Cap.IV-Torção de Peças Lineares, Notas das Aulas de Mecânica dos Sólidos

Capítulo IV – Torção de Peças Lineares 1 Joaquim Silva Gomes, FEUP 2009 CAPÍTULO IV – TORÇÃO DE PEÇAS LINEARES 4.1. Introdução. • Absorção ou transmissão de esforços de torção: o Veios ou árvores de transmissão o Barras de torção; Molas; Estruturas tubulares (veículos de transporte e aeronaves). 4.2. Veio Cilíndrico de Secção Circular • Secções rectas do cilindro permanecem circulares e planas, após a deformação, rodando em torno do respectivo centro; • Um raio qualquer traçado sobre uma secção recta permanece rectilíneo durante a deformação do veio; • O ângulo entre dois quaisquer raios no plano duma secção recta permanece constante durante a deformação do veio; • Portanto, e em consequência das condições da simetria geométrica e da solicitação, cada secção recta do veio roda em torno do respectivo centro como um disco absolutamente rígido. O ângulo de rotação θ é proporcional à distância z, isto é: z θ φ = onde θ é o ângulo de rotação por unidade de comprimento. d z a b Φ M t M t B’ B A φ φ = θ z O z C Capítulo IV – Torção de Peças Lineares 2 Joaquim Silva Gomes, FEUP 2009 • estas condições, para um determinado ponto P, na secção à distância z da base, a componente do deslocamento segundo o eixo de simetria do cilindro é nula (w=0). Quanto às componentes u e v (em coordenadas polares, no plano da secção recta): z r v u 0 θ = = • As componentes do estado de deformação em coordenadas cilindricas obtêm-se por derivação: θ θ γ γ γ ε ε ε θ θθθ r w r z v z rzrzzrr = ∂ ∂ + ∂ ∂ = = = = = = 1 0 • O estado de tensão correspondente obtém-se por aplicação das equações da lei de Hooke: θγτ τ τ σ σ σ θθ θθθ GrG z z rzrzzrr == = = = = = 0 (1) • A tensão τ pode exprimir-se em função do momento torsor Mt: ∫ = A tz MdAr )( θ τ φ= θz v=rθz r P(r,θ,z ) O P ’ M t M t O M t dA τ zθ dA R r Capítulo IV – Torção de Peças Lineares 3 Joaquim Silva Gomes, FEUP 2009 ou seja, z A tIGdArGM 2 ∫== θθ (2) onde dArI A z∫ =2 é o momento de inércia polar da área da secção recta do veio ( 2 4 R Iz π = ) . Por eliminação de θ entre (1) e (2) obtém-se, finalmente: z t z I rM = θ τ • NOTAS: (i)-A tensão de corte máxima ocorre na periferia do veio, para r = R, isto é, 3 2 R M I RM t z t max π τ == (ii)-O valor zt GIMC = = θ /é a chamada rigidez torsional do veio e a quantidade 2// 3 RRIK z π == é o módulo de torção. Capítulo IV – Torção de Peças Lineares 4 Joaquim Silva Gomes, FEUP 2009 4.3. Veio Circular Oco • Os argumentos e os resultados que foram obtidos para o veio maciço mantêm-se válidos, com excepção da expressão para o momento de inércia polar da secção, Iz, que neste caso toma a forma seguinte: )1( 2 2 )( 4 4 2 4 1 4 2m RRR Iz−= − = ππ (onde m = R 1 /R 2) • O módulo de torção, K, vale, neste caso: )1( 2 4 3 2 2 m R R I Kz−== π • No caso particular dum tubo de parede fina, de espessura e, (em que e = R 2 -R 1 << R 2 ): eRRRRRRRRR m 3 1212 2 1 2 2 4 1 4 2))()(( ≅−++=− onde R m =(R 1 +R 2 )/2 é o raio médio da secção. • O momento de inércia polar I z é, aproximadamente, eRI mz 3 2 π ≅ Ω≅ 2 m R onde eRm π 2 = Ω é a área da secção recta do tubo • Pode também escrever-se: Ω ≅≅ m t z mt R M I RM τ e m m t z t GR GR M GI M τ θ ≅ Ω ≅= 2 M t M t R 2 R 1 τ e R m Capítulo IV – Torção de Peças Lineares 5 Joaquim Silva Gomes, FEUP 2009 4.4. Veio Prismático de Secção Arbitrária. 