Simulación de sistemas de comunicación con computadores digitales

RECCION GENERAL DE CORREOS TE L ECOMUNICACION ED I TA DA · =- CONSEJ O TECNICO == -::_ E COMUNI CAC I ON ••• PA LACIO DE I CACIONES • • • E RED ACC I ON Y GERENCIA 3 Com isión P erm anente D obao Lavín. • • XXV I O : YC I EM BRE 1970 • REVISTA DE TELECOMUMCACION INDICE Páginas CINCUENTENARIO DE LA CREACION DEL TITU- .('.: LO DE INGENIERO DE TELECOMUNICACION . 3 ( AN TE NA CASSEGRAIN, por Manuel L. Gordel1o y F lorencio Guixá Arderín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 SIMULACION DE SISTEMAS DE COMUNICACION CON COM PUT A DORE 5 DIGIT A LES, por José A ntonio Delgado Penín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 E XP LOTACION BIDIRECCION AL DE CIRCUITOS~ p or Jesú s López Pousad a. ...... . ...... . ............ . PASADO, PRESENTE Y FUTURO DE LOS DISPOSITI VOS ELECTRONICOS, por Antonio Luque Ló pez . .. ...... ... .......... . .. .......... .. . .... .... ... .. . NOTAS BIBLIOGRAFICAS ........ ....... .. : . ... -.. -.: .. . 41 5'5 INF ORMACION PROFESIONAL E INDUSTRIAL - 59 Sl J MA RIO DE REV ISTAS ......... . .... .. .. ..... ... " ... 77 AÑO XXVI • NUMERO 101 • DICIEMBRE 1970 SIMULACION DE SISTEMAS DE COMUNICACION CON COMPUTADORES DIGITALES Por JOSE ANTONIO DELGADO PENIN Ingeniero de T e!ecomunicación. Ayudante en la Cátedra de "Communicazioni Electriche" (Teoría de la Comunicación) Politécnico de Turín. Describimos exten s:amernte lo ·s "modelos " digitales de los sistemas lineales, por ser el núcleo de la simulación e¡n cualquier problema de diseño de sefral, ffüros y ·"mod ems ". Se dan las i de as guía para poder simular un sistema que tome en conside:ración sólo el rui do térmico como perturbación en el e. anal de tr ansmisi ón ( pue - de ser el caso de un enlace ví a sat élit e ). Cilamos un ejemplo de un sistema de M. F. y su P'rograma para el c aso · de señal modulatora aleatoria. Por último, insertamos una bibliografía para el lector inte:resado so bre este tema (*). L INTRODUCCIÓN. La simulación digital consiste en el es tudi o de un sistema mediante el examen detallado de su repir e:,en:tación matemática usando un computador que trate caracteres de tipo alfanuméric o. La simulación no excluye la labor del hombre-proyectista. La máquina no podrá ha cer nada sin el "p rogra· ma", y éste por sí mi s mo no pued e determinar una co nfiguración óptima de un proyecto que se desee re aliz ar; es, por tanto, obvio señalar que será e' hombre quien plant ee, analice o sintetice, y resuelva el problema. Las técnicas de simulación digital son hoy un· 1 herramienta que facilita al ingeniero la posibilidad de dise ñar nuevos sistemas y que incluso ha comenzado a hacerse popular (2• 5 Y º). En es te artí culo se pretende dar una visión general de los problemas que se plantean en la "expe· rimentación" de det erm in ados sist em as electrónicos (sistemas de comunicación), así co mo seña lar a lg una,s c aract erísticas de las "herramientas mat emáticas" necesarias para ll egar a so luci one·s físicamente realizables. Para ha cer la "ex periencia". nn hay necesidad de cons tru ir el sistema, lo que per - mite una gran redu cción de los costes y un :1ho rro (*) Este artículo es p arte de un t1·abajo ll evado a cabo con las subvenciones de una beca E. S. R. O. (Emopean Space Research Organi sa tion) y del Estado español en el Istituto di Elettronica e Tel ecomu ni cazioni del Politécnico de Tu rí n ( Itali a) en los cur sos 1968-69 y 1969-70. 21 de tiempo considerable en la realización de u :1 pro yecto concreto. En la actualidad, cualquier sistema de comunicación (a nivel conceptual) se proyec ta siguiendo las premisas bá sicas de la teoría estadística de la comunicación, establecidas por C. E. Shannon en 1948 (1 ), donde toda comunicación entre una fuente de información y el destinatario a qui en va dirigida ésta se representa esquemáticamente como indica la figura l. La simulación en el caso que nosotros trata remos aquí consiste en la construcción de un modelo del sistema que se desea est udiar , apto para ser elaborado por un co mputador electrónico, y en anali zar el comportamiento de este modelo (sistema simplificado). Hablamos de sistema simplificado porque es imposible analizar y determinar !.as futuras ca:racterísticas de cualquier sisie ma si ;-;,~ se ha ce n determinadas hipótesis de simplificación. Si se pretende hacer el estudio teórico de un sistema, considerando solamente un parámetro variable cada vez, ya sea la distorsión o los efectos de ruido , las dificultades son superables. La acción conj.unta de ambos so br e las posibles caracte rí sticas del sistema ha rán entonces la resolución tediosa y mu y difícil como cons ec uencia de la apari ción de trafü· formaciones no-lineales de las señales presentes, En este artículo se cons ideran solamente pert urbaciones debidas al ruid o de origen térmico, que podemos considerar aditivo, blanco y gaussiano. Es, por tanto, obvio decir que nos referimos a sistema5 que usan como medio de transmisión la radiación Fuente Canal d~ ~ Transm/s17; de - -l>- l)estina!ar/o - lnlormac/t/n trcrr,smisit/n Recej)Íor t t t t {Md {s¡ (t) ~ { .:q (t)} [Ad mensajes Señales señales - ·. '; -mensaJes --- f>erfvrbacioí!e>S. { n¡ (t) j FIGURA l. electromagnética. Nada nos impide considerar otr.1 tipo de canal de transmisión, como puede ser el de las líneas de transmisión físicas ( 10 l. El ruido predominante no sería el térmii::o, E,ino el debido a los impulsos de ruido. Por otra parte, la perturbación _¡:;rec.omin . .mtc no· sería el ruido térmico, ni el de impulso. La simulación digital se realiza con las formas de onda. De esta manera se tienen en cuenta la mayoría de los fenómenos que afectan a las características de funcionamiento del sistema. 