Optimização Combinatória: modelos e algoritmos: transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas

Slide 1 Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: Modelos e Algo i mos T anspa ˆencias de apoio `a lecciona¸c˜ao de aulas e´o icas Ve s˜ao 1 c °2001 Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 1 Slide 2 Modelos de Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia Slide 3 P oblemas de Op imiza¸c˜ao Ins ˆancia de um P oblema de Op imiza¸c˜ao Uma ins ˆancia de um P oblema de Op imiza¸c˜ao ´e um pa (F, c), onde: F´e um conjun o qualque (o dom´ınio das solu¸c˜oes admiss´ı eis) c´e a un¸c˜ao cus o, e co esponde a um mapeamen o c:F → R A solu¸c˜ao ´op ima se ´a um ∈ F al que: ∀y∈F c( )≤c(y) Um P oblema de Op imiza¸c˜ao ´e um conjun o de Ins ˆancias de um P oblema de Op imiza¸c˜ao (in Papadimi iou, S eigli z pp.4) Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 2 Slide 4 Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia OC P oblemas de Op imiza¸c˜ao com a i´a eis con ´ınuas P oblemas Con ´ınuos Solu¸c˜ao: conjun o de n´ume os e- ais com a i´a eis disc e as P oblemas Combina ´o ios Solu¸c˜ao: objec o pe encen e a um conjun o ini o ou en ˜ao in ini o enume ´a el, po exemplo in ei os, conjun os, pe mu a¸c˜oes ou g a os. Slide 5 P oblema da Mochila “Knapsack P oblem”KP Dados: •um conjun o de ipos de objec os em que cada ipo em um alo e um peso associados •uma mochila com um limi e de peso anspo ´a el P e ende-se enche a mochila, n˜ao ul apassando o limi e m´aximo de peso e maximizando o alo o al dos objec os anspo ados. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 3 Slide 6 P oblema da Mochila (KP) ´ Indices j ipo de objec o, j∈ {1,...,n}; Va i´a eis de decis˜ao xjn´ume o de objec os do ipo ja coloca den o da mochila Coe icien es wjpeso de cada um dos objec os do ipo j; cj alo de cada um dos objec os do ipo j; blimi e m´aximo de peso a anspo a na mochila. Fun¸c˜ao objec i o max Z=Pn j=1 cjxj Res i¸c˜oes Pn j=1 wjxj≤b ∀jxj≥0in ei o Slide 7 P oblema da Mochila 0–1 “0–1 Knapsack P oblem”(0–1KP) Dados: •um conjun o de objec os di e en es em que cada objec o em um alo e um peso associados •uma mochila com um limi e de peso anspo ´a el P e ende-se enche a mochila, n˜ao ul apassando o limi e m´aximo de peso e maximizando o alo o al dos objec os anspo ados. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 4 Slide 8 P oblema da Mochila 0–1 (0–1KP) Modelo ´ Indices jobjec o, j∈ {1,...,n}; Va i´a eis de decis˜ao xj=       1 se objec o j o colocado na mochila 0 se n˜ao Coe icien es wjpeso do objec o j; cj alo do objec o j; blimi e m´aximo de peso a anspo - a na mochila. Fun¸c˜ao objec i o max Z=Pn j=1 cjxj Res i¸c˜oes Pn j=1 wjxj≤b ∀jxj∈ {0,1} Slide 9 Ci cui os Hamil onianos De ini¸c˜ao de Ci cui o Hamil oniano: Um ci cui o diz-se Hamil oniano, se passa uma e uma s´o ez po odos os ´e ices de uma ede. A designa¸c˜ao p o ´em do islandˆes Hamil on que, em 1857 p opˆos um jogo denominado “A ound he Wo ld”. Nesse jogo, os ´e ices de um dodecaed o de madei a ep esen a am as 20 cidades mais impo an es do mundo na ´epoca. O objec i o do jogo consis ia em encon a um pe cu so a a ´es dos ´e ices do dodecaed o, com in´ıcio e im no mesmo ´e ice (cidade) e que passasse po cada ´e ice (cidade) apenas uma ez. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 5 Slide 10 P oblema do Caixei o Viajan e “T a elling Salesman P oblem”(TSP) O p oblema do caixei o iajan e ´e um p oblema de op imiza¸c˜ao associado `a de e mina¸c˜ao dos ci cui os hamil onianos num g a o qualque . P oblema do Caixei o Viajan e: P e ende-se encon a o caminho mais cu o pa a um caixei o iajan e que sai de uma cidade, isi a n ou as cidades e ol a `aquela de onde pa iu, sem epe i nenhuma das cidades isi adas (Ci cui o Hamil oniano mais cu o). Slide 11 P oblema do Caixei o Viajan e (TSP) Fo mula¸c˜ao de Dan zig-Fulke son-Johnson Fo mula¸c˜ao do TSP como um p oblema de p og ama¸c˜ao bin´a ia sob e um g a o G= (V, A), onde V´e o conjun o de ´e ices (cidades) e A´e o conjun o de a cos (pe cu sos di ec os en e duas cidades) ´ Indices icidade, i∈ {1,...,n} jcidade, j∈ {1,...,n} Coe icien es dij cus o associado ao pe cu so (a co) en e cidade ie cidade j. Va i´a eis de decis˜ao xij =       1 se o pe cu so di ec o (a co) de i pa a jes i e inclu´ıdo na solu¸c˜ao 0 se n˜ao Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 6 Slide 12 P oblema do Caixei o Viajan e (TSP) Fo mula¸c˜ao de Dan zig-Fulke son-Johnson (con .) Fun¸c˜ao objec i o min n X i=1 n X j=1 dijxij Res i¸c˜oes Pn i=1 xij = 1 ∀j∈V Pn j=1 xij = 1 ∀i∈V Pi,j∈Sxij ≤ |S|−1∀S⊂V xij ∈ {0,1} ∀i,j∈V,i6=j |S| ep esen a o n´ume o de ´e ices do subg a o S. No e-se que em S≡Vn˜ao es ´a conside ado em S⊂V. Slide 13 P oblema do Caixei o Viajan e (TSP) Fo mula¸c˜ao de Dan zig-Fulke son-Johnson Elimina¸c˜ao de subg a os 1 2 3 45 6 1 2 3 45 6 1 2 3 45 6 1 2 3 45 6 S={1,3,4} x13 = 1 ≤ |S|−1 = 2 S={4,5,6} x45 +x56 +x64 = 3 £|S|−1 = 2 1 2 3 45 6 1 2 3 45 6 S={1,2,3} x23 +x31 = 2 ≤ |S|−1 = 2 S={4,5,6} x45 +x56 = 2 ≤ |S|−1 = 2 e c . . . Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 7 Slide 14 Cobe u a de conjun os “Se Co e ing” Dados: •um conjun o de clien es •um conjun o de a maz´ens •uma ma iz de liga¸c˜oes clien es–a maz´ens •cus os de abe u a de cada um dos a maz´ens P e ende-se o nece odos os clien es, minimizando os cus os de abe u a dos a maz´ens. Slide 15 Cobe u a de conjun os Modelo ´ Indices iclien e, i∈ {1,...,m}; ja maz´em, j∈ {1,...,n}; Va i´a eis de decis˜ao xj=   1 se a maz´em j o abe o. 0 se n˜ao Coe icien es aij 1 se clien e ipode se o necido pelo a maz´em j, 0 se n˜ao; cjcus o associado `a abe u a do a - maz´em j. Fun¸c˜ao objec i o min Z=Pn j=1 cjxj Res i¸c˜oes ∀iPn j=1 aijxj≥1 ∀jxj∈ {0,1} Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 8 Slide 16 Pa i¸c˜ao de conjun os “Se Pa i ioning” Dados: •um conjun o de clien es •um conjun o de a maz´ens •uma ma iz de liga¸c˜oes clien es–a maz´ens •cus os de abe u a de cada um dos a maz´ens P e ende-se o nece