Desenvolvimento de um observador de estado e de forças de perturbação para sistemas servopneumáticos

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Desenvolvimento de um observador de estado e de forças de perturbação para sistemas servopneumáticos Mário Nuno Caiado Cunha Ferreira da Silva Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Orientador: Professor Doutor Fernando Gomes de Almeida Co-orientador: Professor Doutor João Falcão Carneiro 30 de Outubro de 2015 c Mário Caiado, 2015 Resumo A pneumática é uma das tecnologias de acionamento, juntamente com a hidráulica e a eletromecânica, mais utilizadas na indústria por constituir uma solução compacta e de baixo custo. A tecnologia pneumática é, principalmente, empregue em tarefas de manipulação e montagem. Apesar das suas vantagens, os sistemas servopneumáticos apresentam alguns inconvenientes, nomeadamente no controlo de posição, devido à sua natureza fortemente não linear. Este trabalho contribui para a resolução deste problema através do desenvolvimento de um observador de estado e de forças de perturbação. Este trabalho encontra-se dividido em duas partes. Na primeira é apresentada a modelação do sistema servopneumático sobre o qual este trabalho incide. É apresentado um modelo para as servoválvulas de três orifícios, baseado na norma ISO 6358; para modelação do atuador pneumático são apresentados dois modelos, um mecânico e um termodinâmico, que constituem o modelo não linear do atuador; para a modelação da força de atrito é utilizado o modelo de LuGre. Também nesta parte é feita a síntese de diversos controladores lineares que, por induzirem oscilações indesejáveis no sistema, inviabilizam a sua utilização. É ainda estudado o uso de um controlador não linear de estrutura variante baseado na separação entre a dinâmica de pressões e de movimento. No entanto a sua utilização é desaconselhável pois as incertezas na massa móvel e nas forças de perturbação levam a uma ação de controlo extremamente ativa. Na segunda parte deste trabalho é desenvolvido um observador de estado e de forças de perturbação com o intuito de compensar as incertezas existentes no sistema servopneumático. O observador consegue estimar corretamente a posição, a velocidade e a aceleração do atuador e as forças de perturbação que possam existir no sistema em estudo. As estimativas dadas pelo observador são fornecidas a um novo controlador não linear que as utiliza com o objetivo de cancelar o efeito das forças de perturbação no sistema. Os resultados obtidos em simulação comprovaram um bom desempenho do sistema controlado, atingindo-se um erro de posição, em regime permanente, inferior à centésima do µmno posicionamento de uma carga que pode variar entre 2.69 kg e 13.1kg. São obtidos bons resultados no seguimento de uma trajetória de movimento, com erros na ordem da centésima do milímetro. No entanto, sempre que o controlador não linear possui uma ação integral, o sistema apresenta um ciclo limite. Palavras-chave: servopneumática, controlador de estrutura variante, observador de estado e de forças de perturbação, active disturbance rejection control (ADRC). i ii Abstract Development of a disturbance and state observer to servopneumatic systems The use of pneumatic devices as a drive technology, along with hydraulic and electromechanical solutions, are common in the industry. Pneumatic systems are low-cost and compact systems, mostly used in handling and assembly tasks. Despite its advantages, pneumatic systems have some drawbacks, namely, in position control due its non linear characteristics. This works contributes to the resolution of this drawbacks by developing a disturbance and state observer. The present work is divided into two major parts. In the first part the pneumatic system model is presented, comprising the three way servopneumatic valves model, based on ISO 6358 standard, the pneumatic actuator model, including a mechanical and a thermodynamic part and the friction force model. In this part several linear controllers are also developed and tested. The arising of undesirable oscillations makes their utilisation infeasible. It’s also developed a variable structure controller based on the separation between pressure and motion dynamics. The control action, is however too active, due to the uncertainties in the disturbances forces and mass, making its utilisation infeasible. In the second part of this work, a disturbance and state observer is developed in order to make up for the uncertainties in the pneumatic system. The developed observer can estimate with accuracy the position, velocity and acceleration of the actuator and the disturbance forces. The available information from the observer is provided to a new variable structure controller. The results, obtained in simulation environment, show a good performance expressed by a position error, in steady state, inferior to the tenth part of the µmin positioning tasks with a mass that varies from 2.69 to 13.1 kg. When the system is complied to follow a trajectory, errors inferior to the hundredth part of the millimetre are obtained. However, when this non linear controller has an integral action, a limit cycle appears in the system behaviour. Keywords: servopneumatic, variable structure controller, disturbance and state observer, active disturbance rejection control (ADRC) iii iv Agradecimentos Cheguei aqui! Família o meu muito obrigado! O que sou hoje, inteiramente vos devo a vós. Sem o vosso apoio e incentivo, carinho e abnegação não estaria hoje, a concluir esta etapa. Agradeço todas as repreensões e chamadas de atenção, tal como as felicitações que me deram. Agradeço a presença constante que ainda hoje têm na minha vida. Aos meus orientadores, Professor Fernando Gomes de Almeida e João Falcão Carneiro, expresso a minha gratidão pelo apoio, pela disponibilidade e pelas ideias dadas ao longo deste semestre. Agradeço ainda a oportunidade que me deram ao realizar esta dissertação. Aos meus Amigos, pela amizade, pelo companheirismo e apoio que tive ao longo dos anos. Os momentos que passámos juntos e a porta do 2.4, ficarão para sempre gravados na minha memória, sempre na esperança que novas memórias e novas portas possam surgir. Ao Jorge Sousa pelas conversas, e pelos momentos de descontração vividos no Laboratório de Controlo Automático. À Carina Albuquerque, obrigado por todo o apoio, afeto, paciência e amizade que me deu nos últimos cinco anos. Mário Caiado v vi À minha Mãe vii xiv LISTA DE TABELAS Abreviaturas e Símbolos Definições gerais e operadores a,A constante ou variável escalar a,A Vetor ou matriz min mínimo max máximo d dt (•),˙•Derivada em ordem ao tempo |•| Valor absoluto ˆ•Valor estimado •re f ,rValor de referência Notação aciclo Amplitude do ciclo limite (m) AhÁrea da haste do atuador (m2) AA,BÁrea das câmara A e B (m2) AAq,Bq Área de transferência de calor das câmaras A e B (m2) CA1,A2,B1,B2Condutância sónica das servoválvulas A e B, restrições 1 e 2 (m3s−1Pa−1) DhDiâmetro da haste (m) DeDiâmetro do êmbolo (m) eErro de posição (m) eav,rec Erro de posição no avanço e recuo para S2(m) eperm Erro em regime permanente (m) eobs Erro associado à estimação do observador (N) etrn Erro de posição em regime transitório (N) fParâmetro do controlador de posição FParâmetro do controlador de posição FpForça motora no atuador (N) FA,BForça pneumática na câmara A e B (N) Fatr Força de atrito (N) Fatm Força devido à pressão atmosférica a atuar na haste do atuador (N) FAre f ,Bre f Força de referência para a câmara A e B (N) Fext Força externa ao sistema (N) xv xvi ABREVIATURAS E SÍMBOLOS Fpdes Ação de controlo descontínua do controlador de posição (N) Fpeq Ação de controlo equivalente do controlador de posição (N) Fpre f Força motora de referência fornecida pelo controlador de posição (N) Fpertb Força de perturbação ao sistema (N) kpFA,kpFB Parâmetro dos controladores de força da câmara A e B (s−1) kpGanho do controlador proporcional (V/m) kPID Ganho do controlador PID (V/m) kvsc Ganho do controlador de posição lCurso do atuador (,) ˙mCaudal mássico de ar (kg/s) ˙mA,BCaudal mássico de ar na câmara A e B (kg/s) ˙m1,2Caudal mássico de ar na câmara A e B (kg/s) ˙mA1,A2,B1,B2Caudal mássico de ar nas restrições 1 e 2 da servoválvula A e B (kg/s) ˙mA,BCaudal mássico de ar na câmara A e B (kg/s) MMassa móvel (kg) Marit,geo Média aritmética e geométrica entre os valores extremos de M(kg) Mmin,max Massa mínima, máxima deslocada pelo sistema(kg) nÍndice politrópico P0Pressão absoluta de equilíbrio (Pa) Patm Pressão atmosférica absoluta (Pa) PA,PBPressão absoluta da câmara A e B (Pa) PsPressão absoluta de alimentação (Pa) Pui,di Pressão a montante e a jusante da restrição i (Pa) qDeflexão média das fibras (m) rRazão de pressões crítica R1,2Restrição 1 e 2 da servoválvula RConstante específica do ar como gás perfeito (Jkg−1K−1) S1,S2Trajetória de posição (N) tTempo(s) T0Temperatura de equilíbrio (K) Ta,Td,Tint Parâmetros do controlador PID (s−1,s,s−1) TA,TBTemperatura do ar na câmara A e B (K) TA0,TB0Temperatura de equilíbrio na câmara A e B (K) Tamb Temperatura ambiente (K) Tin Temperatura do ar que entra nas câmaras A e B (K) TsTemperatura do ar na fonte de pressão (Pa) Tui,di Temperatura a montante e a jusante da restrição i (K) uAção de controlo (V) ua,bAção de controlo aplicadas às servoválvulas (V) vFunção base ABREVIATURAS E SÍMBOLOS xvii vcVelocidade de transição do amortecimento das fibras (m/s) vsVelocidade de Stribeck (m/s) VA,VBVolume da câmara A e B do atuador (m3) VAd,VdB Volume morto da câmara A e B (m3) x,˙x,¨xPosição (m), velocidade(m/s) e aceleração (m/s2) do êmbolo xre f ,˙xre f ,¨xre f Posição (m), velocidade(m/s) e aceleração (m/s2) de referência α0Força de atrito de Coulomb (N) α1Força de Stribeck (N) α2Coeficiente de atrito viscoso (Nsm−1) βParâmetro do controlador de posição γRazão de calores específicos do ar εErro máximo (e largura da camada de suavização) no controlador de posição (m) ηParâmetro do controlador de posição (m/s2) θFunção genérica ϑSequência de impulsos de Dirac λCoeficiente de transferência de calor (WK−1m−2) ΛLargura de banda do controlador de posição (rad/s) ξIntegral em ordem ao tempo do erro de posição no controlador por retorno de estado (m) ρMassa volúmica (kg/m3) σ0Coeficiente de rigidez das fibras (Nsm−1) σ1Coeficiente de amortecimento das fibras (Nsm−1) σ0 1Coeficiente de amortecimento das fibras em pré-deslizamento (Nsm−1) τConstante de tempo do controlador de força φEspessura da camada de suavização do controlador de posição (m/s) ψ1,ψ2Superfícies de deslizamento (m/s) ωLargura de banda do observador de estado e de forças de perturbação (rad/s) ωRE Frequência de corte do filtro de Bessel (rad/s) Abreviaturas DAC Disturbance Accomodating Controllers (Controladores que lidam com perturbações) IANN Inverse Artificial Neural Networks (Redes neuronais artificiais inversas) PID Controlador com ação de controlo Proporcional, Integradora e Derivativa REI Controlador por retorno de estado com ação integral UIO Unknown Input Observers (observadores com inputs desconhecidos) VSC Variable Structure Control (Controladores de estrutura variante) Capítulo 1 Introdução Em todas as épocas da história da Humanidade podem ser encontradas aplicações de sistemas pneumáticos, desde os simples tubos com dardos utilizados pelo Homem primitivo até aos servomecanismos pneumáticos utilizados atualmente na indústria, como é o caso do sistema sobre o qual este trabalho incide. As tecnologias de acionamento mais comuns em ambiente industrial são a pneumática, a óleohidráulica e a