2. TIPOS DE SHIULACIÓN. Las técnicas de simulación que hacen uso de procedimientos iterativos pueden ser de tres clases: analógicas, digitales e híbridas (analógico-d!gitales). En el primer tipo de simulación se transforma vna magnitud dada, en otra que posee uria formu - lación matemática "análo ga". Normalmente son magnitudes qu e cambian co-ntinuamente en relación a una variable independiente. Este tipo de simulación tiene la desventaja de exigir continuos cambios en el conjunto de circuitos externos que posee el ca:culaclor analógico. La simulación combinacla analógieo-digital (híbrida), es la más perfeccionada actualmente . Este tipo de simulación, que hace uso de las mejores características que poseen tanto las computadoras digitales cuanto las - analógicas, es solamente usado en problemas de simulación muy complicados, y trabajando en tiempo real (cuando la relación ·" tiempo necesario de la máquina para realizar d cálculo/tiempo ne cesar io para resolver un problema " es igual a uno (IG), se dice que se está haciendo la simulación en tiempo real) . Los calculadores híbridos son muy convenientes para la resolución de cálculos esta<lísticos muy complicaclos. En estos cas os es necesario usar técnicas más refinadas, como las conocidas bajo el nombre de técnicas de l\fontecarlo . Es el caso ele cualquier sistema no -lineal o de señales que se pueden asociar a procesos "estocásticos" no-estaciorrarios. En /'.?) se puede ver bibliografía acerca de este tipo de simulación, factible principalm ente en problemas ele tipo aeroespacial. En . la. úmulación digital (que trataremos en el resto del artículo) , ma.ne jamas sist!;mas discretos. El comportamiento de éstos puede describirse de forma matemática por "ec uaciones de diferencias" . y son definidos para una sucesión discreta de va: lores del tiempo. Con esta herramienta matemática so:rr.os capaces de construir un modelo suficiente - mente aproximado de los " bloques" componentes de todo el sistema que se quiere proyectar . En las figuras l y 17 se pueden ver los "bloques'" de que se compone cualquier sistema. Conocidos los "bloques", pasamos al modelo: representación matemática (por tanto, ideal) de los mismos. El modelo indica las operaciones que 5e deben efectuar sobre las señales de e ntrada al bloque para obtener · las señales de salida. La elaboración de los símbolos y palabras que forman parte de estas operaciones a realizar con el model-o es la simulación . Conviene adv er tir que es más que un cálculo. La simulación se hace con grupos de bloque s, por lo que será necesario unir de forma adecuada los modelos de cada uno de los bloques. A ve~es, la forma de inter~onexión de unos bloques con otros !para fines de simulación) difiere de la unió: 1 existente en el sistema real que se está estudiando. Esto se hace con el único fin de obtener un mejor rendimiento en el uso del computador , ya sea para hacer un programa má5 sencillo, ya para disminuir la probabilidad de que se produzcan errores. La simulación digital ofrece un gran número de ventajas en relación a la analogica. Si se considera la seguridad en el traha_i o a rea1izar con una u otra a medida qu e aumenta la dificultad del problema, salta a la vista que es mejor usar un computador digital. Por otra parte, es una máquina qu,~ se puede decir que trabaja en serie, mientras la analógica lo hace en paralelo. De todas man eras , los :resultados que se obtienen con un computador digital son_ función del modelo que se está simulando y del número ele cifras significativas que el computador digital maneja . Por ejemplo, en uno del tipo IBl\'I 7090, el número que una variable o una constante pue<le representar debe estar comprendido e ntre -l038 y +10+38 y la precisión es del orden de ocho cifras decimales. · · En la simulación debe existir un orden de prio22 ; ridad en los fines a conseguir. Una lógica de tra - ba jo sería la que se indica más abajo y que seguimos en los párrafos que van a continuación. (Debemos recordar q_ue pretendemos obtener una º B· timación de un sistema, teniendo en cuenta ur) cierto criterio, que de forma ge neral será aquel · basado en una reducción del ruido presente en d canal de transmisión). Dicho. orden será el siguiente: Estudio de los bloques por separado .y determinación de su modelo. Diseño del modelo de todo el sistema a simular. Construcción del programa a introducir en c1 · computador. Realización del programa. Análisis de los resultados. LISTA DE SIMBOLOS 3 (t) Impulso <le Dirac : .L: ª\; (t) · dt = 1 ,e Igual, por definición. f(t) frr (t) .... A h.f1 H(wJ h (t) .... " h (1) * f (t) S (nT) S0 (nT) H (z} Función compleja que varía lentamente ;; n relación a Cupe Envolvente compleja de la función Pulsación que corresponde al centro de gra- . vedad del espectro pasobanda. Transformada de Hilbert, correspondiente a " f (t) . Componentes real e . imaginaria de f (t) . Función de transferencia del sistema lineal de banda limitada . Envolvente compleja de la respuesta al impulso , Convolución integral de h (t) y f (t) . Función discreta en el tiempo , correspondiente a la salida de un filtro lineal digital. Función aproximada de S(nT). Fundón de transferencia de un sistema lineal cuando se haGe una tr.:insformación conforme, usando la variable " z" . L Valor pr inci-pal de la . integral de Cauchy. 