Sumários e Exames de Física 1, 2019

Departamento de Engenharia Física Sumários e Exames de Física 1, 2019 Jaime E. Villate Porto, julho de 2019 Copyright © 2019, Jaime E. Villate E-mail: [email protected] Publicado sob a licença Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0). Para obter uma cópia desta licença, visite http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ ou envie uma carta para Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA. Conteúdo 1 Sumários 1 1.1 Cinemática ...................................... 2 1.2 Cinemática vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Movimento curvilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Mecânica vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5 Dinâmica dos corpos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.6 Trabalho e energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.7 Sistemas dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.8 Mecânica lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.9 Sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.10 Sistemas não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.11 Ciclos limite e dinâmica populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1.12 Sistemas caóticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2 Exames 101 2.1 Exame de época normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.1.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.1.2 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.1.3 Cotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.2 Exame de época de recurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.2.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.2.2 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.2.3 Cotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Bibliografia 115 iv CONTEÚDO Capítulo 1 Sumários Disciplina Física 1. Curso Mestrado Integrado em Engenharia Informática e Computação. Segundo semestre do primeiro ano. Ano académico 2018–2019, segundo semestre. Regente Jaime E. Villate. Docentes Maria Helena Braga e Jaime E. Villate. Número de alunos 210. Método de avaliação Distribuída (dois testes, 40%) com exame final (60%). 2Sumários 1.1 Cinemática 3 4Sumários 1.1 Cinemática 5 12 Sumários 1.2 Cinemática vetorial 13 14 Sumários 1.2 Cinemática vetorial 15 16 Sumários 1.2 Cinemática vetorial 17 18 Sumários 1.3 Movimento curvilíneo 19 20 Sumários 1.3 Movimento curvilíneo 21 28 Sumários 1.4 Mecânica vetorial 29 30 Sumários 1.4 Mecânica vetorial 31 32 Sumários 1.4 Mecânica vetorial 33 34 Sumários 1.5 Dinâmica dos corpos rígidos 35 36 Sumários 1.5 Dinâmica dos corpos rígidos 37 44 Sumários 1.5 Dinâmica dos corpos rígidos 45 46 Sumários 1.5 Dinâmica dos corpos rígidos 47 48 Sumários 1.6 Trabalho e energia 49 50 Sumários 1.6 Trabalho e energia 51 52 Sumários 1.6 Trabalho e energia 53 60 Sumários 1.7 Sistemas dinâmicos 61 62 Sumários 1.7 Sistemas dinâmicos 63 64 Sumários 1.8 Mecânica lagrangiana 65 66 Sumários 1.8 Mecânica lagrangiana 67 68 Sumários 1.8 Mecânica lagrangiana 69 76 Sumários 1.10 Sistemas não lineares 77 78 Sumários 1.10 Sistemas não lineares 79 80 Sumários 1.10 Sistemas não lineares 81 82 Sumários 1.10 Sistemas não lineares 83 84 Sumários 1.11 Ciclos limite e dinâmica populacional 85 92 Sumários 1.12 Sistemas caóticos 93 94 Sumários 1.12 Sistemas caóticos 95 96 Sumários 1.12 Sistemas caóticos 97 98 Sumários 1.12 Sistemas caóticos 99 100 Sumários Capítulo 2 Exames 2.1 Exame de época normal O exame realizou-se no dia 18 de junho de 2019. Compareceram 152 estudantes e a nota média foi 12 valores. A seguir mostra-se o enunciado de uma das cinco versões. Nas outras versões mudam os valores numéricos, a ordem das perguntas e alguns pormenores que não alteram significativamente as perguntas. 