Diferentes abordagens para uma metodologia de seleção de peças numa empresa metalomecânica: um estudo comparativo

Jo˜ao Paulo de Castro Rebelo Diferentes abordagens para uma metodologia de sele¸c˜ao de pe¸cas numa empresa metalomecˆanica: um estudo comparativo. Departamento de Matem´atica Faculdade de Ciˆencias da Universidade do Porto setembro de 2012 Jo˜ao Paulo de Castro Rebelo Diferentes abordagens para uma metodologia de sele¸c˜ao de pe¸cas numa empresa metalomecˆanica: um estudo comparativo. Tese submetida `a Faculdade de Ciˆencias da Universidade do Porto para obten¸c˜ao do grau de Mestre em Engenharia Matem´atica Orientadores: Prof.aMaria do Carmo Guedes Prof. Jo˜ao Nuno Tavares Departamento de Matem´atica Faculdade de Ciˆencias da Universidade do Porto setembro de 2012 Agradecimentos Este projeto s´o foi poss´ıvel gra¸cas `a colabora¸c˜ao inestim´avel de algumas pessoas, a quem gostaria de agradecer de seguida. Come¸co por agradecer `a Professora Maria do Carmo Guedes por me ter proposto este projeto e me ter indicado `a empresa, mas tamb´em pela h´abil orienta¸c˜ao, revis˜ao cr´ıtica do texto e confian¸ca que sempre me concedeu durante o est´agio. Ao Professor Jo˜ao Nuno Tavares pela revis˜ao do texto mas tamb´em pela disponibilidade e acessibilidade demonstrada durante todo o curso. Ao Engenheiro Jorge Oliveira pela sua grande disponibilidade, exigˆencia de m´etodo e rigor, orienta¸c˜ao e paciˆencia que sempre demonstrou durante todo o meu est´agio. ` A F.Ramada e a todos os colaboradores com quem trabalhei, em especial ao Alexandre Fonseca, ao Anthony Valente, ao Delfim Rodrigues, ao Jos´e Ant´onio, ao Jos´e Morais e ao Tiago Tavares por me terem integrado na equipa sempre com grande disponibilidade para me ajudar e com boa disposi¸c˜ao. Aos meus colegas de curso pela amizade, partilha de experiˆencias e esp´ırito de entreajuda durante todo o percurso. Aos meus pais por todos os sacrif´ıcios suportados para me possibilitarem a realiza¸c˜ao deste curso. ` A Mariana por tudo, sempre. iii iv Resumo Atualmente, as empresas necessitam de otimizar todas as ´areas de neg´ocio em que est˜ao envolvidas, de modo a n˜ao perder competitividade. A F.Ramada, empresa do sector metal´urgico, n˜ao foge `a regra. Umas das suas ´areas de neg´ocio baseia-se na venda de paralelep´ıpedos retangulares regulares em a¸co com medidas definidas pelos clientes, essencialmente para a ind´ustria de moldes. Inicialmente a empresa compra paralelep´ıpedos de dimens˜oes grandes e corta-os para obter as encomendas dos clientes. As sobras s˜ao recolocadas em stock com o intuito de serem utilizadas no futuro para satisfazer outras encomendas. Os crit´erios de escolha da pe¸ca do stock, para satisfazer os pedidos dos clientes, s˜ao o problema sobre o qual incide este estudo. Para se encontrar uma solu¸c˜ao que fosse de encontro `as necessidades da empresa aprofundei conhecimentos na ´area do corte tridimensional. Depois da an´alise de dois algoritmos diferentes, com base em Programa¸c˜ao Dinˆamica e em Pesquisa em ´ Arvore, rapidamente me apercebi que a literatura existente sobre o problema n˜ao se adequava ao problema em estudo. Foram criadas trˆes metodologias com crit´erios diferentes de escolha das pe¸cas. A primeira metodologia baseia-se no n´umero de medidas iguais da encomenda com as pe¸cas em stock, enquanto a segunda tem como principal crit´erio o peso das pe¸cas consideradas. A terceira metodologia usa o potencial de venda de uma pe¸ca que ´e definido atrav´es do hist´orico das encomendas. Em paralelo com as metodologias propostas foi tamb´em testada a estrat´egia atual da empresa em que utiliza para cada pe¸ca encomendada uma pe¸ca do stock, ou seja, n˜ao agrupa pe¸cas iguais da mesma encomenda numa ´unica pe¸ca do stock. De seguida foram efetuadas simula¸c˜oes com um grande conjunto de encomendas, em condi¸c˜oes iguais, para comparar as diferentes metodologias e analisar a influˆencia da estrat´egia da empresa a longo prazo. Pelos resultados obtidos s˜ao postos em causa os crit´erios atuais de sele¸c˜ao de pe¸cas em prol da metodologia que valoriza as pe¸cas com o potencial de venda baseado no hist´orico das encomendas. Questiona-se, tamb´em, a estrat´egia da empresa em rela¸c˜ao ao n˜ao agrupamento de pe¸cas. Palavras-chave: Pesquisa em ´ Arvore; Problema de corte tridimensional; Programa¸c˜ao Dinˆamica; Sele¸c˜ao de pe¸cas de a¸co tridimensionais. v vi Abstract Nowadays, every company needs to optimize the business areas in which they are involved, in order not to lose their competitive edge. F. Ramada, a metallurgic company, is no exception. One of its business areas is based on the selling of rectangular steel parallelepipeds with the clients demanded measures, mostly for the mold industry. Initially, the company buys big sized parallelepipeds and cuts them in order to get the clients requests. The scrap pieces are placed in stock for future orders. The selection criteria for those stocked pieces, in order to satisfy the clients needs, are the subject of this study. In order to find a solution that would meet the company’s needs, I went through a comprehensive study about the three-dimensional cut. After the analysis of two different algorithms, based on Dynamic Programming and in Search Tree, I soon found out there were no relevant papers addressing the needs of this study. Three methodologies were created with different piece selection criteria. The first one is based on the number of equal measures of the order with the existing stocked scrap pieces, while the second contemplates the weight of those pieces as the main criteria. The third methodology uses the selling capability of a given piece which is calculated analyzing the order history. Along with these methods, the company strategy, which consists in using a restocked piece for each ordered piece, that is, it does not put together same-dimension parallelepipeds of one order on a single stocked piece. Afterwards, simulations were conducted with a large set of orders, with the same conditions, to compare the different methodologies and analyze the influence of the company strategy on a long-term basis. Analysing the obtained results, the current piece selection criteria used by the company is jeopardized towards the third method created, the one that uses the selling capability of a given piece which is calculated analyzing the order history. Also, the company strategy of not grouping up the scrap pieces is put into question. Key-words: Search Tree; Three-dimensional cutting problem; Dynamic programming; Selection of steel pieces. vii xiv Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ao A F. Ramada ´e uma empresa retalhista de a¸co, fundada em 1935, que desenvolve a sua atividade em cinco ´areas diferentes: A¸cos Especiais, Arco de A¸co Laminado a Frio, A¸co Estirado a Frio, Sistemas de Armazenagem e Ferramentas para Madeira. Cotada em bolsa desde Julho de 2008, tem sede em Ovar e filiais em Braga, Porto, Marinha Grande, ´ Agueda e Lisboa. Desde sempre houve necessidade de gerir o stock das pe¸cas de a¸co resultantes dos cortes efetuados. Antes do uso dos computadores, a escolha da pe¸ca do stock para satisfazer uma encomenda era completamente manual, ou seja, o oper´ario respons´avel escolhia a pe¸ca olhando para as que havia no armaz´em, o que evidentemente era bastante aleat´orio e resultava numa escolha que nem sempre era a mais adequada. Com a introdu¸c˜ao dos computadores na gest˜ao do stock, a empresa desenvolveu internamente um algoritmo que escolhia a pe¸ca do stock em fun¸c˜ao da pe¸ca encomendada e os cortes a efetuar. O programa foi sofrendo v´arias altera¸c˜oes ao longo do tempo, mas sempre sem haver a certeza de os crit´erios utilizados conduzirem aos objetivos da empresa. Neste trabalho pretende-se perceber de que modo diferentes crit´erios de escolha de pe¸cas afetam os diferentes indicadores de an´alise a longo prazo, tais como o n´umero de pe¸cas compradas, o n´umero de cortes efetuados, a ´area de corte respetiva e a quantidade de a¸co do stock final. No segundo cap´ıtulo ´e exposto o problema deste estudo, onde al´em da descri¸c˜ao do processo de encomenda, do tipo de informa¸c˜ao sobre pe¸cas atualmente em stock e dos diferentes posicionamentos e sequˆencias de corte das pe¸cas, ´e tamb´em analisado o hist´orico de encomendas e, por fim, ´e descrito o m´etodo utilizado atualmente para a sele¸c˜ao de pe¸cas na empresa. No cap´ıtulo 3, ´e feita uma revis˜ao bibliogr´afica com o resumo de um artigo (Hifi, 2004b) onde s˜ao comparados dois m´etodos para o problema tridimensional do corte. Depois de uma breve descri¸c˜ao de cada um, s˜ao apresentados os resultados da compara¸c˜ao. Por fim ´e feita uma an´alise onde se explica a dificuldade em adaptar a abordagem dos algoritmos te´oricos ao problema real em estudo. 