieu que sí esta assegurada 3,m 11 la convergencifL si preucm la successió recurrent següenL: 1 a Xn+I = -l(m - l)xn + ----;;.::-¡-]. n .1; 11 Calculeu-ne també l'ordre de convergencia. 135,-Demostreu que x,.+1 = Xn(2 -ax,.) defineix un procés iteratiu d'ordre de con vergencia igual a 2 i serveix per a calcular a-1. x3 + 3ax 136.-Demostreu que la funció g(x) = ---- defineix un procés iteratiu d'ordre 3 per 3x1 + 1 a calcular ,/a. 137.-L'equació x3 + 2x -2 = O pot escriure's com: a) x = 1 - 0.5x3; b) x=2(x2 +2)-1; c) x = (2 -2x) ½. Estudieu quines d'aquestes expresions donen lloc a metodes convergents. 29 Integració 138.- a) Considerem el conjunt format per tots els nombres racionals <le l'interval [a, b]: formen una partició? b) Doneu dues particions de l'interval 1-n,n] que no siguin comparables. e) Donat un l'interval la, bJ construi"u una partició que ens el divideixi en n subintervals de la mateixa longitud. 139.-Sigui J: la,bJ --t Runa funció fita<la, i P = {xo,X¡ ... xn} una partició de la,bJ. Definim la suma de Riemann de la funció f associada a la partició P com n-1 S(P,J) = L f(tk)(xk+1 -xk) k=O on ti. és un element qualsevol de l'interval [xk,Xk+dDemostreu que qualsevol suma de Riemann associa<la a la partició P esta compresa entre la suma superior i la suma inferior. Quina condició s'ha de complir a fique les sumes superior i inferior siguin també sumes de Riemann? 140.-Sigui f : (a, b] --t lR una funció fitada tal que Vx E (a, b] f(x) � O, <lemostreu que L(f) � O. 141.-Demostreu que si P, és una partició que compleix que U(P., f) -L(P., /) � E on E és una constant positiva, llavors hi ha infinites particions complint la mateixa condició. 30 142.-Sigui f: [-a, aj --+ IR on a > O una fundó integrable. Demostreu que: a) si f és una fundó parell, r f(x)dx = 2 r f(x)dx; }_ª Jo b) si J és una funció senar, 1-: f(x)dx = O. 143.-Siguin I = [a, bJ un interval real i f : J --+ lR una fuució creixent en l. Si Pn és la partició de I que ens determinan subintervals de la mateixa longitud, demostreu que: b-a os U(Pn, f) -L(Pn, f) s -(f(b) -f(a}). 11 144.-Sigui y= f(x) una funció contínua en [a,bJ, que compleix que J: f(x) = O i no negativa. Demostreu que no hi ha cap subinterval de l'interval [a, bj on la fundó és diferent de zero. 145.-Proveu que y = [xi és una fundó integrable en [O, 5) i calculeu el valor de la integral. 146.-Decidiu si les funcions següents son o no integrables en l'interval [O, 2]: a)f(x)= b) f(x)= x+[x]. { 1, o, si x = a+bv'3 on a, b E Q altrament. 147.-Siguin f: lR--+ lR una fundó continua i o> O un nombre real, definim \/x E IR una funció g : lR--+ lR mitjan1,ant r+°' g(x) = lz-o, J(t)dt demostreu que g( x) és derivable i calculeu el valor de la seva derivada. 31 148.-Siguin I = [O, 1] i f: I ---t IR una funció continua, suposem que Vx E J 1r f(t)dt = ¡1 f(t)dt demostreu que f(x) = O Vx E J. 149.-Siguin I = [a, b] un interval qualsevol de IR i f, g dues funcions continues definides en l'interval anterior a valors reals, complint que Demostreu que existeix e E [a,b] tal que f(c) = g(c). 15O.-Utilitzant el teorema fonamental del calcul, calculeu les derivades de les funcions: .,2 a) F(x) = 1 (sint2)ln(l +t2)dt; b) G(x) = 1sin 2r cos(ln(2t2))dt. llH.-Comproveu que no hi ha cap nombre real x0 O< x0 < 21r, que compleixi que ¡2ff ¡2ff lo xsinxdx = x0 lo sinxdx És aixo una contradicció amb el teorema de valor mitja de la integral? {"'2 152.-Trobeu una funció f(x) definida en [O, +oo] tal que lo (1 + t)f(t) dt = 6x4• 153.-Calculeu les integrals immediates següents: a)/(7)2dx; b)/ x/:1dx; / arcsinx d ¡ e) 1 _ x2 x;d) x./x dx; e) /- 1-d:r; xlnx g) /-- 1-dx 1 -16x2 f)/ x52r2 dx; 154.-Trobeu el valor de les integrals següents utilitzant el teorema del canvi de variables: a)/ x(5x2 -7)1028 dx; b) / l; er d.c; e) / x-1/2 cot( vx) dx;<l) J Jx �113 d:r¡ Jer . e) �dx; v4 -e2r 155.-Calculeu per parts: a)/ lnxdx; e)/ xln( 1 -x) dx; I+x e) J arcsinx dx; f) /COS X cfa:. J1 + sin2 .r b) J e2rsinxdx; d)/ 17x dx; f) J xsin2x dx. 156.-Calculeu les integrals racionals següents: J2x + 3 a) 1 d:r; :¡; -51·+6 e)f-1-dx· 1x3 ' J 3:r2 + 1 e) (x2 -1)3 d:r¡ b)¡ 3x2 + 5x + 2 dx· (x -1)3 ' d) / (x + 1)2�x2 + 1) dx; f)J x" � 1 dx. 157.