Mètodes numèrics 3. Apunts

MAT MN3 LLICENCIATURA DE MATEMATIQUES ' METODES NUMERICS3 Josep Maria Peris Miguel Noguera XCLOs oe P�ÉSTEC UNIVERSITAT POLITECN/CA DE CATALUNYA Biblioteca l llllll lli 1111 lli IIII IIII illl lllll l llllW 1111 , 1400210377 F ULTAT DE MATEMÁTIQU 1 E TADÍ TTCA Tito] Autors Diposit Legal Impres per :::u ••• Facultat de MatomMlques 1 Eltldfstlca • Blbtloteca : Apunts -Metodes Numerics 3 : Josep Maria Peris Miquel Noguera : B.39420-1995 : REPRO BARNA, S.L. C/. Enten�a 16-18. 08015 Barcelona Presentació. l. Sobre el contingut de les practiques. Aquest no és un recull d'exercicis de programació, ni d'exercicis teorics, ni esta enfocat a l'aprenentatge de metodes. No és una coHecció de practiques academiques, amb enunciat precís i tasques ben definides. Presenta una serie de problemes provinents de diferents branques de la ciencia i de la tecnica, algun del quals encara és objecte de recerca activa. La llista de temes es podría ampliar en moltes direccions: Dina.mica de Poblacions, Biología Matematica en general, Economía, Física, Química ... les equacions diferencials apareixen per tot arreu. L'objectiu, pero, no és aprendre, per exemple, Astronomía o Electricitat, sino entrenar-se en treballar sobre un problema real. El tema en concret no importa gaire, perque la maduració d'idees i metodes que proporciona sempre és profitosa. 2. Sobre la manera de realitzar-les. Les practiques contenen una llista -orientativa-de possibles treballs. A cada alumne se li'n propasaran alguns al llarg del curs. És bó, també, que cada estudiant, un cop familiaritzat amb el problema, trii la direcció que vol seguir, fins i tot si desitja atacar un problema obert. És dar que no és tan important trobar-ne la solució com l'aprenentatge que s'obté de l'intent. Si es vol enfocar d'aquesta manera la realització de la practica, és indis pensable treballar-la desde el primer dia del curs, i mantenir una comunicació freqüent amb el professor. 1 2 Les Equacions de Lorenz. l. Introducció. A la primavera de l'any 1963, E.N.Lorenz, del MIT, va publicar, en un article que s'ha fet famas [Lor], un model simplificat de flux hidrodinamic dissi patiu. Va posar de manifest que quasi totes les solucions són inestables i no periodiques, i que dues solucions que a l'espai de fases parteixen de punts ar bitrariament próxims, acaben tenint comportaments completament diferents. Lorenz conclou ([Lor], pag 141): "When our results concerning the instability of nonperiodic flow are applied to the atmosphere, which is ostensibily nonperiodic, they indicate that prediction of the sufficiently distant future is impossible by any method, unless the present condi tions are known exactly. In wiew of the inevitable inaccuracy and incompleteness of weather observations, precise very-long' range forecasting would seem to be non existent." Va ser el primer exemple del que després s'ha conegut com a comportament caotic. 2. Descripció del model. Es considera una capa de fluid, d'espessor H, sotmés a una diferencia constant de temperatura 6.T entre la cara superior i la inferior. Per a simplificar, es suposa que no hi ha moviment en direcció transversal, i el problema queda redui:t a dues dimensiona. Les equacions amb les que Lorenz modelitza aquest sistema són les següents { � = -<TX + <1y y= rxy-xz z =-bz + xy <1 =10, b=8/3, r > O 3 a on .1: és proporcional a la intensitat del moviment <le convecció, y és propor cional a la diforencia de temperatura entre els corrents ascendent i descendent, i z ho és a la desviació de la linelitat del perfil vertical de temperatures. llll ll ljl/1111111111 177777/ 777777711/11 Un estat d'equiHibri obvi és el representat per x=y=z = O. El fluid esta en repos (x=y = O) i, com t::.T és constant, la temperatura varia linealment en la direcció vertical ( z = O). Els valors grans de z representen forts gradients de temperatura a prop de les cares. Els parametres depenen de les característiques del fluid. Si a, v i "' són, respectivament, el coeficient de dilatació, la viscositat cinematica i la con ductivitat termica del fluid, aleshores a = K.- 1v és el número de Prandtl, i Ra =gaH3!::.Tv-1K.