23 . 3. BLOQUES Y MODELOS MATEMÁTICOS. Todo sistema puede ser lineal o no-lineal. El es. tudio de los sistemas no-lineales con memoria implica una dificultad fuera de lugar en este artículo , por lo que prescindiremos de él. Recordamos a título informativo que si un tal sistema se puede· descomponer en dos "bloques", tales que uno sea lineal y contenga toda la memoria del sistema ( * ), y el otro no-lineal, pero sin memoria , se podrá entonces simular el primer bloque mediante las técnicas que se explican en este artículo, y el sé : gundo, haciendo que el computador realice la operación no -lineal que se le puede asociar. Los bloques a considerar tendrán una sola en_ trada y una sola salida. En la ~oría de los sistemas lineales se establece la posibilidad de estudiar un dispositivo con una entrada y una salida, observando la respuesta a una entrada específica (por ejemplo, un · delta de Dirac o una función paso) . Es decir (figura 2) : !mpulsl) .. Paso s (t) SISJ'F,..,A I, (t) J..INl'Jl. F1cu RA 2. -Sistema físicamente realizable. donde h(t) sería la respuesta del sistema lineal al impulso de entrada. Conocida h(t) se obtiene la función de transferenc ia del dispositivo. Para poder realizar la simulación en un computador es obvio que se necesitan señales di.;itales. Esto conduce a la sustitución del sistema analógico (en el que sus parámetros varían de forma continua ), por otro discreto que se adapte a las necesidades ~e la "experiencia" que deseamos realiz ar, puesto que un computador es un sistema discreto. ......... En los sistemas lineales discretos la e· ntrada es dd tipo /(nT) y la salida será una función s inT) , dond e T es el período de muestreo y /(nT) y s( nT) son funciones del tiempo definidas para todos los va: lores t = nT(o < n < oo , T - cte) (fig. 3). Entonces la relación funcional entre entrada y salida tendrá la forma de una ecuación de dif erencias como la siguiente (ver Anexo I, Aplicaciones) : m k )' , a¡ · S [(n ' -j) T] = ¿, b¡ .f [(n -i) Tj j=O Í=O (*) Se dice que un dispositivo tiene " memoria " c uando su salida en un determinado i nstante depende de lo que ocurre a la entrada en aquel mismo instante y . en los previos al considerado. / f(t) o' s(t) ST(t) s(nT) , o f(nT) • 1 t T 2T 3T ,H 5T T ,JT .ST Caso : "n., entero. • • • • t---11-----111-----+1 --~l---+-1 ---JI'""> t T ZT 3T •T ~T FIGURA 3. La obtención de mod e los idóneos para la simuh - ción implica tres etapas que describimos más adelante. 3-a) Conversión de ondas de tipo analógico en discreta. ¿ Cómo pa samos del campo analógico · al discreto? Realizando un muestreo de la función del tiempo que representa la onda analógica. Se puede realizar una muestra cada T se gundos, por ejemplo, y tomar la nueva señal que result:1 de tener en cuenta las muestras obtenidas. Consideremos una onda cuya función representativa se .i j(t ); se define la salida del dispositivo que efectuaría el mu es tr eo como: 00 fe (t) g_ 'C • ¿J (nT) . S (t -nT) n -=c.: Esta expr es ión se deduce en el Anexo I, Defi- · n1c1on . El ruido, del mismo modo qu e las señales que nos encontramos en la realidad, tiene un ca rácter estadístico; es decir, se puede considerar un miembr o de un pr oceso "es tocástico" del que sabremos en las condiciones m{is favorables su está'dístic,a de prim ero y segundo orden. Si este ruido no es de tipü aditivo, gaussiano y blanco, entonces necesitamos conocer la estadística de orden superior al segund0. El ruido blanco es el más importante a efectos rle degrada ción del. comportamiento del sistema, seg ún d c riterio que se ha ya e legido para ver cómo es dil:110 co mportamiento : relación "seiíal/ ruido " en sisl·cmas. de conHrnicación analógica o cl r "probahilidad de error" en sistemas Je conrnnicacíón digital. P ..!!.!JL.P.o der realizar la siu.uJ.a.ciár:i.......1,g.me.n.J .f>-T..u kdo blanco es necesario que sea de "banda limi- . 1 7.iaa'TJ. - Para e llo ha ce mos pasar el ruido blanco (espectro constante con relación a todas las frecuencias) a través de un filtro lineal cuya función de trans - ferencia es: H ( W) _ \1 J W 1 < Wo -¡o para todos los demás vcilure~ de «wr,, y que satisface a la condición : + a) .f I H (w) 12• dw < oo -co Si se tiene en cuenta uno de los teoremas de muestreo (1) , una vez que el ruido es de banda u: mitada, no existe ninguna dificultad para relacionar el filtraje y el muestreo. "Por tanto, el muestreo de un ruido blanco gau.ssiano es equivalente al filtrado que se necesita para dar un sz'gnificado físico al ruido blanco ." Para s imular este ruido blanco dentro del computador echamos mano de los recursos que nos ofrece éste en su " librería": el "g e nerador de números aleatorios". 