Teoria da decisão : transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas

Slide 1 Teoria da Decis˜ao Transparˆencias de apoio `a lecciona¸c˜ao de aulas te´oricas Vers˜ao 2 c °2002, 1998 Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 1 Slide 2 Decis˜oes A incerteza ´e muito mais a regra que a excep¸c˜ao, a ´unica coisa que pode ser certa ´e o passado e as decis˜oes tomam-se para o futuro. Uma decis˜ao ´e uma aloca¸c˜ao de recursos, ´e irrevog´avel e s´o pode ser alterada por uma outra decis˜ao Slide 3 Teoria da Decis˜ao A Teoria da Decis˜ao trata de: tomada de decis˜oes racionais e consistentes em situa¸c˜oes de incerteza, fornecendo um conjunto de conceitos e t´ecnicas para apoio do decisor. O objectivo da Teoria da Decis˜ao ´e: apoiar a escolha de uma ac¸c˜ao (ou de uma estrat´egia) que seja consistente com as alternativas, a informa¸c˜ao, os valores e a l´ogica do decisor no momento da tomada de decis˜ao. Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 2 Slide 4 Caracter´ısticas de um problema de decis˜ao Decisor O decisor ´e o respons´avel pela tomada de decis˜oes. Pode ser um ´unico indiv´ıduo, um grupo, uma empresa ou mesmo uma na¸c˜aoa. Ac¸c˜oes O decisor deve conseguir construir uma lista exaustiva e mutuamente exclusiva de todas ac¸c˜oes alternativas. Sempre que for poss´ıvel obter uma melhor informa¸c˜ao, o decisor deve escolher a melhor fonte de informa¸c˜ao e a melhor estrat´egiabglobal a seguir. Estados da natureza Acontecimentos que podem ocorrer e que n˜ao podem ser controlados pelo decisor. Os estados da natureza devem ser mutuamente exclusivos e devem descrever exaustivamente todas as situa¸c˜oes poss´ıveisc. Consequˆencias As consequˆencias s˜ao as medidas do benef´ıcio obtido pelo decisor. As consequˆencias dependem da decis˜ao tomada e dos estados da natureza. Pode-se ent˜ao associar a cada par (decis˜ao tomada, estado da natureza) um valor correspondente `a consequˆencia para o decisord. aNeste texto trataremos apenas de situa¸c˜oes em que o indiv´ıduo ou o grupo tˆem objectivos unit´arios e por isso que as decis˜oes s˜ao realmente individuais bUma estrat´egia ´e um conjunto de regras de decis˜ao que indicam, face a uma dada observa¸c˜ao da fonte de informa¸c˜ao, qual a ac¸c˜ao a realizar. cS´o pode ocorrer um e um s´o estado da natureza. dO valor associado a esse par corresponde a uma Fun¸c˜ao Utilidade, que por vezes corresponde directamente a valores monet´arios associados a cada consequˆencia. Slide 5 A marca de sof´as ´e um “franchising”de venda de sof´as que tem como “for¸ca propulsora”para as suas vendas a inova¸c˜ao nos materiais e no design e a qualidade e facilidade de manuten¸c˜ao dos seus sof´as. Recentemente surgiu no mercado mundial um novo tipo de estofo, obtido a partir de estudos de materiais feitos pela Agˆencia Espacial Africana. Esse novo estofo, que tem ainda o nome de c´odigo X@K, tem todas as caracter´ısticas da pele natural, mas n˜ao absorve gorduras e n˜ao se desgasta. O pre¸co dessa mat´eria prima ´e muito elevado e a sua produ¸c˜ao ´e ainda muito reduzida. Os administradores da pretendem estar sempre na frente da inova¸c˜ao em sof´as e por isso consideram crucial para a empresa a aposta