Cálculos electromagnéticos en 3 dimensiones mediante el método de los elementos de contorno

ABSTRACT CALCULOS ELECTROMAGNETICOS EN 3 DIMENSIONES MEDIANTE EL METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO N. Duffo, J.C. Crucllas, M. Fcrrando. Dpto. Teorln de la Seiial y Comunicaciones, Grupo A.M . R. E.T.S.I. de Telecomunicnci6n de Ilarcelona -U.P.C. Ap<lo. 30002,08080 Ilarcelona. Telf. 93/40 !.68.11 The Boundary Element Method is applied to solve 3 D electromagnetic problems. The basic formulation and associated items (integral equation to solve, surface discretiz:ttion, fields interpolation and numerical integration ) are commented. Obtained results when this technique is applied to the study of boundary problems are shown. INTRODUCCION La resoluci6n de problemas electromagneticos en 3 dimensiones vi ene siendo objeto de cstudio crecicntc a medida que la potcncia y rapidcz de calculo de Ios computadores aumcntan. L1 nccesidad cxistcnte en multitud de campos de calcular Ios campos difractados por ol~jetos de forma y constituci<)n arbitraria en presencia de un campo incidcntc, es buena muestra de ello. En esta comunicaci6n se presenta el analisis de diversos problcmas electromagncticos en 3 dimcnsiones utiliz.ando cl Metodo de Ios Elementos de Contorno (M.E.C.) , de cuya aplicacilln al caso hidimensional se ha venido dando cuenta en aiios pasados. El metodo modela Ios objctos a estudiar mediante elementos triangulares o rectangulares , rectos o curvados, idcnticos a Ios isoparametricos utiliz.ados por cl Metodo de Ios Elementos Finitos (M.E.F.), pcrmiticndo intcrpolar mcdiante polinomios de scgundo ordcn tnnto Io s campos in c<lg nita sohrc la supcrlicic del cucrpo conw la mis ma superficic. La discretiwci<'m de la ecunci<'m integral pcrtinente per mite gcncrar un sistcma uc ccuacioncs cuyas inc6gnitas son Ios cnmpos electromngneticos sobre la supcrficic de Ios ol~jctos . En la comunicaci6n se muestra cl trab:\jo dc sarrollado en la fase de discrctizaci<ln de ohjctos arbitrarios y generaci<ln de Ios elementos yen cl calculo y cnsamblado de las matrices del sistema de ecuacioncs final, as I como Ios resultados ohtenidos con este mctodo. FORMULACION El Metodo de Ios Elemcntos de Contorno parte del equivalente vcctorial de la scgunda idenlidad de Green: ( (Q· Vx\lxP -P· Vx\lxQ) dv-fs (Px\lx{i-{ix 'lxP) lida ( 1) donde P y Q son funciones veclorialcs con la primera y la segunda derivada conlinuas a !raves de V y sobre S.Haciendo P-i · y 6 una funci6n veclorial relacionada con la funci6n de Green del espacio libre: e-JkR G--- R ( 2) c.lomle R es la c.listancia c.lcsc.le el punto fucntc f al punto c.lc observaci6n -I I . Dcspucs c.lc algunas manipulacioncs vcctoriales [l],sc llcga a la siguicntc ccuacion: ( 3) En la ecuaciun (3) a cs cl angulo sulic.lo normalizado subtcndido e igual a 'h si el punto esta sobre una superficie suave. De forma analoga se obtiene una cxprcsi6n dual para el campo magnetico: ( 4) Las ecuacioncs (3) y (4) indican que el valor del campo en cualquier punto del espacio pucde expresarse en funci6n de una integral de Ios campos sobre la supcrlicic que encierra a la region en la que se encuentra, una vez que estos son conocidos. Tras obtencr la ecuacilin integral, se hace uso de Ius elementos isoparametricos, ampliamente utilizados en el M. E.F. que permit en discrctizar la supcrlicie en N elementos e interpolar Ios campos mcdiante polinomios de orden n: (5) ( 6) donc.lc se ha introc.lucido F para abrcviar la notaciun. E~ y Fj son Ios valores de Ios campos en puntos concrctos lie Ios clcmentos. u1 ecuaci6n integral discretiz:1da loma finalmente cl aspccto que siguc: ( 7) siendo M cl numcro de nodus del clcmento. Tomando como puntos de obscrvaci<ln Ios nodos sobre la