108 Exames 2.1.3 Cotações Problema 1 (a) Mecânica vetorial. • Diagrama de corpo livre /equação de movimento do bloco 1 0.8 • Diagrama de corpo livre /equação de movimento do bloco 2 0.8 • Diagrama de corpo livre /equação de movimento da barra 0.8 • Indicar que as acelerações dos blocos têm o mesmo valor absoluto 0.6 • Relação entre a aceleração dos blocos e a aceleração angular da barra 0.6 • Resolução das 3 equações de movimento 0.4 (b) Mecânica lagrangiana. • Indicar que as velocidades dos blocos têm o mesmo valor absoluto 0.4 • Relação entre a velocidade dos blocos e a velocidade angular da barra 0.4 • Energia cinética do sistema, em função das variáveis de estado 1.2 • Energia potencial do sistema, em função das variáveis de estado 1.2 • Aplicação da equação de Lagrange 0.4 • Resolução para obter o valor da aceleração 0.4 Problema 2 • Obtenção dos 3 pontos de equilíbrio 0.4 • Matriz jacobiana 0.4 • Matrizes das aproximações lineares 0.4 • Valores / vetores próprios do ponto na origem 0.6 • Valores / vetores próprios dos outros dois pontos 0.6 • Classificação correta dos 3 pontos 0.8 • Gráfico 0.8 2.2 Exame de época de recurso 109 2.2 Exame de época de recurso O exame realizou-se no dia 1 de julho de 2019. Compareceram 65 estudantes e a nota média foi 8.9 valores. A seguir mostra-se o enunciado de uma das cinco versões. Nas outras versões mudam os valores numéricos, a ordem das perguntas e alguns pormenores que não alteram significativamente as perguntas. MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 2018/2019 EIC0010 — FÍSICA I — 1º ANO, 2º SEMESTRE 1 de julho de 2019 Nome: Duração 2 horas. Prova com consulta de formulário e uso de computador . O formulário pode ocupar apenas uma folha A4 (frente e verso) e o computador pode ser usado unicamente para realizar cálculos e não para consultar apontamentos ou comunicar com outros! Use g=9.8 m/s2. 1. (4 valores) Um bloco de massa m= 1 . 5 kg encontra-se na superfície de um plano inclinado, que faz um ângulo θ= 28 ◦ com a horizontal. Entre o bloco e o plano inclinado o coeficiente de atrito estático é 0.3 e o coeficiente de atrito cinético é 0.2. Sobre o bloco atua uma força externa ~ F , horizontal, tal como mostra a figura. (a) Quando o módulo da força for F= 10 N, o bloco permanece em repouso; determine o valor da força de atrito entre o bloco e o plano. (b) Se a força aumenta para F=15 N, o bloco acelera para cima do plano; determine o valor da aceleração. θ ~ F m 2. (4 valores) A função hamiltoniana de um sistema conservativo é: H(x,y)=y2 2+U(x) onde U ( x ) é a função representada no gráfico à direita. (a) Determine a posição dos pontos de equilíbrio no plano xy . (b) Trace o retrato de fase aproximado, no plano xy , mostrando os pontos de equilíbrio e as curvas de evolução que considere mais importantes. (c) Se no instante t= 0 o estado do sistema for ( x,y ) = (5 ,− 1), explique como será a evolução do sistema em t>0. U x 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 PERGUNTAS. Respostas certas, 0.8 valores, erradas, −0.2, em branco, 0. 