La formació inicial de matemàtiques per a mestres de primària: del tractament de les concepcions prèvies a l'actuació professional

! La formació inicial de matemàtiques per a mestres de Primària: del tractament de les concepcions prèvies a l'actuació professional Carme Burgués Flamarich Aquesta tesi doctoral està subjecta a la llicència ReconeixementNoComercial – SenseObraDerivada 4.0. Espanya de Creative Commons. Esta tesis doctoral está sujeta a la licencia Reconocimiento - NoComercial – SinObraDerivada 4.0. España de Creative Commons. This doctoral thesis is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercialNoDerivs 4.0. Spain License. Universitat de Barcelona Departament de Didàctica de les Ciències Experimentals i la Matemàtica La formació inicial de matemàtiques per a mestres de Primària: Del trencament de les concepcions prèvies a l’actuació professional Carme Burgués Flamarich 2005 Universitat de Barcelona La formació inicial de matemàtiques per a mestres de Primària: Del trencament de les concepcions prèvies a l’actuació professional Carme Burgués Flamarich Departament de Didàctica de les Ciències Experimentals i la Matemàtica Programa de: Didàctica de les Ciències Experimentals i la Matemàtica Bienni: 1995-1997 Per optar al títol de Doctor en Filosofia i Ciències de l’Educació. Secció: Ciències de l’Educació. Director: Joaquim Giménez Rodríguez Tutor: Josep Mª Núñez Espallargues Índex Índex Capítol 1 . Introducció. Presentació .........................................................................................................................3 1.1. Intencions i estructura de la memòria .................................................................................5 1.2. La problemàtica de l’ estudi ................................................................................................9 1.3. Problema de la tesi. Objectius. Hipòtesi ...........................................................................18 Capítol 2. Marc teòric per al model de desenvolupament . Presentació........................................................................................................................23 2.1. Recerca per desenvolupament . Descripció i justificació...................................................25 Recerca per desenvolupament i formació inicial d’ensenyants................................27 Trajectòries hipotètiques de formació inicial i pràctica professional........................29 Fases de la recerca per desenvolupament...............................................................33 2.2. El mestre de Primària com a professional educador matemàtic.......................................35 Característiques i perfil generalista –especialitzat....................................................35 El mestre de Primària com educador matemàtic......................................................40 El mestre de primària com a membre d’una comunitat professional........................42 2.3. Sobre el desenvolupament professional............................................................................45 El desenvolupament com a canvi. Obstacles...........................................................46 Desenvolupament, reflexió i experiència..................................................................47 El desenvolupament com a taula d’aprenentatge.....................................................50 El desenvolupament professional com a construcció personal................................52 2.4. Components matemàtica i estratègica del desenvolupament professional .......................55 2.5. Component actitudinal del desenvolupament professional................................................60 Apreciacions, creences i intencions de formació....................................................60 Índex Efectes de les creences............................................................................................63 Sistemes de creences i apreciacions .......................................................................64 2.6. Desenvolupament professional i pràctica situada..............................................................65 Els processos de pràctica d’aprendre a ensenyar....................................................67 Relació entre coneixement i pràctica professional ...................................................69 2.7. Bases per a un model de desenvolupament professional .................................................72 Principis de formació ................................................................................................72 Sobre el paper del formador i el procés de desenvolupament .................................77 Intencions sobre les pràctiques i competències professionals.................................79 Capítol 3. L' estudi. Presentació........................................................................................................................85 3.1.Metodologia i fases de l’estudi...........................................................................................87 3.2. Context i subjectes de l’estudi ..........................................................................................91 Sobre el coneixement previ de l’alumnat..................................................................93 Posicionament de l’alumnat......................................................................................98 Sobre l’autogestió dels aprenentatges ...................................................................103 L’alumnat de la mostra per a l’anàlisi retrospectiva................................................105 La recercadora i els seus condicionants.................................................................105 3.3. Constructes i instruments per a l’ anàlisi retrospectiva de la pràctica..............................109 (a) Anàlisi del posicionament dels futurs ensenyants.............................................109 (b) Anàlisi del discurs i desenvolupament professional.........................................113 Sobre la millora epistemològica sobre el significat de les matemàtiques.........113 Sobre la component interpretativa –estratègica ..............................................114 Sobre el contingut professional en l’aspecte comportamental/ actitudinal......116 (c) Anàlisi de les construccions conceptuals ..........................................................117 (d) Anàlisi de la complexitat matemàtica ................................................................118 3.4. Organització del curs. Macrocicles. Disseny. Unitats ......................................................119 Macrocicle 1............................................................................................................122 Índex Macrocicle 2 ...........................................................................................................125 3.5. Organitzadors curriculars.................................................................................................129 3.6. Caracterització del treball. Avaluació i regulació del procés............................................132 Caracterització de la metodologia .....................................................................134 Avaluació i regulació del procés. ............................................................................137 3.7. Un exemple d’unitat: “Igual i diferent .............................................................................138 Sessió 1. Igual i diferent .........................................................................................143 Sobre les trajectòries hipotètiques d’aprenentatge.................................................160 3.8. Sobre les intencions de formació en l ‘ estudi experimental ............................................161 Capítol 4. Primera anàlisi del procés de formació . Macrocicle 1. Presentació......................................................................................................................167 4.1. Experimentació a l’aula ...............................................................................................169 4.2. Activitat 1. Sobre definicions i representacions ............................................................173 4.3. Activitat 2. Atorgar significació matemàtica i didàctica com a contingut professional.....188 4.4. Activitat 3. Sobre la rellevància del contingut matemàtic. Anàlisi de propostes d’avaluació realitzades ...........................................................................................197 4.5. Activitat 4. L’autoregulació del contingut matemàtic .......................................................208 4.6. Activitat 5. Sobre el valor professional del coneixement matemàtic i didàctic ................222 4.7. Activitat 6. Anàlisi d’una activitat d’ avaluació interna ....................................................237 4.8. Sobre els resultats al macrocicle 1 ...............................................................................253 Capítol 5. Segona Anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2. Presentació ......................................................................................................................263 5.1. Experimentació a l' aula. Macrocicle ...............................................................................265 5.2. Activitat 7. Sobre la construcció conceptual a l’escola. El cas de la introducció de conceptes ........................................................................................................269 Índex 5.3. Activitat 8. Constatació de posicionaments i apreciacions professionals. Activitat d’elaboració i síntesi. ...............................................................................280 5.4. Activitat 9. Integració de coneixements. Valoració de seqüències d’aprenentatge en llibres de text......................................................................................................306 5.5. Activitat 10. Sobre el valor dels dissenys instructius. Anàlisi de propostes de programació ...........................................................................................................321 5.6. Activitat 11. Anàlisi de resultats en l’avaluació sumativa del procés ..............................341 5.7. Sobre els resultat del macrocicle 2...............................................................................361 Capítol 6. Conclusions i prospectiva Presentació......................................................................................................................373 6.1. Validesa del treball realitzat ...........................................................................................375 6.2. Conclusions sobre la RD i el procés de formació ...........................................................378 6.3. Sobre els aspectes matemàtics del desenvolupament professional. Conclusions sobre l’ anàlisi retrospectiva ..................................................................................384 6.4. Sobre els aspectes estratègics del desenvolupament professional. Conclusions sobre l’anàlisi retrospectiva ....................................................................................388 6.5. Sobre els aspectes actitudinals del desenvolupament professional .Conclusions sobre l’ anàlisi retrospectiva...................................................................................391 6.6. Implicacions per al desenvolupament de programes de formació inicial........................397 6.7. Prospectiva ...............................................................................................................399 Bibliografia.............................................................................................................................401 4 Capítol 1 Introducció 5 1.1. Intencions i estructura de la memòria. Recerca, desenvolupament curricular, docència, col·laboració amb l'administració, etc., son tasques de "fer" quelcom per l’educació matemàtica, en benefici dels nens i nenes i dels joves. Cal però aturar-se, de tant en tant, per fer una reflexió més profunda de l’habitual. Això es el que pensem que ha estat per nosaltres la realització de la nostra memòria de tesi doctoral. Els formadors de mestres, igual que demanem als altres docents, hem de dedicar-nos també a reflexionar sobre la nostra tasca com a educadors matemàtics. En el cas present, la recerca empresa ha estat el desencadenant d'una profunda reflexió sobre la tasca de formació inicial de mestres. Com a resultat d’un llarg procés d’observació i d’experimentació fet en els darrers vint anys amb centenars d’alumnes, avui ja mestres, ens hem sentit motivats ara, i no abans, a fer un treball rigorós de síntesi, una anàlisi d’experiències contrastables i un desenvolupament de reflexió sistemàtic passant d’unes accions personals a una base teòrica suport d’una praxis plural. La motivació pel tema de tesi escollit neix de la nostra experiència en la formació de mestres i del desig de formalitzar, algunes propostes sobre la formació que siguin aplicables en contextos semblants als nostres. El treball de recerca triat es un estudi sobre una experiència de formació d’ensenyants de Primària en Matemàtiques per a desenvolupar professionalment a l’alumnat. Específicament pel que fa l’establiment de connexions, reconeixement de significats aritmètics i representacions, i els coneixements didàctics associats. Hem triat com a mètode de recerca, l’anomenat “recerca per desenvolupament”, que respon a l’interès de combinar docència i recerca. Interpretem la recerca per desenvolupament com una barreja de desenvolupament curricular i recerca educativa, en la que el desenvolupament d’activitats instruccionals es usat com a significat per explicar, avaluar, ajustar i expandir una teoria instruccional. Implica considerar-la com un canvi de perspectiva, i un augment 6 Capítol 1 de la sensibilitat d’observació, doncs cal estar atent al que passa a l’aula, i implica també la capacitat d’afrontar la complexitat de la situació. És un procés cíclic que pren idees de diversos recursos (currículum, textos d’educació matemàtica, resultats de recerques) per construir una seqüència instruccional que es va re-dissenyant i comprovant. Estem especialment interessats en veure com els futurs docents poden aprendre a establir raonaments professionals a partir d’un treball orientat per un plantejament realista de la formació. Això implica que necessitem dissenyar un ambient instructiu que sigui la base d’aquest procés de formació i hem d’anticipar la formació de patrons que ens permetin arribar a aconseguir aquest fi. No es gaire freqüent dur a terme recerca per desenvolupament, ja que es tracta d’un procés més exigent que el procés de recerca-acció i implica una reformulació del mateix. La principal diferència està en que no es va als resultats de l’ensenyament sinó, en el nostre cas, a contribuir al creixement d’una teoria sobre la formació. En aquest tipus de recerca no es possible cenyir-se a tots els aspectes que són considerats importants des d’una perspectiva de la metodologia de la recerca degut a la duració del curs i d’altres restriccions de la pràctica diària. El concepte d’objectivitat de la recerca es reinterpreta com a intersubjectivitat, en la mesura que la investigadora comparteix interpretacions amb altres investigadors. Durant el procés de recerca es duu a terme la revisió interpretativa de les trajectòries hipotètiques de formació, ja que no es pot saber segur que és el que realment aprendran els alumnes. El docent planifica i anticipa aquest procés - trajectòria, basant-se en el que sap de les diverses traces individuals dels alumnes. Per això, és important que el recercador sigui present a classe cada dia mentre que s’està experimentant una trajectòria (Gravemeijer, 2001). Una forma d’aconseguir-ho és precisament que sigui el propi formador. Introducció 7 Aquesta ha estat la nostra opció, tenint plena consciència que, en aquest cas, els resultats de la recerca es veuen influïts per les creences de la investigadora, tot i el contrast de l’investigador extern a l’aula que ha fet un seguiment de l’experimentació i de l’anàlisi. Per tractar-se d’una experimentació d’un any acadèmic no es van fer filmacions de les classes però el que si es va fer és recollir molta de la producció de tot el grup i, en particular dels alumnes de la mostra, i també anotacions per part de la formadora del comportament dels alumnes davant les tasques dutes a terme. Malgrat els possibles inconvenients pel que fa a les conclusions de la recerca, no s’ha volgut crear un context artificial, sinó que s’ha intentat realitzar-la en les condicions que es duu a terme el curs de formació en la Universitat de Barcelona de manera habitual. L’objectiu és els resultats es puguin utilitzar per millorar el disseny dels cursos de formació i l’aprenentatge dels alumnes dels cursos futurs en alguns aspectes. Tenim completa consciència que els resultats de la recerca són modestos, no només per les condicions particulars en les que s’ha produït, sinó també per l’enorme complexitat i una certa indefinició de la formació inicial de mestres de Primària. També cal tenir en compte dues coses importants: estem tractant amb adults que no sempre col·laboren amb la seva dedicació i treball continuat i que tenen un nivell de coneixement de les matemàtiques molt precari. En el present capítol, de caràcter introductori, se situa la problemàtica de la formació inicial de mestres de Primària en la actualitat, es planteja el tema de la recerca, els seus objectius i es presenten les hipòtesi de treball. En el capítol 2 es mostrarà inicialment els principis de la recerca per desenvolupament (RD), que és la forma metodològica que decidim aplicar al nostre treball investigador, es presenta i justifica la RD com a contingut i com a base per a 8 Capítol 1 comprendre la metodologia emprada a la nostra recerca i s’expliquen els constructes necessaris. A continuació, s’expliciten els significats atorgats a les trajectòries hipotètiques de formació inicial en macrocicles i microcicles i s’indiquen les fases i organització del procés metodològic global de la recerca. Després els constructes i instruments utilitzats per a l’anàlisi específica i finalment, es descriu el context i els subjectes -estudiants amb els que es realitza tot el treball experimental . S’exposen les bases teòriques per a la formació d’ensenyants. Es tracta el desenvolupament professional, es plantegen els coneixements necessaris per a l’exercici de la professió docent, els tipus de continguts i els processos d’aprendre a ensenyar, establint la relació entre coneixement i pràctica professional. Es desenvolupen els perfils de mestre i educador matemàtic i s’estableixen les bases per a un currículum de formació docent en matemàtiques, i les creences i intencions de formació. En el capítol 3 es mostra inicialment els elements per a una proposta de formació, es complementen amb les condicions i context de la proposta i es treballa la primera fase de preparació i disseny. Comencem per constituir els macrocicles per a potenciar les connexions i establir uns organitzadors curriculars que serveixen per a posar de manifest els diferents aspectes de la pràctica en concret, dins un dels macrocicles. S’explica l’estil de formació caracteritzant la metodologia i donant els elements d’autoregulació. A continuació es presenta un exemple d’unitat del programa d’estudi del primer macrocicle on s’apliquen els organitzadors curriculars. Finalment, es concreten i resumeixen intencions de formació que s’aplicaran a les trajectòries hipotètiques de formació inicial (TRHIFI) a la fase següent . Els capítols 4 i 5 es corresponen amb la fase de l’experimentació a l’aula dels macrocicles 1 i 2 que corresponen a les dues assignatures del curs de formació. Primer es justifica l’elecció de microcicles per a l’anàlisi. Es justifiquen les tasques corresponents en funció dels continguts professionals implicats i l’objectiu en termes de la recerca. És a dir, què esperem que ens aporti per a les TRHIFI. A continuació es presenten les sessions de classe concretes amb els seus continguts de formació, les TRHIFI de referència per l’anàlisi i els mini-instruments emprats. La part més Introducció 9 extensa consisteix en la descripció de les activitats, les consideracions sobre la trajectòria hipotètica corresponent i una primera anàlisi de les produccions dels alumnes estudiats. En algun cas s’inclouen resultats corresponents a tot el grup classe per arribar a justificar que el comportament de les tres alumnes estudiades són una bona mostra de tot el grup classe. Al final d’aquests capítols s’analitzen els resultats obtinguts en els macrocicles. Finalment, en el capítol 6 es descriu com s’ha acomplert el propòsit de contribuir empíricament a una teoria sobre la formació d’ensenyants, i en particular, a l’anàlisi dels processos de construcció i desenvolupament professional. Es justifica el treball de recerca qualitatiu i etnogràfic que es considera que és vàlid i reproductible en certes condicions. Es descriu com s’ha desenvolupat, explicitant les característiques d’una proposta concreta en l’àmbit de la recerca per desenvolupament, introduint una reinterpretació de les trajectòries hipotètiques de formació inicial, tot reconeixent els elements competencials generals per a la formació. Des d’una perspectiva situada, es raona sobre concepcions en el marc de la interpretació de la diversitat de significats associats als conceptes matemàtics i en el marc dels coneixements estratègics desenvolupats. Amb això es descriuen propostes de formació, reconeixent les limitacions de l’estudi realitzat i es dona una prospectiva. 1.2. La problemàtica de l’estudi Els actuals plans d’estudis per a la formació inicial de mestres de Primària pateixen una sobrecàrrega curricular al pretendre proporcionar la preparació professional en tres cursos acadèmics. Pressuposen també, unes bases sòlides del contingut específic d’allò que es vol ensenyar i un interès i motivació cap a un estudi marcadament professional. Nogensmenys, la distància entre el temps de preparació i les necessitats formatives fa que, en molts casos, s’aprenguin estereotips i tècniques sense arribar 10 Capítol 1 a la maduresa, què cal per saber, el perquè es fan les coses i quan i perquè caldrà fer-ho d’una manera diferent. A més, les pràctiques disseminades en els tres cursos no aconsegueixen posar a l’alumne en situació de mestre .Tampoc ho aconsegueixen les experiències de Plans d’ Estudis que les concentren en un sol curs, l’últim, doncs en els dos casos no permeten el contrast teoria - immersió durant el procés d’aprenentatge de l’ofici de mestre. Davant d’aquesta situació pensem que cal aprofitar al màxim cadascuna de les ocasions que se’ns ofereix per assegurar una correcta formació inicial, i analitzar el que succeeix en certes condicions. És a dir, si bé la formació continuada del professorat és quelcom desitjable i necessari al llarg de la vida professional sembla oportú plantejar -se no deixar per a l’etapa professional allò que deuria aconseguir - se en les escoles de mestres. És molt difícil canviar les concepcions dels mestres un cop es troben submergits en les obligacions diàries i la presa ràpida de decisions. Aleshores la reflexió profunda i l’actualització de coneixements teòric -científics o didàctics es fa molt complicada. A més, massa sovint l’inèrcia del sistema educatiu, fa que molta formació continuada perdi la dimensió que hauria de tenir per a constituir -se en un seguit de formacions inicials temàtiques o metodològiques que deurien estar assumides. Així, si bé diverses recerques s’han centrat en veure com aprenen de forma micro - observadora ( grup SEIEM 2004) els futurs mestres de Primària, el nostre interès vol aportar una visió més global, per tal de reconèixer algunes característiques significatives per a una adequada formació inicial dels Mestres de Primària en la seva vessant de futurs educadors matemàtics de forma que es contemplin millores en la seva capacitació matemàtica i pedagògicprofessional. Partint de la hipòtesi que després de deu o dotze cursos de matemàtiques realitzats a l’ensenyament pre-universitari es podria esperar un coneixement del Introducció 11 contingut matemàtic bàsicament correcte, encara que no complet, dels conceptes i procediments matemàtics que s’haurà d’ensenyar. També fora desitjable que tinguessin una actitud positiva cap al seu aprenentatge i utilitat social i científica. Tanmateix la nostra experiència, i la d’altres companys en la tasca de formació de mestres com a educadors matemàtics, ens ha mostrat reiteradament que la situació no es pas aquesta. És per això que, en les escoles de mestres, no es pot desenvolupar una didàctica de les matemàtiques sense proporcionar simultàniament un coneixement matemàtic suficient que inclogui aspectes sobre la naturalesa de les matemàtiques i el paper que fan en la nostra societat. Ens manca més recerca sobre la formació docent inicial en Didàctiques específiques. Majoritàriament la recerca en didàctica de les matemàtiques, a nivell internacional, s’ha centrat més en els nivells escolars primari i secundari, en els dissenys curriculars corresponents i en el reciclatge o posta al dia dels ensenyants per tal d’adequar-los als canvis i als resultats de les investigacions. El fet que, durant la formació permanent, l’ensenyant pot aplicar o experimentar immediatament els continguts i aportacions que li arriben, ha fet que l’administració educativa i els col·lectius professionals hi dediquessin força recursos i menys a l’anàlisi de la formació inicial. També es pot tractar d’una manca de prospectiva del que podria implicar en la professionalització docent el dedicar més esforços a la formació inicial. En principi, aquesta priorització hauria de proporcionar beneficis importants: acció educativa de més qualitat, mestres innovadors, recursos didàctics nous,etc. Però les experiències en formació permanent han mostrat com l’èxit esperat no arriba en la mesura corresponent als esforços invertits. No sabem si per la inutilitat de l’acció o més aviat pel poc encert del plantejament concret de la formació. Això, en part, ha provocat que alguns grups de recerca hagin dirigit el seu interès cap a la formació inicial d’educadors matemàtics, en els nivells elementals, 12 Capítol 1 per assegurar una formació bàsica sobre la que es pugui construir un coneixement professional més profund i que permeti el camí cap a l’expertesa. Les deficiències de formació matemàtica en l’ensenyant dels nivells primaris són un fet comú arreu del món ( ICMI Study 15, 2005). Per tant, per arribar a la formació d’un mestre promotor de coneixement matemàtic en els seus alumnes cal comptar amb la situació tal com es produeix. Encara que podria deduir -se, en part, d’aquest fet que cal proporcionar, abans que res, una formació matemàtica al mestre ens trobem que degut al poc temps destinat a la seva formació no es possible atendre tots els aspectes implicats. El llarg camí per esdevenir un mestre expert i “bon mestre” comença amb la formació universitària inicial. Com l’experiència mostra, i no només en aquest cas, la formació inicial pot determinar el rumb de l’ itinerari de la formació cap a l’expertesa o, més perillós encara, que no es senti la necessitat de continuar-la. És per la importància decisiva que te la formació inicial, que cal fer una recerca seriosa sobre els plans d’estudis, els materials i les metodologies per dur-la a terme. Segons el document del NCTM (1.991) que té un gran consens entre la comunitat d’educadors matemàtics els components essencials pel desenvolupament del mestre de matemàtiques són: • Rebre, com a alumnes, bons models d’ensenyament matemàtic. • Tenir el suficient coneixement matemàtic sobre conceptes i procediments, les seves representacions, els mètodes de raonament, la resolució de problemes i la capacitat de comunicació amb diversos nivells de formalització. • Desenvolupar les seves perspectives respecte de la naturalesa de les matemàtiques, dels seus canvis i del seu paper social. Introducció 13 • Conèixer les matemàtiques escolars i els canvis que es produeixin. • Conèixer els estudiants (6-12 anys) com a aprenents de matemàtiques. • Conèixer els aspectes relacionats amb la didàctica de les matemàtiques (recursos, estratègies, avaluació,...). • Posar en la pràctica individualment o en grup els coneixements que es vagin adquirint sota la tutela d’un professional experimentat. • Prendre part activa en el disseny de la seva formació permanent i en els diversos nivells participatius del sistema educatiu. Després de moltes anàlisi sobre la realitat ( Informe del Senat 2000, Martin Socas 2005) hem de reconèixer que alguns d’aquests aspectes són oblidats forçosament en la formació inicial i se’n prioritzen d’altres. Simon i Brown (1997) van trobar que necessita ser més investigat el què és un bon mestre de matemàtiques. Algunes investigacions, fora i dintre del nostre país, han centrat la seva atenció sobre el efecte que té en els alumnes de magisteri el(s) període(s) de pràctiques en un centre escolar. Els resultats obtinguts han estat molt interessants i han mostrat com les concepcions prèvies de l’alumne practicant sobre la naturalesa de les matemàtiques i sobre el que és ensenyar i aprendre tenen una forta influència en aquesta immersió a l’escola (Sanchez 1996, Blanco 1997). Però també han donat indicis importants, ens sembla, sobre l’efecte que ha fet en ells la formació teòrica rebuda a l’escola de mestres. Per tant per que es produeixi el desenvolupament professional, cal que l’estudiant de mestre des del principi es comenci a comportar com un mestre. Incloent en la seva formació la seva participació en activitats de desenvolupament Capítol 2 Marc teòric per al model de desenvolupament 22 Capítol 2 Marc teòric per al model de desenvolupament 23 Qui classifica és que ja té una teoria Classificar és començar a comprendre Comprendre permet anticipar. Jorge Wagensberg. Atès que el nostre problema d’estudi es centra en reconèixer el valor teòric d’una pràctica, per mitjà de validar una proposta curricular, tot analitzant els seus efectes en un grup d’estudiants, futurs professors de Primària, decidim unir la justificació metodològica de la tesi amb els instruments i constructes que s’utilitzen. Per això, en aquest capítol es mostra inicialment els principis de la recerca per desenvolupament (RD), que és la forma metodològica que decidim aplicar al nostre treball investigador, es presenta i justifica la RD com a contingut i com a base per a comprendre la metodologia emprada a la nostra recerca i s’explica els constructes necessaris. A continuació, s’expliciten els significats atorgats a les trajectòries hipotètiques de formació inicial en macrocicles i microcicles, i s’indiquen les fases i organització del procés metodològic global de la recerca (2.1.). Es desenvolupen els perfils de mestre com a educador matemàtic que es considera (2.2.). En concret, les característiques des del punt de vista d’especialització, i com a membre d’una comunitat professional. Es tracta el concepte desenvolupament professional com a canvi, com a procés de reflexió, com a experiència, com a taula d’aprenentatge i com a construcció personal(2.3). A continuació es planteja els components matemàtic i estratègic del desenvolupament professional (2.4), així com la component actitudinal (2.5). Es mostra el sentit de la pràctica situada i els processos de pràctica establint la relació entre coneixement i pràctica professional (2.6). Finalment es descriuen les bases per a un model de formació que consideri el desenvolupament, s’analitzen alguns trets del paper del formador i es constata un conjunt de competències professionals que es tenen com a objectiu (2.7.). 24 Capítol 2 Marc teòric per al model de desenvolupament 25 2.1. Recerca per desenvolupament. Descripció i justificació. Des de un punt de vista teòric i metodològic realitzem una recerca per desenvolupament (RD) perquè és un tipus de recerca centrada en el paradigma ecològic, accentuat per tenir una perspectiva fenomenològica, i que està inspirada en el desig d’innovar en educació. Aquest tipus de recerca implica concebre situacions d’enginyeria didàctica, validar el treball d’anàlisi a priori, relacionar les observacions realitzades amb el model teòric i responsabilitzar-se de l’anàlisi i les diverses fases de la recerca. A continuació mostrem els principis en que es sustenta i com s’adapta als nostres objectius. L’objectiu de la RD, o també anomenada recerca disseny, no és mostrar que una aproximació innovadora a un tema és millor que la comú. L’objectiu és oferir una reflexió teòrica fonamentada de cóm funciona la proposta innovadora. El nucli de la RD està format pels experiments d’ensenyament que es centren en el desenvolupament de seqüències instructives i posar de manifest les teories instructives que les sustenten (Gravemeijer, 1994). En el cas d’un experiment d’ensenyament a classe, el recercador desenvolupa seqüències d’activitats d’instrucció que donen cos a les conjectures al voltant de l’aprenentatge dels estudiants. En aquest sentit el dissenyador anticipa una visió de cóm les activitats podrien ser dutes a terme a la classe i el que els estudiants podrien aprendre al participar-hi . L’anàlisi del procés dels estudiants pot donar informació valuosa que pot ser usada per revisar les activitats d’ instrucció. Més enllà, si aquest procés cíclic de disseny i anàlisi es repeteix un cert nombre de vegades pot arribar a convertir-se en una teoria instruccional local que sosté una seqüència prototípica. Streefland (1991) dona un exemple pel cas de la comprensió de les fraccions per part dels estudiants. 26 Capítol 2 Interpretem la recerca per desenvolupament com una combinació de desenvolupament curricular i recerca educativa, en la que el desenvolupament d’activitats d’ ensenyament és usat com a significat per explicar, avaluar, ajustar i expandir una reflexió teòrica sobre la instrucció. Es considera com una “epistemologia natural”, un canvi de perspectiva, i que porta a l’augment de la sensibilitat d’observació, doncs cal estar atent al que passa a l’aula, i implica també la capacitat d’afrontar la complexitat de la situació. És un procés cíclic semblant al que descriu Simon (1994) en un procés de formació i pren idees de diversos recursos (currículum, textos d’educació matemàtica, resultats de recerques) per construir la seqüència instruccional que es va redissenyant i comprovant. Un instrument teòric i de disseny en aquest tipus de recerca en l’àmbit escolar és l’anomenada "trajectòria hipotètica d’aprenentatge " (TRHA), que Simon (1994) definia com una terna que supera la simple idea de recollida programàtica : “La TRHA està constituïda de tres elements : l’objectiu d’aprenentatge que defineix la direcció, les activitats d’aprenentatge i el procés hipotètic - una predicció del pensament dels estudiants i la comprensió de com evolucionen en el context de les activitats d’aprenentatge”.Simon (1994) usava la TRHA al seu Cicle d' Ensenyament de les Matemàtiques, en general per una o dues lliçons ( veure fig.2.1.1.), on es mostra els elements considerats en un procés de formació cíclic. El coneixement del professor el permet dissenyar les activitats d’ aprenentatge havent previst com es desenvoluparà l’ aprenentatge dels alumnes . La posada en pràctica de la seqüència d’ activitats i la posterior reflexió dona elements per replantejar, si cal, la trajectòria prevista . Marc teòric per al model de desenvolupament 27 Figura 2.1.1. (Simon 1994: 35, adaptat per Gravemeijer 2001: 151) Recerca per desenvolupament i formació inicial d’ensenyants. Es fa una adaptació de la recerca sobre desenvolupament per a la classe de matemàtiques de Primària utilitzada per Gravemeijer (2001), i s’ aplica a la formació d’adults futurs ensenyants. En efecte, el propòsit de la nostra recerca és contribuir a una reflexió teòrica sobre la formació de mestres de Primària, amb profunditat, basada en l’anàlisi empírica per a la formació docent. El resultat d’ aquesta reflexió haurà d’especificar patrons en l’aprenentatge -formació d’ensenyants així com els significats que justifiquen dit procés de formació. Al nostre estudi, estem especialment interessats en veure com els futurs docents poden aprendre a establir raonaments professionals, a partir d’un treball orientat per un plantejament realista de la formació. Això implica el disseny d’un ambient instructiu que sigui la base d’aquest procés de formació i anticipar la formació de patrons que ens permetin arribar a aconseguir aquest fi. Coneixement del professor TRHA Objectiu d'aprenentatge (del mestre) Planificació d'activitats Hipòtesi del professor sobre el procés d'aprenentage Interacció amb estudiants Investigació de les matemàtiques dels estudiants. Constitució interactiva de les pràctiques de classe Potenciar l’assimilació, acomodació i reflexió 28 Capítol 2 En aquest tipus de recerca no es possible cenyir-se a tots els aspectes que són considerats importants des d’una perspectiva de la metodologia de la recerca degut a la duració del curs i d’altres restriccions de la pràctica diària, com ara el nombre d’estudiants i també no voler condicionar els resultats a situacions “artificials“ d’aula o de pla d’estudis que després no es podrien reproduir. No es gaire freqüent dur a terme recerca per desenvolupament, ja que es tracta d’un procés més exigent que el procés de recerca -acció i implica una reformulació del mateix. La principal diferència està en que no es va als resultats de l’ensenyament sinó, en el nostre cas, a contribuir a una reflexió teòrica sobre desenvolupament professional en alguns aspectes relacionats amb la cognició. El model teòric en que ens basem està entre la teoria de la instrucció ( Simon, 1994) i la reflexió cognitiva ( Leinhardt, 1989). La justificació de les conclusions a la RD consisteix en una combinació de troballes empíriques i consideracions teòriques. Les dades s’ interpreten en un marc donat, per mitjà d’un procés d’experimentació i interpretació constants en cicles instructius. Els resultats s’ interpreten inserits en un discurs científic continu. Aquesta noció de coneixement científic és consistent amb el constructivisme social en el que compartir coneixement només és possible en un procés de negociació de significats que, en el nostre cas, són opcions de formació docent. El concepte d'objectivitat de la recerca es reinterpretat a la RD com a intersubjectivitat, en la mesura que la investigadora comparteix interpretacions amb altres investigadors. Per tal de fer una recerca en profunditat s’opta per analitzar alguns casos particulars en lloc de fer-ho amb tot el grup-classe tal com proposa Streefland 1(1991) en el seu treball de recerca sobre desenvolupament sobre fraccions en una classe de Primària. Tanmateix ell utilitza un grup de 6 alumnes per fer la seva anàlisi en profunditat. 