em X@K. A decis˜ao a tomar ´e quanto `a quantidade a comprar. Dado que esse estofo tem que ser transportado a partir da costa oriental de ´ Africa, onde est´a localizada a Agˆencia Espacial Africana, o transporte ter´a que ser feito por mar e em contentores e s´o se admite a compra de 1, 2 ou 3 contentores de X@K a. A aquisi¸c˜ao ter´a que ser feita agora e s´o no in´ıcio do pr´oximo ano ´e que se poder´a voltar a comprar esse material. aDevido `as condi¸c˜oes especiais de embalagem, cada contentor transporta 100.000m2de X@K. Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 3 Slide 6 (cont.) Se for comprado 1 contentor, o pre¸co de compra de 1m2de X@K ser´a 22um, comprando-se 2 contentores, o pre¸co de compra de 1m2de X@K ser´a 20um e comprando 3 contentores, o pre¸co de compra de 1m2de X@K ser´a 18um. O pre¸co de venda de 1m2 ser´a 25um, mas se ao fim do ano ainda restar X@K, este ter´a que ser vendido por 10um por m2. Cada m2de material n˜ao vendido por ruptura de stocks implica um preju´ızo de 5um. A administra¸c˜ao considera que se poder˜ao vender sof´as que consumam 100.000m2, 150.000m2ou 250.000m2de X@K. Os trˆes tipos de procura teriam probabilidades de ocorrˆencia de respectivamente, 30%, 50% e 20%. Slide 7 -uma quest˜ao de decis˜oes Para o problema da defina: 1. O decisor 2. As ac¸c˜oes 3. Os estados da natureza 4. As consequˆencias Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 4 Slide 8 -resposta Decisor O decisor ´e a administra¸c˜ao da . Ac¸c˜oes As ac¸c˜oes alternativas s˜ao: •Comprar 1 contentor (100.000m2de X@K ); •Comprar 2 contentores (200.000m2de X@K ); •Comprar 3 contentores (300.000m2de X@K ). Estados da natureza Os estados da natureza que podem ocorrer s˜ao: •Procura de 100.000m2de X@K ; •Procura de 150.000m2de X@K ; •Procura de 250.000m2de X@K. Consequˆencias H´a uma consequˆencia associada a cada par (ac¸c˜ao, estado da natureza). Neste caso se por exemplo se optar por comprar 2 contentores e a procura for de 150.000m2de X@K, ent˜ao o lucro para a empresa ser´a: 150.000m2×25 um m2+ 50.000m2×10 um m2−200.000m2×20 um m2= 250.000um Slide 9 Matriz de Decis˜ao Depois de definidas todas as ac¸c˜oes alternativas e todos os estados da natureza, deve ser poss´ıvel associar a cada par (ac¸c˜ao, estado da natureza) uma consequˆencia que ter´a um valor correspondente `a utilidade para o decisor. Uij =U(ai;θj) Com esses valores pode-se preencher uma tabela de duas entradas a que se chama “Matriz de Decis˜ao”. Estados da natureza Ac¸c˜oes θ1θ2θ3. . . θn a1U11 U12 U13 . . . U1n a2U21 U22 U23 . . . U2n a3U31 U32 U33 . . . U3n . . .. . .. . .. . ..... . . amUm1Um2Um3. . . Umn Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 5 Slide 10 -Matriz de Decis˜ao Problema: Construa a Matriz de Decis˜ao para o problema da . Solu¸c˜ao: AMatriz de Decis˜ao para o problema da est´a representada na tabela seguinte (valores apresentados em kum). Estados da natureza Procura Procura Procura Ac¸c˜oes de 100.000m2de 150.000m2de 250.000m2 de X@K de X@K de X@K Comprar 100.000m2de X@K 300 50 -450 Comprar 200.000m2de X@K -500 250 750 Comprar 300.000m2de X@K -900 -150 1350 Slide 11 Decis˜ao com informa¸c˜ao perfeita Ou por outras palavras, o decisor sabe