odos os clien es, minimizando os cus os de abe u a dos a maz´ens. Cada clien e s´o pode ica ligado a um a maz´em. Slide 17 Pa i¸c˜ao de conjun os “Se Pa i ioning” Modelo ´ Indices iclien e, i∈ {1,...,m}; ja maz´em, j∈ {1,...,n}; Va i´a eis de decis˜ao xj=   1 se a maz´em j o abe o. 0 se n˜ao Coe icien es aij 1 se clien e ipode se o necido pelo a maz´em j, 0 se n˜ao; cjcus o associado `a abe u a do a - maz´em j. Fun¸c˜ao objec i o min Z=Pn j=1 cjxj Res i¸c˜oes ∀iPn j=1 aijxj= 1 ∀jxj∈ {0,1} Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 15 Slide 30 Classi ica¸c˜ao dos p oblemas P oblemas de decis˜ao (sup˜oem apenas uma espos a do ipo SIM ou N˜ AO). Exemplo: Pa a uma dada ins ˆancia do TSP h´a algum ci cui o cujo cus o (dis ˆancia o al pe co ida) seja in e io a K? •Classe P– Conjun o de p oblemas de decis˜ao pa a os quais exis e um algo i mo que co e em empo polinomial. •Classe NP – Conjun o de p oblemas de decis˜ao pa a os quais n˜ao se conhece um algo i mo polinomial mas que que pode se esol ido em empo polinomial po uma abs ac¸c˜ao algo ´ı mica chamada “algo i mo n˜ao de e min´ıs ico”.a aInco po a ins u¸c˜oes do ipo “go o bo h label1, label2” o iginando um ´a o e de p o- cessos a co e em pa alelo. O p imei o amo que esponde “SIM” p´a a a execu¸c˜ao e o algo i mo esponde “SIM”. Se esse amo i e espondido ap´os um n´ume o polinomial de passos, en ˜ao o algo i mo diz-se n˜ao-de e min´ıs ico Slide 31 Classi ica¸c˜ao dos p oblemas (con .) •Classe NP −comple a – Sub-conjun o de p oblemas da classe NP aos quais qualque ou o p oblema da classe pode se eduzido. Se qualque p oblema da classe NP pude se eduzido a um p oblema Pen ˜ao diz-se que Ppe ence `a classe NP −comple a. P oblemas de op imiza¸c˜ao (acha a melho solu¸c˜ao) S˜ao na u almen e eduzidos a uma sequˆencia de p oblemas de decis˜ao: epe e-se a pe gun a, com alo es sucessi amen e mais exigen es, a ´e a espos a se n˜ao. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 16 Slide 32 Abo dagens `a esolu¸c˜ao de P oblemas de Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia T´ecnicas exac as — ob ˆem e ga an em uma solu¸c˜ao ´op ima. A ingi a solu¸c˜ao ´op ima pode se di ´ıcil (mui o demo ado), ou mesmo imposs´ı el (o empo co esponden e `a ida passada do sis ema sola pode ia n˜ao se su icien e) e nem seque se especialmen e impo an e pa a a aplica¸c˜ao conc e a que se p e ende esol e . ↓ T´ecnicas ap oximadas ou m´e odos heu ´ıs icos — ou n˜ao ob ˆem a solu¸c˜ao ´op ima ou, se a ob ˆem, n˜ao o sabem... Em compensa¸c˜ao s˜ao capazes de ob e “boas” solu¸c˜oes mui o apidamen e. Slide 33 Bibliog a ia •Goldba g, Ma co Cesa e Luna, Hen ique Pacca (2000). O imiza¸c˜ao Combina ´o ia e P og ama¸c˜ao Linea , Edi o a CAMPUS. •Golden, B.L. and S ewa , W.R. (1985). Empi ical analysis o heu is ics in The T a eling Salesman P oblem, John Wiley & Sons, Inc.. •Nemhause , Geo ge L. e Wolsey, Lau ence A. (1988). In ege and Combina o ial Op imiza ion John Wiley & Sons, Inc.. •Papadimi io, Ch is us H. e S eigli z, Kenne