Contribució a l'estudi dels morfismes entre operadors d'indistingibilitat. Aplicació al raonament aproximat

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA Programa de doctorat de Matemàtica Aplicada CONTRIBUCIÓ A L’ESTUDI DELS MORFISMES ENTRE OPERADORS D’INDISTINGIBILITAT. APLICACIÓ AL RAONAMENT APROXIMAT. Autor: Dionís Boixader Ibáñez Director: Joan Jacas Moral SEGONA PART OPERADORS D'INDISTINGIBILITAT I RAONAMENT APROXIMAT Capítol 4. Inferencia com a Raonament Aproximat en Lògica Difusa. Sumari: S'introdueix el coneixement basat en regles en Lògica Difusa, i la Regla Composicional d'Inferència (CRI) com a mecanisme d'inferència. A continuació, es quantifica la semblança entre fets vagues mitjançant la T-indistingibilitat natural avaluada sobre les seves funcions característiques, i es mostra així que totes les formes de CRI satisfan el principi general de deduir tesis semblants d'hipòtesis semblants. A partir d'aquí s'inverteix el procés, i es busca quins són els mecanismes de deducció òptims respecte a aquest principi, obtenint com a resultat l'Operador Natural d'Inferència. Problemes del mateix estil tenen com a solució altres operadors (l'Operador Natural Simetritzat, i altres). Finalment, el capítol s'acaba amb la revisió de dos models de deducció en Lògica Difusa que condueixen de forma independent a l'Operador Natural d'Inferència. Aportacions d'aquesta memòria: - CRI és operador extensional per qualsevol relació emprada (Teoremes 4.2.7 i 4.2.8). - L'extensió de funcions és operador extensional (Teorema 4.2.10). 95 96 Capítol 4 - Definició de l'Operador Natural d'Inferència (Definició 4.3.1). - Caracterització de l'Operador Natural d'Inferència com a òptim respecte l'extensionalitat i l'ordre puntual (Teorema 4.3.2). - Definició d'altres operadors (Operador Natural Simetritzat,...) i la seva caracterització com a solució de problemes d'optimalitat respecte a l'extensionalitat (Teoremes 4.3.11, 4.3.15 i 4.3.16). Inferencia com a Raonament Aproximat en Lògica Difusa 97 4.1 Coneixement basat en regles i CRI Llegim en [Dubois & Prade, 97] que "les regles si/llavors (if/then rules) ofereixen un format adequat per expressar fragments de coneixement". De fet, quan un home parla d'un sistema exterior amb l'ànim de descriure'l, ho fa a través de tres estadis: 1) Selecciona un conjunt de variables que apareixen ben diferenciades a l'enteniment. Moltes vegades, es tracta de variables assequibles als sentits d'una forma immediata (sensacions), o bé de determinacions més precises d'aquestes variables a través de sistemes de mesura. D'altres vegades són entitats abstractes creades pel propi enteniment humà, de les quals es té la certesa que apareixen sota la mateixa forma i estructura en cada home (entitats a priori en el llenguatge kantià [Kant, 89]). Tant per les unes com per les altres, perquè hi pugui haver coneixement o descripció efectiva del sistema, s'ha de disposar, a més, d'un sistema de contrastar-les en forma de fets. Així, una sensació pot aparèixer o no fer-ho, una mesura pot prendre un cert valor o rang de valors, o una successió d'experiències en la vida d'una persona satisfà alguna ordenació cronològica determinada. 2) Estableix relacions entre els fets en forma de regles si/llavors. Una regla lligà dos fets A i B establint que "si (Fet A) llavors (Fet J3)", o simplement, "si A llavors J3". 