- 1 és el número de Rayleigh. Rayleigh va demostrar que hi ha convecció si Ra és més gran que un cert valor crític Re (que esta relacionat amb el valor b = 8/3). El parametre r és, precisament, r = Ra/ Re. Si r > l hi ha convecció. El comportament no és substancialment diferent quan es varíen a i b. A partir d'ara considerarem només els valors que usa Lorenz, a = 10, b = 8/3. L'estudi interessant és la dependencia der. Cal tenir present que les variables x,y,z no són les coordenades del fluid. Una trajectória a l'espai de fases de les equacions de Lorenz representa una evolució del fluid, no la seva trajectória física, malgrat que el retrat de fases faci pensar en remolins atmosferics! Nogensmenys, un punt d'equil.libri del sistema correspon a un estat estacionari del fluid, i una órbita periódica del sistema s'interpreta com un comportament periodic del fluid. L'article original de Lorenz conté una explicació més detallada de la genesi i significat de les seves equacions. 4 3. Descripció del comportament del sistema. Fixant u i b, amb r, u, b > O i b > u+ 1, el sistema queda en funció de r. Les solucions, o, més ben dit, el retrat de fases, és simetric respecte a l'eix z. Punts crítics Per O< r < I L'origen O = (O, O, O) és l'únic punt crític. És asimptoticament estable. Per r > 1 L'origen, O, té dos valors propis reals negatius (amb una varietat estable W5(0) de dimensió 2) i un valor propi real positiu (amb la corresponent varietat inestable W"(O) de dirnensió 1). Apareixen dos punts crítics més, C = ( Jb(r -1), Jb(r -1) , r - 1), al primer octant, i C', el seu simetric respecte a l'eix z. Per 1 < r < rH = u(u + b + 3)/(u -b -I), C i C' són estables. Per r = r H, hi han dos valors propis imaginaris purs. Per r > r H' e ¡ C' són inestables. Per tant, ar = rH hi ha el que s'anomena una bifurcació de Hopf, i neixen orbites periodiques al voltant deis punts crítics C i C'. Orbites homoclíniques. Descriurem les bifurcacions associades a orbites homoclíniques pels valors deis parametres que es prenen més sovint: a= 10, b = 8/3, r > l. Arnb aquests valors, rH '.::::'. 24.74 [Hol]. (1) Per 1 < r < 13.926 La varietat inestable de !'origen va a parar a C i a C': (2) Per r '.:::'. 13.926 5 y Apareix la pnmera órbita homoclínica a l'origen. És el moment de la creació del atractor estrany. (3) Per 13.926 < r < 24.0G Gen�ricament.la varid.at. inestable de !'ori gen dona volt.es al voltant de C i de C', i acaba t.c'.ndint a un deis dos punts. Per a valors discrets de r en aquest interval, hi ha orbites homoclíniques a l'origen, que poden ser fon;a complicades: (4) Per 24.06 < r < rH Algunes trajectories es passegen per sempre per l'atractor estrany, pero algunes encara tendeixen cap a C i C'. (5) Per r = 1'H '.::'. 24.74, C i C' perden la estabilitat. Per r > rH ~ 24.27, tates les trajectories es passegen per sempre per l' atractor estrany. Lorenz va escollir el valor r = 28 per a exemplificar el "caos". 4. Treballs proposats. l. Estudiar els punts fixos, la seva estabilitat, i la part lineal de les varietats invariants, segons els valors de r. 2. Aproximació lineal de W•(O). Demostrar que l'eix z és invariant pel flux, i trabar les trajectories de que es compasa. Plantejar i resoldre analíticament les equacions variacionals al llarg de la trajectoria x = y = O, z > O. Donat 6 V(x1,x2) = � (_!_ -x1)2• 2 X¡ 1·3 X¡> Ü donara les equacions diferéncials: 3. Punts Crítics. Per a H = O hi ha tota una corba de punts crítics del tipus centre parabolic. La corba és r3 = xt que en polars és r = cos2 0. Els vap's són: >-1,3 = O; Per a H = 1/32 hi ha el punt crític sella-centre (2, O), amb vap's 4. Corbes de velocitat zero i regions de moviment C =-O 13 __ . � e= i/Jz e ., :l/32 (Observació: Encara que no ho sembli, l'eix :z:1 és un eix de simetria) El pla equatorial x2 = O, y2 = O és un pla invariant, és a dir, que les solucions amb :r:2 = y2 = O inicial ho segueixen mantenint i solament tenen moviment pera x1, y1. 