h (1982). Combina o ial Op imiza ion – Algo i hms and Complexi y P en ice Hall, Inc.. •Sousa, Jo ge Pinho (1991). Apon amen os de Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 17 Slide 34 T´ecnicas exac as pa a esolu¸c˜ao de p oblemas de op imiza¸c˜ao Slide 35 T´ecnicas exac as •Enume a¸c˜ao expl´ıci a — po de ini¸c˜ao de p oblema de Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia, ge ando ea aliando odas as solu¸c˜oes admiss´ı eis ´e poss´ı el ob e a solu¸c˜ao ´op ima. •Enume a¸c˜ao impl´ıci a — n˜ao se ge ando odas as solu¸c˜oes admiss´ı eis, elas s˜ao no en an o conside adas e implici amen e a aliadas. Exemplos: M´e odo de pesquisa em ´a o e com enume a¸c˜ao e limi a¸c˜ao (“b anch and bound”); limi es supe io es e in e io es ao alo da solu¸c˜ao ´op ima. •Fo mula¸c˜ao dos p oblemas em modelos de p og ama¸c˜ao in ei a ( a i´a eis de decis˜ao assumem alo es no conjun o dos n´ume os in ei os), ou mesmo bin´a ia ( a i´a eis apenas com dois alo es poss´ı eis: 0 ou 1), e consequen e esolu¸c˜ao com algo i mos ap op iados. No a: Es as o mula¸c˜oes podem amb´em se usadas pa a ob e limi es pa a o alo da solu¸c˜ao ´op ima a a ´es de elaxa¸c˜oes. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 18 Slide 36 T´ecnicas exac as e elaxa¸c˜oes Relaxa¸c˜ao — N˜ao conside a¸c˜ao de uma ou mais es i¸c˜oes do p oblema o iginal PO, ans o mando-o num p oblema mais simples de esol e P R, sabendo-se que os alo es ´op imos das un¸c˜oes objec i o obedecem `a seguin e ela¸c˜ao (assumindo um p oblema de minimiza¸c˜ao): ? P R ≤ ? P O ( adu¸c˜ao: ao i a es i¸c˜oes a solu¸c˜ao s´o pode melho a , ou ica na mesma). Relaxa¸c˜ao linea – ans o ma¸c˜ao de um p oblema em n´ume os in ei os num p oblema com a i´a eis eais (deixa-se cai a es i¸c˜ao “e in ei os” ou “∈ N0”−→ u iliza¸c˜ao do m´e odo simplex pa a a sua esolu¸c˜ao em ez dos mui o mais complexos (e ex ao dina iamen e mais demo ados) m´e odos de pesquisa em ´a o e). Slide 37 M´e odo de “b anch and bound” Baseia-se na ideia de uma enume a¸c˜ao in eligen e das solu¸c˜oes candida as a solu¸c˜ao ´op ima in ei a de um p oblema, e ec uando sucessi as pa i¸c˜oes do espa¸co das solu¸c˜oes e co ando a ´a o e de pesquisa a a ´es da conside a¸c˜ao de limi es calculados ao longo da enume a¸c˜ao. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 19 Slide 38 Rep esen a¸c˜ao g ´a ica Conside e-se o seguin e p oblema de P og ama¸c˜ao In ei a: Maximiza : F= 3x+ 7y suj. a: x≤3.5 5x−4y≤10 4 7x+ 2y≤9 x , y ≥0e in ei as e a sua ep esen a¸c˜ao g ´a ica: y 7 6 5 4 3 2 1 5x - 4y = 10 x = 3.5 4/7x + 2y = 9 Max F = 3x + 7y 1 2 3 4 5 6 7 8 x Solu¸c˜ao ´op ima in ei a: x= 1 e y= 4. Slide 39 Resolu¸c˜ao da elaxa¸c˜ao linea P oblema PL0: max F= 3x+ 7y suj. a: x≤3.5 5x−4y≤10 4 7x+ 2y≤9 x , y ≥0 5x - 4y = 10 x = 3.5 4/7x + 2y = 9 Max F = 3x + 7y y 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x Solu¸c˜ao ´op ima n˜ao in ei a: x= 3.5 e y= 3.5; F= 35 Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 20 Slide 40 Rami ica¸c˜ao em x:x≤3 