3) Finalment, prova d'organitzar les regles en forma de teoria. L'objectiu final és obtenir un conjunt reduït de regles a partir de les quals es puguin deduir, per raonament, totes les altres regles, i es pugui respondre a qualsevol pregunta formulada sobre el sistema descrit. Però si algunes -potser totesde les variables seleccionades són de naturalesa gradual (per exemple, escalfor, altura, quantitat,...), a falta de determinacions més precises, l'enteniment humà les contrasta en forma de fets també graduals i implícitament vagues. Així, si la variable és la temperatura, podem contrastar-la a través d'una sensació tèrmica per contacte, i els fets que se'n deriven són del tipus "ser calent", "ser fred", "ser molt calent",... En el context de la Lògica Difusa, aquestes reben el nom de variables lingüístiques, els fets associats es refereixen per expressions del tipus "X és A", on A és un possible estat de la variable X, que es representa per un subconjunt difús HA de l'univers de discurs on X pren valors [Zadeh, 77]. 98 Capítol 4 Si aquests fets vagues es relacionen mitjançant regles, s'obtenen les regles si/llavors difuses, que s'escriuen "si (X és A) llavors (Y és J3)". Per simplicitat, ens referirem també a aquestes regles com "si A llavors B" en la resta d'aquesta memòria. Les regles difuses, encara que àmpliament utilitzades en el llenguatge humà, no tenen un significat clar unívocament determinat, i des que L.A. Zadeh va posar de manifest la seva importància en el camp de l'Automàtica i el Control, s'ha publicat gran quantitat de treballs d'investigació que en donen interpretacions molt diverses. (Veure [Godo, et al., 97], [Dubois & Prade, 97], per un recull d'aquestes interpretacions). Un tret comú a totes elles és que atribueixen a aquest tipus de regles propietats d'interpolació del coneixement. Pel fet de ser vaga, una regla pot ser aplicada amb més o menys propietat a situacions diverses i, per tant, ha de permetre la interpolació projectant la informació a situacions per a les quals, en sentit estricte, la regla no ha estat inicialment formulada. La formalització més acceptada de com efectuar aquesta interpolació i, en general, de com actuen aquestes regles la proporciona la Regla Composicional d'Inferència (CRI). La Regla Composicional d'Inferència estén una regla difusa "si A llavors B" (on A i B són subconjunts difusos definits sobre dos universos de discurs diferents, U i V respectivament), a hipòtesis A' ("X és A'") diferents de A, i ho fa segons el següent esquema: si A llavors 5 A,A'e(Q,l]u si A1 B, B1 e [O,1}V llavors B' on B'(v) =CRI(A')(í>) = SUP«€i, T(A'(u), RAB(U,V)), per tot ü e V. On T és una t-norma, i RAB '• U x V — >• [0, 1] una relació difusa, que han anat variant depenent de l'època i l'autor [Dubois & Prade, 91] des que L.A. Zadeh va introduir GRI per primera vegada [Zadeh, 73]. En totes les versions, però, T fa el paper de conjunció, mentre que RAB representa la relació de dependència entre els universos U i V que indueix la regla "si A llavors B" . Encara que CRI ha estat àmpliament utilitzada, no existeix una base teòrica que inclogui, d'una manera clara, totes les possibles relacions RAB <lue ac~ tualment es fan servir en diferents contextos d'aplicació. Els intents de fonamentar CRI es poden agrupar segons dues línies d'explicació: inferència com a Raonament Aproximat en Lògica Difusa 99 1) Interpretació de CRI com a Modus Ponens Generalitzat. Podem veure reflectit en l'esquema de CRI el Modus Ponens clàssic (i.e. de A, i A =$• B, es dedueix B), si l'interpretem semànticament per A A (A =*• B), i considerem connectives multivaluades en [0,1]: una t-norma T per la conjunció A i una funció d'implicació R per la implicació =*-. Aquesta interpretació porta [IVillas &; Valverde, 85b] a definir R(u, v) = T (A(u)\B(v)), (la implicació residuada associada a la t-norma T), resultant-ne algunes millores sobre altres tipus de relacions. Una variant d'aquest punt de vista, que consisteix en incorporar valors de veritat difusos, es troba en [Baldwin, 79] i [Godo et al., 91]. A aquesta línia es poden interposar, almenys, dues objeccions. Des del punt de vista teòric, interpreta a "i" del Modus Ponens com a element del llenguatge a l'introduir la connecti va A (T) per modeli tzar a nivell semàntic "de A i A =3B es dedueix B", quan clarament aquesta conjunció (i tota la regla del Modus Ponens) forma part del Metallenguatge. I des del punt de vista de les aplicacions, deixa fora moltes relacions que, havent estat àmpliament utilitzades amb èxit, són difícilment interpretables com a relacions d'implicació (el cas paradigmàtic és, sense cap dubte, la de Mamdani RAB(U,V) = MIN{A(u),B(v)}). 2) Interpretació de CRI com a raonament basat en proximitat (Raonament Aproximat) en context difús. Es basen en el fet que les tesis B' obtingudes per CRI (i.e. B' =CRI(.A')) no canvien caòticament depenent de les hipòtesis A' sinó que, a hipòtesis "semblants" corresponen tesis "semblants". El problema principal està en formalitzar el significat del terme semblants. "- A la literatura hi ha moltes aproximacions diferents al tema. Per exemple, les "Resemblance Relations" en [Bouchon, Meunier & Valverde, 93], la interpretació d'algunes tècniques de Fuzzy Control en termes de similituds en [Klawoon & Kruse, 93], generalitzacions de CRI al camp dels intervals [IHirksen & Zhang, 90] i, fins i tot, la proposta de nous formalismes força diferents de CRI, que es basen en la idea d'interpolació difusa [Kóczy & Hirota, 93]. Els treballs exposats en aquesta memòria s'inclouen en aquesta segona línia d'explicacions, prenent com a mesura de la semblança entre dos'subconjunts difusos la T-indistingibilitat natural, introduïda al Capítol 3 (Definició 3.2.7). 100 Capítol 4 4.2 Operadors d'inferència extensionals En la secció anterior s'ha vist que la Regla Composicional d'Inferència es pot interpretar com a Modus Ponens (generalitzat) en el marc de la Lògica Difusa. Aquest punt de vista es basa en la consideració dels valors de veritat que ¡ÍA (la funció característica del difús A), pren sobre els elements de l'univers de discurs, i en el seu tractament funcional a través de les connectives conjunció i implicació material de la lògica multivaluada. Com seria, però, el Modus Ponens generalitzat en el marc d'un Raonament Aproximat basat exclusivament en la noció de proximitat? Una possible resposta la proporciona el següent esquema: "si (Fet A) llavors (Fet B)" "(Fet A') aproximadament igual a (Fet A)" : „ (4.2.1.) "(Fet B') aproximadament igual a (Fet B)". Aquest esquema presenta dos trets remarcables. En primer lloc l'expressió "aproximadament igual" és intencionadament equívoca, i, a aquest nivell, només té un sentit intuïtiu. Caldrà especificar, en cada domini d'aplicació, que s'entén per "aproximadament igual". En segon lloc, aquest esquema només estableix una condició sobre les possibles tesis B1', (això és: que siguin aproximadament iguals a JB, la tesi de la regla), en comptes de seleccionar una B' en particular tal i com ho fa CRI o el Modus Ponens clàssic. Així doncs, aquest Modus Ponens que es proposa pel Raonament Aproximat no és en si mateix un mecanisme d'inferència, sinó una condició que han de satisfer els mecanismes d'inferència. En general, com a mecanismes d'inferència considerarem aplicacions amb domini en l'espai de les possibles hipòtesis, i imatge en l'espai de les possibles tesis a derivar. En la resta d'aquest apartat es donarà forma concreta a les anteriors consideracions quan els fets considerats venen descrits per conjunts difusos, i el grau amb que dos fets són aproximadament iguals es quantifica mitjançant la T-indistingibilitat natural. Inferència com a Raonament Aproximat en Lògica