Modelação numérica de Benchmarks para validação de modelos de análise estrutural

MODELAÇÃO NUMÉRICA DE BENCHMARKS PARA VALIDAÇÃO DE MODELOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL BRUNO MIGUEL LOPES DA COSTA Disse ação subme ida pa a sa is ação pa cial dos equisi os do g au de MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL — ESPECIALIZAÇÃO EM ESTRUTURAS O ien ado : P o esso Dou o Miguel Ângelo dos San os Fe az JULHO DE 2014 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2013/2014 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Tel. +351-22-508 1901 Fax +351-22-508 1446  [email p o ec ed] Edi ado po FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Rua D . Robe o F ias 4200-465 PORTO Po ugal Tel. +351-22-508 1400 Fax +351-22-508 1440  [email p o ec ed]  h p://www. e.up.p Rep oduções pa ciais des e documen o se ão au o izadas na condição que seja mencionado o Au o e ei a e e ência a Mes ado In eg ado em Engenha ia Ci il - 2013/2014 - Depa amen o de Engenha ia Ci il, Faculdade de Engenha ia da Uni e sidade do Po o, Po o, Po ugal, 2014. As opiniões e in o mações incluídas nes e documen o ep esen am unicamen e o pon o de is a do espe i o Au o , não podendo o Edi o acei a qualque esponsabilidade legal ou ou a em elação a e os ou omissões que possam exis i . Es e documen o oi p oduzido a pa i de e são ele ónica o necida pelo espe i o Au o . Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al Aos meus Pais. Twen y yea s om now you will be mo e disappoin ed by he hings ha you didn’ do han by he ones you did do, so h ow o he bowlines, sail away om sa e ha bo , ca ch he ade winds in you sails. Explo e, D eam, Disco e . Ma k Twain Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al i AGRADECIMENTOS Aos meus pais, o meu mais p o undo ag adecimen o pelos p incípios incu idos que azem de mim a pessoa que sou hoje, pelo es o ço ealizado e pela con ínua con iança que deposi a am em mim o nando possí el a ealização des e pe cu so académico. Ao meu o ien ado , P o esso Miguel Fe az, pela disponibilidade e auxílio demons ada desde o p imei o momen o e ambém pelo incen i o à ealização des a disse ação. Uma pala a de ag adecimen o a odos os amilia es e amigos que me acompanha am ao longo des e pe cu so sem nunca deixa em de demons a o seu apoio e amizade. Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al ii Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al iii RESUMO O desen ol imen o de modelos de análise es u u al complexos não es á isen o de e os. O ele ado núme o alências dos a uais modelos de análise es u u al e a in e ação de di e sas delas, como po exemplo a análise da luência, da e ação ou da elaxação das a madu as de p é-es o ço, o nam a alidação das capacidades ins aladas nesses modelos num p oblema eal e complexo. Nesse sen ido o obje i o des a disse ação passa po desen ol e e e i ica um leque ala gado de benchma ks que pe mi am o na o p og ama E olu ion mais obus o e susce í el de so e al e ações no seu código, mas com a segu ança de que com es es es es pad ão é possí el a alidação do co e o compo amen o de uncionalidades p e iamen e e i icadas cuja espos a pode se a e ada po alguma sob eposição de e ei os ine en e à adição de no as alências ao código compu acional. A pla a o ma E olu ion assen a a sua análise es u u al em elemen os ini os linea es, do ipo Timoshenko, po essa azão as e i icações pode ão se ei as compa ando os alo es das ensões e de o mações ap esen adas em cada ib a indi idualmen e. O âmbi o do p esen e abalho passou pelo es abelecimen o de benchma ks ela i os a casos simples e de iniciação à linguagem de in odução de dados, ais como o es udo do peso p óp io, de o mações impos as à es u u a ou, po ou o lado, a alidação de peças p é-es o çadas po p é e pós- ensão. Numa ase pos e io e endo em con a a capacidade da pla a o ma em ealiza análises conside ando a idade dos elemen os e o compo amen o di e ido do ma e ial o am ealizadas e i icações de o ma a cons i ui benchma ks ela i os à luência, e ação e elaxação, espe i amen e, do be ão e do aço. O p og ama em inco po ado uma sé ie de uncionalidades especí icas, como po exemplo a capacidade de liga e desliga em de e minado ins an e qualque elemen o cons i uin e do modelo numé ico ou a compe ência pa a disc e iza e es uda com g ande p ecisão elemen os cuja secção ans e sal é a iá el, das quais o am ei as e i icações compa ando os esul ados ob idos com soluções eó icas conhecidas da bibliog a ia cons i uindo assim benchma ks. PALAVRAS-CHAVE: Benchma ks, Análise Es u u al, Modelação Numé ica, Código Compu acional E olu ion, Mé odo dos Elemen os Fini os, Elemen os de Viga Timoshenko Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al i Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al ABSTRACT The de elopmen o complex models o s uc u al analysis is no ee o e o s. The cu en high numbe o alences in s uc u al analysis models and he in e ac ion o se e al o hem, such as he analysis o c eep, sh inkage o elaxa ion o p es essed s eel, make a eal and complex p oblem ou o he alida ion o he ins alled capaci ies in hose models. The e o e, he objec i e o his disse a ion is o de elop and e i y a wide ange o benchma ks ha will make he pla o m s onge and mo e likely o unde go changes in he E olu ion code, bu wi h he assu ance ha wi h hese s anda d es s i is possible o alida e he p e iously e i ied beha io o ha speci ic ea u e, whose esponse can be a ec ed by any o e lap inhe en in adding new se ices o he compu a ional code. The E olu ion pla o m es s he s uc u al analysis on linea ini e elemen s, Timoshenko ype, he e o e alida ion can be made by compa ing he alues o he s esses and s ains p esen ed in each indi idual ibe . The scope o his wo k has es ablished benchma ks o simple cases and he ini ia ion o inpu da a language, such as he s udy o sel weigh , o s ain imposed upon he s uc u e, mo eo e , he alida ion p es essed beams by p e-and pos - ensioning. A a la e s age, aking in o accoun he abili y o he pla o m o pe o m analyzes conside ing he age o he elemen s and he ime-dependen ma e ial beha io laws checks we e pe o med in o de o p o ide benchma ks o c eep, sh inkage and elaxa ion, espec i ely, o conc e e and s eel. The p og am has inco po a ed a numbe o speci ic ea u es, such as he abili y o u n on and o a some poin any cons i uen elemen o he nume ical model o he compe ence o disc e ize and s udy wi h g ea p ecision elemen s whose c oss sec ion is a iable, om which checks we e made by compa ing he esul s wi h known heo e ical solu ions om li e a u e, hus p o iding benchma ks. KEYWORDS: Benchma ks, S uc u al Analysis, Nume ical Modeling, E olu ion Compu a ional Code, Fini e Elemen Me hod, Timoshenko Beam Elemen Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al xii Tabela 5.14 – Compa ação de esul ados .............................................................................................................. 51 Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al xiii SÍMBOLOS E ABREVIATURAS Símbolos em La im A – á ea da secção ans e sal A* - á ea de co e da secção ans e sal Ac – á ea da secção ans e sal de be ão e – excen icidade da a madu a de p é-es o ço E – Módulo de Elas icidade ck – esis ência ca ac e ís ica do be ão à comp essão cm – esis ência média do be ão à comp essão pk – esis ência ca ac e ís ica à ação do aço de p é-es o ço G – Módulo de Dis o ção h0 – espessu a equi alen e do elemen o I - Iné cia M – Momen o em de e minado pon o da secção N – Es o ço axial e – empo equi alen e no es udo da elaxação T – co eção ao empo endo em con a o e ei o das a iações de empe a u a no es udo da luência Símbolos em G ego 𝛼 – coe icien e de dila ação é mica 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 – coe icien es que dependem da esis ência média à comp essão do be ão 𝛼𝑑𝑠1,𝛼𝑑𝑠2 – coe icien es que dependem do ipo de cimen o usado 𝛽(𝑓𝑐𝑚) – a o que em em con a a in luência da esis ência do be ão no coe icien e de luência con encional 𝛽(𝑡0) – a o que em con a a in luência da idade do be ão à da a do ca egamen o no coe icien e de luência 𝛽𝑑𝑠(𝑡,𝑡𝑠) – a o que em em con a a in luência do empo e da espessu a equi alen e no es udo da e ação po secagem 𝛽𝑎𝑠(𝑡) – a o que em em con a a in luência do empo no es udo da e ação au ogénea 𝛽𝐻 – coe icien e que depende da humidade ela i a e da espessu a equi alen e do elemen o 𝛽𝑐(𝑡,𝑡0) – coe icien e que aduz a e olução da luência no empo, após o ca egamen o 𝛿 - deslocamen o Δ𝐿 – a iação do comp imen o do elemen o Δ𝑡 – a iação empo al; a iação de empe a u a Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al xi Δ𝑡𝑖 – a iação de empe a u a; in e alo de empo Δ𝜎𝑝𝑟 – ep esen a o alo absolu o das pe das de p é-es o ço de ido à elaxação Δ𝜎𝑝𝑟,𝑗 – é o soma ó io de odos os inc emen os de ensão aplicados ao aço de p é-es o ço Δ𝜎𝑝,𝑖 – é o inc emen o de ensão no aço de p é-es o ço no ins an e i Δ𝜎𝑝𝑗 – é o soma ó io de odos os inc emen os de ensão aplicados ao aço de p é-es o ço 𝜀𝑐𝑐(𝑡,𝑡0) – de o mação do be ão po luência na idade pa a um ca egamen o inicial na idade 0 𝜀𝑐𝑎(∞) - ex ensão de e ação au ogénea inal 𝜀𝑐𝑎(𝑡) – ex ensão de e ação em unção da idade do be ão 𝜀𝑐𝑑(𝑡) – e olução com o empo da ex ensão da e ação po secagem 𝜀𝑐𝑑,0 – e ação li e do be ão po secagem kh – coe icien e que depende da espessu a equi alen e 𝜇 - coe icien e σpi/ pk; 𝜌1000 – pe da de ida à elaxação (em pe cen agem da ensão inicial) 1000 ho as após a aplicação do p é-es o ço a uma empe a u a média de 20ºC 𝜎 – ensão 𝜎𝑝 – ensão na a madu a de p é-es o ço 𝜎𝑝0,1% - ensão limi e con encional de p opo cionalidade de 0.1% 𝜎𝑝𝑖 – é o alo da ensão inicial aplicada na a madu a de p é-es o ço 𝜑(𝑡,𝑡0) – e olução do coe icien e de luência pa a um ca egamen o na idade 0 𝜑0 – coe icien e de luência 𝜑𝑅𝐻 – a o que em em con a a in luência da humidade ela i a no coe icien e de luência 𝜑𝑛𝑙 – alo inal da luência não linea Ab e ia u as e Ac ónimos CEB90 – Modelo de Código 90 EC2 – Eu ocódigo 2 MEF – Mé odo dos Elemen os Fini os Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 1 1 INTRODUÇÃO 1.