3. O vetor posição dum ponto, em função do tempo, é dado pela expressão: 2 t4ˆ ı+ ( t2+ 2) ˆ  (unidades SI). Calcule o ângulo entre os vetores velocidade e posição, no instante t=1. (A) 88.8◦ (B) 42.3◦ (C) 16.9◦ (D) 55.0◦ (E) 67.6◦ Resposta: 4. A expressão da energia cinética dum sistema conservativo é 1 2¡˙ s2+3s2¢ , onde s é a posição na trajetória, e a expressão da energia potencial total é 9 s . O sistema tem um único ponto de equilíbrio; determine o valor de snesse ponto de equilíbrio. (A) -1 (B) 2 (C) -2 (D) 3 (E) 1 Resposta: 5. As equações de evolução dum sistema linear são: ˙ x=x−2y˙ y=2x+y Como variam xeyem função do tempo? (A) Oscilam com período π/2 e amplitude crescente. (B) Oscilam com período π/2 e amplitude constante. (C) Oscilam com período igual a πe amplitude constante. (D) Oscilam com período πe amplitude crescente. (E) Oscilam com período π/2 e amplitude decrescente. Resposta: 6. A força resultante sobre um objeto de massa 2 kg é ~ F= 2 ˆ ı+ 7 tˆ  (SI). Se a velocidade do objeto em t= 0 for 5 ˆ ı+ 6 ˆ  m/s, calcule a velocidade em t=7 s. (A) 12.0ˆ ı+30.5 ˆ  (B) 7.0ˆ ı+85.8 ˆ  (C) 12.0ˆ ı+91.8 ˆ  (D) 12.0ˆ ı+85.8 ˆ  (E) 19.0ˆ ı+177.5 ˆ  Resposta: 7. O espaço de fase dum sistema dinâmico é o plano xy . Em coordenadas polares, as equações de evolução são ˙ θ= − 3, ˙ r=r3+3r2+2r. Quantos ciclos limite tem o sistema? (A) 1 (B) 4 (C) 2 (D) 3 (E) 0 Resposta: 8. A matriz jacobiana dum sistema não linear, num ponto de equilíbrio P no plano de fase ( x , y ), encontra-se na variável J do Maxima. O comando eigenvectors(J) produz: [[[-1,-2], [1,1]], [[[1,-1]], [[1,1/3]]]] que tipo de ponto de equilíbrio é o ponto P? (A) ponto de sela. (B) centro. (C) foco repulsivo. (D) nó atrativo. (E) foco atrativo. Resposta: 10. A figura mostra o retrato de fase dum sistema dinâmico com duas variáveis de estado e 4 pontos de equilíbrio: A, B, C e D. Que tipo de curva de evolução é a circunferência número 2? A BC D 1 2 (A) Isoclina. (B) Nulclina. (C) Órbita homoclínica. (D) Ciclo. (E) Órbita heteroclínica. Resposta: 11. O bloco B move-se para a direita com velocidade de valor constante 210 mm/s. Calcule o valor absoluto da velocidade do bloco A. A B (A) 105 mm/s (B) 70 mm/s (C) 210 mm/s (D) 140 mm/s (E) 315 mm/s Resposta: 12. Quando um avião acelera desde o repouso, na pista de descolagem, a expressão da sua aceleração tangencial é 2 . 5 − 2 . 5 × 10 −5v2 (em unidades SI), onde v é o valor da velocidade do avião. Para conseguir levantar voo, a velocidade mínima do avião no fim da pista deve ser de 250 km/h. Determine o comprimento mínimo, em metros, que deverá ter a pista de descolagem. (A) 612 (B) 989 (C) 701 (D) 1251 (E) 820 Resposta: 13. Qual das seguintes equações poderá ser uma das equações de evolução num sistema de duas espécies? (A) ˙ y=y3−3xsinx (B) ˙ y=y3+3x y sinx (C) ˙ y=xpy+1−5y x2 (D) ˙ y=xpy−x+x y2 (E) ˙ y=2x y2−xcos y Resposta: 14. As equações de evolução dum sistema linear, são: ˙ x=a x +y˙ y=x+a(x+y) onde a está no intervalo a<− 1. Que tipo de ponto de equilíbrio é a origem do espaço de fase? (A) nó atrativo (B) foco atrativo (C) nó repulsivo (D) ponto de sela (E) foco repulsivo Resposta: 15. A barra na figura é homogénea, com 20 cm de comprimento e massa igual a 50 gramas. Se na posição inicial, no lado esquerdo da figura, a barra for largada do repouso na posição horizontal, rodará descendo até a posição vertical, no lado direito da figura. Uso-se uma mola de 15 cm (quando não está nem comprida nem esticada) e com constante elástica que faz com que quando a barra desca fique novamente em repouso na posição vertical. Determine a constante elástica da mola. 12 cm 16 cm (A) 2.72 N/m (B) 6.81 N/m (C) 4.08 N/m (D) 5.44 N/m (E) 8.17 N/m Resposta: 16. Calcule o momento de inércia de uma esfera homogénea com 2 centímetros de raio e massa igual a 101 gramas, que roda à volta dum eixo tangente à superfície da esfera, sabendo que o momento de inércia de uma esfera de raio R e massa m à volta do eixo que passa pelo centro é 2m R2/5. (A) 3.23×10−5kg·m2 (B) 8.08×10−6kg·m2 (C) 1.62×10−5kg·m2 (D) 2.89×10−5kg·m2 (E) 