Análisis por elementos finitos de procesos de embutición de chapa mediante un modelo viscoplástico con degradación por huecos

Revista Internacionai de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 6, 1, 7-23( 1990) ANALISIS POR ELEMENTOS FINITOS DE PROCESOS DE EMBUTICION DE CHAPA MEDIANTE UN MODELO VISCOPLASTICO CON DEGRADACION POR HUECOS EUGENIO ORATE CARLOS AGELET DE SARACIBAR Y JEAN BAPTISTE DALIN E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Universidad Politécnica de Cataluña, Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona. RESUMEN En este trabajo se presenta una analogía formal entre las ecuaciones de la teoría de flujo plástico y viscoplástico para metales con huecos y las de la elasticidad no lineal. Se muestra como por simplificación de las ecuaciones generales se obtiene la forma incompresible de las expresiones para metales sin huecos. La formulación general se particulariza para el análisis de problemas de embutición de chapa detallándose las formulaciones de lámina y membrana para tratar del problema de revolución. Finalmente, se presentan ejemplos de aplicación de estirado y embutición de una plancha circular. SUMMARY A formal analogy between the equations of pure plastic and viscoplastic flow theory for void containing metals and those of standard non linear elasticity is presented. It is shown how by direct simplification of the general equations, the standard incompressible flow expressions for non voided metals are obtained. The general formulation is particularized for the analysis of sheet metal forming problems and details of the viscous voided shell and membrane formulations for dealing with the axisymmetric case are given. Finally, some examples of applications of pure extension, hemispherical stretching and deep drawing of a circular sheet are presented. INTRODUCCION Es bien conocido que un método efectivo para estudiar la deformación continua de metales es utilizar un modelo de flujo rígido plástico en el que se prescinden de los efectos elásticos. El modelo más sencillo, y quizás también el más usado, utiliza el criterio de fluencia de von Mises, lo que se traduce en que el flujo es de naturaleza incompresible. Las ecuaciones del problema son, en este caso, totalmente análogas a las de la elasticidad Recibido: Marzo 1989 @Universitat Politbcnica de Catalunya (Espaíía) ISSN 0213-1315 7 incompresible, pudiendo intercambiarse los conceptos de desplazamiento, deformación y módulo de rigidez en el problema elástico, por los de velocidad, velocidad de deformación y viscosidad (no Newtoniana) en el problema de flujo1. Esta analogía ha permitido resolver problemas complejos de conformado de metales utilizando programas de elementos finitos escritos originalmente para elasticidad incompresible en dos y tres dimensiones8. La extensión de esta analogía para análisis de problemas de conformado condujo a la obtención de la denominada fomulación de láminas viscosas basada en la modificación de la teoría infinitesimal de láminas elásticas utilizando la analogía flujo-elasticidad antes mencionada6*'. Recientemente Oñate y otros7 han extendido el modelo de láminas viscosas para tener en cuenta efectos de degradación del material por nucleación, crecimiento y coalescencia de huecos microscópicos. El modelo resultante de láminas viscosas con huecos introduce el efecto de compresibilidad del material en la forma de un modelo constitutivo de dos parámetros que pueden identificarse sencillamente como el módulo de rigidez y el coeficiente de Poisson de un material elástico no lineal análogo. Ello permite resolver por elementos finitos estos problemas, potencialmente más complejos, utilizando directamente programas escritos para los clásicos problemas de elasticidad (compresible)'. El objetivo de este artículo es presentar de forma unificada los conceptos básicos del modelo de láminas viscosas para materiales plásticos/viscoplásticos incluyendo el efecto de degradación del material por desarrollo de huecos microscópicos. La formulación se particularizará para el caso de revolución utilizando sencillos elementos de lámina y membrana de revolución de dos nodos. Finalmente se presentarán ejemplos de aplicación de la formulación a problemas de estirado y embutición de una plancha circular. CONCEPTOS BASICOS La base de la formulación del flujo plástico/viscoplástico es suponer que durante el proceso de deformación las deformaciones