Dinâmica e Sistemas Dinâmicos

Dinâmica e Sistemas Dinâmicos Dinâmica e Sistemas Dinâmicos Segunda edição Jaime E. Villate Dinâmica e Sistemas Dinâmicos Jaime E. Villate Faculdade de Engenharia Universidade do Porto http://def.fe.up.pt Dinâmica e Sistemas Dinâmicos Copyright c 2009-2014 Jaime E. Villate E-mail: [email protected] Segunda edição 27 de fevereiro de 2014 Este livro pode ser copiado e reproduzido livremente, respeitando os termos da Licença Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0). Para obter uma cópia desta licença, visite http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ ou envie uma carta para Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA. Conteúdo Prefácio ix Lista de símbolos e notações xi 1. Cinemática 1 1.1. Movimento dos corpos rígidos ....................... 2 1.2. Movimento e graus de liberdade ...................... 3 1.3. Velocidade .................................. 6 1.4. Aceleração ................................. 8 1.5. Equações cinemáticas ............................ 12 1.5.1. Projeção do movimento num eixo ................. 13 1.5.2. Aceleração da gravidade ...................... 13 Perguntas ..................................... 16 Problemas ..................................... 17 Respostas ..................................... 18 2. Cinemática vetorial 19 2.1. Vetores ................................... 20 2.1.1. Propriedades dos vetores ...................... 20 2.1.2. Velocidade e aceleração vetoriais ................. 23 2.1.3. Produto escalar ........................... 26 2.2. Velocidade e aceleração relativas ...................... 28 2.3. Lançamento de projéteis .......................... 30 2.4. Movimentos dependentes .......................... 32 Perguntas ..................................... 35 Problemas ..................................... 36 Respostas ..................................... 38 3. Movimento curvilíneo 39 3.1. Versor tangencial .............................. 40 3.2. Versor normal ................................ 41 3.3. Movimento circular ............................. 45 3.4. Cinemática dos corpos rígidos ....................... 46 3.5. Produto vetorial ............................... 48 3.6. Movimentos de translação e de rotação dependentes ............ 51 Perguntas ..................................... 54 iv Conteúdo Problemas ..................................... 55 Respostas ..................................... 58 4. Mecânica vetorial 59 4.1. Leis de Newton ............................... 60 4.1.1. Lei da inércia ............................ 60 4.1.2. Força e aceleração ......................... 61 4.1.3. Lei de ação e reação ........................ 63 4.2. Componentes normal e tangencial da força ................. 66 4.3. Reação normal e força de atrito ....................... 68 4.3.1. Atrito estático ............................ 68 4.3.2. Atrito cinético ........................... 70 4.3.3. Força de resistência nos fluidos .................. 72 Perguntas ..................................... 74 Problemas ..................................... 75 Respostas ..................................... 78 5. Dinâmica dos corpos rígidos 79 5.1. Vetores deslizantes ............................. 80 5.2. Adição de forças .............................. 80 5.3. Momentos e binários ............................ 82 5.4. Corpos rígidos em equilíbrio ........................ 84 5.5. Centro de massa ............................... 86 5.6. Movimento geral do corpo rígido ...................... 89 5.6.1. Rotação com eixo fixo ....................... 90 5.6.2. Translação sem rotação ....................... 93 Perguntas ..................................... 94 Problemas ..................................... 95 Respostas ..................................... 98 6. Trabalho e energia 99 6.1. Trabalho e energia cinética .........................100 6.2. Forças conservativas ............................103 6.2.1. Energia potencial gravítica .....................106 6.2.2. Energia potencial elástica .....................106 6.2.3. Energia potencial de forças centrais ................107 6.3. Energia mecânica ..............................108 6.3.1. Gráficos de energia .........................109 6.4. Movimento harmónico simples .......................110 6.5. Energia cinética de rotação .........................112 Perguntas .....................................115 Problemas .....................................115 Respostas .....................................118 Conteúdo v 7. Sistemas dinâmicos 121 7.1. Equações diferenciais ............................122 7.1.1. Equações de primeira ordem ....................122 7.2. Sistemas de equações diferenciais autónomas ...............122 7.2.1. Campos de direções ........................124 7.2.2. Equações diferenciais de segunda ordem .............125 7.2.3. Retratos de fase ...........................127 7.3. Pontos de equilíbrio .............................128 7.3.1. Equilíbrio estável e instável ....................131 7.3.2. Ciclos e órbitas ...........................132 7.4. Sistemas conservativos ...........................134 Perguntas .....................................138 Problemas .....................................139 Respostas .....................................141 8. Mecânica lagrangiana 143 8.1. Graus de liberdade e espaço de fase ....................144 8.2. Equações de Lagrange ...........................144 8.3. Condições de equilíbrio ...........................149 8.4. Forças dissipativas .............................153 8.5. Forças de ligação ..............................154 Perguntas .....................................157 Problemas .....................................158 Respostas .....................................161 9. Sistemas lineares 163 9.1. Sistemas lineares no plano .........................164 9.2. Estabilidade dos sistemas lineares .....................166 9.3. Classificação dos pontos de equilíbrio ...................169 9.3.1. Pontos de sela ............................170 9.3.2. Nós estáveis e instáveis .......................171 9.3.3. Focos e centros ...........................172 9.3.4. Nós próprios e impróprios .....................173 9.3.5. Sistemas conservativos lineares ..................175 9.4. Osciladores lineares .............................175 9.4.1. Osciladores amortecidos ......................177 Perguntas .....................................179 Problemas .....................................180 Respostas .....................................182 10.Sistemas não lineares 183 10.1. Aproximação linear .............................184 10.2. O pêndulo ..................................187 vi Conteúdo 10.3. Aproximação linear do pêndulo .......................189 10.4. Espaços de fase com várias dimensões ...................191 10.4.1. Sistemas de equações não autónomas ...............192 10.4.2. Lançamento de projéteis ......................193 10.4.3. Pêndulo de Wilberforce ......................196 Perguntas .....................................198 Problemas .....................................199 Respostas .....................................202 11.Ciclos limite e sistemas de duas espécies 205 11.1. Ciclos limite .................................206 11.1.1. Equação de Van der Pol ......................206 11.1.2. Existência de ciclos limite .....................209 11.1.3. Inexistência de ciclos limite ....................211 11.2. Coexistência de duas espécies .......................212 11.2.1. Sistemas predador presa ......................213 11.2.2. Sistemas com competição .....................217 Perguntas .....................................219 Problemas .....................................220 Respostas .....................................221 12.Sistemas caóticos 223 12.1. Órbitas fechadas atrativas ..........................224 12.2. Comportamento assimptótico ........................226 12.2.1. Teorema de Poincaré-Bendixson ..................227 12.2.2. Critério de Bendixson. .......................228 12.3. Bifurcações .................................229 12.4. Sistemas caóticos ..............................231 12.4.1. Bola elástica sobre uma mesa oscilatória ..............231 12.4.2. Equações de Lorenz ........................234 Perguntas .....................................237 Problemas .....................................238 Respostas .....................................239 A. Tutorial do Maxima 241 A.1. Introdução ..................................241 A.2. Xmaxima ..................................241 A.3. Entrada e saída de dados ..........................243 A.4. Variáveis ..................................244 A.5. Listas ....................................246 A.6. Constantes ..................................247 A.7. Guardar informação entre sessões .....................248 A.8. Expressões e equações ...........................248 Conteúdo vii A.9. Gráficos ...................................250 A.9.1. Funções de uma variável ......................250 A.9.2. Criação de ficheiros gráficos ....................251 A.9.3. Gráficos de pontos .........................252 A.9.4. Pontos e funções ..........................252 A.9.5. Funções de duas variáveis .....................254 A.10.Funções do Maxima .............................255 A.11.Expressões algébricas e listas ........................256 A.12.Trigonometria ................................258 A.13.Cálculo ...................................258 Problemas .....................................260 Respostas .....................................260 B. Equações de Lagrange 261 C. Créditos fotográficos 263 Bibliografia 265 Índice 267 2Cinemática 1.1. Movimento dos corpos rígidos Um objeto encontra-se em movimento se a sua posição for diferente em diferentes instantes; se a posição permanece constante, o objeto está em repouso. Para medir a posição do objeto, é necessário usar um referencial ; nomeadamente, outros objetos usados como referencia. Se a posição do corpo em estudo varia em relação ao referencial, o corpo está em movimento em relação a esse referencial. Assim, o movimento é um conceito relativo, já que um objeto pode estar em repouso em relação a um dado referencial, mas em movimento em relação a um outro referencial. O movimento mais simples de um corpo rígido, de translação sem rotação, é quando todos os pontos do corpo seguem trajetórias idênticas (ver figura 1.1). Assim sendo, basta estudar o movimento de um único ponto para conhecer o movimento do corpo rígido. 20˚ 20˚ 30˚ 20˚ 50˚ Translação Rotação Translação e rotação Figura 1.1.: Movimentos de translação, rotação em torno de um eixo e sobreposição dos dois. No movimento de rotação em torno de um eixo, todos os pontos num eixo permanecem em repouso e os outros pontos deslocam-se. Na segunda parte na figura 1.1, o martelo rodou em torno de um eixo perpendicular à página. Nesse tipo de movimento as trajetórias de pontos diferentes já não são idênticas mas todas elas são arcos de círculo, com o mesmo ângulo, que só diferem no valor do raio. Basta saber como varia o ângulo de rotação para 1.2 Movimento e graus de liberdade 3 descrever o movimento de qualquer ponto no corpo. Um movimento mais complicado é a sobreposição de translação e rotação em torno de um eixo (terceira parte na figura 1.1). Nesse caso, as trajetórias do diferentes pontos do corpo são curvas diferentes. No entanto, esse movimento mais complicado pode ser descrito apenas com a trajetória de um ponto qualquer do corpo e a variação do ângulo de rotação de uma reta qualquer no corpo; com efeito, o ângulo de rotação é o mesmo para qualquer segmento no corpo rígido e após fixar a posição do ponto num instante e o ângulo de rotação, consegue dizer onde estarão todos os outros pontos do corpo nesse instante. Existe também outro tipo de rotação mais geral, rotação à volta de um ponto, em que um único ponto permanece em repouso. Nesse caso as trajetórias de cada ponto é uma curva na superfície de uma esfera com centro no ponto em repouso. A forma mais conveniente de descrever esse tipo de movimento consiste em determinar a variação de três ângulos. O caso mais geral do movimento de um corpo rígido consiste na sobreposição de translação e rotação à volta de um ponto. Nesse caso será necessário conhecer a trajetória de um ponto do corpo e a variação de três ângulos. 1.2. Movimento e graus de liberdade Os graus de liberdade de um sistema são as variáveis necessárias para determinar a sua posição exata. Por exemplo, para determinar a posição de uma mosca numa sala "retangular", podem medir-se as suas distâncias até o chão e duas paredes perpendiculares da sala. Teremos um sistema de três coordenadas perpendiculares (coordenadas cartesianas ou retangulares), que se costumam designar pelas letras x,yez(figura 1.2). x y z Mosca Figura 1.2.: Coordenadas cartesianas de uma mosca numa sala retangular. 4Cinemática Ou seja, o movimento de um ponto no espaço está associado a 3 graus de liberdade. A trajetória do ponto é uma curva no espaço, que pode ser descrita indicando as expressões para as 3 coordenadas cartesianas x , y e z em função do tempo. Como o movimento mais geral de um corpo rígido é a sobreposição do movimento de um ponto e variação de três ângulos, esse movimento tem 6 graus de liberdade: 3 coordenadas que descrevem o movimento do ponto, mais os 3 ângulos que descrevem a rotação. Outros movimentos mais simples possuem menos graus de liberdade; a rotação em torno de um eixo fixo tem apenas um grau de liberdade, a translação sem rotação 3 graus de liberdade e a translação com rotação em torno de um eixo fixo está associada a 4 graus de liberdade. Neste capítulo estuda-se apenas o movimento de um ponto. Esse estudo será suficiente para descrever a translação dos corpos rígidos e servirá de base para estudar movimentos mais complexos. Quando um ponto está limitado a seguir uma trajetória pré determinada, o movimento desse ponto têm um único grau de liberdade. Por exemplo, no movimento de cada uma das rodas de um carrinho nos carris de uma montanha russa, enquanto o carrinho siga os carris sem perder o contacto com eles, o movimento do centro da roda segue uma curva determinada. Se a posição do ponto num instante inicial é conhecida, para determinar a posição em qualquer outro instante basta saber o deslocamento ao longo dos carris, desde o instante inicial até esse instante. No movimento de translação de um automóvel numa autoestrada poderá suficiente um único grau de liberdade (figura 1.3). Se o automóvel sofrer uma avaria e o condutor tiver que telefonar para pedir um reboque, basta dizer em que quilómetro da autoestrada se encontra para que o condutor do camião de reboque saiba para onde se dirigir. Assim, o movimento dos automóveis na autoestrada é caraterizado por um único grau de liberdade, o deslocamento ao longo da estrada. Figura 1.3.: O movimento de translação de um automóvel numa autoestrada pode ser considerado um movimento com apenas um grau de liberdade. 1.2 Movimento e graus de liberdade 5 De referir que o deslocamento na estrada não é medido em linha reta, mas ao longo de uma curva no espaço; no entanto, como a forma detalhada dessa curva já está estabelecida, basta uma variável para descrever a posição em cada instante. Em outros casos poderá ser necessário descrever a variação de outros graus de liberdade, por exemplo, a distância à berma da estrada. Se o automóvel fosse perfeitamente rígido e sempre em contacto com a estrada, a descrição completa do movimento seria feita incluindo também um ângulo. Na prática há sempre muitos mais graus de liberdade porque não existem corpos perfeitamente rígidos. Se um ponto está limitado a deslocar-se sobre uma superfície, basta usar duas coordenadas para determinar a sua posição e o seu movimento tem dois graus de liberdade. Figura 1.4.: A translação na superfície de um terreno é um movimento com dois graus de liberdade. Um biólogo a seguir o movimento de uma raposa num território terá apenas de medir a sua longitude e latitude, por exemplo, com um dispositivo de GPS, para indicar o ponto onde se encontra em cada instante. Não são necessárias 3 variáveis, mas apenas duas, se o mapa topográfico da região for conhecido, permitindo localizar um ponto apenas com a sua longitude e latitude; uma terceira variável, a altura, tem um valor pré determinado de acordo com a topografia do terreno, como no exemplo da figura 1.4. Realmente há um terceiro grau de liberdade, a altura sobre a superfície do terreno, mas como essa altura terá variações insignificantes comparada com as variações da latitude e longitude, poderá não ter relevância. Consequentemente, o movimento da raposa é um movimento com dois graus de liberdade, porque bastam duas coordenadas para determinar a posição. A latitude e a longitude na superfície do terreno não são realmente distâncias mas sim ângulos com vértice no centro da Terra, mas continuam a ser dois graus de liberdade que podem ter diferentes valores em diferentes instantes. Regressando ao exemplo inicial do voo da mosca, que foi considerada como um único ponto em movimento com 3 coordenadas x , y e z , a mosca também pode mudar a sua 6Cinemática orientação. Para definir a orientação da reta segundo o corpo da mosca pode-se usar 2 ângulos e necessário um terceiro ângulo para indicar a rotação da mosca em relação a essa reta; ao todo são 6 graus de liberdade. Mas a mosca pode também esticar ou dobrar o corpo e abrir ou fechar as asas, por exemplo, pelo que, do ponto de vista físico, tem muitos mais graus de liberdade. Se a mosca for modelada com 3 corpos rígidos: as duas asas e o bloco constituído por cabeça, tórax e abdómen, para descrever o movimento do primeiro corpo rígido — cabeça, tórax e abdómen — são precisos os seis graus de liberdade já descritos. Cada asa acrescenta outros 3 graus de liberdade — os ângulos da rotação à volta de um ponto fixo onde a asa está ligada ao tórax — tendo no total 12 graus de liberdade. 1.3. Velocidade Neste capítulo considera-se apenas o movimento com um grau de liberdade, no qual a trajetória é uma curva fixa. Para determinar a posição na trajetória escolhe-se uma origem (um ponto qualquer da trajetória) e arbitra-se sinal positivo para os pontos a um dos lados da origem e negativo para os pontos no outro lado. A posição de cada ponto na trajetória, representada pela variável s , é o comprimento de arco da trajetória, desde o ponto até à origem, com sinal positivo ou negativo segundo o lado onde estiver o ponto. O deslocamento ao longo da trajetória, durante um intervalo de tempo, é a diferença entre as posições no instante final, sf , e inicial, si . Define-se a velocidade média , num intervalo de tempo entre tietj, igual ao deslocamento dividido pelo intervalo de tempo: ¯vij =sj−si tj−ti(1.1) onde tj>ti . A velocidade média pode ser positiva ou negativa; se o deslocamento é no mesmo sentido que vai do lado negativo para o positivo, a velocidade é positiva e se for no sentido inverso é negativa. O valor absoluto de v é a rapidez com que se desloca o ponto. As unidades da velocidade são distância sobre tempo: por exemplo, metros por segundo, m/s, quilómetros por hora, km/h, etc. Exemplo 1.1 Um condutor que se desloca sempre no mesmo sentido de uma estrada registou a distância total por si percorrida durante vários instantes, obtendo os valores na seguinte tabela: t(h) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 distância (km) 0 60 90 100 140 Calcule a velocidade média em cada intervalo de meia hora e represente os gráficos da posição na trajetória e da velocidade média. 1.3 Velocidade 7 Resolução . Como não existe inversão do sentido do deslocamento, as distâncias na tabela correspondem também às posições em relação ao ponto inicial. Sendo t1 , t2 , ..., t5 os 5 instantes indicados na tabela, as velocidades médias nos vários intervalos são: ¯v12 =60−0 0.5−0=60 0.5=120 km h ¯v23 =90−60 1−0.5=30 0.5=60 km h ¯v34 =10 0.5=20 km h ¯v45 =40 0.5=80 km h Nos dois últimos intervalos escreveu-se diretamente ¯v=∆s/∆t , onde ∆ representa o aumento da respetiva variável. Para traçar o gráfico da posição em função do tempo pode utilizar-se o programa Maxima (consulte o apêndice A). Convém primeiro armazenar os valores de tempo e posição numa lista e a seguir utilizar o comando plot2d: (%i1) s_t: [[0,0], [0.5,60], [1,90], [1.5,100], [2,140]]$ (%i2) plot2d([discrete,s_t],[style,linespoints], [xlabel,"t (h)"],[ylabel,"s (km)"])$ O gráfico é apresentado no lado esquerdo da figura 1.5. s (km) t (h) 0 20 40 60 80 100 120 140 0 0.5 1 1.5 2 v (km/h) t (h) 0 20 40 60 80 100 120 140 0 0.5 1 1.5 2 Figura 1.5.: Gráfico da posição na trajetória, s (esquerda) e da velocidade média, ¯v (direita), em alguns intervalos de tempo. Para traçar o gráfico da velocidade média em função do tempo há que decidir a que instante atribuir cada velocidade média. Deverá ser colocada no início ou no fim do intervalo? Pode representar-se cada velocidade média no ponto médio do intervalo correspondente, como mostra a figura 1.5. (%i3) v_t: [[0.25,120], [0.75,60], [1.25,20], [1.75,80]]$ 8Cinemática (%i4) plot2d([discrete,v_t],[x,0,2],[y,0,150],[xlabel,"t (h)"], [ylabel,"v (km/h)"],[style,linespoints])$ O valor da velocidade média num intervalo não dá informação precisa sobre o movimento nesse intervalo. Por exemplo, no caso anterior o menor valor da velocidade média, 20 km/h, foi no intervalo entre t=1 e t=1.5 . Isso não implica que durante essa meia hora o condutor tenha andado sempre mais devagar. Poderá ter avançado rapidamente até um ponto onde parou por algum tempo, antes de continuar o percurso. Para determinar com maior precisão o tipo de movimento, é necessário conhecer o deslocamento ∆s em cada subintervalo de tempo ∆t do intervalo maior. A informação mais precisa será obtida no limite quando ∆tse aproximar de zero. Para definir a velocidade num instante t , calcula-se a velocidade média no intervalo entre te um instante posterior t+∆t, e considera-se o limite quando ∆tse aproxima de zero: v(t) = lim ∆t→0 ∆s ∆t(1.2) Este limite define a derivada da posição na trajetória s em ordem a t , que se representa por v=ds dt(1.3) Uma notação alternativa para a derivada em ordem ao tempo é v=˙s , em que o ponto indica derivação em ordem a t. Num automóvel, o valor absoluto da velocidade instante é dado com boa aproximação pelo velocímetro. O valor dado pelo velocímetro tem algum erro associado com o facto de que o instrumento tem um tempo de resposta mínimo tmín . Num velocímetro de boa qualidade, com tempo de resposta muito baixo, ou em situações em que a velocidade não tem mudanças muito bruscas, admite-se que o velocímetro indica a velocidade instantânea exata. 1.4. Aceleração A aceleração define-se como o aumento da velocidade por unidade de tempo. Pode-se começar por definir um valor médio da aceleração num intervalo de tempo, como no caso da velocidade; a aceleração média ¯aij , num intervalo de tempo ∆t=tj−ti , é definida por: ¯aij =vj−vi tj−ti=∆v ∆t(1.4) A aceleração tem unidades de distância sobre tempo ao quadrado. Por exemplo, metros por segundo ao quadrado, m/s2. 