5.66×10−5kg·m2 Resposta: 17. Um jogador de golfe lança a sua bola com uma velocidade inicial de 53 m/s, fazendo um ângulo de 25 ◦ com a horizontal. Desprezando a resistência do ar, determine o raio de curvatura da trajetória descrita pela bola, no ponto inicial onde esta foi lançada. (A) 183.0 m (B) 219.6 m (C) 316.3 m (D) 152.5 m (E) 263.6 m Resposta: 18. Para determinar a posição do seu centro de gravidade, uma barra retangular foi pendurada de dois fios verticais, ficando em repouso na posição horizontal que mostra a figura. Sabendo que a tensão no fio ligado no ponto A é 2.2 N, a tensão no fio ligado em B é 3.1 N e o comprimento da barra, desde A até B, é 30 cm, determine a distância desde a aresta AC até o centro de gravidade. A B C (A) 8.4 cm (B) 17.5 cm (C) 12.2 cm (D) 10.1 cm (E) 14.6 cm Resposta: 112 Exames 2.2.2 Resolução Problema 1. O gráfico à direita mostra o diagrama de corpo livre do bloco e uma forma possível de definir os eixos x e y . O sentido indicado na figura para a força de atrito, Fa , é o que terá na alínea b, quando for atrito cinético, oposto ao sentido do movimento do bloco. Na alínea a, em que o atrito é estático, poderá ter esse sentido ou o sentido oposto (nesse segundo caso, o valor obtido para Faserá negativo). (a) Uma das condições de equilíbrio é que a componente x da força resultante seja nula, que traduz-se na seguinte equação: x y 28◦ 28◦ N F m g Fa Fa+m g sin 28◦−Fcos 28◦=0=⇒ Fa=10 cos 28◦−14.7 sin 28◦=1.928 N O sinal positivo indica que a força de atrito sim é no sentido indicado na figura. (b) A força de atrito, Fa, corresponde a atrito cinético e, como tal, Fa=µcN=0.2 N A componente y da força resultante deverá ser nula, e a componente x deverá ser igual a menos a massa vezes a aceleração: (N−15 sin 28◦−14.7 cos 28◦=0 0.2 N+14.7 sin 28◦−15 cos 28◦=−1.5a=⇒    N=20.02 N a=1.559 m s2 Problema 2. As equações de evolução do sistema são obtidas a partir das equações de Hamilton: ˙ x=∂H ∂y=y˙ y=−∂H ∂x=−dU dx Ou, em vez de usarmos as equações de Hamilton, podemos considerar que o sistema é uma partícula de massa igual a 1, que se desloca no eixo dos x , sob a ação da energia potencial U ( x ), com velocidade y=˙ x . A função hamiltoniana é a energia mecânica dessa partícula. 2.2 Exame de época de recurso 113 (a) Há três pontos de equilíbrio, onde a derivada de U é nula: dois mínimos locais em x≈ 1 . 5 e x≈ 6 . 5, e um máximo local em x≈ 3 . 5, indicados na figura ao lado com três círculos. A primeira equação de evolução implica que nos pontos de equilíbrio y= 0. As coordenadas ( x , y ) dos 3 pontos de equilíbrio são então: P1=(1.5,0) P2=(3.5,0) P3=(6.5,0) (b) As barras horizontais na figura mostram onde poderá estar o sistema para diferentes valores de H. Há 4 casos diferentes: U x 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 H = 2 H = 5H = 5 H = 6.3H = 6.3 H = 8 (i) H maior que o valor de H no ponto P 3 (igual a U (6 . 5) ≈ 1, porque y= 0) e menor que o valor de H no ponto P 1 ( U (1 . 5) ≈ 4 . 3); optamos por usar H= 2 que, como mostra o gráfico, corresponde a um ciclo à volta de P 3 . (ii) H maior que 4.3 e menor que o valor de H no ponto P 2 ( U (3 . 5) ≈ 6 . 3); optamos por usar H= 5, que conduz a dois ciclos diferentes, um à volta de P 1 e outro à volta de P 3 . (iii ) H≈ 6 . 3, que conduz a duas órbitas homoclínicas, uma à volta de P 1 e outra à volta de P 3 . (iv ) H> 6 . 3, que conduz a ciclos que contornam os 3 pontos de equilíbrio (mostra-se o caso H=8). O retrato de fase é o sumário desses resultados: (c) H (5 ,− 1) ≈ 1/2 + 4 = 4 . 5, que se encontra na região onde há ciclos em torno do ponto P 3 . O sistema oscila em torno desse ponto. O valor inicial negativo de y implica que x diminui e y aumenta, até um instante em que x≈ 4 . 