elásticas son despreciables1-=. Esta hipótesis permite escribir la siguiente ecuación para la velocidad de deformación donde i;j y iZL indican las tensiones de velocidad de deformación total y no lineal - plástica/viscoplásticarespectivamente. La forma de la función f depende del tipo de modelo constitutivo plástico/viscoplástico que se utilice. En cualquier caso, la ecuación (1) describe el comportamiento de un fluido equivalente en el que las velocidades de deformación se relacionan con las velocidades u; por y las tensiones satisfacen las clásicas condiciones de equilibrio PROCESOS DE EMBUTICION DE CHAPA L~u+~=o en el volumen V ddTu = t en el contorno I' (3) donde b y t son vectores de fuerzas másicas y de superficie, respectivamente, y M es una matriz que contiene las componentes de la normal al contorno r8. En los siguientes apartados se presentarán formas particulares de la ecuación (1) para un material plástico/viscoplástico con y sin efectos de degradación por huecos. FLUJO RIGIDO PLASTICO DE METALES CON HUECOS El criterio de fluencia de un material metálico con huecos arbitrariamente distribuídos de forma esférica (en problemas tridimensionales) o cilíndrica en problemas planos puede escribirse siguiendo a Gursong como a;j y s;j son la tensión y la tensión desviadora de Cauchy macroscópicas, respectivamente, UM es el límite de fluencia del material matriz (supuesto incompresible), f es la porosidad del material (porcentaje volumétrico de huecos) y Adviértase que para valores nulos de la porosidad (f = O) w = 1 y la ecuación (4) se reduce al conocido criterio de von Misesz. El cambio en la porosidad durante un incremento de deformación se toma comog-l1 donde los subíndices g, n y c indican crecimiento, nucleación y coalescencia de huecos. Asimismo, es usual suponer quelOJ1 siendo el parámetro de nucleación k el porcentaje volumétrico de partículas que se convierten en huecos por incremento unitario de tensión. Por otra parte, la nucleación se supone que ocurre sólo si el valor aproximado de la tensión normal máxima UM + excede en el incremento de tiempo el valor máximo obtenido en el incremento anterior. Finalmente, el término fc puede tenerse en cuenta numéricamente de la forma siguiente. De acuerdo con Tvergaard", la coalescencia tiene lugar para f 2 0.20. Por consiguiente, un esquema sencillo y efectivo para reproducir este fenómeno, consiste en incrementar proporcionalmente el valor de f, en los puntos en que f = 0.2, en un número fijo de incrementos (E 5) hasta que f = 1, momento en que la capacidad portante del material se anula. Haciendo uso de la teoría clásica de la puede obtenerse la siguiente expresión para las velocidades de deformación no lineales (plásticas) de la ecuación (1) donde con B = A = *, S = senhA y k = iij 2A' 2u~ Comparando (8) con la clásica ecuación constitutiva de la elasticidad Lineal, y teniendo en cuenta las ecuaciones (2) y (3) puede concluirse fácilmente que existe una perfecta analogía entre las ecuaciones del flujo plástico de un metal con huecos y las de la elasticidad clásica. Por tanto, los desplazamientos y las deformaciones del modelo elástico pueden interpretarse como las velocidades y velocidades de deformación del, modelo de flujo plástico, y el módulo de rigidez elástico y el coeficiente de Poisson como los parámetros G y Y de las ecuaciones (8) y (9), y viceversa. Adviértase la dependencia de los parámetros G y F en las tensionesJdeformaciones lo que hace que el modelo elástico análogo sea no lineal y, por consiguiente, la solución numérica debe encontrarse de forma iterativa. FLUJO PLASTICO DE MATERIALES SIN HUECOS Para materiales plásticos sin huecos f = O y w = 1 y, por lo tanto, de las ecuaciones (8)-(10) se deduce que Así, pues, se recupera la incomprensibilidad de la deformación, típica de estos casos, y la expresión del módulo de rigidez equivalente G coincide con la de la viscosidad no Newtoniana del clásico problema de flujo plástico216. PROCESOS DE EMBUTICION DE CHAPA INCLUSION DE EFECTOS VISCOPLASTICOS La expresión para la velocidad de deformación viscoplástica puede postularse como8 para x > O <ij = 7xn80; iij =O para x=0 donde 7 es el parámetro de fluidez y x representa el "exceso de tensión viscoplástica" definido por Nótese que para un problema no viscoso x = 0, cumpliéndose la ecuación (4). Sustituyendo la ecuación (14) en la (13) y haciendo uso del concepto de trabajo