1 2CAP´ ITULO 1. INTRODUC¸ ˜ AO No quarto cap´ıtulo s˜ao propostos trˆes m´etodos diferentes de sele¸c˜ao de pe¸cas. ´ E tamb´em definido um parˆametro para analisar a estrat´egia da empresa em rela¸c˜ao ao agrupamento de pe¸cas da mesma encomenda. No cap´ıtulo 5 ´e descrita a aplica¸c˜ao desenvolvida com intuito de simular os diferentes m´etodos propostos de sele¸c˜ao de pe¸cas. Descrevem-se tamb´em as simplifica¸c˜oes realizadas e os dados iniciais simulados. Por fim ´e feita a an´alise de resultados individual e comparativa dos trˆes m´etodos propostos. Por ´ultimo, no sexto cap´ıtulo, ser˜ao apresentadas as conclus˜oes do trabalho. Cap´ıtulo 2 Apresenta¸c˜ao do Problema A empresa vende diferentes tipos de a¸co em diferentes formas. Existem dois tipos de formas distintas: pe¸cas standard e pe¸cas com medidas irregulares (MI). O primeiro tipo, standard, refere-se `as pe¸cas de cat´alogo com perfis pr´e-definidos e s˜ao normalmente vendidas ao peso ou ao comprimento. O segundo tipo, MI, refere-se `as pe¸cas com a forma de paralelep´ıpedos retangulares regulares sem medidas pr´e-definidas. ´ E sobre as pe¸cas MI que incide este estudo. Este tipo de pe¸cas s˜ao essencialmente vendidas para moldes. Um cliente pede uma pe¸ca com um determinado comprimento, largura e espessura. De seguida a empresa verifica se existe em stock uma pe¸ca com essas dimens˜oes. Se sim, enviaa ao cliente, sen˜ao escolhe uma do stock e faz os cortes necess´arios para obter as medidas pedidas pelo cliente. As sobras obtidas a partir dos cortes efetuados s˜ao registadas e voltam a ser colocadas no stock, exceto se se encontrarem dentro de determinadas medidas sendo ent˜ao consideradas sucata. A sucata ´e posteriormente vendida ao peso, a um pre¸co bastante inferior ao de venda do a¸co ao cliente. Este neg´ocio, pela experiˆencia da empresa, tende a acumular um n´umero crescente de pe¸cas em stock cuja gest˜ao envolve milhares de pe¸cas guardadas no armaz´em. O problema assenta na escolha das pe¸cas do tipo MI. Qual a pe¸ca do stock a escolher e o corte a efetuar para satisfazer determinada encomenda de modo a otimizar a gest˜ao de stock, s˜ao quest˜oes em aberto. 2.1 Processo de Encomenda O departamento de vendas recebe o pedido de encomenda do cliente e regista-o no sistema inform´atico. Automaticamente ´e impressa a Nota de Execu¸c˜ao Interna (NEI) no gabinete do armaz´em. A NEI apresenta v´arias informa¸c˜oes sobre a encomenda, tais como o n´umero da encomenda, n´umero de cliente, qualidade do a¸co, dimens˜oes da pe¸ca, n´umero de pe¸cas, peso te´orico, entre outros. A empresa possui um algoritmo, RamCorte, que escolhe automaticamente uma pe¸ca do 3 4CAP´ ITULO 2. APRESENTAC¸ ˜ AO DO PROBLEMA stock que consegue satisfazer a encomenda, e determina o respetivo corte a efetuar. Esta associa¸c˜ao s´o acontece nos casos em que o perfil das pe¸cas encomendadas ´e MI. No caso de n˜ao se encontrar a pe¸ca no armaz´em, existe a possibilidade de desfazer a associa¸c˜ao autom´atica e efetuar uma associa¸c˜ao manual atrav´es da lista de pe¸cas dispon´ıveis no sistema inform´atico. Depois de escolhida a pe¸ca em stock para satisfazer a encomenda, ´e impressa uma folha com o nome de Execu¸c˜ao de Cortes (EC) que identifica a pe¸ca associada `a encomenda e os cortes a efetuar pelo funcion´ario que opera o serrote. No caso em que as pe¸cas encomendadas tˆem perfis com medidas standard n˜ao existe associa¸c˜ao de pe¸cas, pois no sistema apenas existe o registo do peso em stock deste tipo de pe¸cas. Depois de efetuado o corte, todas as pe¸cas resultantes s˜ao pesadas. As balan¸cas registam no sistema inform´atico o peso real do a¸co e dados sobre os cortes efetuados. Esta informa¸c˜ao ´e usada para definir o pre¸co a cobrar ao cliente. Depois da pesagem as pe¸cas s˜ao transportadas para o parque de expedi¸c˜ao, e a partir daqui a distribui¸c˜ao ´e feita pelos cami˜oes de transporte que v˜ao entregar as encomendas aos clientes. Na imagem seguinte est´a esquematizado todo o processo de encomenda descrito. Figura 2.1: Processo de encomenda 2.2. INFORMAC¸ ˜ AO SOBRE PEC¸ AS EM STOCK 5 2.2 Informa¸c˜ao sobre pe¸cas em stock Todas as pe¸cas em stock tˆem associada uma quantidade de informa¸c˜ao essencial na log´ıstica e gest˜ao do armaz´em. Assim, h´a em suporte inform´atico, a seguinte informa¸c˜ao: C´odigo da pe¸ca - Este campo ´e um c´odigo com 6 caracteres alfanum´ericos que identifica a pe¸ca. Qualidade de a¸co – Este campo ´e um c´odigo com 4 caracteres num´ericos que identifica a qualidade do a¸co. Perfil da pe¸ca – Todas as pe¸cas Standard tˆem um perfil, as restantes s˜ao consideradas de perfil de Medida Irregular. Os diferentes perfis podem ser: Redondo, Retangular, Oitavado, Sextavado, Anel, Quadrado ou Medida Irregular. Comprimento – Maior medida da pe¸ca. Largura – Segunda maior medida da pe¸ca. Espessura – Menor medida da pe¸ca. Peso – Peso da pe¸ca, calculado atrav´es das suas medidas e da densidade da qualidade do a¸co. Localiza¸c˜ao – Local onde se encontra a pe¸ca, segundo um sistema pr´oprio de coordenadas. Pe¸ca de origem – C´odigo que identifica a pe¸ca-m˜ae. Estado de associa¸c˜ao da pe¸ca – A pe¸ca pode ter dois estados diferentes de associa¸c˜ao. Se estiver “Livre”, significa que se encontra dispon´ıvel para ser associada a uma encomenda. Se estiver “Associada” significa que j´a est´a associada a uma encomenda, mas ainda se encontra no stock `a espera de ser cortada. Estado f´ısico da pe¸ca – A pe¸ca pode ter dois estados f´ısicos diferentes. Se o seu estado f´ısico ´e “Real” significa que existe fisicamente no stock. Se for “Virtual” significa que ainda n˜ao existe fisicamente, ´e uma sobra prevista de um corte de outra pe¸ca, mas vai ser adicionada ao stock. 6CAP´ ITULO 2. APRESENTAC¸ ˜ AO DO PROBLEMA 2.3 Posi¸c˜ao e Sequˆencia de Corte Segundo (Oliveira, 2003) cada associa¸c˜ao de uma pe¸ca encomendada a uma pe¸ca em stock pode originar diferentes sobras dependendo da posi¸c˜ao da pe¸ca encomendada relativamente `a pe¸ca em stock. Para a defini¸c˜ao do posicionamento considere-se a seguinte nota¸c˜ao: Pal1 – Comprimento da pe¸ca em stock Pal2 – Largura da pe¸ca em stock Pal3 – Espessura da pe¸ca em stock Pec1 – Comprimento da encomenda Pec2 – Largura da encomenda Pec3 – Espessura da encomenda Existem at´e seis alternativas diferentes de posicionamento de uma pe¸ca, caso a espessura da pe¸ca em stock seja maior ou igual ao comprimento da pe¸ca encomendada (Pal3≥Pec1). As seis posi¸c˜oes s˜ao as seguintes: Posi¸c˜ao 1: Pal1 ao longo de Pec1, Pal2 ao longo de Pec2 e Pal3 ao longo de Pec3 Posi¸c˜ao 2: Pal1 ao longo de Pec2, Pal2 ao longo de Pec1 e Pal3 ao longo de Pec3 Posi¸c˜ao 3: Pal1 ao longo de Pec1, Pal2 ao longo de Pec3 e Pal3 ao longo de Pec2 Posi¸c˜ao 4: Pal1 ao longo de Pec3, Pal2 ao longo de Pec1 e Pal3 ao longo de Pec2 Posi¸c˜ao 5: Pal1 ao longo de Pec3, Pal2 ao longo de Pec2 e Pal3 ao longo de Pec1 Posi¸c˜ao 6: Pal1 ao longo de Pec2, Pal2 ao longo de Pec3 e Pal3 ao longo de Pec1 Figura 2.2: As seis diferentes formas de posicionamento 2.3. POSIC¸ ˜ AO E SEQUˆ ENCIA DE CORTE 7 Depois de definida a posi¸c˜ao, existe ainda a necessidade de definir a sequˆencia de corte. Na figura 2.3 est˜ao seis imagens que representam as seis diferentes sequˆencias de corte poss´ıveis caso se verifique que Pal3≥Pec1. Por exemplo, na primeira imagem est˜ao representadas as 3 sobras, a azul, que se obt´em depois de aplicar em primeiro lugar o corte pelo comprimento, em segundo lugar o corte pela largura e em terceiro lugar o corte pela espessura. Figura 2.3: As seis diferentes sequˆencias de corte No m´aximo h´a trinta e seis maneiras diferentes de cortar uma pe¸ca (seis posi¸c˜oes vezes seis cortes). 