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS A sociedade em que hoje nos inse imos e o mundo cada ez mais in e ligado ob igando a uma conco ência ao ní el in e nacional le ou a que o espí i o ins alado seja o mais ambicioso e a ojado possí el. A p ocu a po soluções cada ez mais ousadas não é assim su p esa, o nando os p og amas de análise es u u al mais gene alis as insu icien es pa a o cálculo e análise de alhada dessas soluções. Além disso, num mundo, e p incipalmen e num país onde a pala a de o dem é con ação económica, o na-se essencial que odas as e apas de qualque p oje o sejam absolu amen e con oladas pa a que os e en uais cus os ligados à necessidade de co eções sejam con idos e ou mesmo eliminados. Não é po isso su p esa o su gimen o de uma pla a o ma pa a o desen ol imen o de modelos de análise es u u al – E olu ion – que possibili a ao seu u ilizado uma maio libe dade, com ca a e ís icas que pe mi am a adap ação dos modelos de análise es u u al a soluções menos co en es, com maio con olo sob e o ipo de análise e e uada, sob e o compo amen o de cada ma e ial u ilizado e que além disso admi e a análise es u u al de qualque ase do ciclo de ida da es u u a. A pla a o ma E olu ion da au o ia do P o esso Miguel Fe az da Faculdade de Engenha ia da Uni e sidade do Po o (Fe az, M.Â.C. (2010)) oi c iada pa a esponde às necessidades exempli icadas an e io men e, mas ambém com obje i o de esponde às necessidades académicas exis en es. É po isso mesmo desen ol ida em código abe o passí el de se al e ado con o me as necessidades ou pa a in odução de no as uncionalidades que enham con e i à pla a o ma uma maio di e sidade e ab angência. De ido ao ca ác e académico da pla a o ma e ao ele ado núme o de uncionalidades in e dependen es su ge po isso a necessidade da u ilização de benchma ks in ínsecos ao p og ama. Des a o ma o na-se mais segu a a u ilização e al e ação do código compu acional uma ez que passa a exis i uma compilação de exemplos de idamen e alidados e que passam a cons i ui um e mo de compa ação e alidação. Quando uma uncionalidade, pa a a qual já exis a um benchma k, o no amen e usada bas a execu a o exemplo alidado e au oma icamen e a pla a o ma e e ua á a compa ação de esul ados e i icando o compo amen o dessa uncionalidade. 1.2. OBJETIVOS Tendo em con a o expos o an e io men e o obje i o des a disse ação passa po ealiza o maio núme o de benchma ks possí el de o ma a aumen a a obus ez do p og ama em es udo. A c iação des es benchma ks passa po ealiza o es udo de es u u as ou exemplos simples de o ma a pode es uda obje i amen e de e minada uncionalidade pa a a ce i ica o seu co e o uncionamen o. Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 2 Na ase inicial há que ealiza uma necessá ia adap ação ao modelo de cálculo, modelando á ios exemplos com secções e sis emas de apoios di e si icados, sem qualque ipo de ca egamen o ou ação, pa a e i ica a co e a in odução de dados. P og essi amen e se á aumen ado o g au de di iculdade e a ab angência dos exemplos e i icados, p e endendo-se e i ica o compo amen o da pla a o ma quando se exigi o es udo de exemplos como peças p é-es o çadas ou as leis de compo amen o di e ido ma e ial. 1.3. ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO A p esen e disse ação ai se desen ol ida ao longo de seis capí ulos em que se p e ende da espos a posi i a aos obje i os p opos os. No p esen e capí ulo p e ende-se ap esen a uma b e e e concisa in odução sob e o ema p opos o, con ex ualizando de uma o ma mais simples as emá icas que ão se abo dadas. No segundo capí ulo p e ende-se enquad a o modelo em es udo en e os modelos semelhan es co en es salien ando as p incipais di e enças en e os mesmos, e de inindo o p opósi o da pla a o ma E olu ion. O obje i o do e cei o capí ulo é esumidamen e demons a os undamen os eó icos em que o modelo baseia as suas análises, p ocedendo ainda à alidação e compa ação dos esul ados ob idos a a és do uso do p og ama com a solução eó ica. O qua o capí ulo é desen ol ido no sen ido de e e ua a e i icação da alidade das leis de compo amen o di e ido do ma e ial, nomeadamen e a a és do es udo da e ação e luência do be ão, e ainda do es udo da elaxação das a madu as de p é-es o ço. Os undamen os eó icos pa a es as análises se ão os desc i os no egulamen o em igo , nomeadamen e o Eu ocódigo 2 (EC2). No quin o e penúl imo capí ulo é ei o o es udo e e i icação de algumas uncionalidades ine en es ao ca ác e pa icula do modelo, que êm como obje i o o ná-lo mais ab angen e e susce í el de o do a de uma melho capacidade de ep esen ação de aspe os pa icula es associados a es u u as especiais. Pa a inaliza , o úl imo capí ulo ap esen a as conclusões a que o au o chegou após a ealização des a disse ação e ambém algumas suges ões pa a abalhos u u os en ol endo es a pla a o ma. Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 3 2 ENQUADRAMENTO 2.1. INTRODUÇÃO A gene alização do acesso aos compu ado es e a sua c escen e capacidade de p ocessamen o le ou a que nos dias de hoje es e assuma um papel p eponde an e em qualque análise ou dimensionamen o es u u al. Des e modo oi possí el a u ilização de mé odos que aba cam quan idades eno mes de cálculos, in iabilizados a é à da a, pe mi indo assim o es udo de es u u as cada ez mais complexas. To nou-se, po an o, na u al o apa ecimen o de pla a o mas que azem o in e ace en e a aplicação dos conhecimen os cien í icos ao ní el da Engenha ia Ci il e as capacidades compu acionais exis en es. Os p og amas de cálculo disponí eis a ualmen e p imam pela acilidade de u ilização, u ilizando in e aces bas an es in ui i as, e es ando ocacionados di e amen e pa a o solucionamen o das es u u as e ob as de a e mais co en es, o e ecendo soluções pa ame izadas e eduzindo a capacidade de in e enção do p oje is a, com consequências na especi icidade de cada ob a. Além disso a sua p incipal di e iz é a e en e de p oje o e dimensionamen o, cessando aí as suas capacidades, sendo exemplo dessa limi ação as leis de compo amen o ma e ial, cujos esul ados egulamen a es podem não co esponde exa amen e aos esul ados ob idos pela ins umen ação na ob a. P og amas que o e eçam capacidades semelhan es aos disponí eis no me cado mas que pe mi am ao u ilizado uma maio in e enção, iabilizando a in odução de uncionalidades adequadas a cada caso ganham bas an e in e esse. É nesse sen ido e com esse p opósi o que su ge a pla a o ma E olu ion. 2.2. PROGRAMAS COMERCIAIS CORRENTES No domínio dos p og amas come ciais de inem-se aqueles com uma maio di usão po pa e dos gabine es e consul o es de engenha ia pa a p ocede à análise es u u al. Es e ipo de p og amas ge almen e em uma in e ace g á ica bas an e abalhada e use iendly pa a o na a sua u ilização mais acili ada. O p oblema associado a es e ipo de p og amas é o ac o de eduzi em bas an es a possibilidade de in e enção do u ilizado e se em de código selado, não pe mi indo a adap ação necessá ia de cada modelo especí ico. Toda ia são pe ei amen e capazes de soluciona os p oblemas mais co en es de um gabine e de engenha ia. En e esses p og amas é necessá io da especial des aque aos seguin es p og amas:  CYPE (CYPE Ingenie os (2014)), que é um p og ama que se cen a mais no dimensionamen o, cump indo á ios egulamen os. É um p og ama bas an e echado, que, po exemplo, não pe mi e a escolha do ipo de análise a e e ua ou o ipo de elemen os ini os a usa . Es as ca ac e ís icas não pe mi em uma ácil análise e e i icação dos esul ados e impossibili am que o p oje is a con ole de idamen e o dimensionamen o. Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 4  Au odesk Robo (Au odesk (2014)) e Sap2000 (Compu e s & S uc u es Inc. (2014)) são so wa es que no seu conjun o pe mi em a análise es u u al e a simulação de desempenho an o em si uações co en es como em algumas especiais e ambém a manipulação e a isualização espacial do p oje o an es da sua conc e ização. Além da c iação do modelo e cálculo es u u al, pe mi em a con on ação dos esul ados com á ios códigos e pe mi e ambém a p epa ação da documen ação da es u u a incluindo o p oje o e os esul ados. 2.3. PROGRAMAS ACADÉMICOS/INVESTIGAÇÃO Exis em p og amas que embo a ambém sejam come cializados possuem uma e en e mais di ecionada pa a a in es igação: Es e ipo de p og amas põem ao dispo do seu u ilizado uma maio quan idade de opções de o ma a que a modelação seja o mais adequada possí el e pe mi em ainda uma maio complexidade de análises azendo com que se o ne in e essan e o seu uso em in es igação. O Ansys (Ansys Inc. (2014)) e o DIANA (TNO DIANA (2014)) são e amen as de cálculo de elemen os ini os e são u ilizados po consul o es de engenha ia, ins i uições de pesquisa e po mui as ins i uições de ensino em odo o mundo. São dos so wa es mais u ilizados do me cado, uma ez que podem simula análises es á icas, dinâmicas, é micas, sendo ambém possí el a inclusão de uncionalidades desen ol idas pelo u ilizado , a análise de inúme as leis ma e iais e o ipo de elemen os ini os a u iliza . A g ande a iedade de modelos de ma e iais, biblio ecas de elemen os ini os e p ocedimen os de análise de que dispõem con e em-lhes um ele ado g au de lexibilidade, o nando-os ocacionados pa a especialis as. O so wa e de elemen os ini os FEMIX é 100% po uguês e em sido desen ol ido desde 1991. T a a-se de um p oje o dos p o esso es Ál a o Fe ei a Ma ques Aze edo da Faculdade de Engenha ia da Uni e sidade do Po o e de Joaquim An ónio Oli ei a de Ba os p o esso da Uni e sidade do Minho. O cálculo é ei o com base no mé odo dos deslocamen os que pe mi e analisa em egime es á ico e linea es u u as cons i uídas po di e sos ipos de ma e iais. Es e so wa e pe mi e ainda a disc e ização da es u u a em elemen os de di e en es ipos como elemen os de casca e de ba a (Mi anda, A.J.d.C. (2009)). 