max F= 3x+ 7y suj. a: x≤3.5 5x−4y≤10 4 7x+ 2y≤9 x , y ≥0 x≤3 5x - 4y = 10 x = 3.5 4/7x + 2y = 9 Max F = 3x + 7y y 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x x = 3 Solu¸c˜ao (n˜ao in ei a): x= 3 e y= 3.6; F= 34.5 Slide 41 Rami ica¸c˜ao em x:x≥4 max F= 3x+ 7y suj. a: x≤3.5 5x−4y≤10 4 7x+ 2y≤9 x , y ≥0 x≥4 5x - 4y = 10 x = 3.5 4/7x + 2y = 9 Max F = 3x + 7y y 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x x = 4 Sem solu¸c˜oes admiss´ı eis. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 21 Slide 42 Rami ica¸c˜ao em y:y≤3 max F= 3x+ 7y suj. a: x≤3.5 5x−4y≤10 4 7x+ 2y≤9 x , y ≥0 x≤3 y≤3 5x - 4y = 10 x = 3.5 4/7x + 2y = 9 Max F = 3x + 7y y 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x x = 3 y = 3 Solu¸c˜ao (in ei a): x= 3 e y= 3; F= 30 Ob en¸c˜ao de um limi e in e io ⇒ Solu¸c˜oes n˜ao in ei as com alo de F in e io ou igual a 30 n˜ao p ecisam de se explo adas! Slide 43 Rami ica¸c˜ao em y:y≥4 max F= 3x+ 7y suj. a: x≤3.5 5x−4y≤10 4 7x+ 2y≤9 x , y ≥0 x≤3 y≥4 5x - 4y = 10 x = 3.5 4/7x + 2y = 9 Max F = 3x + 7y y 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x x = 3 y = 4 Solu¸c˜ao (n˜ao in ei a): x= 1.7 e y= 4; F= 33.2 Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 22 Slide 44 Rami ica¸c˜ao em x:x≤1 max F= 3x+ 7y suj. a: x≤3.5 5x−4y≤10 4 7x+ 2y≤9 x , y ≥0 x≤3 y≥4 x≤1 5x - 4y = 10 x = 3.5 4/7x + 2y = 9 Max F = 3x + 7y y 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x x = 1 y = 4 x = 3 Solu¸c˜ao (n˜ao in ei a): x= 1 e y= 4.2; F= 32.5 Slide 45 Rami ica¸c˜ao em x:x≥2 max F= 3x+ 7y suj. a: x≤3.5 5x−4y≤10 4 7x+ 2y≤9 x , y ≥0 x≤3 y≥4 x≥2 5x - 4y = 10 x = 3.5 4/7x + 2y = 9 Max F = 3x + 7y y 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x x = 2 y = 4 x = 3 Sem solu¸c˜oes admiss´ı eis. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 23 Slide 46 Rami ica¸c˜ao em y:y≤4 max F= 3x+ 7y suj. a: x≤3.5 5x−4y≤10 4 7x+ 2y≤9 x , y ≥0 x≤3 y≥4 x≤1 y≤4 5x - 4y = 10 x = 3.5 4/7x + 2y = 9 Max F = 3x + 7y y 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x x = 1 y = 4 x = 3 Solu¸c˜ao (in ei a): x= 1 e y= 4; F= 31 Melho solu¸c˜ao in ei a a ´e ao mo- men o! Slide 47 Rami ica¸c˜ao em y:y≥5 max F= 3x+ 7y suj. a: x≤3.5 5x−4y≤10 4 7x+ 2y≤9 x , y ≥0 x≤3 y≥4 x≤1 y≥5 5x - 4y = 10 x = 3.5 4/7x + 2y = 9 Max F = 3x + 7y y 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x x = 1 y = 4 x = 3 y = 5 Sem solu¸c˜oes admiss´ı eis. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 24 Slide 48 ´ A o e de pequisa do “B anch-and-Bound” Slide 49 Limi es Limi es (in e io es e supe io es): • o nam o algo i mo de “b anch & bound” mais e icien e ao pe mi i desca a n´os da ´a o e de pesquisa ainda n˜ao comple amen e explo ados, pela ce eza de que nunca o igina ˜ao solu¸c˜oes melho es do que as que j´a emos. •pe mi em “medi a dis ˆancia” (em e mos de alo da un¸c˜ao objec i o) a que es amos da solu¸c˜ao ´op ima. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 31 Slide 62 Exemplo – um p oblema (simples) de planeamen o da p odu¸c˜ao Dados – 6 pe ´ıodos e 8 encomendas. Objec i o – p oduzi o mais p ´oximo poss´ı el da da a de en ega. 123456 C 452521 Capacidade dispon´ı el C em cada pe ´ıodo 123456 C 1 2 3 4 5 e12345678 qe11222333 de21312513 Encomendas e, com quan idades qee da as de en ega de 3 1 6 2 45 78 Slide 63 Exemplo – con inua¸c˜ao Va i´a eis de decis˜ao: xe ∈ {0,1}que alem 1 se a encomenda e´e p oduzida no pe ´ıodo . Res i¸c˜oes: •Cada encomenda em que se p oduzida uma e uma s´o ez: P xe = 1 •As capacidades dos pe ´ıodos ˆem que se espei adas: ∀ Peqe×xe ≤C Obse a¸c˜ao: h´a encomendas que, dadas as espec i as quan idades e as capacidades dos pe ´ıodos, nunca pode ˜ao se p oduzidas em simul ˆaneo. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 32 Slide 64 Exemplo – con inua¸c˜ao Reg as pa a a ge a¸c˜ao de desigualdades ´alidas: 1. No pe ´ıodo 1 (capacidade 4) n˜ao se podem p oduzi simul aneamen e duas encomendas com quan idades 2 e 3, ou 3 e 3. 2. Nos pe ´ıodos 2 e 4 (capacidade 5) n˜ao se podem p oduzi simul aneamen e duas encomendas com quan idades 3. 3. Nos pe ´ıodos 3 e 5 (capacidade 2) n˜ao se podem p oduzi simul aneamen e duas encomendas com quan idades 2, duas encomendas com quan idades 1 e 2, nem qualque encomenda com quan idade 3. 4. No pe ´ıodo 6 (capacidade 1) apenas se podem p oduzi encomendas com quan idade 1. Slide 65 Exemplo – conclus˜ao Solu¸c˜ao da elaxa¸c˜ao linea do exemplo: 123456 C 1 2 3 4 5 3 1 6 2 4 5 7 8 7 5 8 3 Es a solu¸c˜ao iola uma desigual- dade do ipo 1 e uma desigualdade do ipo 2. S˜ao en ˜ao desigualdades ´alidas: x41 +x71 ≤1 x64 +x84 ≤1 Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 33 Slide 66 Bibliog a ia •Al es, Jos´e Ca los (1989). P o as de Ap id˜ao Cien ´ı ica e Capacidade Pedag´ogica. FEUP. •Ca a illa, Ma ia An ´onia (1996). Modelos e Algo i mos pa a o Planeamen o Hie ´a quico da P odu¸c˜ao – Aplica¸c˜oes a um Caso de Es udo, Tese de Dou o amen o, FEUP. •Goldba g, Ma co Cesa e Luna, Hen ique Pacca (2000). O imiza¸c˜ao Combina ´o ia e P og ama¸c˜ao Linea , Edi o a CAMPUS. •Nemhause , Geo ge L. e Wolsey, Lau ence A. (1988). In ege and Combina o ial Op imiza ion John Wiley & Sons, Inc.. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 34 Slide 67 Algo i mos pa a Resolu¸c˜ao Ap oximada de P oblemas de Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia Slide 68 T´ecnicas ap oximadas pa a a esolu¸c˜ao de p oblemas de Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia M´e odos Heu ´ıs icos Tˆem como objec i o ob e mui o boas solu¸c˜oes de uma o ma e icien e. N˜ao ob ˆem a solu¸c˜ao ´op ima, ou pelo menos n˜ao s˜ao capazes de ga an i que a solu¸c˜ao boa que ob ˆem ´e de ac o a ´op ima. Ca ac e ´ıs icas dos algo i mos heu ´ıs icos •Tempos de execu¸c˜ao “cu os” •Facilidade de implemen a¸c˜ao •Flexibilidade •Simplicidade Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 35 Slide 69 Tipos de algo i mos heu ´ıs icos •Cons u i os – Cons oem uma solu¸c˜ao, passo a passo, segundo um conjun o de eg as p ´e-es abelecido. •de Melho amen