eletromecânica. A escolha entre as três é feita com base na gama de aplicação, em termos de capacidade de carga e velocidade de atuação, necessidade e facilidade de implementação, requisitos de manutenção, relação peso-potência dos atuadores e, como não poderia deixar de ser, em termos de custo. É possível afirmar que para o acionamento de cargas elevadas com velocidades baixas (≈0.5m/s) os sistemas hidráulicos são os mais indicados; por outro lado, os atuadores eletromecânicos e pneumáticos são indicados para aplicações de baixa a média carga conseguindo-se assim obter velocidades mais elevadas (0.5a2m/s). Para a mesma gama de aplicação os atuadores pneumáticos são mais compactos quando comparados com os eletromecânicos. Os sistemas pneumáticos apresentam-se como uma tecnologia versátil na sua gama de aplicação quer ao nível da velocidade de acionamento quer ao nível da carga transportada. A baixa dimensão dos atuadores pneumáticos comparada com a potência que disponibilizam, o baixo custo dos equipamentos e sua manutenção além da simplicidade construtiva constituem algumas vantagens do sistemas servopneumáticos. Como o fluido de trabalho é o ar, constituem uma tecnologia limpa, não existindo risco de contaminação do ambiente quando existem fugas. Este facto tornaos muito utilizados em indústrias como a farmacêutica e a alimentar. A consequente inexistência de risco de explosão ou ignição torna-os também muito utilizados nas indústrias mineira e petroquímica. Outra vantagem dos sistemas pneumáticos reside nas suas propriedades amagnéticas permitindo assim a sua utilização em indústrias onde a geração de campos eletromagnéticos é prejudicial (rolamentos, microeletrónica). Como qualquer outra tecnologia, os sistemas pneumáticos apresentam algumas desvantagens relacionadas com a capacidade de posicionamento e de seguimento de trajetórias [1]. A precisão no posicionamento depende da carga aplicada ao atuador e o controlo de velocidade é complexo devido às características não lineares dos sistemas pneumáticos. As não linearidades advêm do 1 2Introdução atrito entre os componentes móveis do sistema e os seus elementos de vedação, da compressibilidade do ar e das características do escoamento do ar nas válvulas. Pelas razões apresentadas, a maioria das aplicações em que são empregues os sistemas pneumáticos resumem-se ao posicionamento de cargas entre pontos fixos, muitas vezes coincidentes com os extremos do curso do atuador [2]. Atualmente, os efeitos destas desvantagens têm vindo a ser atenuados com o desenvolvimento de circuitos integrados e da maior capacidade de cálculo e redução de custo dos processadores. Estes permitem uma abordagem mais eficaz e precisa à servopneumática. Inclusive, muitos fabricantes já apresentam aplicações na área da servopneumática com uma precisão no posicionamento de algumas décimas de milímetro [1]. A utilização e o estudo de técnicas de controlo não linear [3, 4] e de observadores de estado [5, 6] representam duas vias de estudo seguidas nos últimos anos para melhorar o controlo de sistemas servopneumáticos. Outra via passa por desenvolver observadores não só de estado mas também de forças de perturbação [7, 8] que possam ser integrados nos sistemas de controlo de maneira a melhorar o respetivo controlo de posição. Esta dissertação segue esta última via através do desenvolvimento de um observador de estado e de forças de perturbação apresentado por Johnson [9]. Entenda-se por força perturbação qualquer força, resultante de um qualquer evento, que afete de forma prejudicial ou não o comportamento de um sistema. Por exemplo, caso um atuador pneumático funcione na vertical a força da gravidade constitui uma força de perturbação. O uso de um observador como o referido permite reduzir o custo, em termos de hardware, de uma aplicação, através do uso de um menor número de transdutores. Por exemplo, para obter informação sobre a força de atrito seria necessário a utilização de um acelerómetro, o observador ao estimar forças de perturbação é capaz de o fazer sem ser necessária nenhuma informação sobre as forças em questão. As únicas variáveis necessárias para o observador são a posição do sistema e a ação de controlo do controlador. Aos observadores como este é dado o nome de observadores com inputs desconhecidos (de sigla em inglês, UIO). O sistema servopneumático sobre o qual este trabalho incide já foi alvo de estudos relativamente ao seu controlo e à sua modelação. Em estudos anteriores como os realizados por Falcão Carneiro [1] e por Amaral [10] foi abordado o controlo deste sistema, no entanto em nenhum é empregue um observador como o deste trabalho. No caso de Falcão Carneiro é desenvolvido um modelo de atrito (através de redes neuronais artificiais) que fornece a sua informação ao controlador. Apesar dos excelentes resultados, este método só fornece informação sobre a força de atrito, não fornecendo informação sobre quaisquer outras forças de perturbação, além de que torna necessária a elaboração de um modelo de atrito para cada aplicação. Com a implementação de um observador como o escolhido, tenta-se conferir versatilidade e robustez aos sistemas servopneumáticos sem a implicação de aumentar em demasia o custo. Objetivos e estrutura da dissertação Este trabalho tem como objetivo principal o desenvolvimento de um observador de estado e de forças de perturbação, tentando diminuir o efeito das caraterísticas não lineares dos sistemas pneumáticos no controlo de posição. Esta dissertação tenta encontrar uma solução que, caso apre- Introdução 3 sente bons resultados, possa ser aplicada a qualquer sistema servopneumático sem a necessidade de mudar ou acrescentar componentes ao sistema. É então, desenvolvido um observador do tipo já referido para estimar a velocidade e aceleração do atuador e as forças de perturbação. Dito isto, a dissertação é constituída por seis capítulos que tentam mostrar o trabalho desenvolvido. No Capítulo 2 é apresentada a descrição e modelação da instalação experimental. É feita a caracterização da instalação experimental e apresentada a modelação do servomecanismo fruto dos estudos realizados em trabalhos anteriores. No Capítulo 3 é abordado o controlo do servomecanismo. Para essa abordagem são apresentados os resultados obtidos com diversos controladores lineares e com um controlador de estrutura variante (VSC). Este capítulo fornece uma base comparativa entre os resultados aqui obtidos e os resultados do capítulo 5. No Capítulo 4 é apresentado o observador de Johnson. É feita uma breve revisão bibliográfica sobre a utilização de observadores, semelhantes ao deste trabalho, em servopneumática. É desenvolvido um controlador VSC sem incertezas, estas são exclusivamente do domínio do observador. Ainda neste capítulo são escolhidos os parâmetros do observador e controlador que levam a um menor erro entre a perturbação real e a perturbação estimada pelo observador de Johnson. No Capítulo 5 são apresentados e discutidos os resultados obtidos, em simulação, com a utilização do observador em malha fechada. Compara-se a estimação das variáveis de estado com as mesmas e finalmente, são apresentados os resultados para o controlo de posição em tarefas de posicionamento e em seguimento de trajetórias. No Capítulo 6 são apresentadas as conclusões desta dissertação e são apresentados os trabalhos que podem vir a ser realizados futuramente. 4Introdução Capítulo 2 Descrição e modelação da instalação experimental Os sistemas servopneumáticos, como a maioria dos servomecanismos, podem ser representados, de forma geral, por quatro blocos, como se pode evidenciar na Fig. 2.1. Num sistema servopneumático, o ar é conduzido desde a fonte de energia pneumática, através de servoválvulas, até ao interior das câmaras do atuador. As servoválvulas, ao conterem orifícios de secção variável, desempenham o papel de modulador da potência que irá ser fornecida ao atuador. Com a informação disponibilizada pelos transdutores e com o fornecimento de uma referência, o controlador é capaz de gerar uma ação de controlo que será enviada para as servoválvulas. Figura 2.1: Estrutura esquemática de um servomecanismo pneumático A instalação experimental utilizada neste trabalho e descrita na próxima secção segue a estrutura apresentada na Fig. 2.1. 2.1 Descrição da instalação experimental A instalação experimental utilizada neste trabalho é um sistema eletropneumático, apresentado na Fig. 2.2, constituído por uma unidade de tratamento de ar, duas servoválvulas, um atuador 5 12 Descrição e modelação da instalação experimental Figura 2.9: Interface entre duas superfícies modelas por fibras [16] Figura 2.10: Deflexão média (adaptada de [16]) Este modelo é baseado no comportamento médio das fibras em contacto, ou seja, o comportamento de uma única fibra representa a deflexão média de todas as fibras, como é possível observar na Fig. 2.10, adaptada de [16]. A deflexão média qé modelada através da equação (2.6): dq dt=˙x−σ0|˙x| g(˙x)(2.6) com g(˙x) = α0+α1e−(˙x/vs)2(2.7) Na equação (2.6), ˙xrepresenta a velocidade relativa entre as superfícies, σ0o coeficiente de rigidez relativo à deformação microscópica q[16] e g(˙x)é uma função que permite incluir a força de atrito de Coulomb (α0) e a força de Stribeck (α1) no modelo de LuGre [16]. A força de atrito desenvolvida pela fibra é modelada pela equação (2.8): Fatr =σ0q+σ1dq dt+α2˙x(2.8) σ1=σ0 1e−(˙x/vc)2(2.9) onde σ1representa o coeficiente de amortecimento associado à velocidade de deformação do elemento de fibra dq/dt [16] e α2representa o coeficiente de atrito viscoso, conseguindo-se assim incluir o atrito viscoso no modelo de LuGre. A força de atrito dada pelo modelo de Lugre (expressão (2.8)) permite a inclusão no modelo dos quatro regimes de atrito num contacto lubrificado, apresentados na Fig. 2.11. 2.2 Modelação do sistema pneumático 13 Figura 2.11: Os quatro regimes de atrito num contacto lubrificado. Iatrito estático IILubrificação limite IIILubrificação parcial IVLubrificação total Os parâmetros do modelo de LuGre, apresentados na Tabela 2.3, foram estimados por Pereira [15]. O parâmetro σ1, por depender da velocidade, não representa um valor constante, pelo que não é apresentado na Tabela 2.3. Note-se que σ1é facilmente calculável através da equação (2.9). Tabela 2.3: Parâmetros do modelo de LuGre Parâmetro Valor Unidades α011.9850 N α118.4950 N α276.6300 Nsm−1 vs0.0077 ms−1 vc0.0024 ms−1 σ0 14.1547×104Nsm−1 σ032862500 Nm−1 2.2.2 Modelo termodinâmico do atuador A modelação termodinâmica do atuador foi realizada recorrendo ao teorema de transporte de Reynolds [17], utilizando o procedimento seguido em [1]. O modelo termodinâmico não linear do atuador é dado pelas seguintes equações: 14 Descrição e modelação da instalação experimental Câmara A dPA dt=−γPA VA dVA dt+γR VA ˙mAinTin −γR VA ˙mAout TA+(γ−1) VA λ0PATA P0T01/2 AAq(x)(Tamb −TA)(2.10) dTA dt=TA VA dVA dt(1−γ)+ ˙mAin RTA VAPA (γTin −TA)−˙mAout RT2 A VAPA (γ−1)+ (γ−1)TA PAVA λ0PATA P0T02 AAq(x)(Tamb −TA) (2.11) com, VA=Vd+AA l 2+x·AA(2.12) Câmara B dPB dt=−γPB VB dVB dt+γR VB ˙mBinTin −γR VB ˙mBout TB+(γ−1) VB λ0PBTB P0T01/2 ABq(x)(Tamb −TB)(2.13) dTB dt=TB VB dVB dt(1−γ)+ ˙mBin RTB VBPB (γTin −TB)−˙mBout RT2 B VBPB (γ−1)+ (γ−1)TB PBVB λ0PBTB P0T02 ABq(x)(Tamb −TB) (2.14) com, VB=Vd+AB l 2−x·AB(2.15) Nas equações acima apresentadas, Rrepresenta a constante dos gases perfeitos, λ0representa o coeficiente de transferência de calor para as condições de equilíbrio [1] (P0=5.65 ×105Pa, T0=Tamb =293.15K), o seu valor numérico é de 22.75WK−1m−2, tal como determinado experimentalmente em [1] e [18], Vdrepresenta o volume morto de cada uma das câmaras, que foi considerado igual para ambas as câmaras do atuador e com o valor de 1.5708×10−6m3. A área de transferência de calor para cada uma das câmaras, AAq(x)eABq(x)respetivamente, foi considerada ser duas vezes a área circular do pistão mais a área lateral do atuador [1]. O valor do caudal mássico que é admitido ou expulso em cada câmara do atuador é expresso através das equações (2.16) e (2.17), com o valor para ˙mAe ˙mBa ser dado pelas equações (2.21) a (2.26), respetivamente. ˙mAin =(˙mAse ˙mA>0 0 se ˙mA≤0˙mAout =(0 se ˙mA≥0 ˙mAse ˙mA<0(2.16) 2.2 Modelação do sistema pneumático 15 ˙mBin =(˙mBse ˙mB>0 0 se ˙mB≤0˙mBout =(0 se ˙mB≥0 ˙mBse ˙mB<0(2.17) 2.2.3 Modelação das servoválvulas As servoválvulas existentes na instalação experimental referidas na secção 2.1.2 serão caracterizadas por recurso à norma ISO 6358 [19], que já foi utilizada em trabalhos anteriores como os de Falcão Carneiro [1], Amaral [10], Rocha [20] e Pereira [15]. A Fig. 2.12 representa uma servoválvula genérica de 3 orifícios, em que A ou B representa o orifício de trabalho, ligado à câmara A ou B do atuador (considerado à pressão da câmara do cilindro), P o orifício ligado à fonte de pressão (à pressão Ps) e o orifício de escape Rligado à atmosfera (à pressão Patm). Às servoválvulas é fornecida uma tensão de comando uque faz variar xv(deslocamento da gaveta das servoválvulas), que por sua vez, varia a área das restrições R1, R2e assim consegue-se variar a quantidade de ar que entra ou sai das câmaras do atuador. Em servopneumática é habitual desprezar a dinâmica das servoválvulas, uma vez que esta é muito superior à dinâmica do atuador. Neste caso, a largura de banda das servoválvulas é de 100 Hz, enquanto que a largura de banda do atuador é no máximo de 6 Hz [1], o que suporta o acima dito. Figura 2.12: Representação esquemática de uma servoválvula de três orifícios [1] Caso se aplique um volume de controlo à servoválvula, conseguimos definir o caudal mássico ˙mque passa pelo orifício de trabalho como uma diferença de caudais entre ˙m1, caudal que atravessa R1, e ˙m2, caudal que atravessa R2e sai por R. Tal relação pode ser descrita pela equação (2.18): ˙m=˙m1−˙m2(2.18) 16 Descrição e modelação da instalação experimental Recorrendo à norma ISO 6358 [19], sabemos que o caudal mássico a atravessar uma restrição ié dado por: ˙mi=Ci(u)Puiρ0r293.15 Tui Yi(2.19) com Y1=   1 se Pdi/Pui ≤ri(u) q1−Pdi/Pui−ri 1−ri 2se Pdi/Pui >ri(u)(2.20) Nas equações (2.19) e (2.20), Ci(u)representa a condutância sónica da restrição i,ri(u)a razão de pressões crítica. Os índices "u"e "d"remetem para o que se passa a montante e a jusante da restrição irespetivamente, como é ilustrado na Fig. 2.13. Figura 2.13: Esquema de uma restrição ideal [1] O modelo dado pelas equações (2.19) e (2.20) pode ser aplicado a cada uma das servoválvulas existentes neste trabalho, conseguindo-se assim obter o respetivo modelo para as servoválvulas dado pelas equações (2.21) a (2.26). Servoválvula A ˙mA=˙mA1−˙mA2(2.21) ˙mA1=CA1(u)Psρ0r293.15 Ts   1 se PA/Ps≤rA1(u) r1−PA/Ps−rA1(u) 1−rA1(u) 2se PA/Ps>rA1(u)(2.22) e ˙mA2=CA2(u)PAρ0r293.15 TA   1 se Patm/PA≤rA2(u) r1−Patm/PA−rA2(u) 1−rA2(u) 2se Patm/PA>rA2(u)(2.23) Servoválvula B ˙mB=˙mB1−˙mB2(2.24) 2.2 Modelação do sistema pneumático 17 ˙mB1=CB1(u)Psρ0r293.15 Ts   1 se PB/Ps≤rB1(u) r1−PB/Ps−rB1(u) 1−rB1(u) 2se PB/Ps>rB1(u)(2.25) e ˙mB2=CB2(u)PBρ0r293.15 TB   1 se Patm/PB≤rB2(u) r1−Patm/PB−rB2(u) 1−rB2(u) 2se Patm/PB>rB2(u)(2.26) Para a definição de Ci(u)eri(u)foram utilizados os dados experimentais obtidos por Falcão Carneiro [1]. De seguida são apresentados os gráficos (adaptados de [1]) que relacionam a condutância sónica Ci(u)e a razão de pressões crítica ri(u)com a ação de controlo. Como as servoválvulas são iguais, só são apresentados os gráficos para a servoválvula A. Na Fig. 2.15 e 2.14 é apresentada a variação de Cieri, respetivamente, para diferentes ações de controlo. Estes valores serão utilizados para efeitos de simulação nos capítulos 3, 4 e 5. Figura 2.14: Valores de ripara diferentes ações de controlo (adaptado de [1]) 18 Descrição e modelação da instalação experimental Figura 2.15: Valores de Cipara diferentes ações de controlo (adaptado de [1]) 2.2 Modelação do sistema pneumático 19 2.2.4 Modelo não linear do sistema Neste momento é possível definir o modelo não linear do atuador. Este é dado pelo modelo mecânico (equações (2.4) e (2.5)), pelo modelo termodinâmico (equações (2.10) a (2.17)) e, quanto à força de atrito, esta é dada pelas equações (2.6) a (2.9). Será este o modelo utilizado para efeitos de simulação nos capítulos 3, 4 e 5. 20 Descrição e modelação da instalação experimental Capítulo 3 Controladores lineares e não lineares Este capítulo serão apresentados os controladores lineares e um controlador não linear, desenvolvidos com o intuito de serem aplicados ao modelo do sistema em estudo e assim avaliar o seu desempenho. Os controladores de seguida apresentados foram aplicados ao modelo não linear do atuador apresentado na secção 2.2.4. No início deste capítulo é analisado o desempenho do controlador mais simples, o controlador proporcional. Os resultados obtidos não foram satisfatórios pois foi obtida uma baixa precisão de posicionamento. De seguida, foi desenvolvido um controlador PID que provoca um ciclo limite no sistema independentemente do ajuste dos seus parâmetros. Também foram desenvolvidos controladores por retorno de estado, sem e com ação integral. Ambos conduzem a oscilações indesejáveis. O aparecimento de oscilações indesejáveis, em torno da posição da referência, está de acordo com os resultados obtidos em [1, 21]. Por fim, é apresentado um controlador de estrutura variável (VSC) com e sem ação integral. Este foi desenvolvido para se obter um controlo de posição rigoroso e robusto a perturbações exteriores. Apesar de os resultados obtidos serem bons, é de salientar que a ação de controlo resultante da implementação do controlador em questão não é suave, o que pode trazer alguns problemas, caso este seja aplicado à instalação experimental. As únicas variáveis mensuráveis na instalação experimental, como já dito anteriormente, são a posição do cilindro e a pressão em cada uma das suas câmaras. No entanto, alguns dos controladores que serão apresentados neste capítulo necessitam também dos sinais da velocidade e da aceleração. Estes sinais foram obtidos, no presente estudo, a partir do modelo não linear do atuador. Caso estes controladores sejam aplicados ao sistema servopneumático real, quer a velocidade quer a aceleração teriam de ser estimadas, por exemplo, através de diferenças finitas. Outra via seria desenvolver um observador de estado e de forças perturbação, conseguindo-se assim obter não só estimativas da velocidade e da aceleração mas também das forças de perturbação. Esta via será explorada no capítulo 4. 21 28 Controladores lineares e não lineares em que Krepresenta o vetor de ganhos, com K= [k1k2k3]sendo calculado de maneira a impor a resposta do sistema em malha fechada por um processo de alocação de pólos. Logo, é necessário determinar o vetor de ganhos Kque impõe à equação característica (3.4) os pólos desejados. As matrizes A B são matrizes que caracterizam o sistema pneumático (ver [1]) e a matriz Irepresenta a matriz identidade. |sI−A+BK|=0 (3.4) Apesar de existirem na literatura várias opções no que toca à colocação de pólos, neste trabalho optou-se mais uma vez por seguir a metodologia empregue em [1]. Aí foi implementada uma dinâmica de malha fechada idêntica à de um filtro de Bessel com frequência característica ωRE. Os ganhos daí resultantes foram utilizados como base, no entanto foi necessário um ajuste em simulação. Foram utilizados os seguintes ganhos, k1=100, k2=5 e k3=0.1 e obtidos os resultados que são apresentados, em parte, na Fig. 3.7. Na resposta ao degrau é visível, tal como na resposta do controlador proporcional, o comportamento em que o êmbolo pára numa posição próxima da referência e, sem razão aparente, descola e volta a colar numa outra posição, o que pode levar a um erro estático maior. Este fenómeno é visível no gráfico inferior direito da Fig. 3.7. Este comportamento assemelha-se já estudado e justificado em [21]. Figura 3.7: Resultados de posicionamento do controlador por retorno de estado sem ação integral 3.1 Controladores lineares 29 3.1.3.2 Controlador por retorno de estado com ação integral O teste com um controlador por retorno de estado com ação integral (REI) [23] termina a secção dos controladores lineares. O diagrama de blocos do sistema controlado pelo REI é apresentado na Fig. 3.8. Apesar de não estar representado, este controlador possui o mecanismo anti-windup utilizado para o controlador PID (ver secção 3.1.2). Figura 3.8: Controlador por retorno de estado sem ação integral A introdução de uma ação integral provoca um aumento da ordem do sistema e a ação de controlo passa a ser descrita por: u=−Kx+kiξ(3.5) Os parâmetros do controlador foram ajustados em simulação e tiveram como base os parâmetros utilizados por Falcão Carneiro [1]. Estes são ki=820, k1=250, k2=4.96 e k3=0.085. Na análise dos resultados obtidos (Fig. 3.9) foi verificada a existência de um ciclo limite. Este resultado era esperado, pois está de acordo com o verificado em [1, 21], sendo que as causas para existência de ciclo limite também foram aí estudadas. Figura 3.9: Controlador por retorno de estado sem ação integral 30 Controladores lineares e não lineares 3.2 Controlo não linear Nesta secção será apresentado o controlador não linear desenvolvido neste capítulo e será analisado o desempenho do mesmo quando aplicado ao sistema servopneumático em estudo. Antes da descrição do controlador não linear desenvolvido neste capítulo, será apresentada a estrutura do controlador não linear que irá ser utilizada para todos os controladores não lineares desenvolvidos neste trabalho, salvo referência em contrário. 3.2.1 Estrutura do controlador não linear proposto O controlador não linear proposto neste trabalho segue a mesma estrutura proposta em [1, 4, 24, 25]. Aí distinguem-se claramente as dinâmicas de pressão de cada câmara e a dinâmica do movimento, o que leva a dividir as tarefas de controlo em duas, controlo da dinâmica de pressões (ou de forças pneumáticas) e controlo da dinâmica de movimento. É de esperar que existam ainda incertezas, sendo que serão claramente maiores na dinâmica do movimento por duas razões. Primeiro, existe a possibilidade de a massa móvel variar, segundo existe incerteza na força de atrito e nas forças exteriores que possam estar aplicadas, pois não existe forma de obter informação sobre estas. Na dinâmica de pressões não será de esperar incertezas relevantes pois esta assenta no modelo termodinâmico não linear do atuador (2.2.2), que consegue traduzir a evolução das pressões das câmaras do cilindro de forma bastante aproximada [26]; relembra-se no entanto que a pressão está disponível ao utilizador. Tendo em conta as diferenças entre as dinâmicas, a implementação de dois controladores distintos surge de forma natural. Outra justificação para a implementação de dois controladores distintos advém da análise dos resultados obtidos com controladores lineares (secção 3.1), pois com controladores proporcionais e de retorno de estado constatou-se que o fenómeno de deslocamento do pistão pode acontecer quando a ação de controlo é constante e estando o sistema em equilíbrio mecânico. Devido a existência de atrito estático a dinâmica de pressões deixa de ser observável através das variáveis mecânicas o que justifica a utilização de um controlador de pressão. Para além disso, com esta divisão de tarefas o controlador de movimento fornece uma força pneumática de referência (Fpre f ) que pode ser atingida através de diversas combinações das referências de força para cada câmara do atuador (FAre f eFBre f ), o que pode permitir melhorar o desempenho do sistema. A estrutura do controlador não linear é apresentada na Fig. 3.10. O controlador de movimento, dada uma referência de posição, velocidade e aceleração, é capaz de gerar uma referência de força Fpre f . Esta referência é fornecida a uma política de gestão de forças que gera uma referência de força para cada câmara do atuador, conseguindo-se controlar, de forma independente, cada câmara do atuador. Sem o uso de uma servoválvula para cada câmara do atuador o controlo independente não seria possível. O bloco da política de gestão de forças fornece uma referência de força para cada câmara pneumática que é, por sua vez, fornecida a um controlador de força que gera uma referência de caudal também para cada câmara. Esta referência de caudal, juntamente com a 3.2 Controlo não linear 31 pressão de cada câmara, é fornecida a duas redes neuronais artificiais (IANNAeIANNB) que geram a ação de controlo para cada servoválvula. Figura 3.10: Estrutura do controlador não linear proposto [1] Os componentes que constituem a estrutura da Fig. 3.10 serão apresentados nas secções seguintes. 