2.4. EVOLUTION A pla a o ma E olu ion pe mi e o desen ol imen o de modelos de análise es u u al baseados no Mé odo dos Elemen o Fin os, nes e abalho u iliza -se-á um modelo emp egando elemen os ini os linea es que assen am na o mulação de iga de Timoshenko. Es e modelo es á p incipalmen e ocacionado pa a a análise es u u al de ob as de a e, acompanhando o p ocesso desde o aseamen o cons u i o a é à ase de explo ação, pe mi indo a disc e ização da secção ans e sal a a és de ib as e inco po ando elemen os especí icos pa a a disc e ização de a madu as passi as, de cabos de p é- es o ço e ainda de i an es. O modelo pe mi e a análise es u u al com al e ações do sis ema es á ico ao longo do empo, desde que essas es u u as sejam passí eis de se em modeladas po elemen os ini os linea es do ipo iga, u ilizando mé odos inc emen ais e i e a i os de o ma a esol e os p oblemas susci ados po análises ma e ial e geome icamen e não-linea es. Po isso mesmo odos os elemen os ini os inco po ados no p og ama admi em a análise não linea geomé ica pe mi indo uma análise mais ealis a das peças esbel as. No que diz espei o ao compo amen o ma e ial o p og ama coloca ao dispo do u ilizado um leque ab angen e de opções, sendo possí el a ealização de análises incluindo as leis cons i u i as e de compo amen o di e ido de cada ma e ial, espe i amen e, a issu ação do be ão e o compo amen o Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 5 elas o-plás ico do aço nas leis cons i u i as e a ma u ação, e ação e luência do be ão e a elaxação do aço de p é-es o ço no caso das leis de compo amen o di e ido do ma e ial. A de e minação de equências e modos p óp ios de ib ação de uma es u u a em qualque ase do seu ciclo de ida, inclusi amen e du an e a ase cons u i a, es á ambém ao alcance do u ilizado na pla a o ma E olu ion. A pla a o ma E olu ion po se a a de um so wa e de código abe o e possui biblio ecas de obje os gené icos obus os possibili a a in odução de al e ações ao código e no as uncionalidades median e as necessidades e opções de cada u ilizado , o nando o modelo mui o e sá il e adap á el a cada caso de es udo conc e o. Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 6 Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 7 3 VALIDAÇÃO MEF 3.1. INTRODUÇÃO O p incipal concei o associado ao mé odo dos elemen os ini os é a esolução de um p oblema complexo a a és da sua subs i uição po um conjun o de p oblemas equi alen e cuja solução seja acilmen e de e minada. Como o p oblema inicial é subs i uído po um p oblema ap oximado, ambém a solução ob ida ai se uma ap oximação da solução exa a, ob igando assim a encon a pa a cada p oblema um equilíb io en e a simplicidade do modelo ep esen a i o do p oblema e a ap oximação da solução. Es e concei o em acompanhado os ma emá icos desde que há memó ia, como demons a Rao, S.S. (2005) usando como exemplo a Figu a 3.1 onde es á ep esen ada a me odologia usada pa a a es ima i a do pe íme o de uma ci cun e ência. Gup a, K.K., Meek, J. L. (1996) ap esen am uma b e e his ó ia do mé odo dos elemen os ini os onde os nomes de Cou an , A gy is, Tu ne , Clough e Zienkiewicz são mencionados como os p incipais esponsá eis pelo desen ol imen o e o mulação do mé odo como hoje o conhecemos, icando a de e - se a Clough, R.W. (1960) a u ilização pela p imei a ez da exp essão “elemen o ini o”. Na década de 50 do século passado apenas as g andes companhias indus iais e algumas agências go e namen ais nos Es ados Unidos inham capacidade pa a coloca aos dispo dos seus quad os compu ado es digi ais. Não ese ando su p esa a impo ância da indús ia ae onáu ica no desen ol imen o des e mé odo, nomeadamen e a Boeing que em de e minada al u a con a a com Tu ne e A gy is, con udo, a na u eza gene alis a des a eo ia pe mi iu a sua aplicação nos mais di e sos p oblemas de engenha ia. Figu a 3.1 – Pe íme o de uma ci cun e ência (Rao, S.S., 2005) 3.2. DISCRETIZAÇÃO DOS ELEMENTOS “O mé odo dos elemen os ini os, no âmbi o da engenha ia de es u u as, em como obje i o a de e minação do es ado de ensão e de de o mação de um sólido de geome ia a bi á ia sujei o a ações ex e io es.” Aze edo, Á.F.M. (2003) Es e mé odo su ge como uma e amen a ma emá ica que a a és Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 14 Figu a 3.9 – De o mação nas igas de ido a assen amen os de apoio Reco endo à uncionalidade do p og ama que pe mi e o es udo em simul âneo de es u u as di e en es p ocedeu-se à duplicação da iga com 10 elemen os e aplicação de um deslocamen o e ical no apoio no alo de 0.01 m numa delas enquan o na ou a oi aplicada uma o ação do apa elho de apoio no alo de 0.01 adianos. Na Tabela 3.1 ap esen a-se a compa ação e o des io pe cen ual en e os alo es ob idos eco endo às abelas e aos alo es calculados na pla a o ma. Tabela 3.1 – Valo es das eações de ido dos assen amen os e o ações Assen amen o Ro ação Ve (kN) Me (kN.m) Ve (kN) Me (kN.m) Solução Teó ica -3.97 19.84 19.84 -132.27 E olu ion -3.89 19.44 19.44 -129.74 Des io % 2.0% 2.0% 2.0% 1.9% Em jei o de conclusão pode se e e ido que os esul ados ob idos são sa is a ó ios e bas an e ap oximados com um des io de apenas 2%, ga an indo con iança no p og ama. 3.4.2. TEMPERATURA As a iações de empe a u a podem e g ande in luência na de o mabilidade e no es ado de ensão de uma es u u a em po an o odo o in e esse a e i a iabilidade do p og ama em es udo quando uma es u u a se encon a sujei a a es e ipo de solici ação. Pa a o e ei o p ocedeu-se ao es udo de dois exemplos semelhan es, em que numa iga de dois amos um desses amos se encon a sujei o a uma a iação de empe a u a. Fazendo uso das ib as do ipo TIMOSHENKO oi modelada uma secção com 0.3x0.4 m2 di idida em 48 ib as de 0.1x0.1 m2 cada uma delas. T a a-se de uma iga de be ão C30/37, endo um módulo de elas icidade de 33 GPa. Como mos a a Figu a 3.10 cada um dos exemplos em es udo é cons i uído po dois amos, endo cada um desses amos 5 me os de desen ol imen o. A p incipal di e ença en e os dois modelos eside nos sis emas de apoio usados, já que a a iação de empe a u a é conside ada a uan e apenas no segundo amo. No exemplo (A) o amo sujei o à a iação é mica pode á de o ma -se li emen e, não p oduzindo es o ços, po ou o lado no caso (B) o amo solici ado encon a-se impedido de se de o ma li emen e, p oduzindo ensões adicionais. Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 15 Figu a 3.10 – Esquema es u u al das igas sujei as à a iação de empe a u a Reco endo a Ju andes (2002) o encu amen o de uma ba a sujei a a a iação é mica pode se de e minado pela Equação (3.2). ΔL= NL EA + α.Δ .L (3.2) onde N e L ep esen am espe i amen e o es o ço axial a que a ba a se encon a sujei a e o seu comp imen o, E e A o módulo de elas icidade e a á ea da secção ans e sal. O coe icien e de dila ação é mica linea é ep esen ado po α e, po úl imo, Δ ep esen a a a iação da empe a u a. Segundo o EC2 (2010), o coe icien e de dila ação é mica linea pode se conside ado igual a 10-5 K-1, na ausência de in o mações mais igo osas. O alo da a iação de empe a u a a que os exemplos o am subme idos assume o alo de 20ºC e -20ºC, sabendo que em módulo os esul ados se ão os mesmos op ou-se po apenas ap esen a os esul ados ela i os à a iação posi i a. Analisando a Equação (3.2) e i ica-se que a p imei a pa cela não em signi icado uma ez que, como e e ido an e io men e, no exemplo (A) o apoio ex emo pe mi e o mo imen o no eixo da ba a, sendo es e o único e ei o deco en e da aplicação de uma a iação de empe a u a. Pos o is o, a de o mação eó ica e a ob ida pelo p og ama de cálculo são ap esen adas na Tabela 3.2. Tabela 3.2 – De o mação no apoio ex emo li e De o mação (mm) Solução Teó ica E olu ion Des io % 1.0 1.0 0.0% Analisando ago a o exemplo (B), em que o apoio mó el passa a es a localizado en e amos, é expec á el que de ido ao e ei o da a iação de empe a u a posi i a oco a uma dila ação da peça e o apoio se desloque pa a a esque da, azendo com que os dois amos iquem comp imidos e consequen emen e su jam ensões nas ib as e eações nos apoios. O alo da ensão no mal que esul a do e ei o da empe a u a pode se de e minado po uma a iação da lei de Hooke, di idindo o es o ço no mal pela á ea da secção. O es o ço no mal, que se á a eação à qual os apoios e ão de da espos a, pode se de e minado pela Equação (3.3). N= ΔL.E.A L (3.3) onde ΔL assume o alo de e minado no exemplo (A), mas como nes e caso a de o mação ai mobiliza os dois amos o alo de L assume o comp imen o o al da peça, ou seja, 10 me os. A Tabela 3.3 e a Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 16 Tabela 3.4 ap esen am a compa ação dos esul ados ob idos pelo p og ama em es udo e pela esolução eó ica do p oblema. Tabela 3.3 – Valo es das eações nos apoios (kN) Apoio Solução Teó ica E olu ion Des io % Di ei o 396 396 0.0% Esque do -396 -396 0.0% Tabela 3.4 – Tensão na secção ans e sal da iga (kPa) Solução Teó ica E olu ion Des io % -3300 -3300 0.0% Res a apenas e i ica o alo do deslocamen o a que o apoio ica á sujei o, de e minando pa a isso a de o mação exis en e no amo sujei o à a iação de empe a u a. Nesse cálculo eco e-se no amen e à Equação (3.2), embo a nes e caso con a iamen e ao an e io a pa cela e e en e ao es o ço no mal já é conside ada. Na Tabela 3.5 es á ap esen ada a compa ação e e uada en e os esul ados ob idos. Tabela 3.5 – De o mação no eixo da ba a (mm) Solução Teó ica E olu ion Des io % -0.5 -0.5 0.0% Pode-se conclui que a e i icação da espos a da pla a o ma E olu ion no caso de uma a iação de empe a u a oi bas an e posi i a, sendo os esul ados exa amen e coinciden es, assegu ando a iabilidade do p og ama numa p óxima u ilização pa a o es udo de um p oblema semelhan e. 3.5. PRÉ-ESFORÇO Desde o início do uso do be ão como ma e ial es u u al, a sua de icien e esis ência à ação le ou à p ocu a de soluções que pe mi issem coloca a zona acionada sob comp essão melho ando o seu compo amen o es u u al. A écnica do p é-es o ço do be ão consis e em in oduzi um es ado de ensão p é io, capaz de melho a o compo amen o e a esis ência da es u u a. A ensão in oduzida no aço dos cabos p ecisa se bas an e ele ada de ido às de o mações in oduzidas pela de o mação ins an ânea, pela e ação e pela luência do be ão que azem com que uma pa e signi ica i a dessa ensão impos a seja pe dida. Segundo Figuei as, J.A. (1993) exis em ês concei os que podem se usados pa a de ini o compo amen o de be ão p é-es o çado, a sabe :  P é-Es o ço pa a ans o ma o be ão num ma e ial elás ico; Com o ensionamen o do cabo o be ão ica sujei o a dois sis emas de o ças, nomeadamen e o do p é-es o ço in e no e das ações ex e io es, em que as ações de ido às ações ex e io es são con a iadas pelas ensões de comp essão de idas ao p é-es o ço. Des a o ma se não hou e ensões de ação no be ão, oda a secção ans e sal se encon a comp imida e o seu compo amen o pode se conside ado como o de um ma e ial elás ico. Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 17  P é-Es o ço pa a combina aço de al a esis ência com be ão; O compo amen o do be ão p é-es o çado nes a solução é assumido como análogo ao compo amen o de uma peça de be ão a mado, conside ando que se a a de uma combinação de dois ma e iais, com o aço esponsá el po supo a as ensões de ação e consequen emen e o be ão as de comp essão. Po se a a de aço de al a esis ência as de o mações necessá ias pa a mobiliza a sua esis ência não são compa í eis com as ca ac e ís icas esis en es do be ão à ação, ad indo po an o a necessidade de es ica p e iamen e o aço de al a esis ência a um ní el, σp0, e anco á-lo con a be ão de o ma a desen ol e um e ei o a o á el nos dois ma e iais (comp essão no be ão e ação no aço) an es de aplica as ca gas ex e io es. O be ão p é-es o çado é des a o ma uma ex ensão do be ão a mado sendo a capacidade esis en e da peça limi ada pela capacidade limi e de cada um dos ma e iais. Nes e concei o é u ilizado um aciocínio idên ico ao de cálculo à o u a de secções de be ão a mado.  P é-Es o ço pa a alcança ca gas equi alen es. Nes e ipo de solução o p é-es o ço é basicamen e in e p e ado como uma en a i a pa a equilib a as ca gas a uan es sob e o elemen o. O e ei o p o ocado pelo p é-es o ço pode en ão se subs i uído, pa a cálculo, po um conjun o de ca gas equi alen es, como mos a a Figu a 3.11, eduzindo ou anulando assim a lexão a que a peça es a ia sujei a caso não osse p e iamen e p é-es o çada. Figu a 3.11 – Rep esen ação das ca gas equi alen es de ido ao p é-es o ço (Figuei as, J. A. (1993)) No caso de cabos e os, excên icos em elação ao eixo neu o da peça (mas com a iação da excen icidade), as ca gas equi alen es são apenas ca gas pon uais de comp essão nas ex emidades e o ças e icais que são di e amen e de e minadas endo em con a a inclinação do cabo. O cabo pa abólico desen ol e uma ca ga uni o me di igida pa a cima de alo : q=8P L2 (3.4) sendo a lecha da pa ábola. São undamen almen e duas as écnicas p incipais de p é-es o ço aplicadas ao be ão, nomeadamen e a p é- ensão e a pós- ensão. No caso da p é- ensão, podendo ambém se designada de p é-es o ço de ade ência, os a ões ou cabos são ensionados an es da colocação do be ão, sendo a ans e ência do Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 18 es o ço pa a o be ão ei a po ade ência, depois do be ão adqui i a esis ência necessá ia. É um p ocesso adequado pa a a p é- ab icação em sé ie, uma ez que os cabos são ensionados p e iamen e, moldando-se pos e io men e o comp imen o da peça de be ão. Es a écnica de p é-es o ço en ol e em ge al g andes pe das de ensão, a ansmissão da o ça az-se usualmen e pa a um be ão com poucos dias de idade. No caso da pós- ensão as a madu as são ensionadas após o be ão e adqui ido a esis ência necessá ia sendo es a a écnica de p é-es o ço u ilizada na cons ução "in si u". O p é-es o ço é aplicado po cabos munidos de anco agens nas suas ex emidades e colocado em bainhas de modo a ica em li es du an e a be onagem. Depois do be ão adqui i a esis ência necessá ia, os cabos são ensionados po meio de macacos que azem apoio sob e o be ão sendo em seguida os cabos anco ados nas ex emidades. No con ex o do p é-es o ço con ém ainda e e encia a di isão dos dois ipos de pe das a que es a écnica es á sujei a, nomeadamen e as pe das ins an âneas e as pe das di e idas. No capí ulo das pe das ins an âneas es ão con abilizadas as pe das de ido ao a i o nos des ios do açado, as pe das de ido ao esco egamen o dos disposi i os de ama ação, as pe das de ido à elaxação a cu o p azo do aço de p é-es o ço e ainda a de o mação elás ica do be ão. Rela i amen e às pe das di e idas es ão englobadas as pe das de ensão de ido à edução da ex ensão, p o ocada pela de o mação do be ão sob ações pe manen es de ido à luência e e ação, e a edução da ensão do aço de ido à elaxação. Nos subcapí ulos seguin es se á ei a a e i icação das duas écnicas de aplicação do p é-es o ço con abilizando apenas as pe das ins an âneas e conside ando cabos de p é-es o ço ade en es, abo dando no capí ulo seguin e as pe das di e idas. 3.5.1. PRÉ-TENSÃO O modelo possui as classes APLLIEDSTRESS e APLLIEDSTRAIN pa a ep oduzi a aplicação de p é-es o ço, no caso da aplicação de ensão (ou ex ensão) inicial. Na con abilização das pe das ins an âneas de p é-es o ço o modelo em a capacidade de es uda au oma icamen e as pe das po de o mação elás ica e as pe das po elaxação a cu o p azo (sendo es a úl ima es udada no capí ulo seguin e). Uma ez que a modelação das a madu as de p é-es o ço é e e uada a a és de ib as ou elemen os ini os do ipo EMBEDDEDCABLE, di e enciando-se do ipo TIMOSHENKO apenas nas de o mações que conside am possí eis e na possibilidade de não se em pa alelas ao eixo da peça em que se inse em, sendo que nas ib as do ipo EMBEDDEDCABLE apenas se em em con a a ex ensão axial desp ezando as dis o ções po co e. De ido à de o mação elás ica, o alo inal de p é-es o ço não coincide com o inicialmen e aplicado, uma ez que du an e a ans e ência das ensões da a madu a pa a o be ão oco em de o mações das mesmas que esul am em pe das de ensão. Nes e p imei o exemplo de aplicação p e ende-se es uda o compo amen o de uma peça de be ão p é-es o çada pela écnica de p é- ensão. Pa a isso oi modelada uma iga simplesmen e apoiada de 8 me os de ão, com secção e angula com 0.375 (0.5x0.75) m2, di idindo-a em 150 ib as de TIMOSHENKO de 0.05x0.05 m2. Conside ou-se uma iga be onada com o be ão modelo do EC2 C30/37, cujo módulo de elas icidade assume o alo de 33 GPa. A a madu a de p é-es o ço oi modelada eco endo a apenas uma ib a do ipo EMBEDDEDCABLE, assumindo o seu módulo de elas icidade o alo de 206 GPa, e oi-lhe a ibuída uma á ea de 7.4cm2 e possuindo uma ensão de o u a ca ac e ís ica de 1860 MPa e, consequen emen e, uma ensão limi e con encional de p opo cionalidade de 0.1% ca ac e ís ica de 1640 MPa. Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 19 Figu a 3.12 – Rep esen ação da modelação de uma iga p é-es o çada com cabo linea O cabo assume um açado e o e linea , como mos a a Figu a 3.12, com uma excen icidade de 0.15 m sendo acionado a é a ingi uma ensão de 1351,35 MPa, o equi alen e a uma o ça de ação de 1000 kN. A aplicação do p é-es o ço com excen icidade além de p o oca a comp essão da peça ai ainda induzi um momen o le o con á io ao que se á p o ocado pelas ca gas a que a peça es a á sujei a, cuja de o mação de ida unicamen e ao p é-es o ço pode se obse ada na Figu a 3.13. Figu a 3.13 – De o mação na iga de ido à excen icidade do p é-es o ço Nesse caso, as ensões no mais p esen es na secção ans e sal podem se calculadas a pa i da exp essão (3.5). σ= N A ± M . y I ± P . e . y I (3.5) onde N equi ale apenas à o ça de p é-es o ço na ausência de es o ço axial. Após a de e minação da ensão no be ão acilmen e podemos de e mina , pela lei de Hooke, a ex ensão axial a que a peça es a á sujei a. A ex ensão axial do be ão, esponsá el pelas pe das po de o mação elás ica é igual à a madu a de p é-es o ço de ido à solida ização dos dois ma e iais. Assim, uma ez mais pela lei de Hooke, é possí el de e mina qual a pe da de ensão p o ocada pela de o mação elás ica do be ão. Como a modelação da secção é ei a com ecu so a elemen os ini os, as ex ensões se ão ob idas ao ní el de cada ib a, po isso, de e á se usada a ex ensão ao ní el do cen o de g a idade da Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 20 peça pa a de e mina qual a pe da de p é-es o ço, uma ez que é nesse elemen o que es á con emplada unicamen e a de o mação po e ei os da comp essão ins alada. Na Tabela 3.6 e na Tabela 3.7 é ei a a compa ação, em pe cen agem, dos alo es ob idos a a és do modelo numé ico com os alo es calculados a a és da solução eó ica. Tabela 3.6 – Tensões no be ão (kPa) Va iação y Solução Teó ica E olu ion Des io % 0.35 320.00 327.35 2.25% 0.3 -106.67 -103.58 2.89% 0.25 -533.33 -514.42 3.55% 0.2 -960.00 -935.31 2.57% 0.15 -1386.67 -1356.19 2.20% 0.1 -1813.33 -1777.08 2.00% 0.05 -2240.00 -2197.97 1.88% 0 -2666.67 -2618.85 1.79% -0.05 -3093.33 -3039.74 1.73% -0.1 -3520.00 -3460.63 1.69% -0.15 -3946.67 -3881.51 1.65% -0.2 -4373.33 -4302.40 1.62% -0.25 -4800.00 -4723.28 1.60% -0.3 -5226.67 -5144.17 1.58% -0.35 -5653.33 -5565.06 1.56% Tabela 3.7 – Tensão na a madu a de p é-es o ço (kPa) Solução Teó ica E olu ion Des io % 1334704.89 1327121.31 0.57% Os esul ados ob idos são bas an e ap oximados, a ingindo um des io médio de 1,9% nas ensões p esen es no be ão e ela i amen e às ensões de ação na a madu a de p é-es o ço, que é o p incipal obje o de es udo, a