1 Lamentem no haver pogut compartir amb el professor Streefland, degut al seu traspàs, els resultats del nostre treball. Ell ha estat provocador principal de les nostres eleccions. Marc teòric per al model de desenvolupament 29 D’altra banda, l’activitat d’aula que s’analitza en la present recerca compren un període d’un curs acadèmic. En el nostre cas els cicles d’instrucció i experimentació estan connectats (Gravemeijer, 2001), ja que els estudiants són els mateixos i cada cicle comença amb els aprenentatges fets en l' anterior , es consideren diversos cicles agrupats en dos macrocicles. La validació de la recerca es basa aleshores en la viabilitat, predictibilitat, abast i poder explicatiu (Borko i Peressini 1998), així com la generabilitat de la forma d’interpretar i actuar, tot preservant les característiques específiques dels casos individuals (Cobb 2000:327). Així, quan es triangulen les fonts evidencials de recollida de dades per mitjà d’instruments diferents, s’ajusten raonablement les inferències i afirmacions, amb varietat de propòsits diferents (Cobb 2000:328) i es consideren els models com a aproximacions (Schoenfeld 2000). Trajectòries hipotètiques de formació inicial i pràctica professional. Segons Simon (1994) un “professor constructivista” està pensant contínuament en el que podran comprendre els seus estudiants i cóm podria influenciar de manera indirecta el seu pensament. Per això, anomenà al procés d’aprenentatge com trajectòria hipotètica, ja que no es pot saber segur que és el que realment aprendran els alumnes. El docent planifica i anticipa aquest procéstrajectòria, basant-se en el que sap de les diverses traces individuals dels alumnes. Tanmateix l’actuació a classe ofereix la oportunitat de tenir noves comprensions de les concepcions dels alumnes. Aquests nous punts de vista i l’experiència amb les activitats instruccionals serviran de base per constituir noves TRHA per les lliçons següents. Aquestes lliçons dutes a terme a l’ aula i posteriorment analitzades –microciclesconstitueixen les unitats d’ acció i reflexió teòrica que constitueixen els macrocicles i el procés fa avançar la reelaboració de les trajectòries hipotètiques com es veu en el diagrama de la figura 2.1.2. 30 Capítol 2 Figura 2.1.2. Adaptació dels cicles I macrocicles construint les TRHA (adaptat de Gravemeijer 2001). Això, s’aplica al nostre cas amb el que anomenem trajectòries hipotètiques de formació inicial (TRHIFI), on es presenta inicialment l’objectiu d’aprenentatge que defineix la direcció formadora (finalitats de formació, planificació, hipòtesi sobre els indicis de canvi professional). Aquesta direcció es basa en les concepcions prèvies de la recercadora - formadora. Es pre-dissenyen les activitats d’aprenentatge i el procés hipotètic - una predicció del pensament dels estudiants i la comprensió de com evolucionen en el context de les activitats d’aprenentatge. L’esquema, que es pot veure a la figura 2.1.3 servirà de base per a la descripció de les Trhifi explicitades en el capítol 3. Com es pot veure inclouen finalitats, planificació, hipòtesis sobre indicis de canvi professional i competències professionals i instruccionals. En el gràfic es mostra la influència del coneixement del formador a l’ hora de decidir les finalitats, la planificació , les hipòtesi que fa sobre els indicis de canvi professional i la tria de les competències a desenvolupar. Formador i estudiant de mestre interaccionen a l’ aula i així el primer pot tenir noves comprensions de les concepcions dels alumnes a partir de la pràctica. Marc teòric per al model de desenvolupament 37 conseqüències. Ara bé, segons Pérez (1992, p. 423) els aspectes fonamentals per a una formació del professorat en el marc de la tercera perspectiva abans citada - perspectiva radical o hermenèutica - reflexiva-, també dita crítica i de reconstrucció social, són els següents: 1. L’adquisició per part del docent d’un bagatge cultural de clara orientació política i social, en el qual les disciplines són l’eix central dels continguts d’ una part important del currículum de formació. 2. El desenvolupament de capacitats de reflexió crítica sobre la pràctica. 3. El desenvolupament d’actituds que requereixen el compromís polític del professorat com intel·lectual transformador en l’aula, en l’escola i en el context social. En una línia semblant, Gimeno (1983 i 1986) diu que la formació del professorat en general ha de dotar, al futur docent, d’instruments que siguin una ajuda per al coneixement i interpretació de les situacions problemàtiques complexes en les quals se situa, i implicar-lo en tasques de comunicació intersubjectiva i formació comunitària per a donar a l’educació escolaritzada la dimensió de nexe entre el saber intel·lectual i la realitat social, amb la qual ha de mantenir estretes relacions. Així, "el concepte de bon mestre i les competències tècniques concretes que inclogui aquesta accepció depèn de com un sistema educatiu es planteja el currículum per a un determinat nivell educatiu". Per altra banda, Fernández (1989a i b), en el marc que ell mateix anomena "model contextual -crític de formació de formadors", proposa que la formació del professorat sigui una preparació per a entendre el desenvolupament d’un projecte humà, social i crític, que impliqui tant una realització personal, com un compromís d’incidència en el mitjà professional i social en el qual es troba. 38 Capítol 2 A més, el mestre és socio - culturitzador matemàtic quan ha d’ajudar als seus estudiants a comprendre el paper sociocultural del coneixement matemàtic, l’enculturació del contingut (Bishop 1995). Un mestre facilitador. Els EM han de "facilitar criteris per a analitzar i relacionar les dades, i brindar plantejaments per a l’aplicació racional i justa del saber", i per això és necessari que aquest professional no sigui només "un especialista en determinat camp de coneixement, sinó una persona capaç d’integrar el coneixement, de prendre una postura crítica davant la seva selecció i tractament, d’investigar col·legiadament sobre la naturalesa del saber, sobre la manera de transmetre’l i sobre la utilització del mateix al servei de valors". Un mestre investigador. Es formarà millor un mestre investigador si els formadors es mostren com investigadors, reconeixent i usant resultats de la investigació en didàctica de la matemàtica. Han de tenir en compte el que se sap sobre les matemàtiques com objecte d’ensenyament, les idees dels futurs professors sobre les matemàtiques corresponents al que van a ensenyar, sobre quines matemàtiques cal ensenyar i per què, sobre la forma que els alumnes aprenen, sobre les seves idees sobre les relacions mestre -alumne, etc… Podrien fer aquí una breu classificació: - Aquells que fan referència als temes de primària, dels quals comprenen aspectes tan diversos com són les idees dels alumnes, les dificultats que tenen en l’aprenentatge en general i en aspectes concrets de la matèria, la influència del mitjà social, cultural, afectiu sobre l’aprenentatge, el paper de la motivació, dels interessos dels alumnes, de les actituds i de les aptituds, les interaccions entre estudiantes i entre professor i estudiants, etc… Marc teòric per al model de desenvolupament 39 - Aquells que fan referència a les estratègies d’ensenyament en les quals es contemplen des de noves propostes curriculars i nous recursos d’ensenyaments concrets fins a teories sobre aprenentatge mitjançant resolució de problemes, etc - Aquells que fan referència al marc en el qual es desenvolupa l’ensenyament (context) com és el centre escolar, l’aula, el taller, el laboratori, les interrelacions alumne - alumne, professor - alumne, professor - classe, etc… La formació d’un mestre investigador, passa també per una forma de metodologia de formació constructiva, que s’explicita a continuació. Un mestre constructiu. Es considera que el mestre ha de ser format des d’una perspectiva constructiva, fomentant en ell formes d’estructuració diferents, i formes de pensament que no siguin només la verbal i l’aritmètica. De fet, formes sensorials del pensament, especialment del tipus visual, es troben en el centre del nostre pensament, en el desenvolupament i engegada de bona part de les nostres idees. El EM deu reconèixer diversos significats dels continguts, iniciant treballs de manera que es cuidi la percepció. En efecte, es considera actualment que la majoria de les activitats mentals tenen relació amb els processos de formació d’imatges. El pensament no només és verbal, no només es manifesta a través de la formulació de proposicions, sinó que sens dubte produïm altres tipus de pensament, per exemple el pensament a través d’imatges, lligat a la percepció, i per tant al pensament visual. Al costat dels aspectes perceptius, un procés de construcció de significat amb estudiants de 22 anys de mitjana no deu ser aliè a les representacions i ajudes visuals que el futur mestre utilitzarà en la classe. És indubtable que l’aparició dels ordinadors, i especialment dels ordinadors a classe, ha motivat el creixent interès per l’estudi del desenvolupament de les capacitats de representació visual. Per altra banda, se suposa que l’experimentació i 40 Capítol 2 la visualització són processos que afavoreixen la comprensió i el descobriment matemàtic. Es pensa que el EM deu reconèixer les visualitzacions com una forma de validació del fet matemàtic, molt important per a formar alumnat d’educació infantil i Primària. Al costat d’això, cal considerar també la validació empírica, quan es tracta de provar alguna cosa, mostrar, comprovar si funciona, etc. sense explicar el perquè mitjançant materials, ordinador, calculadores.... És aquesta visualització la qual ens duu a plantejar hipòtesi i després caldrà validar aquestes hipòtesis. Però també deuen usar -se validacions semàntiques i sintàctiques, que se serveixen d’argumentacions; la primera respecte al significat, la segona respecte a l’estructura o forma, i pertanyen a una etapa més avançada del procés en la presentació del saber matemàtic. El mestre de Primària com a educador matemàtic. El mestre de Primària no és només un gestor dels aprenentatges. No ha de ser aquell que es compromet “en certes conductes en classe” sinó que també ha de ser un processador actiu d’informació (en la línia de Clark & Peterson 1986) abans, durant i després de la instrucció en classe. Les creences, el coneixement, els judicis, els pensaments i les decisions tenen el seu efecte profund en la manera com ensenyen així com en l’aprenentatge dels estudiants en les seves classes. En suma, “ les creences, els pensaments, els judicis, el coneixement i les decisions afecten a com els professors perceben i creuen sobre l’ensenyament en el nou currículum com és entès pels quals ho desenvolupen” (Peterson i altres, 1989, p. 1-2.). pugui construir una anàlisi didàctica que els futurs mestres revisquin el seu coneixement passat. És evident que el professor és una persona adulta que té una personalitat i una vida privada que es desenvolupa en la societat exterior a l’àmbit escolar, la qual cosa condiciona les seves vivències i les seves relacions personals en el món Marc teòric per al model de desenvolupament 41 professional. A més, el o la mestre té la seva pròpia història, la seva formació professional, que condicionen les seves concepcions sobre les matemàtiques i el seu ensenyament. Per un costat, existeix la seva ideologia on es considerarà: les seves idees sobre els fonaments epistemològics de les matemàtiques; les seves idees sobre la finalitat de l’ensenyament, en general, i de les matemàtiques, en particular; D’altra banda, existeixen les seves creences més lligades al seu ensenyament concret : les seves creences sobre com aprèn l’alumnat, les seves creences sobre el paper de l’ensenyant en el procés d’aprenentatge de l’alumnat. La formació matemàtica dels futurs mestres ha de superar la visió dominant d’unes matemàtiques úniques i universals en la nostra societat occidental, visió que, sens dubte, té repercussions en la seva formació. Així, la formació ha de procurar que conegui les matemàtiques que ha d’ensenyar, així com elements epistemològics d’alguns continguts d’aprenentatge escolar vinculats amb sistemes culturals diferents. Les representacions dels professors sobre significat de "fer" matemàtiques, de si les idees matemàtiques són susceptibles d’interpretació o discussió,... són un aspecte important dels missatges implícits que els professors transmeten als estudiants sobre la naturalesa de la disciplina. Steinberg i altres (1985) van observar que existia una relació aparent entre l’educació formal que tenien els professors, el seu coneixement real del tema específic de matemàtiques que ensenyaven, el seu coneixement sobre una imatge global de les matemàtiques i les aproximacions que utilitzaven en el seu ensenyament. Van observar que els professors amb un major nivell de coneixements matemàtics eren més conceptuals, mentre que aquells amb menor nivell de coneixement donaven un ensenyament basat en regles i procediments. 42 Capítol 2 En resum, el professor és un educador matemàtic quan no és un simple transmissor o executor del currículum, sinó que és un subjecte actiu que filtra, redefineix, interpreta i valora el programa, a la llum del seu coneixement pràctic de la seva manera d’entendre l’ensenyament, de la seva percepció personal del programa, de la seva visió del propi entorn del treball i de les exigències que li són plantejades (González 1986). Però per a poder fer-ho, necessita ser capaç de reconèixer el valor d’una anàlisi didàctica matemàtica contextualitzada. El mestre de primària com a membre d’una comunitat professional. “Un mestre ideal és un membre d’una comunitat professional que està disposat, motivat i capacitat per ensenyar i per aprendre a partir de les seves pròpies experiències com a ensenyant” (Shulman & Shulman 2004). En el nostre treball considerem que comporta sis dimensions : (a) Disposició per a fer realitat una visió clara dels objectius docents. (b) Motivació per assumir les tasques que es consideren essencials. (c) Capacitat per a tirar endavant pragmàticament un projecte docent. (d) Reflexió per aprendre d’experiències pròpies i alienes i introduir canvis. (e) Pràctica per concretar accions docents d’aprenentatge. (f) Comunitat Integració i coordinació en un equip de mestres. Vegem el significat que atorguem a aquests elements i com s’integren els diferents elements del perfil de mestre que implica. (a) Disposició al canvi. A partir d’una visió concreta dels objectius generals a aconseguir (nens actius, participatius, reflexius,...), dels objectius disciplinaris i dels interdisciplinaris, el mestre està disposat a pensar l’ensenyament com un procés i no només com una acció transmissora i a pensar en l’aprenentatge com un procés creatiu i no pas repetitiu. Aquesta disponibilitat vers un enfocament renovador i reflexiu implicarà sovint el desenvolupament d’una Marc teòric per al model de desenvolupament 43 personalitat pròpia confrontada amb les figures tradicionals de mestratge. (b) Il·lusió i motivació. La més perfecta de les preparacions intel·lectuals no servirà si en el moment de la veritat, a la classe, el mestre no es planteja amb il·lusió la seva tasca. Cal motivació per a fer les coses bé i per donar peu a canvis, adaptacions, generació de noves propostes, etc. (c) Capacitat. Un mestre ha de tenir el coneixement i la capacitat per entendre molt bé allò que ha d’ensenyar i el cóm ho ha de fer (conèixer i fer). Així calen capacitats per conèixer els continguts disciplinaris i interdisciplinaris, entendre el currículum amb profunditat, saber organitzar i portar la classe, saber avaluar a la classe, relacionar-se amb totes les comunitats implicades i entendre els estudiants intel·lectualment, socialment, culturalment i personalment sota perspectives de desenvolupament. Shulman (1987) ja considerava que el coneixement d’un professor de matemàtiques havia de justificar-se tant per la seva actuació com per les seves “explicacions raonades “dels fets. D’aquesta forma considera al professor o professora com aquell que sap com interpretar, expressar o representar la matèria, de manera que els estudiants puguin entendre-la. Aquesta noció és la que anomena "psicologització" de la matèria i s 'usarà com un ideal per a la conceptualització del coneixement dels professors d’un àrea de contingut. (d) Capacitat per involucrarse en la pràctica en actuacions apropiades. Aquest és “el cor“ d’ensenyar: la capacitat per a portar a terme accions intel·ligents i adaptatives. Formar per aquesta capacitat és especialment complex. Cal adaptar el currículum a cada cas, atendre i reconduir les dinàmiques de classe, avaluar formal i 44 Capítol 2 informalment, motivar amb coses noves, actuals i de la vida de l’entorn, etc. (e) Aprendre de l’experiència a través de la reflexió. La reflexió està en el cor de l’aprenentatge i només promocionant-la es podran assegurar canvis positius i re -orientacions a la llum de l’experiència però amb el filtre de la reflexió professional (avaluant, revisant, auto - criticant actuacions,...). Arribar a ser “un mestre ideal” (Shulman i Shulman, 2002) o bé un mestre excel·lent (AAMT, 2002) és un procés a llarg termini que implica una gestió personal i voluntària del procés, però en la que intervenen de manera decisiva institucions i persones, en un marc social determinat. El llarg camí cap a la expertesa comença amb la formació universitària inicial. Com l’experiència mostra, i no només en aquest cas, la formació inicial pot determinar el rumb de l’itinerari de la formació cap a l’expertesa o, més perillós encara, que no es senti la necessitat de continuar-la. Es per la importància decisiva que te la formació inicial, que cal fer una recerca seriosa sobre els plans d’estudis, els materials i les metodologies per dur-la a terme. Tenint en compte les circumstàncies actuals (renovació dels claustres escolars de Primària en uns pocs anys, augment de la natalitat provocada per una creixent immigració, necessitat de formar ciutadans matemàticament competents,..), la formació inicial que porti a facilitar l’existència de bons mestres de matemàtiques a l’ensenyament primari planteja, a la vegada, un repte i una necessitat urgents. Les dificultats de la tasca són enormes per que, a més de formar professionalment, cal compensar una formació matemàtica i humanística insuficients o poc adients, segons el cas. També contribueix a la dificultat la necessitat de canviar de manera radical la manera d’ensenyar sobre la que els alumnes de mestre tenen experiència, doncs com diu Gallimore (1996) “canviar de manera d’ensenyar Marc teòric per al model de desenvolupament 45 és un canvi cultural i els canvis culturals són difícils”. En particular, com diu Hiebert et col. (2003), no podem esperar grans resultats en aquestes circumstàncies. Tanmateix, pels joves que estant il·lusionats en ser mestres i pels alumnes que se’n poden beneficiar, val la pena intentar-ho. 2.3. Sobre el desenvolupament professional. Arribar a l’expertesa és un procés complex que, a més d’elements externs ve determinat per la voluntat del mestre i que implica l’aprenentatge durant la vida laboral. El desenvolupament professional és un aspecte central al plantejarse la formació. Una altra qüestió es els tipus de coneixements que fan possible la preparació per ensenyar i cal tenir en compte també les circumstàncies en les que es genera el coneixement específic en els estudiants de mestre i en els mestres en exercici. Per això, en aquest apartat es presenten les característiques considerades en la recerca, en una formació de qualitat, i els conceptes teòrics implicats. En els darrers anys, el desenvolupament professional dels mestres ha merescut molta atenció per part dels educadors matemàtics com a constructe que permet reconèixer les característiques de qualitat de formació. Per a Ponte (1997), el desenvolupament professional correspon a un procés “de creixement de la seva competència en termes de pràctiques lectives i no lectives, en l’auto -control de la seva activitat com educador i com element actiu dins l’organització escolar. El desenvolupament professional respecte als aspectes lligats a la didàctica i també a l’acció educativa general, als aspectes personals i relacionals i d’interacció amb d’altres mestres i amb la comunitat extra –escolar” (p.44). Day (1999) dona un sentit molt més ampli al desenvolupament professional del mestre, dient que es tracta d 'un procés que compren totes les seves experiències d’aprenentatge (naturals, planificades i inconscients) que li aporten beneficis directes o indirectes, i que contribueixen a la qualitat de la seva pràctica 46 Capítol 2 amb els alumnes. El professor, individualment o amb els seus col·legues, renova i amplia els seus compromisos pel que fa a les finalitats de l’ensenyament i adquireix i desenvolupa, de manera crítica, el coneixement així com les tècniques i la intel·ligència (cognitiva i afectiva) essencials en una pràctica professional de qualitat amb els alumnes en el context escolar. Així, el desenvolupament professional es vist com un procés complex en el que el mestre intervé globalment incardinat en el procés escolar, amb la seva problemàtica interna i els lligams amb l’exterior. El desenvolupament com a canvi. Obstacles. En una societat canviant, i per tant en una escola canviant, el mestre s’ha de veure permanentment com un aprenent, com un agent actiu en el seu lloc de treball i disposat a col·laborar amb els seus col·legues, tant pel que fa a la pràctica lectiva com en els problemes educatius més amplis. És en aquest sentit que es pot criticar la perspectiva de l’aprenentatge dels mestres com una adquisició fragmentada d'informació o de competències específiques d 'ordre pràctic (Popkewitz, 1992). Més que parlar de promoure el canvi de les concepcions i pràctiques dels mestres, té sentit estudiar les condicions que provocaran un posicionament diferent de la seva activitat professional, prenent iniciatives per formular i resoldre els problemes que es troben en el dia a dia. El desenvolupament professional implica sempre algun aprenentatge, i en conseqüència algun canvi. Segons Christiansen i Walther (1986), l’aprenentatge del mestre sobre l’ensenyament es dona quan adquireix la capacitat de veure i fer coses que no feia abans. El canvi en el mestre només es dona si l’ensenyant està disposat a canviar (Fullan, 1993; Hargreaves,1998;Thompson 1992). Ningú canvia a ningú, el canvi és un fenomen interior, per que es doni ha de ser desitjat pel subjecte. Per altra banda és necessari que l’ensenyant estigui disposat a córrer riscos implícits en les innovacions educatives i a afrontar les inseguretats dels nous plantejaments. Això ja constitueix un element important en l’inici del procés d 'aprendre a ensenyar a Marc teòric per al model de desenvolupament 53 El que ha de conèixer el professor de matemàtiques està relacionat amb els contextos i situacions on vagi a utilitzar aquest coneixement, és a dir, amb activitats, objectius educatius i contextos d’ensenyament de les matemàtiques. Actualment es considera vital aquesta transformació del contingut de la matèria a la forma adient per a ser ensenyat. El terme coneixement del contingut pedagògic (CCP) fou emprat per primera vegada per Shulman (1986) com " la particular forma de coneixement del contingut que dona cos als aspectes de contingut majoritàriament relacionats amb la seva ensenyabilitat". Aquest replantejament de les matemàtiques implica una certa facilitat amb les representacions, les il·lustracions, exemples, explicacions i analogies per fer les idees matemàtiques comprensibles als altres. La noció de que el desenvolupament CCP és l’element més important del coneixement del mestre i que sustenta l’ensenyança, ha estat molt popular des del moment que Shulman llença aquesta idea. Des d’aquesta perspectiva, es defineix set categories de coneixement del mestre: de la matèria (substantiu i sintàctic), pedagògic general, curricular, pedagògic més específic de l’àrea, dels aprenents, dels contextos educatius i culturals i dels objectius i valors educatius (Shulman 1987). Desprès d’aquesta divisió, diverses recerques i treballs han anat fent observacions als diferents elements que calia considerar. Notem com Bennett i Carré (1993) observen que la relació entre aquestes bases i la naturalesa de la seva connexió amb l’acció docent no era gaire clara. Even i Tirosh (1995) posen atenció en el buit d’evidència que recolzi i il·lustri la suposada interrelació entre coneixement del contingut de la matèria (CCM) i CCP, i suggereixen que això podria,en part, ser degut a les diferents concepcions del paper de l’ensenyant. Per un cantó es vist com el gestor d’un currículum expert i per altre es veu més relacionat amb la matèria i les maneres de presentar-la. La recerca d’Even i Tirosh demostra la relació entre CCM i el coneixement i maneres de pensar dels estudiants per una banda i per l’altre la seva presentació de la matèria amb la resposta dels estudiants. 54 Capítol 2 Investigadors com McEwan i BulI (1991), rebutgen la dualitat del model de Shulman. Encara estant d’acord amb determinades qüestions, no obstant això, creuen que la distinció entre els dos dominis esmentats introdueix una complicació innecessària dintre del marc conceptual. Les seves proposicions les fonamenten des de dues perspectives, d’una banda rebutjant l’objectivisme del coneixement i per un altre basant-se en els escrits de Dewey, que encara que no explícitament, semblen ser la base del model de Shulman (Wilson et al. 1987). Des de l’epistemologia, argumenten que tal distinció no pot ser acceptada, ja que tot coneixement del contingut específic, ja sigui tingut per científics com per professors té una dimensió pedagògica. Mantenint una posició no objectivista del coneixement, entenen que el coneixement científic no està al marge de les influències del que coneix i per tant no és una representació autèntica del món. Els científics han d’estar preocupats que les seves afirmacions siguin comprensibles als altres, d’alguna forma tenen una tasca pedagògica, (McEwan i BulI, 1991). McNamara (1991) també qüestionava la distinció entre CCM i CCP, doncs les matemàtiques són elles mateixes una forma de representació. Cal tenir en compte que el propi Shulman presentava això com un marc provisional, i per això, interpreten el que Shulman anomena "el coneixement que creix en la ment dels mestres (de matemàtiques), amb especial èmfasi en el contingut" (1986). Això es correspon amb les categories 1,3 i 4 de les set que ell plantejava. En un treball posterior Grossman i Wilson (1989), diuen que el coneixement del contingut (CC) hauria d’emergir d’un procés d’anàlisi crítica, guiat per les estructures substantives i sintàctiques de la matèria. Des d’aquesta perspectiva, el coneixement substantiu es caracteritza per incloure el coneixement de fets i conceptes i com estan organitzats; el coneixement sintàctic tracta de la naturalesa de la recerca en el camp concret i dels mecanismes a través dels que s’incorpora nou coneixement, inclou coneixement de demostracions i estructures Marc teòric per al model de desenvolupament 55 (Schwab,1978). Tot plegat té implicacions pel que trien els mestres per ser ensenyat i cóm ho ensenyen. Shulman distingeix entre dos tipus de comprensió "saber què i saber per què". Askew, Brown, Rhodes Johnson i Wiliam (1997) identifiquen un marc per l’anàlisi del coneixement efectiu del professor i les seves pràctiques : creences, resposta dels alumnes i CCP. Brown et al. (1999) suggereix la necessitat de conciliar les dues maneres de considerar el coneixement matemàtic : "fenomenològic i introduït fortament". Tot plegat només fa que reconèixer les diferències filosòfiques entre les diferents perspectives de les matemàtiques. I la influència que te en la manera d’ensenyar les matemàtiques. Al nostre treball (a partir de NCTM 1991, Fortuny 1995, Garcia 1997:212), interpretem el desenvolupament professional com a “construcció personal producte de l’elaboració cognitiva personal en l’acció professional, que duu a la integració cognitiva de diferents components de coneixement” El "desenvolupament professional" de l’ensenyament hauria d’incloure tres categories / components diferents:matemàtica, estratègica–pedagògica-interpretativa i actitudinal. 2.4. Components matemàtica i estratègica del desenvolupament professional. La component matemàtica, implica el coneixement de i sobre les matemàtiques, l’activitat matemàtica, el que s’ha d’ensenyar als alumnes i les seves relacions amb altres continguts (tant dintre com fora de la matemàtica). La comprensió de conceptes, procediments i el procés de fer matemàtiques, formen part del que es denomina conèixer les matemàtiques, incloent en aquestes l’estudi de conceptes i propietats dels nombres, objectes geomètrics, funcions, i com poden emprar -se (identificar, amidar, comparar, localitzar, descriure, construir, transformar, 56 Capítol 2 etc.), conceptes i propietats estadístiques i de probabilitat i la seva utilització. Tals coneixements no deuen desenvolupar-se de manera aïllada, és important discutir, identificar i definir conceptes i procediments, entenent les connexions entre ells i les seves relacions amb altres camps. Així mateix, conèixer matemàtiques comprèn el discurs matemàtic, centrat en l’abstracció, generalització, examen de models i construcció d’arguments matemàtics convincents. Inclou per tant l 'ús d’evidències i demostracions, el paper de les definicions, els exemples i els contra - exemples, sent aspectes importants conjeturar, construir i avaluar arguments, comunicar i connectar les idees matemàtiques. És clar que els conceptes específics i els procediments són part també del que es denomina discurs matemàtic. Dintre d 'ell podem, d 'igual forma, considerar essencial el desenvolupament d’habilitats en la resolució de problemes i el raonament matemàtic, per a fomentar que els estudiants per a professors construeixin matemàtiques per ells mateixos, potenciïn i ampliïn les seves estratègies de resolució de problemes i confrontin i uneixen les seves exploracions intuïtives i informals amb les demostracions formals i sistemàtiques. D’altra banda, és fonamental que els futurs professors tinguin un profund coneixement i comprensió de les matemàtiques del currículum escolar i com s’enquadren en la disciplina de les matemàtiques. El que inclou l’aprofundiment dels tòpics matemàtics escolars, una àmplia comprensió dels conceptes matemàtics significatius i de com ells es relacionen amb altres parts del currículum. Creiem que una formació matemàtica adequada i específica és bàsica per al posterior desenvolupament de les altres components o dominis del coneixement del professor. Assumim clarament que existeix una relació estreta entre el coneixement del professor i les situacions i tasques concretes en les quals el coneixement és usat. Marc teòric per al model de desenvolupament 57 Per tant, un marc per a contemplar i analitzar el coneixement del professor de matemàtiques pot venir des de la perspectiva de considerar-lo situat, i que es genera, desenvolupa i madura a través de l’activitat, i de la interacció social de les persones. Molta recerca en l’àrea del coneixement dels mestres està focalitzada en la noció clau de transformació del coneixement matemàtic per a la docència. El treball de Deborah Ball (2002) amplia les propostes de Shulman fent una distinció entre coneixement de matemàtiques (significats i procediments subjacents) i sobre matemàtiques (allò que fa una cosa certa o raonable en matemàtiques). Troba que les matemàtiques han de ser "re-visitades" en la formació inicial per que els mestres necessiten desaprendre algunes coses dels que creuen i saben al voltant de l’aprenentatge i l’ensenyament de les matemàtiques. Molt interessant en aquest sentit és el treball de Prestage i Perks (1999) en el que qüestionen que tant els estudiants per a mestre com els mestres en exercici, molt del coneixement matemàtic està a un nivell d’aprenent i no es transforma en coneixement matemàtic de mestre. Rowland (2000) descriu les condicions sota les que aquesta transformació es fa o no. Segons Prestage i Perks la capacitat personal de fer aquesta transformació depèn del que els mestres porten a la classe, és a dir, molts d’ells usen les seves pròpies experiències com alumnes per fonamentar les decisions que prenen sobre les matemàtiques a ensenyar. Hi ha poques evidències de que el coneixement matemàtic dels ensenyants es desenvolupa com a conseqüència de la pràctica. Les aportacions de Grossmanet et al (1989) i les de Aubrey (1997) van en la línia d’afirmar que, així com el coneixement pedagògic es desenvolupa amb la pràctica, el coneixement matemàtic no ho fa. Simon i Brown (1997) van trobar que necessiten ser investigades i avaluades diferents maneres d 'avaluar el coneixement de la matèria dels mestres. 58 Capítol 2 Hi ha evidències que suggereixen que els mestres necessiten treballar de manera que el coneixement pedagògic i matemàtic es relacionin al nivell que seran ensenyats. En el cas dels estudiants de mestre hi ha recerques sobre la relació entre coneixement matemàtic i ensenyament efectiu de les matemàtiques, com per exemple Rowland et al (2000). Troben que tenir bones qualificacions no són indicadors d’ensenyament efectiu en matemàtiques. En conjunt les recerques fetes assenyalen que les deficiències en coneixement substantiu es podien resoldre, les de coneixement sintàctic eren molt més resistents en la formació inicial. Pel que fa a la relació de les concepcions de les matemàtiques, l’ensenyament de les mateixes i el coneixement de l’aprenentatge dels alumnes, mostren creences de tipus connexionista, és a dir, es creu que tots els alumnes aprenen matemàtiques si es dona un ensenyament adient caracteritzat per explicitar les connexions entre els diversos aspectes de les matemàtiques. Component interpretatiupedagògic-estratègic, que inclou coneixements curriculars, descrits en plans d 'estudis i reflectits en els textos i altres instruments didàctics; com els estudiants processen, emmagatzemen, retenen i recuperen la informació i de com els professors negocien amb els alumnes la instrucció; coneixement d’una varietat d’exemples per a cada idea matemàtica; coneixement sobre tècniques específiques d 'instrucció; coneixement de materials instructius; saber com és la teva classe, com són els alumnes, reconeixement de creences sobre els valors, els estudiants,...; de com dirigir situacions complexes d’instrucció que involucren a un gran nombre d’estudiants ; una varietat de recursos, espais, i l’ús de complexa tecnologia actual. Així mateix, inclou meta -coneixements, que defineixen el marc que es valoren els coneixements i la seva relació amb la pròpia professió; coneixements sobre la didàctica de la matemàtica, conjuminant informacions psicopedagògiques, Marc teòric per al model de desenvolupament 59 experiències professionals personals i coneixements matemàtics. També, el coneixement de i sobre el procés de generació de les nocions matemàtiques ; el coneixement sobre les interaccions en l’aula, tant les de professor -alumne com les d’alumne –alumne, amb la doble dimensió arquitectura relacional (rutines instruccionals) i la negociació del significat (contracte didàctic) ;coneixement sobre el procés instructiu, formes de treballar en classe, el paper de professor, que comporta, el coneixement sobre les representacions instruccionals així com el coneixement sobre les característiques de la relació tasca - activitat. Tot això posat en relació per a generar un coneixement pràctic a través de la pròpia pràctica instruccional, i caracteritzat/mediatitzat per les creences epistemològiques del professor, dins una component actitudinal, que es veurà explicitada en l’apartat següent. Siguin dos o tres o quatre dominis distints o bé un únic, el que sí sembla ser compartit per tots els investigadors és la profunda relació entre ells, (Llinares i Sánchez, 1996a). Des de l 'estudi de les possibles limitacions pràctiques del coneixement de contingut pedagògic, Meredith (1995) citant a Lucas, planteja la necessitat de reconèixer que el coneixement de la disciplina és inseparable de la seva aplicació. Arribant a la conclusió que el coneixement de contingut pedagògic depèn del coneixement de la matèria, i al seu torn informa a aquesta. La idea central per a distingir el coneixement que fonamenta l’ensenyament, està en la capacitat del professor per a transformar el coneixement de matemàtiques en representacions que siguin útils a ell i als alumnes, quant al millor desenvolupament dels objectius de l’ensenyament. Aquesta capacitat vindrà propiciada per la intersecció/interrelació entre contingut i pedagogia, una amalgama que és pròpia de la comprensió professional dels professors. Precisament alguns d’aquests aspectes queden recollits en el següent paràgraf, “Un aspecte del coneixement de contingut pedagògic implica una certa integració de contingut i 60 Capítol 2 pedagogia, agafant idees de les matemàtiques i del que coneixem sobre l’ensenyament i aprenentatge de matemàtiques”. (Cooney, 1994, p.6 10). Independentment del contingut específic i nivell, hi ha una sèrie d’aspectes o temes que s’han de tractar en la formació de professors per a ampliar el seu coneixement de les matemàtiques: resolució de problemes en matemàtiques, raonament en matemàtiques, comunicació en matemàtiques, connexions dintre de la disciplina de les matemàtiques i amb el món real. El coneixement dels professors és “multidimensional i interactiu, és a dir, com un complex sistema integrador d’aspectes molt diferents, que difícilment poden estudiar-se aïllats. A més sorgeix la idea de la importància de les situacions i contextos socials i culturals on es genera, desenvolupa i utilitza, és per tant considerat “situat”. El coneixement es genera socialment i és, en part, producte de l’activitat, context i cultura on es desenvolupa i empra“. (García, 1997, p. 41). 2.5. Component actitudinal del desenvolupament professional. Considerem el conjunt de característiques que inclou sentiments, actituds, emocions, creences, valors i apreciacions. (Gomez Chacón 1997). En particular, al nostre treball, considerarem la part que correspon al que es diu sobre la Matemàtica, i el seu ensenyament - aprenentatge. No considerem al nostre treball les creences i posicionament pel que fa a un mateix, com tampoc les que provenen del context social. I, de fet, ens centrarem en les apreciacions com a mostra visible de les creences. Apreciacions, creences i intencions de formació. Molts autors han destacat la importància de reflectir les creences sobre les matemàtiques per a descriure els comportaments dels individus a les aules. Marc teòric per al model de desenvolupament 61 J.P. Ponte (1994) entén les creences com certeses personals i intransferibles de cadascú i que deriven de l’experiència o la fantasia i que porten una component afectiva i de valoració. Les creences es van modelant segons el tipus d’activitat, més o menys estereotipades, repetitives o creatives, que es proposen a l’aula i que formen part de la cultura escolar. També per la pròpia organització dels continguts, a vegades en compartiments estancs, com ha estat sovint el tractament de les Matemàtiques. Podem considerar quatre aspectes sobre les creences sobre les matemàtiques i el seu aprenentatge pel que influeixen els futurs ensenyants: 1) Influeixen sobre la percepció (Pajares, 1992). Serveixen per filtrar alguna complexitat d’una situació per fer-la comprensible, I aleshores, quan s’infereix de les creences, ha de determinar en què es centra quan veu una situació. 2) No són entitats de si o no; ja que es donen en diferents intensitats (Pajares, citant Rokeach, 1968); així, quan es mesuren, considerem tasques que tenen diferents interpretacions. 3) Tendeixen a ser especifiques d’un contingut (Cooney, Shealey, & Arvold, 1998), per tant situem les observacions sobre les creences en contextos particulars i inferim les creences sobre la base de les interpretacions que es fan en aquell context 4) Podrien ser pensaments de disposicions a través d’accions (Cooney et al.,1998; Rokeach, 1968); això vol dir que inferim les pròpies creences sobre la base de cóm la persona podria actuar en una situació particular. Aquestes formes de representació del coneixement són importants a la construcció de significats ja que permeten organitzar i filtrar informacions rebudes, van constituint la visió subjectiva que es té de la realitat i del món. Creences i apreciacions constitueixen un esquema conceptual que permet que les persones facin anticipacions i judicis sobre les matemàtiques i els processos d’ensenyament - aprenentatge . 62 Capítol 2 Els futurs docents entren als programes de formació amb una gran varietat de creences que són resultat de els seves experiències a l’escola anterior. Creuen que l’ensenyament serà relativament positiu si consisteix prioritàriament en donar explicacions bones i clares a l’alumnat de Primària. Tendeixen a creure que la superació dels obstacles del seu propi aprenentatge es produirà més aviat a la seva pràctica docent més que al propi curs (Book & Freeman, 1986). D’una banda, la major part dels futurs docents suposen que l’aprenentatge del contingut és molt menys important que la seva habilitat de relacionar-se amb l’alumnat I de gestionar la classe. Així, al treball que hem vist de Weinstein (1989) es caracteritzava aquesta orientació com a un biaix optimista i es mostra sovint que els futurs mestres entren al seu curs suposant que ja coneixen el que necessiten per a ensenyar (FeimanNemser & Buchmann, 1986). Sovint aquestes percepcions i creences són una limitació per a implicarse al curs de formació que sovint es dissenya per a repassar continguts matemàtics. D’altra banda, els educadors matemàtics pensem que aquesta revisió és important. De fet, diversos estudis han posat de manifest els continguts matemàtics febles dels estudiants (Ball, 1990; Ma, 1999). En efecte, pensem, que el desinterès per la matèria i les seves concepcions i creences interfereixen el desenvolupament del curs. També tenen percepcions i creences sobre el que els sembla que és ser mestre. Creuen que un dels atributs més importants d’un bon docent és que ha de ser entranyable i curós, donant prioritat a promoure l’autoestima de l’alumnat (Weinstien, 1990). Aquestes creences poden ser més centrals i més resistents que les creences sobre les matemàtiques i és improbable que canviï ni la intensitat ni la rellevància. Pràcticament les definicions de bons mestres, que donen els alumne de mestre, estan centrades en aquests atributs interpersonals ((Weinstien, 1989). Marc teòric per al model de desenvolupament 69 cognitius individuals sinó també contemplant el seu aspecte social a l’originar-se quan un grup intenta resoldre la situació. Respecte del coneixement del professor cal afrontar: - la seva naturalesa integrada, - el seu continu desenvolupament, com resultat del seu ús en tasques noves, i - l’aprenentatge continu que és la formació de professors que va més enllà de la formació inicial. El desenvolupament del coneixement de contingut pedagògic i creences tant dels estudiants per a professor com dels professors en actiu deuria donar-se en contextos representats com reals ja que la pràctica professional duu associat dilemes i rutines implícites (Cobb et al. 1988). El coneixement que sorgeix d’una pràctica és en part un resultat de l’activitat el context i cultura en la qual es desenvolupa i utilitza” (Brown, Collins i Duguid, 1989. 1989, p. 32). Però com Fennema i Loef, (1992), comenten, a més aquestes tres components, (activitat, context, i cultura), actuen de referent a través de les quals el coneixement es recorda, interpreta i usa. Per tant, l 'activitat i les característiques del context on es desenvolupa el coneixement d’una persona, forma part integral del que ella aprèn, (Llinares, 1994a). Relació entre coneixement i pràctica professional. Segons Putnam i Borko (1997) el coneixement professional no està emmagatzemat en la ment dels professors com principis abstractes lliures de context, sinó que es desenvolupa en situacions i es guarda juntament amb característiques de les classes i activitats en les quals es va generar. 70 Capítol 2 Aquest coneixement s’organitza al voltant de tasques que el professor va portar a terme en les seves classes. Quan un professor soluciona problemes que se li plantegen en les seves classes, desenvolupa un coneixement que guarda juntament amb aspectes claus de les situacions de classe en les quals aquest coneixement es va generar. Així, aquest coneixement no pot estar organitzat com un conjunt de principis abstractes sobre l’ensenyament, sinó que es troba totalment connectat i estructurat al voltant de situacions de classe a través de les quals es desenvolupo. Investigadors com Fennema i Loef, (1992), que han intentat particularitzar la noció de coneixement situat al professor de matemàtiques, la presenten indicant que seria la interacció entre: coneixement de matemàtiques, coneixement dels procediments pedagògics, i el coneixement dels estudiants. Aquests coneixements generals que el professor té han de ser aplicats per a organitzar i estructurar unes tasques concretes dirigides a uns estudiants específics, “els seus alumnes” i en la seva aula. En els últims temps la idea de considerar l’ensenyament com una professió i als professors com professionals, (Romberg, 1988; Tom i Valli, 1990; Sánchez, 1992), s’ha estès en el camp de les investigacions en Educació i concretament en el de l’ Educació Matemàtica. Aquestes consideracions ens condueixen a la pregunta, què significa ser un professional de l’ensenyament?. Pregunta que ha intentat ser resposta per distints investigadors entre ells Romberg, 1988, que aporta algunes idees que considerem bàsiques: i) la necessitat de parar esment al coneixement del professor de matemàtiques fruit del seu contacte amb les situacions d’ensenyament diàries de classe i ii) el pensar que el coneixement que pot fer de l’ensenyament de les matemàtiques una professió no té per quina generar -se només i exclusivament a través de les aportacions i resultats d’investigacions científiques, sinó que ha de sorgir, a més, de l’experiència del col·lectiu de professors (Llinares, 1994a). Marc teòric per al model de desenvolupament 71 En paraules de Bromme i Tillema, (1995), “Arribar a ser un professional no és un procés de substituir teoria per experiència, sinó un procés de fusionar teoria i experiència” . Aquestes últimes idees mostren, d’alguna forma, un punt mig entre entendre el coneixement del professor només i exclusivament com coneixement científic i entendre 'l únicament com coneixement obtingut des de la pràctica. D’aquí la importància que des de distintes perspectives se li dóna a les relacions entre coneixement i pràctica (Tom i Valli, 1990; Linares, 1995). Diverses qüestions sorgeixen en les investigacions centrades en el coneixement lligat a la pràctica professional, entre ells d’on van inferir aquest coneixement?, és coneixement tot el que els professors diuen o fan?. La forma d’enfrontar-se a elles difereix d’uns autors a uns altres i encara que des de distintes fonamentacions teòriques, segons Fenstermacher (1994), tots els estudis busquen comprendre millor el coneixement que els professors porten al seu treball i la comprensió que els propis professors tenen del mateix. D’aquesta forma sorgeixen els constructes “coneixement pràctic” (Elbaz, 1983, 1986, 1991), “coneixement pràctic personal” (Clandinin i Connelly, 1987), i “coneixement en acció”, “reflexió en l’acció”, “reflexió sobre la pràctica”, tots aquests últims conceptes sorgits del corrent denominat “epistemologia de la pràctica” recolzada en els treballs de Schön (1983, 1987). Una idea clau en aquest tipus de coneixement lligat a la pràctica professional és que el seu desenvolupament està vinculat a la participació en i reflexió sobre l’acció o la pràctica per part del professor. Des de qualsevol dels punts de vista, és evident que quan el professor pensa i reflexiona sobre el que ha succeït en la seva aula, ja sigui des del contingut de la matèria, la gestió o l’aprenentatge, es produeix un coneixement que fa que es pugui pensar de la pràctica del treball del professor com una mica en el sentit de poder transformar l’experiència, (Llinares, 1994a). 72 Capítol 2 2.7. Bases per a un model de desenvolupament professional Com a conseqüència del posicionament anterior, considerem que el currículum de formació en didàctica de la Matemàtica ha de fer submergir als futurs mestres en formes pròpies de l’activitat matemàtica, sense perdre de vista el seu paper professional en un escenari docent específic. Principis de formació. Entenem que la formació s’ha de basar en els principis següents: (1) D’acord amb la concepció de les matemàtiques com el resultat de certes activitats de les persones, és a dir com fenomen cultural, entenem que cal formar futurs ensenyants en un procés de "enculturització", el centre del qual són les activitats realitzades pels i les alumnes en el marc de la institució social de l’aula. El quefer formador ha de contribuir que el futur mestre pugui reconèixer que el conjunt societat-cultura emmarca el saber a ensenyar, en el que es realitzi un desenvolupament professional cada vegada més millorat. (2) La nostra estratègia clau d’adquisició del coneixement és un procés de matematització que parteix d’una fenomenologia (*Freudenthal 1983) basada en pràctiques situades, contemplant que existeix un sistema didàctic en el qual formador i estudiants s’emmarquen amb un conjunt de creences i models propis. (3) Considerem que l’estudiant per a mestre de Primària ha de saber poca teoria sobre la didàctica. Entre les poques idees clau a treballar, cal considerar les d’institucionalització i devolució. Amb tot, l’estudiant per a professor deu reconèixer el paper de les situacions didàctiques de diversos tipus Marc teòric per al model de desenvolupament 73 (Brousseau 1986), i reconèixer el paper de conflictes semiòtics per a conceptualitzar problemes representatius. En la nostra creença àmpliament exposada en les pàgines anteriors, el programa de formació de professors de Primària en Didàctica de la Matemàtica deurà tenir en compte les següents intencions educatives: (1) Col·laborar en la formació de professors de primària reflexius i crítics davant si mateixos i per a prendre posició judiciosa front la matemàtica i com ensenyar-la. Per això, hauran d’aprofundir en la visió de les matemàtiques que els estudiants han construït al llarg de totes les seves etapes d’aprenentatge. Per a això els EM haurien de ser conscients de les seves idees sobre els fonaments epistemològics de les matemàtiques per a això deuran explicitar els seus punts de vista, moltes vegades implícits, de manera que puguin comprendre i valorar possibles diferències entre els seus plantejaments i altres diferents. Hauran, per tant, d’aprendre a: • Prendre consciència que la gènesi del coneixement científic i matemàtic és la conseqüència d’un procés evolutiu llarg i complex. • Prendre consciència que els conceptes matemàtics formen part d’un procés de conjectures, refutacions i modificacions que donen lloc a demostracions que tenen una història i que, per tant, estan vinculades a un context. I, per altra banda, identificar valors com crítica, reflexió sobre l’acció educativa, etc. de manera que es produeixi una millora del sistema de creences sobre les matemàtiques i com ensenyar-les. 74 Capítol 2 • Integrar-se en un procés d’experiència matemàtica des de l'interior de la pròpia matèria, descobrint les seves implicacions en l’aprenentatge, tractant que es reconegui l’educació matemàtica des d’una aproximació fenomenològica i realista. • Reconèixer que una teoria és un sistema complex d’idees que expliquen uns fets determinats i que, en conseqüència, no té sentit aprendre una teoria al marge dels fets que explica. • Reconèixer la importància d’aprendre a plantejar preguntes significatives, a dubtar, com prerequisit per a aprendre. • Adquirir capacitat i independència al màxim per a posar en acció i aplicar les matemàtiques a problemes reals, així com tractar de comprendre l’ús que uns altres fan de les matemàtiques, i ser conscients d’algunes limitacions importants. (2) Millorar la seva valoració i actitud davant les matemàtiques i el seu ensenyament. • Reconèixer el valor de les Matemàtiques i el seu ensenyament per a interpretar situacions quotidianes, acceptant la modelització com un fet bàsic en el coneixement científic. • Identificar les dificultats principals del coneixement matemàtic, i conèixer elements lúdics que poden fer les matemàtiques més interessants per a un mateix i els futurs alumnes que els futurs mestres tindran. Descobrir la necessitat d’adquirir hàbits de tenacitat i esforç per a poder enfrontar-se als problemes matemàtics amb les màximes potencialitats possibles. Marc teòric per al model de desenvolupament 75 • Relacionar les matemàtiques amb el món quotidià, reconeixent instruments útils en les quals aquestes s’apliquen. Identificar elements tecnològics associats als continguts bàsics, conèixer elements instructius que poden ajudar a la comprensió dels nens/as. Saber utilitzar jocs i materials com referencials adequats a certs continguts, i reconèixer les seves possibilitats com element de motivació i interès. (3) La formació deu tenir com focus central aprendre a ensenyar matemàtiques. Així, considerarem: • Reconèixer continguts i processos cognitius personals que canvien les creences, milloren les destreses i actituds, mitjançant una anàlisi didàctica de qualitat. • Integrar i reconèixer els factors que influeixen en el desenvolupament didàctic mitjançant anàlisi personal: engegada i optimització de mètodes i recursos. • Considerar aquests factors implica formar a un EM que deurà tenir en compte als seus estudiants, conèixer les matemàtiques; diversos processos instructius; i saber utilitzar diversos mitjos i/o recursos per a la instrucció. També conèixer-se a si mateix, amb empatia positiva tant envers el seu treball com envers la seva persona. (4) Adquirir una formació educativa global de tipus constructiu. Revisar els propis punts de vista sobre per què ensenyar matemàtiques i, en conseqüència, quina matemàtiques ensenyar. 76 Capítol 2 Això implica, entre altres coses: • Aprendre a explicitar possibles finalitats de l’ensenyament de les matemàtiques, les prioritats personals, l’argumentació d’aquestes prioritats. • Saber identificar diferents opcions curriculars, tant a partir de la pròpia experiència com de l’anàlisi de currículum i de les observacions en centres de pràctiques; això implica analitzar les diferències i la relació amb els objectius, implícits i explícits, inherents a cadascun d’ells. • Aprendre a diferenciar els diferents tipus de continguts curriculars i explicar les raons de la importància de cadascun d’ells. • Aplicar el coneixement anterior a la selecció de continguts a ensenyar en l’organització d’un currículum per a aplicar-lo en l’aula. Al costat d’això, hom considerar que el professor ha de ser format en la millora de valors socials com: la capacitat de diàleg profund, l’autonomia, la creativitat, la confiança i els valors democràtics. Per a això, considerem que cal • Incorporar al màxim valors comunicatius de les matemàtiques com de la didàctica que hem definit com integrants d’una cultura científica. • No oblidar la nostra tradició sociocultural occidental dialèctica on apareixen binomis com racionalisme -art, sentit comúsentit matemàtic, etc. Marc teòric per al model de desenvolupament 77 Sobre el paper del formador i el procés de desenvolupament. Al plantejar –se com analitzem un procés -proposta de formació inicial cal tenir en compte el paper dels formadors de mestres i els seus coneixements previs i pressupòsits de formació. El coneixement necessari per ajudar a iniciar la transformació d’estudiants que acaben de finalitzar la seva educació secundària en docents es una qüestió que poques recerques recullen, sembla que encara no ha arribat el moment de plantejarse aquesta pregunta de manera més general. Per això, la recerca que es realitza, vol incorporar una visió ecològica, en la que la investigadora es posiciona en quant els inicis de transformació professional, i es situa contextualment l’experiència. L’organització personal constructiva del coneixement professional, es genera no només per tenir molts anys de professió i mitjançant qualsevol forma de pràctica, sinó a través de la reflexió individual del professor i compartint-lo amb grups de professors. Sabem que als formadors els falta compartir el coneixement per tal de construir més efectivament els programes de formació, que necessiten saber el que han fet els seus predecessors amb els seus alumnes igual que passa a l’escola primària (Hiebert et al 2003). D’aquesta manera un formador amb preocupacions al voltant de la millora de la formació inicial és algú que, com a mínim, recull informació sobre els coneixements i el progrés dels seus alumnes. A més, si es sent realment implicat i part de la comunitat educativa amb responsabilitats sobre la formació del professorat, aleshores mira de compartir informació amb els seus col·legues per fer millors programes de preparació de futurs mestres. Com en el cas dels mestres, no es pot ser expert en poc temps, la tasca és massa complexa i canviant. 78 Capítol 2 La formació i l’experiència influencien la seva pràctica al marge del programa de formació que estigui aplicant. I en el cas que el formador sigui el responsable del programa de formació específica didàctica – matemàtica la influència serà encara més gran. El formador de mestres ha de donar respostes a preguntes com ara, quines matemàtiques cal ensenyar, cóm ensenyar-les, quins coneixements didàctics precisa el futur mestre i el tipus de connexions cal establir entre els diversos coneixements implicats. Finalment, subscrivim que “ Els estudiants de magisteri venen a nosaltres amb unes visions molt fixes de les matemàtiques que cal ensenyar. En molts casos volen imitar els que han estat els seus professors, que sovint han seguit metodologies docents tradicionals. Els estudiants volen posar-se davant de la classe i explicar tal com els seus professors han fet. Volen certeses. Volen prescripcions per generar aquesta certesa. Es preocupen pels nens. Volen ser justos. No volen que les seves avaluacions siguin arbitràries i per tant trien mètodes d’avaluació que tinguin l’aparença de ser objectius. I què fem nosaltres?. Els provoquem dubtes, reflexió, consideracions sobre el context i intentem que desenvolupin una concepció experimental de l’ensenyament on l’educació es basi en el que els nois i noies coneixen i entenen....però aquesta situació pot ser perillosa. Si anem massa lluny amb els dubtes i les reflexions podem destruir la confiança d’aquests futurs mestres o crear un nou estereotip de mestre que posi en dubte la nostra credibilitat com a formadors. El gran perill per als formadors de mestres com nosaltres es que acabin comunicant mètodes específics per ensenyar en lloc d’inculcar una aproximació més reflexiva i adaptativa a l’ensenyament”. (Cooney 2001). 86 Capítol 3 L’estudi 87 3.1. Metodologia i fases de l’estudi. Com ja s’ha indicat al capítol anterior, ens proposem fer un tipus d’estudi anomenat recerca "per desenvolupament" (Gravemeijer, 2001), de tipus formatiu ja que és un estudi d’un producte específic i disseny de programa com a recerca bàsica que té per objectiu l’obtenció d’un programa d’innovació. Té una connotació etnográfica interpretativa amb anàlisi de tres casos particulars. Aquesta innovació té la validesa restringida a contextos similars, tot i que l’adaptació fa quasi impossible la rèplica en sentit estricte (cf. Ball, 1993; Simon, 1995.). El desafiament sobre la reproductibilitat que s’exigeix metodològicament es basa en el fet que es tracta de controlar i analitzar un bon experiment (Gravemeijer 2001). Tanmateix el treball permetrà que es faci una realització acomodada en altres llocs, considerant condicions similars. A continuació, es resumeixen els components de cada una de les fases, la seva relació amb els objectius del treball de recerca, les dades que es consideren, les tècniques i els elements per a l’anàlisi corresponent. Objectius generals Dades Tècniques / instruments Elements d'anàlisi Reconèixer l’organització, competències i continguts que es consideren apropriats per a la formació inicial d'ensenyants de Primària en Matemàtiques de manera que es produeixi desenvolupament professional en un marc de referència com el de l'estat espanyol. Informació bibliogràfica sobre Principis de formació. Contextualització Fase preliminar. Estudis i recerques sobre formació docent en matemàtiques. Cognició situada. Planteig sobre desenvolupament professional. Organitzadors curriculars. Anàlisi de referències bibliogràfiques sobre propostes de formació. Anàlisi de contingut. Síntesi de resultats. Presa de decisions. Principis. Identificar caracteristiques d'un disseny de procés d'aprenentatge que ens permetin reconèixer trajectòries hipotètiques corresponents Experiències previes de formació. Materials de formació. Planificació. Marc referencial teòric. Elements anàlisi proposta formació. Disseny de TRHIFI. Macrocicles Seqüències. Continguts Anàlisi de contingut dels Macrocicles. Reconeixement de patrons, disseny com a guia. Figura 3.1.1. Fase preliminar: Disseny de les TRHIFI i de les activitats 88 Capítol 3 Objectius Dades Tècniques / instruments Elements d'anàlisi Mostrar concepcions inicials dels alumnes de magisteri sobre les matemàtiques i sobre la seva didàctica en una experiència de formació contextualitzada. I més generalment, identificar eines que ens serveixen per a valorar el coneixement professional, i quins criteris les justifiquen. Diaris Entrevistes Observacions Produccions Activitats macrocicle 1. Activitats macrocicle 2. Mini-instruments Experiment particular Anàlisi de Cadenes de significació. Contrast. Anàlisi de discurs. Accions. Anàlisi de contingut dels Microcicles. Identificació de patrons observats empíricament. Figura 3.1.2. Fase 2: L’experiment d’ensenyament ( prova empírica). Objectius Dades Tècniques / instruments Elements d'anàlisi Identificar aspectes que mostren el creixement i canvi del coneixement professional d'un grup de tres estudiants. I especificament pel que fa l'establiment de connexions, reconeixement de significats aritmètics i representacions, i coneixements didàctics associats. Quins elements poden servir per avaluar o donar més informació sobre aquests canvis. Anticipacións versus observacions. Modificacions a partir de l’experi’encia. Reinvenció "professional" Analisi retrospectiva Resonància de la Trhifi. Prediccions i limitacions. Producció teòrica emergent. Figura 3.1.3. Fase 3: Anàlisi retrospectiva de les dades qualitatives. A continuació es presenta una especificació de la distribució de sessions realitzades i tipus de registres per a la fase experimental que serà motiu de treball principal dels capítols 4 i 5. Tot i que es recullen treballs de tot el grup-classe, només s’analitzarà en profunditat l’evolució del treball de 3 alumnes. L’estudi 89 Temporització Tipus d’experiència Registre de dades Sessions Set 1999 – Gener 2000 Prova inicial Sessions de treball inicial Simulació de pràctica d’avaluació Tasques de reflexió personal a casa Activitats de planificació Registre audio Recollida de treballs de l’alumnat Diari de camp de la professora (1) Definicions i representacions de parell i meitat. (2) Significació matemàtica i didàctica. (3) Rellevància del contingut matemàtic. (4) Autoregulació del contingut matemàtic. (5) Explicitació del coneixement i intencionalitat sobre la pràctica. (6) Avaluació interna. Feb 2000 – Juny 2000 Simulació de pràctica escolar Sessions discussió de d’aula Tasques de reflexió personal a casa Activitats de planificació Test Mini-entrevistes de petit grup Triangulació altres investigadors i discussió amb Recollida de treballs de l’alumnat Tests ( 7 ) El cas de la introducció de conceptes. ( 8 ) Constatació de posicionaments i creences professionals ( 9 ) Valoració de seqüències d’aprenentatge en llibres de text. ( 10 ) Anàlisi de propostes de programació. ( 11 ) Avaluació sumativa Figura 3.1.4. Distribució de sessions, tipus d’ experiències i registre de dades. El nostre model metodològic es basa en un posicionament clarament inductiu, amb un caràcter subjectiu, amb pretencions generatives i bàsicament constructiva cap a estudis participatius dins una perspectiva crítica. El nostre propòsit final no és canviar la manera en que actúen els futurs mestres per que cal, sinó provocar , si es pot, el canvi a través d’ una millor comprensió del fenòmen educatiu.Per aixó usem diversos nivells d’ instruments en fases successives, com es detalla tot seguit: - Recollida de dades: Tasques, diaris i gravacions. - Depuració de les dades: Separació en unitats d’ informació en els textos, divisió dels protocols en episodis.Els enunciats amb la mateixa idea base amb lligam semàntic o sintàctic configuren una unitat d’ informació. Aixi es poden localitzar els comentaris i contrastar amb els diaris i d’ altres recercadors. 90 Capítol 3 - Anàlisi de dades: Assignació de categories i indicadors en els 3 àmbits descrits segons els instruments i constructes que es descriuen més endavant. Primer s’ assignen textos a les categories per comprovar-ne l’existència i es recategoritza. S’ assigna a cada estudiant la categoria corresponent, per comprovar si s’ acompleix. S’ elaboren els quadres de les assignacions i es puntuen les persones segons les característiques de cada apartat en l’ àmbit del discurs. Amb aixó s’ elabora una gràfica evolutiva dels estudiants observats. - Presentació dels informes ( veure capítols 4 i 5 ), es reinterpreten les dades de les categories per a fer l’ anàlisi interpretatiu qualitatiu. S’ inclou la recerca de relacions i propietats associant a cada aspecte els exemples que siguin necessàris per a justificar els resultat. L’estudi 91 3.2. Context i subjectes de l’estudi. Per tal d’analitzar un procés de formació es decideix dur a terme un estudi en la Facultat de Formació del Professorat de la Universitat de Barcelona amb alumnes de primer curs del títol de Mestre, especialitat de Primària, en l’àmbit de les dues assignatures troncals de 7,5 crèdits cadascuna que tenen lloc en el mateix any acadèmic i l’una a continuació de l’altra. Les assignatures han estat Didàctica la Matemàtica I i II, durant el curs acadèmic 1999-2000. Cadascuna de les dues assignatures comporta 3,5 hores de classe setmanal durant 14 setmanes amb tot el grup-classe (60-70 estudiants) i 1,5 hores setmanals més de dedicació a la meitat del grup o grups més reduits. El Departament de Didàctica de les Ciències Experimentals i de la Matemàtica té assignada la docència d’aquestes assignatures, de la que se’n fan càrrec els formadors de l’àrea de Didàctica de la Matemàtica. En la present recerca l’investigador actúa com a formador en les dues assignatures. Aquestes assignatures són les úniques obligatòries en el títol de Mestre especialitat Primària relacionades amb l’ensenyament de les matemàtiques, és a dir, les úniques si l’estudiant decideix no fer-ne cap altre d’entre les optatives i de lliure elecció que s’ofereixen durant la diplomatura. Durant el primer any acadèmic de la Diplomatura no es duen a terme assignatures de Pràctiques Escolars, es més, per poder cursar–les cal tenir aprovats un nombre considerable de crèdits. Les Pràctiques Escolars,en aquest pla d’estudis i per aquesta especialitat, es duen a terme durant el primer semestre del tercer any. Per tant durant el temps en que s’imparteixen aquestes assignatures no està contemplada la possibilitat de fer pràctiques a un centre escolar, tampoc ho està fer pràctiques escolars dintre les assignatures de didàctica específiques o generals. Cal tenir en compte que, en un context com el de Barcelona ciutat i cinturó metropolità,amb un gran nombre d’alumnes implicat i dos centres més on es cursen aquests estudis, no es senzill organitzar cap activitat relacionada amb els centres 92 Capítol 3 escolars de Primària que no estigui contemplada per la gestió acadèmica de la facultat. Els alumnes que es matriculen en l’especialitat de Primària són, majoritàriament, batxillers d’especialitats mixtes, alguns de ciències o llengües i un percentatge important (15-20% fins al moment de l’estudi) d’alumnes procedents de la Formació Professional. El perfil d'aquests alumnes és segons UB. Consell de Qualitat (1996): "El perfil dels estudiants de nou ingrés per aquesta titulació és : estudiant (83% de dones, 17% d’homes), solter/a, amb una edat entre 21-23 anys, que procedeix en la seva major part dels estudis de Batxillerat, amb una procedència socio-economica de classe mitjana (72%), que viu en el domicili familiar, ubicat en la comarca del Barcelonés i que es financia els estudis amb l’ajut dels pares; realitza feiones esporàdiques dins un horari de 10-20 hores setmanals, i fa ús dels estudis del torn de tarda. Aquest alumne ha triat els estudis de mestre com a primera opció (69%) i se’n troba molt motivat(un 72% es pensa dedicar a l’ensenyament)". Les seves notes en matemàtiques dels darrers cursos no són dolentes, entre aprovats i notables (les notes de tall de la selectivitat han anat augmentant i van del 6 al 6,5 en aquests anys), però si que és negativa la seva disposició cap a les matemàtiques. Aixó s’explica, segons ells mateixos, per que els exàmens a Secundària i a la selectivitat eren molt pautats i d'una tipologia coneguda per endavant. Pel que fa a les assignatures de la carrera tenen uns resultats pitjors, després de dues convocatòries queden pendents entre un 15 i un 20 % de Didàctica de les Matemàtiques I i entre un 25 i un 30 % de Didàctica de les Matemàtiques II (segons dades de UB. Consell de Qualitat, 1996). En general han rebut una educació matemàtica basada en la pràctica d'algorismes sense context i sense entendre les bases que els sustentaven. Molts dels alumnes declaren dificultats en la resolució de problemes o de qualsevol tasca que precisi de la comprensió dels conceptes implicats. No fan transferència de L’estudi 93 coneixement ni fan connexions.La majoria dels conceptes de primària es coneixen parcialment, en alguns casos no supera el que pot tenir l’alumnat de 12 anys. Sobre el coneixement previ de l’alumnat Per concretar l’estat de coneixement matemàtic previ en qüestions elementals donem exemples de respostes a un test de coneixements previs passat el curs 1998-99 que es ben representatiu de tal coneixement, fins i tot en l’actualitat. S’inicia amb una primera qüestió de situació de nombres naturals sobre la recta: Figura 3.2.1. Respostes més característiques d'un grup de Primària. Setembre 1998. a) b) c) d) 94 Capítol 3 De 42 alumnes, un 39% ha donat respostes del tipus a) o b) on s’ha graduat mes o menys precisament la recta colocant el zero o no. Un 41 % ha colocat els nombres en ordre peró sense cap relació de grandària com l'exemple c) on hi ha distàncies semblants entre 19 i 490 i 490 i 518. Un 20 % ha colocat simplement els nombres sobre la recta com si es tractés d’una línia de referència per escriure, com l’exemple d). En una altra pregunta es demana una justificació-explicació, per a nens de primer curs de Primària, 6-7 anys, del per què s’escriu 50 el nombre que segueix al 49. En aquest cas la majoria respon donant raons com les del exemple de la figura on es donen instruccions de còm s’ha de fer peró cap raó que no sigui per que es així (i sempre ho ha estat!!) : Figura 3.2.2. Resposta del tipus més freqüent, 49-50. Alguns intenten justificar-ho o bé per analogia amb el que passa amb 19-20, 29-30... o a partir de usar la idea de següent com aquell que suma un més, com en el cas que es mostra a continuació L’estudi 95 Figura 3.2.3. Resposta per analogia amb 19-20 Davant d’una altra qüestió on es demana la descripció de l’algorisme de restar, i en que es basen els diversos pasos del procés, es fa palés el coneixement de cóm es fa el càlcul peró no hi ha explicacions del per què es duen a terme les accions que descriuen l’algorisme. Un exemple prototípic és el següent: Figura 3.2.4.Exemple de resolució d’una resta. 102 Capítol 3 Dels 55 alumnes enquestats n’hi ha 15 (27,7%) que hagueren preferit no fer mai més matemàtiques i 10(18,2%) als que aixó els hi és indiferent (veure fig. 3.2.10). Aixó obliga al formador a fer un esforç important per canviar el més aviat possible aquesta disposició. 5 4 6 3 2 1 7 136,4% 29,1% 39,1% 418,2% 59,1% 67,3% 710,9% A freqüència relativa (n=55) Figura.3.2.10.Valoració de l’afirmació “Preferiria no fer mai més aquesta assignatura” Malgrat tot el que hem observat, sorprèn la seva predisposició a aprendre més matemàtiques (veure figura 3.2.11) 11 2 31 44 512 615 722 B freqüència absoluta 11,8% 20,0% 31,8% 47,3% 521,8% 627,3% 740,0% B freqüència relativa (n=55) n = nombre total d’enquestats 75 6 3 4 2 1 Figura.3.2.11.Disposició a aprendre més matemàtiques. L’estudi 103 Sobre les sensacions davant el seu aprenentatge matemàtic i el programa de l’assignatura, tenim que davant la petició de paraules que descriguin les seves sensacions durant el seu aprenentage matemàtic, les paraules triades tenen quatre vegades més connotacions negatives que positives. Por, ridicul,fracás, impoténcia, angoixa,inseguretat,....es repeteixen massa. El mateix es dona en les respostes dels qüestionaris passats a les Facultats d’Educació de Lleida i Tarragona en el mateix curs escolar. En el cas positiu la més repetida és satisfacció (amb comentaris que impliquen que es dona quan tenen alguns èxits). Havent vist el programa, en demanar en quínes parts del programa esperaven tenir majors dificultats, de les 55 persones un 19 % diuen en tot. En parts concretes de la matemàtica com geometria, problemes, probabilitat, matemàtica bàsica..., un 65% preveu tenir-ne algunes. Un 20% no contesta o no pot preveure quínes seran les seves dificultats i només 2 persones diuen que no en tindrán. En els qüestionaris passats a Lleida i Tarragona les respostes varien peró malgrat tot la geometria i els problemes són els temes més problemàtics pels alumnes. Sobre l’autogestió dels aprenentatges. Davant la pregunta "Què penses fer per treure profit d'aquesta assignatura" constatem poc èmfasi en reconèixer el valor de les tècniques d’estudi i d’organització del treball. A la figura 3.2.12 posem un quadre intentant classificar les intencions que declaren: 104 Capítol 3 Passives Aprofitar i prestar atenció 10 Realitzar totes lñes tasques 14 Assistir a classe 8 Accions relacionades amb les sessions de classe Actives Preguntar dubtes 3 Col.laborar,participar,intervenir 2 Demanar ajuda 4 Concretes Buscar professor repas 1 Consultar llibres Treballar a casa 13 Accions relacionades amb les tasques posteriors Abast difós Esforçar-se 6 Practicar 7 Dedicar-hi temps 4 Fer el màxim 2 Considerar-la important 1 Estudiar 6 Figura.3.2.12. Tipus d’accions intencionals esperables per aconseguir treure profit de l’assignatura. Com ja es veu pels tipus de respostes no hi ha habilitats declarades d'autogestió dels aprenentatges (llegir documentacions proposades, buscar informació diferent a la que es dona, treballar en grup amb companys de classe, fer síntesi del que es treballa....). Resultats molt similars els trobem als qüestionaris passats a Lleida i Tarragona. En resum, - No tenen un coneixement complert de les matemàtiques de Primària, desconeixent significats i representacions de continguts elementals com la linia numèrica. Es donen raons de coneixement matemàtic de tipus analògic, no centrades en la comprensió (no sabent indicar arguments per al pas de 49 a 50), Es desconeix la significació dels algorismes elementals de càlcul aritmètic (com el cas de la subtracció). - Els motius que els porta als estudis de magisteri són molt genèrics i poc desenvolupats. El paper que atorguen a la matemática a l’escola és de materia difícil, que no està a l’abast de tothom. Gairebé un 50% no se sent prou segur per ensenyar-les. Curiosament només un 30% creu que la dificultat prové del docent. L’estudi 105 - Tenen respostes contradictòries. Si bé un 90% diuen que matemàtiques no és només aplicar regles, no fan altra cosa que aplicar regles en moltes de les seves respostes. - Creuen que el que més afavoreix l’aprenentatge matemàtic és afavorir l’autoconfiança dels seus alumnes, i asegurar que comprenen els conceptes. Tanmateix valoren l’ús dels elements no simbòlics com material i jocs. - Els hàbits de treball declarats es limiten a realitzar les tasques obligades per aprobar l’assignatura. En les habilitats declarades d’autogestió dels aprenentatges, en general estaven recolzades en accions passives i d’abast difós com anar a classe, participar, etc. - Quasi un 50% de l’alumnat no se sent predisposat a favor de les matemàtiques, abundant majoritàriament les sensacions negatives pel damunt de les positives. - Un cop vist el programa, un 80% espera tenir dificultats en l’assignatura. L’alumnat de la mostra per a l’anàlisi retrospectiva. Per a la anàlisi retrospectiva (fase 3) considerarem tres alumnes del grupclasse que anomenarem: Ester, Núria i Laura, que a partir de les primeres activitats recollides mostren conductes que es donen majoritàriament en el grup com a diferents. Abans de decidir els alumnes que formarien part de la mostra, el grup sobre el que es recollien dades i produccions era de sis persones. Només 3 de les 6 persones assisteixen regularment a partir d’ un cert moment. Aleshores es decideix la mostra per assegurar que es tenen totes les produccions. Tanmateix, regularment, de les activitats analitzades -microcicles estudiatses recull la producció de tot el grup classe per a comprovar-ne la representativitat aproximada. La recercadora i els seus condicionants. En la present recerca la formadora, que és al mateix temps la investigadora, ha estat mestra d’EGB (nivells dels 6 als 14 anys) durant tretze cursos, fent de tutora en els cicles Inicial i Mitjà i d’especialista en matemàtiques en el Cicle Superior de 106 Capítol 3 l’EGB. Al finalitzar la Llicenciatura en Matemàtiques s’incorporà a la Universitat de Barcelona a l’antiga Escola de Magisteri, actualment Facultat de Formació del Professorat, impartint durant més de vint-i-cinc anys Didàctica de les Matemàtiques en les diverses especialitats del títol de mestre. També va estar al càrrec de les Pràctiques Escolars durant tres anys en que va ser Cap d’Estudis i ha estat, en nombroses ocasions, tutora de Pràctiques escolars en Primària, Infantil i Mestre d’Educació Musical. Durant els darrers trenta anys ha col·laborat en programes de Formació Permanent dissenyant programes de formació, impartint cursos, seminaris, fent assessoraments al Departament d’Ensenyament (curricula, materials pels mestres, avaluació de competències,...), a centres educatius i a associacions de pares i mares. També ha escrit textos de matemàtiques per a nens i per a mestres, articles,etc. Les propostes concretes d’innovació docent per tal d’aconseguir els objectius proposats, es a dir un mestre capaç d’educar matemàticament a nivell d’infantil i primària, han estat una constant en el plantejament dels cursos impartits. La reflexió sobre la docència impartida i l’intercanvi amb docents amb les mateixes preocupacions, l’actualització de coneixement sobre la formació de mestres a partir de l’assistència a congressos i jornades, lectura de treballs de recerca i d’innovació han fet que els objectius, la metodologia i els continguts dels cursos impartits anessin evolucionant al llarg dels anys. També han contribuït a nous plantejaments les circumstàncies particulars del país, els canvis a nivell de l’ensenyament secundari i els canvis dels plans d’estudi. Sense detallar l’evolució de les creences sobre la formació inicial i permanent de mestres, tant en els continguts a impartir com en la metodologia aplicada, podem descriure alguns dels posicionaments que afecten tant al disseny del curs de formació com a la recerca duta a terme. Es considera que la formació inicial dels mestres ha de tenir un model propi adaptat al context en que es dona i L’estudi 107 diferenciat dels de la formació continuada. Tanmateix precisem d’una teoria de l’aprenentatge comuna en el context europeu, que constitueixi un marc en el que conduir el procés d’aprendre a ensenyar. Es veu necessari un canvi conceptual en els alumnes de mestre del que es saber i ensenyar matemàtiques, doncs majoritàriament l’alumnat prové de centres de Secundària i Primària en que els models d’ensenyament – aprenentatge de les matemàtiques no estan d’acord amb el que avui es precisa i es coneix de l’aprenentatge de les matemàtiques, i per tant no poden servir de model a imitar. Es vol potenciar especialment l’aprenentatge matemàtic de l’alumnat en el sentit de desenvolupar la connexió i la representació de conceptes i relacions matemàtiques que han de possibilitar el que es puguin convertir en facilitadors de l’aprenentatge matemàtic dels seus propis alumnes. Es vol propiciar que els alumnes de mestre es sentin “educadors matemàtics“ des del primer moment, provocant la reflexió i la presa de decisions raonades. També s’afavorirà la pràctica amb alumnes de Primària i la posterior comunicació de l’experiència al grup – classe. Aquest procés de sensibilització se sap costós i complex. Especialment important per poder avançar en el procés d’aprendre a ensenyar és aconseguir canviar les seves apreciacions pel que fa a la seva capacitat i la dels seus futurs alumnes d’aprendre matemàtiques, i per tant, desblocar l’acció de fer matemàtiques i fruir aprenent matemàtiques. És difícil aconseguir que la seva apreciació de que gairebé tothom pot aprendre a fer i usar les matemàtiques tingui prou fonamentació per assegurar que no recularan en el nou posicionament a la més mínima dificultat en aprendre o ensenyar-les. 108 Capítol 3 No es vol assajar propostes que no puguin ser reproduïbles, naturalment després de valorar-les i millorar-les, doncs es pretén aprofitar els resultats de la recerca per prosseguir l’elaboració del model de formació. Per tant es considera un grup-classe habitual (entre 60 i 70 alumnes), amb l’assignació de crèdits i hores de treball marcats pels plans d’estudi vigents. Això no vol dir pas que no es facin propostes a l’administració i a la institució universitària per canviar algunes de les condicions en que es plantegen els estudis. Com canvi d’itineraris, canvis de continguts, enfocament diferent de les Pràctiques Escolars, etc. Algunes condicions donades pel Pla d’Estudis són força negatives, com el fet de situar les dues assignatures de Didàctica de les Matemàtiques a primer curs, sense cap coneixement previ de pedagogia, psicologia, sociologia ni de les institucions educatives. També hi ha aspectes negatius que es deriven de l’aplicació del Pla d’Estudis, com el fet de no existir una coordinació entre les diverses assignatures que els alumnes cursen simultàniament. Un altre condicionant es els coneixements matemàtics adquirits pels alumnes amb anterioritat, no tant per la quantitat com pel tipus, essent de baixa complexitat i gairebé sempre algorítmic (veure pàg. 103). Naturalment en aquest cas les creences afecten al disseny del curs de formació i també a la recerca. Pel que fa a les primeres , s’és conscient que l’anàlisi del procés se’n veurà afectat. Mereix especial consideració el fet que per tractar-se d’una recerca per desenvolupament (veure2.1.) la implicació de l’investigador – formador farà que la influència de les seves concepcions es vegi afectada per les concepcions sobre la formació inicial del professorat. A més, per tractar-se d’una recerca d’un procés que dura un any, no s’ha procedit a gravar totes les sessions ja que es considerava que es faria una anàlisi sobre les produccions escrites i no s’ analitzaria les interaccions.Malgrat la participació d’un observador extern, ben segur que la manca decontrast no ens permetrà reconèixer el poder cognitiu d’ algunes afirmacions i posicionaments. L’estudi 109 3.3. Constructes i instruments per a l’anàlisi retrospectiva de la pràctica. Un cop indicades les condicions inicials i la mostra de l’alumnat, i anomenades les bases teòriques de formació (en el capitol anterior), hauriem d’indicar els instruments metodològics emprats. Atés que ja s’ha realitzat la justificació de l’ús de la recerca per desenvolupament (RD), ja s’han esmentat els instruments corresponents de la fase de disseny i experiment d’ensenyament. Es tracta de descripcions analítiques interpretatives del curs desenvolupat, les TRHIFI, organització, i caracterització del treball. Això es concretarà en apartats posteriors, considerant les intencions de formació i competencies professionals esmentades en el capítol anterior . Ara ens cal explicitar i justificar quins instruments es faran servir per l’anàlisi retrospectiva de la pràctica (fase 3) per a l’anàlisi del desenvolupament. Els organitzarem en diversos blocs: (a) des del punt de vista de la concepcio de les matemàtiques com a pràctica social, per tal de reconèixer posicionaments dels futurs ensenyants (b) des de l’anàlisi del discurs, per a considerar el nivell de millora epistemològica del contingut matemàtic, situació dels aspectes de coneixement i comprensió estratègica, i la millora dels aspectes professionals-actitudinals, de manera que ens donin indicis de canvis del desenvolupament professional, (c) sobre la complexitat de les construccions conceptuals, relacions i connexions, que ens donarà la mesura dels canvis especifics en aquest àmbit concret de les competències matemàtiques. (a) Anàlisi del posicionament dels futurs ensenyants. Per analitzar la interpretació/posicionament davant les matemàtiques com a pràctica social ens hem centrat en les relacions que els alumnes de mestre mostren en relació al coneixement matemàtic, les seves apreciacions i els valors que declaren, com veuen les relacions de poder i, per tant quin posicionament pedagògic 110 Capítol 3 mantenen. Es basa en els treballs d’anàlisi sobre les pràctiques de futurs mestres pel que fa a la numeracy (Baker 1999). En dit treball, es veia que hi havia una tipologia majoritària de futurs mestres que considerava la numeracia, com una capacitat purament tècnica de comprendre i manipular nombres. Dites persones consideraven les matemàtiques com a autònomes en el sentit de coneixement aïllat, i veient-les com un cos de coneixement, conjunt de convencions i procediements, abstracte, al marge de valors, i universal. A diferència d’altres tipologies com la d’Ernest, o la simple classificació entre mestre tradicional i innovador, ens permet reconèixer trets que es veuen més fàcilment en les produccions textuals, en les que hi ha declaració d’intencions sobre la pràctica i està en la línia dels nostres objectius. Considerem una tipologia de posicionaments, a partir de la que proposaven Miller i Baker (2001). I, a partir dels textos de les produccions dels estudiants, contrastat amb els diaris de classe i les gravacions que es tenien, s’assigna a cada estudiant el lloc que li correspon en dita tipologia. Aquesta classificació/tipologia tracta d’aprofundir en la interpretació que es fa de l’educació matemàtica (i científica) a través de l’anàlisi de les produccions des d’una perspectiva de la pràctica social incloent un epistemologia crítica. Explora les respostes dels alumnes de mestre que posen en qüestió els seus models de coneixement i apreciacions sobre ensenyar i aprendre en les diversses activitats realitzades. En efecte, quan s’interpreten les matemàtiques com una pràctica social, es veuen com una parcela altament complexa de l’activitat humana en la societat. Es veuen com “ideològiques”. El coneixement en aquest sentit es concebeix com a construit socialment. En aquest model, els contextos, valors, apreciacions, les relacions de poder en que el coneixement està situat, afecta a les maneres de donar significat i a les maneres de conèixer. L’origen d’aquesta tipologia (instrument d’anàlisi) partia de l’evidència que, especialment els alumnes de mestre de Primària no tenen éxit en matemàtiques i en ciències ni n’aprenen gaire. Aixó té efectes negatius en les seves pràctiques de L’estudi 111 classe com a ensenyants. La qüëstió es si l’aprofondiment de la seva comprensió i confiança podria afectar positivament a les seves pràctiques futures de classe. També està basat en la creença i el compromís, que les matemàtiques i les ciències en l’educació contribueixen a promoure la justicia social. Decidim considerar tres tipus de futurs mestres interpretats com a representants de posicions ideològiques i de pràctiques pedagògiques diferents, que no es volen considerar com a “absoluts” i excloents: el comformista, el reflexiu i l’interrogatiu que es descriuen a continuació: - En el tipus comformista, el coneixement es percep al marge de valors, es demana que sigui suficient (a un nivell simple) des del cànon donat. Només vol aprendre el necessàri per ensenyar. - El tipus reflexiu considera la relació de les matemàtiques amb la vida diària, es algú que creu que ha de ser mediador entre els seus alumnes i el coneixement en el context social dels coneixement i en l’escola. Es conscient del paper de porta social jugat per les matemàtiques. Sap que hi ha diverses maneres d’ensenyar les matemàtiques, vol identificar les òptimes maneres d’ensenyar i les estratègies però en les estructures educacionals donades. No es qüestiona les estructures de poder, la reestructuració social ni els propòsits morals de l’educació. - El tipus interrogatiu, caracteritzat per la consciència de la construcció social del coneixement científic, no el consideren autònom. Es preocupen per la posició autoritària del mestre, qüestionen les pràctiques pedagògiques i són recercadors. A continuació mostrem una caracterització a priori dels tres tipus de futur mestre que s’adapten al context de la nostra recerca. Es mostra al quadre de la figura 3.3.1. Cal tenir en compte que, en el nostre cas, els posicionaments dels alumnes són només declacions d’intencions que accions pràctiques professionals a l’aula, i no han estat duts a terme a la pràctica. 118 Capítol 3 importants en els processos de conceptualització. Molts cops es produeix per una certa “visualització”. En el procés de construcció d’un concepte hi ha d’haver una jerarquia (ordre) en l’aproximació als exemples dels conceptes. Primer els prototípics, després els altres en ordre creixent de complexitat. En tot plegat hi intervenen processos analítics i /o visuals. En la present recerca, aquesta eina s’utilitza al capítol 5 (veure 5.2) en l’anàlisi d’una tasca de projecció professional específica. La importància d’aquesta anàlisi es centra en el fet que ens mostri l’ús que fan d’exemples prototipus i si inclouen prous exemples que toquin tots els atributs esencials per la conceptualització a l’edat que es planteja. També veure la mena de connexions que estableixen entre els diferents significats que proposen del concepte. Les representacions que tenen un efecte visualitzador també seran considerades. (d) Anàlisi de la complexitat matemàtica. Per analitzar el nivell de complexitat en les activitats proposades amb format de prova i considerar el valor de les respostes donades, com activitats matemàtiques diferents s’ha usat un esquema (fig. 3.3.6.), en tipus i nivells d’activitat, seguint la proposta de Gimenez i Fortuny (1993) que es va fer des del punt de vista de l’equilibri avaluatiu dels items emprats en proves matemàtiques. Tipus de contingut Nivell baix Nivell mitjà Nivell alt Conceptes Estructures Anomenar conceptes Identificar conceptes Fer mapes conceptuals Algorismes i tecniques . instrumentals Seguir instruccions donades Aplicar algorismes de càlcul Dissenyar programes Resolució de problemes Exercici Problema tancat Situació o problema obert Llenguatges i Visualització Construcció Interpretació Pensament qualitatiu Raonament i demostració Inferència directa Demostració d’un pas Inferència indirecta Demostració de 2 passos Mètode absurd Demostració de 3 passos Figura 3.3.6. Tipus i grau de complexitat de continguts en activitats.(Gimenez i Fortuny, 1993). L’estudi 119 3.4. Organització del curs. Macrocicles. Disseny. Unitats. El curs de formació inicial està constituït per dues assignatures del Pla d'Estudis de la Diplomatura de Mestre (especialitat de Primària). Com una concrecció de les intencions de formació expressades en el capítol 2, per motius estratègics s’ha fet coincidir els dos macrocicles (temporalment i curricularment) amb les dues assignatures Didàctica de la Matemàtica I i II. Cal tenir en compte que es proposa un curs efectivament realitzat i reproduïble, i, per tant, ha calgut respectar el marc institucional establert. El programa aplicat a l’experimentació és coherent amb els objectius aprovats pel Consell d'estudis del títol de Mestre de Primària per les dues assignatures. Tanmateix, la distribució, seqüència i organització dels continguts difereix molt del que es posa en pràctica habitualment. Les diferències es poden concretar en diversos aspectes: Un enfoc cíclic que implica a les dues assignatures com un tot. Considerarem la primera assignatura com un nucli sobre el que aprofondir i completar coneixements en la segona assignatura, especialment didàctics i estratègics sobre la pràctica. Això implica tornar sobre temes clau ampliant els continguts relacionats. Per exemple, en el macrocicle 1 es treballa les propietats de les operacions i de les igualtats i en el macrocicle 2 es veu el paper de les propietats en els algorismes usuals. Donar un caràcter diferent a cadascuna de les assignatures, una major importància al contingut matemàtic en la primera però procurant tractar especialment els aspectes d’exemplificació contextual i de representació de conceptes i relacions matemàtiques . Així poder afavorir el paper facilitador de l’aprenentatge matemàtic dels alumnes dels futurs mestres. La segona té un marcat caràcter didàctic on els aspectes estratègics i professionals son més rellevants. 120 Capítol 3 Prioritzar de manera decidida des de la organització dels continguts, no només des de les activitats, la connexió dels coneixements. Les matemàtiques no s’han de veure com a temes deslligats, en primer lloc per que no ho son i, en segon lloc com es diu en NCTM(2003): "Quan els estudiants poden connectar idees matemàtiques, la seva comprensió és més profonda i duradora,..,a través d'un ensenyament que resalti la interrelació de les idees matemàtiques, no només aprenen l’assignatura sino que també s’adonen de la seva utilitat". La necessitat de veure les matemàtiques com un tot és molt important de cara al seu ensenyament, especialment per un futur mestre que precisa dominar les connexions internes entre els temes que va a ensenyar. I no només per establir les relacions necessàries entre els coneixements previs i els que vol ensenyar, sino per aprofitar les connexions per potenciar l’aprenentatge dels seus alumnes. Resoldre problemes és una capacitat que es pot desenvolupar, a part de amb d’altres recursos, fent adonar com les connexions permeten reinterpretar les condicions donades o com es pot canviar les representacions per resoldre’ls. Les connexions son ben diverses, des de fer interaccionar temes matemàtics entre ells a treballar en contextos on les matemàtiques es relacionen amb d’altres disciplines o amb situacions reals. Entendrem que les connexions comprenen des de les relacions conceptuals (tan en conceptes propers com suma i resta, o menys propers com les fraccions i la proporcionalitat o la probabilitat), les transformacions de representacions, l’aplicació de les matemàtiques a d’altres disciplines o a la vida diària. No es pot oblidar en aquest cas concret de persones que seran docents dos tipus de connexions extremadament importants per a l’aprenentatge: les comparacions de situacions que porten a l’abstracció de propietats a partir de la descoberta de patrons i les connexions entre les idees assolides i les noves, en un enfoc constructivista de l’aprenentatge. L’estudi 121 Les connexions es poden establir a partir de les situacions proposades, a partir dels procediments emprats com per exemple les representacions, dels contextos rics i ben triats i de les estratègies de resolució. Això es concreta en el primer macrocicle amb una proposta de unitats amb caràcter transversal matemàtic: Doble i meitat, Igual i diferent i Dependència. En totes elles s’hi troben continguts de diversos blocs curriculars de matemàtiques: Aritmètica, geometria, mesura, estadística i probabilitat. També s'hi troba procediments matemàtics, validació de resultats, terminologia, etc. Aquesta voluntat de connectar coneixement es reflexa en el segon macrocicle en els temes Desenvolupament dels sentit numèric i L'espai i la forma. En aquest cas tot el coneixement didàctic dels temes numèrics està focalitzat a partir d’un plantejament inter-relacionat dels temes habituals (sistema de numeració, càlcul, relacions numèriques, etc) on el saber manejar-se amb els nombres va més enllà de saber escriure nombres o saber calcular. La geometria parteix d'un tema més ampli, de matematització de l'espai el que evidencia més els aspectes representacionals i procedimentals geomètrics. En el segon macrocicle es situa una unitat de caràcter transversal didàcticmatemàtic, Aspectes bàsics i generals de l'aprenentatge i l'ensenyament de les matemàtiques a Primària, on es pretén integrar tot el contingut tractat anteriorment i amb la pretensió de provocar en els futurs mestres la reflexió en temes cabdals relacionats directament amb l’educació matemàtica (Matemàtiques i societat. Còm s’aprenen les matemàtiques. Còm ensenyar les matemàtiques. El paper del mestre.). La darrera unitat, Programar i actuar, és la concreció de l’anterior, on la declaració d'intencions pren forma de propostes concretes per a una aula hipotètica. Dissenyar una organització del contingut, que conjuntament amb la metodologia, provoqui el més aviat possible canvis en les concepcions del que són les matemàtiques, de còm s’aprenen i de còm s’ensenyen. Després de molts anys d’experiència i tenint en compte diverses recerques sobre el tema (Blanco & 122 Capítol 3 Mellado, (1995)) de les concepcions prèvies dels alumnes de mestre, és prioritari aconseguir moure'ls de les seves posicions que no estan d’acord amb les tendències i necessitats actuals de l’educació matemàtica. Per aixó s’inicia el curs amb un tema senzill (Doble i meitat) en el que ja apareixen els elements que caracteritzen tota la proposta: connexió de conceptes, exemplificació del món real, ús de materials manipulatius, gràfics i audiovisuals, potenciació de la representació a diversos nivells de conceptes i relacions, recerca de situacions i activitats per l’educació primària, necessitat d’adoptar el paper de mestre, potenciació de l'acció i de la reflexió, etc. A continuació descrivim els dos macrocicles. Macrocicle 1 En aquest macrocicle s'inclouen 5 unitats, tres d’elles tenen un caràcter marcadament matemàtic (1,2,4) i dues tenen caràcter didàctic (3, 5). La primera, Doble i meitat, es pot considerar, en alguns dels seus punts, un cas particular de la segona. Es tracta d'un tema important per les seves implicacions didàctiques a nivell dels alumnes de Primària però també s'ha triat per la seva aparent simplicitat, el que vol afavorir una disposició positiva dels alumnes (com ja s'ha dit no gaire ben predisposats cap a les matemàtiques). El tema de parells i senars pot servir d’entrada a la divisibilitat i, al mateix temps, està present en moltes situacions quotidianes d’aparellament o divisió en grups iguals. La unitat Igual i diferent permetrà copsar un panorama dels diversos significats del signe igual. El concepte d’igualtat és un tema clau en la construcció de tota la matemàtica. Sovint es fa un ús reiterat del mateix símbol d’igualtat, aquest abús de notació que per als matemàtics no representa cap problema conceptual, sí que pot crear notables dificultats en els processos d’aprenentatge. En l’ensenyament elemental, la igualtat, sense ser un tema en els llibres de text, és usada en contextos L’estudi 123 matemàtics ben diferents i, en cada cas, cal entendre’ls segons els objectes matemàtics que posa en relació. La universalitat d’ús que li dona una importància capital fa que la complexitat del seu aprenentatge sigui molt elevada. Un docent, a Primària o a Secundària, ha de dirigir el procés de donar un significat cada cop més ric, extens i plural al signe igual. Per tant li cal conèixer, com a mínim, els temes o items on el signe igual presenta significacions més generals o diverses de les presentades anteriorment. En el darrer tema matemàtic, Dependència, la igualtat pren un paper més complexe encara. Per adequar-se més a Primària, i tenint en compte que els alumnes han treballat les funcions lineals i quadràtiques el l’ etapa secundària, l'èmfasi es posa en el propi concepte de dependència i en la descoberta, tractament i importància de les regularitats o patrons. La descoberta de regularitats, en general, porta a la descoberta de propietats i a l’expressió de les mateixes. La tercera unitat, Recursos i contextos, es situa després de les dues primeres de caràcter més matemàtic per aprofitar les experiències adquirides sobre l’ús de materials manipulatius, sobre les representacions visuals, sobre la matematització de situacions reals senzilles i quotidianes per provocar una recollida, classificació i reflexió sobre el paper del context en l'aprenentatge i l'ensenyament de les matemàtiques. La cinquena, Actuació a l’aula, només pretén iniciar als alumnes en alguns aspectes de la pràctica educativa: la comunicació i les interaccions a l’aula. Igual que la descrita anteriorment, es vol aprofitar les experiències viscudes en les altres unitats pels alumnes de mestre per plantejar la importància d’aquesta qüestió en la gestió dels aprenentatges. A continuació es llisten els continguts tractats en les diverses unitats. Per veure la concreció d'una de les unitats consultar l'apartat 3.7. on s'explicita el tractament que es vol donar a la unitat Igual i diferent. 124 Capítol 3 1. Doble i meitat 1.1. Situacions rellevants on es troben implicats doble i meitat. 1.2.Parells i senars. Concepte. Representacions. Propietats. Aplicacions. 1.3.Potències de 2 i d´1/2.Descomposició de nombres naturals com a suma de potències de dos. Algorisme de multiplicar usant només la taula del dos. 1.4.Progressions aritmètiques i geomètriques de raons 2 i 1/2. 1.5.Angle meitat i angle doble. 1.6.Simetria axial. Translacions. Girs. 1.7.Divisió d’un polígon per la meitat. 1.8.Duplicació d’un polígon: teorema de Pitàgores. 1.9.Duplicar com a mètode de resolució: alguns casos interessants. 1.10.Partir un cub en dos parts iguals. Cub d’aresta meitat. Cub d’àrea meitat. 1.11.Duplicar un cub. Cub d’aresta doble. Cub d’àrea doble. 1.12.Triar grups de 2 elements diferents d’una col·lecció. 1.13.Probabilitat doble i meitat.. 1.14.Activitats de doble i meitat per alumnes de Primària. 2. Igual i diferent 2.1. Què vol dir igual: diversos significats, matemàtics o no. 2.2. Igualtats aritmètiques. Tipologia. Propietats de les operacions. Convenis d’escriptura. Propietats de les igualtats. Aplicació de les propietats de les igualtats a la resolució de diversos problemes. 2.3. Igualtat per superposició. Figures iguals. Figures congruents. Implicacions de la congruència en l’estudi de figures geomètriques. 2.4. Igualtat d’angles. Igualtat de triangles. No igualtat de quadrilàters. 2.5. Equivalència. Significats. Figures isoperimètriques. Àrees equivalents. Volums equivalents. Fraccions equivalents. 2.6. Quan l’ordre marca diferències. Permutacions.. 2.7. Equiprobabilitat. 2.8. Igualtat estadística. 2.9. Igualtat com a dependència de variables. 2.10. Definicions equivalents. 2.11. Activitats per alumnes de Primària. L’estudi 125 3. Recursos i context 3.1. Recursos. On trobar-ne. Còm usar-los. Creació o adaptació de nous materials. Raons que justifiquen el seu ús. Errors a evitar. Tipus i exemples. 3.2. Contextes en educació matemàtica. Factors que influencien la tria de contextes d’aprenentatge. Us dels diversos tipus. Creació de contextes. Procés de matematització d’un context. Eixos transversals. Exemples diversos. 4. Dependència 4.1. Noció de dependència, variables, intervals de validesa, constants. Exemples de dependència i de no dependència. 4.2. Descoberta de regularitats. Expressió de les regularitats: taules, gràfiques, fórmules. Exemples de regularitats aritmètiques, geomètriques, dimensionals, etc. 4.3. Dependència linial. Concepte. Propietats. Representacions. Aplicació. Connexions amb d’altres temes: fraccions i geometria. 4.4. Dependències no linials. Mesura i tria de la unitat. Escales de dependència. 4.5. Dependència estadística. Presa de decisions. 4.6.Casos interessants de no dependència. Independència en probabilitat. 5. Actuació 5.1. La comunicació. Elements que hi intervenen: llenguatges, persones, matèria. Nivells de llenguatge. Tipus de discurs del professor. Recursos comunicatius. Elements comunicatius que afavoreixen la comprensió o la reflexió. 5.2.Interaccions. Còm afavorir les interaccions entre alumnes. Organització dels grups per treballar, discutir, etc. 5.3. Tipus d’activitats a l’aula i fora de l’aula. 5.4.Organització i gestió de les sessions de classe. Models de classes. Figura 3.4.1. Macrocicle 1. Macrocicle 2 En aquest macrocicle s’inclouen 4 unitats. Encara que està subjacent l’aspecte matemàtic en dues d’elles, a totes se'ls dona un caràcter didàctic. 126 Capítol 3 La unitat dedicada a l’Adquisició del sentit numèric està centrada en la importància de l’adquisició de la competència numèrica, com aquella competència matemàtica que permet manejar situacions on cal prendre decisions de quins nombres cal usar, amb quin grau de precisió, calculant eficientment amb mètodes estàndard o personals, còm expressar els resultats, etc. Els temes que la configuren s’han de interpretar en aquest sentit, no d’una manera aïllada, i sempre en relació a l'aplicació del coneixement a les situacions reals i quotidianes. Fins i tot s’establiran connexions amb d’altres blocs del curriculum actual de matemàtiques de Primària com mesura, estadística i probabilitat. També inclou aspectes curriculars i de disseny de seqüències d’ensenyament, a més de recursos i estratègies concretes d'ensenyament dels nombres i dels tipus diversos de càlcul. Aquesta unitat, a part d’estar plantejada d’una manera global, torna o amplia temes tractats en el primer macrocicle (apartats 1,2,3,4,14 de la unitat 1; apartats 1,2,5,11 de la unitat 2; apartats 2,3 de la unitat 4) i utilitza els continguts de les unitat 3 i 5 concretats al tema numèric. Havent inclòs en el macrocicle 1 una bona quantitat de temes geomètrics (fet intencionalment per donar més oportunitats de "madurar" els coneixements nous a alumnes pocs avessats a treballar geometria en els seus estudis previs), s’inclou una unitat que enfoca el tractament de la geometria a Primària com a un coneixement lligat als sentits i a la percepció i que cal matematitzar. En L’espai i la forma es dona importància als procediments més específicament geomètrics, a la tria de contextos d’aprenentatge i a la connexió amb altres blocs de la matemàtica. A part dels temes geomètrics continguts en el macrocicle 1, aquesta unitat connecta amb la unitat de recursos i contextos, especialment amb el treball a partir de la realitat que s’haurá plantejat a dita unitat. La unitat 3, Aprenentatge i ensenyament de les matemàtiques a Primària, pretén integrar els coneixements adquirits, provocar la reflexió i el posicionament dels alumnes al voltant de quatre temes importants en els futurs mestres que volem formar: Per què ensenyar matemàtiques?, Còm s’aprenen les matemàtiques, Còm ensenyar les matemàtiques, L’activitat L’estudi 127 matemàtica a l’escola, El paper del mestre. A través de documents i discussions de classe cal arribar a elaborar un article en el que defensin les seves posicions respecte a aquests temes. Per més detall consultar el capítol 5, apartat 5.3, on es descriu les sessions i els resultats dels alumnes estudiats. Finalment, la quarta unitat tracta de manera més aprofondida la planificació de l’activitat matemàtica i la gestió de la mateixa. Durant el temps dedicat a la unitat, els alumnes de manera individual, elaboren una programació per alumnes de Primària. Inclou també l’exposició dels treball al resta del grupclasse. Aquesta activitat s’enfoca com un aglutinador de tot el coneixement adquirit durant el curs de formació. El contingut més detallat del macrocicle 2 es mostra en el quadre següent: 1. Desenvolupament del sentit numèric 1.1. Què s’enten per sentit numèric. 1.2. Nombres: classes i usos. Naturals per comptar, ordenar i codificar. Fraccionaris i decimals per comparar i mesurar. 1.3. Característiques del sistema de numeració decimal. 1.4. Les operacions amb nombres naturals. Propietats. Relacions. Resta i divisió. Significats de les operacions. Representacions de les operacions. Algorismes i la seva justificació. 1.5. Seqüència bàsica de l’ensenyament del sistema de numeració decimal. Estratègies específiques. Materials i recursos. Contextos. Dificultats d’aprenentatge. 1.6. Seqüències bàsiques de les operacions elementals. Estratègies específiques. Materials i recursos. Contextos. Dificultats d’aprenentatge. 1.7. Càlcul exacte i aproximat. Estimació. Tempteig. Arrodoniment.. Càlcul mental, escrit. ús de la calculadora. Descobriment de patrons i relacions numèriques. 1.8. Fraccions. Significats. Representació. Dificultats d’aprenentatge. Estratègies específiques. Seqüenciació bàsica. 1.9. Connexions amb la mesura, a geometria, l’estadística i la probabilitat. 1.10. Objectius terminals del curriculum. Procediments generals implicats en l´ adquisició del sentit numèric. 134 Capítol 3 diversitat d’accions i reflexions. La formació deu tenir com focus central aprendre a ensenyar matemàtiques. Caracterització de la metodologia En primer lloc es procurarà coherència entre el model didàctic subjacent, utilitzat en el curs de formació, i el model didàctic que es vol transmetre per l’escola elemental. Això permet que l’activitat d’aula pugui ser usada com a referent didàctic, especialment en l’aspecte estratègic. Sabent per endavant que les concepcions tàcites sobre l’ensenyament i l’aprenentatge de les matemàtiques són molt persistents, es posarà especial èmfasi en fer-les explícites per poder conèixerles i actuar per modificar-les, si cal. Se'ls tractarà com a mestres, educadors matemàtics, en tota situació, provocant la reflexió sobre les seves accions i propostes relacionades amb la matèria. Se'ls introduirà en activitats professionals externes (visita a una fira de matemàtiques per a mestres Fig. 3.6.1, informació sobre congressos de didàctica de les matemàtiques, revistes, associacions de professors de matemàtiques, etc.). Figura 3.6.1. Visita al Matemagnum. Fira d’ensenyament de la matemàtica per a mestres. L’estudi 135 De manera general, al llarg dels dos macrocicles, s'anirà relacionant els continguts de les diverses unitats tractades fins al moment. En cada unitat es proposen activitats que relacionen els continguts de tota la unitat o bé el recull de la feina realitzada s’utilitza per iniciar i sistematitzar els continguts d’una altra unitat. Es promourà la construcció personal dels aprenentatges en un medi social com es l'aula. L’experiència personal de comprendre i fruïr amb les matemàtiques es considera indispensable per formar el mestre que s’ha descrit anteriorment. A continuació aportem altres característiques del treball, que es tenen en compte i que s’exemplifiquen amb accions concretes a l’aula o fora d’ella: Característiques Accions concretes Contextualització de les activitats Sortides: Gabinet Gaudí, Matemagnum, Parc del Laberint. Exemplificació de contextes reals quotidians, festes populars, etc Us de materials manipulatius i audio-visuals. Recerca i estudi d’activitats de nens de Primària. Usar de manera ostensible certs elements de gestió Mostrar mètodes de suport a la comprensió a partir de la interacció entre iguals, a partir de l'ús d'elements comunicatius. Presentació de les tasques a partir de plantejaments visuals. Fer tests de coneixements previs i comentar-los. Fer intervenir als alumnes per descriure propostes i/o resolucions, argumentacions. Us de calculadora, retroprojector. Elaboració de materials per usar amb el retroprojector. Tractar-los com a mestres, provocant la reflexió sobre les seves accions i posicionaments. Demanar justificació, argumentacions,...sobre les seves propostes o sobre les dels altres. Provocar situacions de contrast. Preparació d’activitats estàndar i no estàndar per alumnes de primària(visita al Laberint d’Horta). Visita i recollida de materials a una fira matemàtica per a professors (Matemagnum). Discussió sobre temes de l’actualitat educativa en relació a les matemàtiques. Dissenyar activitats diagnòstic i passar-les a nens. Fer un informe. Proposar gran diversitat de tasques, tant pel que fa a la presentació, la complexitat, els tipus de continguts matemàtics, de contextos, com pels objectius de la tasca. Experimentals amb materials. Investigacions. Matematització de situacions. Demostracions visuals i manipulatives. Estudi de propietats. Argumentacions. Valoració de propostes didàctiques alienes. Planificació d’activitats per a nens. Seqüenciacions. 136 Capítol 3 De síntesi. De relacions conceptuals. D’avaluació. Activitats fora de l’aula. Simulacions. Pràctica a l’escola de Primària. Afavorir la connexió Elaborant glossaris, síntesis. Organitzar els continguts treballats, trobar els organitzadors. Esquemes relacionals de conceptes. Proposar exemples reals i quotidians en relació a conceptes i propietats. Fer canvis de representació i connectar conceptes a partir de les seves representacions. Proposta d’activitats per a nens. Afavorir la participació activa dels alumnes Fer preguntes. Provocar debats generals sobre un tema. Treball per parelles, en grup. Posades en comú. Valorar l’exposició de propostes didàctiques al grupclasse. Crear ambient favorable: no penalitzar els errors, mostrar còm se'n pot treure profit de cara a l’aprenentatge; afavorir l’expressió de dubtes; plantejar l’assignatura com una recerca. Fer-los proposar problemes. Actuacions col·lectives a la pissarra. Propiciar l’èxit en la comprensió del treball matemàtic. Incloure les aportacions dels alumnes en el discurs de la classe. Figura 3.6.2. Accions que caracteritzen el treball. Figura 3.6.3. Visita al Gabinet Gaudí Figura 3.6.4. Visita al Parc del laberint L’estudi 137 Avaluació i regulació del procés. En consonància amb la manera de treballar en que la connexió és un fet fonamental, és important proporcionar als alumnes ocasions i activitats que facin evident i ostensible el que s’ha treballat mirat des de l’òptica de la connexió. En aquest plantejament es considera necessari que els alumnes tinguin disponible el coneixement per poder relacionar-lo. És palès, l’experiència ho mostra, que els alumnes de mestre no acostumen, en la nostra universitat, a treballar sistemàticament. A més, no estan acostumats a fer activitats de síntesi que vagin més enllà d’una col·lecció de frases o termes. Per tant, en cada unitat es proposa alguna activitat que vagi en aquesta direcció. Es comença per una recopilació de termes i propietats, que cal organitzar d’alguna manera, el que comporta una visió global del tema. Més endavant partint d’un esquema relacional donat cal anar situant-hi els item tractats. També es proposa l’invers on es demana un esquema relacional dels continguts centrals al final del tema. En el segon macrocicle, i de major complexitat encara, se'ls demana síntesis a partir de documents, llibres i discussions d’aula sobre temes capdals en educació matemàtica. Finalment el major esforç d’integració és la proposta de programacions de sessions de classe de matemàtiques per l'escola elemental. En totes aquestes propostes es pretén que l’alumne tingui una visió global i estructurada del tema, i més important encara, que aprengui a fer-ho per d’altres temes pel seu compte. També que arribi a valorar tots els tipus de coneixement que necessita dominar per poder ensenyar matemàtiques. L'avaluació té un paper important en aquest aspecte de connectar i estructurar coneixement. Es plantejen al llarg dels dos macrocicles diverses activitats amb la pretensió de que el formador i els propis alumnes, individualment i globalment, coneixin l'estat en que es troba el seu coneixement. 138 Capítol 3 Per tenir una idea més clara de les accions avaluatives mostrem el quadre següent: Macrocicle 1 Test inicial de coneixements previs (parell i meitat). Elaboració per part dels alumnes d’una proposta d’avaluació sobre la unitat 1. Test - autoavaluació sobre la unitat 2. Detecció d'errors i dubtes. Elaboració d’una prova per avaluar un concepte rellevant de la unitat 5, amb indicacions de correcció i valoració d'errors. Examen final de tota la matèria. Macrocicle 2 Discussió col·lectiva sobre els resultats de l’examen final de la primera assignatura. Test de coneixements previs (significats de la resta). Proposta de problemes. Participació en discussions sobre guió previ, afegint preguntes i reflexions al guió. Elaboració d'una proposta didàctica amb tutoritzacio-control. Examen final de tota la matèria. Figura 3.6.5. Accions evaluatives en els macrocicles. 3.7. Exemple d’una unitat: Igual i diferent Aquesta unitat està estructurada al voltant de la igualtat i les seves diverses interpretacions. No s’ha plantejat fer-ne un tractament exhaustiu, les limitacions venen donades pel temps disponible, pels continguts del currículum de Primària i també pels objectius proposats. El concepte d’igualtat és un tema clau en la construcció de tota la matemàtica. En la pròpia lògica proposicional i en la Teoria de Conjunts la formulació d’igualtat en un sentit primitiu mena de seguida a l’introducció de les relacions d’equivalència que permeten identificar, com a igualtats de classes, conjunts que altrament no compartirien la mateixa col·lecció d’elements o identificar proposicions en principi diferents però que als efectes de l’anàlisi lògica presenten els mateixos valors de veritat. Tot aquest món d’identificacions o convenis d’identificació fa molt sovint un ús reiterat del mateix símbol d’igualtat. Aquest abús de notació que per als matemàtics no representa cap problema conceptual si que pot crear notables dificultats en els processos d’aprenentatge. L’estudi 139 Cal afegir també que el propi concepte d’igualtat o els criteris pels quals s’estableixen identificacions via relacions d’equivalència han rebut nombroses revisions d’ençà de la fonamentació de la teoria de conjunts. Si el propi Henri Poincaré ja va considerar paradoxal el fet de que en determinades experiències sensitives la relació d’indistingibilitat no fos transitiva, els teòrics del Cercle de Viena amb Karl Menger al capdavant, varen formular matemàticament, models per a descriure situacions indistingibles respecte d’un criteri determinat. Amb la creació de la Teoria dels Conjunts Borrosos feta per Lofti Zadeh als anys seixanta encara s’obriren més problemes entorn de la modelització d’igualtats i de relacions borroses. Admetent aquesta teoria que un conjunt difús vé donat per una aplicació que assigna a tots els elements d’un univers no buit els graus de pertinença (en l’interval real [0,1]) al conjunt donat, resulta que la igualtat de conjunts de Cantor passa a formular-se com una igualtat funcional que extent la igualtat de funcions característiques del cas clàssic. Les relacions identificadores també passen a tenir valors de veritat i per tant les concepcions d’igualtat o identificació queden reformulades en un context més general. Aquestes modelitzacions borroses no sols aixopluguen els casos clàssics de conjunts i els casos probabilístics sino que són de gran interès en temes computacionals com són avui el reconeixement d’imatges o la creació de sistemes experts que precisen usar el llenguatge natural. Òbviament aquestes darreres consideracions no tenen avui per avui un reflexe en la matemàtica escolar però les hem esmentat per fer veure que inclús matemàticament el tema de la igualtat i l’identificació segueix essent motiu d’anàlisi. Val la pena esmentar també que a nivell social aquest tema segueix també en primera línia, no sols en un sentit jurídic i legal sino en termes productius o econòmics de gran importància. La producció en sèrie industrial assegurant l’igualtat de composició i qualitat es cabdal en la majoria de processos de fabricació, dels cotxes al cava, dels medicaments a l’identificació per ADN, sense oblidar els temes de falsificació, còpia, plagi, etc. que tanta transcendència econòmica tenen. Fem aquesta referència al món productiu per fer veure que també la igualtat i la diferència son avui conceptes claus interdisciplinàriament, la qual cosa si té un interès formatiu 140 Capítol 3 molt elevat: pocs temes hi ha que tinguin una presència tan notori en tots els àmbits i amb tantes implicacions. Pel que fa l’ensenyament elemental la igualtat, sense ser un tema en els llibres de text, és usada en contextos matemàtics ben diferents i, en cada cas, cal entendre’ls segons els objectes matemàtics que posa en relació. La universalitat d’ús que li dona una importància capital fa que la complexitat del seu aprenentatge sigui molt elevada. Segons les situacions en que es presenta el signe igual, l’aprenent li dona un significat (veure Seo i Ginsber (2003)). Si no es fa un treball de presentar-lo en contextos matemàtics diversos pot passar que els aprenents es limitin a un sol significat que acostuma a ser el de resultat d’una expressió aritmètica o d’una operació. Molts alumnes de Primària i de Secundària no comprenen l’equivalència de fraccions, les igualtats i les identitats i, encara menys, les equacions. Un docent, a Primària o a Secundària, ha de dirigir el procés de donar un significat cada cop més ric, extens i plural al signe igual. Per tant li cal conèixer, com a mínim, els temes o items on el signe igual presenta significacions més generals o diverses de les presentades anteriorment. Un plantejament de la igualtat, i per tant, de la diferència com a eix transversal dins les matemàtiques pot servir per posar en evidència la importància del tema i, a més, possibilitat d’una manera natural i des de les mateixes matemàtiques la connexió entre els diferents blocs. A més dels més específics com aritmètica, geometria, mesura, probabilitat i estadística tenim les diverses representacions dels conceptes i les relacions matemàtiques (signes, símbols, gràfics, materials, metàfores), tot plegat connectat a partir de diverses maneres d’entendre la igualtat. Aquesta estructura no és nova pels alumnes del curs, es planteja ja en la primera unitat que té un caràcter més concret (Doble i Meitat), però en la que ja s’estudien casos particulars que es generalitzen en la present unitat. L’estudi 141 L’objectiu d’aquesta unitat és doble. Per una banda, aprofondir en una sèrie de temes propis de la Primària (nombres, operacions, càlcul, mesura, relacions geomètriques, nocions elementals d’estadística i de probabilitat) de manera interconnectada, posant en evidència aspectes importants com ara la comprensió dels algorismes, les propietat de les operacions, dels polígons, de l’equivalència de fraccions, etc. al mateix temps que es va ampliant el significat de la igualtat. Per l’altra es vol exemplificar amb activitats i recursos els items corresponents en el curriculum de Primària. La unitat parteix del llenguatge natural i algunes de les seves presències en el llenguatge matemàtic i proposa desprès cinc nuclis al voltant de: - les igualtat numèriques i les operacions elementals - la igualtat geomètrica - l’equivalència d’objectes - el sentit de la igualtat en probabilitat i estadística - l’ordre com a diferenciador Desprès d’una activitat de síntesis i organització dels continguts tractats, es planteja una anàlisi de les activitats pròpies de Primària recopilades pels alumnes i relacionades amb els continguts tractats. Finalment es proposen activitats de control del coneixement adquirit en aquesta unitat. Tant les activitats que es proposen com els materials i recursos amb que es treballa són experiències que es rentabilitzaran en las unitats 3 i 5. És a dir, les activitats, els recursos i la gestió de classe volen ser exemples dels continguts a tractar en aquelles unitats. Per això es demana als alumnes que vagin recollint-los per tal d’usar-los en les unitats més didàctiques. 142 Capítol 3 QUÈ VOL DIR IGUAL. Sessió 1. Justificació És important reflexionar sobre els significats i les situacions en les que apareix el signe igual per les seves implicacions educatives. Cal tenir clares les diferències entre les expressions en que apareix el signe igual per tal de establir la seqüència al llarg de la Primària i poder assegurar la comprensió d’un símbol matemàtic amb un significat tant extens. Finalitats • Fer adonar als estudiants com un símbol com l’igual pot respondre a significats molt diversos. • Provocar una reflexió sobre les connexions del llenguatge corrent i el llenguatge matemàtic. Integració temàtica Relació amb el tema 1 (Doble i meitat) del qual és en alguns punts una ampliació. També amb el tema 4 de Dependència. Relació amb les sessions següents. CONTINGUTS Conceptuals: - Símbol igual. Expressions aritmètiques. Procedimentals: - Comparació de situacions que es poden descriure usant el terme igual o el símbol =. Relació d’expressions aritmètiques amb enunciats verbals.. Actitudinals: - Importància de la comprensió dels símbols matemàtics. Referències clau Seo i Ginsburg, 2003 Recursos d´ aula Textos escolars diverses editorials. L’estudi 143 Situació generadora d’activitat Es mostren diversos exemples d’expressions, frases i/o situacions que contenen el signe =, el terme igual o sinònims. Aquests exemples tenen a veure amb els items que es desenvoluparan al llarg del tema. Mentre es mostren els exercicis se’ls demana que interpretin el símbol = o els termes continguts en les frases. Del que diguin se’n fa un recull i una primera classificació de les situacions i/o expressions a partir dels suggeriments del formador. GESTIÓ DE LA SESSIÓ Es presenten diverses situacions en llenguatge verbal (enunciats de problemes aritmètics) i se’ls demana que les tradueixin a llenguatge matemàtic i les resolguin de manera individual. Després es discutei x col·lectivament el significat del signe igual. A continuació com a treball de grup se’ls demana identifica r l’expressió aritmètica correcta d’entre 2 o 3 corresponent a una situació senzilla i l’exercici invers. Si és possible, es vol començar a veure alguns significats d’operacions, la importància dels convenis d’escriptura i l’ús del parèntesi. Indicis de canvi professional Els estudiants no usen correctament el signe igual en expressions aritmètiques, especialment en casos de resolució de problemes aritmètics. Considerant l’anterior s’espera que: - Mostrin una major precisió i cura en l’ús del terme igual. - Reconeguin expressions on el signe = té significat de resultat (fa, dona, resultat,...) i les distingeixin d’altres. - Tradueixi correctament textos i actuacions en forma d’expressions i/o d’igualtats aritmètiques. COMPETÈNCIES PROFESSIONALS - Reconèixer la importància del treball específic del llenguatge matemàtic relacionant-lo amb el llenguatge verbal. - Valorar la precisió en l’ús dels llenguatges matemàtics. Primera anàlisi del procés de formació. Macrocicle 1 247 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 En els quadrilàters de costats de llargada diferent no formen angles rectes, si mirem si les diagonals del quadrat i el rombe son per on es pot doblegar la figura i obtenir simetria, veurem que si; però en les diagonals d’un rectangle, per exemple, no aconseguim simetria. Pel que fa a dibuixar un rombe de 42 cm2 d’àrea i transformar-lo en un triangle que tingui un eix de simetria, no respon. En el cas d'Ester i Laura, la resposta a la pregunta 4 (veure enunciat més amunt) tenim que Ester fa un dibuix correcte i aplica les propietats del triangles isòsceles, però confon , en la formulació de la propietat, angles i costats, diu” com que en un triangle la suma dels seus costats és 180 graus” Figura 4.7.8. Ester utilitza les propietats dels triangles isòsceles. en canvi Laura calcula usant equacions per obtenir els angles però no sap veure el paper que tenen els parells de costat iguals en el quadrilàter: 248 Capítol 4 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 En la pregunta on es demana de transformar un trapezi de 42cm2 d’àrea en un triangle sense cap eix de simetria Ester no respon i Laura no sap trobar el triangle equivalent : Figura 4.7.9.Laura no usa la condició de triangle isòsceles. En la pregunta de reconeixement de significats del signe igual (número 7 de la prova), només Ester encerta totes les possibilitats mentres que Núria i Laura no reconeixen les identitats ni les equivalències de mesura. Resultat 4.7.2. L’alumnat mostra un comportament feble pel que fa als contexts, no es situa en una activitat matemàtica, no en reconeix el valor en relació a l’aprenentatge matemàtic, només com a motivació. No es mostra crític davant de contextos poc adients, només en un cas dels tres hi ha indicis Primera anàlisi del procés de formació. Macrocicle 1 249 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 de valoració. En quan a les representacions no es passa d’un nivell superficial sense concedir-los-hi més que un paper de suport a l’aprenentatge. Les respostes de la part didàctica s’analitzen tenint en compte els aspectes que es pretenia avaluar en la prova : el reconeixement i diferenciació de significats, l’anàlisi i proposta de contextos per a continguts concrets, les representacions gràfiques o materials proposades per facilitar la comprensió i la detecció d'enfocs pedagògics en propostes d’activitats elaborades. En la pregunta on es planteja la distinció entre situacions de divisió a partir del significat de la mateixa, Núria dona respostes adients en tres dels quatre casos però davant de dos significats iguals reacciona de manera diferent, diu que " Quants duros són 755 pessetes? es correspon amb la interpretació de la divisió com la formació de grups iguals, en canvi davant de "Quants recipients de 5 litres es necessita per envasar 575 litres d’aigua?" respon que es tracta de repartir. En particular això vol dir que Núria no es capaç d’adonar-se de l’equivalència de significats de les situacions proposades. Com en els alumnes de Primària, les situacions de líquids relacionades amb divisió o fraccions presenten més dificultats que les situacions discretes o relacionades amb sòlids. Identifiques les situacions de líquids com a situacions de repartir en recipients, confusió que indica la potència verbal d’ús de repartir relacionat amb begudes. En el cas de Laura no hi ha resposta a la pregunta que tracta de la detecció de situacions no adients per alumnes de quart de Primària on es planteja un significat de piràmide que no s’adapta a les possibilitats dels alumnes (veure figura 4.7.3). Ester posa objeccions al plantejament de l’activitat amb raonaments del tipus: 250 Capítol 4 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 No tenen assolides les figures que formen les piràmides, no es adient per que els nens no tenen encara un domini de l’espai Es a dir, no capta en absolut que l’inapropiat és plantejar el concepte a partir d’una definició i dibuixos en perspectiva de les piràmides, unit al fet de tenir un vocabulari massa tècnic encara i no donar contextos concrets. En el cas d’una tasca per alumnes de 4rt curs de Primària on es pretén introduir l’algorisme de dividir amb un dividend de 3 xifres i un divisor d’una xifra i en un context de repartiment (veure figura 4.7.4), Núria troba correcte el que sigui un repartiment i que es produeixi començant per la xifra " alta", diu a més que " es un context que dona molt de sí ...pot fer que el fet de dividir no el consideri tan aïllat de la seva vida quotidiana" . Això mostra un conformisme total amb la proposta del text sense plantejar-se cap crítica a si és adient des del punt de vista de possibilitar la comprensió o la descoberta per part de l’alumne o la situació forma part de la realitat de l’alumne de Primària. Ester, en canvi, no està d’acord amb els exemples presentats de contextos per introduir l’algorisme de multiplicar per dues xifres (veure figura 4.7.6) per que diu que no son quotidians pels nens de cicle mitjà . Ella proposa el càlcul d’ous de un número determinat de dotzenes o qualsevol altre context centrat amb el menjar que considera més proper . De manera coherent planteja situacions d’estudi de capses (envasos de menjar, medecines,...) en el cas de treballar amb piràmides. El cas de Laura es ben diferent de les altres dues persones, doncs no analitza ni proposa cap context. En les preguntes que demanaven materials adients per facilitar la comprensió dels alumnes o be de representacions gràfiques, les respostes també són diverses. Núria proposa, en el cas de geometria, que els alumnes elaborin figures amb Primera anàlisi del procés de formació. Macrocicle 1 251 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 cartolina o paper, també que portin objectes de casa que s’hi assemblin. Laura proposa que portin capses de casa en forma de políedre o que s’observin els objectes del carrer. L’única que parla de representacions gràfiques, Ester, pel tema de la multiplicació, no fa cap dibuix ni descripció de les mateixes. Totes tres fan propostes de materials però no diuen res de cóm utilitzar-los. La darrera qüestió està relacionada amb la detecció de l'enfoc didàctic d’una de les activitats que es proposen, tot i els inconvenients de fer-ho només a partir d’un full del llibre s’ha pensat que era interessant veure quins arguments donaven per justificar la seva classificació. Núria diu que en l’activitat del tetraedre regular (veure figura 4.7.4 ): Podria ser empirista per que es parteix de situacions i contextos reals, al igual que realista. Si aconseguim una matematització vertical, l'enfoc serà realista, haurem passat d’allò concret a la idea abstracta que hi ha darrera de tot aixó. Si no arribem a l’abstracció continuarà sent empirista, el nen ho farà tot de manera informal. El que ens diu, en aquest moment del curs, el que Núria considera treballar a partir de la realitat. Laura no respon a aquesta pregunta i Ester mostra, en aquest cas, que no ha entès la pregunta o que no s’ha vist en cor de donar una opinió raonada sobre aquesta qüestió, doncs diu de l’activitat de la multiplicació per nombres de dues xifres (veure figura 4.7.6.) el següent: Es un ensenyament vertical per que primer exposen una situació, després unes altres amb altres dificultats per tal que el nen arribi al concepte abstracte del que se li està ensenyant (Ester 01-00/6). Resultat 4.7.3. L’anàlisi del discurs mostra que s’arriba a reconèixer propietats i s’expliciten diferències pel que fa al contingut matemàtic tant en el cas de potències com en el de característiques dels quadrilàters. 252 Capítol 4 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 En el cas dels aspectes de coneixement interpretatiu-estratègic només una de les persones analitzades reconeix elements cognitius com és el paper de l’ infant en la construcció del coneixement. Respecte a l’ús del coneixement matemàtic Núria i Ester identifiquen elements matemàtics quan expliciten un significat matemàtic o quan reconeixen objectes matemàtics un múltiple de tres es tot aquell nombre que s’obtingué de multiplicar tres amb algun altre nombre.....un múltiple de tres és aquell nombre que es pot dividir en tres parts iguals(Núria 01-00/6) el signe igual expressa una equivalència(Ester01-00/6) Núria explica continguts quan diu que: si a un parell li sumes o li restes 1 el resultat serà sempre un nombre imparell(Núria 01-00/6) Tant la Núria com la Laura expliciten diferències, Núria quan explica elements comuns o no comuns, explica equivalències en un context o quan representa de maneres diverses: en les potències un nombre serà parell si la base és un nombre parell(2,4,6,8) si la base és un nombre imparell(3 elevat a n) el resultat serà imparell (Núria 01-00/6) en canvi en un quadrilàter de costats de llargada diferent les diagonals no formen angle recte (Núria01-00/6) les diagonals del quadrat i el rombe són el lloc per on es pot doblegar la figura i obtenir simetria veurem que tenen els costats iguals en els dos casos, per exemple en el rectangle no aconseguim simetria (Núria 01-00/6) escriu 3n+1 o 3n+2 per representar nombres no múltiples de 3 (01-00/6) Primera anàlisi del procés de formació. Macrocicle 1 253 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Laura reconeix la rellevància de certes relacions matemàtiques en (Laura 01-00/6) relaciona fraccions a partir de relacions multiplicatives Tant Núria com Laura elaboren i reconeixen propietats, Núria quan usa metàfores a un dibuix de llibres de 3 prestatges per portar a la idea de múltiple de 3 i Laura quan fa generalitzacions per aconseguir parells simples de 3 xifres que es puguin descomposar en sumands de 4 nombres consecutius cal....(Laura 01-00/6).. Laura, a mes identifica gèneres diversos quan minimitza expressions ja que redueix expressions de tipus algebraic senzilles relacionades amb angles. Ester pel que fa al coneixement interpretatiu-estratègic identifica el marc de referència de l’entorn, relacionant i valorant representacions i procurant argumentar i fonamentar decisions instructives el context que planteja no es adequat per cicle mitjà per que els temes que tracta encara no els dominen(Ester 01-00/6) a aquesta edat els nens no tenen assolits tots els conceptes geomètrics que surten en aquestes activitats(01-00/6).. els contextos son més adients pels nens del entorns rurals(01-00/6). I també considera els elements propis del currículum al usar materials també podrien utilitzar objectes que tinguin a casa o a l’escola amb aquestes formes (Ester 01-00/6). 4.8. Sobre els resultats al Macrocicle 1 Com s’havia explicat inicialment, explicitarem els resultats observats experimentalment en base als 3 aspectes (a) significació, representacions i complexitat dels conceptes matemàtics (parells i senars, doble i meitat, igual i 254 Capítol 4 diferent, dependència) (b) rellevància i ús de contextos, connexions i relacions conceptuals (internes i externes) (c) grau i tipus d’incorporació conceptual en les propostes hipotètiques sobre la pràctica. Activitat inicial. Aprofitant que es pensa que hi ha un coneixement naïf sobre el que és definició, s’enfronta l’estudiant amb una situació de definició. Es mobilitza la idea de que la definició no és única, té formes representatives diferents i ve donada per atributs i exemples. En aquesta activitat es mostra els coneixements febles inicials sobre les definicions en el cas de parells i senars. Es mostra la incompletesa, el no reconeixement dels possibles atributs equivalents, la dificultat en reconèixer representacions simbòliques equivalents i connexions entre elles. Tanmateix es constaten diferències individuals. Activitat 2 En plantejar quina de les maneres d’entendre els conceptes de parell i d’imparell es tria com a millor per a treballar amb els alumnes de Primària, i com es duu a terme un procés que permeti construir una propietat aritmètica, es força a tenir una visió professional de l’acció matemàtica i es promou donar sentit a dita propietat. Han hagut d’escenificar el significat que consideraven més adient. El fet que l’activitat es plantegi imprecisa i oberta, permet que ells estableixin connexions. Valoren majoritàriament un o diversos significats. S’incorporen definicions de parell que no havien estat considerades ni havien estat reconegudes. En algun cas (no tots) es constaten els casos particulars com a diferents dels processos de generalització. Creiem que s’ha produït una adaptació al context pedagògic. El lligam entre els conceptes clau (suma, igualtat i parell) que han establert en la proposta és força Primera anàlisi del procés de formació. Macrocicle 1 255 semblant en la concepció de sumareuniói en la de parellgrups de 2però és diferent pel que fa a l’igual. En dos dels tres casos analitzats trien elements visuals com a manera de considerar formes de indicar els significats. Així, s’estableix una idea de connexió com a diferents formes de representació. Potser s’ha privilegiat aquest tipus de “connexió” per la necessitat de fer evident la propietat. Activitat 3. L’activitat de proposta d’una prova associada a un tema matemàtic (doble i meitat) promou que el futur docent s’impliqui, decideixi la importància dels continguts i situacions sobre els aspectes del contingut. En les activitats proposades, es formulen poques tipologies de continguts, normalment amb preguntes simplistes i fonamentalment de nivell baix. Només una de les estudiants arriba a un tercer nivell i amb una diversitat de continguts interessant i diferents tipus de contingut. El format prova no sembla haver provocat fórmules noves. Les proves tenen un format clàssic, hi ha una manca gairebé total de gràfics, tot i que aquest aspecte del llenguatge ha estat abastament treballat i emfasitzat. Totes les persones analitzades han detectat continguts rellevants. No han sentit la necessitat de representacions gràfiques més que com a forma de dibuix que ajuda a entendre l’enunciat. Apareixen relacions conceptuals (meitat del costatmeitat d’àrea - meitat de volum) però com que no demanen les argumentacions corresponents, no es fomenta la consciència de dites relacions. Es formulen activitats poc consistents, de manera que no s’estableixen relacions conceptuals ni tampoc es connecta amb la realitat i l’ensenyament, tanmateix aquests aspectes van ser tractats en la unitat. L’ordre de les preguntes està més relacionat amb el desenvolupament de la unitat 256 Capítol 4 realitzada que amb la dificultat de les tasques. Des del punt de vista del discurs, es manté un baix nivell en l’ús del coneixent matemàtic. S’identifiquen diferències però no s’elaboren propietats ni es generalitza. Pel que fa a les connexions, només una de les estudiants analitzades mostra preguntes,no només accions, ans demana una connexió entre significacions d’un concepte (diagonal d’quadrat i duplicació de l’àrea del mateix).Una altra, intenta mostrar la diferència entre partir en dues parts iguals o en dues parts simètriques però ho redacta malament. Activitat 4. El format de qüestionari escrit s’ha plantejat de manera que els mateixos estudiants poguessin adonar-se dels aspectes on la seva comprensió era insuficient o bé hi havia falta d’aplicabilitat dels conceptes i relacions matemàtiques treballats. No hi ha domini de les representacions simbòliques lligades a processos de càlcul mental, en el cas deles figures geomètriques i de les fraccions són millors però en aquest darrer cas s’obvia la comprovació de la validesa del gràfic. Majoritàriament hi ha dificultats en relacionar conceptes quan es tracta d’argumentar la relació. També dues de les tres persones tenen dificultats en identificar diferències. Pel que fa a la identificació dels significats del signe igual que han resolt correctament hi ha més similituds entre elles. Quan es demanen argumentacions, es fan descripcions i no es consideren totes les informacions dels enunciats. És a dir, no s’estableix les relacions desitjades entre propietats matemàtiques, i les condicions necessàries i suficients que les defineixen. Pel que fa a les connexions la descripció d’un procés de càlcul mental en operació aritmètica no ha estat reconeguda per cap de les tres estudiants. Pel que fa Segona Anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 263 Tots junts, i també cadascun, tenim davant nostre el repte d’anar-nos fent el nostre propi mètode, no d’ensenyar sinó de fer possible que els nens i les nenes aprenguin de veritat. Ma. Antònia Canals. El contingut d’aquest capítol es correspon amb la fase de l’experimentació a l’aula tal com es descriu en el capítol 2 -experiment d’ensenyamentdel macrocicle 2 que correspon a la segona assignatura del curs de formació.Per començar es justifica l’elecció de microcicles per a l’anàlisi. Es justifiquen les tasques corresponents en funció dels continguts professionals implicats i l’objectiu en termes de la recerca. És a dir, què esperem que ens aporti per a definir millor les trajectòries. (5.1.) A continuació es presenta les sessions de classe concretes amb els seus continguts de formació, les Trhifi de referència per l’anàlisi i els mini-instruments emprats (5.2. a 5.6.). La part més extensa consisteix en la descripció de les activitats, les consideracions sobre la trajectòria hipotètica corresponent i una primera anàlisi de les produccions dels alumnes estudiats. Al final del capítol s’analitzen els resultats obtinguts en tot el macrocicle 2, incloent el que es deriva de l'anàlisi del primer macrocicle (5.7). Cal tenir en compte que els alumnes són els mateixos del primer macrocicle i, per tant, tindrem el punt de partida en l’estat que es descriu al final del capítol 4 i que es completa en el capítol present. Finalment es planteja la representativitat i generabilitat de l’anàlisi realitzada (5.8.). 264 Capítol 5 Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 265 5.1. Experimentació a l’aula. Macrocicle 2. La segona anàlisi del procés es produeix sobre una sèrie de microcicles corresponents al Macrocicle 2. Els que s’ha triat són els següents: (7) Sobre la construcció conceptual a l’escola. El cas de la introducció de conceptes. (8) Constatació de posicionaments i creences professionals. Activitat d’elaboració i síntesi. (9) Integració de coneixements. Valoració de seqüències d’aprenentatge en llibres de text. (10) Sobre el valor dels dissenys instructius. Anàlisi de propostes de programació. (11) Anàlisi de resultats en l’avaluació sumativa del procés. Aquestes activitats han estat triades per que permeten obtenir informació sobre el progrés que es pugui produir en els mateixos aspectes que els referits en (4.1.), es a dir en (a) la atribució de significats, en la representativitat dels conceptes i en el grau de complexitat de la conceptualització, (b) l’evolució de la rellevància dels contexts, en l’ús de les connexions i de les relacions conceptuals, i molt important en aquest segon macrocicle d’aspectes més implicats en la intencionalitat sobre la pràctica com es (c) el grau i tipus d’incorporació conceptual que mostren els alumnes en la planificació hipotètica sobre la pràctica. Per tal de concretar, mostrem un quadre amb les activitats escollides on consta el contingut principal de formació així com l’element fonamental que es 266 Capítol 5 considerarà en l’anàlisi de les TRHIFI, que ens permetrà l’anàlisi posterior retrospectiva: Activitat Contingut Anàlisi Trhifi Mini-instruments 7. Construcció conceptual a l'escola Atributs del concepte de centena. Definicions equivalents. Significació de centena. Representacions del concepte. Elements a tenir en compte en l’elaboració d’una seqüència d’introducció d’un concepte. Connexió de conceptes i integració coneixement matemàtic i didàctic. Consideració d’ atributs crítics i jerarquització entre ells. Ús d’exemples prototipus i ús de materials manipulatius. Disseny de seqüència de construcció d’un concepte. 8. Posicionaments i creences professionals Coneixements de tipus didàctic i professional. Caracterització dels enfocaments de l’ensenyament de les matemàtiques. Connexions entre aspectes conceptuals relatives als aspectes matemàtics, estratègics i professionals. Posicionament davant l’ensenyament i de l’aprenentatge de les matemàtiques. Tipus de concepció social dels paper de les matemàtiques. Implicació personal com a docent. Document de posicionament personal sobre l’ensenyament de les matemàtiques, el procés d’aprenentatge i el paper de l mestre/a. 9. Valoració de seqüències d'aprenentatge Detecció dels continguts essencials que es treballen en les diverses tasques dels llibres de text i de la metodologia. Valoració de seqüències d'aprenentatge Propostes de treball del sentit numèric. Posicionament pedagògic i la integració de coneixement didàctic professional. Evidencia dels models de coneixement i d’apreciacions sobre ensenyar i aprendre. Aspectes del coneixement estratègic – instructiu incorporats. Revisió i anàlisi de propostes de programació alienes. Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 267 10. Anàlisi de propostes de programació Elements d’una proposta de programació. Justificació de la concreció dels diversos aspectes. Contexts i representacions per a la facilitació. Coherència entre continguts, objectius i activitats. Valor del context. Tractament conceptual i de significació de la unitat de programació. Integració de coneixement matemàtic, especialment conceptes, representacions i relacions conceptuals amb contextos i connexions adients. Disseny intencional d'una sessió de classe per alumnes de primària amb tema i curs determinats. 11. Avaluació sumativa del procés Significats,representació i connexions conceptuals. Valor de la contextualització. Argumentació i connexió de propietats. Incorporació conceptual a la intenció sobre la pràctica. Classificació de significacions. Establiment de relacions i connexions i el seu valor didàctic Identificació de tipus de dificultats en l’establiment de relacions conceptuals. Grau i tipus d’incorporació de coneixement matemàtic, rellevància de les representacions. . Resposta a situacions problemàtiques en format de prova d’avaluació. Figura 5.1.1. Microcicles i Trhifi que s’ analitzaran en el macrocicle 2. En l'anàlisi de les situacions que es fa als apartats següents, es descriu cadascuna d'elles, presentant les trajectòries hipotètiques com a objectiu de la recerca, i fent l’anàlisi retrospectiva, explicitant en forma de resultats les diferències i similituds entre les tres alumnes considerades. Les conclusions corresponents al macrocicle 2, es presentaran en base a tres aspectes de la formació inicial citats al començament d’aquest apartat : (a) significació, representacions i complexitat dels conceptes matemàtics; (b) rellevància de l'ús de contexts, connexions i relacions conceptuals; (c) grau i tipus d'incorporació conceptual en les propostes sobre la pràctica 268 Capítol 5 Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 269 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Març 00 Abril 00 Maig 00 5.2. Activitat 7. Sobre la construcció conceptual a l’escola. El cas de la introducció de conceptes L’objectiu d’aquesta activitat és obtenir informació de com usen conjuntament el coneixement matemàtic i didàctic per a dissenyar una seqüència de construcció del concepte de centena per alumnes de primer cicle de Primària. L’activitat proposada als alumnes de mestre no requeria arribar al detall de totes les tasques i situacions d’aprenentatge ni detalls de temporalització, atenció a la diversitat, etc, sinó que es tractava de definir a grans trets els aspectes relacionats amb la tria de significats, representacions i connexions entre les diversos continguts implicats. Consideracions sobre la Trajectòria hipotètica de l’activitat. Aquesta activitat es especialment interessant per la possibilitat que ofereix de connectar conceptes i integrar coneixement matemàtic i didàctic. Es vol veure quins atributs es consideren del concepte (Hershkowitz,1990) i si usen exemples prototipus per iniciar-lo, també si consideren els atributs crítics i quina jerarquia estableixen entre ells. En segon lloc, ens proposem observar quina interpretació i significats tracten prioritàriament (Leinhardt i Greeno, 1986) i com els connecten. De fet, molts cops redueixen el treball a un sol tipus de significació i representació de la centena, com és la quantitat discreta. 270 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Març 00 Abril 00 Maig 00 La idea que tenen de centena és de deu desenes. Sabem que amb això s’oblida que cent és 99 i un, el següent de 99., etc i potser cal privilegiar algun d’aquests aspectes ordinals i d’aproximació sobre el fet de l’estructura decimal. Anàlisi retrospectiva En base a les observacions i dades obtingudes del treball dels alumnes, reconeixem el següent: Resultat 5.2.1. Les tres persones proposen diversos significats prototípics que apareixen temporalment. Només una d’elles explicita la necessitat que els alumnes vegin la desena simultàniament com cent unitats, deu desenes i la tercera xifra de la quantitat com a síntesi conceptual establint relacions conceptuals. Mentre alguns detallen el procés de construcció de la centena de manera que es resolen els possibles salts entre significats, altres no ho expliciten. Es detalla més l’inici de la seqüència que la continuació. Tothom preveu l’ús de materials manipulatius i com introduir les representacions simbòliques. En la seqüència del contingut de la proposta de Núria trobem com passar del 99+1 al cent a través de l’agrupació en desenes (nou unitats més una en fan deu, que resulta ser una altra desena, i que unida a les nou anteriors fa deu desenes) introduint aleshores la paraula i el símbol de cent. Ester introdueix el cent com el següent del 99 per un procés de comptar i considerant que la paraula, i fins i tot el símbol, son coneguts per l’alumnat de segon de primària, passant després a sumar desenes i introduir el cent com a deu desenes. En el procés d’Ester, més detallat encara que el de Núria, queden relacionats els dos Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 271 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Març 00 Abril 00 Maig 00 significats, en canvi Núria deixa pendent la idea de 100 com a cent unitats que provindria de l’acció de comptar. Laura parla d’introduir el cent com a següent del 99 però no deixa clar com fer-ho, diu que els alumnes ho han de descobrir per ells mateixos però no diu què ni com. De les tres persones és la més imprecisa, donant més importància als continguts de la seqüència sense detallar-ne el significat. Com es pot observar en els quadres següents (5.2.1, 5.2.2., 5.2.3 ), Ester estableix connexions en dos sentits entre significats i també entre significats i representacions, en canvi Núria i Laura no fan connexions dobles entre els significats i Laura ni tan sols amb les representacions. Pel que fa al lligam amb els coneixements previs totes tres preveuen la revisió dels nombres de l’1 al 99 i del concepte de desena amb l’ús de materials manipulatius i representacions, per tal d’assegurar-ne la disponibilitat i per donar continuïtat a partir d’usar els mateixos recursos materials. Només Ester i Núria preveuen introduir noves connexions amb coneixements previs durant el procés, fent que els alumnes de primària utilitzin el que saben sobre la sèrie anterior a les centenes, per exemple que poden usar la seqüència 10-19 per establir la 110-119, o bé imitar el pas del 19 al 20 per resoldre 199 -200. Això que en principi pot resultar interessant presentaria dificultats en el cas que no proposessin la manipulació amb materials com els blocs multibase (10) o l’àbac. A continuació es mostren les seqüències de contingut que es considera que han planificat. És per tant una esquematització observada “des de fora” del que han realitzat les alumnes, indicant els coneixements previs considerats, atributs, representacions i significats. 272 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Març 00 Abril 00 Maig 00 Figura 5.2.1. Seqüència d’aparició del contingut i connexions establertes a la planificació. Cas de Núria Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 279 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Març 00 Abril 00 Maig 00 per exemplificar-ho millor, sempre es poden fer representacions amb blocs multibase (04-00/11) o quan estableix relacions instructives associades a diverses facetes del concepte es poden fer descomposicions molt variades d’un nombre...........(04-00/11) reconeix registres o formes instruccionals quan imagina trets de la cultura de la classe) el mestre veu si els seus alumnes distingeixen entre la desena representada per una línia i la unitat representada per un cub petit (04-00/11) Identifica elements que articulen la negociació de significats quan atribueix intencions negociadores a l’activitat entre el mestre i l’alumne també es poden practicar els canvis de representacions...(04-00/11) Evoca les relacions entre professor i alumne quan explicita estratègies per possibilitar el raonament de l’alumne podem fer una representació amb blocs multibase per que vegin que el 100 es descompon en 10 tires de desenes i....(0400/11) 280 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 5.3. Activitat 8. Constatació de posicionaments i apreciacions professionals. Activitat d’elaboració i síntesi. Descripció de l’activitat L’activitat que s’analitza és un document escrit amb format d’article que recull l’opinió personal de l’estudiant de mestre sobre una colla d’aspectes relacionats amb l’ensenyament i l’aprenentatge de les matemàtiques a nivell escolar. El document ha de basar-se en el posicionament personal sobre les raons d’ensenyar matemàtiques, el procés d’aprenentatge i l'enfoc del seu ensenyament i el paper de l mestre/a. Prèviament a la elaboració individual del document es duen a terme una sèrie de tasques preparatòries. Es fixen quatre nuclis de discussió, cadascun d’ells acompanyat d’articles a llegir i un guió de discussió que proposa qüestions al voltant del tema plantejat. Els quatre nuclis són: Nucli I: Per a què ensenyar matemàtiques?. Matemàtiques i societat. Nucli II: Còm s'aprenen les matemàtiques. Nucli III: Còm ensenyar matemàtiques. Nucli IV: L’activitat matemàtica a l’escola. El paper del mestre/a. Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 281 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Un exemple de lectures i guió de discussió ha estat el següent : NUCLI III: CÒM ENSENYAR MATEMÀTIQUES. Documents 1.Alsina,C i d'altres. Ensenyar matemàtiques. Graó. Capítol 3. 2.Treffers. Los principios generales de la enseñanza y del aprendizaje. Qüestionari : 1. Quíns són els aspectes que cal tenir en compte a l’hora d’ensenyar mates?. 2. Per què es recorda molt més el que s’ha descobert personalment que les explicacions?. 3. L’aprenentatge per imitació limita la capacitat de ser flexible (adaptar-se als canvis), còm es pot justificar?. 4. Desaventatges d’explicar mates explicant o exposant els conceptes o relacions. 5. Quína és la importància de l’ùs de materials manipulatius en l’ensenyament de la matemàtica a nivells elementals?. 6. Què vol dir i per què es fa l’ensenyament en espiral?. 7. Avantatges i inconvenients de distribuir els continguts per blocs (nombres, geometria, ..) o de manera periòdica (de tot en períodes setmanals o quizenals). 8. Còm influeix el còm s’ha aprés una cosa en l’ùs que se'n fa?. 9. Còm es te en compte en una programació el fet que els conceptes matemàtics no s’aprenen d’un cop?. 10. Quíns factors cal tenir en compte al distribuir els continguts de l’etapa Primària durant els 6 cursos?. 11. Acció, reflexió, comunicació són trets característics d’un enfoc constructivista de l’ensenyament de les mates, còm s’han d’entendre?. 12. Qué es considera una seqüència correcta?. 13. Còm afavorir la integració del coneixement matemàtic?. 14. Còm es pot desenvolupar la creativitat matemàtica?. 15. De quína manera influeix la comunicació en l’aprenentatge de les matemàtiques?. 16. Tipus d’activitats matemàtiques (segons diversos criteris). 17. Defectes i virtuds de cada enfoc didàctic de l’educació matemàtica?. 18. Còm tractar els errors d’aprenentatge?. 282 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Cada nucli es tracta setmanalment. Per cada nucli, es dona als alumnes: indicacions del treball previ a fer (veure un exemple al quadre següent).. Després del treball i discussió corresponent a la lectura dels articles, es dona un temps per a redactar un informe, amb les orientacions que es descriuen a continuació. De manera més detallada les activitats a fer són: a) Lectura de cada document. Seleccionar les idees clau. Extraure el vocabulari nou. Anotar els dubtes de comprensió del contingut. Pensar exemples concrets per les idees importants. Anotar els desacords amb afirmacions que faci el document i les justificacions que es pensin. Pensar preguntes que es podrien plantejar per enriquir la discussió col·lectiva. b) Lectura del qüestionari de discussió del nucli .Pensar respostes per fer aportacions a la sessió col·lectiva.. c) Participar en la discussió col·lectiva (es valorarà les aportacions d’opinió,de preguntes noves,exemples que concretin les propostes generals,...). d) Resumir les idees més importants que s’hagin exposat durant la discussió. e) Després de totes les sessions cal redactar un document personal que globalitzi tots els temes (veure instruccions més detallades al final del dossier). DOCUMENT FINAL A ENTREGAR. Continguts i característiques Tenint en compte els continguts dels articles i llibres treballats, les sessions de discussió col.lectives i la reflexió personal sobre tot plegat, elaborar un document-opinió sobre les temàtiques tractades. L’extensió màxima serà de 5 planes (impreses a doble espai i lletra 12 o 14). Es important la coherència global del document,no cal dividir-lo en els 4 apartats de discussió. Se li pot donar forma d’article, com per publicar-lo en una revista de didàctica de la matemàtica o d’educació en general. Posar-li un títol adient. Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 283 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Cal dir que alguns articles no eren nous, sinó que havien estat recomanats com a lectures en relació a d’altres temes. Consideracions sobre la Trajectòria hipotètica de l’activitat. L’objectiu d’aquesta activitat era determinar quins coneixements de tipus didàctic i professional mostraven els alumnes i també quin era el posicionament davant l’ensenyament i de l’aprenentatge de les matemàtiques en un moment força avançat del curs. El més important en el treball amb els articles ha estat assegurarne la comprensió i extreure les idees principals. En relació amb els guions, que eren oberts, no es pretenia seguir cap ordre i tampoc exhaurir totes les qüestions plantejades. Anàlisi retrospectiva En base a les observacions i dades obtingudes del treball dels alumnes, reconeixem el següent: Resultat 5.3.1.Tant els temes centrals com els aspectes més valorats són diferents. En totes tres persones es reconeixen els elements claus de les lectures: paper de les matemàtiques, procés d’ensenyament - aprenentatge i societat. El títol i el desenvolupament del treball d’Ester suggereixen la importància que ella dona a l’adquisició de la consciència sobre les pròpies posicions pel que fa als ensenyants. Focalitza les creences en dos aspectes: les creences dels mestres sobre el paper de les matemàtiques en la formació de les persones i en el paper que juguen els elements socials i polítics. En el primer cas considera la influència 284 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 que té sobre el programa, la metodologia i els objectius de l’ensenyament de les matemàtiques i com això afecta a la motivació dels alumnes i a la possibilitat d’arribar a aprendre matemàtiques. En el segon cas dona molta importància a les concepcions socials i polítiques, que segons ella, afecten al desenvolupament personal (autonomia, esperit crític,...) dels alumnes i també a les peticions que la societat fa de l’escola i que condicionen el programa i els objectius de l’ensenyament matemàtic. Per altra banda considera un segon centre d’importància que és l’alumne. Considera essencial entendre les matemàtiques i per això la necessitat de tenir en compte els coneixements previs, els ajuts que cal donar als alumnes segons els diversos ritmes d’aprenentatge i la consideració dels interessos dels alumnes com a factor decisiu en la motivació. Núria, en canvi, centra la seva disquisició en la necessitat de tenir èxit en la societat canviant, d’adaptar-se i respondre a les expectatives que aquesta té pel que fa als coneixements matemàtics dels seus individus. La problemàtica del fracàs escolar en matemàtiques, i per tant les seves implicacions socials que això comporta, és l’aspecte que Núria ha destacat més en el seu escrit i situa al mestre com a principal factor desencadenant del problema. Així com Ester s'obliga a complir certes condicions per facilitar el desenvolupament personal als seus futurs alumnes, Núria desgrana els aspectes que segons ella produeixen el fracàs que entén com el no domini dels coneixements matemàtics caracteritzat per la no comprensió ni l’aplicació al mon real. Núria considera que el professorat no assumeix les individualitats i per tant no te en compte els alumnes menys capaços de prosperar matemàticament. Dintre d’aquestes no assumpcions troba també la necessitat de preparació suficient, que no aclareix de manera explícita si es matemàtica o pedagògica, la voluntat i la Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 285 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 capacitat de motivar. També valora negativament que el sistema escolar tingui mecanismes de regulació i control que "obliguin" al mestre a comportar-se d’acord amb l’enfoc i el currículum que les proves "requereixen". Laura centra el seu text en el canvi social com un fet permanent i que condiciona, segons ella, la continua adaptació de l’ensenyant per respondre a les expectatives que demana la societat. Ella va més enllà que Núria que considera que la societat condiciona continguts i habilitats en el camp de l’ensenyament de les matemàtiques a l’escola. Al plantejar el canvi social continu, Laura, estableix la relació que aquest fet té amb la necessitat de que desenvolupin capacitats genèriques i permanentment adaptables. Estableix en aquest sentit les condicions que cal tenir en compte per atendre les noves demandes que la societat fa als seus ciutadans, unes es refereixen als continguts i d’altres a la metodologia d’ensenyament de les matemàtiques. De les tres persones Laura és l’única que concreta alguns aspectes sobre els tipus d’activitats (complexes i diverses) i també esmenta el llenguatge com a eina per ajudar a la conceptualització. Ester s’ha centrat en el primer nucli de discussió més que en cap altre especialment en l’article del paper social de les matemàtiques, i en menor grau en el quart nucli sobre el paper del mestre especialment en el text d’Alsina i d’altres(1995), els aspectes de com ensenyar matemàtiques no es concreten gens ni tampoc els dedicats a l’aprenentatge. Tampoc es veuen reflectides les discussions de classe. 286 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Pel que fa a Núria, partint de la idea de que les matemàtiques asseguren en part l’èxit social, dedica la major part al paper del mestre en l’aconseguiment d’aquest èxit. Hi ha aspectes de la importància social de saber matemàtiques que tenen relació amb el text de NCTM (1992) i recull força aspectes del darrer qüestionari de discussió de classe. Laura centra el text en el primer nucli basant-se en el text de NCTM i toca alguns aspectes del tercer. Pel que fa a la temàtica és molt incomplet, sembla que no ha fet les lectures i no s’ha plantejat donar una visió més coherent i treballada. Al text d’Ester li manca coherència i un fil argumental clar. Sembla que l’enunciat d’una colla principis sigui el seu fil basat en quines haurien de ser les creences dels mestres pels efectes positius o negatius que tenen, fa seus els principis que enuncia i es sent condicionada a obrar (en intencions) en conseqüència. En el cas de Laura tenim un text molt curt, molt dispers, sense cap lligam argumental consistent. El registre és molt culte i no s’adiu gaire amb altres textos que hem recollit d’ella, el que fa pensar que ha reproduït frases alienes sense procurar donar -li un sentit més personal. Això es veu també en els exemples que posa que no estan a l’altura del text transcrit. Resultat 5.3.2. Analitzant el text des de la interpretació de les matemàtiques com a pràctica social ens mostra tres tipus diferents de futur mestre. Pel que fa al grau d’implicació apareixen tres posicions diferenciades, des de l’assumpció del paper com a mestre fins a considerar el col·lectiu d'ensenyants com si no s’hi pertanyés, passant per una implicació més com alumne que com a mestre. Dues de les persones estableixen conexions de tipus classificatori centrades en els aspectes curriculars, i només una persona mostra més interconnexions. Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 287 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 En efecte, fent una anàlisi interpretativa que hem explicat al capítol 3 (veure pàg. 108 ) observem el seu text centrant-nos en les relacions que les tres alumnes mostren en relació al coneixement matemàtic, les seves apreciacions i valors que declaren, cóm veuen les relacions de poder i quin posicionament pedagògic declaren. Així, reconeixem algunes característiques significatives com les que exemplifiquem a continuació, i construim un quade global d’on situem a les tres alumnes en relació a la matemàtica i el seu aprenentatge com a procés social. Ester supera la visió reflexiva (reflective practitioner de Schön, 1987), doncs al analitzar els seus aparents models de coneixement i creences sobre ensenyar i aprendre trobem elements (veure quadre. 5.3.1) que reflecteixen una aproximació a la idea que concep el coneixement com a una construcció social i s’apropa força a la idea que l’educació matemàtica pot ser una contribució important en la promoció de la justícia social. Ester és el contrapunt de Núria, la primera situada en un nivell interrogatiu amb alguns aspectes que assenyalen una marcada tendència cap a un nivell crític implicatiu i la segona bàsicament en un nivell reflexiu tanmateix amb aspectes relacionats amb el posicionament pedagògic que caracteritzen el nivell conformista. Això darrer és cert especialment en el seu posicionament respecte a que els continguts es transmeten (veure quadre 5.3.1). En el cas de Núria, a més, es donen alguns trets del tipus interrogatiu relacionats amb que el coneixement no es una acumulació de sabers, sinó un esquema en el sentit de Skemp. Entre elles dues es troba Laura que presenta característiques del tipus reflexiu superant clarament el 288 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 conformista. Els exemples que Laura dona, en alguns casos fa pensar en no col·locar-la dins la posició interrogativa. Núria conformista Núria - Laura reflexives Ester en nivell interrogatiu Ester en un nivell crític implicatiu El docente se ve...empujado...a adaptación permanente. Laura Els treballadors...han de posseir més habilitats matemàtiques... atendre a les complexitats tecnològiques i atendre als nous canvis, per això han de tenir un aprenentatge permanent Núria Per tant, cal plantejar-nos... hem de saber quines són les nostres opinions sobre la matèria...perquè es reflectirà a les nostres classes... Ester ...Recordo que... Doncs ara... t’ajuda en...com per exemple, també serveix per a... Ester El mestre ha de fer que...entenguin... perquè és molt diferent entendre que saber matemàtiques...Ester Los contenidos deben responder tanto a las necesidades sociales como al desarrollo personal del alumno. Laura L’ensenyament no es pot separar de la realitat social i de l'època en que vivim... les mat no es poden desenganxar de la realitat d’avui en dia. Núria Per a mi, les mates són molt creatives i poden desenvolupar moltes més habilitats Ester Perquè el mestre no pot aïllar, quan està fent classes la seva concepció política i social, i aquesta es nota al ensenyar mates...Ester “resulta difícil reflexionar indenpendientemente sobre ambos términos [educación y cambio social ] Laura La societat reclama individus crítics, amb decisió pròpia, que tinguin alternatives... integrar-se a la rapidesa a que es donen els canvis, i que siguin bons i qualificats treballadors... Núria ¿Com es manifesten aquests valors socials a les classes de matem... ?... Ester Depèn de com el mestre entengui les mates pot arribar a crear una separació entre aquestes i la realitat Ester Promoure autonomia, autogestió, esperit crític, reflexió, desenvolupament del sentit espacial, quantificació, observació sistemàtica... Ester Però no només influeix la concepció social que tingui el mestre a l’hora de programar la seqüència de continguts, sinó que també la societat demana...una sèrie d’aspectes... Ester Relacions amb el Coneixement matemàtic Promover la utilización y manejo de las NTIC que simplifican y facilitan la tarea. Núria Un nen japonès adquirirà valors i costums diferents als que adquirirà un nen europeu... Núria Figura 5.3.1a. Classificació dels alumnes de mestre segons el seu posicionament front les matemàtiques com a pràctica social Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 295 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Respecte del coneixement interpretatiu estratègic totes tres posen en evidència que estant tractant amb nocions matemàtiques, Núria quan planteja la connexió entre el món real i les matemàtiques es molt important que els nens adquireixin les habilitats matemàtiques indispensables que els permetin integrar-se en el món d’avui (Núria 05-00/8). Ester ho fa quan identifica processos significatius de matematització i constata graus diversos de dificultat en el contingut hi ha d’altres habilitats a desenvolupar com....el desenvolupament del sentit espacial, la representació de l’espai, la quantificació, la classificació..(Ester 05-00/8). entendre matemàtiques vol dir haver desenvolupat unes capacitats de resoldre problemes, per poder raonar i argumentar...es saber fer relacions, bones connexions, però l’alumne no pot fer-ho correctament tot sinó que necessita d’una ajuda del mestre (Ester 05-00/8). per arribar al domini d’alguns conceptes matemàtics cal molt de temps/el mestre ha de tenir en compte les diferències (Ester 05-00/8). mai hem d’oblidar com a mestres que la concepció que tinguem del que són les matemàtiques juntament a la que tinguem de la 296 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 capacitat d’aprenentatge dels nostres alumnes.. marquen decisions crucials per al seu ensenyament (Ester 05-00/8) I Laura quan distingeix tipus de coneixement en matemàtiques: Favorecer, en general, el aprendizaje significativo frente al mecánico, teniendo presente que en ciertas ocasiones el mecánico puede resultar més favorable,por ejemplo saber de memoria las tablas de multiplicar (Laura05-00/8) Laura i Ester identifiquen elements del disseny d’aprenentatge quan parlen processos de control i regulació por ejemplo dar soporte a algún concepto matemático en posteriores sesiones si se piensa que no ha quedado del todo asumido(Laura 05-00/8). en aquest llarg procés de temps el alumne comet errors o no fa les coses completament bé,s’ha d’entendre com una cosa normal i inherent al mateix procés d’aprenentatge(Ester0500/8). O be Laura quan relaciona una seqüència de contingut amb el disseny de l’aprenentatge las rutinas mecánicas de cálculo no se separen de los problemas,actividades y contextos que esas rutinas pueden ayudar a resolver (Laura05-00/8). Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 297 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 En el cas d'Ester usant evocacions d’aprenentatge per recolzar afirmacions o explicitant eines de motivació a mi particularment no m’ha ajudat gens a l’EGB quan m'equivocava i em feien una rodona vermella o em tatxaven el resultat, sense explicar-me després en que m'havia equivocat (Ester 05-00/8) promoure contextos que siguin adients als interessos d’aquests i utilitzar jocs, contextos reals (Ester 05-00/8). En canvi Núria no mostra cap indicador que es refereixi al disseny de l'aprenentatge, parla de motivació però no explicita cap eina concreta. Totes tres, Núria en menor mesura, plantegen explícitament elements de gestió quan tenen en compte l'entorn i tenen en compte la cultura matemàtica de l'alumnat, comparen models de treball i procurant argumentar decisions instructives podem dir que l’ensenyament és una activitat que no es pot separar de la realitat social i de l’època que vivim(Núria 0500/8) el docent ha de contemplar el marc temporal en el que viuen i és important i profitós per l’alumne i el mateix docent fer servir els avantatges del moment (Ester 05-00/8) el centre de l’activitat ha de ser l’alumne per tant s’ha de conèixer quins son els seus coneixements previs. (Ester 0500/8) 298 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 el mestre faci servir activitats on els alumnes puguin aplicar aquelles matemàtiques que ja sap i així no es crearà desconcert pel tema nou (Ester 05-00/8).. teniendo presente que el aprendizaje mecánico puede resultar más favorable,por ejemplo las tablas de multiplicar(Laura 0500/8). amb un enfoc empirista però no estic totalment d’acord amb aquest enfoc ja que no arriben a l’abstracció,per tant més adient es el realista(Ester 05-00/8). usar el que l’alumne ja sap..els dona confiança en ells mateixos i a més tenen predisposició positiva en relació amb el tema que s'està iniciant(Ester 05-00/8). Només Ester reconeix alguns elements funcionals de les tasques educatives i d'estils instructius diversos jo crec que aquesta no es la millor manera d’ensenyar mates per que no ajuda als alumnes a desenvolupar el pensament crític ni a que tinguin iniciativa personal (Ester 05-00/8). ha de plantejar diferents tipus d’activitats com treballs en grup,alguns debats a classe (Ester 05-00/8). aquesta ajuda pot variar des d’un suggeriment inicial molt genèric fins una ajuda continua del mestre durant tot el procés el grau d’aquestes ajudes depen de les necessitats i mancances que presenti cada alumne (Ester 05-00/8). Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 299 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 També explicita el valor del coneixement previ es relaciona amb el que ja saben,els dona molta seguretat(0500/8) jo tinc l’experiència que quan estic aprenent uns aspectes nous,per a mi, de les matemàtiques sempre interpreto i l’aprenc millor des dels coneixements previs que tenia i no interpretantlo com un tema nou i inconnex (Ester 05-00/8). Tant Núria com Ester parlen de les relacions alumneprofessor Aquesta ajuda pot variar des d'un suggeriment inicial molt genèric fins.....(Ester 05-00/8) Veuen que la classe s'enfonsa,...,i la classe fracassa.....i no fan res per canviar-ho (Núria 05-00/8) Respecte del contingut professional - actitudinal Núria mostra una forta implicació en tot el text quan referència l’impacte possible de les accions educatives no poden accedir a determinats nivells per que s’han entrebancat amb aquesta assignatura i molts han de triar camins que no desitgen (Núria 0500/8). Ester també ho fa mostrant il·lusió i oferint contrast de possibles posicions com a futurs mestres és important tenir en compte que tindrem en les nostres mans el futur dels alumnes.(Ester 05-00/8) 300 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 aquest enfoc promou l’integració de models matemàtics que serveixen per generar el coneixement més formal i abstracte,encara que haig de reconèixer que cap enfoc es el millor i que es pot aprofitar el més encertat de cada un.(Ester 05-00/8). En canvi Laura no mostra cap senyal d'implicació personal. Totes tres quan busquen un posicionament en el discurs pedagògic considero que més important que acumular continguts en si,un bon professor hauria de pensar en la comprensió d’aquests per part dels alumnes(Núria 05-00/8) l’ensenyament és una activitat que no es pot separar de la realitat social i de l’època que vivim(Núria 05-00/8) les matemàtiques s’han convertit en l’objecte de temor de molts estudiants(‘Núria 05-00/8) para que la interacción entre el profesor y los alumnos responda a las expectativas previstas es necesario que la opción metodológica cumpla una serie de condiciones/los contenidos deben responder a las necesidades sociales/utilización de las nuevas tecnologias/..(Laura05-00/8). si el mestre ensenya d’una manera democratica els està preparant per viure en societat(Ester05-00/8). Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 301 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 (1) com a futurs mestres tenim el deure de pensar en donar la volta a la truita i canviar l’ordre de prioritat(Ester05-00/8). I Núria ho fa especialment quan reconeix explícitament el protagonisme de l’alumnat i la seva diversitat es important no veure la classe com una massa unida, sinó les diferències individuals i els coneixements inexperiències que cada alumne aporta de la seva realitat(Nuria05-00/8). com els professors poden oferir una educació matemàtica a la qual tots els alumnes puguin arribar sense frustracions....(Nuria05-00/8). Ester i Núria valoren l’equitat educativa en el treball matemàtic procurant explicitar els valors matemàtics que cal promoure I identificant i reconeixent el valor de l’acció docent en matemàtiques que es el que la societat reclama per als seus ciutadans (Nuria05-00/8) no ajuda als alumnes a desenvolupar el pensament crític ni a que tinguin iniciativa personal(Ester 05-00/8). les matemàtiques ajuden molt al desenvolupament de la persona perquè potencia el pensament crític,el raonament i el pensament lògic..(Ester05-00/8). la societat demana al sistema escolar una sèrie d’aspectes pel que fa a les mates(Ester 05-00/8). 302 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 en general la societat demana que els estudiants adquireixin habilitats matemàtiques utilitaries,després que aquest ensenyament contribueixi en el creixement de la persona i per últim que aprengui coneixements matemàtics.(Ester 05-00/8) En canvi Laura torna a no mostrar indicadors en aquest aspecte de l'assumpció de l'activitat professional. Ara bé, totes tres mostren implicació reflexiva professional quan evoquen valors de formació no estrictament matemàtics si els alumnes no aprenen s’haurà de replantejar el programa(Nuria05-00/8). per altra banda un factor que influeix als mestres a comportarse con a embotidors de coneixements és el fet d’haver d’encarar als alumnes a una prova final....(Núria 05-00/8). el problema no estriba tanto en adquirir tales o cuales habilidades precisas para la educación matemàtica sino en cómo desarrollar capacidades genéricas permanentemente adaptables..(Laura 05-00/8). còm es manifesten aquests valors socials a la classe de matemàtiques/per a mi és molt més important el desenvolupament com a persona que l’adquisició de Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 303 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 coneixements matemàtics, encara que també són importants(Ester 05-00/8). s’ha de tenir molta paciència amb l’alumnat per que les matemàtiques no s’aprenen de cop.(.Ester 05-00/8). I al parlar d’experiències realitzades la gran tendència que tenen els mestres de matemàtiques –i ho se per pròpia experiència-és la de no canviar mai el seu mètode..(Nuria 05-00/8). Només en Ester trobem referències d'altres autors estic d’acord amb P. Ernest quan diu que si un mestre ensenya matemàtiques d’una forma autoritària..(05-00/8) aquesta idea ho recull molt bé Abrantes, l’aprenentatge es considerat un procés de construcció actiu del coneixement..(0500/8). estic d’acord amb el que diuen Alsina i d’altres, la referència comuna haurien de ser els objectius generals, propostes de treball flexibles i obertes..(05-00/8). Totes tres fan comentaris sobre la presa de decisions de formació (Núria) la societat reclama individus crítics i amb decisió pròpia...per tant calen unes matemàtiques útils i vinculades a la societat (05-00/8). 304 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 (Núria) s’ha d’afavorir sempre un aprenentatge que s’integri en els esquemes del alumne per tal que aquest pugui ser significatiu per ell..(05-00/8). es fàcil imaginar cuan altera esto la posición del docente,el profesor de matemáticas se encuentra con que tiene que seguir la evolución constante del conocimiento..(Laura 05-00/8). per a què ens serveix saber mates, me’n recordo que aquesta pregunta un cop em va xocar però ara sí se per que..(Ester 0500/8). hem de saber quines son les nostres opinions sobre la matèria que ensenyarem que es reflexarà, conscient o inconscientment, a les nostres classes (Ester/05-00/8) Pel que fa al compromís i identitat professional només Ester, en tot el text, es responsabilitza de dur a terme allò que ella considera una bona manera d'actuar, Núria es compromet però no professionalment i Laura no mostra cap indicador de compromís: Es important tenir en compte que tindrem en les nostres mans el futur dels alumne....(Ester 05-00/8) ..............Com ens plantegem el programa (Ester 05-00/8) Soc conscient que una cosa es l'opinió i una altra és enfrontarse amb la realitat i aplicar-la(Núria 05-00/8) Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 311 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 l’aprendre aplicades a valorar i criticar una seqüència d’aprenentatge. Dues de les persones tenen més indicadors recollits en els tipus reflexiu, una en te alguns en el interrogatiu i l’altra en te en el conformista. La tercera persona te un perfil més clar conformista encara que amb tocs reflexius. Quan recollim les declaracions escrites de les tres persones de la mostra veiem que mostren tendències cap a una de les tres tipologies però no d’una manera totalment definida. Recollim en un quadre (veure fig. 5.4.1) valoracions referides a les tres persones en cadascun dels aspectes que eren una referència a l’hora de valorar una seqüència d’aprenentatge (numèrica o referida a una operació aritmètica), es a dir, la selecció i ordre d’aparició dels significats relatius a un concepte, els contextos adients a l’edat dels alumnes i als significats triats, la selecció de representacions, el conjunt d’algorismes incloent mentals, escrits, calculadora, estimació, l’ús de relacions i propietats de les operacions i, finalment, la organització de la seqüència fonamental. Per això establirem un barem d'1 a 3, on assignarem 1 a les posicions conformistes, 2 a les reflexives i 3 a les interrogatives. Aspectes Núria Laura Ester Significats 2 3 2 Contextos 1 1 2 Representacions 1 2 3 Algorismes 1 2 2 Relacions 2 1 3 Seqüència bàsica 1 2 2 Totals 8 11 14 Figura 5.4.1. Valoració dels aspectes considerats per definir les tipologies 312 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 En el cas dels significats, Laura distingeix els que es troben en la proposta i,a més, reclama la necessitat de que en la Primària han de donar-se situacions amb els que falten i s’ha treballat a classe. Ester i Núria distingeixen els que hi ha en la seva seqüència però no en troben a faltar cap i de fet sí que en manquen. Pel que fa als contextos en que es situen les activitats ja els sembla bé les activitats descontextualitzades, només Ester reclama la necessitat de canviar això en la proposta, però sense explicitar res més. L'ús dels materials manipulatius, que ha estat abastament exemplificada, viscuda i fonamentada a classe no ha reeixit davant d’una proposta estructurada, dues d’elles ja veuen bé que s’usi representacions dibuixades d’objectes i de materials didàctics en lloc d’exigir-ne l’ús més generalitzat i quan el demanen sembla respondre més a un reforç que no a quelcom fonamental. Globalment, pel que fa a la seqüència bàsica de la proposta, Núria només discuteix petites coses, Laura només troba a faltar més reiteració en les activitats tipus exercicis i Ester no objecta cap tros de la mateixa, això sí assenyala un tipus d’activitat important que no hi surt, l’estimació. Pel que fa als algorismes no passen d’una posició reflexiva i en el cas de l’ús de relacions i propietats les tres actituds són diferents. Resultat 5.4.2. Respecte del coneixement interpretatiu estratègic les tres persones incorporen més indicadors de l'aspecte instructiu, especialment en el curricular. En l’aspecte de l’aprenentatge en menor mesura, només trobem identificacions del disseny de l'aprenentatge. Pel que fa als processos interactius no hi ha referències. Una de les persones mostra un grau de coneixement més equilibrat en els diferents aspectes que les altres dues persones. Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 313 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Les referències que trobem respecte a l’aprenentatge de les matemàtiques són l’ús de propietats i la identificació de processos significatius en Laura: Crec important que abans d’introduir la resta portant es representin gràficament les quantitats que s’ha de restar en forma de desenes i unitats. Segons la classe de subtracció la pregunta es Quants en queden? Utilitza acció en tres temps, la situació de partida, l’acció i la situació final..... I en Núria i Ester d’anàlisi de processos: si sumes un número més et donarà el següent, això permet veure que un nombre després que l’altre no es res més que la suma del primer nombre més 1 (Núria 05-00/12) es preté amb diferents activitats que el nen estableixi relacions entre els nombres, que no els vegin com símbols aïllats.....(Núria 05-00/12) el nen s’adoni que els nombres són símbols que s’utilitzen en la vida quotidiana i llavors els relacioni amb situacions reals...(Núria 05-00/12). Caldria esmentar que les activitats que es presenten en aquests textos estan molt descontextualitzades.. hi ha tres propietats de les operacions que son molt importants per afavorir la comprensió de la suma....(Ester 05-00/12) 314 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 I també quan Núria i Laura relacionen la seqüència de continguts amb el disseny de l’aprenentatge la suma també s’utilitza per enfortir el coneixement que el nen te dels nombres(Núria 05-00/12). ..exercicis de descomposició, alguns dels quals són idèntics als que proposava el llibre de primer per descomposar la desena(05-00/12). no ha insistit que les desenes no són únicament la xifra que ocupa aquest lloc...