Difusa 101 Definició 4.2.2. Un operador entre els universos U i V és una aplicació C: [0,1]*-* [0,1]". A partir de la definició 4.2.2 introduïm el concepte d'operador extensional. Definició 4.2.3. Un operador C : [O, l]u —» [O, l]v és extensional respecte a la t-norma T, o T-extensional, si és una aplicació extensional respecte a frt rrt EV Í Ey. Si no hi ha ambigüitat, parlarem simplement d'operadors extensionals, sense cap referència a la t-norma T. Notació: OET - {C : [O, l]u —»• [O, l]v / C és operador T-extensional}. NOTA. Recordem que la condició mínima que s'ha d'exigir a la t-norma "^~~T T per assegurar que ET i Ev són T-indistingibilitats és la continuïtat per l'esquerra respecte les dues variables per separat, (breument, T contínua per l'esquerra). En la resta d'aquest capítol, (i de tota la memòria) suposem que aquesta condició es dóna, si no s'especifica el contrari. Els operadors extensionals són compatibles amb l'esquema 4.2.1 si interpretem l'expressió "aproximadament igual" per "indistingibilitat natural més gran o igual que". D'aquesta manera, per cada a 6 [0,1] obtenim: "si A llavors B" (4.2.4.) Proposició 4.2.5. Per un operador C : [O, l]v —» [O, l]v són equivalents: a) C és extensional. b) Per tot a e [0,1], les tesis obtingudes a través de C (i.e. B = C (A), B' = C(A'),...) són compatibles amb l'esquema 4.1.4. Demostració, (a) =$• (b) és trivial. 108 Capítol 4 En primer lloc es tracta el problema dintre de la classe dels Definició 4.3.1. L'Operador Natural d'Inferència associat a la regla "si A llavors B" , i a la t-norma T, serà: A' on B'(v) = T lNFuet/ f (A'(u)\A(u)) eTAB(A') Figura 4.1. Operador Natural d'Inferència El següent teorema estableix de quina manera l'Operador Natural d'Inferència és l'òptim dintre de la classe dels OI ETTeorema 4.3.2. (a) CAB és operador d'inferència. (b) Per tot A1 e [O.l]17, B <v CTAB(A'). A més, si A' <v A llavors CAB(A') = B. (c) CAB interpola la regla "si A llavors B". inferència com a Raonament Aproximat en Lògica Difusa 109 -~T (d) CAB és operador T-extensional. ~"X (e) CAB és l'operador més gran respecte <v (i.e. menys específic) satisfent (a), (b), (c) i (d). Demostració. (a) Es conseqüència immediata de la monotonia de T i del INF. (b) Per qualssevol o;, y € [0,1], T(x\y) > y Per tant, donat A' € [O, l]ü, per tot v e V es té: CTAB(A')(v) = f (lWf(A'(u}\A(u))B(v)} > B(v). \tíéU J D'altra banda, si x < y llavors T(x\y) = 1. Així, si A' <u A, resulta CTAB(A')(v) = f (iNF^f (A'(ti)M<ti)) |B(t;)) = f(l¡B(v}) = B(v), per tot v £V. (c) Segueix immediatament de (b). (d) Donat A' i A" € [0,1}U, considerem B1 - CTAB(A'} i B" = CTAB(A"}. S'ha de provar que E%(A',An) < £%(B't B"). Per cada v E V, es té: T(B» | B»j«)) = l'(w) j A(u)) \B(v)\ T f INF f (A"(u}\A(u)) \B(v) J \ uÇ.U / \ / gf ^INFf (A»(u)\A(u)) WFT(A'(u)\A(u))} = imf(A»(r)\A(r}) f(A-(fi) \A(u)} \f(A'(u) \A(u)}) (,*») «€t/ \ / I > INFT(A'(u)\A(u)) > (****) ti6Ü > INFMlN{T(A'(u)\A"(u)},T(An(u)\A'(u))} u€U = IW u€t/ 110 Capítol 4 on les igualtats i desigualtats segueixen dels següents fets: (*) i (****) són conseqüència del lema de simplificació 1.2.17. (**) T(x\y} és monòtona creixent i contínua per la dreta respecte la variable y- (***) T(x\y) és monòtona decreixent respecte la variable x. De forma semblant s'obtindria que f (B" (v) \B'(v)) > 1<%(A',A") i, de les dues, ET(B'(vlB»(v}} = MlN{T(B'(v) \ B" (v)), f (B" (v) \ B'(v))} > E^A'.A"). Finalment, donada l'arbitrarietat de v € V, ETV(B',B») = WFET(B'(v),B»(v)) > El(A',A»). (e) Sigui T> : [O, l]u —+ [0, 1}V un operador satisfent (a), (b), (c) i (d). T Donat A' € (O, l]u, volem veure que T>(A') <v CAB(A'). Considerem A" = SUP<u(A,A'), (i.e. A" (u) = SVP{A(u),A'(u)} per tot u € U). Òbviament A <v A" i, per tant, !