3.2.2 Política de gestão de forças Recordando a Fig. 3.10, onde é apresentada a configuração do controlador proposto, a força Fpre f pode ser obtida através de diversas combinações de FAre f eFBre f . Um estudo sob estas combinações foi realizado em [1, 27] sendo que as duas hipóteses aí analisadas foram as seguintes: •Política em que a rigidez do cilindro é invariante; •Política em que é garantida a maximização da gama de força disponível; Através desses estudos, concluiu-se que a melhor política seria a de maximização da gama de força disponível, pois com esta é conseguida uma maior potência qualquer que seja a pressão de equilíbrio, além de que, numa situação de frenagem (velocidade e força com sinais opostos, correspondente a uma potência negativa) a potência máxima é independente da pressão de equilíbrio, o que não acontece na política de rigidez invariante. Nesta secção é somente apresentada somente a política de maximização de força disponível por ser a utilizada neste trabalho. 3.2.2.1 Política de maximização da gama de força do cilindro Com esta política é pretendido encontrar uma forma de distribuir a força desejada Fpre f , dada pelo controlador de posição, pelas duas câmaras do cilindro (ver expressão (3.6)), evitando que qualquer uma delas sature em força. Fpre f =FAre f +FBre f −Fatm (3.6) 32 Controladores lineares e não lineares De maneira a cumprir esta política são utilizadas as seguintes equações [4]: FAre f =       Ps−PA0 Ps−Patm Fpre f +PA0AAse Fpre f ≥0 1−Ps−PB0 Ps−Patm Fpre f +PA0AAse Fpre f <0 (3.7) FBre f =       −1−Ps−PA0 Ps−Patm Fpre f +PB0ABse Fpre f ≥0 −Ps−PB0 Ps−Patm Fpre f +PB0ABse Fpre f <0 (3.8) 3.2.3 Controlador de força O controlador de força que será apresentado nesta secção foi desenvolvido por Falcão Carneiro [1]. Este controlador tem como objetivo fornecer uma referência de caudal mássico às redes neuronais artificiais inversas (ver secção 3.2.4). Este controlador utiliza como variáveis de entrada as referências de força para cada uma das câmaras (FAre f eFBre f ), a pressão existente em cada câmara (PAePB), a posição xdo atuador bem como a sua velocidade ˙x. Apesar de serem necessárias as temperaturas de cada uma das câmaras, estas por não estarem disponíveis ao utilizador foram estimadas através das equações (3.9) e (3.10). Para as pressões de equilíbrio foram utilizados os valores PA0=3.77×105Pa ePB0=4.22×105Pa [1]. TA=TA0PA PA0n−1 n(3.9) TB=TB0PB PB0n−1 n(3.10) As temperaturas de equilíbrio são dadas por TA0=TB0=Tamb =293K, uma vez que em regime permanente a temperatura no interior do cilindro tende para a temperatura ambiente. Foi também considerado que as pressões nas câmaras A e B são dadas pelas seguintes equações, de acordo com o modelo termodinâmico de ordem reduzida M7que melhor resultados apresentou em [1, 26]: dPA dt=1 VA [−γPAAA˙x+γRTA˙mA+(γ−1)k0(Tamb −TA)] (3.11) dPB dt=1 VB [γPBAB˙x+γRTB˙mB+(γ−1)k0(Tamb −TB)] (3.12) com os volumes a serem dados por: VA=AA(l/2+x)+VAd (3.13) 3.2 Controlo não linear 33 VB=AB(l/2−x)+VBd (3.14) Definindo as variáveis xA0exB0como: xA0=l/2+VAd/AA(3.15) xB0=l/2+VBd/AB(3.16) e possível reescrever o volume de cada câmara como: VA=AA(x+xA0)(3.17) VB=AB(xB0−x)(3.18) Por fim, substituindo as expressões (3.17) e (3.18) nas expressões (3.11) e (3.12), respetivamente, e recordando que FA=PAAAeFB=PBABé possível obter as seguintes equações: ˙ FA=−γ˙x x+xA0FA+γRTA x+xA0˙mA+γ−1 x+xA0k0(Tamb −TA)(3.19) ˙ FB=−γ˙x xB0−xFB+γRTB xB0−x˙mB+γ−1 xB0−xk0(Tamb −TB)(3.20) Note-se que as equações (3.19) e (3.20) são equações diferenciais não lineares. De forma a superar essas não linearidades, foi utilizado um controlador por retorno de estado não linear. A aplicação desta metodologia pressupõe um modelo linear na ação de controlo, o que neste caso não constitui uma limitação, pois o caudal mássico surge linearmente nas expressões (3.19) e (3.20). Por este motivo, a ação de controlo do controlador de força não é uma tensão elétrica (que seria aplicada às servoválvulas) mas sim um caudal mássico a ser fornecido às redes IANN. Logo, se a lei de controlo da câmara A for dada por: ˙mA=x+xA0 γRTAυA+γ˙x x+xA0FA−γ−1 x+xA0k0(Tamb −TA)(3.21) e se a expressão (3.21) for substituída em (3.19) pode-se escrever que: ˙ FA=υA(3.22) Aplicando a mesma metodologia à câmara B: ˙mB=xB0−x γRTBυB−γ˙x xB0−xFB−γ−1 xB0−xk0(Tamb −TB)(3.23) 34 Controladores lineares e não lineares com, ˙ FB=υB(3.24) Através das leis de retorno de estado não linear, acima apresentadas, a dinâmica de forças fica reduzida a um integral simples, com novas entradas υAeυB, como apresentado na Fig. 3.11. Para controlar a dinâmica de forças linearizada utiliza-se um controlador proporcional, com ações de controlo apresentadas nas expressões (3.25) e (3.26), para a câmara A e B respetivamente: υA=kpFA(FAre f −FA)(3.25) υB=kpFB(FBre f −FB)(3.26) Os parâmetros do controlador foram ajustados em simulação e são apresentados na Tabela 3.2. Tabela 3.2: Parâmetros do controlador de força Parâmetro kpFA(s−1)kpFB(s−1) Valor 200 200 Figura 3.11: Controladores de dinâmica de forças Com estas leis de controlo e admitindo uma linearização perfeita pelo retorno de estado não linear, a dinâmica de forças na câmara A e B pode ser escrita como apresentado nas equações 3.2 Controlo não linear 35 (3.27) e (3.28), respetivamente: FA FAre f =kpFA s+kpFA (3.27) FB FBre f =kpFB s+kpFB (3.28) 3.2.4 Redes neuronais artificiais inversas A inclusão de redes neuronais artificiais inversas ((IANN)Ae(IANN)B) na estrutura do controlador não linear proposta é necessária à geração da ação de controlo das servoválvulas. As redes utilizadas neste trabalho foram desenvolvidas em [1, 28, 29, 30]. Visto que as redes mencionadas não são do âmbito deste trabalho não será feita uma descrição quer do seu funcionamento quer da sua implementação. Pode-se dizer que estas redes mapeiam, cada uma, uma função inversa das apresentadas em 2.2.3 obtendo-se a ação de controlo para cada uma das servoválvulas, uAeuB. Estas ações de controlo são obtidas a partir do fornecimento da referência de caudal mássico que deve ser admitido/expulso e da pressão em cada uma das câmaras. Para mais detalhes sobre as redes utilizadas ver [1, 28, 29, 30]. A definição de uAeuBé feita através das equações (3.29) e (3.30): uA=IANN(˙mA,PA)(3.29) uB=IANN(˙mB,PB)(3.30) 3.2.5 Controlador de posição Como já foi referido no início desta secção é no controlador de posição que existem as maiores incertezas do modelo. Daqui resulta a escolha de um controlador de estrutura variante para o controlador de posição, devido à sua robustez a incertezas que possam existir no modelo da instalação. Optou-se por desenvolver um controlador VSC com camada de suavização [31]. Esta decisão foi tomada, tendo em conta que em [1] foi avaliado o comportamento do sistema servopneumático controlado por um controlador VSC sem camada de suavização, que levou ao aparecimento de chattering [32]. O aparecimento deste fenómeno é indesejável na maioria das aplicações pois leva a mau desempenho nas tarefas de controlo e pode reduzir o tempo de vida dos componentes envolvidos. No controlador que será de seguida apresentado, existem três parâmetros com incerteza: a força de atrito, a massa transportada e quaisquer forças exteriores que possam estar aplicadas ao sistema. 3.2.5.1 Controlador de estrutura variante Os controladores VSC são capazes de impor a um sistema um comportamento descrito por uma equação que tenha as características desejadas quer ao nível de dinâmica quer ao nível de 36 Controladores lineares e não lineares rejeição das incertezas de modelação. Se considerarmos a equação da dinâmica de movimento, onde foi desprezada a dinâmica de pressões por ser substancialmente mais rápida que a dinâmica de movimento, chega-se a: M¨x=Fp−Fatr −Fext (3.31) com, Fp=PAAA−PBAB−Patm(AA−AB)(3.32) A equação (3.31) pode ser reescrita como: ¨x=f+bFi(3.33) com, f=−b(Fatr +Fext)(3.34) e b=1/M(3.35) É pretendido que o sistema em causa tenha um comportamento, quando em malha fechada, dado por uma das duas equações seguintes que definem duas superfícies de deslizamento ψem ψ=ψ1=0 e ψ=ψ2=0. ψ1=˙e+Λe=0 (3.36) ψ2=˙e+2Λe+Λ2Zt 0edr=0 (3.37) sendo que o erro ee suas derivadas são definidos como a diferença entre valores de referência e os obtidos em cada instante: e= [e˙e¨e...] = [xre f −x˙xre f −˙x¨xre f −¨x...](3.38) As superfícies ψ1eψ2foram definidas para o sistema de segunda ordem (3.33), de acordo com a metodologia definida por Slotine e Li em [32]. A diferença entre as duas superfícies reside no facto de ψ2conter uma ação integral que aumenta a ordem do sistema para três, o que permitirá obter, na ação de controlo uma parcela proporcional ao erro de seguimento. Este motivo leva a concluir que o erro de seguimento deverá ser menor para a superfície que inclui a ação integral, como mostrado em [24]. Quando um controlador é bem sucedido, qualquer que seja a superfície de deslizamento utilizada, a dinâmica do sistema passará a ser descrita pela equação (3.36) ou (3.37), o que leva a concluir que a dinâmica do erro em malha fechada não depende de nenhum parâmetro físico, logo as incertezas do modelo não a afetam e, ainda, que a dinâmica do erro em malha fechada pode ser imposta através do ajuste de Λ. 3.2 Controlo não linear 37 Neste momento, resta apenas encontrar uma lei de controlo capaz de garantir que a superfície ψ1=0 ou ψ2=0 seja atingida. Por exemplo, considerando que a superfície escolhida é ψ2=0 e admitindo que no estado inicial o sistema está em ψ2=0 é necessário que ˙ ψ2=0, ou seja: ˙ ψ2=0↔¨e+2Λ˙e+Λ2e=0 (3.39) Se a equação (3.39) for resolvida em ordem a Ficonsegue-se obter aquilo a que se costuma designar de ação de controlo equivalente [32]. Esta equação garante que ψ2não varia temporalmente, pelo que se a condição ψ2=0, no instante inicial, for cumprida, então será também cumprida para qualquer instante posterior. Neste caso, ao substituir (3.33) em (3.39) é possível chegar à expressão para Fpeq: Fpeq =1 b(¨xre f −f+2Λ˙e+Λ2e) (ψ=ψ2)(3.40) É de salientar que na superfície ψ2surge uma parcela proporcional ao erro de posição (Λ2e), que não surgiria caso fosse