8CAP´ ITULO 2. APRESENTAC¸ ˜ AO DO PROBLEMA 2.4 An´alise de encomendas No estudo que foi realizado neste trabalho, foi considerada apenas uma qualidade de a¸co. Esta ´e uma das qualidades mais vendidas pela empresa e representa uma boa amostra para an´alise do hist´orico das encomendas. Foram tidas em conta todas as encomendas do ano de 2011 e com perfil MI. Cada encomenda tem uma dada quantidade de pe¸cas. Um cliente quando faz uma encomenda indica o n´umero de pe¸cas, com as mesmas dimens˜oes, que quer comprar. Uma an´alise do hist´orico das encomendas levou aos resultados das tabelas de 2.1 a 2.6. Tabela 2.1: N´umero de pe¸cas e peso total das encomendas Encomendas Pe¸cas Peso (Kg) 10.628 17.391 2.824.070 Existe uma grande variedade no peso e nas medidas. A pe¸ca mais leve pesa 80 gramas e a mais pesada 6596 Kg. Da´ı o interesse em dar mais detalhe relativamente ao peso. Tabela 2.2: Distribui¸c˜ao das pe¸cas encomendadas pelo peso Peso (Kg) Pe¸cas ]0;500] 16.101 ]500;1000] 805 ]1000;1500] 233 ]1500;2000] 130 ]2000;2500] 53 ]2500;3000] 25 ]3000;3500] 16 ]3500;4000] 12 ]4000;4500] 3 ]4500;5000] 8 ]5000;5500] 2 ]5500;6000] 2 ]6000;7000] 1 Total 17.391 Atrav´es da tabela 2.2 vemos que a grande maioria das pe¸cas tem um peso inferior a 500Kg, pelo que ´e ´obvio que se deve subdividir o primeiro intervalo destes pesos. 2.4. AN ´ ALISE DE ENCOMENDAS 9 Tabela 2.3: Distribui¸c˜ao das pe¸cas encomendadas pelo peso at´e 500Kg Peso (Kg) Pe¸cas ]0;50] 8.269 ]50;100] 3.404 ]100;150] 1.522 ]150;200] 911 ]200;250] 592 ]250;300] 450 ]300;350] 339 ]350;400] 274 ]400;450] 190 ]450;500] 150 Total 16.101 Pela tabela 2.3 vemos que das pe¸cas at´e 500Kg a maioria tem um peso at´e 50Kg. Com a mesma l´ogica anterior, detalhou-se mais o primeiro intervalo desta tabela. Tabela 2.4: Distribui¸c˜ao das pe¸cas encomendadas pelo peso at´e 50Kg Peso (Kg) Pe¸cas ]0;5] 649 ]5;10] 1.051 ]10;15] 954 ]15;20] 906 ]20;25] 1.338 ]25;30] 759 ]30;35] 746 ]35;40] 590 ]40;45] 632 ]45;50] 644 Total 8.269 Pela tabela 2.4 observamos que as distribui¸c˜ao das pe¸cas com peso at´e 50Kg em classes de 5 em 5Kg ´e relativamente homog´enea. A classe mais representada ´e a das pe¸cas com peso entre os 20 e 25Kg. De seguida analisou-se as pe¸cas encomendadas a partir das trˆes dimens˜oes, comprimento, largura e espessura. 16 CAP´ ITULO 2. APRESENTAC¸ ˜ AO DO PROBLEMA Cap´ıtulo 3 Fundamentos te´oricos Existem v´arios artigos relacionados com o problema de corte tridimesional. O denominador comum ´e a abordagem de problemas de corte e empacotamento (cutting and packing). Por norma s˜ao considerados dois tipos de problemas. O primeiro onde se tenta colocar um conjunto de pequenas pe¸cas apenas numa ´unica grande pe¸ca, e o segundo, onde se tenta colocar um conjunto de pequenas pe¸cas em v´arias grandes pe¸cas. Tentar colocar paralelep´ıpedos retangulares regulares pequenos num conjunto de v´arios paralelep´ıpedos maiores (ou apenas num) de modo a maximizar o volume ocupado, ´e um problema tridimensional de corte (3DC ) e empacotamento NP-dif´ıcil, ou seja, n˜ao ´e solucion´avel em tempo real. Na literatura encontrada, normalmente ´e considerado um conjunto de ntipos de pe¸cas pequenas que v˜ao ser colocadas numa grande palete C. Cada pe¸ca item um comprimento li, largura wi, altura hie lucro ci. A grande palete Ctem um comprimento L, largura We altura H. Seja (x1, . . . , xn) o vetor inteiro n˜ao negativo de dimens˜ao n. Um padr˜ao de corte diz-se execut´avel se for poss´ıvel colocar xic´opias do tipo de pe¸ca i,i= 1, . . . , n, em C, sem sobreposi¸c˜ao. Segundo Hifi (2004a), o problema fica otimizado se:    max Pn i=1 cixi sujeito a (x1, . . . , xn) correspondente a um padr˜ao de corte Quando houver restri¸c˜ao de um n´umero m´aximo de cada tipo de pe¸cas a utilizar, o problema diz-se com restri¸c˜ao. Caso contr´ario diz-se sem restri¸c˜ao. Se o lucro de cada tipo de pe¸ca for igual ao seu volume, o problema diz-se n˜ao pesado, caso contr´ario ´e pesado. Se cada pe¸ca tem uma posi¸c˜ao relativa definida ent˜ao o problema diz-se fixo, caso contr´ario, rodado. Outra caracter´ıstica t´ıpica dos problemas 3DC ´e o corte. As pe¸cas s˜ao obtidas atrav´es de cortes horizontais ou verticais que v˜ao de uma face at´e `a face oposta, definidos como cortes de guilhotina. Hifi (2004b) adaptou dois algoritmos exatos para resolver as vers˜oes fixo e rodado do problema 3DC. O primeiro algoritmo, que usa Programa¸c˜ao Dinˆamica, e o segundo, que usa Pesquisa em ´ Arvore, v˜ao ser sucintamente expostos de seguida. 17 18 CAP´ ITULO 3. FUNDAMENTOS TE ´ ORICOS 3.1 Algoritmo de Programa¸c˜ao Dinˆamica Este algoritmo ´e uma adapta¸c˜ao do m´etodo exato para o problema bidimensional, sem restri¸c˜ao e com corte de guilhotina, de Gilmore and Gomory (1966). ´ E denotado como DPT porque usa t´ecnicas de programa¸c˜ao dinˆamica (dynamic programming techniques). Seja (α, β, γ) uma palete ou subpalete com medidas inteiras α,βeγ, e F(α, β, γ) a utilidade m´axima que resulta de colocar o conjunto de ntipo de pe¸cas (li, wi, hi) de peso ci, i= 1, . . . , n, nesta palete ou subpalete. Esta fun¸c˜ao F(α, β, γ) ´e chamada de fun¸c˜ao mochila e tem as seguintes caracter´ısticas: F(α, β, γ)≥0, F(α, β, γ)≥ {cital que (li, wi, hi)≤(α, β, γ), i = 1, ..., n} F(α1+α2, β, γ)≥F(α1, β, γ) + F(α2, β, γ), F(α, β1+β2, γ)≥F(α, β1, γ) + F(α, β2, γ), F(α, β, γ1+γ2)≥F(α1, β, γ1) + F(α, β, γ2), O nome fun¸c˜ao mochila (knapsack function) surge normalmente em duas situa¸c˜oes. Se ´e necess´ario encher uma por¸c˜ao de volume com diferentes objetos, cada um com o seu valor, o problema da mochila ´e encontrar o enchimento poss´ıvel mais valioso. Equivalentemente, se uma por¸c˜ao de volume tem de ser cortada em pe¸cas de diferentes valores, o problema da mochila ´e encontrar a maneira mais valiosa de se efetuar os cortes (Gilmore and Gomory, 1966). O algoritmo usa o princ´ıpio de otimalidade de Bellman, ou de programa¸c˜ao dinˆamica. Um conjunto de decis˜oes tem a propriedade de qualquer que seja a primeira decis˜ao, as restantes decis˜oes devem ser ´otimas relativamente ao resultado associado `a primeira decis˜ao. Ou seja, a decis˜ao ´otima depende s´o do estado onde se est´a e n˜ao como ali se chegou. O DPT considera o conjunto de sub-paletes {(1, β, γ),(2, β, γ), ..., (α2, β, γ),(α2+ 1, β, γ) , ..., (L, β, γ)}, para β= 1, ..., W eγ= 1, ..., H. Para cada sub-palete, ´e encontrada a melhor solu¸c˜ao usando a melhor solu¸c˜ao encontrada at´e ao momento. De modo a melhorar o desempenho do algoritmo consideram-se apenas um n´umero finito de cortes. Segundo Morabito and Arenales (1994), que cita Herz num artigo de 1972, n˜ao existe perda de otimalidade se os conjuntos de corte forem combina¸c˜oes lineares, inteiras n˜ao negativas, das dimens˜oes dos tipos de pe¸cas. Para uma dada palete ou subpalete (α, β, γ), os cortes das 3 dimens˜oes podem ser reduzidos a 3 conjuntos definidos: •pelo comprimento: X(α,β,γ)={x|x=Pn i=1 liti≤α,ti´e um inteiro n˜ao negativo, (wi, hi)≤(β, γ)} 3.2. ALGORITMO DE PESQUISA EM ´ ARVORE 19 •pela largura: Y(α,β,γ)={y|y=Pn i=1 witi≤β,ti´e um inteiro n˜ao negativo, (li, hi)≤(α, γ)} •pela altura: Z(α,β,γ)={z|z=Pn i=1 hiti≤γ,ti´e um inteiro n˜ao negativo, (li, wi)≤(α, β)} Os conjuntos X,YeZs˜ao designados por conjuntos normalizados. Existem trˆes estrat´egias diferentes que podem ser utilizadas pelo DPT de modo a ser aplicado ao caso geral de v´arias grandes paletes. A primeira estrat´egia consiste em tratar as grandes paletes uma a uma e tratar o problema como a vers˜ao de apenas uma grande palete. A segunda estrat´egia ´e considerar uma grande palete com dimens˜oes definidas pelo m´aximo de cada uma das trˆes dimens˜oes de todas as grandes paletes, e aplicar o algoritmo a esta grande palete fict´ıcia calculando todos os valores da fun¸c˜ao mochila para qualquer sub-palete. A terceira estrat´egia, que ´e a utilizada no artigo, consiste em sobrepor algumas sub-paletes que podem ser tratadas simultaneamente e ignorar as regi˜oes que n˜ao s˜ao afetas a nenhuma sub-palete, evitando assim c´alculos desnecess´arios. A imagem seguinte representa a estrat´egia utilizada. Figura 3.1: Representa¸c˜ao da estrat´egia utilizada com duas grandes paletes a 2 dimens˜oes 3.2 Algoritmo de Pesquisa em ´ Arvore O algoritmo Search Graph Technique (SGT) resolve apenas o problema com uma grande palete atrav´es de uma estrat´egia de procura em ´arvore. ´ E uma adapta¸c˜ao de Hifi and Zissimopoulos (1996), inicialmente proposto para duas dimens˜oes. O SGT gera todos os padr˜oes de corte poss´ıveis criando uma ´arvore onde as ramifica¸c˜oes representam cortes e os 20 CAP´ ITULO 3. FUNDAMENTOS TE ´ ORICOS n´os representam estados das paletes ou subpaletes. O primeiro n´o corresponde `a grande palete inicial e os n´os finais