3-b) R ep resentación en baja frecuencia de sistemas y seriales: Modelos. Cuando se usa el computador p ara la s imubción e ntra en juego el tiempo de uso del mi smo y, por tanto, el factor económico. A medida qu e crece la frecuencia de las señales en el sistema a simular, el cálculo se hace más difícil y el consumo de ti empo se ip.crementa. Hemos visto anteriormente que necesitamos realiz ar el muestreo de las señales pa ra poderlas manejar en el co mputador. El te orema relativo a esta cuestión· nos dice que la frecuencia mínima a la que. podemos realizar él muestreo de las se íz.ales es el doble de la frecuencia. más alta que contiene su es pectro (fórmula de Ny quist). De lo que se cona cluye que la velocidad de mues treo aumenta con la frecuencia. Teniendo presente esta fórmula, es obvio decir qu e procuraremos simular las señales y los sistemas haciendo uso de frec1!encias bajas . No Jebe pasar inadvertido que se habla de bandas de frecuencia con una determinada anchura . Los constructores de sistemas de transmisión-recepción _buscan la forma de poder encajarse eR un (*) Una se ñal es de ba nda limitada cu an<lo su espectro <l e energ ía (o de potencia) comprende una parte · del e je de frecuencias alre<le <lor del origen . es decir, dada una señal "f(t )" y su espectro "F (w)" , la c ond ición de banda lim i tada se expresa así: F (w) > O F (w) = O 1 W f < 2 n:fo 1 W 1 > 2 nfo C OU J / 0 1 > O determinado espacio <ld espectro que ha dejado de llamarse tiempo ha de "banda base", para pasar c1 · denominarse " pasobanda". El espectro que ocupan los procesos de modul.1, ción-detección y los filtros pasohancla son un verdadero problema por bs velociclacle·s de muestreo tan elevadas con las que teóricamente se debería tratar, con el consiguiente aumento de precio de h simulación y la búsqueda ele un computador adecuado a nuestro p· roblema que pueda tr:_abajar en tiempo real. La única forma posible de atacar el problema es hacerlo considerando las analogías pasobanda-p . !!sobajo . · Este tipo de an~logía ha estado tratada por primera vez en la literatura técnica por Landon ('). Después Cherry · (8) aplicó algunas de estas técnicas al filtraje pasobancla asimétrico de ondas moduladas en amplitud_ Posteriormente, Gabor (19"16; obtuvo una representación en baja frecuencia válida para todo tipo de sen.al o sistema de "band:1 estrecha" (H) y que será la que nosotros seguiremos aquí , por ser todavía válida . El hecho de adoptar esta representación no quiere decir que no existan otras (dentro de la hipótesis de banda estrecha) _ La de Manske (9) aparentemente es sencilla, pero presenta la dificultad en el paso continuo-discreto . Una señal representable por la función del tiempo /(t) y su espectro continuo por F(0) están relacionadas por la transformada de Fourier com,.; sigue: . (1) f +CX> F (eu) = _!~t) . e-Jwt . dt Tomemos ahora una sefial de "banda estrecha", /(t). Usando las propiedades ele la "señal analítica" tran,;ferimos su espectro a las proximidades de " w = o y establecemos una nueva función F(w) de: la siguiente forma : -wp< eu eu <-eup (2) Aplicamos la transformada de Fourier y obtenemos la función f(t) en el dominio del tiempo. Como una señal de banda limitada se puede representar por la función f(t) (lD) con una expresión n~~temática como_ la. s~guiente: en donde o), sería la pulsa.ció~ del centro de h " banda, y f(t), una función cuya variación con el 25 tiempo sería muy lenta con A la pulsación o), ; la función J(t) las ecuaciones (1), (2). respecto a la de queda definida por Consideremos una nueva función del tiempo / +fl) (en general compleja), a la que se impone la condición de tener como espectro la parte positiva del espectro de la función f(t) . Es decir : l f"' f + (t) = 2 n: 0 F ((•>) . eiwt . dw [ (4) Por una propiedad de la "señal analítica" (2 º) se obtiene: !+(t)=+[f(t)+jfx(t) J (3) A Si f(t) es real lo será también J(t), y como consecuencia: f (t) = 2. Re¡ Í+(t)¡ (5) Considerando la ecuación (2) y el teorema de Parseval se concluye que la potencia asociada con . " . f(t) coincide con la asociada a /(t). Haciendo una . sustitución obvia en la ecuación ( 4) se tendrá: 1 j"' f + (t) = -'>- F (c.>) . eiwt . dw = _;,; o . 1 1"' = 2 n: F (eu + eup).ei(w+wp)t . dw= -Wp ejwpt ¡+"' " eiwpt " -¡-;:;- F (eu) _ eiwt . dw = -2 -.f (1) -oo teniendo en cuenta la (5): A f (t) = Re [eJw~t f (t)] A .A · = fa (t) · cos (eu¡, • t) -fr (t) · sen (eup , t) (6) donde JR y Ír son, resp_ ectivamente, las partes real e imaginaria de f(t), y las componentes en cuadratura de /(t) a la pulsación '"P. La ecuación ( 6) nos permite obtener la función f(t) cuando sea conocido el modelo en baja fre - A cuencia J(t). Existen dos formas de presentar la ecuación ( 6) : 1/ A A A A f(t) = V f~(t) + ff(t) cos [wi + are tg /1 (t)//R (t)] J\ A f(t) = ! /(t) 1 · cos [wi + 1 J (t)] Estas dos últimas expresiones· no son más que la expresión matemática de una modulación de amplitud y de una modulación de fase. : -w . P í ~' - U.>p 1 fF(w)j u, : p J ~ (w) 1 FIGüR,i 4 . U> ' W El mismo razonamientó que se ha hecho para las semdes se puede repeiir para los sistemas. • A Definimos una función de transferencia H(w) del sistema lineal de banda limitada en los alrededores · ae (1) = o como: "' · \ H (w + wp) H (w) ~ { 0 - Wp < ú) La respuesta al impulso del sistema puede escribirse ( 19 ) : h (t) = 2 · Re j h (t) • eiwptj donde li(t) sería la envolvente compleja de la respuesta al impulso. La salida s(t) de un sistema lineal como el que se v10 anteriormente era: oc, S (t) I h (0) • f (t - O) • dO o :M anipulamos esta última ecuación con las ¡¡ . guientes funciones:. f (t) Re { f (t) eiwptj S (t) = Re { S (t) . eiwpt¡ h (t) = 2 • Re ¡ h (t) · eiwptj y obtenemos: ("' A A S (t) ~ ( h (6) · f (t - 6) . d6 ~ o (7) (los términos que comprenden frecuencias altas y que hacen su aparición al realizar las operaciones indicadas no son considerados). 