Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio

Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio Bruno André Faria Areias Dissertação do MIEM Orientador na FEUP: Prof. Doutor Marco Paulo Lages Parente Coorientador na FEUP: Prof. Doutor Renato Manuel Natal Jorge Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Junho de 2014 ii iii “Por vezes sentimos que aquilo que fazemos não é senão uma gota de água no mar. Mas o mar seria menor se lhe faltasse uma gota.” Madre Teresa de Calcutá Dedico esta dissertação Aos meus pais: Maria e António Que iluminam o caminho da minha vida Aos meus irmãos: Ana Sofia e Pedro Ao cão: Bolinhas. iv v Resumo A presente dissertação estuda o comportamento mecânico do ouvido humano. Um modelo de elementos finitos preciso do ouvido humano, pode ser utilizado para avaliar a influência de certas doenças auditivas e auxiliar no seu tratamento, assim como ajudar na compreensão do fenómeno da transmissão sonora. O projeto “The visible ear” permitiu a obtenção de um conjunto de imagens de altíssima qualidade do osso temporal congelado de uma mulher de 85 anos, usando um procedimento “cryosectioning”. Este projeto permitiu desenvolver o presente modelo computacional. Foram desenvolvidos dois modelos de elementos finitos tridimensionais do ouvido humano, com base no modelo referido anteriormente, um modelo simples e um modelo completo. O modelo simples é constituído pela membrana timpânica, ossículos, ligamentos e músculos. O modelo completo é composto ainda pelo ar do canal auditivo externo e pelo ar da cavidade do ouvido médio. Foram estabelecidas propriedades dos materiais, obtidas na literatura e aplicadas as respetivas condições fronteira. As frequências naturais, deslocamentos no umbo e na platina do estribo são obtidos para ambos os modelos, para diferentes níveis de pressão sonora. São simuladas as patologias: otosclerose e otite média. A banda de frequências em estudo está compreendida entre os 100 Hz e 10 kHz. vi vii Biomechanical simulation of the human ear, including pathologies of the middle ear Abstract This dissertation studies the mechanical behavior of the human ear. An accurate finite element model of human hearing can be used to evaluate the influence of certain hearing diseases and aid in their treatment. Such a model can also be used to comprehend the phenomenon of sound transmission. The "The visible ear" project consisted in getting a set of high quality images of the temporal bone of an 85 years old woman, which was frozen using a "cryosectioning” procedure. This project allowed developing the present computational model. Two three-dimensional finite element models of the human hearing were developed, based on the model mentioned above. The simple model is constituted by the tympanic membrane, ossicles, ligaments and muscles. The complete model is also composed by the air from the external auditory canal and the air in the middle ear cavity. Properties of the materials were obtained in the literature and applied to the model, with the corresponding boundary conditions. Natural frequencies, displacements of the umbo and stapes footplate were obtained for both models, for different sound pressure levels. The following pathologies were simulated: otosclerosis and otitis media. The frequency band in study is between 100 Hz and 10 kHz. viii ix Agradecimentos A dissertação aqui apresentada resulta de um trabalho contínuo, ao longo do qual recebi o maior apoio e estímulo de muitos. O meu profundo e sentido agradecimento a todas as pessoas que contribuíram para a concretização desta dissertação. Agradeço a Deus, por iluminar o meu caminho e me dar força interior para superar todas as dificuldades. Um agradecimento especial ao Professor Doutor Marco Parente, meu orientador, pela sua paciência e vontade de ensinar, foi uma mais-valia, seria impossível a concretização da dissertação sem a sua ajuda. Ao meu coorientador, Professor Doutor Renato Jorge, pela sua dedicação e apoio ao longo desta jornada. Os meus sinceros agradecimentos à Professora Doutora Fernanda Gentil, por toda ajuda prestada. Um agradecimento ao Professor Doutor José Dias Rodrigues, pela ajuda prestada sobre vibrações e dinâmica de máquinas, a qual foi imprescindível para o desenvolvimento deste trabalho. Aos meus amigos da Faculdade, que direta ou indiretamente me motivaram na concretização deste trabalho e me apoiaram ao longo destes 5 anos de engenharia. Agradeço à minha família, em especial aos meus pais, pelo apoio incondicional ao longo destes anos académicos, sem a ajuda deles não teria chegado até esta fase. A todos aqueles, que me ajudaram a ser quem sou hoje. Muito obrigado… xvi Figura 5.6: Malha de elementos finitos do estribo, 1.Cabeça, 2.Colo, 3.Crura posterior, 4.Crura anterior e 5.Platina. ...............................................................................................................................................52 Figura 5.7: Ligamentos e músculos presentes no ouvido médio. .....................................................................53 Figura 5.8: Representação do ligamento anular, 1.Estribo, 2.Parte óssea em corte, 3.Ligamento anular. .......54 Figura 5.9: Representação da cóclea, 1.Membrana separadora, 2.Membrana janela redonda, 3.Líquido coclear e 4.Parte óssea em corte. ..........................................................................................................54 Figura 5.10: Malha de elementos finitos da parte óssea, 1.Canal auditivo externo e 2.Mandíbula. ................55 Figura 5.11: Malha de elementos finitos da pele (1) e da cartilagem auricular (2). .........................................55 Figura 5.12: Malha de elementos finitos do ar, 1.Canal auditivo externo; 2.Cavidade timpânica. ...................56 Figura 5.13: Representação das condições fronteira. ......................................................................................61 Figura 5.14: Representação das localizações das impedâncias acústicas. ........................................................61 Figura 5.15: Frequências naturais para o modelo simples e completo e respetiva comparação com dados publicados na literatura. ........................................................................................................................62 Figura 5.16: Comparação do deslocamento no umbo e na platina para diferentes níveis de pressão sonora aplicadas na membrana. ........................................................................................................................63 Figura 5.17: Fase da resposta do deslocamento no umbo e no centro da platina do estribo. ..........................64 Figura 5.18: Comparação do deslocamento no umbo e na platina do estribo para o nível de pressão sonora de 80 dB.................................................................................................................................................65 Figura 5.19: Comparação da relação entre o deslocamento no umbo e na platina do estribo, para o nível de pressão sonora de 80 dB. .......................................................................................................................66 Figura 5.20: Comparação do deslocamento no umbo e na platina do estribo para o nível de pressão sonora de 90 dB.................................................................................................................................................67 Figura 5.21: Comparação do deslocamento no umbo e na platina do estribo para o nível de pressão sonora de 105 dB. ..............................................................................................................................................68 Figura 5.22: Resultados obtidos do deslocamento no umbo para o modelo simples normal e com otosclerose e respetiva comparação com trabalho publicado na literatura. .............................................................69 Figura 5.23: Resultados obtidos do deslocamento na platina do estribo para o modelo simples normal e com otosclerose e respetiva comparação com trabalho publicado na literatura. ..........................................70 Figura 5.24: Nível de deslocamento na platina do estribo. ..............................................................................71 Figura 5.25: Comparação do deslocamento obtido no umbo e na platina do estribo, entre o modelo simples e o modelo completo. ..............................................................................................................................72 Figura 5.26: Comparação da fase no umbo e na platina do estribo, entre o modelo simples e o modelo completo. ..............................................................................................................................................73 Figura 5.27: Comparação do deslocamento obtido no umbo e na platina do estribo para um nível de pressão acústica de 80 dB. ..................................................................................................................................74 Figura 5.28: Comparação do deslocamento obtido no umbo e na platina do estribo para um nível de pressão acústica de 90 dB. ..................................................................................................................................75 Figura 5.29: Resultados obtidos do deslocamento no umbo e na platina do estribo para o modelo completo normal e com otosclerose, para um nível de pressão acústica de 80 dB. ...............................................76 xvii Figura 5.30: Resultados obtidos do deslocamento no umbo para o modelo completo normal e com otite média, para um nível de pressão acústica de 80 dB. ..............................................................................77 Figura 5.31: Resultados obtidos do deslocamento na platina do estribo para o modelo completo normal e com otite média, para um nível de pressão acústica de 80 dB. ..............................................................77 Figura 5.32: Frequências naturais para o modelo completo normal e com as patologias. ...............................78 Figura 5.33: Distribuição da pressão acústica no canal auditivo externo quando aplicado um nível de pressão na entrada do canal de 90 dB, para a frequência de 4 kHz. ....................................................................79 Figura 5.34: Distribuição da pressão acústica no canal auditivo externo quando aplicado um nível de pressão na entrada do canal de 90 dB, para a frequência de 8 kHz. ....................................................................79 xviii xix Índice de Tabelas Tabela 3.1: Potência e nível de potência sonora gerada por diversas fontes [13]............................................25 Tabela 3.2: Grau de surdez (Adaptado de [17]) ...............................................................................................29 Tabela 5.1: Dimensões da membrana timpânica no modelo utilizado e comparação com dados obtidos na literatura ...............................................................................................................................................49 Tabela 5.2: Dimensões do martelo no modelo utilizado, comparação com dados obtidos na literatura .........51 Tabela 5.3: Dimensões da bigorna no modelo utilizado, comparação com dados obtidos por Wever & Lawrence ...............................................................................................................................................52 