a iação é de apenas 0.57 % o que ep esen a a iabilidade do p og ama. Além das ensões ambém as de o mações o am compa adas, ap esen adas na Tabela 3.8 e na Tabela 3.9, es udando assim o deslocamen o ho izon al expec á el no apoio li e e ainda a de o mação e ical a meio ão – p o ocada pela excen icidade do p é-es o ço. No cálculo manual do deslocamen o e ical eco eu-se ao mé odo da unidade ic ícia de ca ga, explicado na Equação (4.19), enquan o pa a o deslocamen o ho izon al sabendo o alo da ex ensão acilmen e se ob ém o alo do deslocamen o causado na ex emidade li e. Tabela 3.8 – Deslocamen o no apoio li e (mm) Solução Teó ica E olu ion Des io % -0.646 -0.635 1.79% Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 21 Tabela 3.9 – Deslocamen o e ical a meio ão (mm) Solução Teó ica E olu ion Des io % 2.07 2.04 1.35% Os esul ados ob idos no modelo de cálculo o am bas an e ap oximados, coincidindo a é ao milíme o no deslocamen o e ical e a é à décima de milíme o no deslocamen o e ical. A es a mesma peça oi pos e io men e adicionado um ca egamen o de 50 kN/m com o in ui o de e i ica a al e ação e o desen ol imen o que de no as ensões que de deslocamen os comple amen e con á ios aos p e iamen e exis en es, mos ando na Figu a 3.14 o inc emen o de ensões que a aplicação da ca ga p o oca em cada ib a. De salien a que nes a ase a análise ei a ainda não con abiliza os e ei os di e idos e a e olução ao longo do empo das pe das de p é-es o ço. Figu a 3.14 – Rep esen ação das ensões no mais na pla a o ma E olu ion As ensões inais a que a peça es á sujei a, ap esen adas pelo modelo, não são mais que o soma ó io dos e ei os de cada inc emen o, po isso, somando as ensões exis en es em cada ib a de ido ao e ei o do p é-es o ço com as ensões p o ocadas pela aplicação do ca egamen o na peça, ob ém-se os esul ados ap esen ados na Tabela 3.11 e Tabela 3.10. Tabela 3.10 – Tensão na a madu a de p é-es o ço (kPa) Solução Teó ica E olu ion Des io % 1348022.06 1348081.47 0.004% Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 22 Tabela 3.11 – Tensão no be ão (kPa) Va iação y Solução Teó ica E olu ion Des io % 0.35 -7644.44 -7650.32 0.08% 0.3 -6933.33 -6931.54 0.03% 0.25 -6222.22 -6212.76 0.15% 0.2 -5511.11 -5493.98 0.31% 0.15 -4800.00 -4775.20 0.52% 0.1 -4088.89 -4056.41 0.79% 0.05 -3377.78 -3337.63 1.19% 0 -2666.67 -2618.85 1.79% -0.05 -1955.56 -1900.07 2.84% -0.1 -1244.44 -1181.29 5.07% -0.15 -533.33 -462.51 13.28% -0.2 177.78 256.27 30.63% -0.25 888.89 975.05 8.84% -0.3 1600.00 1693.83 5.54% -0.35 2311.11 2412.61 4.21% Os esul ados ob idos es ão bas an e ap oximados da solução eó ica o que con e e bas an e con iança no modelo pa a o es udo des e ipo de solução de p é-es o ço. Exis em de e minadas secções em que se e i icam picos nas di e enças de ensões, podendo esse ac o se acilmen e explicá el, já que essas di e enças oco em nas ib as co esponden es ao be ão ci cundan e ao cabo p é-es o çado, sendo um p oblema de modelação. Esses picos possi elmen e se iam emo idos caso a malha osse mais po meno izada nessa á ea em especí ico. Na e i icação do deslocamen o e ical a meio ão e i ica-se que com o inc emen o de ca ga a di e ença pe cen ual aumen ou bas an e passando ago a a se de 4.48 %, como mos a a Tabela 3.12, não sendo p eocupan e uma ez que o e o a e a o esul ado na décima de milíme o, man endo assim a con iança no esul ado ap esen ado. Tabela 3.12 – Deslocamen o e ical a meio ão (m) Solução Teó ica E olu ion Des io % -2.53 -2.65 4.48% 3.5.2. PÓS-TENSÃO No caso do es udo do p é-es o ço aplicado po pós- ensão o p og ama possui as uncionalidades IMPOSEDSTRESS e IMPOSEDSTRAIN pa a simula a imposição, espe i amen e, de uma ensão ou ex ensão inal. Uma ez que o modelo con abiliza au oma icamen e as pe das de p é-es o ço de ido à de o mação elás ica do be ão es a uncionalidade em de unciona de o ma i e a i a, p ocedendo ao aumen o necessá io na ensão aplicada na a madu a de p é-es o ço a é compa ibiliza a ensão inal impos a com as de o mações deco en es dessa mesma ensão. Pa a e i ica es a uncionalidade da pla a o ma p ocedeu-se à modelação de uma iga de be ão com 18 me os de ão e p é es o çada com um cabo pa abólico. Fo am usados em conjun o elemen os do ipo TIMOSHENKO e EMBEDDEDCABLE pa a simula espe i amen e as ib as de be ão e da a madu a Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 23 de p é-es o ço. Foi usada uma secção ans e sal em T, com as dimensões especi icadas na Figu a 3.15, e admi indo que a á ea da a madu a de p é-es o ço não p ecisa se conside ada a secção con abiliza uma á ea de 0.64 m2 de be ão. Es a secção oi disc e izada em 128 ib as com um módulo de elas icidade de 38 GPa. A disc e ização da a madu a de p é-es o ço oi ei a eco endo apenas a uma ib a, com um módulo de elas icidade de 206 GPa e uma á ea de 26 cm2. Figu a 3.15 – Esquema da secção ans e sal A iga encon a-se simplesmen e apoiada e oi disc e izada a a és de 18 elemen os do ipo BEAMFIBRE, cada um desses elemen os com 1 me o de desen ol imen o e 2 pon os de Gauss. A iné cia da secção ap esen ada pelo p og ama em es udo é de 0.0515 m4, que é p a icamen e coinciden e com a iné cia es imada eo icamen e desp ezando a in luência do cabo de p é-es o ço, que é ap oximadamen e 0.0516 m4, e não in oduz dispa idades ele an es no cálculo de ensões e de o mações. O cabo assume um açado pa abólico, endo início no cen o de g a idade da peça e a ingindo a meio ão a lecha máxima com o alo de 0.5525 m, na Tabela 3.13 ap esen a-se o açado comple o do cabo po me o de desen ol imen o da iga. Tabela 3.13 – Va iação do açado do cabo de p é-es o ço ao longo da iga Viga (m) Cabo (y) Viga (m) Cabo (y) 0 0.00 10 -0.55 1 -0.12 11 -0.53 2 -0.22 12 -0.49 3 -0.31 13 -0.44 4 -0.38 14 -0.38 5 -0.44 15 -0.31 6 -0.49 16 -0.22 7 -0.53 17 -0.12 8 -0.55 18 0.00 9 -0.5525 - - A a madu a de p é-es o ço ai se acionada a é a ingi uma ensão de 768935 kPa, o equi alen e a uma o ça de 2000 kN, e a o ma pa abólica do açado do cabo ai o igina o apa ecimen o de o ças equi alen es, ap esen adas na Exp essão (3.4), com o alo de 27.3 kN/m. Admi iu-se como azoá el o alo de 40 kN/m pa a ep esen a o ca egamen o a que a iga es a ia sujei a e que o p é-es o ço e ia de equilib a , a a és da ação ic ícia das ca gas equi alen es. Na Figu a3.16 es á exibida a de o mação Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 30 Va iações de empe a u a, no in e alo de 0 ºC a 80 ºC, que in luenciem a ma u idade do be ão podem se conside adas a a és da co eção da idade do be ão usando a seguin e exp essão T=∑e-(4000 273+T(Δ i)-13.65).Δ i n i=1 (4.15) subs i uindo ago a po T nas exp essões co esponden es. Também a idade do be ão à da a do ca egamen o pode se co igida endo em con a que a exposição a a iações de empe a u a que às al e ações ine en es ao uso de di e en es ipos de cimen o, a ibuindo a cada classe um pa âme o ca ac e ís ico, α, a aplica na seguin e exp essão 0= 0,T.(9 2+ 0,T 1.2 +1)α ≥0.5 (4.16) com o alo de α a oma os alo es de -1 caso se a e de um cimen o da Classe S, 0 pa a cimen os da Classe N e 1 pa a cimen os da Classe R. De e se ido em a enção o alo da ensão de comp essão no be ão na idade 0, já que, o Eu ocódigo 2 de ine que caso essa ensão ul apasse o alo de 0.45 ck ( 0) de e se conside ada a não linea idade da luência. A conside ação da não linea idade da luência consis e na subs i uição do coe icien e φ( , 0) po φnl( , 0), sendo es e úl imo de inido em (4.17). φnl( , 0)= φ( , 0)exp(1.5(kσ-0.45)) (4.17) O Módulo de Dis o ção, unção do Módulo de Elas icidade e do coe icien e de Poisson ( elação en e a de o mação ans e sal e a de o mação longi udinal), pode se es imado a a és da unção (4.18): Gm,28=Ecm,28 2(1+ν) (4.18) 4.2.1.1. VERIFICAÇÃO DA FLUÊNCIA Tomando uma iga duplamen e encas ada como exemplo de alidação, Figu a 4.2, oi u ilizado o so wa e Mic oso Excel pa a es ima a de o mação p og essi amen e ao longo do empo de ido à luência, compa ando pos e io men e com os esul ados ob idos com o modelo em es udo. Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 31 Figu a 4.2 – Esquema es u u al da peça T a a-se de uma iga com 10 me os de ão em que é aplicada uma ca ga e ical a meio ão com o alo de 45 kN aos 7 dias e e i ada aos 57 dias, com o obje i o de es uda os e ei os da luência conjugados com a aplicação e emoção de ca egamen o. O modelo da iga, Figu a 4.3, oi usada em exemplos an e io es, nomeadamen e na e i icação do peso p óp io, e ap esen ou alo es sa is a ó ios que de ensões que de de o mações, po essa azão oi omada a opção de usa a mesma iga, es ando assim em condições de lida apenas com os p oblemas o iundos da modelação do compo amen o da luência. Nes e exemplo as ib as o am es udadas com ecu so à uncionalidade TIMOSHENKO, admi ido que o seu compo amen o e a do ipo ELASTICLINEAR e oi a i ada pa alelamen e a uncionalidade CREEP, de o ma ao modelo conside a o e ei o da luência. Op ou-se po usa uma escala loga í mica pa a a e olução empo al uma ez que o e ei o da luência de az sen i pa icula men e nas p imei as idades. Figu a 4.3 – Esquema da modelação u ilizada no es udo da luência A iga oi modelada com be ão C25/30, cujas ca ac e ís icas esis en es, en e ou as impo an es pa a o es udo em causa, es ão de idamen e explanadas no Quad o 3.1 do EC2. Fazendo uso do Mé odo da Unidade Fic ícia de Ca ga, endo em con a que o diag ama de momen os le o es que o diag ama de es o ço ans e so, a de o mação inicial de ida unicamen e ao ca egamen o é dada pela exp essão (4.19) e (4.20). δ= ∫MM  EI 10 0 dx + ∫VV  GA* 10 0 dx (4.19) Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 32 Em que M e V ep esen am os diag amas de momen os e es o ço ans e so a que a iga es á sujei a de ido unicamen e à aplicação da ca ga de 1000kN a meio ão e, consequen emen e, 𝑀  e 𝑉 ep esen am os diag amas de momen o e es o ço ans e so deco en es da aplicação