Geometria e Proporção

2_04_c_01 Xavier, J.P., "Geometria e proporção". In Tavares, Domingos, António Rodrigues. Renascimento em Portugal. Porto: Dafne Editora, 2007, pp. 103-120.  Introdução Cidades da Renascença Um arquitecto discreto Cultura de príncipes Onze Mil Virgens Rigor e variações Lições de Arquitectura Geometria e proporção (João Pedro Xavier) Último capítulo Referências bibliográficas 9 15 31 43 61 77 91 103 121 134 Sumário 103 Ser esperto na Geometria, já que não se pode fazer nada sem hela, e saber de Música, para entender as proporções das vozes, porque por estas porposoyse ˜etemdera as proposois que am de ter seus edefisios,* são, segundo António Rodrigues, duas das condições indispensáveis, ou partes, para quem houver de fazer profição de arquiteto. Outras, são as demais disciplinas do quadrivium, a Aritmética e a Astronomia, e que, com estas, compõem a Arte Matemática. Mas, de todas, é iniludível o primado da Geometria no conhecimento e exercício desta Arte. Gyometria não he outra couza que feguras, as quais nam se podem fazer sem linhas, e amgulos, e pomto…, refere António Rodrigues. E é precisamente pelo ponto que se iniciam as definições do Capitolo (ou Livro) em que se declara que couza he Giometria. Depois a linha. A seguir, duas linhas… que podem ser paralelas mas que, caso o não sejam, formarão um ângulo. Note-se um caso particular: o ângulo direito (ou recto). Com três linhas, formando ângulos, chega-se ao triângulo, a primeira das figuras poligonais ou direitas. Porque há as convexas e as côncavas no âmbito das quais se enquadra o círculo. Este só será perfeito se obedecer a três condições: ter um centro, ser definido por uma circunferência (ha qual não tem premsypio n˜e fim) e se desse centro a qualquer ponto da circunferência corresponder a mesma distância, ou seja, o raio. Perfeito será também o triângulo, de três lados iguais e três ângulos iguais, bem como quadrado, de quatro lados iguais e quatro ângulos iguais. Geometria e proporção João Pedro Xavier * Códice 3675 da Biblioteca Nacional rodrigues · renascimento em portugal 104 Porque o rombo (ou losango) já não o será, por não cumprir a condição da igualdade dos ângulos, nem tampouco o tetrágono longo (ou rectângulo), por falta de igualdade dos seus lados. Mas relativamente às figuras, mais do que conhecê-las, importa saber construí-las com régua e compasso, primeiro no papel de desenho, depois, multiplicada a escala, sobre o terreno dando cumprimento à ‘pramta’, ou então, materializadas em fios desenhados sobre um plano vertical fictício que dará lugar a uma fachada delineada na ‘montea’ e/ou à secção do edifício definida no ‘perfice’. Porque é a finalidade prática da Geometria, a arte de construir no caso, que comanda a ordenação dos saberes: trataremos daquelas feguras que para este tratado são nesessarias com ha declarassão de cada h˜ua e o pera que servem. Euclides sim, mas quanto baste. Para quem quiser saber mais fica a recomendação: quem for coriozo desta harte estude Hoclides, e nele achará bem couza em que se desemfade. O círculo, sabemo-lo bem, define-se com uma volta completa do compasso. Assumimo-lo na mão de Deus enquanto arquitecto do universo* e emprestámo-lo ao homem para, como arquitecto terreno, desenhar a cidade ideal e a casa divina. Assim terá desenhado Rodrigues, em planta, a projecção da cúpula, qual abóbada celeste, do espaço sepulcral da capela das Onze Mil Virgens, bem como o semicírculo correspondente à sua secção transversal. Para atingir a translucidez que a torna mágica, terá sido decerto o corte, a parete di dentro como diria Raffaello, que o ajudou a definir o calibre da concha de mármore rosa de Estremoz de que é feita, até mínimos quase impensáveis. Assim, também, Diogo Castilho e João de Ruão prefiguraram a igreja de São Salvador dos Agostinhos da Serra do Pilar e o seu claustro, alinhando dois espaços cilíndricos, num sábio jogo de complementaridade, o primeiro coro- * Murtinho, Vítor, Compasso e Prudência, in Tavares, Domingos, Philibert Delorme, profissão de arquitecto. Porto 2004 105 ado com uma cúpula celeste fictícia, feita à imagem do Panteão de Roma, o segundo aberto para o céu real, enquanto Torralva viria a preferir explorar a ambiguidade resultante da