utilizada a superfície ψ1, caso em que Fpeq seria dado por: Fpeq =1 b(¨xre f −f+Λ˙e) (ψ=ψ1)(3.41) Independentemente da superfície escolhida, existe um problema com qualquer uma das ações de controlo, (3.40) ou (3.41), pois existem três parâmetros que não são conhecidos com rigor, a força de atrito Fatr, a massa móvel Mque pode variar e as forças exteriores que possam estar aplicadas no sistema. Então, é necessário definir estimativas para feb, representadas por ˆ feˆ b respetivamente: ˆ f=fmax +fmin 2(3.42) com, fmax =−(Fatrmax +Fextmax ) Mmin (3.43) fmax =−(Fatrmin +Fextmin ) Mmax (3.44) e, ˆ b=pbmaxbmin (3.45) com, bmin =1 Mmax (3.46) bmax =1 Mmin (3.47) A definição de Fatrmin e de Fatrmax foi feita com base com nos valores mínimos e máximos da Fatr dada pelo modelo de LuGre utilizado na modelação do sistema servopneumático. Para as forças exteriores foi decidido que o seu valor seria igual a metade da capacidade de força do cilindro 44 Controladores lineares e não lineares Figura 3.18: Resultados obtidos com um controlador com ação integral e S2 Figura 3.19: Resultados obtidos com um controlador com ação integral e S1 3.2 Controlo não linear 45 Foi efetuado mais um teste ao controlador com ação integral, a título de exemplo. O teste consiste em, quando fornecido um perfil em S, aplicar ao sistema uma força exterior. A força exterior aplicada ao sistema é constante (210N) e foi aplicada no instante t=2.5se retirada no instante t=6s. Na Fig. 3.20 são apresentados os resultados obtidos. Quando esta força exterior é aplicada ou retirada, a ação de controlo está muito ativa como apresentado nas ampliações do gráfico de ação de controlo da Fig. 3.20. Ou seja, o controlador é capaz de garantir um controlo de posição rigoroso, mas sempre que existe algum afastamento da referência por qualquer tipo de evento, como neste caso aplicando e retirando uma força exterior, o controlador vence as incertezas, de maneira a voltar para a referência, através do ganho da ação de controlo descontínua kvsc. Tal pode ser observado na Fig. 3.21 onde é apresentado o ganho kvsc da ação de controlo descontínua. Aí pode ser visto que a sua variação é mais intensa nos momentos em que é aplicada e retirada a força exterior. Figura 3.20: Resultados obtidos com um controlador com ação integral, S1e adição de força exterior 46 Controladores lineares e não lineares Figura 3.21: Ganho kvsc da ação descontínua do controlador de posição 3.3 Conclusões do capítulo 3 Este capítulo incidiu sobre o estudo de controladores lineares e não lineares quando aplicados ao sistema. Os resultados obtidos com controladores lineares não foram satisfatórios, devido ao aparecimento de oscilações indesejáveis na posição do sistema em regime permanente. Com controladores proporcionais e por retorno de estado sem ação integral, foram observados oscilações mesmo quando a ação de controlo é constante. Este fenómeno já foi justificado em [1, 21] e é causado pela dinâmica de pressões que surge e leva as pressões a dirigirem-se para o valor de equilíbrio [1]. Com controladores PID e retorno de estado com ação integral, as oscilações surgem devido à combinação entre as não linearidades causadas pela força de atrito estático e a ação integral do controlador [1, 21]. Os resultados obtidos, em simulação, com controladores lineares estão de acordo com os resultados obtidos, experimentalmente, em [1, 10], o que permite afirmar que o modelo da instalação é uma boa aproximação à instalação experimental. Com controladores não-lineares, os resultados são claramente melhores como foi justificado em [1, 21]. No entanto, o tipo de controlador utilizado leva a uma ação de controlo bastante ativa sempre que existe afastamento da referência de maneira a vencer as incertezas através do ganho da ação de controlo descontínua kvsc. Com este controlador não linear é possível obter um controlo de posição satisfatório. A introdução de uma ação integral garante erro de posição muito baixo quando em regime permanente e o controlador revela-se bom uma vez próximo da referência. Desta forma, conclui-se que os controladores lineares aqui desenvolvidos não conduzem a resultados satisfatórios, pois apresentam ciclos limite devido à força de atrito e ação integral ou oscilações devido à dinâmica de pressões. Com controladores não lineares não existem ciclos limite mas uma ação de controlo bastante ativa inviabiliza o uso destes controladores na instalação experimental. Esta grande atividade está dependente do elevado grau de incerteza que foi necessário considerar para assegurar a convergência de qualquer superfície |ψ|<φ. Assim, no próximo capítulo é apresentado um observador de estado e de forças de perturbação, 3.3 Conclusões do capítulo 3 47 futuramente integrado na estrutura do controlador não linear proposta, permitindo obter estimativas de variáveis não mensuráveis no sistema servopneumático como a velocidade, a aceleração e as forças de perturbação. 48 Controladores lineares e não lineares Capítulo 4 Observador de estado e de força de perturbação No capítulo 3 foi visto que os controladores aí desenvolvidos apresentam resultados no controlo da posição do atuador que inviabilizam a sua utilização na instalação experimental devido à existência de oscilações ou de uma ação de controlo muito ativa. Relembra-se que a instalação experimental só dispõe de um transdutor de posição e dois de pressão. Este capítulo é dedicado ao desenvolvimento de um observador de estado e de forças de perturbação capaz de gerar estimativas das variáveis necessárias para melhorar o controlo de posição (velocidade, aceleração e forças de perturbação) sem que seja necessário a introdução de mais transdutores na instalação experimental ou a utilização de métodos como as diferenças finitas. O observador aqui desenvolvido foi apresentado por C.D. Johnson no final dos anos 60 [9]. Apesar deste tipo de observador ter sido apresentado há cerca de 50 anos, recentemente, versões simplificadas do Observador de Johnson, como o extended state observer (ESO), tem vindo a ser desenvolvidas. Observadores do tipo ESO tem vindo a ser empregues em controlo com rejeição ativa de perturbações (ADRC, "Active Disturbance Rejection Control" em inglês). São exemplos da utilização de ESO para rejeição de perturbações, estudos realizados por Han [34] onde é realizada uma comparação entre um controlador PID e um ADRC, por Miklosovic [35] que apresenta um formulação genérica para um ESO para utilização em tempo discreto e contínuo e por Herbst [36] onde é apresentado o desempenho obtido com um ESO em sistemas de primeira e segunda ordem. Também é estudado o desempenho perante a existência de incertezas, zona morta e de dinâmicas não modeladas. Neste capítulo começa-se por fazer uma revisão bibliográfica sobre observadores de estado e forças de perturbação aplicados a sistemas servopneumáticos. De seguida, explica-se o conceito do referido observador e é descrita a forma como este foi implementado. Na parte final deste capítulo é averiguado qual o erro associado à estimação das forças de perturbação, escolhido qual o melhor valor para a massa nominal Mne consequentemente qual o erro associado à estimação das forças de perturbação. São ainda apresentados os resultados obtidos na estimação da posição, velocidade, aceleração e forças de perturbações. 49 50 Observador de estado e de força de perturbação 4.1 Revisão bibliográfica Nesta secção é pretendido fornecer uma visão dos estudos e trabalhos que se têm realizado na implementação de observadores de estado e de forças de perturbação no controlo de sistemas servopneumáticos. Não será fornecida um visão global do estado da arte mas antes um resumo do que se tem vindo a desenvolver em termos de observadores de maneira a fornecer uma base para melhor enquadrar o observador desenvolvido neste trabalho. Existem vários métodos ou teorias que podem ser aplicados no desenvolvimento de um observador de estado e de forças de perturbação. Nesta secção são apresentadas apenas algumas das muitas vias que podem ser seguidas, no âmbito de aplicações em servopneumática. Num estudo desenvolvido por Shibata et al. de 2002 [37] é desenvolvido um observador de forças de perturbação para uma instalação experimental semelhante à deste trabalho. A instalação experimental aí estudada possui duas servoválvulas, um cilindro de duplo efeito com "air bearings" e vedantes em labirinto (para diminuir o efeito da força de atrito). Nesse estudo, o observador de forças de perturbação é implementado recorrendo a redes neuronais artificiais e foi obtido um erro máximo de 30µm(sem variação da carga transportada pelo atuador) no seguimento de trajetórias com a adição de forças exteriores. A utilização de redes neuronais artificiais pressupõe a existência de dados experimentais para treino das redes. Este facto constitui uma desvantagem quando não existem dados experimentais. Para além disso, requer que para cada instalação experimental seja necessário "treinar"as redes neuronais. Em Yoshimura e Takagi [38] é estudada a introdução de um observador de forças de perturbação num sistema de suspensão pneumático ativo desenvolvido para um carro de uma só roda. O intuito é o de estimar as forças de perturbação introduzidas pelo relevo da superfície. O observador utilizado é um observador de ordem mínima e é assumido que todas as variáveis de estado do modelo do carro são diretamente mensuráveis exceto a força de perturbação referida. O sistema de suspensão é constituído por um atuador pneumático de duplo efeito com um transdutor de pressão e uma servoválvula para cada câmara pneumática. O sistema de controlo da suspensão é constituído por um controlador de lógica fuzzy com um compensador para o tempo de resposta do atuador e o respetivo observador de forças de perturbação. A estimação do relevo da superfície apresenta erros de 1 mm em relação ao relevo real da superfície. A carga transportada não é variada por não ser esse o objetivo do estudo e não é estudada a introdução de forças exteriores Num outro estudo efetuado por Knestel et al. em 2008 [39] é utilizado um observador não linear para estimação da posição, da velocidade e das forças de perturbação. O sistema é constituído por músculos pneumáticos inseridos num robô de reabilitação do movimento das pernas de um ser humano. É utilizado um controlador não linear por backstepping e foram obtidos erros de 3ono seguimento de trajetórias sem variação da carga transportada e sem adição de forças exteriores. Kosaki e Sano desenvolveram em [40] um observador de estado e de forças de perturbação utilizado para estimar a velocidade e a força de atrito, não sendo efetuados testes com a adição de forças exteriores. O sistema servopneumático é constituído por um atuador pneumático com duas servoválvulas, um transdutor de pressão para cada câmara pneumática e transdutores de posição, 4.2 Estratégias de controlo na presença de forças de perturbação 51 velocidade e aceleração. Estes dois últimos são utilizados para comparação de resultados com e sem a utilização do observador. A compensação da força de atrito é feita a partir do controlo das pressões das câmaras penumáticas de acordo com a estimação da força de atrito. Para o controlo de posição e pressões é utilizado um controlador PD. Com esta configuração foi obtido um erro de posição, em regime permanente, de 0.082mm para tarefas de posicionamento. No entanto, não é estudada a introdução de forças exteriores ao sistema. Schindele e Aschemann em [41] adicionam a um controlador por modos de deslizamento um observador de forças de