coincidem com os tipos de pe¸cas, tal como est´a representado na figura seguinte. Figura 3.2: ´ Arvore de Procura Para cada n´o calcula-se o limite superior e inferior, de modo a otimizar a pesquisa em ´arvore. Para o c´alculo do limite inferior verifica-se qual ´e o tipo de pe¸ca que mais valoriza o espa¸co de uma palete ou subpalete normalizada, da seguinte forma: k= arg max1≤i≤nα0 li×β0 wi×γ0 hi×cital que (li, wi, hi)≥(α0, β0, γ0) O limite superior ´e obtido resolvendo o problema da fun¸c˜ao mochila para uma grande palete, representado por: 3.2. ALGORITMO DE PESQUISA EM ´ ARVORE 21                      U(α0,β0,γ0)= max Pi∈S(α0,β0,γ0)cixi sujeito a Pi∈S(α0,β0,γ0)(liwihi)xi≤α0β0γ0 xi≤α0 li×β0 wi×γ0 hi xi´e um inteiro n˜ao negativo, i= 1, ..., n onde S(α0,β0,γ0)representa o conjunto do tipo de pe¸cas colocadas na palete normalizada (α0, β0, γ0) e xiindica n´umero de vezes que o i-´esimo tipo de pe¸ca ´e colocado em (α0, β0, γ0). De modo a diminuir o tempo de computa¸c˜ao, s˜ao relaxadas as restri¸c˜oes de integralidade das vari´aveis, resultando assim num limite superior de qualidade inferior mas que ´e rapidamente resolvido atrav´es de uma pesquisa “gulosa” (greedy). Outro modo de diminuir o tempo de computa¸c˜ao ´e reduzir o n´umero de poss´ıveis cortes. Primeiro usam-se apenas os conjuntos de cortes normalizados X,YeZj´a descritos anteriormente. Depois limita-se o intervalo destes conjuntos a metade, Xα/2 T,Yβ/2 TeZγ/2 T, assim evita-se duplica¸c˜ao de subpaletes, evitando o efeito de simetria, cortando apenas at´e metade da dimens˜ao em quest˜ao, sem se falhar nenhum padr˜ao de corte, segundo Christofides and Whitlock (1977). Seja (α0, β0, γ0) uma palete ou subpalete normalizada, e (ρ0, β0, γ0)e(θ0, β0, γ0) as subpaletes resultantes dum corte em α0, no eixo dos x’s. Seja Bo valor da melhor solu¸c˜ao atual. Seja LT,UTeOT, respetivamente, o limite inferior, limite superior e a solu¸c˜ao ´otima da sub-palete normalizada. O algoritmo tem cinco regras de ramifica¸c˜ao: 1. O limite inferior Lα0,β0,γ0para uma dada sub-palete ´e atualizado se e s´o se a soma de Lρ0,β0,γ0+Lθ0,β0,γ0´e maior do que o valor do limite inferior atual Lα0,β0,γ0. 2. Se os valores da solu¸c˜ao ´otima para as pr´oximas duas sub-paletes j´a foram calculados, ent˜ao p´ara-se a ramifica¸c˜ao. O limite inferior deste n´o interno ´e substitu´ıdo por max Lα0,β0,γ0, Oρ0,β0,γ0+Oθ0,β0,γ0. 3. Se B−min Uρ0,β0,γ0, Oρ0,β0,γ0≤Uθ0,β0,γ0, ent˜ao n˜ao ´e necess´ario investigar para a sub-palete (ρ0, β0, γ0), pois n˜ao ´e poss´ıvel melhorar a solu¸c˜ao na dire¸c˜ao deste n´o. 4. Se min Uρ0,β0,γ0, Oρ0,β0,γ0+ min Uθ0,β0,γ0, Oθ0,β0,γ0≥Lα0,β0,γ0ent˜ao o corte em x pode ser negligenciado sem perda de otimalidade. Neste caso, o valor da melhor solu¸c˜ao de (ρ0, β0, γ0) e (θ0, β0, γ0) n˜ao pode ser melhorado. 5. A seguir a cada corte, examina-se o n´o que realiza o min Lρ0,β0,γ0/Uρ0,β0,γ0, Lθ0,β0,γ0/Uθ0,β0,γ0. 22 CAP´ ITULO 3. FUNDAMENTOS TE ´ ORICOS Seja S(α0,β0,γ0)o conjunto de pe¸cas que cabem dentro da sub-palete (α0, β0, γ0). O algoritmo tem quatro modos para determinar o valor ´otimo de uma subpalete. 1. Se a subpalete normalizada (α0, β0, γ0) coincide com uma pe¸ca do conjunto S(α0,β0,γ0), ent˜ao a solu¸c˜ao obtida ´e uma solu¸c˜ao ´otima do n´o atual. 2. Se o valor da melhor solu¸c˜ao homog´enea coincide com o volume da subpalete atual (α0, β0, γ0), ent˜ao o valor ´e uma solu¸c˜ao ´otima para o n´o atual. 3. Se a cardinalidade do conjunto S(α0,β0,γ0)´e menor ou igual a um, ent˜ao a solu¸c˜ao homog´enea obtida representa uma solu¸c˜ao ´otima para o n´o atual. 4. Se (lp, wq, hr)>1 2(α0, β0, γ0) ent˜ao a melhor solu¸c˜ao homog´enea ´e uma solu¸c˜ao ´otima para (α0, β0, γ0), onde lp= min1≤i≤|S|{li},wq= min1≤i≤|S|{wi},hr= min1≤i≤|S|{hi}. Todos os modos s˜ao v´alidos para o problema n˜ao pesado, enquanto para o problema pesado s˜ao apenas v´alidos os modos 3 e 4. Considera-se um n´o aberto, depois de gerado, se n˜ao estiver expandido, caso contr´ario considera-se fechado. A pesquisa chega ao fim quando o n´o inicial est´a fechado. A seguir est˜ao descritos os principais passos do algoritmo, considerando uma grande palete como o n´o inicial. Passo inicial: Seja INIT = (α, β, γ) o n´o inicial aberto. Seja L(α,β,γ)o valor da melhor solu¸c˜ao homog´enea e NOD =INIT. Gerar os 3 conjuntos de pontos X(α,β,γ),Y(α,β,γ)eZ(α,β,γ) Passo principal: Enquanto INIT n˜ao est´a fechado: 1. Gerar os n´os sucessores do NOD at´e que uma das estrat´egias seja satisfeita. Para cada n´o gerado (α, β, γ), considerar a sua sub-palete normalizada e calcular os limites inferior e superior para evitar ramifica¸c˜oes desnecess´arias. Atualizar o limite inferior at´e que o n´o antecessor seja alcan¸cado. 2. Usar a estrat´egia 5 para escolher o caminho e fechar os n´os que n˜ao tˆem sucessores ou cujos sucessores est˜ao fechados. 3. Selecionar um n´o, no caminho escolhido, para atualizar o n´o NOD atual. 3.3. RESULTADOS CONHECIDOS 23 3.3 Resultados conhecidos No artigo de Hifi (2004b) s˜ao testados os dois algoritmos com 64 casos diferentes. Todos os casos tˆem apenas uma grande palete e v´arios tipos de pe¸cas diferentes. As dimens˜oes da grande palete variam de caso para caso, tal como o n´umero de tipos de pe¸cas. Os primeiros 32 s˜ao n˜ao pesados enquanto os restantes s˜ao pesados. Todos os casos foram testados de duas maneiras diferentes, casos fixo e rodado. Nas v´arias compara¸c˜oes efetuadas entre os dois algoritmos, o SGT foi em m´edia quase cinco vezes mais r´apido do que o DPT. O SGT tem melhor desempenho com problemas n˜ao pesados e tamb´em com problemas fixos. Em ambos os algoritmos o tempo computacional aumenta com o aumento das dimens˜oes da grande palete e tamb´em com o aumento do n´umero do tipo de pe¸cas. Mesmo com pior desempenho o DPT mantem-se um algoritmo ´util, pois resolve o problema de v´arias grandes paletes enquanto o SGT est´a limitado ao caso de apenas uma grande palete. 3.4 Situa¸c˜ao concreta Descrevem-se de seguida os v´arios problemas que existem ao associar v´arias encomendas a uma ´unica pe¸ca em stock. Em ambos os algoritmos existe a premissa de que as sobras n˜ao s˜ao ´uteis no futuro, pois o seu objetivo principal ´e maximizar o volume ocupado da(s) grande(s) palete(s), o que ´e o mesmo que minimizar o volume desocupado, ou seja, as sobras. A utiliza¸c˜ao de sub-paletes normalizadas ´e um reflexo da desvaloriza¸c˜ao das sobras. Neste estudo essa premissa n˜ao se verifica, pois as sobras podem voltar ao stock, ou seja, podem ser consideradas grandes paletes. Portanto, interessa saber o n´umero de sobras tal como as respetivas formas. A empresa tem a necessidade de entregar rapidamente as encomendas aos clientes. As quest˜oes que se p˜oem de imediato s˜ao: 1. Quantas pe¸cas encomendadas se associam por pe¸ca do stock? 2. E se num determinado dia s´o houver apenas uma encomenda de uma determinada qualidade de a¸co? Espera-se que cheguem mais encomendas? E se a encomenda for urgente? 3. E se num dia houver um n´umero elevado de encomendas? Colocam-se todas numa ´unica pe¸ca? Algumas qualidades de a¸co tˆem em stock v´arias centenas de pe¸cas. Quais as pe¸cas em stock a considerar? Com que crit´erio? Estas quest˜oes indicam a dificuldade na pr´atica em definir tanto as grandes paletes como o grupo do tipo de pe¸cas. 24 CAP´ ITULO 3. FUNDAMENTOS TE ´ ORICOS Existe tamb´em um problema de interpreta¸c˜ao das instru¸c˜oes e de log´ıstica para o serroteiro. Quantas mais pe¸cas diferentes se obtiverem a partir de uma ´unica pe¸ca, maior ´e a complexidade dos cortes a efetuar. Cada corte gera uma nova pe¸ca que ´e preciso identificar. Sendo a maioria das encomendas de dimens˜oes diferentes, implica que os cortes tamb´em s˜ao diferentes em cada pe¸ca nova. Esta situa¸c˜ao iria implicar uma dificuldade enorme na interpreta¸c˜ao das instru¸c˜oes. Um exemplo simples para se perceber melhor a situa¸c˜ao ser´a o de obter dez pe¸cas diferentes a partir de apenas uma. Se por cada pe¸ca encomendada se efetuarem 3 cortes, significa que ´e necess´ario identificar 4 pe¸cas diferentes: a pe¸ca encomendada mais as 3 sobras resultantes. Logo seria necess´ario identificar 40 pe¸cas diferentes e efetuar 30 cortes diferentes a partir da mesma pe¸ca. Seria um problema ´obvio, n˜ao s´o para interpretar instru¸c˜oes, como para a log´ıstica dos cortes. Esta situa¸c˜ao verifica-se essencialmente pela origem da teoria do corte tridimensional. O problema inicial era