5. El punt crític (2, O). Apareix per H = 1/32 i te valors propis At,3 = f, >-2,4 = '{(i. El Teorema de Ly1i1101mov ens diu: Considerem un sistema hamiltonia w = Jfl.,. amb J = ( �I �), I= identitat. amb les cundicions següents: - w = O és una solució d'equilibri. - H = 1/2wTGw + • • • és una serir de potencies real amb primers termes quadratics i convergent en un cert entorn df w = O. (G és simetrica). -Els 2n valors propis >.1, ... , An, ,\_1, ... , >--n de JG són diferents. Aleshores, si ,\1 és imaginari pur i els quocients existeix una varietc1.t invarianG de solucions periodiques reals del hamiltonia que depenen ,�nalíticament d'un parametre E real i de periode T(c) també analític, tals que E= O és la solució d'equilibri w = O, T(O) = 271' /\>.1 \. 14 Per aquest punt crític el teorema de Lyapounov es compleix, i ens assegura !'existencia d'una família de solucions periodiques que neix del punt crític. 6. Treballs proposats. Tant el punt crític com les orbites periodi ques que hi neixen, ténen dues varietats estables i dues d"inestables. Les que corresponen a les orbites periodiques es tallen entre elles creant punts i orbites humoclíniques. l. Comprovar els punts crítics, corbes de velocitat zero i regions de moviment. 2. Estudi de les solucions en el pla equatorial. -Escriure les equacions sobre aquest pla invariant. -Calcular, analíticament, les solucions en el pla r - r. -Integrar rp en el pla equatorial (integrals eHíptiques). 3. Seguiment numeric de la família de Liapounov de solucions periodiques (H variable). 4. Seguiment numeric de les varietats invariants del punt crític (H = 1/32) i de una de les orbites periodiques per a trabar els corresponents punts homoclínics. 5. Seguiment d'altres famílies de solucions periodiques. 7. Bibliografía. [Dra] A.J.Dragt. Trapped Orbits in a Magnetic Dipole Field. Reviews of Geophisics, 3, (1965), . [Sto] Stormer. The Polar Aurora. Oxford Univ. Press, Fair Lawn, N.J.,(1955). 15 1G El Pendol Invertit ( o com aguantar l 'escombra) l. Introducció. Alguna vegada heu fet equilibris amb una escombra al palmell de la ma, intentant mantenir-la clreta? Ho heu provat amb un llapis? Qui hagi fet l'experiment s'haura adonat de seguida que costa més amb un pal curt que amb un de llarg, i que quan l'escombra s'aparta una mica massa de la vertical és molt difícil tornar-la a lloc. Fa temps que aquest problema serveix per a experimentar diferents sistemes de control. Es construeix, normalment, un sistema lleugerament simplificat, que consisteix en una barra que pivota en un pla vertical, muntada en un carro que es despla<;a per uns carrils rectes. El sistema te dos graus de llibertat: la posició del carro, i l'angle que la barra forma amb la vertical. Un motor electric mou el carro pels rails. Les variables que es medeixen, o variables d'estat, són la posició i velocitat del carro, i l'angle i la velocitat angular de la barra. La for<;a aplicada al carro és una fnnció d'aquestes variables. En el control classic ([Bar], pag 8 i [Lue], pag 283) aquesta funció és lineal, i els parametres de control ( que són els 4 coeficients de la forma lineal de control) es determinen a priori. A principis dels anys 80, es va comen<;ar a atacar seriosament el proble ma des del punt de vista de les xarxes neuraJs ([Bart), a [And] hi ha un resum historie). La diferencia d 'enfoc respecte al control cfassic és total: no es su posen conegudes les equacions del moviment, la funció de control no és lineal, i cal ensinistrar el sistema per a que determini els parametres de control. Els dife rents tipus d'aprenentatge, de xarxes i d'adquisició d'informació sobre l'estat del sistema donen una idea del ampli ventall de possibilitats en aquest camp, on la recerca és molt activa. 17 Malgrat tots aqusts estudis, la dinamica del sistema encara no és prou ben conegucla. El control classic linealitza a l'entorn de la posició vertical. Fins a quina desviació de la barra el sistema és capa<; de recuperar el control? Obviament., el control lineal no en din n�s. Tampoc se sol calcular la potencia que ha ele tenir el motor: en la posició d'equilibri, tendeix a zero. El resultat l�S que uns models mecanics funcionen, i uns altres no, amb gran desesperació deis seus constructors. D'altra banda, després d'ajustar els parametres, tates les simulacions funcionen perfectament ... Fins al moment, i pel que nosaltres sabem, no s'han constnút models físics deis sistemes basats en xarxes neurals, només se n 'han fet simulacions Aquesta practica proposa un estudi del control classic desde el punt de vista deis sistemes dinamics. 