<%(£', A) = lNFueU ET(A"(u),A(u)) = Com que "D satisfà (b), (c) i (d), se segueix: lWf(D(A")(v)\B(v)) = INFMIN{Í ÇD(A')(v)\B(v)),f(B(v)\'D(A»)(v)} (b) «e v W (d) = INFT(A»(u)\A(u)). Per tant, per cada v 6 V, TÇD(An)(v)\B(v)) > lNFu€Uf(An(u) \ A(u)) i, com a conseqüència del lema 1.2.23, V(A"}(v) < sup{a€lO,l]/T(a|J3(t;))>INFT(-A'>(M)|A(«)} = = f (lWf(A»(u)\A(u)}\B(v^ inferència com a fiaonamení Aproximat en Lògica Difusa 111 "} <v CTAB(A"}. -•-T Però com que A" = A V A', i CAB és operador d'inferència, es té W i, d'altra banda, com que £> satisfà (a) i A' <v A" es té T>(A') <v T>(A"), resultant finalment V(A') <v T>(A" ) < v C\B (A" ) = CTAB (A1). M Una conseqüència immediata dels teoremes 4,3.2 i 4.2.7 és que si interpola la regla "si A llavors B" (per exemple si RAB — T(A(u)\B(v))), —'T* llavors CRI^B <v CAB- ^e ^» e^ ^ema 1-2.21 estableix que, a nivell de l'interval [0,1] es té la desigualtat f (f(x\y)\z\ > T(xtf(y\z)), i que no val, —/P en general, la igualtat. Per tant, la igualtat tampoc valdrà si considerem CAB entre subconjunts difusos. Exemple 4.3.3. Considerem U = {uo,Ui,u2,u3}, V = A = (0,0'25,1,0), A1 = (0,0'5,1,0) i B = (0'5,0'3,1). Les tesis B' que s'obtenen són: > T-producte >T = L B' = CRiïB(A'} = (0'5, 0'5, Ja s'ha vist a la secció anterior que CRI|^B, quan RAB = T(A(u)\B(v)} s'obté d'estendre als difusos de [O, I]17 i [0,l]v el model T(x,T(y\z)) de l'interval unitat, i que això es fa via suprems ( CRITRAB(A'))(v) = SUP^T (¿'(u), f (A(u)\B(v)))y. En canvi, si el model a estendre als difusos és T (T(x\y)\z], hi ha dues possibilitats: SUPuet/ T (r(A'(u)\A(u))\B(v)\ i 112 Capítol 4 f(lNFu£UT(A'(u)\A(u))\B(v}) Com que T(xjy) és monòtona decreixent i contínua per l'esquerra respecte la variable x, però no és (en general) contínua per la dreta, resulta que SVPf(f(A'(u)\A(u))\B(v)) < T(wFf(A'(u)\A(u))\B(v}\ = C\B(A'}. La igualtat, en general, no val. Exemple 4.3.4. Considerem T =MIN, U - {un}r.eN, V = {v}, B(v) € [0, 1] tal que B(v) < 1, A € [Q,l]u tal que AM I B(v), i A' € [0,1]" tal que A!(un} — 1, per tot n € N. Llavors S\JPf(f(A'(un)\A(un))\B(v)) = SVPf(T(l\A(un))\B(v)) = = SUPf(A(un)\B(v)) = n€N neN = f (INF A(un)\B(v}} = \n€N / Segons s'ha vist al Capítol 1 si la t-norma T és arquimediana no estricta, llavors T(x\y) és contínua per la dreta respecte de la primera variable £, i ambdós operadors coincideixen. Més en general, per una t-norma T contínua per l'esquerra, es té: Lema 4.3.5. Si existeix UQ E U tal que ÏNFu£UT(A'(u)\A(u)) = ), llavors SUPf (f (A'(u)\A(u))\B(v)} = T (imf(A'(u)\A(u)}\B(v)^ . Inferencia com a .Raonament Aproximat en Lògica Difusa 113 Demostració. SVPT(f(A'(u}\A(u))\B(v)) < < S\JPf(f(A'(u)\A(u))\B(v) Notació: CTAB = SUPU€UT (r(A'(u)\A(u}}\B(v)J. Lema 4.3.6. Per qualsevol t-norma T contínua, per l'esquerra, i per RAB = T(A(u}\B(v)} es té: Demostració. Es desprèn de les consideracions precedents. • A més, l'operador C^B presenta importants propietats estructurals. Teorema 4.3.7. (a) Cjg és operador d'inferència. (b) Per tot A' <E [O,!]", B <v CTAB(A'}. A més, si A' <v A llavors ClB(A'} = B. (c) CTAB interpola la regla "si A llavors B" . (d) CjB és operador T-extensional. Demostració. y ' ^ (a) Es conseqüència immediata de la monotonia de T i del SUP. (b) Per qualsevol x,y,z € [0,1] es té que T(T(x\y)\z) > z, (atès que T(T(x\y)\z) és monòtona creixent respecte x, i que T(T(0|y)|z) = z). 