Modus ponens on Boolean algebras revisited
Abstract
In a Boolean Algebra B, an inequality f(x,x -> y))<=y satisfying the condition f(1,1)=1, is considered for defining operations a->b among the elements of B. These operations are called ``Conditionals'' for f. In this paper, we obtain all the boolean Conditionals and Internal Conditionals, and some of their properties as, for example, monotonicity are briefly discussed.
Full text
!"
# ! !
$ %
& ' ' ' ! (
! ) !* &
! " "
!#$ % ! " !" &
'%
!#$ () % & & #
' % % % %
*
+
,'% -
+
&
+
%
+
%&
' &
%
%
%
. & % &
/
0 % %
1 !" %2& *
2&
.
+
(3) % 4
%
,'%
- ,5- %
+
+
+
+
6 2& 7 &
+
% &
&
+
& &
+
.%& 2&
*
+
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
&
¼
¼
%&
+
4
+
¼
.4
¼
+
2& 2&
+
. &
+
+
¼
¼
+
¼
¼
¼
¼
'
+
¼
¼
8 % %
+
+
¼
¼
+
¼
+
¼
+
0
+
+
+
% &
+
¼
¼
¼
0
+
+
+
% &
9. # %
*
+
*
%
!"#% %
#5 .
% &
: 2& 2
+
! ' " "#% % !'"#%
;
#' 5
<% &
#' 5 5 .
& ' 8 ' .
%
!"#%
!"# % %
!'"#
%
!"#% ' .
#5
% !"#%
%
#5 % 8
= & !"#%
+
¼
¼
Æ
¼
¼
%
Æ
'%
+
¼
¼
+
¼
¼
*
¼
+
7
+
+
+
+
Æ
¼
¼
52& %
+
¼
& !'"#%*
+
+
¼
¼
%
+
¼
¼
7
¼
¼
7
¼
¼
¼
+
7
+
+
52&
+
Æ
¼
¼
!"#%
+
+
¼
¼
+
¼
¼
.
+
¼
¼
+
& !"#%
7 !" !'"#%
' %
+
+
¼
Æ
¼
%
'%
+
¼
¼
¼
¼
+
¼
¼
¼
Æ
¼
*
¼
¼
+
7
+
+
+
Æ
+
+
&
!'"# % %
+
¼
¼
¼
¼
7
¼
¼
¼
+
7
+
+
+
Æ
¼
¼
+
+
¼
¼
&
!"#% %
+
¼
¼
& % !'"#%
>
4
%
+
%& '
+
+
¼
%
¼
¼
+
¼
+
2
¼
+
52&
& Æ %
' 5
.
+
+
¼
¼
Æ
¼
¼
Æ
% %
¼
Æ
¼
¼
+
+
Æ
+
' 5
+
¼
?8
+
+
&
+
¼
% 4
+
.&
+
' 5
@ '% & .%&
& %
¼
+
¼
¼
¼
Æ
¼
¼
+
2.
¼
¼
Æ
¼
¼
+
. .4
%
? :
%
+
&A
+
%&
'
+
¼
¼
¼
¼
+
¼
¼
Æ
¼
¼
Æ
+
+
+
¼
¼
¼
¼
*
+
¼
¼
¼
¼
.
+
+
Æ
¼
+
Æ
+
+
¼
¼
¼
¼
+
¼
¼
¼
+
¼
¼
¼
¼
¼
B
*
+
¼
¼
¼
¼
¼
+
¼
¼
¼
¼
¼
¼
+
2.
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
+
¼
¼
¼
¼
¼
+
52&*
+
+
+
+
¼
¼
+
¼
¼
¼
+
¼
*
+
+
¼
3
+
+
¼
C
+
¼
¼
+
¼
+
¼
¼
+
¼
% % #
+
¼
7 !'"# %
(C) % % &
&
? 2&
= 8
% &
?
% % & . %
+
¼
% *
+
¼
¼
¼
+
¼
+
&A
+
=
+
¼
¼
¼
¼
+
¼
¼
Æ
¼
¼
%
+
¼
¼
Æ
¼
¼
D
¼
¼
¼
Æ
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
Æ
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
Æ
¼
+
¼
¼
Æ
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
Æ
¼
%*
¼
Æ
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
Æ
¼
+
¼
Æ
¼
¼
¼
¼
¼
¼
Æ
¼
+
¼
¼
Æ
Æ
¼
¼
¼
+
% & %
+
E
+
E
Æ
+
E
Æ
¼
+
%
+
¼
Æ
¼
¼
!"#% %
%
Æ
+
+
%
Æ
+
+
6 %
8& !"#% = 8 %
+
Æ
+
+
!"#%
+
+
¼
+
% %
+
%
& % &
Æ
+
1 1
F
F
¼
1 F
1
1
¼
¼
1 F
¼
¼
1
1
¼
+
1 F
1
F
¼
¼
1 1
¼
¼
1
F
¼
¼
¼
+
¼
F F
¼
¼
1
1
¼
F F
¼
¼
F
F
'
()
% %
*
+
: & !"#%
+
¼
¼
¼
¼
+
¼
¼
¼
¼
+
& Æ % &
*
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
+
6
+
+
+
¼
= %
+
+
+
¼
+
<.& %
+
+
< %
+
+
+
6 &
+
+
¼
!"#%
0
+
%
+
+
+
+
%
+
+
6
+
%
:
.%& @ '%
Æ
+
¼
¼
Æ
¼
¼
+
¼
¼
Æ
¼
¼
+
¼
+
'
¼
*
¼
+
%
+
6
+
+
*
+
+
+
¼
+
+
¼
¼
+
¼
¼
+
¼
+
¼
¼
¼
+
¼
¼
+
¼
+
+
¼
=& 0 %
+
+
¼
¼
Æ
¼
¼
% &
+
¼
Æ
¼
¼
Æ
%*
+
¼
G
G
¼
¼
G
¼
G
G
¼
G
¼
¼
:. 5 ' 5
%
%&
+
.& !"#% !'"#% . 5 &
%.%&
+
% &
%
#5 %
%
= & !"#%
() $ H D>
I. " 1 F0
(3) ? DDC
' J % K#
&=AA L# 6& M 3 >#C>
(C) ? 5 6 DD
J %
1#5 3 3#3
() ? 5 6 5 J DD/
=AA& 6 6& >3 //#;/
3