perturbação, além de um compensador para as não linearidades da força de atrito. Este compensador é feito a partir da utilização do modelo de LuGre em feedforward. O sistema servopneumático é um constituído por dois músculos pneumáticos que são utilizados para realizar o movimento horizontal de uma mesa. É desenvolvido um observador não linear de ordem reduzida utilizado para a estimação de forças de perturbação introduzidas pelas incertezas que possam existir no sistema servopneumático. A posição e a velocidade do atuador são mensuráveis. Com esta configuração foi obtido um erro de posição, em regime permanente, de 0.6mm e um erro máximo de 3.5mm no seguimento de trajetórias. Para avaliar a robustez do controlador e do observador é adicionada uma massa de 25kg de forma a variar a carga transportada sendo obtidos erros posição máximos de 8mm no seguimento da mesma trajetória. Num estudo realizado por Langjord et al. [42] é desenvolvido um observador de estado e de forças de perturbação que estima a posição, a velocidade e a aceleração de um atuador pneumático de simples efeito bem como a pressão da câmara pneumática e as forças de perturbação. Ou seja, o vetor de estado do observador tem cinco componentes. O atuador faz parte de um sistema servopneumático que está inserido numa embraiagem de um camião de cargas pesadas. O sistema possui apenas uma válvula para controlar o caudal que é admitido/expulso na câmara do atuador e só possui um transdutor de posição. O observador desenvolvido é não linear e segue uma metodologia de controlo adaptativo. Com esta configuração foi obtido um erro de posição máximo na ordem dos 0.5mm no seguimento de uma trajetória. É de referir que na presente dissertação as pressões de cada câmara são mensuráveis contrariamente ao que sucede no estudo de Langjord et al. Todos os estudos acima pretendem atingir uma redução de custos, em termos de transdutores, e um melhor controlo de posição através da utilização de um observador. No entanto, alguns destes estudos como [41] utilizam modelos de atrito, por exemplo, para controlo de posição, facto que não é comum a esta dissertação. Somente em alguns casos é avaliada a robustez do conjunto controlador e observador através da variação da carga transportada ou da introdução de forças exteriores; nesta dissertação, ambos os casos são estudados. 4.2 Estratégias de controlo na presença de forças de perturbação Na implementação de um DAC, o utilizador pode tomar uma de três estratégias relativamente à forma como vai lidar com as perturbações que possam existir: 52 Observador de estado e de força de perturbação •pode assumir que todas as perturbações ao sistema têm um efeito indesejável no seu comportamento e assim faz com o DAC seja concebido para cancelar o efeito dessas perturbações. Esta estratégia é apelidada na literatura de "disturbance-absorbing controller"; •nos casos em que a estrutura do sistema torna impossível cancelar o efeito das perturbações, o utilizador pode tomar a via de apenas minimizar o seu efeito. Na literatura, é apelidada de "disturbance-minimization controllers"; •por fim, o utilizador pode considerar que algumas das perturbações podem ter um efeito desejável no comportamento do sistema e fazer uso dessas perturbações para benefício do sistema. Este tipo é apelidado de "disturbance-utilization controllers" Independentemente da estratégia utilizada, a ação de controlo fornecida ao sistema será sempre traduzida por: u(t) = θ(x(t),z(t),t)(4.1) ou seja, a ação de controlo udepende do vetor de estado xe do vetor de estado das perturbações z. Se estes vetores (ou algumas das suas componentes) não forem mensuráveis terão de ser estimados através do desenvolvimento de um observador que estima variáveis de estado (posição, velocidade, aceleração, etc.) e perturbações. De seguida, será apresentado o observador de estado e de forças de perturbação desenvolvido por Johnson [43] que foi o observador escolhido para implementação nesta dissertação. 4.3 Observador de Johnson O observador de estado e de forças de perturbação escolhido para ser implementado neste trabalho foi apresentado por Johnson no fim dos anos 60 [9]. Este é capaz de estimar variáveis de estado como posição, velocidade e aceleração bem como forças de perturbação. É de referir que este observador não diferencia entre o tipo de forças de perturbação que possam estar aplicadas. Por exemplo, o sistema servopneumático estudado neste trabalho tem como forças de perturbação a força de atrito, as variações da força inercial da massa móvel e eventuais forças exteriores. O observador estima apenas uma força de perturbação que é o somatório das referidas. A estimação de variáveis como posição, velocidade e aceleração é uma aplicação comum dos observadores, seja através de observadores de ordem mínima ou de ordem completa [23]. A grande particularidade deste observador reside, portanto, no facto de ser capaz de estimar forças de perturbação. A teoria desenvolvida por Johnson, de seguida apresentada, é apelidada na literatura de "Disturbance Accommodating Controllers (DAC)" [43]. Esta teoria permite que o utilizador consiga desenvolver sistemas de controlo multivariáveis em malha fechada que são extremamente eficazes em lidar com perturbações w(t)transitórias encontradas em casos práticos. Esta teoria pode também ser interpretada como uma "generalização moderna em variáveis de estado dos esquemas de controlo (integral, notch filter e feedforward) que se provaram eficazes durante quatro décadas"[43]. 4.3 Observador de Johnson 53 Em casos práticos, as perturbações w(t)num determinado sistema podem ser classificadas em dois grupos: •Ruído e as perturbações daí resultantes. As séries temporais deste grupo de perturbações apresentariam uma estrutura errática e irregular. O ruído das escovas dos motores elétricos, a turbulência em fluidos e o ruído estático são alguns exemplos; •Perturbações com uma estrutura em forma onda. Neste grupo, as séries temporais apresentariam padrões em forma de onda, pelo menos durante pequenos intervalos de tempo. Um exemplo duma perturbação deste grupo é apresentado na Fig. 4.1. As perturbações em forma de onda, como as ilustradas na Fig. 4.1 podem ser modeladas por expressões semi-determinísticas como: w(t) = c1v1(t)+c2v2(t)+...+cmvm(t)(4.2) onde vi(t),i=1,2,3,...,msão conhecidas com mfinito e cisão parâmetros que podem mudar de valor de uma forma aleatória. Assim, as perturbações podem ser expressas, em qualquer momento, através de uma combinação linear entre as funções base vi(t)tendo parâmetros desconhecidos ci. Na Fig. 4.1 mostra-se um caso em que uma perturbação em forma de onda é expressa pela combinação (4.2). Por exemplo, se uma perturbação w(t)é uma rampa esta pode ser representada por w(t) = c1+c2t. Comparando com a expressão (4.2), pode-se afirmar que para uma rampa: v1(t) = 1,v2(t) = t(4.3) Esta teoria (DAC) fornece uma ferramenta ao utilizador quando este lida com perturbações com forma de onda da mesma maneira que os métodos estocásticos permitem solucionar problemas envolvendo perturbações relacionadas com o ruído. A grande diferença entre a teoria de os DAC e a teoria estocástica reside no facto de DAC fornecerem informação instantaneamente (sem conhecimento do que possa acontecer no instante seguinte) enquanto que os métodos estocásticos requerem propriedades das séries temporais das perturbações como a média e a co-variância. Se uma perturbação w(t)tiver uma forma de onda, um DAC garante melhores resultados que os controladores estocásticos (para uma comparação entre ambos ver [43]). 60 Observador de estado e de força de perturbação onde orepresenta o vetor de estado do observador composto que tem quatro componentes, logo o observador de estado composto irá ter como ganhos K11, vetor com 3 componentes (K111,K112, K113) e K21 que representa um escalar por se considerar z=c1, estes dois vetores são representados por: K11 =   K111 K112 K113   (4.30) K21 =hK21i(4.31) É possível, a partir da expressão (4.29), obter o diagrama de blocos representado na Fig. 4.4. Figura 4.4: Diagrama de blocos resultante da expressão (4.29) Com o vetor K11 e o escalar K21 apresentados nas expressões abaixo, tendo sido obtidos por um processo de alocação de pólos materializado pela função place do Matlab R . Fixou-se a largura de banda do observador nos 100 rad/s. hK11i=   220 2.19×104 1.98×105  (4.32) K21 =−3.5245×106(4.33) 4.4 Implementação do observador de Johnson 61 4.4.1 Definição de Mneeobs Nesta secção é apresentada a metodologia empregue na definição de Mneeobs, estes valores são necessários para determinar as incertezas máximas para o controlador desenvolvido no capítulo seguinte. São também apresentados os resultados obtidos, em simulação, na estimação das componentes do vetor o. A expressão (4.34) permite definir a estimativa das forças de perturbação como a soma entre a própria força de perturbação (desconhecida) e uma parcela associada à variação da força inercial da carga transportada pelo atuador: ˆ Fpertb =Fpertb +∆M¨x(4.34) onde os parâmetros ∆Me ¨xsão conhecidos ou facilmente obtidos. Sobre a Fpertb nada é sabido por não existir uma forma de obter informação sobre a mesma, o que traz dificuldades caso se queira definir um erro entre a mesma e a sua estimativa, no entanto é sabido que existe uma parcela das forças de perturbação associada à diferença entre a massa nominal e móvel. Assim é possível expressar Fpertb =Fpre f −M¨x(4.35) isto é, a força de perturbação real será sempre igual à diferença entre Fpre f eM¨x, variáveis que são conhecidas. O valor de ∆Mnão é explicitamente conhecido, no entanto são conhecidos os seus valores extremos ∆Mmax,min, ou seja, a diferença entre MneMmax,min respetivamente. Desta forma não é necessário o conhecimento explicito de Fpertb pois esta é definida a partir da ação de controlo e de uma das componentes da perturbação. Na expressão (4.35), tal como na secção 3.2.5 é desprezada a dinâmica de pressões existente. Assim na aceleração estará contida toda a informação relativamente ao comportamento do sistema e consequentemente às outras componentes da força de perturbação. Desta forma, é possível comparar, em simulação, Fpertb com ˆ Fpertb e calcular um erro associado à estimação do observador (eobs). Para a definição do valor para eobs foram realizadas simulações nas seguintes condições: •o observador é utilizado em malha aberta; •o sistema é controlado pelo controlador VSC sem ação integral da secção 3.2.5, pois o controlo de posição resultante da sua utilização é satisfatório para este exercício; •é utilizada uma referência de posição sinusoidal com uma frequência única de maneira a cobrir o espaço de estados em que o sistema opera; •as simulações foram efetuadas com o sistema servopneumático na configuração de massa máxima e mínima; •é pretendido comparar Fpertb com ˆ Fpertb o que relembrando as expressões (4.18) e (4.19) leva à necessidade de retirar a ˆ FpertbAa dinâmica de pressões já contabilizada. Sob estas condições, foram também efetuadas simulações para quatro valores de Mncom o intuito de determinar o valor que leva a um menor eobs, sendo utilizados os valores extremos de M 62 Observador de estado e de força de perturbação e as respetivas médias aritmética e geométrica. Os resultados em termos de erro são apresentados nas Fig. 4.5 e 4.6. Note-se que nas figura abaixo, o momento para o qual o erro é maior, entre as forças, coincide com a inversão no sentido de movimento do êmbolo do atuador. Figura 4.5: Erro entre ˆ Fpertb eFpertb com M=Mmax Figura 4.6: Erro entre ˆ Fpertb eFpertb com M=Mmin De forma a avaliar-se a dispersão do erro entre os sinais de Fpertb e de ˆ Fpertb foi calculado o erro quadrático médio para cada configuração. Os resultados obtidos são apresentados na Tabela 4.1 e através da sua análise retira-se que o menor valor de erro é obtido para 7.89kg, o que faz deste o valor escolhido para Mn. Da análise da referida tabela também é possível notar um padrão no comportamento do observador de Johnson. Sempre que o observador é levado a estimar forças de perturbação com Mn≥Mo erro obtido é maior do que para as situações em que Mn≤M. 4.4 Implementação do observador de Johnson 63 Tabela 4.1: Valor de dispersão de eobs para diferentes configurações de massa Mn(kg)erms (N) Mmax Mmin Mmin =2.69 10.47 14.94 Mgeo =5.93 9.90 13.65 Marit =7.89 9.60 12.64 Mmax =13.1 9.80 12.69 Estes resultados, obtidos em simulação, são também possíveis de obter na instalação experimental, mesmo sem a utilização de um acelerómetro. Recolhem-se dados (experimentais) "online" sobre a posição e posteriormente, já "offline" (assim os efeitos nefastos do ruído são menos sentidos) são aplicadas diferenças finitas centradas para obtenção da velocidade e da aceleração. Deste forma, não é necessário a utilização de um acelerómetro. No que toca aos valores das massas nominal e móvel são conhecidos pelo utilizador, pois é este que coloca a massa móvel no carro guiado, o valor da massa nominal e da ação de controlo são conhecidos também, por serem definidos pelo utilizador. 