1.4 Aceleração 9 A aceleração segundo a trajetória , num instante t , é a aceleração média num intervalo de tempo infinitesimal a seguir a esse instante. at(t) = lim ∆t→0 ∆v ∆t(1.5) Usando a notação em que um ponto sobre a variável representa derivação em ordem ao tempo: at=˙v=¨s(1.6) em que os dois pontos sobre a variável indicam a segunda derivada dessa variável, em ordem ao tempo. Se o valor da aceleração segundo a trajetória é negativo, a velocidade está a diminuir: está a abrandar se o deslocamento é no sentido positivo ou está a andar mais depressa se o deslocamento é no sentido negativo. Aceleração positiva segundo a trajetória indica que o ponto está a andar mais depressa, se o seu deslocamento for no sentido negativo, ou mas devagar no caso contrário. Aceleração nula segundo a trajetória implica velocidade constante. O uso do termo "aceleração segundo a trajetória", e não apenas aceleração, é porque como se explica no capítulo 3, a aceleração tem outra componente perpendicular à trajetória, que não está relacionada com a variação da velocidade mas sim com a curvatura da trajetória. No caso da velocidade, também se mostra nesse capítulo que segue sempre a direção da trajetória e, por isso, não é necessário dizer que a velocidade é segundo a trajetória. Exemplo 1.2 Um barco encontra-se inicialmente parado num canal; no instante t=0 liga-se o motor durante 5 minutos e a seguir deliga-se, deixando que o barco abrande até travar pela resistência da água. Em unidades SI, a expressão da velocidade em função do tempo t é v=(12 1−e−0.06t,0≤t≤300 12 1−e−18e−0.06(t−300),t≥300 Encontre as expressões da aceleração segundo a trajetória e da posição na trajetória, em função do tempo. Represente os gráficos da velocidade, aceleração e posição em função do tempo. Calcule as distâncias percorridas enquanto o motor esteve ligado e enquanto esteve desligado até o barco parar. Resolução . Antes de começar, observe que a expressão dada para a velocidade é contínua, como deveria ser, já que a velocidade não pode mudar bruscamente em nenhum instante. A aceleração segundo a trajetória calcula-se derivando a expressão da velocidade. Para fazer os cálculos usando o Maxima, pode começar-se por introduzir as duas expressões para a velocidade em duas variáveis diferentes (%i5) v1: 12*(1-exp(-0.06*t))$ (%i6) v2: 12*(1-exp(-18))*exp(-0.06*(t-300))$ 10 Cinemática A derivação é feita usando o comando diff (%i7) a1: diff (v1, t); - 0.06 t (%o7) 0.72 %e (%i8) a2: diff (v2, t); - 18 - 0.06 (t - 300) (%o8) - 0.72 (1 - %e ) %e Assim sendo, a expressão para a aceleração segundo a trajetória é at=(0.72e−0.06t,0≤t<300 −0.72 1−e−18e−0.06(t−300),t≥300 Observe que a aceleração não tem de ser contínua; neste caso existe uma descontinuidade em t=300 s, em que a aceleração passa de um valor positivo para o valor -0.72 m/s 2 , devido a que o motor foi desligado subitamente nesse instante. Para obter a expressão da posição, integra-se a expressão para a velocidade desde o instante inicial s(t) = t Z 0 v(t)dt=                t Z 0 12 1−e−0.06tdt,0≤t≤300 300 Z 0 12 1−e−0.06tdt+ t Z 300 12 1−e−18e−0.06(t−300)dt,t>300 No Maxima, esses dois integrais calculam-se assim (%i9) s1: integrate (v1,t,0,t); 3 t 3 t - --- --- 50 50 %e (3 t %e + 50) 50 (%o9) 12 (------------------------ - --) 3 3 (%i10) s2: float ((integrate (v1,t,0,300))) + integrate (v2,t,300,t); 3 t 18 - --- 50 - 18 50 50 %e (%o10) 12 (1 - %e ) (-- - -------------) + 3400.000003045996 3 3 1.4 Aceleração 11 Ou seja, a expressão para a posição (arbitrando a origem no ponto inicial) é: s=(43t+50e−0.06t−50,0≤t≤300 3400+200 1−e−181−e(18−0.06t),t>300 Para traçar os gráficos, apresentados na figura 1.6, usam-se os seguintes comandos: (%i11) plot2d(if t<300 then v1 else v2,[t,0,400],[ylabel,"v"], [y,0,14])$ (%i12) plot2d(if t<300 then a1 else a2,[t,0,400],[ylabel,"a"])$ (%i13) plot2d(if t<300 then s1 else s2,[t,0,400],[ylabel,"s"])$ v t 0 2 4 6 8 10 12 14 0 50 100 150 200 250 300 350 400 a t -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 50 100 150 200 250 300 350 400 s t -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Figura 1.6.: Gráficos da velocidade, aceleração segundo a trajetória e distância percorrida no exemplo 1.2 (unidades SI). Os gráficos 1.6 fornecem muita informação útil que é menos evidente nas expressões algébricas. O gráfico da velocidade mostra que o barco atinge rapidamente, no primeiro minuto, uma velocidade máxima de 12 m/s e permanece com velocidade quase constante até o instante em que é desligado o motor; a partir desse instante, a velocidade diminui rapidamente e em t=360 s (6 minutos) já é praticamente nula. A expressão exponencial da velocidade implica que, em teoria, nunca chega a ser completamente nula. Na prática, essa expressão da velocidade não pode ser válida quando o valor obtido for muito pequeno; por exemplo, em t=400 s a velocidade obtida com essa expressão é (%i14) float (subst (t=400, v2)); (%o14) .02974502566698016 quase 3 centímetros por segundo. Existem outros fenómenos como correntes na água ventos e ondas na superfície da água, que produzem variações da velocidade maiores do que esse valor. A expressão dada para a velocidade é o resultado de um modelo matemático, que só pode ser válido quando os valores obtidos ultrapassem os efeitos de outras flutuações que não são tidas em conta no modelo. No gráfico da aceleração, a descontinuidade em t=300 s aparece como uma risca contínua, devido a que o comando plot2d do Maxima não deteta a descontinuidade nesse ponto, mas considera as duas partes do gráfico como uma única função contínua. O gráfico da distância percorrida mostra um aumento linear em quase todo o intervalo dos primeiros 5 18 Cinemática 9. A aceleração segundo a trajetória de um objeto em queda livre no ar, incluindo a resistência do ar, é dada pela expressão at=g−C mv2 , onde C e m são constantes. Se o objeto parte do repouso em t=0 : (a) Demonstre que a velocidade num instante posterior t é v=rmg Ctanh rCg mt! . (b) Determine a expressão da velocidade do objeto após ter caído uma distância s . (c) Porquê será que a velocidade vt=rmg C chama-se velocidade terminal? 10. Uma pedra é lançada verticalmente para cima desde uma ponte que está 40 m por cima da superfície de um rio. Sabendo que a pedra cai na água 4 segundos após ter sido lançada, calcule: (a) A velocidade com que a pedra foi lançada. (b) A velocidade com que a pedra entra na água. 11. A posição de uma partícula que se desloca no eixo dos x é aproximada pela relação x=2.5t3−62t2+10.3t (unidades SI). (a) Encontre as expressões para a velocidade e a aceleração em função do tempo. (b) Determine os valores do tempo, a posição e a aceleração nos instantes em que a partícula está em repouso ( vx=0 ). (c) Trace os gráficos da posição, da velocidade e da aceleração, em 0 ≤t≤20. Respostas Perguntas: 1. A. 2. B. 3. A. 4. C. 5. C. Problemas 1. t=0, s=10 m, at=−12 m/s2et=2 s, s=2 m, at=12 m/s2. 2. Velocidade −8 m/s, posição x=64 m e distância percorrida 80 m. 3. (a)3s(b) 25.25 cm. 4. (a) 24 m3/s2(b) 11.49 m/s. 5. (a) 25 s−2(b)±11.18 m/s (a partícula oscila). 6. 65.33 m 7. (a) ±15 m/s, porque o objeto oscila (b) ±14.74 m/s, porque o objeto oscila. (c) 15.25 m/s, unicamente positiva porque o objeto desloca-se sempre no sentido positivo. (para saber se o objeto oscila ou anda sempre no mesmo sentido, calcule a expressão de vpara qualquer valor final se trace o gráfico vvs s). 8. (a) 75 mm (b) infinito (c) 11.51 s. 9. (b)v=rmg Cp1−e−2Cs/m (c) Porque vaproxima-se assimptoticamente de rmg C: lim t−→∞v=rmg C 10. (a) 9.6 m/s. (b)−29.6 m/s. 11. (b) Em t=0.0835 s, x=0.429 m, ax=−123 m/s2 Em t=16.4 s, x=−5480 m, ax=123 m/s2 2. Cinemática vetorial Quando um objeto se desloca no espaço sem seguir uma trajetória determinada, a sua posição já não pode ser definida com uma única variável como nos exemplos estudados no capítulo anterior. No século XVII, o matemático Gottfried Leibniz escreveu que seria desejável criar uma área da matemática que descrevesse a posição diretamente, assim como as variáveis são usadas na álgebra para representar valores numéricos. Na mesma época, Isaac Newton enunciou a lei do paralelogramo para somar forças. No entanto, o conceito de vetor usado hoje em dia só foi inventado muitos anos depois, no século XIX. 20 Cinemática vetorial 2.1. Vetores Uma grandeza que tenha o mesmo valor independentemente do observador que as medir, chama-se escalar . Algumas das grandezas usadas no capítulo anterior são escalares; por exemplo, o deslocamento ∆s e o intervalo de tempo ∆t entre dois eventos. Alguns exemplos de grandezas físicas que não são escalares são as componentes da posição, velocidade e aceleração ao longo de um eixo. Se a direção, o sentido ou a origem desse eixo fossem alteradas, os valores dessas grandezas seriam diferentes. É útil escrever as equações da física de forma a que sejam iguais em qualquer referencial; o conceito de vetor permite alcançar esse objetivo. 2.1.1. Propriedades dos vetores Um vetor é um segmento de reta entre dois pontos P1 e P2 no espaço, em que um dos pontos é considerado a origem e o outro ponto o fim do segmento. Por exemplo, na figura 2.1, está representado o vector com origem num ponto P1 e fim num ponto P2 ; a seta indica qual é o ponto final e por cima da letra usada para representar o vetor coloca-se também uma seta, ~a , para que fique claro que se trata de um vetor e não de uma variável algébrica comum. Um vetor representa um deslocamento desde um ponto do espaço até outro ponto. A distância entre os dois pontos chama-se módulo , ou norma do vetor. No caso de um vetor ~a , o seu módulo representa-se com a mesma letra a , mas sem seta. Como a distância entre dois pontos é um escalar, o módulo de um vetor é uma grandeza escalar. Um vetor tem também uma direção , definida pela reta que passa pelos dois pontos, e um sentido , que vai desde o ponto inicial para o ponto final. a a b P1 P2 P5 P6 P3 P4 Figura 2.1.: Vetores livres. Dois vetores são iguais se, e só se, a suas direções, sentidos e módulos forem iguais. Por exemplo, na figura 2.1 o vetor entre os pontos P1 e P2 e o vetor entre os pontos P3 e P4 são iguais e, por isso, foram identificados com a mesma letra ~a ; a distância entre P3 e P4 é igual à distância entre P1 e P2 e as retas que passam por esses dois pares de pontos são paralelas. O vetor ~ b , entre os pontos P5 e P6 , não é igual a ~a porque tem módulo e direção diferentes. Esse tipo de vetores são chamados vetores livres porque não interessam os pontos específicos onde forem colocados, sempre que a distância entre eles for igual ao módulo e definam corretamente a direção e sentido do vetor. Na figura 2.2, partindo do ponto P o vetor ~a produz um deslocamento até o ponto Q; a seguir, o vetor ~ b provocará um deslocamento até o ponto R; assim sendo, o deslocamento combinado de ~a e ~ b é equivalente ao deslocamento desde P até R, representado na figura 2.1 Vetores 21 pelo vetor~c. Diz-se que~cé igual à soma dos vetores~ae~ b ~a+~ b=~c(2.1) Ou seja, a adição de dois vetores consiste em deslocar um deles de forma que o seu ponto inicial coincida com o ponto final do primeiro, obtendo-se como resultado o vetor que vai desde o ponto inicial do primeiro vetor até o ponto final do segundo. A equação ~a+~ b=~c implica que ~ b=~c−~a e a figura 2.2 também mostra que o vetor ~ b vai desde o ponto final de ~a até o ponto final de ~c , quando os dois vetores estão no mesmo ponto inicial. Portanto, para subtrair dois vetores podem ser deslocados para um ponto inicial comum e o resultado da subtração será o vetor que vai desde o ponto final do segundo vetor, até o ponto final do primeiro vetor. a b c P Q R Figura 2.2.: Soma de vetores. A adição de vetores é comutativa; deslocar o vetor ~ b a continuação do vetor ~a produz o mesmo resultado do que deslocar o vetor~aa continuação do vetor~ b(figura 2.3). A soma dos vetores ~a e ~ b é a diagonal do paralelogramo em que dois dos lados são iguais a ~a e os outros dois lados são iguais a ~ b . A soma de vários vetores também verifica a propriedade associativa. b b a a a + b Figura 2.3.: Regra do paralelogramo para somar vetores. A soma de um vetor com si próprio ~a+~a=~a produz um vetor com a mesma direção e o mesmo sentido, mas com módulo duas vezes maior. Generalizando esse resultado, o produto de um escalar k e um vetor ~a será um vetor com a mesma direção de ~a mas com módulo igual a |k|a . O sentido de k~a será o mesmo de ~a , se k for positivo, ou oposto se k for negativo. Costuma escrever-se primeiro o escalar e a seguir o vetor, mas o produto de escalar e vetor é comutativo. Se k for igual a zero, k~a será o vetor nulo ~ 0 , ou seja, um vetor com o mesmo ponto inicial e final. Usando o produto de escalar por vetor, qualquer vetor ~a pode ser obtido pelo produto a~ea , em ~ea é um vetor de módulo unitário, com a mesma direção e sentido de ~a (figura 2.4). 22 Cinemática vetorial a ea Figura 2.4.: Versor~eaassociado ao vetor~a. Esse vetor unitário, com a mesma direção e sentido de ~a , chama-se o versor de ~a . Neste livro será usado sempre um eminúsculo para representar versores. No capítulo anterior foi dito que a posição de um ponto P no espaço é dada por três coordenadas definidas em algum sistema de coordenadas e foram introduzidas as coordenadas cartesianas. A figura 2.5 mostra as coordenadas cartesianas (xP,yP,zP) de um ponto P. x y z r exey ez xP yP zP OP Figura 2.5.: Coordenadas cartesianas de um ponto P e versores cartesianos. Existem duas formas de definir os sentidos positivos dos três eixos x , y e z ; é habitual definir esses sentidos positivos seguindo a regra da mão direita : fechando o punho direito, esticam-se os dedos maior, indicador e polegar, de forma a formar ângulos retos entre si; o indicador apontará no sentido do eixo dos x , o dedo maior no sentido do eixo dos y e o polegar no sentido do eixo dos z . Um referencial cartesiano pode ser definido indicando o ponto O que define a origem e 3 versores perpendiculares, ~ex , ~ey e ~ez , que definem as direções dos 3 eixos. Qualquer vetor pode ser obtido somando 3 deslocamentos ao longo dos 3 eixos; por exemplo, ~a=ax~ex+ay~ey+az~ez(2.2) ~ b=bx~ex+by~ey+bz~ez(2.3) em que ( ax , ay , az )e( bx , by , bz ) são as componentes cartesianas dos vetores. Usando as propriedades da soma vetorial e do produto de escalar por vetor, a soma dos vetores ~a e ~ b pode ser escrita, em função das componentes, como, ~a+~ b= (ax+bx)~ex+(ay+by)~ey+(az+bz)~ez(2.4) 2.1 Vetores 23 Ou seja, a soma de dois vetores é outro vetor com componentes iguais à soma das componentes dos vetores originais. Observe que a direção, o sentido e o módulo de um vetor ~a são independentes do sistema de eixos usado e da escolha da origem O; no entanto, as suas componentes ( ax , ay , az ) serão diferentes em diferentes sistemas de eixos. Se dois vetores são iguais, as suas componentes, no mesmo sistema de eixos, também deverão ser iguais. O vetor posição dum ponto P define-se como o vetor ~rP que vai desde a origem O até o ponto P, que pode ser obtido somando 3 deslocamentos ao longo dos 3 eixos, ~rP=xP~ex+yP~ey+zP~ez(2.5) Observe que as componentes desse vetor posição são iguais as coordenadas cartesianas do ponto P, ( xP , yP , zP ). O vetor posição do ponto P depende do sistema de eixos e da origem escolhidos; em diferentes sistemas de eixos os vetores posição do mesmo ponto terão diferentes módulos e direções. 2.1.2. Velocidade e aceleração vetoriais A trajetória de um ponto em movimento pode ser definida em cada instante t através do vetor de posição do ponto, ~r(t) = x(t)~ex+y(t)~ey+z(t)~ez(2.6) Cada uma das três componentes, x(t),y(t)ez(t), é uma função do tempo. Num intervalo de tempo ∆t=t2−t1o deslocamento do ponto (ver figura 2.6) é igual a ∆~r=~r2−~r1(2.7) em que~r1e~r2são os vetores posição nos instantes t1et2. O vetor obtido dividindo o deslocamento ∆~r por ∆t é o vetor velocidade média, com a mesma direção e sentido do deslocamento ∆~r . Define-se o vetor velocidade em cada x y z r1 r2 ∆ r O P1 P2 Figura 2.6.: Trajetória de um ponto e deslocamento ∆~rentre dois instantes t1et2. 24 Cinemática vetorial instante, igual ao deslocamento dividido por ∆t , no limite em que ∆t se aproxima de zero, ~v=lim ∆t→0 ∆~r ∆t=d~r dt(2.8) Como as componentes cartesianas do deslocamento são x2−x1=∆x , y2−y1=∆y e z2−z1=∆z, o vetor velocidade é ~v=˙x~ex+˙y~ey+˙z~ez(2.9) O aumento de~vdesde t1até t2é∆~v=~v2−~v1. Define-se o vetor aceleração, ~a=lim ∆t→0 ∆~v ∆t=d~v dt(2.10) e as suas componentes serão as derivadas das componentes da velocidade: ~a=˙vx~ex+˙vy~ey+˙vz~ez=¨x~ex+¨y~ey+¨z~ez(2.11) As equações (2.9) e (2.11) são as equações cinemáticas em 3 dimensões, escritas de forma vetorial. Como a igualdade de dois vetores implica a igualdade das suas componentes, verifica-se vx=˙x , ax=˙vx=¨x e equações semelhantes para as componentes y e z . Portanto, o movimento em 3 dimensões é a sobreposição de 3 movimentos em uma dimensão, ao longo dos eixos x , y e z , e cada um desses movimentos obedece as equações cinemáticas ao longo de um eixo, estudadas no capítulo anterior. Para cada uma das componentes cartesianas há uma quarta equação cinemática que relaciona a aceleração com a velocidade e a posição, ax=vxdvx dxay=vydvy dyaz=vzdvz dz(2.12) que não serão combinadas numa equação vetorial. A velocidade v referida no capítulo anterior é o módulo do vetor ~v ; para simplificar a linguagem costuma chamar-se velocidade ao vetor ~v e “valor da velocidade” ao seu módulo v ; em forma análoga, o vetor ~a costuma chamar-se aceleração e o seu módulo, a, chama-se valor da aceleração. Exemplo 2.1 A velocidade de uma partícula em função do tempo t verifica a expressão (unidades SI): ~v=5−t2e−t/5~ex+3−e−t/12~ey A partícula parte da posição ( 2~ex+5~ey ) no instante t=0 . Encontre o vetor posição, a velocidade e a aceleração no instante t=15 s e quando t tende para infinito. Trace o gráfico da trajetória da partícula durante os primeiros 60 segundos do movimento. 2.1 Vetores 25 Resolução . As componentes da velocidade podem ser representadas por uma lista no Maxima: (%i1) v: [5-t^2*exp(-t/5), 3-exp(-t/12)]; 2 - t/5 - t/12 (%o1) [5 - t %e , 3 - %e ] As funções diff e integrate aceitam também uma lista com expressões, derivando (ou integrando) cada um dos elementos da lista. Assim sendo, a aceleração (derivada da velocidade em ordem ao tempo) é, (%i2) a: diff (v, t); 2 - t/5 - t/12 t %e - t/5 %e (%o2) [---------- - 2 t %e , --------] 5 12 O vetor posição em qualquer instante t>0 é igual ao vetor posição no instante t= 0 , 2~ex+5~ey , mais o integral da velocidade desde 0 até t . Quando se integram listas, integrate não aceita que a mesma variável de integração apareça num dos limites do integral; para evitar esse erro, tpode ser substituído por outra variável uno integral (%i3) assume(t>0)$ (%i4) r: [2, 5] + integrate (subst (t=u, v), u, 0, t); - t/5 t/5 2 (%o4) [%e ((5 t - 250) %e + 5 t + 50 t + 250) + 2, - t/12 t/12 %e (3 t %e + 12) - 7] foi preciso responder que t é positiva, já que o Maxima poderá produzir respostas diferentes segundo o sinal. O vetor posição, a velocidade e a aceleração aos 15 segundos são, (%i5) float (subst (t=15, r)); (%o5) [- 67.20247971828913, 41.43805756232229] (%i6) float (subst (t=15, v)); (%o6) [- 6.202090382769388, 2.71349520313981] (%i7) float (subst (t=15, a)); (%o7) [.7468060255179592, .02387539973834917] Para obter os vetores no limite do tempo infinito, usa-se a função limit e o símbolo inf que representa infinito: (%i8) limit (r, t, inf); (%o8) [inf, inf] (%i9) limit (v, t, inf); (%o9) [5, 3] (%i10) limit (a, t, inf); (%o10) [0, 0] Ou seja, a partícula atingirá uma velocidade constante 5~ex+3~ey , afastando-se até o infinito. 26 Cinemática vetorial y x 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 Figura 2.7.: Trajetória da partícula durante os primeiros 60 segundos, desde o instante em que a partícula se encontrava no ponto (5, 2). Para traçar o gráfico da trajetória será necessário usar a opção parametric da função plot2d . As componentes x e y do vetor posição deverão ser dadas por separado, porque a função plot2d não admite que sejam dadas como uma lista. O primeiro elemento da lista r (componente x ) identifica-se com r[1] e o segundo elemento (componente y ) com r[2] (%i11) plot2d ([parametric, r[1], r[2], [t,0,60], [nticks,100]], [xlabel, "x"], [ylabel, "y"])$ O domínio do tempo, desde 0 até 60, foi indicado usando a notação [t,0,60] . A opção nticks foi usada para aumentar o número de intervalos de t utilizados para fazer o gráfico, pois o seu valor predefinido (29) não produz um gráfico suficientemente contínuo. O gráfico obtido é apresentado na figura 2.7. 2.1.3. Produto escalar O produto escalar entre dois vetores ~a e ~ b , indicado por meio de um ponto entre os vetores, ~a·~ b , define-se como o produto entre os módulos dos dois vetores e o cosseno do ângulo θ entre as suas direções: ~a·~ b=ab cosθ(2.13) A figura 2.8 mostra dois vetores ~a e ~ b e o ângulo θ formado pelas duas direções. O produto acosθ é igual à componente do vetor ~a na direção paralela ao vetor ~ b e o produto bcosθ é igual à componente do vetor ~ b na direção paralela ao vetor ~a . Assim sendo, o produto 2.1 Vetores 27 escalar é igual ao produto do módulo de um dos vetores vezes a componente do segundo vetor na direção paralela ao primeiro. a cos θ b cos θ θ θ a b Figura 2.8.: Dois vetores~ae~ be o ângulo θentre as suas direções. Este produto denomina-se escalar porque os módulos dos dois vetores e o ângulo entre as direções são grandezas escalares, que não dependem do referencial usado para os medir; consequentemente, o produto ab cosθ é também um escalar, independente do sistema de eixos usado. Duas retas que se cruzam num ponto definem dois ângulos θ e 180◦−θ . No caso de vetores, não existe ambiguidade na definição do ângulo, porque se deslocarmos os vetores para um vértice comum, o ângulo será a região dos pontos que estão deslocados nos sentidos dos dois vetores em relação ao vértice (ver figura 2.9). O produto escalar entre dois vetores com módulos a e b estará sempre dentro do intervalo [ −ab , ab ]. Se o ângulo entre os vetores for agudo, cosθ>0 , o produto será positivo. Se o ângulo for obtuso, cosθ<0 , o produto será negativo e se os vetores forem perpendiculares, o produto será nulo (figura 2.9). O valor mínimo do produto, −ab , obtém-se no caso em que os vetores tenham a mesma direção, mas com sentidos opostos. O valor máximo, ab , é obtido no caso em que os vetores tenham a mesma direção e sentido. θ θ aaa bbb Figura 2.9.: Vetores que formam ângulo agudo, reto ou obtuso. Como o módulo dos versores é igual a 1, o produto entre dois versores é sempre igual ao cosseno do ângulo entre as suas direções. Portanto, o ângulo entre duas direções no espaço pode ser determinado calculando o arco cosseno do produto escalar entre dois versores nessas direções θab =arccos (~ea·~eb)(2.14) 34 Cinemática vetorial CBA yAyC yB Figura 2.13.: Sistema com três movimentos dependentes e dois graus de liberdade. A derivada da equação (2.29) conduz à relação entre as acelerações, ¨yA+2 ¨yB+¨yC=0 (2.30) Exemplo 2.3 No sistema da figura, calcule o valor da velocidade com que sobe o cilindro, quando o anel A for puxado para baixo com velocidade de valor 2 m/s. Resolução: Neste caso há 4 sistemas em movimento, as três roldanas móveis e o anel A (o movimento do cilindro é igual ao da roldana móvel da qual está pendurado) e 3 fios inextensíveis; portanto, este sistema tem apenas um grau de liberdade. Com o valor da velocidade de A dada no enunciado será possível calcular as velocidades de todas as roldanas móveis. Sendo y1 a distância desde o teto até o anel e y2 , y3 e y4 as distâncias desde o teto até cada uma das roldanas móveis, os comprimentos dos 3 fios são: y1 y2 y3 y4 A L1=y1+2y2+constante L2=y3+(y3−y2)+constante L3=y4+(y4−y3)+constante 2.4 Movimentos dependentes 35 Derivando essas três equações, obtém-se: vy1=−2vy2vy2=2vy3vy3=2vy4 e substituindo, encontra-se a relação entre vy1evy4, vy1=−8vy4 isto é, o valor da velocidade com que desce o anel é 8 vezes o da velocidade com que o cilindro sobe. Assim sendo, o cilindro sobe com velocidade de valor 0.25 m/s. Perguntas 1. O bloco na figura encontra-se sobre um plano inclinado a 40 ◦ . Um extremo do fio está preso na parede e o outro extremo está a ser deslocado com velocidade de valor v no sentido indicado na figura. Qual será o valor da velocidade do bloco em função de v? 40˚ v A. v B. v/2 C. vcos40◦ D. 2v E. vsin40◦ 2. Um automóvel entra numa curva com velocidade de valor 10 m/s em direção sul e 6 segundos mais tarde continua com o mesmo valor da velocidade, mas em direção oeste. Calcule o módulo da aceleração média durante esse intervalo. A. 1.67 m/s2 B. 2.36 m/s2 C. 2.89 m/s2 D. 3.33 m/s2 E. 0 3. Um projétil é disparado formando um ângulo de 40 ◦ com a horizontal. Se no ponto mais alto da sua trajetória o valor da sua velocidade é 80 m/s e se a resistência do ar pode ser ignorada, qual foi aproximadamente o valor da velocidade com que foi lançado? A. 104.4 m/s B. 124.5 m/s C. 61.3 m/s D. 51.3 m/s E. 80 m/s 4. Uma partícula que se desloca a 4 m/s na direção do eixo dos y sofre uma aceleração com valor constante 3 m/s 2 , na direção do eixo dos x , durante dois segundos. Qual será o valor final da velocidade? A. 5.0 m/s B. 6.3 m/s C. 7.2 m/s D. 8.4 m/s E. 10.0 m/s 5. No sistema da figura, com um carrinho, uma barra, um cilindro, 2 roldanas móveis e 4 roldanas fixas, a barra permanece 36 Cinemática vetorial sempre horizontal. Quantos graus de liberdade tem o sistema? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Problemas 1. (a) Demonstre a Lei dos cossenos : Em qualquer triângulo com lados de comprimento a,bec, verifica-se a relação, a2=b2+c2−2bc cosα em que α é o ângulo oposto ao lado de comprimentos a ; o teorema de Pitágoras é um caso particular, em que α é um ângulo reto. Sugestão : desenhe o triângulo formado por dois vectores~ be~ce a sua soma~a=~ b+~ce calcule o produto~a·~a. (b) Dois vetores com módulos de 5 e 8 unidades apontam em duas direções que fazem um ângulo de 42◦; usando a lei dos cossenos, calcule o módulo da soma dois vetores. 2. Dados dois vetores~a=3~ex+4~ey−5~eze~ b=−~ex+2~ey+6~ez, calcule: (a) O módulo de cada vetor. (b) O produto escalar~a·~ b. (c) O ângulo entre os vetores. (d) A soma~a+~ b. (e) A diferença~a−~ b. 3. Uma partícula desloca-se no plano xy . A velocidade, em função do tempo, é dada pela expressão: ~v=3e−2t~ex−5e−t~ey (SI). No instante t=0 a partícula encontra-se no eixo dos y, na posição 2~ey. (a) Determine em que instante passará pelo eixo dos x e a que distância da origem estará nesse instante. (b) Calcule a aceleração em t=0 e no instante em que passa pelo eixo dos x. 4. Um corpo encontra-se inicialmente na posição ~r0=3~ex+~ey−~ez (unidades SI) com velocidade ~v0=5~ey+4~ez . Em qualquer instante, a aceleração é dada pela expressão ~a=2t2~ex+3t~ez. Encontre as expressões para a velocidade e a posição em função do tempo. 2.4 Movimentos dependentes 37 5. Um projétil é lançado desde o chão, com uma inclinação de 30 ◦ com a horizontal. Que valor deverá ter a velocidade inicial para que bata no chão a 30 m do ponto de lançamento? (admita que a resistência do ar pode ser desprezada.) 6. Uma pedra roda pelo telhado de uma casa, que faz um ângulo de 20 ◦ com a horizontal. No instante em que a pedra abandona o telhado e cai livremente, o valor da sua velocidade é 4 m/s e encontra-se a uma altura de 6 m. Admitindo que a resistência do ar é desprezável, (a) Calcule o tempo que demora a cair ao chão, desde o instante em que abandona o telhado. (b) A que distância horizontal bate a pedra no chão, em relação ao ponto onde abandonou o telhado? (c) Calcule o ângulo que a velocidade da pedra faz com a vertical no instante em que bate no chão. 7. Quando o motor de um barco funciona na potência máxima, o barco demora 20 minutos a atravessar um canal com 1.5 km de largura, num dia em que o valor da velocidade da corrente no rio é 1.2 m/s; calcule o valor da velocidade do barco, (a) em relação à Terra e (b) em relação à água. (c) Determine o tempo mínimo que o barco demorava a atravessar o mesmo canal, num dia em que o valor da velocidade da corrente fosse 0.8 m/s. 8. Dentro de um comboio que se desloca horizontalmente, com velocidade de valor constante 35 km/h, um passageiro em pê numa cadeira lança horizontalmente um objeto, no sentido oposto ao deslocamento do comboio. Em relação ao chão da carruagem, o objeto foi lançado desde uma altura de 3 m e desloca-se horizontalmente 3 m antes de bater no chão. Em relação ao referencial da Terra, qual foi a distância horizontal percorrida pelo objeto antes de bater no chão? 9. Um objeto parte da origem em t=0 e em t>0 a sua posição é dada pelo vetor ~r=3(1−e−t)~ex+41−e−2t~ey(unidades SI). (a) A que distância da origem estará o objeto quando t→∞? (b) Calcule a distância total percorrida desde t=0 até t→∞ (encontrará um integral que não pode ser calculado por métodos analíticos; poderá ser resolvido numericamente, no Maxima, usando a função romberg , que precisa os mesmos argumentos do que a função integrate ; em vez de usar t=∞ , comece por usar t=10 e aumente esse valor gradualmente até obter o valor assimptótico). 10. No sistema da figura, encontre a relação entre os valores das velocidades e das acelerações da barra A e do cilindro B, admitindo que a barra A permanece sempre horizontal. A B 38 Cinemática vetorial 11. O carrinho na figura desloca-se para a esquerda, com velocidade de valor constante 4 m/s. Sabendo que a altura h é igual a 25 cm e arbitrando t=0 no instante em que a distância x é nula, encontre expressões para os valores da velocidade e da aceleração do cilindro (admita que os raios das roldanas podem ser desprezados). x y d h v Respostas Perguntas: 1. B. 2. B. 3. A. 4. C. 5. B. Problemas 1. (a) ~a·~a=a2=b2+c2+2~ b·~c . Como o ângulo entre os dois vetores é θ=180◦−α , segue que~ b·~c=bc cos(180◦−α) = −ab cosα (b) 12.18 unidades. 2. (a)a=5√2, b=√41. (b)−25. (c) 123.5◦. (d) 2~ex+6~ey+~ez. (e) 4~ex+2~ey−11~ez. 3. (a)t=0.5108 s, x=0.96 m. (b) Em t=0 , ~a= (−6~ex+5~ey) m/s 2 . Quando passa pelo eixo dos x , ~a= (−2.16~ex+ 3~ey)m/s2. 4. ~v=2 3t3~ex+5~ey+4+3 2t2~ez ~r=3+t4 6~ex+(1+5t)~ey+−1+4t+t3 2~ez 5. v=18.43 m/s. 6. (a) 0.976 s. (b) 3.67 m. (c) 19.0◦. 7. (a) 1.25 m/s. (b) 1.73 m/s. (c) 16 minutos e 20 segundos. 8. 4.6 m. 9. (a) 5 m. (b) 5.23 m. 10. vB=4vA,aB=4aA 11. v=64t √256t2+1at=64√256t2+1 65536t4+512t2+1(SI) 3. Movimento curvilíneo As fortes acelerações sentidas numa montanha russa não são devidas apenas aos aumentos e diminuições de velocidade, mas são causadas também pelo movimento curvilíneo. A taxa de aumento da velocidade é apenas uma das componentes da aceleração, a aceleração segundo a trajetória. A outra componente da aceleração depende da velocidade e do raio de curvatura da trajetória como se demonstra neste capítulo. 40 Movimento curvilíneo 3.1. Versor tangencial Em cada ponto de uma trajetória pode definir-se um versor tangencial ~et , na direção tangente à trajetória e no sentido em que a posição s aumenta. A figura 3.1 mostra o versor tangencial em três pontos A, B e P de uma trajetória. AB P etet et et Figura 3.1.: Versor tangencial~etem três pontos da trajetória. Observe-se que no ponto P existem dois versores tangenciais. Um deles é tangente à curva entre B e P e o outro é tangente à curva entre P e os pontos seguintes. O vetor velocidade de um corpo que segue essa trajetória será sempre na mesma direção do versor tangencial (o sentido pode ser o mesmo ou oposto). Nos pontos como P, onde existem dois vetores tangenciais, a velocidade é necessariamente nula; o corpo fica momentaneamente em repouso nesse ponto, começando logo a deslocar-se em outra direção diferente à que seguia antes de parar. Nos pontos onde a velocidade não é nula, existe sempre um único versor tangencial ~et , que define a direção do vetor velocidade. Ou seja, a velocidade vetorial pode ser escrita, ~v=v~et(3.1) Conforme referido no capítulo 2, a velocidade vetorial ~v é igual à derivada do vetor posição ~r ~v=d~r dt(3.2) O vetor posição ~r não tem de ter nenhuma relação com o versor tangencial, já que ~r depende do ponto que esteja a ser usado como origem do referencial (ver figura 3.2). No entanto, a equação (3.2) garante que, independentemente da escolha do referencial, o vetor deslocamento, d~rserá sempre o mesmo. Se ∆~r for o vetor deslocamento durante um intervalo de tempo ∆t (figura 3.2), a distância percorrida durante esse intervalo, |∆s| , é sempre maior ou igual que o módulo de ∆~r . A distância percorrida é medida sobre a trajetória, enquanto que o módulo do deslocamento é medido no segmento de reta entre os pontos inicial e final. O módulo de ∆~r só seria igual a ∆s se a trajetória fosse reta, com versor tangencial constante. No limite quando ∆t for muito pequeno, os dois pontos estarão muito próximos na trajetória e, assim sendo, a direção de ∆~r será aproximadamente a mesma direção do 3.2 Versor normal 41 x y z r r + ∆r ∆r et et ∆s Figura 3.2.: Deslocamento vetorial entre dois pontos nas posições~re~r+∆~r. versor tangencial e o módulo de ∆~r será aproximadamente igual a |∆s| ; isto é, o vetor deslocamento é aproximadamente igual a ∆s~et. A derivada do vetor posição é então, d~r dt=lim ∆t→0 ∆~r ∆t=lim ∆t→0 ∆s ∆t~et=ds dt~et(3.3) E, substituindo na equação (3.2), obtém-se, ~v=˙s~et(3.4) O valor da velocidade, em qualquer movimento, é sempre igual à derivada da posição na trajetória, s , em ordem ao tempo. Este resultado explica porquê no capítulo 1 denominou-se “velocidade” à derivada ˙s , já que ˙s não é apenas uma componente da velocidade mas sim o valor da velocidade. 3.2. Versor normal A aceleração vetorial ~a é igual à derivada da velocidade em ordem ao tempo e, como tal, obtém-se derivando o lado direito da equação (3.4): ~a=d~v dt=¨s~et+˙sd~et dt(3.5) Observe-se que a derivada do vetor tangencial não é nula, porque esse vetor não é necessariamente igual em diferentes instantes. A figura 3.3 mostra como calcular a derivada de ~et . Deslocando os dois versores tangenciais dos pontos A e B da figura 3.1 para um ponto comum, o aumento de ~et no intervalo desde A até B é o vetor ∆~et que une os dois vetores. et (A) et (B) ∆ θ ∆et Figura 3.3.: Variação do versor tangencial. 42 Movimento curvilíneo Sendo o módulo de ~et igual a 1, os dois versores ~et na figura 3.3 descrevem um arco de círculo com raio 1 e ângulo ∆θ . Se o ângulo for medido em radianos, o comprimento desse arco será igual a ∆θ . Se o intervalo de tempo ∆t for aproximadamente zero, os dois pontos considerados, A e B, estarão muito próximos na trajetória, o vetor ∆~et será perpendicular à trajetória e o seu módulo será aproximadamente igual ao arco de círculo ∆θ; conclui-se que a derivada de~eté, d~et dt=lim ∆t→0 ∆~et ∆t=lim ∆t→0 ∆θ ∆t~en=˙ θ~en(3.6) em que ~en é o versor normal , perpendicular à trajetória, e ˙ θ representa o valor da velocidade angular . Substituindo essa derivada na equação (3.5) , obtém-se a expressão para a aceleração: ~a=¨s~et+˙s˙ θ~en(3.7) Concluindo, a aceleração tem uma componente tangencial à trajetória e uma componente normal (perpendicular) à trajetória. A componente tangencial da aceleração, at=¨s , é a aceleração segundo a trajetória já introduzida no capítulo 1. A componente normal da aceleração é igual ao produto do valor da velocidade ˙s pelo valor da velocidade angular ˙ θ , an=˙s˙ θ(3.8) (¨spode ser positiva ou negativa, mas o produto ˙s˙ θé sempre positivo). Tendo em conta que os versores ~et e ~en são perpendiculares em todos os pontos da trajetória, a equação (3.7) implica que o módulo da aceleração, |~a| , é o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são as componentes tangencial e normal da aceleração; o teorema de Pitágoras para esse triângulo é então, a2=a2 t+a2 n(3.9) A B P ∆ θ et en en et en et en eten Figura 3.4.: Versores tangencial e normal em alguns pontos da trajetória. O ângulo de rotação do versor tangencial, ∆θ , é também igual ao ângulo de rotação do versor normal ~en . A figura 3.4 mostra os versores normais nos mesmos pontos A e B da trajetória na figura 3.1. Repare-se que no ponto A existem dois versores normais, com a mesma direção mas sentidos opostos, porque a trajetória curva-se para cima antes do 3.2 Versor normal 43 ponto A, mas a partir do ponto A começa a curvar-se para baixo. Esse tipo de ponto, onde o sentido da curvatura muda, denomina-se ponto de inflexão. No ponto P (figura 3.4) existem duas direções normais, porque, conforme referido na secção anterior, existem dois versores tangenciais. Em qualquer ponto o versor normal aponta no sentido em que a trajetória se curva, excepto no caso de uma trajetória retilínea, em que existem infinitos versores perpendiculares ao versor tangencial~et. A figura 3.5 mostra o versor normal no início e no fim do percurso entre os pontos A (instante t0 ) e B (instante t0+∆t ) correspondente ao movimento da figura 3.4. As direções dos dois versores normais cruzam-se num ponto comum C. As distâncias desde C até os pontos A e B são diferentes ( RA e RB ), mas serão iguais no limite ∆t→0 , em que o ponto C aproxima-se do centro de curvatura da curva. A distância desde o centro de curvatura num instante e o ponto da trajetória, nesse mesmo instante, é o raio de curvatura, R, da trajetória. A B C ∆ θ ∆s RA RB et en et en Figura 3.5.: Raio de curvatura. Em cada ponto da trajetória existe um centro e um raio de curvatura. Cada percurso infinitesimal de comprimento ds pode ser aproximado por um arco de circunferência de raio R e ângulo dθ ; a distância percorrida é o comprimento desse arco, ds=Rdθ . Assim sendo, conclui-se que o valor da velocidade angular é, ˙ θ=lim ∆t→0 ∆θ ∆t=lim ∆t→0 ∆s R∆t=˙s R(3.10) Ou seja, em cada ponto da trajetória o valor da velocidade angular ˙ θ é igual ao valor da velocidade, ˙s , dividida pelo raio de curvatura R nesse ponto. Usando este resultado, a componente normal da aceleração, an, pode ser escrita do modo seguinte an=v2 R(3.11) O versor normal e a componente normal da aceleração, apontam sempre no sentido do centro de curvatura. Como tal, a componente normal da aceleração, an , é chamada habitualmente aceleração centrípeta. Exemplo 3.1 A posição de uma partícula, em função do tempo t, é dada pela expressão (SI): ~r=5t~ex+3 2t2~ey+2(1−t2)~ez Determine a expressão para o raio de curvatura da trajetória em função do tempo e calcule o raio de curvatura em t=0 e t=1. 50 Movimento curvilíneo Exemplo 3.2 Cola-se um extremo de um fio numa roldana com raio de 5 cm, enrolando-o e pendurando um bloco do outro extremo (ver figura). No instante inicial o bloco e a roldana estão em repouso e o ponto P da roldana encontra-se à mesma altura do seu centro C. O bloco começa a descer, com aceleração constante de valor igual a g/4 . Determine a velocidade e a aceleração do ponto P, dois segundos após o instante inicial. PC Resolução . Escolhe-se um sistema de coordenadas, que pode ser o que se mostra na figura, com origem no centro da roldana. A figura mostra também a posição do ponto P quando a roldana já rodou um ângulo θ desde a posição inicial. O vetor posição do ponto P é, ~rP=−R(cosθ~ex+sinθ~ey) P C x y R θ Para calcular a velocidade do ponto P, é necessária também a velocidade angular, que pode ser obtida a partir do valor da velocidade do bloco. Para encontrar uma expressão para o valor da velocidade do bloco, integra-se a equação cinemática ˙vb=at ˙vb=g 4=⇒vb=gt 4 Como todos os pontos do fio têm esse mesmo valor da velocidade e os pontos da superfície acompanham o movimento do fio, esse será também o valor da velocidade dos pontos na superfície da roldana e o valor da velocidade angular da roldana será vb/R=gt/(4R) . A velocidade angular é perpendicular ao plano xy e, como a rotação é no sentido anti-horário, será, ~ ω=gt 4R~ez A velocidade do ponto P é igual ao produto vetorial da velocidade angular pelo vetor posição do ponto P: ~vP=~ ω×~rP=−gt 4(cosθ(~ez×~ex)+sinθ(~ez×~ey)) = gt 4(sinθ~ex−cosθ~ey) Se o centro da roldana estivesse em movimento, era necessário adicionar a velocidade do centro. Observe-se que o mesmo resultado podia ter sido obtido derivando ~rP em ordem ao tempo, mas seria necessário obter primeiro a expressão para θ em função do tempo e os cálculos seriam mais complicados. 3.6 Movimentos de translação e de rotação dependentes 51 A aceleração angular é a derivada da velocidade angular em ordem ao tempo, ~ α=g 4R~ez e a aceleração do ponto P é, ~aP=~ α×~rP+~ ω×~vP=g 4(sinθ~ex−cosθ~ey)+ g2t2 16R(cosθ~ex+sinθ~ey) Para encontrar a expressão para θem função do tempo, integra-se a equação ˙ θ=ω ˙ θ=gt 4R=⇒θ=gt2 8R substituindo os valores de t=2 , R=0.05 e g=9.8 , em unidades SI, obtêm-se a velocidade e a aceleração nesse instante, ~vP=−2.81~ex+4.01~ey~aP=−394.8~ex−273.3~ey 3.6. Movimentos de translação e de rotação dependentes Numa roda em movimento sobre uma superfície, sem derrapar, o ângulo de rotação e o deslocamento da roda estão relacionados. Na figura 3.11, uma roda de raio R desloca-se para a direita, sobre uma superfície, sem derrapar. C C P P Q θ s Figura 3.11.: Roda que se desloca sem derrapar. Num instante inicial um ponto P da roda está em contacto com a superfície; após alguns instantes, a roda rodou um ângulo θ e o centro da roda percorreu uma distância s . O arco de circunferência Rθ deverá ser igual à distância percorrida s , já que todos os pontos nesse arco estiveram em contacto com pontos da superfície. s=Rθ(3.29) 52 Movimento curvilíneo derivando os dois lados da equação, obtém-se a relação entre a velocidade do centro C e a velocidade angular, v=Rω(3.30) e derivando novamente, observa-se que a aceleração de C segundo a trajetória é igual ao produto do raio pela aceleração angular: at=Rα(3.31) No caso das roldanas, se a roldana roda sem o fio derrapar sobre a sua superfície, os pontos na superfície da roldana terão a mesma velocidade do fio e subtraindo a velocidade do centro da roldana obtém-se a velocidade do ponto na superfície da roldana, relativa à roldana; o valor dessa velocidade relativa, dividido pelo raio da roldana, deverá ser igual à velocidade angular da roldana. Exemplo 3.3 A roldana fixa no sistema da figura tem raio de 3 cm e a roldana móvel tem raio de 5 cm. Calcule o valor da velocidade do carrinho e das velocidades angulares das roldanas, no instante em que o cilindro desce com velocidade de valor 1.5 m/s, admitindo que o fio não derrapa nas roldanas. xd y Resolução . Este sistema já foi estudado na secção 2.4 onde mostrou-se que o valor da velocidade do carrinho é o dobro da velocidade do cilindro. Assim sendo, o valor da velocidade do carrinho é 3 m/s. Na roldana fixa, o valor da velocidade dos pontos na superfície será o mesmo que no carrinho, 3 m/s e, como tal, o valor da velocidade angular da roldana fixa é, ω1=3 0.03 =100 s−1 3.6 Movimentos de translação e de rotação dependentes 53 O centro da roldana móvel também desce a 1.5 m/s. No ponto da sua superfície, no lado direito, o fio está estático e, assim sendo, esse ponto desloca-se para cima, em relação ao centro, com velocidade de valor 1.5 m/s. O ponto na superfície da roldana, no lado esquerdo, desloca-se para baixo, com a velocidade do carrinho, 3 m/s, de modo que em relação ao centro da roldana desloca-se para baixo, com velocidade de valor 1.5 m/s. O valor da velocidade angular da roldana móvel é, ω2=1.5 0.05 =30 s−1 A parte do fio no lado direito da roldana móvel, que permanece estático, pode ser considerado como uma superfície vertical em que a roldana roda como uma roda sobre uma superfície. O valor da velocidade do centro da roda, que é igual ao valor da velocidade do cilindro, é igual ao produto do valor da velocidade angular da roda pelo raio da roda. O valor da velocidade do ponto mais à esquerda na roda, que é o valor da velocidade do carrinho, é o produto do valor da velocidade angular da roda pelo diâmetro da roda. Essa é outra forma de explicar porque o valor da velocidade do carrinho é o dobro do valor da velocidade do cilindro, porque o diâmetro da roda é o dobro do seu raio. Exemplo 3.4 A barra na figura tem 2 metros de comprimento e está apoiada no chão no ponto A e numa parede no ponto B. No instante inicial t=0 a distância x é igual a 0.5 m e o ponto A começa a deslocar-se para a esquerda com valor da velocidade que dependente de x de acordo com a expressão (SI), vA=1 3−x 6(1 2≤x≤2) em quanto o ponto B desliza pela parede. Determine os valores da velocidade angular da barra e da velocidade do ponto B, em função de x. A B x y θ Resolução . Este sistema tem um único grau de liberdade, que pode ser a variável x . Sendo o comprimento da barra igual a 2, as relações entre xeycom o ângulo θsão, x=2 cosθy=2 sinθ Os valores das velocidades dos pontos A e B são os valores absolutos das derivadas de x e yem ordem ao tempo e derivando as equações acima obtém-se vA=2ωsinθ=ωy vB=2ωcosθ=ωx em que ω=˙ θé o valor da velocidade angular da barra. Pelo teorema de Pitágoras, y=√4−x2 . Substituindo esta expressão e a expressão dada para vA na primeira equação acima, obtém-se a expressão para o valor da velocidade 54 Movimento curvilíneo angular da barra, ω=2−x 6√4−x2(1 2≤x≤2) e substituindo na equação para vB, obtém-se, vB=2x−x2 6√4−x2(1 2≤x≤2) A figura 3.12 mostra o gráfico do valor da velocidade de B, desde o instante inicial, em que x=0.5 , até o instante em que a barra para, em x=2 . A velocidade tem um valor máximo de aproximadamente 9.7 cm/s, quando o ângulo θé aproximadamente 57◦. 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 vB x Figura 3.12.: Valor da velocidade do ponto B em função de x(unidades SI). Perguntas 1. No intervalo de tempo 0<t<1 , o valor da velocidade de um objeto em função do tempo verifica a expressão v= 5+3t2+2t3 . Se a trajetória do objeto for uma reta, qual das cinco funções na lista poderá ser a expressão correta para o valor da aceleração? A. a=5+6t+6t2 B. a=5 C. a=6t D. a=5+6t E. a=6t+6t2 2. Um objeto com movimento circular tem aceleração angular com valor constante α=3/π radiano/s 2 . Se o objeto parte do repouso, quanto tempo, em segundos, demorará a completar as primeiras 3 voltas? A. π B. 2π C. 3π D. 4π E. 5π 3. Um ponto num objeto descreve numa trajetória curva, com velocidade de valor constante. Qual das seguintes afirmações 3.6 Movimentos de translação e de rotação dependentes 55 é verdadeira? A. A aceleração é perpendicular à trajetória. B. O valor da aceleração é constante. C. A aceleração é tangente à trajetória. D. A aceleração é constante. E. A aceleração é nula. 4. Um projétil é lançado com velocidade inicial com valor v0 e direção inclinada que faz um ângulo θ com o plano horizontal. Determine o raio de curvatura da trajetória parabólica no instante inicial. A. v2 0tanθ g B. v2 0sinθ g C. v2 0cosθ g D. v2 0 gsinθ E. v2 0 gcosθ 5. O movimento circular de uma roda de raio RA é transmitido para outra roda de raio RB , através de uma correia que se desloca com as rodas, sem derrapar. Qual é a relação entre os valores das velocidades angulares ωAeωBde ambas rodas? RA RB A. RAωA=RBωB B. ωA=ωB C. R2 AωA=R2 BωB D. RBωA=RAωB E. R2 BωA=R2 AωB Problemas 1. No intervalo de tempo 0≤t≤10 , os valores da velocidade e da aceleração de uma partícula com movimento em 3 dimensões são dadas pelas funções: v=t√4t2+9 e a=√16t2+9 (unidades SI). Encontre, no mesmo intervalo de tempo, as expressões para: (a) A componente tangencial da aceleração. (b) A componente normal da aceleração. (c) O raio de curvatura. 2. Um motorista entra numa curva a 72 km/h, e trava, fazendo com que o valor da velocidade diminua a uma taxa constante de 4.5 km/h cada segundo. Observando o desenho, faça uma estimativa do raio de curvatura da curva no desenho e calcule o valor da aceleração do automóvel 4 segundos após ter iniciado a travagem. 5 m 3. A equação da trajetória de um objeto é: ~r=8cos2(2t)~ex+4 sin(4t)~ey (unidades SI e ângulos em radianos). (a) Demonstre que o movimento do objeto é circular uniforme. (b) Calcule o valor da velocidade angular do objeto e o seu período. (c) Encontre a posição do centro da trajetória circular. 56 Movimento curvilíneo 4. Um piloto de corridas de aviões executa um loop vertical com 1200 m de raio. O valor da velocidade no ponto A, no início do loop, é 160 m/s e no ponto C, no fim do loop, é 140 m/s. Admitindo que a componente da aceleração tangencial é constante (negativa) durante todo o percurso, calcule o valor da aceleração no ponto B. 1200 m A B C 5. Dois carros A e B passam por uma curva usando trajetórias diferentes. A figura mostra a curva delimitada pela reta C. O carro B faz um percurso semicircular com raio de 102 m; o carro A avança uma distância em linha reta, a seguir segue um semicírculo com raio 82 m e termina com outro trajeto em linha reta. Os dois carros deslocam-se à velocidade máxima que podem ter para conseguir fazer a curva, que para o tipo de pneus usados corresponde à velocidade que produz uma aceleração normal de 0.8g , onde g é a aceleração da gravidade. Calcule o tempo que demora cada um dos carros a fazer a curva. 102 m 82 m C C A B 6. (a) Calcule a área do triângulo com vértices nos pontos A, B e C, com coordenadas cartesianas A=(3, 5, 4), B=(-1,2,1) e C=(2,-2,2). (b) Demonstre a Lei dos senos , para um triângulo com lados de comprimentos a , b e c , sinα a=sinβ b=sinγ c em que α,βeγsão os ângulos opostos aos lados a,bec. 7. A roda na figura tem duas partes com raios de 3 cm e 6 cm, que estão em contacto com duas barras horizontais A e B. A barra A desloca-se para a direita, com valor da velocidade de 10 m/s e a barra B desloca-se para a esquerda com valor da velocidade de 35 m/s, enquanto a roda mantém o contacto com as duas barras, sem derrapar. Determine para que lado se desloca o centro O da roda e calcule os valores da velocidade do ponto O e da velocidade angular da roda. A B O 3 cm 6 cm 3.6 Movimentos de translação e de rotação dependentes 57 8. Na máquina representada na figura, todas as roldanas têm raio igual a 5 cm. Determine os valores das velocidades angulares das quatro roldanas, quando o anel A for puxado para baixo com velocidade de valor constante 2 m/s. A 9. Uma roda com 20 cm de raio desloca-se, sem derrapar, sobre uma superfície plana, ao longo do eixo dos x . No instante t=0 o centro da roda encontra-se em x=0 e y=20 cm e os pontos P e Q da roda são os pontos que estão em x=0 com y=0 e y=10 cm. O valor da velocidade do centro da roda é 2 m/s, constante. (a) Calcule quanto tempo demora a roda a dar duas voltas completas. (b) Represente os gráficos das trajetórias dos pontos P e Q durante o tempo que a roda demora a dar duas voltas. x y C P Q 10. A figura mostra um mecanismo biela-manivela usado para transformar movimento circular em movimento retilíneo ou vice-versa. A manivela é a barra de comprimento r que roda à volta de um eixo fixo no ponto O, e a biela é a barra de comprimento L que liga a manivela a um pistão P que só pode deslocar-se ao longo de uma reta. Se o eixo x for escolhido na reta que passa pelo eixo O e o centro P do pistão e θ for o ângulo entre a manivela e o eixo x , (a) demonstre que em qualquer instante a posição xP do ponto P verifica a seguinte expressão: xP r L x OP θ xP=rcosθ+pL2−r2sin2θ (b) Encontre a relação entre o valor da velocidade angular da manivela e o valor da velocidade do pistão. (c) O comprimento L deverá ser maior que 2r ; represente o gráfico de vP em função do ângulo θ , no caso em que r=1 , L=4 e ω=1 (SI), no sentido indicado na figura, e mostre que a velocidade do pistão é nula quando θ for igual a 0 ou 180◦. 58 Movimento curvilíneo Respostas Perguntas: 1. E. 2. B. 3. A. 4. E. 5. A. Problemas 1. (a) 8t2+9 √4t2+9(b)6t √4t2+9(c)t 64t2+93/2 2. Aproximadamente 14 m/s2 3. (a) A aceleração tangencial é constante, at=0 , e a velocidade e a aceleração normal são constantes, v=16 , an=64 ; num movimento num plano, isso implica movimento circular uniforme. (b)ω=4 rad/s, T=π/2 (segundos). (c) coordenadas (4, 0). 4. 18.85 m/s2 5. 11.74 s para o carro A e 11.33 s para o carro B. 6. (a) 14.79 (b) Os três produtos ( ab sinγ ), ( ac sinβ ) e ( bc sinα ) são todos iguais ao dobro da área do triângulo; igualando cada par de produtos demonstra-se cada uma das igualdades. 7. Para a esquerda, com vO=20 m/s e ω=500 s−1. 8. De esquerda para direita, 5 s−1, 10 s−1, 20 s−1e 40 s−1. 9. (a) 1.26 s (b) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y x P Q 10. (b)vP=−ωr sinθ+rsin(2θ) 2pL2−r2sin2θ! (c) Em θ igual a 0 ou a 180 ◦ , sinθ e sin(2θ) são ambas nulas, e a expressão da velocidade do ponto P dá o valor 0. -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 1 2 3 4 5 6 vP θ 4. Mecânica vetorial Aos 23 anos Isaac Newton teve uma ideia inovadora que foi a inspiração para a sua teoria da gravitação e da mecânica em geral. Newton pensou que assim como uma maçã cai, devido à atração gravitacional da Terra, a Lua também se encontra em queda livre sob a ação gravitacional da Terra. A razão pela qual a queda livre da Lua não faz diminuir a sua distância à Terra, como no caso da queda da maçã, é porque a Lua tem uma velocidade horizontal muito elevada, de forma que em cada instante a distância horizontal percorrida e a distância vertical da queda descrevem um arco de círculo com raio constante. Com os dados conhecidos na época para a distância entre a Terra e a Lua e o período orbital da Lua, Newton calculou a distância vertical que a Lua cai por unidade de tempo; comparando com a distância da queda de uma maçã, descobriu que a força de atração gravitacional decresce inversamente proporcional à distância ao quadrado. 66 Mecânica vetorial Exemplo 4.1 Sobre uma partícula com massa de 200 gramas atuam duas forças (unidades SI): ~ F1=2t~ex+4~ey~ F2=−2~ex+~ey em que t é o tempo. A partícula parte do repouso em t=0 , na posição ~r=~ex+~ey+~ez . Calcule a posição da partícula em t=3 s. Resolução. A força resultante é a soma das duas forças ~ F=2(t−1)~ex+5~ey dividindo pela massa, 0.2 kg, obtém-se a aceleração vetorial ~a=10(t−1)~ex+25~ey substituindo na equação~a=d~v dtobtém-se, 10(t−1)~ex+25~ey=d~v dt separando variáveis e integrando, t Z 0 (10(t−1)~ex+25~ey)dt= ~v Z ~ 0 d~v=⇒~v= (5t2−10t)~ex+25t~ey substituindo na equação~v=d~r dt, (5t2−10t)~ex+25t~ey=d~r dt separando variáveis e integrando obtém-se o vetor posição em t=3 3 Z 0(5t2−10t)~ex+25t~eydt= ~r Z ~ex+~ey+~ez d~r=⇒~r=~ex+113.5~ey+~ez 4.2. Componentes normal e tangencial da força Conforme referido no capítulo 3, a aceleração de um objeto pode ser sempre separada nas suas componentes tangencial e normal, ~a=at~et+an~en(4.8) 4.2 Componentes normal e tangencial da força 67 onde at=˙v e an=v2/R . Aplicando a segunda lei de Newton, podemos também separar a força resultante em componentes normal e tangencial: ~ F=Ft~et+Fn~en(4.9) em que Ft=mateFn=man. Se a força resultante sobre uma partícula com velocidade ~v for ~ F , a componente Ft na direção paralela a ~v faz aumentar ou diminuir a velocidade, conforme estiver no mesmo sentido ou no sentido oposto de ~v . A componente Fn perpendicular a ~v faz curvar a trajetória da partícula no sentido dessa componente (figura 4.4). A B Ft F Fn Figura 4.4.: Componentes tangencial e normal da força. Exemplo 4.2 Um pêndulo simples , formado por uma esfera de 50 gramas pendurada de um fio de 25 cm, oscila pela ação da gravidade. No instante representado na figura, em que o fio faz um ângulo de 30 ◦ com a vertical, a esfera está a subir e o valor da sua velocidade é 1 m/s. Encontre o módulo da força de tensão no fio nesse instante e a aceleração tangencial da esfera. 25 cm 50 g 30˚ Resolução . Convém fazer um diagrama de corpo livre da esfera, isto é, um diagrama indicando unicamente as forças externas que atuam sobre o objeto. Neste caso, ignorando a resistência do ar, só há duas causas possíveis para essas forças: o fio e a atração da gravidade. Assim sendo, as únicas forças externas sobre a esfera são a tensão ~ T do fio, que atua na direção do fio e o peso, m~g , na direção vertical e sentido para baixo. A figura mostra as forças e os ângulos conhecidos. mg T 30˚ 30˚ n t Uma vez identificadas as forças, escolhe-se um sistema de eixos para calcular as componentes das forças. Neste caso, como o movimento é circular, é conveniente usar os eixos tangencial e normal, representados pelas leras tenno diagrama de corpo livre. 68 Mecânica vetorial O eixo normal aponta na direção do centro de curvatura da trajetória, que neste caso é a mesma direção do fio. O eixo tangencial é tangente à trajetória circular e, portanto, o vetor velocidade é perpendicular ao fio. Como a esfera está a subir, o vector velocidade tem o sentido do eixo tno diagrama. A tensão do fio tem unicamente componente normal e não tangencial. A componente tangencial do peso é −mg sin30◦=−0.245 N e a componente normal é −mg cos30◦= −0.4244 N. Assim, as componentes tangencial e normal da força resultante são: Ft=−0.245 Fn=T−0.4244 A aceleração tangencial é até agora desconhecida, mas a aceleração normal pode ser calculada com os dados conhecidos. an=v2 R=12 0.25 =4 (unidades SI). Igualando as componentes tangencial e normal a mat e man , obtém-se o seguinte sistema de equações: −0.245 =0.05at T−0.4244 =0.05×4 e a resposta é at=−4.9 m/s 2 , T=0.624 N. O sinal negativo da aceleração tangencial indica que a velocidade está a diminuir. 4.3. Reação normal e força de atrito No exemplo do cavalo a arrastrar um bloco da secção anterior já foi referida a existência de forças de contacto entre duas superfícies. Essas forças podem apontar em qualquer direção, mas o sentido é sempre no sentido em que as duas superfícies tendem a se afastar. É habitual separar essas forças de contato em duas componentes, uma componente perpendicular às superfícies em contato, chamada reação normal e outra componente tangente às superfícies, denominada força de atrito. A força de contato entre superfícies é realmente uma força distribuída em vários pontos da superfície. A resultante de todas essas forças será representada num ponto da superfície, separando as componentes normal e tangencial (figura 4.5). A reação normal, Rn terá sempre o sentido que faz separar os dois corpos em contato. A força de atrito, ~ Fa , pode ter qualquer um dos dois sentidos na direção tangencial. 4.3.1. Atrito estático Quando não existe movimento relativo entre as duas superfícies em contato, a força de atrito designa-se de atrito estático. A força de atrito estático pode ser nula, ou pode estar 4.3 Reação normal e força de atrito 69 Rn Fa Figura 4.5.: Reação normal Rn e força de atrito ~ Fa sobre um bloco na superfície de uma mesa. orientada em qualquer dos dois sentidos na direção tangente às superfícies em contato. No exemplo do cavalo e o bloco (figura 4.2) as forças de atrito nas ferraduras do cavalo são atrito estático. A força de atrito estático faz possível colocar um veículo em movimento ou fazer com que trave. É também a força que nos permite caminhar: empurramos com os nossos pés o chão e a reação do chão no sentido oposto faz-nos avançar. Figura 4.6.: A força que permite que o elétrico suba uma encosta ou trave na descida é a força de atrito estático entre as rodas e os carris. Mas se o chão estivesse coberto por gelo, os pés escorregavam para trás e não se conseguia avançar para a frente. Isso acontece porque o módulo da força de atrito estático não pode ultrapassar um valor máximo, que é proporcional à reação normal: Fe≤µeRn(4.10) em que µe é uma constante própria do tipo de superfícies em contato, chamada coeficiente de atrito estático . O coeficiente de atrito estático costuma ser menor que 1. Em termos da força de contato completa, isso implica que a a força de contato costuma estar perto da direção normal, com desvio máximo de menos de 45◦. 70 Mecânica vetorial Considere-se um exemplo: as forças entre a estrada e os pneus de uma bicicleta. As forças de atrito entre os dois pneus e a estrada são ambas forças de atrito estático, porque as rodas não escorregam. Na roda traseira a força de atrito aponta para a frente, na direção do movimento da bicicleta (figura 4.7), como resultado da reação da estrada à ação que o pneu exerce sobre a estrada no sentido oposto. A força de atrito na roda da frente é no sentido oposto ao movimento, porque nessa roda não é exercida nenhuma tração pelo ciclista. Para manter essa roda em rotação, contrariando o atrito no eixo da roda, é preciso que a estrada atue com força de atrito no sentido oposto à velocidade da bicicleta. F1 R1 F2 R2 Figura 4.7.: Forças normais e de atrito entre os pneus de uma bicicleta e a estrada. Se a velocidade da bicicleta for constante, o módulo da força de atrito no pneu traseiro deverá ser igual à soma dos módulos da força de atrito no pneu da frente e da resistência do ar. 4.3.2. Atrito cinético Quando as duas superfícies em contato deslizam entre si, a força de atrito designa-se de atrito cinético. No exemplo do cavalo e o bloco (figura 4.2) a força de atrito que atua no bloco é atrito cinético. A força de atrito cinético é sempre oposta ao movimento e tem módulo constante que depende da reação normal: Fc=µcRn(4.11) Em que µc é o coeficiente de atrito cinético , que costuma ser menor que o coeficiente de atrito estático entre as mesmas superfícies. Por ser oposta ao movimento, a força de atrito cinético faz sempre diminuir o valor da velocidade relativa entre as superfícies, mas nunca pode inverter o sentido da velocidade. No instante em que a velocidade seja nula, a força de atrito cinético também será nula. 4.3 Reação normal e força de atrito 71 Assim, embora o seu módulo seja constante, a força de atrito cinético depende implicitamente da velocidade. Na notação vetorial pode escrever-se na forma seguinte: ~ Fc=   ~ 0v=0 −µcRn v~v v 6=0(4.12) Em que ~v é a velocidade do corpo sobre o qual atua essa força, relativa à superfície que produz o atrito. Exemplo 4.3 Determine as forças que atuam sobre o bloco e o cavalo na figura 4.1, quando a velocidade é constante, sabendo que a massa do cavalo é 300 kg, a massa do bloco 350 kg, o ângulo que a corda faz com a horizontal é 20 ◦ , o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o chão é 0.4 e o coeficiente de atrito estático entre as ferraduras do cavalo e o chão é 0.5. Resolução . As forças que atuam sobre o bloco e sobre o cavalo foram representadas na figura 4.2. Como a aceleração é nula, a soma das componentes horizontais e verticais das forças sobre o bloco e o cavalo deverá ser nula. Começando pelo bloco, convém separar a força ~ Fb na sua componente normal, Rn (reação normal) e a sua componente tangencial, Fa (força de atrito). A soma das forças horizontais e verticais é, Tcos(20◦)−Fa=0Rn+Tsin(20◦)−mbg=0 Como a força de atrito Fa é atrito cinético, pode ser substituída por µcRn e, substituindo os valores do coeficiente de atrito cinético, massa do bloco e aceleração da gravidade, obtém-se um sistema de duas equações com duas incógnitas, Tcos(20◦)−0.4Rn=0Rn+Tsin(20◦)−3430 =0 a resolução desse sistema, no Maxima, é obtida como se segue. (%i1) float(solve([T*cos(%pi/9)-0.4*Rn=0,Rn+T*sin(%pi/9)-3430=0])); (%o1) [[T = 1274.499893860665, Rn = 2994.095363633225]] A reação normal no bloco é 2994 N e a tensão na corda é 1274 N. A soma das forças horizontais e verticais que atuam sobre o cavalo é: Fa1 +Fa2 −Tcos(20◦) = 0R1+R2−Tsin(20◦)−mcg=0 repare-se que neste caso não existe relação entre as forças de atrito e as reações normais, porque o atrito é estático. Substituindo o valor de T já calculado, a massa do cavalo e a aceleração da gravidade, Fa1 +Fa2 =1198 N 72 Mecânica vetorial R1+R2=3376 N A soma das reações normais nos pes do cavalo é 3376 N e a soma das forças de atrito é 1198 N. No capítulo sobre dinâmica da rotação explicar-se-á como calcular os valores de R1eR2por separado. Por enquanto só é possível calcular a sua soma. Os valores de Fa1 e Fa2 não podem ser calculados sem informação adicional; seria preciso saber a relação entre as pressões que o cavalo está a exercer em cada pé nesse instante. Do ponto de vista da dinâmica é apenas possível calcular a soma dessas duas forças. O coeficiente de atrito estático entre as ferraduras e a estrada permite conferir se o cavalo consegue de facto arrastar o bloco, que tem peso superior ao seu próprio peso. A força de atrito estático máximo entre as ferraduras e o chão é: Fmax =µe(R1+R2) = 1688 N A soma das forças Fa1 e Fa2 é menor que esse valor; conclui-se que o cavalo podia arrastar um bloco ainda mais pesado sem que as ferraduras comecem a escorregar. 4.3.3. Força de resistência nos fluidos A maior parte dos movimentos analisados neste livro são movimentos de corpos rígidos dentro de fluidos. No exemplo do cavalo que arrasta um bloco, os dois corpos estão em movimento dentro do ar, que é um fluido. O ar exerce uma força de resistência ao movimento, que é sempre em sentido oposto à velocidade. Nos diagramas de forças na figura 4.2 ignorou-se a força de resistência do ar, admitindo que seria muito menor do que as outras forças, porque o valor da velocidade é baixo. Mas em casos como o a queda livre de um objeto, essas forças já não são desprezáveis. Nesta secção explica-se como dependem essas forças da velocidade. A força de resistência ao movimento nos fluidos é produzida principalmente por dois mecanismos diferentes; o primeiro depende da viscosidade do fluido e é devido a que as camadas do fluido mais próximas colam-se ao corpo, acompanhando o seu movimento e criando atrito com outras camadas de fluido mais afastadas, que se traduz numa força diretamente proporcional à velocidade. O segundo mecanismo tem a ver com a diferença de pressões gerada no fluido à frente e atrás do corpo. O fluido é comprimido na região da frente. Essa diferença de pressões produz uma força oposta ao movimento, diretamente proporcional ao quadrado da velocidade. Os dois mecanismos estão sempre presentes, mas em algumas condições um deles pode ser muito mais apreciável do que o outro. O número de Reynolds permite concluir qual dos dois mecanismo é mais importante e é definido por NR=lv ρ η(4.13) 4.3 Reação normal e força de atrito 73 onde l é um comprimento da ordem de grandeza da secção reta do corpo visto na direção do movimento, v a velocidade do corpo, ρ a massa volúmica do fluido e η o seu coeficiente de viscosidade. O número de Reynolds não tem unidades e não é necessário conhecer o seu valor exato mas apenas a sua ordem de grandeza. Stokes demonstrou que nas condições em que o número de Reynolds é muito baixo (ordem de grandeza de 1 ou menor), a força de resistência do fluido é proporcional à velocidade. No caso de uma esfera de raio R, a expressão para essa força é: Fr=6π η Rv (4.14) Quando o número de Reynolds é muito elevado (ordem de grandeza dos milhares, ou maior) a força de resistência do fluido é proporcional ao quadrado da velocidade do corpo: Fr=1 2CDρAv2(4.15) onde ρ é a massa volúmica do fluido, CD é a constante aerodinâmica do corpo, menor para corpos pontiagudos e maior para corpos menos aerodinâmicos e A é a secção reta do corpo visto na direção do movimento. No caso de uma esfera de raio R , essa secção é πR2 e o coeficiente aerodinâmico é aproximadamente 1/2; como tal, a força de resistência do fluido sobre a esfera, quando o número de Reynolds é elevado é: Fr=π 4ρR2v2(4.16) Se a velocidade for muito elevada, da ordem da velocidade do som no fluido (no ar é da ordem de 340 m/s) a força de resistência do fluido é proporcional à velocidade levantada a um expoente maior do que 2. Para uma esfera de raio R , o número de Reynolds pode ser calculado substituindo l por R na equação (4.13) . Para decidir qual das duas equações, (4.14) ou (4.16) , é a correta, pode começar-se por admitir que o número de Reynolds é baixo e resolve-se o problema usando a equação (4.14) ; se os valores obtidos conduzem a um número de Reynolds baixo, admite-se que a solução é correta; caso contrário, resolve-se novamente o problema usando a equação (4.16) e corrobora-se que os resultados conduzem a um número de Reynolds elevado mas a velocidade é menor que a velocidade do som nesse fluido (ver o problema 7 no fim do capítulo). A resistência ao movimento dos corpos no ar pode admitir-se que é proporcional ao quadrado da velocidade, a menos que a velocidade seja comparável ou superior à velocidade do som no ar (340 m/s). Com efeito, o coeficiente de viscosidade é 5 ordens de grandeza menor que a massa volúmica, conduzindo a números de Reynolds elevados; o número de Reynolds só é baixo se a velocidade for muito baixa, mas nesse caso a resistência do ar é desprezável, ou nos corpos microscópicos em que o tratamento macroscópico da mecânica Newtoniana não é o mais apropriado. 74 Mecânica vetorial No caso de uma esfera em queda livre num fluido, atuam 3 forças externas: o peso, mg , a impulsão, que de acordo com o princípio de Arquimedes é igual ao peso do fluido que ocupava o espaço da esfera, mfg , e a força de resistência do fluido. Se a massa volúmica da esfera é maior que a massa volúmica do fluido, o peso mg é maior que a impulsão mfg e a esfera cai; nesse caso, a resistência do fluido aponta para cima e o seu módulo é dado pelas expressões (4.14) ou (4.16) . Na queda livre no ar, a aceleração resultante tem módulo m0g−Cv2 , apontando na direção vertical para baixo, onde C é uma constante e m0=m−mf . No problema 9 do capítulo 1 demonstrou-se que a velocidade atinge um valor limite pm0g/C. mg mfg FrFr Figura 4.8.: Queda num fluido. Perguntas 1. Um livro encontra-se em repouso sobre uma mesa. Qual das afirmações seguintes é correta: A. Não há força a atuar sobre o livro. B. O livro não tem inércia. C. Não há força a atuar sobre a mesa. D. O livro encontra-se em equilíbrio. E. A inércia do livro é igual à inércia da mesa. 2. Duas bolas metálicas têm o mesmo tamanho mas uma delas pesa o dobro da outra. As duas bolas são lançadas simultaneamente, a partir do repouso, do topo de um prédio. Como se comparam os tempos de queda das bolas? A. A bola mais pesada demora aproximadamente metade do tempo da bola mais leve. B. A bola mais leve demora aproximadamente metade do tempo da bola mais pesada. C. Os dois tempos são semelhantes, mas a bola mais pesada demora menos tempo que a bola mais leve. D. Os dois tempos são semelhantes, mas a bola mais leve demora menos tempo que a bola mais pesada. E. As duas bolas demoram exatamente o mesmo tempo. 3. Um camião grande colide frontalmente com um carro pequeno. Durante a colisão: A. O camião exerce uma força maior sobre o carro do que a força do carro sobre o camião. B. O carro exerce uma força maior sobre o camião do que a força do camião sobre o carro. C. Nenhum dos dois exerce força sobre o outro; o carro fica esmagado simplesmente por se atravessar no caminho do camião. D. O camião exerce força sobre o carro, mas o carro não exerce nenhuma força sobre o camião. E. O camião exerce uma força sobre o carro e o carro exerce a mesma força sobre o camião. 4.3 Reação normal e força de atrito 75 4. Atira-se uma pedra verticalmente, para cima. No ponto mais alto da trajetória da pedra: A. A sua velocidade e aceleração apontam para baixo. B. A sua velocidade aponta para cima e a aceleração aponta para baixo. C. A velocidade e aceleração são ambas nulas. D. A velocidade é nula e a aceleração aponta para baixo. E. A velocidade aponta para baixo e a aceleração é nula. 5. Uma mulher empurra uma caixa grande, com uma força horizontal constante. A força exercida pela mulher faz com que a caixa se desloque horizontalmente, com velocidade constante v0 . Assim, o módulo da força exercida pela mulher: A. É igual ao peso da caixa. B. É maior do que o peso da caixa. C. É igual à força total que contraria o movimento da caixa. D. É maior do que a força total que contraria o movimento da caixa. E. É maior do que o peso e a força que contraria o movimento da caixa. Problemas 1. Uma pessoa com 70 kg sobe num ascensor até o sexto andar de um prédio. O ascensor parte do repouso no rés de chão, acelera até o segundo andar, com aceleração uniforme de 2 m/s 2 , mantém a velocidade constante entre o segundo e o quarto andar, e trava entre o quarto e o sexto andar, com aceleração uniforme de −2 m/s 2 . Determine o módulo da reação normal nos pés da pessoa, em cada parte do percurso. 2. Um bloco com massa igual a 30 kg encontrase sobre uma superfície horizontal, com coeficiente de atrito cinético igual a 0.35. Sobre o bloco atua uma força externa de 100 N, que faz um ângulo de 30 ◦ com a horizontal. Determine o valor da aceleração do bloco. 100 N 30° 3. Um bloco de massa m=2.1 kg desce deslizando sobre a superfície de um plano inclinado com 4 m de base e 3 m de altura. Se o coeficiente de atrito cinético, entre o bloco e a superfície do plano inclinado, for igual a 0.25, calcule o valor da força de atrito sobre o bloco. 4 m 3 m 82 Dinâmica dos corpos rígidos bases b1eb2verifica, h=b1tanθ=b1F1 F3h=b2tanβ=b2F2 F3(5.1) e, como tal, F1b1=F2b2(5.2) Esta é a equação fundamental das alavancas e o procedimento usado aqui para obtê-la foi introduzido por Newton no seu livro. As distâncias b1 e b2 chamam-se braços das forças ~ F1 e ~ F2 . Para equilibrar as forças paralelas ~ F1 e ~ F2 , seria preciso aplicar uma força oposta, de módulo F1+F2 , na linha de ação em que os dois braços b1 e b2 verifiquem a regra das alavancas (5.2). 