viscoplástico efectivo del material degradado ZP definido por se obtiene, tras operar, una expresión para la velocidad de deformación viscoplástica idéntica a la ecuación (8) con Adviértase que para x = O se recuperan las expresiones de G y ü de la ecuación (9) para el problema no viscoso. Por otra parte, es interesante advertir que si se considera el material sin huecos (f = O, w = 1) las expresiones de la ecuación (16) se convierten en coincidiendo el valor de G con el de la viscosidad del flujo viscoplástico incompresible obtenida en [2], [6]. Hay que destacar que las expresiones de G y ü de la ecuación (16) difieren de las obtenidas recientemente por los autores en [7] en base a un procedimiento más simplificado. Se remarca, no obstante, que las expresiones aquí presentadas E. ORATE, C. AGELET DE SARACIBAR Y J. DALIN no introducen ninguna simplificación en las ecuaciones viscoplásticas y pueden, por consiguiente, considerarse exactas. APLICACION A PROBLEMAS DE EMBUTICION DE CHAPA La analogía presentada en los apartados anteriores permite resolver problemas de grandes deformaciones plásticas/viscoplásticas en la embutición de chapa, haciendo uso directamente de la teoría infinitesimal de láminas elásticas. El esquema de solución sigue las etapas siguientes: 1) Seleccionar una formulación para análisis infinitesimal de láminas con material elástico. Si se utiliza el método de los elementos finitos la solución numérica del problema implica resolver, tras la discretización, un sistema de ecuaciones algebraicas que en forma matricial se escribe comos donde K es la matriz de rigidez de la lámina y a y f son los vectores de desplazamientos y fuerzas nodales, respectivamente. El modelo de láminas viscosas con huecos equivalente se formula identificando desplazamientos y deformaciones con velocidades y velocidades de deformación, respectivamente, y el módulo de rigidez y el coeficiente de Poisson son los parámetros G y ü dados en los apartados anteriores. Para el caso de material sin huecos ü = 112 y G viene dado por las ecuaciones (9) y (17 b) para el caso viscoso y no viscoso, respectivamente. La ecuación (18) se convierte entonces en un sistema de ecuaciones no lineales que debe resolverse iterativamente. En la primera iteración deben definirse los valores de las velocidades a0 y porosidad f0 iniciales. Calcular a'. Si se utiliza iteración directa la primera iteración es 3) Calcular la convergencia del campo de velocidades utilizando una norma adecuada5. Si no se obtiene convergencia se vuelve a la etapa 2. 4) Una vez obtenida la convergencia se actualiza la geometría por a At, donde At es un incremento de tiempo adecuado que puede tomarse como un valor constante, o igual al incremento de tiempo para el que el primer nodo libre de la plancha entra en contacto con el punzón o la matrizb. Asimismo, si uno o más nodos entran en contacto con el punzón o la matriz deben cambiarse las condiciones de contorno. Finalmente, deben actualizarse los valores del espesor y la porosidad de los puntos de la plancha, de acuerdo con los valores calculados para las deformaciones a través del espesor y volumétrica, respectivamente. 5) El proceso de solución se inicia con los nuevos valores de la geometría y porosidad de la plancha. El algoritmo es, por tanto, muy simple y permite incluir otros fenómenos como PROCESOS DE EMBUTICION DE CHAPA endurecimiento por deformación y rozamiento de una forma muy sencilla5-' (El problema del rozamiento se tratará asimismo en un apartado posterior). Es interesante advertir que en estados avanzados de la deformación de la plancha el campo espacial de velocidades no cambia significativamente entre dos configuraciones sucesivas. Por consiguiente, pueden obtenerse ahorros importantes en el tiempo de cálculo actualizando la geometría de la plancha utilizando el mismo campo espacial de velocidades para varios incrementos de tiempo7. Hemos de destacar asimismo, que en problemas de flujo plástico la iteración directa proporciona convergencia del campo de velocidades en pocas itera~iones'O-~. Sin embargo, si se considera un material viscoplástico la no linealidad del problema aumenta y para conseguir convergencia en un número razonable de iteraciones es necesario acudir a un algoritmo de solución de Newton-Raphson. En cualquier caso, deben tomarse precauciones para preveer un valor límite máximo del módulo de rigidez en zonas de la plancha donde se