qual dos estados da natureza vai ocorrer. Nesse caso escolher´a a decis˜ao que maximiza e utilidade. Considerando que vai ocorrer o estado da natureza θ0, a ac¸c˜ao a0a tomar ser´a ent˜ao: a0:U(a0, θ0) = maxaiU(ai, θ0) No exemplo da : •Se o decisor souber que a procura ser´a de 100.000m2, ent˜ao opta por comprar 100.000m2de X@K. •Se o decisor souber que a procura ser´a de 150.000m2, ent˜ao opta por comprar 200.000m2de X@K. •Se o decisor souber que a procura ser´a de 250.000m2, ent˜ao opta por comprar 300.000m2de X@K. Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 6 Slide 12 Decis˜ao e incerteza A incerteza ´e muito mais a regra que a excep¸c˜ao, a ´unica coisa que pode ser certa ´e o passado e as decis˜oes tomam-se para o futuro. Um decisor que n˜ao conhece qual o estado da natureza que vai ocorrer ter´a que ter crit´erios para tomar decis˜oes. Esses crit´erios podem ser: •n˜ao probabil´ısticos; •probabil´ısticos (dependentes da probabilidade de ocorrˆencia dos estados da natureza). Slide 13 Ac¸c˜oes admiss´ıveis e inadmiss´ıveis Por vezes ´e poss´ıvel reduzir a Matriz de Decis˜ao, retirando ac¸c˜oes que nenhum decisor com bom senso poderia admitir. Se existe uma ac¸c˜ao akque ´e sempre dominada por outra ac¸c˜ao ai a, ent˜ao a ac¸c˜ao akpode ser retirada da Matriz de Decis˜ao. aUma ac¸c˜ao aidomina uma ac¸c˜ao akse ∀θjU(ai, θj)≥U(ak, θj) Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 7 Slide 14 (continua¸c˜ao alternativa) Se for comprado 1 contentor, o pre¸co de compra de 1m2de X@K ser´a 20um, comprando-se 2 contentores, o pre¸co de compra de 1m2de X@K ser´a 18um e comprando 3 contentores, o pre¸co de compra de 1m2de X@K ser´a 16um. O pre¸co de venda de 1m2 ser´a 25um, mas se ao fim do ano ainda restar X@K, este ter´a que ser vendido por metade do pre¸co de custo, 12.5um por m2. Cada m2de material n˜ao vendido por ruptura de stocks implica um preju´ızo de 5um. A administra¸c˜ao considera que se poder˜ao vender sof´as que consumam 100.000m2, 150.000m2ou 250.000m2de X@K. Os trˆes tipos de procura teriam probabilidades de ocorrˆencia de respectivamente, 30%, 50% e 20%. Slide 15 -Matriz de Decis˜ao para continua¸c˜ao alternativa Estados da natureza Procura Procura Procura Ac¸c˜oes de 100.000m2de 150.000m2de 250.000m2 de X@K de X@K de X@K Comprar 100.000m2de X@K 500 250 -250 Comprar 200.000m2de X@K 150 775 1150 Comprar 300.000m2de X@K 200 8250 2075 retirando a ac¸c˜ao dominada . . . Comprar 100.000m2de X@K 500 250 -250 Comprar 300.000m2de X@K 200 8250 2075 Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 8 Slide 16 Crit´erios de decis˜ao n˜ao probabil´ısticos •Laplace Todos os estados da natureza tˆem uma probabilidade de ocorrˆencia igual. •Maximin (ou minimax) Crit´erio pessimista; natureza hostil; ocorre sempre o estado da natureza que pode prejudicar mais. •Savage Pessimismo moderado, Matriz de Decis˜ao ´e substitu´ıda por uma Matriz de Pesares. •Hurwicz Defini¸c˜ao de um parˆametro que pode variar entre 0 e 1, permitindo assim reflectir atitudes desde pessimista a optimista. Slide 17 Crit´erios de decis˜ao n˜ao probabil´ısticos – Laplace Dado que a probabilidade de ocorrˆencia dos estados da natureza n˜ao ´e conhecida, considera-se