-Calculeu les integrals trigonometriques següents: a) / tan4 x dx; J sin2 x e) ---dx; l -ta.n X 33 b) J sin2 xcos6xdx; d)¡ sin_x dx; 1-sinx / cos3J: e) .d:1'; 9 + siu2 3x f) / sin2 J: cos4 J: dx. 158.-Calculeu les integrals irracionals següents: )!Jx2+1d. a x, !11*'.+2 d e x· ) 3·3 + :r2 1 e dx· /1 ) J4x2 -1 ' J ·c2 b) • clx· �· d)/ 3x -6 dx· Jx2 -4x +5 f) / j x dx. 3- ,fo 159.-Trobeu !'a.rea determinada per la intersecció de les circumferencies de centre (O, O) i radi 1 i de centre ( 1, O) i també ra<li 1. 160.-Trobeu l'area determinada per la parabola y = x2 + 7 i la recta y= 10. 161.-Trobeu !'a.rea que determina la intersecció de la circumferencia x2 +y2 = 25 i l'el.lipse 1 3x2 + -y2 = l. 5 162.-Trobeu el volum general per la rotació de: a) la regió del primer quadrant limitada per la para.bola y2 = 8x i la recta x= 2 respecte l'eix d'absices. b)la regió limitada per la parabola y2 = 8x i la recta x= 2 respecte l'eix d'ordenades. c)la regió limitada per la parabola y2 = 8x i la recta x= 2 al voltant de la recta x =2. 2 2 163.-Trobeu el volum de l'el.lipsoide generat per la rotació de l'el.lipse :2 + �2= 1 al voltant de l'eix de les x. Interpolació. Integració aproximada 169.-Calculeu a partir del metode de Lagrange el polinomi que interpola la funció y= e" en el punts -1, -0.75, -0.5, -0.25, O. Doneu una fita de l'error comes. Repetiu el mateix procés d'abans pero ara interpolant la funció y = cos( f ), prenent com a valors d'interpolació O, i, 2 3 7'{, 11', evalueu-lo em el punt x• = 0.97241. 170.-Trobeu un polinomi que passi pels punts A= (O, -1), B= (1, -1) i C= (2, 1) i que tingui en A pendeut 1, en B penclent 2 i en C pendent 5. 171.-Describiu de forma matricial el metode d'interpolació de Lagrange. 172.-Calculeu el diagrama de les diferencies dividides de Newton deis punts (i, 2i; 1) iE 1, 2, 3, 4, 5. 173.-Calculeu f(3) per interpolació quadre.tica dels punts (1, O), (2, 2), ( 4, 12). Feu el mateix utilitzant ara els punts (2, 2), ( 4, 12), (5, 21). 174.-lnterpolant pe! metode de Newton trobeu el valor de v'(e). Les absices d'interpolació a utilitzar son O.O, 0.2, 0.4, 0.6. Doneu una fita de !'error comes. 175.-Trobeu el polinomi interpolador de grau 3 de la funció f(x) = e"2 en l'interval ¡o, 1] prenent absices equidistants. Feu el mateix d'abans pero ara fent interpole.ció de grau quatre de la funció y= sin(x) en l'interval ¡o, f ]. .,,. 176.-Calculeu d forma aproximada utilitzant el meto<le del rectangle les integrals: fu2(l + x◄) ½ dx J; si:�· ) dx r :!. 1 r1 2 Jo2 • ( )dx Jo cos(x )dx l + Slll :r 177,-Demostreu que T2n(/) = ½[Mn(/) + Tn(/}], on M i representen respectivament les integrals aproximades de la funció / pe! metode del punt mitja i el metodedel rectangle iels subíndex indiquen el nombre de subintervals utilitzats. 178.-Demostreu que S2n = ½[2Mn(f) + T,.(/)1, ou M i T representen el mateix d'abans i S representa la integral aproximada calculada pe! metode de Simpson. 179.-Calculeu les integrals següents pe! metode deis Trapecis (partint previament l'interval en dos i aplicant el metode en cada un deis subintervals) i per el metode de Simpson. Compareu els resultats. Calculeu també directament les integrals i comproveu !'error comes amb el previst per les cotes d'error. J/ sin(x)dx r2 -:r:d Jo e x f/ ln(x)dx r1.6 1 d Jo Jl + X X 180.-Demostreu que I:ono:::?=o(X¡ -xo))dx = O sin és parell i els X¡ estan equiespaiats. 37 Successions i series de funcions 181.-Estudieu el domini de convergencia i trobeu la funció límit de les successions de funcions següents: a) fn(x) = x<2n 1 -lJ j e) fn(x) = sin(nx)¡ x" e) f (x) = --· n 1 + x"' 1x" b) fn(x) = - 1-; -X nx d) f,.(x) =1+n2x2 í 182.-Demostreu que la successió de funcions de l'apartat a de l'exercici anterior, no con vergeix uniformement en l'interval (O, 1) i que si ho fa en qualsevol interval [a, bj amb O< a< b. 183.-Demostreu que la successió de funcions de l'apartat b de l'exercici anterior no con vergeix unfiormement en l'interval (-1, 1) i si que ho fa en [-a, a] amb O< a< l. 2 184.-Donada la successió de funcions fn(x) = ( ; x 2, demostreu que: X +n a) convergeix puntualment a tot IR i trobeu la funció límit. b) no convergeix unifonnement a tot R. e) f 0 " f(x)dx = lim f" f ,.(x)dx. n-+oo Ío 185.-Donada la successió de funcions: fn(x) = (1 + n2x)lnn demostreu que: