Problemas de Electromagnetismo

Problemas de Electromagnetismo Jaime E. Villate Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Portugal Marc¸o de 2005 Problemas de Electromagnetismo 2 1 Carga e campo el´ ectrico 1. Quando uma lˆ amina de acetato, electrizada por fricc¸˜ ao, se aproxima a 1 cm de pequenos pedac¸os de papel sobre uma mesa, estes ascendem colando-se ao acetato. Cada pedac¸o de papel ´ e aproximadamente um quadrado com 0,5 cm de lado, cortados de uma folha de papel de 80 g/m2. Fac¸a uma estimativa da ordem de grandeza da carga do acetato, admitindo que uma carga idˆ entica e de sinal oposto ´ e induzida em cada pedac¸o de papel. 2. Duas cargas q1eq2tˆ em a carga total q1+q2=10 µC. Quando est˜ ao a uma distˆ ancia de 3 m, o m´ odulo da forc¸a exercida por uma das cargas sobre a outra ´ e igual a 24 mN. Calcule q1eq2, se:(a) Ambas forem positivas. (b) Uma for positiva e a outra for negativa. 3. O campo el´ ectrico na atmosfera terrestre ´ e da ordem dos 150 N/C e ´ e dirigido para o centro da Terra. Calcule a relac¸˜ ao entre o peso de um electr˜ aoeom´ odulo da forc¸a el´ ectrica oposta exercida pelo campo el´ ectrico da atmosfera (a massa do electr˜ ao ´ e 9,11·10−31 kg, e a acelerac¸˜ ao da gravidade, em Portugal, ´ e 9,80 m/s2). 4. Trˆ es cargas pontuais est˜ ao ligadas por dois fios isolantes de 2,65 cm cada um (ver figura). Calcule a tens˜ ao em cada fio. 3,2 nC 5,1 nC 7,4 nC 5. Um sistema de trˆ es cargas pontuais est´ a em equil´ ıbrio (a forc¸a electrost´ atica sobre cada carga ´ e zero). Sabendo que duas das cargas s˜ ao qe 2q, separadas por uma distˆ ancia d, calcule o valor e a posic¸˜ ao da terceira carga. 6. Calcule a forc¸a el´ ectrica que actua sobre cada uma das cargas representadas na figura e o campo el´ ectrico no ponto P. 1cm 1cm −5 nC 9nC 7nC 1cm √3 cm P 7. Um n´ ucleo de h´ elio (tamb´ em chamado part´ ıcula alfa)´ e formado por dois prot˜ oes e dois neutr˜ oes. A forc¸a electrost´ atica entre os prot˜ oes ´ e repulsiva e muito forte, pois a distˆ ancia entre eles ´ e muito pequena (aproximadamente 10−15 m). A estabilidade do n´ ucleo ´ e devida ` a existˆ encia de uma outra forc¸a entre prot˜ oes e neutr˜ oes, chamada forc¸a forte. Para ter uma ideia da ordem de grandeza da forc¸a forte, calcule a forc¸a electrost´ atica entre os dois prot˜ oes no n´ ucleo de h´ elio. Problemas de Electromagnetismo 3 8. Na figura representam-se algumas linhas de campo el´ ectrico de um sistema de duas part´ ıculas com carga. O ponto P encontra-se a 4 cm da carga q1e a 3 cm da carga q2. (a) Qual ´ e o sinal das cargas? (b) Qual ´ e a relac¸˜ ao (q1/q2) entre elas? (c) Complete o desenho das linhas de campo. (d) Se q2=−4,5 nC, calcule a forc¸a entre as duas cargas. P 9. (a) Se uma bola de sab˜ ao for carregada electricamente, o seu diˆ ametro vai aumentar, diminuir ou permanecer igual? (b) Se colocarmos a bola de sab˜ ao num campo el´ ectrico uniforme, o que acontece com a sua forma? Respostas 1. 0,5 nC 2. (a) 6 µC, e 4 µC (b) 12 µC, e −2µC 3. A forc¸a electrost´ atica ´ e 2,7·1012 vezes maior que o peso 4. A tens˜ ao no fio do lado esquerdo ´ e 285 µN e no fio do lado direito 560 µN. 5. A terceira carga ´ e−0,343q, e encontra-se entre as outras duas cargas, a uma distˆ ancia 0,414d da carga q 6. Com origem na carga q1=−5 nC, eixo dos xna direcc¸˜ ao de q2=9 nC, e eixo dos yna direcc¸˜ ao de q3=7 nC, as forc¸as e o campo s˜ ao ~ F1= (1,35~ i+3,15~ j)mN, ~ F2= (−0,12~ i−0,71~ j)mN, ~ F3= (−1,23~ i−2,44~ j)mN, ~ EP= (−0,545~ i−0,135~ j)N/µC 7. 230,4 N 8. (a) Negativo (b)q1/q2=16/9 (d) 66 µN 9. (a) Aumenta, devido ` a repuls˜ ao electrost´ atica entre as cargas na superf´ ıcie. (b) O campo induz cargas positivas e negativas na bola; as forc¸as sobre essas cargas deformam a bola, tornando-a num elips´ oide com o eixo maior na direcc¸˜ ao do campo. Problemas de Electromagnetismo 4 2 Condutores e isoladores. Lei de Gauss 1. Uma moeda de cobre tem massa igual a 3 g. Admitindo que exista um electr˜ ao livre por cada ´ atomo, calcule o n´ umero de electr˜ oes livres na moeda (a massa at´ omica do cobre ´ e 63,5 unidades, e o n´ umero de Avogadro ´ e igual a 6,02·1023). 2. Duas esferas met´ alicas idˆ enticas, com raio 6 mm e massa 7,3 g, encontram-se penduradas do mesmo ponto, por meio de dois fios de 9 cm de comprimento. As esferas est˜ ao submersas em ´ oleo e tˆ em cargas el´ ectricas iguais, que fazem com que os dois fios formem um ˆ angulo de 40◦ entre si. Sabendo que a constante diel´ ectrica do ´ oleo ´ e 2,2 e a sua massa vol´ umica ´ e 0,9 g/cm3, calcule o valor das cargas. 40° 3. Uma carga pontual q=2µC encontra-se na origem. Uma superf´ ıcie esf´ erica de 3 m de raio tem centro no eixo dos xx, em x=5 m. (a) Desenhe as linhas de campo da carga qe a esfera. Alguma linha de campo atravessa a esfera? (b) Contando as linhas que entram como positivas e as linhas que saem negativas, qual ´ e o numero total de linhas que atravessam a esfera? (c) Calcule o fluxo el´ ectrico atrav´ es da esfera. 4. Uma carga pontual de 5 nC encontra-se a 6 cm de um fio rectil´ ıneo muito comprido, com carga linear constante e igual a 7 nC/cm. Calcule a forc¸a electrost´ atica sobre o fio. 5. Uma part´ ıcula pontual com massa igual a 25 g e carga de 50 nC encontra-se pendurada de um fio de 7 cm que est´ a colado a um plano vertical. O plano vertical tem uma carga superficial constante σ=17 nC/cm2e pode ser considerado infinito. Calcule o ˆ angulo θque o fio faz com o plano vertical. θ σ 7 cm 6. Uma esfera de raio Rtem uma carga el´ ectrica Qdistribuida uniformemente dentro do seu volume. Usando a lei de Gauss, calcule o m´ odulo do campo el´ ectrico num ponto a uma distˆ ancia rdo centro da esfera. Considere os dois casos, r≥Rer<R. Problemas de Electromagnetismo 5 Respostas 1. 2,84·1022 2. 146 nC 3. (a) Algumas linhas atravessam a esfera. (b) 0. (c) 0 4. 1,05 mN 5. 62,97◦ 6. Se r≥R,E=kQ r2. Se r<R,E=kQ R3r Problemas de Electromagnetismo 6 3 Potencial e equil´ ıbrio electrost´ atico 1. Quando um electr˜ ao ´ e acelerado, a partir do repouso, atrav´ es de uma diferenc¸a de potencial de 220 V, fica com uma energia cin´ etica de 220 eV. Calcule a velocidade final do electr˜ ao. 2. Num tubo de raios X os electr˜ oes s˜ ao acelerados por meio de um campo el´ ectrico. Os electr˜ oes s˜ ao libertados do repouso, deslocam-se no v´ acuo atrav´ es de uma regi˜ ao onde existe uma diferenc¸a de potencial de 4 kV, e chocam com um alvo emitindo radiac¸˜ ao X. (a) Calcule a energia e a velocidade com que chocam os electr˜ oes no alvo. (b) Se a variac¸˜ ao de potencial se estender por uma distˆ ancia de 8 dm, calcule o campo el´ ectrico m´ edio. 3. O potencial el´ ectrico a uma certa distˆ ancia de uma carga pontual ´ e 600 V (arbitrando potencial nulo no infinito) e o campo el´ ectrico ´ e 200 N/C. Calcule a distˆ ancia e o valor da carga. 4. Desenhe as linhas de campo el´ ectrico e as superf´ ıcies equipotenciais nas proximidades e nos pontos afastados do condutor representado na figura, admitindo que este tem uma carga q. 5. Duas superf´ ıcies condutoras esf´ ericas e concˆ entricas tˆ em raios de 5 cm e 7 cm. A superf´ ıcie menor tem uma carga total de 3 nC e a carga total na superf´ ıcie maior ´ e de −2 nC. Qual ´ e a diferenc¸a de potencial entre as duas superf´ ıcies? 6. A figura representa as linhas de campo electrost´ atico de duas part´ ıculas carregadas e separadas por uma distˆ ancia de 7 cm. (a) Calcule a distˆ ancia do ponto P ` as part´ ıculas. (b) Sabendo que a carga da part´ ıcula no lado direito ´ e de −8 nC, calcule o potencial no ponto P (arbitre V=0 no infinito). P Problemas de Electromagnetismo 7 7. Nos trˆ es desenhos que se seguem, representam-se as superf´ ıcies equipotenciais de trˆ es sistemas de duas cargas pontuais q1eq2. Em todos os casos q1=3 nC, e a distˆ ancia entre as duas cargas ´ e 6 cm. Nos desenhos (a)e(b) a distˆ ancia entre o ponto P e a carga q1´ e igual a 2 cm. Calcule q2nos trˆ es casos. (a) P (b) P (c) 8. A figura mostra as superf´ ıcies equipotenciais de uma carga pontual no interior de um campo el´ ectrico uniforme ~ Eext. A grandes distˆ ancias da carga pontual as superf´ ıcies s˜ ao planos paralelos distanciados 8 cm. (a) Calcule o m´ odulo e a direcc¸˜ ao do campo externo ~ Eext. (b) Diga se a carga pontual ´ e positiva ou negativa. Justifique. (c) Qual ´ e a direcc¸˜ ao da forc¸a sobre a carga pontual? (d) Sabendo que a distˆ ancia entre a carga pontual e o ponto P ´ e 9 cm, calcule o valor da carga pontual. P 15V 30V 45V 60V 75V 90V 8cm Respostas 1. 8,80·106m/s 2. (a)E=6,4·10−16 J, v=37,5 Mm/s (b) 5 kV/m 3. 3 m, 200 nC 5. 154,3 V 6. (a) 4,2 cm e 2,8 cm (b)−2858,56 V 7. (a) 12 nC (b)−48 nC (c)−3 nC 8. (a) 187,5 V/m, para baixo (b) negativa (c) para cima (d)−0,169 nC Problemas de Electromagnetismo 8 4 Capacidade. Forc¸a electromotriz. Corrente 1. Calcule o raio que dever´ a ter uma esfera condutora com uma capacidade de um farad. 2. (a) Qual ´ e a carga superficial m´ axima (σmax) que pode existir na superf´ ıcie de um condutor isolado, rodeado por ar, sem se produzir uma descarga el´ ectrica? (b) Qual ´ e o raio m´ ınimo (rmin) de uma esfera met´ alica para que possa estar ao potencial de 106V sem se descarregar? (c) Calcule o potencial m´ aximo que pode alcanc¸ar uma esfera met´ alica de raio 1 cm. 3. Uma bateria de autom´ ovel tem uma carga de 50 Ah. Calcule a massa total de ´ acido sulf´ urico que reage no electr´ olito, e a massa de sulfato de chumbo acumulado nos el´ ectrodos, ap´ os a bateria descarregar, ficando com 70 % da carga m´ axima. 4. Uma bateria de autom´ ovel tem escrito o valor 250 Ah, que corresponde ` a carga dispon´ ıvel quando a bateria est´ a carregada a 100%. (a) Depois de algum uso, a bateria descarrega-se at´ e 60%. A que carga corresponde este valor no sistema internacional de unidades? (b) Para recarreg´ a-la, a bateria foi ligada a um carregador de 12 V. Inicialmente a corrente no carregador foi 7 A, e ao fim de 6 horas diminuiu at´ e 3 A. Admitindo que a corrente diminuiu linearmente, com que percentagem da sua carga m´ axima fica a bateria no fim das 6 horas? 5. Um disco de 18 cm de raio roda a 33 rotac¸˜ oes por minuto num gira-discos. A superf´ ıcie do disco tem uma carga superficial constante igual a 0,82 nC/cm2. Calcule a corrente el´ ectrica associada ` a rotac¸˜ ao do disco. 6. Uma calculadora pode funcionar com um adaptador que fornece 40 mA, a 3 V, ou com duas pilhas AA cada uma com 1,5 V e uma capacidade de 8 A h. Admitindo que a calculadora utiliza a mesma potˆ encia quando funciona a pilhas ou com o adaptador, por quanto tempo poder´ a funcionar antes de ser preciso mudar as pilhas? 7. Numa casa, o fus´ ıvel do fog˜ ao el´ ectrico na caixa de fus´ ıveis ´ e de 30 A. Qual ser´ a a potˆ encia m´ axima que poder´ a ter o fog˜ ao? (admita 230 V para a rede el´ ectrica caseira). 8. A corrente num cabo varia de acordo com a relac¸˜ ao I=20+3t2, onde Imede-se em ampere e tem segundos. (a) Que carga transporta o cabo desde t=0 at´ et=10 s? (b) Qual ´ e o valor da corrente constante que transporta a mesma quantidade de carga no mesmo intervalo de tempo? Respostas 1. 8,99·109m (aproximadamente 1400 vezes o raio da Terra!) 2. (a) 2,6 nC/cm2(b) 1/3 m (c) 30 kV 3. 54,9 g de ´ acido sulf´ urico e 169,7 g de sulfato de chumbo 4. (a) 5,4·105C (b) 72 % 5. 0,459 µA 6. 200 horas 7. 6,9 kW 8. (a) 1200 C. (b) 120 A Problemas de Electromagnetismo 9 5 Resistˆ encia 1. A temperatura num dado momento ´ e 12◦C. Quanto deve aumentar a temperatura para que a resistˆ encia de um fio de cobre aumente 10 %? 2. Um fio condutor de 1 m de comprimento tem uma resistˆ encia de 0,3 Ω. O fio ´ e esticado at´ e o seu comprimento ser 2 m. Qual ´ e a nova resistˆ encia? 3. A diferenc¸a de potencial entre os terminais de uma bateria ´ e 3 V quando a bateria ´ e percorrida por uma corrente de 4 A, no sentido do terminal negativo para o positivo. Quando a corrente ´ e de 2 A, no sentido oposto, a diferenc¸a de potencial aumenta at´ e 12 V. (a) Calcule a resistˆ encia interna da bateria. (b) Qual ´ e a fem da bateria? 4. A resistˆ encia de uma lˆ ampada incandescente de 60 W e 230 V, ` a temperatura ambiente de 20◦C, ´ eR=65 Ω. No entanto, as especificac¸˜ oes do fabricante (60 W e 230 V) conduzem a um valor muito mais elevado da resistˆ encia. Justifique, calculando a temperatura do filamento de tungst´ enio quando a lˆ ampada se encontra acesa. 5. Um fio condutor de cobre de 1,29 mm de diˆ ametro e isolamento de borracha pode suportar, com seguranc¸a, uma corrente m´ axima de 6 A. (a) Qual ´ e a diferenc¸a de potencial que pode ser aplicada a 40 m deste fio? (b) Calcule o campo el´ ectrico no fio atravessado por uma corrente de 6 A. (c) Calcule a potˆ encia dissipada no fio quando conduz uma corrente de 6 A. 6. Um fio de n´ ıquel-cromo de 1,8 mm de diˆ ametro vai ser usado para construir uma caldeira de ´ agua que produza 8 g de vapor de ´ agua por segundo. A fonte de alimentac¸˜ ao a ser usada fornece tens˜ ao cont´ ınua de 220 V. Calcule o comprimento que deve ter o fio. (O calor de evaporac¸˜ ao da ´ agua ´ e de 2257,2 J/g.) 7. Para uma dada bateria, com fem εe resistˆ encia interna r, qual ´ e o valor da resistˆ encia externa Rque deve ser ligada aos terminais para que a potˆ encia dissipada em calor na resistˆ encia R seja m´ axima? Esboce o gr´ afico da potˆ encia dissipada em func¸˜ ao de R. Respostas 1. 24,8◦C 2. 1,2 Ω 3. (a) 1,5Ω(b)9V 4. 2812◦C 5. (a) 3,12 V. (b)E=7,8·10−2V/m. (c) 18,7 W 6. 6,6 m 7. R=r Problemas de Electromagnetismo 16 9 Induc¸˜ ao electromagn´ etica 1. Indique o sentido da corrente induzida no circuito da direita, quando a resistˆ encia no circuito da esquerda ´ e, subitamente: (a) Aumentada. (b) Reduzida. R1 R2 ε 2. Um ´ ıman desloca-se a velocidade constante sobre o eixo de uma espira, como mostra a figura. S N v (a) Fac¸a um esquema qualitativo do fluxo magn´ etico Φatrav´ es da espira em func¸˜ ao do tempo t. Indique o instante t1em que o ´ ıman est´ a a meio da travessia da espira. (b) Desenhe o gr´ afico da corrente Ina espira em func¸˜ ao do tempo. 3. Uma barra met´ alica de comprimento l=9 cm desloca-se com velocidade uniforme v=18 cm/s, dentro de um campo magn´ etico uniforme B=3,5 G, perpendicular ` a barra (ver figura). Calcule a diferenc¸a de potencial Va−Vb. v B a b 4. Um avi˜ ao Boeing 747 tem um comprimento total de 60 m entre as pontas das asas. O avi˜ ao voa a 800 km/h e a uma altitude constante, em direcc¸˜ ao sul-norte, numa regi˜ ao onde o campo magn´ etico da Terra ´ e 0,5 G, formando um ˆ angulo de 60◦com a vertical. Calcule a diferenc¸a de potencial induzida entre as pontas da asas. 5. Uma espira quadrada de cobre, com 4 cm de lado, encontra-se sobre a superf´ ıcie horizontal de uma mesa. Um electro´ ıman est´ a colocado em cima da mesa, com o seu p´ olo norte um pouco acima e ` a esquerda da espira, de maneira que o campo de induc¸˜ ao magn´ etica ´ e aproximadamente uniforme e aponta para baixo atrav´ es da espira, formando um ˆ angulo de 30◦com a vertical. Calcule a fem m´ edia induzida na espira ` a medida que o campo de induc¸˜ ao magn´ etica varia desde zero at´ e ao seu valor final de 0,5 T, num intervalo de tempo igual a 200 ms. Qual ser´ a a direcc¸˜ ao da corrente induzida? Problemas de Electromagnetismo 17 6. Na figura, uma barra condutora de comprimento de massa m, desliza sobre dois trilhos met´ alicos verticais, dentro de um campo magn´ etico B, uniforme. A resistˆ encia dos trilhos e da barra s˜ ao desprez´ aveis em relac¸˜ ao a R. A barra mant´ em sempre o contacto com os trilhos mas o atrito com eles, assim como o atrito com o ar, s˜ ao tamb´ em desprez´ ıveis. Quando a barra comec¸a a cair livremente, o seu movimento ´ e inicialmente acelerado, mas atinge logo uma velocidade constante v. Calcule a velocidade limite v. R d Isolante B 7. No interior do c´ ırculo a tracejado na figura, existe um campo de induc¸˜ ao magn´ etica apontando para dentro do papel e com m´ odulo igual a 0,6e−t/15 (unidades SI, t=tempo). Calcule o m´ odulo, direcc¸˜ ao e sentido do campo el´ ectrico induzido dentro do anel condutor de raio r= 9cm. r Respostas 1. (a) Anti-hor´ ario. (b) Hor´ ario 3. 5.67·10−6V 4. 0,33 V 5. 3,5 mV 6. v=mgR B2d2 7. Ei=0,0018e−t/15, na direcc¸˜ ao tangente ao anel e no sentido hor´ ario. Problemas de Electromagnetismo 18 10 Circuitos de corrente alternada 1. A resistˆ encia de uma bobina ´ e 150Ωe a sua indutˆ ancia ´ e 1,4 H. A bobina ´ e ligada ` a tens˜ ao da rede el´ ectrica, com amplitude 311 V e frequˆ encia de 50 Hz. Calcule a corrente na bobina em qualquer instante t. 2. A tens˜ ao e a corrente num circuito s˜ ao V(t) = 170sin(377t+3) (V)eI(t) = 10sin(377t+ 3,2) (A). Desenhe os fasores correspondentes no plano complexo e calcule a impedˆ ancia do circuito. 3. Usando a definic¸˜ ao do farad e do henry no sistema internacional de unidades, demonstre que as impedˆ ancias de um condensador (ZC) e de um indutor (ZL) tˆ em unidades de resistˆ encia. 4. Para cada um dos trˆ es circuitosrepresentados, calculeaimpedˆ anciaequivalenteentreospontos indicados com um pequeno c´ ırculo, para uma tens˜ ao de entrada com frequˆ encia f=2 kHz 300 300 300 2mH 2mH 2mH 1F 1F 1F (a) (b) (c) 5. Um circuito LC ´ e formado por um condensador de 5 µF em s´ erie com um indutor de 2 H. Inicialmente, a carga no condensador ´ e zero e n˜ ao existe corrente no circuito; em t=0 o circuito ´ e ligado a uma fem cont´ ınua de 60 V. Encontre as func¸˜ oes que definem a corrente e a carga no condensador em func¸˜ ao do tempo, e esboce os respectivos gr´ aficos. 6. Os dois circuitos da figura, alimentados por uma tens˜ ao de entrada Vecom frequˆ encia angular ω, s˜ ao chamados filtro passa-baixo (a) e filtro passa-alto (b). Determine a relac¸˜ ao entre a tens˜ ao de sa´ ıda e a tens˜ ao de entrada Vs/Vepara os dois casos. Explique porque ´ e que os circuitos s˜ ao chamados filtro passa-baixo e filtro passa-alto. R C VeVs C R VeVs (a) (b) 7. No circuito LCR da figura, calcule: (a)Om´ odulo e a fase da impedˆ ancia. (b) A frequˆ encia de ressonˆ ancia. (c) A potˆ encia m´ edia dissipada. 