Tabela 5.4: Dimensões do estribo no modelo utilizado, comparação com dados obtidos por Wever & Lawrence ...............................................................................................................................................53 Tabela 5.5: Dimensões do canal auditivo externo e da cavidade timpânica ....................................................56 Tabela 5.6: Propriedades de material dos ossículos, membrana e articulações ..............................................57 Tabela 5.7: Propriedades elásticas dos ligamentos .........................................................................................59 Tabela 5.8: Propriedades elásticas dos músculos ............................................................................................59 xx xxi Lista de Símbolos [𝑐] Matriz de amortecimento [𝐼] Matriz identidade [𝑘] Matriz de rigidez [𝑚] Matriz de massa [𝑍(𝜔)] Matriz impedância [𝛺] Matriz diagonal das frequências naturais [Φ] Matriz modal normalizada {𝑓(𝑡)} Vetor solicitação {𝑢} Vetor modal {𝑢}𝑖 Vetor modal de ordem 𝑖 {𝑥(𝑡)} Vetor de deslocamentos {𝑥󰇗(𝑡)} Vetor de velocidades {𝑥󰇘(𝑡)} Vetor de acelerações {𝑋(𝜔)} Vetor de amplitudes {𝜂(𝑡)} Vetor dos deslocamentos modais ou naturais {𝜂󰇗(𝑡)} Vetor das velocidades modais ou naturais {𝜂󰇘(𝑡)} Vetor das acelerações modais ou naturais {𝜙}𝑖 Vetor modal normalizado de ordem 𝑖 𝐵 Módulo volumétrico 𝐵𝐼𝐴𝑃 International Bureau for Audiophonology 𝑐 Constante de amortecimento 𝑓 Frequência 𝑓(𝑡) Solicitação dinâmica 𝐹𝐶 Força de amortecimento 𝐹𝐾 Força elástica xxii 𝐹 𝑚 Força de inércia 𝐼 Intensidade sonora 𝐼0 Intensidade sonora de referência 𝑘 Constante de rigidez elástica, módulo volumétrico 𝐿𝐼 Nível de intensidade sonora 𝐿𝑝 Nível de pressão sonora 𝐿𝑊 Nível de potência sonora 𝑚 Massa, mel 𝑃𝑂𝑅, 𝑝 Pressão sonora 𝑝0 Pressão sonora de referência 𝑟 Resistência acústica específica 𝑅𝐺𝐵 Sistema de cores aditivas formadas por vermelho, verde e azul (Red, Green and Blue) 𝑆𝑃𝐿 Nível de pressão sonora (Sound pressure level) 𝑇 Período 𝑡 Variável tempo 𝑈 Velocidade volumétrica 𝑣 Velocidade de propagação 𝑉 Volume inicial 𝑉′ Volume final 𝑊 Potência sonora 𝑊0 Potência sonora de referência 𝑥 Variável espacial, reactância acústica específica 𝑥(𝑡) Deslocamento, resposta 𝑥󰇗1, 𝑥󰇗2 Velocidades pontais 𝑥0 Amplitude da onda 𝑥1, 𝑥2 Variáveis espaciais xxiii 𝑍 Impedância acústica 𝑧 Impedância acústica específica 𝛼, 𝛽 Constantes 𝛿 Elongação 𝛥𝑝 Pressão aplicada 𝛥𝑉 Variação de volume 𝛥(𝜔) Determinante característico 𝜉 Razão de amortecimento 𝜌 Massa volumétrica 𝜔 Frequência angular 𝜔𝑑 Frequência natural amortecida 𝜔𝑛 Frequência natural não amortecida 𝜙 Ângulo de fase inicial, desfasamento xxiv Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 1 1. Introdução 1.1 Objetivos O ouvido humano é um órgão complexo indispensável no nosso organismo, com a função de detetar pequenas variações de pressão de ar, as quais estão associadas à propagação de ondas sonoras, e enviar ao cérebro um sinal nervoso onde será posteriormente descodificado. Um objeto produz som quando vibra na matéria. Quando algo vibra na atmosfera, as partículas de ar próximas da superfície de contacto movem-se. Estas, por sua vez, movem outras ao seu redor, propagando-se desta maneira ondas sonoras. Numa fase inicial as ondas sonoras são captadas no pavilhão auricular e direcionadas para o canal auditivo externo, seguindo trajeto até à membrana timpânica, fazendo-a vibrar. A fase seguinte envolve a transmissão sonora através de três pequenos ossículos presentes no ouvido médio, o martelo, a bigorna e o estribo. O estribo conecta-se à janela oval pelo ligamento anular. A terceira fase ocorre no ouvido interno. O movimento oscilatório do estribo gera ondas de pressão no líquido coclear existente no interior da cóclea. Estas ondas, por sua vez, estimulam as células ciliadas que convertem as variações de pressão em impulsos elétricos, enviados através do nervo vestibulococlear ao cérebro onde serão posteriormente processados e interpretados. A perda auditiva pode ser de origem congênita, doenças desenvolvidas durante a gravidez ou adquirida, causada por ingestão de remédios que lesam o nervo auditivo, meningite, exposição a ruídos muitos fortes ou intensos, ou pelo próprio processo de envelhecimento, o qual é um fenômeno natural e que afeta todos numa determinada etapa da vida, independentemente do fenômeno que o origina. A hipoacusia é a perda auditiva a diferentes níveis e pode ser temporária ou permanente. As causas que produzem a hipoacusia classificam-se em condução, neurossensorial ou mista. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 8 possui também funções de proteção do ouvido médio de agressões bacterianas e drenagem do ouvido médio, permitindo a passagem de mucosidades segregadas pela mucosa timpânica. Na Figura 2.4 está representada a anatomia do ouvido médio, destacando os ossículos que o constituem. Figura 2.4: Ossículos do ouvido médio, 1.Martelo, 2.Bigorna, 3.Estribo. 2.2.1 Membrana timpânica A membrana timpânica é uma membrana bastante fina e semitransparente, apresenta forma aproximadamente circular. A sua função é vibrar mediante estímulos sonoros, vibrações que são depois transmitidas para a cadeia ossicular. A membrana está dividida em duas regiões distintas: a pars tensa e a pars flaccida, como mostra a Figura 2.5. Figura 2.5: Membrana timpânica. A membrana timpânica tem um diâmetro que varia entre 9,5 mm e 10,5 mm, apresentando uma área de aproximadamente 85 mm2, ainda que só 55 mm2 tenham mobilidade sendo a restante parte na periferia rígida. A pars tensa tem uma área de 68,6 mm2 em média e a pars flaccida 4,6 mm2 [7]. A membrana é constituída por três camadas de tecido: a externa, a intermédia e a interna. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 9 A camada externa é fina e cutânea e está ligada à camada que cobre o canal auditivo externo. A camada intermédia é fibrosa e é a principal responsável pela sua vibração. Contém fibras radiais, circulares, fascículos parabólicos e fibras do sistema semilunar.  As fibras radiais vão desde o bordo anular até ao cabo do martelo permitindo o movimento de rotação do cabo do martelo em torno do seu eixo.  As fibras circulares formam anéis concêntricos ao umbo, estando inseridos no cabo do martelo e passando por dentro dele.  Os fascículos parabólicos (anterior e posterior) nascem da apófise curta do martelo, irradiando desde a apófise para a parte anterior e posterior da membrana, até ao ligamento anular.  As fibras do sistema semilunar descrevem arcos côncavos e convexos desde a periferia da membrana até ao umbo. Estas fibras conferem à membrana um certo grau de rigidez, bem como a possibilidade de se deformar sem modificar as suas características acústicas fundamentais. A camada interna é formada por tecido epitelial e contínua com o revestimento do ouvido médio [2]. A parte mais saliente da membrana timpânica, correspondente à extremidade do cabo do martelo, é designada de umbo. A pars flaccida, localizada na parte superior da membrana timpânica, também designada de membrana flácida de Shrapnell, tem poucas fibras, daí a flacidez dessa zona e é composta apenas pelas camadas cutânea e mucosa. A pars tensa, localizada na parte inferior, é formada pelas três camadas. Esta região da membrana timpânica é fibrosa, elástica, espessa, resistente e pouco móvel [2]. Topograficamente pode dividir-se a membrana timpânica em seis quadrantes, sendo quatro referentes à pars tensa (póstero-superior, póstero-inferior, ântero-superior e ântero-inferior) e dois referentes à pars flaccida (Figura 2.6). Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 10 Figura 2.6: Divisão topográfica da membrana timpânica. 2.2.2 Caixa timpânica A caixa timpânica tem forma aproximadamente retangular sendo constituída por 6 paredes: externa ou timpânica, interna ou labiríntica, superior ou teto da caixa timpânica, inferior ou parede hipotimpânica, posterior ou parede mastóidea, e anterior ou parede tubar. As paredes são revestidas por uma mucosa muito delgada (epitélio e por uma camada de tecido conjuntivo) aderente ao osso temporal (Figura 2.7). A parede externa separa o ouvido externo do ouvido médio, é composta por uma porção óssea e uma porção membranosa. A parede interna de estrutura petrosa separa o ouvido médio do ouvido interno. Está presente a janela oval (onde se articula a platina do estribo), a porção timpânica do canal do nervo facial (bordo superior da janela oval), a janela redonda, o tendão do músculo tensor do tímpano e o promontório (proeminência relacionada com a espira basal da cóclea). A janela oval faz a comunicação do ouvido médio com o vestíbulo do ouvido interno através da base do estribo. A janela redonda tem a função de equalizar a pressão, permitindo que o fluido incompressível circule livremente no interior da cóclea. A parede superior é formada por uma fina lâmina óssea, por vezes mesmo transparente, separa o ouvido médio da cavidade craniana. A parede inferior de estrutura tímpano-petrosa forma um sulco na direção ântero-posterior, está limitada por dentro pelo promontório e por fora por um rebordo ósseo, sobre o qual se insere a membrana timpânica. A parede posterior é a mais alta das quatro paredes que delimitam o perímetro sagital da caixa, medindo cerca de 13 mm. Possui estrutura essencialmente petrosa, e exteriormente tímpano-escamosa. A parede anterior de estrutura tímpano-petrosa é ocupada maioritariamente pelo orifício timpânico da trompa de Eustáquio, situado na sua parte mais alta [2]. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 11 Figura 2.7: Caixa timpânica. 2.2.3 Ossículos O ouvido médio contem três ossículos: o martelo, a bigorna e o estribo, que transmitem as vibrações da membrana timpânica para a janela oval. O martelo (Figura 2.8) é o mais extenso, está inserido na camada intermédia da membrana timpânica e divide-se anatomicamente em cabeça, colo, cabo e duas apófises, a externa e a anterior. A cabeça é a extremidade superior do osso, está ligeiramente acima da membrana timpânica, na sua parte póstero-interna existe uma superfície que se articula com o corpo da bigorna. O colo situa-se a seguir à cabeça, é mais estreito. A sua parte externa relaciona-se com a parte superior da membrana timpânica, mais concretamente com a pars flaccida. O cabo do martelo está fixo à parte superior da membrana timpânica, puxando-a para dentro. Esta fixação é mais forte no meio da membrana, separando-se gradualmente para a parte superior. Na região do cabo, próximo ao colo, insere-se o tendão do músculo tensor do tímpano (músculo do martelo). A apófise externa nasce no colo do martelo dirigindo-se para fora e um pouco para cima, para a parte superior da membrana timpânica, em direção ao canal auditivo externo. A apófise anterior (conhecida como apófise de Raw) nasce também no colo do martelo, na sua parte anterior e média, tem cerca de 4 a 5 mm e uma forma de pico ligeiramente sinuoso [2, 8]. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 12 Figura 2.8: Martelo, vista dorsal. A bigorna (Figura 2.9) anatomicamente é constituída por um corpo e três apófises. É o segundo ossículo da cadeia ossicular e situa-se atrás e para dentro do martelo. É caracterizado por ser o mais pesado da cadeia e por ser o único que não tem um músculo associado. O corpo da bigorna, assim como a cabeça do martelo, ocupa a parte superior da caixa timpânica, nesta parte incide o ligamento superior da bigorna. As apófises (curta e longa) da bigorna separam-se do corpo na sua parte póstero-inferior, fazendo entre elas um ângulo que pode variar entre 85° e 90°. A apófise curta com cerca de 5 mm, tem uma forma triangular e dirige-se horizontalmente para trás, onde incide o ligamento posterior da bigorna. A apófise longa com cerca de 7 mm dirige-se do corpo da bigorna para baixo seguindo um trajeto similar ao cabo do martelo. A sua extremidade inflete para dentro tornando-se horizontal. Termina com a formação da apófise lenticular, onde se dá a articulação com a cabeça do estribo [2, 8]. Figura 2.9: Bigorna, vista medial. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 13 O estribo (Figura 2.10) é o último ossículo da cadeia ossicular e o mais pequeno do corpo humano, pesando cerca de 2 mg. Possui um músculo associado, o músculo estapédio. Anatomicamente o estribo divide-se em cabeça, colo, duas cruras e platina. A cabeça do estribo na sua extremidade externa apresenta uma pequena faceta articular côncava à qual se articula a apófise lenticular da bigorna. O colo apresenta forma cilíndrica, une a cabeça às duas cruras. Na sua parte posterior incide o tendão do músculo estapédio. As duas cruras do estribo, posterior e anterior, ligam o colo à platina do estribo. A crura posterior é geralmente mais curva e longa que a anterior. A platina do estribo é uma pequena placa óssea irregular e oval, que se insere na janela oval e é mantida na sua posição através do ligamento anular flexível [4, 5, 8, 9]. Figura 2.10: Estribo. 2.2.4 Músculos e ligamentos presentes no ouvido médio Existem, como já foi referido, dois pequenos músculos esqueléticos ligados aos ossículos auditivos (Figura 2.11) com a função de amortecerem os sons excessivamente altos. Este reflexo de atenuação do som protege as estruturas delicadas do ouvido interno de serem lesadas por um grande volume de som. O músculo tensor do tímpano liga-se ao martelo e é inervado pelo trigémeo (V nervo craniano), tem a função de esticar a membrana timpânica e determina, ao mesmo tempo, um aumento de pressão no líquido labiríntico, na presença de sons fortes. O músculo estapédio está ligado ao estribo e é inervado pelo nervo facial (VII nervo craniano), tem a função de relaxar a membrana timpânica e reduzir a pressão no labirinto [5, 7]. A atenuação do som responde mais eficazmente a sons de baixa frequência e é capaz de reduzir num fator de 100 a energia que atinge a janela oval. O reflexo é demasiado lento para evitar o dano provocado por um ruido súbito, como por exemplo um tiro, e não consegue funcionar eficazmente por um período superior a 10 minutos em resposta a um ruido prolongado [5]. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 14 Figura 2.11: Músculos presentes no ouvido médio. A bigorna está articulada com o estribo, deste modo sempre que a membrana timpânica e o cabo do martelo se movem para dentro, o líquido coclear é impelido, e sempre que eles se movem para fora, o líquido coclear é puxado. As articulações estão revestidas por cartilagens, que evitam ruídos de funcionamento, amortecendo eventuais efeitos de ressonância. Os ossículos do ouvido médio são suspensos por ligamentos (Figura 2.12), que fazem o martelo e a bigorna agirem como uma alavanca única. No ouvido médio existem seis ligamentos entre os quais três no martelo (ligamento superior, anterior e lateral), dois na bigorna (ligamento posterior e superior) e um no estribo (ligamento anular). A platina do estribo e a janela oval estão revestidas por cartilagem. Estas não estão exatamente em contacto, existindo entre elas uma pequena fenda circular preenchida por um conjunto de fibras conjuntivas e elásticas, que constituem o ligamento anular do estribo [5, 7]. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 15 Figura 2.12: Ligamentos presentes no ouvido médio. 2.3 Ouvido interno 2.3.1 Cóclea Os canais ósseos no interior do osso temporal são conhecidos por labirinto ósseo (Figura 2.13). Estes são revestidos por periósteo, que é uma membrana de tecido conjuntivo denso, vascularizada, fibrosa e resistente. No interior do labirinto ósseo, encontra-se um conjunto de túneis e câmaras com a mesma forma mas mais pequenos, conhecido por labirinto membranoso (Figura 2.13). O labirinto membranoso está preenchido por um líquido claro chamado endolinfa e o espaço entre os labirintos membranoso e ósseo está preenchido por um líquido chamado perilinfa. Figura 2.13: Representação do labirinto ósseo e labirinto membranoso [5]. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 16 O labirinto ósseo divide-se em três regiões: cóclea, vestíbulo e canais semicirculares. O vestíbulo e os canais semicirculares estão principalmente envolvidos no equilíbrio enquanto a cóclea é responsável pela audição. O labirinto membranoso da cóclea divide-se em três partes: a rampa vestibular, a rampa timpânica e o canal coclear. A janela oval comunica com o vestíbulo do ouvido interno (Figura 2.14), que por sua vez comunica com uma câmara coclear, a rampa vestibular. A rampa vestibular estende-se da janela oval ao helicotrema (orifício que comunica a rampa vestibular com a timpânica) no ápice da cóclea. Uma segunda câmara coclear, a rampa timpânica, estende-se do helicotrema até à janela redonda, paralelamente à rampa vestibular. A parede do labirinto membranoso que se liga à rampa vestibular designa-se por membrana vestibular (membrana de Reissner) e a sua função é separar os dois líquidos quimicamente diferentes. A parede que reveste a rampa timpânica designa-se por membrana basilar. O espaço entre a membrana vestibular e a membrana basilar designa-se por canal coclear e está preenchido por endolinfa. A membrana basilar é a mais complexa e de muito maior interesse fisiológico no que se refere ao mecanismo da audição. As fibras de colagénio da membrana basilar orientam-se através da membrana entre a lâmina espiral e o ligamento espiral, de certo modo como um piano. Figura 2.14: (a).Ouvido interno, (b).Secção transversal da cóclea, (c).Secção ampliada do canal coclear e (d) Célula sensorial [5]. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 17 O diâmetro das fibras de colagénio na membrana diminui à medida que a membrana basilar se alarga. Por isso, a membrana basilar junto da janela oval é mais curta e rígida e responde a vibrações de alta frequência, enquanto a parte mais próxima do helicotrema é larga e flexível e responde a vibrações de baixa frequência (Figura 2.15). É no canal coclear, a parte mais importante da cóclea, que se encontra o órgão de Corti. Este contém cerca de 13.000 células ciliadas que recebem a energia acústica. É uma estrutura bastante resistente, que bloqueia as ondas sonoras [5, 7, 10]. Figura 2.15: Efeitos das ondas sonoras em diversos pontos da membrana basilar. 2.3.2 Vestíbulo O vestíbulo é uma pequena cavidade posicionada entre a cóclea e os canais semicirculares. É composto por duas vesículas, o utrículo e o sáculo, também chamados de órgãos otolíticos. O utrículo é maior e ocupa a parte superior do vestíbulo, o sáculo ocupa a parte inferior e é menor. Uma pequena região no revestimento do utrículo e do sáculo diferencia-se em órgão sensorial, a mácula. A mácula do utrículo é chamada lápilus, e a do sáculo, rágata. O lápilus fica na superfície inferior do utrículo, quase horizontal e desempenha um papel importante na determinação da orientação da cabeça quando a pessoa está levantada. Sobre a superfície interior do utrículo encontramos os cinco orifícios ampolares e não ampolares dos canais semicirculares membranosos. A rágata está localizada no plano vertical e é importante para o equilíbrio quando a pessoa está deitada. No sáculo existem duas pequenas aberturas: uma na parede posterior, permitindo a comunicação com o utrículo, pelo canal utrículo-sacular e outra na sua parte inferior, que comunica com o canal coclear através do canal de Hensen. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 24 V k B p p V         (3.6) Na expressão (3.6), ∆𝑝 é a pressão aplicada ao gás, 𝑉 é o seu volume inicial e ∆𝑉 é a variação de volume do gás originada pela aplicação dessa pressão (Figura 3.2). O módulo volumétrico de elasticidade é uma medida das propriedades elásticas das substâncias, sendo tanto maior quanto menos a substância variar o seu volume em resposta à pressão aplicada. Na realidade, 𝐵 mede diretamente a resistência das substâncias à compressão [14]. Figura 3.2: Módulo volumétrico. 3.2.5 Potência sonora A potência sonora define-se como a quantidade de energia emitida por uma fonte, por unidade de tempo. No sistema de unidades SI é expressa em Watts. O valor máximo em qualquer instante de tempo define-se como potência de pico. A potência média tem um valor muito mais pequeno que a potência de pico e depende do intervalo de tempo em que foi realizada a média. Na Tabela 3.1 estão apresentados os valores típicos de potência acústica, emitida por uma série de fontes sonoras. Os valores publicados são médias obtidas ao longo de um intervalo de tempo. Para muitas destas fontes, o valor de pico pode ser 100 a 1000 vezes superior ao valor médio exposto na Tabela 3.1. Os picos normalmente duram um tempo muito curto, por vezes poucos milissegundos [13]. 3.2.6 Nível de potência sonora O Nível de Potencia Sonora é expresso em dB, e a potência de referência é 𝑊0=10−12 W (1 pW). Ao contrário do que acontece com a intensidade e a pressão sonora, a potência não Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 25 depende do ambiente nem da distância da fonte. O valor da potência não varia, já que refere-se à energia total emitida pela fonte. O nível de potência sonora é dado pela equação (3.7). 0 10log ( ) w W L dB W    (3.7) Na Tabela 3.1 estão apresentados os níveis de potência sonora para diferentes fontes. Tabela 3.1: Potência e nível de potência sonora gerada por diversas fontes [13] Fonte Potência (W) Nível de potência sonora (dB) Motor do foguete Saturno 107 200 Sala de tornos mecânicos automáticos 105 160 Trituradora de pedra 104 150 Unidade hidráulica 102 130 Compressor 1 110 Rebitadora 10−2 90 Fábrica 10−5 60 Estúdio de televisão 10−8 30 Estúdio de radio 10−9 20 3.2.7 Intensidade sonora A intensidade sonora refere-se à perceção da amplitude da onda sonora. A perceção da intensidade pelo ouvido humano não é linear, mas sim logarítmica, isto significa que o ouvido só percebe variações de intensidade como lineares, se as amplitudes variarem exponencialmente. A perceção da intensidade não é igual para qualquer frequência. O ouvido humano só consegue perceber sons entre aproximadamente 20 Hz e 20 kHz, perto desses limites, a perceção sofre uma atenuação. Na banda de frequências audíveis a audição é mais sensível entre 2 kHz e 5 kHz. A intensidade 𝐼 da onda é dada como a potência sonora recebida por unidade de área de uma superfície, e expressa em W/m2. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 26 3.2.8 Nível de intensidade sonora O nível de intensidade sonora relaciona a intensidade sonora, 𝐼, com um valor de referência 𝐼0 (10−12 W/m2) é geralmente dada numa base logarítmica pela equação (3.8). 0 10log ( ) I I L dB I    (3.8) 12 10log ( ) 10 I I L dB     (3.9) 3.2.9 Pressão sonora Consideremos um ponto do espaço perto de uma fonte sonora, antes de passar uma onda sonora a pressão é igual à pressão atmosférica. Quando a onda passa pelo ponto em observação, procede-se a uma variação da pressão para cima e para baixo da pressão atmosférica. O campo auditivo humano está compreendido entre uma pressão acústica de 20 μPa (0 dB SPL) e 20 Pa (120 dB SPL) [13]. 