2. Les Equacions del Moviment. Considerem un pendo! de llargada l i masa m, que es suposa puntual i concentrada en un extrem (si es tracta d'una varilla rígida, s'ha de fer una petita modificació a les equacions, que s'indicara. més endavant). El pendo! pot girar en un pla vertical, xy, sobre un suport de masa M que es desplai:;a al llarg de l'eix x. Sobre el suport s'aplica una forc;a f en la direcció de l'eix x. Equacions del moviment. Les coordenades adequades són u i 0 (veure la figura). És convenient per metre que 0 pugui variar entre O i 21r, malgrat que en el model físic que ens interessa aixo no sigui realitzable. La posició de m és x = u + l sin 0, y = l cos 0. 18 Energía cinetica: 1 1 1 1 2·2 . T= -m (x2 + ·il) + -Mú2 = - (m + M) ii2 + -rnl 0 + ú0ml cos 0. 2 2 2 2 Energía potencial: V = mgy= mgl cos 0, 011 g és l'acceleració de la gravetat. Funció ele Lagrange: L = T -V. L 'única forc;a c,xterior és fu = f ( esta aplicada a M, i en coordenades u, 0 és f, O.) Podem cscriure les equacions de Lagrange: l0 + ú cos 0 -g sin 0 = O } (M + m) ii + ml0cos0 -mtiJ2 sin0 = f Finalment, posant ¡1, = m/(m + M) i despejant 0 i ú resulta { 0 = gsin0 -cos0 (! / (m + M) + µlé2sin0) l(1 -¡tcos2 0) ü= f + µl (é2 sin 0 -0 cos 0) rn+M Si es tracta d'una varilla homogenia de llargada 2l (el centre de mases continua tenint les coordenades x,y) i masa m, !'energía cinetica de la varilla és T = ½m (±2 + iP) + ½Ic é2, on le= ½ml2 és el moment d'inercia de la varilla respecte a un eix que passa pel c.d.m. i é és la velocitat angular respecte al c.d.m. (és la mateixa que respecte a l'articulació). Efectuant els calculs, a la primera equació de Lagrange apareix un factor 4/3 multiplicant a 0, i la segona no varia. En les equacions del moviment l'únic canvi te !loe en el denominador de la primera, que passa a ser l ( 4/3 -µ cos2 0.) Adimensionalització de les equacions. Posem t = T,/ffg, u= u/l, f = .,;��, i denotem per primes les derivades respecte a T. Resulta { 011= sin0-cos0(f+µ0'2sin0) (1 -µcos2 0) u" = 7 + µ ( 0'2 sin 0 -0" cos 0) 19 on tates les variables són adimensionals. Finalment, tornem a anomenar les derivades per punts, i les variables sense barres i ho couvertim en un sistema d'equacions ele primer ordre: 0=w sia iJ - cos IJ (f /LW2 sin H) w= --------'---------'- l -¡, m�·i O U=V ú= f + µ (w2 sin0 -wcos0) Si es tracta cl'una varilla rígida, el denominador <le la segona equació passa a ser: 3. El Control. 42 - - JL COS 0. 3 Amb f = O, l'origen (0=w=u=v = O) és un punt d'equilibri inestable. Es tracta d'ajustar f de manera que l'equilibri d'aquest punt esdevingui estable. Si f <lepen diferenciablement de les variables d'estat, i, per tant, en un entorn ele !'origen, f ( 0, w, u, v) = a0 + bw + cu + dv + 02, amb a, b, e i d constants. La part lineal ele f determinara completament els valors propis-i per tant l'es tabilitat-del camp a !'origen. Si busquem només l'estabilitat del punt, podem prendre un control lineal classic: f(0, w, u, v) = a0 + bw +cu+ dv, és a dir, una realimentació lineal de les variables d'estat. Els quatre para.metres de control a, b, e i d es poden obtenir explícitament en funció dels valors propis del camp linealitzat a !'origen, i així, saber quants i quins parametres són necessaris. El problema ele l'estabilitat de la posició superior del pendol queda resolt, pero falta esbrinar com es comporta sota pertorbacions finites (si són petites, 20 segons la mateixa definició de punt d'equilibri estable, el pendol torna a lloc). Dones, bnsqnem la conca cl'atracció ele !'origen. Per aixo sera útil trobar les varietats invariants de r origen ( si en té), órbi tes periodiques o c¡uasiperiodiques al voltant ele l'origen (si existeixen), etc.. La foina no és trivial: en primer lloc, calclri\ fer-ho quasi tot nmnericament i, en segon lloc, l'espai de fases te dimensió quatre, i només s'en poden dibuixar seccions i projeccions. Si s'afogeixen termes quadratics a f (control no lineal) ele manera que l'origen coutinui esseut un ¡mnt crític, d seu carácter cl'estable o inestable no es modifica, peró si que ho fa la seva conca cLttracció. A més, poden apareixer altrcs punts crítics. 