escolher as pe¸cas que iriam ocupar um determinado volume pr´e-definido e a quest˜ao reside essencialmente neste ponto. A empresa quer saber qual a pe¸ca a escolher entre milhares em stock, com variad´ıssimas dimens˜oes, para satisfazer uma determinada encomenda, enquanto a teoria oferece o contr´ario, escolhe a partir de um conjunto algumas encomendas para serem obtidas a partir de uma grande pe¸ca pr´e-definida. Todos os pontos descritos demonstram que a teoria existente n˜ao ´e facilmente adaptada ao problema em estudo. Cap´ıtulo 4 Metodologias propostas Com o intuito de perceber a influˆencia nos resultados finais de diferentes crit´erios, foram criadas trˆes abordagens diferentes para a sele¸c˜ao de pe¸cas em stock e a respetiva ordem de corte. Cada m´etodo tem um crit´erio distinto para a escolha da pe¸ca do stock de modo a satisfazer a encomenda e depois para a escolha da sequˆencia de corte a efetuar. A escolha da pe¸ca n˜ao depende da escolha do corte, ou seja, primeiro escolhe-se a pe¸ca e s´o depois ´e escolhido o corte a efetuar. S˜ao verificadas todas as poss´ıveis posi¸c˜oes de obter a encomenda pretendida atrav´es da pe¸ca escolhida. Para cada posi¸c˜ao s˜ao calculadas todas as sequˆencias de corte poss´ıveis. Cada sequˆencia de corte, numa determinada posi¸c˜ao, origina um n´umero de sobras e uma ´area de corte. ´ E a partir destes valores que ´e escolhida a posi¸c˜ao e respetiva sequˆencia. Os crit´erios de escolha da pe¸ca e da sequˆencia de corte est˜ao ordenados por prioridade, ou seja, s´o se usa o segundo crit´erio se existir mais do que uma pe¸ca ou sequˆencia com o mesmo valor do primeiro crit´erio. O mesmo se aplica aos crit´erios seguintes. Os m´etodos simulam as encomendas de todo o ano de 2011 de uma determinada qualidade de a¸co. O stock inicial ´e o stock real de um dia escolhido aleatoriamente em 2011. Cada m´etodo percorre as encomendas, ordenadas pela data de registo no sistema inform´atico da empresa, e simula a escolha da pe¸ca e do corte para satisfazer a respetiva encomenda. No subcap´ıtulo 4.1 ´e abordada uma estrat´egia que ´e aplicada nos trˆes m´etodos do mesmo modo, enquanto nos subcap´ıtulos 4.2 a 4.4 s˜ao descritos cada um dos diferentes m´etodos. 25 32 CAP´ ITULO 4. METODOLOGIAS PROPOSTAS Tabela 4.1: Exemplo do c´alculo do potencial de venda de uma pe¸ca Classe Pe¸cas Pe¸cas (%) Comprimento Largura Espessura m´edio m´edia m´edia 350 ×200 ×100 25 50% 323 176 76 400 ×400 ×50 15 30% 382 377 32 450 ×300 ×50 10 20% 426 271 30 Para este exemplo considera-se a seguinte nota¸c˜ao: PotencialPe¸ca - o potencial de venda da pe¸ca a avaliar Inicialmente, PotencialPe¸ca = 0 Comparando a pe¸ca com a primeira classe da tabela 4.1 tem-se: 435≥350 e 280≥200 e 120≥100 ent˜ao: PotencialPe¸ca =PotencialPe¸ca + 50% = 50% Comparando a pe¸ca com a segunda classe da tabela 4.1 tem-se: 435≥400 mas 280<400 Ent˜ao comparamos com a m´edia das dimens˜oes da segunda classe: 435≥382 mas 280<377 Ent˜ao n˜ao se soma nenhum valor ao PotencialPe¸ca. Comparando a pe¸ca com a terceira classe da tabela 4.1 tem-se: 435<450 Ent˜ao compara-se com a m´edia das dimens˜oes da terceira classe: 435≥426 e 280≥271 e 125≥30 ent˜ao: PotencialPe¸ca =PotencialPe¸ca + (20%)/2 = 60% O potencial de venda da pe¸ca, neste exemplo, ´e de 60%. ´ E f´acil de perceber que o valor do potencial de uma pe¸ca pode variar entre 0 e 100%. No primeiro caso, a pe¸ca n˜ao consegue satisfazer as dimens˜oes de nenhuma classe, nem a m´edia das dimens˜oes das pe¸cas que representam qualquer classe. No segundo caso, significa que a pe¸ca consegue satisfazer todas as classes. Tal como no M´etodo Peso tem-se em considera¸c˜ao o n´umero de medidas iguais da encomenda `as pe¸cas em stock. Para os crit´erios de escolha da pe¸ca considera-se a seguinte nota¸c˜ao: Potmin – o menor potencial de todas as pe¸cas do stock que conseguem satisfazer a enco- 4.5. COMPARAC¸ ˜ AO ENTRE METODOLOGIAS 33 menda. parametro2 - o valor do Parˆametro 2 considerado, em percentagem. Crit´erios de escolha da pe¸ca: 1o: Escolhe-se a pe¸ca do intervalo [Potmin;Potmin +Parametro2], com maior n´umero de medidas iguais `a encomenda. 2o: Escolhe-se a pe¸ca com menor potencial de venda. Crit´erios de escolha da sequˆencia de corte: 1o: Escolhe-se a sequˆencia que resulta no menor n´umero de sobras. 2o: Escolhe-se a sequˆencia que resulta no maior valor m´edio do potencial de venda das sobras. 3o: Escolhe-se a sequˆencia que resulta no maior valor da sobra com menor potencial de venda. 4o: Escolhe-se a sequˆencia que resulta na menor ´area de corte. Tal como no M´etodo Peso foram testados os seguintes valores para o Parˆametro 2 : 0%, 2,5%, 5%, 7,5%, 10%, 15% e 20%. Assim sendo, com os oito valores do Parˆametro 1 temos um total de 56 variantes diferentes testadas deste m´etodo. Ou seja, para cada um dos oito valores do Parˆametro 1 testaram-se sete variantes com os diferentes valores do Parˆametro 2indicados. Esta abordagem tem como objetivo escolher a pe¸ca com menor potencial de venda, ou seja, utilizar a pe¸ca com menor probabilidade de sair do stock, de acordo com o hist´orico de encomendas. 4.5 Compara¸c˜ao entre Metodologias Neste subcap´ıtulo ´e feita uma pequena compara¸c˜ao das trˆes diferentes metodologias. Como j´a se viu nos subcap´ıtulos anteriores o M´etodo Medidas Iguais escolhe as pe¸cas com o maior n´umero de medidas iguais da encomenda, o M´etodo Peso escolhe as pe¸cas com menor peso, enquanto o M´etodo Potencial escolhe as pe¸cas com o menor potencial de venda. De seguida apresenta-se um exemplo em que existem apenas trˆes pe¸cas em stock (A,Be C), e se verifica qual a pe¸ca que cada um dos m´etodos escolheria segundo os seus crit´erios. A encomenda ´e de apenas uma pe¸ca com as dimens˜oes 350×180×60. As pe¸cas em stock e a pe¸ca encomendada est˜ao descritas na tabela 4.2, que al´em das dimens˜oes tamb´em apresenta o peso e o potencial de venda. ´ E de notar que o potencial de venda ´e real e foi usado o hist´orico de 2011 com o intervalo de 50mm. 34 CAP´ ITULO 4. METODOLOGIAS PROPOSTAS Tabela 4.2: Exemplo da escolha de pe¸ca Pe¸ca Comprimento Largura Espessura Potencial Peso (Kg) Encomenda 350 180 60 4,7% 29,6 Pe¸ca A 1680 190 70 8,7% 175,0 Pe¸ca B 700 200 100 22,7% 109,6 Pe¸ca C 785 681 350 67,2% 1.465,0 OM´etodo Medidas Iguais iria usar a Pe¸ca C para obter a encomenda, pois ´e a ´unica pe¸ca que tem uma medida igual `a encomenda. A sua espessura ´e igual ao comprimento da pe¸ca encomendada. OM´etodo Peso iria usar a Pe¸ca B para obter a encomenda, pois esta ´e a mais leve das trˆes. OM´etodo Potencial iria usar a Pe¸ca A para obter a encomenda, pois esta ´e a que tem menor potencial de venda das trˆes. Com o objetivo de pˆor em evidˆencia as diferen¸cas entre o valor de uma pe¸ca quando se considera o seu peso ou o seu pontecial de venda construiu-se a tabela 4.3 onde se apresentam as dimens˜oes, peso e potencial de venda de diferentes pe¸cas. Tabela 4.3: Peso e potencial de venda de diferentes pe¸cas Pe¸ca Comprimento Largura Espessura Peso Potencial (mm) (mm) (mm) (Kg) (%) A 453 407 394 569 36,1% B 650 420 266 569 51,1% C 1152 420 150 568 60,9% D 350 250 150 103 19,3% E 335 315 270 223 19,3% F 3500 150 109 448 19,3% G 750 550 200 617 61,0% H 5750 280 195 2.458 48,5% Pela tabela 4.3 observa-se que as pe¸cas A,BeCtˆem peso semelhante mas o seu potencial de venda varia entre 36,1% e 60,9%. As pe¸cas D,EeFtˆem potencial de venda semelhante mas o seu peso varia entre 103Kg e 448Kg. A pe¸ca Hpesa quase o qu´adruplo da pe¸ca G mas tem um potencial de venda inferior em 12,5% tambem `a pe¸ca G. Com estes exemplos ´e poss´ıvel verificar que o potencial de venda, do modo como ´e calculado neste estudo, depende muito mais das dimens˜oes do que do peso da pe¸ca. ´ E por isso que pe¸cas com pesos semelhantes podem ter potenciais de venda muito diferentes e vice-versa. Cap´ıtulo 5 Aplica¸c˜ao A aplica¸c˜ao foi desenvolvida no software Visual Basic 2010 Pereira (2010). O seu interface ´e composto apenas por um ecr˜a simples, onde se pode escolher o m´etodo (Medidas iguais, Peso ou Potencial) e os respetivos parˆametros (parˆametro 1 e 2), tal como mostra a imagem 5.1. Depois de inicializado o m´etodo escolhido com os respetivos parˆametros, a aplica¸c˜ao regista informa¸c˜ao sobre os cortes efetuados, os movimentos das pe¸cas entre o stock e o serrote, os movimentos das pe¸cas entre o serrote e o stock, as pe¸cas geradas para sucata, o