'La ecuación (7) es fundamental en la obiención del modelo del sistema en baja frecuencia, porque confirma que teóricamente exisk la convolución integral entre las envolventes complejas de la .señal y de la respuesta al impulso. No habrá ninguna dificultad en obtener la ecuación siguiente: A A A S (w) = },' (eu) • H (w) ;\ J F (w) 1 U) FIGURA 5. 26 / J S(w) 1:: J F(w). 11 (w) J ¡scwJ / t jS(w)j=¡í=(w). ll(w) J FIGURA 6. Una visión más intuitiva se da en las figuras 4, 5 y 6. Con el objeto de obtener la salida efectiva s(t) necesitamos extraer separadamen.te 1as dos compoA Las ecuaciones (8) nos pueden representar el modelo que indica 1a figura 12, siempre que j(t) sea de banda limitada. nenks SR (t) :Y Sr (t), como hicimos en el caso de 3-c) Modelos digitales. · las señales: A /\ " /\ A A A S (t) = h (t) * J (t) = [hR (t) * fn (t) - hr (t) * Jr (t)] + + j [ha. (t) * Ji (t) + hr (t) * Jn. (t)] Tomando la parte real y la parte imaginaria de . S(t) se puede escribir: SR (t) = hR (t) * JR (t) - hr (t) * !r (t) (8) sr (tl = h& (t) * Ji. (tl + f, (tJ * la (tl 27 3-c-l) Sistemas lineales con memoria (Fltros). En este apartado obtendremos algunos modelos matemáticos de sistemas lineales de tipo analógico que se adaptan a una elaboración por el computador. ¿ Cómo lo haremos? Haciendo uso de los filtros digitales (1:!). Como siempre, necesitamos una "herramienta matemática". Aquí es donde verdaderamente comien=a una diversidad en la simulación digital de sistemas. El tiempo de manejo de la máquina varía según se emplee un algoritmo como la "Transformada discr~- ta de Fourier" o la "Transformación-z", que es la herramienta hasta ahora usada. No se ha hecho hasta ahora un análisis comparativo de los diversos algoritmos para elaborar señales o sistemas por un computador digital. Es un problema ahierto a la investigación, ya que existen otros algoritmos rle interés. " eH - CLASIF/C,4 ORDENA /N/e"/A LA S/Hl/LÁC/t:JH Anchura de banda de su espectro. Frecuencia <le mue streo (velocidad). b) Relativos a .la seiíal modulada: Portadora modulada en frecuencia, por ejemplo: valor de la frecuencia central normalizada, desviación en H1.., etcétera . e) Relativos a los mo-dernoduladores: - Indice de modulación. d) RelatÍvos a los filtros de transmisión y re· cepción (Paso-banda): Frecuencia central. Anchura de banda en puntos rle caída de 3 dB. Para los sistemas digitales, análogamente: a) Relativos a la secuencia a transmitir: - Duración del "bit" de información . ,uE us ,,.,,r~s Definimos así la velocidad de tran~- DE EkT/?,4/),4 misión. Número de "bits" transmitidos. b) Relativos a la señal moduladora: ,scR/&E E~ EKC.A.8EZAH1ENro -Ciclo de rendimiento ("duty cicle"). /.+'rEC-,'?,,t" ~AS ECf./AC/0.,.VFS Na A/H,ICEN,1 to .,VE A',1S ESCR/TO EN L,IS H~JA, .l>F .f',IL/.l>A LEE LA RVT/,V,4 (x) Y EL..,,/81),f'...d 40S OATOS P,lli'A <'Vé .f"E PVEOAIY PITF,+'FK C",#C'{VSIO#ES p,,.lRArE FIGURA 15. NO Diagr<llnn de flujo de fo conversación l,omure-máquina. En el caso de los sistemas analógicos, los parámetros que necesitamos para la simulación y qu'.! poclemos introducir en el programa pueden ser los siguientes: a) Relativos a la información a transmitir: e) Relativos al filtro de recepción. Frecuencia central. Anchura de banda en puntos de caída de 3 dB. d) Circuitos de decisión: Valor que se toma como refercnci :1 para hacer una decisión entre dos estados poó'ibles en el caso de comuni· caciones binarias . Manteniendo variable uno de ellos y viendo qué ·rncede con los otros o haciendo el juego que nos ·, Jnvenga a nuestros intereses, "experimentaremos" , l mejor sistema sin haberlo construido. Ejemplo: Consideramos el caso concreto _ de un sistema de F. M. El PROGRAMA e stá escrito en lenguaj~ "Fortran" , que es el normalmente usado en la~ máquinas IBivl 709 - :l. Esto quiere decir que el tiempo de simulación del sistema (al nivel más e]emen· tal)-0,12 minutos-es mayor que el empleado por una IBM 360 / 44. El sistema a simular en este caso lo represen· tamos como indica la figura 20. Describimos a continuación las cara cterísticas · del mismo: La información a transmitir será un mensaje función del tiempo, con estadística de tipo gaussiano . La perturbación será un ruido aditivo gaussiano blanco de ban<la limitada . El filtro de recepción (F. L) tendrá un polo y será un circuito resonante . r----- - - -- -----, 1 1 1 1 OFCC!O/// ~ DESr1,;,,1r,,1m CQD/,'/CADO/? C'AOOR .OE CO!)/,'/C,/f)O/? i.... f-t- ~ 1-4---- -- DF LA ,VEA'TE f--to l'f/Jl>VIAOOR ~ (,4,V,U. DEHOIX/IADOII OF l"V<'#TF DE CAK..IL CA/f.4L. /Nh7,~NAC/" ·" 1 1 1 1 L------------ . _J FIGURA 16. SE#.4.tES INTElf',"Elf'FNTES 1------~{)EHOl)l/LAINRI----- /,4',"(J,f' ,'?,.f C'/(J,i/ $F¡YA.t AA'A.tPC/CA /#rPR/V4C/OY EST/HAPA 35 /;'ti//:)() ,4.D/ T /VO PEli'TU/i'BÁCIO# . T.'/'O .• fct cl/n9" FIGURA 17.-"Modelo" para un sistema analógico (Bloques Í¡¡CÍuid os en el rrcuadro a trazos de la figura 16). SEH , UES /A/TERl"FREA'TES h'A'ERAPO/? ,'/.tTii'O l>F ~ECE,PC / 17~ C/RC'tl/TO DF r""" DE $FCVEHC/AJ :>FC'/S/.J/Y J /f''11DD PrRTVRtfAC/P# A,P/TIYO T/.,.(7 "'/'crc;//ag-" FIGURA 18.-"ll!odelo"' parcial de un sistema digital (Bloques comprendidos en el recuadro de la fig ura 16). P/?OGR.411.4 GENEl?4L /;VSTl?t/CC/Cl;VES l ;PI/TINAS C4/?ACTE/i>IS'TIC.4S D EL LEA/6UA.IE EN/'LE.400 - CtlA/T/?(7¿ Sl/8-l'l?O-vli'AHA DE LA A Tli'AA!SHI T/R - Si/8 - PROCRAM..l DE LA SE#AL - SUB-.PROCRAHA li'EL-47'/VO• A .t.OSJ='/L7".f'C'S Tfi'AN.SM/f/0/V- - REC'E"/>C/~,Y. 5UB·l"li'tJC/?AH4 DE ''HODEM" / .HE#fAJF a(t) OISC'R/- IV/.N.4LJOR DF FM. F/tTRd DF PO!DETECC/0 éi(t) /ofEN.rAJF E.J'T//"'f.ADO F1Gt1RA 20.