4. Treballs Proposats. l. Amb f = a0 + bw +ca+ dv, demostrar que si rL i= O, l'únic punt crític és l'origen, i que si a = O, també ho és (} = 1r, w = n = v = O. Expressar els parametres a, b, e i d en funció dels valors propis ele la diferencial del camp a l'origen. Utilitzant el criteri de Routh-Hurwitz, escriure les condicions en els parametres de control per tal que l'origen sigui estable. Són necessaris tots els parametres per a garantir l'estabilitat? És a dir, tots han de ser diforents de zero?. A continnació es proposa l'cstucli ele cliferents tipus el'estabilitat. En tots els cassos es tracta d'investigar· la conca el'atracció de l'origen. Cal tenir en compte que la varietat estable de l'origen té dimensió 4. Es pot "llenc;:ar" , temps enda rrera, un núvol de punts en un entorn de l'origen, i veure quina regió de l'espai ele fases ocupen les orbites. Aixo és molt laboriós. Es pot fer per uns valors propis donats, pero segurament consurniria massa temps de maquina discutir per aqtwst metode el comportament segons els valors propis. Ééi probable que, quan (} s'acosti a ±1r /2, aparegui alguna mena de compor tament asimptotic a prop clels plans 0 = ±1r /2, w = O. Quins són els punts més propers a l'origen que porten cap aquests plans? Aquestes trajectories (si exis teixen i es poden trobar) elonaríen una idea dels límits de la regió d'estabilitat. També ajuclaria trobar alguna orbita perioclica, i les seves varietats invariants. 2. Nade atractor. Els quatre valors propis han de ser reals i negatius. 21 3. Focus atractor. Dues parelles de valors propis complexos conjugats arnb parts reals negatives. 4. Centre. Dues parelles de valors prupis imaginaris purs i conjugats. En aquest r.rn,, la part lineal no decideix rc�stahilitat. Esbrinar si hi ha farnílies d'orbites periodiques a prop de l'origen. 5. Afeigir algún tenne c¡nadra.tic al control. Per exemple, substituir el terrne en 0 per a02. 5. Bibliografía. [And] C.W.Anderson. Learning to control an inverted pendulurn using neural networks. IEEE Control Systems Magazine, 9(3), (1989), 31-37. [Barn] S.Barnett, R.G.Cameron. Introductio11 to Mathematical Control Theory. Oxford Appl. Math. and Comp. Sci. series, Clarendon Press,Oxford, 1985. [Bart] A.G.Barto, R.S.Sutton, C.W.Anderson. Neuronlike adaptative elernents that can solve difficult learning control problerns. IEEE Transactions on Systems, Man, Cybernetics, 13(5), (1983), 834-846. [Lue] D.G.Luenberger. Introduction to Dynamic Systems. Theory, Models, and Applications. John Wiley & Sons, New York, 1979. 22 3. Treballs Proposats. Amb l'equació de Van der Pol no fon;ada: { :i: .. = y + v(x -x3 /3) i + v(x2 -1).:i: + x= O o be y= -x l. Estudiar els punts d"equiHibri i la seva estabilitat en funció de v. Seguir les varietats invariants de l'origen, quan existeixin. 2. Per a cada v > O existeix un únic cicle límit atractor. Estudiar numeri cament, per valors de v de O a 20. aquestes orbites periodiques, donant la forma de la osciHació, el període i !'amplitud. Comprovar que, per O < v < < 1, es verifica la següent aproximació del període: ( 1 2 5 4 ) T = 21r 1 + 16 V -3072 V + . .. A que tendeix el període quan v-+ oo? I la forma de la ona? Amb l'equació de Van der Pol fon;ada: i + v(x2 -1).:i; + x = éCOSt. 3. Estudiar que ha passat amb el cicle límit. per diferents valors de v i é. 4. Buscar solucions periodiques de període 21m, amb n natural. 29 4. Bibliografía. [Asi] Isaac Asimov. Enciclopedia Biográfica de Ciencia y Tecnología. El Libro de Bolsillo. vols 1232. 1233, 1234 y 1235, Alianza Editorial, Barcelona, 1987. [Don] Manuel García Doncel. Heinrich Hertz. Investigación y Ciencia, 208, (gener 1994), 72-79. [Die] F.Diener, M.Diener. Las Aplicaciones del Análisis no Estándar. Mundo Científico. 