114 Capítol 4 Per tant, per tot v €. V es té: , i I CAB(A')(v) = SVPfCr(A'(u)\A(u))\B(v)) > SUP B (v) = B (v). \ D'altra banda, si x < y es té f(f(x\y)\z) = z, (perquè T(z|y) = 1). Així, si A' <u A, resulta CAB(A')(v) = SUP f (f(A'(u)\A(u))\B(v)} = SUPB(t;) = B(v), per tot v G V. (c) Segueix immediatament de (b). (d) Donats A1 i A" € [O, I]", considerem B1 = CAU (¿O i B" = S'ha de provar que T%j(A',A") < ~Ev(B', B"). Per cada v 6 V, es té: f(B'(v)\B"(v)) = T SVPT(f(A"(u)\A(u))\B(v)] = imf(T(T(A'(u}\A(u))\B(v)) > imf(T(f(A'(u)\A(u))B(v)) („) ueu \ \ / f(f(A"(u)\A(u))\B(v)}}> INFÍ > INF í1 (A'(u)\A"(u)) > (««»») tietf > INF MIN u€í/ U€Í/ on les igualtats i desigualtats segueixen dels següents fets: (*) T(x\y] és monòtona decreixent i contínua per l'esquerra respecte la variable x. (**) T(x\y) és monòtona creixent respecte la variable y. (***) i (****) són conseqüència del lema de simplificació (1.2.17). Inferència com a Haonamení Aproximat en Lògica Difusa 115 De forma semblant s'obtindria que f(B"(v)\B'(v)) > E^A'^A"), i, de les dues, ET(B'(V),B"(V)) = - > £T (A' A") Finalment, donada l'arbitarietat de v € V, ,££(B', B") = INF ET (B'(v\ B"(v)) > ËÎ(A', A"). • uev A continuació es resol el problema de determinar l'operador òptim respecte l'ordre puntual <v (i.e. menys específic), dintre de la classe dels operadors extensionals OEr (no necessàriament operadors d'inferència), que anomenarem operador natural simetritzat. ' Definició 4.3.8. L'Operador Natural Simetritzat associat a la regla "si A llavors B" i a la t-norma T, serà: A' H-» STAB(A')=B' on B'(v) = f (lNFuey ET(A'(U), A(u))\B(v)}. U B' ,c-";-\,,;s ( !,'-; V-^r',^;:-'-^?''"; ' ::,:. ' -' ^V!i:-aV:T.'V;'» \7 i - .-•:.-. i •••••. •-••••i . s .; V Figura 4.2. Operador Natural Simetritzat 116 Capítol 4 L'adjectiu "simetritzat" en la definició anterior fa referència al fet que la >P imatge d'un difús A' per SAB depèn només de la semblança entre A' i A, i no de l'ordenació puntual. En particular, l'Operador Natural Simetritzat no és un operador d'inferència. Lema 4.3.8. STAB(A'}(v} =T(É^(A',A)\B(v)\ per tot v e V. Demostració. Evident. • Lema 4.3.10. STAB(A')(v) = {cTAB(A') VCTA,B(A}}. Demostració. Per tot v 6 V, SAB(A')(V) = f (lNFET(A'(u),A(u))\B(v)J = = f(U ( = SUP {f (iNFÍ (A'(u)\A(u))\B(v)J ,f (lNFT(A(u)\A'(u))\B(v)) } = SUP •'"' '(u)\À(u)) ,WFf(A(u),A'(u))}\B(v)J = El següent teorema estableix de quina manera l'operador natural simetritzat és òptim dintre de la classe OEx dels operadors extensionals. Teorema 4.3.11. (a) STAB(A') >v B, per tot A' e [O, í]u. _ f (b) SAB interpola la regla "si A llavors B" . _ (c) SAB és operador T-extensional. —T SAB és l'ope (a) (b) i (c). —T (d) SAB és l'operador més gran respecte <v (i.e. menys específic) satisfont Inferència com a Raonament Aproximat en Lògica Difusa, 117 Demostració. (a) T(x\y) és monòtona creixent respecte la variable x, i T(l\B{v)) = B(v). (b) Trivial, (c) Donat A' i A" £ [O.lp, considerem B1 = STAB(A'} i B" = S'ha de provar que E%(A',A") < Ëy(B',B"). Per cada v G V, es té: (*) ' <»*) on (*) i (**) són conseqüència dels lemes 1.2.17 i 2.1.9 respectivament. (d) Donat D : [O, l]u — > [O, l]v satisfent (a), (b) i (c), s'ha de veure que V(A') < T>TAB(A'}, per tot A1 € [O, if. Per cada v € V es té, degut al lema 1.2.23. = SUP {a e [O, l]/f (a|B(ü)) > Ël(A',A)} Però ')(t;)|B(t;)) - ET(D(A')(v},B(v}} (c) i, per tant, X>(A')(^) < «5jñ(A')(í;), i donada l'arbitarietat de v e V, ' <v 5 rr> L'Operador Nattiral Simetritzat S AB s'obté d'estendre ais difusos de [O, I]17, [O, l]v la fórmula T(ET(x,y)\z) de l'interval unitat. Com ja passava amb l'operador natural d'inferència, hi ha dues possibilitats per fer això: Notació: SÜPu€t/f (ET(A'(u)\A(u))\B(v)} = 124 ^^_^_ Capítol 4 (c) S^B és operador extensional. (d) «S^jg és l'operador més petit respecte <v (i.e. més específic) satisfent (a), (b) i (c). Demostració. (a) Per qualssevol x, y € [0, 1], T(x,y) < y. Per tant, donat A1 € [O, l]u, per tot v € V es té: STAB(A')(v) = T