5.3. Momentos e binários A regra das alavancas pode ser explicada introduzindo o conceito de momento . Define-se o valor do momento de uma força em relação a um ponto O, como o produto do módulo da força pela distância desde o ponto O até a linha de ação da força (braço b), MO=F b (5.3) O momento MO representa o efeito de rotação produzido pela força, se o ponto O do corpo rígido estivesse fixo, podendo o corpo rodar à volta desse ponto. Quanto mais afastada estiver a linha de ação da força em relação ao ponto fixo O, maior será o efeito rotativo produzido pela força. Isso explica porquê é mais fácil fechar a porta quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força; a distância entre a linha de ação da força e a linha das dobradiças é o braço e quanto maior for, maior será o momento da força aplicada. Sendo ~r o vetor posição do ponto P em que a força ~ F é aplicada, em relação à origem O, o braço da força em relação à origem O é igual a rsinθ , em que o ângulo θ é o ângulo entre os vetores ~r e ~ F (figura 5.4). Conclui-se que valor do momento da força em relação ao ponto O é igual a, MO=F r sinθ(5.4) r sin θ F sin θ θ θ r F MO OP Figura 5.4.: Momento de uma força. Repare-se que ( Fsinθ ) é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição ~r , ou seja, o valor do momento da força é também igual ao produto da distância desde o ponto de aplicação até a origem, r , pela componente perpendicular da força. O momento produzido pela força é devido unicamente à componente perpendicular da força. 5.3 Momentos e binários 83 A equação (5.4) mostra que o momento da força é igual ao módulo do produto vetorial entre o vetor posição e a força e mostra a conveniência de definir o momento em forma vetorial: ~ MO=~r×~ F(5.5) O vetor ~ MO representa um efeito de rotação num plano perpendicular a ele. Na figura 5.4 o momento é um vetor que aponta para fora da figura e costuma ser representado por uma seta circular, no sentido da rotação que segue a regra da mão direita em relação ao sentido do vetor ~ MO. Um binário é um conjunto de duas forças ~ F e −~ F , iguais e opostas, com linhas de ação paralelas, como mostra a figura 5.5. O binário não produz nenhuma translação em nenhum sentido, mas apenas rotação. O momento total, em relação à origem O, é a soma dos momentos das duas forças, ~rQ×~ F−~rP×~ F= (~rQ−~rP)×~ F(5.6) Os dois vetores de posição dos pontos Q e P dependem da escolha da origem, mas a sua diferença é o vetor ~rPQ na figura, que não depende do ponto onde estiver a origem. d θ rPQ F − F M PQ Figura 5.5.: Binário. Isso quer dizer que o binário produz um momento que não depende de nenhum ponto de referência, ~ M=~rPQ ×~ F(5.7) Na figura 5.5 o momento do binário é um vetor para fora da figura, representado pela seta circular no sentido anti-horário. FF F − F F MM QQ P P Figura 5.6.: Procedimento para deslocar uma força de um ponto P para outro ponto Q. Uma força ~ F aplicada num ponto P pode ser deslocada para outro ponto Q, fora da sua linha de ação, usando o procedimento ilustrado na figura 5.6. Adicionam-se duas forças −~ F e ~ F nos pontos P e Q e, para não alterar nada, adiciona-se também um binário ~ M 84 Dinâmica dos corpos rígidos com o mesmo módulo do binário das forças introduzidas, mas no sentido oposto. No caso da figura 5.6, M deve ser no sentido horário e com módulo igual ao produto de F pela distância desde Q até a linha de ação da força original; ou, em forma vetorial, ~ M=~rQP ×~ F . No ponto P há duas forças iguais e opostas que se anulam, ficando no fim a força ~ F no ponto Q e o binário ~ M=~rQP ×~ F que é igual ao momento ~ MQ que a força original, em P, produz em relação ao ponto Q. Conclui-se que para somar um conjunto de forças num ponto Q, somam-se os momentos das forças em relação a esse ponto, dando um binário resultante, e somam-se as forças como vetores livres. O resultado é a força resultante no ponto Q e o binário resultante. Quando as direções de todas as forças estiverem num mesmo plano, será conveniente definir dois dos eixos coordenados nesse plano, por exemplo x e y e a origem no ponto onde vão ser somadas as forças. Assim sendo, o momento de cada força ~ F em relação à origem introduz um binário que tem unicamente componente segundo z, dada pelo determinante, Mz= x y FxFy (5.8) em que x e y são as coordenadas do ponto onde está a ser aplicada a força ~ F . Para obter o binário resultante bastará somar os valores de Mzobtidos para cada força. 5.4. Corpos rígidos em equilíbrio Se todas as forças externas aplicadas num corpo rígido, somadas num ponto qualquer, produzem força resultante e binário resultante nulos, conclui-se que a força resultante e o binário resultante também serão nulos em qualquer outro ponto. A justificação é que, como a força resultante é obtida somando as forças como vetores livres, será igual em qualquer ponto; o binário resultante sim é diferente quando a força resultante é colocada em diferentes pontos e a diferença entre o binário em dois pontos diferentes será igual ao momento introduzido quando a força resultante for deslocada entre esses pontos. Mas no caso em que a força resultante é nula, esse deslocamento par diferentes pontos não produz nenhum binário adicional e o binário devera ser igual, e nulo, em todos os pontos. Quando a força resultante e o binário resultante são nulos, diz-se que o corpo rígido está em equilíbrio. Equilíbrio esse que pode ser estático —objeto em repouso— ou cinético —objeto com movimento linear uniforme. Assim sendo, as condições para que um corpo rígido esteja em equilíbrio é a soma das forças seja nula e que a soma dos momentos das forças, em relação a um ponto qualquer, seja nula. Exemplo 5.1 O automóvel na figura desloca-se com velocidade constante de 120 km/h numa estrada perfeitamente horizontal. Sabendo que o peso total do automóvel é 9000 N, determine a força de reação normal em cada pneu. 5.4 Corpos rígidos em equilíbrio 85 Resolução . Por ter movimento retilíneo e uniforme, o automóvel está em equilíbrio. Na figura, o vetor R1 representa a soma das duas reações nos pneus da frente e R2 a soma das reações normais dos pneus de atrás. As forças horizontais, que são a resistência do ar e o atrito da estrada nos pneus, não podem ser calculadas neste problema. O único que é possível afirmar a respeito é que essas duas forças são iguais e opostas e o atrito é estático e contraria a resistência do ar. Por enquanto, admite-se que essas duas forças são desprezáveis em comparação com o peso e no fim será discutida a influência dessas forças no resultado obtido. A condição para que a soma das forças verticais seja nula é: R1+R2=9000 Para encontrar o valor dessas duas variáveis será necessário considerar também a condição de que o binário resultante deverá ser nulo. Por existir equilíbrio, qualquer ponto pode ser usado como referência para calcular os momentos; é conveniente escolher o ponto onde há mais forças aplicadas, já que o momento dessas forças em relação ao ponto de referência será nulo. Neste caso escolhe-se um dos pontos de contato dos pneus com a estrada, ou o centro de gravidade (CG). Usando como referência o ponto de aplicação de R1 , a soma dos momentos é: 1.6R2−0.4×9000 =0=⇒R2=2250 N A seguir podia substituir-se esse valor na condição para a soma das forças verticais, mas também é possível calcular novamente soma de momentos, em relação ao ponto de aplicação de R2, 1.2×9000−1.6R1=0=⇒R1=6750 N Admitindo que o centro de gravidade esteja a igual distância dos lados direito e esquerdo do automóvel, se este for simétrico, as reações nos dois pneus da frente serão iguais e, portanto, a reação em cada pneu será 3375 N. Nos pneus de atrás as reações também serão iguais, cada uma com módulo 1125 N. 86 Dinâmica dos corpos rígidos As forças de atrito e da resistência do ar constituem um binário; como a linha de ação das forças de atrito com a estrada está por debaixo da linha de ação da resistência do ar, esse binário faz rodar o automóvel no sentido horário, aumentando as reações normais nos pneus de atrás e diminuindo as reações normais nos pneus da frente. Para calcular o momento da força de resistência do ar, seria preciso conhecer o coeficiente aerodinâmico CD do automóvel, a velocidade do vento e o ponto de aplicação da resultante dessa força, que está distribuída em toda a superfície do automóvel. 5.5. Centro de massa Um corpo rígido é uma distribução contínua de massa num volume. Se a massa total do corpo for m,edmfor a massa infinitesimal que existe em cada ponto do corpo, m=Zdm(5.9) em que o integral é de volume, dentro do volume ocupado pelo sólido, já que dm é o produto da massa volúmica ρpelo volume infinitesimal dxdydz. Define-se o vetor posição do centro de massa,~rcm, igual à média, pesada pela massa, do vetor posição no sólido: ~rcm =Z~rdm m(5.10) Exemplo 5.2 Encontre a posição do centro de massa do sólido homogéneo representado na figura. x y z ab c Resolução . O volume do sólido é delimitado pelos 5 planos x=0 , y=0 , y=a , z=0 e z=c(1−x/b). A área infinitesimal dm é igual à carga volúmica ρ vezes o volume infinitesimal em coor- 5.5 Centro de massa 87 denas cartesianas, dxdydz . Começa-se por calcular a massa total a partir da equação (5.9) : m= a Z 0 b Z 0 c(1−x/b) Z 0 ρdzdxdy Como o corpo é homogéneo, ρ é constante. No Maxima, os três integrais pode ser calculado em forma sequencial; prepresentará a massa volúmica (%i1) integrate (p, z, 0, c*(1 - x/b))$ (%i2) integrate (%, x, 0, b)$ (%i3) m: integrate (%, y, 0, a); abcp (%o3) ------- 2 Embora os resultados intermédios não tenham sido apresentados, estão armazenados nas variáveis %o1 e%o2. Para calcular R~rdm , repete-se o mesmo integral de volume, mudando o integrando de ρ , para (ρ~r) (%i4) r: [x, y, z]$ (%i5) integrate (p*r, z, 0, c*(1 - x/b))$ (%i6) integrate (%, x, 0, b)$ (%i7) rcm: integrate (%,y,0,a)/m; bac (%o7) [-, -, -] 323 Conclui-se que o vector posição do centro de massa é ~rcm =b 3~ex+a 2~ey+c 3~ez. Em todo corpo rígido existe sempre um único ponto que é o centro de massa. Se a origem for escolhida exatamente no centro de massa, o valor de ~rcm será nulo e a equação (5.10) dá, Z~rdm=0 (5.11) O integral em (5.11) será nulo unicamente se a origem estiver no centro de massa. Em qualquer outro ponto o resultado seria um vetor não nulo. Este resultado será muito importante mais para a frente. Derivando os dois lados da equação (5.10) obtém-se a expressão da o velocidade do centro de massa, ~vcm =Z~vdm m(5.12) Isto é, a velocidade do centro de massa é a média das velocidades de todos os pontos do corpo, pesada pela massa do ponto. 88 Dinâmica dos corpos rígidos Derivando a equação (5.12), obtém-se a aceleração do centro de massa, ~acm =Z~adm m(5.13) que é a média, pesada pela massa, das acelerações de todos os pontos no sólido. Se o referencial em que é medida a aceleração ~a de cada ponto for um referencial inercial, o produto~admserá igual à força resultante d~ fque atua sobre a massa dm: d~ f=~adm(5.14) Repare-se que sempre que exista aceleração, deverá existir uma força infinitesimal d~ f aplicada em cada ponto do sólido, para conseguir acompanhar o movimento do corpo, permanecendo rígido. Na maioria dos pontos essa força é devida unicamente às forças internas de contato entre as partes do corpo, forças essas que são desencadeadas em todo o corpo pela ação de n forças externas ~ F1 , ~ F2 , ... , ~ Fn que atuam em n pontos do corpo rígido. Nos pontos 1, 2, ... , n , a força ~ f inclui as forças de contato mais a força externa em cada ponto. A diferencial d~ fé a variação da força em todos os pontos do volume do corpo. Substituindo a expressão (5.14) na equação (5.13), conclui-se que, Zd~ f=m~acm (5.15) Na soma das forças em todos os pontos do corpo, por cada força interna de contato que existir num ponto, existirá outra força igual mas de sentido oposto em outro ponto vizinho, devido à lei de ação e reação. Assim sendo, no integral Rd~ f todas as forças internas de contato serão eliminadas, ficando unicamente a soma das forças externas, ~ F1 , ~ F2 , ... , ~ Fn , que é igual à força resultante sobre o corpo rígido. Como tal, a equação (5.15) é equivalente a, n ∑ i=1 ~ Fi=m~acm (5.16) Este resultado importante é a lei do movimento de translação do corpo rígido: O movimento do centro de massa de qualquer corpo rígido com massa m é igual ao movimento que teria uma partícula pontual com massa m e força resultante igual à soma de todas as forças externas aplicadas sobre o corpo rígido. Lembre-se que a soma das forças é feita como se fossem vetores livres. Se a força resultante for nula, o centro de massa estará ou em repouso ou em estado de movimento retilíneo uniforme, mas outros pontos no corpo rígido poderão ter movimentos mais complicados. O peso é um exemplo de força externa aplicada em todos os pontos do corpo rígido. A equação (5.15) nesse caso dá, Z~gdm=m~acm (5.17) 5.6 Movimento geral do corpo rígido 89 Se a aceleração da gravidade ~g for igual em todos os pontos do corpo, o integral no lado esquerdo será igual a m~g e conclui-se que a aceleração do centro de massa é igual à aceleração da gravidade e que o centro de gravidade —ponto de aplicação da força resultante do peso de todas as partes do corpo— coincide com o centro de massa. Existem casos em que ~g não é constante em todo o corpo, mas geralmente isso não acontece, sendo possível assumir que o peso total do objeto é a força m~gaplicada no centro de massa. Considere-se, por exemplo, uma lâmina triangular. Pendurando-a por um dos vértices, começará a oscilar até parar numa posição em que o centro de gravidade esteja no mesmo segmento de reta vertical que passa pelo vértice; se esse segmento for traçada no triângulo e o procedimento for repetido para os outros dois vértices, o ponto onde se cruzam os três segmentos será o centro de gravidade e centro de massa. Se a massa volúmica do triângulo for igual em todos os pontos, cada uma dos segmento verticais será a mediana que divide o triângulo em duas partes com a mesma área e, portanto, com o mesmo peso. Nos sólidos com formas simétricas e massa volúmica constante, o centro de massa encontra-se no centro geométrico. A figura 5.7 mostra três exemplos. Figura 5.7.: Centros de massa de 3 objetos com massa volúmica constante: esfera, cilindro e paralelepípedo. 5.6. Movimento geral do corpo rígido θ φ β Figura 5.8.: Os 3 graus de liberdade na rotação de um corpo rígido. 90 Dinâmica dos corpos rígidos A dinâmica do corpo rígido consiste no estudo dos efeitos das forças e binários externos na variação dos seus seis graus de liberdade. A trajetória de um ponto qualquer no corpo, usado como referência, dá informação sobre a variação de três desses graus de liberdade. Os restantes 3 graus de liberdade são 3 ângulos. No pião da figura 5.8 indicam-se dois ângulos, β e φ , que definem a direção do eixo do pião; o terceiro ângulo, θ , determina a rotação do pião em relação ao seu eixo. Nesse caso, dois dos ângulos, β e θ , variam em função do tempo e, portanto, há duas velocidades angulares, ˙ βe˙ θ. No pião da figura, o momento do peso em relação ao ponto de contacto no chão produz rotação no sentido em que o ângulo φ aumentaria, mas como o pião já tem outra rotação no sentido indicado para o aumento de θ , o eixo do pião não cai mas desloca-se no círculo indicado na figura. 5.6.1. Rotação com eixo fixo Quando o eixo de rotação de um corpo rígido permanece fixo em relação a um sistema inercial, a segunda lei de Newton será válida para as acelerações medidas no referencial do corpo rígido. Assim sendo, a equação (3.24) permite calcular a força que atua na massa diferencial dmem cada ponto d~ f=Rα~eθ−Rω2~eRdm(5.18) Cada uma dessas forças produz um momento ~r×d~ f em relação à origem, mas como o corpo rígido pode rodar unicamente em torno do eixo fixo z , interessa unicamente calcular a componente z, obtida usando unicamente a componente radial do vetor de posição: d~ Mz= (R~eR)×d~ f=R2α~ezdm(5.19) Integrando no volume do corpo rígido obtém-se a componente zdo binário resultante, ZdMz=αZR2dm(5.20) A aceleração angular foi colocada fora do integral, por ser igual em todos os pontos do corpo rígido. O integral no lado direito, Iz=ZR2dm(5.21) é o momento de inércia, do corpo rígido, em relação ao eixo dos z. No integral RdMz todos os momentos das forças internas de contato serão eliminados, em consequência da lei de ação e reação, ficando unicamente a soma dos momentos produzidos pelas forças externas, ~ F1 , ~ F2 , ... , ~ Fn . Assim sendo, a equação (5.20) conduz à lei da rotação com eixo de rotação fixo: n ∑ i=1 Mz,i=Izα(5.22) 5.6 Movimento geral do corpo rígido 91 Exemplo 5.3 Determine o momento de inércia de um cilindro homogéneo, com raio R e altura L , em relação ao seu eixo de simetria. Resolução . Como o eixo de rotação é o mesmo eixo do cilindro, o volume do cilindro define-se em coordenadas cilíndricas através das condições 0≤z≤L , 0≤θ≤2π , 0≤R0≤R (usa-se R0 para a coordenada cilíndrica, não confundi-la com o raio do cilindro). O elemento diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é ( RdRdθdz ) e, como tal, dm=ρRdRdθdz, em que ρé a massa volúmica. O momento de inércia é, Iz=ρ L Z 0 2π Z 0 R Z 0 R03dR0dθdz=ρ π LR4 2 Repare-se que a massa do cilindro é obtida pelo integral, m=ρ L Z 0 2π Z 0 R Z 0 R0dR0dθdz=ρ π LR2 Assim sendo, a expressão para o momento de inércia é: Iz=1 2mR2 No movimento de rotação, o momento de inércia joga um papel semelhante à massa no movimento de translação. Repare-se na semelhança da equação (5.22) com a segunda lei de Newton. A tabela 5.1 mostra as expressões do momento de inércia de alguns sólidos em relação aos eixos que passam pelo seu centro de massa. O momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa permite calcular o momento de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo, a uma distância ddo eixo no centro de massa, usando o teorema dos eixos paralelos: Iz=Icm +md2(5.23) Também é possível calcular o momento de inércia de um sólido somando os momentos de inércia das várias partes que constituem o sólido, já que o integral (5.21) pode ser escrito como a soma dos integrais nas várias partes. O momento de uma barra suficientemente fina pode também ser obtido a partir da expressão para o cilindro, no limite R→0. Uma roldana fixa é um exemplo de corpo rígido com eixo de rotação fixo. Se a roldana for homogénea, o centro de massa também estará no eixo de rotação. A figura 5.9 mostra uma roldana de massa m e raio R , em que o fio acompanha a rotação da roldana, sem deslizar. As forças e momentos externos são o peso, m~g , as tensões na corda nos dois lados da roldana, ~ F1 e ~ F2 , a força de contato no eixo da roldana, ~ Fe e o binário M que é produzido pelo atrito no eixo da roldana, no sentido oposto à rotação da roldana. 98 Dinâmica dos corpos rígidos Respostas Perguntas: 1. E. 2. D. 3. C. 4. C. Problemas 1. O prego exerce uma força de 1000 N, para baixo. ~ FA=−187,9~ex+931,6~ey(N) 2. Pneus da frente: Rn=3020 N, Fa=1256 N. Pneus trazeiros: Rn=1855 N, Fa=0 (admitindo que as rodas trazeiras são perfeitamente livres). O coeficiente de atrito estático mínimo é 0.416. 3. Neste caso R2=x2+y2 e o volume do sólido é definido por −a/2≤x≤a/2 , −b/2≤ y≤b/2, −c/2≤z≤c/2. 4. TA=212.2 N, TB=636.5 N, αA=αB=g/4=2.45 rad/s2 5. (a) Altura mínima 38.6 cm, máxima 135.4 cm (b)~a=6.89~ex(m/s2) 6. 0.21 7. (a)Rn=5455 N, Fy=1895 N. (b)Fx=1500 N, Fy=1426 N, Rn=5923 N. 8. 5.274 s−1 9. 448×103N. 10. (a) 2.64 s−1. (b) 1.77 voltas. (c) 1.32 N. 6. Trabalho e energia Num salto com vara, a energia cinética da corrida inicial é convertida em energia potencial elástica da vara dobrada. Enquanto a vara recupera a forma reta, essa energia potencial elástica é transformada em energia potencial gravítica. No instante em que a vara recupera a forma reta, o saltador aproveita para empurrar para baixo, fazendo com que a reação do chão aumente ainda mais a sua energia potencial gravítica; finalmente, o saltador larga a vara e cai livremente transformando-se a energia potencial gravítica adquirida no salto em energia cinética. 100 Trabalho e energia 6.1. Trabalho e energia cinética A segunda lei de Newton (equação (4.6)) ~ F=m~a(6.1) onde ~ F é a resultante de todas as forças externas, conduz a uma relação útil chamada teorema do trabalho e da energia cinética. Para demonstrar esse teorema, considere-se um deslocamento vetorial infinitesimal d~r durante um intervalo infinitesimal de tempo dt (figura 6.1). x y z r r + dr dr v v + dv tt + dt Figura 6.1.: Vetores posição e velocidade num instante te num instante posterior t+dt. No limite infinitesimal em que dt tende para zero, o deslocamento vetorial é na direção tangencial e com módulo igual ao deslocamento ao longo da trajetória: d~r=~vdt= (vdt)~et=ds~et(6.2) Usando esta expressão e multiplicando com produto escalar os dois lados da equação (6.1) pelo deslocamento infinitesimal, obtém-se ~ F·(ds~et) = m~a·(ds~et) =⇒Ftds=matds(6.3) A equação cinemática at=vdv/dsimplica que atdsé igual a vdve, como tal, Ftds=mvdv(6.4) Integrando os dois lados da equação desde uma posição s1 , onde a velocidade é v1 , até outra posição s2 onde a velocidade é s2 , obtém-se o teorema do trabalho e a energia cinética:s2 Z s1 Ftds=1 2mv2 2−1 2mv2 1(6.5) 6.1 Trabalho e energia cinética 101 A função da velocidade: Ec=1 2mv2(6.6) chama-se energia cinética e o integral da componente tangencial da força ao longo da trajetória chama-se trabalho da força: W12 = s2 Z s1 Ftds(6.7) Ou seja, o teorema afirma que O trabalho realizado pela força resultante, ao longo da trajetória, é igual ao aumento da energia cinética da partícula. Observe-se que em geral o trabalho de uma força pode ser calculado integrando ~ F·d~r ao longo de qualquer curva, mas se essa curva não é a trajetória da partícula, o resultado pode não ser igual ao aumento de energia cinética. Em geral, um integral de linha entre dois pontos produz diferentes valores para diferentes curvas que unem esses pontos. Unicamente a componente tangencial da força realiza trabalho ao longo da trajetória e pode alterar a energia cinética da partícula. Uma força perpendicular à trajetória não realiza trabalho e não altera a energia cinética da partícula. O trabalho e a energia cinética têm unidades de energia, ou seja, joules no Sistema Internacional de unidades (1 J = 1 N·m). Em coordenadas cartesianas, o deslocamento infinitesimal d~ré, d~r=dx~ex+dy~ey+dz~ez(6.8) Exemplo 6.1 Um canhão dispara uma bala com 5 cm de raio, desde o terraço de um edifício, na posição inicial (em metros): ~r0=9~ex+4~ey+15~ez com velocidade inicial (metros sobre segundo): ~v0=13~ex+22.5~ey+15~ez calcule a altura máxima atingida pela bala (valor máximo da coordenada z ) e a posição em que a bala bate no chão (z=0). x y z v0 102 Trabalho e energia Resolução . Este é o mesmo exemplo 2.2 que já foi resolvido no capítulo 2, mas será agora resolvido através do trabalho e do impulso. Uma bala metálica tem massa volúmica aproximadamente 8 vezes maior que a da água. Nessas condições, a velocidade terminal da bala é da ordem de 132 m/s. O problema será resolvido ignorando a resistência do ar e a solução obtida será usada para comparar a velocidade máxima com a velocidade terminal. Um valor da velocidade máxima próximo ou por cima da velocidade limite indicará que a solução obtida tem um erro elevado. No sistema de eixos da figura, o peso escreve-se −mg~ez e o impulso que produz desde o instante do lançamento da bala, t=0, até um instante tposterior é, ~ I=− t Z 0 mg~ezdt=−mgt~ez igualando o impulso à variação da quantidade de movimento, e dividindo pela massa, obtém-se, ~v=~v0−gt~ez=⇒~v=13~ex+22.5~ey+(15−9.8t)~ez(6.9) Assim sendo, as componentes x e y da velocidade permanecem constantes. O valor mínimo do módulo da velocidade ocorrerá no instante em que ( 15−9.8t ) for igual a zero; o valor mínimo da velocidade, vmín =√132+22.52=25.99 , corresponde ao ponto de altura máxima. O trabalho realizado pelo peso é: ~r2 Z ~r1 ~ F·d~r=−mg ~r2 Z ~r1 ~ez·(dx~ex+dy~ey+dz~ez) = −mg z Z z0 dz=mg(z0−z) igualando à variação da energia cinética e dividindo pela massa, 2g(z0−z) = v2−v2 0(6.10) Substituindo vpelo valor mínimo da velocidade, calcula-se a altura máxima zmáx 2×9.8×(15−zmáx) = 25.992−302=⇒zmáx =26.5 m Para calcular a posição em que a bala bate no chão, calcula-se o valor da velocidade, quando a bala bate no chão, substituindo z=0 na equação (6.10): 2×9.8×15 =v2−302=⇒v=34.55 m/s e, de acordo com a equação (6.9), o quadrado do módulo da velocidade é: 34.552=132+22.52+(15−9.8t)2=⇒t=3.86 s 6.2 Forças conservativas 103 (tendo em conta que o tempo t é positivo). Durante esse tempo, o deslocamento horizontal é igual: ~ d=3.86(13~ex+22.5~ey) = (50.18~ex+86.85~ey)m , já que a componente horizontal da velocidade é constante. O valor máximo da velocidade, atingido quando a bala bate no chão, é 34.55 m/s. Como esse valor é muito menor que a velocidade terminal (132 m/s), a solução obtida ignorando a resistência do ar não estará muito longe da solução verdadeira. O teorema do trabalho e da energia cinética só contém uma parte da informação contida na segunda lei de Newton, já que a equação vetorial (6.1) são realmente 3 equações (uma para cada componente) agrupadas convenientemente em vetores. Contudo, é possível extrair as mesmas três equações a partir da energia cinética. Tendo em conta que: Ec=1 2mv2=1 2m(v2 x+v2 y+v2 z)(6.11) então as três componentes cartesianas da equação (6.1) obtêm-se assim: d dt∂Ec ∂vx=Fx=⇒max=Fx(6.12) e de forma análoga para as componentes y e z . Esta equação é generalizada no capítulo 8 para qualquer outro sistema de coordenadas diferentes das cartesianas. 