89, (Marzo 1989), 276-285. [Gra] J.Grasman. Asymptotic Methods far Relaxation Oscillations and Aplpli cations. Appl. Math. Sci., 63, Springer-Verlag, New York, 1987. [Lie] A.Lienard. Etude eles oscillations entretenues. R.evue Générale de l'Electri cité, 23, (1928), 901-946. (San] J.A.Sanders, F.Verhulst. Averaging Metlwds in Nonlinear Dynamical Systems. Appl. Math. Sci., 59, Springer-Verlag, New York, 1985. [VdPl] B.Van der Poi. A Theory of the Amplitude of Free and Forced Triode Vibrations. The Radio Review, London, 1, (1920), 701-710. (VdP2] B.Van der Poi. On Relaxation Oscillations. The London, Edinburg and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Scíence, 2, (1926), 978-992. [VclP3] B.Van Der Pol, J,Van d<:!r Mark. The heartbeat considered as a relax ation oscillation and au electrical model of the heart. Arch. Neerl. Physiol., 14, (1929), 418-443. [VdP4] B.Van Der Poi. Biological rythms considered as relaxation oscillations. Acta Med. Scand. Sup¡>l., 108, (1940), 76-87. 30 5. Apendix. Resum de conceptes basics sobre circuits. El corrent electric és el despla<;arnent de carregues en un conductor. Per conveni, el corrent té el sentit del despla<;ament de les carregues positives ( és a dir, contrari al sentit en que es mouen els electrons). La intensitat és la carrega que travessa una secció del conductor per unitat de temps: [JJ es medeix en Amperes. Un ampere és la int.ensitat d'un corrent d'un coulomb per segon. (lA = lQs-1). La f.e.m. (for<;a electromotriu) i el potencial es me<leixen en volts (V). El corrent circula del potencial més alt al més baix. Una "pila" és un tipus de generador de f.e.m. i es simbolitza així El corrent va del poi positiu (+) al poi negatiu (-) pe! circuit exterior. Per tant, V a -Vi, > O. S'escriu V ab = V a -Vi,. El quocient entre la diferencia de potencial que hi ha entre els extrems d'un conductor, i la intensitat que hi circula s'anomena resistencia del conductor. La llei de Ohm enuncia aixo: B] La resistencia es medeix en O hms. ( H2 = 1 V A -1). En els esquemes es representen els conductors per fils sense resistencia i per resistencies Un condensador consisteix basicament en dues plaques conductores se parades per un dielectric. No deixa pasar el corrent, pero pot acumular carrega 31 electrica en les seves plaques, positiva en una. negativa en l'altre, quan estan a diferent potencial. La relar.ió entre la ca.rrega q i la diferencia ele potencial V = V 0 -Vi, és constant, i s'anomena la capacitat del condensador: Mentre un condensador es carrega o descarrega, pels conductors que van a les plaques, sí que hi passa corrent, i sembla que el corrent travessi el condensador. La capacitat es medeix en Farads. (lF = IQV-1). Una inductancia consisteix, sovint, en una bobina. Quan la travessa un corrent variable, crea un camp magnetic. Quan es situa en un camp magnetic variable, un corrent electric circula per la bobina. Quan dues inductancies estan situacles de manera que el camp magnetic creat per una travessi l'altre, M es compleix que on dii/ dt és la variació de la intensitat que circula pe! primer circuit i c2 és la f.e.m. indui:da en el segon circuit. La c2 s'oposa a la causa que l'ha creat (llei de Lenz), en aquest cas, a la variació de l'intensitat. M s'anomena coeficient d'inducció mútua, i es medeix en Henrys. (IH = lVA-1s). Una inductancia genera una f.e.m. sobre ella mateixa: � � 32 <-L �- 1E----1 L s'a11omcna el coeficient d'autoinducció, i també es medeix en Henrys. Per exemple, si di/dt > O, t: s'oposa a i. si di/rlt < O, t: te el mateix sentit que i. Resumirem les diferencies de potencial qne apareixen als extrnms de cada com ponent: R � � J-c -· �- = R-1. 33 E= -L cli dt El Problema de Tres Cossos. l. Introducció. L \�;;tndi del movinwut clds planetes i ;;atel·lit.s ha estat, des de fa molts ;;egles, 1111 dels temes mc�s importants de la cic\ncia, i encara ho segueix sent. Com és saliut, la historia de !"Astronomía comenc,:¡i amb els grecs, qui a la vegada, s 'inspiraren en els egipcis. Thales ( 640-546 a.c.) va anar a aprendre a Egipte, 011 ja es coueixia l'esferic:itat de la Terra, l'ouliqu"itat de !'eclíptica i eren capa<;os ele predir eclipsis solars. Pitagoras (569-470 a.c.) fon el primer que afirma que el planeta matutí i el vespert.