de uma ca ga uni á ia no pon o onde se p e ende de e mina a de o mada da iga. De salien a que o alo da de o mação oma o mesmo alo mas de sinal in e so aquando da emoção do ca egamen o. Pos o is o, o esul ado ob ido é o expos o na equação (4.20). δ= 234.375 3EI +112.5 GA*=0.00722 m (4.20) Sabendo a de o mação impos a pelo ca egamen o é possí el es ima a a iação da de o mação de ido à luência a é à idade de 30 anos pela me odologia ecomendada no EC2, idade a pa i da qual se conside a que a luência já não p oduz e ei os signi ica i os, ob endo assim uma es ima i a do aumen o da de o mação de ido aos e ei os di e idos da luência. Após a ob enção de esul ados pelo modelo numé ico e pelo mé odo do EC2 é possí el en ão compa a a e olução da de o mação, Figu a 4.4. Figu a 4.4 – Va iação da de o mação de ido aos e ei os da luência Pode-se se a i ma en ão que os esul ados ob idos pelo p og ama E olu ion e pela solução eó ica são bas an e ap oximados e con e em segu ança ao u ilizado , con e gindo pa a uma di e ença pe cen ual de ce ca de 4% a pa i dos 57 dias, salien ando que no pe íodo an e io a di e ença pe cen ual se encon a na o dem de 1% o que é bas an e bom. De no a que na modelação da lei cons i u i a CREEP a pa i do momen o que se de ine uma idade inicial 0, os inc emen os empo ais de análise de em se em unção dessa idade inicial. Conc e amen e quando se de ine como caso de es udo um inc emen o empo al 14 dias, onde a idade inicial de ca egamen o o am 7 dias, e e i amen e a peça es á a se es udada pa a a idade de 21 dias. Es a simples disc epância pode conduzi a e os da o dem dos 35 %. 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 110 100 1000 10000 100000 Deslocamen o (m) (dias) E olu ion Solução Teó ica Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 33 4.2.2. RETRAÇÃO A e ação consis e na diminuição da dimensão de uma peça de be ão na ausência de a iações de empe a u a e de ensões aplicadas. Es e enómeno é o iginado pela a iação de olume da pas a de cimen o de ida essencialmen e à e apo ação da água de amassadu a do be ão e às eações de hid a ação das pa ículas de cimen o ou ca bona ação do be ão (Cos a, A., Apple on, J., 2002). A Figu a 4.5 pe mi e uma melho pe ceção do enómeno da e ação. Figu a 4.5 – Rep esen ação simpli icada do uncionamen o da e ação (Cos a, A., Apple on, J., (2002)) O EC2 e e e que a e ação de uma peça de be ão es á dependen e da humidade ambien e, das dimensões do elemen o e da composição do be ão, podendo a ex ensão o al de e ação se di idida em duas pa celas, nomeadamen e a ex ensão de e ação po secagem e a ex ensão de e ação au ogénea. A e ação au ogénea desen ol e-se, na sua maio pa e, nos p imei os dias uma ez que depende do endu ecimen o do be ão e pode se ob ida da seguin e o ma: εca( )=βas( )εca(∞) (4.21) onde εca(∞) = 2.5( ck-10)10-6 (4.22) e Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 34 βas( )=1-exp(-0.2 0.5) (4.23) A e olução com o empo da ex ensão de e ação po secagem é es imada a pa i da Equação (4.24) εcd( )= βds( , s) . kh . εcd,0 (4.24) em que kh é um coe icien e que depende da espessu a equi alen e (h0) de aco do com a Tabela 4.1, e o coe icien e βds( , s) pode se es imado pela Equação (4.25). Tabela 4.1 – Va iação do alo de kh em unção da espessu a equi alen e h0 kh 100 1.0 200 0.85 300 0.75 ≥500 0.70 βds( , s)= ( - s) ( - s)+0.04 √h0 3 (4.25) ela i amen e ao alo da ex ensão de e ação po secagem de e e ência, εcd,0, o Anexo B do EC2 ap esen a a Equação (4.26) pa a es ima o seu alo . εcd,0=0.85[(220+110 . αds1). exp (-αds2 . cm cmo)] . 10-6 . βRH (4.26) onde cm0 assume o alo de 10 MPa e os coe icien es αds1 e αds2 dependem do ipo de cimen o usado, assumindo os alo es indicados na Tabela 4.2. Tabela 4.2 – Valo dos coe icien es αds em unção do ipo de cimen o Cimen o αds1 αds2 S 3 0.13 N 4 0.12 R 6 0.11 sendo ainda βRH=1.55 [1 -(RH RH0)3] (4.27) com RH0 a assumi o alo de 100%. 4.2.2.1. VERIFICAÇÃO DA RETRAÇÃO SEM IMPEDIMENTO DE DEFORMAÇÕES Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 35 Pa a e e ua a e i icação da iabilidade do modelo no es udo da e ação oi modelada uma iga em udo idên ica à da iga usada no es udo da luência endo como única di e ença a ausência de ca egamen o e a iga encon a-se simplesmen e apoiada pa a pe mi i a de o mação li e de ido aos e ei os unicamen e da e ação, Figu a 4.6, cujo es udo oi pe mi ido a a és da a i ação da uncionalidade SHRINKAGE de o ma análoga ao e e uado no es udo da luência. Figu a 4.6 – De o mação ap esen ada pela pla a o ma E olu ion pa a uma iga sujei a à e ação Na Tabela 4.3 são ap esen adas as ex ensões espe adas pa a a e ação po secagem, au ogénea e a soma de ambas pelo mé odo ecomendado pelo EC2 Tabela 4.3 – Ex ensões de ido à e ação segundo o EC2 ecd( ) eca( ) ecs( ) 0.00 0 0 0 21.39 -9.41504E-05 -2.26288E-05 -0.000116779 42 -0.000149711 -2.73618E-05 -0.000177073 85 -0.000212375 -3.16026E-05 -0.000243977 171 -0.000268585 -3.47591E-05 -0.000303344 342 -0.00030955 -3.65726E-05 -0.000346123 684 -0.000335106 -3.72997E-05 -0.000372406 1368 -0.000349534 -3.74771E-05 -0.000387011 2737 -0.000357224 -3.74989E-05 -0.000394723 5475 -0.000361198 -3.75E-05 -0.000398698 10950 -0.000363218 -3.75E-05 -0.000400718 Após a ob enção da ex ensão o al de e ação expec á el pela Equação (4.28) consegue-se es ima qual o encu amen o da peça e seguidamen e compa a com encu amen o ex aído do modelo numé ico, ap esen ando na Figu a 4.7 o g á ico compa a i o da e olução ao longo do empo da a iação das ex ensões na peça. ε= ΔL L⇔ ΔL=ε . L (4.28) Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 36 Figu a 4.7 – Compa ação en e o encu amen o de ido à e ação calculada pelo EC2 e pela pla a o ma E olu ion Rela i amen e aos esul ados ap esen ados es a dize que a con e gência é cla a, ap esen ando alo es p a icamen e coinciden es, es ando o des io pe cen ual semp e abaixo de 0.01%. 4.2.2.1. VERIFICAÇÃO DA RETRAÇÃO COM IMPEDIMENTO DE DEFORMAÇÕES Es e exemplo de aplicação é uma a iação do exemplo an e io , p e endendo ago a a a és do bloqueio do deslocamen o no eixo da ba a es uda as ensões o iginadas na iga unicamen e pelos e ei os da e ação. No exemplo an e io o am calculadas pelo mé odo do EC2 as ex ensões expec á eis de ido à e ação, Tabela 4.3, podendo ago a ex apola as ensões que essas de o mações p o oca iam na peça caso es i esse ixa em ambas as ex emidades. A lei de Hooke pe mi e o elacionamen o das ensões com ex ensões a a és da seguin e exp essão: σ= ε . E (4.29) Após a aplicação da exp essão (4.29) às ex ensões calculadas no exemplo an e io compa a am-se os esul ados das ensões ob idos no modelo. A Figu a 4.8 mos a cla amen e que os esul ados são p a icamen e coinciden es, es ando o seu des io pe cen ual abaixo de 0.01%. Pode-se conclui po an o que a espos a do p og ama oi bas an e sa is a ó ia e os seus esul ados de g ande con iança. -0.0045 -0.0040 -0.0035 -0.0030 -0.0025 -0.0020 -0.0015 -0.0010 -0.0005 0.0000 110 100 1 000 10 000 100 000 Deslocamen o (m) (dias) E olu ion Solução Teó ica Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 37 Figu a 4.8 – Compa ação en e a e ação calculada pelo EC2 e pelo modelo numé ico 4.3. AÇO 4.3.1. RELAXAÇÃO A pe da de ida à elaxação é de inida no EC2 como a elação, em pe cen agem, en e a a iação da ensão de p é-es o ço em de e minado ins an e em elação à ensão inicial de p é-es o ço e pode se de e minada pa a um qualque ins an e , em ho as, após a aplicação do p é-es o ço u ilizando uma das exp essões (4.30), (4.31) ou (4.32), que co espondem, espe i amen e, à classe 1, 2 e 3 de elaxação de inidas no EC2. Essas classes indicam o compo amen o do aço em elação à elaxação, cons i uindo a p imei a classe os co dões e ios com elaxação no mal, na segunda classe es ão ag upados os co dões e ios com elaxação baixa, e po im, na e cei a classe es ão inco po adas as ba as laminadas a quen e e com a amen o complemen a . Δσp σpi =5.39* ρ1000*e6.7μ ( 1000)0.75(1-μ)*10-5 (4.30) Δσp σpi =0.66* ρ1000*e9.1μ ( 1000)0.75(1-μ)*10-5 (4.31) Δσp σpi =1.98* ρ1000*e8μ( 1000)0.75(1-μ)*10-5 (4.32) onde Δσp ep esen a o alo absolu o das pe das de p é-es o ço de ido à elaxação e σpi é o alo da ensão inicial aplicada na a madu a de p é-es o ço. O alo de μ é ob ido a a és do coe icien e σpi/ pk, onde pk é o alo ca ac e ís ico da esis ência à ação do aço de p é-es o ço. O cálculo das pe das de ido à elaxação do aço de p é-es o ço de e á basea -se no alo de ρ1000, que é a pe da de ida à elaxação 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 110 100 1 000 10 000 100 000 Tensões (Pa) (dias) E olu ion Solução Teó ica Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 38 (em pe cen agem da ensão inicial) 1000 ho as após a aplicação do p é-es o ço a uma empe a u a média de 20ºC, sendo ob ida pa a uma ensão inicial de 0.7 pk. Os alo es a longo p azo das pe das de idas à elaxação pode ão se es imados pa a um empo igual a 500 000 h. No Anexo D do EC2 es á ainda de inida a me odologia a u iliza pa a o cálculo das pe das no p é-es o ço de ido à elaxação quando exis em inc emen os de ensão aplicados no aço de p é-es o ço. Es e mé odo é baseado no p incípio do empo equi alen e, e, ob endo-se o seu alo a pa i da esolução de uma das Equações (4.30), (4.31) ou (4.32), con o me a classe em es udo, em o dem a . Po simpli icação, uma ez que es e p incípio se aplica a qualque uma das 3 classes, esol eu-se a Equação (4.31) em o dem a , ob endo a Equação (4.33). e=10000.75(1-μ)√∑Δσp ,j i-1 j=0 (Δσp,i +∑Δσp,j)*10-5*0.66*ρ1000*e9.10-μ i-1 j=0 (4.33) onde Δσp,i é o inc emen o de ensão no aço de p é-es o ço no ins an e i, ∑Δσp,j i-1 j=0 é o soma ó io de odos os inc emen os de ensão aplicados ao aço de p é-es o ço, e po úl imo, ∑Δσp ,j i-1 j=0 é o soma ó io de odas as pe das po elaxação de e minadas a é ao ins an e i-1. O alo de μ nes as condições passa a se de e minado