3.2.10 Nível de pressão sonora O nível de pressão sonora, 𝐿𝑝, é o nível correspondente à pressão provocada pela fonte sonora, medida num determinado ponto. É a medida mais usual quando se fala em amplitude da onda sonora, é expresso em dB e determinado pela equação (3.10). 0 20log ( ) p p L dB p    (3.10) Fletcher e Munson, determinaram experimentalmente a relação presente entre o nível de pressão sonora e a frequência, com base num grande número de jovens com idades compreendidas entre os dezoito e vinte e cinco anos, com audição normal [13]. Desta forma foi possível quantificar a sensação de intensidade (loudness level) e estabelecer a escala de fones. A resposta do ouvido, através de curvas isófonas, correspondentes ao nível de igual sensação de intensidade para sons puros e está representada na Figura 3.3 [15]. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 27 Figura 3.3: Diagrama de Fletcher. A Figura 3.4 mostra os campos de frequência e de níveis de pressão sonora, em que a maioria dos sons que nos rodeiam estão presentes. Figura 3.4: Área da audição humana. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 28 3.2.11 Impedância acústica Todos os sistemas acústicos simples passíveis de ser convertidos em sistemas mecânicos análogos, podem também ser representados sobre a forma de circuitos elétricos em que o movimento do fluido é equivalente à corrente elétrica e a diferença de pressão entre o elemento acústico é a tensão sobre a parte correspondente do circuito elétrico. A impedância acústica, 𝑍, de um fluido agindo sobre uma superfície de área, 𝑆, é o quociente entre a pressão acústica complexa na superfície dividida pela velocidade volumétrica complexa na superfície. A unidade SI da impedância acústica é 𝑃𝑎. 𝑠/𝑚3 [13]. p ZU  (3.11) 3.2.12 Impedância acústica específica A impedância acústica específica é a razão entre a pressão acústica e a velocidade da partícula associada a um meio. p zv  (3.12) Para ondas planas a impedância acústica específica é dada pela equação (3.13). zc   (3.13) É uma propriedade característica do meio e do tipo de onda que se está a propagar. É útil em cálculos que envolvem a transmissão de ondas acústicas de um meio para outro. A unidade SI da impedância acústica específica é 𝑃𝑎. 𝑠/𝑚. O produto 𝜌𝑐 tem mais importância como propriedade acústica, que 𝜌 ou 𝑐 individualmente. Embora a impedância acústica específica do meio é uma quantidade real para ondas planas progressivas, isso não é verdade para ondas planas ou divergentes. Em geral, 𝑧 será complexo e dado pela equação (3.14). z r jx (3.14) Onde 𝑟 é a resistência acústica específica e 𝑥 a reactância acústica específica do meio [12]. 3.3 Graus e tipos de surdez O ouvido humano é o órgão responsável pela audição e equilíbrio. A deficiência auditiva, também denominada hipoacusia ou surdez corresponde à perda parcial ou total da audição. A hipoacusia pode-se classificar nos seguintes critérios, a intensidade da perda auditiva, a localização da lesão responsável pela perda auditiva e o momento cronológico em que surgiu. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 29 A perda auditiva de origem genética pode ser congénita (presente ao nascimento) ou hereditária (problemas manifestam-se na vida adulta) [16]. A surdez pode ser parcial ou total, temporária ou permanente. 3.3.1 Graus de surdez A deficiência auditiva é a perda de perceção dos sons, o que dificulta assim a compreensão das palavras. A perda tonal média é a média dos valores, obtidos em dB, nas frequências de 500 Hz, 1 kHz, 2 kHz, e 4 kHz. Toda a frequência não percebida é referida como 120 dB de perda auditiva. Considera-se que até 20 dB, a audição é normal. Segundo o BIAP (Bureau International d’Audiophonologie), a deficiência auditiva pode classificar-se em surdez ligeira, surdez média, surdez severa, surdez profunda ou surdez total (Tabela 3.2). Tabela 3.2: Grau de surdez (Adaptado de [17]) Grau de surdez Perda auditiva média (dB) Características Ligeira 21 dB - 40 dB A fala com voz normal é percebida, mas a fala com voz baixa é percebida com dificuldade. Média Grau I – perda entre 41 dB e 55 dB Grau II – perda entre 56 dB e 70 dB. A fala é percebida com a voz mais alta. A pessoa compreende melhor se estiver de frente para o emissor. Severa Grau I – perda entre 71 dB e 80 dB Grau II – perda entre 81 dB e 90 dB. Percebe a fala se for com voz alta e próxima do ouvido. Apenas ruídos fortes são percebidos Profunda Grau I – perda entre 91 dB e 100 dB Grau II – perda entre 101 dB e 110 dB Grau III – perda entre 111 dB e 119 dB A fala não é percebida. Apenas ruídos muito altos são percebidos. Total 120 dB Nenhum som é identificado. 3.3.2 Tipos de surdez A localização da lesão que origina a perda auditiva pode ser do tipo condutiva (Figura 3.5) se esta ocorre no ouvido externo e/ou médio, afetando a parte mecânica do ouvido. Os casos que provocam este tipo de perda auditiva são fundamentalmente: o cerúmen e corpos estranhos no canal auditivo externo, otite externa, otites médias, obstrução da trompa de Eustáquio, perfuração timpânica, timpanosclerose (a membrana timpânica e a cadeia ossicular enrijecem), Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 30 agenesia do pavilhão auricular, atresia do canal auditivo externo (ausência ou fechamento do canal), quistos e tumores (benignos ou malignos) e otosclerose. Normalmente uma hipoacusia de condução é do tipo moderado, e não há patologia associada ao ouvido interno. Muitas das causas que originam hipoacusia de condução têm tratamento farmacológico ou cirúrgico. A perda auditiva neurossensorial (Figura 3.5) está relacionada com problemas ao nível do ouvido interno e o nervo auditivo. Geralmente a alteração ocorre na cóclea e, em grande parte das vezes, porque as células ciliadas não funcionam adequadamente. As patologias associadas a este tipo de perda auditiva são: presbiacusia, traumatismo acústico, doença de Ménière, otosclerose coclear, doenças provocadas por ototóxicos, infeções bacterianas e víricas, surdez congénita, tumores benignos e surdez cortical [2]. A perda mista (Figura 3.5) ocorre quando existe uma patologia no ouvido externo e/ou ouvido médio e também no ouvido interno. Figura 3.5: Tipos de perda auditiva, 1.Condução, 2.Neurossensorial, 3.Mista. 3.4 Algumas disfunções auditivas 3.4.1 Otosclerose A otosclerose é uma doença óssea metabólica que afeta os ossos do ouvido humano. A otosclerose leva a uma perda auditiva progressiva, geralmente do tipo condutiva. Vulgarmente surge em mulheres com vinte a trinta anos de idade. A etiologia da otosclerose ainda não é bem conhecida. Existem muitas teorias, incluindo a hereditariedade (genética), infeção (bacteriana ou viral), trauma, e anormalidades metabólicas. Cinquenta por cento das pessoas com otosclerose têm um familiar com a doença [18, 19]. Há dois estágios na evolução desta doença. A fase inicial da otosclerose é caracterizada por um aumento no número e tamanho dos vasos sanguíneos e por um processo de reabsorção e contínua remodelação óssea. Mais tarde no decurso da doença, ocorre endurecimento ósseo e estreitamento dos vasos sanguíneos. A perda auditiva otosclerótica afeta normalmente o estribo. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 31 Desta maneira a ligação anular é afetada e a base do estribo deixa de se poder mover normalmente. Quando isto acontece, a onda acústica não se propaga da forma habitual e a estimulação das células ciliadas da cóclea não se processa de forma adequada. Como consequência, a informação nervosa que atinge o centro auditivo do córtex temporal é menor e, em virtude disso, a audição diminui [2, 18, 20]. A otosclerose é uma doença benigna. Desta forma, enquanto a perda de audição é suave e não interfere com a vida social ou profissional do utente, não se efetua tratamento. Quando a perda auditiva começa a comprometer a qualidade de vida, uma intervenção é desejável. O tratamento mais seguro para a perda auditiva associada à otosclerose é a utilização de um aparelho auditivo. Não há riscos associados ao uso destes dispositivos. Em alguns casos, o uso de aparelhos auditivos pode levar a infeções no ouvido externo. Por estas razões, muitas pessoas optam por correção cirúrgica. A correção cirúrgica da perda auditiva condutiva causada pela otosclerose remonta ao início dos anos 1900. A época moderna da cirurgia do estribo começou em 1956, quando John Shea descreveu a cirurgia de estapedectomia, que envolve a remoção do estribo fixo e a colocação de uma prótese de teflon [21]. Este procedimento, com algumas alterações, continua a ser a operação de escolha para utentes com otosclerose nos dias de hoje. Uma cirurgia de estapedectomia bem-sucedida resulta numa audição normal para o paciente. No entanto, a cirurgia tem riscos e o sucesso não é garantido. Embora haja variações entre cirurgiões quanto à técnica exata, a cirurgia da estapedectomia é realizada sob anestesia local ou geral (Figura 3.6). Entrando através do canal auditivo externo com um microscópio com ampliação de 10x a 20x, e levantando o tímpano, o cirurgião consegue ver o estribo, e estabelecer que foi fixo por otosclerose. Alguns cirurgiões fazem um pequeno orifício na base do estribo (platina), outros removem parte ou a totalidade da platina do estribo. Cada técnica tem as suas vantagens e desvantagens. Existem muitos tipos de próteses utilizadas para substituir o estribo (por exemplo: titânio, teflon). O fator mais importante é a experiência do cirurgião [18]. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 32 Figura 3.6: Procedimento da cirurgia da estapedectomia. A estapedectomia tem riscos, entre os quais:  Não há garantia de sucesso operatório.  O zumbido é reduzido ou eliminado caso esteja presente antes da cirurgia, e o resultado seja satisfatório. Embora seja raro, mesmo com um bom resultado auditivo, o zumbido pode ficar mais alto ou aparecer pela primeira vez. Não há tratamento farmacológico ou cirúrgico para o zumbido o que pode ser um problema incomodativo.  Tonturas ocorrem frequentemente durante ou logo após a cirurgia. Isto porque a parte responsável pelo equilíbrio presente no ouvido interno torna-se temporariamente irritada. Esta vertigem geralmente desaparece durante os primeiros dias após a cirurgia, mas em casos raros, pode ser um problema persistente.  O nervo facial que atravessa a caixa timpânica é sempre identificado durante a operação e qualquer lesão deve ser evitável. Se o nervo está numa posição incomum, a maioria dos cirurgiões abortam o procedimento, em vez de correr o risco de o lesionar.  O nervo corda do tímpano atravessa também o ouvido médio e é responsável pelo paladar, transporta a informação nervosa dos dois terços anteriores da língua, do lado onde a cirurgia é realizada. Este nervo é sempre manuseado durante a cirurgia. Alguns pacientes queixam-se de um gosto estranho na sua boca por várias semanas após a cirurgia, mas é raro isso não se resolver. 3.4.2 Otite média Otite média é uma inflamação persistente da mucosa do ouvido médio. É uma das doenças mais comuns durante a infância, afeta sobretudo crianças até aos sete anos e pode estar na origem da perda auditiva. A presença de fluido no ouvido médio é uma das causas da perda auditiva de condução. Embora a intensidade da perda auditiva de condução dependa da quantidade de fluido presente no ouvido médio, a perda geralmente varia de 25 a 30 dB em toda a banda de frequências [22, 23]. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 33 O fluido pode ser: seroso (líquido fino e aquoso), mucoso (liquido espesso viscoso, mucóide), purulentos (pus), e mucopurulento (combinação do mucoso e purulento) [7]. Várias opiniões têm sido propostas para explicar a perda auditiva associada à presença de fluido no ouvido médio. A massa de fluido presente na cavidade timpânica provoca um aumento da rigidez no movimento normal da membrana timpânica, reduzindo assim o movimento ossicular para uma determinada pressão sonora. 3.4.3 Presbiacusia A perda auditiva relacionada com o envelhecimento é um fenômeno com alta prevalência na população idosa, podendo conduzir a uma série de dificuldades na comunicação oral, bem como, muito frequentemente, na relação familiar e social. É um processo degenerativo das células sensoriais presentes na cóclea e das fibras nervosas que enviam a informação nervosa ao cérebro [2]. As frequências altas são as que sofrem mais perda de intensidade, deste modo à medida que a idade aumenta, também aumenta a perda da sensibilidade, principalmente nessas frequências. Todo o funcionamento auditivo que envolve não só o "ouvir", mas a compreensão do que é "ouvido", fica comprometido, requerendo atenção especial dos profissionais envolvidos com a audiologia e o envelhecimento [24]. 3.4.4 Timpanosclerose É Zollner (1956) quem introduz o termo de timpanosclerose. Em 1974, Tos define esta patologia como um processo irreversível, resultado de uma infeção crónica [25]. O processo inflamatório induz uma fibrose da camada mais profunda que reveste a membrana timpânica, ou qualquer outro local do ouvido médio que possa sofrer degenerações hialinas. Efetuando-se um exame de otoscopia observam-se placas hialinas, esbranquiçadas, com aparência de casca de ovo na membrana timpânica podendo esta se encontrar perfurada ou não. As placas podem ser pequenas e numerosas ou únicas e grandes. Frequentemente ocasionam perdas auditivas, podendo ser responsáveis por perdas severas de caráter condutivo quando se estendem à cadeia ossicular, causando fixações do martelo e da bigorna, podendo ainda atingir os tendões dos músculos tensor do tímpano e estapédio. Nada consegue eliminar as placas de timpanosclerose, e a indicação cirúrgica deve limitar-se ao encerramento das perfurações timpânicas, pois os resultados funcionais são, em regra pobres [25]. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 40 Figura 4.6: Classificação da excitação. 4.6 Sistema com n graus de liberdade 4.6.1 Equações do movimento para regime livre ou natural Em regime livre ou natural, a excitação externa é nula, 𝑓(𝑡)= 0, pelo que as equações do movimento escrevem-se,           ( ) ( ) 0m x t k x t (4.4) Em regime livre ou natural as equações de movimento constituem um sistema de equações diferenciais ordinárias homogéneas. Para caracterizar o movimento de resposta em regime livre é necessário resolver o sistema de equações diferenciais homogéneas. Para isso, admite-se a seguinte hipótese: “As massas 𝑚𝑖 𝑖 = 1, … , 𝑛 efetuam um movimento harmónico síncrono com a frequência 𝜔”. Assim a solução para 𝑥(𝑡) é dada por,     ( ) cos( )x t u t   (4.5) Onde as componentes do vetor {𝑢}, representam as amplitudes do movimento para 𝑥𝑖(𝑡) 𝑖 = 1, … , 𝑛. Substituindo (4.5) em (4.4), obtém-se,         2cos( ) 0m k u t          (4.6) A solução arbitrada deve verificar as equações de movimento para todo e qualquer instante de 𝑡 com cos (𝜔𝑡 − ∅) diferente de zero, desta forma, o vetor de incógnitas {𝑢}, deve verificar o sistema de equações algébricas homogéneas seguinte,         20k m u     (4.7) Excitação Determinística Periódica Harmónica Não harmónica Não periódica Impulsiva Transiente Não determinística Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 41 As amplitudes {𝑢} do movimento harmónico síncrono de 𝑥𝑖(𝑡) 𝑖 = 1, … 𝑛 são assim verificadas pela solução do sistema homogéneo (4.7) que é verificado pela solução trivial {𝑢}={0}, o que corresponde à posição de equilíbrio estático do sistema e à ausência de vibração. 4.6.2 Problema característico O determinante da matriz dos coeficientes do sistema homogéneo (4.7) tem de ser nulo, para que haja soluções não triviais do vetor {𝑢} de amplitudes.     2 ( ) 0km      (4.8) O determinante (4.8) designa-se por determinante característico e conduz a uma equação polinomial de grau 𝑛 em 𝜔2, designada por equação característica. As raízes, 𝜔𝑖 2 𝑖 = 1, … 𝑛, valores particulares de 𝜔2, para os quais o sistema homogéneo (4.7) admite soluções não nulas para o vetor {𝑢}, designam-se por valores característicos e representam as frequências naturais de vibração do sistema. Um sistema com 𝑛 graus de liberdade, o sistema homogéneo (4.7) admite 𝑛 soluções não nulas para {𝑢}, correspondentes às 𝑛 frequências naturais 𝜔𝑖 𝑖 = 1, … , 𝑛 com 𝜔1< 𝜔2< ⋯ < 𝜔𝑖< ⋯ < 𝜔𝑛. Introduzindo no sistema homogéneo (4.7) 𝜔2= 𝜔𝑖 2 𝑖 = 1, … , 𝑛, obtêm-se os vetores amplitudes {𝑢}𝑖 𝑖 = 1, . . , 𝑛.         20 1,..., ii k m u i n       (4.9) Como a solução de um sistema homogéneo é definida a menos de uma constante, isto é, se o vetor {𝑢}𝑖 𝑖 = 1, … , 𝑛 é solução do sistema homogéneo, então o vetor 𝛼{𝑢}𝑖 é também solução, sendo 𝛼 uma constante. Apenas os rácios entre as componentes do vetor solução são únicas. Os modos naturais de vibração (frequências e formas naturais) constituem uma propriedade intrínseca do sistema e são únicos para um dado sistema. 4.6.3 Equações de movimento para regime forçado As equações diferencias de movimento do sistema discreto com 𝑛 graus de liberdade, formam um sistema de 𝑛 equações diferencias ordinárias de 2ª ordem na variável tempo. As 𝑛 equações diferenciais apresentam-se acopladas, ou seja, constituem um sistema de 𝑛 equações diferenciais devido ao fato de o movimento da massa 𝑚𝑖, influenciar o movimento da massa 𝑚𝑗 e vice-versa. As equações diferenciais de movimento escrevem-se, em notação matricial (equação (4.10)).               ( ) ( ) ( ) ( )m x t c x t k x t f t   (4.10) Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 42 Onde [𝑚], [𝑐] e [𝑘] representam, respetivamente, as matrizes de massa, de amortecimento e rigidez do sistema. As matrizes [𝑚], [𝑐] e [𝑘] são simétricas.             m m c c k k       (4.11) 4.6.4 Resposta a uma solicitação harmónica Para uma solicitação harmónica síncrona de frequência 𝜔, as equações de movimento são dadas pela equação (4.12).               j ( ) ( ) ( ) t m x t c x t k x t F e     (4.12) Admitindo uma resposta em regime permanente do tipo,     j ( ) ( ) t x t X e    (4.13) Em geral as componentes do vetor {𝑋(𝜔)} são complexas, representam a amplitude e a fase do movimento estacionário de resposta para cada grau de liberdade, e dependem da frequência de excitação, 𝜔, e dos parâmetros do sistema. Com efeito, introduzindo a resposta estacionária (4.13) e as respetivas derivadas no sistema de equações diferenciais de movimento, obtém-se o sistema de equações algébricas (4.14).           2j ( )m c k X F          (4.14) Cuja solução é o vetor {𝑋(𝜔)}. Estabelecendo as funções de impedância 𝑧𝑟𝑠(𝜔) 𝑟, 𝑠 = 1, 2, … , 𝑛 da seguinte forma, 2 ( ) j , 1, 2,..., rs rs rs rs z m c k r s n         (4.15) Desta forma, o sistema de equações algébricas pode escrever-se,       ( ) ( )Z X F   (4.16) Onde a matriz [𝑍(𝜔)] é designada por matriz impedância ou matriz rigidez dinâmica do sistema. Pré-multiplicando a equação (4.16) em ambos os membros pela matriz inversa da matriz impedância, [𝑍(𝜔)]−1, determina-se o vetor amplitudes {𝑋(𝜔)}.       1 ( ) ( )X Z F    (4.17) Para um sistema não amortecido, o determinante da matriz impedância é nulo para frequências iguais às frequências naturais do sistema. Desta forma, para frequências de excitação idênticas às frequências naturais, o valor das amplitudes 𝑋𝑖(𝜔) 𝑖 = 1, … , 𝑛 tendem para infinito. As componentes 𝑋𝑖(𝜔) 𝑖 = 1, … , 𝑛 do vetor {𝑋(𝜔)}, são normalmente quantidades complexas, Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 43 cujo módulo representa a amplitude de resposta estacionária e cujo argumento representa o desfasamento entre a excitação e a resposta. 4.6.5 Regime forçado amortecido – análise modal 4.6.5.1 Normalização dos vetores modais Como já foi referido, os vetores modais são definidos a menos de uma constante. Um procedimento de normalização transforma um vetor modal num vetor modal único sem que a forma natural seja alterada. A normalização dos vetores modais para massas modais unitárias revela-se particularmente interessante, consiste na normalização dos vetores modais de modo a que se verifique a seguinte condição,       1 1,..., ii m i n   (4.18) Onde {𝜙}𝑖 𝑖 = 1, … , 𝑛 representam os vetores modais normalizados para massas modais unitárias. Com os vetores modais normalizados, decorrem igualmente as seguintes relações,       21,..., i ii k i n     (4.19) A obtenção dos vetores modais normalizados {∅}𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛 é feita através da equação (4.20).           1 ii ii u u m u    (4.20) Assim é possível construir a matriz modal [Φ],         12n          (4.21) 4.6.5.2 Coordenadas modais Para a resolução do sistema de equações diferenciais de movimento define-se uma transformação de coordenadas do tipo,       ( ) ( )x t t   (4.22) Como a matriz [Φ] é independente da variável tempo, derivando uma e duas vezes em ordem a 𝑡 obtêm-se, Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 44       ( ) ( )x t t   (4.23)       ( ) ( )x t t   (4.24) Introduzindo a transformação (4.22), (4.23) e (4.24) na equação do movimento fica,                          ( ) ( ) ( ) ( )m t c t k t f t                  (4.25) Tendo em conta as propriedades de ortogonalidade dos vetores modais em relação às matrizes de massa e de rigidez,        mI     (4.26)      2 k       (4.27) As equações de movimento projetas na base modal são dadas por,                2 ( ) ( ) ( ) ( )I t c t t N t            (4.28) Onde [𝐼] e [𝛺2] representam, respetivamente, a matriz identidade e uma matriz diagonal cujos termos são os quadrados das frequências naturais. A equação diferencial encontra-se desacoplada em termos de inércia e de rigidez, mas não necessariamente em termos de amortecimento. 4.6.5.3 Amortecimento proporcional Considerando uma matriz de amortecimento [𝑐], que seja uma combinação linear da matriz de massa e da matriz de rigidez, isto é,       c m k   (4.29) Então a sua projeção na base modal vem,                    2 2 2 c m k I                           (4.30) É uma matriz diagonal e deste modo as equações de movimento na base modal são equações independentes. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 45 4.6.5.4 Equações modais Para uma matriz de amortecimento proporcional, as equações de movimento projetadas na base modal do sistema não-amortecido, constituem um conjunto de equações diferenciais independentes, sendo cada uma delas formalmente idêntica à equação de movimento de um sistema com um grau de liberdade. 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 1,..., i i i i i t t t N t i n         (4.31) 4.6.5.5 Resposta na base modal Cada uma das equações pode ser resolvida analítica ou numericamente, conforme o tipo de excitação aplicada ao sistema. A resposta pode ser determinada utilizando o integral de Duhamel, () 0 2 1 ( ) ( ) sin (t ) (0) (0) cos( ) sin 1,..., 1 ii i i ii ii tt i i d d tii d i d i i t N e d e t t i n                             (4.32) Com, 21 2 1 , tan 1 i i d i i i i            (4.33) 4.6.5.6 Resposta nas coordenadas generalizadas Determinada a reposta nas coordenadas modais 𝜂𝑖(𝑡) 𝑖 = 1, … , 𝑛, torna-se útil determinar a resposta nas coordenadas generalizadas 𝑥𝑖(𝑡). Esta mudança de coordenadas é efetuada através da expressão (4.34).         