í són el mateix Venus. De tothom és conegut el moclel planet.ari de Ptolomeo (100-170 a.c.) amb tot el muntatge cl'epicicles per a explicar el moviment aparent dels planetes en el model geocentric. Després de Ptolomeo l'astronomia, i la ciencia en general, va restar for<;a aturada, excepte en el mon arab. No fou fins al segle XV que !'astronomía es revifa a Europa, on cal remarcar Copernic (1473-1543) amb el model heliocentric del sistema solar. Posteríorment, Tycho Brnhe (1546-1601) va continuar la teoría de Copernic i fon un deixeble seu, Kepler (1571-1630) qui va enunciar les lleis del movíment planetari, preludi de la llei de la gravitació de Newton (1642-1727). Un altn� gran defensor de la teoría heliocentrica fou Galileu (1G64-1642). Una vegada acceptada la teoría helíocentrica i les lleis de Kepler i Newton, els científics es centraren més en el moviment específic Je cada un dels planetes i les influencies entre ells. El moviment de la Lluna fou estudiat per Clairut i D' Alembert (1747) emprant desenvolupaments en serie. Euler va guanyar dos premis de !'Academia Francesa (1748-1752) amb estudis sobre les pertorbacions de Júpiter i Saturn, Lagrange (17G6) i Laplace (1784) tamlJé estudiaren el mateix tema. Un dels estuclis més complets sobre el moviment ele la Llnna fou realitzat per Delaunay (1860-187ü). De totes maneres no es pot oblidar una ele les grans obres de la mecanica celest: "Les Méthodes Nouvelles de la Mér.anique Celeste" de Henry Poincaré, tres extensos volums que marcaren una fit.a. 35 2. Descripció del problema. El problema de tres cossos és un model molt particular i, per tant, bastant irreal. Consisteix en l'estudi del moviment d'una massa infinitessimal que és atreta per dos cossos de mas�a finita, puntual i coneguda movent-se d'una ma nera concreta; a més, es considera que el cos de massa infinitessimal no afecta al moviment ele les altres dues masses. El moviment d'aquestes pot ser en orbites circulars al voltant del seu centre de masses, i aleshores parlarem del problema de tres cossos c:irc11lar, o bé en orbites el-liptique::; i, per tant, parlarem del pro blema de tres cossos el·liptic. També considerarem si el tercer cos es mou sobre el mateix pla del moviment de les altres dues masses o no, en el primer cas l'anomenarem problema de tres cossos circular (o el·liptic) i pla. Qui primer va plantejar i donar solucions del problema de tres cossos fou Lagrange, i un deis temes més estudiats d'aquest problema són les orbites pe riodiques i la seva estabilitat. Poi�caré va demostrar, entre d'altres coses, que hi ha un conjunt infinit de condicions inicials que donen solucions periodiques. Les equacions del moviment es plantejen de la manera següent: La suma to tal de les masses és igual a 1, per tant, si una massa val µ l'altre valdra. 1 - µ; la unitat de longitud es pren de manera que la distancia entre les dues masses sigui igual a 1 i la unitat de temps es pren de forma que la constant de gravitació sigui també l. L'origen de coordenades es situa en el centre de masses de les dues masses finites i el sistema de coordenades gira solidariament amb elles amb velocitat angular constant. Aleshores el moviment del tercer cos, de massa infinitessimal, ve donat per les següents equacions diferencials: {x -2iJ = n,, y+ 2i: = Dy (Problema circular i pla) 1 µ 1µ n(x,y) = - (µri + (1µ)rD + - + -- 2 r1 r2 36 Si el problema no és pla, cal afeigir una tercera equació: i = Stz, amb 2 ( ( ))2 2 2 7"1 =,T, -1 - /l + y + Z ; Aquest sistema d'equacions diferencials té una integral primera, anomenada integral ele Ja.cobi: C = 2St(x, y) -(x2 + i/) (problema pla) C = 2St(x, y, z) -(x2 + y2 + :i:2) (problema a l'espai) El probhm1a de tres cossos, tant si és pla com si no ho {�s, té cinc punts d'equil libri anomenats L1, L2, L3 o d'Euler, i L4, L5 o de La.grange. Les coordenades de L4 i L5 són: ,T, = 1/2 -/J,; y = ±J3/2. Les corbes de velocitat zero per a diferents valors de C són: " 37 En els punts d'equil·libri L4 i L5 (són simetrics) podem aplicar el teorema de Lyapunov: Considerem un sistenm hamiltonia w=JH111 • tal que J = ( o J) -1 O - w = O és solució cl'equil-libri. I= identitat. - H = 1/2wTGw + · · • és una serie de potencies que comern;a amb termes qua.elratics i convergeix en un cert entorn de w = O (G bimetrica). -Els 2n valors propis >.1, >.2, ... , >-n, ->.1, ->.2 .... , ->.n ele JG són diferents. Aleshores es compleix que si >.1 és imaginari pur i els quocients >.2/ >.1, ... , >-n/ >.1 no són enters, existeix una varietat inva.riant de solucions periodiques reals del hamiltonia que depenen analíticament cl'un parametre e real i ele període r(c) també analític, tals que per a e = O és la solució d'equil-libri w = O i r(O) = 21r/l>-1I P('r L., i Lr, l,(!UÜIJ Cjlll! c•xistC'iX /J..