E(A',A},B(v} < B(v). (b) Segueix immediatament de (a). S'ha de veure que E^ (S^B( A', A" e [O, l]u. Donat v e V qualsevol, (c) S'ha de veure que E^ (S^B(A'),S^B(A")) > El(A',A"), per tot (**) on les desigualtats són conseqüència de: (*) Lema 1.2.10. (**) Lema 2.1.9. Semblantment, f (^(^(^^(A'^v)) > E%(A',A"), i, d'ambdues, Finalment, donada l'arbitrarietat de v € V, B,AB > EV(SAB(A')(V),STAB(A")(V)) = INF ET (STAB(A')(v),STAB(A")(v)) Inferència com a Raonament Aproximat en Lògica Difusa 125 (d) Donat T) satisfent (a), (b) i (c), s'ha de veure que V(A') >v S_AB(A'), Per la proposició 1.2.9 ]*€[0,1] i per tant, com que f(B(v)\V(A'}(v)) = T(D(A}(v}\T>(A'}(v)} > Êy(A, A'), es té T>(A'}(v) > T(B(v),^(A, A1). • __ L'operador d'inferència natural CAB i l'operador natural simetritzat SAB associats a la regla "si A llavors B" s'han obtingut com a solució d'un problema d'optimalitat. La pregunta natural a fer-se és: són aquests operadors la versió difusa d'algun model clàssic d'inferència?. Tenint en compte que T i ET fan el paper de •••¿T1 la implicació i de l'equivalència, respectivament, resulta clar que CAB(A'} • *T* resulta d'estendre a context difús (A1 —»• A] -» B, i SAB resulta d'estendre (A1 ~ A) -> B. En context clàssic, si A i B són proposicions "crisp", i si val la regla "si A llavors B", llavors també són vàlides totes les regles "si A' llavors B'", "si A" llavors B"",... on A <* A1 <=» A"... i B ^ B' <*> B"... (on «» denota l'equivalència clàssica entre proposicions). En aquest cas, un esquema gràfic del raonament seria: si A llavors B A&A' (4.3.17) si A1 llavors B' El resultat d'aquest esquema de raonament no és una simple tesi B', sinó una nova regla vàlida. Així, (4.3.17) permet generar un conjunt de regles "si A1 llavors B'", "si A" llavors B""... a partir d'una donada "si A llavors B", basant-se en l'equivalència de proposicions. Aquestes noves regles, estenen el coneixement a situacions diferents de la que ha permès formular la regla 126 Capítol 4 original "si A llavors B", i aquest és precisament un dels trets característics del Raonament Aproximat. Al generalitzar aquest procediment a context difús, s'ha de canviar la relació d'equivalència entre proposicions •<=>• per una relació d'equivalència difusa, o sigui, un operador de T-indistingibilitat E. Una possible manera de fer-ho és treballant amb fites inferiors d'indistingibilitat i demanar que si a és una fita inferior pel grau d'indistingibilitat de les hipòtesis, ho sigui també per les tesis, i.e. que per tot a € [0,1], si È(A,A') > a llavors E(B,B') > a. Però aquesta condició és del tot equivalent a demanar E(B,B') > E(A, A') que és, justament, la condició d'extensionalitat. Des d'aquest punt de vista, l'esquema (3) es converteix en: si A llavors B E(A,A')<E(B,B') _ _ _ (4.3.18) si A' llavors B' Així, si per extendre una regla "si A llavors B" a noves regles utilitzem un operador C, (obtenint "si A' llavors C(A')n ), llavors els operadors extensionals responen justament a l'esquema (4.3.18): només cal posar B' = C(A') en (4.3.18), i per tant, les regles que generen els operadors extensionals són la versió difusa (graduada en [0,1] per un operador de T-indistingibilitat) de les regles clàssiques compatibles amb l'esquema (4.3.17). Ara bé: l'extensionalitat per si sola no garanteix el bon comportament dels operadors. Considerem el cas extrem en què E (A, A') — 0. Si es vol generar una regla "si A' llavors B"' a partir de la regla "si A llavors B" que es basi exclusivament en l'esquema (4.3.18) (o sigui, no es disposa de cap operador específic C), qualsevol B' serveix, i per tant, la regla obtinguda no té cap valor. De fet, E(A, A') — O es correspon al cas clàssic en que A ¿b A', i