intersecção de dois espaços circulares cupulados na capela de Santo Amaro em Alcântara. No círculo, como sabemos, podemos inscrever todo o polígono regular, que estará condenado à centralidade por filiação genética, desde um número infinito de lados, situação em que o polígono coincide com o próprio círculo, ao número mínimo de três, onde o polígono é o triângulo perfeito (ou equilátero). Sabemos como é fácil inscrever o triângulo perfeito no círculo. Basta manter a abertura do compasso. Mas também é possível construí-lo a partir de um lado, conforme descreve António Rodrigues, seguindo Euclides (c.360-300 a.C.), desenhando dois círculos com centro nos seus extremos e raio igual ao lado, garantindo, deste modo, a equidistância dos vértices. A forma resultante da intersecção desses círculos geradores do triângulo perfeito, que pode ser construído para um ou para o outro lado da base, veio a chamar-se vesica piscis tornando-se Definição 13 do Livro de Geometria do Códice 3675 BN geomet ri a e proporção rodrigues · renascimento em portugal 106 um símbolo de Deus, como o triângulo, aliás, se associou desde logo à Trindade. Daí que a vesica tenha servido para dar forma à nave de muitas basílicas, sobretudo medievais, através do rectângulo que a circunscreve, cuja relação dos lados é de 1:√3, se bem que, genericamente, todas as configurações derivadas do triângulo equilátero e, em particular, as hexagonais, tenham sempre implícitas esta razão. Não é o caso de nenhum dos templos projectados por Rodrigues. Mas, ainda assim, é possível detectar a presença significativa do triângulo equilátero na capela das Onze Mil Virgens na definição do perfil do cone circunscritor do zimbório que coroa a cúpula do sepulcro. A seguir ao triângulo vem o quadrado perfeito. Rodrigues não explica o procedimento para a sua inscrição no círculo. Talvez porque a construção, a partir das linhas deangulares (ou diagonais), decorre das anteriores. E, curiosamente, vai ser a diagonal do quadrado que lhe vai servir para comprovar o teorema fundamental da geometria euclidiana referente à soma dos ângulos internos de um triângulo. Rodrigues diz-nos que uma diagonal corta um quadrado em dois triângulos. Tratam- -se, na verdade, de dois triângulos rectângulos isósceles, diríamos hoje. Como a diagonal é a bissectriz do ângulo formado por dois lados do quadrado resulta que os ângulos iguais do triângulo terão necessariamente 45º, sendo a soma dos ângulos internos, 2 x 45º + 90º, igual a 180º. No caso geral, exposto na proposição imediatamente anterior, é interessante verificar que a prova é dada com base na transposição e soma das medidas dos três ângulos com o compasso para um semicírculo, de modo a perfazer dois ângulos rectos. Ou seja, a demonstração teórica, acessível nos Elementos de Euclides, é preterida face à comprovação empírica, colhida nos manuais de geometria prática. Nesta mesma linha se enquadra o recurso a construções aproximadas, inevitáveis quando se intenta dar solução a pro- 107 geomet ri a e proporção blemas insolúveis, como sejam, a do traçado da figura heptágona inscrita no círculo ou da quadratura do círculo. O quadrado, forma claustral por excelência e por regra, podendo ser a excepção que a confirma o claustro circular de Ruão e Castilho e, por extensão, da praça central da cidade quando não da própria cidade, será porventura, também, a forma-base mais procurada para configurar templos de planta centralizada. Primeiro, devido à sua ligação especial com o círculo que começará, provavelmente, no mito da sua quadratura. Depois, devido à sua capacidade de articulação, sobretudo associativa, assumindo-se como módulo referencial de estruturas mais complexas. Todo o polígono regular se relaciona com o círculo, está visto. Tal como todo o poliedro regular (ou platónico) e semi-regular (ou arquimediano) se relaciona com a esfera. Mas o quadrado e o círculo, e as suas extensões tridimensionais, o cubo e a esfera, têm de facto uma ligação misteriosa e secreta que foi amplificada pela sua associação às dimensões do corpo humano, tendo sido Vitrúvio o transmissor desse vínculo que ganhou dimensão universal sobretudo com a tratadística do Renascimento e a sucessiva aparição de edições impressas, fatalmente