¡ = H 1 -IT /füi) = o.o:3852 ... (massa crítica dP TI.1mt.li) tal q11r.: i) P,ls q11aln• vap·:; di' L.1 tDr.) s,íu difl'rc•ut.:-; sii ¡1 /:- ¡iI• l - ¡11. ii) PPr a /L,.. ¡1,1 t-ic'11 di' la forma ±ir¡¡, J:11¡8 ami> O< 111 < 1/./2 < 11� < 1 i, p1·r l.anr .• l'I 1111111. d'.-q11il·lihri t�s 1.i.t1t·a1Lw·1Ll ,,. 1.alilci. iii) Anii.lnµ,:-u11P11I. :\ ii) 111•1· 11 ¡1 1 - /l·t· iv) 1 HI' ;1 1 -/1 ¡ > /1 ,�, /1 :/=-ti. Per t.a11I .. st•�1)1JS aixu t•11i111 que: a) Pror ;\ c:ada ¡1. E (O. ¡1 L) 1wix dr L4 ( L,;) uwl familia .q (¡L) d orlJ;Les perio d iq 11rs ([llC' dtipruro11 :u1alít.i •;.mw11L 1'1uJ parf111l!'ITc rc,tl e q11au e tendeix cap a it•rn. l'c1rliit,a pc•ric'1dir.a d1•saJmJ:<'ÍX <'11 ¡,[ p11nt L4 ami> període 21r /rJs· b} PPr a ra, la /t E (O. ¡1 ¡) cix.ccpf;p pc•ls ,·al, 1rs 11,k = - 2 38 �:=l. 2 .... 2. Estudiar l'aplicació ele Poincaré P, a t.emps T = 21r/w, per esbrinar l'esta bilitat del punt d'equil-libri (O, O). Per aixo, calcular DP(O, O) usant: a) Derivació numerica i extrapoiació de Richardsón. b) Les primeres equacions variacionals. Amb els mateixos valors del primer apartat, trobar amb tota l'exactitud possibie el valor de Wr.- 3. Al pla µ - w, s'anomenen corbes separatrius les que separen les regions cl'estabilitat de les el 'inestabilitat, i compleixen ITr(D P(O, O)) 1 = 2. TI:o bar-les mitjanc;ant algún metode de cont.inuació. Aquest estudi és local: es refereix a l'estabilitat lineal del punt cl'equiHibri. Es poden calcular aproximacions analítiques ele les separatrius a partir de les equacions varia cionals. Hi han grafiques i desenvolupaments en serie per valors petits de ¡1 a la bibliografía sobre l'equació ele Mathiew. Comparar-les amb els re sultats numerics. Quan µ -+ oo es fan aproximacions asimptotiques, pero per valors de tL grans pero finits, l'únic camí és el numeric. 4. Repetir l'apartat 3 amb el punt d'equil-libri inferior. (Utilitzar el sistema ( 4) amb el can vi 0 = 1r - <p). En aquest cas, les regio ns el 'inestabilitat s'anomenen regions de ressónancia parametrica. 5. Wiggins demostra, analíticament (emprant la integral de Melnikov) que, per al pendo[ vibrant i amb fregadís, i per a certs valors deis parametres, hi ha intersecció transverssal de varietats invariants i, per tant, caos. ((Wigg], pag 419). Estudiar numericament les varietats invariants deis punts fixos de l'aplicació de Poincaré P, identificant l'hiperpla T = O amb l'hiperpla T = 21r /w, i esbrinar quan es tallen. Quan ho fan amb un angle molt petit, és un problema numeric molt difícil, jaque la precisió del ca.lcul esta limitada pe! nombre de xifres de la maquina. Treballant amb precisió doble no és prudent intentar detectar angles inferiors als 10-s radians. 6. Els punts sobre les corbes separatrius en el pla µ - w són possibles punts de naixement de famílies d'orbites periodiques. Seguint-les, es troba una cascada de bifurcacions de doblament de període, que desemboca en caos. ((Mull], pag 11). 45 5. Bibliografia. [Abr] M.Abramowitz, I.Stegun. Handbook of !vlathematical Functions. Dover, New York. 1972. [Arn] V.I.Arnold. Mecánica Clásica, métodos matemáticos. Paraninfo, Madrid, 1983. [Hoch] H.Hochstadt. The Functions of Mathematical Phisics. Dover, New York, 1986. [Jah] E.Jahnke, F.Emde. Tables of Functions. Dover, New York, 1945. [Lan] L.D.Landau, E.M.Lifshitz. Mecánica (volum 1 del "Curso de Física Teórica"). Segona edició, Reverté, Barcelona, 1985. [Mull] T.Mullin (editor). The Nature of Chaos. Oxford Science Publications, Clarendon Press, Oxford, 1994. [Nay] A.H.Nayfeh. Perturbation Metlwds. Jolm Wiley & Sons, New York, 1973. [Ver] F.Verhulst. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. Universitext, Springer-Verlag, Berlín, 1990. [Wan] Z.X.Wang, D.R.Guo. Special Functions. World Scientific Publishing, Singapore, 1989. [Wigg] S. Wiggins. Global Bifürrntions afü/ Chaos, analytical methods. Appl. Math. Sci. 73, Springer-Verlag, New York. 1988. 46