superlicie, se ohtiene un sistema de ecuaciones: [C] [F]- [D] [E] (8) gcncrado mcdiantc cl ensamblado de subbloqucs matricialcs como Ios que siguen: Dl.J - 0 0 (9) fc;{l j da domle i,j se exliende desde I hasla el numcro de nodos y la integral se cxlendcra en cada caso a Ios clcmenlos a Ios que el nodo j perlenezca. ELEMENTOS UTILIZADOS Los elemenlos que se han ulilizado son parabOlicos , como Ios que se muestran en la ftg.l, dcftnidos mcdiante funciones de forma que permiten ~justar escamas triangulares o cuadrangularcs coil las que cs posihlc modclar geometrfns complejas. Las funciones de forma seran 6 para el caso triangular y 8 para el caso cuadrangular y dcpenderan de dos variahlcs locales ( y 11 y coincidiran con Ios polinomios de intcrpolaci6n de Ios campos. [2] GENERACION DEL SISTEMA. INTEGRALES SUPERFICIALES. Para evaluar cada una de las integralc.<; que constituyen Ios coeftcientes del sistema, se recurre a procesos ue integracion numerica. En el caso de que el nodo campo sea uistinto al nouo fuente , el metouo utili:wuo es cl de cuadratura de Gauss de 16 puntos para Ios clementos cuadrangularcs y de 15 para Ios triangulares. Pero si el nodo campo coincide con cl mxlo fuente, la integral es singular y el metodo anterior no es adccuado, por lo que se ha oplJido por una suhdivisi6n sucesivn de Ios clementos de tal forma que se ohtenga un numcro clcvado de puntos de integracion alredcdor del nodo. Los elementos cuadrangulares se suhdividen en primera instancia en 2 6 3 elementos triangulares segun se..1. la posici6n del nodo fuentc ( en una esquina o en mcdio de un !ado) y a continuaci6n estos se van subdividiendo hast:1 conscguir una precisi6n adccuada.[3] 5 2 Fig. I 6 _ ; ··--~'-" 4 o/ ---~- - ----- / ; · 1 - Elcmcntos triangulares (6 nodos) y cuadrangularcs (8 nouns) 326 3 RESULTADOS Coma primer conjunto de pruehas, se han resuello diferentes prohlemas cerrados en gufa de onda. Se impusieron como condiciones de contorno sohre la superficic que cncierra a una determinada region de esta, Ios valores de uno de Ios campos. Se rccupernron Ios valorcs del otro y se rcconstruyeron Ios c:unpos clectromagneticos en cl interior de e.~a supcrficic. Asf, para el caso de una zona esferica de radio 0.1 A centrada en una gufa rectangular, de dimensiones 0.5 Ay 0.25 A, Ios valores te6ricos y Ios obtenidos para la componente Ey del campo electrico (las otras componentes son nulas, y Ios valores que se ohtienen son del orden de las diezmilesimas) se muestran en la tabla I. El tratamicnto de prohlemas de difracci<'in de cuerpos metalicos no exige exce.~ivas complicaciones adicionales (hastara con imponcr valore.~ sohre el campo electrico tangencial en funcil)n del incidente y calcular el magnetico a partir de el ) y se espern estar en disposicion de ohtener Ios primeros resullados proximamente. COORD.DEL PUNTO V ALOR TEORICO Ey (valor compl~jo) V ALOR REAL Ey (valor complejo) (X,Y,Z) (.21,.075A,0) (-.9510,0) (-.9445, 1.9E-3) (.21, .125A,0) (-.9510,0) (-.9462,1.9E-3) (.2A,.J75A,0) (-.9510,0) (-.9481,1.9E-3) (.251,.075A,0) (-1.0,0) ( -. 9944,1. 8E-3) (.25A,.I251,0) (-1.0,0) (-.9948, 1.9E-3) (.251,.1751,0) ( -1.0,0) (-.9959,1.8E-3) (.JA ,.0 75A,O) (-.9510,0) ( -. 9516, I. 7E-3) (.3A,.I25A,O) (-.9510,0) (-.9462, 1.9E-3) (.JA,.I75A,O) (-.9510,0) (-.9482,1.9E-3) Tabla I. REFERENCIAS [I) K.D.Paulsen, D.R .Lynch & J.W.Strohhchn,"Three-Dimensional Finite,Doundary, and Hybrid Element Solutions of the Maxwcll Equations for Lossy Dielectric Media",IEEE Trans. Microwave Theory Tech., vol.36,pp.682-693, 1988 [21 0. C.Zicnkicwichz, "The f-inite Element Met hot!" ,M cGrmv 11 ill ,3rd.ed. 1979 [J] M. Doblarc,"Formulacion tridimensional del M EC con interpolacion parah6lica" ,Tesis Doctoral. ET S ll. Univ.Pol. Madrid.l981 327