os – Pa em de uma solu¸c˜ao admiss´ı el qualque e p ocu am melho ´a-la a a ´es de sucessi as pequenas al e a¸c˜oes. •Compos os – Tˆem p imei o uma ase cons u i a e depois uma ase de melho amen os. Es es ipos de heu ´ıs icas se ˜ao ap esen ados e exempli icados u ilizando como caso de es udo o P oblema do Caixei o Viajan e. Slide 70 Algo i mos (heu ´ıs icos) cons u i os Cons oem uma solu¸c˜ao, passo a passo, segundo um conjun o de eg as p ´e-es abelecido. Es as eg as es ˜ao elacionadas com: •a escolha do sub-ciclo inicial (ou o pon o inicial) – inicializa¸c˜ao; •um c i ´e io de escolha do elemen o seguin e a jun a `a solu¸c˜ao – selec¸c˜ao; •a selec¸c˜ao da posi¸c˜ao onde esse no o elemen o se ´a inse ido – inse ¸c˜ao. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 36 Slide 71 TSP – Vizinho mais p ´oximo 1. Inicializa¸c˜ao – Come¸ca com um ci cui o pa cial cons i u´ıdo po uma cidade isozinha, escolhida a bi a iamen e; 2. Selec¸c˜ao – Seja (1,...,k) o pe cu so pa cial ac ual (k < n). Encon a a cidade k+ 1, que ainda n˜ao az pa e do ci cui o e que es ´a mais p ´oxima de k. 3. Inse ¸c˜ao – Inse i k+ 1 no im do ci cui o pa cial. 4. Se odas as cidades es ˜ao inse idas, PARAR, sen˜ao ol a a 2. Slide 72 Vizinho mais p ´oximo – exemplo 12 3 56 4 5 3 5 3 6 4 4 3 2 3 3 45 32 12 3 56 4 5 3 5 3 6 4 4 3 2 3 3 45 32 12 3 56 4 5 3 5 3 6 4 4 3 2 3 3 45 32 12 3 56 4 5 3 5 3 6 4 4 3 2 3 3 45 32 12 3 56 4 5 3 5 3 6 4 4 3 2 3 3 45 32Comp imen o o al do pe cu so: 19 Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 37 Slide 73 TSP – Inse ¸c˜ao mais p ´oxima de cidade a bi ´a ia 1. Inicializa¸c˜ao – Come¸ca com um ci cui o pa cial cons i u´ıdo po uma cidade isozinha, escolhida a bi a iamen e; Encon a a cidade j al que cij (dis ˆancia de iaj) ´e m´ınima e o ma o ci cui o pa cial (i, j). 2. Selec¸c˜ao – Dado um ci cui o pa cial, selecciona a bi a iamen e uma cidade kainda n˜ao pe encen e ao ci cui o pa cial. 3. Inse ¸c˜ao – Encon a a a es a {i, j}no ci cui o pa cial que minimiza cik +ckj −cij. Inse i ken e iej. 4. Se odas as cidades es ˜ao inse idas, PARAR, sen˜ao ol a a 2. Slide 74 Inse ¸c˜ao mais p ´oxima de cidade a bi ´a ia – exemplo 12 3 56 4 5 3 5 3 6 4 4 3 2 3 3 45 32 12 3 56 4 5 3 5 3 6 4 4 3 2 3 3 45 32 12 3 56 4 5 3 5 3 6 4 4 3 2 3 3 45 32 12 3 56 4 5 3 5 3 6 4 4 3 2 3 3 45 32 12 3 56 4 5 3 5 3 6 4 4 3 2 3 3 45 32Comp imen o o al do pe cu so: 17 Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 38 Slide 75 TSP – Inse ¸c˜ao mais p ´oxima 1. Inicializa¸c˜ao – Come¸ca com um ci cui o pa cial cons i u´ıdo po uma cidade isozinha, escolhida a bi a iamen e; 2. Selec¸c˜ao – Encon a as cidades kej(jpe encendo ao ci cui o pa cial ekn˜ao pe encendo) al que ckj ´e minimizado. 