4.4.2 Estimação das componentes do vetor de estado do observador Com o observador completamente definido apresentam-se alguns resultados em que são comparadas as variáveis do vetor ocom a posição, a velocidade e a aceleração dadas pelo modelo não linear do atuador (Fig. 4.7, 4.8, 4.9); para as forças de perturbação é comparada a ˆ Fpertb com a Fpertb (Fig. 4.10). Estes resultados foram obtidos para a referência S2e para M=Mmax. O observador revela-se bom na estimação da variáveis de estado, exceto nas zonas onde a perturbação não linear devida ao atrito estático é mais evidenciada. Figura 4.7: Comparação entre xe ˆx 64 Observador de estado e de força de perturbação Figura 4.8: Comparação entre ˙xeˆ ˙x Figura 4.9: Comparação entre ¨xeˆ ¨x 4.5 Conclusões do capítulo 4 65 Figura 4.10: Comparação entre ˆ Fpertb eFpertb 4.5 Conclusões do capítulo 4 Neste capítulo foi apresentada uma breve revisão bibliográfica sobre observadores de estado compostos com o intuito de mostrar os resultados obtidos com a sua implementação, esta revisão também servirá para comparação com os resultados apresentados no capítulo 5. De seguida, foi apresentado o conceito por trás do observador de Johnson e a forma como este foi implementado nesta dissertação. Após a definição do observador utilizado neste trabalho é definido o erro entre a força de perturbação e a sua estimativa (eobs) o que também permitiu definir qual o valor ótimo para Mn. Na definição de Mnforam testados, em simulação, quatro valores, Mmin,Mgeo,Marit eMmax. O melhor resultado foi obtido com a Marit e com esta configuração foi obtido um erro de observação de 12.64N. Na parte final deste capítulo são apresentados alguns resultados associados à estimação das componentes do vetor de estado do observador. No próximo capítulo, será apresentado um controlador não linear que utiliza a informação disponibilizada pelo observador desenvolvido no presente capítulo. Também serão apresentados os resultados obtidos para o controlo de posição do sistema servopneumático. 66 Observador de estado e de força de perturbação Capítulo 5 Controlo não linear com Observador Neste capítulo são apresentados os resultados obtidos para o controlo de posição do atuador e para as estimativas das componentes do vetor de estado composto, quando o observador é utilizado em malha fechada com o controlador desenvolvido no capítulo 4. São apresentados os resultados para a referência S1eS2. Para cada referência é apresentado o resultado para as duas superfícies de deslizamento (ψ1eψ2). De maneira a explorar as diversas possibilidades em termos de variáveis fornecidas ao controlador de posição são apresentados os resultados para dois casos: •realimentação da posição xdo êmbolo; •realimentação da estimação da posição ˆxdada pelo observador de Johnson. Esta variante é importante pois ao fornecer a estimativa da posição e não a própria posição, estamos a fornecer sinais que contêm menos ruído; Dito isto, este capítulo encontra-se divido em três secções, uma secção onde é apresentada a síntese do controlador posição que utiliza a informação disponibilizada pelo observador, uma secção onde xé a variável de realimentação utilizada pelo controlador de posição e outra para quando a variável de realimentação é ˆx. Desta forma será possível comparar qual o desempenho obtido com as duas configurações. É de referir que quer as estimativas da velocidade, da aceleração e das forças de perturbação serão sempre fornecidas ao controlador. O controlador de posição foi testado, em simulação, com os parâmetros apresentados na Tabela 5.1, para os valores extremos de M. Tabela 5.1: Parâmetros do controlador de posição Parâmetro Λ(rad/s)ε(m)η(m/s2) Valor 2.5 0.0001 6.5 Na parte final deste capítulo são apresentados resultados que permitem uma melhor caracterização da estrutura controlador e observador. 67 68 Controlo não linear com Observador 5.1 Estrutura do controlador não linear com observador O controlador não linear utilizado para controlar o sistema servopneumático é semelhante ao utilizado na secção 3.2. A única diferença reside na implementação do observador desenvolvido neste capítulo, pelo que a nova estrutura é apresentada na Fig. 5.1. Figura 5.1: Estrutura do controlador não linear proposto para este capítulo Com a integração do observador é reduzida a incerteza associada ao desconhecimento do comportamento da força de atrito, a incerteza associada a eventuais forças exteriores que possam existir e a incerteza associada à massa móvel. Por estes motivos, o controlador não linear que será implementado juntamente com o observador, não será exatamente igual ao apresentado na secção 3.2. 5.1.1 Controlador de posição O controlador de posição aqui apresentado foi desenvolvido através da metodologia apresentada na secção 3.2.5, pelo que as equações que o definem são semelhantes às aí apresentadas. O controlador desta secção continua a ser um controlador de estrutura variante (VSC) com camada limite fixa, a possibilidade de possuir uma ação integral ou não continua a ser verificada. Nesta secção serão apresentadas as principais diferenças entre o controlador da secção 3.2.5 e o controlador desenvolvido nesta secção. Como dito, o observador é capaz de estimar uma força de perturbação que engloba todas as perturbações que possam existir no sistema servopneumático. Por exemplo, para o observador o sistema é traduzido pela Fig. 4.3 onde é visível que o sistema possui uma massa Mn, no entanto a massa móvel pode variar. A diferença entre o valor de Mne de M(massa real do sistema) irá introduzir uma força de perturbação inercial no sistema, logo o observador irá estimar uma ˆ Fpertb que já contém esta perturbação. Através deste facto podemos estabelecer uma interação entre o sistema servopneumático real e o sistema considerado para o controlador deste capítulo, apresentada na Fig. 5.2. Note-se que, ral como na secção 3.2.5, foi desprezada na síntese deste controlador, a dinâmica de pressões. Assim podemos afirmar que na Fig. 5.2, Fpre f é igual a Fpe f . 5.1 Estrutura do controlador não linear com observador 69 Figura 5.2: Interação entre o sistema servopneumático real e o sistema servopneumático considerado no controlador Através da análise da Fig. 5.2 é possível expressar a dinâmica do movimento através de: Mn¨x=−Fpertb −∆M¨x+Fpre f (5.1) o que na notação de Slotine se traduz em: f=b(−Fpertb −∆M¨x)(5.2) com, b=ˆ b=1 Mn (5.3) Com esta formulação é obtido um controlador em que é assumido que não existe qualquer tipo de incerteza além da incerteza associada à estimativa das forças de perturbação. Também é possível afirmar que todas as incertezas, já referidas, estão contidas na estimação das variáveis pelo observador, nomeadamente, na estimação da Fpertb. Assim, também é possível afirmar que ˆ f é dado por: ˆ f=−ˆ Fpertb Mn (5.4) com ˆ Fpertb =Fpertb +∆M¨x(5.5) A expressão (5.5) está de acordo com o anteriormente afirmado no que toca à perturbação introduzida pela diferença entre MneM. Da expressão (5.3) conclui-se que o parâmetro βé igual 76 Controlo não linear com Observador regime transitório, o maior valor de erro acontece também para Mmax. Quando a referência é S2, os melhores resultados são obtidos para Mmin. Tabela 5.2: Erro de posição obtido para diferentes trajetórias e valores de massa com ψ1e realimentação de x S1S2 eperm[m]etrs[m]eav[m]erec[m] Mmin −0.07×10−64.533×10−4−1.506×10−31.4968×10−3 Mmax 0.04×10−65.723×10−4−1.686×10−31.677×10−3 5.2.2 Controlador com superfície ψ2 São agora apresentados os resultados obtido quando a superfície de deslizamento é ψ2, relembrase que esta superfície possui uma ação integral, sendo esta a única diferença em relação a ψ1. Com referência S1 Na Fig. 5.11 é apresentado o resultados obtido em termos de controlo de posição. Através da análise da referida Figura é possível afirmar que a introdução de uma ação integral provoca um comportamento que se assemelha a um ciclo limite. O aparecimento deste comportamento causado pela ação integral já tinha sido evidenciado no capítulo 3. O referido comportamento acontece para qualquer configuração de massa suportando que a principal causa será a ação integral conjugada com as não linearidades do atrito estático. Outra conclusão que pode ser retirada deste resultado é que este comportamento acontece quando existem duas ações integrais, a do controlador e do observador. Na aproximação à referência (cf. ampliação da esquerda da Fig. 5.8) o sistema apresenta o comportamento já evidenciado quando a superfície de deslizamento é ψ1. Figura 5.11: Resultados obtidos no controlo de posição com ψ2eS1 Em termos de erro, Fig. 5.12, pode-se afirmar que o ciclo limite é mais intenso e apresenta maior erro para Mmax. 5.2 Resultados com realimentação de x77 Figura 5.12: Erro de posição para ψ2eS1 Na Fig. 5.13 é apresentada a ação de controlo com esta configuração. O desfasamento existente entre a ação para as duas configurações de massa está relacionado com o desfasamento existente na posição do sistema. Figura 5.13: Ação de controlo do controlador de posição Fpre f para ψ2eS1 Com referência S2 Quando a referência passa a ser S2, deixa de ser evidenciado o comportamento anterior, pois não existe uma referência de posição permanente. O comportamento evidenciado na inversão no sentido de movimento do atuador (5.2.1) volta a ser observado para esta configuração e para qualquer configuração de massa, como pode ser visto na Fig. 5.14. 