stock final e o n´umero de pe¸cas compradas. Figura 5.1: Interface da aplica¸c˜ao 5.1 Problema Tratado Valores Calculados Durante a simula¸c˜ao de cada m´etodo s˜ao calculados treze indicadores diferentes para compara¸c˜ao entre m´etodos. Cortes: 35 36 CAP´ ITULO 5. APLICAC¸ ˜ AO Node cortes – N´umero total de cortes efetuados. ´ Area –´ Area total de todos os cortes efetuados. Sucata: Node pe¸cas – N´umero de pe¸cas geradas para sucata. Peso – Peso total gerado para sucata em Kg. Associa¸c˜ao: Node pe¸cas – N´umero de pe¸cas retiradas do stock para satisfazer as encomendas. (movimento: Stock →Serrote) Peso – Peso total das pe¸cas retiradas do stock para satisfazer as encomendas, em Kg. (movimento: Stock →Serrote) Tempo – Tempo total planeado para transportar as pe¸cas retiradas do stock para satisfazer as encomendas, em horas. (movimento: Stock →Serrote) Reposi¸c˜ao: Node pe¸cas – N´umero de sobras, n˜ao consideradas sucata, colocadas no stock depois de cada corte. (movimento: Serrote →Stock) Peso – Peso total das sobras, n˜ao consideradas sucata, colocadas no stock depois de cada corte, em Kg. (movimento: Serrote →Stock) Tempo – Tempo total planeado para transportar as sobras, n˜ao consideradas sucata, para o stock depois de cada corte, em horas. (movimento: Serrote →Stock) Stock Final: Node pe¸cas – Node pe¸cas do Stock final. Peso – Peso total das pe¸cas do stock final, em Kg. Compras: Node compras – Node pe¸cas compradas. Dimens˜oes das pe¸cas compradas Caso n˜ao exista nenhuma pe¸ca em stock capaz de satisfazer uma determinada encomenda, a aplica¸c˜ao compra uma pe¸ca nova com as dimens˜oes 6000 ×2000 ×600, com o peso de 5.1. PROBLEMA TRATADO 37 56526 Kg. Note-se que esta ´e uma pe¸ca fict´ıcia, que por simplifica¸c˜ao consegue satisfazer todas as encomendas, tal como usado em (Oliveira, 2003). Defini¸c˜ao de sucata Os parˆametros para definir se uma pe¸ca ´e considerada sucata s˜ao os seguintes: Comprimento ≤250 , Largura ≤200 e Espessura ≤200; ou Comprimento ≤499 , Largura ≤150 e Espessura ≤80; ou Peso ≤20 Kg. Tempos de Movimenta¸c˜ao Para se efetuar um corte, com o objetivo de satisfazer uma encomenda, existem v´arios movimentos de transporte de pe¸cas no armaz´em a ter em conta. O primeiro movimento ´e efetuado quando se transporta a pe¸ca, que foi associada para satisfazer a encomenda, do stock para o serrote. A este movimento chama-se “Movimento de Associa¸c˜ao”. Quando a sobra resultante de um corte n˜ao ´e considerada sucata ´e necess´ario coloca-la no stock. Ao movimento que transporta a pe¸ca do serrote at´e ao stock chama-se “Movimento de Reposi¸c˜ao”. Quando a sobra ´e considerada sucata, ´e transportada para um bid˜ao pr´oprio que est´a colocado ao lado do serrote. Por fim, por cada corte efetuado ´e preciso colocar a pe¸ca no serrote na posi¸c˜ao desejada. Este movimento designa-se “Movimento de setup”. Na imagem que se segue est´a representado o fluxo dos diferentes movimentos. Figura 5.2: Fluxo de movimentos das pe¸cas no armaz´em Por norma as pe¸cas que v˜ao para sucata s˜ao pequenas e leves e s˜ao rapidamente colocadas num bid˜ao que se encontra ao lado do serrote, por isso considera-se o ”Movimento de 38 CAP´ ITULO 5. APLICAC¸ ˜ AO Sucata”desprez´avel. Os movimentos de associa¸c˜ao e de reposi¸c˜ao s˜ao considerados semelhantes para efeitos de c´alculo. O valor real dos tempos de movimenta¸c˜ao pode variar bastante por causa da localiza¸c˜ao da pe¸ca no stock, da localiza¸c˜ao do serrote e do peso da pe¸ca. A empresa tem estimativas para estes tempos apenas em fun¸c˜ao do peso da pe¸ca, que est˜ao representados na tabela seguinte. Tabela 5.1: Tempos de movimenta¸c˜ao das pe¸cas no armaz´em em minutos Peso min (Kg) Peso max (Kg) Tempo (min) 0 20 8 20 1.000 12 1.000 10.000 15 10.000 999.999 20 A empresa tamb´em tem estimativas para os tempos de setup mas por uma quest˜ao de simplifica¸c˜ao, em termos de programa¸c˜ao, eles n˜ao foram usados. Definiu-se um tempo m´edio, de 5 minutos, para cada corte efetuado e o tempo de setup total ´e o produto do n´umero de cortes com o tempo m´edio de setup. Custos Neste estudo foram apenas considerados os custos de gest˜ao do armaz´em. N˜ao foi considerada a venda de a¸co ao cliente, nem a venda de sucata. Os custos considerados foram a compra de pe¸cas grandes, a ´area de corte e o tempo de trabalho. Todos os custos s˜ao fict´ıcios, mas a proporcionalidade entre estes ´e capaz de fornecer uma ideia correta do custo final de cada m´etodo. A compra de pe¸cas grandes tem um custo de 0,80e/Kg, o que equivale a 45.220,80e (0,80e/Kg ×56.526Kg) por cada pe¸ca. A ´area de corte tem um custo de 250e/m2. O tempo de trabalho tem um custo de 25e/hora. Este tempo ´e a soma dos tempos de Movimenta¸c˜ao,Reposi¸c˜ao e de Setup. Para o c´alculo do custo total de cada m´etodo usou-se a seguinte nota¸c˜ao: ´ Area -´ Area de corte total. Tempo - Tempo de trabalho total. Compras - N´umero de pe¸cas grandes compradas. 5.2. SIMPLIFICAC¸ ˜ OES 39 Assim, a f´ormula do custo total ´e a seguinte: Custo Total =´ Area×250e/m2+Tempo×25e/hora +Compras×0,80e/Kg ×56.526Kg No total h´a 120 variantes diferentes, cada uma com o seu custo total, que ser´a o principal indicador de compara¸c˜ao entre m´etodos. 5.2 Simplifica¸c˜oes Neste subcap´ıtulo indicam-se as simplifica¸c˜oes efetuadas durante as simula¸c˜oes. Todas as simplifica¸c˜oes foram consideradas como n˜ao influentes no resultado final deste estudo. Tolerˆancia de corte Na pr´atica o corte de uma pe¸ca de a¸co, um material muito denso, n˜ao ´e 100% preciso. N˜ao ´e poss´ıvel garantir as medidas finais exatas de uma pe¸ca ao cliente. Por isso quando uma encomenda ´e feita s˜ao definidas as tolerˆancias de corte, superior e inferior. Estas garantem ao cliente que as medidas da pe¸ca se encontram no intervalo: [Medida – ToleranciaInferior ; Medida+ToleranciaSuperior ]. Por simplifica¸c˜ao neste trabalho n˜ao foram consideradas as tolerˆancias. Limalha As serras dos serrotes tˆem, obviamente, uma espessura, e quando cortam geram limalha. O volume de limalha gerada ´e igual ao produto da espessura da serra pela ´area da sec¸c˜ao de corte. Este detalhe ´e considerado pela empresa, que calcula toda a limalha gerada pelos cortes para se ter em conta na atualiza¸c˜ao do stock, ou seja, quando uma pe¸ca ´e vendida, ´e retirado do stock o seu peso e o peso da limalha gerado pelos cortes. Neste trabalho considera-se a espessura da serra desprez´ıvel, logo n˜ao gera limalha. 5.3 Dados iniciais Stock O stock inicial considerado ´e igual ao stock real da empresa de um dia de 2011 escolhido aleatoriamente. Este stock ´e composto por 672 pe¸cas com um peso total de 700.863 Kg, o que d´a um peso m´edio por pe¸ca de 1.043 Kg. As pe¸cas tˆem um comprimento m´edio de 2.497 mm, largura m´edia de 528 mm e espessura m´edia de 122 mm. A pe¸ca mais leve tem 36,09 Kg e dimens˜oes 964×120×35. A pe¸ca mais pesada tem 8.973,14 Kg e dimens˜oes 4.260 ×1.580 ×170. 40 CAP´ ITULO 5. APLICAC¸ ˜ AO Encomendas Foram simuladas todas as encomendas de 2011, da mesma qualidade de a¸co analisada no sub-cap´ıtulo 2.4, distribu´ıdas pelos 12 meses do modo indicado na tabela seguinte. Tabela 5.2: Encomendas por mˆes em 2011 Mˆes Encomendas Pe¸cas Peso (Kg) 1 883 1.506 211.576 2 832 1.288 261.416 3 1.026 1.605 280.987 4 783 1.263 262.906 5 925 1.410 212.767 6 911 1.690 298.773 7 962 1.721 262.385 8 710 1.085 177.585 9 871 1.340 181.955 10 1.020 1.675 219.947 11 948 1.504 256.367 12 757 1.304 197.406 Total 10.628 17.391 2.824.070 O objetivo de se simular uma quantidade t˜ao grande de encomendas ´e o de perceber o impacto a longo prazo de cada uma das metodologias propostas. 5.4 An´alise de Resultados Este subcap´ıtulo est´a divido em quatro pontos. Nos pr´oximos trˆes pontos analisam-se os resultados de cada um dos m´etodos. No quarto ponto ´e feita a compara¸c˜ao entre os trˆes m´etodos. Um dos interesses da an´alise indiv´ıdual, por m´etodo, ´e perceber a influˆencia da varia¸c˜ao do Parˆametro 1 nos resultados. Nos m´etodos Peso ePotencial h´a tamb´em o interesse de analisar as consequˆencias da varia¸c˜ao do Parˆametro 2. O principal indicador para an´alise ser´a, como j´a foi dito, o Custo total. Todos os outros indicadores ir˜ao servir para se entender as diferen¸cas entre o Custo total de cada m´etodo. Foi calculado tamb´em a Posi¸c˜ao do custo, que ´e a posi¸c˜ao de cada uma das 120 variantes ordenadas pelo Custo total de modo crescente. Este indicador ´e criado com o intuito de ajudar a percecionar a posi¸c˜ao relativa do Custo total de cada uma das variantes. Os 13 indicadores inicialmente calculados para cada uma das 120 variantes est˜ao em anexo. As tabelas apresentadas nos pr´oximos cap´ıtulos s˜ao um resumo das tabelas em anexo. Para este resumo foi feita uma agrega¸c˜ao de alguns indicadores. 