5 e y= 0. A partir desse instante, x e y aumentam, até um instante em que x= 6 . 5 e y atinge o valor máximo y=p2(4.5−1) ≈ 2 . 6; a seguir, x continua a aumentar mas y diminui, até um instante em que x≈ 7 . 5 e y= 0. Depois, x e y diminuem até x= 6 . 5, y= − 2 . 6 (valor mínimo 114 Exames de y ). A seguir, x continua a diminuir mas y aumenta, até voltar ao estado inicial do sistema: x=5, y=−1. O mesmo ciclo repete-se indefinidamente. Perguntas 3. B 4. D 5. D 6. C 7. E 8. D 9. E 10. D 11. B 12. B 13. B 14. B 15. E 16. C 17. B 2.2.3 Cotações Problema 1 • Diagrama de corpo livre incluindo ângulos e eixos 0.8 • Expressão da soma das componentes das forças paralelas ao plano (a) 0.8 • Obtenção da força de atrito, indicando as unidades 0.2 • Relação entre força de atrito cinético e reação normal (b) 0.4 • Expressão da soma das componentes das forças paralelas ao plano (b) 0.8 • Expressão da soma das componentes das forças perpendiculares ao plano (b) 0.8 • Obtenção da aceleração, indicando as unidades 0.2 Problema 2 • Obtenção dos 3 pontos de equilíbrio 0.8 • Retrato de fase mostrando os eixos x e y , os 3 pontos de equilíbrio e as curvas importantes (órbitas homoclínicas/heteroclínicas, ciclos, curvas abertas) com setas que indiquem o sentido em que o sistema evolui 2.4 • Explicação da evolução do sistema para t>0 na alínea c0.8 Bibliografia Acheson, D. (1997). From calculus to chaos. Oxford, UK: Oxford University Press. Alonso, M., & Finn, E. J. (1999). Física. Reading, MA, USA: Addison-Wesley. Antunes, F. (2012). Mecânica Aplicada. uma Abordagem Prática. Lisboa, Portugal: Lidel, edições técnicas, Lda. Arnold, V. I. (1987). Métodos Matemáticos da Mecânica Clássica. Editora Mir: Moscovo, Rússia. Banks, B. W. (2000). Differential Equations with Graphical and Numerical Methods. Upper Saddle River, NJ, USA: Pearson. Beer, F. P., & Johnston Jr, E. R. (2006). Mecânica vetorial para engenheiros: Dinâmica (7a ed.). Rio de Janeiro, Brasil: McGraw-Hill editora. Blanchard, P., Devaney, R. L., & Hall, G. R. (1999). Ecuaciones diferenciales. México, DF, México: International Thomson Editores. Borelli, R. L., & S, C. C. (1998). Differential equations: a modeling perspective. México, DF, México: John Wiley & Sons, Inc. Devaney, R. L. (1992). A first course in chaotic dynamical systems: theory and experiment. USA: Westview Press. Edwards, C. H., & Penney, D. E. (2004). Differential equations. computing and modeling (3a ed.). Pearson Education, Inc.: New Jersey, USA. Farlow, S. J. (1994). 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São Paulo, Brasil: Livraria da Física. Nayfeh, A. H., & Balachandran, B. (2004). Applied nonlinear dynamics. Weinheim, Alemanha: WILEY-VCH Verlad GmbH & Co. Newton, I. (1687). Princípios Matemáticos da Filosofia Natural. Lisboa, Portugal: Fundação Calouste Gulbenkian. (Tradução de J. R. Rodrigues, 2010) Redfern, D., Chandler, E., & Fell, R. N. (1997). Macsyma ODE lab book. Boston, MA, USA: Jones and Bartlett Publishers. Sanchez, D. A., Allen Jr., R. C., & Kyner, W. T. (1988). Differential equations (2a ed.). USA: Bibliografia 117 Addison-Wesley. Solari, H. G., Natiello, M. A., & Mindlin, G. B. (1996). Nonlinear dynamics. Institute of Physics Publishing: Bristol, UK. Spiegel, M. R., Lipschutz, S., & Spellman, D. (2009). Vector analysis. New York, NY, USA: Mc Graw-Hill. Strogatz, S. H. (2000). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. Cambridge, MA, USA: Perseus Books. Taylor, J. R. (2005). Classical mechanics. 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