25F 1,4H 150 220V 50Hz Problemas de Electromagnetismo 19 Respostas 1. I(t) = 0,669sin(314,16t−1,2421)A. 2. |Z|=17 Ω,ϕ=−11,46◦,Z= (16,66−i3,38)Ω. 4. (a)(2,039+i25,50)Ω. (b)(20,44−i75,87)Ω. (c)(9,566−i52,72)Ω 5. I=94,9sin(316,2t)mA, Q=300−300cos(316,2t)µC (tem segundos) 6. (a)Vs Ve=1 p1+(ωRC)2(b)Vs Ve=ωRC p1+(ωRC)2 O circuito (a) filtra as tens˜ oes com frequˆ encias altas e o circuito (b) filtra as tens˜ oes com frequˆ encias baixas. 7. (a)|Z|=587 Ω,ϕ=75,2◦. (b) 26,9 Hz. (c) 22,6 W Problemas de Electromagnetismo 20 11 Ondas electromagn´ eticas 1. Considere uma onda electromagn´ etica plana, polarizada linearmente na direcc¸˜ ao do eixo dos x, que se propaga na direcc¸˜ ao positiva do eixo dos y. A sua frequˆ encia ´ e de 12 MHz e a sua amplitude ´ eEo=0,008 V/m; (a) calcule o per´ ıodo e o comprimento de onda (b) escreva uma express˜ ao para E(t)e para B(t). 2. Uma onda harm´ onica plana, polarizada, com λ=3 m, propaga-se na direcc¸˜ ao do versor ~ j. Escreva as equac¸˜ oes dos campos el´ ectrico e magn´ etico, considerando que: (a) O versor de polarizac¸˜ ao ´ e~ep= (~ i+~ k)/√2. (b)~ep= (~ i+√3~ k)/2. (c) A onda tem polarizac¸˜ ao circular negativa. 3. Considere uma onda electromagn´ etica plana, polarizada linearmente na direcc¸˜ ao do eixo dos x, que se propaga na direcc¸˜ ao positiva do eixo dos y. A sua frequˆ encia ´ e de 12 MHz e a sua amplitude ´ eE0=0,008 V/m. (a) Calcule o per´ ıodo e o comprimento de onda. (b) Escreva as func¸˜ oes de onda dos campos EeB. 4. A figura seguinte representa o campo electromagn´ etico de uma onda plana de 420 MHz, no instante t=0. As linhas de campo verticais representam o campo el´ ectrico e as linhas perpendiculares ` a folha de papel s˜ ao as linhas de induc¸˜ ao magn´ etica. Calcule a distˆ ancia de escreva o vector de induc¸˜ ao magn´ etica em func¸˜ ao do tempo e da coordenada x. x y d 5. Uma onda electromagn´ etica plana propaga-se no sentido negativo do eixo dos y. Num dado instante t=0 o campo el´ ectrico ´ e~ E=E0sin(2,25·107y)~ k, onde y´ e medido em metros. (a) Calcule o comprimento de onda. (b) Calcule a frequˆ encia. (c) Diga qual ´ e o vector de polarizac¸˜ ao. 6. Uma lˆ amina met´ alica muito extensa encontra-se sobre o plano xy. A lˆ amina ´ e ligada a uma fonte vari´ avel que produz um campo el´ ectrico uniforme no plano xy, mas vari´ avel no tempo segundo a equac¸˜ ao: ~ E=E0sin(ωt)~ i, onde E0eωs˜ ao constantes. O campo el´ ectrico na lˆ amina origina uma onda electromagn´ etica plana. Escreva as func¸˜ oes que representam os campos el´ ectrico e de induc¸˜ ao magn´ etica da dita onda, em func¸˜ ao do tempo e da posic¸˜ ao. Problemas de Electromagnetismo 21 Respostas 1. (a) e (b)~ E=E0sin[2π·108(t−y/c)]~eε. (c)~ E=E0sin2π·108(t−y/c+ϕ0)~ i+cos2π· 108(t−y/c+ϕ0)~ k. Nos 3 casos By=0, Bx=Ez/ceBz=−Ex/c 2. (a)T=83,33 ns, λ=25 m. (b)~ E=0,008cos(0,2513y−75,40·106t+ϕ0)~ i ~ B=−2,67·10−11 cos(0,2513y−75,40·106t+ϕ0)~ k(unidades SI) 3. (a)P=8,33·10−8s, λ=25 m. (b)E=0,008cos(0,2513y−75,40·106t+δ)~ i,B=−2,67·10−11 cos(0,2513y−75,40· 106t+δ)~ k 4. d=35,7cm,~ B=−B0cos2π(4,2·108t+1,40x)~ k(tem segundos e xem metros) 5. (a) 279 nm. (b) 1,074·1015 Hz. (c) O versor~ k 6. ~ E=(E0sin(ωt−kz)~ i,z>0 E0sin(ωt+kz)~ i,z<0. ~ B=     E0 csin(ωt−kz)~ j,z>0 −E0 csin(ωt+kz)~ j,z<0.