interpretativas, do De Architectura, a que não faltavam figurações bem diversas para o homem vitruviano. De entre elas merece destaque a da majestosa edição de Cæsare Cesariano de 1521, não só pela sua qualidade gráfica e pertinência geométrica como pelo comentário que a acompanha em que se afirma que, com a figura vitruviana, através da simetria dos membros do corpo humano, é possível medir todas as coisas do mundo e, naturalmente, o templo. Ora a capela das Onze Mil Virgens e, concretamente, o espaço do sepulcro de Pedro Mascarenhas, é um espécime perfeito de uma família de obras-primas – que inclui, entre outras, as capelas Medicis em San Lorenzo, de Brunelleschi e rodrigues · renascimento em portugal 114 novo, será produzido um som situado uma quinta, ou diapente, acima do primeiro; a divisão 4:3 dará uma quarta, ou diatesserão; a 5:4 uma terceira maior; a 5:3 uma sexta maior; a 2:1 uma oitava, ou diapasão. É neste sentido que se percebe o apelo de Rodrigues para que o arquitecto fosse músico. Porque ao entender a proporção das vozes entenderia as proporções que haveriam de ter os seus edifícios! Era este o objectivo: dimensionar os espaços segundo determinados intervalos musicais. Desse modo se conferiria musicalidade aos edifícios, em linha com a tradição que vai de Alberti a Friedrich Schelling (1775-1854) de considerar a arquitectura como música congelada ou petrificada, sendo esta musicalidade, ademais, um dos factores determinantes da sua beleza, por ser também a forma de reflectir a harmonia musical inerente ao próprio universo. Se é indiscutível que a linguagem dos arquitectos era a dos músicos, e vice-versa, se não veja-se o Memorandum do frade veneziano Francesco Giorgi (1466-1540) para San Francesco della Vigna (1535), a verdade é que, aparte aquele apelo, não se denota nos Livros de Rodrigues qualquer exploração explícita desta interdependência, se bem que exista uma referência reveladora, logo na primeira definição do “Livro de Geometria” de 79, ao famoso teórico renascentista da música Franchino Gaffurio (1451-1522), considerado um especialista em questões de arquitectura pelos seus contemporâneos. Lembre-se a sua requisição como consultor das obras da catedral de Milão. Da sua obra Theorie musice, de 1492, ficou célebre a gravura quadripartida ilustrativa da descoberta das consonâncias musicais. Estas são as consonâncias que Alberti adoptou, no Re Aedificatoria, no elenco das areae a seguir para garantir a consonância dos espaços, selando, por esta via, o casamento da música e da arquitectura. Note-se porém que, para além do 115 geomet ri a e proporção uníssono, do diapasão, do diapente e do diatesserão que envolvem os números musicais, 1, 2, 3 e 4, e constituem o tetractys* pitagórico, a que Platão (427-347 a.C.) emprestou toda a sua autoridade, Rodrigues considera também a terceira e a sexta maiores, que implicam o número 5, intervalos igualmente consonantes que não estão contemplados no sistema musical grego mas são facilmente explicáveis à luz dos novos desenvolvimentos da teoria musical ocorridos no século XVI. A capela das Onze Mil Virgens é um excelente exemplo de aplicação destas consonâncias. Em primeiro lugar das consonâncias pitagórico-platónicas. De facto, é a partir dessas consonâncias que se joga o dimensionamento matricial da capela e, concretamente, a relação da nave com o sepulcro. De facto, atendendo a que a nave é um quadrado duplo e o sepulcro um quadrado, no que se pressente a sombra do Templo de Salomão, podemos dizer que estamos em presença de uma nave-diapasão e de um sepulcro-uníssono e de que a relação entre a nave e o Demonstração das consonâncias pitagórico- -platónicas * Para os pitagóricos o tetractys é a figura numérica que expressa a soma dos quatro primeiros números (1+2+3+4=10) sendo entendida como a origem de todas as coisas. rodrigues · renascimento em portugal 116 sepulcro pode ser vista, ou ouvida, como um diapente, basta que consideremos o comprimento do templo, excluído o altar, como a corda de um monocórdio e a divisão desse comprimento a 2:3, como o momento de paragem de um percurso iniciado à entrada sob o arco triunfal. Das outras consonâncias tem pertinência o recurso à terceira maior, figurativamente o rectângulo 5:4, que