3. Inse ¸c˜ao – Encon a a a es a {i, j}no ci cui o pa cial que minimiza cik +ckj −cij. Inse i ken e iej. 4. Se odas as cidades es ˜ao inse idas, PARAR, sen˜ao ol a a 2. Es a heu ´ıs ica em a a ian e “Inse ¸c˜ao mais dis an e” que subs i ui o passo de selec¸c˜ao po : 2. Selec¸c˜ao – Encon a as cidades kej(jpe encendo ao ci cui o pa cial ekn˜ao pe encendo) al que ckj ´e maximizado. Slide 76 TSP – Inse ¸c˜ao mais ba a a 1. Inicializa¸c˜ao – Come¸ca com um ci cui o pa cial cons i u´ıdo po uma cidade isozinha, escolhida a bi a iamen e; 2. Selec¸c˜ao – Encon a as cidades k,iej(iej o mando uma a es a do ci cui o pa cial e kn˜ao pe encendo a esse ci cui o) al que cik +ckj −cij ´e minimizado. 3. Inse ¸c˜ao – Inse i ken e iej. 4. Se odas as cidades es ˜ao inse idas, PARAR, sen˜ao ol a a 2. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 39 Slide 77 TSP – In ´oluc o con exoa 1. Inicializa¸c˜ao – Come¸ca com um ci cui o pa cial cons i u´ıdo pelo in ´oluc o con exo de odas as cidades; 2. Inse ¸c˜ao – Pa a cada cidade kn˜ao inse ida no ci cui o pa cial, encon a a a es a {i, j}do ci cui o pa cial que minimiza cik +ckj −cij. 3. Selec¸c˜ao – De en e odos os ios {i, j, k} o mados e a aliados no passo 2, de e mina o io {i?, j?, k?} al que ci?k?+ck?j? ci?j?´e m´ınimo. 4. Inse i k?en e i?ej?. 5. Se odas as cidades es ˜ao inse idas, PARAR, sen˜ao ol a a 2. aIn ´oluc o con exo do conjun o A– o ma con exa que con ´em no seu in e io ou on- ei a odos os elemen os do conjun o A Slide 78 TSP – Fus˜ao mais p ´oxima 1. Inicializa¸c˜ao – Come¸ca com nci cui os pa ciais cons i u´ıdos, cada um, po uma cidade isozinha; 2. Selec¸c˜ao – Encon a as cidades iek(ipe encendo a um ci cui o pa cial Cekpe encendo a um ou o ci cui o C0) al que cik ´e minimizado. 3. Inse ¸c˜ao – Sejam i,j,kelcidades ais que a a es a {i, j} ∈ C, {k, l} ∈ C0ecik +cjl −cij −ckl ´e minimizado. Inse i {i, k}} e{j, l}} e e i a {i, j}} e{k, l}}. 4. Se exis i um ´unico ci cui o, PARAR, sen˜ao ol a a 2. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 40 Slide 79 O p oblema da ´a o e supo e de comp imen o m´ınimo •De ini¸c˜oes (pa a g a os n˜ao o ien ados): –uma ´a o e ´e um g a o conexo que n˜ao con ´em ciclos; –um g a o diz-se conexo se exis i uma cadeia (sequˆencia de amos) ligando qualque pa de n´os en e si. •P oblema: De e mina a ´a o e de comp imen o o al m´ınimo que supo e odos os n´os da ede (i.e. que ligue odos os n´os da ede) (“minimal spanning ee”). •Aplica¸c˜oes: – edes de comunica¸c˜oes; – edes de dis ibui¸c˜ao de ene gia. Slide 80 Algo i mo de P im (guloso – “G eedy P ocedu e”) 1. Selecciona um n´o a bi a iamen e, e lig´a-lo ao n´o mais p ´oximo; 2. Iden i ica o n´o ainda isolado que es eja mais p ´oximo de um n´o j´a ligado, e liga es es dois n´os; 3. Se odos os n´os es i e em ligados en e si, PARAR, sen˜ao ol a a 2. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia: modelos e algo i mos 47 Slide 93 Bibliog a ia •Goldba g, Ma co Cesa e Luna, Hen ique Pacca (2000). O imiza¸c˜ao Combina ´o ia e P og ama¸c˜ao Linea , Edi o a CAMPUS. •Golden, B.L. and S ewa , W.R. (1985). Empi ical analysis o heu is ics in The T a eling Salesman P oblem, John Wiley & Sons, Inc.. •Sousa, Jo ge Pinho (1991). Apon amen os de Op imiza¸c˜ao Combina ´o ia. Jos´e Fe nando Oli ei a, Ma ia An ´onia Ca a illa – FEUP