~',istcma de F . .M. -El discriminador será uno convencional (lineal en la zona de detección). El filtro de posdetección puede ser uno de tipo ideal (Wiener) que minimice el error cuadrático médio entre la salida que se obtiene y el mensaje que se transmite. Con todas estas condiciones obtenemos unos límites teóricos para el caso concreto que desearnos. l.EE EL POLO DEl. ¡:/LT/i'O P.B. EL/CE EL T/PO OE rlt.TRO (i)t/E SébESEA l E¿/C& LA ANC#t/,f>,4 OF BA#.OA CA¿c¿,1¿4 EL pt7¿ O Y FL fi'ES/bt/0 DE L.4 H(s) rORHA LA ECV4C/O,-t/ C>E .· D/FE RE/YCl4S ~ ' MFTE ¿4s MUFS-T,f'AS o~- t-A-'Tlí'ADA F.ñ' LAS ,FCL/AC/O#ES" OE 0/rFRENC/A .S y C.4.L C't/L .4 LA SE,f>/E [Jé,- S'ALIL>A. <• 1 FIGURA 21. Diagrama de flujo de la simulucÍÓrz del filtro. Variando las hipótesis de trabajo, podemos ver cuál es la nueva función: (S/N) salirla = / (S /N) rnt.rada Los diagramas de flujo y de los circuitos del computador para la simulación del filtro son los indicados en las figuras 21 y 22. El PROGRAMA que escribimos lo comprobó Castellani en (13) para los valores siguientes: In::licedemodulación (3 = 10 25 50 Anchura <le b.nc.a del filtro. . ... . . .. wl' 1 =150 3.50 500 rad/seg. Periodo de muestreo.)2 ,i x 10 __ 3¡ 9 X J0--4 G, 2S X 10--4 seg. (La varianza, en este caso, es inversamente proporcional . a la relación S/N de salida del demodulador) e DDIENSTON VAR (500) JOO FOR:IIAT (4E 15.) 101 FOmL\.T (iP2E25. 611111) 102 FOR11A'l' (il5 ,11'3E25.6I) C READ DATA e READ 100, \VH , DT, BETA , SNR , :NRUNS, ITER e PRINT 101, BETA, SNR C PRELE\lINARY CALCULATIONS e e TWOPI = 6.2831853 MCHECK = O CNOR:M = ITER SCL = SQRTF (l./(DT*SNR)) AA = SQRTF (2. *DT) ce= EXPF (-DT) DD = BETA*DT PIER = WH*DT PP = EXPF (-PIER) AB = BETA*SQRTF (SNR) CK = SQRTF (0.5* (AB-0 .5) DK = SQRT:F (0 .' 5* (AB+0 .5) CCKK = CK*DT DDKK = DK*DT FF = (AA** :2) / (AB+l.+2.*DK) GG = EXP.F (-DDKK) DDl = (DT*FF*GG*SlNF(CCKK))/CK DD2 2.*GG*CDSF(CCKK) DD3 = -GG**2 C SI1\1ULATION e 10 DO 11 :N' = l,NRUNS DO 12 M = l,lTER 36 -; CO#VER· A'F,ISTR() T/t:>o..- 1 1 - -- 1 DE ' .4/D ' Al-.óits ' L)A ' -' F#T,,P.,/ f(t) t C/h'C///TOS: S(lt'?,4 REST,4 DE h'- h/ts ---- li'E6/STtPO t>E 11-bds t /Hl"t!LSO de 1r hertz: : 1 1 1 1 ' ' ; S4U~A 8/),l,IJ?/A s(nr) FIG!JRA 22. -Const rucción del filtro digital en fa máquina. e CALL GAUSS 3. (U,V,\V,T\VOPI,:\ICHECK) UNOISE = SCL*U VNOISE = SCL*V Al\IESS = AA*W + CC* A:\IESS TETA = DD*A:\IESS+TETA XR = PIER*(COSF(TETA)-i--UNOISE) XI = PIER*(SINF(TETA) + VNOISE ) OUTRE = XR+PP*OUTRE OUTDI = XI..!...PP''OUTIYI BIG = OUTRE**2+0UTBI**2 C DF.:\fODULATION e e DSD = (OUTDI*OUTREl - OUTRE*OUTDl 1)/(DD*BIG) OUTREl = OUTRE OUTli\ll = OUTIM EST1 = EST DS01 = DSO C · V ARIANCES e 12 VAR(N) = VAR(X)+(EST-A:\IESS)**2 VAR(N) = VAR(N)/C.NDRM Silll = SillI+VAR(N) AN = N CUM = SIDI/AN OSNR = 1./Cfül 11 PRET 102,)LVAR(X),CC:\I,OSNR El'l"D (I,l,0,0,0,0, l, l,O,l,0,0,0,0, fJ) 6. ERRORES . 6-1. Errores de simulación: Son los más importantes de todos los que se pueden encontrar cuando se trabaja con los compu - tadores. Si el estudio-proyecto ele un sistema no es óptimo, esto es debido a las limitaciones de la "herramienta". Cuando se habla de modelos, pre - tendemos que exista la mayor semejanza posible 8: la situación física que se desea reemplazar. En una simulación con modelos homomórficos comü lo,; que hemos descrito, es importante la detenn inación del grado de homomorfismo que se pt.eck obtener para conseguir los resultados que se desear,. Las limitaciones que introducen error en la simu - lación son las siguientes: a) b) Las conversiones analógico-digital y digitalanalógico. Aquí realizarnos un muestreo. Es obvio decir que el error depende de la velocidad de muestreo: cuanto más alta st":-.t la velocidad, más pequeño es este error. N 0 obstante, se debe llegar a un compromiso, ya que un aumento de la velocidad se traduce en más tiempo de computaclor. Las debidas a los filtros digitales. Los filtros se construyen m~nejando 'los c ircuitos del computador a través de nuestro " programa". Por tanto, los errores se producen a causa de las limitaciones del computador . Son de dos tipos: el de truncamiento y el de redondeo. --:- ~ -.~,-~~'.-. -~- ~ ·- , .:: ·- -,c; .,_ 0 .=,·.-:-..., , ., , ..; - ,c. ,· · ..;-: .·· -= - ~-,-~ -- --,.- . .. ·'-- _ _____ . __ .• _ . . . . El __ p~igie_ro nace como consecuencia de - ·· Cuando revisamos el · pro 0 rama · que ñem·os es ;· ·· -~ .· ,asmtegracinnes a_u"e· realiza la máquina _ crito, encontramos errores de diversos tipos. Pu, ~- usando cualquier método de resolución de den ser debidos a la escritura de la "gramática., las ecuaciones · de diferem:ias. Con el m~- u "ortografía" de las tarjetas perforadas ; a un todo de Tustin este error es mínimo por las mal uso de las tarjetas de control; a una progracaracterísticas inherentes al método . pern mación deficiente, o a errores de simulación. tiene fo desventaja de que¡ tiende a acu:nu37 ~ . ~ ¡ r:,. :' larse con el tiempo. Se puede controlár haciendo el intervalo de tiempo suficientcincnte pequeño, pero surge la dificultad del apartado a) y un nuevo tipo de error: el oe redondeo. El error de redondeo es debido a que d computador sólo puede trabajar con un número limitado de cifras. La "memoria" nos fija el valor de estas cifras. En la práctica~ este error se reduce haciendo todos