5.4. AN ´ ALISE DE RESULTADOS 41 Os tempos de movimenta¸c˜ao (associa¸c˜ao,reposi¸c˜ao esetup) foram agregados num ´unico indicador a que se chamou de Tempo total, que ´e a soma dos trˆes tempos. Os pesos de movimenta¸c˜ao (associa¸c˜ao ereposi¸c˜ao) foram agregados num ´unico indicador a que se chamou de Peso movimentado, que ´e a soma dos dois pesos. O n´umero de pe¸cas movimentadas (associa¸c˜ao ereposi¸c˜ao) foram agregadas num ´unico indicador a que se chamou de Pe¸cas movimentadas, que ´e a soma dos dois movimentos. M´etodo Medidas Iguais Pela tabela 5.3 observa-se que para este m´etodo o aumento do Parˆametro 1 implica o aumento do n´umero de cortes, do n´umero de pe¸cas movimentadas e do respectivo peso, do tempo total e do peso da sucata. Curiosamente, apesar do maior n´umero de cortes efetuados, a ´area de corte mant´emse relativamente constante, sem mostrar nenhum tipo de tendˆencia com a varia¸c˜ao do Parˆametro 1. Tal como a ´area, o peso do stock final e o n´umero de compras tamb´em n˜ao mostram, aparentemente, nenhum tipo de tendˆencia com a varia¸c˜ao do Parˆametro 1. O valor mais baixo do stock final, 914 ton, acontece quando o Parˆametro 1 assume o valor 2, ou seja, quando se agrupam todas as pe¸cas. O mesmo se passa com o n´umero de compras: quando se agrupam todas as pe¸cas, ´e quando se efetuam menos compras. OCusto total mais baixo tamb´em acontece quando o Parˆametro 1 ´e igual a 2, com 4.227 me, enquanto o custo mais elevado ´e quando o Parˆametro 1 ´e igual a 12, com 4.478 me. Tabela 5.3: Resumo dos resultados do M´etodo Medidas Iguais agrupados pelo Parˆametro 1 Parˆametro 1 2 4 6 8 10 12 20 sem ´ Area (m2)6.197 6.196 6.197 6.214 6.188 6.215 6.184 6.238 Nr de cortes 26.706 27.683 28.388 28.738 29.015 29.188 29.786 30.383 Pe¸cas movim. 24.956 31.281 34.010 34.750 35.641 36.371 37.257 38.613 Peso movim. (ton) 39.262 45.183 46.067 47.566 46.776 49.518 47.153 48.274 Tempo total (h) 7.610 9.044 9.655 9.853 10.049 10.236 10.442 10.778 Sucata (ton) 60 72 80 83 86 87 91 98 Stock final (ton) 914 1.015 1.064 948 1.002 1.113 996 932 Compras 55 57 58 56 57 59 57 56 Custo total (me)4.227 4.353 4.413 4.332 4.376 4.478 4.385 4.361 Posi¸c˜ao custo 39 74 87 70 81 97 84 76 M´etodo Peso A tabela 5.4 foi constru´ıda com o objetivo de analisar a influˆencia do Parˆametro 1, apresentando os valores m´edios dos indicadores em an´alise das 56 variantes deste m´etodo para 48 CAP´ ITULO 5. APLICAC¸ ˜ AO Cap´ıtulo 6 Conclus˜oes O objetivo principal deste trabalho ´e perceber como diferentes crit´erios de sele¸c˜ao de pe¸cas e de escolha da sequˆencia de corte implicam diferentes custos finais na gest˜ao de stock. Foram propostas trˆes metodologias com crit´erios diferentes no sentido de se aferir as consequˆencias de cada uma. O segundo objetivo ´e o de calcular o verdadeiro impacto na estrat´egia utilizada pela empresa no que diz respeito ao agrupamento de pe¸cas. A empresa trata as encomendas com mais do que uma pe¸ca igual como se fossem v´arias encomendas de uma s´o pe¸ca. A an´alise do Parˆametro 1 em todos os m´etodos ´e feita com esse intuito, ou seja, perceber at´e que ponto o agrupamento de pe¸cas tem um impacto significativo na gest˜ao do stock. Depois de analisados os resultados dos diferentes m´etodos verifica-se que oM´etodo Potencial apresenta os melhores resultados m´edios, em compara¸c˜ao com as outras duas metodologias, tal como apresenta as 14 variantes com menor custo total. Assim sendo, podemos concluir que ao utilizar um m´etodo de sele¸c˜ao de pe¸cas com crit´erios baseados num potencial de venda das pe¸cas, tal como ´e definido no M´etodo Potencial, existe uma maior probabilidade de se obter um menor custo total na gest˜ao do stock, do que se os crit´erios forem baseados apenas no peso das pe¸cas ou no n´umero de pe¸cas iguais. Esta ´e a primeira conclus˜ao a retirar deste estudo. Em segundo lugar conclui-se, tamb´em, que n˜ao existe nenhuma diferen¸ca significativa na compra de pe¸cas com a varia¸c˜ao do Parˆametro 1. A empresa receia que a estrat´egia de agrupar pe¸cas iguais numa ´unica pe¸ca leva `a utiliza¸c˜ao de pe¸cas maiores que poderiam ser usadas com encomendas de dimens˜oes superiores. Apesar de ser um racioc´ıno que empiricamente faz sentido, o que se verifica ´e que em nenhum m´etodo existe uma diferen¸ca que demonstre claramente esse receio. Posto isto, existe uma clara vantagem em agrupar sempre que poss´ıvel pe¸cas iguais da mesma encomenda pois tanto o tempo como o peso total de movimenta¸c˜ao s˜ao significativamente reduzidos. Assim sendo, existe tamb´em a vantagem na redu¸c˜ao do tempo de entrega das encomendas aos clientes e na energia el´etrica gasta durante as movimenta¸c˜oes, gastos que n˜ao foram contabilizados neste estudo mas que s˜ao minimamente relevantes para a empresa. Por ´ultimo, conclui-se que usar estrat´egias extremas no caso do M´etodo Potencial ou do 49 50 CAP´ ITULO 6. CONCLUS ˜ OES M´etodo Peso, considerando o Parˆametro 2 igual a 0%, resulta em piores resultados do quando se define uma margem a partir do m´ınimo considerado e a partir da´ı escolher a pe¸ca em fun¸c˜ao do n´umero de medidas iguais. A diferen¸ca entre a variante de menor e maior custo total ´e de 586.931e. Esta diferen¸ca de mais de meio milh˜ao de euros, num prazo de um ano e para apenas uma qualidade de a¸co, significa que este problema ´e bastante significativo para a empresa. Ou seja, uma boa metodologia permite `a empresa diminuir uma quantia consider´avel nos custos finais de produ¸c˜ao. Em conclus˜ao final, com base na an´alise de todos os resultados deste estudo parece plaus´ıvel submeter `a experiˆencia o melhor resultado obtido, ou seja, o M´etodo Potencial com agrupamento de pe¸cas total, Parˆametro 1 igual a 2, e com uma margem, Parˆametro 2, de 10%. Referˆencias Christofides, N. and Whitlock, C. (1977). An algorithm for two-dimensional cutting problems. Operations Research, 2:31–44. Gilmore and Gomory (1966). The theory and computation of knapsack functions. International Business Machines Corporation, 14:1045–74. Hifi, M. (2004a). Dynamic programming and hill-climbing techniques for constrained twodimensional cutting stock problems. 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Peso (Kg) Tempo (h) Nomov. Peso (Kg) Tempo (h) NoPeso (Kg) 2 6.197 26.706 5.907 60.476 14.182 18.183.022 3.025 10.774 21.078.610 2.360 4.135 913.910 55 4 6.196 27.683 6.439 71.772 17.567 21.138.153 3.745 13.714 24.045.230 2.992 4.582 1.015.359 57 6 6.197 28.388 7.017 79.656 18.995 21.576.059 4.034 15.015 24.491.200 3.255 4.710 1.063.871 58 8 6.214 28.738 7.311 82.818 19.393 22.323.887 4.124 15.357 25.241.950 3.335 4.764 947.908 56 10 6.188 29.015 7.701 85.606 19.782 21.927.440 4.199 15.859 24.848.470 3.432 4.652 1.001.500 57 12 6.215 29.188 7.884 87.175 20.142 23.297.502 4.285 16.229 26.220.390 3.519 4.644 1.112.713 59 20 6.184 29.786 8.486 90.831 20.583 22.113.480 4.362 16.674 25.039.800 3.598 4.638 996.287 57 sem 6.238 30.383 9.161 98.347 21.222 22.670.295 4.498 17.391 25.603.780 3.749 4.559 932.417 56 55 Tabela A.2: Resultados do M´etodo Peso (Parˆametro 2 = 0% ; 2,5% ; 5% e 7,5%) Par1 Par2 Cortes Sucata Reposicoes Associacoes Stock Final Compras ´ Area NoNoPeso (Kg) Nomov. Peso (Kg) Tempo (h) Nomov. Peso (Kg) Tempo (h) NoPeso (Kg) 2 0% 6.883 34.837 15.579 118.084 12.962 13.432.983 2.715 11.095 16.386.270 2.354 2.596 969.256 57 4 0% 6.897 39.636 20.460 164.531 15.672 14.215.279 3.267 13.887 17.215.280 2.923 2.515 979.025 58 6 0% 6.995 41.846 22.965 184.977 16.553 14.405.418 3.443 15.063 17.425.830 3.158 2.220 958.622 58 8 0% 6.973 42.398 23.498 188.634 17.051 14.396.370 3.542 15.542 17.420.420 3.254 2.238 898.508 57 10 0% 6.953 43.177 24.314 195.948 17.455 14.284.813 3.622 15.983 17.316.070 3.341 2.201 891.250 57 12 0% 6.963 43.482 24.720 197.869 17.600 14.569.640 3.653 16.229 17.603.240 3.392 2.103 1.058.445 60 20 0% 6.986 44.580 25.813 208.219 18.174 14.624.784 3.768 16.798 17.668.170 3.507 2.104 822.601 56 sem 0% 6.985 45.538 26.794 214.679 18.744 14.687.188 3.883 17.391 17.737.210 3.626 2.082 872.510 