que todos os estados da natureza tˆem uma probabilidade de ocorrˆencia igual. Havendo nestados da natureza, ent˜ao a probabilidade de ocorrˆencia de cada um deles ser´a 1 n. A ac¸c˜ao a escolher ser´a ent˜ao: maxain1 nPn j=1 U(ai;θj)o Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 15 Slide 30 - Proposta de alargamento Recentemente foi feita `a uma proposta de alargamento do seu franchising para outros pa´ıses da Europa. Se o neg´ocio correr bem, h´a a possibilidade de a empresa ter lucros elevados. O per´ıodo a considerar para o alargamento do franchising ser´a de 2 anos. No in´ıcio de cada um dos anos ser´a necess´ario tomar decis˜oes de alargamento, que poder´a ser total (todos os pa´ıses da Europa) ou ent˜ao parcial, come¸cando-se pelos pa´ıses mais pr´oximos e alargando numa segunda fase (no ano seguinte) aos restantes pa´ıses. Os custos de alargamento est˜ao representados na tabela seguinte (em Mum): Ano 1 Ano 2 Alargamento total 2 3 Alargamento parcial 1 1 1.5 Alargamento parcial 2 – 2 Slide 31 - Proposta de alargamento (cont.) Evidentemente que os resultados do alargamento em estudo dependem fortemente da dimens˜ao do mercado potencial. Para conhecer as hip´oteses de sucesso de cada uma das op¸c˜oes, foram consultados especialistas no mercado europeu. A esses especialistas foi indicado que considerassem apenas duas possibilidades para o mercado, procura elevada eprocura baixa. O resultado do estudo realizado pelos t´ecnicos, est´a representado na tabela seguinte: P(θi) Lucros (em Mum por ano) Procura Procura Procura Procura aibaixa elevada baixa elevada Alargamento total 0.4 0.6 3 4 Alargamento parcial 1 0.6 0.4 2 3 N˜ao alargamento 0.5 0.5 1 2 Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 16 Slide 32 - Proposta de alargamento (´arvore de decis˜ao) 5.2 5.2 3.8 Alargamento total (-2 Mum) Alargamento parcial 1 (-1 Mum) Procura baixa (3 Mum) 0.4 Procura elevada (4 Mum) 0.6 3 Sem alargamento (0 Mum) Procura baixa (2 Mum) 0.6 Procura elevada (3 Mum) 0.4 Procura baixa (1 Mum) 0.5 Procura elevada (2 Mum) 0.5 3.4 Alargamento parcial 2 (-2 Mum) Sem alargamento (0 Mum) 2.6 Procura baixa (3 Mum) 0.4 Procura elevada (4 Mum) 0.6 3.4 Procura baixa (2 Mum) 0.6 Procura elevada (3 Mum) 0.4 4.4 Alargamento parcial 2 (-2 Mum) Sem alargamento (0 Mum) 3.6 Procura baixa (3 Mum) 0.4 Procura elevada (4 Mum) 0.6 4.4 Procura baixa (2 Mum) 0.6 Procura elevada (3 Mum) 0.4 4.6 Sem alargamento (0 Mum) 4.6 Procura baixa (3 Mum) 0.4 Procura elevada (4 Mum) 0.6 5.6 Sem alargamento (0 Mum) 5.6 Procura baixa (3 Mum) 0.4 Procura elevada (4 Mum) 0.6 2.5 Alargamento parcial 1 (-1.5 Mum) Sem alargamento (0 Mum) 1.9 Procura baixa (2 Mum) 0.6 Procura elevada (3 Mum) 0.4 2.5 Procura baixa (1 Mum) 0.5 Procura elevada (2 Mum) 0.5 3.5 Alargamento parcial 1 (-1.5 Mum) Sem alargamento (0 Mum) 2.9 Procura baixa (2 Mum) 0.6 Procura elevada (3 Mum) 0.4 3.5 Procura baixa (1 Mum) 0.5 Procura elevada (2 Mum) 0.5 3+3-2=4 3+4-2=5 3+4-2=5 4+4-2=6 3+2-1-2=2 4+2-1-2=3 2+2-1=3 3+2-1=4 3+3-1-2=3 3+4-1-2=4 3+2-1=4 3+3-1=5 1+2-1.5=1.5 1+3-1.5=2.5 1+1=2 1+2=3 2+2-1.5=2.5 2+3-1.5=3.5 2+1=3 2+2=4 Ano 1 Ano 2 Alargamento total (-3 Mum) 1.6 Procura baixa (3 Mum) 0.4 Procura elevada (4 Mum) 0.6 1+3-3=1 