pela exp essão (4.34). μ= ∑Δσp ,j i-1 j=0 (Δσp,i +∑Δσp,j) i-1 j=0 (4.34) O empo e é de e minado pa a que subs i uindo pelo alo de e + Δ i na equação ela i a à classe em es udo, se o ne possí el de e mina o soma ó io de odos os inc emen os de ensão aplicados ao aço de p é-es o ço. Δσp ,j é o soma ó io de odos os inc emen os de ensão aplicados ao aço de p é-es o ço. A u ilização des e mé odo p e ê que as pe das po elaxação calculadas num de e minado ins an e sejam iguais ao soma ó io das pe das de e minadas pa a uma ensão inicial igual ao soma ó io dos inc emen os de ensão aplicados no aço de p é-es o ço. 4.3.1.1. VERIFICAÇÃO DA RELAXAÇÃO Pa a e i ica a espos a do p og ama ela i amen e ao es udo do compo amen o da elaxação modelou- se uma iga de be ão p é-es o çado eco endo à écnica de p é- ensão. T a a-se de uma iga simplesmen e apoiada de 10 me os de ão, simulando o uso de um be ão com um módulo de elas icidade de 38 GPa – classe C55/67 segundo o EC2 – e uma a madu a de p é-es o ço com uma ensão ca ac e ís ica de esis ência à ação de 1860 MPa, admi indo o seu compo amen o é de classe 2, ou seja, com baixa elaxação. A secção ans e sal é e angula com uma á ea de 0.5 m2 (0.5x1) e iné cia no eixo ho izon al no alo de 0.04167 m4, exis indo um cabo de p é-es o ço embebido no seu in e io com uma á ea de 9 cm2. Pa a a modelação dos elemen os cons i uin es da secção ans e sal u iliza am-se 50 ib as do ipo TIMOSHENKO e apenas 1 ib a EMBEDDEDCABLE pa a simula , espe i amen e, os elemen os de be ão e os elemen os de aço. O cabo assume um açado pa abólico, como mos a a Figu a 4.9, a ingindo uma lecha de 0.35 m a meio ão. É de ealça que apenas po se Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 39 a a de um exemplo eó ico se pode es uda um cabo pa abólico sujei o a p é- ensão, o que na ealidade é imp a icá el, já que não é possí el assegu a o açado pa abólico an es da be onagem. Figu a 4.9 – Modelação de uma iga com p é-es o ço pa abólico A disc e ização da peça ealizou-se u ilizando 10 elemen os do ipo BEAMFIBRE, cada um desses elemen os em um desen ol imen o de 1 me o e é cons i uído po 3 nós e 2 pon os de Gauss pa a p ocede a uma in e polação adequada. Foi exe cida uma o ça de 1260 kN na a madu a de p é-es o ço, que co esponde a uma ensão de 1400 MPa, mas como a écnica de p é-es o ço u ilizada oi a p é- ensão (APPLIEDSTRESS), que aca a pe das ins an âneas de ido à de o mação elás ica do be ão, sendo que a ensão que e e i amen e icou ins alada no cabo de p é-es o ço oi de 1366.26 MPa, ou seja, a de o mação elás ica do be ão p o ocou uma pe da 33.74 MPa. A de e minação des es esul ados oi ob ida eco endo à Lei de Hooke, onde a a és do cálculo da ensão no mal é possí el de e mina a ex ensão na peça de be ão e a consequen e ex ensão na a madu a de p é-es o ço, uma ez que a a madu a é conside ada ade en e à iga, que p o oca o dec éscimo de ensão no cabo. Compa a i amen e com os esul ados ob idos pela pla a o ma E olu ion a di e ença pe cen ual é de apenas 0.04%, p a icamen e coinciden es, ap esen ando uma ensão inicial após pe das po de o mação elás ica de 1366.84 MPa. A pa i des e momen o odas as pe das ap esen adas de em-se unicamen e à elaxação da a madu a de p é-es o ço uma ez que não se in oduzi am os e ei os di e idos no be ão. Pa a o na o exemplo mais in e essan e ealizou-se um inc emen o de ensão ao inal de 7 dias após a p imei a aplicação de ensão, do mesmo ipo – APPLIEDSTRESS – no alo de 90 kN, o co esponden e a 100 MPa, e i icando con inuamen e a e olução da ensão na a madu a. Na Figu a 4.10 é demons ada a e olução, e compa ação, da ensão no cabo de p é-es o ço ao longo do empo a é um pe íodo de ap oximadamen e 27 anos (240000 ho as), e é cla a a con e gência dos esul ados ao longo de odo o pe íodo es udado, sendo possí el conclui que es a uncionalidade es á a unciona plenamen e e ansmi e g ande con iança. Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 46 Tabela 5.5 – Compa ação das ensões com apoio (kPa) Solução Teó ica E olu ion Va iação y (m) 1/4 Vão 1/2 Vão 1/4 Vão 1/2 Vão Des io % -0.225 -1350 1620 -1300 1560 3.7% -0.175 -1050 1260 -1011 1213 3.7% -0.125 -750 900 -722 867 3.7% -0.075 -450 540 -433 519 3.8% -0.025 -150 180 -144 173 4.0% 0.025 150 -180 144 -173 4.0% 0.075 450 -540 433 -519 3.8% 0.125 750 -900 722 -867 3.7% 0.175 1050 -1260 1011 -1213 3.7% 0.225 1350 -1620 1300 -1560 3.7% Tabela 5.6 – Compa ação das ensões sem apoio (kPa) Solução eó ica E olu ion Va iação y (m) 1/4 Vão 1/2 Vão 1/4 Vão 1/2 Vão Des io % -0.225 -4320 -4320 -4364 -4364 1.0% -0.175 -3360 -3360 -3394 -3394 1.0% -0.125 -2400 -2400 -2424 -2424 1.0% -0.075 -1440 -1440 -1455 -1455 1.0% -0.025 -480 -480 -485 -485 1.0% 0.025 480 480 485 485 1.0% 0.075 1440 1440 1455 1455 1.0% 0.125 2400 2400 2424 2424 1.0% 0.175 3360 3360 3394 3394 1.0% 0.225 4320 4320 4364 4364 1.0% Na Tabela 5.7 e na Tabela 5.8 ap esen am-se os esul ados ob idos a a és do p og ama pa a as de o mações em es udo. Tabela 5.7 – De o mação e ical expec á el Com Apoio Sem Apoio 1/4 Vão 1/2 Vão 1/4 Vão 1/2 Vão -0.000209 0 -0.00345 -0.00473173 Tabela 5.8 – De o mação e ical ap esen ada pela pla a o ma E olu ion (m) Com Apoio Sem Apoio 1/4 Vão 1/2 Vão 1/4 Vão 1/2 Vão -0.00021 0 -0.00349 -0.00478 Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 47 A Tabela 5.9 ap esen a a compa ação em e mos pe cen uais dos esul ados ob idos ela i amen e às de o mações. Os esul ados são bas an es sa is a ó ios no que diz espei o às de o mações e icais da peça an es e após a libe ação do apoio, localizando-se a sua di e ença pe cen ual na o dem da unidade pe cen ual e azendo-se no a apenas da décima do milíme o. Rela i amen e às ensões, an es da libe ação do apoio a meio ão as ensões em uma di e ença pe cen ual signi ica i a, mas apesa disso encon am-se bas an e p óximas nos alo es absolu os, não sendo po isso um sinal de ala me ou de mal uncionamen o do p og ama em es udo. Após a libe ação do apoio as ensões con e gem no amen e pa a uma di e ença pe cen ual de apenas 1 % o que é ep esen a i o da iabilidade do modelo numé ico. Tabela 5.9 – Des io pe cen ual en e os esul ados expec á eis e os ob idos Flecha Com Apoio Sem Apoio 1/4 Vão 1/2 Vão 1/4 Vão 1/2 Vão 1.3% 0.0% 1.0% 1.0% 5.3.3. ON/OFF DE UM ELEMENTO DA VIGA Rela i amen e à uncionalidade ON/OFF e i icou-se po úl imo um e cei o exemplo em que o obje i o passa po es uda uma iga em que num de e minado momen o uma pa e dessa mesma iga é desligado, dando o igem a duas igas com compo amen o o almen e independen e, como mos a a Figu a 5.6. Figu a 5.6 – Demons ação do compo amen o da uncionalidade ON/OFF Op ou-se po uma secção quad ada pa a a iga em es udo, sendo ei a a disc e ização da mesma eco endo apenas a 10 ib as ho izon ais do ipo TIMOSHENKO. A á ea da secção é de 1x1 m2, e oi admi ido o alo de 1 GPa como módulo de elas icidade. A iga es á encas ada em ambas as ex emidades e possui um ão de 10 me os. Nes e exemplo, is o o obje i o p incipal de es udo se em as de o mações ap esen adas an es e após o ecu so à uncionalidade ON/OFF na modelação dos elemen os de ba a oi u ilizado um modelo mais simples, que como já demons ado em capí ulos an e io es, ap esen a esul ados bas an e sa is a ó ios. Pos o is o, a modelação ealizada nesses mesmos elemen os eco eu apenas a 2 nós e um pon o de Gauss po elemen o, e cada um des es elemen os em a dimensão de 1 me o. Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 48 Sujei ou-se a iga a um ca egamen o compos o unicamen e po uma ca ga pon ual com o alo de 100 kN, deslocada 1 me o do cen o, encon ando-se a 4 me os do encas amen o, como mos a a Após a esolução da es u u a, de e minando os diag amas de es o ços ans e sos e de momen os, eco eu-se ao Mé odo da Unidade Fic ícia de Ca ga pa a assim de e mina o deslocamen o e ical expec á el no pon o de aplicação da ca ga nos dois ins an es dis in os em que a iga assume um compo amen o duplamen e encas ado e seguidamen e oma o compo amen o de uma consola, após desliga 2 elemen os. Chegou-se en ão à conclusão que o alo da de o mação se ia dado pela exp essão seguin e. δ= 460.8 EI +242.30 GA* (5.4) onde a iné cia assume o alo de 1/12 m4 e a á ea de co e oma o alo de 5/6 do alo da á ea. Os esul ados ob idos pela Exp essão (5.4) es ão ap esen ados na Tabela 5.10. Tabela 5.10 – Deslocamen os Ve icais (em mm) no Pon o de Aplicação da Ca ga – UFC Deslocamen o Duplamen e Encas ada Deslocamen o Consola -6.23 -26.75 Ap esen ando e compa ando, na Tabela 5.11, é possí el e i ica que os esul ados são bas an e ap oximados e as di e enças ap esen adas não são pa icula men e ele an es. Salien a-se que no caso em que a di e ença pe cen ual é maio , caso em que a iga se encon a duplamen e encas ada, a di e ença em absolu o é de apenas 0.19 milíme os. Tabela 5.11 – Deslocamen os Ve icais (em mm) no Pon o de Aplicação da Ca ga – E olu ion Deslocamen o Des io % Duplamen e Encas ada -6.04 3.03% Consola -26.61 0.54% É espe ado que na p imei a ase a peça ap esen e ensões mais eduzidas e com os es o ços de ação localizados na zona in e io da secção ans e sal a meio ão, pos e io men e, de ido à al e ação expe imen ada, é expec á el que o es ado de ensão so a a iações bas an e signi ica i as, es ando a peça sujei a a ensões maio es em módulo, e ainda, a mudança de ca ác e das ensões, encon ando-se a zona supe io da secção sujei a a es o ços de ação. Reco endo uma ez mais à a iação da Lei de Hooke o am de e minadas as ensões espe adas po cada ní el de ib as, sendo ap esen ados e compa ados em e mos de des io pe cen ual os esul ados na Tabela 5.12. Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 49 Tabela 5.12 – Compa ação das ensões no mais Duplamen e Encas ada Consola Va iação y Solução Teó ica E olu ion Des io % Solução Teó ica E olu ion Des io % 0.45 -622.08 -610 1.94% 1080 1049.3 2.84% 0.35 -483.84 -475 1.83% 840 815.4 2.93% 0.25 -345.6 -339 1.91% 600 582.6 2.90% 0.15 -207.36 -203 2.10% 360 349.8 2.83% 0.05 -69.12 -67.8 1.91% 120 116.92 2.57% -0.05 69.12 67.8 1.91% -120 -116.92 2.57% -0.15 207.36 203 2.10% -360 -349.8 2.83% -0.25 345.6 339 1.91% -600 -582.6 2.90% -0.35 483.84 475 1.83% -840 -815.4 2.93% -0.45 622.08 610 1.94% -1080 -1049.3 2.84% As de o mações e ensões ap esen adas pa a cada um dos ins an es em es udo co espondem ao espe ado e ap esen am uma ap oximação bas an e sa is a ó ia. Es a uncionalidade é uma g ande mais- alia do p og ama na modelação de es u u as e olu i as. Exis e um ligei o des io pe cen ual mas não impedi i o do uso, uma ez que globalmen e e em módulo os esul ados são bas an e ap oximados. De e ainda salien a -se que a modelação da secção, o núme o de elemen os usados pa a disc e iza a peça e ainda os pon os de Gauss escolhidos pa a ealiza a in e polação são de g ande impo ância e de em se escolhidos cuidadosamen e, uma ez que podem conduzi a di e enças pe cen uais bas an e signi ica i as. 5.4. VIGA HELICOIDAL Oña e, E. (1995) ealizou o es udo de uma iga helicoidal com o obje i o de p o a a con e gência dos esul ados compa ando os alo es ob idos pa a á ias modelações. A disc e ização ei a po Oña e, E. (1995) compo a a combinação de duas a iá eis, nomeadamen e o núme o de elemen os u ilizados e o núme o de nós u ilizados po elemen o. A iga oi assim disc e izada eco endo a 4 o mas di e en es eco endo a 2, 8, 16 e 32 elemen os, e em cada uma dessas a iações do núme o de elemen os o am u ilizados 2, 3, 4, 5 e 6 nós po elemen o, compa ando pos e io men e os esul ados. O au o des a disse ação omou como opção pa a a e i icação do modelo a disc e ização da peça em 32 elemen os com 3 nós em cada um desses elemen os, solução essa que no es udo dos esul ados ap esen ados po Oña e, E. (1995) conduziu aos alo es a pa i dos quais exis e con e gência. T a a-se de uma iga duplamen e encas ada sujei a apenas ao peso p óp io com o alo 25 kN/m3 e com um módulo de elas icidade de 210 GPa. O seu módulo de dis o ção assume o alo de 70 GPa de ido ao alo do coe icien e de Poisson especi icado na bibliog a ia se 0.5. A secção ans e sal da iga em as dimensões de 0.4x0.6 m2 e a sua disc e ização oi ei a com ecu so a 36 ib as do ipo TIMOSHENKO com as dimensões de 0.1x0.1 m2 cada uma dessas ib as. A Figu a 5.7 mos a o desen ol imen o da iga em al u a e em plan a. Em plan a a iga assume um aio de 1.5 m e comple a uma o ação de 240º enquan o em al u a a inge o alo máximo de 2𝜋. Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 50 Figu a 5.7 – Modelação de uma iga helicoidal Na Tabela 5.13 es ão ap esen ados os esul ados ob idos a a és da modelação e e uada pa a o alo do deslocamen o e ical a meio ão e pa a o alo da eação e ical no opo da iga. Tabela 5.13 – Resul ados ob idos na pla a o ma E olu ion Deslocamen o Ve ical (mm) Reação Ve ical (kN) -0.0322 26.676 Os esul ados ap esen ados pelo modelo de numé ico não coincidem com a solução ap esen ada po Oña e, E. (1995), azão pela qual es a modelação oi igo osamen e e is a e não oi encon ado nenhum e o de modelação po pa e do au o des a disse ação. Es a disc epância de esul ados e apa en e ausência de e os de modelação le ou a que osse ei a uma e i icação complemen a do alo expec á el da eação e ical no opo da iga. A o ma helicoidal da iga ob igou ao ecu so a in eg ais pa a que pudesse se de e minado o desen ol imen o o al da iga pa a assim se possí el de e mina o ca egamen o co esponden e ao peso p óp io. Sabendo que o aio é de 1.5 m e que o desen ol imen o ci cula em plan a a ia en e 0º e 240º (en e 0 e 4𝜋/3) é possí el es abelece as coo denadas de cada pon o endo como a iá el o alo do ângulo nesse pon o, ap esen ando nas Equações (5.5), (5.6) e (5.7) as espe i as exp essões. x(θ)=1.5sinθ (5.5) y(θ)=1.5cos(θ) (5.6) z(θ)= 2πθ 4π/3 (5.7) l= ∫√x(θ)2+y(θ)2+z(θ)2 4π 3 0 dθ (5.8) Após a esolução in eg al ap esen ado na Equação (5.8) ob e e-se o alo de 8.8858 m como o co esponden e comp imen o o al da iga. É possí el ago a de e mina qual a eação e ical expec á el no encas amen o, que co esponde à abso ção de me ade da ca ga calculada a a és da mul iplicação da á ea da secção ans e sal pelo comp imen o e pelo peso p óp io. O esul ado ob ido oi de 26.66 kN, Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 51 que é p a icamen e coinciden e com o alo ap esen ado pelo modelo numé ico. Rela i amen e ao deslocamen o e ical eco eu-se ao p og ama de cálculo au omá ico de es u u as Robo S uc u al Analysis, como mos a a Figu a 5.8. Figu a 5.8 – Modelação Viga Helicoidal no Robo S uc u al Analysis O Robo S uc u al Analysis ap esen ou o alo de -0.03644 mm como o esul ado do deslocamen o e ical a meio ão. Na Tabela 5.14 ap esen a-se a compa ação dos esul ados ob idos no modelo e a a és das compa ações complemen a es. Apesa de os esul ados ob idos não se em coinciden es com a solução ap esen ada po Oña e, E. (1995) udo indica que o modelo es á a unciona co e amen e, já que ela i amen e ao alo da eação e ical pode-se a i ma que são coinciden es e no que diz espei o ao deslocamen o e ical apesa de ap esen a uma di e ença de quase 12% a di e ença em e mos absolu os é quase insigni ican e. A azão da di e gência en e os esul ados ob idos e a solução ap esen ada po Oña e, E. (1995) pode de e -se à in e p e ação dos esul ados uma ez que as e i icações complemen a es conduzi am a esul ados bas an e p óximos. Tabela 5.14 – Compa ação de esul ados Deslocamen o Ve ical (mm) Reação Ve ical (kN) E olu ion -0.0322 26.676 Ve i icação -0.0364 26.66 Des io % 11.68% 0.06% Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 52 Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 53 6 CONCLUSÕES E PERSPETIVAS FUTURAS 6.1. CONCLUSÕES Após a ealização des e abalho é possí el e i a algumas ilações no que diz espei o aos obje i os p opos os, mas ambém sob e o uncionamen o ge al do p og ama es udado. A pla a o ma E olu ion é uma e amen a bas an e ú il, pode osa e lexí el. A linguagem u ilizada na in odução de dados é mui o in ui i a e apidamen e se abso e os conhecimen os necessá ios pa a a sua u ilização. Pe mi e a disc e ização e modelação de um g ande núme o de es u u as, endo em con a a especi icidade de cada uma delas, admi indo ajus a o modelo a cada uma delas. É de salien a a possibilidade da pa ição dos dados, possibili ando a disc e ização da secção, elemen os ou apoios em ichei os de ex o sepa ados, o nando mais ácil a il agem e co eção de e en uais e os na modelação. A ealização des a disse ação le ou à cons i uição de á ios benchma ks que alidam a pla a o ma como obus a e con iá el, uma ez que num p óximo desen ol imen o da pla a o ma, usando qualque uma das uncionalidades alidadas, o p og ama e e ua á em segundo plano a compa ação au omá ica dos esul ados ob idos à da a com os que p e iamen e cons i uí am os espe i os benchma ks. Ga an indo assim que mesmo após al e ações ao código o p og ama es á a unciona co e amen e, ou pelo con á io a e ado de alguma o ma. No e cei o capí ulo o am cons i uídos benchma ks sob e as de o mações impos as e sob e o be ão p é-es o çado. No qua o capí ulo, e e en e às leis de compo amen o ma e ial, o am es abelecidos benchma ks ela i amen e ao compo amen o di e ido do be ão, nomeadamen e da luência e da e ação, e do aço de p é-es o ço, conc e amen e sob e a elaxação desse ma e ial. No quin o e úl imo capí ulo de es es o am ins i uídos es es-pad ão ela i amen e às uncionalidades On/O , que ob igou a á ias e isões do código, e do es udo de secções a iá eis, das quais a pla a o ma es udada em uma excelen e capacidade de es udo. 6.2. DESENVOLVIMENTOS FUTUROS Nes e subcapí ulo são deixadas algumas ecomendações pa a e en uais abalhos u u os com a in enção de melho a o p og ama em es udo. Es as obse ações podem se cla amen e di e enciadas em dois ipos: a e i icação de uncionalidades já compo adas pela pla a o ma E olu ion que não o o am no deco e des a disse ação e a implemen ação de benchma ks pa a no as uncionalidades. Assim, no que diz espei o às uncionalidades já inco po adas no p og ama ecomenda-se que seja ei a a e i icação do compo amen o de elemen os do ipo STAYCABLE, que se em pa a a modelação de i an es, o que ob iga o iamen e implica o es udo da lei de compo amen o não-linea geomé ico, e ainda a e i icação da lei de compo amen o não-linea ma e ial do be ão, nomeadamen e no es udo da issu ação. Rela i amen e à in odução de no as capacidades a implemen ação de elemen os ini os de casca, de es ado plano de ensão e de olume o na ia o p og ama mais obus o e melho p epa ado pa a o es udo de um leque mais ab angen e de es u u as. Do a o p og ama da capacidade de ealiza análises Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 54 dinâmicas e a u ilização de leis de compo amen o de no os ma e iais, nomeadamen e ib as de ca bono, se iam uma g ande mais- alia. Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al 55 BIBLIOGRAFIA Aze edo, Ál a o F. M. - Mé odo dos Elemen os Fini os. (2003). CEB-FIP - Comi é Eu o-In e na ional du Bé on - "CEB-FIP Model Code 1990 - Design Code" Thomas Tel o d. 1993. Clough, R. W. - The Fini e Elemen in Plane S ess Analysis. P oc. 2nd ASCE Con . on Elec onic Compu ing, Pi sbu gh. (1960). Cos a, A., Apple on, J. - Es u u as de Be ão I - Ins i u o Supe io Técnico. (2002). EC2 - Eu ocódigo 2 - P oje o de es u u as de be ão. 2010. Fe az, Miguel Ângelo Ca alho - Modelo de A aliação do Compo amen o Es u u al de Ob as de A e. FEUP. (2010). Figuei as, J. A. - Dimensionamen o de Es u u as de Be ão P é-Es o çado. (1993). Gup a, K. K., Meek, J. L. - A B ie His o y o he Beginning o he Fini e Elemen Me hod. In e na ional Jou nal o Nume ical Me hods in Enginee ing. Vol. 39. (1996). p. 3761 - 3774. Ju andes - Resis ência dos Ma e iais 2. (2002). 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