57 2 2,5% 6.896 34.699 15.438 118.870 13.023 13.383.838 2.729 11.153 16.338.010 2.368 2.600 1.024.846 58 4 2,5% 6.965 39.362 20.239 162.656 15.636 14.177.312 3.256 13.904 17.175.280 2.923 2.461 924.532 57 6 2,5% 6.125 28.667 7.422 81.919 18.869 18.911.281 3.979 15.015 21.828.440 3.225 4.582 948.862 56 8 2,5% 6.929 42.146 23.284 188.068 16.998 14.277.046 3.531 15.527 17.300.650 3.250 2.202 1.011.887 59 10 2,5% 6.123 29.391 8.216 88.975 19.767 18.860.655 4.159 15.983 21.784.590 3.420 4.510 829.015 54 12 2,5% 6.148 29.464 8.227 89.638 20.075 18.984.361 4.221 16.229 21.908.990 3.469 4.573 884.780 55 20 2,5% 6.948 44.110 25.478 205.136 17.934 14.616.728 3.720 16.693 17.657.160 3.485 1.970 882.066 57 sem 2,5% 6.152 30.582 9.508 98.275 21.074 19.428.727 4.432 17.391 22.362.240 3.712 4.411 932.475 56 2 5% 6.795 34.179 14.960 114.854 12.940 13.412.164 2.711 11.112 16.362.270 2.358 2.557 972.424 57 4 5% 6.921 38.935 19.889 160.680 15.415 14.202.105 3.211 13.760 17.198.190 2.893 2.385 982.906 58 6 5% 6.877 41.241 22.354 180.299 16.646 14.196.195 3.461 15.150 17.211.960 3.174 2.227 1.019.713 59 8 5% 6.949 41.900 23.009 188.310 17.035 14.596.868 3.538 15.535 17.620.750 3.251 2.231 1.011.674 59 10 5% 6.146 31.412 10.867 110.524 19.013 15.855.619 3.954 15.859 18.801.040 3.340 3.879 750.999 53 12 5% 6.180 31.904 11.479 115.021 19.139 16.149.949 3.981 16.105 19.100.020 3.391 3.760 802.890 54 20 5% 6.192 32.298 12.075 121.252 19.506 15.963.637 4.054 16.674 18.919.940 3.504 3.558 796.661 54 sem 5% 6.163 33.524 13.205 127.552 20.319 16.033.656 4.218 17.391 18.996.240 3.650 3.654 790.355 54 2 7,5% 6.744 34.030 14.778 114.902 12.989 13.260.152 2.721 11.128 16.210.080 2.362 2.589 916.069 56 4 7,5% 6.228 27.898 6.619 74.726 17.607 19.667.416 3.742 13.719 22.577.450 2.981 4.616 956.020 56 6 7,5% 6.201 28.595 7.290 81.112 19.053 20.594.877 4.043 15.139 23.511.530 3.277 4.644 1.062.448 58 8 7,5% 6.208 28.857 7.514 84.789 19.441 20.702.462 4.119 15.489 23.622.330 3.347 4.679 889.581 55 10 7,5% 6.879 42.069 23.224 191.807 17.352 14.308.410 3.604 15.898 17.335.580 3.326 2.183 895.371 57 12 7,5% 6.163 29.416 8.143 88.263 20.111 21.403.357 4.262 16.229 24.327.100 3.502 4.612 1.055.218 58 20 7,5% 6.944 43.438 24.763 202.484 17.958 14.600.203 3.724 16.674 17.637.960 3.480 2.013 884.752 57 sem 7,5% 6.251 30.476 9.181 97.609 21.295 21.811.101 4.504 17.391 24.744.070 3.741 4.633 989.536 57 56 APˆ ENDICE A. RESULTADOS Tabela A.3: Resultados do M´etodo Peso (Parˆametro 2 = 10% ; 15% e 20%) Par1 Par2 Cortes Sucata Reposicoes Associacoes Stock Final Compras ´ Area NoNoPeso (Kg) Nomov. Peso (Kg) Tempo (h) Nomov. Peso (Kg) Tempo (h) NoPeso (Kg) 2 10% 6.787 33.880 14.608 114.626 13.018 13.356.091 2.727 11.137 16.305.870 2.363 2.610 972.703 57 4 10% 6.857 38.650 19.638 160.230 15.503 14.058.852 3.229 13.882 17.054.360 2.918 2.350 926.950 57 6 10% 6.934 40.879 22.011 181.585 16.730 14.304.179 3.476 15.253 17.320.780 3.194 2.204 792.886 55 8 10% 6.202 29.702 8.285 91.294 19.407 17.209.556 4.051 15.381 20.136.020 3.263 4.753 882.993 55 10 10% 6.160 29.905 8.579 93.599 19.794 17.378.866 4.130 15.859 20.307.590 3.360 4.662 880.744 55 12 10% 6.187 30.222 8.860 97.525 20.076 17.297.693 4.183 16.105 20.230.240 3.407 4.697 820.420 54 20 10% 6.173 30.815 9.571 101.543 20.527 17.830.861 4.283 16.674 20.767.790 3.529 4.582 985.518 57 sem 10% 6.186 31.652 10.562 109.347 21.090 17.629.113 4.393 17.391 20.573.710 3.669 4.427 921.369 56 2 15% 6.796 33.388 14.147 112.328 12.942 13.345.270 2.711 11.092 16.292.930 2.353 2.580 1.031.376 58 4 15% 6.142 28.345 7.066 76.185 17.626 17.195.421 3.696 13.738 20.106.720 2.936 4.615 898.203 55 6 15% 6.848 40.286 21.471 178.013 16.587 14.298.822 3.449 15.163 17.312.120 3.177 2.153 909.167 57 8 15% 6.197 29.268 7.826 85.719 19.408 18.362.846 4.070 15.357 21.284.140 3.276 4.781 1.057.819 58 10 15% 6.817 41.531 22.836 188.943 17.172 14.207.054 3.565 15.868 17.231.210 3.318 2.032 841.869 56 12 15% 6.133 29.750 8.454 90.135 20.010 18.469.215 4.192 16.105 21.394.880 3.427 4.635 1.053.346 58 20 15% 6.164 30.470 9.154 96.982 20.599 17.898.330 4.300 16.674 20.830.370 3.532 4.652 877.369 55 sem 15% 6.140 31.319 10.097 105.343 21.222 18.649.757 4.435 17.391 21.590.550 3.685 4.560 981.696 57 2 20% 6.345 29.002 8.786 81.307 13.675 13.446.452 2.857 10.850 16.362.750 2.306 3.552 893.155 55 4 20% 6.183 28.025 6.718 73.593 17.633 18.054.422 3.720 13.717 20.963.060 2.954 4.643 900.764 55 6 20% 6.893 39.768 21.004 177.931 16.404 14.043.237 3.410 15.031 17.056.540 3.148 2.103 965.692 58 8 20% 6.216 29.216 7.871 86.329 19.311 18.254.650 4.055 15.357 21.176.150 3.282 4.681 887.981 55 10 20% 6.811 41.277 22.556 189.163 17.337 14.344.866 3.600 16.007 17.369.140 3.348 2.058 841.691 56 12 20% 6.282 34.931 16.021 150.600 17.624 14.591.293 3.659 16.105 17.576.690 3.371 2.245 767.528 54 20 20% 6.170 31.002 9.719 101.136 21.283 18.676.091 4.452 17.391 21.612.330 3.691 4.619 873.171 55 sem 20% 6.322 37.142 18.266 166.144 18.876 14.787.889 3.914 17.391 17.789.150 3.632 2.212 808.191 55 57 Tabela A.4: Resultados do M´etodo Potencial (Parˆametro 2 = 0% ; 2,5% ; 5% e 7,5%) Par1 Par2 Cortes Sucata Reposicoes Associacoes Stock Final Compras ´ Area NoNoPeso (Kg) Nomov. Peso (Kg) Tempo (h) Nomov. Peso (Kg) Tempo (h) NoPeso (Kg) 2 0% 6.365 33.035 13.502 102.906 13.016 12.004.328 2.726 10.874 14.942.550 2.309 2.870 927.713 56 4 0% 6.440 37.183 18.119 136.945 15.424 12.401.100 3.212 13.751 15.373.210 2.890 2.400 837.334 55 6 0% 6.476 39.372 20.344 155.735 16.662 12.692.064 3.463 15.025 15.682.980 3.147 2.364 818.510 55 8 0% 6.495 39.934 20.878 159.206 17.038 12.738.331 3.538 15.373 15.732.720 3.217 2.392 815.038 55 10 0% 6.477 40.607 21.747 166.617 17.354 12.748.996 3.600 15.885 15.750.790 3.319 2.196 807.661 55 12 0% 6.499 40.960 22.090 171.508 17.600 12.733.090 3.650 16.121 15.739.800 3.366 2.206 802.770 55 20 0% 6.478 41.885 23.152 176.898 18.016 13.049.634 3.738 16.674 16.061.730 3.481 2.069 797.381 55 sem 0% 6.535 43.087 24.389 187.930 18.698 13.179.842 3.874 17.391 16.203.050 3.625 2.035 842.725 56 2 2,5% 5.879 27.376 8.197 72.239 12.617 13.144.676 2.665 10.829 16.052.240 2.317 2.516 958.411 56 4 2,5% 5.878 29.302 10.505 94.813 15.115 14.307.853 3.181 13.709 17.237.990 2.909 2.134 935.824 56 6 2,5% 6.334 36.985 18.026 149.885 16.598 12.656.607 3.450 15.030 15.641.460 3.149 2.294 768.098 54 8 2,5% 5.870 30.786 12.157 109.802 16.595 14.189.194 3.474 15.357 17.134.020 3.236 1.964 808.118 54 10 2,5% 5.908 31.318 12.675 112.807 17.111 14.413.499 3.579 15.859 17.361.480 3.338 1.979 861.456 55 12 2,5% 5.914 31.538 12.996 118.191 17.256 14.435.517 3.609 16.105 17.388.780 3.389 1.877 799.691 54 20 2,5% 6.337 39.410 20.742 169.798 17.951 12.894.961 3.723 16.674 15.899.640 3.481 2.002 691.729 53 sem 2,5% 5.908 33.112 14.709 132.866 18.403 14.654.044 3.841 17.391 17.622.060 3.648 1.739 841.412 55 2 5% 5.879 27.376 8.197 72.239 12.617 13.144.676 2.665 10.829 16.052.240 2.317 2.516 958.411 56 4 5% 5.878 29.302 10.505 94.813 15.115 14.307.853 3.181 13.709 17.237.990 2.909 2.134 935.824 56 6 5% 5.893 30.620 11.884 106.983 16.360 14.292.933 3.429 15.015 17.234.910 3.170 2.071 810.930 54 8 5% 5.870 30.786 12.157 109.802 16.595 14.189.194 3.474 15.357 17.134.020 3.236 1.964 808.118 54 10 5% 5.908 31.318 12.675 112.807 17.111 14.413.499 3.579 15.859 17.361.480 3.338 1.979 861.456 55 12 5% 6.298 37.543 18.741 158.535 17.516 12.931.149 3.636 16.105 15.924.870 3.365 2.138 815.744 55 20 5% 5.907 32.268 13.798 124.631 17.753 14.368.880 3.708 16.674 17.328.540 3.502 1.805 793.250 54 sem 5% 5.908 33.112 14.709 132.866 18.403 14.654.044 3.841 17.391 17.622.060 3.648 1.739 841.412 55 2 7,5% 5.879 27.376 8.197 72.239 12.617 13.144.676 2.665 10.829 16.052.240 2.317 2.516 958.411 56 4 7,5% 5.878 29.302 10.505 94.813 15.115 14.307.853 3.181 13.709 17.237.990 2.909 2.134 935.824 56 6 7,5% 5.893 30.620 11.884 106.983 16.360 14.292.933 3.429 15.015 17.234.910 3.170 2.071 810.930 54 8 7,5% 5.870 30.786 12.157 109.802 16.595 14.189.194 3.474 15.357 17.134.020 3.236 1.964 808.118 54 10 7,5% 6.237 36.632 17.779 153.398 17.347 12.932.645 3.604 15.885 15.921.270 3.323 2.189 820.845 55 12 7,5% 5.914 31.538 12.996 118.191 17.256 14.435.517 3.609 16.105 17.388.780 3.389 1.877 799.691 54 20 7,5% 6.249 37.878 19.141 162.617 18.020 13.137.315 3.741 16.674 16.135.140 3.483 2.073 811.660 55 sem 7,5% 6.298 39.126 20.395 171.775 18.731 13.346.039 3.884 17.391 16.353.290 3.627 2.069 915.220 57