(05-00/12). En els primers moments de la introducció de la resta no se separa l’operació abstracte de les situacions reals (Laura) L’aspecte en el que trobem més registres és el de la instrucció sobretot en la consideració dels elements curriculars. Núria considera reconeix objectius i finalitats de les activitats i quan proposa l'ús de materials el llibre preté que el nen faci el salt d’allò que està dibuixat en el llibre a allò que es simbòlic (Núria 05-00/12) la suma s’utilitza per enfortir el coneixement que te el nen sobre els nombres (Núria 05-00/12). Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 315 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 l’alumne pot representar qualsevol xifra amb bitllets de mil, cinc mil, monedes de 100,200,50, 25,o d’una pesseta (Núria 0500/12). la pràctica de les desenes es fa amb material multibase, aquests són dibuixat si són útils per que els nens distingeixin les desenes de les unitats que te una quantitat, també que es realitzin descomposicions..(Núria 05-00/12) O be identificant elements claus en la seqüència d’aprenentatge un cop introduïda la desena com el nombre que ve després del 9, es practica la descomposició del 10 en sumes en les que falta un sumant 2+..=10....(Núria 05-00/12) els nombres més conflictius que van del 10 al 16 per que el seu nom no es correspon amb el seu significat...(Núria 05-00/12) estaria bé haver fet una introducció més detallada de la segona centena en comptes de passar de la primera a mencionar-les totes (Núria o5-00/12). que tot nombre te un nombre següent que s’obté afegint una unitat (Núria 05-00/12). I Laura quan fa al·lusions al contingut 316 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 En aquest curs no es treballa la resta portant-ne per que te una gran complexitat,...(Laura) Tant Núria com Laura estableixen relacions instructives associades a diverses facetes del concepte es suposa que a partir d’aquí l’alumne ha d’establir totes les possibles relacions entre aquests nombres, que serien tota la seqüència numèrica del 100 fins al 999(Núria 05-00/12). el 99 es representa mitjançant blocs multibase....s’afegeix una unitat i es formen les deu tires de 10 que faran el cent, es important que vegi que 100 és 10 vegades 10,....diem que una centena son 100 unitats(Núria 05-00/12) el nen s’adoni que els nombres són símbols que s’usen a la vida quotidiana i els relacionin amb situacions reals.....on en moltes ocasions son codis (Núria 05-00/12) en el tema del les mesures de longitud es fa un treball aprofundit dels nombres d’una manera implícita(Núria 0500/12) en aquestes activitats on es treballa la resta trobem a faltar la subtracció comparativa, vertical i d’unió........(Laura). També es podria explicar les restes sumant la desena afegida a l’esquerra del subtrahend....(Laura). Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 317 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 En canvi en el cas d’Ester només trobem indicadors relacionats amb identifica elements claus en la seqüència de la suma que analitza Encara no ha fet suficient pràctica amb sumes d’unitats i ja s’introdueix les desenes Només es treballa la suma i ni tant sols treballa las suma com a operació inversa de la resta No hi ha pràctica de l’algorisme horitzontal de la suma (Ester 05-00/12) Núria i Laura reconeixen representacions instruccionals, la primera quan valora representacions: apareixen requadres que serveixen per diferenciar bé a quin ordre pertanyen les xifres(05-00/12). (1b)l’alumne ha de saber representar nombres amb el material multibase (05-00/12). (1b)a través de la representació en la recta pot veure la diferència entre dos nombres de manera visual (aproximadament) (05-00/12). I la segona quan imagina el que saben els alumnes Per això es plantegen problemes preoperatoris que en faciliten la comprensió(Laura) Laura també reconeix el sentit d’algunes tasques quan diu: Es convenient que el càlcul es vagi practicant de forma periòdica ja que te una bons base memorística (Laura). 318 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Pel que fa als processos interactius no trobem gairebé cap referència, només Laura quan explicita algunes estratègies per afavorir la comprensió de l’alumne: Es simbolitza gràficament els elements que es treuen per que si s’esborren es perd constància del que s’ha fet, així el nen veu el que hi havia i el que hi ha(Laura). Resultat 5.4.3. El grau d’implicació professional mostrat, essent molt baix en les tres persones, es divers. Dues d'elles mostren un cert grau d'assumpció de l'activitat professional però que no arriba a actituds gaire crítiques i la tercera persona no reflexa cap mena d'implicació professional - personal front a l’aprenentatge. En efecte, respecte del contingut professional - actitudinal, Núria fa referència l’impacte possible de les accions educatives hem vist que la quantitat de fulls dedicada als nombres a primer curs és molt més abundant que la de sisè curs (05-00/12). però aquesta seqüenciació comença a trontollar a partir de cinquè on s’abruma al nen amb moltes idees difícils de pair (0500/12). Núria i Ester busquen posicionament en el discurs pedagògic en comptes de practicar això que tant ràpidament s’ha donat a cinquè...(Núria 05-00/12). s’haurien de treballar més amb representacions gràfiques de materials manipulatius.. fins que el nen estigui en condicions de poder-ho transmetre al llenguatge escrit(Ester 05-00/12) A més Ester proposa accions efectives i realistes es podria demanar l’ús de la calculadora per tal de corregir les sumes o per agilitzar el càlcul en els problemes(Ester 0500/12). Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 319 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Núria quan explicita reflexions i s’avança a pensar en el que pot passar després a sisè en comptes de practicar això que tant ràpidament s’ha donat a cinquè...(05-00/12). a la resta de cursos hi ha una clara desaparició de contextos de material manipulatiu dibuixat (05-00/12 però aquesta comença a trontollar a partir de cinquè on s’abruma al nen amb moltes idees difícils de pair (05-00/12). explicita opinions i comentaris en la meva opinió, està bé per què primer introdueix el numero 10 com a següent del 9 i deixa que els nens paeixin això abans d’introduir la paraula desena (Núria 05-00/12) estaria be haver fet una introducció més treballada de la segona desena en comptes de..(Núria 05-00/12). Argumenta per fer judicis justificats no es fa una introducció molt especial del 20, no es posa com 19+1....el nen ha de veure que 10+10=20....opino que es una introducció molt directa (Núria 05-00/12). 5.5. Activitat 10. Sobre el valor dels dissenys instructius. Anàlisi de propostes de programació. Formant part de l'avaluació de l'assignatura, es demana als alumnes el disseny d'una sessió de classe per alumnes de primària amb tema i curs determinats. El treball és individual i cada persona del grup classe te un títol diferent. Les temàtiques tenen relació amb els continguts de Primària però toquen aspectes que no han estat treballats en detall a les sessions presencials de l'assignatura, una mostra de propostes es: 320 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Es donen instruccions respecte dels elements que ha de contenir la proposta de programació de la sessió, així com els aspectes que es valoraran: CARACTERÍSTIQUES DEL TREBALL S’ha de fer una programació per a una sessió de classe on es treballi el contingut indicat.(o una part del mateix si es considera que es massa extens per treballar-lo en una sola sessió de classe). Cal posar:-Una introducció on s’expliqui la relació d’aquesta sessió amb possibles sessions anteriors i posteriors així com la metodologia que s’utilitzaria.-La descripció de com es plantejaria la sessió als alumnes indicats i quina seria la dinàmica de la classe. -Els coneixements previs que han d’estar disponibles.(només els directament relacionats).-Els continguts que es treballen, ben detallats. -La finalitat o objectiu de la sessió(que serà molt més concret que el títol que s’ha ofert pel treball). -La /les activitat/s que es duran a terme durant la sessió, incloent el material que usaran els alumnes(fulls de treball, material didàctic,...). Sense comptar els fulls que es corresponen amb el material que es donaria als alumnes, l’extensió màxima ha de ser de 2 planes. Es tindrà en compte per l’avaluació d’aquesta proposta els següents elements:-La correcció matemàtica. -El tipus d’activitat que es proposi (potenciació del raonament,la flexibilitat,..; que no sigui simple i mecànica o poc elaborada). -La coherència entre els continguts que s’esmentin i les activitats proposades. -La dinàmica de la cesio (potenciació de la participació dels alumnes, activitats de grup, de síntesi,...). -El/els context/s triats i les representacions utilitzades.-L’ùs de recursos materials,visuals,... 1. Relació entre les desenes i els milers.Quart. 2. Estimació numèrica amb nombres de 5 o 6 xifres. Quart. 3. Relacions entre les fraccions: cas de les meitats, quarts i vuitens. Quart. 4. Comparació de fraccions menors que 1. Sisè. 5. Ùs de la recta com a representació de la suma i de la resta . Quart. 6. Meitats i dobles. Tercer. 7. Aplicar les descomposicions del 10 en dos sumands al càlcul mental . Segon. 8. Algorisme de sumar nombres de 2 xifres. Primer. 9. Ùs de la calculadora per construir taules de multiplicar. Tercer. 10. Comparar l’efecte de la suma i la multiplicació sobre els nombres. Sisè. 11. Trobar les regles que s’apliquen en sèries numèriques. Cinquè. 12. Introducció al concepte de potència. Sisè. 13. Mùltiples comuns a 2 nombres. Sisè. 14. Relacionar el sistema de numeració amb el Sistema Mètric Decimal en el cas de mesura de mases. Sisè. 15. Representació de dades utilitzant gràfiques rectangulars.Quart. 16. Estimació de mesures de longitud. Segon. 17. Usar la multiplicació per comptar.Cinquè. 18. Multiplicar dos decimals menors que 1 .Sisé. 19. Decimals per aproximar les divisions que no son exactes.Sisé. 20. Potències.Cinquè. 21. Prismes.Cinquè. 22. Triangles.Segon. 23. Percentatges com a fraccions.Sisé. 24. Simplificar fraccions.Sisé.. 25. Angles rectes.Quart. 26. Triangles rectangles.Cinquè. Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 327 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Pel que fa als aspectes que s’havien donat com a referents per avaluar la proposta i que, per tant, es preveia que els alumnes de mestre tindrien en compte al elaborar -la, veiem que no es produeixen errors matemàtics però si incompleteses i imprecisions. En el cas d’Ester no concreta quin significat de la suma està implicat en les activitats que proposa pels tallers i deslliga el sentit de la operació de l’algorisme. En el cas de Núria no te intenció de generalitzar el concepte de quadrat “potència” lligat al d’àrea d’un quadrat, només veu alguns exemples, sense tenir en compte que a sisè es pot arribar a un major grau de conceptualització. I en el cas de Laura quan presenta l’angle recte com el format per dues perpendiculars no comenta quin preveu que es el significat de perpendiculars pels alumnes de quart curs. Pel que fa als tipus d’activitats que proposen, (veure figures 5.5.10, 5.5.11 i 5.5.12) Núria es la que proposa major diversitat –conceptes, algoritmes, problemes i llenguatgei quatre de les sis son de segon nivell. Pel que fa a Ester proposa activitats d’algorismes, exercicis i de llenguatge, son de primer i segon nivell de complexitat, en el cas de Laura les tasques son simplistes lligades a conceptes i llenguatge. 328 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Figura 5.5.10. Activitats que proposa Núria Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 329 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Figura 5.5.11. Activitats que proposa Ester. Les detalla a part. Un altre aspecte valorat és la coherència entre les activitats i els continguts, tot plegat ha de correspondre’s amb la finalitat de la sessió. Hi ha dues persones, Núria i Ester, que proposen activitats que treballen bàsicament els continguts que elles mateixes han fixat, això si Ester es deixa de citar el càlcul mental i el ús de representacions amb materials manipulatius. Núria no generalitza el cas d’àrees de quadrats al cas de costats expressats amb nombres decimals, cosa que hauria de fer donada l’edat i nivell de la proposta. Laura posa un esquema relacional de conceptes que no treballa i els continguts procedimentals no es corresponen amb les activitats que proposa. Només Ester fa una proposta de gestió no dirigida, els racons simultanis sobre el mateix tema i a diferents nivells de dificultat (veure fig. 5.5.11). Núria planteja una seqüència de quatre activitats amb posades en comú intermèdies i amb prestació d’ajuts però sense concretar quines són les dificultats previsibles (veure fig. 5.5.10). 330 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Laura no estableix cap connexió entre les diverses tasques que descriu, les seves propostes son de "recordar", "explicar", "proposar mètodes", etc. (veure fig. 5.5.5). En el cas dels contextos triats per les activitats, Ester usa materials didàctics com blocs de base 10, àbacs i també transforma jocs de taula com el memory, les cartes i la loteria per usar-los en el tema que planteja. Núria només planteja l’ús d’un tauler d’escacs i una situació realista d’enrajolat amb el suport de paper quadriculat. Laura usa l’aula i el cos dels alumnes per fer recerca d’angles, també planteja una activitat amb geoplans i una amb escuradents per formar lletres de l’alfabet amb angles rectes. Globalment la proposta d’Ester és més complexa, més treballada, s’atreveix amb una situació on els alumne treballen en racons, te en compte la diversitat dels alumnes i assigna un paper d’observador al docent, atent a les dificultats i encerts dels seus alumnes i preveient la seva intervenció quan calgui. Núria planifica una sessió mes "estándar" on va proposant les tasques una a continuació de l’altra, amb un docent que "dictamina" el que està bé abans de passar a l’activitat següent. Molt preocupada pel control però sense preveure cap mena d’atenció a la diversitat. Laura presenta una proposta gens lligada, amb desigual grau de detall, molt dirigista i amb una finalitat que no està d’acord amb les activitats que proposa. Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 331 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Resultat 5.5.2. En els aspectes del coneixement interpretatiu - estratègic, els alumnes de la mostra tenen en compte aspectes relatius al disseny de l’aprenentatge, a la instrucció explicitant objectius i continguts,sense justificar –los, establint relacions instruccionals. Totes tres persones consideren elements de gestió i expliciten processos interactius. En l’aspecte professional hi ha poques referències explícites. En l’aspecte de l’aprenentatge Núria i Ester usen propietats de caire representatiu per aclarir el significació que volen del concepte que pretenen treballar: al concepte de potència la relacionaria amb sessions en les quals es treballessin les multiplicacions, però sobretot la multiplicació d’un nombre per ell mateix(Núria 06-00/9). Realització d'activitats de manipulació on es representi la idea de quadrat (Núria) observació real de la suma per poder passar a la seva representació numèrica/correspondència entre l’algorisme de la suma i les seves representacions(Ester 06-00/9). Mentre que Laura usa esquemes relacionals dels continguts de matemàtiques per situar el concepte d’angle recte 332 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 i Núria, a més, identifica moments significatius de matematització en el procés assegurant-me que distingeixen les diferents funcions que tenen la base i l’exponent, que no multipliquin la base per l’exponent(Núria 06-00/9). En el disseny de l’aprenentatge Núria i Ester identifiquen elements de regulació la mestra facilitarà que un alumne de cada grup faci un comentari sobre els resultats que ha extret.... (Núria 06-00/9). consideració de l’error com a estímul per a noves iniciatives (Ester 06-00/9).. i planifiquen de manera clara, ben al contrari que Laura. Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 333 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 En l’aspecte de la instrucció les tres persones de la mostra expliciten els objectius i els continguts, sense justificar-los, cosa que respon a la demanda explícita en l'encàrrec del treball, en canvi cap d’elles fa referències al currículum oficial ni justifiquen la majoria de decisions preses. Núria i Ester identifiquen alguns elements claus en la seqüència del contingut la distinció entre doble i quadrat (Núria 06-00/9). la sessió començarà amb una prova inicial per veure si distingeixen la idea de doble i de quadrat (Núria 06-00/9). al principi només es contempla una figura com un tot sense distingir els elements de la figura i sense establir relacions amb d’altres(Ester 06-00/10).. i Núria estableix relacions instruccionals associades a les diferents facetes de la potenciació quan detalla els continguts. Totes tres consideren elements de gestió, encara que la diferència es molta entre les referències que fan en diversos aspectes. Laura és la que menys en fa, només quan identifica el marc de referència de l’entorn el fet de que es faci servir un full quadriculat, en lloc de blanc, te la finalitat de proporcionar més precisió (Laura 06-00/9). Cosa que també fa Núria quan diu tot i que canvia el context, es pot associar al càlcul de superfícies, ja que cada quadret ocupa un centímetre (Núria 06-00/9). 334 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 La mestra eleva als alumnes a la idea de potència al quadrat i usarà com a complement una transparència (Núria) Tant Núria com Ester imaginen el que saben els alumnes no tenen molt assumit que és el quadrat d’un nombre, molts confonen quadrat i doble (Núria 06-00/9). Cal que els alumnes sàpiguen sumar amb nombres d’una i dues xifres, reconèixer u usar els signes + i =........(Ester 0600/9) I en algunes ocasions expliciten el paper de les tasques el racó.. ajuda als alumnes a treballar en grup (Ester 06-00/9). el que es vol es que sigui un aprenentatge significatiu i per tant s’han plantejat diferents activitats per a que els alumnes adquireixin diferents procediments i estratègies per sumar (Ester 06-00/9) els alumnes hauran de calcular el nombre de quadradets que te un tauler d’escacs sense comptar-los (Núria 06-00/9) es la mateixa activitat que l’anterior tot i que canvia el context, i a més, es pot associar al càlcul de superfícies (Núria 06-00/9) Però es Ester la única que te en compte de manera explícita la diversitat del grup quan diu el mestre només farà de guia donant a cada alumne l’ajuda que li sigui necessària (Ester 06-00/9). Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 335 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 hi ha racons pensats pels alumnes que presenten més dificultats amb l’algorisme de sumar (06-00/9).. participació en grup i/o individualment en diverses tasques matemàtiques (Ester 06-00/9). En l’aspecte dels processos interactius que es desitja provocar en l’aula totes tres consideren, per que era prescriptiu en el treball, els coneixements previs disponibles però cap d’elles els justifica en termes de relació conceptual. Només Ester i Laura concreten el progrés que volen provocar en els alumnes, Laura concreta el que anomena la intenció pedagògica: reconeixement de l’angle recte identificant-lo en diversos contextos: es pretén també que s’adoni de coses com que els angles rectes no depenen de la longitud dels seus costats(Laura0600/9). el que es vol es que sigui un aprenentatge significatiu(Ester0600/9) i només Ester concreta alguna estratègia per possibilitar el raonament de l’alumne haurà d’observar com juguen, manipulen, temptegen, observen, els nens a l’aula en aquests tallers per tal de saber si estant entenen i fent seus els continguts que es pretenen treballar (Ester 06-00/9). El racó del memory està pensat pels nens que presentin més dificultats.....es pretén que mitjançant el tempteig trobin la 336 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 solució....el racó del bingo...nens amb més agilitat pel càlcul mental. (Ester 06-00/9). En l’aspecte del comportament i actitud professional trobem poques referències explícites. Ester reconeix el protagonisme de l’alumnat el que es pretén es que l’alumne sigui el protagonista del seu propi aprenentatge (06-00/9). I Núria i Laura es situen en alguns moments com si anessin a fer classe de debò fer sortir a un grup de 5 voluntaris per que formin angles amb el propi cos(Laura06-00/9). La sessió començarà amb una prova inicial per veure si distingeixen la idea de doble de quadrat (Núria ) Núria, en algunes ocasions, s’avança al que pot passar assegurant-me que distingeixen les diferents funcions que tenen la base i l’exponent, que no multipliquin la base per l’exponent (Núria 06-00/9). No trobem indicadors explícits del manteniment, a l’hora de fer la programació, d’actituds crítiques i tampoc sobre el compromís i la identitat professional. Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 343 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Figura 5.6.2. Tasca 2. .En el full annex titolat ”Compartir alimentos.Sándwiches” es proposa una activitat sobre fraccions adient pel Cicle Superior. a) Quín és el significat de fracció que es pot associar a aquesta situació plantejada?. b) Observa les vinyetes a i b. En les dues situacions tenen el mateix nombre d’entrepans,3. Què pots dir de les fraccions que reben Emmy i Jake?. c) Observa les vinyetes c i d. Quantes vegades és més gran la fracció que rep Walter que la que rep Sandra?. Resol gràficament la qüestió. d) Si reunissim la gent i els entrepans de les vinyetes a i b, i tornem a plantejar-nos el repartiment dels entrepans, Quína fracció toca a cadascú. Expressa el que guanyen o perden Emmy i Jake si es fes aquesta distribució en lloc de la olantejada en el full. e) Dissenya dues vinyetes noves que permetessin plantejar fraccions equivalents als casos b i c . 344 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 La tasca 3 (veure fig. 5.6.3.) implica, com la tasca 2, integració de coneixement matemàtic i didàctic. Es planteja una situació fictícia de classe amb alumnes de Primària on s’ha iniciat un procés de transformació de paral·lelograms conservant l’àrea a partir d’una acció manipulativa. Es vol que, a partir de conèixer matemàticament les propietats implicades (igualtat d’àrea, igualtat de base i altura de les dues figures, diferència de perímetres, d’angles, simetria,...) i tenint en compte el context experimental inicial de la tasca, els alumnes de mestre elaborin una proposta d’avanç de l’activitat d’aprenentatge. Cal tenir en compte que com es descriu en l’apartat 3.7, s’ha treballat a fons els processos de transformació de polígons mantenint l’àrea en vistes a la seva aplicació a l’aula de Primària i, per tant, s’espera una resposta coherent i ben construïda en aquesta ocasió, al final del curs. Figura 5.6.3.Tasca 3 Pregunta número 3 Has fet que els teus alumnes de cinqué retallin un tros d’un romboide i l'uneixin a l'altre cantó (com es veu en el dibuix ) obtenint un rectangle: Còm faries que seguissin aquesta activitat?. Quines preguntes faries per que comparessin les dues figures?. Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 345 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 La tasca 4 (veure fig. 5.6.4.) es vol utilitzar per constatar si, en un tema treballat abastament a classe durant el curs, l’alumne de mestre es capaç d’argumentar sobre les dificultats dels alumnes de Primària per superar els obstacles donats com a exemples, i per altra banda, distingir que les dificultats proposades per argumentar no es donen simultàniament en un alumne de Primària i també que es poden "classificar" d’alguna manera (99 - 100 i 2099 - 2100 impliquen en canvi de dues xifres al temps,...). Figura 5.6.4. Tasca 4. Consideracions sobre la Trajectòria hipotètica de l’activitat. En conjunt les quatre tasques tenen en comú el paper dels significats i la conceptualització i el reconeixement de connexions entre continguts. En l'aspecte didàctic tenen en comú el reconeixement del valor de la contextualització. Globalment, es pretenia veure si l’alumnat era capaç d’integrar el contingut didàctic i el contingut matemàtic. Anàlisi retrospectiva Les respostes dels alumnes a les tasques proposades han conduïts al següent Resultat 5.6.1. Els intents de classificació de significats no són coherents segons els criteris establerts per les pròpies alumnes. En dos dels casos hi ha evidències d’intents d’incorporar tipologies treballades però no s’apliquen amb correcció, en l’altre cas es manté amb el mateix 4. Els passos següents són conflictius per alguns alumnes en diversos moments del seu aprenentatge del sistema de numeració: 29→30 , 109 → 110, 99→ 100, 199→ 200 , 2099→ 2100. Ex p lica el p er q uè. 346 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 criteri que abans de tractar el tema a l’aula, incorporant, això si, algun tipus més. En tots els casos hi ha incorporació de representacions gràfiques que en prou feines existien en el test inicial i que, en dos dels casos són més clares que els criteris expressats verbalment. Les relacions que s’estableixen entre elements matemàtics són simples. Tenen dificultat en establir relacions conceptuals a l’hora de proposar accions hipotètiques d’aula. En efecte, pel que fa a la tasca 1 les classificacions de les tres persones són ben diverses i tenen poques coincidències amb la feta per la formadora com es mostra en el quadre següent: Tipus Formador Núria Ester Laura Treure c, d, h, i, j c, d, i, j Comparar b, f, g, i b b b, h, i, c Addició complementaria d, e, j e e Afegir a,c a, f, g a, d, f, g, j Subtracció vectorial h e Figura 5.6.5. Resultats de les classificacions segons els criteris impartits al curs. Núria no classifica ( veure fig. 5.6.6), descriu les característiques de cada situació sense agrupar-les en tipologies (alienes o pròpies). Dues de les situacions que ella tria com d'afegir (f, g) proposa resoldre-les comptant, en considera algunes com de treure (c, d, h, i, j) i proposa descomptar (c) o comptar (d) segons el cas, o bé les associa a quedar (h, i, j). Es constata que, malgrat haver estudiat una tipologia més precisa (Dickson,1984), Núria conserva els criteris en funció de la relació de continguts que ella havia vist en el test inicial Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 347 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 (veure pàg.350) i vertebra la seva classificació amb els mateixos criteris que mostrava quatre mesos abans. Pel que fa als esquemes en proposa dels tipus següents: Figura 5.6.6. Resposta de Núria a la tasca 1. 348 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 En el cas d'Ester, sí que es proposa fer una classificació usant les tipologies estudiades (veure fig. 5.6.7) però distingeix treure de queden i de manera semblant a Núria identifica diverses situacions amb treure i son de comparar, de reunió o d'afegir. Sembla que no es capaç d'aplicar les criteris apresos a casos concrets més que no pas resistència al canvi de criteris. Figura 5.6.7. Respostes d' Ester a la tasca 1. Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 349 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Laura planteja una classificació (veure fig. 5.6.8) on la classe més abundant en exemples és la que anomena "problemes que es resolen sumant a la incògnita un nombre" i també una altra classe que anomena "problema normal de resta" que en realitat el que fa es situar la incògnita després del signe igual i només es mostra disposada a considerar "els problemes de comparar dues coses" i el que es "resol desglossant una part del total" com a novetats respecte del que mostrava en l'activitat de coneixements previs. No ofereix gairebé esquemes gràfics, i sempre amb l’ x com a nexe comú. Figura 5.6.8. Respostes de Laura a la tasca 1. A part d’observar els mals resultats d’aquesta tasca, pel que fa a l’aspecte de mantenir la coherència de la pròpia classificació i de considerar, de manera molt primitiva, moltes situacions de treure quan no ho eren, hem de preveure la 350 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 incapacitat de planificar una seqüència correcta de la conceptualització de la resta pels futurs (o no! ) alumnes de Primària. Aquestes tres persones, llevat de petits canvis, es mantenen en criteris en funció de relacions de contingut que ja manifestaven en el test inicial de coneixements previs. A l’inici del quadrimestre (Didàctica de les matemàtiques II) es va passar una tasca per detectar quin era el coneixement dels alumnes sobre la diferenciació de significats de la resta a partir de situacions concretes (problemes verbals): El comportament de les tres persones analitzades ha estat el següent: Laura, després d’un primer intent de classificar les situacions pel temps verbal en que es situa la pregunta: SITUACIONS DE RESTAR Problema 1. M’han regalat 67 cromos. Ara en tinc 321.Quants cromos tenia abans del regal?. Problema 2. Pago un bolígraf amb 150 pts. Si en costa 142,quants diners em tornaran?. Problema 3. Quants diners em falten per comprar un joc que costa 4.500 pts si he recollit 2.900 pts?. a) Deixant de banda les quantitats que hi intervenen i els temes que es toquen, assenyala les diferències esencials entre les situacions de restar proposades. b) Fes una representació gràfica senzilla de cadascuna de les tres situacions de restar. Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 351 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Quants cromos tenis abans del regal? Passat Quants diners em tornaran? Present Quants diners em falten..? Futur fa una proposta de classificació a partir de l’expressió en forma d’equació de cada problema verbal: 67 + x = 321 150 - 142 = x x + 2900 = 4500 diu que si plantegem les restes en forma d’equació podem veure que realment es tracta d’unes restes amb diferents punts de mira, per que la incògnita, que es resol sempre restant sempre es troba en una posició diferent a cada equació i també conclou de manera coherent amb el que ha dit anteriorment que no podem redactar cap més problema que sigui d’un tipus diferent a l’anterior per què la posició de la incògnita en cada equació ja es diferent en cada problema i ja no dona més de si. El que Laura no fa és gràfics de les situacions. Ester no anomena explícitament cap diferència només caracteritza els problemes verbals a partir de les accions que cal fer per resoldre barrejat amb les accions que descriuen el que s’ha fet 352 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 Al primer problema es fa la resta per saber la quantitat que s'ha afegit.....en el segon el sentit de la resta és el de treure d'una quantitat una altra per saber quin és el resultat... en el tercer cas es fa la resta per saber quins són els diners que falten per tal de tenir tot el diner Només representa gràficament el primer cas i ho fa seguint un model de treure o separar que no s’adiu amb el que ella mateixa proposa Figura 5.6.9. Representació gràfica del problema 1. No es capaç de proposar una situació diferent, podria ser per que no veu clara la diferència entre les situacions donades com es dedueix de la seva resposta i el gràfic que fa. Núria no classifica les situacions, les compara per parelles sense esgotar totes les possibles comparacions. En dos casos es refereix a les accions que cal fer referides a la sèrie natural sense parlar de cap algorisme (comptar, descomptar), en el tercer no concreta com es pot fer però distingeix els dos casos segons l'acció que es descriu en el problema. Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 359 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 romboide i es limita a una comprovació, Laura només pregunta el per què de la igualtat de les àrees. En el cas de Núria no s’intueix cap relació d’àrea, estableix més aviat una transformació constructiva. Laura i Ester estableixen diferències pertinents, el perímetre i els angles, tanmateix algunes de les preguntes de Laura no lliguen gaire amb el inici de l’activitat. Es a dir, no hi ha connexió conceptual, no hi ha un esquema adquirit i disponible que relacioni l’acció (retallar i unir) amb una propietat (equivalència d’àrees) i l’algorisme corresponent (fórmula de l’àrea). En el cas d’Ester es podria dir que posa el carro davant del cavall. I, finalment, en la tasca 4 les respostes són: Núria. Tenen dificultats en el pas del 9 al...0. On tenen més dificultats és en el 0. El 0 no te cap valor per ells i en canvi en el sistema de numeració és molt significatiu per que les xifres anirien de 10 en 10 multiplicativament. Tenen dificultats en el pas del 9 al 10, 19-20, 29-30,... Ester. En general són conflictius perquè han de canviar de dígit, per exemple quan comencen a comptar i arriben fins al 29 i han de passar al 30 implica una escriptura diferent per que el dos continuarà sent igual però ara en comptes de 2 ja han d'escriure el 3, per que s'afegeix una desena. Laura. Trobem un problema a l'hora d'explicar al nen que darrera del 9 ve el 10. El paper que hi juga el zero en aquest pas de un nombre al següent es fonamental............cal que els nens vegin que quan acaba una sèrie en comença una 360 Capítol 5 Set 99 Oct 99 Nov 99 Des 99 Feb 00 Mar ç 00 Abril 00 Mai g 00 altra, és a dir, darrera el nou torna a aparèixer el zero, però aquest zero val una desena, una centena o més, segons la posició que ocupa. Les tres respostes són pobres en diversos sentits. Primer no distingeixen entre els exemples ni pel moment del procés d’aprenentatge del sistema de numeració en que es presenten, ni per la complexitat del canvi d’escriptura. Tampoc esmenten causes instructives com el fet d’usar o no materials manipulatius per representar els nombres. Cal tenir en compte també que l’aprenentatge de la numeració dins del tema "Desenvolupament del sentit numèric" ha estat abastament tractat a classe. Es constata que malgrat saben que els alumnes tenen dificultats amb el zero no tenen clar les causes possibles de les dificultats en els diversos exemples que es proposen. Ho plantegen com un problema d’entendre les regles d’escriptura com si es tractés d’aplicar un algorisme. L’anterior evidencia que el contingut matemàtic que no esta ben assolit no els permet reconèixer el valor del contingut. En resum, com a resultats al final d’un curs són poc reeixits i són més pobres que els obtinguts en activitats anteriors per l’alumnat. Alguns factors que explicarien els mal resultats són, a part del nivell de coneixement disponible, el temps de la prova i el fet mateix de tractar-se d’un examen i la tensió que representa pels alumnes saber que són avaluats. Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 361 5.7. Sobre els resultats del Macrocicle 2. Explicitarem els resultats observats experimentalment en base als aspectes matemàtics (a) significació, representacions i complexitat dels conceptes matemàtics (parells i senars, doble i meitat, igual i diferent, dependència) així com i (b) la rellevància i ús de contextos, connexions i relacions conceptuals (internes i externes). I, des del punt de vista estratègic, (c) el grau i tipus d’incorporació conceptual en les propostes hipotètiques sobre la pràctica. A continuació resumirem les conclusions per a cada una de les activitats analitzades com a trajectòria hipotètica transformada. Situació 7 En aquesta activitat es mostren aspectes relacionats amb la tria de significats, representacions i connexions entre les diversos continguts implicats en la proposta de seqüenciació d’un concepte matemàtic (la centena). L’inici de les seqüències és molt més detallat i es preveu l’ús de materials manipulatius i com introduir les representacions simbòliques. Només en un cas es detalla el procés de manera que es resolen els possibles salts entre significats i es veu necessària la síntesi conceptual. Dues de les persones estableixen connexions en els dos sentits entre significats i una d’elles, a més, entre significats i representacions. Pel que fa al lligam amb els coneixements previs totes tres preveuen la revisió dels nombres de l’1 al 99 i del concepte de desena amb l’ús de materials manipulatius i representacions, per tal d’assegurar-ne la disponibilitat, dues d’elles 362 Capítol 5 preveuen introduir noves connexions durant el procés fent que els alumnes de primària utilitzin el que saben sobre la sèrie anterior a les centenes. Les tres seqüències globalment tenen un inici en el que es donen força connexions, encara que amb diversa mesura, pot ser es per la voluntat de motivar als alumnes de Primària, però més endavant es limiten a donar els segments numèrics per establir la seqüència. Des del punt de vista dels significats, especialment del cent, el comportament de les persones de la mostra es diferent, especialment en un cas on hi ha gran diferència en el nombre de significats de cent que es proposen. Els significats introduïts són majoritàriament additiusTambé hi ha gran diferència entre les representacions proposades a nivell manipulatiu, gràfic i simbòlic. Situació 8 El document demanat, pel seu procés d’elaboració i pel moment del curs en que es demana mostra, a nivell intencional, el posicionament personal sobre les raons d'ensenyar matemàtiques, el procés d'aprenentatge i l'enfoc del seu ensenyament i el paper de l mestre/a. Tant els temes centrals com els aspectes més valorats són diferents en les tres persones de la mostra. En totes tres persones es reconeixen els elements claus de les lectures: paper de les matemàtiques, procés d'ensenyament - aprenentatge i societat. L'anàlisi de la interpretació de les matemàtiques com a pràctica social ens mostra tres tipus diferents de futur mestre, coincidint amb les observacions realitzades en el treball de Miller i Baker (2001), tanmateix no apareixen clarament identificades les posicions extremes, el que fa pensar en la possibilitat d'incloure Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 363 un quart nivell (seguint les categories d'Smyth,1991) l'anomenat crític - interpretatiu. L'anàlisi de mapes conceptuals dels textos presentats ens mostra en dues de les persones processos classificatoris centrats sobre els aspectes curriculars Pel que fa al grau d'implicació apareixen tres posicions diferenciades, des de l'assumpció del paper com a mestre fins a considerar el col·lectiu d'ensenyants com si no s'hi pertanyés, passant per una implicació més com alumne que com a mestre. Des del punt de vista del desenvolupament professional en l'anàlisi del discurs no hi ha referències al valor del coneixement matemàtic per se. Els resultats pel que fa al coneixement interpretatiu-estratègic reforcen la visió implicativa i crítica d'una de les alumnes de la mostra a diferència de les altres. Pel que fa al contingut professional-actitudinal totes tres busquen un posicionament en el discurs pedagògic i mostren implicació reflexiva professional però a nivells diferents. Cal tenir en compte que l'activitat porta a considerar els elements interpretatius estratègics i els professionals-actitudinals, per tant no es estrany que els manifestin, això si a nivells molt diferents. Situació 9 El posicionament pedagògic i la integració de coneixement didàctic de l’ anàlisi d’una seqüència didàctica aliena mostra tendències ben diferents pel que fa a les seves creences sobre l'ensenyar i l'aprendre aplicades a valorar i criticar una seqüència d'aprenentatge. Dues de les persones tenen més indicadors recollits en els tipus reflexiu, una en te alguns en el interrogatiu i l'altra en te en el comformista. La tercera persona te un perfil més clar comformista encara que amb tocs reflexius. Respecte del coneixement interpretatiu estratègic les tres persones incorporen més indicadors de l'aspecte instructiu, especialment en el curricular. En l'aspecte de l'aprenentatge en menor mesura, només trobem 364 Capítol 5 identificacions del disseny de l'aprenentatge. Pel que fa als processos interactius no hi ha referències. Una de les persones mostra un grau de coneixement més equilibrat en els diferents aspectes que les altres dues persones. El grau d'implicació professional mostrat, essent molt baix en les tres persones, es divers. Dues d'elles mostren un cert grau d'assumpció de l'activitat professional però que no arriba a actituds gaire crítiques i la tercera persona no reflexa cap mena d'implicació professional-personal front a l'aprenentatge. Situació 10 El disseny d’una activitat d’aprenentatge mostra només una persona arribant a fer un mapa conceptual que inclou el coneixement disponible previ i el que es vol treballar a la situació proposada. Les altres persones no arriben a fer prou connexions entre els coneixements. totes arriben a seleccionar un significat, menys una que el que fa és una situació d’aplicació on s’exemplifiquen diferents significats (sobre el concepte de sumar) i contextos. Dues usen propietats de caire representatiu per aclarir la significació del concepte que pretenen treballar. Dues de les tres persones proposen activitats més variades respecte a les que s’havien observat a les activitats del primer macrocicle. Una d’elles encara manté activitats simplistes, lligades als elements simbòlics-formals dels conceptes i no a les relacions i connexions que esperariem de la formació. Observem dificultats en el procés de selecció de significats prioritaris, i el corresponent efecte sobre la construcció de seqüències didàctiques apropiades. Hi ha més que una simple tècnica de com s’organitza una seqüència de contingut... Pel que fa a la gestió, una planteja racons, una altra recull un encadenament lògic, i només una no estableix cap connexió entre les tasques que descriu. Totes proposen l’ús de materials no simbòlics per al reconeixement dels Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 365 processos-activitat matemàtica. Només una té en compte de manera explícita la diversitat possible de l’alumnat. Dues planifiquen de manera ben clara i identifiquen elements de regulació de l’aprenentatge. Totes tres expliciten objectius i continguts, però no justifiquen les decisins ni fan referència al curriculum oficial. Identifiquen elements de gestió com marc de referència de l’entorn, expliciten el que consideren que saben els alumnes, expliciten el paper de les tasques que desenvolupen...Totes manifesten el progrés que volen lograr en els alumnes, posicionant-se dues d’elles com a futures docents. Comparativament, respecte el posicionament manifestat anteriorment, el comportament és ben diferenciats. Dues d’elles no concreten, i la tercera mostra coherència entre posicionament i proposta didàctica intencional. Situació 11 Els intents de classificació de significats no són coherents segons els criteris establerts per les pròpies alumnes en alguns casos. Només en un cas hi ha una incorporació de significat. En tots els casos hi ha incorporació de representacions gràfiques que en prou feines existien en el test inicial i que, en dos dels casos són més clares que els criteris expressats verbalment. Les relacions que s’estableixen entre elements matemàtics són més simples del que es podia suposar. En suma, tenen dificultat en establir relacions conceptuals a l’hora de proposar accions hipotètiques d’aula. Malgrat haver introduit elements teòrics amb tipologies de respostes possibles de l’alumnat fruit de la recerca en Educació Matemàtica, no han estat incorporades més que en un dels casos. La causa pot ser l’arrelament en funció de relacions de contingut que ja es tenen a priori o bé el fet de no haver tingut prou temps per identificar i aplicar els criteris treballats, ja que caracteritzen 366 Capítol 5 problemes simplement a partir d’accions descriptives. La inconsistència de les afirmacions fetes, fa que suposem que actuarà com una barrera per a una millora epistemològica a les aules en aquest punt de resolució de problemes, i actuarà possiblement en favor d’una planificació desestructurada. Pel que fa als processos de resolució de situacions problemàtiques escolars, sembla que la persona amb més capacitat matemàtica prèvia és més capaç d’assumir criteris més definits. Sembla, per tant, que hi ha alguns aspectes del coneixement estratègic que es veuen molt més recolzats amb un coneixement propi més potent de l’activitat matemàtica. Sovint desconnecten el coneixement potser també perquè molts dels materials curriculars no insisteixen prou en aquestes connexions. Els llibres de text no s’estructuren el coneixement elaborant organitzadors i esquemes, només proposen definicions. En situacions de disseny d’activitats, la inseguretat, de ben segur, les fa arrelar-se a dissenys anteriors ja treballats. Això explica la dependència dels mestres a les propostes dels llibres de text. Tanmateix l’activitat de formació no els hi ha donat competència suficient per a ser alumnes creatives, com tampoc considerar els resultats de recerques educatives. Els treballs realitzats amb canvis representacionals i estructures de significat, no semblen haver estat suficients per a produir canvis i interpretar les corresponents preses de decisions educatives de tipus estratègic. Podriem dir que les competències curriculars han quedat en un nivell baix pel que fa a no tenir prou capacitat critica per a fer desenvolupaments justificats. Segona anàlisi del procés de formació. Macrocicle 2 367 A mode de conclusió. Tenint en compte les activitats planejades de formació, a la figura s’observa l’èmfasi donat als aspectes de contingut i la importància de les decisions per a la gestió estratègica a l’aula dels futurs ensenyants. Figura 5.7.1. Relacions de contingut i activitats tractades en el Macrocicle 2 Així, no és d’extranyar que en l’anàlisi del macrocicle 2, trobem més evidències del coneixement estratègic assolit, les mancances en les competències corresponents, i no tant dels aspectes matemàtics. 368 Capítol 5 Pel que fa a la millora en el component matemàtic del desenvolupament professional de les tres alumnes, la gràfica següent (Fig. 5.7.2.) mostra la totalitat de les assignacions donades a les diverses activitats. I es constata les diferències entre les tres alumnes, així com les dificultats especifiques en les activitats “tipus prova”. Figura 5.7.2. Evolució de la component matemàtica de les tres noies. Pel que fa a la component interpretativa-estratègica, la gràfica (Fig.5.7.3.) mostra l’evolució positiva en general així com el diferent comportament de les mateixes alumnes en cada una de les components. Figura 5.7.3. Evolució de la component interpretativa-estratègiva de les noies. Conclusions i prospectiva. 375 6.1. Validesa del treball realitzat Amb aquesta estudi, considerem que hem donat compliment al que es demana en una recerca com a criteris de descripció, explicació, abast, predicció, especificitat, falsabilitat, multiplicitat d’evidències i replicabilitat (Schoenfeld 2000). En efecte, als capítols 2 i 3, es descriu àmpliament i es justifiquen tots els elements corresponents de la fase de disseny de la recerca per desenvolupament que es fa en el nostre cas de formació. Es donen les bases teòriques del tipus de mestre que es vol, així com els continguts a considerar en la seva formació. Es concreta la proposta de formació definint els macrocicles que formen el curs, es caracteritza el treball , l’avaluació i regulació del procés de formació, s’exemplifica un segment del programa, i s’exemplifiquen trajectòries hipotètiques d’aprenentatge. El poder explicatiu del treball realitzat es posa de manifest en l’anàlisi acurada dels capítols 5 i 6, des de diversos punts de vista per reconèixer el desenvolupament professional a partir de les activitats desenvolupades. Les trajectòries hipotètiques de formació inicial (TRHIFI) es consideren bons instruments estratègics per a mostrar dit desenvolupament dins el procés de formació. El recull de dades ens sembla adient, essent suficient les activitats escrites dels alumnes per a fer una anàlisi en profunditat. No hem utilitzat videogravacions de les aules per a respondre als objectius que ens havíem plantejat, fonamentalment perquè no ens proposàvem analitzar les interaccions. El treball en equip de recerca i discussió sobre les anàlisi realitzades, ha servit d’element de triangulació, així com els diaris d’aula. Això ens permet afirmar que les observacions han estat rigoroses. Els instruments analítics específics (explicats al capítol 3 i utilitzats als capítols 4 i 5) han permès obtenir interpretacions, adients, el que mostra la intenció i abast d’un treball consistent. 376 Capítol 6 L’abast del treball realitzat sabem que és limitat. De fet, els resultats de les recerques en educació, no es poden demostrar de la mateixa manera que es fa en matemàtiques. “Reconeixem, abans de res que les perspectives de la pràctica són construccions teòriques que es desprenen de les dades empíriques, però no són monolítiques” (Simon 2000). En aquest treball, hi ha molts factors que només poden reproduir-se en contextos semblants. La replicabilitat de la recerca realitzada té sentit en quant els resultats obtinguts, considerem que seran similars, “en condicions semblants a les del nostre treball”. Per això, ha estat cabdal, mostrar les condicions, creences de la investigadora, i marc del treball. “Les explicacions funcionen com a mecanismes, ens diuen en termes raonables el que són els objectes teòrics, com són, com es relacionen i per què algunes van bé i altres no funcionen” (Schoenfeld 2000). El poder predictiu de la nostra recerca és evident com a aplicació de la metodologia emprada. Ens assegurem haver treballat amb rigor perquè hem explicitat els objectes i constructes teòrics emprats i les relacions entre ells. La pràctica és desenvolupada i analitzada amb aquests paràmetres de forma coherent i salvant la falsabilitat i multiplicitat d’evidències. Amb això hi ha la intenció de que la recerca pugui ser reproduïda. Per tal de fer una recerca en profunditat s’ha optat per analitzar alguns casos particulars sense perdre de vista el grup-classe, del qual en son força representatives les persones escollides. En el cas d’un experiment d’ensenyament a classe, el recercador desenvolupa seqüències d’activitats instruccionals que donen cos a les conjectures al voltant de l’aprenentatge dels estudiants. En aquest sentit el dissenyador anticipa una visió de cóm les activitats podrien ser dutes a terme amb interacció de la classe i el que els estudiants podrien aprendre al participar-hi, la generabilitat de la forma d’interpretar i actuar, tot preservant les característiques específiques dels casos individuals. Així, quan es triangulen les fonts evidencials de recollida de dades per mitjà d’instruments diferents, s’ajusten raonablement les inferències i Conclusions i prospectiva. 377 afirmacions, amb varietat de propòsits diferents (Cobb 2000, pàg.328) per tal d’assegurar-ne la replicabilitat, i es consideren els models com a aproximacions. El treball realitzat es distingeix d’altres estudis sobre formació docent, centrats en la perspectiva antropològica, pel fet que no s’ha analitzat els processos d’institucionalització i transposició didàctica del contingut matemàtic, com tampoc es tracta d’analitzar el que succeeix en el procés de formació segons àmbits concrets de coneixement matemàtic. S’emmarca més aviat en la línia cognitiva, perquè es vol reflexionar sobre l’impacte dels processos de formació en el desenvolupament professional de les persones. No es fa una anàlisi de tipus legitimador de la pràctica, en el sentit que no s’interpreta les justificacions i argumentacions dels estudiants pel fet que aconsegueixen tal o qual element de contingut. En el nostre estudi, hem aportat novetat en quant l’ús d’una metodologia força discutida com és la Recerca per desenvolupament. L’altre element de novetat és l’anàlisi de les dades, basada sobre el discurs, el grau de complexitat de les tasques realitzades, i l’adquisició conceptual i establiment de relacions en continguts bàsics tant matemàtics com d’ordre estratègic-didàctic. A partir d’aquesta anàlisi especifica, reconeixem elements claus del desenvolupament professional en tres casos. A diferència d’altres estudis, centrats en el paradigma del pensament del professor, el nostre treball utilitza la RD amb l’objectiu de reconèixer alguns trets del desenvolupament professional del futur mestre des de la pràctica de formació inicial. La justificació de les conclusions que es mostraran a continuació , és una combinació de troballes empíriques i consideracions teòriques. Per avançar en un model teòric de formació inicial, cal compartir el coneixement entre grups de recercadors (Hiebert et al 2003), doncs cada grup troba diverses aproximacions de la teoria local que estem construint. 378 Capítol 6 6.2. Conclusions sobre la RD i el procés de formació. La metodologia emprada, ens ha ajudat a anar responent a les preguntes que ens formulàvem: reconèixer l’organització, competències i continguts que es consideren apropiats per a la formació inicial d’ensenyants de Primària en Matemàtiques de manera que es produeixi desenvolupament professional en un marc de referència com el de l’estat espanyol (objectiu (a) pag 18). En aquest sentit la pròpia RD ens ha permès considerar simultàniament l’organització de la formació mitjançant dos sistemes d’organitzadors: (a) el conjunt de les TRHIFI (organitzades en macrocicles i microcicles, de les quals en el nostre estudi només s’ ha analitzat tres trajectòries), i (b) el conjunt de temes matemàtics, estructurats en unitats de caràcter matemàtic i didàctic transversals (que s’han considerat prioritaris per a una formació d’un docent educador matemàtic). El disseny de les trajectòries hipotètiques de formació (TRHIFI) no només representa un element metodològic de recerca, ans també una manera d’organitzar el currículum de formació. En particular descriure la significació, representacions i complexitat dels conceptes matemàtics permet reconèixer el focus de les intencions de formació, serveix com a referent per a observar progressos reals que s’analitzarà dels alumnes (confirmant el que ja deia Gravemeijer 2001). Pel que fa l’organització dels macrocicles, els eixos de desenvolupament triats (capítol 3, 3.4.), permeten centrar l’esforç del treball sobre significació, representacions i connexions d’una manera força coherent. Això ha implicat trencar els temes clàssics de caràcter matemàtic (geometria, estadística, nombres, mesura...) i fer una proposta més transversal dins les matemàtiques i el seu ensenyament com és parlar d’igual i diferent, dependència, sentit numèric, etc. Conclusions i prospectiva. 379 És important haver interpretat les competències com una fita per a la formació inicial i el desenvolupament professional, que només es pot contrastar i s’evidencia en la pràctica d’aula com a docent que pugui prendre decisions (DeSeCo, 2002). Això ens permet reconèixer els coneixements crítics( components indispensables) que configuren dites competències en els futurs mestres i , a la vegada ens permet determinar dificultats per assolir-les en un grau elevat en la formació inicial. Indicar el context en el que es desenvolupa la recerca no només és una exigència metodològica, també ens mostra les condicions en les que es dona la formació al nostre país. La sistematització que s’ha realitzat ha presentat unes condicions semblants a les d’altres recerques realitzades a l’estat espanyol a la formació inicial d’ensenyants de Primària. Sobre el procés de formació. Al llarg de la nostra recerca, ens hem proposat Identificar característiques d’un procés d’aprenentatge i instrucció professional que es considera apropiat a partir d’observar una experiència de formació matemàtica de mestres de Primària (objectiu (b), pàg. 18), i ho hem fet en el marc de la recerca per desenvolupament. Així, no només hem aplicat una metodologia de treball, ans hem redefinit elements d’una teoria per a l’anàlisi empírica de processos de formació. Hem definit trajectòries hipotètiques de formació inicial, a partir d’un perfil de mestre de primària que volem formar, com aquell que té disposició al canvi, motivació, capacitat, implicació, reflexió i professionalitat, (seguint a Shulman & Shulman 2004) i hem caracteritzat el que això significa en les nostres condicions i context. Hem caracteritzat el desenvolupament professional especialitzat com a procés d’aprenentatge constant autocontrolat i compromès en una societat canviant, que s’analitza com una construcció personal situada. 380 Capítol 6 Hem concretat els principis per una formació com a mestre generalista educador matemàtic, evocant un perfil que considera al mestre com a socioculturitzador, facilitador de l’aprenentatge, investigador, constructivista, i integrador que situa el coneixement específic. S’ ha caracteritzat les components del desenvolupament professional com a: millora epistemològica en matemàtiques, component estratègica-interpretativa-didàctica i actitudinal. S’estableixen les bases, creences i intencions d’un model de formació, interpretant les matemàtiques com un procés d’inculturació, en una comunitat de pràctica, disposat a millorar la seva formació, que ha de tenir com a focus central l’ aprendre a ensenyar matemàtiques. A partir d’aquests principis, s’han mostrat les competències professionals especifiques que es considera que ha de tenir com a educador matemàtic: tenir competència matemàtica i didàctica. Es justifica una proposta de model organitzatiu (fase 1 de disseny en la RD) i es presenta un disseny de les trajectòries hipotètiques d’aprenentatge (Trhifi) que incorporen elements de formació compatibles amb les recerques de Simon (2000) sobre els cicles de formació. Les trajectòries hipotètiques de formació ens permeten no només descriure interpretativament el que succeeix, ans identificar processos d’ensenyamentaprenentatge viscuts per l’alumnat a partir de les seves produccions. Introduir a més les anàlisi de nivells i tipus d’activitat permet identificar en quin grau es donen determinats coneixements i les dificultats per consolidar la valoració del contingut matemàtic. Sobre les apreciacions inicials dels futurs mestres. D’altra banda, preteníem mostrar i intentar caracteritzar apreciacions dels alumnes de magisteri sobre les matemàtiques i sobre la seva didàctica en dita experiència de formació contextualitzada (Objectiu (c) , pàg. 18). Així, sobre la situació inicial i context de formació (SIF), hem observat pel que fa a les condicions inicials dels alumnes de la mostra de l’estudi realitzat, respecte al treball matemàtic i gestió del coneixement constatem una situació alarmant. Fet que ha estat reconegut Conclusions i prospectiva. 381 en altres estudis, i atribuït a un pla d’estudis de formació inadequat (Carmen Morán en El Pais, 22 de juliol de 2002, citant a Martín Socas). En concret els indicis negatius de les apreciacions declarades en el nostre estudi són : SIF1) Els futurs ensenyants no tenen un coneixement complet de les matemàtiques de Primària, desconeixent significats i representacions de continguts elementals com la línia numèrica. Donen raons de coneixement matemàtic de tipus analògic, no centrades en la comprensió (no sabent indicar arguments per al pas de 49 a 50), Es desconeix la significació dels algorismes elementals de càlcul aritmètic (com el cas de la subtracció). SIF2) El paper que atorguen a la matemàtica a l’escola és de matèria difícil, que no està a l’abast de tothom. Gairebé un 50% no se sent prou segur per ensenyar-les. Curiosament només un 30% creu que la dificultat prové del docent. Pel que fa al valor que atorguen a les matemàtiques, tenen respostes contradictòries. Si bé un 90% diuen que matemàtiques no és només aplicar regles, no fan altra cosa que aplicar regles en moltes de les seves respostes al llarg del curs de formació. SIF3) Pel que fa al seu posicionament professional inicial, creuen que el que més afavoreix l’aprenentatge matemàtic és potenciar l’autoconfiança dels alumnes, i assegurar que comprenen els conceptes, deixant de banda altres components matemàtiques i estratègiques. Entre els pocs elements didàctics que declaren, valoren l’ús dels elements no simbòlics com material i jocs. 382 Capítol 6 Sobre la valoració del desenvolupament professional Ens proposàvem també identificar eines que ens serveixen per a valorar el desenvolupament professional, i quins criteris les justifiquen (Objectiu (c) , pàg. 18). . Així, a la recerca identifiquem eines conceptuals i metodològiques que ens serveixen per a valorar el desenvolupament professional i els criteris que les justifiquen. Entre elles ha estat important la classificació dels futurs ensenyants, segons les relacions que estableixen amb el coneixement matemàtic, i la intencionalitat sobre la pràctica social del seu ensenyament. Ha estat també important l’anàlisi del discurs dels estudiants, que ens dona informació sobre l’ús del coneixement matemàtic, sobre la forma de situar aspectes del coneixement i la comprensió dels processos d’aprenentatge, instrucció i interacció. Així mateix sobre el posicionament sobre l’aprenentatge. I, en particular, l’anàlisi del tipus i grau de la complexitat de l’activitat matemàtica, ja que ens permet reconèixer com cada estudiant incorpora diverses formes de treballar el coneixement matemàtic. Finalment, l’anàlisi de l’adquisició i valoració dels processos cognitius que apareixen en les construccions conceptuals, per mitjà de l’ús de atribucions, significats, exemples i contraexemples, connexions, jerarquies i representacions en situacions aritmètiques. L’ús de mapes conceptuals elaborats sobre les produccions, també ha estat important per reconèixer les connexions i classificar el tipus de relacions conceptuals que establien. Ha estat important comprovar quins tipus de tasques han estat “ detectores” de desenvolupament professional. Principalment han estat les activitats de caràcter didàctic. En elles, l’ alumnat ha de posar en joc la seva capacitat crítica en l’ elecció dels elements matemàtics lligats a l’ aprenentatge i a la instrucció i el valor que concedeix al contingut matemàtic. Conclusions i prospectiva. 383 Els tipus d’ activitats que han resultat més riques en el sentit de proporcionar “bona “ informació sobre el desenvolupament professional en els aspectes relatius a la component matemàtica i a l’ estratègica -didàctica han estat. - Disseny d’ activitats d’ avaluació ( veure 4.6., pàg. 222) , amb condicions específiques com ara la concreció d’ objectius a avaluar, les solucions possibles a les activitats, valoració de les solucions i priorització dels elements essencials en cas d’ errors. - Construcció de seqüències d’ aprenentatge ( veure 5.2. pàg. 269), curtes i amb condicions ben definides, on calgui establir el rang de la demanda cognitiva, havent de seleccionar significats i les representacions corresponents i la seva jerarquització . - Documents de posicionament que impliquin confrontació ( veure 5.3, pàg. 280), amb qüestionari guiat i concreció de la demanda. - Disseny de tasques matemàticament significatives ( veure 5.5., pàg. 321), en propostes didàctiques integradores de contingut professional. Creiem a partir de l’ estudi realitzat, que per evidenciar el desenvolupament professional i obtenir informació valuosa,cal posar al futur mestre en situacions prou pautades i amb demandes específiques. És especialment aconsellable demanar la justificació de les decisions preses. 384 Capítol 6 6.3. Sobre els aspectes matemàtics del desenvolupament professional. Conclusions sobre l’anàlisi retrospectiva . Ens proposàvem Identificar aspectes que mostren el creixement i canvi del coneixement professional d’un grup de tres estudiants. I específicament pel que fa l’establiment de connexions, reconeixement de significats aritmètics i llurs representacions ( objectiu 1.4., pàg18). Interpretem el creixement i canvi com a coneixement en acció, demostrat en les produccions textuals dels estudiants en quant la presentació d’idees reflexa la seva representació sota analogies, il·lustracions, exemples, explicacions i demostracions (Shulman, 1986, p. 9). No només hem considerat els problemes matemàtics, sinó també les activitats professionals. A les nostres propostes professionals s’ha aconseguit interpretar el contingut matemàtic com a objecte d’ensenyament-aprenentatge bàsicament en les activitats de disseny, selecció i anàlisi de tasques matemàticament significatives (per exemple quan els futurs mestres saben establir rangs de demanda cognitiva diferents en activitats d’ensenyament), En la RD, la informació obtinguda a partir de la revisió i anàlisi retrospectiu de les activitats instruccionals anteriorment citades ens serveix per a explicar, avaluar, ajustar i expandir una teoria de la formació inicial. Les Trhifi que s’han analitzat en l’estudi detallat amb tres alumnes, ens permet una reconstrucció de la trajectòria d’aprenentatge, que depèn de la significació personal que les persones atorguen al treball realitzat. L’anàlisi del discurs ha permès identificar d’entitats i desvetllar diferencies (en el cas de nombre parell, doble i meitat i múltiples); significacions lligades a conceptes numèrics i operacions (sistema de numeració decimal, addició i subtracció); estructures més globals (valor de la igualtat i l’ equivalència), així com el nivell d’ús de representacions múltiples associades a continguts matemàtics i el grau de Conclusions i prospectiva. 391 6.5. Sobre els aspectes actitudinals del desenvolupament professional. Conclusions sobre l’anàlisi retrospectiva. Davant el propòsit de mostrar possibles canvis (l’objectiu (d) de la recerca ), com a component actitudinal del desenvolupament professional (DPA) s’ha realitzat una proposta de formació. De tots els aspectes possibles de la component, només s’ha analitzat les apreciacions / concepcions i l' assumpció crítica reflexiva de l' activitat professional com a intencional. De l’estudi realitzat amb tot un grup classe al que s’ha aplicat aquesta proposta, i l’anàlisi detallada amb tres alumnes sobre l’assumpció de l’activitat professional compromís i identitat professional podem concloure que: DPA1) Pel que fa a la relació de les concepcions de les matemàtiques, l’ensenyament de les mateixes i el coneixement de l’aprenentatge dels alumnes, mostren apreciacions majoritàries de tipus connexionista (com ja esmentava l’estudi de Rowland i al. 2000). Dues de les tres futures mestres creuen que tots els infants aprenen matemàtiques si es dona un ensenyament adient , caracteritzat per explicitar les connexions entre els diversos aspectes de les matemàtiques. El que hem observat com a diferent d' aquell estudi es que l’evolució d’aquesta apreciació és molt petita . DPA2) Notem una major flexibilitat cap al reconeixement d’un major nombre de significats de nocions aritmètiques (igual-diferent, doble i meitat, etc). La implicació és desigual, no hi ha hagut temps suficient per desmuntar una idea clàssica sobre les definicions i les visions prototípiques de les mateixes. 392 Capítol 6 DPA3) No sembla, que s’aconsegueixi estimular la reflexió coherent sobre les connexions entre conceptes, el conjunt de situacions que donen sentit als conceptes matemàtics, el conjunt d’invariants operacionals (en el sentit de Vergnaud) per a dotar de significat dites situacions, el conjunt de representacions i les intencions educatives mostrades. DA4) Tanmateix constatem (tot i que a partir de la quarta activitat) que el disseny d’algunes activitats forcen naturalment a l’establiment de connexions i ús de contextos explícitament, sobre tot en la formulació de proves. Així, a l’activitat 5, cap al final del primer semestre poden veure’s més clarament el grau i tipus diferent de connexió mostrat per les alumnes observades. Pel que fa a la incorporació conceptual a les propostes hipotètiques sobre la pràctica, reconeixem un procés de reelaboració inacabat , no complet com voldríem. Ensenyar ,considerat com a procés que inclou tres fases pre-activa (planificació), interactiva (acció) i post-activa (revisió), implica la formació en les tres fases. Serà que els futurs docents poden mostrar-nos aquestes concepcions i assumir competències en una situació només planificada i no realitzada?. Sembla que aquesta és una component de contingència (Rowland et al, 2003) en la que es demana que el futur mestre ha de reconèixer el que s' espera que passi en els esdeveniments de classe que son impossibles de planificar. Com s' aprèn això?. Sembla que no n' hi ha prou amb simulacions i que cal introduir experiències de pràctica d' aula, on es pugui contrastar aquest element de desenvolupament professional. Pel que fa al desenvolupament professional, les competències com a educador matemàtic (veure pàgs.79-80), no s' assoleixen en un nivell suficient en l’estudi experimental realitzat. Conclusions i prospectiva. 393 Pel que fa al pensar matemàticament, ja hem indicat l' abast i limitacions del coneixement conceptual i procedimental dels futurs mestres. Les generalitzacions es redueixen , en el cas òptim, a la comprovació argumentada mitjançant uns quants exemples. Pel que fa a formular problemes, s' obtenen propostes molt simples semblants a les dels infants. Els costa establir relacions entre els conceptes implicats en el problema. Malgrat haver treballat sobre les possibles estratègies de resolució de problemes,apliquen les tècniques conegudes a priori , no usen representacions gràfiques i tenen greus dificultats en resoldre de més d' una manera. Els futurs mestres no són capaços d' analitzar i construir models matemàtics, com tampoc segueixen raonaments matemàtics aliens, no reconeixen el valor matemàtic dels contraexemples. Es queden , normalment, en raonaments informals . Pel que fa a maneig de diverses representacions , llenguatge simbòlic, comunicació i eines matemàtiques ens remetem al que s' explica específicament en l' apartat 6.3. Un cas especialment rellevant és el de la representació de problemes amb fraccions. Pel que fa les competències didàctiques, es veuen desafavorides les competències en avaluació i no s' han donat competències col·laboratives , ni d’implicació per que no hi ha hagut activitat pràctica professional. Pel que fa a les competències curriculars, d' ensenyar i d' aprenentatge (veure 6.4.), malgrat la proposta d' activitats en aquesta línia , els resultats aconseguits són inferiors al que seria desitjable per un professional. Ha quedat clar que l' assignació temporal en el pla d' estudis és insuficient per aconseguir el desenvolupament de les necessàries competències professionals. No s' ha pogut veure propostes curriculars diferents, valorar i justificar activitats d’aprenentatge en tots els temes matemàtics, analitzar actituds i creences respecte 394 Capítol 6 de les matemàtiques (dels seus futurs alumnes), analitzar el desenvolupament individual dels infants .No n' hi ha prou en oferir fer un “menú de degustació” per assolir les competències didàctiques. Ens trobem en una situació en la que, per una banda, necessitem donar als estudiants prou oportunitats de pensar lliure i creativament. Això ho fem per que sabem que és beneficiós pels estudiants “inventar” les seves solucions. Las tasques que tenen elements més concrets o lúdics poden implicar als estudiants en el seu propi aprenentatge, els estudiants treballen al seu nivell. Per altra banda, els estudiants necessiten ser guiats amb tota cura, el seu raonament necessita ser formalitzat i les seves nocions han d’esdevenir més abstractes i generals. Haurien d’estructurar i fer créixer el seu nivell ( emergència de models matemàtics, abstracció, generalització, i formalització). Però la major part de la guia prové del formador, aleshores quanta més autonomia vulguem dels alumnes, més haurem d’invertir en planificació. Seguint un plantejament dicotòmic, diversos autors ja havien parlat de dues grans concepcions del professor de matemàtiques : l’absolutista, creant entorns centrats en el docent i la constructivista, en la que es permet que els estudiants explorin (Golafshani 2004). Aquesta visió no s’allunya del que havia plantejat Lerman (2002) parlant d’un docent reformista o tradicional, o bé la visió de Wilson i Cooney (2002) identificant una visió relativista basada en valorar la comprensió de l’estudiant i la no relativista. Ara bé, el treball de formació inicial no ens permet fer una assignació basada sobre la pràctica, però potser si que ens ha permès caracteritzar tendències cap a una o altra de dites concepcions. En base a això, al nostre treball, hem pogut observar un continu que es manifesta de formes diferents en situacions diferents : Conclusions i prospectiva. 395 DPA5) Pel que fa a un nivell intencional sobre la pràctica, apareixen tres tipus d’estudiant de mestre, sense ocupar posicions extremes. Conformistes amb alguns indicadors de posició més reflexiva, reflexius i interrogatius amb elements del tipus críticinterpretatiu. Es reconeix la visió implicativa i crítica d’una de les alumnes de la mostra a diferència de les altres. Sembla que totes busquen un posicionament en el discurs pedagògic i mostren cert grau d’implicació reflexiva professional però a nivells diferents. DPA6) Els estudiants i les seves pràctiques (pel que fa a la visió de les matemàtiques com a pràctica social) sovint es mantenen autònoms (en el sentit de deslligats de cap consideració social de l’aprenentatge) tant pel que fa a les matemàtiques com en les pràctiques pedagògiques. Al nostre treball, per exemple, només una persona ha sabut integrar continguts estratègics de lectures proposades. També, davant d’una seqüència d’aprenentatge que havien de valorar, es mostraven molt conformistes amb la proposta, no posant-la en qüestió des del punt de vista de la construcció matemàtica. A la proposta posterior d’una unitat didàctica, només una (la mateixa persona que abans) feia evident que pensava considerar aquests aspectes. Pel que fa al grau d’implicació apareixen tres posicions diferenciades, des de l’assumpció dels paper com a mestre fins a considerar el col·lectiu com a extern, sentint–se encara més alumne que mestre. Hi ha poca coherència entre posicionament declarat a nivell intencional sobre l’educació matemàtica i les propostes didàctiques concretes que elaboren. No sembla estar relacionat amb el fet de saber més matemàtiques. 396 Capítol 6 DPA7) Sobre tot en les activitats del segon macrocicle, els estudiants “reflexius” continuen pensant que l’aprenentatge depèn del docent. Molts cops intenten motivar amb un vernís de coneixement matemàtic de cada dia, activitats familiars i fenòmens corrents. Pensen provocar una millora , que resultaria ser només marginal, en l’accés dels nens a les matemàtiques. Per exemple, fan ús de materials didàctics només de forma motivadora. Expressen necessitar més formació de matemàtiques i pedagògica (maneres diverses d’ensenyar). Trobem en una de les alumnes, indicis de posició interrogativa. Com ja es deia a la Ponència al Senat l’any 2000, podríem caure en l’errada de pensar que, ampliant i detallant els continguts a impartir en un programa de formació inicial de professors de Matemàtiques, ja hem resolt el problema. Aquesta recerca mostra de nou que cal donar respostes al ‘cóm’. Ara bé, la forma que pot adoptar el procés d’accés i generació d’aquest coneixement necessari per a l‘ensenyament, des de la perspectiva de que pugui fonamentar una determinada pràctica, és molt més complex. Al nostre treball hem observat que diferents futurs mestres tenen percepcions, posicionaments i interpretacions diferents pel que fa als aspectes pràctics professionals. Hem de ser conscients d' aquests fets perquè no podem pensar en la formació com una acció controladora. En efecte , els futurs mestres pertanyen a formes de pensar diferents dels quals alguns s' apropien de principis constructivistes, reflexius i crítics des d' una perspectiva general. El programa de formació no unifica, ja que es creen la seva forma particular d' interpretar el coneixement i el propi valor de les matemàtiques, i el seu ensenyament - aprenentatge. [Document text truncated for crawler view.]