6.2. Forças conservativas Uma força ~ F(~r) que depende unicamente da posição ~r chama-se conservativa , se o integral de linha entre dois pontos nas posições~r1e~r2, ~r2 Z ~r1 ~ F·d~r(6.13) dá o mesmo resultado, para qualquer percurso possível desde~r1ate~r2. Assim sendo, é possível escolher um ponto arbitrário na posição ~r0 e definir uma função que Uem qualquer ponto: U=− ~r Z ~r0 ~ F·d~r(6.14) Repare-se que essa definição não é possível quando o resultado do integral não está bem definido, nomeadamente quando o resultado é diferente usando diferentes percursos. A escolha do sinal negativo na definição é explicada mais à frente. A função U tem unidades 104 Trabalho e energia de energia e denomina-se energia potencial associada à força conservativa ~ F . A vantagem de definir energias potenciais é que U(~r) é uma função escalar, mas simples do que a função vetorial ~ F(~r) , que permite caraterizar completamente a força; ou seja, dada uma energia potencial qualquer é possível encontrar a expressão da força associada. Usando o teorema fundamental do cálculo vetorial, o integral de linha da força conservativa ~ Fé igual a: ~r2 Z ~r1 ~ F·d~r=U(~r1)−U(~r2)(6.15) isto é: O trabalho realizado entre dois pontos por uma força conservativa é igual à diminuição da energia potencial associada a essa força. Repare-se que o trabalho é igual à diminuição da energia potencial, e não o seu aumento, devido à escolha do sinal negativo na definição da energia potencial. observe-se também que a definição (6.14) implica que a energia potencial tem valor nulo na posição de referencia ~r0 ; o efeito de usar diferentes escolhas do ponto de referencia ~r0 é acrescentar ou subtrair uma constante a U em todos os pontos, mas as diferenças de potencial U1−U2 são independentes do ponto usado como referencia. O valor numérico da energia potencial num ponto não tem nenhum significado físico; o que tem significado é a diferença dos valores da energia potencial em dois pontos. Exemplo 6.2 Calcule o integral de linha da força ~ F= (3x+y)~ex , desde a origem O até o ponto P no plano xOy , com coordenadas x=y=1 , usando os 3 percursos indicados na figura: C 1 é o segmento de reta OR (R com coordenadas x=1, y=0), seguido pelo segmento de reta de RP, C2 é o segmento de reta OQ (Q com coordenadas x=0 , y=1 ), seguido pelo segmento de reta de QP e C 3 é o segmento de reta de OP. x y O P R Q Resolução. O segmento de reta OR é formado por todos os pontos com posição: ~r=x~ex0≤x≤1y=0 e o deslocamento infinitesimal ao longo desse segmento é então d~r=dx~ex Assim sendo, nesse segmento ~ F·d~r= (3x~ex)·(dx~ex) = 3xdx 6.2 Forças conservativas 105 e o integral de linha em OR é: R Z O ~ F·d~r= 1 Z 0 3xdx=1.5 No segmento RP, ~r=y~ey0≤y≤1x=1=⇒d~r=dy~ey e então ~ F·d~r=0 e o integral é zero. Conclui-se que o integral de linha pelo percurso C1é igual a 1.5. No segmento OQ, ~r=y~ey0≤y≤1x=0=⇒d~r=dy~ey e o integral também é nulo. No segmento QP, ~r=x~ex0≤x≤1y=1=⇒d~r=dx~ex e o integral é 1 Z 0 (3x+1)dx=2.5 O integral de linha pelo percurso C2é então igual a 2.5. No segmento OP, a equação da reta que passa por O e P (y=x) permite escrever ~r=x(~ex+~ey)0≤x≤1y=x=⇒d~r=dx(~ex+~ey) e o integral de linha ao longo do percurso C3é 1 Z 0 (3x+x)~ex·(~ex+~ey)dx= 1 Z 0 4xdx=2 Como o integral é diferente nos diferentes percursos, a força ~ Fnão é conservativa. No exemplo 6.1 foi possível calcular o integral de linha do peso, sem conhecer a equação da trajetória parabólica da bala de canhão, nem poder calcular a componente tangencial da força, porque como o peso ~ P é sempre na direção de ~ez , o produto escalar ~ P·d~r é sempre igual a Pdz , para qualquer deslocamento em qualquer direção, e o integral de linha reduz-se a um integral ordinário numa única variável. Em geral, sempre que o produto escalar ~ F·d~r dependa de uma única variável, a força ~ F é conservativa porque o integral de linha reduz-se a um integral ordinário e o resultado depende apenas dos valores dessa variável, nas posições inicial e final. As secções seguintes mostram alguns exemplos. 106 Trabalho e energia 6.2.1. Energia potencial gravítica Usando um sistema de coordenadas em que o eixo dos z é vertical e aponta para cima, o peso é ~ P=−mg~ez(6.16) o produto escalar ~ P·d~r é igual a −mgdz . Ou seja, o peso é uma força conservativa e a energia potencial gravítica pode ser definida por: Ug(~r) = − z Z 0 (−mg)dz=⇒Ug=mgz (6.17) Ou seja, a energia potencial gravítica de um corpo num ponto é igual ao produto do seu peso e a altura do ponto. As alturas podem medir-se a partir de qualquer ponto escolhido como referencia. 6.2.2. Energia potencial elástica Quando uma mola elástica é esticada ou comprimida, exerce uma força elástica Fe nos dois extremos, no sentido que faz regressar a mola à sua forma original. Se s é a elongação da mola, isto é o seu comprimento atual menos o comprimento que teria quando não estiver nem esticada nem comprimida, o valor absoluto de Feé diretamente proporcional a s |Fe|=ks (6.18) onde ké a constante elástica da mola. A expressão acima chama-se lei de Hooke. Figura 6.2.: Mola elástica pendurada dum suporte horizontal. A figura 6.2 mostra um procedimento usado para medir a constante elástica de uma mola. Pendura-se um objeto com peso P , que estica a mola até ficar numa posição em que a força 6.2 Forças conservativas 107 elástica equilibra o peso e mede-se elongação; o valor da constante elástica é o peso usado, P, dividido pela elongação. No sistema da figura 6.3, o cilindro pode descolarse ao longo de uma barra fixa e está ligado a uma mola com o outro extremo fixo num ponto fixo O. Em cada posição P do cilindro a elongação s da mola considera-se positiva se a mola estiver esticada, ou negativa se a mola estive comprimida; como tal, se o vetor ~es aponta no sentido em que s aumenta, o valor da força elástica é Fe=−ks (faz diminuir s quando é positiva ou aumentar quando é negativa). O produto escalar ~ Fe·d~r=−ks~es·d~r=−ksds(6.19) depende unicamente da variável s e, portanto, a força elástica é conservativa. A B O Figura 6.3.: Sistema com uma mola. Usando como referência o valor s=0 (posição em que a mola não exerce nenhuma força) a energia potencial elástica é: Ue=− s Z 0 (−ks)ds=⇒Ue=1 2ks2(6.20) 6.2.3. Energia potencial de forças centrais Uma força central é uma força que depende da posição e em cada ponto do espaço aponta na direção radial (reta que passa pela origem e pelo ponto) e com valor que depende unicamente da distância raté a origem: ~ Fc=f(r)~er(6.21) Como o produto vetorial ~ Fc·d~r=f(r)dr depende unicamente da variável r , as forças centrais são sempre conservativas e a energia potencial associada é: Uc=− r Z ∞ f(r)dr(6.22) O ponto de referência costuma ser colocado no infinito, porque estas forças costumam ser zero quando a distância r é infinita. Dois exemplos de forças centrais são a força gravítica entre partículas e a força elétrica entre cargas pontuais. 114 Trabalho e energia Escolhendo a posição s=0 no topo da rampa, com s positivo no sentido em que a esfera desce e energia potencial gravítica nula em s=0 , em qualquer posição s=Rθ a esfera tem descido uma altura Rθsinβ , em que β é o ângulo de inclinação do plano inclinado. A energia mecânica total é, Em=1 2mR2ω2+1 2Icm ω2−mgRθsinβ Enquanto a esfera rode sem derrapar, a força de atrito com a superfície do plano é atrito estático, que não realiza trabalho. Ignorando a resistência do ar, a energia mecânica conserva-se e a sua derivada em ordem ao tempo é nula. Substituindo a expressão do momento de inércia da esfera em relação ao seu centro de massa, 2mR2/5 , na equação anterior, derivando em ordem ao tempo e igualando a zero, obtém-se mRω7 5Rα−gsinβ=0 e a expressão para a aceleração angular αé, α=5gsinβ 7R Com a esfera parte do repouso, no ponto inicial a sua energia cinética é nula e na parte mais baixa da rampa a energia cinética será igual à energia potencial gravítica inicial, 0, menos a energia gravítica final, −mgh 1 2mR2ω2+1 5mR2ω2=mgh (6.42) e a velocidade do centro de massa C no fim da rampa é vC=Rω=r10gh 7(6.43) 6.5 Energia cinética de rotação 115 Perguntas 1. A posição de uma partícula em função do tempo é dada pela expressão ~r= 2t2~ex+5 3t3~ey (SI). Qual dos vetores na lista é perpendicular à trajetória da partícula no instante t=2 s? A. 4~ex−5~ey B. 2~ex−5~ey C. −5~ex+2~ey D. 5~ex−4~ey E. −2~ex+3~ey 2. Sobre uma partícula atua uma força com direção, sentido e módulo constantes. O módulo da força é 1.6 N. Qual é o trabalho realizado por essa força quando a partícula se desloca uma distância de 20 cm numa direção que faz 60 ◦ com a força? A. 0.28 J B. 160 mJ C. 0.68 J D. 28 J E. 16 J 3. Num oscilador harmónico simples formado por um corpo de massa m pendurado duma mola vertical com constante elástica k , se a massa for quadruplicada, qual das afirmações será correta? A. A frequência duplica. B. O período duplica. C. A amplitude duplica. D. A energia mecânica duplica. E. A energia potencial duplica. 4. A figura mostra o gráfico da energia potencial U(s) , de uma partícula em função da posição na trajetória, s . Se a partícula está a oscilar à volta da posição s=1 , com energia mecânica igual a 2 J, qual é o valor máximo da sua energia cinética? s (m) U (J) −2 2−1 1 −3 3 A. −3 J B. 3 J C. 0 D. 2 J E. 5 J 5. A figura mostra o gráfico da força tangencial resultante Ft , conservativa, sobre uma partícula. Quantos pontos de equilíbrio existem na região apresentada no gráfico? s Ft −1 1 3 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 Problemas 1. Calcule o integral de linha da força do exemplo 6.2: ~ F= (3x+y)~ex , desde a origem O até o ponto P no plano xOy , com coordenadas x=y=1 , em que o percurso de integração é o arco mais curto da circunferência (x−1)2+y2=1 (centro em x=1 , y=0 e raio 1), que passa pela origem e pelo ponto P. 116 Trabalho e energia 2. A lei da gravitação universal estabelece que qualquer corpo celeste de massa M produz uma força atrativa sobre qualquer outro corpo de massa m, dada pela expressão: ~ Fg=−GMm r2~er onde G é a constante de gravitação universal,, r é a distância entre os dois corpos e ~e é o versor radial, que aponta desde o corpo de massa M até o corpo de massa m . (a) Determine a expressão para a energia potencial gravítica Ug devida ao corpo de massa M . (b) Tendo em conta o resultado da alínea anterior, como se justifica a equação (6.17) , Ug=mgz, para a energia potencial gravítica de um objeto na Terra? 3. Num salto com vara, um atleta de 70 kg usa uma vara uniforme de 4.5 kg com 4.9 m de comprimento. O salto do atleta tem três fases: primeiro o atleta corre, com o seu centro de gravidade a 1 m de altura e com o centro de gravidade da vara a 1.5 m de altura, até atingir uma velocidade de 9 m/s no instante em que possa a vara no chão. Na segunda fase, a energia da corrida é transferida para a vara, que se deforma e volta a esticar ficando vertical e elevando o atleta até uma altura próxima da altura da fasquia. Finalmente o atleta estica os braços, fazendo com que a reação normal forneça alguma energia adicional que eleva o centro de gravidade do saltador até 5.8 m de altura, conseguindo assim ultrapassar a fasquia a 5.6 m. Admitindo que não existem perdas de energia, calcule qual foi a energia mecânica transferida para o saltador na última fase, quando esticou os braços. 4. Resolva o problema 6do capítulo 4 aplicando o teorema do trabalho e a energia mecânica. A força exercida pelo bloco sobre o cone, quando o cone penetra no bloco, é uma força conservativa ou não? 5. Num sistema como o da figura 6.6, o carrinho tem massa de 450 g. O carrinho é deslocado 5 cm da posição de equilíbrio e libertado a partir do repouso, começando a oscilar com um período de 1.2 s. Calcule: (a) A amplitude das oscilações. (b) A constante elástica da mola. (c) A velocidade máxima do carrinho. 6. Um pêndulo simples é composto por uma esfera de massa m , pendurada de uma corda muito fina, de comprimento l e massa desprezável. Quando a esfera parte do repouso, há um único grau de liberdade, que pode ser o ângulo θque o fio faz com a vertical. 6.5 Energia cinética de rotação 117 (a) Determine a expressão para a energia mecânica, em função do ângulo θ e da sua derivada ˙ θ , arbitrando que a energia potencial é nula em θ=90◦ . (b) Desprezando a resistência do ar, a energia mecânica permanece constante e a sua derivada em ordem ao tempo é nula; derive a expressão da energia mecânica em ordem ao tempo e iguale a zero para encontrar a expressão para ¨ θ em função do ângulo. m l l cos θθ 7. Uma esfera de raio r roda, sem deslizar, dentro de uma calha semicircular de raio R , que está num plano vertical (ver figura). (a) Demonstre que, em função da derivada do ângulo θ, a energia cinética da esfera é Ec=7 10 m(R−r)2˙ θ2 ( b ) Desprezando a resistência do ar, a energia mecânica é constante e a sua derivada em ordem ao tempo é nula; derive a expressão da energia mecânica em ordem ao tempo e iguale a zero para encontrar a expressão da aceleração angular ¨ θ em função do ângulo. ( c ) Entre que valores deve estar a energia mecânica para que a esfera permaneça oscilando dentro da calha? ( d ) A partir do resultado da alínea b, determine a expressão para ¨ θ , no limite quando o raio da esfera é muito menor que o raio da calha ( R−r≈R ) e explique porque o resultado é diferente do resultado obtido para o pêndulo simples no problema 6. R θ AB C 8. Um cilindro com massa de 80 g desliza a partir do repouso, no ponto A, até ao ponto B, devido a uma força externa constante de 60 N; o comprimento normal da mola é 30 cm e a sua constante elástica é 6 N/cm. Admitindo que não existe atrito com a barra fixa, calcule a velocidade com que o cilindro chega ao ponto B. 40 cm 30 cm A B 60 N 35˚ 9. Resolva o problema 8do capítulo 5 aplicando o princípio de conservação da energia mecânica. 118 Trabalho e energia 10. Um cilindro desce uma rampa de altura h , a partir do repouso, rodando à volta do seu eixo sem deslizar. Calcule a velocidade do centro de massa do cilindro quando chega ao fim da rampa. Compare com o resultado do exemplo 6.3 para uma esfera; qual dos dois corpos desce mais rápido, a esfera ou o cilindro? 11. Uma esfera pendurada com uma corda de comprimento l parte do repouso na posição A, como mostra a figura. Quando a corda chega à posição vertical, entra em contato com um prego fixo no ponto B, que faz com que a esfera descreva um arco de raio menor que l . Calcule o valor mínimo que deve ter a para que a trajetória da esfera seja uma circunferência com centro em B (se a não for suficientemente grande, a corda deixa de estar esticada quando a esfera sobe e a esfera não chega até a parte mais alta do círculo). B A C l a 12. Considere um projétil que é lançado desde o chão, num quarto onde existe vácuo, com uma velocidade inicial v0 que faz um ângulo θ com a horizontal. (a) Calcule o tempo que o projétil demora até chegar ao ponto máximo da sua trajetória, onde a velocidade vertical é nula, e a posição nesse ponto. (b) Com base no resultado da alínea anterior, demonstre que o alcance horizontal do projétil (distância horizontal desde onde é lançado até onde cai) é igual a: R=v2 0sin(2θ) g(6.44) Respostas Perguntas: 1. C. 2. B. 3. B. 4. E. 5. D. Problemas 1. π/4+3/2≈2.29 2. (a)Ug=−GMm r (b) Para um valor qualquer r0 , a série de Taylor de Ug é: −GMm r0+GMm r2 0 (r−r0)−... O primeiro termo é uma constante, que pode ser ignorada; no segundo termo, se r0 for o raio da Terra, r−ro será a altura z desde a superfície da Terra e GM/r2 0 será igual à constante g . Ignorando o resto da série, que para valores de z muito menores que r0 não altera significativamente a soma dos dois primeiros termos, obtém-se Ug≈mgz. 3. 317.4 J 6.5 Energia cinética de rotação 119 4. 24 696 N/m 2 . A força do bloco não é conservativa, porque só atua quando o cone está a penetrar; se o cone voltasse a subir, após ter penetrado no bloco, o bloco já não produzia força sobre o cone. 5. (a) 5 cm. (b) 12.34 N/m. (c) 26.2 cm/s. 6. (a)Em=1 2ml2˙ θ2−mglcosθ(b)¨ θ=−g lsinθ 7. (a) Observe que a velocidade do centro de massa da esfera é (R−r)˙ θ e a condição de rodamento sem deslizamento implica que a velocidade angular da esfera é igual a essa velocidade dividida por r. (b)¨ θ=−5g 7(R−r)sinθ (c) Maior que −mg(R−r) e menor que zero; se a energia mecânica é exatamente igual a −mg(R−r) , a esfera não oscila, mas permanece em repouso no ponto mais baixo da calha. (d) O valor absoluto de ¨ θ é menor num fator 5/7, devido a que parte da energia potencial gravítica é transformada em energia cinética de rotação da esfera. A energia cinética de rotação é sempre 2/5 da energia cinética de translação, independentemente do valor de r ; assim sendo, no limite r→0 também há 2/7 da energia gravítica são convertidos em energia de rotação e apenas os restantes 5/7 fazem aumentar θ. 8. 11.74 m/s. 9. 5.274 s−1 10. r4gh 3. A esfera desce mais rápido que o cilindro, por ter menor momento de inércia. 11. 3l/5 12. (a)t=v0sinθ/g,~r= (v2 0/2g)sin(2θ)~ex+sin2θ~ey 7. Sistemas dinâmicos No estudo de um sistema dinâmico é importante determinar a existência de posições de equilíbrio. Os acrobatas na fotografia encontram-se numa situação de equilíbrio estável: se a bicicleta se inclinar lateralmente, o peso do acrobata pendurado por baixo faz com que o sistema se incline no sentido oposto, regressando à posição de equilíbrio. Se o acrobata na bicicleta não tivesse o segundo acrobata pendurado, a sua situação de equilíbrio seria instável: se a bicicleta se inclinasse lateralmente, o seu peso mais o do acrobata faziam aumentar ainda mais a inclinação, afastando a bicicleta da posição de equilíbrio. 122 Sistemas dinâmicos 7.1. Equações diferenciais As equações cinemáticas são equações diferenciais ordinárias. Uma equação diferencial ordinária —ou em forma abreviada, EDO— é qualquer expressão que relaciona uma função, por exemplo x(t) e as suas derivadas: ˙x , ¨x , etc. Por exemplo: x¨x−2t=˙x ; neste caso t é a variável independente e x a variável que depende de t . Muitos problemas de ciência e engenharia conduzem a equações diferenciais ordinárias que é preciso resolver para encontrar a função, no exemplo anterior x(t) . Existem equações que aparecem em diversos áreas diferentes; por exemplo, a equação do oscilador harmónico simples analisada no capítulo 6 é da forma geral ¨x=−Cx , onde C é uma constante positiva; nos problemas de outras áreas científicas em que aparecem equações similares, o comportamento do sistema pode ser analisado por analogia com o movimento de um corpo ligado a uma mola elástica. 7.1.1. Equações de primeira ordem Uma EDO é de primeira ordem se a única derivada que aparece na equação é de primeira ordem. Se a variável independente é t e a variável dependente x , esse tipo de equações podem ser escritas na forma geral ˙x=f(x,t)(7.1) onde f(x,t) é uma expressão com x e t . Todas as equações diferenciais que foram resolvidas no capítulo 1, pelo método de separação de variáveis, são dessa forma. Mas existem outras equações de primeira ordem que não podem ser resolvidas por esse método; por exemplo, na equação ˙x=t2−x2não é possível separar as variáveis tex. Uma EDO admite muitas soluções diferentes, que dependem dos valores iniciais ( t0 , x0 ). Nos exemplos resolvidos no capítulo 1, para diferentes limites de integração obtinham-se diferentes soluções. Uma EDO de primeira ordem com a forma geral ˙x=f(x) é chamada autonoma , porque a variável independente t não aparece explicitamente no lado direito. Nesse caso, a solução x é ainda uma função do tempo mas acontece que as funções obtidas com as condições iniciais ( t0 , x0 ), ( t1 , x0 ), ( t2 , x0 ), etc. são a mesma função mas deslocada no eixo dos t . Diz-se que a forma como o sistema “evolui” a partir do valor inicial x0 é igual, independentemente do instante em que o sistema começa a evoluir. Em termos físicos, um sistema autónomo é um sistema que é regido sempre pelas mesmas leis físicas: a altura x(t) de um corpo em queda livre desde um ponto com altura x0 diminui sempre da mesma forma, em quanto não mude o valor de g ou deixe de existir atração gravitacional. 7.2. Sistemas de equações diferenciais autónomas Considere-se agora o caso em que existem duas funções independentes x1(t) e x2(t) , que dependem do tempo e que são definidas por duas equações diferenciais autónomas de 7.2 Sistemas de equações diferenciais autónomas 123 primeira ordem: ˙x1=f1(x1,x2)˙x2=f2(x1,x2)(7.2) Por exemplo, o sistema: ˙x1=4−x2 1−x2˙x2=x2−x1(7.3) Pretende-se encontrar as funções x1(t) e x2(t) a partir de valores conhecidos de x1(t0) e x2(t0) num instante inicial t0 . Pode visualizar-se o problema num gráfico em que se colocam x1 e x2 em dois eixos perpendiculares, tal como na figura 7.1. No instante inicial valores iniciais x1(t0) e x2(t0) definem um ponto nesse plano e nos instantes os valores de x1(t) e x2(t) mudam, fazendo com que esse ponto se desloque no plano ao longo de uma curva. x1(t0) x2(t0) x1 x2 Figura 7.1.: Espaço de fase de um sistema autónomo com duas variáveis. O plano com os eixos x1 e x2 chama-se espaço de fase e em cada instante t , o ponto do espaço de fase definido pelas coordenadas ( x1(t) , x2(t) ) denomina-se o estado do sistema nesse instante. As duas variáveis x1 e x2 são as variáveis de estado e a curva representada na figura 7.1, que mostra a variação das variáveis de estado a partir de um estado inicial, é uma curva de evolução do sistema. Qualquer ponto do espaço de fase pode se o estado inicial do sistema ( x1(t0) , x2(t0) ). Os valores de f1(x1,x2) e f2(x1,x2) nesse ponto estão bem definidos e determinam como aumentam as variáveis de estado x1 e x2 nesse ponto. A expressão f1 , derivada de x1 em ordem ao tempo, dá o aumento de x1 por unidade de tempo; ou seja, o deslocamento da projeção do estado do sistema no eixo x1 , por unidade de tempo; em forma análoga, f2 dá o deslocamento da projeção do estado do sistema no eixo x2, por unidade de tempo. Assim sendo, o vetor: ~u=f1(x1,x2)~e1+f2(x1,x2)~e2(7.4) 130 Sistemas dinâmicos O resultado apresenta-se na figura 7.5. Dentro da elipse, como ˙x1 é positiva, a velocidade de fase aponta para a direita; fora da elipse aponta para a esquerda. Na região à esquerda da hipérbole, a velocidade de fase aponta para baixo, entre os dois ramos da hipérbole aponta para cima e à direita da hipérbole aponta para baixo. Nos sistemas mecânicos em que as duas variáveis de fase são a posição na trajetória se a velocidade v , se as duas componentes da velocidade de fase são nulas então a velocidade e a aceleração tangencial são nulas. Isso implica que o sistema se encontra num estado de equilíbrio estático , em que a componente tangencial da força resultante e a velocidade são nulas e o objeto permanece em repouso. Nesses sistemas, todos os pontos no eixo das abcissas (eixo da variável s ) no espaço de fase correspondem a estados de repouso ( v=0 ), mas não necessariamente estados de equilíbrio ( at=0 ). Os estados de equilíbrio do sistema dinâmico são os pontos de equilíbrio estático, que estão todos no eixo das abcissas ( v=0 ) e nos quais a velocidade de fase é nula. Nos pontos do eixo das abcissas onde a velocidade de fase não é nula, o sistema permanece instantaneamente em repouso, retomando imediatamente o seu movimento. Um estado de equilíbrio dinâmico é um estado em que a aceleração tangencial é nula mas o objeto desloca-se com velocidade constante. No retrato de fase esses estados de equilíbrio dinâmico são retas paralelas ao eixo da posição s. Exemplo 7.3 Um objeto com massa 0.3 kg desloca-se sob a ação de uma força com componente tangencial (unidades SI): Ft=−s4 2+4s3−3 2s2−32s+25 onde s é a posição ao longo da trajetória. (a) Encontre os pontos de equilíbrio do sistema. (b) Represente o retrato de fase do sistema. Resolução . (a) Pode começar-se por armazenar a expressão da força em função da posição: (%i6) Ft: -s^4/2 + 4*s^3 - 3*s^2/2 - 32*s + 25$ Para encontrar os pontos de equilíbrio, onde a força tangencial é nula, pode usar-se o comando realroots, já que só interessam as raízes reais (%i7) se: float (realroots (Ft)); (%o7) [s = - 2.651742964982986, s = .8102310001850128, s = 3.950161665678024, s = 5.891350239515305] Existem então 4 pontos de equilíbrio, todos com v=0 e com os 4 valores de s na saída ( %o7 ). (b) Para construir o retrato de fase, escolhe-se um domínio que mostre os quatro pontos de equilíbrio, sem ficar muito próximos uns dos outros: (%i8) plotdf ([v,Ft/0.3], [s,v], [s,-5,8], [v,-50,50])$ 7.3 Pontos de equilíbrio 131 -4 -2 0 2 4 6 8 -50 -25 0 25 50 v s Figura 7.6.: Retrato de fase do exemplo 7.3; no lado direito mostram-se as regiões onde o sistema oscila. O resultado mostra-se na figura 7.6. As curvas de evolução nas vizinhanças dos 2 pontos de equilíbrio em s=0.81 e s=5.89 são fechadas, com o ponto de equilíbrio no seu interior. Nos outros dois pontos de equilíbrio, s=−2.65 e s=3.95 , há curvas de evolução que começam ou terminam entram e no ponto (aproximam-se assimptoticamente desse ponto no limite t→∞ ou t→−∞ ). Nas duas secções seguintes analisam-se com mais pormenor essas curvas. 