1+4-3=2 Alargamento total (-3 Mum) 2.6 Procura baixa (3 Mum) 0.4 Procura elevada (4 Mum) 0.6 2+3-3=2 2+4-3=3 Slide 33 Informa¸c˜ao adicional At´e agora consideramos situa¸c˜oes em que o decisor escolhe entre ac¸c˜oes alternativas com base apenas na informa¸c˜ao que possui `a priori sobre o problema e sem tentar obter nenhuma informa¸c˜ao adicional. Quest˜oes que se colocam nesta fase: •Vale ou n˜ao a pena obter informa¸c˜ao adicional? •Que informa¸c˜ao adicional obter? •Que estrat´egia seguir depois de conhecida a informa¸c˜ao adicional? •Quanto pode valer a informa¸c˜ao adicionala? aOu de outra forma, at´e quanto estamos dispostos a pagar pela informa¸c˜ao adicional? Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 17 Slide 34 Valor esperado da informa¸c˜ao perfeita (VEIP) Na ausˆencia de dados sobre a credibilidade do fornecedor de informa¸c˜ao, n˜ao ´e poss´ıvel atribuir valor a essa informa¸c˜ao. Pode-se no entanto determinar o aumento esperado do Valor Esperado se a informa¸c˜ao for perfeita, que ´e realmente um limite superior para esse valor. Esse limite superior ´e conhecido por Valor Esperado da Informa¸c˜ao Perfeita (VEIP), e pode ser obtido de trˆes formas diferentes: 1. subtraindo o M´aximo Valor Esperado (com incerteza), do M´aximo Valor Esperado (com informa¸c˜ao perfeita); 2. por uma “an´alise incremental”; 3. calculando o valor m´ınimo para a perda de oportunidade esperada. Slide 35 VEIP – M´etodo 1 M´aximo Valor Esperado (informa¸c˜ao perfeita) - M´aximo Valor Esperado (incerteza) Pjh(θj)×maxaiU(ai, θj)−maxainPjh(θj)×U(ai, θj)o Estados da natureza Procura de Procura de Procura de 100.000m2150.000m2250.000m2 de X@K de X@K de X@K MV Eip h(θj) 0.30 0.50 0.20 maxaiU(ai, θj) 300 250 1350 485 Considerando o m´aximo valor esperado (MVE) calculado anteriormente: VEIP =MV Eip - MVE = 485 - 125 = 360 Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 18 Slide 36 VEIP – An´alise incremental Partindo novamente do exemplo da , consideremos a ac¸c˜ao escolhida pelo crit´erio do M´aximo Valor Esperado, “Comprar 200.000m2de X@K ”. Para cada um dos estados da natureza que podem ocorrer, podemos calcular a diferen¸ca entre a maior utilidade e a utilidade associada `a ac¸c˜ao escolhida. Seguidamente somam-se os produtos dessas diferen¸cas pelas probabilidades de ocorrˆencia dos respectivos estados da natureza: Estados da natureza Procura de Procura de Procura de 100.000m2150.000m2250.000m2 de X@K de X@K de X@K VEIP h(θj) 0.30 0.50 0.20 maxaiU(ai, θj) 300 250 1350 U(a2, θj) (ac¸c˜ao escolhida por MVE) -500 250 750 maxaiU(ai, θj)−U(a2, θj) 800 0 600 360 Slide 37 VEIP = Minimiza¸c˜ao da perda de oportunidade esperada Considerando os poss´ıveis estados da natureza e respectivas probabilidades de ocorrˆencia, tal como se representam na primeira linha da tabela seguinte, e ainda os valores de P(ai;θj), obt´em-se a m´ınima perda de oportunidade esperada. Estados da natureza Procura de Procura de Procura de 100.000m2150.000m2250.000m2 de X@K de X@K de X@K h(θj) 0.30 0.50 0.20 aiP OEai Comprar 100.000m2de X@K 0 200 1800 460 Comprar 200.000m2de X@K 800 0 600 360 Comprar 300.000m2de X@K 1200 400 0 560 VEIP = Minima perda de oportunidade esperada (360 neste caso). Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 19 Slide 38 Informa¸c˜ao perfeita ou imperfeita? A elimina¸c˜ao da incerteza atrav´es da aquisi¸c˜ao de informa¸c˜ao perfeita: •n˜ao ´e pratic´avel; •n˜ao se pode fazer em tempo ´util; •n˜ao se pode fazer de forma econ´omica. Pode-se obter informa¸c˜ao adicional (imperfeita): •atrav´es da realiza¸c˜ao de experiˆencias •atrav´es da realiza¸c˜ao de inqu´eritos. No entanto, n˜ao conv´em esquecer que: informa¸c˜ao inicial + informa¸c˜ao adicional ≤informa¸c˜ao perfeita Slide 39 Matriz de “credibilidade” AMatriz de “credibilidade” corresponde a uma medida da credibilidade da experiˆencia realizada ou do consultor ouvido. Considerando P(rk|θj) como a probabilidade de a experiˆencia realizada ter resultado rk, dado que o estado da natureza ´e θj Resultados Estados da natureza da experiˆencia θ1θ2θ3. . . θJ r1P(r1|θ1)P(r1|θ2)P(r1|θ3) . . . P(r1|θJ) r2P(r2|θ1)P(r2|θ2)P(r2|θ3) . . . P(r2|θJ) r3P(r3|θ1)P(r3|θ2)P(r3|θ3) . . . P(r3|θJ) . . .. . .. . .. . ..... . . rKP(rK|θ1)P(rK|θ2)P(rK|θ3) . . . P(rK|θJ) PkP(rk|θj)1 1 1 . . . 1 Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 20 Slide 40 Informa¸c˜ao perfeita – Matriz de “credibilidade” No caso de informa¸c˜ao perfeita (credibilidade m´axima), considerando que o resultado riindicia que ocorrer´a o estado da natureza θi, a Matriz de “credibilidade” ser´a a seguinte: Resultados Estados da natureza da experiˆencia θ1θ2θ3. . . θJ r11 0 0 . . . 0 r20 1 0 . . . 0 r30 0 1 . . . 0 . . .. . .. . .. . ..... . . rJ0 0 0 . . . 1 Slide 41 - Informa¸c˜ao Perfeita (´arvore de decis˜ao) Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 21 Slide 42 Ponto da situa¸c˜ao: Conhecemos ent˜ao: P(θj) – probabilidade (`a priori) de ocorrˆencia do estado da natureza θj conhecemos tamb´em: P(rk|θj) – probabilidade de a experiˆencia realizada ter resultado rk, dado que o estado da natureza ´e θj(“credibilidade da experiˆencia”) Mas o que ´e importante conhecer s˜ao as probabilidades de ocorrˆencia dos estados da natureza ap´os a informa¸c˜ao fornecida pelas experiˆencias (probabilidades de ocorrˆencia `a posteriori). P(θj|rk) – probabilidade de ocorrˆencia do estado da natureza θj, dado que a experiˆencia realizada teve resultado rk OTeorema de Bayes permite calcular P(θj|rk) a partir de P(rk|θj) e de P(θj) Slide 43 - Consultadoria externa Voltando ao problema inicial . . . a administra¸c˜ao da considera que se poder˜ao vender sof´as que consumam 100.000m2, 150.000m2ou 250.000m2 de X@K. Com os conhecimentos que os administradores da tˆem sobre o neg´ocio, os trˆes tipos de procura teriam probabilidades de ocorrˆencia de respectivamente, 30%, 50% e 20%. Na ´ultima reuni˜ao da administra¸c˜ao falou-se na possibilidade de recorrer a uma empresa de consultadoria externa com alguma credibilidade na avalia¸c˜ao do mercado para este tipo de produtos. Analisando cuidadosamente as avalia¸c˜oes de mercado j´a realizadas por essa empresa, concluiu-se que, para o problema em causa, a matriz de credibilidade da empresa P(rk|θj) seria a que se encontra representada na tabela seguinte: Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 22 Slide 44 Estados da natureza Procura Procura