encontramos na secção transversal da nave, na planimetria do altar e da sacristia, e no dimensionamento de algumas tabelas e vãos. A sexta maior, o rectângulo 5:3, limita-se ao vão do pórtico de entrada. Curiosamente, nem este, nem o pórtico principal da igreja de Santa Maria da Graça de Setúbal, têm a mesma proporção do pórtico que Rodrigues desenhou no “Livro de Geometria” de 79, o qual, por sua vez, é subsidiário do célebre pórtico do Tratado de Serlio. Apesar das pequenas diferenças, a identificação do pórtico do Tratado de 79 com o de Serlio começa na Proposição 8 do Livro de Geometria do Códice 3675 BN 117 geomet ri a e proporção construção geométrica que o estrutura e dita as relações proporcionais das suas medidas. Trata-se do diagrama do helikon* de Cláudio Ptolomeo (c.90-c.168), um instrumento concebido para ilustrar a razão dos acordes aos iniciados na matemática. Permite a trisecção do quadrado e de qualquer figura rectangular, pelo que também pode servir para, num duplo quadrado, fazer h ˜u olho para dar luz num templo dedicado a nosso senhor ou a qualquer dos seus sanctos. Aplicado ao pórtico inscrito no quadrado cujo lado se tomou para largura da nave, dita que a figura do vão seja um rectângulo 2:1, ou seja, um diapasão. E assim, por esta regra, ficaraa em sua debita proporção, cõ tal que os m˜ebros de que for ornado o portal não saya fora das linhas deãngulares .a.b.c.d, e o architeto não será vituperado das ruins lingoas. Voltando a Alcácer convém notar que as relações musicais não são exclusivas por que, como já mostrámos, existem Estrutura matricial da capela das Onze Mil Virgens * O helikon era um antigo instrumento musical grego, cujo nome deriva do Monte Helikon, a Casa das Musas. rodrigues · renascimento em portugal 118 relações ad quadratum, incomensuráveis, que nos levam até à dimensão do pilar, cuja secção quadrada constitui o módulo base do templo. Módulo a que se chega e de que se não parte, dada a necessidade de ajustamento à preexistente igreja do convento de Santo António. De qualquer modo, podemos dizer que a estrutura primária da capela das Onze Mil Virgens obedece a uma partitura musical de consonantes, à qual se sobrepõe uma estrutura secundária que envereda em relações estritamente matemáticas baseadas na duplicação do quadrado que, caso fosse lícito prolongar a analogia musical, seriam consideradas dissonâncias. Mas há, pelo menos, um tema e variações. Em Santa Maria da Graça, ao contrário, parece verosímil que seja o dimensionamento global do edifício que tem essa matriz ad quadratum. A origem desta construção proporcional, tratada em três proposições do “Livro de Geometria” de 76, e em quatro do Análise geométrica da planta de Santa Maria da Graça de Setúbal 119 geomet ri a e proporção * Watts, Carol Martin , The Square and the Roman House: Architecture and Decoration at Pompeii and Herculaneum, in Nexus. Architecture and Mathematics, Fuccechio 1996 # Wilson-Jones, Mark, Principles of roman architecture, New Haven 2003 de 79, perde-se nos confins do tempo. Pitágoras (sec. VI a.C.), aplicando o teorema que tem o seu nome, constatou a impossibilidade de medir a diagonal do quadrado e, assim, descobriu os números incomensuráveis. Vitrúvio diz que foi Platão, com um dos seus muitos e utilíssimos raciocínios, quem nos deu a chave para duplicar a área do quadrado sem ter que medir a diagonal, já que ninguém, com efeito, consegue aí chegar por números. Diversos monumentos e vilas romanas confirmam a presença recorrente desta construção geométrica.* Villard de Honnecourt (sec. XIII) não a esquece e mostra-nos como se pode fazer a sua aplicação no dimensionamento de um claustro. E, naturalmente, não há tratado do Renascimento que não lhe faça referência, ou implicitamente a use, a começar em Alberti. E, como tal, está patente em múltiplos edifícios, a variados níveis, com destaque para o pequeno templo de San Pietro in Montorio de Bramante.# Rodrigues, como não poderia deixar de ser, explica-a profusamente, diversificando os exemplos. Do quadrado ao círculo, do triângulo ao pentágono, finalmente, do quadrado a toda e qualquer figura que ele possa circunscrever. E, confirmando a sua inclinação dupla por Euclides e Vitrúvio soube, como poucos, pô-la em prática.