7.3.1. Equilíbrio estável e instável Os pontos de equilíbrio em s=0.81 e s=5.89 no exemplo 7.3 são pontos de equilíbrio estável , porque se o estado inicial do sistema estiver próximo desses pontos, o sistema regressará ao esse estado inicial. Os outros dois pontos de equilíbrio, em s=−2.65 e s=3.95 , são pontos de equilíbrio instável , porque se o estado inicial do sistema estiver próximo desses pontos, o sistema afastar-se-á desse estado inicial. As componentes da velocidade de fase permitem descobrir os pontos de equilíbrio. No caso dos sistemas mecânicos em que as variáveis de estado são s e v , basta encontrar as raízes da força tangencial (ou aceleração tangencial), em função da posição s , substituindo v=0 . Nesses sistemas a expressão de Ft ou at , com v=0 , permite identificar os pontos de equilíbrio estável ou instável. A figura 7.7 mostra o gráfico da força tangencial do exemplo 7.3. Na figura 7.7, os pontos de equilíbrio se são os pontos em que a curva corta o eixo s . Se nesses pontos Ft passa de um valor negativo para um valor positivo, quer dizer que para s<se a força aponta no sentido negativo de s , fazendo diminuir s ou seja, afastando o 132 Sistemas dinâmicos -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Ft s Figura 7.7.: Gráfico da força do exemplo 7.3. sistema do ponto de equilíbrio; em s>se a força é no sentido positivo de s , aumentando s e afastando também o sistema do ponto de equilíbrio. Assim sendo, nesses pontos o equilíbrio é instável. Nos pontos de equilíbrio se em que Ft passa de um valor positivo para um valor negativo. A força faz aumentar s se s<se , ou diminuir se s>se . Ou seja, nesses pontos o equilíbrio é estável. Nos capítulos 9 e 10 explica-se um método geral para analisar a estabilidade dos pontos de equilíbrio em sistemas dinâmicos mais gerais. O retrato de fase também é sempre uma boa ajuda para analisar a estabilidade dos pontos de equilíbrio. 7.3.2. Ciclos e órbitas No exemplo 7.3 (figura 7.6) as curvas de evolução nas vizinhanças dos pontos de equilíbrio estável, em s=0.81 e s=5.89 , são curvas fechadas à volta do ponto de equilíbrio. Cada uma dessas curvas fechadas, designadas de ciclos , implicam movimento oscilatório à volta do ponto de equilíbrio. Um ciclo é uma curva fechada no espaço de fase que corresponde a oscilações periódicas das variáveis de estado. Ainda no retrato de fase 7.6, no ponto de equilíbrio instável em s=3.95 há duas curvas de evolução que se aproximam assimptoticamente desse ponto; uma do lado esquerdo e outra do lado direito. Nenhuma dessas duas curvas é realmente uma curva fechada, porque o próprio ponto de equilíbrio não faz parte de nenhuma dessas duas curvas. Cada uma dessas duas curvas designa-se de órbita homoclínica e corresponde a um solitão , ou oscilação não periódica, em que cada variável de estado aumenta (ou diminui) afastando-se do valor de equilíbrio, mas volta a diminuir (ou aumentar) aproximando-se novamente do valor de equilíbrio no limite t→∞. 7.3 Pontos de equilíbrio 133 Uma órbita homoclínica é uma curva no espaço de fase que começa num ponto de equilíbrio e termina no mesmo ponto e corresponde a um solitão —oscilação não periódica— das variáveis de estado. No retrato de fase 7.6 existe também uma terceira órbita homoclínica, que parte do ponto de equilíbrio instável em s=−2.65 , contornando os dois pontos de equilíbrio estável em s=0.81 e s=5.89 e regressando ao ponto em s=−2.65 . Nesse exemplo, as órbitas homoclínicas demarcam a fronteira das zonas de estabilidade: no lado direito da figura 7.6, as duas zonas mais escuras correspondem a oscilações do sistema à volta de algum dos dois pontos de equilíbrio estável. Na zona colorida com uma cor mais clara, o sistema oscila à volta dos dois pontos de equilíbrio estável. Observe-se que os ciclos aparecem sempre à volta dos pontos de equilíbrio estável e as órbitas homoclínicas começam e terminam sempre em pontos de equilíbrio instável. Um ponto de equilíbrio onde exista uma órbita homoclínica é, necessariamente, ponto de equilíbrio instável, porque numa direção o estado do sistema afasta-se do ponto, mas em outra direção o estado aproxima-se do ponto. Observe-se que nos ciclos o sistema passa repetidamente pelos mesmos pontos no espaço de fase, enquanto que nas órbitas homoclínicas o sistema nunca chega a passar duas vezes por um mesmo ponto do espaço de fase. Os gráficos da posição s e velocidade v em função do tempo (ver figura 7.8) podem ser desenhados usando a opção versus_t do programa plotdf , ou com o botão do menu. 0 2.5 5 7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 s v t s v 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -50 -25 0 25 50 t Figura 7.8.: Posição e velocidade em função do tempo no caso de um ciclo (esquerda) e de uma órbita homoclínica (direita). O gráfico da evolução das variáveis no caso do ciclo, apresentado no lado esquerdo da figura 7.8, mostra a oscilação periódica das duas variáveis de estado em função do tempo. A combinação dessas duas variáveis no espaço de fase produz a elipse à volta do ponto (0.81, 0) no retrato de fase 7.6. O lado direito da figura 7.8 mostra a oscilação não periódica 134 Sistemas dinâmicos das variáveis de estado, em função do tempo, no caso da órbita homoclínica no ponto de equilíbrio (-2.65, 0) na retrato de fase 7.6. Nesse ponto de equilíbrio existe unicamente uma órbita homoclínica porque as outras duas curvas que começam ou terminam no ponto são curvas abertas e afastam-se até o infinito. Existem também órbitas heteroclínicas em alguns sistemas dinâmicos. O retrato de fase 7.9 mostra um exemplo. No triângulo que aparece no meio do retrato, os três vértices são pontos de equilíbrio instável; os três lados do triângulo são três curvas de evolução diferentes, que não têm nenhum ponto comum, porque os três vértices não fazem parte de nenhum desses segmentos de reta. Cada segmento parte de um ponto de equilíbrio e termina no ponto seguinte, completando uma sequência fechada de pontos e curvas, com igual número de pontos e de curvas que os ligam. -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 -1 0 1 2 y x Figura 7.9.: Retrato de fase com uma órbita heteroclínica. Uma órbita heteroclínica é formada por uma sequência de n curvas de evolução e n pontos de equilíbrio. A primeira curva começa no primeiro ponto e termina no segundo ponto, a segunda curva começa no segundo ponto e termina no terceiro e assim sucessivamente até a última curva que termina no ponto inicial.. 7.4. Sistemas conservativos Em alguns sistemas dinâmicos é possível encontrar uma função H(x1,x2) das variáveis de estado que define todas as curvas de evolução no espaço de fase. Cada possível curva de evolução é dada pela equação H(x1,x2) = C(7.9) 7.4 Sistemas conservativos 135 com diferentes valores da constante C . A função H chama-se função hamiltoniana e os sistemas em que é possível encontrar tal função denominam-se conservativos ou sistemas hamiltonianos. Como as variáveis de estado são funções do tempo t , uma função f(x1,x2) é geralmente uma função que depende apenas do tempo. No entanto, no caso de H(x1,x2) a equação (7.9) mostra que ˙ H=0 . Para calcular a derivada ˙ H usa-se a regra de derivação para funções compostas: d dtH(x1,x2) = ∂H ∂x1 dx1 dt+∂H ∂x2 dx2 dt=0 (7.10) Usando as equações de evolução (7.2), obtém-se f1∂H ∂x1+f2∂H ∂x2=0 (7.11) Uma forma de garantir que o resultado seja nulo, para quaisquer valores das variáveis de estado é se a função hamiltoniana cumpre as seguintes condições: ∂H ∂x1=−f2∂H ∂x2=f1(7.12) e nesse caso, repare-se que ∂f1 ∂x1+∂f2 ∂x2=∂2H ∂x1∂x2−∂2H ∂x2∂x1=0 (7.13) Conclui-se então que qualquer sistema dinâmico ˙x1=f1 , ˙x2=f2 é conservativo se a divergência é nula: ∂f1 ∂x1+∂f2 ∂x2=0 (7.14) Quando o sistema dinâmico é equivalente a uma equação de segunda ordem ¨x=f(x,˙x) , as equações de evolução (7.6)e(7.7) a condição para ser conservativo reduz-se a: ∂f ∂y=0 (7.15) ou seja, basta com que a função fnão dependa de ypara que o sistema seja conservativo. No caso dos sistemas mecânicos, obtidos a partir da lei de Newton ¨s=Ft/m basta com que a força tangencial não dependa da velocidade v , para que o sistema seja conservativo. Nesse caso, a função hamiltoniana tem de cumprir as duas condições: ∂H ∂s=−Ft m ∂H ∂v=v(7.16) que conduz à função: H=v2 2−1 m s Z s0 Ftds(7.17) 136 Sistemas dinâmicos que é a energia mecânica —cinética mais potencial— por unidade de massa: H(s,v) = Ec(v)+U(s) m(7.18) Os dois sistemas considerados nos exemplos 7.1 e7.3 são ambos conservativos. No exemplo 7.3, a energia potencial ao longo da trajetória é U(s) = − s Z s0 Ftds=− s Z 0−s4 2+4s3−3 2s2−32s+25ds=s5 10 −s4+s3 2+16s2−25s E a função hamiltoniana do sistema é H(s,v) = v2 2+1 3s5−10s4+5s3+160s2−250s(7.19) As curvas de evolução do sistema são todas as curvas de nível da função hamiltoniana H(s,v) no plano sv . O comando ploteq do Maxima pode ser usado para traçar as curvas de nível e a sua sintaxe é semelhante à de plotdf , só que o primeiro argumento deve ser a função H, em vez das componentes da velocidade de fase: (%i9) ploteq (v^2/2+(s^5-10*s^4+5*s^3+160*s^2-250*s)/3, [s,v], [s,-5,8],[v,-50,50])$ -4 -2 0 2 4 6 8 -50 -25 0 25 50 v s 356.4 250 250 114.7 70 70 Figura 7.10.: Curvas de nível da função hamiltoniana do exemplo 7.3. Tal como no caso de plotdf , é necessário clicar em algum ponto para que apareça a curva de nível que passa por esse ponto. O gráfico obtido mostra-se na figura 7.10, que é semelhante ao gráfico já obtido com plotdf na figura 7.10. A maior diferença é que agora não há setas a indicar o sentido da evolução temporal do sistema, mas como a 7.4 Sistemas conservativos 137 componente horizontal da velocidade de fase é a própria velocidade, todas as curvas acima do eixo s deslocam-se de esquerda para direita ( v positiva) e todas as curvas debaixo do eixo sdeslocam-se de direita para esquerda (vnegativa). É muito importante compreender que a figura 7.10 mostra 9 curvas de evolução diferentes: 2 ciclos, com H=70 , cada uma à volta de um dos dois pontos de equilíbrio estável. Um ciclo com H=250 , que contorna os dois pontos de equilíbrio estável e o ponto de equilíbrio instável entre eles. Duas órbitas homoclínicas, ambas com H≈114.7 , que começam e terminam no ponto de equilíbrio instável e cada uma contorna um dos pontos de equilíbrio estável; 114.7 é o valor, aproximado a uma casa decimal, de H no ponto de equilíbrio instável. No segundo ponto de equilíbrio instável, o valor aproximado de H é 356.4 e há três curvas de evolução com esse valor de H : uma órbita homoclínica que contorna os outros 3 pontos de equilíbrio, uma curva que começa no ponto de equilíbrio instável e outra que termina nesse ponto. No lado esquerdo dessas duas últimas curvas há ramos de hipérboles que se aproximam assimptoticamente dessas duas curvas, com valores de Hmenores que 356.4; na figura mostra-se uma delas, com H=250. Como foi referido no capítulo 6 (trabalho e energia), nos sistemas com forças conservativas os possíveis movimentos do sistema podem ser analisados no gráfico da energia potencial. No caso do exemplo 7.3, a figura 7.11 mostra o gráfico da energia potencial por unidade de massa, V=U/m . Os dois pontos de equilíbrio estável estão assinalados com círculos sólidos e os dois pontos de equilíbrio instável com circunferências. -32.9 51.1 70 70 114.7 114.7 250 250 356.4 356.4 V(s) s -200 -100 0 100 200 300 400 500 -4 -2 0 2 4 6 Figura 7.11.: Energia potencial por unidade de massa no exemplo 7.3 e alguns possíveis movimentos para alguns valores de H. Uma propriedade importante é: Num sistema mecânico conservativo, os pontos de equilíbrio estável são todos os mínimos locais da energia potencial e os pontos de equilíbrio instável são todos os máximos locais da energia potencial. 138 Sistemas dinâmicos No gráfico 7.11 estão também representadas as mesmas 9 curvas de evolução que foram traçadas no retrato de fase 7.10. Cada curva de evolução corresponde a um segmento de reta horizontal, com um valor de H constante, que só inclui os pontos onde H é maior que V . Lembre-se que, neste caso, H=v2/2+V ; ou seja, em cada ponto num dos segmentos horizontais, v2 é igual ao dobro da distância vertical do ponto até a curva V(s) ; há dois valores da velocidade, com o mesmo valor absoluto p2(H−V) e com sinais opostos, que correspondem à passagem da curva de evolução acima e debaixo do eixo s no espaço de fase (figura 7.10). Nos pontos assinalados com asteriscos, a velocidade é nula, tal como nos pontos de equilíbrio, mas a aceleração tangencial (declive de V com sinal trocado) não; como tal, nesses pontos o sistema inverte o sentido do seu movimento. As curvas com H>356.4 são movimentos em que o sistema pode partir de s<−2.65 (menor que a posição do ponto de equilíbrio instável), com v>0 , passando por todos os 4 pontos de equilíbrio e parando logo numa posição s>5.89 , onde inverte o sentido, repetindo o mesmo movimento mas com valores negativos de v. Os dois gráficos 7.11 e7.10 mostram a mesma informação de duas formas diferentes. A partir de um desses dois gráficos consegue-se visualizar como será o outro. De facto, para construir a figura 7.10, calculou-se com precisão o valor de s para um dos pontos assinalados com asteriscos nos segmentos de reta do gráfico 7.11 e introduziu-se esse valor, seguido de 0 (velocidade), no campo “Trajectory at” do menu de configuração do programa ploteq. Pode imaginar-se a curva de energia potencial por unidade de massa como uma calha vertical; colocando uma esfera onde a altura é um máximo local, pode permanecer em repouso, mas um pequeno impulso faz com que comece a descer, afastando-se desse ponto máximo (equilíbrio instável). Se a esfera for libertada do repouso perto de um ponto onde a altura é um mínimo local (equilíbrio estável), desce acelerando até chegar ao mínimo, subindo no lado oposto até parar; se a esfera não perde nenhuma energia mecânica no seu percurso, a altura do ponto onde pára é igual à altura do ponto onde foi libertada. Assim sendo, a esfera volta a descer e regressa ao ponto inicial repetindo o ciclo indefinidamente. Perguntas 1. A força tangencial resultante sobre uma partícula é Ft= (2−s)(3−s) . Em t=0 a partícula encontra-se em repouso no ponto s=2.5 . Em que ponto se encontrará após um tempo muito elevado? A. Muito afastada, em s→∞ B. Oscilando à volta de s=2 C. Em s=2 D. Em s=3 E. Oscilando à volta de s=3 2. Um sistema é autónomo se: A. Não tem nenhum ponto de equilíbrio instável. B. Não depende de outros sistemas. C. Evolui de forma espontânea, sem precisar de agentes externos. D. O seu estado não depende do tempo. E. A evolução do sistema a partir de um estado inicial é igual em diferentes instantes. 7.4 Sistemas conservativos 139 3. A figura mostra o gráfico da componente tangencial da força resultante Ft(s) , que atua sobre um corpo. Qual das seguintes afirmações é verdadeira, em relação aos pontos de equilíbrio da corpo? s Ft −1 1 3 A. s=−1 é estável e s=1 instável. B. s=1 é estável e s=3 instável. C. s=−1 é estável e s=3 instável. D. s=−1 e s=3 são ambos estáveis. E. s=−1 e s=1 são ambos instáveis. 4. A figura mostra o gráfico da energia potencial U(s) ao longo da trajetória, de um sistema mecânico conservativo. No instante inicial a energia mecânica do é 5 J, a posição s=1 m e a velocidade é no sentido positivo de s . Como será o movimento do sistema? s (m) U (J) −2 2−1 1 −3 3 A. Oscila à volta da posição s=1 B. Oscila à volta da posição s=2 C. Desloca-se até s=2 e regressa e ficando em repouso em s=−1 D. Permanece em repouso em s=1 E. Desloca-se até s>2 e logo afasta-se em sentido negativo até −∞. 5. Qual é a velocidade de fase do sistema conservativo com energia potencial ao longo da trajetória U(s) = 3ese massa m=3? A. v~es−es~ev B. v~es−e−s~ev C. v~es−s~ev D. v~es+es~ev E. v~es+e−s~ev Problemas 1. Uma bola com 0.150 kg é lançada verticalmente para cima, desde y=0 (o eixo dos y aponta para cima, na vertical). Desprezando o atrito com o ar, a energia permanece constante. (a) Represente o retrato de fase, para y>0 , mostrando 4 curvas de evolução diferentes (use o valor 9.8 m/s 2 para g ). Para cada curva, explique o significado dos pontos em que a curva interseta os eixos. (b) Explique como seria, no retrato de fase da alínea anterior, a curva de evolução de uma bola largada em queda livre, que bate no chão sendo projetada novamente para cima. 2. Em todos os problemas do capítulo 1, diga quais correspondem a sistemas autónomos ou não autónomos e conservativos ou não conservativos. Represente o retrato de fase do sistema do problema 5, mostrando a curva de evolução com as condições iniciais dadas. 242 Tutorial do Maxima Figura A.1.: A interface gráfica Xmaxima. programa Maxima, enviar através dessa ligação os comandos que o utilizador escreve, e apresentar as respostas dadas pelo Maxima. Xmaxima normalmente abre duas janelas independentes (figura A.1). Uma das janelas, chamada browser , mostra um tutorial e permite consultar o manual ou páginas Web. A segunda janela, a consola , é onde deverão ser escritos os comandos do Maxima e onde serão obtidas as respostas a esses comandos. No menu “Edit” existem opções para fazer reaparecer um comando que já foi escrito (“previous input”) ou para copiar e colar texto; algumas opções nos menus também podem ser acedidas com as teclas de atalho apresentadas no menu. Diferentes cores são usadas para distinguir os comandos que já foram processados (em azul) do comando que está a ser escrito e que ainda não foi enviado para o Maxima (em verde); o texto a negro são os resultados obtidos (ver figura A.1). Para modificar um comando já executado ou começar um novo comando, há que ter atenção a que o texto escrito esteja a aparecer a verde ou azul, para garantir que será enviado para o Maxima; caso contrário, poderá ser necessário usar as opções “Interrupt” ou “Input prompt”, no menu “File”, para recuperar o estado em que Xmaxima aceita comandos para enviar para o Maxima. Também é possível deslocar o cursor para alguma entrada anterior no ecrã (a azul), modificála e premir na tecla de fim de linha para repetir o mesmo comando. A.3 Entrada e saída de dados 243 A.3. Entrada e saída de dados Quando se inicia uma sessão do Maxima, aparece um símbolo (%i1) . Ao lado desse símbolo deverá ser escrito um comando válido, terminado pelo símbolo de ponto e vírgula. Premindo a tecla de fim de linha, o comando que foi escrito ficará gravado numa variável %i1 e o resultado será gravado numa outra variável %o1 e apresentado no ecrã. A seguir aparecerá o símbolo (%i2) , que permite dar um segundo comando e assim sucessivamente. O uso mais básico que pode ser feito do Maxima é como calculadora, para realizar contas, como nos seguintes exemplos. (%i1) 2.5*3.1; (%o1) 7.75 (%i2) 5.2*log(2); (%o2) 5.2 log(2) O resultado %o2 mostra dois aspetos importantes no funcionamento do Maxima. Em primeiro lugar, o logaritmo natural de 2 não foi calculado, porque o resultado é um número irracional que não pode ser representado em forma numérica exata. A outra coisa importante é que o carater * , que é sempre necessário usar nos comandos de entrada para indicar um produto, não foi escrito na saída. Isto é devido a que a saída está a ser apresentada, por omissão, num modo denominado display2d em que a saída é centrada no ecrã e apresentada numa forma semelhante a como costumamos escrever expressões algébricas a mão. Uma forma de obter uma representação numérica aproximada do logaritmo de 2 seria forçar a passagem para números de ponto flutuante, escrevendo o 2 com um ponto decimal: log(2.0) ; outra forma seria usar a função float assim: float(log(2)) . Quando tenha sido obtido algum resultado que inclui um número irracional, como no caso do resultado %o2 , pode obter-se a representação aproximada desse resultado usando a seguinte sintaxe: (%i3) float(%o2); (%o3) 3.604365338911716 A função float representa o seu argumento em ponto flutuante com 16 algarismos. A função bfloat (big float) produz um resultado semelhante, mas permite usar uma precisão numérica mais elevada; a variável fpprec (que significa floating point precision), indica quantas casas decimais serão usadas e o seu valor predefinido é de 16. Aumentando o valor de fpprec é possível obter maior precisão; por exemplo, para mostrar o resultado %o2 com 40 algarismos significativos, usam-se os seguintes comandos: (%i4) fpprec: 40; (%o4) 40 (%i5) bfloat(%o2); (%o5) 3.604365338911715732097280521448436249843b0 A letra b e o número 0 no fim do resultado %o5 indicam que se trata de um número no formato de ponto flutuante de precisão elevada. O número a seguir à letra é o expoente; 244 Tutorial do Maxima neste caso em que o expoente é zero, o número deverá ser multiplicado por 100=1 . A notação de uma letra b seguida de um inteiro pode ser usada também para forçar a que um resultado seja apresentado no formato de ponto flutuante de precisão elevada; por exemplo, 5.2*log(2b0). Para consultar a informação do manual sobre alguma das funções ou variáveis especiais (por exemplo, as funções referidas acima: display2d , float , bfloat ou a variável fpprec ), usa-se a função describe , que pode ser abreviada com um símbolo de interrogação seguido pelo nome da função ou variável; por exemplo (%i6) ? float -- Function: float (<expr>) Converts integers, rational numbers and bigfloats in <expr> to floating point numbers. It is also an ‘evflag’, ‘float’ causes non-integral rational numbers and bigfloat numbers to be converted to floating point. There are also some inexact matches for ‘float’. Try ‘?? float’ to see them. (%o6) true A.4. Variáveis Para dar um valor a uma variável usa-se o símbolo “ : ” e não o símbolo de igualdade “ = ”, que será utilizado para definir equações matemáticas. O nome das variáveis poderá ser qualquer combinação de letras, números e os símbolos % e _, mas o primeiro caráter não pode ser um número. Maxima faz distinção entre maiúsculas e minúsculas. Por exemplo: (%i1) a: 2; (%o1) 2 (%i2) b: -2$ (%i3) c: -4$ (%i4) Raiz1: (-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a); (%o4) 2 (%i5) (-b - sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a); (%o5) - 1 nas variáveis a,b,ceRaiz1 foram armazenados os valores 2, -2, 4 e 2. Observe que as entradas %i2 e %i3 foram terminadas com o símbolo $, em vez de ponto e vírgula. Isso faz com que o comando seja executado, mas sem que o resultado seja apresentado no ecrã. A.4 Variáveis 245 Para eliminar o valor associado a uma variável usa-se remvalue ; no seguinte exemplo remove-se o valor numérico de ae atribui-se a Raiz1 uma expressão que depende de a: (%i6) remvalue (a)$ (%i7) Raiz1: (-b + sqrt(b^2 - 4*a*c))/(2*a); sqrt(16 a + 4) + 2 (%o7) ------------------ 2 a Para eliminar os valores atribuídos a todas as variáveis escreve-se