Procura Resultados de 100.000m2de 150.000m2de 250.000m2 da consultadoria de X@K de X@K de X@K Previs˜ao de procura baixa 0.7 0.5 0.1 Previs˜ao de procura m´edia 0.2 0.5 0.4 Previs˜ao de procura alta 0.1 0.0 0.5 Quest˜ao: Como calcular P(θj|rk) (probabilidade de ocorrˆencia do estado da natureza θj, dado que a experiˆencia realizada teve resultado rk) a partir desses valores? Slide 45 Reverendo Thomas Bayes (1702–1761) a Bayes apresentou a sua teoria das probabilidades num ensaio denominado “Essay towards solving a problem in the doctrine of chances” publicado nas “Philosophical Transactions of the Royal Society of London” em 1764. O artigo foi enviado para a “Royal Society” por Richard Price, um amigo de Bayes, que escreveu: I now send you an essay which I have found among the papers of our deceased friend Mr Bayes, and which, in my opinion, has great merit... In an introduction which he has written to this Essay, he says, that his design at first in thinking on the subject of it was, to find out a method by which we might judge concerning the probability that an event has to happen, in given circumstances, upon supposition that we know nothing concerning it but that, under the same circumstances, it has happened a certain number of times, and failed a certain other number of times. aInforma¸c˜ao retirada de: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/Mathematicians/Bayes.html em 2002.03.13 Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 23 Slide 46 Teorema de Bayes OTeorema de Bayes permite calcular P(θj|rk) (probabilidade de ocorrˆencia do estado da natureza θjdado que o resultado da experiˆencia foi rk), conhecendo P(rk|θj) e P(θj). P(θj|rk) = P(θj, rk) P(rk)=P(rk|θj)×P(θj) PjP(rk|θj)×P(θj)(1) Resultados Estados da natureza da experiˆencia P(rk)θ1θ2θ3... θJPjP(θj|rk) r1P(r1)P(θ1|r1)P(θ2|r1)P(θ3|r1) . . . P(θJ|r1) 1 r2P(r2)P(θ1|r2)P(θ2|r2)P(θ3|r2) . . . P(θJ|r2) 1 r3P(r3)P(θ1|r3)P(θ2|r3)P(θ3|r3) . . . P(θJ|r3) 1 . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . rKP(rK)P(θ1|rK)P(θ2|rK)P(θ3|rK) . . . P(θJ|rK) 1 Slide 47 - Consultadoria externa (resolu¸c˜ao) Aplicando o Teorema de Bayes, obtˆem-se as probabilidades revistas de ocorrˆencia de cada um dos estados da natureza, dados os v´arios resultados poss´ıveis da experiˆencia, tal como se representam na tabela seguinte: Estados da natureza Procura Procura Procura Resultados de 100.000m2de 150.000m2de 250.000m2 da consultadoria P(rk) de X@K de X@K de X@K Previs˜ao de procura baixa 0.48 21 48 25 48 2 48 Previs˜ao de procura m´edia 0.39 6 39 25 39 8 39 Previs˜ao de procura alta 0.13 3 13 0 13 10 13 Maria Ant´onia Carravilla – FEUP Teoria da Decis˜ao 24 Slide 48 - Consultadoria externa (´arvore de decis˜ao) Slide 49 Bibliografia •Hillier, Frederick S. e Lieberman, Gerald (2001). Introduction to Operations Research, Mc Graw-Hill. •Murteira, Bento (1981). Introdu¸c˜ao `a Teoria da Decis˜ao. •Ravindram, Philips e Solberg (1987). Operations Research, Principles and Practice. John Wiley & Sons. •Taha, Hamdy A. (1997). Operations Research, an Introduction. Prentice Hall. •Winston, Wayne L. (1994). Operations Research, Applications and Algorithms Duxbury Press. Maria Ant´onia Carravilla – FEUP