los cálculos en "doble precisión", es decir, tornando una palabra de la memoria del computador con una longitud de "bits" doble de la que normalmente se emplea. e) La conversión de las muestras en el lenguaje digital del computador. De nuevo surgen problemas de "cuantización" de las formas de onda analógicas. Este error es de menor importancia que los anteriores. Todos estos errores serán función de cómo h3yamos hecho la programación. El ingeniero tendrá_ que jugar con la consideración económica y de tiempo. De todas maneras, siempre será más ren: table que construir el sistema y luego hacerle modificaciones de forma. empírica y aleatoria. ANEXO 1 TRANSFOm!ACIÓN-Z Los sistemas analógicos (continuos en la función que representa sus características) se pueclen anaiizar en el campo complejo s con la transformació;i de Laplace, donde s = (J + je,) Los sistemas discretos lineales se tratan con una herramienta matemática que lleva el nombre de «tran.~foTmación en i>l plano Z>>, donde z es un círculo de radio l (siempre en el plano complejo) y que tiene como expresión: Z = ejwT Este tipo de transformación es válido_ para la resolución de "ecuaciones de diferencias" con coe· ficientes constantes, que son las que caracterizan los sistemas lineales discretos. Definición. Recibe el nombre de transformada-z de la función f(t) la expresión: 00 F (z) ~ L, f (nT) . z-n D=O De 1a misma forma que existe en otro tipo de transformadas, la inversa, se puede <lefinir aquí la "transformada inversa z": f (nT) .6 9 ~ . ( X (z) . z0-1 • dz - - ,. J )p Ambas definen completamente la transformación-: de una secuencia discreta. Veamos ahora una prut>- ba de cómo se podrían generar estas dos expres10nes. Consideremos una función del tiempo J(t) definida para todos los valores t = nT, donde: O < n < oo (entere,) T = e.le Esta función puede ser continua o bien una sucesión definida sólo para los puntos t = nT. Recordando una propiedad de las funciones delta de Dirac: n=+co i>T (t} = L, o (t-nT) Il=-OCJ donde 13 (t) es la función de primer orden ("1 ), se puede formar el producto: f (t) • ST (t) cuya representación mecánica más sencilla sería: (Entrada) -f-(t-)------~------Í-c -(t-) (salido) Entonces J. (t) = f (t) ·, Sx (t) donde fe (t) es ahora una función obtenida por muestreo de f(t ), y formada por una sucesión de impulsos en los instantes t = nT, y teniendo un área de valor /(nT) n=+oo J. (t) = f (t) · ST (t) = f (t) L, /; (t -nT) = ll=-CO n=+oo L, f (nT) S (t -nT) D=-CO Si se aplica la transformada de Laplace a esta función y se tiene en cuenta que para n < o debe· ser J(nT) = O se llega al resultado: F0 (s) = 1"' }; f (nT) • /; (t - nT) · e-sT . dt = 00 ¿. f (nT) · e--1!T Il=O expres1on que es función de la variable compleja s. Haciendo un cambio de variable defo1ido por eST .6 z resulta una función de la variable z, que e;la ;ransformada z de la función J(t) . El lector interesado en los problemas de convergencia de este tipo de transformacla puede ver la referencia (4 ). · 38 Propiedades. b) a) Es un operador lineal. Z [/ 1 (1) + /2 (t)] = Z [! 1 (nT)] + Z [/ 2 (n T)J Z [a · f (t)] = a · Z [! (t)] k Z[f(t + kT)] = z• Z[f(t)]- L, zl · f[(k-j)T] j =l (El lector interesado en otras propiedades y en la demostración de estas últimas puede consultar_ la bibliografía referente al tema.) Aplicaciones. a) Solución de ecuaciones de diferencias co:i coeficientes constantes. Recordemos previamente algunas notas de cálculo numérico 6 [f (nT)] = f [(n + 1) T] -f (nT) E [f (nT)] = f [(n + 1) T] donde t,. es el operador diferencia y E es el operador traslación. Podemos escribir entonces: D. [f (nT)] = E [f (nT) -f (nT)] = (E -1) · f (nT) D.2 [f (nT)] = (E2 - 2E + l) f (nT) = (E -1)2 ·f (nT) aplicando el operador t., m veces, resulta una expresión operativa 6m = (E -l)m Cualquier ecuación lineal de orden m puede es - cribirse: n ¿ d1 · 61 . f (mT) = G (mT) J=o . donde G(mT) es una función conocida. Esta última ecuación se pu~de escribir de otras dos maneras: (J n Li c1 • El [f (mT)] j=O G (mT) n k Li a1 - f[(m - j) T] = Li b; · g [(m-i)T] Í=O i=O Toman·do la transformación inversa y después de unos breves pasos matemáticos obtengo: /(mT) . ANEXO 2 GENERADOR DE NfülEROS ALEATORIOS. Se habla siempre de números aleatorios, pero · =S necesario decir que sólo existen números seudoaleatorios, es decir, el punto de partida es siempre determinístico. De aquí el nombre de "seudoaleatorios", al que no se refiere casi nunca fa literatura. En la r¡ferencia (:?-~) existe en el último capítulo toda una teoría. sobre esto5 generadores. En la referencia (2 3) se da una explicación de los diversos métodos a nivel intuitivo y más sencilla. Aquí esbozaremos cómo se originan los números seudoaleatorios gaussianos. Como dijimos en el apartado 3-c-3, todos los computadores tienen una rutina de "generación de números aleatorios" distribuidos uniformemente en el intervalo [O,l). De esta distribución de probabilidad podemos obtener dos variables aleatorias independientes con distribución gaussiana normalizada: media cero y varianza unitaria . En 1959, Mu11cr e3 ), ohttlVO las_ fórmulas que nos generan dos variables aleatorias a partir de una distribuida uniformemente: U=Y-2 · lnx ·cos(2TCz) V = Y - 2 · ln x · sen (2 TC z} donde x y z son las variables que nos da el computador jugando con\'enientcmente con los "re¡;istros a saltos" (en 1á literatura anglosa jon a, "s hifl register"), (2 4 ), en una