1 ( ) ( ) ( ) n ii i x t t t         (4.34) Para um sistema amortecido em que a matriz de amortecimento [𝑐] é proporcional, o movimento {𝑥(𝑡)} de resposta pode ainda exprimir-se como uma sobreposição das formas naturais de vibração do sistema não-amortecido multiplicadas pelas respetivas respostas amortecidas em coordenadas modais [26]. 4.7 Níveis vibratórios A vibração pode ser caracterizada pelo deslocamento, velocidade ou aceleração, ou ainda, em decibéis. Escalas logarítmicas são usadas para extrair as amplitudes de vibração. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 46 O nível de deslocamento, velocidade e aceleração vibratório é dado pela expressão (4.35), (4.36) e (4.37), respetivamente. 12 ( ) 20log , 10 [m] deslocamento ref ref X N dB X X       (4.35) 9 ( ) 20log , 10 [m/s] velocidade ref ref V N dB V V       (4.36) 62 ( ) 20log , 10 [m/s ] aceleração ref ref A N dB A A       (4.37) O valor de referência utilizado está de acordo com a norma ISO R1683. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 47 5. Análise dinâmica do comportamento mecânico do ouvido humano 5.1 Introdução No capítulo que se segue será apresentado o modelo geométrico do ouvido humano. O modelo construído teve por base o projeto “The visible ear”, iniciado em 1995 por Mads Sølvsten Sørensen, MD, et al. e seguido em 2005 por alunos da Universidade de Aalborg na Dinamarca [27]. Foram testados dois modelos: um apenas com a membrana e cadeia ossicular e um outro com membrana, ossículos, ar do canal auditivo externo e da cavidade timpânica. Com o modelo construído, definiram-se as propriedades dos materiais e aplicaram-se as devidas condições fronteira. Foram realizados vários ensaios dinâmicos dos quais se extraíram, as frequências naturais dos modelos e os deslocamentos no umbo e na platina do estribo para a banda de frequências de 100 Hz a 10 kHz, para vários valores de pressão acústica aplicada na membrana timpânica ou para o caso do modelo completo, aplicado no ar à entrada do canal auditivo externo. Foram ainda efetuados estudos de dinâmica a ambos os modelos simulando as patologias associadas ao ouvido médio, entre as quais a otosclerose e a otite média. Os resultados obtidos foram comparados com outros publicados anteriormente na literatura. 5.2 Modelo geométrico Os principais objetivos do projeto “The Visible Ear” foram, desenvolver em alta resolução um atlas digital do osso temporal, assim como um simulador computacional para o estudo do ouvido médio, utilizado para ensaios e planeamentos de procedimentos cirúrgicos. Um conjunto de imagem de altíssima qualidade do osso temporal congelado de uma mulher de 85 anos foi obtido por “cryosectioning”. A espessura de corte foi de 25 µm e imagens de alta resolução foram capturadas a cada 50 µm, obtendo-se um total de 597 imagens de 24 bits RGB com uma resolução de 50 µm/pixel. Foram identificados cerca de 26 órgãos diferentes do Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 48 ouvido médio, através da segmentação manual realizada por Mads Sølvsten Sørensen de cada imagem, criando assim a base para o simulador computacional do ouvido médio [27]. Figura 5.1: Representação do osso temporal e do modelo computacional. A partir do projeto “The Visible Ear” extraiu-se o modelo geométrico da membrana, ossículos, cóclea, canal auditivo externo e caixa timpânica, entre outras partes que constituíram o modelo completo deste trabalho. Através do programa SolidWorks todas as partes foram tratadas e alisadas convenientemente, de maneira a formar sólidos tridimensionais correspondentes a cada parte do modelo. O modelo inicialmente testado é composto pela membrana, ossículos, cóclea, pelos dois músculos (estapédio e tensor do tímpano) e seis ligamentos, pelas articulações incudomaleolar e incudoestapédica, e pelo osso temporal. O modelo completo é constituído pelo modelo simples acrescentado do ar no canal auditivo externo e na cavidade timpânica, a pele, a mandíbula e a cartilagem auricular. Através do programa de elementos finitos Abaqus [28] foi realizada a discretizaçao de cada parte do modelo geométrico e feita a respetiva montagem. Na Figura 5.2 encontra-se já discretizada a membrana timpânica, diferenciando-se a pars flaccida e a pars tensa. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 49 Figura 5.2: Malha de elementos finitos da membrana timpânica, 1.Pars flaccida e 2.Pars tensa. Na Tabela 5.1 apresentam-se as dimensões da membrana timpânica presente no modelo de elementos finitos utilizado, assim como dados presentes no trabalho de 1982, de Wever & Lawrence [29]. Tabela 5.1: Dimensões da membrana timpânica no modelo utilizado e comparação com dados obtidos na literatura Membrana timpânica Distância paralela ao manúbrio [mm] Distância perpendicular ao manúbrio [mm] Espessura [mm] Modelo 9,45 10,22 0,2 – 0,5 (perto do umbo) Publicados na literatura 8,0 – 10,0 [29] 7,5 – 9,0 [29] 0,1 [29] A espessura da membrana timpânica foi um dos parâmetros que se afastou mais de resultados encontrados na literatura. Visto que o modelo geométrico concebido teve por base um projeto cujo procedimento de obtenção da geometria anatómica é bastante preciso, consideraram-se válidas as dimensões apresentadas para o presente modelo. A membrana timpânica é formada por 5455 nós e 19495 elementos tetraédricos do tipo C3D4. Destes 18542 pertencem à pars tensa e os restantes à pars flaccida. O sulco timpânico foi simulado atribuindo um módulo de Young substancialmente pequeno aos elementos que Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 56 do canal auditivo externo e da cavidade timpânica. Está também presente parte da trompa de Eustáquio, com diâmetro variável entre 3 e 8 mm. Ao ar do canal auditivo externo foram ainda adicionados mais elementos acústicos na parte exterior da orelha, para assim incluir-se no modelo as reflexões sonoras originadas pelo seu formato anatómico, ficando no total, o ar com um volume de 13650,66 mm3. Figura 5.12: Malha de elementos finitos do ar, 1.Canal auditivo externo; 2.Cavidade timpânica. O ar do canal auditivo externo (Figura 5.12) é formado por 127875 elementos do tipo AC3D4 e 25932 nós. O ar da cavidade timpânica (Figura 5.12) é constituída por 83230 elementos do tipo AC3D4 e 17664 nós. Tabela 5.5: Dimensões do canal auditivo externo e da cavidade timpânica Ar Volume [mm3] Distância entre o umbo e a entrada do canal auditivo externo [mm] Canal auditivo externo Cavidade timpânica Modelo 1642,96 398 30,30 Publicados na literatura 830 − 1972 (Donaldson and Miller, 1973) 600 − 1200 (Ravicz et al., 2004) 25 − 31 (Donaldson and Miller, 1973) No total, o modelo completo é formado por 273566 nós e 1438647 elementos, dos quais 7 do tipo T3D2, 252397 do tipo AC3D4 e 1186243 do tipo C3D4. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 57 5.3 Propriedades mecânicas O ouvido médio humano tem sido descrito como um sistema linear, quando aplicada uma intensidade do som regular do nível de audição, para transmissão acústico-mecânico do tímpano até à cóclea [30]. Desta maneira, os materiais do sistema do ouvido médio foram assumidos com comportamento linear elástico. O coeficiente de Poisson foi assumido 0,3 para todas as partes do ouvido exceto, para a cartilagem que foi usado um coeficiente de Poisson de 0,4 [31]. Foi atribuído um módulo de Young de 1,41 × 1010 Pa a todos os ossículos e à articulação incudomaleolar. A membrana timpânica foi dividida em pars tensa e pars flaccida, sendo-lhe atribuído propriedades ortotrópicas descritas na Tabela 5.6. A massa específica da membrana timpânica foi de 1,2 × 103 kg/m3. Em relação aos ossículos a massa específica é definida para cada parte do ossículo de acordo com a Tabela 5.6. À articulação incudomaleolar e incudoestapédica foi atribuída uma massa específica de 3,2 × 103 e 1,2 × 103 kg/m3, respetivamente. O módulo de Young atribuído à articulação incudoestapédica foi de 6,0 × 105 Pa. Os coeficientes de amortecimento da membrana timpânica, ossículos e das articulações foram assumidos como sendo 𝛼 = 0s-1 e 𝛽 = 0,0001s. Tabela 5.6: Propriedades de material dos ossículos, membrana e articulações Componente Modelo Membrana Massa específica [kg/m3] 1,2 × 103 Módulo de Young [N/m2] Pars tensa 3,2 × 107 (radial) 2,0 × 107 (circunferencial) Pars flaccida 1,0 × 107 (radial) 1,0 × 107 (circunferencial) Amortecimento 𝛼 = 0𝑠−1; 𝛽 = 0,0001𝑠 Martelo Massa específica [kg/m3] Cabeça 2,55 ×103 Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 58 Colo 4,53 ×103 Cabo 3,70 ×103 Módulo de Young [N/m2] 1,41 ×1010 Amortecimento 𝛼 = 0𝑠−1; 𝛽 = 0,0001𝑠 Bigorna Massa específica [kg/m3] Corpo 2,36 ×103 Apófise curta 2,26 ×103 Apófise longa 5,08 ×103 Módulo de Young [N/m2] 1,41 ×1010 Amortecimento 𝛼 = 0𝑠−1; 𝛽 = 0,0001𝑠 Estribo Massa específica [kg/m3] 2,20 ×103 Módulo de Young [N/m2] 1,41 ×1010 Amortecimento 𝛼 = 0𝑠−1; 𝛽 = 0,0001𝑠 Articulação incudomaleolar Massa específica [kg/m3] 3,2 × 103 Módulo de Young [N/m2] 1,41 ×1010 Amortecimento 𝛼 = 0𝑠−1; 𝛽 = 0,0001𝑠 Articulação incudoestapédica Massa específica [kg/m3] 1,2 × 103 Módulo de Young [N/m2] 6,0 × 105 Amortecimento 𝛼 = 0𝑠−1; 𝛽 = 0,0001𝑠 Os dados da Tabela 5.6 relativos à membrana timpânica, aos ossículos e às articulações foram obtidos da publicação de Sun, Gan [32]. A secção atribuída aos ligamentos do martelo e da bigorna foi de 0,196 mm2. Foi assumido um comportamento elástico dos ligamentos. O módulo de Young foi no caso do martelo de 4,9 × 104 Pa para o ligamento superior, 2,1 × 106 Pa para o ligamento anterior e 6,7 × 104 Pa para o ligamento lateral. Na bigorna foi considerado um módulo de Young de Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 59 4,9 × 104 Pa para o ligamento superior e 6,5 × 105 Pa para o ligamento posterior. Ao ligamento anular do estribo foi atribuído um módulo de Young de 1×104 Pa. O sulco timpânico foi simulado com um módulo de Young de 6,0 × 103 Pa e uma massa específica de 1200 kg/m3, aos elementos que rodeiam a membrana timpânica (Tabela 5.7). Tabela 5.7: Propriedades elásticas dos ligamentos Ligamento Módulo de Young [N/m2] Massa específica [kg/m3] Literatura Superior do martelo 4,9 × 104 - Gentil, Parente [33] Anterior do martelo 2,1 × 106 - Lateral do martelo 6,7 × 104 - Superior da bigorna 4,9 × 104 - Posterior da bigorna 6,5 × 105 - Anular do estribo 1 × 104 - Anular do tímpano 6,0 × 103 1200 Assumido A secção definida para o músculo tensor do tímpano e estapédio foi de 5,85 e 4,9 mm2, respetivamente. Os músculos foram simulados com comportamento elástico, o módulo de Young foi de 2,6 × 105 Pa para o músculo tensor do tímpano e de 5,2 × 105 Pa para o músculo estapédio (Tabela 5.8). Tabela 5.8: Propriedades elásticas dos músculos Músculo Módulo de Young [N/m2] Literatura Tensor do tímpano 2,6 × 105 Assumido Estapédio 5,2 × 105 Gentil, Parente [33] O osso temporal foi assumido com comportamento elástico isotrópico. O módulo de Young atribuído foi de 1,41 ×1010 Pa e a massa específica de 2000 kg/m3. À mandíbula foram dadas propriedades idênticas. À pele e à cartilagem foi assumido um módulo de Young de 16,7 × 109 e 25 ×109 Pa, respetivamente e uma massa específica de 1200 kg/m3 a ambos [31]. Os coeficientes de amortecimento do osso temporal, da mandíbula, da pele e da cartilagem foram assumidos como sendo 𝛼 = 0s-1 e 𝛽 = 0,0001s. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 60 O interior da cóclea foi preenchido com um fluido, simulando assim o fluido coclear. Foi assumido um módulo de volumétrico de 2,2 × 109 Pa e uma massa específica de 1000 kg/m3 [34]. O módulo volumétrico e a massa específica associada ao ar do canal auditivo externo e da cavidade timpânica foram, 1,42 × 105 Pa e 1,164 kg/m3, respetivamente, obtendo-se uma velocidade do som no meio de 349,2 m/s [35, 36]. 5.4 Condições fronteira Os ossículos estão suspensos por ligamentos e músculos. Numa extremidade estão ligados à parte óssea e na outra ao respetivo ossículo. Na periferia da membrana encontra-se o sulco timpânico, que faz a ligação da membrana à parte óssea. O ligamento anular une por sua vez a platina do estribo à parte óssea. A parte do osso temporal e da mandíbula que se encontra em corte no modelo (extremos do modelo) foi considerada encastrada (Figura 5.13). Para simular as reflexões acústicas nas interfaces dos componentes acústicos, são definidas impedâncias de fronteira para a análise dinâmica do modelo [37]. À interface do ar do canal auditivo externo que ficou fora da orelha foi adicionada uma impedância acústica de 406,6 Ns/m3, a qual define que todas as ondas acústicas sejam absorvidas. À interface entre o ar e parte óssea e entre o ar e a pele foi estabelecida uma impedância acústica de 6,0 × 106 e 1,99 ×106 Ns/m3, respetivamente. Foi atribuída uma impedância acústica na interface entre a membrana timpânica e o ar de 1,99 ×106 Ns/m3 [38] (Figura 5.14). A conexão entre as malhas de elementos acústicos e as malhas de elementos estruturais foi realizada através da opção TIE disponível no programa Abaqus. Esta opção é usada para impor interações acústico-estruturais acoplados entre pares de superfícies [37]. O comando TIE foi desta maneira usado para as superfícies exteriores do ar do canal auditivo externo, do ar da cavidade timpânica e do fluido coclear. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 61 Figura 5.13: Representação das condições fronteira. Figura 5.14: Representação das localizações das impedâncias acústicas. 5.5 Estudo do comportamento biomecânico do ouvido médio Inicialmente foi realizada uma análise dinâmica, determinando-se as frequências naturais do modelo simples e do modelo completo e comparou-se com outros resultados publicados na literatura. Foram depois efetuados estudos dinâmicos do modelo, para gamas de frequência compreendidas entre 100 Hz e 10 kHz e para diferentes níveis de pressões acústicas aplicadas sobre a membrana timpânica, ou no caso do modelo completo sobre a superfície exterior do ar. Determinou-se o deslocamento e a fase no umbo e na platina do estribo, e comparou-se com resultados obtidos por outros autores. Seguidamente foram calculadas as frequências naturais do modelo do ouvido com a presença das patologias: otosclerose e otite média, e compararam-se com as do ouvido normal. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 62 5.5.1 Frequências naturais de vibração Foram determinadas as primeiras 40 frequências naturais para o modelo simples e para o modelo completo. O modelo simples é composto pela membrana e cadeia ossicular, o modelo completo pela membrana, cadeia ossicular, ar do canal auditivo externo e da cavidade timpânica. Na Figura 5.15 estão representados os resultados obtidos assim como, outros publicados anteriormente na literatura. Figura 5.15: Frequências naturais para o modelo simples e completo e respetiva comparação com dados publicados na literatura. A primeira frequência natural obtida foi de 272,53 Hz para o modelo simples e de 212,25 Hz para o modelo completo. As frequências naturais são sempre superiores no modelo simples quando comparadas com as do modelo completo. A maior diferenciação encontra-se a partir da nona frequência natural onde o modelo simples apresenta valores progressivamente superiores relativamente ao modelo completo. Comparando com o modelo de Gentil [2], que considerou a membrana e a cadeia ossicular, verifica-se uma boa concordância nas primeiras três frequências naturais. A primeira frequência natural foi de 250,67 Hz. A maior discordância ocorre entre a quinta e a décima quinta frequência natural, após esta, os valores seguem a mesma tendência, revelando-se sempre um pouco inferiores. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 Frequência [Hz] Número Gentil (2008) - membrana e ossículos Bornitz et al. (1999) - só membrana Modelo membrana e ossículos Modelo completo Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 63 Bornitz et al. [39] considerou o modelo composto apenas pela membrana timpânica e determinou a 3ª, 4ª e 5ª frequência natural, obtendo 908 Hz, 1355 Hz e 2012 Hz, respetivamente. 5.5.2 Análise dinâmica 5.5.2.1 Modelo simples Foram efetuadas determinadas simulações ao modelo simples, com a finalidade de compreender o comportamento do ouvido médio na banda de frequências de 100 Hz e 10 kHz. Foi determinada a resposta em regime estacionário no umbo (Nó: 472854) e no centro da platina (Nó: 421800), a uma excitação aplicada sobre a membrana timpânica. Na Figura 5.16 estão representados os deslocamentos obtidos para os níveis de pressão sonora, entre 0 dB (mínimo de audibilidade) e 130 dB (limiar da dor). Figura 5.16: Comparação do deslocamento no umbo e na platina para diferentes níveis de pressão sonora aplicadas na membrana. Foi analisado o comportamento dinâmico do ouvido médio para os seguintes níveis de pressão sonora, 0 dB (2,0 × 10−5 Pa), 60 dB (2,0 × 10−2 Pa), 80 dB (2,0 × 10−1 Pa), 90 dB (6,32 ×10−1 Pa), 105 dB (3,56 Pa) e 130 dB (6,32 ×101 Pa). Verifica-se a presença proporcionalidade direta entre o deslocamento no umbo ou na platina do estribo, e a pressão sonora aplicada na membrana timpânica. Na Figura 5.17 está representada a fase da resposta do deslocamento no umbo e na parte central da platina do estribo, que se revelou independente da pressão sonora aplicada na membrana. 1,00E-12 1,00E-11 1,00E-10 1,00E-09 1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 100 1000 10000 Deslocamento Umbo [mm] Frequência [Hz] 0dB 60dB 80dB 90dB 105dB 130dB 1,00E-13 1,00E-12 1,00E-11 1,00E-10 1,00E-09 1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00 100 1000 10000 Deslocamento Estribo [mm] Frequência [Hz] 0dB 60dB 80dB 90dB 105dB 130dB Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 64 Figura 5.17: Fase da resposta do deslocamento no umbo e no centro da platina do estribo. A fase da resposta de deslocamento no umbo é praticamente constante até aos 700 Hz, tomando o valor de 170º, existindo por volta dos 330 Hz um pico que atinge cerca de 210º. A partir de 700 Hz verifica-se um aumento progressivo da fase até 250º aos 1500 Hz. De 1500 Hz a 10 kHz a fase é praticamente estável. Relativamente à fase da resposta de deslocamento no centro da platina do estribo, revela-se um pouco irregular inicialmente tomando um valor médio de 130º até 450 Hz. Entre 500 Hz e 600 Hz verifica-se uma mudança de fase de 60º para 240º, que pode ser identificada na Figura 5.16 no gráfico relativo ao deslocamento do estribo, com um pico nessa banda de frequências. A partir de 700 Hz a fase diminui progressivamente desde 270º até 120º, a 4 kHz. Entre 4 kHz e 10 kHz a fase é praticamente constante e igual a 130º. Os deslocamentos obtidos para um nível de pressão sonora de 80 dB aplicado na membrana, foram comparados com outros na literatura e estão representados na Figura 5.18. No estudo de Gentil et al. [33] são determinados os deslocamentos no umbo e na platina do estribo para o nível de pressão sonora de 80 dB, através de um modelo constituído pela membrana e cadeia ossicular e considerando os ligamentos com comportamento hiperelástico. Chia et al. [40] simula através de elementos finitos o ouvido médio, constituído pela membrana e cadeia ossicular, e compara com resultados experimentais publicados por Nishihara [41]. Huber et al. [42] publica um trabalho com dados experimentais do deslocamento do umbo e da platina do estribo obtidos a partir de 10 ossos temporais. 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 100 1000 10000 Fase [°] Frequência [Hz] Estribo Umbo Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 65 No estudo de Nishihara et al. [41] os dados experimentais foram obtidos de 64 pessoas com audição normal. Foram induzidos 34 tons diferentes a 80 dB SPL na banda de frequências de 195 Hz a 19433 Hz sobre a membrana timpânica, e medido o deslocamento no umbo através de um instrumento laser. Figura 5.18: Comparação do deslocamento no umbo e na platina do estribo para o nível de pressão sonora de 80 dB. Comparando a resposta do deslocamento no umbo do modelo desenvolvido (Figura 5.18), verifica-se que os resultados obtidos estão muito próximos dos obtidos por Gentil et al. [33] nas baixas frequências, diferenciando-se progressivamente nas altas frequências. Os trabalhos desenvolvidos por Nishihara et al. [41] e Chia et al. [40] apresentam uma resposta do deslocamento do umbo inferior nas baixas frequências, e o oposto nas altas. O estudo de Huber et al. [42] é o que mais se aproxima do modelo desenvolvido. Relativamente à resposta do deslocamento da platina do estribo, nas baixas frequências o modelo mostra-se sempre superior aos da literatura. Entre 900 Hz e 4 kHz as respostas estão muito próximas. A partir de 4 kHz a resposta apresenta-se inferior, relativamente aos trabalhos publicados anteriormente na literatura. Na Figura 5.19 está representada a relação do deslocamento umbo/platina quando aplicado um nível de pressão sonora de 80 dB na membrana timpânica. Os resultados obtidos foram comparados com os seguintes estudos publicados na literatura, Sun et al. [32] e Nishihara et al. [43]. 1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 100 1000 10000 Deslocamento Umbo [mm] Frequência [Hz] Modelo membrana e ossículos F. Gentil et al. (2011) Chia et al. (2006) Huber et al. (1997) Nishiara et al. (1996) 1,00E-09 1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 100 1000 10000 Deslocamento Estribo [mm] Frequência [Hz] Modelo membrana e ossículos F. Gentil et al. (2011) Chia et al. (2006) Huber et al. (1997) Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 72 Figura 5.25: Comparação do deslocamento obtido no umbo e na platina do estribo, entre o modelo simples e o modelo completo. Relativamente ao deslocamento no umbo, para os dois níveis de pressão acústica, verifica-se no modelo completo, em relação ao modelo simples, uma pequena diminuição do deslocamento nas baixas frequências, e um leve aumento nas altas, sendo o aumento mais notório a cerca de 2 kHz. Quanto ao deslocamento na platina do estribo, o caso é praticamente semelhante ao do umbo, apresentando também um pico de deslocamento a cerca de 2 kHz. Na Figura 5.26 está representada a fase da resposta do deslocamento no umbo e na parte central da platina do estribo, para o modelo simples e para o modelo completo. 