llavors no es pot aplicar (4.3.17). Aquest problema crític es mostra també en menor grau per valors intermedis Q<a<liE(A,A') = a. La solució que es proposa és associar a A1 el conseqüent B' menys específic (i.e. contenint menys informació) entre tots els que satisfan L'operador que permet obtenir B' d'acord amb les consideracions precedents Inferencia com a Raonament Aproximat en Lògica Difusa 127 és l'Operador Natural Simetritzat, segons el teorema 4.3.11. Si, a més s'exigeix que al variar A' sobre tot [0, l]u el que s'obtingui sigui operador d'inferència, el que s'obté, segons el teorema 4.3.2, és l'Operador Natural d'Inferència. Consideracions totalment anàlogues a les anteriors mostren que si en comptes de l'esquema (4.3.17) considerem: si A llavors B (4.3.19) si A1 llavors B1 La corresponent extensió a context difús, canviant indistingibilitat per implicació residuada, ens porta a Y Operador Natural d'Inferència. 4,4 Dues referències sobre l'Operador Natural d'Inferència Per acabar aquest capítol, comentarem breument dos treballs en què apareix, sota motivacions que res tenen a veure amb l'extensionalitat, l'Operador Natural d'Inferència [Godo & Hajek, 96,97] i [Magrez & Smets, 89], En l'article de Lluís Godo i Petr Hajek "On deduction in Zadeh's Fuzzy Logic", s'emprèn la formalització de la Lògica Difusa com a sistema deductiu en sentit clàssic, en una lògica multivaluada de quantificació racional amb múltiples tipus, del tipus Pavelka-Lukasiewicz. En aquest context, a partir d'una regla "si (X és A) llavors (Y és £)" interpretada com (V*) (X(x) -» A(x)) -» (Vy) (Y(y) -+ B(y)) i d'una premisa (X és A) amb A' diferent d'A, es pot deduir (X és B') on (Vy)(B')(y) = (Vx)(A'(x) -> A(x)) -» B(y). A nivell semàntic, B1 = CTAtí(A'),(T = L). Aquesta deducció de B' es pot dur a terme interpretant el valor de veritat de A donat A' com V(A' -» A) = TNFueUf(A'(u)\A(u)). Llavors, B' = CTAB(A') 128 Capítol 4 és la menys específica de les conclusions satisfont V(B' — » B) = V(A' -» A) [Godo, et al., 97bj. El fet sorprenent és que, en canvi, no es pot deduir B' =CRI(.«4') sense imposar hipòtesis addicionals al model que, si bé són raonables des d'un punt de vista intuïtiu, són de difícil interpretació lògica. Concretament, cal imposar l'existència d'una distribució de possibilitat conjunta per a la variable X x Y sobre el producte cartesià U x V dels universos de discurs U i V on prenen valors X i Y. Molt més llunyà en el temps és el treball de Magrez i Sméts "Fuzzy Modus Ponens: A New Model...". Després d'un estudi sobre CRI considerant diferents funcions d'implicació, estableix un conjunt de propietats intuitives que hauria de satisfer la deducció en Lògica Difusa, i arriba a la conclusió que cap de les formes de CRI estudiades les satisfà plenament. A partir d'aquí, gràcies a una acurada distinció entre llenguatge i metallenguatge, estableix que la deducció segons Modus Ponens clàssic és funcional respecte la necessitat, cosa que estén a context difús com: N(B) = ®[N(A),N(A -> B)], on ® és t-norma. Avaluant les necessitats N{A), N (B), N (A -» B) i N(A\A*) (i.e. necessitat d'A donat A*) arriba a d'on finalment resol el problema de trobar B* satisfent N(B\B*) = ò, que és precisament B*(v) = SUP {u € [O, l]/<8> (1 - B*(v),u) < 1 - ¿}. —T En el cas en què ® = L, es pot comprovar que B* no és altre que CAB(A*). No hi ha cap relació aparent quan ® ^ L Cal remarcar que, en aquesta memòria, l'Operador Natural d'Inferència s'ha introduït en base a consideracions completament diferents a les adduïdes en els dos models anteriors, i que el seu àmbit d'aplicació s'estén a qualsevol t-norma T1, contínua per l'esquerra respecte les dues variables per separat.