posición de memoria del computador que nosotros elegimos. e onclusiones . Pretendimos dar una v1s1on general del diseñ,J de sistemas de comunicación de,-de el puntn ele vista actual. Las ideas que nos han guiado al hacer esta publicación han sido la de abatir el empirismo en el diseño de sistemas y la de estimular al lectoringeniero en la profundización de estas nuevas técnicas que usa el ordenador electrónico. En una próxima ocasión se describirá el uso de> donde tanto CJ como ai serán comhinacione.slineanuevas "herramientas": estadísticas (estadística d~ les de los coeficie!'l tes di , los valores extremos) y cleterminísticas ( variables Aplicando la transformación-z a ambos miembros de estado), para poder tratar problemas de trans:- de la última ecuación y recordando que para t < ') misión-recepción. Se pretende con ellas mayor ra - se debe verificar que: J(t) = g(t) = O, llegamos a pidez y economía. . n k Por lo que se refiere al caso de canales en los ~ ,.- ......._ j,'> ""S.:~.:..,...,,,~--Br-"'- ='>A=~ - k:L'"'.:". -~~-,:-=z-: .. ;.,,ll..Cz.L_.,.. ,_ ., ,.:,..:.l{,JJe~e..J)-la.rt!-ea.IL.J.1.rnb!i:rn!l.Ldebidos a perturha cioj7"o ¡::;"º ·· ·· · ., nes · de tipo multiplicativo, existen solamente solu=- F (:) 39 k ciones a nivel de diseño de señal a transmitir, pero ¿ b1 • z-t no de todo un sistema. Ha sido en el año 1~)69 G (.,) . !=o __ _ n ')' a, · z-l ........ J=;,o cuando se ha construido un programa para canales que varían con el tiempo (situ:iciones de "foding·' y dispersivos), pero cuyo precip es de decenas de: millones ele pesetas. Es todavía un campo abierl\, a la investigación. Agradecimiento. Doy las gracias al doctor ingeniero V. Castellan¡ l. C. E. Sl!ANNON: " The malhematical theorv of com· munication" , B. S. T. J., 19J8 . 2. G. A. KoRN: "Random-Process simulation and measuremcnts", Me. G. H. , 1966, pp. 67, 74, 176. 3. IBJ\1 Data Processing Application-Telephone Infonnation System Reference I Vlodel 1966 . 4. GoLD and RADER: "Digital Processing of signals", Me. G. H., 1969, pp .. 28-29. 5. MRI Symposium on compuler processing in com· munications. P. l. B., N. Y., April 1969 . 6. Interm,tional seminarydigital processing signals, Polythecnic Zurich, March 19í0 . 7. V. D. LANnON: " Th e band-pnss-low-pass analogy". Proc . IRE , vol. 21 , December 1936. 8. E. C. CttERRY: " The transmission characterislics of asymetric - sideband ccimmunication networks ", Jour. IEEE , March 1942June 1943. 9. R. A. j \fANSKE: "Cornputer simulation of narrowband systems'", IEEE Trans . on computers , vol. C-17, April 1968 . 10. R. W. ZAORSKI: "Digital wireline channel simulator" , IEEE International Conference Communications, June 1969, Colorado. 11. F. F. Kuo, J. F. KAISER: '' System analysis by digital computer" , John Wiley an<l rnns, 1966. 12. Special issue on "Digital filters" IEEE Transactions on Audio and Electroacustics, Septcmber 1968 . 13. V. CASTELLANI: "Digital comput er simulation of an FM Band-dividing demodulator ", Th . M. S., MIT 1965. 14 . "Alta Frequen za", núm. ll, 1967. 15. C HU: "Die;ital simulation of continous sys tems", Me. G. H., 1969, p. 4. 16 . M. s. CoRRINGTON: ''Si mplified calculation of transiente response ", Proc . IEEE, March 1965. 17. CASTELLANI, DocLJOTTI, S'AcosT:Ko: " Digital simulation metho<ls in commu11ications system analysis", II C, Génova, 1969. 18 . H. R. MARTENS , ALI.E N: "Introduction to syste ms theory", Ed . l\1errill, 1969, pp . 558559. 19 . ScHAWARZ, BE:SNET and STElN: "Communications systems an<l techniques", Me. G. H .. pp. 285-286. 20. BIGLIERI, CASTELLANI, PENT: " Introdu z ioni alJa teoría estatistica <le lle communicazioni ", IET Politecnico di Torino , cap. 12, 1969. ' 21. S. O. R1cE : "Mathematical analy sis of random noise", B. S. T. J., 23, 1944. por facilitarme el conocimiento de estas técnica,- y permitirme reproducir una parte del programa de simulación de su tesis defendida en el MlT. Agradezco al grupo de Comunicaciones sus ideas sobre este tema . 22. R. DEUTSCH: "Systems analy sis techniques", Prentice Hall. 1969 . 23. M. E. MuLLER: "A comparison of methods for generating normal devia te s on digital co mputers" , J. ACM, vol. 6, pp . 376-383, 1959. 24. W. W. PETER:SON: "Error-correcting eodes", 1961 , pp . 118-12( Press MIT. 25 . S. C. CUPTA: "Delta function", Transactions IEEE Education, 1964. Simulación en general. GooDE : " Simulation its pl ace in system design ", Proc. IRE II , 1951. A. PAPOULJS: "Anew method of analysis of sampied data systems", Trans . IEEE , November 1959. ZAORSKI: "Simulation of an alog demodulation sys tems", M. S. Th., MIT, 1965. O'NEAL: "Delta modulation quanting noise an?lytical and computer simulation . Results for gaussian and T. V. input signals", B. S. T . J ., 1966 , n.• l. ScHWARTZ, RICHMAN : " Extrema! statistics in computer s imulation of digital communication syst ems", Proc. Spring Joint computer, 1968. VAN TREE!:i : "S tate-variable techniques in detection problems", Proc. IEEE, l\fay 1970 . Transformación-::;. JuRY : "Theo ry and applications of the z-transform method". John Wyley, 196,i. HEL~I: " The z-transform" . B. S. T. J., vol. 38, 1959. Filtros digitales. Audio and Electroacoustics, Jllne 1969, "S pecial issue on F as t Fourier transfonn ": BrKOV: " Digital modelling of processes in linear and non-linear continuos sys tem s", Radw Engineering, n.º 5, 1968. Go LD and RAEDER: " Digital processing signals", Me . G. H., 1969. 40