78 Controlo não linear com Observador Figura 5.14: Resultados obtidos no controlo de posição com ψ2eS2 Em termos de erro e de ação de controlo, Fig. 5.15 e 5.16 respetivamente, não existem grandes diferenças entre massas além de que também não visíveis grande diferenças quando comparado com ψ1. As diferenças existentes podem ser evidenciadas na Tabela 5.3. Figura 5.15: Erro de posição para ψ2eS2 5.3 Resultados com realimentação de ˆx79 Figura 5.16: Ação de controlo do controlador de posição Fpre f para ψ2eS2 Na Tabela 5.3 são apresentados os resultados em termos de erro de posição com a configuração desta secção. Para a definição de aciclo foi efetuada uma simulação com um tempo longo e averiguada qual a amplitude do ciclo limite, será esta a métrica utilizada neste capítulo para o valor referido. Como referido, a amplitude do ciclo limite é maior para Mmax. Com a introdução da ação integral, a configuração de Mmax apresenta os maiores valores de erro para qualquer referência. No entanto, os valores para S2são menores quando comparados com os valores da Tabela 5.2. Ou seja, apesar de causar um ciclo limite na resposta do sistema a ação integral leva a valores de erro menores. Tabela 5.3: Erro de posição para diferentes trajetórias e valores de massa com ψ2e realimentação de x S1S2 aciclo[m]etrs[m]eav[m]erec[m] Mmin 4.445×10−43.846×10−4−1.366×10−31.353×10−3 Mmax 8.515×10−45.817×10−4−1.457×10−31.443×10−3 5.3 Resultados com realimentação de ˆx Nesta secção são apresentados os resultados obtidos quando o controlador utiliza ˆxcomo variável realimentada. A Fig. 5.17 apresenta a configuração (simplificada) do controlador e observador onde é possível evidenciar as interações entre controlador, observador e sistema. Todos os resultados aqui apresentados foram obtidos com a realimentação de ˆxe não de xcomo na secção anterior. 80 Controlo não linear com Observador Figura 5.17: Esquema da configuração (controlador e observador) utilizada nesta secção O comportamento do sistema, para esta configuração, é muito semelhante ao comportamento do sistema na secção 5.2, sendo que as diferenças consistem apenas nos valores do erro, não sendo estas percetíveis através das Figuras. Por esta razão e para não cair em repetição, não serão apresentados os gráficos de posição, erro e ação de controlo nesta secção. Serão, sim, apresentadas as Tabelas do erro de posição. 5.3.1 Controlador com superfície ψ1 Na Tabela 5.4 estão apresentados os resultados em termos de erro de posição. Para S1, apesar de a configuração de massa mínima apresentar um erro menor comparado com o mesmo valor quando se realimenta x, para a massa máxima é obtido um erro dez vezes maior, em regime permanente. Os outros valores de erro são menores aos obtidos com x. Esta diferença no comportamento do sistema está relacionada com as diferenças entre xe ˆx. No entanto é possível afirmar, que na generalidade, a realimentação de ˆxmelhora o controlo de posição do sistema. Tabela 5.4: Erro de posição para diferentes trajetórias e valores massa com ψ1e realimentação de ˆx S1S2 eperm[m]etrs[m]eav[m]erec[m] Mmin −0.023×10−64.413×10−4−1.471×10−31.463×10−3 Mmax 0.258×10−65.698×10−4−1.673×10−31.664×10−3 5.4 Outros resultados 81 5.3.2 Controlador com superfície ψ2 Na Tabela 5.5 são apresentados os valores de erro para a superfície ψ2. O comportamento do sistema para este caso é extremamente semelhante à situação em que se realimenta x. Através da análise da referida Tabela pode-se concluir que a introdução da ação integral aliada à realimentação de ˆxfaz com o erro de posição aumente quando comparado com os resultados da Tabela 5.3. Tabela 5.5: Erro de posição para diferentes trajetórias e valores de massa com ψ2e realimentação de ˆx S1S2 aciclo[m]etrs[m]eav[m]erec[m] Mmin 4.500×10−43.711×10−4−1.528×10−31.316×10−3 Mmax 8.520×10−45.845×10−4−1.441×10−31.429×10−3 5.4 Outros resultados Nesta secção são apresentados mais dois testes ao sistema servopneumático que se revelaram importantes. O primeiro teste foi efetuado com o intuito de saber qual a resposta obtida quando aplicada uma força exterior ao sistema. Através deste teste, é possível saber qual o comportamento do observador de Johnson na estimação das forças de perturbação quando existem além da força de atrito e da força de perturbação causada pela carga transportada. Um força exterior constante de 210Nfoi aplicada no instante t=2.5se retirada no instante t=6s. O teste realizado foi efetuado para o controlador com ψ1e a referência S1, esta configuração foi a escolhida por não apresentar um comportamento semelhante a um ciclo limite na resposta. Na Fig. 5.18 é apresentado o resultado obtido, onde é possível observar que quando a força é aplicada ou retirada a resposta afasta-se da referência, voltando a esta nos instantes seguintes. Este afastamento prende-se com o tempo de resposta do observador de Johnson. No retorno à referência a resposta apresenta stick-slip associado à força de atrito. Figura 5.18: Resposta obtida quando aplicada e retirada uma Fext com ψ1eS1 82 Controlo não linear com Observador Na Fig. 5.19 comparam-se as Fpertb com a ˆ Fpertb e é visível que apesar de a estimação ser boa, não consegue traduzir algumas variações da Fpertb relacionadas com as não linearidades do atrito estático. A diferença entre as duas curvas explica o fenómeno, depois de aplicada ou retirada a força exterior, de stick-slip. Figura 5.19: Comparação entre Fpertb eˆ Fpertb Outro resultado que é apresentado, está relacionado com o aparecimento de um ciclo limite na resposta quando utilizada ψ2. As não linearidades do atrito estático causam o aparecimento de ciclos limite na resposta do sistema quando controlado por um PID ou por um controlador por retorno de estado com ação integral como visto no capítulo 3. Uma forma expedita de avaliar se a razão pela qual o sistema neste capítulo e com as configurações acima referidas entra em ciclo limite, será retirar à força de atrito as componentes relacionadas com o atrito estático. Relembrando que Fatr =σ0q+σ1dq dt +α2˙x, se a esta expressão forem retirados as duas primeiras componentes, o modelo de Lugre deixa de reproduzir os efeitos do atrito estático. Foi realizada uma simulação, apresentada na Fig. 5.20, onde é visível a resposta do sistema. A resposta aqui apresentada foi obtida quando utilizadas ψ2eS1por se saber que para esta configuração a resposta apresenta um ciclo limite. Como se pode observar, a resposta deixa de apresentar o referido comportamento quando retiradas as componentes de atrito estático, o que suporta a ideia de que o ciclo limite é causado pelas não linearidades do atrito estático conjugadas com a dupla integração existente no controlador e observador de Johnson. Na Fig. 5.21 é apresentada a comparação entre as Fpertb e as ˆ Fpertb. Através da sua análise é possível afirmar que caso não haja atrito estático, o observador de Johnson revela-se bastante exato na estimação de forças de perturbação. 5.4 Outros resultados 83 Figura 5.20: Resposta do sistema quando são retiradas as componentes relacionadas com o atrito estático Figura 5.21: Resposta do sistema quando são retiradas as componentes relacionadas com o atrito estático 84 Controlo não linear com Observador 5.5 Conclusões do capítulo 5 Neste capítulo foram apresentados os resultados obtidos com a implementação do observador de Johnson no sistema que controla a posição do êmbolo do atuador pneumático. As simulações aqui apresentadas foram obtidas para os dois valores extremos de massa, para duas trajetórias e para duas superfícies de deslizamento. Para cada configuração foram apresentados os resultados com: •a realimentação de xao controlador de posição, apresentando os resultados para as superfícies de deslizamento ψ1eψ2. Para cada superfície foram efetuadas simulações com as referências S1eS2; •a realimentação de ˆxapresentando as mesmas simulações efetuadas para a realimentação de x; Quando a variável de realimentação fornecida ao controlador de posição é xe utilizada a superfície ψ1, a resposta do sistema apresenta resultados em que o erro de posição toma valores abaixo da décima do µm, em regime permanente. A utilização de ψ2apresentou um ciclo limite na resposta pelo que se pode concluir que a sua utilização não traz efeitos benéficos no desempenho do sistema. No seguimento de trajetória, não existem muitas diferenças no comportamento da resposta entre a realimentação de xe ˆx. No entanto, o melhor resultado em termos de erro foi obtido para a realimentação da posição real. A avaliação dos resultados apresentados com a realimentação de xe ˆxleva a concluir que qualquer configuração utilizando um controlador com ação integral leva a um ciclo limite. No caso em que ˆxé a variável fornecida ao controlador de posição foram obtidos resultados semelhantes aos anteriores. Quando é utilizada ψ1os resultados são melhores, no entanto com ψ2 são obtidos erros maiores. Na parte final deste capítulo foram apresentados mais dois testes. Um deles está relacionado com a introdução de uma força exterior no sistema, avaliando assim, o comportamento do sistema e do observador. É possível afirmar que o observador é capaz de estimar essa nova força, no entanto, devido ao seu tempo de resposta, obtém-se erros superiores a 1mm, em regime permanente. O outro teste efetuado prende-se com o aparecimento de um ciclo limite e consistiu na remoção das componentes de atrito estático do modelo de Lugre. De acordo com os resultados obtidos é possível concluir que sem as não linearidades do atrito estático a resposta não apresenta o referido comportamento para qualquer configuração testada neste capítulo. Este resultado permite afirmar que esse comportamento é causado, principalmente, pelo atrito estático. Em suma, pode ser afirmado que o melhor resultado no controlo da posição, eliminando os casos em que a resposta entra em ciclo limite, foi obtido quando utilizada a superfície ψ1e a realimentação de x. Capítulo 6 Conclusões e Trabalhos Futuros Neste capítulo é realizada uma síntese e são apresentadas as principais conclusões desta dissertação. Na parte final, são apresentadas algumas sugestões para trabalhos futuros dentro do tema desta dissertação. 6.1 Síntese e principais conclusões da dissertação Nesta dissertação é desenvolvido um estudo sobre observadores de estado e de perturbação aplicados a uma instalação servopneumática. A dissertação inicia-se com a contextualização em que este sistema se insere. Esta instalação experimental já foi alvo de outros estudos, nestes já tinha sido concluído que a elevada complexidade no controlo de posição está relacionada com as não linearidades do sistema. Assim, o uso de controladores lineares e não lineares, no capítulo 3, apresentam resultados que não são satisfatórios, devido a uma fraca precisão no controlo de posição, ao aparecimento de ciclos limite na resposta ou a uma ação de controlo bastante ativa que pode levar a uma redução no tempo de vida dos componentes. Estes factos levam a que os sistemas servopneumáticos não sejam utilizados para a obtenção de um controlo de posição rigoroso. Os resultados foram obtidos em ambiente de simulação, com a utilização do modelo da instalação experimental. Este modelo é apresentado no capítulo 2. Desta forma, é possível dividir esta dissertação em duas partes. A primeira incide sobre a modelação do sistema servopneumático e o uso de controladores convencionais para o controlo da sua posição. Nesse capítulo é apresentada a instalação experimental e sua respetiva modelação. Para a modelação das servoválvulas é empregue um modelo baseado na norma ISO 6358, para a modelação do atuador pneumático são utilizados dois modelos, um incidente sobre a componente mecânica e outro sobre a componente termodinâmica, para a modelação da força de atrito é utilizado o modelo de LuGre desenvolvido para esta instalação experimental em [15]. No capítulo 3 é abordado o controlo do sistema servopneumático, com o estudo de quatro controladores lineares e de um controlador não linear. O aparecimento de oscilações indesejáveis e de ciclos limite na resposta do sistema estão de acordo com os estudos anteriores. Desta forma, é possível concluir que o modelo da instalação traduz corretamente os resultados já obtidos 85