produzcan movimientos de sólido rígido para evitar el mal condicionamiento de la matriz de rigidez. En los apartados siguientes se presentan detalles de la formulación de elementos finitos de láminas viscosas con huecos para problemas de embutición con simetría de revolución. FORMULACION DE LAMINAS VISCOSAS El éxito de la formulación de láminas viscosas se basa, como se ha indicado con anterioridad, en la eficiencia de la formulación de láminas elásticas análoga. En este apartado se presentan brevemente las expresiones fundamentales de la formulación de láminas viscosas de revolución con efectos de degradación por huecos desarrollada por Oñate y otros7, para análisis de problemas de embutición de chapa. La formulación se basa en la teoría de láminas de Reisnner-Mindlin y utiliza el sencillo elemento de revolución de dos nodos. Los detalles de esta teoría de láminas pueden encontrarse en las referencias [5], [7] y [14]. Una vez discretizada la lámina de revolución en elementos Lineales (ver Figura 1) el campo de velocidades de un elemento puede expresarse por 2 u; u={~}=xNia; con ; y a;={;} (20) i=l donde u;, w; y 8; son las dos velocidades cartesianas y la velocidad angular del nodo i, respectivamente, y N; es la función de forma del nodo i (ver. Figura 1). Los vectores de velocidad de deformación y de tensiones se expresan por7 E. ORATE, C. AGELET DE SARACIBAR Y J. DALIN Figura 1. Lámina de revolución. Discretización en elementos lineales. donde para un material isótropo donde G y son los parámetros de la formulación del flujo plástico/viscoplástico con huecos, dados en apartados previos y B es la matriz de velocidad de deformación cuya expresión se muestra en el Apéndice junto con la de la matriz S. La matriz de rigidez K(~) y el vector de fuerzas nodales f (e) del elemento se obtienen Por donde I(~) es la longitud del elemento, r la coordenada radial, t y p vectores de carga repartidas y puntuales, respectivamente y la expresión de la matriz D se da en el Apéndice. Se ha demostrado que para la utilización con éxito de este sencillo elemento troncocónico la matriz de rigidez debe calcularse utilizando una cuadratura de Gauss de un solo punto1*. Esto permite obtener una expresión incluso más simple y explícita (e) de Kij como donde (y) indica valores calculados en el centro del elemento. La expresión de B; se obtiene de forma inmediata sustituyendo los términos N; y % en la ecuación (A.l) por y 9, respectivamente. PROCESOS DE EMBUTICION DE CHAPA FORMULACION DE MEMBRANA DE REVOLUCION En muchos problemas de embutición puede deducirse una buena aproximación utilizando una formulación de membrana. Dicha formulación puede deducirse fácilmente para el caso de revolución prescindiendo de los términos de flexión y cortante en las expresiones obtenidas en la formulación general presentada en el apartado anterior. Los vectores y matrices de interés son ahora los siguientes Vector de velocidades: Vector de deformaciones generalizadas: Vector de esfuerzos aziles: con donde t es el espesor, los coeficientes d;j se dieron en la ecuación (24) y Finalmente, la forma explícita de la matriz de rigidez para el elemento lineal se obtiene en este caso por una expresión idéntica a la (27) con B,; y D, en vez de B; y D, respectivamente. TRATAMIENTO DEL ROZAMIENTO Un algoritmo sencillo para simular el efecto del rozamiento entre las superficies en contacto de la plancha con el punzón o la matriz puede basarse en un ajuste de las reacciones nodales en los nodos en contacto en cada iteración hasta que satisfagan la condición de rozamiento de Coulomb. Este procedimiento se ha utilizado con éxito por los autores5~' y será el empleado en los ejemplos que se muestran en este artículo. Un algoritmo alternativo para simular el contacto entre plancha/punzón/matriz y el rozamiento entre dichas superficies se basa en imponer las condiciones de contacto por un método de penalización, partiendo de la energía potencial total de las fuerzas de contacto con las condiciones de compatibilidad geométrica. De manera general, las condiciones de contacto pueden escribirse como E. ORATE, C. AGELET DE SARACIBAR Y J. DALIN REFERENCIAS 1 . O.C. 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Adviértase que el cálculo de D exige una integración sobre el espesor, lo que se efectúa en la práctica utilizando integración - cos 4% se.#% - o Ni Z o o o O -aN; a8 -N; O o aN. -+en+& cosq59 -N; _ (A.1)