4 4.4.1. Teoria de Saint-Venant • Na ausência de simetria circular, deixa de ser válida a condição de que as secções rectas se mantêm planas havendo, neste caso, um deslocamento axial dos pontos de cada secção. • Hipóteses de Saint-Venant: o ),( yxww = (w é uma função contínua) o z θφ = (θ é o ângulo de torção por unidade de comprimento)  Nestas condições, o campo dos deslocamentos fica definido pelas três componentes seguintes: ),( yxww xzv yzu = = −= θ θ z y x Mt O y x v u G θz M t y C C’ P P’ x Capítulo IV – Torção de Peças Lineares 6 Joaquim Silva Gomes, FEUP 2009  O campo das deformações obtém-se por derivação. E, depois, as tensões: y w x y w z v x w y x w z u yz xz xyzzyyxx ∂ ∂ += ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ +−= ∂ ∂ + ∂ ∂ = = = = = 0 θγ θγ γ ε ε ε (1) ) ( ) ( 0 y w xG x w yG yz xz xyzzyyxx ∂ ∂ += ∂ ∂ +−= = = = = θτ θτ τ σ σ σ (2)  Equações de Equilíbrio (ausência de forças de volume): 0 0 0 =++ =++ =++ ∂ zyx zyx zyx zz yz xz zyyyxy zx yx xx ∂ ∂σ ∂ ∂τ ∂ ∂τ ∂ ∂τ ∂ ∂σ ∂ ∂τ ∂ ∂τ ∂ ∂τ ∂ σ  As duas primeiras são incondicionalmente satisfeitas, ficando reduzidos a uma única equação de equilíbrio: 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ yx yz xz τ τ (3) Lei de Hooke () () Capítulo IV – Torção de Peças Lineares 7 Joaquim Silva Gomes, FEUP 2009  Equações de Compatibilidade:         ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂∂ ∂         ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂∂ ∂         ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂∂ ∂ zxyzyx yzxyxz xyzxzy zx yx yz zy xy yx xyzy zx zz zx yxyzyy yz xz xy xx xx zz xz zz yyyz yy xx xy γγ γε γ γγε γ γ γ ε εεγ ε εγ ε ε γ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 () () () () Quatro das equações são incondicionalmente satisfeitas, restando a apenas duas equações de compatibilidade : )( )( xg yx yf yx xz yz xz yz = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ γ γ γ γ que, por sua vez, representam uma única equação: te xz yz C yx = ∂ ∂ − ∂ ∂ γ γ  O valor da C te que figura no 2º membro da equação anterior pode obter-se directamente a partir de (1): xy w x yx w y yz xz ∂∂ ∂ += ∂ ∂ ∂∂ ∂ +−= ∂ ∂ 2 2 θ γ θ γ θ γ γ 2= ∂ ∂ − ∂ ∂ yx xz yz θ τ τ G yx xz yz 2= ∂ ∂ − ∂ ∂ (4) Continuidade de w(x,y) Lei de Hooke Capítulo IV – Torção de Peças Lineares 8 Joaquim Silva Gomes, FEUP 2009  O problema da torção fica então reduzido à resolução dum sistema de duas equações de derivadas parciais nas funções xz τ e yz τ [ a equação de equilíbrio (3) e a equação de compatibilidade (4) ]: θ τ τ τ τ G yx yx xz yz yz xz 2 0 = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ (5) Além disso, há que ter em consideração a ausência de forças ao longo da superfície lateral, o que se traduz pela seguinte condição fronteira: (em C)ml yzxz 0 = + τ τ (6)  Para resolver este sistema de equações, considere-se uma função auxiliar Φ(x,y), contínua, de tal forma que: x y yz xz ∂ Φ∂ −= ∂ Φ ∂ = τ τ [ Φ(x,y) é a chamada Função de Saint-Venant ] As tensões xz τ e yz τ assim obtidas satisfazem incondicionalmente a equação de equilíbrio correspondente à primeira equação em (5). Substituindo as expressões para xz τ e yz τ na segunda equação, obtém-se: θ G yx 2 2 2 2 2−= ∂ Φ∂ + ∂ Φ∂ y G (C) x ),( mln = r dx dy ds Capítulo IV – Torção de Peças Lineares 9 Joaquim Silva Gomes, FEUP 2009  O problema de torção consiste, assim, na resolução da equação anterior em Φ(x,y). As condições fronteira a ter em conta na resolução daquela equação deduzem-se directamente a partir de (6), isto é: (em C)m x l y 0= ∂ Φ ∂ − ∂ Φ ∂ Ou seja, tendo em conta que, l ds dy m ds dx =−= e : (em C) ds d ds dy yds dx x 0= Φ = ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ Esta equação traduz que o valor da função Φ se mantém constante ao longo da linha de contorno da secção recta do veio. Por outro lado, uma vez que no cálculo das tensões de torção apenas intervêm as derivadas da função Φ, o valor constante dessa função na periferia do veio pode ser tomado igual a zero. Donde a condição fronteira em termos de Φ: (em C) 0 = Φ  Momento Torsor M t em termos de Φ: ∫Φ= ∫Φ+ ∫Φ−Φ= = ∫Φ+ ∫     Φ ∂ ∂ +Φ ∂ ∂ = = ∫∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ = ∫−= A A C AA AA xzyzt dxdydxdydxydyx dxdydxdyy y x x dxdy y y x xdxdyyxM 2 2) ( 2)()( )()( ττ Isto é: Mt = 2 x Volume y G (C) x ),( mln = r dx dy ds z Volume (C) y ),( yxz Φ = x