1,00E-12 1,00E-11 1,00E-10 1,00E-09 1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 100 1000 10000 Deslocamento Umbo [mm] Frequência [Hz] Modelo membrana e ossículos 0dB Modelo membrana e ossículos 60dB Modelo completo 0dB Modelo completo 60 dB 1,00E-13 1,00E-12 1,00E-11 1,00E-10 1,00E-09 1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 100 1000 10000 Deslocamento Estribo [mm] Frequência [Hz] Modelo membrana e ossículos 0dB Modelo membrana e ossículos 60dB Modelo completo 0dB Modelo completo 60dB Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 73 Figura 5.26: Comparação da fase no umbo e na platina do estribo, entre o modelo simples e o modelo completo. A fase da resposta do deslocamento no umbo é praticamente igual para ambos os modelos nas baixas frequências. A partir de 1 kHz a fase da resposta do deslocamento no umbo no modelo completo diferencia-se da fase da reposta do deslocamento no modelo simples, apresentando um decréscimo na fase a partir de 1500 Hz até 2500 Hz de cerca de 90º. Entre 3500 Hz e 5000 Hz verifica-se um aumento da fase em cerca de 90º. A partir de 5000 Hz a fase desce novamente até aos 8 kHz, permanecendo próxima de 150º. Relativamente à fase da resposta do deslocamento na platina do estribo os resultados obtidos para ambos os modelos estão próximos até cerca de 2500 Hz. Na fase da resposta do deslocamento da platina do estribo no modelo completo surge um pico a cerca de 3500 Hz, e outro a 8 kHz. A estes aumentos de fase estão associados um aumento do deslocamento que é visível na Figura 5.25. Na Figura 5.27 está representado os resultados obtidos para o deslocamento no umbo e na platina do estribo para um nível de pressão sonora de 80 dB, aplicado sobre o ar à entrada do canal auditivo externo. P.J. Prendergast et al. [46] obtém o deslocamento no umbo e na platina do estribo, com base num modelo de elementos finitos tridimensional, constituído pelo canal auditivo externo e o ouvido médio. 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 100 1000 10000 Fase [º] Frequência [Hz] Modelo membrana e ossículos - Umbo Modelo completo - Umbo 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 100 1000 10000 Fase [º] Frequência [Hz] Modelo membrana e ossículos - Estribo Modelo completo - Estribo Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 74 Figura 5.27: Comparação do deslocamento obtido no umbo e na platina do estribo para um nível de pressão acústica de 80 dB. Relativamente ao deslocamento no umbo verifica-se uma boa concordância nos resultados nas baixas e nas altas frequências. Entre 600 Hz e 4 kHz os valores obtidos são superiores aos publicados por P.J. Prendergast et al. [46]. P.J. Prendergast et al. prevê uma ressonância associada ao canal auditivo externo perto de 4 kHz, no modelo desenvolvido essa ressonância dá-se perto de 2 kHz. No que diz respeito ao deslocamento na platina do estribo, os modelos apresentam deslocamentos muito próximos nas altas frequências. Nas baixas frequências o modelo desenvolvido apresenta valores de deslocamento superiores. Os deslocamentos obtidos para um nível de pressão sonora de 90 dB, aplicado sobre o ar à entrada do canal auditivo externo, foi comparado com os resultados publicados por Gan et al. [30] e estão representados na Figura 5.28. 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 100 1000 10000 Deslocamento Umbo [mm] Frequência [Hz] Modelo completo P.J. Prendergast et al.(2000) 1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 100 1000 10000 Deslocamento Estribo [mm] Frequência [Hz] Modelo completo P.J. Prendergast et al.(2000) Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 75 Figura 5.28: Comparação do deslocamento obtido no umbo e na platina do estribo para um nível de pressão acústica de 90 dB. Os resultados obtidos tanto para o deslocamento no umbo, como para o deslocamento na platina do estribo estão muito próximos dos publicados por Gan et al. [30]. Verifica-se como era de esperar um pequeno aumento do deslocamento no umbo e na platina do estribo em ambos os modelos entre 2 kHz e 3 kHz, devido ao efeito de ressonância do canal auditivo externo, sendo esse aumento mais pronunciado no modelo desenvolvido. Na Figura 5.29 está representado os deslocamentos no umbo e na platina do estribo para o modelo completo normal e com otosclerose, para um nível de pressão de 80 dB, está ainda representado o nível de deslocamento na platina do estribo para um ouvido com presença de otosclerose, tendo como referência um ouvido com audição normal. 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 100 1000 10000 Deslocamento Umbo [mm] Frequência [Hz] Modelo completo Gan et al. (2004) 1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 1,00E-03 100 1000 10000 Deslocamento Estribo [mm] Frequência [Hz] Modelo completo Gan et al. (2004) Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 76 Figura 5.29: Resultados obtidos do deslocamento no umbo e na platina do estribo para o modelo completo normal e com otosclerose, para um nível de pressão acústica de 80 dB. Os resultados obtidos na Figura 5.29 são muito parecidos com os obtidos no modelo simples, verificando-se uma perda mais acentuada nas baixas frequências. Na Figura 5.30 estão representados os resultados obtidos do deslocamento no umbo para o modelo completo normal e com otite média. A otite média foi simulada alterando-se as propriedades do meio acústico na cavidade timpânica. O módulo volumétrico e a massa específica associada ao fluido que irá simular a otite média foram 2,2 × 109 Pa e 1000 kg/m3, respetivamente, obtendo-se uma velocidade do som no meio de 1483.24 m/s. Desta forma a cavidade timpânica ficou preenchida de líquido, sendo-lhe atribuído as propriedades da água. Na Figura 5.31 estão representados os resultados obtidos para o deslocamento na platina do estribo para o modelo completo normal e com otite média. Está ainda representado a linha a tracejado, o nível de deslocamento na platina do estribo. 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 100 1000 10000 Deslocamento Umbo [mm] Frequência [Hz] Modelo completo Modelo completo - otosclerose -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 100 1000 10000 Deslocamento Estribo [mm] Frequência [Hz] Modelo completo Modelo completo - ostosclerose Ganho/Perda [dB] Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 77 Figura 5.30: Resultados obtidos do deslocamento no umbo para o modelo completo normal e com otite média, para um nível de pressão acústica de 80 dB. O deslocamento no umbo devido à patologia, otite média, decai praticamente em toda a banda de frequência, com maior acentuação nas frequências em torno de 1 kHz. Figura 5.31: Resultados obtidos do deslocamento na platina do estribo para o modelo completo normal e com otite média, para um nível de pressão acústica de 80 dB. Relativamente ao deslocamento na platina do estribo verifica-se também um maior decréscimo em torno da frequência, 1 kHz, sendo o nível de deslocamento de aproximadamente −30 dB. As baixas frequências são as que têm maior decaimento do deslocamento, por comparação com as altas frequências. 1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 100 1000 10000 Deslocamento Umbo [mm] Frequência [Hz] Modelo completo Modelo completo - otite -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 1,00E-08 1,00E-07 1,00E-06 1,00E-05 1,00E-04 100 1000 10000 Deslocamento Estribo [mm] Frequência [Hz] Modelo completo Modelo completo - otite Ganho/Perda [dB] Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 78 Na Figura 5.32 estão apresentadas as primeiras 40 frequências naturais do modelo completo normal, do modelo com otosclerose e do modelo com otite média. Figura 5.32: Frequências naturais para o modelo completo normal e com as patologias. Verifica-se que as sete primeiras frequências naturais são levemente afetadas com a introdução da patologia no modelo. Da sétima frequência natural até à quadragésima o modelo com otosclerose apresenta frequências naturais sempre um pouco superiores ao modelo normal, enquanto o modelo com otite média apresenta frequências naturais um pouco abaixo. A Figura 5.33 e a Figura 5.34 mostra a distribuição de pressão acústica ao longo do canal auditivo externo, para a frequência de 4 kHz e 8 kHz, respetivamente, quando aplicado um nível de pressão sonora de 90 dB sobre o ar à entrada do canal auditivo externo. Os resultados mostram que a distribuição da pressão acústica no canal auditivo externo é praticamente uniformemente nas baixas frequências (𝑓 < 1 kHz). Para frequências superiores a 1 kHz existe uma variação da pressão acústica ao longo canal auditivo externo. 0 500 1000 1500 2000 2500 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 Frequência [Hz] Número Modelo completo Modelo completo - otosclerose Modelo completo - otite Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 79 Figura 5.33: Distribuição da pressão acústica no canal auditivo externo quando aplicado um nível de pressão na entrada do canal de 90 dB, para a frequência de 4 kHz. A pressão acústica máxima atingida no final do canal auditivo externo para a frequência de 4 kHz, toma o valor de cerca 2,7 Pa, no trabalho publicado por Gan et al. [30], a mesma pressão acústica obtida foi de aproximadamente 2,5 Pa. Figura 5.34: Distribuição da pressão acústica no canal auditivo externo quando aplicado um nível de pressão na entrada do canal de 90 dB, para a frequência de 8 kHz. A Figura 5.33 e a Figura 5.34 demonstraram o papel fundamental do canal auditivo externo, em melhorar significativamente a intensidade do som nas altas frequências. Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 80 Simulação biomecânica do ouvido humano, incluindo patologias do ouvido médio 81 6. Conclusões e perspetivas de trabalho futuro Na presente dissertação simulou-se e analisou-se o comportamento biomecânico do ouvido humano. Desenvolveram-se dois modelos geométricos: um simples constituído pela membrana, ossículos, ligamentos, músculos e parte do osso temporal e um completo composto pelo modelo simples acrescido do ar do canal auditivo externo e da cavidade timpânica, da cartilagem auricular, da pele e da mandíbula. As propriedades mecânicas foram obtidas da literatura e foram aplicadas as respetivas condições fronteira. Foi realizado um primeiro estudo das frequências naturais de ambos os modelos, comparando-se posteriormente com outros publicados na literatura. Verificou-se que ambos os modelos apresentam frequências praticamente semelhantes até à nona frequência natural. A partir desta, o modelo completo apresenta valores progressivamente inferiores em relação ao modelo simples. O segundo estudo envolveu uma análise dinâmica para ambos os modelos, onde se obtêm os deslocamentos em regime permanente do umbo e parte central da platina do estribo, para diferentes níveis de pressão sonora. No modelo simples a pressão sonora é aplicada sobre a membrana timpânica, enquanto no modelo completo a pressão sonora é aplicada sobre o ar à entrada do canal auditivo externo. A banda de frequência em análise foi de 100 Hz a 10 kHz. Comparando a resposta do deslocamento, para o mesmo nível de pressão sonora entre ambos os modelos verifica-se, que o modelo completo apresenta um pico de deslocamento perto de 2 kHz, o que está relacionado com efeitos de ressonância do som no canal auditivo externo. Os resultados dos deslocamentos obtidos para os dois modelos, para os diferentes níveis de pressão sonora foram comparados com outros publicados na literatura, obtendo-se uma boa concordância. Foi determinada a fase das respostas dos deslocamentos no umbo e na platina do estribo para ambos os modelos. Verificou-se que a fase da resposta é independente do nível de pressão sonora aplicado. A fase é praticamente idêntica para baixas frequências entre os dois modelos estudados. Nas altas frequências o modelo completo apresenta várias mudanças de fase,