remvalue(all) . Observe que o valor atribuído a uma variável não tem de ser um valor numérico; no comando %i7 substitui-se o valor de 2 que já tinha a variável Raiz1 pela expressão apresentada em %o7. Para substituir uma variável numa expressão por um valor numérico, usa-se o comando subst ; por exemplo, para obter o valor de Raiz1 no caso em que a for igual a 1 e aproximar o resultado exato a um número com algumas casas decimais, usam-se os seguintes comandos: (%i8) subst (a=1, Raiz1); 2 sqrt(5) + 2 (%o8) ------------- 2 (%i9) float(%o8); (%o9) 3.23606797749979 observe que os comandos anteriores não alteraram o conteúdo da variável Raiz1. Maxima define internamente algumas variáveis, com nomes a começar pelo símbolo %. Um exemplo são as variáveis %1, %1, %i2, %o2, etc., usadas para armazenar os comandos já inseridos e os seus resultados. O símbolo % representa o último resultado obtido; por exemplo, no comando %i9 seria equivalente escrever apenas %, em vez de %o8. No comando %i5 não foi indicado nenhum nome de variável para armazenar a expressão que foi escrita; no entanto, o resultado foi armazenado automaticamente na variável %o5 , que pode ser usada mais tarde, na mesma forma que é usada a variável Raiz1 . Convém não usar nomes de variáveis iguais aos nomes de funções do Maxima, embora seja possível ter funções, variáveis e outros objetos com os mesmos nomes. Uma variável pode ser usada também para armazenar uma equação matemática; por exemplo: (%i10) segunda_lei: F = m*a; (%o10) F = a m Observe que, normalmente, os comandos inseridos são simplificados pelo Maxima antes de serem executados. Neste caso, a simplificação consistiu em reordenar as variáveis no produto m*a em ordem alfabética. Se alguma das 3 variáveis F , m ou a tivesse algum valor ou expressão já atribuída, esses valores ou expressões teriam sido substituídos, antes de armazenar a equação resultante na variável segunda_lei . Neste caso nenhuma 246 Tutorial do Maxima das 3 variáveis tinham valores atribuídos; se a seguir fosse atribuído um valor a uma das variáveis, a equação que já foi armazenada em segunda_lei não seria alterada, como ilustram os seguintes comandos: (%i11) a: 3; (%o11) 3 (%i12) segunda_lei; (%o12) F = a m Para atribuir valores nessa equação já armazenada, há que usar o comando subst ; por exemplo: (%i13) subst([m=2, ’a=5], segunda_lei); (%o13) F = 10 Observe que quando são substituídas várias variáveis numa expressão é necessário colocar todos os valores das variáveis separados por vírgulas e entre parêntesis retos. Outro símbolo útil é o apóstrofo, que impede que seja substituído o valor armazenado numa variável; no comando %i13 colocou-se um apóstrofo antes da variável a , porque se tivesse sido substituído o valor numérico dessa variável, a expressão ficava “3=5” e nenhum valor seria atribuído à variável a (%i14) subst([m=2, 3=5], segunda_lei); (%o14) F = 2 a A.5. Listas Uma variável pode conter também uma lista de valores, que são colocados entre parêntesis rectos, separados por vírgulas. Por exemplo, o comando seguinte guarda na variável quadrados uma lista com os quadrados dos 5 primeiros números inteiros positivos: (%i1) quadrados: [1, 4, 9, 16, 25]$ Muitas das operações entre números realizadas no Maxima podem também ser realizadas com listas. Por exemplo, para obter outra lista em que cada elemento é a raiz quadrada dum elemento na lista anterior, multiplicado por 3, basta escrever: (%i2) 3*sqrt(quadrados); (%o2) [3, 6, 9, 12, 15] Os elementos da lista são contados a começar por 1 e obtêm-se colocando o número do elemento entre parêntesis retos; por exemplo, o terceiro elemento da lista quadrados é 9 e pode ser obtido assim: (%i3) quadrados[3]; (%o3) 9 Uma função muito útil para criar listas é makelist , que expande uma expressão dada com diferentes valores de uma variável. O primeiro argumento dado a makelist é a expressão, o segundo argumento é o nome da variável que será substituída na expressão A.6 Constantes 247 anterior por uma sequência de números que vão desde um valor inicial até um valor final definidos pelo terceiro e quarto argumentos. Se houver um quinto argumento, será o incremento usado para os valores da variável; caso contrário, o incremento da variável será 1. Dois exemplos do seu uso são os seguintes (%i4) cubos1: makelist ( i^3, i, 1, 5 ); (%o4) [1, 8, 27, 64, 125] (%i5) cubos2: makelist ( i^3, i, 1, 5, 0.6); (%o5) [1, 4.096000000000001, 10.648, 21.95200000000001, 39.30400000000001, 64.0, 97.33599999999998] Na primeira lista foram calculados os cubos de 1, 2, 3, 4 e 5. Na segunda, foram calculados os cubos de 1, 1.6, 2.2, 2.8, 3.4, 4 e 4.6. O terceiro argumento pode ser também outra lista, com os valores que deverão ser dados à variável; por exemplo, para criar uma lista com o cubo dos números 5, -3 e 8, usa-se: (%i6) makelist ( i^3, i, [5, -3, 8]); (%o6) [125, - 27, 512] A.6. Constantes Existem algumas constantes importantes já predefinidas no Maxima. Os seus nomes começam sempre com o símbolo %. Três constantes importantes são o número π , representado por %pi , o número de Euler, e , base dos logaritmos naturais, representado por %e , e o número imaginário i=√−1, representado por %i. Tanto %pi como %e são números irracionais, que não podem ser representados em forma numérica exata, mas pode obter-se uma aproximação numérica com o número de casas decimais desejadas; por exemplo, as primeiras 200 casas decimais do número πsão: (%i1) fpprec: 200$ (%i2) bfloat(%pi); (%o2) 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510 58209749445923078164062862089986280348253421170679821480865 13282306647093844609550582231725359408128481117450284102701 938521105559644622948954930382b0 em que o caráter "\" no fim de uma linha indica que continua na linha seguinte. O número %i é útil para trabalhar com números complexos. Por exemplo: (%i3) (3 + %i*4) *(2 + %i*5); (%o3) (4 %i + 3) (5 %i + 2) Para que o resultado anterior seja apresentado como um único número complexo, com parte real e parte imaginária, usa-se a função rectform (que significa rectangular form): (%i4) rectform(%); (%o4) 23 %i - 14 248 Tutorial do Maxima A.7. Guardar informação entre sessões Para guardar todos os comandos que foram escritos durante uma sessão de trabalho no Xmaxima, existe a opção “Save Maxima Input to File” no menu “File”. O ficheiro gravado com essa opção pode ser carregado mais tarde no Maxima e todos os comandos no ficheiro serão executados como se tivessem sido escritos sequencialmente, usando a opção “Batch File” no menu “Edit”. As funções stringout e batch do Maxima permitem realizar as mesmas tarefas, sem ter de usar os menus do Xmaxima. Também pode ser útil preparar previamente um ficheiro de texto com os comandos que serão usados numa sessão do Maxima e a seguir carregar esse ficheiro com a opção “Batch File”. Dessa forma, se houver um erro que exige que todos os comandos sejam inseridos novamente, bastará corrigir o ficheiro “batch” e carregá-lo novamente. A opção “Save Console to File” do Xmaxima, no menu “Edit”, guarda toda a informação que apareceu no ecrã, incluindo os símbolos %i1,%o1,%i2,%o2, etc. Alguns comandos devam ser executados novamente em sessões de trabalho posteriores, por exemplo, a definição de uma função usada com frequência, podem ser colocados num ficheiro que depois será carregado usando a função batch , com argumento igual ao nome do ficheiro, se o ficheiro se encontrar no directório onde o Maxima procura ficheiros executáveis do utilizador. A localização desse diretório pode ser descoberta olhando para o conteúdo da variável maxima_userdir . Se o ficheiro não estiver nesse diretório, nem no diretório de trabalho, será preciso indicar o nome completo do ficheiro, incluindo o caminho do diretório onde se encontra. Para que um ficheiro “batch” seja carregado automaticamente cada vez que se inicia uma nova sessão do Maxima, deverá ter o nome maxima-init.mac e estar localizado num dos diretórios em que são procurados ficheiros executáveis do utilizador. Por exemplo, se existir um ficheiro maxima-init.mac com o seguinte conteúdo: grav: 9.8$ fpprintprec: 12$ cada vez que se iniciar uma sessão do Maxima ficará definida uma variável grav com valor predefinido igual a 9.8. A variável fpprintprec é uma variável interna que estabelece o número máximo de casas decimais apresentadas nos resultados de ponto flutuante, neste caso doze casas decimais. A.8. Expressões e equações Uma expressão pode conter operações matemáticas com variáveis indefinidas. Por exemplo: (%i1) 3*x^2 + 2*cos(t)$ Essas expressões podem ser depois usadas para produzir outras expressões. Por exemplo: A.8 Expressões e equações 249 (%i2) %^2 + x^3; 2 2 3 (%o2) (3 x + 2 cos(t)) + x Para dar valores às variáveis nessa expressão usa-se o comando subst: (%i3) subst ([x=0.5, t=1.3], %); (%o3) 1.776218979135868 O sinal de igualdade foi usado para indicar os valores a substituir nas variáveis, mas não implica que tenham sido atribuídos os valores numéricos 0.5 e 1.3 às variáveis x e t . Para atribuir valores ou expressões a uma variável, usa-se os dois pontos e nunca o igual. Outro uso do sinal de igualdade é para definir equações matemáticas; por exemplo: (%i4) 3*x^3 + 5*x^2 = x - 6; 3 2 (%o4) 3 x + 5 x = x - 6 Para encontrar as raízes de um polinómio pode ser usada a função allroots ; por exemplo: (%i5) allroots(%); (%o5) [x = .9072509934422512 %i + .2775838134100475, x = .2775838134100475 - .9072509934422512 %i, x = - 2.221834293486762] Há duas raízes complexas e uma real. As três equações entre parêntesis retos em %o5 fazem parte duma lista com 3 elementos. Por exemplo, o terceiro elemento nessa lista é: (%i6) %[3]; (%o6) x = - 2.221834293486762 A variável x permanece indefinida, já que o sinal de igualdade não é usado para atribuir valores numéricos às variáveis. As raízes obtidas em %o5 são aproximadas e não exatas. Em alguns casos, as raízes podem ser calculadas em forma algébrica exata, usando o comando solve que também resolve outros tipos de equações diferentes de polinómios. Por exemplo, o uso de solve para encontrar as raízes do polinómio acima é o seguinte: (%i7) solve ( 3*x^3 + 5*x^2=x-6,x)$ (%i8) float ( rectform( % )); (%o8) [x = .9072509934422583 %i + .2775838134100501, x = - 2.221834293486767, x = .2775838134100501 - .9072509934422583 %i] O resultado da função solve não foi apresentado no ecrã, porque ocupa várias linhas de expressões algébricas, mas apenas foram apresentadas as partes reais e imaginárias das raízes (comando rectform ) aproximando os seus valores numéricos por números de ponto flutuante (comando float). Se já tivesse sido atribuído um valor numérico à variável x , antes da entrada %i7 , obtinhase uma mensagem de erro porque o valor da variável seria substituído antes de ser executado o comando solve e esse comando não aceita um segundo argumento numérico. Para 250 Tutorial do Maxima evitar o erro, pode usar-se o prefixo ’ (apóstrofe) para evitar que o valor numérico de x seja substituído: solve(3*’x^3+5*’x^2=’x-6,’x) , ou, quando já não for necessário usar o valor numérico atribuído a essa variável, poderá ser eliminada com o comando remvalue , para não ter de usar apóstrofes cada vez que se tiver de dar o nome dessa variável: (%i9) remvalue (x)$ Para resolver um sistema de equações, que podem ser lineares ou não lineares, o primeiro argumento para o comando solve deverá ser uma lista com as equações e o segundo uma lista com os nomes das variáveis; as equações podem ser guardadas em variáveis. Por exemplo: (%i10) eqA: (4 + 8)*x1 - 8*x2=6+4$ (%i11) eqB: (2+ 8 + 5 + 1)*x2 - 8*x1 = -4$ (%i12) solve ( [eqA, eqB], [x1, x2] ); 1 (%o12) [[x1 = 1, x2 = -]] 4 O sistema anterior também podia ter sido resolvido mais rapidamente com o comando linsolve, em vez de solve, por tratar-se de um sistema de equações lineares. A.9. Gráficos A.9.1. Funções de uma variável Para desenhar o gráfico de uma ou várias funções de uma variável, usa-se o comando plot2d . Por exemplo, para desenhar o gráfico do polinómio 3x3+5x2−x+6 , no intervalo de xentre −3 e 1, usa-se o comando: (%i1) plot2d(3*x^3 + 5*x^2 - x + 6, [x, -3, 1])$ -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 3*x^3+5*x^2-x+6 x Figura A.2.: Gráfico do polinómio 3x3+5x2−x+6. A.9 Gráficos 251 É necessário indicar o domínio de valores de x que vai ser apresentado no gráfico. O resultado aparece numa nova janela (ver figura A.2). Passando o rato sobre um ponto no gráfico, são apresentadas as coordenadas desse ponto. O gráfico é produzido por um programa externo, Gnuplot, que deverá ser instalado conjuntamente com Maxima. Para desenhar várias funções no mesmo gráfico, colocam-se as funções dentro de uma lista. Por exemplo: (%i2) plot2d ( [sin(x), cos(x)], [x, -2*%pi, 2*%pi] )$ O resultado é apresentado na figura A.3. -1 -0.5 0 0.5 1 -6 -4 -2 0 2 4 6 x sin(x) cos(x) Figura A.3.: Gráfico das funções seno e cosseno. A.9.2. Criação de ficheiros gráficos A partir da versão 5.32, existem três opções, pdf_file , png_file e ps_file que permitem gravar o gráfico num ficheiro em formato PDF, PNG ou PostScript. Por exemplo, para gravar o gráfico produzido pelo comando %i1 num ficheiro PNG, usa-se o comando: (%i3) plot2d(3*x^3+5*x^2-x+6,[x,-3,1],[png_file,"funcao1.png"]); O gráfico fica gravado no ficheiro funcao1.png, no formato PNG. Se o comando plot2d é terminado em ponto e vírgula, será mostrado na consola o caminho completo onde foi armazenado o ficheiro. O nome que se dá ao ficheiro pode também incluir o caminho completo do diretório onde se quer armazenar o ficheiro. Para produzir a figura A.2 em formato PDF, usa-se o seguinte comando: (%i4) plot2d(3*x^3+5*x^2-x+6,[x,-3,1],[pdf_file,"funcao1.pdf"]); 258 Tutorial do Maxima A.12. Trigonometria Existem também várias funções do Maxima para simplificar expressões com funções trigonométricas. A função trigexpand serve para expandir senos ou cossenos de somas ou diferenças de ângulos: (%i1) trigexpand(sin(u+v)*cos(u)^3); 3 (%o1) cos (u) (cos(u) sin(v) + sin(u) cos(v)) A função trigreduce tenta expandir a expressão de forma a que cada termo só tenha uma função trigonométrica. (%i2) trigreduce(%); sin(v + 4 u) + sin(v - 2 u) (%o2) --------------------------- 8 3 sin(v + 2 u) + 3 sin(v) + ------------------------- 8 A função trigsimp usa a identidade trigonométrica sin2x+cos2x=1 e as relações entre as funções trigonométricas, para tentar escrever uma expressão apenas em termos das funções seno e cosseno. Por exemplo: (%i3) tan(x)*sec(x)^2 + cos(x)*(1 - sin(x)^2); 2 2 (%o3) sec (x) tan(x) + cos(x) (1 - sin (x)) (%i4) trigsimp(%); 6 sin(x) + cos (x) (%o4) ---------------- 3 cos (x) A.13. Cálculo A forma mais simples de representar funções matemáticas no Maxima consiste em usar expressões. Por exemplo, para representar a função f(x) = 3x2−5x podemos guardar a expressão na variável f (%i1) f: 3*x^2 - 5*x; 2 (%o1) 3 x - 5 x A derivada da função fem ordem a xcalcula-se usando a função diff (%i2) diff (f, x); (%o2) 6 x - 5 A.13 Cálculo 259 e a primitiva em ordem a xcalcula-se com a função integrate (%i3) integrate (f, x); 2 3 5 x (%o3) x - ---- 2 O valor da função num ponto, por exemplo, f(1) , pode ser calculado substituindo x por 1 com a função subst, ou com a função at (%i4) at (f, x=1); (%o4) - 2 Também é possível usar funções do Maxima para representar funções matemáticas. Por exemplo, a mesma função 3x2−5xtambém podia ter sido definida assim: (%i5) g(x) := 3*x^2 - 5*x; 2 (%o5) g(x) := 3 x - 5 x a sua derivada em ordem a xobtém-se com (%i6) diff (g(x), x); (%o6) 6 x - 5 e a sua primitiva com (%i7) integrate (g(x), x); 2 3 5 x (%o7) x - ---- 2 Neste caso, o valor da função num ponto, por exemplo em x=1, é mais fácil de calcular (%i8) g(1); (%o8) - 2 No entanto, há que ter muito cuidado com este método pois é preciso que o resultado da função do Maxima seja uma expressão. Por exemplo, se definirmos a função (%i9) h(x) := if x <0 then x/2 else x^2; x 2 (%o9) h(x) := if x < 0 then - else x 2 os valores em diferentes pontos, por exemplo h(1) , são obtidos sem problema, mas não será possível obter a sua derivada com diff (%i10) diff (h(x), x); d x 2 (%o10) -- (if x < 0 then - else x ) dx 2 nem a sua primitiva com integrate. 260 Tutorial do Maxima Quando uma expressão depende de várias variáveis, diff calcula derivadas parciais: (%i11) diff(x^2*y-y^3, x); (%o11) 2 x y Um integral definido calcula-se em forma semelhante às primitivas, mas incluindo os limites de integração a seguir à variável de integração; por exemplo: (%i12) integrate(1/(1 + x^ 2), x, 0, 1); %pi (%o12) --- 4 Problemas 1. Trace o gráfico de cada uma das seguintes funções, usando intervalos que mostrem bem a forma das funções. (a)y=x3−5x2+2x+3 (b)y=sin(x) x (c)y=√20−x2 (d)y=3x2+2 x2−4 2. O gráfico da função y=x3−6x2+7x+2 apresenta dois pontos extremos (um mínimo local e um máximo local). Desenhe o gráfico dessa função. Sabendo que a derivada da função é nula nos dois pontos extremos, calcule as coordenadas x e y desses dois pontos. 3. Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos ( −2 , 7), ( −4 , 1) e (4, −5 ). Sugestão : a forma geral da equação será (x−a)2+ (y−b)2=r2 . Para encontrar as três constantes a , b e r , substitua as coordenadas de cada um dos 3 pontos dados, e resolva o sistema das 3 equações obtidas. 4. Defina uma função fib(n) em Maxima para calcular qualquer número na sequência de Fibonacci, fn=1,1,2,3,5,8,..., definida, para (n=0,1,2,3,...), por: f0=1f1=1fn=fn−1+fn−2 Calcule a relação fn+1/fn para alguns valores crescentes de n , e mostre que a relação aproxima-se do limite (1+√5)/2 . O número ϕ= (1+√5)/2 é designado de proporção áurea e no Maxima está predefinido na constante %phi. Respostas 2. O máximo local encontra-se em (0.709, 4.30), e o mínimo local em (3.29, -4.30). 3. (x−3)2+(y−2)2=50 5. (d) 594.5 m B. Equações de Lagrange Neste apêndice mostra-se como surgem as equações de Lagrange a partir da segunda lei de Newton. Considere-se um sistema formado por m corpos rígidos com vetores posição dos centros de massa: ~r1 , ~r2 , ..., ~rm . Ou seja, são necessárias 3m coordenadas, que podem ser distâncias ou ângulos, para determinar a configuração do sistema. Se o sistema é holonómico, existem equações que relacionam algumas das 3m coordenadas e que permitem reduzir o número de coordenadas independentes para n coordenadas generalizadas (n<3m): q1(t),q2(t),...,qn(t) Cada vetor de posição~ripode depender de várias dessas coordenadas e do tempo: ~ri(q1,q2,...,qn,t) e a velocidade do corpo ié ~vi=d~ri dt=∂~ri ∂t+ n ∑ k=1 ∂~ri ∂qk˙qk ou seja, ~vi também depende das coordenadas generalizadas, do tempo e das velocidades generalizadas ˙qi: ~vi(q1,q2,...,qn,˙q1,˙q2,..., ˙qn,t) e as derivadas parciais de~viobtêm-se derivando o somatório acima: ∂~vi ∂˙qj=∂~ri ∂qj ∂~vi ∂qj=∂~ri ∂qj∂t+ n ∑ k=1 ∂2 ~ri ∂qj∂qk˙qk(B.1) O vetor aceleração do corpo ié: ~ai=d~vi dt(B.2) Se num instante dado o valor de cada coordenada qj é modificado para qj+δqj , cada vetor posição sofre uma alteração: δ~ri= n ∑ j=1 ∂~ri ∂qjδqj(B.3) e multiplicando escalarmente os dois lados da equação (B.2) pelos dois lados desta equação, obtém-se ~ai·δ~ri= n ∑ j=1 d~vi dt·∂~ri ∂qjδqj(B.4) 262 Equações de Lagrange Como a derivada do produto~vi·∂~ri/∂qjé, d dt~vi·∂~ri ∂qj=d~vi dt·∂~ri ∂qj+~vi·d dt∂~ri ∂qj=d~vi dt·∂~ri ∂qj+~vi· ∂~ri ∂qj∂t+ n ∑ k=1 ∂2 ~ri ∂qj∂qk˙qk! De acordo com as equações (B.1) , a derivada ∂~ri/∂qj e o termo dentro dos parêntesis no lado direito da equação são as derivadas parciais de ~vi em ordem a ˙qj e qj , obtendo-se assim o resultado: d dt~vi·∂~vi ∂˙qj=d~vi dt·∂~ri ∂qj+~vi·∂~vi ∂qj e a equação (B.4) pode escrever-se então, ~ai·δ~ri= n ∑ j=1d dt~vi·∂~vi ∂˙qj−~vi·∂~vi ∂qjδqj(B.5) A seguir observe-se que as derivadas parciais de v2 i em ordem às coordenadas e velocidades generalizadas são: ∂v2 i ∂qj=∂(~vi·~vi) ∂qj=2~vi·∂~vi ∂qj ∂v2 i ∂˙qj=∂(~vi·~vi) ∂˙qj=2~vi·∂~vi ∂˙qj substituindo estas duas expressões na equação (B.5) e multiplicando os dois lados da equação pela massa mido corpo i, obtém-se mi~ai·δ~ri= n ∑ j=1d dtmi 2 ∂v2 i ∂˙qj−mi 2 ∂v2 i ∂qjδqj= n ∑ j=1d dt∂Eci ∂˙qj−∂Eci ∂qjδqj onde Eci é a energia cinética do corpo i . A segunda lei de Newton diz que mi~ai é a força resultante sobre o corpo i ; usando a expressão (B.3) e somando sobre todos os corpos i , obtém-se m ∑ i=1 n ∑ j=1 ~ Fi·∂~ri ∂qjδqj= n ∑ j=1d dt∂Ec ∂˙qj−∂Ec ∂qjδqj que conduz às equações de Lagrange: d dt∂Ec ∂˙qj−∂Ec ∂qj=Qjj=1,...n(B.6) onde Ecé a energia total do sistema e Qjé definida por Qj=∑ i ~ Fi·∂~ri ∂qj(B.7) C. Créditos fotográficos A maior parte das fotografias e figuras neste manual são originais e são distribuídas com a mesma licença “Creative Commons Attribution Sharealike 2.5” do livro. As figuras e fotos que não são originais têm todas licenças livres. A principal fonte dessas figuras foi o arquivo da Wikimedia Commons ( http://commons.wikimedia.org ). A lista de autores e licenças é a seguinte: • Figura 1(pág. 1). Autor: Beat (Wikimedia Commons). Licença: Creative Commons Attribution Sharealike 2.0 Generic license. •Figura 1.3 (pág. 4). Autor: OS2Warp (Wikimedia Commons). Domínio público. • Figura 1.4 (pág. 5). Autor: Wikipedian Kbh3rd (Wikimedia Commons). Licença: Creative Commons Attribution Sharealike 2.0. •Figura 2(pág. 19). Autor: Adrian Pingstone. Domínio público. •Figura 3(pág. 39). Autor: Boris23 (Wikipedia Alemã). Domínio público. • Figura 4(pág. 59). Autor: LCDR Mark Wetzler, NOAA, National Weather Service (NWS). Domínio público. •Figura 4.6 (pág. 69). Autor desconhecido. Domínio público. • Figura 5(pág. 79). Autor: SCrider (Flickr). Licença: Creative Commons Attribution Sharealike 2.0 Generic license. • Figura 6(pág. 99). Autor: Hunter Peress. Licença: GFDL 1.2+ ou Creative Commons Attribution Sharealike 3.0. • Figura 7(pág. 121). Autor: David Turner. Licença: GFDL 1.2+ ou Creative Commons Attribution Sharealike 3.0. •Figura 8(pág. 143). NASA/JPL. Domínio público. • Figura 9(pág. 163). Autor: Paco Vila. Licença: Creative Commons Attribution 2.0. • Figura 10 (pág. 183). Autor: Mario Roberto Duran Ortiz. Licença Creative Commons Attribution Sharealike 3.0. • Figura 11 (pág. 205). Autor: Alvesgaspar (Wikimedia Commons). Licença: GFDL 1.2+ ou Creative Commons Attribution Sharealike 3.0. • Figura 12 (pág. 223). Foto número EL-1996-00130 do arquivo da NASA-LaRC. Domínio público. Bibliografia [1] Acheson, D. From calculus to chaos. An introduction to dynamics. Oxford University Press, Oxford, U. K., 1997. [2] Alonso, M. e Finn, E. J. Física. Addison-Wesley, Reading, U. S. A., 1999. [3] Antunes, F. Mecânica Aplicada. Uma Abordagem Prática. Lidel, edições técnicas, Lda., Lisboa, Portugal, 2012. [4] Arnold, V. I. Métodos Matemáticos da Mecânica Clássica. Editora Mir, Moscovo, 1987. [5] Banks, B. W. Differential Equations with Graphical and Numerical Methods. Pearson, 2000. [6] Beer, F. P. e Johnston Jr, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: Dinâmica. McGraw-Hill editora, 7a edição, Rio de Janeiro, Brasil, 2006. [7] Blanchard, P., Devaney, R. L. e Hall, G. R. Ecuaciones diferenciales. International Thomson Editores, México, 1999. [8] Borelli, R. L. e Coleman C. S. 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(disponível em http://def.fe.up.pt) Índice Símbolos ’ (comando Maxima), 250 : (comando Maxima), 244 =, 249 = (comando Maxima), 244 ?, 244 ??, 254 A aceleração, 24 angular, 45 centrípeta, 43 da gravidade, 13,30,62 e força, 62 normal, 42,43 segundo a trajetória, 9 tangencial, 42 All-Terrain Hex-Legged Extra-Terrestrial Explorer, 143 allroots (comando Maxima), 249 amortecimento crítico, 178 forte, 178 fraco, 178 amplitude, 111 Arquimedes, 74 at (comando Maxima), 259 atom (comando Maxima), 257 átomo, 257 atrator, 231 atrito cinético, 70 estático, 68 B backward (comando Maxima), 128 batch (comando Maxima), 248 Batch File, 248 Bendixson, Ivar, 227,228 Bessel, Friedrich, 192 bfloat (comando Maxima), 243,244 biela-manivela, 57 bifurcação, 229 big float, 243 binário, 83 block (comando Maxima), 256 both (comando Maxima), 128 braço, 82 C campo de direções, 124 caos, 231 centro de massa, 86 de curvatura, 43 de gravidade, 63,89 no espaço de fase, 172,206 ciclo, 132,206 limite, 206 cinemática, 1 coeficiente de atrito cinético, 70 de atrito estático, 69 de restituição, 231 de viscosidade, 73 coefmatrix (comando Maxima), 167 componentes